Aritmetica 1

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UNIDAD 1
Conjuntos y numeración
Los conjuntos están presentes en la naturaleza y en la vida cotidiana, unas veces de modo eviden-te, otras de modo soterrado.En la ilustración podemos ver un conjunto de imágenes: De fondo, un desierto de arena que es un conjunto de granos de arena, abajo a la izquierda, un cardumen, esto es un conjunto de peces viajando en el mar, luego, en la segunda figura hay tuberías generadas usando un programa de 
computadora, aparentemente estas se pierden en el "infinito". La tercera figura son dados, que lanzados al 
azar generan una serie de números aleatorios que varían entre 1 y 6.
Es muy difícil definir conjunto, si es que no usamos una palabra que signifique lo mismo: agrupación, reu-
nión, etc. Evidentemente, sin embargo, lo único que podemos decir de un conjunto es que está formado 
por individualidades, elementos, que comparten una o más características comunes.
Debemos superar también el concepto, intuitivamente equívoco, que necesariamente sus elementos deban 
permanecer juntos para seguir constituyendo conjunto. Al mismo tiempo la comprensión de los conjuntos 
obliga a introducirnos en el tema de la numeración.
El desarrollo del concepto de numeración, nació hace ya varios milenios, de modo aparentemente inde-
pendiente, de la teoría de conjuntos. Solo a partir del siglo XIX se ha entendido su indisoluble unidad.
APreNDIZAjes esPerADos
Razonamiento y demostración
•	 Conceptualizar	un	conjunto.
•	 Identificar	los	tipos	de	conjunto,	utilizando	los	
diagramas de Venn.
Comunicación matemática
•	 Representar	correctamente	los	conjuntos	des-
de el punto de vista formal.
•	 Relacionar	adecuadamente	la	pertenencia	y	la	
inclusión del punto de vista lógico-matemáti-
co.
Resolución de problemas
•	 Resolver	ejercicios	que	definan	claramente	los	
tipos de conjuntos.
•	 Analizar	los	problemas	sobre	grupos	de	perso-
nas dentro de un contexto concreto utilizando 
las operaciones entre conjuntos.
1Conjuntos. Definiciones
UNIDAD 1Central: 619-8100 5
Conjuntos. Definiciones
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	conceptualizar	un	conjunto.
•	 A	representar	correctamente	los	conjuntos	desde	el	punto	de	vista	formal.
•	 A	operar	con	conjuntos	y	reconocer	la	relación	entre	las	nociones	conjuntistas	y	las	pro-
posiciones.
Representando conjuntos
Charles Lutwidge Dodgson, el famoso autor de Alicia en el País de las Maravillas, también era mate-mático,	contribuyó	en	la	lógica	inferencial	y	en	la	teoría	de	conjuntos	con	los	diagramas	de	Carroll,	este nombre en alusión a su seudónimo Lewis Carroll. Es un diagrama usado para agrupar cosas de 
una manera sí/no. Además de que es una evolución del diagrama de Venn el cual tiene problemas para 
representar todas las regiones existentes cuando el número de conjuntos es mayor a tres.
Primos No primos
Pares 2
4; 6; 8; 10
12; 14; 16; 18
20; 22; 24; 26
No pares
 3; 5; 7; 11
13; 17; 19; 23
29; 31; 37; 41
 1; 9; 15; 21
25; 27; 33; 35
39; 45; 49; 51
Aritmética
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Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números:
1 2 3 4
5 6 7
8 9 10
11 12
13 14
15 16 17 18
19 20
Horizontales:
1. Una docena
3. Valor de "x3 – 2" cuando "x" es 7
5. Media centena
6. Valor de 2n, cuando "n" es 6
7. Primo impar
8. Número primo
10. Valor de "x2 + 2" cuando "x" es 20
11. Suma de 123 y 259
12. Dos docenas
13. Mayor número de dos cifras
15. Cuadrado	de	6,	más	2
17. Valor de 2n, si "n" es 10
19. Una docena y media
20. Mayor número primo de una cifra
Verticales:
1. Valor de "x", en: 2x + 3 =33
2. Potencia de 2
3. Cuadrado	de	6
4. Primer número entero positivo
7. Los opuestos de – 2; – 3 y – 4
9. Sexta potencia de 3
11. Número primo
12. 7 decenas + 2 unidades + 2 centenas
14. Múltiplo de 7 de dos cifras
16. Cuarta	potencia	de	3
18. Número que es cuadrado perfecto
1Conjuntos. Definiciones
UNIDAD 1Central: 619-8100 7
Conceptos básicos
Definición
Un conjunto es una colección de objetos bien definida.
 Ejemplos:
	 Conjunto	de	personas	adultas	mayores	de	65	años,	conjunto	de	estudiantes	universitarios,	conjunto	de	
consumidores, conjunto de empresas, conjunto de los números naturales, etc
Determinación de conjuntos
Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas y los elementos o características entre llaves.
 Por extensión
 Se mencionan los elementos uno a uno separados por 
punto y coma.
