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Proporciones Consumo per cápita de pescado El consumo per cápita, es la razón geométrica entre el consumo total y la población total. En el 2 008, el consumo humano per cápita de recursos pesqueros en el Perú fue de 22,1 kg, el nivel más elevado de la última década, debido no solo al mayor desembarque, sino también por el impulso dado por el Estado (en especial, especies como la anchoveta y la pota) y el boom de la gastronomía peruana. Consumo humano per cápita de recursos pesqueros (kg) 21,0 18,1 18,1 20,6 21,9 18,5 20,1 19,8 18,6 19,5 21,4 22,1 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Enlatado Congelado Curado Fresco Enlatado: 25% Congelado: 11%Curado: 5% Fresco: 59% Participación de consumo por tipo de producto 2008 (%) APreNDIZAjes esPerADos Comunicación matemática • Interpretar la razón aritmética y geométrica. • Representar matemáticamente en forma ade- cuada enunciados vinculados a la razón y pro- porción. • Aplicar las fórmulas de promedio aritmético, geométrico y armónico. Razonamiento y demostración • Plantear las características de las proporciones discretas y continuas. • Calcular los términos de una proporción. Resolución de problemas • Resolver problemas que involucren razones aritmética y geométrica así como proporcio- nes. • Resolver problemas de contexto real y mate- mático que implican utilizar los promedios. UNIDAD 5 Perú captura anualmente 8.3 millones de toneladas de pescados y mariscos para consumo humano di- recto (CHD) e indirecto (CHI), y es superado solo por China, que captura 9.9 millones de toneladas al año, informó hoy la Cámara de Comercio de Lima (CCL), en base a un estudio realizado por la Universidad de la Columbia Británica (Canadá). 112 1 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe razones y serie de razones En este capítulo aprenderemos: • A interpretar la razón aritmética y geométrica. • A representar matemáticamente en forma adecuada enunciados vinculados a la razón. • A utilizar el lenguaje correcto para leer enunciados de razones. • A definir la razón, así como identificar sus clases. • A interpretar los resultados que se obtienen de la resolución de problemas de índole real. • A resolver problemas que involucren razones: Aritmética y Geométrica. El Producto bruto interno El PBI per cápita es la razón entre el Producto Bruto y la población. Se calcula dividiendo el PBI total por la cantidad de habitantes del país. AMÉRICA LAtINA PBI PER CáPItA 2009 (US$) País 2008 2009 2010 1 Venezuela 11,388 11,789 10,315 2 Chile 10,197 9,525 11,428 3 Uruguay 9,351 9,426 12,089 4 Brasil 8,626 8,220 9,886 5 México 10,217 8,135 9,168 6 Argentina 8,266 7,726 8,493 7 Panamá 6,812 7,133 7,579 8 Costa Rica 6,583 6,345 6,965 9 Rep. Dominicana 5,117 5,176 5,464 10 Colombia 5,404 5,087 5,890 11 Perú 4,446 4,356 4,950 12 Ecuador 3,928 4,059 4,328 13 El Salvador 3,822 3,623 3,719 14 Guatemala 2,862 2,662 2,769 15 Paraguay 2,747 2,337 2,704 16 Honduras 1,816 1,823 1,913 17 Bolivia 1,656 1,724 1,831 18 Nicaragua 1,010 972 967 Fuente: FMI. Elaboración: Desarrollo Peruano El Perú, con un producto por habitante de US$ 4,356, se sitúa en el undécimo puesto. Sin duda, nuestro país aún tiene un largo trecho por recorrer en cuanto a este indicador, uno de los que más frenan las aspi- raciones de mejorar su índice de Desarrollo Humano. • Si la población del Perú en el 2009 fue de 28 093 747, ¿cuál fue el Producto Bruto de dicho año? 1razones y serie de razones UNIDAD 5Central: 619-8100 113 Saberes previos Completa el crucigrama con números: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Horizontal: 1. La mitad de 358 4. Factorial de 6 7. Potencia de 2 8. Dos docenas 9. Seis millares 10. Un número de tres cifras cuya suma sea 18 11. Décima potencia de 2 13. Número capicúa de tres cifras múltiplo de 9 15. Dos días en horas 17. Un número de cuatro cifras cuya suma sea 13. 18. Cuadrado de 18 19. Número de tres cifras múltiplo de 9 20. 3/4 de día en horas 21. Cubo de 8 22. Número primo mayor que 20 y menor que 30. Vertical: 1. El doble de 68 2. Tres días en horas 3. Nueve centenas 4. Número capicúa de cinco cifras. 