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Numeración Los números en el incanato. ¿Qué es el Qhipu? Los quipus ayudaban a los incas a mantener cuentas muy minuciosas de los productos, armas, impuestos e incluso, calcular el importe exacto del tributo otorgado por los pueblos vencidos. En el cordel principal, un hilo negro indicaba los años transcurridos e información histórica. Es un sistema memotécnico de registros de cantidades.¿Quién es el Quipucamayoc? El Quipucamayoc, educado por los amautas en escuelas especiales llamadas Yachayhuasi, era el especialista en elaborar, "leer" y archivar los quipus, dotado de una memoria prodigiosa. Puede decirse que el Quipucamayoc era lo que es hoy el analista económico o el responsable del pla-neamiento estratégico, igualmente el quipu para los incas , era lo que es hoy el moderno compu-tador para los economistas. 1 2 3 4 5 Huk Iskay Kimsa Tawa Pisqa 6 7 8 9 10 Suqta Qanchis Pusaq Isqun Chunka APreNDIZAjes esPerADos Comunicación matemática • Escribir y leer los números en el sistema deci- mal. • Relacionar los sistemas de numeración con sus cifras. Razonamiento y demostración • Utilizar la descomposición polinómica. • Explicar los métodos para hacer cambios de base. Resolución de problemas • Determinar las cifras de un número con ciertas características. • Determinar los numerales en diferentes bases. • Relacionar cifras, bases y numerales. Diversas versiones del kipu, sistema de grabación de datos, aún no comprendido en la actualidad. Las ilustraciones correspon- den al libro Comentarios reales de Garcilazo, primera versión escrita por un mesti- zo de la conquista española. En la ilustración titulada "contador maior y tezorero", aparece el quipucamayoc. Nadie hasta el momento ha estudiado con seriedad el significado del ábaco o ma- triz que aparece en la parte inferior de la figura. UNIDAD 2 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe24 Numeración decimal En este capítulo aprenderemos: • A escribir y leer los números en el sistema decimal. • A utilizar la descomposición polinómica. • A determinar las cifras de un número con ciertas características. Con los cuatro cuatros Del libro "El Hombre que Calculaba" de Malba Tahan Quiero formar el número cero. Nada hay más simple. Basta escribir: 44 – 44 = 0Están así los cuatro cuatros formando una expresión igual a cero. Pasamos ahora al número 1. Esta es la forma más cómoda: 44 44 = 1 ¿Quiere ver ahora el número 2? Fácilmente se usan los cuatro cuatros escribiendo: 4 4 + 4 4 = 2. El 3 es más fácil todavía. Basta escribir la expresión: 4 + 4 + 4 4 = 3 Repare en que la suma de 12 dividida por 4, da un cociente 3, resulta así el número 3 formado por cuatro cuatros. ¿Cómo formareis el número 4? –pregunté. Muy fácilmente –dijo Beremís-. El número cuatro puede formarse de varias maneras; una de ellas sería la siguiente: 4 + 4 – 4 4 = 4 En la que el segundo sumando vale cero, y su suma, por lo tanto, vale 4. Noté entonces que el mercader sirio seguía atento, sin perder palabra, la explicación de Beremís, como si mucho le interesasen las expresiones aritméticas formadas por los cuatro cuatros. Beremís continuó: Para formar el número 5, por ejemplo, no hay dificultad. Escribimos: 4 × 4 + 4 4 = 5 Enseguida pasamos al 6: 4 + 4 4 + 4 = 6 Una pequeña alteración de la expresión anterior la convierte en 7: 44 4 – 4 = 7 Y de manera más simple logramos el 8: 4 + 4 + 4 – 4 = 8 El nueve no deja de ser interesante: 4 + 4+ 4 4 = 9 Y ahora una expresión igual a 10 formada por los cuatro cuatros: 44 – 4 4 = 10 1Numeración decimal UNIDAD 2Central: 619-8100 25 Saberes previos Completa el crucigrama con números: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Horizontales: 1. Número primo 3. Le falta 83 para ser 8 centenas. 6. 2 decenas, 3 centenas y 4 unidades. 8. Medio millar. 9. Le falta 7 para un millar. 11. Media centena. 12. Número par primo. 13. Una docena. 14. Valor de "x2 + 3" cuando "x" es 7. 16. Múltiplo de 17. 19. La suma de los cuadrados de 20 y 4. 20. Dos docenas de decenas. 