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teoría de los números ¿Qué es Lego? El 28 de enero de 1918, ole Kirk Christiansen abrió un negocio de carpintería, y se ganó la vida construyendo casas y muebles para granjeros de la región. Su taller fue quemado en 1924. Ole Kirk tomó el desastre como la oportunidad de construir un taller mayor, y se dedicó a ampliar su negocio. Intentando encontrar formas de minimizar sus costos de producción, Ole Kirk comenzó a producir versiones miniatura de sus productos como ayuda de diseño. Sus escaleras en minia- tura y tablas de planchar fueron las que lo inspiraron a producir juguetes. En 1934 el nombre LEGO fue acuñado por Christiansen a raíz de la frase danesa leg godt, la cual significa "juega bien". Según las cifras publicadas por la propia compañía en el año 2009 obtuvo 295 millones de euros de beneficios a pesar del escenario mundial de crisis. Parte de este éxito fue debido a sus juguetes sobre ciudades y "La Guerra de las Ga- laxias". APreNDIZAjes esPerADos Razonamiento y demostración • Usar las operaciones con múltiplos. Comunicación matemática • Identificar los divisores y múltiplos de un nú- mero. Resolución de problemas • Determinar la cantidad de múltiplos de un nú- mero UNIDAD 4 Tres formas de visualizar a Lego: Al fondo: "ciudadanos" de Legoland. Abajo a la izquierda, fachada de la entrada al parque temático Legoland, en Billund, Dinamarca, abajo hacia el centro, el imaginario mapa de Lego- land. 66 1 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe teoría de los números: Divisibilidad y multiplicidad En este capítulo aprenderemos: • A identificar los divisores y múltiplos de un número • A usar las operaciones con múltiplos. • A determinar la cantidad de múltiplos de un número. El cometa Halley El cometa Halley lleva ese nombre en honor a Edmond G. Halley, quien fue el primero en sugerir que los cometas son un fenómeno natural del sistema solar, que orbitan alrededor del Sol. Halley sugirió que la periodicidad de cierto cometa que era un visitante regular, era de 76 años, y que se había visto desde hace mucho tiempo, muy particularmente durante los años de 1530, 1606 y 1682. En 1682, Halley predijo que este cometa regresaría en el año de 1758 y, por supuesto, el cometa regresó en marzo de 1758. En 1910, el cometa Halley hizo una aparición particularmente brillante. Así mismo, su aparición de 1986 quedó plasmada en un famoso tapiz antiguo. • ¿Cuándo será la próxima vez que el cometa Halley pase cerca de nuestro planeta? 1teoría de los números: Divisibilidad y multiplicidad UNIDAD 4Central: 619-8100 67 Saberes previos Completa el crucigrama con números. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Horizontales: 1. Mayor número de cinco cifras diferentes 6. Una decena, más uno 8. Número capicúa de dos cifras 9. Cuatro decenas 10. Número de cuatro cifras cuya suma de cifras es 10 11. Le falta dos para ser una gruesa 12. 7 × 8 14. Le falta uno para ser 6 centenas 15. Número capicúa de dos cifras 16. Cubo de 5 17. Décima potencia de 2 18. Número que tiene raíz cúbica 19. Cuadrado de 22 21. El triple de 7 23. Diez gruesas 24. Número capicúa de tres cifras Verticales: 1. Cuadrado de 95 2. Cuadrado de 29 3. Cuadrado de 85 4. Cuadrado de 25 5. Complemento aritmético de 4 581 6. Doce docenas 7. Menor número de cinco cifras diferentes 13. Número de cuatro cifras cuya suma de cifras es 19 15. Número de cuatro cifras cuya suma de cifras es 9 16. Número que tiene raíz cuadrada 17. Suma de los ángulos internos de un triángulo 19. Cuatro onces 20. Cuatro docenas 22. Doble de 9 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe68 Conceptos básicos teoría de los números En este capítulo conoceremos las propiedades de los números usando los criterios de divisibilidad y mul- tiplicidad. Divisibilidad En la siguiente división exacta: A B q Divisor o módulo "A" es divisible entre "B" "B" es divisor de "A" Multiplicidad En la siguiente multiplicación de números enteros A = B × q "A" es múltiplo de "B" "B" es factor de "A" Ejemplo: Como: 45 9 45 = 9(5) 45 es divisible entre 9 9 es divisor de 45 45 es múltiplo de 9 5 Notación Los criterios de divisibilidad y multiplicidad son equivalentes, entonces: Siendo: "A" divisible entre "B" "A" es múltiplo de "B" A = °B Así: 45 = °9 120 = °8 Representación de números no divisibles con respecto a un módulo Cuando la división no es exacta: Por defecto Por exceso A d A d R q r q + 1 A = d . q + R A = °B + R A = d(q + 1) – r A = °B – r Ejemplo: Como 47 no es divisible entre 7 47 = °7 + 5 47 = °7 – 2 Porque: 47 = 7(6) + 5 = 7(7) – 2 Recuerda que en la di- visión inexacta la suma de los residuos es igual al divisor. 1teoría de los números: Divisibilidad y multiplicidad UNIDAD 4Central: 619-8100 69 observación Para determinar la cantidad de múltiplos tenemos: Por agrupación De los números: 1; 2; 3; ...; 12 • Los °3 son: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12 123 123 123 14243 un °3 un °3 un °3 un °3 La tercera parte son °3, entonces: 12 3 = 4 números son múltiplos de 3. Entonces, por ejemplo de los 120 primeros números: 120 4 = 30 son múltiplos de 4 120 5 = 24 son múltiplos de 5 120 6 = 20 son múltiplos de 6 Por desigualdad De los números de tres cifras • Los °7 son: 100 < 7k < 1000 14,2 < k < 142,7 Los valores de "k" son: 15; 16; 17; ...; 142 Son en total: 142 – 15 1 + 1 = 128 números. operaciones elementales con respecto al mismo módulo Adición y sustracción Sean los números "A" y "B" que se expresan en función del divisor o módulo "n" como: A = °n + ra y B = °n + rb Entonces: A + B = °n + (ra + rb) A – B = °n + (ra – rb) Ejemplo: • Sean los números: A = °13 + 3; B = °13 + 8; C = °13 + 6 Entonces: A + B + C = °13 + (3 + 8 + 6) = °13 + 17 Como: 17 = 13 + 4 ⇒ A + B + C = °13 + 4 Recuerda que el residuo de una división debe ser menor que el divisor Multiplicación Sean los números "A" y "B" que se expresan en función del divisor o módulo "n" como: A = °n + ra y B = °n + rb Entonces: A . B = °n + (ra . rb) Ejemplo: • Sean los números: A = °11 + 3; B = °11 + 8; C = °11 + 6 Entonces: A . B . C = °11 + (3 × 8 × 6) = °11 + 144 Como: 144 = 11(13) + 1 → A . B . C = °11 + 1 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe70 Síntesis teórica Son criterios equivalentes A = °B A = mB A = B . q 18 es múltiplo de 6 Múltiplos de 12: 12; 24; 36; 48; ... tEoRíA DE LoS NúMERoS Divisibilidad Multiplicidad "A" es divisible entre "B" "B" es divisor de "A" "A" es múltiplo de "B" "B" es factor de "A" A B q 6 es divisor de 18 Divisores de 12: 1; 2; 3; 4; 6; 12 Cuando hay residuo A = °B+ R A = °B – r R + r = B Por excesoPor defecto Divisor Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Los divisores de 12 son: 2. Los primeros cuatro números positivos múlti- plos de 15 son: 3. Completa: 45 7 45 = °7 + .......6 95 11 95 = °11 + .......8 4. De los 30 primeros números positivos, ¿quiénes y cuántos son múltiplos de 6? 5. De los 120 primeros números positivos: • ¿Cuántos son múltiplos de 3? • ¿Cuántos son múltiplos de 4? • ¿Cuántos son múltiplos de 3 y 4? 1teoría de los números: Divisibilidad y multiplicidad UNIDAD 4Central: 619-8100 71 Resolución de problemas 4. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 12? 5. Si "x" es divisible entre 3 e "y" es divisible entre 5, ¿qué expresión que a continuación se mues- tra es divisible entre 15? I. xy II. 3x + 5y III. 5x + 3y 6. La expresión "abc – cba", siempre será divisibleentre: a) 22 b) 18 c) 12 d) 33 e) 37 7. Calcula la suma de los 30 primeros múltiplos positivos de 9. 8. De los 60 primeros números positivos: ¿Cuántos son múltiplos de 4? ¿Cuántos son múltiplos de 5? ¿Cuántos son múltiplos de 4 o 5? La suma de estos resultados es: 9. El producto de cinco números consecutivos siempre será divisible entre: a) 25 b) 16 c) 9 d) 18 e) 24 10. ¿Cuántos números de tres cifras son divisibles entre 17? 11. De los números pares del 1 al 300, ¿cuántos son múltiplos de 12? 12. En una división entera, el divisor es °11 + 5, el cociente es °11 + 4 y el residuo °11 + 3. ¿Cuál es el residuo que se obtendrá al dividir el divi- dendo de la división entre 11? 13. Si: ab = °13 + 2 y cd = °13 + 5, ¿cuál es el resto de dividir abcd entre 13? 14. De los números de cuatro cifras, ¿cuántos termi- nan en 7 y son divisibles entre 3? 15. ¿Cuántos términos de la siguiente sucesión: 16 × 21; 16 × 22; 16 × 23; ...; 16 × 247, son múltiplos de 12? 16. ¿Qué día de la semana murió Euler, si su fecha de defunción fue el 18 de setiembre de 1783? Aprende más Aplicación cotidiana En 1705 Edmond Halley predijo, que un cometa volvería en 1758 (que fue, curiosamente, después de su muerte). De hecho, el cometa volvió tal y como predijo, y posteriormente se le dio el nombre en su honor. El periodo medio de la órbita del Halley es de 76 años, aproximadamente, pues el tirón gravitacional de los planetas mayores altera el periodo del cometa en cada órbita. 1. ¿Cuál será el siguiente año en que el cometa pase cerca de nuestro planeta? 