5. Dos gruesas 6. Cubo de 7 8. Número capicúa divisible entre 9 11. Número capicúa de cuatro cifras 12. Cuadrado de 45 13. Una gruesa 14. Menor número de cuatro cifras diferentes 16. Número capicúa de tres cifras Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe114 Conceptos básicos Razón Es común comparar precios, edades, puntajes, temperaturas, etc. y esas comparaciones las hacemos res- tándolas o dividiéndolas, esto nos permite determinar en cuántas unidades una es mayor que la otra o cuántas veces es una que la otra. En este capítulo estudiaremos estas formas de comparar, a las cuales las llamaremos razones. Clases de razón Razón aritmética Es la comparación de las cantidades mediante la resta. a – b = k a – b = k La diferencia entre "a" y "b" es "k". "a" excede a "b" en "k" unidades Dicha razón determina en cuántas unidades una cantidad excede a la otra. Ejemplo: • Carlos y Mario tienen 12 y 18 años respectivamente. ¿Cuál será la razón aritmética de estas eda- des dentro de 10 años? Resolución: Actual Dentro de 10 años La razón aritmética: 28 – 22 = 6 años Entonces Mario tiene 6 años más que Car- los. Carlos 12 22 Mario 18 28 Razón geométrica Es la comparación de dos cantidades utilizando la división. a b = k a b = k El cociente entre "a" y "b" es "k". "a" es "k" veces el valor de "b" Dicho cociente indica cuántas veces es una cantidad respecto a la otra. Ejemplo: • Roberto a los 40 años tuvo a su hijo Carlos. ¿Cuál será la razón geométrica de estas edades dentro de 5 años? Comparando: Actual Dentro de 5 años Roberto 40 45 Carlos 0 5 La razón geométrica: Padre Hijo = 45 años 5 años = 9 a b = 5 3 "a" es a "b" como 5 es a 3. "a" y "b" están en la proporción de 5 a 3. "a" es a 5 como "b" es a 3. Entonces la edad del padre es 9 veces la edad del hijo. 1razones y serie de razones UNIDAD 5Central: 619-8100 115 términos Para formar una razón aritmética o geométrica, se requieren dos cantidades "a" y "b". Los términos son: • a ⇒ Antecedente • b ⇒ Consecuente Sea: a – b = k o a b = k "k" es el valor de la razón Ejemplos: • La razón geométrica de los precios de dos productos es 5/2 y la razón aritmética es 15 soles. ¿Cuáles son los precios? Resolución: Sean los precios "a" y "b" a b = 5 2 y a – b = 15 Si: a = 5k y b = 2k, entonces: 5k – 2k = 15 Resolviendo: k= 5 y los precios son: a = 5(5) = 25 soles y b = 2(5) = 10 soles • En una reunión, la cantidad de varones excede a la cantidad de mujeres en 12. ¿Cuántas per- sonas asistieron a la reunión, si la cantidad de varones es a la de mujeres como 5 es a 3? Resolución: Sea "h" la cantidad de varones y "m" la de damas h m = 5 3 y h – m = 12 Si: h = 5k y m = 3k, entonces: 5k – 3k = 12 Resolviendo: k= 6 y los asistentes son: h = 5(6) = 30 y m = 3(6) = 18 Entonces en total asistieron 48 personas. Serie de razones geométricas equivalentes Un grupo de razones geométricas equivalentes: a1 b1 = a2 b2 = a3 b3 = a4 b4 = ... = k Antecedentes: a1; a2; a3; a4; ... Consecuentes: b1; b2; b3; b4; ... a 5 = b 3 = c 2 "a", "b" y "c" son proporcionales a 5; 3 y 2. "a" es a 5 como "b" es a 3 y "c" es a 2 Propiedades 1. Cada antecedente es igual a su consecuente por el valor de la razón. a1 = kb1; a2 = kb2; a3 = kb3; a4 = kb4; ... ; an =kbn Si: a 5 = b 3 = c 2 = k Entonces: a = 5k; b = 3k y c=2k Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe116 Ejemplo: • Los números "a", "b" y "c" son proporcionales a 2; 7 y 13. ¿Cuál es el valor de "b", si: 2a + 3c = 172? Resolución: Entonces: a 2 = b 7 = c 13 De la serie de razones: a = 2k; b = 7k y c = 13k Luego, en el dato: 2(2k) + 3(13k) = 172 43k = 172 ⇒ k = 4 El valor de: b = 7k = 28. 2. La razón entre la suma de antecedentes y la suma de consecuentes, es igual al valor de la razón. a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an b1 + b2 + b3 + b4 + ... + bn = k Ejemplo: • Los ángulos de un triángulo son proporcionales a 2; 5 y 11. ¿Cuál es la medida del mayor ángulo? Resolución: Sean los ángulos "a", "b" y "c" entonces: a 2 = b 5 = c 11 , además: a + b + c = 180° Entonces: a 2 = b 5 = c 11 = a + b + c 2 + 5 + 11 , como: a + b + c = 180° Luego: a 2 = b 5 = c 11 = 180° 18 , simplificando: a 2 = b 5 = c 11 = 10° El mayor de los ángulos 11(10°) = 110° 3. La razón del producto de antecedentes y el producto de los consecuentes, es igual a la potencia "n" del valor de las razones, donde "n" es la cantidad de razones. a1 × a2 × a3 × a4 × ... × an b1 × b2 × b3 × b4 × ... × bn = kn Ejemplo: • Los números "a", "b", "c" y "d" son proporcionales a 2; 5; 7 y 9. ¿Cuál es el valor de "d", si: a . b . c = 560? Resolución: Entonces: a 2 = b 5 = c 7 = d 9 = k; multiplicando las tres primeras razones a . b . c 2 .5 . 7 = k3; como: a . b . c = 560 Entonces: k3 = 560 2 . 5 . 7 = 8, reduciendo: k = 2 El valor de: d = 9k = 18. 