21. Mayor número de dos cifras. Verticales: 1. Valor de "5x + 3" cuando "x" es 6. 2. Potencia de 9. 4. Tres manos. 5. 2 unidades, 7 millares y 5 decenas. 7. Centenas enteras en 4 956. 10. Cubo de 7. 12. La mitad de medio millar. 13. Doce al cuadrado. 15. 17 + 15 × 13. 17. Cuadrado de 13. 18. 2 + 3 × 4. Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe26 Conceptos básicos Sistema de numeración Es el conjunto de reglas, principios y símbolos que permiten escribir y leer correctamente los números. Numeración decimal Principio Las unidades se agrupan de 10 en 10 para formar la unidad inmediata superior • 10 unidades = 1 decena • 10 decenas = 1 centena • 10 centenas = 1 millar Este principio es fundamental para realizar las operaciones aritméticas. Símbolos o dígitos En el sistema decimal las cifras o dígitos que se utilizan son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9 Se puede observar que la característica de estas cifras son: • Valores enteros • No son negativos • Son menores que 10 Las cifras del número n(2n – 5)(3n) son "n", "2n – 5" y "3n". Solo: n = 3 permite que sean cifras en el sistema decimal. Regla Es la forma como se leen y escriben los números Así en el número: 5ta cifra 4ta cifra 3ra cifra 2da cifra 1ra cifra Lugares 2 4 7 1 5 Orden 1er orden (unidades) 2do orden (decenas) 3er orden (centenas) 4to orden (millares) 5to orden (decena de millar) Ejemplo: Un número de dos cifras: ab Un número de tres cifras: abc Un número de tres cifras, las dos primeras iguales: aab Descomposición polinómica Valor absoluto Es el valor de la cifra sin considerar la ubicación Ejemplo: Para el número 1 237 Los valores absolutos son: 1; 2; 3 y 7 Los valores absolutos en los números 237; 372 y 732, son los mismos: 2; 3 y 7. 1Numeración decimal UNIDAD 2Central: 619-8100 27 Valor relativo Es el valor de cada cifra considerando el orden que representa en el número Ejemplo: 1 237 Los valores relativos son: 1 × 1 000 2 × 100 3 × 10 7 La suma de los valores relativos, es igual al número: 237 = 2 × 100 + 3 × 10 + 7 Descomposición polinómica Es la suma de los valores relativos de las cifras abcd = a × 103 + b × 102 + c × 10 + d Ejemplo: a2c = a × 102 + 2 × 10 + c =100a + 20 + c a2b3 = a × 103 + 2 × 102 + b × 10 + 3 = 1 000a + 200 + 10b + 3 ab0ab = ab × 103 + ab 2abc2 = 2 × 104 + abc × 10 + 2 Síntesis teórica NUMERACIÓN Las cifras son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 Enteros no negativos menores que 10 Menor número de cuatro cifras diferentes: 1 023 Número de dos cifras: ab Número capicúa de cuatro cifras: abba Sistema de numeración decimal Principios Símbolos Reglas abc = 100a + 10b + c a0a = 100a + a aa0 = 100a + 10a Valor absoluto Valores relativos Descomposición polinómica Los valores absolutos de las cifras del número 2 543 2 5 4 3 Los valores relativos de las cifras del número 2 543 2 × 1 000 5 × 100 4 × 10 3 De 10 en 10 10 unidades = 1 decena 10 decenas = 1 centena 10 centenas = 1 millar Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe28 Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. De los números de tres cifras, determina: • El menor: ..................... • El mayor: ..................... • El menor de cifras diferentes: .................... • El mayor de cifras diferentes: ............... 2. Descomponer los números: • abc= ..........................................................• n(2n)n= ...................................................... 3. Descomponer y reducir: a3b – b3a= 4. Si "a" y "b" son cifras, determina en cada caso; ¿cuánto vale cada una? • 10a + b = 36 a = ........ b = ......... • 7a + b = 26 a = ........ b = ......... 5. Completa, considerando el número 4 723: • La cifra de menor orden es: ............ • 7 es la cifra de ...................... orden • La primera cifra es .......................... Aprende más Aplicación cotidiana Los romanos desconocían el cero, introducido posteriormente por los árabes, así que no existe ningún símbolo en el sistema de numeración romano que represente el valor cero. En el sistema de numeración romano los símbolos a usar son: S = {I; V; X; L; C; D; M, ...