102_TSelectos-MatematicasII-2012A

Vista previa del material en texto

Formación propedéutica
Temas selectosde
matemáticas II
DERECHOS RESERVADOS
Queda prohibida la reproducción o trans-
misión total o parcial del texto de la pre-
sente obra, bajo cualquier forma electró-
nica o mecánica, incluyendo fotocopiado, 
almacenamiento en cualquier sistema de 
recuperación de información o grabado 
sin el consentimiento previo y por escrito 
del editor.
1ª Edición
Diciembre de 2011
Impreso en México
Dirección y realización del proyecto
LCC. Gabriel Barragán Casares 
Director general del Colegio de Bachilleres del estado 
de Yucatán 
 
Planeación y coordinación
Lic. Alejandro Salazar Ortega
Director académico
 
Metodología y estrategia didáctica
Lic. Lorenzo Escalante Pérez
Jefe del Departamento de Servicios Académicos
 
Coordinación
Lic. Albert Jesús Herguera Loría
ISBN: 978-607-489-309-0
Formación propedéutica
Temas selectosde
matemáticas II
La Reforma Integral de la Educación 
Media Superior
La Educación Media Superior (EMS) en México enfrenta desafíos que podrán ser 
atendidos sólo si este nivel educativo se desarrolla con una identidad definida que 
permita a sus distintos actores avanzar ordenadamente hacia los objetivos propuestos. 
Es importante saber que la EMS en el país está compuesta por una serie de subsistemas 
que operan de manera independiente, sin correspondencia a un panorama general 
articulado y sin que exista suficiente comunicación entre ellos. El reto es encontrar 
los objetivos comunes de esos subsistemas para potenciar sus alcances y de esta 
manera lograr entre todos reglas claras de operación. Es importante para el desarrollo 
de la EMS, que ustedes docentes y estudiantes conozcan los ejes que la regulan, 
cómo opera y los retos que enfrenta en la actualidad para asumir a partir de dicho 
conocimiento una actitud diferente que nos permita coadyuvar en este esfuerzo.
Los diferentes subsistemas de la EMS han realizado cambios en sus estructuras 
los cuales pretendieron dar la pertinencia, eficacia y calidad necesarias para que la 
población a la que atiende (jóvenes entre los 15 y 21 años aproximadamente) adquiriera 
conocimientos y habilidades que les permitan desarrollarse de manera satisfactoria, 
ya sea en sus estudios superiores o en el trabajo y, de manera más general, en la 
vida. En esta misma línea, no se debe perder de vista el contexto social de la EMS: 
de ella egresan individuos en edad de ejercer sus derechos y obligaciones como 
ciudadanos, y como tales deben reunir, en adición a los conocimientos y habilidades 
que definirán su desarrollo personal, una serie de actitudes y valores que tengan un 
impacto positivo en su comunidad y en el país en su conjunto.
Es en este contexto que las autoridades educativas del país han propuesto la 
Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), cuyos objetivos consisten 
en dar identidad, calidad, equidad y pertinencia a la EMS, a través de mecanismos 
que permitan articular los diferentes actores en un Sistema Nacional de Bachillerato, 
dentro del cual se pueda garantizar además de lo anterior, el tránsito de estudiantes, 
intercambio de experiencias de aprendizaje y la certificación de los mismos.
Lo anterior será posible a partir del denominado Marco Curricular Común 
(MCC) de la RIEMS, el cual se desarrolla considerando el modelo de competencias, y 
que incluye: Competencias Genéricas, Competencias Disciplinares (básicas y extendidas) 
y Competencias Profesionales (básicas y extendidas). Esta estructura permite observar 
de manera clara, los componentes comunes entre los diversos subsistemas, así como 
aquellos que son propios de cada uno y que por consiguiente, los hace distintos. Lo 
anterior muestra cómo la RIEMS respeta la diversidad del nivel educativo del país, 
pero hace posible el Sistema Nacional del Bachillerato, conformado por las distintas 
instituciones y subsistemas que operan en nuestro país.
Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes 
en un contexto específico. Esta estructura reordena y enriquece los planes y programas 
de estudio existentes y se adapta a sus objetivos; no busca reemplazarlos, sino 
complementarlos y especificarlos. Define estándares compartidos que hacen más 
flexible y pertinente el currículo de la EMS. 
Nuestro subsistema pertenece al conjunto de los que ofrecen bachillerato ge-
neral, el cual en la definición del MCC de la reforma integral, deberá desarrollar en los 
estudiantes capacidades que les permitan adquirir competencias genéricas, competen-
cias disciplinares básicas y extendidas, además de competencias profesionales básicas. 
III
Las competencias genéricas son las que todos los bachilleres deben estar 
en capacidad de desempeñar; las que les permiten comprender el mundo e influir en él; 
les capacitan para continuar aprendiendo de forma autónoma a lo largo de sus vidas, 
y para desarrollar relaciones armónicas con quienes les rodean, así como participar 
eficazmente en los ámbitos social, profesional y político. Dada su importancia, dichas 
competencias se identifican también como competencias clave y constituyen el perfil 
del egresado del Sistema Nacional de Bachillerato. A continuación se listan las once 
competencias genéricas, agrupadas en sus categorías correspondientes:
Se autodetermina y cuida de sí
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en 
cuenta los objetivos que persigue.
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus 
expresiones en distintos géneros.
3. Elige y practica estilos de vida saludables.
Se expresa y comunica
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos 
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Piensa crítica y reflexivamente
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de 
métodos establecidos.
6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, 
considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
Aprende de forma autónoma
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
Trabaja en forma colaborativa
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Participa con responsabilidad en la so-
ciedad
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, 
región, México y el mundo.
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad 
de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones 
responsables.
Las competencias disciplinares son las nociones que expresan conocimientos, 
habilidades y actitudes que consideran los mínimos necesarios de cada campo dis-
ciplinar para que los estudiantes se desarrollen de manera eficaz en diferentes 
contextos y situaciones a lo largo de la vida. Las competencias disciplinares pueden 
ser básicas o extendidas.
IV
Las competencias disciplinares básicas procuran expresar las capacidades 
que todos los estudiantes deben adquirir, independientemente del plan y programas 
de estudio que cursen y la trayectoria académica o laboral que elijan al terminar sus 
estudios de bachillerato. Las competencias disciplinares básicas dan sustento a la 
formación de los estudiantes en las competencias genéricas que integran el perfil 
de egreso de la EMS y pueden aplicarse en distintos enfoques educativos, conteni-
dos y estructuras curriculares; se organizan en los campos disciplinares siguientes: 
Matemáticas, Ciencias Experimentales (Física, Química, Biología y Ecología), 
Ciencias Sociales y Humanidades (Historia, Sociología, Política, Economía, Adminis-
tración, Lógica, Ética, Filosofía y Estética) y Comunicación (Lectura y Expresión oral y 
escrita, Literatura, Lengua extranjera e Informática). 
Las competencias disciplinares extendidas dan sustento a las competencias 
genéricas del perfil del egresado del bachillerato, además de que tienen como pro-
pósito preparar al estudiante para elnivel superior de estudios, especificando en los 
elementos disciplinares correspondientes y en su caso, incrementando la complejidad 
de la competencia a desarrollar. Al igual que las disciplinares básicas se agrupan en 
los campos de conocimiento del Bachillerato General.
Matemáticas
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de 
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para 
la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos 
y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, 
gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y 
el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural 
para determinar o estimar su comportamiento.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes 
del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso 
o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos 
y científicos.
V
Estrategia didáctica
Para contribuir al desarrollo de las sesiones de aprendizaje en el aula, se estableció 
una estrategia que permita integrar los elementos del programa de la asignatura, con 
los materiales de apoyo y la actividad de docentes y estudiantes.
Se le denomina estrategia en el sentido de su flexibilidad, ya que no 
pretende ser un algoritmo que el docente deba seguir al pie de la letra, sino que 
puede adaptarlo a las características propias del contexto en el que se desarrollan 
las sesiones de aprendizaje.
La estrategia consta de siete pasos o etapas, que deberán conocerse en las 
primeras sesiones, para un mejor desarrollo de los bloques. Los pasos se listan 
y describen a continuación:
Dinamización Síntesis
Contextualización Realimentación
Problematización Evaluación de la competencia
Formación, adquisición, desarrollo y construcción de competencias
Dinamización
En el proceso de construcción del aprendizaje, es indispensable para el facilitador 
adentre al alumno en la materia y considere que es a partir de actividades que el 
estudiante desarrollará nuevos conocimientos.
Contextualización
En el desarrollo de competencias es necesario el aprendizaje contextual, es decir, 
presentar elementos a través de escenarios que le sean significativos a los estu-
diantes. La contextualización deberá realizarse al inicio de cada bloque en los que se 
organizan los contenidos en los programas de estudio.
Problematización 
En el modelo de competencias que la RIEMS establece, el contenido toma un sig-
nificado primordial al acercarnos a él a través de su aplicación en la vida cotidiana, 
por tanto, la problematización debe estar presente a lo largo de toda la estrategia 
en el aula.
VI
Formación, adquisición, desarrollo 
y construcción de competencias
Etapa en la cual el facilitador, a partir de la Base Orientadora de la Acción (BOA), 
muestra el quehacer del estudiante en la adquisición de competencias. En esta etapa 
de la estrategia, estudiantes y docentes deben estar pendientes del proceso de 
asimilación. Galperin lo describe como un proceso de etapas y no como un fenómeno 
inmediato.
Las distintas etapas del proceso de asimilación que el alumno experimenta 
para desarrollar el aprendizaje son: la etapa de motivación, la cual debe fomentarse 
y mantenerse durante todo el curso, recordemos que si un alumno no está motivado, 
difícilmente aprenderá. La segunda etapa de este proceso es la formación de la BOA, 
ésta incluye la forma que el facilitador utiliza para que el alumno desarrolle una 
competencia. La RIEMS sugiere la creatividad como método o forma de enseñanza 
para cumplir tales fines.
La BOA puede llevarse a cabo de varias formas, cubriendo tres aspectos 
importantes: la orientación al alumno, que como ya dijimos debe estar precedida por 
una buena carga de motivación, dicha orientación puede ser de dos tipos, completa 
en la que el maestro le proporciona al alumno todos los aspectos de un contenido, e 
incompleta en la cual se dejan ciertos aspectos de un contenido para que el alumno 
pueda descubrir o investigar por sí mismo. La generalidad es otro aspecto importante 
en la constitución de la BOA, ésta puede ser concreta o generalizada, es decir, el 
docente puede mostrar hechos concretos relativos a algún contenido o puede abarcar 
el mismo contenido por medio de hechos generales, que tengan alguna relación con el 
concepto que se expone al alumno.
El modo de obtención es el último de los aspectos que incluye la BOA. Éste 