1razones y serie de razones UNIDAD 5Central: 619-8100 117 Síntesis teórica a = antecedente b = consecuente Razón geométricaRazón aritmética SERIE DE RAZoNES GEoMéTRICAS EQUIVALENTES a m = b n = c p = k a b = ka – b = k a; b; c = antecedentes m; n; p = consecuentes a = mk b = nk c = pk a + b + c m + n + p = k a . b . c m . n . p = k3 RAZoNES Comparación de dos cantidades Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Sean las edades actuales de Luis y Alex. Actual Dentro de 10 años Luis 12 Alex 7 Hallar: • La razón aritmética de las edades actuales. • La razón aritmética de las edades que ten- drán dentro de 10 años 2. Sean las edades actuales de Pier y Carlos Actual Dentro de 12 años Pier 8 Carlos 4 Hallar: • La razón geométrica de las edades actuales. • La razón geométrica de las edades que ten- drán dentro de 12 años Hallar "a" y "b" en cada caso. 3. Dado: a b = 5 3 y a – b = 32 4. Dado: a b = 5 2 y a. b = 90 5. Dado: a 5 = b 3 = c 7 y a + b + c = 75 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe118 Aprende más Aplicación cotidiana El grado Fahrenheit es una escala de temperatura pro- puesta por Daniel Gabriel Fahrenheit en el año 1724. Una teoría indica que Fahrenheit estableció el 0 °F y los 100 °F en la escala al grabar las más bajas tem- peraturas que él pudo medir y su propia temperatura corporal. él tomó la más baja temperatura que midió en el duro invierno de los años de 1708 a 1709 (cerca de –17,8 °C), que lo indicó como punto cero y a 37,7 °C (temperatura corporal) como 100 °F. Relacionando las escalas de temperatura: Celsius 100 °C Fahrenheit 20 °C 0 °C 212 °F 68 °F 32 °F 1. ¿En qué relación (razón) está la variación de las temperaturas en las dos escalas? Temperatura (El agua se congela) Temperatura (El agua se evapora) Variación (Diferencia de temperaturas) 32 °F 212 °F °F 0 °C 100 °C °C 2. ¿En qué relación (razón) está la variación de las temperaturas en las dos escalas? Temperatura Temperatura Variación(Diferencia de temperaturas) 68 °F 212 °F °F 20 °C 100 °C °C 3. Considerando los ejercicios anteriores, completa: Temperatura Temperatura Variación(Diferencia de temperaturas) °F 212 °F °F 40 °C 100 °C °C Resolución de problemas 4. Dos números son entre sí como 2 es a 3. Si la suma de sus cuadrados es 52, hallar el menor. 5. Dos números son entre sí como 3 es a 2. Si la suma de sus cubos es 280, hallar el mayor. 6. La razón de dos números es 9/5. Si su razón aritmética es 36, hallar el menor de ellos 7. Las edades de Alex y Milenka son 20 y 32 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años, sus edades estarán en la relación de 5 a 7? 8. Rosa y yaneth tienen entre las dos S/. 4 200 y sus dineros están en la relación de 5 a 2 respec- tivamente. ¿Cuánto dinero debe darle Rosa a yaneth para que la nueva relación sea de 3 a 4? 9. Se tiene 200 caramelos, de los cuales 80 son de fresa y el resto de limón. ¿Cuántos caramelos de fresa se deben agregar para que por cada 4 caramelos de fresa haya 5 de limón? 1razones y serie de razones UNIDAD 5Central: 619-8100 119 10. Si: a 7 = b 5 = c 8 , y además: a + b + c = 80, hallar "c – b". 11. Si: a b = c d = e f = g h = k y además: a3 + c3 + e3+ g3 b3 + d3 + f3+ h3 = 8, hallar: k. 12. Una panadería produce cierta cantidad de pa- nes. Se realiza una venta y se observa que el nú- mero de panes vendidos es al número de panes que quedan como 1 es a 3, pero si se hubiera vendido 4 000 panes más, la nueva razón de panes vendidos con los que quedan sería de 3 a 7. Hallar la cantidad de panes. 13. La suma, diferencia y el producto de dos núme- ros son proporcionales a los números 5; 3 y 16. Hallar estos números. 14. Si: 64 a = a b = b c = c d = d 2 , hallar "d". 15. En una serie de tres razones geométricas iguales y continuas, se cumple que la suma del primer antecedente y el último consecuente es 1 274. Hallar la suma de los antecedentes, si la suma de las tres razones es 15/8. 16. Tres números son entre sí como 2; 5 y 7. Si se les quita 5; 19 y 26 respectivamente se originan tres números que forman una progresión aritmé- tica creciente. Hallar el mayor de los números. ¡Tú puedes! 1. En la serie de razones geométricas equivalentes: a b = c d = e f , se cumple: ab = 24; cd = 150; ef = 384 y b2 + d2 + f2 = 837 Hallar: a + b + c + d + e + f a) 50 b) 60 c) 75 d) 81 e) 45 2. Si: P R = E U = 5 3 y además: P . U = 150 y E R = 2 3 , hallar: P + E + R + U. a) 72 b) 30 c) 52 d) 84 e) 56 3. Si: a r = b s = c t = k y a + b + c = 72r + s + t = 32 , hallar: E = ar + bs + ct a) 30 b) 24 c) 48 d) 15 e) 36 4. Si: 1111 aaaa = 2222 bbbb = 3333 cccc y además: a2 + 4b2 + 9c2 = 392, hallar: a + b + c a) 6 b) 0 c) 12 d) 14 e) 18 5. En una fábrica de gaseosas se tienen tres máquinas "A", "B" y "C". En una hora por cada 7 botellas que produce la máquina "A", la máquina "B" produce 5 y por cada 3 botellas que produce "B", la máquina "C" produce 2. Si en un día la máquina "A" produce 1 320 botellas más que "C", ¿cuántas botellas produjo la máquina "B" más que "C" al día? a) 600 b) 900 c) 1 000 d) 1 100 e) 264 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe120 Practica en casa 18:10:45 1. Dos números son entre sí como 2 es a 5. Si la suma de sus cuadrados es 116, hallar el menor. 2. La razón de dos números es 4/11. Si la razón aritmética de dichos números es 210, hallar el mayor de ellos. 3. Si: a 3 = b 7 = c 8 = d 10 , además: 2a + 3c – 2d = 60, hallar "b". 4. La razón de dos números es 7/2. Si su razónaritmética es 35, hallar el menor de ellos. 5. Si: m 25 = n 40 = p 50 = q 15 y, además: m – n + p = 63, hallar "n + q". 