} y como regla general, los símbolos se escri- ben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor. El número 132 013 en el sistema romano se escribe como: CXXXIIXIII. 1. ¿Cómo se escribe 457 en el sistema romano? 2. Lima, ciudad de reyes y virreyes, fue fundada el 18 de enero de MDXXXV, por Francisco Pizarro y apenas contaba con 25 mil habitan- tes. ¿Cuántos años de fundada tiene Lima? 3. La Universidad Nacional Mayor de San Marcos, decana de América, fue fundada el 12 de mayo de MDLI y fue el inicio de la historia uni- versitaria del continente. ¿Cuántos años de fundada tiene la UNMSM? Resolución de problemas 4. Si: ab + ba = 165, hallar el valor de "a + b". 5. Si al numeral ab de cifras significativas le res- tamos el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras se obtiene 72. Hallar el valor de "a + b". 6. Dado el numeral capicúa: a(b + 1)(7 – b)(8 – a), hallar "a + b" 7. ¿Cuántos numerales de dos cifras son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras? 8. Una persona nació en el año 19aa y en el año 19bb cumplió (a+b+6) años. ¿En qué año na- ció, si "a" es impar? 9. Si a un número de dos cifras se le agrega la suma de sus cifras, se invierte el orden de sus cifras. Hallar el producto de las cifras de dicho número. 10. Un número que está comprendido entre 100 y 300, es tal que leído al revés excede en 50 al doble del número que le sigue al original. Ha- llar la suma de cifras del número original. 11. Un numeral de tres cifras que empieza en la ci- fra 2 es igual a 22 veces la suma de sus cifras. Hallar el producto de sus cifras. 12. Si a un numeral decimal de cuatro cifras se le agrega la suma de los valores absolutos de sus cifras, se obtiene 7 368. Hallar la cifra de segun- do orden más la cifra de cuarto orden 1Numeración decimal UNIDAD 2Central: 619-8100 29 13. Si: abcd = 37 . ab + 62 . cd Hallar el valor de "a + b + c + d" 14. Sabiendo que: abba 2 = a 2 a 2 (2b)(2b), hallar "a" y "b". 15. Si a un número de tres cifras se le agrega un 5 al comienzo y otro 5 al final, el número obteni- do es 147 veces el número original. Dar como respuesta la suma de las cifras de dicho número. 16. Si a un número de cuatro cifras se le añade la suma de sus cifras se obtiene 8 799. Determinar la suma de dichas cifras. ¡Tú puedes! 1. Hallar la suma de cifras de un número de la forma abcabc tal que sumado con el producto del número abc por el menor número capicúa de dos cifras, resulte un número conformado por 9 decenas de cen- tenas de tercer orden, 46 centenas de decenas y 22 diezmilésimas unidades de sexto orden. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 34 2. A un número se le agrega la suma de los valores absolutos de sus cifras y la suma de los valores relati- vos de las mismas. El resultado fue 2 928. Hallar la suma de cifras del número original. a) 12 b) 14 c) 15 d) 16 e) 18 3. Si a un número de cuatro cifras se le añade el triple de la suma de sus cifras se obtiene un número formado por setenta decenas de decenas, doce unidades de segundo orden y noventa diezmilésimos de cuarto orden. ¿Cuál es la mayor cifra de aquel número? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5 4. A un número de cuatro cifras se le agrega la suma de sus cifras y se procede del mismo modo con el nú- mero resultante para finalmente obtener el número 4 051. Calcule la suma de cifras del número original. a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13 5. En un corral habían aba animales. A causa de una epidemia se mueren ab vacas, 10a carneros y b0 co- nejos, hasta que al final se quedan 7(3a) animales. Luego de la epidemia pasaron dos años y llega a tener baa animales, dado que se reproducen rápidamente. ¿Cuántos animales han nacido en este tiempo? a) 322 b) 334 c) 346 d) 380 e) 422 Practica en casa 18:10:45 1. ¿Cuántos números de dos cifras son iguales a siete veces la suma de sus cifras? 2. ¿Cuántos numerales de dos cifras significativas cumplen que al aumentarles el numeral que re- sulta de invertir el orden de sus cifras se obtiene 55? Indicar la suma de cifras del mayor numeral. 