Interpolación funciones

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APROXIMACIÓN DE FUNCIONES DISCRETAS (Ajuste de Funciones)
FUNCIÓN DE INTERPOLACIÓN
Será una función que pasará exactamente por los puntos que optendremos como datos, tal y como se representa en la siguiente gráfica:
 
						 P(x)
			 P2
						
						P4
	 
 P1 
				 P3
		a b
	
	Este tipo de funciones se utilizan en temas relacionados con el control, debido a que minimizo el error en un punto concreto (error mínimo puntual).
INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
	Queremos optener una función P(x) que pase por los puntos que tenemos.
			Pn(xi) = yi 
	En un principio , nos centraremos en allar una función de primer grado: P1(x)
P1(x) = a0 +a1x 
y0 = a0 +a1x0		
y1 = a0 + a1x1 a0 = ( y1- a0) / x1 
			 a1 = ( y1-y0) / (x1-x0)
P1(x) = (x-x1)y0/(x0-x1) – (x-x0)y1/(x1-x0) 
P1(x) = L0y0 + L1y1 Polinomio de 1º de Lagrange 
Generalizando dicha función para un grado ‘n’ obtendríamos lo siguiente:
			 n
		Pn(x) = Li(x) yi	 
	 i=0
	 n 
Li(x) = (x-xj) / (xi-xj)
	 j=0
	 ji	
 	
POLINOMIO DE LAGRANGE
	Para el cálculo de dicho polinomio utilizaremos el siguiente programa:
program int_lagrange;
 type
 lista=array [1..10] of real;
 var
 lista1,lista2,lista3:lista;
 punto,i:integer;
 valor:real;
 procedure introducir_datos (var lista1,lista2:lista;punto:integer);
 var
 punto1,punto2:real;
 i:integer;
 begin
 for i:=1 to punto do
 begin
 writeln ('Introduce el valor de X',i-1,':');
 readln (punto1);
 lista1 [i]:=punto1;
 writeln ('Introduce el valor de Y',i-1,':');
 readln (punto2);
 lista2 [i]:=punto2;
 end;
 end;
 procedure calcular (var lista3:lista;lista1,lista2:lista;punto:integer;valor:real);
 var
 i,j:integer;
 cal,cal1,resultado:real;
 begin
 for i:=1 to punto do
 begin
 cal:=1;
 cal1:=1;
 for j:=1 to punto do
 if (j<>i) then
 begin
 cal:=cal*(valor-(lista1 [j]));
 cal1:=cal1*(lista1 [i]-lista1 [j]);
 end;
 lista3 [i]:=cal/cal1;
 end;
 resultado:=0.0;
 for i:=1 to punto do
 resultado:=resultado+(lista3 [i]*lista2 [i]);
 writeln ('EL RESULTADO ES: ',resultado);
 end;
 begin
 writeln ('Introduce la cantidad de puntos:');
 readln (punto);
 writeln ('Introduce el valor donde quieres realizar el calculo:');
 readln (valor);
 introducir_datos (lista1,lista2,punto);
 calcular (lista3,lista1,lista2,punto,valor);
end.
Para probar el funcionamiento del programa introduciremos los siguientes ejemplos logrando resultados satisfactorios:
EJEMPLO 1:
	i
	0
	1
	2
	xi
	2
	2.5
	3
	F(xi) = yi
	0.69315
	0.91629
	1.09861
	Realizando el cálculo para:		X = 2.3
	RESULTADO = 0.8319324
EJEMPLO 2:
	i
	0
	1
	2
	3
	xi
	0
	0.1
	0.3
	0.6
	F(xi) = yi
	1.00000
	1.10517
	1.34986
	1.82212
	Realizando el cálculo para:		X = 0.14
	RESULTADO = 1.15025136
	El intervalo [a,b] contiene todos los ordenados Xi ,además, la f(x) y todas sus derivadas hasta (n+1) son sus continuas. El error cometido al reemplazar f(x) por P(x) de grado n para cualquier valor X en [a,b].
		|f(x) – Pn(x)| (x-x0)(x-x1)... (x-xn)f(n+1)()/(n+1)!
	Tomando como el caso más desfavorable. ( [a,b] )
	Siguiendo con el EJEMPLO 1 ,el calculo del error se realizaría del siguiente modo:
	|lnx – P2(x)| = (x-2)(x-2.5)(x-3) f ’’’() / 3!
	X = 2.3 |lnx – P2(x)| = (2.3-2)(2.3-2.5)(2.3-3) 2 / 3 3! =
					 = 0.00175
	Teniendo en cuenta que el peor caso es : x0= 2 ( x [a,b] )
APROXIMACIÓN DE FUNCIONES 
DISCRETAS
 
(Ajuste de Funciones)
 
 
 
FUNCIÓN DE INTERPOLACIÓN
 
 
Será una función que pasará exactamente por los puntos que 
optendremos como datos, tal y como se representa en la siguiente 
gráfica:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(x)
 
 
 
 
 
P
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P4
 
 
 
 
 
P1 
 
 
 
 
 
 
P3
 
 
 
 
 
 
a b
 
 
 
 
 
Este tipo de funciones se utilizan en temas relacionados con 
el control, debido a que minimizo el error en un punto concreto 
(error 
mínimo puntual).
 
 
 
INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
 
 
 
 
Queremos optener una función P(x) que pase por los puntos 
que tenemos.
 
 
 
 
Pn(x
i
)
 
= y
i 
 
 
 
En un principio , nos centraremos en allar una función de 
primer grado: P
1
(x)
 
 
APROXIMACIÓN DE FUNCIONES 
DISCRETAS (Ajuste de Funciones) 
 
 
FUNCIÓN DE INTERPOLACIÓN 
 
Será una función que pasará exactamente por los puntos que 
optendremos como datos, tal y como se representa en la siguiente 
gráfica: 
 
 
 
 
 P(x) 
 P2 
 
 P4 
 
 P1 
 P3 
 
 
 
 a b 
 
 
 Este tipo de funciones se utilizan en temas relacionados con 
el control, debido a que minimizo el error en un punto concreto 
(error mínimo puntual). 
 
 
INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE 
 
 
 Queremos optener una función P(x) que pase por los puntos 
que tenemos. 
 Pn(xi) = yi 
 
 En un principio , nos centraremos en allar una función de 
primer grado: P1(x)