 Ejemplo:
 Sean los conjuntos:
 A = {a; e; i; o; u}
	 B	=	{Perú;	Brasil;	Colombia;	Francia;	Japón;	...}
En unos casos, se mencionan 
algunos elementos como para 
reconocer las características de 
ellos: N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}
 Por comprensión
 Se mencionan las características de los elementos
 Ejemplo:
 A = {x / x es una vocal}
 B = {x / x es un país}
A = {x/x ...}
Se lee: el conjunto 
"A" está formado 
por los elementos 
"x" tal que "x" es...
 Cardinal de un conjunto
 Ejemplo:
•	 Sea	el	conjunto:	A	=	{2x	–	1/x	es	par	positivo	y	menor	que	9}
 Determina el número cardinal de "A"
	 Formemos	una	tabla	con	los	valores	de	"x"
x 2 4 6 8
2x – 1 3 7 11 15
 Entonces: A = {3; 7; 11; 15} y el cardinal del conjunto "A" es 4
Sea el conjunto:
A={(–2)2; (–1)2; 12; 22; 32}
Su cardinal es 3, se 
consideran los elementos 
diferentes: A = {1; 4; 9}
Relación de pertenencia
Se utiliza para indicar si es o no elemento de un conjunto
 x ∈ A
 Se lee: El elemento "x" pertenece al conjunto "A"
 Ejemplo:
•	 Dado	el	conjunto:	A	=	{4;	{2};	2,5;	5}
 Es correcto indicar:
 4 ∈ A {2} ∈ A 2 ∉ A
La relación de 
pertenencia, relaciona 
a los elementos
con el conjunto.
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•	 B	=	{x/x	es	capital	de	un	país	sudamericano}
 Lima ∈ B Quito ∈ B Madrid ∉ B
Conjuntos especiales
 Conjunto nulo
	 Cuando	el	conjunto	no	tiene	elementos
 Ejemplo:
 A = {x/x es un número par, 2 < x < 4}
 B = {x/x es un terrícola que vive en Marte}
El conjunto vacío o nulo 
se representa como:
{} o f
 Conjunto unitario
	 Cuando	el	conjunto	tiene	un	solo	elemento
 Ejemplo:
 A = {x/x es un número impar, 2 < x < 4}
 B = {x/x es la capital del Perú}
Para que el conjunto: 
A = {a; b; c} sea 
unitario, necesariamente:
a = b = c
 Conjunto universal
 Es el conjunto que contiene a los otros conjuntos
 Conjunto finito
	 Cuando	se	pueden	listar	o	contar	todos	los	elementos	del	conjunto
 Ejemplo:
 B = {x/x es un país hispano}
 Conjunto infinito
	 Cuando	no	se	pueden	listar	o	contar	los	elementos	del	conjunto
 Ejemplo:
 El conjunto de los números enteros:
 Z = {0; ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; …}
 A = {x/x es un número racional, 2 < x < 4}
Relación entre conjuntos
Al establecer una comparación entre dos conjuntos "A" y "B", se presentan tres posibilidades:
•	 Que	todos	los	elementos	del	conjunto	"B"	pertenezcan	también	al	conjunto	"A".
•	 Que	ningún	elemento	de	"B"	pertenezca	al	conjunto	"A".
•	 Que	entre	ambos	conjuntos	existan	elementos	comunes.
 Relación de inclusión
 El conjunto "A" está incluido en "B" (o es subconjunto de "B"), 
si y solo si cada elemento de "A" es también elemento de "B".
 A ⊂ B ↔ x ∈ A → x ∈ B
 Se lee: El conjunto "A" está incluido en el conjunto "B"
 El conjunto "A" está contenido en el conjunto "B"
 El conjunto "B" incluye al conjunto "A"
También: B ⊃ A
Conjunto	"B"	incluye	
al conjunto "A"
Conjunto	"B"	contiene
al conjunto "A"
1Conjuntos. Definiciones
UNIDAD 1Central: 619-8100 9
Propiedades:
I.	 Reflexiva:	" A; A ⊂ A
II. Transitiva: si A ⊂ B y B ⊂	C	→ A ⊂	C
 Relación de exclusión
	 Cuando	los	conjuntos	no	tienen	elementos	comunes
 Relación de igualdad
 Dos conjuntos son iguales, si tienen los mismos elementos.