6. Dos números son proporcionales a 15 y 35. Si al doble del mayor se le agrega el triple del me- nor, se obtiene 920. Hallar el menor número. 7. Las edades de Alex y Milenka son 12 y 22 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 5 a 7? 8. Rosa y yaneth tienen entre las dos S/. 6 720 y sus dineros están en la relación de 5 a 3 respec- tivamente. ¿Cuánto dinero debe darle Rosa a yaneth para que la nueva relación sea de 3 a 4? 9. El dinero que poseen Valeria y Jazmín están en la relación de 4 a 5 respectivamente. Después de ganar S/. 40 cada una, resulta que ahora sus dineros están en la proporción de 12 a 13. ¿Cuánto dinero tenía Valeria? 10. La cantidad de dinero que tiene "A" es al dine- ro de "B" como 2 es a 3. Sabiendo que "A" y "B" tienen juntos 180 soles, ¿cuántos soles tiene "B"? 11. Si: a 7 = b 5 = c 8 y además: a + b + c = 120, hallar: c – b. 12. Cuando Juan nació, Pedro tenía 6 años y hace 10 años la relación de sus edades era de 4 a 7. ¿Dentro de cuánto tiempo la relación de sus edades será como 11 es a 13? 13. Si: m 6 = 6 p = p q = q 48 = 48 r , hallar "q – m". 14. Los antecedentes de varias razones equivalen- tes son: 3; 4; 5 y 6. Si la suma de los dos prime- ros consecuentes es 28, hallar la suma de los dos últimos. 15. Si: x 12 = y 18 = z 24 = w 6 y además: x . w + y . z = 350, hallar: z 2Proporciones UNIDAD 5Central: 619-8100 121 Proporciones En este capítulo aprenderemos: • A representar matemáticamente en forma adecuada enunciados vinculados a la propor- ción. • A utilizar el lenguaje correcto para leer enunciados de razones y proporciones. • A plantear las características de las proporciones discretas y continuas. • A calcular los términos de una proporción. • A definir la razón y la proporción así como identificar sus clases. La ley de Charles y Gay-Lussac Relaciona el volumen y la temperatura de una cierta cantidad de gas ideal, mantenido a una presión constante, mediante una constante de proporcionalidad directa. Así que, a mayor movimiento de las partículas (temperatura), mayor volumen del gas. La ley de Charles es una de las más importantes leyes acerca del comportamiento de los gases, y ha sido usada de muchas formas diferentes, desde globos de aire caliente hasta acuarios. –250 –150 –50 0 50 100 150 200 250 300 10 20 40 50 60 70 80 Temperatura, °C Volumen, ml 30 • ¿Qué volumen se proyecta para una temperatura de 200 °C? Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe122 Saberes previos Completa el crucigrama con números: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Horizontal: 1. Razón aritmética de 234 y 153 3. Razón geométrica de 44 y 4 5. El cuadrado de 11 8. Número capicúa de cinco cifras 9. Una decena 10. Medio día (en horas) 12. Una docena 13. Número capicúa de cuatro cifras 15. Cubo de 7 17. Cuadrado de 21 18. 3/4 de día (en horas) 19. Un día (en horas) 20. Cubo de 7 21. Cuadrado de 75 23. Cuadrado de 41 24. Razón aritmética de 51 y 35 Vertical: 1. Razón geométrica de 261 y 3 2. Menor número de cinco cifras diferentes 3. Factorial de 5 4. Potencia de 2 5. Cuadrado de 4, más 1 6. Número de tres cifras cuya suma sea cuatro 7. Menor número de siete cifras diferentes 10. Una gruesa 11. Número de tres cifras cuya suma sea 18 14. Cuadrado de 56 16. Número de cuatro cifras cuya suma sea 9 18. Doble de 79 20. Quinta potencia de 2 22. Razón aritmética entre 89 y 28 2Proporciones UNIDAD 5Central: 619-8100 123 Conceptos básicos Proporción Es la igualdad de dos razones. Clases de proporciones Proporción aritmética (equi – diferencia) Es la igualdad de dos razones aritméticas. a – b = c – d En la proporción aritmética: "a" y "d" son los extremos y "b" y "c" los medios Entonces: a + d = b + c Suma de extremos = suma de medios Observación 1. Cuando los medios son diferentes, se le deno- mina proporción aritmética discreta. a – b = c – d A "d" se le llama cuarta diferencial Ejemplo: • Calcular la cuarta diferencial de 18; 14 y 46 Luego: 18 – 14 = 46 – x Resolviendo: x = 42 2. Cuando los medios son iguales, se le denomi- na proporción aritmética continua a – b = b – c A "b" se le llama media diferencial A "c" se le llama tercera diferencial Ejemplos: • Calcular la tercera diferencial de 78 y 65 Luego: 78 – 65 = 65 – x Resolviendo: x = 52 • Calcular la media diferencial de 28 y 20 Luego: 28 – x = x – 20 Resolviendo: x = 24 Proporción geométrica (equi–cociente) Es la igualdad de dos razones geométricas. a b = c d En la proporción geométrica: "a" y "d" son los extremos y "b" y "c" los medios Entonces: a . d = b . c Producto de extremos = producto de medios Observación 1. Cuando los medios son diferentes, se le deno- mina proporción geométrica discreta. a b = c d A "d" se le llama cuarta proporcional Ejemplo: • Calcular la cuarta proporcional de 28;14 y 16 Luego: 28 14 = 16 x Resolviendo: x = 8 2. Cuando los medios son iguales, se le denomi- na proporción geométrica continua. a b = b c A "b" se le llama media proporcional A "c" se le llama tercera proporcional Ejemplos: • Calcular la tercera proporcional de 40 y 20. Luego: 40 20 = 20 x ⇒ 40 . x = 20 . 