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Aritmetica 2

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Numeración
Los números en el incanato. ¿Qué es el Qhipu?
Los quipus ayudaban a los incas a mantener cuentas muy minuciosas de los productos, armas, impuestos e incluso, calcular el importe exacto del tributo otorgado por los pueblos vencidos. En el	cordel	principal,	un	hilo	negro	indicaba	los	años	transcurridos	e	información	histórica.	Es	un	sistema memotécnico de registros de cantidades.¿Quién es el Quipucamayoc?
El Quipucamayoc, educado por los amautas en escuelas especiales llamadas Yachayhuasi, era el especialista en elaborar, "leer" y archivar los quipus, dotado de una memoria prodigiosa. Puede decirse que el Quipucamayoc era lo que es hoy el analista económico o el responsable del pla-neamiento estratégico, igualmente el quipu para los incas , era lo que es hoy el moderno compu-tador para los economistas.
1 2 3 4 5
Huk Iskay Kimsa Tawa Pisqa
6 7 8 9 10
Suqta Qanchis Pusaq Isqun Chunka
APreNDIZAjes esPerADos
Comunicación matemática
•	 Escribir	y	leer	los	números	en	el	sistema	deci-
mal.
•	 Relacionar	 los	 sistemas	 de	 numeración	 con	
sus cifras.
Razonamiento y demostración
•	 Utilizar	la	descomposición	polinómica.
•	 Explicar	 los	métodos	 para	 hacer	 cambios	 de	
base.
Resolución de problemas
•	 Determinar	las	cifras	de	un	número	con	ciertas	
características.
•	 Determinar	los	numerales	en	diferentes	bases.
•	 Relacionar	cifras,	bases	y	numerales.
Diversas versiones del kipu, 
sistema de grabación de 
datos, aún no comprendido 
en la actualidad.
Las ilustraciones correspon-
den al libro Comentarios 
reales de Garcilazo, primera 
versión escrita por un mesti-
zo de la conquista española.
En la ilustración titulada 
"contador maior y tezorero", 
aparece el quipucamayoc. 
Nadie hasta el momento ha 
estudiado con seriedad el 
significado del ábaco o ma-
triz que aparece en la parte 
inferior de la figura.
UNIDAD 2
Aritmética
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Numeración decimal
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	escribir	y	leer	los	números	en	el	sistema	decimal.
•	 A	utilizar	la	descomposición	polinómica.
•	 A	determinar	las	cifras	de	un	número	con	ciertas	características.
Con los cuatro cuatros
Del libro "El Hombre que Calculaba" de Malba Tahan
Quiero formar el número cero. Nada hay más simple. Basta escribir: 44 – 44 = 0Están así los cuatro cuatros formando una expresión igual a cero.
Pasamos ahora al número 1. Esta es la forma más cómoda: 44
44 
= 1
¿Quiere	ver	ahora	el	número	2?	Fácilmente	se	usan	los	cuatro	cuatros	escribiendo:
 
4
4 
+
 
4
4 
=
 
2.
El 3 es más fácil todavía. Basta escribir la expresión: 4 + 4 + 4
4 
= 3
Repare	en	que	la	suma	de	12	dividida	por	4,	da	un	cociente	3,	resulta	así	el	número	3	formado	por	cuatro	
cuatros.
¿Cómo	formareis	el	número	4?	–pregunté.
Muy fácilmente –dijo Beremís-. El número cuatro puede formarse de varias maneras; una de ellas sería la 
siguiente: 4 + 4 – 4
4
 = 4
En la que el segundo sumando vale cero, y su suma, por lo tanto, vale 4.
Noté entonces que el mercader sirio seguía atento, sin perder palabra, la explicación de Beremís, como si 
mucho le interesasen las expresiones aritméticas formadas por los cuatro cuatros.
Beremís continuó:
Para formar el número 5, por ejemplo, no hay dificultad. Escribimos: 4 × 4 + 4
4 
= 5
Enseguida pasamos al 6: 4 + 4
4
 + 4 = 6
Una	pequeña	alteración	de	la	expresión	anterior	la	convierte	en	7:
 
44
4
 – 4 = 7
Y de manera más simple logramos el 8: 4 + 4 + 4 – 4 = 8
El nueve no deja de ser interesante: 4 + 4+
 
4
4 
=
 
9
Y ahora una expresión igual a 10 formada por los cuatro cuatros: 44 – 4
4 
= 10
1Numeración decimal
UNIDAD 2Central: 619-8100 25
Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números:
1 2 3 4 5
6 7 8
9 10 11
12 13
14 15 16 17
18 19
20 21
Horizontales:
1. Número primo
3. Le falta 83 para ser 8 centenas.
6. 2 decenas, 3 centenas y 4 unidades.
8. Medio millar.
9. Le falta 7 para un millar.
11. Media centena.
12. Número par primo.
13. Una docena.
14. Valor de "x2 + 3" cuando "x" es 7.
16. Múltiplo de 17.
19. La suma de los cuadrados de 20 y 4.
20. Dos docenas de decenas.
21. Mayor número de dos cifras.
Verticales:
1. Valor de "5x + 3" cuando "x" es 6.
2. Potencia de 9.
4. Tres manos.
5. 2 unidades, 7 millares y 5 decenas.