 A = B ↔ A ⊂ B ∧ B ⊂ APropiedades:
I.	 Reflexiva:	" A; A = A
II. Simétrica: A = B → B = A
III. Transitiva: si A=B ∧	B	=	C	→	A	=	C
 Relación de equivalencia
	 Cuando	la	cantidad	de	elementos	de	ambos	conjuntos	son	iguales
Conjunto potencia
 Subconjuntos
 Sea el conjunto: A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17}
 Es correcto indicar:
{2; 3} ⊂ A {17} ⊂ A {3; 7; 13} ⊂ A
El conjunto vacío
también es 
subconjunto: f ⊂ A
 Cantidad de subconjuntos
 Sea n(A) = n → "A" tiene 2n subconjuntos
 Ejemplo:
 Sea el conjunto: A = {2; 3; 5}
 Los subconjuntos son:
 f; {2}; {3}; {5}; {2; 3}; {2; 5}; {3; 5}; {2; 3; 5}
 Son en total: 23=8
"A" tiene 2n – 1 
subconjuntos propios, ya 
que el único subconjunto 
impropio es "A"
 Conjunto potencia
 Es el conjunto de conjuntos que está formado por todos los subconjuntos:
 
P(A) = {x/x ⊂ A}
 Ejemplo:
 Sea el conjunto: A = {2; 3; 5}
 El conjunto potencia es:
 P(A)={f; {2}; {3}; {5}; {2; 3}; {2; 5}; {3; 5}; {2; 3; 5}}
Propiedades:
I. n(P(A)) = 2
n(A).
II. x ∈ P(A) → x ⊂ A
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Síntesis teórica
Exclusión
Inclusión
A ⊂ B
Igualdad
A = B
Equivalencia
n(A) = n(B)
Relación	entre	conjuntos
x ∈ AExtensión Comprensión
Determinación de conjuntos Relación	de	pertenencia
Nulo Universal
Unitario Infinito
Finito
Clases	de	conjuntos
A B
A B
CoNjUNtoS
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. Determina el cardinal del conjunto:
 A = {x2/x es número entero, – 4 < x < 3}
2. Utilice la relación de pertenencia (∈; ∉)
 Sea:
A = {x/x es la capital de un país sudamericano}
Lima …… A París …… A Bogotá …… A
3. Si el conjunto: A = {2a + 1; 3b – 1; 11}, es 
unitario, hallar "a" y "b".
4. Si los conjuntos "A" y "B" son iguales
 A = {2x + 1; 7} y B = {19; 3y – 2}
 hallar "x" e "y"
5. Dados los conjuntos:
 A = {2; 5; 7}
 B = {1; 2; 3; … …; 9}
	 C	=	{2;	3;	4;	5;	6;	7;	8}
 Utilice la relación de inclusión (⊂; ⊃) para com-
pletar:
A	……..	B	 B	……..	C	 A	…….	C
1Conjuntos. Definiciones
UNIDAD 1Central: 619-8100 11
Aprende más
Aplicación cotidiana
En el campeonato descentralizado 2010 del fútbol peruano participaron 16 equipos, a continuación se pre-
senta la tabla de posiciones de los 10 mejores equipos del torneo descentralizado de apertura 2010 Perú
tabla de posiciones
Posiciones Equipos Gf Gc Puntos
1 U. San Martín US 22 8 22
2 U.	César	Vallejo	 UC 21 9 21
3 Sporting	Cristal	 SC 16 12 19
4 León de Huánuco LH 12 9 15
5 Universitario U 10 6 13
6 Juan	Aurich	 JA 14 11 13
7 FBC	Melgar	 M 12 11 12
8 Inti Gas I 10 13 11
9 Alianza Lima AL 10 8 10
10 José	Gálvez	 JG 5 11 9
1. Según el gráfico, ubi-
car los elementos de 
los conjuntos (Use las 
iniciales de los equi-
pos solo de la tabla).
A B
Equipos con más 
de 11 puntos
Equipos con menos 
de 19 puntos
2. Del gráfico anterior, hallar:
•	 Los	equipos	de	"A"	que	no	están	en	"B".
•	 Los	equipos	que	están	en	"A"	y	"B".
3. Determinar	por	comprensión	el	conjunto	formado	por	los	equipos:	Sporting	Cristal,	León	de	Huánuco,	
Universitario	y	Juan	Aurich.
Resolución de problemas
4. Indicar	si	es	verdadero	(V)	o	falso	(F)	según	co-
rresponda, para el conjunto: A = {5; 7; {3}}
I. n (A) = 3 II. 5 ∈ A 
III. {3} ∈ A IV. {7} ∈ A
5. Dado el conjunto: 
A = {x + 3/x ∈ ∧ 5 ≤ x ≤ 10}
 Hallar la suma de los elementos de "A".
6. Dados los conjuntos unitarios "A" y "B":
 A = {a + b; 16}; B = {a – b; 4}
 Hallar el valor de "a . b"
7. Hallar la suma de elementos del conjunto "M":
 M = {x2 + 1 / x ∈ ∧ – 2 ≤ x ≤ 4}
8. Si los conjuntos "A" y "B" son iguales:
 A = {n2 + 1; – 6}; B = {2 – m; 10}
 Hallar el valor de "m + n" ("m" y "n" ∈ ).
9. ¿Cuántos	subconjuntos	tiene	"A"?
 A = {a; r; i; t; m; e; t; i; c; a}
10. ¿Cuántos	elementos	 tiene	un	conjunto	con	31	
subconjuntos	propios?
11. Dado el conjunto: A = {{8}; {2; 4}; 7}, ¿cuántas 
de	las	siguientes	afirmaciones	son	verdaderas?