20 ⇒ x = 10 • Calcular la media proporcional de 27 y 3. Luego: 27 x = x 3 ⇒ 27 . 3 = x . x ⇒ x = 9 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe124 Síntesis teórica PRoPoRCIÓN "a" y "d" = extremos "b" y "c" = medios PRoPoRCIóN GEoMéTRICA PRoPoRCIóN ARITMéTICA Igualdad de dos razones Términos medios diferentes Términos medios iguales Términos medios diferentes Términos medios iguales a b = c d a – b = c – d P.A. discreta P.A. continua P.G. discreta P.G. continua d: cuarta diferencial b: media diferencialc: tercera diferencial d: cuarta proporcional b: media proporcional c: tercera proporcional a – b = c – d a – b = b – c a b = c d a b = b c b = a + c 2 b = a . c Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Completa la proporción aritmética: 12 – ....... = 15 – 11 Luego, la cuarta diferencial es:............. 2. Si la proporción aritmética es continua: 23 – ......... = ........... – 11 La media diferencial es:............. 3. Si la proporción geométrica es continua: 25 ....... = ....... 4 Luego, la media proporcional es:.......... 4. Calcular la media proporcional de 12 y 3 5. Calcular la tercera proporcional de 18 y 6 2Proporciones UNIDAD 5Central: 619-8100 125 Aprende más Aplicación cotidiana Existen varios tipos de mezcla de concreto, dependiendo en don- de se vaya a utilizar y la función que cumplirá, variando las canti- dades de cal, arena y cemento se pueden hacer mezclas diferentes especiales para uno u otro uso. Aquí vamos a explicarte como ha- cer una mezcla de cal y cemento que sea la más simple y común. Para preparar esta mezcla necesitamos respetar esta proporción: • 1 balde de cemento • 2 de grava • 3 de arena 1. Si utilizamos 5 baldes de cemento, ¿cuántos baldes de grava y arena se utilizarán? 2. Si necesitamos una mezcla de 120 baldes, ¿cuántos serán de cemento? 3. Para cubrir un techo de 74 m2 con un espesor de 10 cm, serequiere de 50 kg de cemento. Si un balde contiene 2,5 kg de cemento, ¿cuántos baldes de arena y grava se requieren para dicho techo? Resolución de problemas 4. Si 15 es la media proporcional de "m" y 25 y "2m" es la tercera proporcional de 8 y "n", ¿cuál es la cuarta proporcional de "m", "n" y 15? 5. Ordene los números 3; 12 y 6 para formar una proporción geométrica continua. ¿Cuál es el va- lor de la razón? 6. En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 75 y la diferencia de los mismos es 21. Hallar el valor de la media proporcional. 7. En una proporción geométrica continua, los tér- minos extremos están en la relación de 4 a 9, siendo su suma 65. Hallar la media proporcional. 8. Si "A" es la cuarta diferencial de 28; 9 y 41 y "B" es la media diferencial de 16 y 12, hallar la tercera diferencial de "A" y "B". 9. El producto de los cuatro términos de una pro- porción geométrica continua es 104 976. Hallar la tercera proporcional, si los dos primeros térmi- nos suman 21. Dar como respuesta el producto de sus cifras. 10. La tercera proporcional de (x – 2) y (x + 2) es (x + 8). ¿Cuál es la cuarta proporcional de "x"; (x + 6) y (x + 5)? 11. Tres números son entre sí como 2; 6 y 8. Si la media diferencial entre el segundo y el tercero es 28, hallar la media proporcional entre el pri- mero y el tercero. 12. Se tiene una proporción aritmética continua, donde la suma de los cuatro términos es 112 y la diferencia de los extremos es 18. Hallar di- chos extremos. 13. El producto de los cuatro términos de una pro- porción geométrica continua es 256. Si la dife- rencia de los extremos es 6, hallar la suma de los antecedentes de dicha proporción. 14. En una proporción geométrica continua, el pri- mer término es la novena parte del último tér- mino. Si la suma de los extremos es 100, hallar la media proporcional. 15. El producto de los cuatro términos de una pro- porción geométrica continua es 1 296. Si la suma de sus extremos es 15, hallar el mayor de los extremos. 16. En una proporción geométrica, la suma de los dos primeros términos es 20 y la suma de los dos últimos términos es 25. Hallar el menor de los términos medios, si la suma de los conse- cuentes es 27. Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe126 ¡Tú puedes! 