2. ¿Podría hacer o haber hecho su aparición más de una vez en un siglo? ¿Cuántas? 3. ¿Cuál fue el primer año de nuestra era, en que hizo su aparición el cometa? ¡Tú puedes! 1. Calcule el resto de dividir "N" entre 7, si: N =5 . abc + 52 . abc2 + 53 . abc3 + ... + 51031 . abc1031 Además se sabe que abc no es divisible entre 7 a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 0 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe72 2. Hallar cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas, sabiendo que "n" es °14. I. n(n + 3) = °14 II. (n – 2 )( n – 21 ) = °14 III. 2(n + 7) + 3n = °14 IV. (n + 1)(n + 2)(n – 3) – 8 = °14 a) I y II b) II y III c) I, II y III d) I y III e) Todas 3. Si: N = 3102 × 6102 × 11102 × 18102 × ... × 102102, ¿cuál es la última cifra al expresar "N" en base 103? a) 102 b) 1 c) 100 d) 90 e) 2 4. La expresión: W = [ab(7)] 2 – [ba(7)] 2 siempre es divisible por: a) 5 b) 16 c) 7 d) 13 e) 24 5. La suma de 45 números enteros consecutivos es múltiplo de 17. Hallar el menor valor que puede to- mar el primero de ellos. a) 0 b) 11 c) 12 d) 13 e) 24 Practica en casa 18:10:45 1. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 15? 2. ¿Cuántos números del 1 al 1 000 son múltiplos de 7? 3. La expresión "a0c + c0a", siempre será divisi- ble entre: 4. ¿Cuántos números del 1 al 1 500 son múltiplos de 2 pero no de 3? 5. Si "k" es un número entero positivo divisible en- tre 3 y menor que 60, ¿cuántos valores toma "k"? 6. El número a0(2a), siempre será divisible entre: a) 13 b) 31 c) 17 d) 18 e) 19 7. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 8? 8. Calcula la suma de los 20 primeros múltiplos positivos de 7. 9. La suma de siete números pares consecutivos, siempre será divisible entre: a) 9 b) 13 c) 14 d) 11 e) 10 10. Del 2 000 al 5 000, ¿cuántos números son múl- tiplos de 9 y terminan en 7? 11. Si: ab = °17 + 3, ¿cuál es el resto al dividir 4ab3 entre 17? 12. De los 80 primeros números positivos: ¿Cuántos son múltiplos de 4? ¿Cuántos son múltiplos de 5? ¿Cuántos son múltiplos de 4 o 5? La suma de estos resultados es: 13. El producto de cuatro números consecutivos siempre será divisible entre: a) 5 b) 7 c) 9 d) 6 e) 8 14. ¿Cuántos números de tres cifras son divisibles entre 23? 15. Si: ab = °23 + 5 y cd = °23 + 2, ¿cuál es el resto de dividir abcd entre 23? 2operaciones y ecuaciones diofánticas UNIDAD 4Central: 619-8100 73 operaciones y ecuaciones diofánticas En este capítulo aprenderemos: • A identificar los residuos de una división • A usar las operaciones con múltiplos y divisores. • A determinar la solución de las ecuaciones donde se utilice múltiplos. origen de los años bisiestos Entremos un poco en la historia, los años bisiestos nacieron en la época del Calendario Juliano. Surgen para corregir la diferencia entre el año real y el año del calendario. El año dura aproximadamente 365 días y 5 horas con 48 minutos y 45,16 segundos o 365,2422 días. Para equilibrar esta diferencia con el calendario, se decreta que cada 4 años habrá un día más y los restantes solo tendrán 365 días. Esto es porque se redondean esas horas sobran- tes en 6 horas y cada 4 años se suman estas horas quitadas a los años anteriores: 6 + 6 + 6 + 6 = 24 horas más. En 1582 se sustituyó el Calendario Juliano por el Gregoriano (el actual), y la regla para los años bisiestos cambió un poco. La regla quedó así: El año es bisiesto si es divisible por cuatro, exceptuando los que se pue- den dividir por 100, estos últimos pueden ser bisiestos si son divisibles por 400. Busto del Papa Gregorio XIII, quien impulsó la reforma del calendario e ins- tituyó el uso del calendario que lleva su nombre. En er o Fe br er o M ar zo A br il M ay o Ju ni o Ju lio A go st o Se tie m br e O ct ub re N ov ie m br e D ic ie m br e 31 28 o 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 Regla nemotécnica para recordar los meses que tienen 30 o 31 días, a excepción de febrero que en año bisiesto tiene 29 días. Solamente tiene que atribuir el valor 31 días a los nudillos de la mano (haciendo puño, ver figura) y a las breves depresiones entre los nudillos el valor 30 días. Luego solo tiene que comenzar a nombrar los meses comenzando por la izquierda. Fíjese que julio y agosto, ambos, tienen el mismo número de días. • ¿Cuál será el próximo año bisiesto? Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe74 Saberes previos Completa el crucigrama con números. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Horizontales: 1. Múltiplo de 123 4. Potencia de 2 7. Cuadrado de 31 8. Una vuelta entera en grados 9. Múltiplo de 11 10. Menor número de cinco cifras pares y diferentes 12. Menor número múltiplo de 2; 11 y 5 13. Múltiplo de 29 de tres cifras 14. El residuo máximo al dividir entre 5 15. Menor número múltiplo de 9 y 5 17. Múltiplo de 9 18. Factorial de 5 20. Número impar de tres cifras múltiplo de 5 21. Número divisible entre 25 22. Cuadrado de 9 24. Número múltiplo de 11 25. Las cifras pares diferentes de cero Verticales: 1. Múltiplo de 232 2. Número capicúa de cuatro cifras 3. Potencia de 2 4. Factorial de 5 5. Número capicúa de cuatro cifras 6. Cuatro decenas 8. Cubo de 7 11. Menor número múltiplo de 40 y 21 12. Diez gruesas 13. Número capicúa de cuatro cifras, cuya suma de cifras es 18 16. Cubo de 8 17. Número de tres cifras cuya suma de cifras es 9 18. Número múltiplo de 14 19. Múltiplo de 144 23. Potencia de 2 2operaciones y ecuaciones diofánticas UNIDAD 4Central: 619-8100 75 Conceptos básicos operaciones elementales con respecto al mismo módulo Potenciación Sea "A" que se expresa en función del divisor o módulo "n" como: A = °n + r Entonces: A k = °n + rk Observa que el exponente afecta al residuo. Ejemplo: • Calcular el residuo de dividir 902010 entre 13. Como: 90 = °13 + 12 = °13 – 1, al elevar a 2010 Entonces: 902010 = ( °13 – 1)2010 = °13 + (–1)2010 = °13 + 1 El residuo que se obtiene es: 1. Un número con respectoa varios módulos Si un número es múltiplo de varios módulos, será múltiplo del mínimo común múltiplo de los módulos. A = °n + r °m + r °p + r entonces: A = mcm(°n; °m; °p) + r Tres condiciones se representan en una sola, para ello el residuo debe ser común. Ejemplos: • Calcular ab, si es múltiplo de 12; 15 y 10. El mínimo común múltiplo de 12; 15 y 10 12 – 15 – 10 2 mcm = 60 6 15 5 2 3 15 5 3 1 5 5 5 1 1 Entonces ab es múltiplo de 60, por lo tanto el único número de dos cifras será: ab= 60 • En el salón de cuarto año, la cantidad de mujeres es 3/5 del número de varones y la cantidad de aprobados en Aritmética es 3/4 de los varones. ¿Cuántos alumnos hay en el salón, si son menos de 50? Como: Número de mujeres = 3 5 de varones Número de aprobados = 3 4 de varones Para que estas cantidades sean enteras, entonces el número de varones es múltiplo de 5 y 4 Entonces: Número de varones = 20 Número de mujeres = 12 Total de alumnos = 32 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe76 Ecuaciones diofánticas La principal característica de estas ecuaciones es que el conjunto solución está formado por números en- teros. Principio de Arquímedes Sean los números "A" y "B" de modo que: A × B = °n Donde "B" tiene como único divisor común con "n" a la uni- dad (P.E.S.I.) Entonces: A = °n Así: 2A = °13 ⇒ A = °13 12B = °25 ⇒ B = °25 Ejemplo: • Determina el menor valor de "A" si es de dos cifras y que cumpla: 12A = °42 Como: 12A = °42 dividiendo entre 6 2A = °7 aplicando el P. Arquímedes A = °7 Los valores de "A" son 7; 14; 21; 28; ... ⇒ A = 14 El residuo "b" debe aco- modarse para que se pueda dividir entre "a" Así: 6A = °13 + 12 ⇒ A = °13+2 Una variable Son de la forma: ax = °n + b Ejemplo: • Determinar los valores positivos de "x", si: 2x = °5 + 3 Dando forma al resto: 2x = °5 + 5 + 3 Dividiendo entre 2: x = °5 + 4 ⇒ Los valores de "x" son: 4; 9; 14; 19; ... Dos variables Son de la forma: ax + by = c Ejemplo: • En una tienda hay dos tipos de vestidos que se venden en 14 y 24 soles. Un cliente compró varios de estos vestidos, gastando S/. 160. ¿Cuántas compró? Sea "x" e "y" la cantidad de vestidos comprados: 14 x + 24 y = 160 simplificando 7 x + 12 y = 80 con módulo 7 °7 + °7 + 5y = °7+3 reduciendo 5y = °7 +3 dando forma 5y = °7+7+3 simplificando y = °7 + 2 Se recomienda usar como módu- lo al menor de los coeficientes. Así: 5x + 11y = 62 (módulo 5) 11x + 9y = 80 (módulo 9) Los valores de "y" son: 2; 9; 16; ... Para que "x" sea positivo: y = 2 ∧ x = 8 La cantidad de prendas compradas es 10. 2operaciones y ecuaciones diofánticas UNIDAD 4Central: 619-8100 77 Síntesis teórica tEoRíA DE LoS NúMERoS Divisibilidad Multiplicidad Son criterios equivalentes: A = °B A = mB A = B . q A B q 2 °n = °7 + 6 ⇒ °n = °7 + 3 A + B = °n + (a + b) A – B = °n + (a – b) A . B = °n + (a . b) Ecuaciones Operaciones A = °n + a B = °n + b "A" es divisible entre "B" "B" es divisor de "A" "A" es múltiplo de "B" "B" es factor de "A" 6n = °7 ⇒ n = °7 6m = °15 ⇒ 2m = °5 ⇒ m = °5 9x + 7y = 50 (7+ 2)x + °7 = °7 + 1 2x = °7 + 1 = °7 + 8 x = °7 + 4 Principio de Arquímedes Con resto Sistema de ecua- ciones Divisor 1. Completa: • 15200 = (°7 + ...)200 = °7 + ... • 25100 = ( °13 – ...)100 = °13 + ... 