3. Si "A" es un numeral de tres cifras y "B" es otro numeral de dos cifras, hallar el mayor valor que puede tomar "A – B". Dar la suma de cifras del resultado. 4. Si a un número de tres cifras se le altera el orden de las unidades con las decenas, este aumentará en 45 unidades, pero si se invierten las decenas con las centenas, disminuirá en 270. Halla en cuanto se altera, si se invierte el orden de las centenas y unidades. 5. Si a un número de dos cifras se le agrega cinco veces la suma de sus cifras, se invierte el orden de sus cifras. Hallar el producto de las cifras del número. Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe30 6. Si multiplicamos un número de dos cifras por 5, se obtiene el mismo resultado que al multiplicar por 6 el número que se obtiene al invertir el or- den de los dígitos del primer número. ¿Cuál es dicho resultado? 7. Un número que está comprendido entre 200 y 300, es tal que leído al revés excede en 20 al doble del número que le sigue al original. Ha- llar la suma de las cifras del número original. 8. El doble de un número es de la forma ab, pero si al número se le multiplica por 7 y luego se le divide entre 2 se obtiene ba. Hallar "a + b", siendo esta la mayor posible. 9. Un número de tres cifras que comienza en 5, es tal que al suprimirle esta cifra se obtiene un nú- mero que es igual a 1/26 del número original. ¿Cuál es la suma de sus cifras? 10. Un número de dos cifras aumentado en cuatro veces su cifra de decenas resulta 93. Hallar la suma de sus cifras. 11. Determinar un número de tres cifras compren- dido entre 100 y 200 y que es igual a 11 veces la suma de sus cifras. Dar como respuesta la suma de sus cifras. 12. Si a un número de dos cifras se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras se obtie- ne la suma de cifras del número. Hallar la suma de las cifras del número original. 13. Hallar un numeral de tres cifras cuya cifra de segundo orden sea el doble de la cifra de primer orden y la cifra de tercer orden sea el triple de la cifra de segundo orden. Dar la suma de sus cifras. 14. Juan tiene ab años y dentro de "7a" años tendrá 56 años. Hallar el valor de "a + b". 15. Hallar un numeral de tres cifras que empieza en la cifra 4, tal que al eliminar esta cifra, se obtiene un numeral que es 1/17 del número original. Dar la suma de cifras del número ori- ginal. 2Numeración en otras bases UNIDAD 2Central: 619-8100 31 Numeración en otras bases En este capítulo aprenderemos: • A relacionar los sistemas de numeración con sus cifras. • A utilizar la descomposición polinómica. • A explicar los métodos para hacer cambios de base. • A determinar las cifras de un número con ciertas características. • A determinar los numerales en diferentes bases. • A relacionar cifras, bases y numerales. El sistema numérico maya y las unidades de la cuenta larga Así como en el calendario gregoriano existennombres para designar determinados períodos de tiem-po, los mayas tenían nombres específicos para períodos de acuerdo con su sistema vigesimal mo-dificado de contar días. La unidad básica de medición del pueblo maya era el kin o día solar. Los múltiplos de esta unidad servían para designar diferentes lapsos de tiempo como sigue: Unidades de cómputo de la cuenta larga Nombre maya Días Equivalencia kin 1 — uinal 20 20 kin tun 360 18 uinal katún 7 200 20 tun o 360 uinales baktún 144 000 7 200 uinales, 400 tunes o 20 katunes × 144 000 × 7 200 × 360 × 20 × 1 Baktun Katun Tun Uinal Kin 0 1 4 5 11 19 20 126 1002 36 102 1 368 080 días Una forma sencilla y estandarizada de representar la notación de los años mayas en cuenta larga se hace con números separados por puntos. Por tanto, la notación 6.19.19.0.0 es igual a 6 baktunes, 19 katunes, 19 tunes, 0 uinales y 0 kines. El total de días se calcula multiplicando cada uno de estos números por su equivalente en días solares de acuerdo a la anterior tabla y sumando los productos obtenidos. En este caso particular, el total de días T. Los términos de mayor duración siguientes que muy raras veces eran utilizados por los mayas eran