1. Se sabe que: m2 + 25 5 = n2 + 49 7 = p2 + 4 2 y además: m + 2n + p = 63. Calcule: m + n – p a) 20 b) 25 c) 30 d) 42 e) 16 2. En una proporción geométrica continua, se cumple que el producto de los cuatro términos acepta como factores primos a dos enteros consecutivos y tiene 45 divisores. Además, dicho producto no contiene a 32 pero si a 48. Hallar el menor de los términos de la proporción, si uno de los extremos es cubo perfecto y el otro es múltiplo de 6. a) 8 b) 12 c) 15 d) 18 e) 9 3. En una reunión, el número de hombres que bailan es al número de damas que no bailan como 1 es a 2 y además, el número de damas es al número de hombres que no bailan como 3 es a 5. Determinar cuántas personas bailan, si en total asistieron 72 personas. a) 8 b) 14 c) 24 d) 12 e) 16 4. Un club tiene 4 290 socios activos. Tuvieron que decidir sobre cierta moción, estando en contra de ella una cantidad como 7 miembros y a favor solamente como 4. Luego de la reconsideración fue aprobada con una relación de 8 es a 5. Si no hubo abstenciones, ¿cuántas personas cambiaron de opinión? a) 920 b) 1 020 c) 1 080 d) 980 e) 1 060 5. Para elegir los nuevos dirigentes de un club se presentan dos listas "A" y "B" y para votar se hacen pre- sentes 240 socios. En una votación de sondeo inicial, la elección favorece a "B" en la proporción de 3 a 2, pero en la votación legal "A" ganó en una proporción de 5 a 3. ¿Cuántos socios que inicialmente votaron por "B" cambian por "A"? a) 24 b) 48 c) 54 d) 72 e) 80 Practica en casa 18:10:45 1. En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 58 y la diferencia de ellos es 40. Hallar la media proporcional. 2. Calcular la media diferencial de 23 y 15. 3. Calcular la media proporcional de 9 y 4 4. Calcular "x" en: 12 + x 18 = 5 2 5. Calcular la media proporcional de 20 y 125 6. Calcular la media diferencial de 18 y 10 7. Calcular "x" en: 38 + x 18 + x = 3 2 8. Calcular la tercera diferencial de 34 y 25 9. Calcular la tercera proporcional de 12 y 18 10. En una proporción geométrica continua, el pro- ducto de los cuatro términos es 20 736. Si el segundo término es el cuádruplo del primero, hallar el mayor de los términos. 11. El producto de los cuatro términos de una pro- porción geométrica continua es 50 625. Si la razón es mayor que 1, hallar el primer antece- dente, sabiendo que uno de ellos es 3. 2Proporciones UNIDAD 5Central: 619-8100 127 12. Calcular la suma de los cuatro términos de una proporción geométrica continua, si se sabe que la suma de los dos primeros términos es 15 y la suma del primer y último término es 13. 13. Hallar la tercera proporcional de una propor- ción geométrica continua, donde el producto de sus cuatro términos es 6 561 y el primer tér- mino es 9 veces el último término. 14. En una proporción aritmética continua, los ex- tremos son entre sí como 5 es a 3. Hallar la ra- zón aritmética de dicha proporción, sabiendo que la suma de sus cuatro términos es 528. 15. La suma de los cuatro términos de una propor- ción aritmética continua es 100. Si el producto de los cuatro términos es 375 000, hallar la di- ferencia de los términos extremos. 128 3 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Promedios En este capítulo aprenderemos: • Aplicar las fórmulas de promedio aritmético, geométrico y armónico. • A definir los promedios e identificar sus clases. • A demostrar las relaciones de orden entre los promedios aritmético, geométrico y armó- nico. • A resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar una relación entre medidas. • A resolver problemas de contexto real y matemático que implican utilizar los promedios. Esperanza de vida al nacer (años de vida) por sexo en la zona urbana PERú (1985 – 2015) Es pe ra nz a de v id a 60.00 65,89 67,88 68,76 69,74 70,69 74,27 62.00 68,34 70,28 71,20 72,25 73,28 77,05 64.00 70,92 72,80 73,77 74,89 76,00 71,62 66.00 68.00 70.00 72.00 74.00 76.00 78.00 1985 – 1990 1990 – 1995 1995 – 2000 2000 – 2005 2005 – 2010 2010 – 2015 Mujeres Ambos sexos Hombres Año FUENTE: INEI. DTDES. "Proyecciones de Población del Perú, 1950 – 2050". Marzo 2009. • ¿Cómo explicas que el promedio de ambos sexos fue 73,28 en el año 2010? 3Promedios UNIDAD 5Central: 619-8100 129 Saberes previos Completa el crucigrama con números: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Horizontal: 1. El resultado de sumar del 1 hasta el 9 3. 5/8 de un día (en horas) 5. Cuadrado de 21 7. Cubo de 6 8. Una gruesa 10. Raíz cúbica de 343 11. Indicar los 2/9 del mayor número de tres cifras 13. 