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Aritmetica 5

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Proporciones
Consumo per cápita de pescado
El consumo per cápita, es la razón geométrica entre el consumo total y la población total. En el 2 008, el consumo humano per cápita de recursos pesqueros en el Perú fue de 22,1 kg, el nivel más elevado de la última década, debido no solo al mayor desembarque, sino también por el impulso dado por el Estado (en especial, especies como la anchoveta y la pota) y el boom de la gastronomía peruana.
Consumo humano per cápita de recursos pesqueros (kg)
21,0
18,1 18,1
20,6
21,9
18,5
20,1 19,8
18,6 19,5
21,4 22,1
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Enlatado
Congelado
Curado
Fresco
Enlatado: 25%
Congelado:	11%Curado:	5%
Fresco:	59%
Participación de consumo por tipo 
de producto 2008 (%)
APreNDIZAjes esPerADos
Comunicación matemática
•	 Interpretar	la	razón	aritmética	y	geométrica.
•	 Representar	 	matemáticamente	 en	 forma	 ade-
cuada enunciados vinculados a la razón y pro-
porción.
•	 Aplicar	 las	 fórmulas	de	promedio	aritmético,	
geométrico y armónico.
Razonamiento y demostración
•	 Plantear	las	características	de	las	proporciones	
discretas y continuas.
•	 Calcular	los	términos	de	una	proporción.
Resolución de problemas
•	 Resolver	 	 problemas	 que	 involucren	 razones	
aritmética y geométrica así como proporcio-
nes.
•	 Resolver		problemas	de	contexto	real	y	mate-
mático que implican utilizar los promedios.
UNIDAD 5
Perú captura anualmente 8.3 millones de toneladas 
de pescados y mariscos para consumo humano di-
recto (CHD) e indirecto (CHI), y es superado solo por 
China, que captura 9.9 millones de toneladas al año, 
informó hoy la Cámara de Comercio de Lima (CCL), 
en base a un estudio realizado por la Universidad de 
la Columbia Británica (Canadá).
112
1 Aritmética
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razones y serie de razones
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	interpretar	la	razón	aritmética	y	geométrica.
•	 A	representar	matemáticamente	en	forma	adecuada	enunciados	vinculados	a	la	razón.
•	 A	utilizar	el	lenguaje	correcto	para	leer	enunciados	de	razones.
•	 A	definir	la	razón,	así	como	identificar	sus	clases.
•	 A	interpretar	los	resultados	que	se	obtienen	de	la	resolución	de	problemas	de	índole	real.
•	 A	resolver	problemas	que	involucren	razones:	Aritmética	y	Geométrica.
El Producto bruto interno
El PBI per cápita es la razón entre el Producto Bruto y la población. Se calcula dividiendo el PBI total por la cantidad de habitantes del país.
AMÉRICA LAtINA
PBI PER CáPItA 2009
(US$)
País 2008 2009 2010
1 Venezuela 11,388 11,789 10,315
2 Chile 10,197 9,525 11,428
3 Uruguay 9,351 9,426 12,089
4 Brasil 8,626 8,220 9,886
5 México 10,217 8,135 9,168
6 Argentina 8,266 7,726 8,493
7 Panamá 6,812 7,133 7,579
8 Costa	Rica 6,583 6,345 6,965
9 Rep.	Dominicana 5,117 5,176 5,464
10 Colombia 5,404 5,087 5,890
11 Perú 4,446 4,356 4,950
12 Ecuador 3,928 4,059 4,328
13 El Salvador 3,822 3,623 3,719
14 Guatemala 2,862 2,662 2,769
15 Paraguay 2,747 2,337 2,704
16 Honduras 1,816 1,823 1,913
17 Bolivia 1,656 1,724 1,831
18 Nicaragua 1,010 972 967
Fuente: FMI. Elaboración: Desarrollo Peruano