7. Centenas	enteras	en	4	956.
10. Cubo	de	7.
12. La mitad de medio millar.
13. Doce al cuadrado.
15. 17 + 15 × 13.
17. Cuadrado	de	13.
18. 2 + 3 × 4.
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Conceptos básicos
Sistema de numeración
Es el conjunto de reglas, principios y símbolos que permiten escribir y leer correctamente los números.
Numeración decimal
 Principio
 Las unidades se agrupan de 10 en 10 para formar la unidad inmediata 
superior
•	 10	unidades	=	1	decena
•	 10	decenas	=	1	centena
•	 10	centenas	=	1	millar
Este principio 
es fundamental 
para realizar 
las operaciones 
aritméticas.
 Símbolos o dígitos
 En el sistema decimal las cifras o dígitos que se utilizan son: 
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9
 Se puede observar que la característica de estas cifras son:
•	 Valores	enteros
•	 No	son	negativos
•	 Son	menores	que	10	
Las cifras del número 
n(2n – 5)(3n) son 
"n", "2n – 5" y "3n". 
Solo: n = 3 permite 
que sean cifras en el 
sistema decimal.
 Regla
 Es la forma como se leen y escriben los números
 Así en el número:
5ta cifra
4ta cifra
3ra cifra
2da cifra
1ra cifra
Lugares
2 4 7 1 5
Orden
1er orden (unidades)
2do orden (decenas)
3er orden (centenas)
4to orden (millares)
5to orden (decena de millar)
 Ejemplo:
 Un número de dos cifras: ab
 Un número de tres cifras: abc
 Un número de tres cifras, las dos primeras iguales: aab
Descomposición polinómica
 Valor absoluto
 Es el valor de la cifra sin considerar la ubicación
 Ejemplo:
 Para el número 1 237
 Los valores absolutos son: 1; 2; 3 y 7
Los valores 
absolutos en los 
números 237;
372 y 732, son los 
mismos: 2; 3 y 7.
1Numeración decimal
UNIDAD 2Central: 619-8100 27
 Valor relativo
 Es el valor de cada cifra considerando el orden que representa en el número
 Ejemplo:
 1 237
 Los valores relativos son: 1 × 1 000
 2 × 100
 3 × 10
 7
La suma de los
valores relativos, es
igual al número:
237 = 2 × 100 + 3 × 10 + 7
 Descomposición polinómica
 Es la suma de los valores relativos de las cifras
 abcd = a × 103 + b × 102 + c × 10 + d
 Ejemplo:
 a2c = a × 102 + 2 × 10 + c =100a + 20 + c
 a2b3 = a × 103 + 2 × 102 + b × 10 + 3 = 1 000a + 200 + 10b + 3
 ab0ab = ab × 103 + ab
 2abc2 = 2 × 104 + abc × 10 + 2
Síntesis teórica
NUMERACIÓN
Las cifras son:
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
Enteros no negativos 
menores que 10
Menor número de cuatro 
cifras diferentes: 1 023
Número de dos cifras: ab
Número capicúa de 
cuatro cifras: abba
Sistema de numeración decimal
Principios Símbolos Reglas
abc = 100a + 10b + c
a0a = 100a + a
aa0 = 100a + 10a
Valor absoluto Valores relativos Descomposición polinómica
Los valores absolutos de las 
cifras del número 2 543
2
5
4
3
Los valores relativos de las 
cifras del número 2 543
2 × 1 000
5 × 100
4 × 10
3
De 10 en 10
10 unidades = 1 decena
10 decenas = 1 centena
10 centenas = 1 millar
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Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. De los números de tres cifras, determina:
•	 El	menor:	.....................
•	 El	mayor:	.....................
•	 El	menor	de	cifras	diferentes:	 ....................
•	 El	mayor	de	cifras	diferentes:	...............
2. Descomponer los números:
•	 abc= ..........................................................•	 n(2n)n= ......................................................
3. Descomponer y reducir: a3b – b3a=
4. Si "a" y "b" son cifras, determina en cada caso; 
¿cuánto	vale	cada	una?
•	 10a	+	b	=	36
 a = ........ b = .........
•	 7a	+	b	=	26
 a = ........ b = .........
5. Completa,	considerando	el	número	4	723:
•	 La	cifra	de	menor	orden	es:	............
•	 7	es	la	cifra	de	......................	orden
•	 La	primera	cifra	es	..........................
Aprende más
Aplicación cotidiana
Los romanos desconocían el cero, introducido posteriormente por los árabes, así que no existe ningún 
símbolo en el sistema de numeración romano que represente el valor cero. En el sistema de numeración 
romano	los	símbolos	a	usar	son:	S	=	{I;	V;	X;	L;	C;	D;	M,	...}	y	como	regla	general,	los	símbolos	se	escri-
ben y leen de izquierda a derecha, de mayor a menor valor. El número 132 013 en el sistema romano se 
escribe como: CXXXIIXIII.
1. ¿Cómo	se	escribe	457	en	el	sistema	romano?
2. Lima, ciudad de reyes y virreyes, fue fundada el 18 de enero de 
MDXXXV,	por	Francisco	Pizarro	y	apenas	contaba	con	25	mil	habitan-
tes.	¿Cuántos	años	de	fundada	tiene	Lima?