2. Determina el menor valor de "x", si: x = °12 ⇒ x =°15 °20 Aplica lo comprendido 10 x 5 50 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe78 Resolución de problemas 4. En un salón hay 60 alumnos y se observa que de los varones 2/7 de ellos utilizan gafas y a 3/5 de ellos les agrada matemáticas. ¿Cuántas mujeres hay en el salón? 5. A un congreso asisten entre 100 y 200 médicos y se sabe que 2/7 de los asistentes son ginecó- logos y los 5/11 son cirujanos. ¿Cuántos no son cirujanos? 6. ¿Para qué valor de "x", el número 2xx7 es divi- sible entre 19? 7. Si el número a05a, al dividirse entre 23 se obtie- ne como resto 5, hallar "a". 8. Si 530 se representa en el sistema octal, ¿cuál es la cifra de unidades? 9. La cantidad de polos vendidos por una tienda en una semana no pasa de 500. Si 2/5; 3/8 y 1/45 del total de polos vendidos son azules, ro- jos y verdes respectivamente, ¿cuántos polos se vendió en total? 10. La cantidad (número entero) de losetas que se requiere para cubrir el piso de una habitación es tal que agrupando en decenas, docenas y quin- cenas siempre sobran 3 losetas. ¿Cuántas losetas se requiere, si este número está entre 110 y 130? 11. ¿Cuál es la suma de las dos últimas cifras de representar 730 en el sistema ternario? 12. Al dividir 3x7x entre 71 el resto que se obtiene es 3. Hallar "x". 13. A la cantidad de alumnos que hay en un salón, le falta 1 para que se puedan agrupar de 12 en 12; de 15 en 15 o de 20 en 20. ¿Cuántos alum- nos son, si estos son menos de 100? Aprende más Aplicación cotidiana • Un año normal tiene 365 días. • Los años bisiestos tienen 366 días (el día extra es el 29 de febrero). ¿Cómo saber si un año va a ser bisiesto? • Los años bisiestos son divisibles entre 4 (como 2004, 2008, etc.) • Excepto si el año termina en dos ceros (como 2100, 2200, ...); • Si es divisible entre 400, entonces sí es bisiesto (como 2000, 2400, etc.) 1. ¿Cuáles son los próximos 5 años bisiestos, contados desde la actualidad? 2. Si la Universidad Nacional Mayor de San Marcos se fundó en el año 1770, ¿cuántos años bisiestos han pasado desde aquel año hasta la actualidad? 3. En este año, el primero de enero fue sábado (2011), ¿qué día de la semana será el primero de enero del año 3000? 3. Determina el menor valor de "x", si: x = °15 + 3 ⇒ x =°18 + 3 °20 + 3 4. Determina el menor valor de "x", en: • 12x = °7 ⇒ x = • 2x = °11 + 6 ⇒ x = • 3x = °17 + 9 ⇒ x = 5. Encuentra "x" e "y" enteros que cumplan: 5x + 7y = 36 ⇒ x = ....... ; y = ...... 2operaciones y ecuaciones diofánticas UNIDAD 4Central: 619-8100 79 14. A una función de cine asisten "N" personas. En- tre dichos asistentes se observó que los 2/7 de "N" vieron la película íntegramente; los 4/5 de "N" lloraron con el final del drama y los 2/3 de "N" comieron golosinas mientras observaban la película. Hallar "N", si el cine tiene una capaci- dad máxima de 200 personas. 15. Milenka paga S/. 45 en total por la compra de helados a S/. 4 cada uno y chocolates a S/. 7 cada uno. ¿Cuántos productos compró? 16. Un negociante tiene S/. 1 500 y decide comprar cajas de leche y aceite a S/. 70 y S/. 80 cada caja respectivamente. ¿De cuántas maneras se puede efectuar la compra? ¡Tú puedes! 1. Si el número abcd es divisible entre 13 y se cumple que: cd = 3(ab + 2), calcular "a + d" a) 16 b) 12 c) 10 d) 8 e) 4 2. Si: N = °5 + 1 y además: N = 43abab ab Entonces "ab" como mínimo puede ser: a) 10 b) 11 c) 12 d) 16 e) 20 3. Hallar "a + b + c + n", sabiendo que: abc(5) = cbn(6) (todas las cifras son significativas). a) 12 b) 16 c) 10 d) 8 e) 20 4. Calcular la última cifra al expresar "N" en el sistema de base 25. N = 323232323232323(15) a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 5. Calcular el mayor número de cuatro cifras, tal que al expresarlo en los sistemas de numeración de base 2; 3 y 5 sus últimas cifras fueron: 101; 20 y 34 respectivamente. a) 9 069 b) 9 996 c) 9 609 d) 9 096 e) 6 099 Practica en casa 18:10:45 1. Determina la suma de los dos primeros va- lores enteros positivos de "n" que cumplan: 3n + 6 = °7 + 1 2. ¿Para qué valor de "n" que es de una cifra, se cumple que: 4n + 5 = °11 + 2? 3. En un colegio, se sabe que de los alumnos del 5to año a la sexta parte les gusta Aritmética,los 7/8 pasaron de año y 3/10 llevan un curso de cargo. Sabiendo que son más de 200 pero me- nos de 300, ¿a cuántos les gusta Aritmética? 4. En nuestro colegio se organiza una fiesta por el día de la amistad. Asistieron 250 alumnos y de los premiados 4/11 son gordos y 7/13 son del ciclo especial. ¿A cuántos alumnos no se les premió? 5. ¿Para qué valor de "x", el número 7xx es divisi- ble entre 17? 6. En un barco en el que viajaban 312 personas ocurre un accidente en el cual mueren algunos pasajeros. Se sabe que de los sobrevivientes 1/4 son casados y los 3/10 resultaron ilesos, y de los fallecidos se sabe que 5/6 dejaron viuda y que 2/9 viajaban solos. ¿Cuántos pasajeros sobrevi- vieron, si eran más de 100? Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe80 7. En una conferencia asistió entre un centenar de personas y se observa que de los varones, 3/8 de ellos hablan inglés y 5/18 de ellos hablan francés. ¿Cuántas mujeres asistieron? 8. Un centro de salud atiende entre 150 y 200 pa- cientes diariamente. Se sabe que 4/9 de ellos son varones y 2/19 de los pacientes van por primera vez. ¿Cuántos de los pacientes son mujeres? 9. ¿Para qué valor de "x", el número xxx6 es divi- sible entre 19? 10. ¿Para qué valor de "a", el número 2a9a al divi- dirse entre 23 deja como resto 5? 11. Si 530 se representa en el sistema senario, ¿cuál es la cifra de unidades? 12. La cantidad de personas que asistieron a una función cinematográfica no pasa de 500. Si: 2/5; 3/8 y 1/45 del total fueron con polos azu- les, pantalones rojos y zapatillas verdes respec- tivamente, ¿cuántas personas asistieron en total? 13. La cantidad de huevos producidos por una aví- cola diariamente es tal que agrupando en dece- nas, docenas y quincenas siempre sobra 7 hue- vos. ¿Cuál es la producción diaria, si está entre 400 y 450 huevos? 14. Si: ab0ab = °221, hallar todos los valores de "b" que cumplan dicha condición e indicar la suma. 15. ¿Para qué valor de "x" el número x0x7 es divi- sible entre 71? 3Criterios de Divisibilidad UNIDAD 4Central: 619-8100 81 Criterios de Divisibilidad En este capítulo aprenderemos: • A identificar los criterios de divisibilidad o multiplicidad. • A demostrar los criterios de divisibilidad. • A determinar las cifras de un número usando los criterios de divisibilidad. Sigue el camino del 7 Para saber si un número es divisible entre 7 comenzamos en el cero:• Recorremos desde él tantas flechas negras como indique la primera cifra del número. • Seguimos la flecha blanca que salga del punto al que hemos llegado. • Tomamos la segunda cifra, desde el punto donde nos encontramos y recorremos tantas flechas negras como indique la segunda cifra. • Después la flecha blanca que encontramos es el destino. • y así sucesivamente, después de utilizar la última cifra recorriendo las flechas negras como ella indi- que y el punto al que lleguemos nos dice el resto de dividir el número inicial entre 7. 6 0 1 2 34 5 ¿Cómo saber si el número 2 435 es divisible entre 7? Empezamos en "0" 2 flechas negras "2" flecha blanca "6" 4 flechas negras "3" flecha blanca "2" 3 flechas negras "5" flecha blanca "1" 5 flechas negras "6" Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe82 Saberes previos Completa el crucigrama con números. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Horizontales: 1. La suma de las dos últimas cifras de 23 578 3. Múltiplo de 97 de tres cifras 6. La suma de cifras de 193 8. Número cuya suma de cifras es 18 9. Múltiplo de 13 y 8 de tres cifras 11. Múltiplo de 12 de dos cifras 12. Dos decenas 13. Múltiplo de 7 de dos cifras 15. Suma de los cinco primeros múltiplos positivos de 7 16. Múltiplo de 9 de dos cifras 18. Múltiplo de 11 de dos cifras 20. Múltiplo de 13 de dos cifras 22. Múltiplo de 11 de dos cifras 23. El cuadrado de 12 24. Cubo de 7 25. La suma de cifras de 3 457 26. Cuatro docenas 27. Medio millar Verticales: 1. La suma de cifras de 3 456 2. Múltiplo de 7; 8 y 10 de tres cifras 3. Dos docenas 4. Múltiplo de 13 de dos cifras 5. Cuadrado de 35 6. Menor número de cuatro cifras diferentes 7. Una vuelta en grados sexagesimales 9. Dos docenas 10. Cuadrado de 9 11. El complemento aritmético de 29 352 14. Número capicúa de cuatro cifras 17. Múltiplo de 7 de dos cifras 18. Cuadrado de 11 19. Múltiplo de 12 de tres cifras 21. Múltiplo de 107 de tres cifras 22. Múltiplo de 17 de tres cifras 3Criterios de Divisibilidad UNIDAD 4Central: 619-8100 83 Conceptos básicos Criterios de divisibilidad Son reglas prácticas que permiten reconocer la divisibilidad o multiplicidad de un número respecto a un módulo. Síntesis teórica abcde = °2 + e abcde = °4 + de abcde = °8 + cde Las últimas cifras CRItERIoS DE DIVISIBI- LIDAD o MULtIPLICI- DAD abcde = °3 + a + b + c + d + e abcde = °9 + a + b + c + d + e A = B . q abcde = °5 + e abcde = °25 + de abcde = °125 + cde tEoRíA DE LoS NúMERoS Divisibilidad Multiplicidad "A" es divisible entre "B" "B" es divisor de "A" "A" es múltiplo de "B" "B" es factor de "A" A B q Por 5n Las últimas cifras Por 2n Sea el número abcde Por: –3 –1 2 3 1 Por: + – + – +La suma de cifras Por 3 y 9 Por 11Por 7 abcde = °11 + (a + c + e) – (b + d)abcde = °7 + 2c + 3d + e – 3a – b Divisor Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe84 Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. ¿Qué valor o valores toma "a", para que el nú- mero a231a sea divisible entre 4? 