El Perú, con un producto por habitante de US$ 4,356, se sitúa en el undécimo puesto. Sin duda, nuestro 
país aún tiene un largo trecho por recorrer en cuanto a este indicador, uno de los que más frenan las aspi-
raciones	de	mejorar	su	índice	de	Desarrollo	Humano.
•	 Si	la	población	del	Perú	en	el	2009	fue	de	28	093	747,	¿cuál	fue	el	Producto	Bruto	de	dicho	año?
1razones y serie de razones
UNIDAD 5Central: 619-8100 113
Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números:
1 2 3 4 5 6
7 8
9 10
11 12 13 14
15 16 17
18 19
20 21 22
Horizontal:
1. La mitad de 358
4. Factorial	de	6
7. Potencia de 2
8. Dos docenas
9. Seis millares
10. Un número de tres cifras cuya suma sea 18
11. Décima potencia de 2
13. Número capicúa de tres cifras múltiplo de 9
15. Dos días en horas
17. Un número de cuatro cifras cuya suma sea 13.
18. Cuadrado	de	18
19. Número de tres cifras múltiplo de 9
20. 3/4 de día en horas
21. Cubo	de	8
22. Número primo mayor que 20 y menor que 30.
Vertical:
1. El doble de 68
2. Tres días en horas
3. Nueve centenas
4. Número capicúa de cinco cifras.
5. Dos gruesas
6. Cubo	de	7
8. Número capicúa divisible entre 9
11. Número capicúa de cuatro cifras
12. Cuadrado	de	45
13. Una gruesa
14. Menor número de cuatro cifras diferentes
16. Número capicúa de tres cifras
Aritmética
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Conceptos básicos
Razón
Es común comparar precios, edades, puntajes, temperaturas, etc. y esas comparaciones las hacemos res-
tándolas o dividiéndolas, esto nos permite determinar en cuántas unidades una es mayor que la otra o 
cuántas veces es una que la otra. En este capítulo estudiaremos estas formas de comparar, a las cuales las 
llamaremos razones.
Clases de razón
Razón aritmética
Es la comparación de las cantidades mediante la 
resta.
a – b = k
a – b = k
La diferencia entre "a" y "b" es "k".
"a" excede a "b" en "k" unidades
 Dicha razón determina en cuántas unidades una cantidad excede a la otra.
 Ejemplo:
•	 Carlos	y	Mario	tienen	12	y	18	años	respectivamente.	¿Cuál	será	la	razón	aritmética	de	estas	eda-
des	dentro	de	10	años?
 Resolución:
Actual Dentro	de	10	años
	 La	razón	aritmética:	28	–	22	=	6	años
	 Entonces	Mario	tiene	6	años	más	que	Car-
los.
Carlos 12 22
Mario 18 28
Razón geométrica
Es la comparación de dos cantidades utilizando la 
división.
a
b
 = k
a
b
 = k
El cociente entre "a" y "b" es "k".
"a" es "k" veces el valor de "b"
 Dicho cociente indica cuántas veces es una cantidad respecto a la otra.
 Ejemplo:
•	 Roberto	a	los	40	años	tuvo	a	su	hijo	Carlos.	¿Cuál	será	la	razón	geométrica	de	estas	edades	
dentro	de	5	años?
Comparando:
Actual Dentro	de	5	años
Roberto 40 45
Carlos 0 5
La razón geométrica:
Padre
Hijo
 = 45	años
5	años
 = 9
a
b
 = 5
3
"a" es a "b" como 5 es a 3.
"a" y "b" están en la proporción de 5 a 3.
"a" es a 5 como "b" es a 3.
 Entonces la edad del padre es 9 veces la edad del hijo.
1razones y serie de razones
UNIDAD 5Central: 619-8100 115
términos
Para formar una razón aritmética o geométrica, se 
requieren dos cantidades "a" y "b". Los términos 
son:
•	 a	⇒ Antecedente
•	 b	⇒	Consecuente
Sea: a – b = k o a
b
 = k
"k" es el valor de la razón
 Ejemplos:
•	 La	razón	geométrica	de	los	precios	de	dos	productos	es	5/2	y	la	razón	aritmética	es	15	soles.	
¿Cuáles	son	los	precios?
 Resolución:
 Sean los precios "a" y "b"
 