•	 {2;	4}	∈	A	 •	 {{8}}	⊂ A 
•	 {{7}}	⊂	A	 •	 {{8};	7}	∈ A 
•	 {7}	∉ A
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12. Dado el conjunto:
 A = {x2 + 1 / x ∈ ∧ – 3 ≤ x ≤ 4}
	 ¿Qué	proposiciones	son	verdaderas?
I. n(A) = 5
II. "A" tiene 16 subconjuntos
III. "A" tiene 31 subconjuntos propios
13. Dado el conjunto "A", indicar verdadero (V) o 
falso	(F)	según	corresponda:
 A = {5; {6}; 8; {10; 11}}
•	 {5}	∈ A → {8} ⊂ A
•	 {8;10}	∈ A ∧ {5} ⊂ A
•	 {{10;11}}	⊂ A ↔ {5; 8} ⊂ A
14. Hallar el valor de "a + b", si el conjunto "A" es 
unitario: A = {ab; ba; 16}
15. Determinar por extensión el conjunto "A":
 A = {x ∈ / x2 + 12x = x3}
16. Hallar el cardinal del conjunto "M":
 
M =
 
2x + 5
3 
∈ / x ∈ ∧ 5 < 2x – 1 < 13
¡Tú puedes!
1. Se tiene dos conjuntos "A" y "B" tales que:
•	 n(A)	–	n(B)	=	3	 •	 n(B')	=	9	 •	 n[P(A ∪ B)]	=	2	048	 •	 n[P(A ∩ B)] = 16
	 ¿Cuántos	subconjuntos	tiene	A'?
a) 128 b) 16 c) 64 d) 1 024 e) 512
2. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:
 A = {x/ x sea natural ∧ – 9 ≤ x ≤ 4}
 B = {x + 4/ x sea entero ∧ – 3 ≤ x < 2}
	 C	=	{x	–	1/	x	sea	natural	∧ – 2 ≤ x + 4 ≤ 6}
3. Hallar cada uno de los siguientes conjuntos y determinar la suma de sus elementos.
 A = {x + 2/ x sea natural, 2 < x ≤ 6}
 B = {x2/ x sea entero, – 3 ≤ x + 1 < 5}
	 C	=	{(	x	–	1)2/ x sea entero, x2 < 5}
4. Sean los conjuntos:
 A = {x ∈ / x = ( – 1)n, n ∈ }
 B = {y ∈ / y2 = (y – 3)2 – 3}
 
C	=	{z	∈ /
 
3z
2
 + 3 = 2z +
 
7
2
}
 Entonces es cierto:
a)	 B	=	C	 b)	 A	=	B	∪	C	 c)	 A	=	B	∩	C	 d)	 A	=	C	 e)	 B	–	A	=	A	–	C
5. Se	tiene	tres	conjuntos	"A",	"B"	y	"C"	cuyos	números	de	cardinales	son	consecutivos	y	además	se	sabe	
que:	n[P(A)]	+	n	[P(B)]	+	n	[P(C)] = 896. Hallar cuántos elementos puede tener como máximo el con-
junto: P(A ∪ B ∪	C)
a) 86 b) 84 c) 88 d) 810 e) 87
1Conjuntos. Definiciones
UNIDAD 1Central: 619-8100 13
Practica en casa
18:10:45
1. Indicar cuántas proposiciones son verdaderas, 
si: A = {2; 3; {1}; {2; 1}}
•	 f ∈	A	 •	 3	∈	A	 •	 1	∈ A 
•	 {1}	⊂	A	 •	 {3}	⊂	A	 •	 f ⊂ A
2. Hallar el cardinal del conjunto "A", si:
A = {2x – 3 / x ∈ ; 2 ≤ x2 ≤ 19}
3. Sabiendo que los conjuntos:
 A = {4a + 3b; 23}
 B = {3a + 7b; 41}
son unitarios, hallar el valor de "a + b".
4. Si: A = {a2 + 9; 2 – b}
 B = {– 9; 10}
y se sabe que: A = B, calcular "a + b" 
("a" y "b" ∈ )
5. Dados los siguientes conjuntos iguales:
 A = {a + 2; a + 1}
 B = {b + 1; c + 1}
	 C	=	{7	–	a;	8	–	a}
 D = {b + 2; 4}
Calcular	el	valor	de	"a	+	b	+	c".
6. Dado el conjunto:
 A = {x + 2 / x ∈ ; x2 < 9}
Calcule	la	suma	de	los	elementos	del	conjunto	
"A".
7. Indicar el cardinal del conjunto "M":
M = {x + 1 /
 
3x
2 
∈ ∧ x < 72}
8. Hallar el valor de "a . b", si el conjunto "A" es 
unitario.
 A = {ab; ba; 16}
9. Dado el conjunto: A = {1; {2; 3}; 4; {5}} 
¿Cuántas	 de	 las	 siguientes	 proposiciones	 son	
verdaderas?