3. La Universidad Nacional Mayor de San Marcos, decana de América, 
fue fundada el 12 de mayo de MDLI y fue el inicio de la historia uni-
versitaria	del	continente.	¿Cuántos	años	de	fundada	tiene	la	UNMSM?
Resolución de problemas
4. Si: ab + ba = 165, hallar el valor de "a + b".
5. Si al numeral ab de cifras significativas le res-
tamos el numeral que se obtiene al invertir el 
orden de sus cifras se obtiene 72. Hallar el valor 
de "a + b".
6. Dado el numeral capicúa: a(b + 1)(7 – b)(8 – a), 
hallar "a + b"
7. ¿Cuántos	numerales	de	dos	cifras	son	iguales	a	
cuatro	veces	la	suma	de	sus	cifras?
8. Una	persona	nació	en	el	año	19aa	y	en	el	año	
19bb	cumplió	(a+b+6)	años.	¿En	qué	año	na-
ció,	si	"a"	es	impar?
9. Si a un número de dos cifras se le agrega la suma 
de sus cifras, se invierte el orden de sus cifras. 
Hallar el producto de las cifras de dicho número.
10. Un número que está comprendido entre 100 y 
300, es tal que leído al revés excede en 50 al 
doble del número que le sigue al original. Ha-
llar la suma de cifras del número original.
11. Un numeral de tres cifras que empieza en la ci-
fra 2 es igual a 22 veces la suma de sus cifras. 
Hallar el producto de sus cifras.
12. Si a un numeral decimal de cuatro cifras se le 
agrega la suma de los valores absolutos de sus 
cifras, se obtiene 7 368. Hallar la cifra de segun-
do orden más la cifra de cuarto orden
1Numeración decimal
UNIDAD 2Central: 619-8100 29
13. Si: abcd = 37 . ab + 62 . cd
 Hallar el valor de "a + b + c + d"
14. Sabiendo que:
 
abba
2 
=
 
a
2 
a
2 
(2b)(2b),
 
hallar "a" y "b".
15. Si a un número de tres cifras se le agrega un 5 
al comienzo y otro 5 al final, el número obteni-
do es 147 veces el número original. Dar como 
respuesta la suma de las cifras de dicho número.
16. Si	a	un	número	de	cuatro	cifras	se	le	añade	la	
suma de sus cifras se obtiene 8 799. Determinar 
la suma de dichas cifras.
¡Tú puedes!
1. Hallar la suma de cifras de un número de la forma abcabc tal que sumado con el producto del número 
abc por el menor número capicúa de dos cifras, resulte un número conformado por 9 decenas de cen-
tenas de tercer orden, 46 centenas de decenas y 22 diezmilésimas unidades de sexto orden.
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 34
2. A un número se le agrega la suma de los valores absolutos de sus cifras y la suma de los valores relati-
vos de las mismas. El resultado fue 2 928. Hallar la suma de cifras del número original.
a) 12 b) 14 c) 15 d) 16 e) 18
3. Si	a	un	número	de	cuatro	cifras	se	le	añade	el	triple	de	la	suma	de	sus	cifras	se	obtiene	un	número	
formado por setenta decenas de decenas, doce unidades de segundo orden y noventa diezmilésimos 
de	cuarto	orden.	¿Cuál	es	la	mayor	cifra	de	aquel	número?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5
4. A un número de cuatro cifras se le agrega la suma de sus cifras y se procede del mismo modo con el nú-
mero	resultante	para	finalmente	obtener	el	número	4	051.	Calcule	la	suma	de	cifras	del	número	original.
a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13
5. En un corral habían aba animales. A causa de una epidemia se mueren ab vacas, 10a carneros y b0 co-
nejos, hasta que al final se quedan 7(3a)	animales.	Luego	de	la	epidemia	pasaron	dos	años	y	llega	a	tener	
baa	animales,	dado	que	se	reproducen	rápidamente.	¿Cuántos	animales	han	nacido	en	este	tiempo?
a) 322 b) 334 c) 346 d) 380 e) 422
Practica en casa
18:10:45
1. ¿Cuántos	 números	 de	 dos	 cifras	 son	 iguales	 a	
siete	veces	la	suma	de	sus	cifras?
2. ¿Cuántos	numerales	de	dos	cifras	 significativas	
cumplen que al aumentarles el numeral que re-
sulta de invertir el orden de sus cifras se obtiene 
55?	Indicar	la	suma	de	cifras	del	mayor	numeral.
3. Si "A" es un numeral de tres cifras y "B" es otro 
numeral de dos cifras, hallar el mayor valor que 
puede tomar "A – B". Dar la suma de cifras del 
resultado.
4. Si a un número de tres cifras se le altera el orden 
de las unidades con las decenas, este aumentará 
en 45 unidades, pero si se invierten las decenas 
con las centenas, disminuirá en 270. Halla en 
cuanto se altera, si se invierte el orden de las 
centenas y unidades.
5. Si a un número de dos cifras se le agrega cinco 
veces la suma de sus cifras, se invierte el orden 
de sus cifras. Hallar el producto de las cifras del 
número.
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6. Si multiplicamos un número de dos cifras por 5, 
se obtiene el mismo resultado que al multiplicar 
por 6 el número que se obtiene al invertir el or-
den	de	los	dígitos	del	primer	número.	¿Cuál	es	
dicho	resultado?