piktún, kalabtún, kinchinltún, y alautún. Veinte baktunes formarían un piktún de aproximadamente 7 890 años y veinte piktunes generan un kalabtun de 57 600 000 kines, aproximadamente 157 810 años. Según el arqueólogo John Eric Sidney Thompson, el número maya 0.0.0.0.0 es equivalente al día juliano número 584 283, es decir, 11 de agosto de 3114 a. C. Este número es considerada la constante de correlación del calendario maya, respecto a los calendarios juliano y gregoriano y se usa en los algoritmos de conversión de fechas en el calendario maya a los otros dos y viceversa. • ¿Cómo escribes el año actual utilizando el sistema Maya? Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe32 Saberes previos Completa el crucigrama con números: 1 2 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Horizontales: 1. El valor de: 2 × 32 – 4 5. Dos docenas 8. Quinta potencia de 3 10. 2 × 34 + 1 × 32 + 2 11. Cuadrado de 6 12. 2 × 72 + 3 × 7 + 5 13. Dos grupos de 9 14. Cuatro decenas 15. Le falta 937 para una decena de millar 17. Menor número de tres cifras diferentes 18. La solución positiva de: x2 – 3x – 10 = 0 19. Sistema vigesimal 20. Hallar "n", en: 4n + n = 67 Verticales: 1. Decena y media 2. La solución de: 3x + 5 = 17 4. Cubo de 7 6. Cuadrado de 20, más 6 7. Una mano 8. 4 × 82 + 2 × 8 + 2 9. Solución mayor de: x2 – x – 6 = 0 10. Una docena de decenas 11. 3 × 53 + 2 × 5 + 1 12. El cuadrado de 12 13. Menor número de cuatro cifras diferentes 15. Nueve decenas 16. El valor de "4n2 + 3n" cuando "n" es 9 17. Sistema decimal 2Numeración en otras bases UNIDAD 2Central: 619-8100 33 Conceptos básicos Sistema de numeración Es el conjunto de reglas, principios y símbolos que permiten escribir correctamente los números. Base de un sistema de numeración Es la cantidad de unidades que forman una unidad superior. Ejemplo: • En el sistema quinario (base cinco), 5 unidades formarán una unidad superior: m m m m m m m m m m m m m m m m Entonces son: Tres unidades de segundo orden Una unidad de primer orden Se escribe: 31(5) Bases de numeración El menor sistema de numeración es el binario, ya que es el menor número de unidades en que se pue- den agrupar Cifras o dígitos Las cifras tienen las siguientes condiciones: • Son menores que la base • Son enteros no negativos Base Cifras Nombre La máxima cifra: en el sistema decimal es 9 en el sistema quinario es 4 en el sistema de base "n" es "n – 1". 2 0; 1 Binario 3 0; 1; 2 Terciario 4 0; 1; 2; 3 Cuaternario 5 0; 1; 2; 3; 4 Quinario 6 0; 1; 2; 3; 4; 5 Senario 7 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 Heptal 8 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Octal 9 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 Nonal 10 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 Decimal 11 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; α Undecimal M M n 0; 1; 2; 3;.............; (n – 1) Enesimal Descomposición polinómica Es la suma de los valores absolutos de las cifras Ejemplos: • Para el número 2453(7) la descomposición polinómica es: 2 × 73 + 4 × 72 + 5 × 7 + 3 • Para el número a0b0c(n) la descomposición polinómica es: a . n4 + 0 . n3 + b . n2 + 0 . n + c = a . n4 + b . n2 + c Dado el polinomio: 2 . n3 + 3 . n2 + 4 . n + 1, es la descomposición del número 2341(n) Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe34 Cambios de base De otra base a la decimal Descomponemos polinómicamente y luego de realizar las operaciones en el sistema decimal obtene- mos el numeral decimal. Ejemplos: • El numeral 235(7) en el sistema decimal es: 235(7) = 2 × 7 2+ 3 × 7 + 5 = 98 + 21 + 5 = 124 • ¿Cómo se escribe el número 3121(5) en el sistema decimal? Una forma práctica es: 3 1 2 1 5 15 80 410 3 16 82 411 → 3121(5) = 411 Luego de descomponer, las operaciones se realizan en el sistema decimal. Del sistema decimal a otra base Para formar los grupos de la otra base, se realiza divisiones y el residuo de cada una de ellas son las cifras del numeral. Ejemplo: • El número 237 a la base octal 237 8 5 29 8 5 3 → 237 = 355(8) Recuerda que el último cociente y los residuos son menores que la base