•	 1	∈	A	 •	 3	∈	A	 •	 4	∈ A 
•	 5	∈	A	 •	 {2;	3}	∈	A	 •	 {2}	∈ A 
•	 {5}	∈ A
10. Dados los conjuntos:
 A = {x /x ∈ , – 3 < x < 2}
 B = {x /x ∈ , 8 < x < 10}
 Hallar: n(A) + n(B)
11. Determinar por extensión:
A = {x2 – 3 /x ∈ , 1 < x ≤ 4}
12. Dados los conjuntos unitarios:
 A = {90; a . b}
 B = {23; a + b}
Hallar: a – b.
13. Hallar el número de subconjuntos de "A":
A = {x2 / x ∈ , – 2 ≤ x < 4}
14. ¿Cuántos	elementos	 tiene	el	conjunto	potencia	
de	"B"?
 B = {x2 / x ∈ , 8 < 3x + 2 ≤ 20}.
15. Dados los conjuntos:
 A = {1; 3; 4; 6; 8}
 B = {1; 2; 3; 6; 8}
	 	 C	=	{x	–	2/	x	∈ , x < 11}
 hallar cuántas de las afirmaciones son falsas.
•	 A	⊂ B	 •	 B	⊂ A 
•	 A	⊂ C	 •	 B	⊂ C
14
2 Aritmética
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operaciones con conjuntos
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	los	tiposde	conjuntos	utilizando	los	diagramas	de	Venn.
•	 A	representar	correctamente	los	conjuntos	desde	el	punto	de	vista	formal.
•	 A	analizar	los	problemas	sobre	grupos	de	personas	dentro	de	un	contexto	concreto	uti-
lizando las operaciones entre conjuntos.
Conjuntos numéricos
Naturales:
 = {0; 1; 2; 3; …}
Enteros:
 = {…; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; …}
Racionales:
 = {a
b
 /"a" y "b" ∈ ,	b	≠	0}
Irracionales:
 = {x/x tiene representación decimal infinita no periódica}
 Ejemplo:
 { 2; –73 ; e; p; 3,16428 …}
Reales:
 = ∪ 
Diagrama de los conjuntos numéricos.
2operaciones con conjuntos
UNIDAD 1Central: 619-8100 15
Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números:
1 2 3 4 5
6 7
8 9 10
11 12
13 14 15
16 17 18
19 20
21 22
Horizontales:
1. Cubo	de	8
3. Cuadrado	de	90	más	el	cubo	de	4
6. Cuadrado	de	6
7. 20 + 90 × 90
8. 3 × 7 + 70 × 70
10. 12 x 25
11. Número capicúa de cuatro cifras
14. 8 centenas, 2 decenas, 1 unidad y 7 millares
16. 123+96+98
18. Capicúa	de	dos	cifras
19. Quinta potencia de 2
20. Cuadrado	de	111
21. Cuadrado	de	21
22. Cuadrado	de	4
Verticales:
1. 4 + 5 x 100 + 3 × 10
2. Cuadrado	de	13
3. Cuadrado	de	9
4. Cuadrado	de	111
5. 24 × 25
7. 99 × 82
9. 99 × 23
12. Cuadrado	de	111
13. Cubo	de	11
15. Cuadrado	de	90,	más	el	cuadrado	de	4
17. Una docena
18. Cuadrado	de	11
20. 6 + 4 × 2
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Conceptos básicos
Diagramas de conjuntos
Dibujar o ilustrar los conjuntos ayudan para mostrar las características y relaciones entre los elementos y 
conjuntos.
 Diagrama de Venn - Euler
 Los conjuntos se representan con figuras cerradas como triángulos, cuadrados, rectángulos, circunfe-
rencias, etc.
 Ejemplo:
 Los alumnos del salón se agrupan considerando los útiles escolares que tienen:
 U = {x/x es un alumno del salón}
 A = {x/x es un alumno que tiene lápiz}
 B = {x/x es un alumno que tiene lapicero}
U
A B
Generalmente el 
conjunto universal 
se representa por 
un rectángulo que 
incluye a los otros 
conjuntos.
 Ejemplo:
U A B
C
x
k
w
2
y
t
z
 Para tres conjuntos:
 A = {x; w; 2; k}
 B = {w; y; 2; t}
	 C	=	{k;	2;	t;	z}
 Diagramas de Carrol
 El conjunto universal se divide para ubicar a los elementos que pertenecen y no pertenecen a un con-
junto.
 Ejemplo:
 A los alumnos del salón se les aplica el examen de matemática:
 U = {x/x es un alumno del salón}
 A = {x/x es una alumna}
 B = {x/x es un alumno que aprobó}
"B"
Aprobaron
No son "B"
No aprobaron
"A"
Mujeres
No son "A"
Varones
El	diagrama	de	Carrol,	
generalmente se 
usa para conjuntos 
excluyentes:
Hombres – mujeres
Mayores – menores
2operaciones con conjuntos
UNIDAD 1Central: 619-8100 17
operaciones con conjuntos
 Unión
A B
A ∪ B
A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
En los problemas, 
"A" o "B" se inter-
preta como la unión 
de "A" con "B".
 Intersección
A B
 A ∩ B
A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}
En los problemas, "A"
y "B" se interpreta 
como la intersección
de "A" con "B".