se presenta de dos formas: pre-elaborada e independiente. En la primera, el alumno 
llega a obtener el aprendizaje de manera conjunta con el facilitador y en la segunda 
los alumnos adquieren el conocimiento en forma independiente.
Síntesis
Actividad que permite integrar los aprendizajes del estudiante a través de evidencias 
de conocimiento, desempeño, producto y actitud de manera que el docente cuente 
con estrategias para la evaluación formativa logrando involucrar al estudiante en 
procesos de coevaluación.
Realimentación
Al término de cada bloque en los que se organizan las unidades de competencia 
en cada asignatura, el facilitador y los estudiantes ante la evidencia recopilada en la 
etapa anterior, pueden establecer estrategias que permitan mayor grado de claridad 
en la recolección de evidencias e incluso que los aprendizajes sean reafirmados por 
los estudiantes.
Evaluación de la competencia
Para llevar a cabo la evaluación sumativa de las competencias que se indican en 
los programas de estudio, se contempla esta etapa la cual debe verse como parte 
del proceso, es decir, no debe en ningún momento separarse de la formativa. La 
mejor forma de lograr esta unidad será integrando un portafolio de evidencias de 
aprendizaje.
VII
Contenido
Bloque I. Empleas funciones trigonométricas 
de ángulos en cualquier magnitud 2
Sesión 1. Generación de ángulos 4
Representación de un ángulo en el Plano cartesiano 6
Triángulo rectángulo asociados a la representación de un ángulo 7
Sesión 2. Funciones trigonométricas de ángulos de cualquier medida 13
Reducción de ángulos al primer cuadrante 18
Sesión 3. Análisis trigonométrico 24
Relaciones para la suma y diferencia de ángulos 25
Relaciones de ángulos dobles, triples y mitad 29
Relaciones de seno y coseno de sumas a productos 30
Bloque II. Aplicas ecuaciones trigonométricas 
y funciones trigonométricas inversas 36
Sesión 1. Concepto y resolución parcial de una ecuación trigonométrica 38
Sesión 2. Solución general de una ecuación trigonométrica 45
Sesión 3. Funciones trigonométricas inversas 52
Algunas propiedades de las funciones trigonométricas inversas 56
Identidades de funciones trigonométricas inversas 58
VIII
Bloque III. Reconoces y empleas los lugares geométricos 64
Sesión 1: Primer problema fundamental de la geometría analítica 66
Intersecciones con los ejes 67
Extensión de una curva 76
Sesión 2. Segundo problema fundamental de la geometría analítica 81
Sesión 3. Demostraciones de teoremas geométricos 86
Bloque IV. Utilizas las secciones cónicas 94
Sesión 1. Las secciones cónicas 96
Transformación de la ecuación general por rotación de los ejes coordenados 98
El discriminante de una ecuación general de segundo grado 102
El primer problema fundamental y la ecuación general de segundo grado 103
IX
Bloque I. Empleas funciones 
trigonométricas de ángulos 
en cualquier magnitud
objetos de aprendizaje
 ♦ Representación en el plano cartesiano de un ángulo de cualquier 
magnitud. Ánguloasociado.
 ♦ Definición de las funciones trigonométricas de ángulos de cual-
quier medida.
 ♦ Cálculo de las funciones trigonométricas de un ángulo arbitrario 
mediante el empleo de la reducción al primer cuadrante.
 ♦ Identidades trigonométricas para la suma y diferencia de ángulos 
arbitrarios, relaciones de seno y coseno de sumas a producto y vi-
ceversa.
Desempeños del estudiante 
al concluir el bloque
 ♦ Resuelve situaciones del contexto mediante el empleo de los ele-
mentos asociados a las funciones trigonométricas, interpretando y 
contrastando la solución obtenida con la realidad.
 ♦ Argumenta la naturaleza del valor de las funciones trigonométricas 
de un ángulo, empleando el ángulo agudo asociado al mismo.
Competencias a desarrollar
 ♦ Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplica-
ción de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y 
variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, 
hipotéticas o formales.
 ♦ Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes 
enfoques.
 ♦ Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedi-
mientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o 
situaciones reales.
 ♦ Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso so-
cial o natural para determinar o estimar su comportamiento.
 ♦ Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos con-
textos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas 
apropiados.
 ♦ Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir 
de métodos establecidos.
 ♦ Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Sesión 1. Generación de 
ángulos
Criterios 
 ♦ Identifico el concepto de representación en el Plano cartesiano de un ángulo de 
cualquier magnitud.
 ♦ Identifico el ángulo asociado a la representación de un ángulo dado.
 ♦ Determino la representación el plano cartesiano correspondiente a un ángulo 
arbitrario, así como su ángulo asociado. 
 ♦ Valoro los elementos asociados a la representación de un ángulo.
Dinamización
Probablemente recordarás que en tu 
curso de Matemáticas II tuviste la opor-
tunidad de trabajar con las funciones 
trigonométricas, así como con ciertas 
relaciones que existen entre éstas, co-
nocidas como identidades trigono-
métricas. Pues bien, en este bloque 
abordaremos nuevamente estos y más 
temas relacionados, ya que son de gran 
importancia por sus múltiples aplicacio-
nes, tanto teóricas como prácticas.
Como recordarás, las seis ra-
zones trigonométricas de un ángulo A se definieron en términos de los lados de un 
triángulo rectángulo, donde alguno de sus ángulos agudos es A. Por ejemplo, el seno 
se definió como la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa; de 
modo que el seno del ángulo A= π 6 se puede obtener de la siguiente construc-
ción auxiliar, de la cual podemos ver que senA = 1 2 .
12
A
Gráfica 1.1
Imagen 1.1
4
Temas selectos de matemáticas II
Después de pensar por un momento en el comentario anterior, podemos 
darnos cuenta de que con dichas definiciones no podríamos darle un valor a senA 
cuandoA ″ 0 o cuando A ≥ π 2 , puesto que en un triángulo rectángulo los dos 
ángulos agudos, por definición, miden más de 0 y menos de π 2 , es decir, se encuen-
tran en el intervalo ( )0 2, .π 
Debido a que en diversas situaciones prácticas se presen-
tan magnitudes angulares arbitrarias, el estudio de tales situaciones, por medio de la 
trigonometría, no sería posible si nos limitáramos a la definición de las funciones 
trigonométricas mencionada anteriormente. Resulta entonces que para que la trigo-
nometría sea una herramienta útil en la resolución de problemas, necesitamos exten-
der las funciones trigonométricas a ángulos de cualquier magnitud pero, ¿cómo po-
demos lograr esto? 
Por lo comentado anteriormente, deseamos dar 
una definición de las funciones trigonométricas para cual-
quier ángulo, además queremos que dicha definición coinci-
da con la que fue dada en términos de razones cuando A sea 
un ángulo agudo. 
Contextualización
Parte fundamental de tu formación en la especialización 
Físico-matemático, es que puedas comprender y sobre todo 
exponer la justificación de los conocimientos adquiridos. Lo 
anterior lo mencionamos debido a que es posible que en el 
presente bloque encontremos temas con los que ya hemos 
trabajado en semestres anteriores; sin embargo, la mayoría 
de los resultados serán obtenidos de manera clara y justificada por me-
dio de las prácticas presentadas, de manera que resulta fundamental la 
secuencia presentada.
Problematización 
Responde las siguientes cuestiones y realiza lo que se te indica.
Un helicóptero de la policía estatal se encuentra 
vigilando el centro la ciudad de Mérida, y sobrevuela de tal 
modo que su trayectoria determina una circunferencia de 8 ki-
lómetros alrededor del palacio de gobierno. Si el helicóptero 
completa una vuelta en 2 minutos y se sabe que a las 2:31 am 
se encontraba al este del Palacio, entonces:
1. ¿En qué dirección se encontrará, con respecto al Palacio, 
20 segundos después?
2. ¿Qué ángulo habrá determinado su recorrido en esos 20 
segundos?
3. Da una representación gráfica del ángulo determinado en esos 20 segundos.
4. Responde las mismas cuestiones si el tiempo de vuelo ha sido: 
a) 45 segundos b) 85 segundos c) 100 segundos
Imagen 1.3
Imagen 1.2
5
Bloque I: Empleas funciones trigonométricas de 
ángulos en cualquier magnitud
5. Cómo representarías el ángulo recorrido por el helicóptero después de: 
a) 140 segundos b) 260 segundos c) 380 segundos d) 2660 segundos 
6. ¿Tienen algo en común estas últimas representaciones?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
Formación, adquisición, construcción 
y desarrollo de competencias
Representación de un ángulo en el Plano cartesiano
Probablemente el hecho de que la trayectoria del helicóptero sea una circunferencia te 
habrá sugerido usar una representación en el Plano cartesiano, y aún más, es probable 
que localizaras el Palacio en el origen del plano para tener así una circunferencia cen-
trada en el origen, esto último para lograr mayor simplicidad además de que los ejes 
coordenados te ayudan a visualizar la dirección en la que se encuentra el helicóptero.
Pues bien, después de realizar la actividad y leer el párrafo anterior posi-
blemente no te extrañe tanto el porqué de la siguiente forma de representación de 
un ángulo.
Si A es un ángulo positivo, su representación en el Plano cartesiano será 
dada por el ángulo cuyo vértice está en el origen y su lado inicial sobre la parte po-
sitiva del eje X, mientras que su lado terminal será determinado, de acuerdo a la 
magnitud de A, en sentido anti horario. Si B es un ángulo negativo, entonces la única 
diferencia en su representación, con respecto a un ángulo positivo, es que su lado 
final será determinado en sentido opuesto, es decir, en sentido horario. Es costumbre 
decir que el ángulo A pertenece al cuadrante en el cual se encuentra el lado terminal 
de su representación.
Es importante notar que en la forma de representar un ángulo en el plano 
no se indica nada sobre la magnitud de sus lados inicial y terminal. Esto se debe a 
que, como recordarás, la medida de un án-
gulo no se ve afectada por la longitud de 
sus lados.
De ahora en adelante por “repre-
sentación del ángulo A” siempre entendere-
mos la representación recién descrita, es de-
cir, su representación en el plano cartesiano 
y de su representación podemos ver que B 
es un ángulo del cuarto cuadrante. 
Ejemplo 1
El ángulo B = −7 3π tiene la siguiente repre-
sentación:
B
X
Y
Gráfica 1.2. Representación del ángulo B 
en el plano.
En todo el texto los 
ángulos serán dados 
en radianes. Recuerda 
que π=180°
6
Temas selectos de matemáticas II
Actividad 1
En binas y usando la representación recién descrita, vuelvan a contestar las dos últi-
mas preguntas de la actividad; después proporcionen una justificacióndetallada de 
la siguiente observación. 
Observación 1. Si A es un ángulo cualquiera, entonces A y los ángulos A n+ 2 À , 
donde n es cualquier número entero, tienen la misma representación en el plano. 
¿Por qué?
Triángulo rectángulo asociados a la representación de un ángulo
Todo ángulo A tiene asociado un triángulo rectángulo a su representación, dicho 
triángulo se obtiene de su representación en el plano de la manera siguiente: 
Si O representa al origen y ∠pOq es la representación del ángulo A con 
lado terminal oq, entonces el triángulo rectángulo asociado a dicha representación 
es el triángulo∆ ′qq O , donde q’ es el pie de la perpendicular al eje X trazado desde el 
extremo q del lado terminal. Ilustramos esto en la siguiente figura. 
O
q’ p
X
A
Y
Gráfica 1.3. Triángulo asociado al ángulo A.
De acuerdo a lo descrito anteriormente, ¿cómo construirías el triángulo 
asociado A=0?, ¿y qué triángulos son los asociados de B = π 2 ,C = π y D = 3 2π
 ?
Ejemplo 2 
Determina los triángulos asociados a cada uno de los siguientes ángulos:
a) A =
7
3
πB =
52
9
π
b) C = −
13
18
π
Solución
Con la representación de dichos ángulos obtenemos los siguientes triángulos:
7
Bloque I: Empleas funciones trigonométricas de 
ángulos en cualquier magnitud
a) 
 