Entre bases diferentes a la decimal Se recomienda utilizar el sistema decimal para las operaciones, entonces usaremos los dos métodos anteriores. Ejemplo: • El numeral 1232(6) en el sistema nonario es: Primero 1232(6) al sistema decimal: 1232(6) = 1 × 6 3 + 2 × 62 + 3 × 6 + 2 = 216 + 72 + 18 + 2 = 308 308 9 2 34 9 7 3 Luego: 1232(6) = 308 = 372(9). Propiedades Base y cifra Las cifras deben ser menores que la base del sistema de numeración Ejemplo: • Sean los números: 3c(a); 2a(b); 1b(c); bc(7) Entonces analizando cada número: 3c(a) 2a(b) 1b(c) bc(7) 3 < a a < b b < c c < 7 Luego: a = 4; b = 5; c = 6 2Numeración en otras bases UNIDAD 2Central: 619-8100 35 Numeral y base Si la base es menor, el numeral que le corresponde será mayor. 1232(6) = 375(9). Comparando los numerales: 1232 > 375 Ahora las bases: 6 < 9 Ejemplo: • Si: d5c(n) = ab(7), hallar "n" Como: d5c > ab, entonces: n < 7 pero: n > 5 ⇒ n = 6 Síntesis teórica NUMERACIÓN EN otRAS BASES Del sistema decimal Sistema quinario 22(5) Al sistema decimal Sistema de numeración A mayor base, menor representación – + 234(9) = 301(8) + – Descomposición polinómica Divisiones entre la base Entre bases diferentes de la decimal 0; 1; 2; 3; ...; (n – 1) Enesimal (base "n") 2345(7)=2×7 3+3×72+4×7+5 = 686 + 147 + 28 + 5 = 866 234(9) al sistema octal (base 8) De base 9 a decimal: 234(9) = 2 × 9 2 + 3 × 9 + 4 = 193 De la decimal a la octal: 193 8 1 24 8 0 3 234(9) = 193 = 301(8) 435 al sistema senario (base 6) 435 6 3 72 6 0 12 6 0 2 435 = 2003(6) Principios ReglasSímbolos o cifras 0; 1; 2; 3; 4 Sistema quinario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 Sistema heptal Primer orden ↓ 2345 ↑ Cuarto orden (1ra cifra) 2345n: 2n3 + 3n2 + 4n + 5 Sistema posicional Cambio de base Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe36 Aplica lo comprendido 10 x 5 50 Resolución de problemas 4. Calcular "a", si: aa3a6 = 64a9 5. Calcular "x + y + z" si los siguientes numerales están bien escritos: y23q(x); z21(y); y3x(6); a2aa(z). 6. Calcular "a + b + c" en: a0(b); 31(a); 1b(c); c3(7). 7. Determina la suma de cifras, si el número n(n + 1)(n + 2)(n + 4)(6) se escribe en el siste- ma decimal. 8. ¿Cómo se escribe n(3n)(n – 3) en el sistema duo- decimal? 9.Si: (n – 1)n(n + 1)8 = 31111, calcular "n". 10. Hallar "a + b", si: ababab(3) = abb0(7) 11. Si: a3a(9) = b1b(5), hallar el valor de "a + b". 12. Un número entero se escribe como aab y bbb en los sistemas quinario y cuaternario respecti- vamente. Hallar "a + b". 13. Si: aa0(n) + aa(n) = 2237(8) hallar la suma de cifras de "R", sabiendo que: R = 2a + n. 14. Calcular "x . y", en: 1xy4(r) = r31(6) 15. Si: 13a(b) + 33b(c) + 136(a) = 44c Determine abc en base "c" y dar como respues- ta la cifra de segundo orden. 16. Determinar el valor de "x – y" en la expresión: 2x612 = 54y8 Aprende más Aplicación cotidiana 11 12 10 8 7 96 5 4 3 2 1 Por ejemplo, tuvo bastante difusión el sistema duodecimal, que también está ligado al empleo de los dedos de la mano, pero valiéndose de las distintas falanges, con el que se puede contar hasta 12. Los vestigios de este sistema han persistido hasta nuestros días y, a resultas del mismo, muchos objetos, aún se cuentan por docenas y no por decenas, si bien han caído en desuso expresiones tales como "gruesa" (doce docenas) o "masa" (una docena de gruesas). 1. ¿A cuántas unidades equivale 5 docenas y 3 unidades? 2. ¿A cuántas unidades equivale 2 gruesas con 3 docenas? 3. Para el número 900, obtener la mayor cantidad de gruesas, de lo que sobre la mayor cantidad de do- cenas y luego las unidades que sobran, las cantidades encontradas escríbelas en la tabla. Gruesas Docenas Unidades 1. Hallar el valor de "a", si el número (3a – 2)a(a – 2)(5) está correctamente escrito. 2. Descomponer y luego determinar el numeral en el sistema decimal, en los siguientes números: • 123(5)=..................................................... • 205(7)=...................................................... 3. Escribe los números en el sistema que corres- ponde: • 30 =........(7) • 22 =........