 Diferencia
A B
A – B
A – B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}
 Propiedad:
•	 n(A	–	B)	=	n(A)	–	n(A	∩ B)
 Diferencia simétrica
A B
A D B
A D B = (A – B) ∪ (B - A)
 Propiedad:
•	 (A	D B) = (A ∪ B) – (A ∩ B)
 Complemento
Dado A ⊂ U, se llama complemento de A:
A
U
A'=	Ac = {x ∈ U/x ∉ A} = U – A
Aritmética
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Síntesis teórica
CoNjUNtoS II
Venn – Euler Carrol
A
A'
B B'
Diagramas de conjuntos
A B
A B
Intersección
A ∩ B
A B
Diferencia 
simétrica
A D B
A B
Diferencia
A – B
A
U
Complemento
AC
Operaciones entre conjuntos
A B
Unión
A ∪ B
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. Dados los conjuntos "A" y "B":
A = {5; 6; 8; 9} B = {2; 3; 4; 6; 7}
	 Calcula:
•	 A	∪ B = { }
•	 A	∩ B = { }
2. Completa	 la	 cantidad	 de	 elementos	 en	 el	 si-
guiente diagrama de los conjuntos "A" y "B", de 
modo que:
n(A) = 15
n(B) = 18
n(A ∩ B) = 7
A B
3. Dados los conjuntos "A" y "B":
A = {5; 6; 8; 9} B = {2; 3; 4; 6; 7}
	 Calcula:
•	 A	–	B	=	{	 }
•	 B	–	A	=	{	 }
4. Dados los conjuntos "A" y "B":
A = {5; 6; 7; 9}
B = {2; 3; 4; 6; 7}
	 Calcula:
•	 A	D B = { }
5. Completa	 la	 cantidad	 de	 elementos	 en	 el	 si-
guiente diagrama de los conjuntos "A", "B" y 
"C",	de	modo	que:
 
A B
C
n(A)	=	16	 n(B)	=	18	 n(C)	=	20		
n(A ∩ B) = 5 n(A ∩	C)	=	4	 n(B	∩	C)	=	6	
 n(A ∩ B ∩	C)	=	2
2operaciones con conjuntos
UNIDAD 1Central: 619-8100 19
Aprende más
Aplicación cotidiana
El	Foro	de	Cooperación	
Económica de Asia Pací-
fico	o	APEC	es	el	mayor	
espacio para facilitar el 
crecimiento económi-
co, la cooperación, el 
comercio y las inversio-
nes en la región de Asia 
Pacífico. 
Sea:	U	=	{x/x	es	un	país	que	conforma	la	APEC}
 A = {x/x es un país del continente americano}
 B = {x/x es un país de América del Sur}
1. Determinar por extensión el conjunto "A" y hallar su cardinal.
2. Grafica los tres conjuntos antes mencionados ("U"; "A" y "B").
Resolución de problemas
3. Un	alumno	durante	todas	las	mañanas	del	mes	
de enero desayunó jugo o leche. Si durante 25 
mañanas	desayunó	jugo	y	18	mañanas	desayunó	
leche,	¿cuántas	mañanas	desayunó	jugo	y	leche?
4. Si: n( A ∪ B) = 30; n(A – B) = 12 y n(B – A) = 8, 
hallar el valor de: 5 . n(A) – 4 . n(B).
5. Sean	"A",	"B"	y	"C",	tres	conjuntos	tales	que:
	 n(A)	=	n(B)	=	n(C)	=	20
 n(A ∩ B ∩	C)	=	3
 n(A ∩ B) = n(A ∩	C)	=	n(B	∩	C)	=	10
 Hallar el valor de: n(A ∪ B ∪	C).
6. Sabiendo que: U = {1; 2; 3; 4; 5}
 A ∪ B = {1; 2; 3; 4}
 A ∩ B = {1; 3}
 A – B = {2}
 Luego el conjunto "B" es:
7. Para	 tres	conjuntos	"A",	"B"	y	"C",	contenidos	
en	un	universo	"U"	donde	C	⊂ B, se cumple:
•	 n(A	–	C)	=	5
•	 n(B	–	C)	=	4
•	 n(A	–	B)	=	3
•	 n(A	∪ B) = 10
	 ¿Cuántos	subconjuntos	propios	tiene	"C"?
8. En un corral donde se encuentran 90 pollos, se 
observa que: los que comen maíz son el doble 
de los que comen solo trigo y los que comen 
maíz y trigo son la tercera parte de los que co-
men	solo	maíz.	 ¿Cuántos	pollos	comen	uno	y	
solo	uno	de	estos	alimentos?
9. En una ciudad, el porcentaje de la población que 
fuma y bebe, de la que solo fuma y de la que 
solo bebe, es la mitad, tercera y cuarta parte del 
porcentaje que no fuma ni bebe. Determinar qué 
porcentaje de la población fuma o bebe .