7. Un número que está comprendido entre 200 y 
300, es tal que leído al revés excede en 20 al 
doble del número que le sigue al original. Ha-
llar la suma de las cifras del número original.
8. El doble de un número es de la forma ab, pero 
si al número se le multiplica por 7 y luego se 
le divide entre 2 se obtiene ba. Hallar "a + b", 
siendo esta la mayor posible.
9. Un número de tres cifras que comienza en 5, es 
tal que al suprimirle esta cifra se obtiene un nú-
mero que es igual a 1/26 del número original. 
¿Cuál	es	la	suma	de	sus	cifras?
10. Un número de dos cifras aumentado en cuatro 
veces su cifra de decenas resulta 93. Hallar la 
suma de sus cifras.
11. Determinar un número de tres cifras compren-
dido entre 100 y 200 y que es igual a 11 veces 
la suma de sus cifras. Dar como respuesta la 
suma de sus cifras.
12. Si a un número de dos cifras se le resta el que 
resulta de invertir el orden de sus cifras se obtie-
ne la suma de cifras del número. Hallar la suma 
de las cifras del número original.
13. Hallar un numeral de tres cifras cuya cifra de 
segundo orden sea el doble de la cifra de primer 
orden y la cifra de tercer orden sea el triple de 
la cifra de segundo orden. Dar la suma de sus 
cifras.
14. Juan	tiene	ab	años	y	dentro	de	"7a"	años	tendrá	
56	años.	Hallar	el	valor	de	"a	+	b".
15. Hallar un numeral de tres cifras que empieza 
en la cifra 4, tal que al eliminar esta cifra, se 
obtiene un numeral que es 1/17 del número 
original. Dar la suma de cifras del número ori-
ginal.
2Numeración en otras bases
UNIDAD 2Central: 619-8100 31
Numeración en otras bases
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	relacionar	los	sistemas	de	numeración	con	sus	cifras.
•	 A	utilizar	la	descomposición	polinómica.
•	 A	explicar	los	métodos	para	hacer	cambios	de	base.
•	 A	determinar	las	cifras	de	un	número	con	ciertas	características.
•	 A	determinar	los	numerales	en	diferentes	bases.
•	 A	relacionar	cifras,	bases	y	numerales.
El sistema numérico maya y las unidades de la cuenta larga
Así como en el calendario gregoriano existennombres para designar determinados períodos de tiem-po, los mayas tenían nombres específicos para períodos de acuerdo con su sistema vigesimal mo-dificado de contar días. La unidad básica de medición del pueblo maya era el kin o día solar. Los 
múltiplos de esta unidad servían para designar diferentes lapsos de tiempo como sigue:
Unidades de cómputo de la cuenta larga
Nombre maya Días Equivalencia
kin 1 —
uinal 20 20 kin
tun 360 18 uinal
katún 7 200 20 tun o 360 uinales
baktún 144 000 7 200 uinales, 400 tunes o 20 katunes
× 144 000
× 7 200
× 360
× 20
× 1
Baktun
Katun
Tun
Uinal
Kin
0 1 4 5 11 19 20 126 1002 36 102 1 368 080 días
Una	forma	sencilla	y	estandarizada	de	representar	la	notación	de	los	años	mayas	en	cuenta	larga	se	hace	
con números separados por puntos. Por tanto, la notación 6.19.19.0.0 es igual a 6 baktunes, 19 katunes, 
19 tunes, 0 uinales y 0 kines. El total de días se calcula multiplicando cada uno de estos números por su 
equivalente en días solares de acuerdo a la anterior tabla y sumando los productos obtenidos. En este caso 
particular, el total de días T.
Los términos de mayor duración siguientes que muy raras veces eran utilizados por los mayas eran piktún, 
kalabtún,	kinchinltún,	y	alautún.	Veinte	baktunes	formarían	un	piktún	de	aproximadamente	7	890	años	
y	veinte	piktunes	generan	un	kalabtun	de	57	600	000	kines,	aproximadamente	157	810	años.	Según	el	
arqueólogo	John	Eric	Sidney	Thompson,	el	número	maya	0.0.0.0.0	es	equivalente	al	día	juliano	número	
584	283,	es	decir,	11	de	agosto	de	3114	a.	C.	Este	número	es	considerada	la	constante	de	correlación	del	
calendario maya, respecto a los calendarios juliano y gregoriano y se usa en los algoritmos de conversión 
de fechas en el calendario maya a los otros dos y viceversa.
• 	 ¿Cómo	escribes	el	año	actual	utilizando	el	sistema	Maya?