a
b
 = 5
2 
y
 
a – b = 15
 Si: a = 5k y b = 2k, entonces: 5k – 2k = 15
	 Resolviendo:	k=	5	y	los	precios	son:	a	=	5(5)	=	25	soles	y	b	=	2(5)	=	10	soles
•	 En	una	reunión,	la	cantidad	de	varones	excede	a	la	cantidad	de	mujeres	en	12.	¿Cuántas	per-
sonas	asistieron	a	la	reunión,	si	la	cantidad	de	varones	es	a	la	de	mujeres	como	5	es	a	3?
 Resolución:
 Sea "h" la cantidad de varones y "m" la de damas
 
h
m
 = 5
3 
y
 
h – m = 12
 Si: h = 5k y m = 3k, entonces: 5k – 3k = 12
	 Resolviendo:	k=	6	y	los	asistentes	son:	h	=	5(6)	=	30	y	m	=	3(6)	=	18
 Entonces en total asistieron 48 personas.
Serie de razones geométricas equivalentes
Un grupo de razones geométricas equivalentes:
a1
b1
 = a2
b2
 = a3
b3
 = a4
b4
 = ... = k
Antecedentes: a1; a2; a3; a4; ...
Consecuentes:	b1; b2; b3; b4; ...
a
5
 = b
3
 = c
2
"a", "b" y "c" son proporcionales a 5; 3 y 2.
"a" es a 5 como "b" es a 3 y "c" es a 2
 Propiedades
1. Cada	antecedente	es	igual	a	su	consecuente	por	el	valor	de	
la razón.
 a1 = kb1; a2 = kb2; a3 = kb3; a4 = kb4; ... ; an =kbn
Si: a
5
 = b
3
 = c
2 
= k
Entonces:
a = 5k; b = 3k y c=2k
Aritmética
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 Ejemplo:
•	 Los	 números	 "a",	 "b"	 y	 "c"	 son	 proporcionales	 a	 2;	 7	 y	 13.	 ¿Cuál	 es	 el	 valor	 de	 "b",	 si:	
2a	+	3c	=	172?
 Resolución:
 
Entonces: a
2
 = b
7
 = c
13
 De la serie de razones: a = 2k; b = 7k y c = 13k
 Luego, en el dato: 2(2k) + 3(13k) = 172
 43k = 172 ⇒ k = 4
 El valor de: b = 7k = 28.
2. La razón entre la suma de antecedentes y la suma de consecuentes, es igual al valor de la razón.
 
a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an
b1 + b2 + b3 + b4 + ... + bn
 = k
Ejemplo:
•	 Los	ángulos	de	un	triángulo	son	proporcionales	a	2;	5	y	11.	¿Cuál	es	la	medida	del	mayor	
ángulo?
 Resolución:
 
Sean los ángulos "a", "b" y "c" entonces:
 
a
2
 = b
5
 = c
11
, además: a + b + c = 180°
 
Entonces:
 
a
2
 = b
5
 = c
11
 = a + b + c
2 + 5 + 11
, como: a + b + c = 180°
 
Luego:
 
a
2
 = b
5
 = c
11
 = 180°
18
,
 
simplificando: a
2
 = b
5
 = c
11
 = 10°
 El mayor de los ángulos 11(10°) = 110°
3. La razón del producto de antecedentes y el producto de los consecuentes, es igual a la potencia 
"n" del valor de las razones, donde "n" es la cantidad de razones.
 
a1 × a2 × a3 × a4 × ... × an
b1 × b2 × b3 × b4 × ... × bn
 = kn
Ejemplo:
•	 Los	números	"a",	"b",	"c"	y	"d"	son	proporcionales	a	2;	5;	7	y	9.	¿Cuál	es	el	valor	de	"d",	si:	
a	.	b	.	c	=		560?
 Resolución: 
 
