Comportamiento plástico

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MASIAS GUILLEN ESTRUCTURAS
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Mecanica de materiales:Mecanica de materiales:
Comportamiento PlasticoComportamiento Plastico
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http://www.masiasguillen.com/
ContenidoContenido
✔ Lecciones aprendidas: consecuencias y conclusiones
✔ Comportamiento ductil: Diagramas esfuerzo-deformacion, 
tipos e hipotesis.
✔ Mecanismo de colapso: estructuras isostaticas, hiperestaticas y 
teoremas plasticos.
✔ Solicitaciones plasticas: axial- traccion y compresion, torsion 
y flexion- rotula y momento plasticos.
✔ Metodos del calculo estructural: Diagrama momento 
curvatura, Ductilidad, Mecanismo de falla, Calculo por 
capacidad, Teoria de falla plastica, fuerza cortante, fuerza 
axial, mecanismos complejos.
Lecciones aprendidasLecciones aprendidas
Lecciones aprendidasLecciones aprendidas
✔ A partir de lo estudiado o experiencias propias o ajenas.
✔ El comportamiento estructural:
– Distintos tipos de fuerzas ... distintos tipos de falla.
– El tipo de material influye en el comportamiento.
– Forma y ubicación de los elementos influyen.
– Característica y tipo de estructura ... apoyos y 
conexiones
✔ Importancia:
– La falla es inevitable.
– La falla debe ser controlable.
– No debe ocurrir el colapso total.
Sismo de Kobe, 1995Sismo de Kobe, 1995
✔ Sismo de 6,9 en la escala de Richter
✔ El 17 de enero de 1995
✔ Duración de 20 seg.
✔ Llamado de atención a errores conocidos.
Sismo de Kobe, 1995Sismo de Kobe, 1995
Volteo de autopista elevada por articulación en la base
Sismo de Kobe, 1995Sismo de Kobe, 1995
Cambio de comportamiento por falta 
de juntas laterales
Efecto de torsión sobre columnas del 
primer piso
Sismo de Pisco, 2007Sismo de Pisco, 2007
✔ Sismo de 7,9 en la escala de Richter.
✔ 15 de agosto del 2007.
✔ Duración de ¡2min y 55 segundos!.
✔ Errores constructivos en el sur ... ¿diseños en Lima?
Sismo de Pisco, 2007Sismo de Pisco, 2007
Falla general de edificaciones de 
adobe, falla fragil
Colapso del techo de iglesia.
Sismo de Pisco, 2007Sismo de Pisco, 2007
✔ Efectos en edificaciones de Lima.
Punzonado de losa
Falla por corte en tramo corto
Sismo de Chile, 2010Sismo de Chile, 2010
✔ Sismo de 6,2 en escala de Richter.
✔ 27 de febrero del 2010.
✔ Errores constructivos y de diseño.
✔ Optimización en función de la economía.
Sismo del Sur de Chile, 2010Sismo del Sur de Chile, 2010
Falla de conexión muro-viga en 
edificio sol orienteEfecto de piso blando y mecanismo 
de columna
Sismo de Chile, 2010
Perdida de estabilidad por piso débil.
Sismo de Chile, 2010
Sismo de Chile, 2010Sismo de Chile, 2010
Acero sobre pisos de 
albañilería y concreto
Efecto de aceleración en edificio 
comercial.
ConsecuenciasConsecuencias
✔ Fallas ya conocidas ... comportamientos estudiados y 
enseñados desde los 80's.
✔ Estructuras antiguas sin diseño actualizado y estructuras 
nuevas con diseños antiguos.
✔ Parchado del problema solo con cálculos computacionales … 
no se comprende la falla.
✔ Efectos posibles:
– Fallas en elementos estructurales ante sismos moderados.
– Colapso de estructuras, inclusive algunas modernas.
– Perdida de elementos de apoyo ante siniestros.
– Errores repetitivos.
ConclusionesConclusiones
✔ ¿Si un material incursiona en el rango plastico?
… ¿como predigo su comportamiento?.