24 + 4 14. Raíz cuadrada de 144 15. Cubo de 8 19. Un día (en horas) 20. Cuadrado de 75 21. Raíz cúbica de 512 22. Número de cuatro cifras cuya suma sea 7 24. Semisuma de 235 y 429 25. Menor número de cuatro cifras 26. Dos días (en horas) Vertical: 1. Cuadrado de 65 2. Cubo de 8 3. Cuarta potencia de 2 4. Cubo perfecto de tres cifras 6. Cuadrado de 21 9. El resultado de: 1 + 3 + 5 + ... + 39 10. Factorial de 6 12. Cuadrado de 150 16. Doce docenas 17. Suma de los cuatro primeros números impares 18. El resultado de: 1 + 2 + 3 + ... + 17 19. Suma de los impares del 1 hasta el 29 21. Capicúa de tres cifras 23. Una decena 24. Raíz cuadrada de 900 25. El resultadode sumar 1/2; 1/3 y 1/6 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe130 Conceptos básicos Promedio Es aquella cantidad que representa a un conjunto de da- tos. Sean las cantidades: a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an Una característica del promedio es: a1 ≤ Promedio ≤ an Si los datos son: 12; 18; 20 y 15 el promedio no puede ser 10 o 22. Su valor debe ser mínimo 12 y máximo 20. Clasificación Promedio aritmético (ma) Sean las cantidades: a1; a2; a3; ...; an ma = a1 + a2 + a3 + ... + an n Si los datos son "a" y "b", el promedio o media aritmética es: ma = a + b 2 Ejemplo: • Calcular el promedio aritmético de las edades de cuatro hermanos que son: 18; 12; 9 y 14 años. ma = 18 + 12 + 9 + 14 4 = 13,25 Promedio geométrico (mg) Sean las cantidades: a1; a2; a3; ...; an mg = a1 × a2 × a3 × ... × an n Si los datos son "a" y "b", el promedio o media geométrica es: mg = a × b Ejemplo: • Los aumentos porcentuales de un producto son 20%; 25% y 2%. Calcular el promedio geomé- trico de estos aumentos. mg = 20 × 25 × 2 3 ⇒ mg = 10% Promedio armónico (mh) Sean las cantidades: a1; a2; a3; ...; an mh = n 1 a1 + 1 a2 + 1 a3 + ... + 1 an Si los datos son "a" y "b", el promedio o media armónica es: mh = 2 1 a + 1 b = 2ab a + b Ejemplo: • Calcular el promedio armónico de las velocidades 12; 20; 30 y 42 km/h, que desarrolló un ciclista en una competencia: mh = 4 1 12 + 1 20 + 1 30 + 1 42 ⇒ mh = 21 km/h 3Promedios UNIDAD 5Central: 619-8100 131 Promedio ponderado Cuando los datos influyen de diferente modo en el promedio, se le asigna a cada uno un peso, el cual debe ser considerado para determinar el promedio Ejemplo: • Sean las notas de Alex, alumno del colegio: Rubro Nota Peso Exámenes de entrada 08 2 Examen mensual 16 3 Examen bimestral 18 4 Revisión de cuaderno 14 1 Determina su promedio Promedio ponderado = 8 × 2 + 16 × 3 + 18 × 4 + 14 × 1 2 + 3 + 4 + 1 = 15 Propiedades • Para cantidades diferentes se tiene que: ma > mg > mh Si los datos son: 12; 6 y 24 • ma = 12 + 6 + 24 3 = 14 • mg = 12 × 6 × 24 3 = 12 • mh = 3 1 12 + 1 6 + 1 24 = 10,28 • Para cantidades iguales se tiene que: ma = mg = mh Si los datos son: 7; 7; 7; 7; 7 ma = 7; mg = 7; mh = 7 • Para dos números se cumple que: ma = a + b 2 ; mg = a . b; mh = 2ab a + b Luego: ma . mh = mg 2 Si los datos son "a" y "b": ma . mh = a . b Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe132 Síntesis teórica PRoMEDIoS PRoPIEDADES a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an a1 ≤ Promedio ≤ an Promedio ponderado Nota Peso 12 5 15 2 18 3 P.P. = 12 × 5 + 15 × 2 + 18 × 3 5 + 2 + 3 Para "n" números: P.A. ≥ P.G. ≥ P.H. Para dos números "a" y "b" P.A. = M.A. = a + b 2 P.G. = M.G. = a . b P.H. = M.H. = 2 1 a + 1 b = 2ab a + b Promedio armónicoPromedio aritmético Promedio geométrico P.H. = n Suma de las inversas P.A. = Suma de datos n P.G. = Producto de datos n Sean los números "a", "b" y "c" P.H. = 3 1 a + 1 b + 1 c Sean los números "a", "b" y "c" P.A. = a + b + c 3 Sean los números "a", "b" y "c" P.G. = a . b . c3 3Promedios UNIDAD 5Central: 619-8100 133 Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Determina "x", si: 13 + 12 + 15 + 11 + x 5 = 14 2. Calcular el promedio geométrico de 25; 20 y 2 3. Calcular el promedio aritmético de los cinco primeros números primos impares. 4. Calcular el promedio armónico de 12 y 20. 5. Calcular el promedio ponderado de las notas de las aulas "A", "B" y "C": Aula # de alumnos Nota de cada aula A 20 15 B 30 13 C 10 9 Aprende más Aplicación cotidiana América Latina Esperanza de vida al nacer (Años) Datos del 2007 En esta oportunidad presentamos un ranking latinoamericano re- ferido a uno de los más importantes indicadores del desarrollo: la esperanza de vida al nacer. Este indicador, como se sabe, estima el número de años que po- drían vivir las personas de un país teniendo en cuenta las con- diciones generales de vida imperantes en él, en aspectos tales como mortalidad infantil, niveles de pobreza, nutrición, acceso a infraestructura sanitaria, servicios de salud, etc. 1. Calcular el promedio de los cinco países que tienen la mayor esperanza de vida. 2. Calcular el promedio de esperanza de vida de dos países: el que tiene el mayor y el que tiene la menor esperanza de vida. 3. Calcular el promedio de esperanza de vida del Perú y de los países fronterizos con el Perú. País Años 1 Costa Rica 79 2 Chile 78 3 Cuba 78 4 Perú 76 5 México 76 6 Panamá 76 7 Argentina 75 8 Uruguay 75 9 Colombia 75 10 Venezuela 75 11 Paraguay 74 12 Brasil 73 13 Ecuador 73 14 Nicaragua 73 15 El Salvador 72 16 República Dominicana 72 17 Honduras 71 18 Guatemala 69 19 Bolivia 66 Fuente: OMS. Elaboración: Desarrollo Peruano Resolución de problemas 4. Un alumno tiene las siguientes notas en sus cua- tro primeros exámenes: 91; 88; 66 y 78. Si desea obtener un promedio de 85 en los cinco prime- ros exámenes, ¿cuál debería ser su quinta nota? 5. Hallar la media aritmética y la media geométri- ca de 9 y 25. Dar como respuesta la diferencia de dichas medias. 