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10. En un aeropuerto hay 105 personas entre hom-
bres,	mujeres	y	niños	y	se	observa	que	hay:
•	 20	mujeres
•	 55	niños
•	 40	peruanos
•	 65	extranjeros
•	 25	niños	peruanos
•	 45	extranjeros	entre	mujeres	y	niños
 Determinar en cuánto excede la cantidad de 
hombres extranjeros a la de las mujeres perua-
nas.
11. De una muestra recogida a 200 turistas se deter-
minó lo siguiente: 67 eran norteamericanos, 86 
europeos, 90 eran mecánicos y de estos últimos 
30	eran	norteamericanos	y	15	europeos.	¿Cuán-
tos no eran norteamericanos ni mecánicos ni 
europeos?
12. De un grupo de turistas que visitó Perú, México 
y	Cuba,	se	sabe	que:
•	 Todos	los	que	visitaron	Cuba	también	visita-
ron el Perú
•	 16	visitaron	Cuba
•	 28	visitaron	México	pero	no	el	Perú
•	 72	visitaron	Perú	o	México
•	 6	visitaron	Perú	y	México	pero	no	Cuba
•	 El	número	de	turistas	que	visitó	solo	el	Perú	es	
el	doble	de	los	que	visitaron	Cuba	y	México
¿Cuántos	visitaron	solo	Cuba	y	Perú?
13. En un autobús hay 41 pasajeros, de los cuales 
se observa que:
•	 21	personas	están	sentadas
•	 Hay	16	mujeres	en	total
•	 De	 los	que	están	parados,	10	son	hombres	
que no fuman
•	 De	las	12	mujeres	sentadas,	8	no	fuman
¿Cuántos	hombres	que	están	paradosfuman?
14. De un grupo de 95 personas se observa que:
•	 15	son	atletas	que	practican	el	fútbol	y	la	na-
tación
•	 52	son	atletas
•	 55	son	nadadores
•	 Todos	los	futbolistas	son	atletas	y	10	son	de-
portistas que solo practican el atletismo
•	 15	personas	no	practican	los	deportes	men-
cionados
¿Cuántos	deportistas	son	futbolistas?
15. Si: A ⊂ B y B ⊂	C,	simplificar:
 (A ∪	C)	∩	[(A	–	B)	∪ (B ∩	C)]
16. De 140 personas, 60 no leen y 50 no escriben. 
Sabiendo que 30 solamente leen, ¿cuántas per-
sonas	leen	y	escriben?
¡Tú puedes!
1. En	un	salón	hay	72	alumnos	que	se	preparan	para	postular	a	la	UNI	o	Católica.	La	cantidad	de	pos-
tulantes	a	la	UNI	es	el	quíntuple	de	quienes	solo	postulan	a	la	Católica	y	la	cantidad	de	los	que	solo	
postulan	a	la	UNI	es	el	triple	de	los	que	postulan	a	la	UNI	y	a	la	Católica.	¿Cuántos	de	los	postulantes	
se	presentarán	solamente	a	una	universidad?
a) 48 b) 52 c) 57 d) 61 e) 64
2. Dado	el	conjunto	universal	"U"	y	los	subconjuntos	"A",	"B"	y	"C"	de	"U"
 U = A ∪ B ∪	C
 A = {x ∈ / "x" es un número par ∧ x < 18}
 B = { x ∈ / "x" es divisor de 30}
	 C	=	{	x	∈ / x < 10}
	 ¿Cuántos	elementos	tiene:	[C	∩ (A ∪ B)] D	B'?
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
2operaciones con conjuntos
UNIDAD 1Central: 619-8100 21
3. En	un	departamento	de	control	de	calidad	de	un	producto	se	consideran	tres	defectos	"A",	"B"	y	"C"	
como los más importantes. Se analizaron "M" productos con el siguiente resultado:
•	 1/3	de	los	productos	poseen	el	defecto	"A"
•	 1/4	de	los	productos	poseen	el	defecto	"B"
•	 1/5	de	los	productos	poseen	el	defecto	"C"
•	 1/15	de	los	productos	poseen	exactamente	dos	defectos
•	 10	productos	poseen	exactamente	tres	defectos
•	 105	productos	no	poseen	defecto	alguno
	 ¿Cuántos	productos	poseen	solo	un	defecto?
a) 195 b) 185 c) 165 d) 155 e) 145
4. En	un	salón	de	clase:	7	aprobaron	solo	"A",	6	solo	"B",	5	solo	"C"	y	5	aprobaron	los	tres	cursos;	de	los	
que	aprobaron	"A",	17	aprobaron	"B"	o	"C",	de	los	que	aprobaron	"B",	16	aprobaron	"A"	o	"C"	y	de	los	
que	aprobaron	"C",	12	aprobaron	"A"	o	"B".	¿De	cuántos	alumnos,	por	lo	menos,	se	compone	el	aula?
a) 33 b) 38 c) 35 d) 40 e) 41
5. En una sección de la academia formada por 42 alumnos entre hombres y mujeres se sabe:
•	 13	hombres	aprobaron	Geometría.
•	 8	hombres	aprobaron	Trigonometría
•	 4	hombres	y	6	mujeres	no	aprobaron	ninguno	de	los	dos	cursos.