✔ ¿Es bueno usar un elemento que tiene un comportamiento 
infinitamente elastico?.
✔ De dos estructuras, una isostatica y otra hiperestatica
… ¿Cuál es la mejor?.
✔ ¿Qué material es mejor usar?.
 … El ductil o el fragil.
✔ ¿Qué tipo de estructura es mejor?.
… Dúctil o el frágil.
Comportamiento ductilComportamiento ductil
Ensayos de laboratorioEnsayos de laboratorio
✔ Ensayo típico: tracción de probetas.
✔ Diagrama esfuerzo-deformacion.
Diagrama del aceroDiagrama del acero
✔ Acero dulce ... material ideal para diseño de maquinas y 
estructuras.
(Diagrama 
verdadero)
(Diagrama 
ingenieril)
✔ Otros materiales ... aluminio y cobre.
ClasificacionClasificacion
✔ Por composicion:
– Bajo (<0,25%), medio y alto 
carbono (>0,55%)
– Acero dulce ... bajo carbono
✔ Por aleacion:
– Alta aleacion (>5%) y Baja 
aleacion (<5%)
– Acero al carbono ... baja aleacion.
✔ Por resistencia:
– Común (<40ksi), alta resistencia 
y ultra alta resistencia (>200ksi).
Diagramas tipicos esfuerzo-deformacionDiagramas tipicos esfuerzo-deformacion
Lineal elastico No lineal elastico
Lineal 
elastoplastico
No lineal 
elastoplastico
Con zona de 
endurecimiento
Comportamiento plastico idealizadoComportamiento plastico idealizado
✔ El diagrama esfuerzo deformacion se puede idealizar:
✔ Comportamiento elastoplastico descrito por el diagrama de 
Prandtl.

e
f
ef 15ef
u

e
f
ef 15ef
HipotesisHipotesis
✔ Las cargas crecen desde cero hasta su valor especificado; con 
el esfuerzo de fluencia como punto insuperable.
✔ El material permanece ductil hasta la fractura. No aumenta la 
resistencia, las deformaciones son ilimitadas y pequeñas.
✔ Las uniones de una estructura deben ser capaces de transmitir 
el 100% de los esfuerzos.
✔ La ley de Hooke, ni el principio de superposicion son 
aplicables en el rango plastico.
✔ La sección, punto o barra de mayor esfuerzo es la que 
fluye primero.
✔ La plastificacion de una solicitacion no se ve afectada por las 
otras.
Teoremas plasticosTeoremas plasticos
Grado de hiperestaticidad (G)Grado de hiperestaticidad (G)
✔ Grado de hiperestaticidad:
✔ Para estructuras con rotulas:
– Por barras b llegan a rotulas ... e = b - 1
– Por simetria s de reacciones ... e = s
G=R−E
R = 3
E = 3
R-E = 0
Isostatica
R = 4
E = 3
R-E = 1
Hiperestatica
R = 2
E = 3
R-E = -1
Mecanismo
G=R−E−e
Estructura isostaticaEstructura isostatica
✔ Se estudiara un caso simple isostatico:
– Barras en A y B tienen un area de 2plg2, modulo de 
elasticidad de 29000ksi y 36ksi de fluencia.
– Barra AB es infinitamente rigida a flexion y axial
✔ Calcularemos la carga limite P y su desplazamiento vertical.
4’ 8’
4’
A B
P
Carga de colapsoCarga de colapso
✔ Obviamente A fluye primero:
✔ B no llega a fluir porque antes se forma un mecanismo de 
colapso.
P
VB
108
0,09
S A=
2
3
P=36ksi(2plg2
)=72kips
S B=
1
3
P
→PLim.=P flu=108kips
4’ 8’
4’
A B
P
2
3
P
1
3
P
Mecanismo alternoMecanismo alterno
✔ Si se “asume” que B fluye primero.
✔ Se obtendria una “falsa” carga limite la cual es mayor.
✔ La carga limite es la menor de las dos posibles … ¡muy 
importante!