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Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números:
1 2 4 4 5 6
7 8 9
10 11
12 13
14 15 16
17 18
19 20
Horizontales:
1. El valor de: 2 × 32 – 4
5. Dos docenas
8. Quinta potencia de 3
10. 2 × 34 + 1 × 32 + 2
11. Cuadrado	de	6
12. 2 × 72 + 3 × 7 + 5
13. Dos grupos de 9
14. Cuatro	decenas
15. Le falta 937 para una decena de millar
17. Menor número de tres cifras diferentes
18. La solución positiva de: x2 – 3x – 10 = 0
19. Sistema vigesimal
20. Hallar "n", en: 4n + n = 67
Verticales:
1. Decena y media
2. La solución de: 3x + 5 = 17
4. Cubo	de	7
6. Cuadrado	de	20,	más	6
7. Una mano
8. 4 × 82 + 2 × 8 + 2
9. Solución mayor de: x2 – x – 6 = 0
10. Una docena de decenas
11. 3 × 53 + 2 × 5 + 1
12. El cuadrado de 12
13. Menor número de cuatro cifras diferentes
15. Nueve decenas
16. El valor de "4n2 + 3n" cuando "n" es 9
17. Sistema decimal
2Numeración en otras bases
UNIDAD 2Central: 619-8100 33
Conceptos básicos
Sistema de numeración
Es el conjunto de reglas, principios y símbolos que permiten escribir correctamente los números.
Base de un sistema de numeración
Es la cantidad de unidades que forman una unidad superior.
 Ejemplo:
•	 En	el	sistema	quinario	(base	cinco),	5	unidades	formarán	una	unidad	superior:
	 m	 m	 m m
	 m	 m 	 m	 m
	 m	 m	 m	 m
	 m	 m m m
Entonces son: Tres unidades de segundo orden
Una unidad de primer orden Se escribe: 31(5)
 Bases de numeración
 El menor sistema de numeración es el binario, ya que es el menor número de unidades en que se pue-
den agrupar
 Cifras o dígitos
 Las cifras tienen las siguientes condiciones:
•	 Son	menores	que	la	base
•	 Son	enteros	no	negativos
Base Cifras Nombre
La máxima cifra:
en el sistema decimal es 9
en el sistema quinario es 4
en el sistema de base "n" es "n – 1".
2 0; 1 Binario
3 0; 1; 2 Terciario
4 0; 1; 2; 3 Cuaternario
5 0; 1; 2; 3; 4 Quinario
6 0; 1; 2; 3; 4; 5 Senario
7 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 Heptal
8 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Octal
9 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 Nonal
10 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 Decimal
11 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; α Undecimal
M M
n 0; 1; 2; 3;.............; (n – 1) Enesimal
 Descomposición polinómica
 Es la suma de los valores absolutos de las cifras
 Ejemplos:
•	 Para	el	número	2453(7) la descomposición polinómica es:
 2 × 73 + 4 × 72 + 5 × 7 + 3
•	 Para	el	número	a0b0c(n) la descomposición polinómica es:
 a . n4 + 0 . n3 + b . n2 + 0 . n + c = a . n4 + b . n2 + c
Dado el polinomio:
2 . n3 + 3 . n2 + 4 . n + 1,
es la descomposición del 
número 2341(n)
Aritmética
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Cambios de base
 De otra base a la decimal
 Descomponemos polinómicamente y luego de realizar las operaciones en el sistema decimal obtene-
mos el numeral decimal.
 Ejemplos:
•	 El	numeral	235(7) en el sistema decimal es: 235(7) = 2 × 7
2+ 3 × 7 + 5 = 98 + 21 + 5 = 124
•	 ¿Cómo	se	escribe	el	número	3121(5)	en	el	sistema	decimal?
 Una forma práctica es:
3 1 2 1
5 15 80 410
3 16 82 411 → 3121(5) = 411
Luego de 
descomponer, 
las operaciones 
se realizan en el 
sistema decimal.
 Del sistema decimal a otra base
 Para formar los grupos de la otra base, se realiza divisiones y el residuo de cada una de ellas son las 
cifras del numeral.
Ejemplo:
•	 El	número	237	a	la	base	octal
237 8
5 29 8
5 3 → 237 = 355(8)
Recuerda	que	el	
último cociente 
y los residuos 
son menores 
que la base
 Entre bases diferentes a la decimal
 Se recomienda utilizar el sistema decimal para las operaciones, entonces usaremos los dos métodos 
anteriores.
 Ejemplo:
•	 El	numeral	1232(6) en el sistema nonario es:
 Primero 1232(6) al sistema decimal:
 1232(6) = 1 × 6
3 + 2 × 62 + 3 × 6 + 2 = 216 + 72 + 18 + 2 = 308
308 9
2 34 9
7 3
Luego: 1232(6) = 308 = 372(9).
Propiedades
 Base y cifra
 Las cifras deben ser menores que la base del sistema de numeración
 Ejemplo:
•	 Sean	los	números:	3c(a); 2a(b); 1b(c); bc(7)
 Entonces analizando cada número:
 3c(a) 2a(b) 1b(c) bc(7)
 3 < a a < b b < c c < 7
 Luego: a = 4; b = 5; c = 6
2Numeración en otras bases
UNIDAD 2Central: 619-8100 35
 Numeral y base
Si la base es menor, el numeral que le corresponde será mayor.
 1232(6) = 375(9).