Entonces: a
2
 = b
5
 = c
7
 = d
9
 = k; multiplicando las tres primeras razones
 
a . b . c
2 .5 . 7
 = k3; como: a . b . c = 560
 
Entonces: k3 = 560
2 . 5 . 7
 = 8, reduciendo: k = 2
 El valor de: d = 9k = 18.
1razones y serie de razones
UNIDAD 5Central: 619-8100 117
Síntesis teórica
a = antecedente
b = consecuente
Razón geométricaRazón aritmética
SERIE	DE	RAZoNES		GEoMéTRICAS	EQUIVALENTES
a
m 
= b
n 
= c
p 
= k
a
b 
= ka – b = k
a; b; c = antecedentes
m; n; p = consecuentes
a = mk
b = nk
c = pk
a + b + c
m + n + p 
= k a . b . c
m . n . p 
= k3
RAZoNES
Comparación	de	dos	
cantidades
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. Sean las edades actuales de Luis y Alex.
Actual Dentro	de	10	años
Luis 12
Alex 7
Hallar:
•	 La	razón	aritmética	de	las	edades	actuales.
•	 La	razón	aritmética	de	las	edades	que	ten-
drán	dentro	de	10	años
2. Sean	las	edades	actuales	de	Pier	y	Carlos
Actual Dentro	de	12	años
Pier 8
Carlos 4
 Hallar:
•	 La	razón	geométrica	de	las	edades	actuales.
•	 La	razón	geométrica	de	las	edades	que	ten-
drán	dentro	de	12	años
 Hallar "a" y "b" en cada caso.
3. Dado: a
b 
= 5
3
 y a – b = 32
4. Dado: a
b 
= 5
2
 y a. b = 90
5. Dado: a
5 
= b
3 
= c
7
 y a + b + c = 75
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Aprende más
Aplicación cotidiana
El	grado	Fahrenheit	es	una	escala	de	temperatura	pro-
puesta	por	Daniel	Gabriel	Fahrenheit	en	el	año	1724.
Una	teoría	indica	que	Fahrenheit	estableció	el	0	°F	
y	los	100	°F	en	la	escala	al	grabar	las	más	bajas	tem-
peraturas que él pudo medir y su propia temperatura 
corporal.
él	 tomó	 la	 más	 baja	 temperatura	 que	 midió	 en	 el	
duro	 invierno	 de	 los	 años	 de	 1708	 a	 1709	 (cerca	
de	 –17,8	 °C),	 que	 lo	 indicó	 como	 punto	 cero	 y	 a	
37,7	°C	(temperatura	corporal)	como	100	°F.
Relacionando	las	escalas	de	temperatura:
Celsius
100	°C
Fahrenheit
20	°C
0	°C
212	°F
68	°F
32	°F
1. ¿En	qué	relación	(razón)	está	la	variación	de	las	temperaturas	en	las	dos	escalas?
Temperatura
(El agua se congela)
Temperatura
(El agua se evapora)
Variación
(Diferencia de temperaturas)
32	°F 212	°F °F
0	°C 100	°C °C
2. ¿En	qué	relación	(razón)	está	la	variación	de	las	temperaturas	en	las	dos	escalas?
Temperatura Temperatura Variación(Diferencia de temperaturas)
68	°F 212	°F °F
20	°C 100	°C °C
3. Considerando	los	ejercicios	anteriores,	completa:
 Temperatura Temperatura Variación(Diferencia de temperaturas)
°F 212	°F °F
40	°C 100	°C °C
Resolución de problemas
4. Dos números son entre sí como 2 es a 3. Si la 
suma de sus cuadrados es 52, hallar el menor.
5. Dos números son entre sí como 3 es a 2. Si la 
suma de sus cubos es 280, hallar el mayor.
6. La razón de dos números es 9/5. Si su razón 
aritmética es 36, hallar el menor de ellos
7. Las	edades	de	Alex	y	Milenka	son	20	y	32	años	
respectivamente.	¿Dentro	de	cuántos	años,	sus	
edades	estarán	en	la	relación	de	5	a	7?
8. Rosa	y	yaneth	tienen	entre	las	dos	S/.	4	200	y	
sus dineros están en la relación de 5 a 2 respec-
tivamente.	 ¿Cuánto	 dinero	 debe	 darle	 Rosa	 a	
yaneth	para	que	la	nueva	relación	sea	de	3	a	4?
9. Se tiene 200 caramelos, de los cuales 80 son de 
fresa	 y	 el	 resto	 de	 limón.	 ¿Cuántos	 caramelos	
de fresa se deben agregar para que por cada 4 
caramelos	de	fresa	haya	5	de	limón?
1razones y serie de razones
UNIDAD 5Central: 619-8100 119
10. Si:
 
a
7 
=
 
b
5 
=
 
c
8
, y además: a + b + c = 80, 
hallar "c – b".
11. Si:
 
a
b 
=
 
c
d 
=
 
e
f 
=
 
g
h
 = k
 
y además: 
a3 + c3 + e3+ g3
b3 + d3 + f3+ h3 
= 8, hallar: k.
12. Una panadería produce cierta cantidad de pa-
nes. Se realiza una venta y se observa que el nú-
mero de panes vendidos es al número de panes 
que quedan como 1 es a 3, pero si se hubiera 
vendido 4 000 panes más, la nueva razón de 
panes vendidos con los que quedan sería de 3 a 
7. Hallar la cantidad de panes.
13. La suma, diferencia y el producto de dos núme-
ros son proporcionales a los números 5; 3 y 16. 
Hallar estos números.
14. Si:
 