4’ 8’
4’
A B
P
2
3
P
1
3
P S A=
2
3
P
S B=
P
3
=36ksi(2plg2)=72kips
→PLim.=P flu=216kips
Estructura HiperestáticaEstructura Hiperestática
✔ Se estudiara un caso simple hiperestatico … grado 1.
– Barras en A, B y C tienen un area de 2plg2, modulo de 
elasticidad de 29000ksi y 36ksi de fluencia.
– Barra ABC es infinitamente rigida a flexion y axial
✔ Calcularemos la carga limite P y su desplazamiento vertical.
4’ 8’
4’
A C
P
4’
B
Carga de fluenciaCarga de fluencia
✔ Del calculo primero fluye A.
4’
P
VB
123,4
0,054’ 8’
A C
P
4’
B
7
12
P
1
3
P
1
12
P
S A=
7
12
P=36ksi(2plg2
)=72kips
S B=
1
3
P
SC=
1
12
P
→P flu=123,4kips
Carga limite o de colapsoCarga limite o de colapso
✔ El sistema es ahora isostatico, del calculo ahora fluye B.
✔ C no fluye, antes se forma … “el mecanismo de colapso”
4’
P
VB
123,4
0,05
144
0,094’ 8’
A C
P
4’
B
72k 1,5 P−144
0,5 P−72
S A=72kips
S B=1,5 P−144=36kips(2plg2
)=72kips
SC=0,5 P−72
→P lim.=144kips
Analizando resultadosAnalizando resultados
✔ Podriamos asumir que otra barra fluye primero...pero 
llegaremos a la conclusion de que ... la menor manda.
✔ Puntos de plastificación:
– Estructura isostatica (grado 0) fluye una barra.
– Estructura hiperestatica (grado 1) fluyen 2.
✔ Las fuerzas cambian en el interior ... redistribución.
✔ Líneas de falla ... falla progresiva.
✔ Característicasestructurales se pueden cambiar ... ahorro y 
seguridad.
Mecanismo de colapsoMecanismo de colapso
✔ Los puntos, o elementos, de plastificación (P) generalmente:
✔ Para estructuras altamente hiperestáticas:
✔ Para estructuras simétricas:
P=G+1
P<G+1
PG1
Teoremas de plasticidadTeoremas de plasticidad
✔ 1er Teorema: estatico o del limite inferior:
En una estructura la plastificación se presenta en las partes de 
mayor esfuerzo y las otras fuerzas internas son estaticamente 
determinadas, y menores que sus capacidades plásticas.
✔ 2do Teorema: cinematico o del limite superior:
Para una estructura la carga limite o plástica es la menor de 
todas las posibles cargas limites de los diferentes mecanismos 
de falla probables.
✔ Teorema unico: si se presenta un mecanismo, minimo, 
estaticamente determinado la carga es la carga limite.
Solicitaciones plasticasSolicitaciones plasticas
Caso generalCaso general
✔ Se analizara una seccion recta cualesquiera de una barra 
sometida a solictaciones.
✔ Las secciones planas, se mantienen planas despues de la 
deformacion.
✔ Las deformaciones son pequeñas, comparadas con las 
dimensiones del elemento ... linealidad de primer orden.
Solicitacion axialSolicitacion axial
✔ Los esfuerzos siguen siendo uniformes.
✔ Todas las fibras llegan al mismo tiempo a la fluencia.
NP
A
F
Np=σ f. A
Carga limiteCarga limite
✔ Barras en A, B y C: A=2plg2, E=29000ksi y σ
f
=36ksi
✔ Barra ABC es infinitamente rigida a flexion y axial.
F A=36ksi(2plg2
)=72kips
F B=36ksi(2plg2)=72kips
FC=36ksi(2plg2)=72kips
4’ 8’
4’
A C
P
4’
B
G=X −E=3−2=1Grado de hiperestaticidad:
P=G+1=1+1=2Cantidad de barras que se plastifican:
Posibles mecanismosPosibles mecanismos
4’ 8’
4’
A C
P
4’
B
72k 72k
∑ M C=0→ Plim.=144k
∑ FV =0 →PC=0k⩽F C=72 ...OK
Mecanismo 01: A y B fluyen
4’ 8’
4’
A C
P
4’
B
72k72k
∑ M A=0→ Plim.=432k
∑ FV =0 →PC=288k>FC=72 ... N.G.