O
q’ p
X
A
Y
Gráfica 1.4
b) 
 
O B
q’
p
q
Y
Gráfica 1.5
c) 
 
q’ C
O
q
p
X
Y
Gráfica 1.68
Temas selectos de matemáticas II
Usando el triángulo asociado a la representación de un ángulo, podemos 
definir el ángulo asociado de este último.
Definición 1. Si A es un ángulo cualquiera y A’ es el ángulo del triángulo 
asociado a la representación de A, cuyo vértice está en el origen, entonces diremos 
que A’ es el ángulo asociado de A. 
Ejemplo 3
Obtén A’, B’ y C’ donde A, B y C son los ángulos del ejemplo 2.
Solución 
De las representaciones obtenidas en el ejemplo 2 podemos ver que: 
A = π 3 , B = 2 9π y C = 5 18π . 
Es claro que para los ángulos0,π 2 ,π y 3π 2 no es posible construir un 
triángulo asociado. De modo que a dichos ángulos les asignan 0,π 2 ,0 y π 2 res-
pectivamente, como ángulos asociados. Junto con tus compañeros de clase trata de 
justificar el porqué de tales asignaciones.
Actividad 2
Determina la representación y obtén el ángulo asociado para cada uno de los si-
guientes ángulos:
a) A =
5π
6
b) B =
2
6
9π
c) C = −
7π
6
Responde:
1. ¿Qué tienen en común los ángulos A, B y C?
2. ¿Qué relación mantienen los ángulos asociados A’, B’ y C’?
3. ¿Es verdad que a ángulos distintos les corresponden ángulos asociados distintos? 
Justifica tu respuesta y si ésta fue no, entonces, ¿qué relación deben tener los 
ángulos A y B para que sus ángulos asociados, A’ y B’ sean iguales?
9
Bloque I: Empleas funciones trigonométricas de 
ángulos en cualquier magnitud
Comparte tus respuestas con tus compañeros y con ayuda de su profesor, 
den una justificación detallada de la siguiente observación.
Observación 2. De la definición 1 es claro que el ángulo asociado depen-
de únicamente de la representación en el plano; de modo que dos ángulos con una 
misma representación también tendrán un mismo ángulo asociado. Por tanto, de la 
observación 1 podemos concluir que los ángulos A y A n+ 2 π , donde n es cualquier 
entero, tienen el mismo ángulo asociado.
Observación 3. Recordemos que cualquier ángulo A puede ser expresado 
en la forma B n+ 2 π , donde B es un ángulo tal que 0 2≤ <B π , y n es algún entero. 
Ejemplo 4
Expresa al ángulo A en la forma B n+ 2 π descrita anteriormente si:
a) A = 11π
b) A = −
23π
9
c) A =
13π
8
 
Solución
a) En este caso tenemos que A = 11π=π+2(5)π. Por lo que B = π y n = 5 .
b) Aquí observamos que A = −23π 9=13π 9+2(-2)π. Por lo que B = 13π 8 
y n = −2 .
c) Para este último caso tenemos que A = 13π 8=13π 8+2(0)π. Así que
B A= y n = 0 .
Actividad 3
Reúnanse en binas y en cada uno de los cuatro casos den un ejemplo de un ángulo A 
que cumpla con las características mencionadas, den su representación en el plano, 
obtengan su ángulo asociado A’ y después contesten las preguntas. 
• Caso 1. Un ángulo tal que 0 ″ A<π 2 
¿Cuál es el valor de A’? ¿Qué tipo de ángulo es A’? ¿Qué relación existe 
entre A y A’?
• Caso 2. Un ángulo tal que ≤ <π 2 πA 
¿Cuál es el valor de A’? ¿Qué tipo de ángulo es A’? ¿Qué relación existe 
entre A y A’?
10
Temas selectos de matemáticas II
• Caso 3. Un ángulo tal que 2≤ <A 3 
¿Cuál es el valor de A’? ¿Qué tipo de ángulo es A’? ¿Qué relación existe 
entre A y A’?
• Caso 4. Un ángulo tal que 3π π≤ <A 
• ¿Cuál es el valor de A’? ¿Qué tipo de ángulo es A’? ¿Qué relación existe 
entre A y A’?
• ¿Qué tienen en común los ángulos asociados obtenidos en cada uno de 
los 4 casos?
• ¿Creen que para cualquier elección del ángulo A se tendrá que su ángulo 
asociado tenga esta misma característica?
Comparen sus respuestas con las del resto de sus compañeros.
Después de haber realizado la actividad anterior, con ayuda de sus compa-
ñeros y su profesor den una justificación de la siguiente observación.
Observación 4. Si A es un ángulo tal que 0 2≤ <A π , entonces el valor 
de su ángulo asociado A’ se encuentra en el intervalo cerrado 0,π 2  ,es decir, 
0 ≤ ′ ≤A π 2 .
Si A es un ángulo cualquiera y tiene la expresión B n+ 2 π , descrita en la 
Observación 3, entonces es claro que A y B n+ 2 π tienen el mismo ángulo asocia-
do (pues ambos miden lo mismo). Además, por la Observación 2 sabemos que B y
B n+ 2 π tienen el mismo ángulo asociado. Por lo tanto podemos concluir que A y B 
tienen el mismo ángulo asociado. Es decir A’ = B’. Por otro lado 0 2≤ <B π , de modo 
que la Observación 4 nos dice que 0 ≤ ′ ≤B π 2 . Luego de las dos relaciones A’ = B’ 
y 0 ≤ ′ ≤B π 2 obtenemos que 0 ≤ ′ ≤A π 2 . Resumimos todo esto en la siguiente 
observación.
Observación 5. Si A es un ángulo cualquiera, entonces el valor de su án-
gulo asociado A’ se encuentra en el intervalo cerrado 0,π 2 . Es decir, 0 ≤ ′ ≤A π 2.
11
Bloque I: Empleas funciones trigonométricas de 
ángulos en cualquier magnitud
Síntesis
1. Completa la siguiente tabla, en la cual debes especificar qué tipo de relación 
existe entre el ángulo A, cuando 0 ≤ <A 2π, y su ángulo asociado A’ dependien-
do al cuadrante al que pertenezca (sugerencia: ver la actividad 2).
Cuadrante al que 
pertenece A I cuadrante II cuadrante III cuadrante IV cuadrante
Relación entre A y A’ A A+ ′ = π
Hemos visto que cualquier ángulo A puede ser expresado en la forma 
A B n= + 2 π , donde 0 2≤ <B π. De modo que en general se tienen la siguiente tabla 
de relaciones:
Cuadrante al 
que pertenece 
A B n= + 2 π
I cuadrante II cuadrante III cuadrante IV cuadrante
Relación entre B y A’ B A+ = π
Podemos observar que si A B n= + 2 π , donde 0 2≤ <B π , entonces B es 
el ángulo de la representación de A . Es por eso que se acostumbra a decir que las 
relaciones de la tabla anterior son entre A y ′A , cuando en realidad son B y ′A 
quienes mantienen dichas relaciones. Por ejemplo, si A está en el segundo cuadrante, 
entonces se acostumbra a decir que A y ′A son ángulos suplementarios. Estas rela-
ciones nos serán de gran utilidad en sesiones posteriores.
12
Temas selectos de matemáticas II
Sesión 2. Funciones trigo-
nométricas de ángulos de 
cualquier medida
Criterios
• Comprendo el concepto de las funciones trigonométricas para un ángulo 
arbitrario. 
• Explico la validez del empleo de la reducción de ángulos al primer cua-
drante para determinar los valores de las funciones trigonométricas de un 
ángulo arbitrario.
• Establezco los valores de las funciones trigonométricas correspondientes 
a un ángulo arbitrario a partir de las funciones trigonométricas de su 
ángulo asociado.
• Valoro los elementos asociados a la representación de un ángulo para 
determinar los valores de sus funciones trigonométricas. 
• Participo de manera colaborativa en la solución de una situación del con-
texto, a partir de la modelación de la misma.
Contextualización
Recordemos que las funcionestrigonométri-
cas se definieron en términos de los ángulos 
agudos de un triángulo rectángulo y por lo 
que se mencionó al principio del bloque pue-
den ser vistas como funciones cuyo dominio 
es el intervalo abierto ( )0,π 2 . Con lo visto 
hasta ahora ya estamos a un paso de poder 
extender por completo el dominio de las fun-
ciones trigonométricas seno y coseno a todos 
los números reales, es decir, definir el seno y el 
coseno de cualquier ángulo. 
Problematización 
Al definir las funciones trigonométricas para 
cualquier ángulo, se desea que se conserven 
ciertas relaciones que existen entre estas, 
además de sus propiedades
Imagen 1.4
13
Bloque I: Empleas funciones trigonométricas de 
ángulos en cualquier magnitud
1. Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son fal-
sas. No olvides justificar tus respuestas.
a) Para cualquier ángulo A, se tiene que − ≤ ≤1 1senA .
b) Para cualquier ángulo A, se tiene que csc cos
.A
A
=
1
c) Las seis funciones trigonométricas están agrupadas en tres parejas de ángulos 
llamadas cofunciones.
d) Las seis funciones trigonométricas están agrupadas en tres parejas de ángulos 
llamadas recíprocas.
e) Una función trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la cofunción de su 
ángulo complementario.
2. Enuncien otras propiedades y relaciones que poseen las funciones trigonomé-
tricas y expongan sus resultados en clase.
Formación, adquisición, construcción 
y desarrollo de competencias
Iniciemos el estudio de esta sesión dando un par de definiciones.
Definición 2. La circunferencia con centro en el origen y radio igual a 1 
es conocida como la circunferencia unitaria y la representaremos con el símbolo S.
X
O
r=1
Y
Gráfica 1.7. Circunferencia unitaria.
14
Temas selectos de matemáticas II
Definición 3. Sea A un ángulo y ∠pOq su representación en el plano cu-
yos lados Op y Oq , inicial y terminal, respectivamente, miden 1. Es decir ∠pOq es 
un ángulo central de la circunferencia unitaria. A dicha representación la llamaremos 
representación unitaria de A (ver la gráfica siguiente). 
X
Y
q
p
O 1
1
Gráfica 1.8. Representación unitaria de un ángulo.
Ejemplo 5
 ¿Cuál es la representación unitaria de los ángulos a) A = π 4 y b) B = 3 2π ?
Solución
a) Si denotamos por ∠pOq a la representación unitaria de A, entonces por defini-
ción tenemos que p = (1, 0) y O = (0, 0). ¿Por qué?, te dejamos, como un buen 
ejercicio de recordatorio, el demostrar que q = ( )1 2 1 2, .
b) Usando la misma notación que en el inciso a), tenemos que p = (1, 0) y O = (0, 0). 
Además, es claro que el lado terminal de la representación de B se encuentra 
sobre la parte negativa del eje Y, por lo tanto q = (0, -1).
Ahora, definimos el seno y coseno de cualquier ángulo en términos de la 
representación unitaria. Las restantes funciones trigonométricas serán definidas en 
términos del seno y coseno.
Definición 4. Si A es un ángulo cualquiera y ∠pOq es su representación 
unitaria con q r s= ( , ) , entonces se define el seno y el coseno de A como la ordenada 
y la abscisa de q, respectivamente. En símbolos: senA s= y cos .A r= Además, defi-
nimos las restantes funciones trigonométricas mediante las siguientes relaciones:
• tan cosA A
A= sen
• cot cosA A
senA=
• sec cosA A= 1
• csc = 1senA
15
Bloque I: Empleas funciones trigonométricas de 
ángulos en cualquier magnitud
Y
X
sen x=q2
cos x=q2
O 1
1
q= (q1’ q2 )
 