(5) 4. Sea el número: a(a + 1)(a + 2)(a + 3)(5), de- termina el valor de "a" y luego escribe dicho número en el sistema decimal 5. Si: 53(7) + 43(6) = ab, hallar "a + b". 2Numeración en otras bases UNIDAD 2Central: 619-8100 37 1. Si se sabe que: N = 2 × 63 + 5 × 62 + 3 × 6 + 1 ¿Cómo se escribe el número "N" en base 6? Dar como respuesta la suma de sus cifras. 2. Hallar el valor de "a", en: 3a4(7) = 186 3. Hallar el valor de "a", si se sabe que: 2a2a(7) = 1 000 4. Si se sabe que los numerales: b45(8); aa3(b); 25(a) están correctamente escritos, hallar el valor de "a + b". 5. Sabiendo que: a02(9) = aa11(4), determinar el valor de "a". 6. Sabiendo que los numerales están correctamen- te escritos: 2m3(p); 54n(7); 213(m); 3p1(n), hallar el valor de "m + n + p". 7. Determinar el valor de "a", si: 13(a–1)(a) = (a+1)( a 2 )(8). 8. Si se cumple que: 246(n) = 11α(12) (α = 10) hallar el valor de "n". 9. Sabiendo que: ab3(4) = ba4(5) hallar el valor de "a + b". 10. Si se cumple que: 3a(2b)(6) = b0ba(5). hallar el valor de "a + b". 11. Hallar el valor de "a + b + c", si: aaa(7) = bc1 12. Hallar el valor de "a", en: 13a0(4) = 120. 13. Determinar el valor de "b", en: b64 = b0b4(5). 14. Sabiendo que: a0b(11) = b0a(13) hallar el valor de "a + b". 15. Al convertir el número n2n0(5) al sistema hepta- nario se obtiene un numeral de tres cifras conse- cutivas crecientes. Halle el numeral en base 6. Practica en casa 18:10:45 ¡Tú puedes! 1. Hallar "a + b + c + n" sabiendo que: abc(5) = cbn(6), todas las cifras son significativas. a) 12 b) 16 c) 10 d) 8 e) 20 2. Se tiene que: 15 m 6 m 9 m (7) = (m – 1)(m – 3)(m – 1)(5 – m)(n) Hallar "m + n" a) 4 b) 6 c) 3 d) 8 e) 2 3. Si: a(a + b)bb = mnmn(7), donde "m" no es impar, calcular el valor de "a + b + m + n" a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 4. Si: aba(c) = mnc(9), m > 5 y además: xyz(a) = zyx(9), calcular "m + a + c + x + y + z". a) 21 b) 28 c) 29 d) 30 e) 26 5. Si: acb = cba + 2 y a + b + c = 24, expresar abc en el sistema hexadecimal. a) 351116 b) 37216 c) 36316 d) 31116 e) 38116 38 3 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Complemento Aprende más 1. Sea el conjunto: A = {a; b; {{a}}; {a; c}}, deter- minar cuántas son verdaderas. • a ∈ A • {a} ⊂ A • {a} ∈ A • {{a}} ⊂ A • {{a}} ∈ A • {{{a}}} ⊂ A • {a; c} ∈ A • {a; b} ⊂ A • f ∈ A • f ⊂ A 2. En un grupo de 50 personas se sabe que 30 aprobaron Aritmética y 25 aprobaron Álgebra, ¿cuántas personas aprobaron Aritmética y Álge- bra, si no hubo ningún desaprobado? 3. De un grupo de 30 personas, 20 van al teatro, 5 solo van al cine y 18 van al cine o al teatro, pero no a ambos sitios. ¿Cuántos van a ambos sitios? 4. De 65 alumnos se sabe que: 30 son hombres, 40 son mayores de edad y 12 señoritas no son mayores de edad. ¿Cuántos hombres no son mayores de edad? 5. Un depósito tiene inicialmente ab litros de agua. Se abre un caño que se encuentra en la parte superior de él y luego de media hora el depósito tiene ba litros de agua y media hora más tarde tiene a0b litros de agua. Hallar el cau- dal en litros por hora. 6. Hallar un número de dos cifras que sea igual a seis veces la suma de sus cifras. Indicar la dife- rencia de sus cifras. 7. Hallar "n", si: 222(n) = 182 8. Calcule "a + n", si se cumple que: 150n = a26 9. Un "gordito" ingresa a un restaurante en el cual se venden 5 platos distintos y piensa: "me gus- tan todos pero debo llevar como mínimo 2 pla- tos y como máximo 4". ¿De cuántas maneras puede escoger el "gordito" los platos? 10. Si: n(A) = 15; n(B) = 23 y n(A – B) = 8, calcu- lar: n(A D B). 11. Dados los conjuntos: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {1; 3; 5; 7; 9; 10} Hallar el valor de: (A ∪ B)' 12. Hallar "a + b + c", si: abab(5) = bcb 13. Hallar "n", si: 440(n) = 242(11) 14. Hallar "a + b", si se cumple que: aba(8) = 1106n 15. Si "A", "B" y "C" son subconjuntos de "U", y además se cumple: U = {x ∈ / 3 < x < 20} A = {5; 8; 7; 11; 15; 19} B = {4; 5; 7; 6; 10; 15; 19} C = {6; 7; 8; 13; 14; 19} Hallar la suma de los elementos del conjunto: [(A – B) ∩ C]' 16. Hallar "x + y", si: x(x + 1)x(9) = 6y6. 