2. ¿Qué valor o valores toma "a", para que el nú- mero a642a sea divisible entre 8? 3. ¿Para qué valores de "a", el número 23a5 es di- visible entre 25? 4. ¿Qué valor o valores toma "a", para que el nú- mero a68a sea divisible entre 3? 5. ¿Qué valor toma "a", para que el número 1a3a sea divisible entre 11? 6. ¿Qué valor toma "a", para que el número 2a4a sea divisible entre 7? Aprende más Aplicación cotidiana La pulgada es una unidad de longitud antropométrica que equivale a la longitud de un pulgar, y más específicamente a su primera falange. 1 pie = 12 pulgadas; 1 yarda = 3 pies; 1 milla = 1 760 yardas 1. La distancia entre dos paraderos del metropolitano es una cantidad exacta en pies, que expresada en pulgadas es 1x4x. ¿Cuántos pies de distancia es? 2. Alex es alumno del colegio y a sus 12 años tiene "n" pies de estatura, que expresado en pulgadas es (m + 1)0. Calcular "m + n". Resolución de problemas 3. Calcular "x", si: 2x3x7 = °9 4. Determinar "x", si: 567x3 = °11 5. Calcular "x", si: 43x214 = °7 6. Determinar el valor de "a + b", sabiendo que el número aab8b es múltiplo de 5 y 9 7. Hallar "n + m", si: 2n5n8 = °9 y 8m367 = °11. 8. Hallar el mayor valor de "a + b+ c", si: abc = °3; cba = °5; ba = °7 9. Calcular "x", si: 2x45y = °72 10. Calcular "a + b", si: a23aba = °45 11. Determinar el valor de "a + b + c", si: abc = 5 . a . b . c 12. Determinar el valor de "x + y", si: xxx37y = °88 13. Determinar el valor de "a", si: acac2c es divisi- ble entre 72. 14. Si se tiene el numeral de la forma 8ab532 que es múltiplo de 99, hallar "a – b" 15. El número de la forma aa0bbc al ser dividido entre 4; 9 y 25 deja como residuos 2; 4 y 7 res- pectivamente. Hallar "a". 16. ¿Cuántos números cumplen que: 5a7b = °36? ¡Tú puedes! 1. Si: 3ab2(6) = °35 , hallar "a . b". a) 5 b) 0 c) 8 d) 4 e) 6 3Criterios de Divisibilidad UNIDAD 4Central: 619-8100 85 2. Los números abcd; dcba y abdc son respectivamente °25; °9 y °44. Calcular el valor de "a . b + c . d". a) 22 b) 38 c) 26 d) 40 e) 31 3. Si el numeral aab(b + 2)(7) al dividirlo entre 24 deja como residuo 18, calcule el máximo valor que puede tomar "a + b". a) 9 b) 10 c) 8 d) 12 e)11 4. Si se cumple que: a3524b = °33 + 21; 5c27d4 = °99+ 35, calcular el resto de dividir abcd entre 12, si "a" es máximo. a) 5 b) 7 c) 6 d) 9 e) 3 5. Si: abcd(8) . 55(8)= nmm3n, hallar el valor de "a + b + c + d + m + n" a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23 Practica en casa 18:10:45 1. Determinar el valor de "x", si: 433x = °9 2. Determinar el valor de: xxx, si: y23x = °8 3. Determinar el valor de x , si: 567x3 = °11 4. Calcular "x", si: x3xx7x = °9 + 2 5. Determinar el valor de "x", si: 43x67 = °11 6. Determinar la suma de los valores de "x", si: 431x = °7 7. Determinar la suma de los valores de "x", si: x2341 =°7 8. Hallar "x", si: a(x – 5)3xa = °25 9. ¿Cuántos valores puede tomar "x", para que el número 342x4 sea múltiplo de 8? 10. Determinar el valor de "x", si el número: (2x)(x + 3)(x + 1)(x + 4) = °9 11. Determinar el valor de "a . b", si: ba34b = °45 12. Determinar el valor de "a . b", si: 1a45b = °72 13. Hallar el mayor valor de "a . b", si: 23ba5 es múltiplo de 125. 14. Si el número 4731a es múltiplo de 8, hallar el valor de "a". 15. Hallar "a", si el número 43a27 es múltiplo de 9. 86 4 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Números primos I En este capítulo aprenderemos: • A identificar los números primos, compuestos y simples. • A analizar los divisores por sus características. • A reconocer los números primos, compuestos y simples. • A determinar la cantidad de divisores de un número. • A clasificar a los divisores. ¿Cómo se protege la cigarra con números primos? Las cigarras tienen el ciclo vital más largo de todos los insectos. Su único ciclo vital empieza bajo tierra, donde las ninfas absorben pacientemente el zumo de las raíces de los árboles, después, las cigarras adultas emergen de la tierra en gran número e invaden temporalmente nuestro paisaje. Unas semanas después se aparean, ponen los huevos y mueren. Las cigarras Magicicada septendecim tienen un ciclo de vida de 17 años, otra especie, la Magicicada tre- decim, aparece cada 13 años. La cuestión que inquietaba a los zoólogos era: ¿Por qué el ciclo vital de la cigarra es un número primo de años? Según una teoría, la cigarra tiene un parásito que también recorre un ciclo vital de dos o tres años, y que la cigarra está intentando evitar. Como el ciclo de la cigarra es de 17 años y la de los parásitos de 2 años, el parásito y la cigarra no coincidi- rán durante 34 años. Ahora bien, es poco probable que el parásito pueda sobrevivir pues en sus apariciones no habrá cigarras a las cuales parasitar. 4Números primos I UNIDAD 4Central: 619-8100 87 Saberes previos Completa el crucigrama con números. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Horizontales: 1. Menor múltiplo de 43 de tres cifras. 3. Divisores de 6 (en orden ascendente) 6. Múltiplo de 23 de dos cifras. 7. Mayor número de cuatro cifras diferentes 9. Número capicúa de tres cifras 10. Dos docenas 11. Múltiplo de 19; 27 y 6 de cuatro cifras 13. Múltiplo de 71 de tres cifras 14. Múltiplo de 8, entre 50 y 60. 15. Divisor de 99 16. Múltiplo de 7 de dos cifras 18. Potencia de 2 de tres cifras 20. Cubo de 8 21. Divisores de 8 (en orden ascendente) Verticales: 1. Múltiplo de 53 de tres cifras 2. Le falta 3 para un millar 3. Divisores de 6 en desorden 4. Mayor número de cuatro cifras diferentes, me- nor que 4 000 5. Cuadrado de 25 8. Cuadrado de 29 9. Menor múltiplo de 23; 2 y 11 10. Múltiplo de 7 de tres cifras 12. Cuadrado de 9 14. 2 decenas, 1 unidad y 5 centenas 15. Múltiplo de 41 de tres cifras 17. Múltiplo de 13 de dos cifras 19. Múltiplo de 13 de dos cifras Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe88 Conceptos básicos Número primo En este capítulo nos interesa conocer los divisores de un número, esto nos permitirá clasificarlos y conocer sus propiedades. Primo o primo absoluto Son aquellos números que tienen solo dos divisores posi- tivos Ejemplo: Para el número 71, los únicos números que le dividen son el 1 y el 71, entonces el número 71 es primo. La serie de los números primos es infinita: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; ... Número compuesto Son los números con más de dos divisores Ejemplo: El número 12 tiene como divisores al 1; 2; 3; 4; 6 y 12, como son más de dos, entonces el número 12 es compuesto. Los números compuestos también son infinitos: 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; ..... Números simples Es el conjunto de números formado por los primos y la unidad. Recuerda que el núme- ro "1" no es primo ni compuesto, se le llama número especial, número simple o divisor universal. Números primos entre sí Son dos o más números que tienen como único divisor común a la unidad. Ejemplos: • Los números 12 y 35 son primos entre sí, porque el único divisor común es la unidad. • Los números 8; 9 y 25 son primos entre sí (P.E.SI), además son primos dos a dos porque 8 y 9 son P.E.SI, 9 y 25 son P.E.SI y 8 y 25 son P.E.SI. Si "A" y "B" son P.E.SI, esto no implica que "A" y "B" sean primos. • 12 y 35 son P.E.SI 12 no es primo 35 no es primo teorema fundamental de la Aritmética Todo número natural tiene solo una forma de descomponer en sus factores primos, a esta se le llama des- composición canónica. Ejemplo: • 24 = 23 × 3 ⇒ Los factores primos de 24 son 2 y 3 ⇒ Los divisores simples son 1; 2 y 3 4Números primos I UNIDAD 4Central: 619-8100 89 Ejemplo: • Hallemos la descomposición de 360 360 2 Entonces: 360 = 23 × 32 × 5 ⇒ Los factores primos de 360 son 2; 3 y 5 ⇒ Los divisores simples son 1; 2; 3 y 5 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1 Análisis de los divisores de un número Clasificación de divisores Divisores simplesDivisores Divisores compuestos Divisores primosLa unidad = + + Cantidad de divisores Para utilizar esta fórmula, se usará la descomposición canónica del número. Siendo: N = aα . bb . cg La cantidad de divisores: Número de divisores = (α + 1)(b + 1)(g + 1) Para hallar la cantidad de divisores de un número, se utiliza los exponentes de la descomposición canónica. Ejemplo: • ¿Cuántos divisores tiene: 360 = 23 × 32 × 5? Número de divisores = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 divisores De ellos cuatro son simples: 1; 2; 3 y 5 Entonces 20 son compuestos observaciones Para determinar si un número es primo Se debe verificar si el número tiene dos o más de dos divisores, para ello buscaremos que primo divide al número. Ejemplo: • 191 es primo o compuesto Analizaremos la divisibilidad de 191 entre los primos menores que 191 = 13, 82; enton- ces: 191 ≠ °2 191 ≠ °3 191 ≠ °5 191 ≠ °7 191 ≠ °11 191 ≠ °13 Entonces 191 es primo. Los números primos con los cuales se verifica la divisibilidad, son menores que la raíz cuadrada del número. Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe90 La criba de Eratóstenes La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado "N": 2 3 4 5 6 7 Marcamos el 2 y tachamos los múltiplos de 2. Marcamos el 3 y tachamos los múltiplos de 3. Marcamos el 5 y tachamos los múltiplos de 5. 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Así estaremos determinando los números primos: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31 Los números que quedan son los números primos. tabla de divisores Permite encontrar todos los divisores de un número de forma ordenada y confiable Ejemplo: • Dado el número: 360 = 23 × 32 × 5 Las potencias de los factores primos son: 1; 2; 4; 8 1; 3; 9 1; 5 La combinación de ellas genera los divisores de 360, los cuales mostramos en la siguientetabla Por 1 1 2 4 8 Por 3 3 6 12 24 Por 9 9 18 36 72 Por 5 5 10 20 40 15 30 60 120 45 90 180 360 Función Euler Siendo: N = aα × bb × cd La función Euler: yN = N 1 – 1 a 1 – 1 b 1 – 1 c Aplicando la función Euler al número: 120 = 23 . 3 . 5 y120 = 120 1 – 1 2 1 – 1 3 1 – 1 5 = 32 Este número 32, indica la cantidad de números meno- res que 120 y PESI con 120. 4Números primos I UNIDAD 4Central: 619-8100 91 Síntesis teórica NúMERoS PRIMoS ENTRE Sí El número 1, no es primo ni compuesto Número que tiene más de dos divisores NúMERoS PRIMoS I Número primo Número compuesto 2; 3; 5; 7; 11; 13; ... 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; ... Número que tiene solo dos divisores Son infinitos números com- puestos Son infinitos números pri- mos Son dos o más números que tienen un solo divisor en común, que es la unidad. Por ejemplo: Cantidad de divisores La unidad: 1 1 4 2 4 3 Los simples Los primos: 2; 3; 5; 7; 11; ... Los compuestos: 4; 6; 8; 9; 10; ... (α + 1)(b + 1)(g + 1)720 = 2 4 × 32 × 5 1 800 = 23 × 32 × 52 N = aα . bb . cg "a", "b" y "c" son primos teorema fundamental de la Aritmética Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. La suma de los cuatro primeros números primos es: 2. La suma de los cuatro primeros números com- puestos es: 3. Completa con "es", "no es", "son" o "no son" en los siguientes casos: 1 ..................... compuesto 198 y 199 ............. P.E.SI 13 y 31 ............... compuestos 2 ............... primo 13 ............. compuesto 27 y 11 ............ P.E.SI 4. La descomposición canónica de 2 700 es: 5. La cantidad de divisores de: N = 23 × 32 × 52 es: Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe92 Resolución de problemas 3. ¿Cuál es la suma de los cinco primeros números que no son primos? 4. Determina la suma de los dos mayores números de dos cifras que son primos. 5. Determina la cantidad de divisores de: 63 × 52. 6. Determina la cantidad de divisores primos de 10! 7. Dado el conjunto "A" formado por los divisores de 17 y "B" el conjunto formado por los diviso- res de otro número primo absoluto, tal que: A = {3a + 5; 17; 4b – 3; b – a} B = {4a – b; c – 2 }. Hallar "a + b + c", si "a", "b" y "c" son números enteros positivos diferentes de 1. 8. Hallar "n", si el número: N = 2n – 2 . 3n tiene 35 divisores. 9. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 450? 10. Hallar "n", si 12n tiene 190 divisores. 11. Si "a" es un número primo, mayor que 3, ¿cuán- tos divisores tiene: aaa? 12. Si: N = 22 × 3a × 5b tiene 30 divisores, ¿cuán- tos divisores tiene "2N"? 13. Si: A = 72 × 72 × 72 × ... × 7214444244443 "n" veces tiene 648 divisores compuestos, hallar "n" 14. Si: 4k + 2 – 4k tiene 92 divisores, ¿cuál es el valor de "k"? 15. ¿Cuántos rectángulos de 80 m2 de área existen, tal que sus lados sean números enteros? 16. ¿En cuántas cifras cero termina el número 300!? Aprende más Aplicación cotidiana Existen infinitos números primos, a esta conclusión llegó Eu- clides alrededor del año 300 a. C. cuando realizó la primera demostración en el libro IX de su obra "Elementos". La de- mostración original sigue así: Se toma un conjunto arbitrario pero finito de los "n" prime- ros números primos: "p1", "p2", "p3", ..., "pn", y se considera: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 ... N = p1 . p2 . p3 . ... . pn + 1 Este número es obviamente mayor que 1 y distinto de todos los primos Pi de la lista. Por lo tanto será primo. 1. Utilizando los tres primeros números primos, ¿qué número "N" se obtiene? 2. El número: 211 = 2 × 3 × 5 × 7 + 1, ¿es primo? ¡Tú puedes! 1. ¿En cuántos ceros termina 50!? a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 10 2. Si: 60! tiene "n" divisores, ¿cuántos divisores tiene 61!? a) n+1 b) n+2 c) 2n d) n2 e) 3n 4Números primos I UNIDAD 4Central: 619-8100 93 3. Si: W={a/a ∈ ; a = número compuesto, 1 < a < 10 000} y además, si se toma dos elementos cualesquiera del conjunto "W" se obtienen números coprimos. ¿Cuántos subconjuntos ternarios como máximo se puede tener del conjunto "W"? (Dar como respuesta la suma de sus cifras) a) 19 b) 13 c) 5 d) 8 e) 3 4. Se sabe que N! tiene "k" divisores y que (N+1)! tiene "2k" divisores, además "N" es de dos cifras y múltiplo de 22. Dar como respuesta la suma de todos los valores que puede tomar "N". a) 164 b) 174 c) 156 d) 166 e) 176 5. ¿Cuántos divisores cubos perfectos tiene el mayor valor de "N", si se sabe que: N = 2x + 2 . 3x . 72 . 11 y la cantidad de sus divisores cuadrados perfectos es 24? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 Practica en casa 18:10:45 1. Hallar la suma de los exponentes de la descom- posición canónica del número: N = 36 000. 2. Colocar verdadero (V) o falso (F): • El 2 es el único primo par ( ) • 18 y 14 son P.E.SI ( ) • 41 es primo ( ) 3. ¿Cuántos divisores primos tiene: N = 34 × 25 × 113 × 72? 4. Determina la suma de cifras del mayor número de dos cifras que es primo. 5. Hallar la suma de los divisores primos de 420. 6. Determina el mayor número de una cifra que sea P.E.SI con 12 7. Sabiendo que: M = 2x . 32 . 5 tiene 24 diviso- res, hallar el valor de "x". 8. Determina la suma de cifras del mayor número de tres cifras que es primo. 9. ¿Cuántos divisores tiene: N = 35 × 21? 10. El producto de los cuatro primeros números pri- mos, menos uno, ¿es primo o compuesto? 11. ¿Cuántos divisores compuestos tiene: N = 22 × 56? 12. Determina la cantidad de divisores de 303. 13. Determina la cantidad de divisores de N = 122 × 153. 14. Hallar "x", si 45x tiene 12 divisores compuestos. 15. Hallar la suma de los divisores primos de 3 060. 94 5 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Complemento Aprende más 1. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 2 y 5 pero no de 3? 2. Si el número a733a es múltiplo de 8, hallar el valor de "a". 3. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 8 y terminan su escritura en 6? 4. Hallar "x", si: 71x7x = °8. 5. Simplificar: (°7 + 1) + (°7 + 2) + (°7 + 3) + … + (°7 + 70) 6. Determinar el valor de "a . b", si ba3ab es divi- sible entre 45 7. Determinar el mayor valor de "a . b", si a34b es divisible entre 56. 8. Determinar el valor de "a . b", si el número 1a45b es divisible entre 72. 9. Un negociante tiene S/.1 500 y decide comprar cajas de galletas y caramelos a S/.70 y S/.80 cada caja respectivamente. ¿De cuántas mane- ras se puede efectuar la compra? 10. La diferencia entre un número abc y otro cba es múltiplo de 8. ¿Cuál es el producto de las cifras de uno de los números, si la suma de ambos es múltiplo de 9? 11. Hallar el mayor número de la forma 54a75b que sea múltiplo de 56, entonces, la suma de sus cifras es: 12. Si 1a8b2 es múltiplo de 36 y además es el ma- yor posible, entonces "a/b" es: 13. Un motociclista atropella a un peatón y fuga. Este es conducido a la asistencia pública de "San Antonio" y se identifica como postulante a la Universidad de Lima y declara que la placa es un número de cuatro cifras divisible por 693 y que tiene sus dos primeras cifras iguales. La placa tiene por producto de cifras: 14. ¿Cuántos ceros debe tener: N = 2000 ... 00 para que admita 56 divisores? 15. Al multiplicar por 33 el numeral: A = 21 . 11n, se duplica su cantidad de divisores. Hallar "n". ¡Tú puedes! 1. Hallar "x", sabiendo que: x4343434x(8) es divisible entre 7. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 2. Si a44233a(7) es divisible entre 8, la suma de los valores de "a" es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 3. Si: abcd(8) . 55(8)= nmm3n(8), hallar "a + b + c + d + m + n". a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23 4. ¿Cuántos cuadrados perfectos de tres cifras existen, tal que al dividirlos entre 7 el residuo que se ob- tiene es 4? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 5Complemento UNIDAD 4Central: 619-8100 95 5. ¿Cuántos divisores menores que 200 tiene el número aa00a, sabiendo que dos de ellos son 114 y 1 737? a) 12 b) 11 c) 10 d) 13 e) 15 Practica en casa 18:10:45 1. Determinar el valor de "x", si el número: xx(x – 1)(x + 1)(x + 2) = °9. 2. Hallar el mayor valor de "a . b", si a3ba5 es múltiplo de 125 3. Hallar la suma de los valores de "a", si: 74a35 = °7. 4. Determinar el valor de "x", si: 3x4x4x5 = °11. 5. Determinar el valor de x , si: 567x3 = °11 6. Si a2abb es divisible por 77, entonces "b – a" vale: 7. A una fiesta asistieron 58 personas. La sexta par- te de los varones bailan y la séptima parte de las damas son casadas. ¿Cuál es la diferencia entre el número de varones y damas? 8. En un corral hay 127 animales entre conejos y pollos. Si el primer día se vendió los 2/13 de los conejos y los 7/15 de los pollos, ¿cuántos quedan? 9. En un salón de clases donde hay 59 alumnos, la octava parte de los hombres usan anteojos y la séptima parte de las mujeres juegan a las cartas. ¿Cuántos hombres no usan lentes? 10. Pablo va al mercado a comprar helados y gaseo- sas cuyos precios unitarios son 4,90 y 2,10 soles respectivamente. Sabiendo que compró más he- lados que gaseosas y en total gastó 58,10 soles, ¿cuántos helados compró? 11. Determinar el valor de "a + b + c", si: abc = 5 . a . b . c 12. Si el número a47 es múltiplo de 7 y b29 es múltiplo de 11, ¿cuántos números de la forma ab(2b)a existen? 13. La cantidad de números de la forma 432a7b que son múltiplos de 45, es: 14. Hallar "x", sabiendo que: 13x62 = °7 15. Si 1a8b es múltiplo de 36 y además es el mayor valor posible, entonces "a/b" vale: 96 6 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Análisis de los divisores de un número En este capítulo aprenderemos: • A analizar los divisores por sus características. • A determinar la suma y producto de los divisores. • A reconocer los números primos, compuestos y simples. • A determinar la cantidad de divisores de un número. • A determinar la suma de las inversas de los divisores Los números de Fermat Pierre de Fermat, jurista de profesión y enamorado de las Matemáticas, fue un genio de esta ciencia en su época. Gracias a él se avanzó en multitud de campos pero su mayor afición fue la teoría de los números. Dejó sin demostrar la que ha resultado ser una de las conjeturas que más tiempo se ha tardado en compro- bar (el último teorema de Fermat). Pierre de Fermat. Los números de Fermat son de la forma: Fn = 2 2n + 1; donde: n = 0; 1; 2; 3; ... Los primeros son: F0 = 2 20 + 1 = 3 F1 = 2 21 + 1 = 5 F2 = 2 22 + 1 = 17 Fermat, basándose en estos datos, conjeturó que todos los números Fn eran primos, pero, como era cos- tumbre en él, no dejó ninguna demostración del hecho. Años después de su muerte, exactamente en 1732, como en casi todos los genios, se descubrió que tam- bién Fermat había fallado. Leonhard Euler demostraba que F5 era compuesto: F5 = 2 25 + 1 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417 6Análisis de los divisores de un número UNIDAD 4Central: 619-8100 97 Saberes previos Completa el crucigrama con números. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Horizontales: 1. Potencia de 2 de tres cifras 3. Los cuatro primeros números primos en orden ascendente 6. Suma de los divisores simples de 220 7. Complemento aritmético de 528 8. Cuadrado de 31 10. Múltiplo de 7 de dos cifras 11. ¿Cuántos divisores tiene un número primo? 12. Menor número primo de dos cifras 14. Primeros números primos, de menor a mayor 16. Mayor número primo de dos cifras 17. Número capicúa de tres cifras 18. Múltiplo de 12; 20 y 50 de tres cifras 20. Cuadrado de 21 21. Número capicúa de cuatro cifras 23. Mayor número de cinco cifras pares diferentes 25. Múltiplo de 45 de dos cifras Verticales: 1. Cuadrado de 13 2. Cuadrado de 9 3. Número primo, cuya suma de cifras es 11 4. Cubo de 7 5. Seis docenas 9. Número capicúa de cuatro cifras 10. Múltiplo de 53 y capicúa de tres cifras 11. Suma de los 4 primeros números compuestos 12. Divisores de 8 en forma ascendente. 13. Suma de los cuatro primeros números primos. 15. Cinco millares más medio centenar 16. Nueve decenas 19. Una docena 21. Múltiplo de 11 de dos cifras 22. Número primo de dos cifras 24. Cantidad de divisores de 15 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe98 Conceptos básicos Análisis de los divisores de un número Clasificación de divisores Divisores simplesDivisores Divisores compuestos Divisores primosLa unidad = + + Ejemplo: Para el número 30, sus divisores son: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 123 1442443 Primos Compuestos 144424443 Simples Analizar los divisores compuestos, implica conocer el total y los simples Síntesis teórica ANáLISIS DE DIVISoRES Número que tiene más de dos divisores NúMERoS PRIMoS II Número primo Número compuesto teorema fundamental de Aritmética Con los divisores Número que tiene solo dos divisores Fórmulas usando la descom- posición canónica N = aα . bb . cg "a", "b" y "c" son primos P = N#D SInv = SD N Cantidad de divisores Producto de divisores Suma de divisores Suma de las inversas La unidad: 1 1 4 2 4 3 Los simples Los primos: 2; 3; 5; 7; 11; ... Los compuestos: 4; 6; 8; 9; 10; ... #D = (α + 1)(b + 1)(g + 1) SD = aα + 1 – 1 a – 1 bb + 1 – 1 b – 1 cg + 1 – 1 c – 1 6Análisis de los divisores de un número UNIDAD 4Central: 619-8100 99 Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Utiliza la criba de Eratóstenes para determinar los números primos en el siguiente grupo: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 2. La descomposición canónica de: N = 103 × 64 es: 3. La descomposición canónica de: A = 45n × 12 es: 4. Para el número 12: • Sus divisores son: • El número de divisores es: • La suma de sus divisores es: • El producto de sus divisores es: • La suma de las inversas de sus divisores es: 5. Con respecto al número N = 23 × 32 × 52: • La cantidad de divisores es: • La cantidad de divisores °2 es: • La cantidad de divisores °5 es: Aprende más 1. Determina la cantidad de divisores de 12 000, que son múltiplos de 6. 2. Calcular el valor de "n", si: 12n . 28 tiene 72 divisores. 3. Hallar "n", si 189n tiene 133 divisores. 4. ¿Cuántos divisores de 40 500 son impares? 5. ¿Cuántos divisores de 79 200 son múltiplos de 12? 6. ¿Cuántos divisores de 5 040 no son °6? 7. ¿Cuántos divisores de 113 400 terminan en 1; 3; 7 ó 9? 8. Un número es perfecto, cuando la suma de sus divisores propios es igual al número. Entonces de los números 6; 8; 15 y 28, ¿cuántos son per- fectos? 9. ¿Cuál es el menor número impar que posee 10 divisores? 10. Se dice que un número es abundante, cuando la suma de sus divisores propios es mayor que el número. Entonces de los números 12; 15; 20 y 23, ¿cuántos son abundantes? 11. ¿Cuál es el menor número que tiene 30 diviso- res? Dar como respuesta el residuo al dividirlo entre 7. 12. Se dice que un número es escaso, cuando la suma de sus divisores propios es menor que el número. Entonces de los números 12; 15; 30 y 13, ¿cuántos son escasos? 13. Hallar el menor número de tres cifras divisible por 6 que posea 21 divisores. Dar como res- puesta la suma de sus cifras. 14. Hallar el menor número que tiene 15 divisoresy que es múltiplo de 15. Dar como respuesta la suma de sus cifras. 15. Con respecto al número 3 600, ¿cuántos de sus divisores no son divisibles entre 12? Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe100 ¡Tú puedes! 1. Se dice que "A" y "B" son amigos, porque "B" es la suma de divisores propios de "A" y "A" es la suma de los divisores propios de "B". De los números 220; 270; 284 y 250, ¿quiénes son amigos? a) 220 y 270 b) 270 y 284 c) 220 y 284 d) 270 y 250 e) Ninguna pareja 2. Si la descomposición canónica de "N" es a(b + 1) . ba . (a – 1)a y tiene 140 divisores compuestos, de- terminar la suma de los divisores propios de mn, si mn es la diferencia entre la cantidad de divisores pares y la cantidad de divisores impares de "N". a) 9 b) 8 c) 5 d) 6 e) 7 3. Determine el número abcd que tiene 10 divisores y además: 12a + 9b + 10c + d = 130. Dar como respuesta: a + b + c + d. a) 15 b) 16 c) 18 d) 19 e) 20 4. Determinar la suma de divisores múltiplos de 15 pero no de 7 de un número, si este tiene 4 divisores simples, 18 divisores múltiplos de 15, 18 divisores múltiplos de 35 y 16 divisores múltiplos de 21. a) 1 870 b) 1 860 c) 1 670 d) 1 760 e) 1 680 5. Un número posee 12 divisores y tiene como factores primos solamente a sus cifras (siendo esta canti- dad la máxima posible). Indicar el máximo exponente de 5, contenido en el factorial de dicho número. a) 182 b) 180 c) 178 d) 172 e) 192 Practica en casa 18:10:45 • Enunciado para las preguntas del 1 al 3. Para el número 1 296, calcular: 1. Cantidad de divisores. 2. Suma de divisores. 3. Producto de divisores. 4. ¿Cuántos divisores tiene 648? 5. Determinar el número de divisores de 1 260. 