Gráfica 1.9
Reúnanse en binas y expongan al resto de la clase que las funciones trigo-
nométricas, de la definición 4, coinciden con las funciones trigonométricas ya cono-
cidas, cuando A es un ángulo agudo.
Actividad 4
Junto con tus compañeros de clase respondan las siguientes cuestiones y justifiquen 
sus respuestas.
Con respecto a la Definición 4:
1. ¿Es verdad que el dominio de la función seno son todos los números reales?
2. ¿Cuál es el dominio del coseno?
3. Determinen el dominio de la función cotangente.
Podemos ver que la Definición 4, en verdad extiende el dominio del seno y 
coseno a todos los números reales. Sin embargo, no todas las funciones trigonomé-
tricas extendidas tienen como dominio a todo.
Ejemplo 6
Determina el valor de tanA para A = π 2 ,3π 2 y 5 2π .
16
Temas selectos de matemáticas II
Solución
Tenemos que tanA = senA/cosA, además podemos verificar (hazlo) que 
cosA = 0 para A = π 2 ,3π 2 y 5π 2.Por lo tanto, tanA no está definida para estos 
valores, de modo que el dominio de la tangente no son todos los números reales. 
Explica el último resultado.
Observemos algunos resultados que se obtienen de la Definición 4.
1. Se les asigna un valor a las funciones trigonométricas del ángulo A, cuando 
A vale 0,π 2 ,π y 3π 2. En general, se les da un valor cuando A es un án-
gulo cuyo lado terminal está sobre alguno de los ejes coordenados (aun 
si ese valor no es un número real, por ejemplo tan( )π 2 = ∞ ).
Ejemplo 7
Determina el seno de A cuando A vale 0,π 2 ,π y 3π 2 .
Solución
De la definición 4 es fácil ver que: ( )sen(0)=0,sen π 2 =1,sen(π)=0 y
( )sen 3π 2 =-1 , ya que estos valores corresponden a las ordenadas de los puntos 
(1, 0), (0, 1), (-1, 0) y (0, -1), respectivamente.
Ejemplo 8
Determina el valor de tanA para A = 0 y para A = π 2 . 
Solución
Tenemos que:
tan( )
( )
cos( )
0
0
0
0
1
0= = =
sen
y 
tan
π
2
=
sen π
2
cos π
2












= = ∞
1
0
Se ve de manera clara cuándo dichas funciones son positivas o negativas 
en determinados cuadrantes.
Ejemplo 9
¿En qué cuadrante es negativo el coseno?
Solución
Como cosA es la abscisa de punto q del lado terminal. Es claro que cosA es 
negativo en el tercer y cuarto cuadrante. Justifica esta afirmación. 
17
Bloque I: Empleas funciones trigonométricas de 
ángulos en cualquier magnitud
Reducción de ángulos al primer cuadrante
Ya sabemos que las funciones trigonométricas existen para cualquier ángulo y que, 
además, la definición 4 nos da una manera de determinar tales funciones trigono-
métricas. Sin embargo, si tratáramos de determinar dichos valores utilizando única-
mente esta definición, entonces el trabajo puede no ser tan práctico. Es por eso que 
estamos interesados en hallar una manera más simple para determinar los valores 
de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo. Iniciemos con la siguiente 
actividad.
Actividad 6
1. Completa la siguiente tabla, en la cual se debe especificar qué tipo de valores 
toman las funciones trigonométricas cuando el ángulo A se encuentra en el cua-
drante indicado. Recuerda que todas están en términos del seno y del coseno, y 
estos no son más que la ordenada y la abscisa de cierto punto en el plano.
Funciones
Trigonométricas
I cuadrante II cuadrante III cuadrante IV cuadrante
senA
cosA positivo negativo negativo positivo
tanA positivo negativo positivo negativo
cotA
secA
cscA
2. Ahora, completa la siguiente tabla en la cual se considera que el ángulo A se 
encuentra sobre alguno de los ejes coordenados. Es decir, su lado terminal se 
encuentra sobre dicho eje.
Funciones
Trigonométricas
 Eje X 
positivo
Eje Y 
positivo
Eje X 
negativo
Eje Y 
negativo
senA 0 1 0 -1
cosA
tanA 0 ∞ 0 ∞
cotA
secA
cscA
18
Temas selectos de matemáticas II
3. Completa la siguiente tabla justificando cada de las afirmaciones establecidas. 
Donde A es un ángulo cualquiera. 
Afirmación Justificación
sen sen( )− = −A A
cos( ) cos− =A A
tan( ) tan− = −A A
cot( ) cot− = −A A
sec( ) sec− =A A
csc( ) csc− = −A A
¿Recuerdas cómo se llama una función que cumple la relación f x f x( ) ( )− = − 
para cada x en su dominio?, ¿y qué tal a la que cumple la relación f x f x( ) ( )− = ?, si no 
lo recuerdas te pedimos que indagues al respecto, pues estas relaciones resultarán 
de gran utilidad.
4. Propón una manera de determinar el valor de sec −( )5π 3 . Comparte tu respuesta 
con tus compañeros. ¿Alguien pudo determinar el valor?
Es posible que para resolver el inciso 3 de laactividad anterior tú o alguno 
de tus compañeros hayan tratado de determinar el punto q de la representación 
unitaria ∠pOq del ángulo −5π 3, obteniendo de este modo, con la abscisa de q, el 
valor de cos( )−5 3π , para que finalmente obtengan:
sec
cos
−




=
−




5
3
1π
5π
3
Este método es del todo correcto; sin embargo, aunque no es difícil tam-
poco resulta muy práctico. De modo que nos preguntamos: ¿es posible hallar los 
valores de las funciones trigonométricas de una manera más simple? La respuesta es 
sí, y es muy posible que tú ya te hayas percatado de esto. 
19
Bloque I: Empleas funciones trigonométricas de 
ángulos en cualquier magnitud
Actividad 7
Y
X
sen x=q2
cos x=q2
O 1
1
q= (q1’ q2 )
Observa la gráfica de arriba y responde:
Si ∆ ′qq O es el triángulo asociado de A, entonces:
1. ¿Cuáles son las coordenadas del punto q’?
2. ¿Qué representan q1 y q2 (el valor absoluto de q1 y q2 respectivamente) en 
el triángulo ∆ ′qq O ? 
3. ¿Cuáles son los valores de las funciones trigonométricas del ángulo asociado A’?
4. ¿Qué relación hay entre las funciones trigonométricas del ángulo A y las de A’?
Después de haber trabajado en la actividad anterior, con ayuda de tus 
compañeros y profesor, den una justificación detallada de la siguiente observación.
Observación 6 (Reducción de ángulos al primer cuadrante). Si A es cual-
quier ángulo y A’ es su ángulo asociado, entonces las funciones trigonométricas del 
ángulo A son iguales, en valor absoluto, a las correspondientes funciones trigono-
métricas de A’. De modo que para determinar el valor de una función trigonométrica 
de A, sólo debemos determinar el valor de dicha función para A’ y al resultado asig-
narle el signo que corresponde a tal función, según el cuadrante al que pertenece A 
(ver la tabla 1 de la actividad 5).
20
Temas selectos de matemáticas II
La Observación 6 nos dice que calcular una función trigonométrica para A, 
se reduce prácticamente a calcular dicha función para A’. Además, por la Observa-
ción 5 sabemos que 0 ≤ ′ ≤A π 2 , razón por la cual al método para calcular el valor 
de las funciones trigonométricas de un ángulo, descrito en la Observación 6, se le 
conoce como “reducción de ángulos al primer cuadrante”. Ilustramos dicho método 
mediante unos cuantos ejemplos:
Ejemplo 10
Determina los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo 
−27π 4.
Solución
Podemos reescribir dicho ángulo en la forma: 
−
27π
4
=
5π
4
2(4)π−
donde 0 ≤ <5π 4 2π . De modo que por la Observación 2 sabemos que 
−27 4π y 5 4π tienen el mismo ángulo asociado A’. Además, 5π 4 es un ángulo del 
tercer cuadrante y por la actividad 4 sabemos que 5 4π / y A’ deben cumplir la rela-
ción 5 4π π− ′ =A , de donde ′ =A π 4 . Luego tenemos que:
• sen
27π
4
= sen
π
4
=
1
2
− − −








• cos
27π
4
= cos
π
4
=
1
2
− − −








• tan −
27π
4
=tan
π
4
=1








• cot −
27π
4
=cot
π
4
=1








• sec − − −
27π
4
= sec
π
4
= 2








• csc − − −
27π
4
= csc
π
4
= 2








Donde los signos los hemos obtenido de la tabla 1 de la actividad 5 y te-
niendo en cuenta que −27π 4 está en el tercer cuadrante.
Nota que era suficiente con calcular ( )sen 27π 4− y cos ,−( )27π 4
 
ya que 
todas las demás funciones están en términos de estas dos.
21
Bloque I: Empleas funciones trigonométricas de 
ángulos en cualquier magnitud
Ejemplo 11
Determina los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo 
65π 3.
Solución
En este caso tenemos que:
65π
3
=
5π
3
+2(10)π
donde 0 2≤ <5π 3 π , además 5π 3 se encuentra en el cuarto cuadrante. 
Por lo que 5π 3 y su ángulo asociado A’ (el cual es el mismo para 65 3π/ ) cumplen 
la relación 5π 3 2π+ ′ =A (ver la tabla 1 de la actividad 3), de modo que ′ =A π 3 . 
Por lo tanto:
• 
sen
65π
3
= sen
π
3
=
3
2