Mecanismo 02: B y C fluyen
4’ 8’
4’
A C
P
4’
B
72k72k ∑ M B=0 → Plim.=0k ... N.G.
Mecanismo 03: A y C fluyen
Solicitacion por torsionSolicitacion por torsion
✔ Los esfuerzos pasan de ser variables a ser uniformes.
✔ Al final todas las fibras tienen el mismo esfuerzo.
✔ Aplicación poco práctica ... en ejes sin fatiga.
T
tf
tf
tf
tf
tf
tf
T≤T
f
T>T
f
T=T
p
>>T
f
Torsor plasticoTorsor plastico
✔ A la plastificación total se presenta el momento torsor 
plastico.

TP
F
F
T p=∫
0
r
τ f ρdA=∫
0
r
ρ τ f (2πρd ρ)
T p=2π τ f∫
0
r
ρ2 d ρ
T p=
2π r3
3
τ f
Solicitación por flexiónSolicitación por flexión
✔ Los esfuerzos pasan de ser variables a uniformes.
✔ Al final todas las fibras tienen el mismo esfuerzo.
✔ Aplicación práctica en general.
Solicitacion por flexionSolicitacion por flexion
✔ Los esfuerzos pasan de ser variables a ser uniformes.
✔ Al final todas las fibras tienen el mismo esfuerzo.
✔ Se presenta el momento plastico.

MP
MP
σ f
M p=C (d )=T (d )
M p=σ f b
h
2
(
h
2
)=
1
4
σ f bh2
M p=
1
4
σ f b h2
σ f
Eje neutro plasticoEje neutro plastico
✔ Ubicamos el eje neutro:
✔ Por equilibrio horizontal:
Ac
At
Rotaciones 
ilimitadas
C
T
d
σ f e
σ f
T=C Ac.σ f =At.σ f Ac=A t
Rótula plasticaRótula plastica
✔ Rotación ilimitada = mecanismo de rótula con momento 
(M=Mp):
✔ No confundir con la rótula geométrica ... donde: M=0
✔ La rótula plastica no es local ... se distribuye hacia secciones 
adyacentes.
✔ Cantidad de rotulas plasticas definen mecanismo de colapso.
Mp =T.d=C.d
Propiedades plasticasPropiedades plasticas
✔ Modulo plastico:
– Para seccion rectangular:
– Nota: Con las tablas de perfiles de acero:
✔ Factor de forma:
– Para una seccion rectangular:
Z=
1
4
bh2
Z=
M p
σ f
M p=σ f . Z
f =
M p
M f
f =
M p
M f
=
0,25σ f bh2
0,17σ f bh2 → f =1,5
Proceso de formaciónProceso de formación
Estructura HiperestáticaEstructura Hiperestática
✔ Se estudiara un caso simple hiperestatico … grado 1.
– Barra ACB es infinitamente rigida en carga axial.
– Las secciones son ductiles y desarrollan un Mp constante.
✔ Calcularemos la carga limite P.
P
L/2 L/2
A BC
Carga de fluenciaCarga de fluencia
✔ Analizando la viga mostrada, del calculo se rotula A.
M A=
3
16
PL=M p
M C=
5
32
PL
→P f =
16
3
M p
L
P
5P/1611P/16
3PL/16
L/2 L/2
A BC
3PL/16
5PL/32
DMF
Carga limite o de colapsoCarga limite o de colapso
✔ Ahora C se rotula.