6. ¿Cuántos divisores tiene 1a3a, si uno de sus di- visores primos es 11? 7. Determinar el exponente al que hay que elevar el número 15, para que el resultado tenga 64 divisores. 8. ¿Cuántos divisores tiene 3 240? 9. ¿Cuántos divisores de 8 100 son divisibles entre 4? 10. ¿Cuántos divisores de 79 200 son múltiplos de 22? 11. ¿Cuántos divisores de 40 500 son múltiplos de 15? 12. Determina la suma de los divisores de 360. 13. ¿Cuántos divisores de 5 040 son múltiplos de 6? 14. Determina el producto de los divisores de 124. 15. Determina la suma de las inversas de los divi- sores de 120. 7máximo común divisor y mínimo común múltiplo UNIDAD 4Central: 619-8100 101 máximo común divisor y mínimo común múltiplo En este capítulo aprenderemos: • A identificar los divisores y múltiplos comunes de dos o más números. • A usar los métodos para determinar el máximo común divisor y el mínimo común múl- tiplo. • A determinar que los divisores del MCD son los divisores comunes de los números. • A determinar que los múltiplos del mcm son los múltiplos comunes de los números • A reconocer el uso del MCD y mcm. • A relacionar con número de cortes, partes y estacas. Dos colosos orbitando la tierra La Estación Espacial Internacional (ISS por sus siglas en inglés) empezó a ser construida en 1998. Hasta el momento el proyecto ha llegado a aproximadamente un 40% de su construcción final. La idea de la construcción de una Estación Espacial se concibió en la década de los 80's cuando Estados Unidos se enteró de la construcción de una platafor- ma similar por parte de la entonces Unión Soviéti- ca. Pero no fue hasta mediados de la década de los 90's que Estados Unidos logra finalmente elaborar un proyecto coherente técnica y económicamente, éste requería la colaboración de otros países cada uno de los cuales aportaría con lo mejor de la tecno- logía que poseía, fue así como se lograron acuerdos con otros 15 países de Europa, Asia, Norteamérica y Sudamérica. Actualmente la Estación está en fase operativa pero sin el 100% de su infraestructura construida, se tiene planifica- do que a fines del 2010 la Estación contará con el 100% de su infraestructura en órbita. El diseño final contempla laboratorios de investigación estadounidenses, europeo y colaboraciones de investigación entre todos los países en materias que van desde estudios sobre la cristalización de las proteínas, pasando por los efectos de la polución del aire y el agua, el comportamiento medio ambiental de la Tierra y la vida a gravedades mínimas. Para el año 2010 la Estación Espacial Internacional tendrá las siguientes características: Ancho: 108 metros; largo: 80 metros En los últimos años la Estación ha provocado ciertas controversias debido fundamentalmente al inicio del denominado "turismo espacial" tanto así que en la actualidad existe un proyecto en fase de estudio que tie- ne previsto habilitar un "hotel" en el espacio para turistas que puedan pagar un tour (se prevé que el precio mínimo sería de unos 10 millones de dólares estadounidenses). • ¿Cuál es la velocidad de desplazamiento de la estación espacial si da una vuelta completa a la Tierra en 92 minutos? Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe102 Saberes previos Completa el crucigrama con números. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Horizontales: 1. Número capicúa múltiplo de 35 4. Menor número múltiplo de 7; 5 y 3 6. Cubo de 8 7. Dos docenas de decenas 9. Primer número primo de tres cifras 11. Múltiplo de 9 de cuatro cifras 13. Múltiplo de 37 y 3 de tres cifras 15. Menor número de cuatro cifras diferentes 17. Cubo de 20 18. Medio millar y una decena 20. Factorial de 6 21. Múltiplo de 11 de dos cifras 22. Número cuadrado perfecto Verticales: 1. Número capicúa de cuatro cifras múltiplo de 5 pero no de 3 2. Múltiplo de 5 y 3 3. Número capicúa de cuatro cifras 4. Factorial de 5 5. Número de seis cifras consecutivas y decrecien- tes 8. Cuadrado de 21 10. Una docena 12. 4 millares 13. Los cuatro primeros números primos 14. Mayor número de tres cifras diferentes 16. Múltiplo de 9 de tres cifras 19. Una docena 7máximo común divisor y mínimo común múltiplo UNIDAD 4Central: 619-8100 103 Conceptos básicos Máximo común divisor De los divisores comunes de dos o más números, el mayor "MCD" es importante por sus propiedades, una de ellas es que permite determinar todas las características de los divisores comunes. Métodos para calcular el MCD Descomposición simultánea Ejemplo: • Cálculo del MCD de los números: 1 890; 1 350 y 2 160 1890 1350 2160 10 El MCD es 270 189 135 216 3 63 45 72 3 21 15 24 3 7 5 8 Los divisores de 270, son los divisores comunes de 1 890; 1 350 y 2 160. Descomposición canónica Ejemplo: • Cálculo del MCD de los números: 1203 y 1802 Descomponiendo a los números: 1203 = (23 × 3 × 5)3 = 29 × 33 × 53. 9802 = (22 × 72 × 5)2 = 24 × 74 × 52. Recuerda solo los factores comunes forman parte del MCD. Los factores comunes con su menor exponente es el MCD = 24 × 52 = 400 Mínimo común múltiplo De los múltiplos comunes de dos o más números, el menor "mcm" es importante por sus propiedades, una de ellas es que permite determinar todas las características de los múltiplos comunes. Métodos para calcular el mcm Descomposición simultánea Ejemplo: • Cálculo del mcm de los números: 180; 150 y 216 180 150 216 2 El mcm es 5 400 Los múltiplos de 5 400, son múltiplos comunes de 180; 150 y 216 90 75 108 3 30 25 36 3 10 25 12 2 5 25 6 5 1 5 6 2 5 3 3 5 1 5 1 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe104 Descomposición canónica Ejemplo: • Cálculo del mcm de los números: 1203 y 1802 Descomponiendo a los números: 1203 = (23 × 3 × 5)3 = 29 × 33 × 53. 9802 = (22 × 72 × 5)2 = 24 × 74 × 52. Todos los factores, comunes y no comunes forman parte del mcm Todos los factores con su mayor exponente es el mcm = 29 × 33 × 74 × 53 AplicacionesSe recomienda que primero debas decidir si en el problema se usará el MCD o el mcm, para ello tener presente: Si el problema requiere los divisores se calculará el MCD y si usaremos los múltiplos el mcm. Ejemplos: • Para enlosetar el piso de una habitación de 24 m de largo por 18 m de ancho con losetas cuadra- das, ¿cuántas losetas como mínimo se requieren? 24 m MCD = 6 m 18 m El MCD de 18 y 24 es 6 metros, esta será la medida del lado de cada loseta. Para hallar el número de losetas: Área total Área de cada loseta = 18 × 24 6 × 6 = 12 losetas • Utilizando losetas rectangulares de 12 cm por 18 cm, se desea formar el cuadrado más pequeño, ¿cuántas losetas se requieren? 18 cm mcm = 36 cm 12 cm El mcm de 12 y 18 es 36 cm El número de losetas: Área total Área de cada loseta = 36 × 36 12 × 18 = 6 losetas • La cantidad de huevos que vienen en una caja está entre 150 y 180. Si se agrupan por decenas sobran 3 huevos, si se agrupan por docenas sobran 5 huevos y agrupando por quincenas sobran 8 huevos. ¿Cuál es el número de huevos? Cantidad de huevos "N": N = °10 + 3 = °10 – 7 °12 + 5 = °12 – 7 °15 + 8 = °15 – 7 ⇒ N = °60 – 7 El mínimo común múltiplo de 10; 12 y 15 es 60, entonces: N = °60 – 7 = 60(3) – 7 = 173 huevos 7máximo común divisor y mínimo común múltiplo UNIDAD 4Central: 619-8100 105 Síntesis teórica Los múltiplos de: 12: 12; 24; 36; 48; 60; 72; ... 18: 18; 36; 54; 72; 90; 108; ... Los comunes son: 36; 72; ... El mcm = 36 MáxIMo CoMúN DIVISoR MíNIMo CoMúN MúLtIPLo MCD mcm Los divisores de: 12: 1; 2; 3; 4; 6; 12 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18 Los comunes son: 1; 2; 3; 6 El MCD = 6 Solo los factores comunes Los factores comunes con su me- nor expo- nente Todos los factores Todos los factores con su ma- yor expo- nente Formas de calcular el MCD Formas de calcular el mcm Descomposición simultánea 12 – 18 2 MCD 6 9 3 2 3 Descomposición canónica A = 22 × 34 × 53 B = 23 × 52 × 72 MCD = 22 × 52 Descomposición simultánea 12 – 18 2 mcm 6 9 3 2 3 2 1 3 3 1 Descomposición canónica A = 22 × 34 × 53 B = 23 × 52 × 72 mcm = 23×53×34×72 Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Calcular el mínimo común múltiplo de 105 y 350 2. Calcular el máximo común divisor de los núme- ros 168; 216 y 300. 3. Calcular el máximo común divisor de: A = 23 × 34 × 52 y B = 25 × 53 × 73 4. Calcular el mínimo común múltiplo de: A = 23 × 34 × 52 y B = 25 × 53 × 73 5. Calcular el mínimo común múltiplo de: A = 23n + 1 . 3n + 2 . 52n + 1 y B = 23n . 52n + 3 . 73n Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe106 Aprende más Aplicación cotidiana Flotando a 360 kilómetros de altura, están 415 toneladas de cables, interrup- tores y aleaciones. Se trata del mayor y más complejo proyecto científico internacional de la historia la "Estación Espacial Internacional (ISS)". Da una vuelta a nuestro planeta cada 92 minutos. El Telescopio espacial Hubble (HST por sus siglas en inglés), fue puesto en órbita el 24 de abril de 1990, y gira alrededor de la Tierra a 593 km de altura, con un período orbital de 96 minutos. El telescopio puede obtener imágenes con una resolución óptica de 2.0 mega pixeles. 