− −
 
• 
cos
65π
3
=cos
π
3
=
1
2







 
Determina las funciones restantes.
Donde los signos fueron obtenidos de la tabla 1 de la actividad 5, teniendo 
en cuenta que 65π 3 se encuentra en el cuarto cuadrante.
Ejemplo 12
Determina el valor de cot −




19π
6
.
Solución
Se tiene que:
−
14π
6
=
10π
6
2(2)π−
donde 0 10 6 2≤ <π π . Como 10π 6 es un ángulo del cuarto cuadrante 
entonces 10π 6 y su ángulo asociado A’ mantienen la relación 10π 6 2π+ ′ =A , de 
modo que ′ =A 2π 6. Además, en el cuarto cuadrante la función cotangente es ne-
gativa. De modo que − −( ) ( )cot 19π 6 = cot 2π 6 = 1 3− .
Con un poco de práctica resolver este tipo de ejercicios se volverá una 
labor muy sencilla de realizar.
En el método de reducción al primer cuadrante, descrito en la Observación 
6 y utilizado en los tres ejemplos anteriores, se utiliza el ángulo asociado A’, cuyos 
lados son el lado terminal de la representación de A y la parte negativa del eje X, o 
bien, la parte positiva del eje X. Motivo por el cual se dice que el método de reduc-
ción es con respecto a los ángulos de 180° y 360°. ¿Cómo crees que sería la reduc-
ción de ángulos al primer cuadrante con respecto a los ángulos de 90° y 270°? Es 
decir, ¿cómo crees que quedaría enunciado la Observación 6, si en vez de determinar 
las funciones de un ángulo A en términos de A’, las determináramos en términos del 
ángulo que se forma con el lado terminal de la representación de A y la parte positiva 
del eje Y, o bien, la parte negativa? 
22
Temas selectos de matemáticas II
Síntesis 
En equipos de cuatro, realicen lo que se les pide.
Para un ángulo A cualquiera:
1. Den una definición, similar al de ángulo asociado A’, para el ángulo determina-
do por el lado terminal de la representación de A y el eje Y. Representaremos a 
dicho ángulo por A’’ y lo llamaremos ángulo coasociado de A.
2. Elaboren la siguiente tabla, en la cual se debe especificar qué tipo de relación 
existe entre el ángulo A, cuando 0 ≤ <A 2π, y su ángulo coasociado A’’ según 
el cuadrante al que dicho ángulo pertenezca (sugerencia: ver la actividad 2 y 3).
Cuadrante al 
que pertenece 
A
I 
cuadrante
II 
cuadrante
III 
cuadrante
IV 
cuadrante
Relación entre A 
y A’’ 
3. Den un método de reducción de ángulos al primer cuadrante, similar al men-
cionado en la Observación 6, pero en el cual se determinen los valores de las 
funciones trigonométricas de A en términos de las funciones trigonométricas de 
A’’ (tal método de reducción se dice que es con respecto a los ángulos de 90° y 
270°).
4. Señalen similitudes y diferencias entre ambos tipos de reducción.
5. Compartan sus respuestas con sus compañeros y con ayuda de su profesor re-
dacten un único método de reducción de ángulos al primer cuadrante con res-
pecto a los ángulos de 90° y 270°.
6. Determina el valor de todas las funciones trigonométricas de los siguientes án-
gulos (empleen ambos métodos de reducción).
a) 8π
3
b) -
11π
3
c) 
3π
4
d) −
π
6
e) −
35π
6
f) −
13π
3
g) −
60007π
2
h) 
888880005π
4
23
Bloque I: Empleas funciones trigonométricas de 
ángulos en cualquier magnitud
Sesión 3. Análisis trigono-
métrico
Criterios
• Describo las identidades trigonométricas obtenidas para la suma y di-
ferencia de ángulo, así como las relaciones existentes entre la suma y 
producto del seno y coseno.
• Demuestro diversas identidades trigonométricas mediante el análisis de 
las relaciones existentes entre las funciones de los ángulos. 
• Participo de manera colaborativa en la solución de una situación del con-
texto, a partir de la modelación de la misma.
• Muestro apertura hacia las alternativas propuestas para resolver un pro-
blema trigonométrico y situaciones que los implican.
Contextualización 
Ahora que ya podemos determinar 
el valor de las funciones trigono-
métricas para cualquier ángulo, es 
momento de estudiar algunas rela-
ciones que se dan entre tales fun-
ciones. Una de dichas relaciones es 
determinar el valor de las funciones, 
cuando su argumento es lasuma 
de dos ángulos, en términos de ex-
presiones en las que los argumen-
tos sean simples (por ejemplo, el 
determinar el valor de sen(A+B) en 
términos de funciones cuyo ángulos 
sean solo uno de los sumandos A o 
B). Una vez hecho esto, mencionaremos ciertos casos particulares como las relacio-
nes de ángulos dobles, triples y mitad. Posteriormente utilizaremos dichas relaciones 
para demostrar una gran variedad de identidades trigonométricas. Empecemos re-
cordando ciertas identidades trigonométricas elementales.
Imagen 1.5
Recuerda que por 
argumento de una 
función trigonométrica 
nos referimos a su 
ángulo. 
24
Temas selectos de matemáticas II
Problematización
1. Con ayuda del círculo unitario, da una justificación a cada una de las siguientes 
identidades trigonométricas:
• sen2 2 1A A+ =cos
• sec tan2 21A A= +
• csc cot2 21A A= +
2. Al resolver la actividad debiste llegar a las identidades (si no fue así, entonces 
demuéstralas). 
• sen
π
2
A A= −




cos
 
• cos sen
π
2
A A= −




• tan cotA A= −




π
2
• cot tanA A=




π
2
-
• sec cscA A= −




π
2
• sen cscA A = 1
• csc secA A = 1
• tan cotA A = 1
Todas las identidades mostradas son identidades trigonométricas elemen-
tales y resultarán muy importantes en el desarrollo de la presente sesión, por lo que 
te sugerimos, en caso de ser necesario, que te familiarices con ellas.
Formación, adquisición, construcción 
y desarrollo de competencias
Relaciones para la suma y diferencia de ángulos
Empezaremos por tratar de hallar una expresión para el seno de una suma de dos 
ángulos en términos de funciones trigonométricas cuyo argumento sea sólo uno de 
los sumandos. Es decir, determinaremos el valor de sen(A+B) en términos de funcio-
nes cuyos argumentos sean A o bien B, pero no su suma.
Actividad 8
En la siguiente figura el arco es parte de la circunferencia unitaria. En equipos de cua-
tro observen detenidamente dicha figura y den una justificación a cada afirmación 
enunciada en la tabla que sigue. 
25
Bloque I: Empleas funciones trigonométricas de 
ángulos en cualquier magnitud
Gráfica 1.10
Y
O
r
q
X
U W q’ p
S
T
B
A
V
Afirmación Justificación
∆ ′ ∆q Oq WOV, y ∆SrV son rectángulos
∠ = ∠STV OTU
∆ ′ ∆q Oq WOV, y ∆SrV son semejantes 
VW B Acos = sen 1 y rS B Asen = cos 1 
VW A B= sen cos y rS B A= sen cos 
sen A B SU rS VW rS+( ) = + = +
sen sen senA B A B B A+( ) = +cos cos
Compartan sus respuestas con el resto de sus compañeros.
Noten que en la actividad 8 se tienen que A, B y A+B son todos ángulos 
agudos. Sin embargo, la relación obtenida es válida para cualquier par de ángulos. 
Por tanto, hemos obtenido nuestra primera relación.
sen sen sen (1 )( ) cos cosA B A B B A+ = + 
En realidad la relación (1) es una identidad trigonométrica, debido a que la 
igualdad se cumple sin importar quienes sean los ángulos A y B.
Ejemplo 13
Determina el valor de ( )sen 5π 12 sin el uso de calculadora.
Solución
Para poder usar la identidad (1) debemos ser capaces de expresar 5π 12 
como la suma de dos ángulos cuyas funciones trigonométricas conozcamos. En este 
caso podemos ver que 5π 12=π 6+π 4 , de modo que:
26
Temas selectos de matemáticas II
sen
5π
12
=sen
π
6
+
π
4
=sen
π
6
cos
π
4
+sen
π
4
c
















oos
π
6




=








+









 =
+1
2
1
2
1
2
3
2
3 1
2 2
Hemos dado el paso principal, pues podemos determinar otras fórmulas 
a partir de (1) utilizando sólo identidades trigonométricas. Veamos el siguiente par 
de ejemplos.
Ejemplo 14
Determinar una fórmula para el coseno de una suma de dos ángulos (re-
cuerda que la fórmula debe estar en términos de funciones con argumento simple).
Solución 
Sabemos que la relación cos2 21C C= − sen es una identidad, por lo que se 
cumple para cualquier ángulo C, en particular se cumple para C=A+B. De modo que
cos( ) ( ) ( cos cos )A B A B A B B A+ = − + = − +1 12 2sen sen sen
Donde hemos utilizado la identidad (1). Además,
( cos cos ) cos cos cos cossen sen sen sen sen senA B B A A B A B A B B+ = + +2 2 2 22 22 A (2 )
En la cual, sen 2 2 2 2 2 2 21A B A B B A Bcos ( cos )cos cos cos cos= − = − (3) y 
sen sen sen sen sen sen 22 2 2 2 2 21B A B A B A Bcos ( )= − = − (4) 
Por lo tanto, remplazando (3) y (4) en el radicando, se tiene:
1 2− +( cos cos )sen senA B B A
 = − + − − +1 22 2 2 2 2 2cos cos cos cos cosB A B A B A B B A Bsen sen sen sen sen
= − − + − +( cos ) cos cos cos1 22 2 2 2 2B B A B A B A B A Bsen sen sen cos sen sen2 
= + −( ) (cos cos cos )0 2A B A Bsen
Finalmente, obtenemos que:
cos( ) (cos cos cos ) cos cos cosA B A B A B A B A B+ = − = −sen sen2
Así, nuestra segunda identidad es cos( ) cos cos cos .A B A B A B+ = − sen
Ejemplo 15 
Determina una fórmula para tan(A+B).
27
Bloque I: Empleas funciones trigonométricas de 
ángulos en cualquier magnitud
Solución
Tenemos que:
tan( )
( )
cos( )
cos cos
cos cos
A B
A B
A B
A B B A
A B A
+ =
+
+
=
+
−
sen sen sen
sen sennB
Dividiendo el numerador y denominador de la última fracción entre 
cosAcosB:
tan( )
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
A B
A B B A
A B
A B senAsenB
A
+ =
+
−
sen sen
BB
A B
A B
=
+
−
tan tan
tan tan1
 