6. Hallar la suma de cifras del promedio geométri- co de los números 8; 27 y 125. 7. El promedio de cinco números consecutivos pares es 24. ¿Cuál es el promedio de los dos menores números? 8. El promedio de cuatro números es 14. Si la suma de los tres primeros números es 50, hallar el último número. Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe134 9. El promedio de tres números consecutivos de una progresión aritmética de razón 7 es 25. Cal- cular el promedio geométrico del mayor y me- nor número. 10. El promedio de las edades de seis personas es 48 años. Si ninguna de ellas es menor de 43 años, ¿cuál es la máxima edad que podría tener una de ellas? 11. El promedio de cinco números es 85. Si se con- sidera un sexto número y el promedio aumenta en 15, hallar el sexto número. 12. El promedio de las edades de cinco personas es 38 años. Si todas las edades son diferentes entre sí y ninguna es mayor de 44 años, ¿cuál es la mí- nima edad que puede tener una de las personas? 13. En un salón, el promedio de edad de los 18 hombres es 16 años y el promedio de edad de las 12 mujeres es 14 años. Calcular el promedio de edad de todo el salón. 14. El promedio aritmético de 20 números es 45, el de otros 35 números es 24 y el de otros 45 nú- meros es 60. Entonces, el promedio aritmético de los 100 números será: 15. En una clase de 30 alumnos, la estatura prome- dio de los hombres es 1,70 m y el de las muje- res 1,6 m. ¿Cuántos hombres hay en clase, si el promedio de la clase es 1,63 m? 16. El promedio aritmético de 30 números es 25. Si sacamos tres de estos números, por ejemplo: 20; 10 y 18, hallar el promedio de los números que quedan. ¡Tú puedes! 1. Hallar la media aritmética de: 8; 16; 24; 32; ...; 8n a) 4(n + 1) b) 8(n – 1) c) 8(n + 1) d) 4(n – 1) e) 4n (n – 1) 2. En un salón de clase, la suma de las edades de todos los alumnos es 900 años y la edad promedio es 18 años. Si cada alumno tuviera 3 años más y cada alumna tuviera 2 años menos, la edad promedio aumentaría en 1 año. Hallar la relación en la que se encuentran el número de alumnos y el número de alumnas. a) 3 2 b) 1 4 c) 5 2 d) 3 1 e) 1 2 3. En un salón de "x" personas, se determinó queel promedio de las edades de los hombres era "m" años y el promedio de las mujeres "n" años. Hallar el número de hombres, si el promedio de las "x" personas es "y" años. a) x(y – m) m – n b) x(n – y) m – n c) x(y – n) m – n d) x(y – m) n – x e) x(y – n) n – m 4. En un examen se obtuvo que el promedio de notas de los varones era 1 100 y el promedio de notas de las damas 1 150. Si el número de varones respecto al de damas es como 5 a 7, ¿cuál es el promedio del examen? a) 1 032 b) 1 051 c) 1 079 d) 1 129,16 e) 1 143 5. Se obtuvo que la media armónica de los números: 2; 6; 12; 20; ...; n(n + 1) es igual a 21. ¿Cuál es la media armónica de los "n" siguientes números de la serie? a) 820 b) 800 c) 880 d) 861 e) 841 3Promedios UNIDAD 5Central: 619-8100 135 Practica en casa 18:10:45 10. Si la suma de 40 números consecutivos es 1 140, hallar el promedio de los tres últimos números. 11. En un salón de 60 alumnos, el promedio de no- tas en Aritmética es 12. Si 20 de ellos tienen un promedio de 18, ¿cuál es el promedio de los 40 restantes? 12. El promedio aritmético de las edades de 12 per- sonas es 29 años. Si se retiran 4 personas, el promedio de las restantes es 25 años. ¿Cuál es el promedio de las cuatro personas que se reti- raron? 13. Calcular el promedio ponderado de las notas de un alumno: Nota Peso 15 3 09 2 18 1 14. Hallar dos números, sabiendo que su mayor promedio es 8 y su menor promedio es 63/8. Dar como respuesta la diferencia de dichos nú- meros. 15. Seis señoras están reunidas. Si ninguna pasa de los 60 años y el promedio de edades es 54, la mínima edad que puede tener una de ellas es: 1. Calcular el promedio aritmético de 17; 12; 13 y 18. 2. La razón aritmética de dos números es 48 y su promedio aritmético es 35. Hallar el menor de los números. 3. Calcular el promedio geométrico de 12 y 75 4. Un grupo de seis amigas tienen una edad pro- medio de 28 años. Si ninguna de ellas es menor de 25 años, ¿cuál es la edad máxima que puede tener una de ellas? 5. Calcular el promedio geométrico de 27; 32 y 2 6. El sueldo promedio de cinco profesores es 1 650 soles. Si los sueldos de tres de ellos son 1 250; 1 800 y 2 200 soles, hallar el sueldo de los otros dos, sabiendo que son proporcionales a 2 y 3. 7. Calcular el promedio aritmético de los diez pri- meros números primos. 8. Si el promedio de cinco números impares con- secutivos es 17, hallar el promedio de los dos mayores números. 9. ¿Cuál es el promedio armónico de 12; 20 y 30?
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