PMp
L/2 L/2
A BC
P/2-Mp/L
P/2+Mp/L
Mp
PL/4-Mp/2
DMF
M A=M P
M C=
1
4
PL−
M P
2
=M P
→P lim.=
6 M P
L
Mecanismo de colapsoMecanismo de colapso
6Mp/L
L/2 L/2
A BC
Mp
Mp
A B
C
Método energéticoMétodo energético
A B
C
Plim
 
2
RP
RP

P
lim
L/2 L/2
A BC
W ext=W int. :
M p .θ+M p .2θ=Plim. .Δ
M p .θ+M p .2θ=Plim. .θ(
L
2
)
→P lim.=
6.MP
L
Diagrama momento-curvaturaDiagrama momento-curvatura
Primera fluenciaPrimera fluencia
✔ Del diagrama de deformaciones y esfuerzos:
✔ De la teoria de la flexion:
e = e
f
σ
f
C
Φ
f
ϕ f ≈ tan(ϕ f )=
e f
y
σ f =E e f →ϕ f =
σ f
EC
σ f =
M f C
I
→ M f =
σ f C
I
Post fluenciaPost fluencia
✔ Del diagrama de deformaciones y esfuerzos:
✔ De la teoria de la flexion plastica:
e > e
f
σ
f
y
C
Φ
e = e
f
M =M (c1)
+M (c2)
=σ f (C− y)b.(C+ y)+σ f
y b
2
(
4y
3
)
σ f =
M f C
I
y C=
h
2
→ M =M f .(
3
2
−
2 y2
h2 )
ϕ≈tan(ϕ)=
e f
y
σ f =E e f →ϕ=
σ f
Ey
C
1
C
2
Relacion entre curvatura y momentoRelacion entre curvatura y momento
✔ Dividiendo miembro a miembro con Φ:
✔ Del momento post-fluencia:
✔ Relacion M-Φ:
ϕ
ϕ f
=
C
y
=
h
2y
M
M f
=1,5−
0,5
(
ϕ
ϕ f
)
2
M =M f .(
3
2
−2
y2
h2 ) → M =M f .(
3
2
−
(2y)
2
2h2 ) → M =M f .(
3
2
−
1
2
ϕ f
2
ϕ
2 )
Diagrama M-ØDiagrama M-Ø
✔ Tienden a Mp / Mf = f :
DuctilidadDuctilidad
DuctilidadDuctilidad
✔ Disipación de energía por falla progresiva.
✔ Se concentran esfuerzos en otros puntos...redistribucion
✔ Se puede optimizar el diseño para lograr un comportamiento 
adecuado.
Coeficiente de ductilidad (Coeficiente de ductilidad (μμ)) 
✔ Muestra numéricamente la ductilidad.
✔ Procedimientos:
– Determinar desplazamiento en la rotura y en la fluencia.
– Comparar ambos.
✔ Formas de determinación:
– Usando la energía.
– Usando deformaciones.
Nota: Para determinar la carga de fluencia se aproxima 
igualando áreas.
Metodo de la energíaMetodo de la energía
Metodo de desplazamientosMetodo de desplazamientos
Mecanismo de fallaMecanismo de falla
Comportamiento mecanicoComportamiento mecanico
✔ Mecanismo de disipacion de energia
MecanismosMecanismos
✔ Mecanismo esperado vs. Mecanismo deseado.
✔ Mecanismos en muros:
✔ Mecanismos en porticos:
Calculo estructuralCalculo estructural
CapacidadCapacidad
✔ Aprovecha la reserva plastica de un elemento estructural.
✔ Se calcula para el mecanismo de colapso ... falla esperada.
✔ Caso de flexión por sismo:
– Flexión pura plastica ... Mp
– Flexión transversal elástica ... Vu (cortante asociado)
Mpa Mpb
L
V u=
Mpa+Mpb
L
L
Ductilidad en concreto armadoDuctilidad en concreto armado
Teoria de falla plasticaTeoria de falla plastica
Resistencia simpleResistencia simple
✔ Ensayo a compresion:
✔ Ensayo a traccion
Resistencia compuestaResistencia compuesta
✔ Esfuerzo máximo ... ¿normal, corte, principales?.