17. Si los siguientes numerales están bien escri- tos: 213(m); 10m(n); 2n4(p) y mnp(7), calcular "m + n + p". 18. Sabiendo que "A" tiene 128 subconjuntos en total, que el número de elementos de la inter- sección de "A" y "B" es 5 y que "B – A" tiene 16 subconjuntos, determinar el número de subcon- juntos de A ∪ B. 3Complemento UNIDAD 2Central: 619-8100 39 ¡Tú puedes! 1. Sean los siguientes conjuntos: A = {x /x es peruano nacido en Lima} B = {x/x es un estudiante universitario} C = {x/x tiene un trabajo estable} Si Juan es un joven nacido en Tacna que está matriculado en la universidad, que se ayuda económica- mente dando clases particulares de vez en cuando; entonces Juan pertenece al siguiente conjunto: a) (A ∩ B) – C b) B – (A ∪ C) c) (B – A) ∩ C d) (B – C ) ∩ A e) (B – A ) ∩ (C – B ) 2. En una academia de computación se observa que todos los que estudian Power Point estudian Corel Draw, 15 estudian Power Point, Corel Draw y Macromedia Flash, 60 estudian Macromedia Flash y 80 estudian Corel Draw. La cantidad de los que estudian Corel Draw y Macromedia Flash, pero no Power Point es el doble de los que estudian solo Macromedia Flash y a su vez es el triple de los que estudian solo Corel Draw. ¿Cuántos estudian Power Point pero no Macromedia Flash? a) 20 b) 25 c) 30 d) 45 e) 35 3. Sean "A", "B" y "C" tres conjuntos contenidos en un universo de 60 elementos. Si: (B – C) ∪ (C – B) tiene 40 elementos, el conjunto: A – (B ∪ C) tiene 10 elementos, la intersección de los tres conjuntos tiene 5 elementos y el conjunto: (B ∩ C) – A es vacío, ¿cuántos elementos tieneel conjunto: (A ∪ B ∪ C)'? a) 10 b) 0 c) 5 d) 4 e) 3 4. Sabiendo que un conjunto tiene 40 elementos y otro conjunto tiene 60 elementos y además la inter- sección de ellos tiene 30 elementos, hallar el número de elementos que tiene la intersección de los complementos de estos conjuntos, sabiendo que el cardinal del universo es 120. a) 60 b) 50 c) 40 d) 35 e) 70 5. Si: n(A)=160; n(B)=150; n(C)=120 y n(A ∪ B ∪ C)=180, calcular la cantidad mínima de elementos de (A ∩ B ∩ C). a) 110 b) 70 c) 100 d) 20 e) 50 Practica en casa 18:10:45 1. Si al restar un número de dos cifras con el que resulta de invertir el orden de sus cifras se obtie- ne 45, hallar el producto de las cifras del mayor número que cumple dicha condición. 2. Hallar "a + b", si se cumple: a2b(9) = a72(n) 3. Hallar "a + b", para que se cumpla: aba(8) = 1106(n) 4. Sean los conjuntos iguales: A = {a2 + 1; 12} B = {a – b; 17} ¿Cuál puede ser el valor de "a + b"? 5. Hallar "a + b + n", si se sabe que: a2b(8) = a6(n – 1)(n) 6. A la biblioteca escolar "Trilce" asistieron 120 alumnos, de los cuales 64 leyeron libros de ciencias, 49 leyeron libros de humanidades y 18 leyeron ambos libros. ¿Cuántos estudiantes leyeron otros libros? 7. De 80 jóvenes que practican fútbol, basket y vo- ley, se sabe que 27 de ellos no practican voley, 26 no practican fútbol, 30 no practican basket y 26 practican los tres deportes. ¿Cuántos practi- can exactamente dos deportes? Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe40 8. Hallar "m + n", si el conjunto "A" es unitario. A = {2m – 6; n + 5; 18} 9. Indica verdadero (V) o falso (F) según corres- ponda. A = {a; b; {a; b}; {{c}}} I. {b} ∈ A III. f ∈ A II. {c} ∈ A IV. {b; a} ∈ A 10. De un grupo de 100 estudiantes se sabe que 49 no llevan psicología, 53 no llevan computa- ción y 27 no llevan ninguno de los dos cursos. ¿Cuántos llevan exactamente un curso? 11. Sean los conjuntos "A", "B" y "C" tales que: • n(U) = 98 • n(C) = 46 • n[(B ∩ C) – A] = 7 • n[(A ∪ B ∪ C)'] = 5 • n(A) = n(B) = 41 • n[(A ∩ B) – C] = 9 • n[A – (B ∪ C)] = 18 Hallar: n(A ∩ B ∩ C) 12. Hallar "a + b + c", si los números están correc- tamente escritos: 234(a); aa(b); b35(c); 12c(8) 13. Calcular el valor de "a + b", si: 4ab(7) = 2ba(9) 14. El menor número de cuatro cifras de la base "n" excede al mayor número de dos cifras de dicha base "n" en 449. Dar el valor de "n". 15. Calcular el valor de "a + b", si: n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) = abb(6)
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