	 Comparando	los	numerales:		 1232	>	375
 Ahora las bases: 6 < 9
 Ejemplo:
•	 Si:	d5c(n) = ab(7), hallar "n"
	 Como:	d5c	>	ab,	entonces:	n	<	7	pero:	n	>	5	⇒ n = 6
Síntesis teórica
NUMERACIÓN EN otRAS BASES
Del sistema decimal
Sistema 
quinario
22(5)
Al sistema decimal
Sistema de numeración
A mayor base, menor 
representación
 – +
234(9) = 301(8)
 + –
Descomposición polinómica Divisiones entre la base
Entre bases diferentes de la decimal
0; 1; 2; 3; ...; (n – 1)
Enesimal (base "n")
 2345(7)=2×7
3+3×72+4×7+5
 = 686 + 147 + 28 + 5
 = 866
234(9) al sistema octal (base 8)
De base 9 a decimal:
234(9) = 2 × 9
2 + 3 × 9 + 4 = 193
De la decimal a la octal:
193 8
1 24 8
0 3
 234(9) = 193 = 301(8)
435 al sistema senario (base 6)
435 6
3 72 6
0 12 6
0 2
435 = 2003(6)
Principios ReglasSímbolos o cifras
0; 1; 2; 3; 4
Sistema quinario
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 
Sistema heptal
 Primer orden
 ↓
2345
 ↑
Cuarto	orden	(1ra	cifra)
2345n:
2n3 + 3n2 + 4n + 5
Sistema 
posicional
Cambio	de	base
Aritmética
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Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
Resolución de problemas
4. Calcular	"a",	si:	aa3a6 = 64a9
5. Calcular	"x	+	y	+	z"	si	los	siguientes	numerales	
están bien escritos:
 y23q(x); z21(y); y3x(6); a2aa(z).
6. Calcular	"a	+	b	+	c"	en:	a0(b); 31(a); 1b(c); c3(7).
7. Determina la suma de cifras, si el número 
n(n + 1)(n + 2)(n + 4)(6) se escribe en el siste-
ma decimal.
8. ¿Cómo	se	escribe	n(3n)(n – 3) en el sistema duo-
decimal?
9.Si: (n – 1)n(n + 1)8 = 31111, calcular "n".
10. Hallar "a + b", si: ababab(3) = abb0(7)
11. Si: a3a(9) = b1b(5), hallar el valor de "a + b".
12. Un número entero se escribe como aab y bbb 
en los sistemas quinario y cuaternario respecti-
vamente. Hallar "a + b".
13. Si: aa0(n) + aa(n) = 2237(8)
	 hallar	 la	 suma	de	cifras	de	"R",	 sabiendo	que:	
R	=	2a	+	n.
14. Calcular	"x	.	y",	en:	1xy4(r) = r31(6)
15. Si: 13a(b) + 33b(c) + 136(a) = 44c
 Determine abc en base "c" y dar como respues-
ta la cifra de segundo orden.
16. Determinar el valor de "x – y" en la expresión:
 2x612 = 54y8
Aprende más
Aplicación cotidiana
11
12
10
8
7
96
5
4
3
2
1
Por ejemplo, tuvo bastante difusión el sistema duodecimal, que también está ligado 
al empleo de los dedos de la mano, pero valiéndose de las distintas falanges, con 
el que se puede contar hasta 12. Los vestigios de este sistema han persistido hasta 
nuestros días y, a resultas del mismo, muchos objetos, aún se cuentan por docenas 
y no por decenas, si bien han caído en desuso expresiones tales como "gruesa" 
(doce docenas) o "masa" (una docena de gruesas).
1. ¿A	cuántas	unidades	equivale	5	docenas	y	3	unidades?
2. ¿A	cuántas	unidades	equivale	2	gruesas	con	3	docenas?
3. Para el número 900, obtener la mayor cantidad de gruesas, de lo que sobre la mayor cantidad de do-
cenas y luego las unidades que sobran, las cantidades encontradas escríbelas en la tabla. 
Gruesas Docenas Unidades
1. Hallar el valor de "a", si el número 
(3a – 2)a(a – 2)(5) está correctamente escrito.
2. Descomponer y luego determinar el numeral en 
el sistema decimal, en los siguientes números:
•	 123(5)=.....................................................
•	 205(7)=......................................................
3. Escribe los números en el sistema que corres-
ponde:
•	 30	=........(7) •	 22	=........(5)
4. Sea el número: a(a + 1)(a + 2)(a + 3)(5), de-
termina el valor de "a" y luego escribe dicho 
número en el sistema decimal
5. Si: 53(7) + 43(6) = ab, hallar "a + b". 
2Numeración en otras bases
UNIDAD 2Central: 619-8100 37
1. Si se sabe que: 
 N = 2 × 63 + 5 × 62 + 3 × 6 + 1
	 ¿Cómo	 se	 escribe	 el	 número	 "N"	 en	 base	 6?	
Dar como respuesta la suma de sus cifras.
2. Hallar el valor de "a", en: 3a4(7) = 186
3. Hallar el valor de "a", si se sabe que:
 2a2a(7) = 1 000
4. Si se sabe que los numerales: b45(8); aa3(b); 25(a) 
están correctamente escritos, hallar el valor de 
"a + b".
5. Sabiendo que: a02(9) = aa11(4), determinar el 
valor de "a".
6. Sabiendo que los numerales están correctamen-
te escritos: 2m3(p); 54n(7); 213(m); 3p1(n), hallar 
el valor de "m + n + p".
7. Determinar el valor de "a", si:
 
13(a–1)(a) = (a+1)(
a
2
)(8).
8. Si se cumple que: 246(n) = 11α(12) (α = 10)
 hallar el valor de "n".
9. Sabiendo que: ab3(4) = ba4(5)
hallar el valor de "a + b".