De modo que una identidad para la tangente de una suma queda de la 
siguiente manera:
tan( )
tan tan
tan tan
A B
A B
A B
+ =
+
−1
Actividad 9
Determina una fórmula para cot(A+B), sec(A+B) y csc(A+B), (recuerda que 
cot tan ,sec cosA A A A= =1 1 y csc A A= 1 sen ).
Comparte tus resultados con tus compañeros y con ayuda de su profesor anoten los 
resultados correctos en la pizarra. Después anoten los resultados en su libreta, ya 
que, como imaginarás, serán de utilidad.
Ahora toca el turno a las funciones cuyo argumento es la diferencia de dos 
ángulos, pero dichas fórmulas se obtienen de manera directa de las relaciones para 
la suma de ángulos. Observemos el caso de sen(A-B): 
sen sen sen sen( ) ( ( )) cos( ) ( )cosA B A B A B B A− = + − = − + −
Ahora bien, por el inciso 3 de la actividad 5, tenemos que cos(-B) = cosB y 
sen(-B) = -senB. Utilizando dichas igualdades obtenemos que:
sen sen sen( ) cos cosA B A B B A− = −
Ejemplo 16
Determina el valor de ( )sen 5π 12 sin el uso de calculadora.
Solución
Podemos ver que:
sen
π
12
=sen
π
3
-
π
4
=sen
π
3
cos
π
4
-sen
π
4
























cos
π
3
=










−








=
−3
2
1
2
1
2
1
2
3 1
2 2
28
Temas selectos de matemáticas II
Actividad 10
Utilizando un procedimiento semejante al descrito en el párrafo anterior, demuestra 
las siguientes identidades trigonométricas:
• cos( ) cos cosA B A B A B+ = − sen sen
• 
tan( )
tan tan
tan tan
A B
A B
A B
− =
−
+1
También determina las fórmulas para cot( )A B− , sec( )A B− y csc( )A B− 
con ayuda de la actividad 9. 
Comparte tus resultados con tus compañeros y con ayuda de su profesor 
anoten los resultados correctos en la pizarra. Es importante anotar dichos resultados.
Relaciones de ángulos dobles, triples y mitad
Como hemos visto en los ejemplos y actividades anteriores, para deducir una rela-
ción de sen(A+B) fue necesario el uso de geometría, ya que no contábamos anterior-
mente con alguna identidad en la que el argumento fuese una suma. Una vez hecho 
esto, el deducir una relación para las demás funciones trigonométricas fue, como 
podrás darte cuenta, relativamente sencillo, ya que todas las funciones trigonomé-
tricas se encuentran relacionadas por medio de las “identidades trigonométricas ele-
mentales”. Es, por tanto, realmente necesario que no sólo te familiarices con tales 
identidades, incluyendo las identidades de suma y diferencia de ángulos que acabas 
de obtener, sino que en verdad las pongas en práctica; ya que son herramientas en 
verdad fundamentalesen la resolución de distintos problemas. Continuemos viendo 
la utilidad de dichas herramientas en la siguiente actividad.
Actividad 11
Realiza lo que se te pide.
1. Determina una relación para sen(2A). Nota que sen(2A) = sen(A+A), ¿es esta 
observación realmente útil?
2. Determina una relación para cos(2A).
3. Determina una relación para sen(3A). Nota que sen(3A) = sen(A+(2A)), los inci-
sos 1 y 2 pueden ser de utilidad.
4. Determina una relación para cos(3A).
5. Comparte tus respuestas con tus compañeros y con ayuda de su profesor escri-
ban en la pizarra las relaciones correctas para sen(2A), cos(2A), sen(3A) y cos(3A), 
tales relaciones son conocidas como relaciones de ángulos dobles y triples. Des-
pués anoten los resultados en su libreta.
Es momento de determinar relaciones para los ángulos mitad. Mostraremos 
el “procedimiento” en la obtención de una de tales relaciones por medio de un ejem-
plo. La obtención de las demás relaciones te será propuesta como otra actividad.
29
Bloque I: Empleas funciones trigonométricas de 
ángulos en cualquier magnitud
Ejemplo 17
Determina una relación para sen(A/2).
Solución
Lo que intentamos hacer es expresar sen(A/2) en términos de funciones 
cuyo ángulo sea A; puede no ser claro el camino a seguir, de hecho, muchas veces es 
así. Es por eso que resulta fundamental la práctica. En fin, empecemos:
Como resultado de la práctica 11, obtuvimos la identidad 
cos( ) cos2 2 2B B B= − sen . Pero sabemos que cos2 21B B= − sen , de modo que pode-
mos reescribir la primera identidad como cos( )2 1 2B B= − sen ; recordemos que, por 
ser una identidad, se cumple para cualquier ángulo B, en particular cuandoB A= 2 . 
Por tanto tenemos la identidad cos ( )A A= −1 2 22sen , de la cual al despejar sen(A/2) 
obtenemos que:
sen
A A
2
1
2




=
− cos
 es la identidad buscada.
Ejemplo 18
Determina el valor de sen( π 8 ) sin usar la calculadora.
Solución
Nos damos cuenta de que:
sen
π
8
=sen
π 4
2
=
1-cos( π 4 )
2
=
1-(1 2)
2








=
−2 1
2 2
Actividad 12
Determina las relaciones para cos(A/2), tan(A/2), cot(A/2), sec(A/2) y csc(A/2).
Como siempre, compartan sus respuestas y lleguen a una conclusión. Anoten los 
resultados.
Relaciones de seno y coseno de sumas a productos
Para finalizar esta sesión, sólo nos hace falta determinar las relaciones para el pro-
ducto de las funciones seno y coseno. Es decir, buscamos relaciones para senAcosB, 
senAsenB, cosAcosB y cosAsenB. Nuevamente, sólo determinaremos una de tales 
relaciones, dejándote las demás como una actividad.
Ejemplo 19
Determina una relación para senAcosB.
Solución
Notemos que la expresión senAcosB aparece en las identidades:
sen sen sen( ) cos cosA B A B B A+ = + y sen sen sen( ) cos cosA B A B B A− = −
30
Temas selectos de matemáticas II
Sumando ambas ecuaciones, miembro a miembro, obtenemos la siguiente 
identidad:
sen sen sen( ) cosA B A B A B+ + −( ) = 2
De la cual, al despejar senAcosB obtenemos:
sen
sen sen
A B
A B A B
cos =
+( ) + −( )
2
Síntesis
De acuerdo a los elementos aprendidos en la presente sesión realiza lo que se te 
pide:
1. Determina la cotangente de π 8 de 2 maneras distintas.
2. Si A es un ángulo del cuarto cuadrante y senA = − 3 2 , hállese el valor de 
sen( ) cot .2 2A A+ ( )
3. Expresa sen( )3A en términos de cot A 2( ) . 
4. Demuestra las siguientes identidades:
a) 1 2 2+ =tan( )tan secA A A
b) 
sen
sen
( )
( )
tan tan
tan tan
A B
A B
A B
A B
+
−
=
+
−
5. Determina relaciones para sen sen senA B A B A Bcos , ,cos cos y cosA Bsen .
Realimentación
Con la intención de reafirmar los conocimientos adquiridos es necesario que reali-
ces actividades de metacognición, es decir, de frente al mapa de aprendizaje que te 
presentamos a continuación, midas el avance que tienes y puedas determinar los 
apoyos que requieres para lograr niveles óptimos de complejidad en cada uno de 
los criterios que se incluyen.
Lo anterior puedes resumirlo en un diagrama, que te facilite el proceso de 
reforzamiento. Es importante que al final de cada bloque, lo compartas con tu facili-
tador y, desde luego, con tus compañeros.
31
Bloque I: Empleas funciones trigonométricas de 
ángulos en cualquier magnitud
Proyecto
Es momento de trabajar en el proyecto. 
Proyecto: Aplicación de las identidades trigonométricas.
Problema: Demostrar las identidades de seno y coseno de sumas a productos.
• sen sen senA B
A B A B
+ =
+