•	 7	aprobaron	los	dos	cursos
•	 24	aprobaron	Geometría
•	 24	hombres	hay	en	la	sección
 El número de mujeres que aprobaron solo Trigonometría es:
a) 1 b) 4 c) 5 d) 2 e) 7
1. Para dos conjuntos "A" y "B" subconjuntos de 
"U" se tiene que:
•	 n(A')	=	12	 •	 n(B)	=	11	 	
•	 n(A	∩	B)	=	3	 •	 n(U)	=	20
	 Calcular	el	valor	de:	n(A	D B).
2. En un avión viajan 120 personas, de las cuales:
•	 La	tercera	parte	de	ellas	beben
•	 La	quinta	parte	de	ellas	fuman
•		 18	personas	fuman	y	beben
	 ¿Cuántas	personas	no	fuman	ni	beben?
3. De un grupo de 300 personas, 180 conocen 
Cusco,	160	conocen	Arequipa	y	20	no	conocen	
ni	 Cusco	 ni	 Arequipa.	 ¿Cuántos	 conocen	 una	
sola	ciudad?
4. Noventa	alumnos	del	4to	año	asisten	a	la	clase	de	
computación, 70 a entrenamientos de diferentes 
deportes y 5 no se interesan ni en computación ni 
en deportes. Si 30 asisten tanto a deportes como a 
computación,	¿cuántos	alumnos	hay	en	4to	año?
5. De un grupo de 120 alumnos, 70 prefieren los 
cursos "A" o "B" pero no ambos cursos a la vez. 
Los que no prefieren ninguno de dichos cursos, 
son el cuádruple de los que prefieren ambos cur-
sos.	¿Cuántos	alumnos	prefieren	ambos	cursos?
6. En una población el 50% toma leche, el 40% 
come carne y además solo los que comen carne 
o	solo	los	que	toman	leche	son	el	54%.	¿Cuál	
es el porcentaje de los que no toman leche ni 
comen	carne?
7. Para dos subconjuntos "A" y "B" de los números 
enteros, se tiene que:
•	 A	∪ B = { x / x ∈ , 2 < x < 9}
•	 A	∩ B = {5}
•	 A	–	B	=	{4;	6;	7}
 Hallar la suma de los elementos de "B".
Practica en casa
18:10:45
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8. En un examen de admisión se observó que 2 900 
postulantes usaron lapicero negro, 4 000 no 
usaron lapicero azul y 1 900 no usaron ni azul 
ni	negro.	 ¿Cuántos	postulantes	usaron	 lapicero	
azul	y	negro,	si	los	postulantes	fueron	6	600?
9. De un grupo de 40 personas, se observa que 14 
van al teatro solamente, los que van al cine y al 
teatro son la tercera parte de los que van al cine 
y	8	no	van	a	ninguno	de	los	dos	sitios.	¿Cuántos	
no	van	al	teatro?
10. De un grupo de 80 personas, 27 leían la revista 
"A" pero no leían la revista "B", 26 leían "B" pero 
no	"C"	y	19	leían	"C"	pero	no	"A".	Si	2	leían	las	
tres	revistas,	¿cuántas	preferían	otras	revistas?
11. En una oficina, 20 empleados conversan en voz 
baja para no despertar a los 10 que duermen 
y 18 están echados, de los cuales 3 de ellos 
duermen y 5 conversan en voz baja. Si en total 
hay 60 empleados, ¿de cuántos se puede decir: 
"quizá	están	trabajando"?
12. En un barrio donde hay 29 personas, 16 com-
pran en el mercado, 15 en la bodega, 18 en el 
supermercado, 5 en los dos últimos sitios úni-
camente, 6 en los dos primeros únicamente y 7 
en	el	primero	y	el	último	únicamente.	¿Cuál	es	
el número de personas que compran solamente 
en	el	mercado?
13. En un salón de clases de 65 alumnos se observó 
que:
•	 30	son	hombres.
•	 40	son	del	ciclo	semestral
•	 Hay	10	señoritas	que	no	son	del	ciclo	semes-
tral.
	 ¿Cuántos	son	los	hombres	que	no	estudian	en	el	
ciclo	semestral?
14. En una encuesta a los alumnos del colegio se 
obtuvo la siguiente información:
•	 El	60%	aprobó	Física
•	 El	40%	aprobó	Química
•	 El	75%	aprobó	Matemática
•	 El	10%	aprobó	los	tres	cursos
•	 El	10%	aprobó	Física	solamente
•	 El	15%	aprobó	Física	y	Química
•	 El	30%	aprobó	Química	y	Matemática
 El porcentaje de alumnos que lamentablemente 
no aprobó curso alguno, es:
15. Jenny	contaba	que	durante	 el	mes	de	Febrero	
del	2000	salió	a	pasear	con	José,	con	Juan	o	con	
ambos.	Si	16	días	salió	con	José	y	20	días	con	
Juan,	¿cuántos	días	salió	con	ambos,	si	el	día	de	
los	enamorados	salió	con	otra	persona?