1. ¿Cuántas vueltas completas da el Telescopio Hubble en un día? 2. Si la Estación Espacial Internacional y el Telescopio Espacial Hubble a las 00:00 horas de cierto día estaban en fase, ¿cuál será la próxima vez que estarán en fase? 3. ¿Cuántas veces estarán en fase durante una semana? Resolución de problemas 4. ¿Cuántos divisores comunes tienen los números 2 400 y 3 200 ? 5. ¿Cuál es el menor número que dividido por 30; 64 y 84 nos de siempre una división exacta? Dar como respuesta la suma de sus cifras. 6. El mcm de los números 24k; 18k y 12k es 360. El mayor de los números es: 7. Se han dividido tres barras de acero de longi- tudes 540; 480 y 360 mm en trozos de igual longitud, siendo esta la mayor posible. ¿Cuán- tos trozos se han obtenido? 8. En una empresa trabajan 180 empleados. Se se- lecciona un grupo de ellos, notándose que si se les agrupa de 8 en 8; de 10 en 10 ó de 12 en 12 siempre sobra 1. Hallar la suma de las cifras del número de empleados no seleccionados. 9. Se desea construir un prisma rectangular recto de dimensiones 135; 189 y 261 m respectiva- mente, con la menor cantidad de ladrillos cúbi- cos de dimensiones enteras de metros posible. ¿Cuántos ladrillos se utilizarán? 10. Si tenemos que llenar cuatro cilindros de capa- cidad 72; 24; 56 y 120 galones respectivamen- te, ¿cuál es la máxima capacidad del balde que puede usarse para llenarlos exactamente? 11. Sean los números: A = 28 × 312 × 54 B = 25 × 38 × 510 × 710 si el MCD(A; B)=2x . 3y . 5z, ¿cuántos divisores tiene el MCD? 12. Sean los números: A = 22 × 32 × 54 B = 23 × 33 × 52 × 79 Si el mcm(A; B) = 2x . 3y . 5z . 7w, determina la cantidad de divisores compuestos del mcm. 13. Se desean repartir 180 libros, 240 juguetes y 360 chocolatines entre el mayor número de ni- ños, de tal modo que cada uno reciba un núme- ro exacto de cada uno de esos elementos. ¿Qué cantidad recibe cada uno de los niños? 14. Cuatro buques parten para el mismo destino: el primero, cada 10 días; el segundo, cada 8 días; el tercero, cada 9 días y el cuarto cada 15 días. ¿Cuántos días transcurren entre dos salidas si- multáneas consecutivas? 15. Se desean acondicionar 1 830 latas de aceite y 1 170 latas de pescado en un cierto número de cajones que contengan el mismo número de latas, sin que sobre ninguna y sin mezclar las la- tas. ¿Cuál será el mayor número posible de latas que puedan ponerse en cada cajón? 7máximo común divisor y mínimo común múltiplo UNIDAD 4Central: 619-8100 107 ¡Tú puedes! 1. Si se define: n! = n(n – 1)(n – 2) ... × 3 × 2 × 1 Por ejemplo: 3! = 3 × 2 × 1 Entonces, calcular el mcm de (10!)(18!) y (12!)(17!) a) (18!)(12!) 61 b) (18!)(17!) c) (12!)(18!) 31 d) (12!)(18!) e) (18!)(17!) 61 2. Se trata de formar un cubo compacto utilizando ladrillos cuyas dimensiones son 20; 15 y 6 cm. Si el número de ladrillos es el más cercano a 6 000, ¿cuál fue la arista del cubo? a) 120 b) 180 c) 240 d) 300 e) 360 3. El mcm de dos números es 720. Si estos números poseen 15 y 16 divisores respectivamente, hallar la suma de cifras de su MCD. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 4. ¿Cuántos divisores posee el MCD de 7! y a + 1 a (a + 8)!? a) 60 b) 48 c) 28 d) 50 e) 40 5. Si el MCD de los números (a + 1)(a + 5)(a + 3) y (b + 1)(b + 6)(b + 2) es 24, hallar su mcm. a) 2 212 b) 3 452 c) 2 114 d) 2 432 e) 4 224 1. Determina el menor múltiplo común de 24 y 18. 2. Sumar los cuatro primeros múltiplos comunes positivos de 15 y 18. 3. Hallar la suma de cifras del MCD de 420; 640 y 720. 4. Hallar la cifra de mayor orden del mcm de 420; 660 y 720. 5. Sean los números: A = 28 × 312 × 54 B = 25 × 38 × 510 × 710 Si el MCD(A; B) = 2x . 3y . 5z, hallar "x+y+z". 6. Sean los números: A = 28 × 312 × 54 B = 25 × 38 × 510 × 710 Practica en casa 18:10:45 Si el mcm(A; B) = 2x . 3y . 5z . 7w, hallar "x + y + z + w". 7. ¿Cuántos divisores comunes de 72 y 180 son de dos cifras? 8. ¿Cuántos divisores comunes de 216 y 162 son impares? 9. Calcular el mínimo común múltiplo de 4; 6; 8; 10; 12 y 14. 10. Calcular el mcm de tres números pares conse- cutivos que suman 54. 11. Hallar cuántos divisores tiene el MCD de 24; 32 y 56. 12. Se desea dividir exactamente tres cintas de 78; 102 y 114 cm de longitud, en pedazos iguales de la mayor longitud posible. ¿Cuál es esa lon- gitud? Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe10813. Se tiene un libro cuyo número de páginas tiene esta propiedad: si se cuentan de 3 en 3; de 4 en 4 y de 6 en 6 siempre sobra 1. Determinar el nú- mero de páginas del libro, si está comprendido entre 240 y 260. 14. En un rebaño de ovejas se forman grupos de 8 en 8; de 10 en 10; de 12 en 12 y de 14 en 14 y siempre sobran 5. Si el número de ovejas está comprendido entre 4 000 y 4 500, ¿cuántas ovejas sobrarán, si se forman grupos de 9 en 9? 15. Si el mínimo común múltiplo de: A = 26 – x. 34 + x . 55 + x B = 24 – x . 54 + x . 75 – x es: 2m . 3n . 5p . 7q, hallar "m + n + p + q" 8repaso UNIDAD 4Central: 619-8100 109 repaso Aprende más 1. Del 1 al 1 500, ¿cuántos son múltiplos de 5 pero no de 9? 2. ¿Qué número siempre será divisor de ab(4a)(4b)? a) 13 b) 15 c) 17 d) 19 e) 31 3. A una convención de profesionales asistieron 400 personas entre americanos y europeos. En- tre los europeos, los 2/7 son médicos, los 1/6 son ingenieros y los 3/5 son abogados. ¿Cuán- tos americanos asistieron a dicha convención? 4. Un fin de semana salieron de paseo varios salo- nes del colegio. Un alumno deseando calcular la cantidad de mujeres, observó que de ellas, la quinta parte fueron con falda, la séptima par- te con pantalón y la onceava parte fueron con ropa deportiva. Si en total fueron 700 alumnos, ¿cuántas chicas fueron con falda? 5. Determine la cantidad de divisores del factorial de 7. 6. Si el número: N = 2x . 3y . 52 tiene 227 diviso- res compuestos, hallar el valor de "x + y" 7. ¿Cuántos divisores de tres millones son múlti- plos de 6? 8. ¿Cuántos de los divisores de 43 . 92 son com- puestos? 9. ¿Cuántos divisores comunes tienen los números 1 200; 1 500 y 1 800? 10. ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden dividir entre 12; 15; 18 y 20? 11. Hallar "a + b", si: 7457a = °8 y 2b3b7 = °9. 12. Calcular el valor de "a + b" si: ab0ab = °99 13. Si a un número se le divide entre 11, se obtiene 7 de residuo y cuando se le divide entre 10, se obtiene 5 de residuo. ¿Cuál es el residuo de dividir dicho número entre 110? 14. Hallar "a + b", si: 534a2 = °11 y 1b764 = °7. 15. Calcular "a + b", si: a23aba = °45 ¡Tú puedes! 1. Hallar "a + b + c + n", sabiendo que: abc(5) = cbn(6) (todas las cifras son significativas). a) 12 b) 16 c) 10 d) 8 e) 20 2. Si: 8B + 1 = A2 mcm(A; B) = 3 720 Hallar: A + B a) 131 b) 151 c) 170 d) 141 e) 149 3. Si la escritura del número: 30n × 15n + 1 × 6n + 2 termina en 8 ceros, calcular la suma de divisores de nnn. a) 1 466 b) 1 567 c) 1 268 d) 1 482 e) 1 370 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe110 4. 280 al ser representado en base "n" termina en 8. Calcule cuántos valores puede tomar "n". a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 5. Encontrar un número de tres cifras que sea igual al producto de sus cifras. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 Practica en casa 18:10:45 1. Calcular "n", para que el número 9 . 12n tenga 150 divisores. 2. Hallar el valor de "n", para que el número 25 . 45n tenga 117 divisores. 3. ¿Cuántas veces habrá que multiplicar por doce al número 420, para que el producto tenga 180 divisores? 4. ¿Cuántos ceros debe tener 2000... ...000 para que admita 56 divisores? 5. María colecciona cromos de futbolistas. Si los ordena de 5 en 5 ó de 3 en 3 siempre le sobran 2, en cambio si los ordena de 2 en 2 no le sobra ninguno. ¿Cuántos cromos tiene María, si son menos de 50? 6. Para realizar una encuesta de Matemática, Ma- riana sale cada 2 días, Natalia cada 6 días y An- drés cada 3 días. Si los tres se encontraron, el viernes 4 de julio, ¿en cuántos días más volve- rán a encontrarse? 7. ¿Cuál es el menor número que al dividirlo sepa- radamente entre 15; 20; 36 y 48, en cada caso, da resto 9? Dar la suma de sus cifras 8. En un corral hay 70 animales entre conejos y po- llos. Si el primer día se vendió los 3/11 de los co- nejos y los 2/13 de los pollos, ¿cuántos animales quedan? 9. Sabiendo que 28a13b es divisible entre 36, cal- cular el mayor valor de "a + b". 10. En un barco en el que viajaban 312 personas ocurre un accidente en el cual mueren algunos pasajeros. Se sabe que de los sobrevivientes 1/4 son casados y que los 3/10 resultaron ilesos, y de los fallecidos se sabe que 5/6 dejaron viuda y que 2/9 viajaban solos. ¿Cuántos pasajeros so- brevivieron? 11. ¿Qué cifras deben sustituir al 2 y al 3 en el nú- mero 52 103, para que sea múltiplo de 72? 12. Sabiendo que: aba2b = °9, hallar el valor de "a + b". 13. El MCD de los números a15b y cbbd es 72, ha- llar "a + b + c + d". 14. Si: abc = °8; bca = °5 y ab = °17. Hallar "a + b + c". 15. Hallar "k", si mcm(12k; 18k; 20k) = 1 080.
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