−



2
2 2
cos
• sen sen senA B
A B A B
− =
−



+



2
2 2
cos
• cos cos cos cosA B
A B A B
+ =
+



−



2
2 2
• cos cosA B
A B A B
+ =
+



−



2
2 2
sen sen
32
Temas selectos de matemáticas II
Evaluación de la competencia
Criterio Pre-for-
mal
Inicial-re-
ceptivo
Resolutivo-
básico Autónomo Estratégico
Identifico el concepto 
de representación 
en el plano cartesia-
no de un ángulo de 
cualquier magnitud.
No cuento 
con elementos 
conceptuales 
que me permi-
tan asociar un 
ángulo con su 
representación 
en el plano car-
tesiano rectan-
gular.
Comprendo las 
características del 
plano cartesiano 
rectangular y el 
concepto de án-
gulo, aunque no 
logro representar 
ángulos de cual-
quier magnitud.
Represento ángu-
los de cualquier 
magnitud en el 
plano cartesiano 
rectangular.
Identifico el 
concepto de re-
presentación en 
el plano cartesia-
no de un ángulo 
de cualquier 
magnitud.
Identifico el con-
cepto de repre-
sentación en el 
plano de ángulos 
de cualquier mag-
nitud y compren-
do la utilidad del 
mismo.
Identifico el án-
gulo asociado a la 
representación de un 
ángulo dado.
No comprendo 
los concep-
tos de ángulo 
asociado a la 
representación 
de un ángulo.
Identifico la re-
presentación de 
un ángulo, pero 
no visualizo el 
ángulo asociado.
Identifico el án-
gulo asociado a la 
representación de 
un ángulo dado.
Identifico algunas 
de las caracterís-
ticas de la repre-
sentación de un 
ángulo dado.
Valoro la utilidad 
del ángulo asocia-
do a la repre-
sentación de un 
ángulo dado.
Comprendo el 
concepto de las 
funciones trigonomé-
tricas para un ángulo 
arbitrario. 
Identifico 
algunas ideas 
básicas so-
bre razones 
trigonométri-
cas, pero no el 
concepto de 
función trigono-
métrica de un 
ángulo.
Comprendo el 
concepto de 
función, pero no 
logro asociarlo a 
las razones trigo-
nométricas de un 
ángulo arbitrario.
Comprendo el 
concepto de 
funciones trigo-
nométricas para 
ángulos agudos.
Comprendo el 
concepto de 
las funciones 
trigonométricas 
para un ángulo 
arbitrario. 
Identifico algunas 
características 
de las funciones 
trigonométricas 
para un ángulo 
arbitrario.
Explico la validez 
del empleo de la 
reducción de ángulos 
al primer cuadran-
te para determinar 
los valores de las 
funciones trigonomé-
tricas de un ángulo 
arbitrario.
Comprendo 
el concepto 
de reducción, 
pero no logro 
asociarlo al 
correspondiente 
a ángulos en un 
cuadrante del 
plano cartesia-
no rectangular y 
en consecuencia 
no puedo expli-
car la validez. 
Comprendo la 
reducción de 
ángulos de cual-
quier medida al 
primer cuadran-
te, pero no la 
forma de obtener 
las funciones 
trigonométricas 
de éste.
Identifico los 
elementos que 
me permiten 
determinar las 
funciones trigo-
nométricas de 
cualquier ángulo, 
reduciéndolos al 
primer cuadrante.
Comprendo 
algunos elemen-
tos para argu-
mentar la validez 
del proceso de 
reducción de 
ángulos al primer 
cuadrante, para 
determinar sus 
funciones trigo-
nométricas.
Explico la validez 
del empleo de 
la reducción de 
ángulos al primer 
cuadrante para 
determinar los 
valores de las 
funciones trigo-
nométricas de un 
ángulo arbitrario.
33
Bloque I: Empleas funciones trigonométricas de 
ángulos en cualquier magnitud
Describo las identida-
des trigonométricas 
obtenidas para la 
suma y diferencia de 
ángulo, así como las 
relaciones existen-
tes entre la suma y 
producto del seno y 
coseno.
Conozco las 
identidades 
trigonométricas 
básicas,pero 
no identifico las 
correspondien-
tes a la suma 
y diferencia de 
ángulos. De la 
misma manera 
no comprendo 
las relaciones 
entre la suma 
y producto de 
seno y coseno.
Identifico las 
identidades 
trigonométri-
cas de la suma 
y diferencia de 
ángulos, pero 
no cuento con 
elementos que 
me permitan 
describirlas; 
de igual forma 
tengo dificultad 
para describir las 
relaciones entre 
la suma y pro-
ducto del seno y 
el coseno.
Describo las 
identidades 
trigonométricas 
obtenidas para la 
suma y diferencia 
de ángulo.
Describo las 
identidades 
trigonométricas 
obtenidas para la 
suma y diferencia 
de ángulo, así 
como las rela-
ciones existentes 
entre la suma 
y producto del 
seno y coseno.
Identifico algunos 
elementos de 
aplicación prácti-
ca de las identida-
des trigonométri-
cas para la suma 
y diferencia de 
ángulos y de las 
correspondien-
tes a la suma y 
producto de seno 
y coseno.
Establezco los valores 
de las funciones 
trigonométricas 
correspondientes a 
un ángulo arbitra-
rio a partir de las 
funciones trigonomé-
tricas de su ángulo 
asociado.
Identifico el 
ángulo asociado 
a la represen-
tación de un 
ángulo dado, 
pero no puedo 
emplearlo para 
establecer los 
valores de las 
funciones trigo-
nométricas del 
mismo.
Comprendo 
algunos elemen-
tos del proceso 
para determinar 
los valores de 
las funciones 
trigonométricas 
correspondientes 
a un ángulo, a 
partir de las pro-
pias de su ángulo 
asociado.
Establezco 
los valores de 
las funciones 
trigonométricas 
correspondientes 
a un ángulo del 
primer cuadrante 
a partir de las 
funciones trigo-
nométricas de su 
ángulo asociado.
Establezco 
los valores de 
las funciones 
trigonométricas 
correspondien-
tes a un ángulo 
arbitrario a partir 
de las funciones 
trigonométricas 
de su ángulo 
asociado.
Establezco los 
valores de las fun-
ciones trigono-
métricas corres-
pondientes a un 
ángulo arbitrario 
a partir de las 
funciones trigo-
nométricas de su 
ángulo asociado, 
por métodos 
diversos.
Demuestro diversas 
identidades trigono-
métricas mediante 
el análisis de las 
relaciones existentes 
entre las funciones de 
los ángulos. 
Comprendo 
el concepto 
de identidad 
trigonométrica 
pero no logro 
aplicarlo en el 
proceso de de-
mostración de 
las mismas.
Identifico la 
demostración 
de identidades 
trigonométricas, 
y las relaciones 
existentes entre 
las funciones de 
los ángulos, pero 
no logro aplicar 
estos elementos.
Demuestro algu-
nas identidades 
trigonométricas 
básicas, a través 
del uso de otras, 
pero no empleo 
las relaciones 
existentes entre 
las funciones de 
los ángulos.
Demuestro diver-
sas identidades 
trigonométricas 
mediante el 
análisis de las 
relaciones exis-
tentes entre las 
funciones de los 
ángulos. 
Demuestro diver-
sas identidades 
trigonométricas 
mediante el 
análisis de las 
relaciones exis-
tentes entre las 
funciones de los 
ángulos e incluso 
mediante la apli-
cación de diversas 
propiedades de 
las mismas.
34
Temas selectos de matemáticas II
 Valoro los elemen-
tos asociados a la 
representación de un 
ángulo para determi-
nar los valores de sus 
funciones trigonomé-
tricas.
No muestro 
interés por el 
aprendizaje de 
la represen-
tación de un 
ángulo.
Muestro algún 
interés en cono-
cer lo relativo a 
la representación 
de un ángulo 
para obtener el 
valor de sus fun-
ciones trigono-
métricas.
Me intereso por 
el aprendizaje de 
algunos métodos 
para la obtención 
de las funciones 
trigonométricas 
de un ángulo.
 Valoro los 
elementos 
asociados a la 
representación 
de un ángulo 
para determinar 
los valores de sus 
funciones trigo-
nométricas.
Promuevo el 
aprendizaje de 
los elementos 
asociados a la 
representación 
de un ángulo 
para determinar 
los valores de sus 
funciones trigo-
nométricas.
Muestro apertura 
hacia las alternati-
vas propuestas para 
resolver un problema 
trigonométrico y 
situaciones que los 
implican.
Muestro apatía 
para resolver 
problemas de 
índole trigono-
métrica.
Muestro inte-
rés en resolver 
situaciones que 
implican aspec-
tos trigonomé-
tricos, a través 
de algún método 
específico.
Demuestro algún 
interés en escu-
char propuestas 
para resolver un 
problema trigo-
nométrico.
Comparto las 
alternativas de 
solución a pro-
blemas trigo-
nométricos que 
aplico continua-
mente.
Muestro apertura 
hacia las alterna-
tivas propuestas 
para resolver 
un problema 
trigonométrico y 
situaciones que 
los implican.
35
Bloque I: Empleas funciones trigonométricas de 
ángulos en cualquier magnitud
Bloque II. Aplicas ecuaciones 
trigonométricas y funciones 
trigonométricas inversas
objetos de aprendizaje
•	 Solución	general	de	una	ecuación	trigonométrica.
•	 Solución	general	de	un	sistema	de	ecuaciones	trigonométricas.
•	 Funciones	trigonométricas	inversas.
•	 Identidades	de	funciones	trigonométricas	inversas.
•	 Situaciones	en	los	que	se	presentan	ecuaciones	trigonométricas.	
Desempeños del estudiante al concluir 
el bloque
•	 Resuelve	situaciones	teóricas	y	del	contexto	a	través	del	método	
que	corresponda	a	la	ecuación	planteada.
•	 Argumenta	la	naturaleza	de	la	solución	general	de	una	ecuación	
trigonométrica,	así	como	la	de	un	sistema	de	ecuaciones	trigo-
nométricas,	con	métodos	analíticos	y	gráficos.	
Competencias a desarrollar
•	 Construye	e	interpreta	modelos	matemáticos	mediante	la	apli-
cación	de	procedimientos	aritméticos,	algebraicos,	geométricos	
y	 variacionales,	 para	 la	 comprensión	 y	 análisis	 de	 situaciones	
reales,	hipotéticas	o	formales.
•	 Formula	y	resuelve	problemas	matemáticos	aplicando	diferen-
tes	enfoques.
•	 Explica	e	interpreta	los	resultados	obtenidos	mediante	procedi-
mientos	matemáticos	y	los	contrasta	con	modelos	establecidos	
o	situaciones	reales.
•	 Argumenta	la	solución	obtenida	de	un	problema,	con	métodos	
numéricos,	gráficos,	analíticos	o	variacionales,	mediante	el	len-
guaje	verbal,	matemático	y	el	uso	de	las	Tecnologías	de	la	Infor-
mación	y	la	Comunicación.
•	 Analiza	las	relaciones	entre	dos	o	más	variables	de	un	proceso	
social	o	natural	para	determinar	o	estimar	su	comportamiento.
•	 Escucha,	 interpreta	 y	 emite	mensajes	 pertinentes	 en	 distintos	