Comportamiento durante la fallaComportamiento durante la falla
✔ Resistencia compuesta ... estado plano
✔ Material ductil:
– Manda el esfuerzo de fluencia
– Comportamiento: deslizamiento
✔ Material fragil:
– Manda el esfuerzo de rotura a traccion
– Comportamiento: separacion
xx
y
y xy
yx
Teoria de fallaTeoria de falla
✔ La falla ocurre si:
✔ Problema:
✔ Se usa solo distorsion ... artificio:
✔ Reemplazando en (a) ... en la falla:
Ep simple=Epcompuesto
1
2
σ f
2
E
=
1
2 E
(σ1
2
+σ2
2
+σ3
2
)−μ(σ1.σ2+σ2.σ3+σ1.σ3)
σ f
2
=σ1
2
+σ2
2
−2μσ1 σ 2...(a)
Ep=Epdis+Epvol
Epvol=0→ ΔV =
1−2μ
E
(σ1+σ2+σ3)=0 →μ=
1
2
σ f
2
=σvm
2
=σ1
2
+σ2
2
−σ1 σ2
Fuerza cortanteFuerza cortante
t
τ
Cortante elasticoCortanteelastico
✔ De la flexion elastica:
F B−F A=∫d σdA=∫
dM.y
I
=
dM
I
∫ ydA=
dM
I
Q=τ(t dx)
dM
dx
Q
I
=τ t → τ=
VQ
It
Cortante plasticoCortante plastico
✔ De la flexion plastica:
✔ No asi antes de la fluencia total ... nucleo elastico controla.
τ
F B−F A=0 → τ=0
MP
F
τmax=
V.Q0
I.t
Nucleo elastico
Influencia del cortanteInfluencia del cortante
✔ De la circunferencia de Mohr para la viga:
✔ En la teoria de falla plastica ... nucleo elastico:
✔ En el eje neutro en la falla compuesta:
– En la traccion simple:
– En el corte puro:
σ f
2
=σvm
2
=σ1
2
+σ2
2
−σ1 σ2=σ x
2
+3 τxy
2
σ1 /2=
σ x+σ y
2
±√( σ x−σ y
2
)
2
+τxy
2
→ σ1 /2=
σ x
2
±√(
σ x
2
)
2
+τ xy
2
σ x=0→ τ xy=τmax →σ f
2
=3 τmax
2
→ τmax=0.58σ f
τ f =0,5σ f
τ f =σ≠σ f
Fuerza axialFuerza axial
Carga axial y momentoCarga axial y momento
✔ Flexocompresion o flexotraccion:
+
P M
=
M
P
+ =
σa<σ f
σb<σ f
>σa
σ f σ f
σ f
Momento plastico para P-MMomento plastico para P-M
✔ Momentos plasticos ... por flexotraccion, o flexocompresion, y 
flexion pura.
✔ Se toma momentos respecto de un centro (centroide plastico):
– Centro de deformaciones plasticas uniforme.
– La de carga axial plastica.
M
P
Mp p−m=Mpm−
P2
4σ f b
→
Mp p−m
Mpm
=1−(
P
P f
)
2
Mpm=
1
4
σ f bh2
σ f
σ f
Mecanismos complejosMecanismos complejos
Metodos generalesMetodos generales
✔ Aplicable a estructuras de gran G
✔ Combinacion de mecanismos de Neal y Symonds:
– Se resuelven mecanismos simples linealmente 
independientes (MSI)
– Usa la cantidad de momentos por nudo plastificado.
✔ De distribucion de momentos de Heyman.
– Supone momentos plasticos equilibrados al inicio.
– Resuelve los mecanismos complejos por equilibrio de 
momentos en nudos.
#MSI = M - G
ResumenResumen
✔ Los calculos se hacen en el rango elastico, necesitamos 
conocer que ocurre en la zona plastica.
✔ Estas teorias se usan para revisar nuestras estructuras 
previamente diseñadas y calculadas.
✔ La ductilidad es un criterio mas de diseño; no de calculo.
✔ Ante un mal diseño nuestra estructura podria comportarse en 
forma fragil ... ¡fractura proveniente de concentracion de 
esfuerzos!. (Teoría de fractura mecanica)
Final de presentacionFinal de presentacion
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