10. Si se cumple que: 3a(2b)(6) = b0ba(5).
 hallar el valor de "a + b".
11. Hallar el valor de "a + b + c", si: aaa(7) = bc1
12. Hallar el valor de "a", en: 13a0(4) = 120.
13. Determinar el valor de "b", en: b64 = b0b4(5).
14. Sabiendo que: a0b(11) = b0a(13)
 hallar el valor de "a + b".
15. Al convertir el número n2n0(5) al sistema hepta-
nario se obtiene un numeral de tres cifras conse-
cutivas crecientes. Halle el numeral en base 6.
Practica en casa
18:10:45
¡Tú puedes!
1. Hallar "a + b + c + n" sabiendo que: abc(5) = cbn(6), todas las cifras son significativas.
a) 12 b) 16 c) 10 d) 8 e) 20
2. Se tiene que: 
 
15
m 
6
m 
9
m
(7)
= (m – 1)(m – 3)(m – 1)(5 – m)(n)
 Hallar "m + n"
a) 4 b) 6 c) 3 d) 8 e) 2
3. Si: a(a + b)bb = mnmn(7), donde "m" no es impar, calcular el valor de "a + b + m + n"
a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10
4. Si: aba(c) = mnc(9),	m	>	5	y	además:	xyz(a) = zyx(9), calcular "m + a + c + x + y + z".
a) 21 b) 28 c) 29 d) 30 e) 26
5. Si: acb = cba + 2 y a + b + c = 24, expresar abc en el sistema hexadecimal.
a) 351116 b) 37216 c) 36316 d) 31116 e) 38116
38
3 Aritmética
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Complemento
Aprende más
1. Sea el conjunto: A = {a; b; {{a}}; {a; c}}, deter-
minar cuántas son verdaderas.
•	 a	∈ A	 •	 {a}	⊂ A
•	 {a}	∈ A	 •	 {{a}}	⊂ A
•	 {{a}}	∈ A	 •	 {{{a}}}	⊂ A
•	 {a;	c}	∈ A	 •	 {a;	b}	⊂ A
•	 f ∈ A	 •	 f ⊂ A
2. En un grupo de 50 personas se sabe que 30 
aprobaron Aritmética y 25 aprobaron Álgebra, 
¿cuántas personas aprobaron Aritmética y Álge-
bra,	si	no	hubo	ningún	desaprobado?
3. De un grupo de 30 personas, 20 van al teatro, 5 
solo van al cine y 18 van al cine o al teatro, pero 
no	a	ambos	sitios.	¿Cuántos	van	a	ambos	sitios?
4. De 65 alumnos se sabe que: 30 son hombres, 
40	son	mayores	de	edad	y	12	señoritas	no	son	
mayores	 de	 edad.	 ¿Cuántos	 hombres	 no	 son	
mayores	de	edad?
5. Un depósito tiene inicialmente ab litros de 
agua.	Se	abre	un	caño	que	se	encuentra	en	 la	
parte superior de él y luego de media hora el 
depósito tiene ba litros de agua y media hora 
más tarde tiene a0b litros de agua. Hallar el cau-
dal en litros por hora.
6. Hallar un número de dos cifras que sea igual a 
seis veces la suma de sus cifras. Indicar la dife-
rencia de sus cifras.
7. Hallar "n", si: 222(n) = 182
8. Calcule	"a	+	n",	si	se	cumple	que:	150n = a26
9. Un "gordito" ingresa a un restaurante en el cual 
se venden 5 platos distintos y piensa: "me gus-
tan todos pero debo llevar como mínimo 2 pla-
tos y como máximo 4". ¿De cuántas maneras 
puede	escoger	el	"gordito"	los	platos?
10. Si: n(A) = 15; n(B) = 23 y n(A – B) = 8, calcu-
lar: n(A D B).
11. Dados los conjuntos:
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
A = {1; 2; 3; 4; 5}
B = {1; 3; 5; 7; 9; 10}
Hallar el valor de: (A ∪ B)'
12. Hallar "a + b + c", si: abab(5) = bcb
13. Hallar "n", si: 440(n) = 242(11)
14. Hallar "a + b", si se cumple que: aba(8) = 1106n
15. Si	 "A",	 "B"	 y	 "C"	 son	 subconjuntos	 de	 "U",	 y	
además se cumple:
 U = {x ∈ / 3 < x < 20}
 A = {5; 8; 7; 11; 15; 19}
 B = {4; 5; 7; 6; 10; 15; 19}
	 C	=	{6;	7;	8;	13;	14;	19}
 Hallar la suma de los elementos del conjunto: 
[(A – B) ∩ C]'
16. Hallar "x + y", si: x(x + 1)x(9) = 6y6.
17. Si los siguientes numerales están bien escri-
tos: 213(m); 10m(n); 2n4(p) y mnp(7), calcular 
"m + n + p".
18. Sabiendo que "A" tiene 128 subconjuntos en 
total, que el número de elementos de la inter-
sección de "A" y "B" es 5 y que "B – A" tiene 16 
subconjuntos, determinar el número de subcon-
juntos de A ∪ B.
3Complemento
UNIDAD 2Central: 619-8100 39
¡Tú puedes!