contextos	mediante	 la	utilización	de	medios,	códigos	y	herra-
mientas	apropiados.
•	 Desarrolla	 innovaciones	 y	 propone	 soluciones	 a	 problemas	 a	
partir	de	métodos	establecidos.
•	 Participa	y	colabora	de	manera	efectiva	en	equipos	diversos.
Sesión 1. Concepto y 
resolución parcial de una 
ecuación trigonométrica
 Criterios
•	 Identifico	la	solución	general	que	corresponde	una	ecuación	trigonomé-
trica,	a	partir	de	su	solución	parcial	en	el	intervalo	[0,2π).	
•	 Identifico	el	método	de	solución	más	adecuado,	de	acuerdo	a	la	forma	de	
la	ecuación	trigonométrica	en	cuestión.
•	 Determino	la	solución	general	que	corresponde	una	ecuación	trigonomé-
trica,	a	partir	de	su	solución	parcial	en	el	intervalo	[0,2π).
•	 Valoro	la	solución	parcial	que	corresponde	a	una	ecuación	trigonométrica,	
para	determinar	la	solución	general	de	la	misma.
•	 Aprendo	por	iniciativa	e	interés	propios	los	distintos	métodos	de	solución	
de	una	ecuación	trigonométrica.
Contextualización
A	lo	largo	de	tu	formación	académica	sin	duda	te	habrás	encontrado	con	las	palabras	
ecuación	e	identidad.	
También	es	posible	que	las	hayas	uti-
lizado	 indistintamente	 como	 si	 fuesen	 sinóni-
mos;	es	común	que	esto	suceda	en	algún	mo-
mento;	 sin	embargo,	es	 importante	 saber	que	
dichas	palabras	en	Matemáticas	no	representan	
lo	 mismo.	 A	 modo	 de	 ejemplo	 consideremos	
la	expresión sen x cos x2 2 1+ = ,	que	es	un	ejem-
plo	de	identidad	y	es	así	porque	la	igualdad	se	
da	siempre,	sin	 importar	el	valor	del	ángulo	x.	
En	contraste,	 la	expresión	 senx = 1 ,	es	un	cla-
ro	 ejemplo	 de	 una	 ecuación,	 ya	 que	 la	 igual-
dad	 sólo	 se	 da	 para	 ciertos	 valores	 (ángulos)	
x,	 mientras	 que	 para	muchos	 otros	 valores	 la	
igualdad	no	se	cumple,	por	ejemplo,	si	x	=	0,	la	
igualdad	no	se	da	puesto	que	para	estevalor	se	
tiene	sen(0)	=	0.
Imagen	2.1.	Las	pirámides	de	Egipto	se	 realizaron	
mediante	funciones	trigonométricas	muy	precisas.
38
Temas selectos de matemáticas II
En	este	bloque	estaremos	interesados	en	el	estudio	de	las	ecuaciones	tri-
gonométricas,	para	 ser	más	específicos,	 estaremos	 interesados	en	 resolver	dichas	
ecuaciones.	
Problematización
Como	sabrás,	 resolver	una	ecuación	en	una	 incógnita	es	encontrar	 los	valores	de	
esta	última,	para	los	cuales	la	igualdad	se	verifica.	De	manera	muy	similar,	el	resolver	
una	ecuación	trigonométrica	es	encontrar	los	valores	del	ángulo	para	los	cuales	la	
ecuación	se	satisface.
Para	comenzar	con	el	estudio	de	este	bloque	considera	la	ecuación	trigo-
nométrica	 cos cos2x x= 	y	responde.	
1.	 ¿Cuáles	son	los	siguientes	ángulos	que	satisfacen	la	ecuación?
0,π
3
, 2π
3
,5π
6
, 4π
3
, 3π
2
, 8π
9
2.	 ¿Puedes	determinar	 otras	 soluciones	para	 la	 ecuación	 cos cos2x x= 	 a	
partir	de	la	respuesta	a	la	pregunta	anterior?
Formación, adquisición, construcción 
y desarrollo de competencias
En	realidad	no	existe	ningún	método	general	para	resolver	ecuaciones	trigonomé-
tricas,	sin	embargo,	existen	algunas	sugerencias	que	resultan	de	mucha	utilidad	al	
momento	de	resolver	una	ecuación	trigonométrica.	A	continuación	las	enunciamos	
enlistadas	en	forma	de	pasos.	
Sugerencias	para	resolver	una	ecuación	trigonométrica.
•	 Primer paso.	Expresar	todas	las	funciones	trigonométricas	de	la	ecuación	
en	términos	de	funciones	de	un	mismo	ángulo.
•	 Segundo paso.	Expresar	la	ecuación	obtenida	en	términos	de	una	única	
función	trigonométrica.
•	 Tercer paso.	Resolver	de	manera	algebraica	la	ecuación	considerando	a	
la	única	función	trigonométrica	de	tal	ecuación	como	la	incógnita.
Como	mencionamos	anteriormente,	estos	tres	pasos	no	son	más	que	sim-
ples	sugerencias	que	en	la	mayoría	de	los	casos	resultan	de	gran	utilidad.	Además,	
cabe	señalar	que	no	es	necesario	que	al	resolver	una	ecuación	trigonométrica	tenga-
En el presente bloque 
representaremos a 
los ángulos mediante 
letras como x y y, sólo 
para tener presente 
que el ángulo es la 
incógnita de nuestra 
ecuación trigonomé-
trica.
39
Bloque II: Aplicas ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas
mos	que	emplear	los	pasos	en	un	determinado	orden;	incluso,	es	posible	que	cierto	
paso	no	sea	o	necesario	o	bien	que	al	usarlo	nuestra	ecuación	cambia	a	una	más	
complicada,	en	tales	situaciones	es,	por	tanto,	preferible	prescindir	de	dicho	paso.	
También	debemos	 tener	 siempre	 presente	 que	 el	 solo	 conocimiento	de	
tales	 sugerencias	no	 resulta	 suficiente	al	momento	de	atacar	una	ecuación,	pues,	
como	veremos	muy	pronto,	otra	herramienta	fundamental	es	el	dominio	de	todas	
las	identidades	trigonométricas,	 las	cuales	hemos	estudiado	en	el	bloque	anterior,	
ya	que	esto	nos	permitirá	simplificar	demasiadas	expresiones	que	a	simple	vista	nos	
pueden	parecer	difíciles	de	trabajar.	Existen	otras	observaciones	que	iremos	comen-
tando	conforme	se	presenten,	en	los	siguientes	ejemplos,	las	situaciones	a	las	que	
corresponden.	
Ilustremos	las	sugerencias	anteriores	por	medio	del	siguiente	ejemplo:
Ejemplo 1
Resuelve	la	siguiente	ecuación:
cos cos2 1x x+ = (1) 		
En	el	 intervalo	 [ ,0 2π),	 es	decir,	encuentra	 todos	 los	ángulos	x	 tales	que	
0 ≤ <x 2π	que	son	soluciones	de	la	ecuación	(1).
Solución
Primer paso.	Expresar	todas	las	funciones	trigonométricas	de	la	ecuación	
en	términos	de	funciones	de	un	mismo	ángulo.
Al	observar	la	ecuación	(1),	vemos	que	aparecen	los	ángulos	2x	y	x,	así	que	
expresaremos	cos2x	en	términos	de	funciones	del	ángulo	simple	x.	Para	hacer	esto	
recordaremos	la	siguiente	identidad	de	ángulo	doble:
cos cos2 2 2x x x= − sen
De	modo	que	usando	la	identidad	anterior	podemos	reescribir	la	ecuación	
(1)	como:
cos cos2 1x x x− + =sen (2)2
	 con	 todo	 esto	 hemos	
realizado	el	primer	paso.
Segundo paso.	Expresar	 la	ecuación	obtenida	en	términos	de	una	única	
función	trigonométrica.	
La	 función	en	 términos	de	 la	 cual	 debemos	expresar	 la	 ecuación	 (2)	 no	
es	alguna	en	particular,	 sino	que	es	 la	que	nosotros	consideremos	adecuada.	Por	
ejemplo,	dado	que	la	ecuación	(2)	está	en	términos	del	seno	y	el	coseno	entonces	
tenemos	dos	posibles	opciones:
a)	 Expresar	la	ecuación	(2)	en	términos	del	seno,	y	por	tanto	usaríamos	la	
identidad	 cos senx x= −1 2 	para	reemplazar	cosx.	En	este	caso	obten-
dríamos	la	ecuación	 − + − =2 1 02sen sen2x x .
b)	 Expresar	la	ecuación	(2)	en	términos	del	coseno,	y	por	tanto	usaríamos	la	
identidad	 sen cosx x= −1 2 	para	reemplazar	senx.	En	este	caso	obten-
dríamos	la	ecuación	2 02cos cosx x+ = .
40
Temas selectos de matemáticas II
¿Cuál	de	las	dos	ecuaciones	obtenidas	en	los	incisos	anteriores	crees	que	
es	más	fácil	de	resolver?	¿En	términos	de	qué	función	crees	que	es	más	adecuado	
expresar	la	ecuación	(2)?	Es	claro	que	la	ecuación	obtenida	en	b)	parece	ser	más	fácil	
de	resolver	debido	a	que,	a	diferencia	de	la	ecuación	obtenida	en	a),	esta	no	posee	
radicales,	por	dicho	motivo	expresaremos	la	ecuación	(2)	en	términos	de	la	función	
cos x ,	obteniendo	la	ecuación:
2 02cos cos (3)x x+ = 	
Tercer paso.	Resolver	de	manera	algebraica	la	ecuación	considerando	a	la	
única	función	trigonométrica	de	tal	ecuación	como	la	incógnita.
Puede	que	este	tercer	paso	no	nos	quede	muy	claro	al	leerlo,	pero	lo	que	
quiere	decir	es	que	“veamos”	la	ecuación	como	una,	en	la	que	las	funciones	son	sim-
plemente	incógnitas,	y	después	procedamos	a	resolverla	algebraicamente.	Por	ejem-
plo,	continuando	con	el	ejemplo,	podemos	ver	a	la	ecuación	(3)	como	una	ecuación	
de	la	forma	 2 02a a+ = , la	cual	podemos	factorizar	como: a a2 1 0+( ) = , 	de	donde	
podemos	ver	que	las	soluciones	son	 a = 0 	y	 a = −1 2 .	Es	claro	que	no	es	necesa-
rio	cambiar	las	variables	para	resolver	nuestra	ecuación	trigonométrica,	nosotros	lo	
hemos	hecho	sólo	con	la	intención	de	ilustrar	lo	que	quería	dar	a	entender	el	tercer	
paso.
Después	de	haber	explicado	el	 tercer	paso	volvemos	a	nuestra	ecuación	
(3)	y	procedemos	a	resolverla	algebraicamente,	la	cual,	como	acabamos	de	ver,	se	
factoriza	como	 cos cos ,x x2 1 0+( ) = e	igualando	a	cero	cada	factor	tenemos	que
	 cos x = 0 (4) 	y	 cos x = − 1
2
 (5).
Las	soluciones	de	la	ecuación	(4)	en	el	intervalo	[ ,0 2π)	son	π 2 	y	3π 2;	
mientras	que	las	soluciones	de	la	ecuación	(5)	son	2π 3	y	4π 3.	De	modo	que	las	
soluciones	de	la	ecuación	(1)	en	el	intervalo[0,2π)son	π 2,2π 3,4π 3	y	3π 2.
Veamos	otros	ejemplos.
Ejemplo 2 
Resuelve	la	ecuación	 tan tanx x= 2 (6) 	en	el	intervalo	de	[0,2π).
Solución
Primer paso.	 Expresaremos	 tan2x	 en	 términos	de	 funciones	del	 ángulo	
simple	x.	Para	esto	recordemos	la	siguiente	identidad	de	ángulo	doble:
tan tan
tan
2 2
1 2
x x
x
=
−
 (7) 	
por	lo	que	al	usar	la	identidad	anterior	en	la	ecuación	(6)	obtenemos:	
tan tan
tan
x x
x
=
−
2
1 2
41
Bloque II: Aplicas ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas
Segundo paso.	El	segundo	paso	no	es	necesario,	ya	que	 la	ecuación	se	
encuentra	en	términos	de	una	única	función.	
Tercer paso.	 Resolvemos	 algebraicamente	 la	 ecuación	 considerando	 a	
tanx	como	la	incógnita.	
Observemos	que	al	multiplicar	la	ecuación	(7)	por	 1 2− tan x ,	obtenemos
tan tan tanx x x− =3 2
Esta	última	ecuación	se	reduce	a	 tan tan ,3 0x x+ = 	la	cual	podemos	facto-
rizar	como	 tan tanx x2 1 0+( ) = igualando	a	cero	cada	factor	obtenemos	que:
tan x = 0 (8) 		y	 tan2 1 0x + = (9) 	
Donde	las	soluciones	de	la	ecuación	(8)	en	el	intervalo	[0,2π)	son	 0 	y	π;	
mientras	la	ecuación	(9)	no	tiene	solución,	¿por	qué?
Observación 1.	Es	común	que	al	eliminar	denominadores	(tal	y	como	se	
hizo	en	este	ejemplo)	se	introduzcan	raíces	extrañas;	es	decir,	que	entre	las	solucio-
nes	que	hemos	obtenido	exista	alguna	que	en	realidad	no