1. Sean los siguientes conjuntos:
 A = {x /x es peruano nacido en Lima}
 B = {x/x es un estudiante universitario}
	 C	=	{x/x	tiene	un	trabajo	estable}
	 Si	Juan	es	un	joven	nacido	en	Tacna	que	está	matriculado	en	la	universidad,	que	se	ayuda	económica-
mente	dando	clases	particulares	de	vez	en	cuando;	entonces	Juan	pertenece	al	siguiente	conjunto:
a) (A ∩	B)	–	C	 b)	 B	–	(A	∪	C)	 c)	 (B	–	A)	∩	C	 d)	 (B	–	C	)	∩ A e) (B – A ) ∩	(C	–	B	)
2. En	una	academia	de	computación	se	observa	que	todos	los	que	estudian	Power	Point	estudian	Corel	
Draw,	15	estudian	Power	Point,	Corel	Draw	y	Macromedia	Flash,	60	estudian	Macromedia	Flash	y	80	
estudian	Corel	Draw.	La	cantidad	de	los	que	estudian	Corel	Draw	y	Macromedia	Flash,	pero	no	Power	
Point	es	el	doble	de	los	que	estudian	solo	Macromedia	Flash	y	a	su	vez	es	el	triple	de	los	que	estudian	
solo	Corel	Draw.	¿Cuántos	estudian	Power	Point	pero	no	Macromedia	Flash?
a) 20 b) 25 c) 30 d) 45 e) 35
3. Sean	"A",	"B"	y	"C"	tres	conjuntos	contenidos	en	un	universo	de	60	elementos.	Si:	(B	–	C)	∪ (C	–	B)	tiene	
40 elementos, el conjunto: A – (B ∪ C)	tiene	10	elementos,	la	intersección	de	los	tres	conjuntos	tiene	
5 elementos y el conjunto: (B ∩	C)	–	A	es	vacío,	¿cuántos	elementos	tieneel	conjunto:	(A	∪ B ∪	C)'?
a) 10 b) 0 c) 5 d) 4 e) 3
4. Sabiendo que un conjunto tiene 40 elementos y otro conjunto tiene 60 elementos y además la inter-
sección de ellos tiene 30 elementos, hallar el número de elementos que tiene la intersección de los 
complementos de estos conjuntos, sabiendo que el cardinal del universo es 120.
a) 60 b) 50 c) 40 d) 35 e) 70
5. Si:	n(A)=160;	n(B)=150;	n(C)=120	y	n(A	∪ B ∪	C)=180,	calcular	la	cantidad	mínima	de	elementos	
de (A ∩ B ∩	C).
a) 110 b) 70 c) 100 d) 20 e) 50
Practica en casa
18:10:45
1. Si al restar un número de dos cifras con el que 
resulta de invertir el orden de sus cifras se obtie-
ne 45, hallar el producto de las cifras del mayor 
número que cumple dicha condición.
2. Hallar "a + b", si se cumple: a2b(9) = a72(n)
3. Hallar "a + b", para que se cumpla: 
aba(8) = 1106(n)
4. Sean los conjuntos iguales:
 A = {a2 + 1; 12}
 B = {a – b; 17}
	 ¿Cuál	puede	ser	el	valor	de	"a	+	b"?
5. Hallar "a + b + n", si se sabe que:
a2b(8) = a6(n – 1)(n)
6. A la biblioteca escolar "Trilce" asistieron 120 
alumnos, de los cuales 64 leyeron libros de 
ciencias, 49 leyeron libros de humanidades y 
18	leyeron	ambos	libros.	¿Cuántos	estudiantes	
leyeron	otros	libros?
7. De 80 jóvenes que practican fútbol, basket y vo-
ley, se sabe que 27 de ellos no practican voley, 
26 no practican fútbol, 30 no practican basket y 
26	practican	los	tres	deportes.	¿Cuántos	practi-
can	exactamente	dos	deportes?
Aritmética
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8. Hallar "m + n", si el conjunto "A" es unitario.
 A = {2m – 6; n + 5; 18}
9. Indica	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F)	 según	 corres-
ponda.
A = {a; b; {a; b}; {{c}}}
I. {b} ∈ A III. f ∈ A
II. {c} ∈ A IV. {b; a} ∈ A
10. De un grupo de 100 estudiantes se sabe que 
49 no llevan psicología, 53 no llevan computa-
ción y 27 no llevan ninguno de los dos cursos. 
¿Cuántos	llevan	exactamente	un	curso?
11. Sean	los	conjuntos	"A",	"B"	y	"C"	tales	que:
•	 n(U)	=	98	
•	 n(C)	=	46
•	 n[(B	∩	C)	–	A]	=	7
•	 n[(A	∪ B ∪	C)']	=	5
•	 n(A)	=	n(B)	=	41
•	 n[(A	∩	B)	–	C]	=	9
•	 n[A	–	(B	∪	C)]	=	18
 Hallar: n(A ∩ B ∩	C)
12. Hallar "a + b + c", si los números están correc-
tamente escritos: 234(a); aa(b); b35(c); 12c(8)
13. Calcular	el	valor	de	"a	+	b",	si:	4ab(7) = 2ba(9)
14. El menor número de cuatro cifras de la base "n" 
excede al mayor número de dos cifras de dicha 
base "n" en 449. Dar el valor de "n".
15. Calcular	el	valor	de	"a	+	b",	si:	
 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) = abb(6)

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