64
a 
=
 
a
b 
=
 
b
c 
=
 
c
d 
=
 
d
2
, hallar "d".
15. En una serie de tres razones geométricas iguales 
y continuas, se cumple que la suma del primer 
antecedente y el último consecuente es 1 274. 
Hallar la suma de los antecedentes, si la suma 
de las tres razones es 15/8.
16. Tres números son entre sí como 2; 5 y 7. Si se 
les quita 5; 19 y 26 respectivamente se originan 
tres números que forman una progresión aritmé-
tica creciente. Hallar el mayor de los números.
¡Tú puedes!
1. En la serie de razones geométricas equivalentes: a
b 
=
 
c
d 
=
 
e
f
, se cumple:
ab = 24; cd = 150; ef = 384 y b2 + d2 + f2 = 837
 Hallar: a + b + c + d + e + f
a) 50 b) 60 c) 75 d) 81 e) 45
2. Si: P
R 
=
 
E
U 
=
 
5
3 
y además: P . U = 150 y E
R 
=
 
2
3
,	hallar:	P	+	E	+	R	+	U.
a) 72 b) 30 c) 52 d) 84 e) 56
3. Si: a
r 
=
 
b
s 
=
 
c
t 
=
 
k y a + b + c = 72r + s + t = 32
, hallar: E = ar + bs + ct
a) 30 b) 24 c) 48 d) 15 e) 36
4. Si: 
1111
aaaa 
=
 
2222
bbbb 
=
 
3333
cccc
 y además: a2 + 4b2 + 9c2 = 392, hallar: a + b + c
a) 6 b) 0 c) 12 d) 14 e) 18
5. En	una	fábrica	de	gaseosas	se	tienen	tres	máquinas	"A",	"B"	y	"C".	En	una	hora	por	cada	7	botellas	que	
produce la máquina "A", la máquina "B" produce 5 y por cada 3 botellas que produce "B", la máquina 
"C"	produce	2.	Si	en	un	día	la	máquina	"A"	produce	1	320	botellas	más	que	"C",	¿cuántas	botellas	
produjo	la	máquina	"B"	más	que	"C"	al	día?
a) 600 b) 900 c) 1 000 d) 1 100 e) 264
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Practica en casa
18:10:45
1. Dos números son entre sí como 2 es a 5. Si la 
suma de sus cuadrados es 116, hallar el menor.
2. La razón de dos números es 4/11. Si la razón 
aritmética de dichos números es 210, hallar el 
mayor de ellos.
3. Si:
 
a
3 
=
 
b
7 
=
 
c
8 
=
 
d
10
, además: 2a + 3c – 2d = 60, 
hallar "b".
4. La razón de dos números es 7/2. Si su razónaritmética es 35, hallar el menor de ellos.
5. Si:
 
m
25 
=
 
n
40 
=
 
p
50 
=
 
q
15
 y, además: m – n + p = 63, hallar "n + q".
6. Dos números son proporcionales a 15 y 35. Si 
al doble del mayor se le agrega el triple del me-
nor, se obtiene 920. Hallar el menor número.
7. Las	edades	de	Alex	y	Milenka	son	12	y	22	años	
respectivamente.	 ¿Dentro	de	cuántos	 años	 sus	
edades	estarán	en	la	relación	de	5	a	7?
8. Rosa	y	yaneth	tienen	entre	las	dos	S/.	6	720	y	
sus dineros están en la relación de 5 a 3 respec-
tivamente.	 ¿Cuánto	 dinero	 debe	 darle	 Rosa	 a	
yaneth	para	que	la	nueva	relación	sea	de	3	a	4?
9. El	dinero	que	poseen	Valeria	y	Jazmín	están	en	
la relación de 4 a 5 respectivamente. Después 
de ganar S/. 40 cada una, resulta que ahora 
sus dineros están en la proporción de 12 a 13. 
¿Cuánto	dinero	tenía	Valeria?
10. La cantidad de dinero que tiene "A" es al dine-
ro de "B" como 2 es a 3. Sabiendo que "A" y 
"B" tienen juntos 180 soles, ¿cuántos soles tiene 
"B"?
11. Si:
 
a
7 
=
 
b
5 
=
 
c
8
 
y además: a + b + c = 120, hallar: c – b.
12. Cuando	Juan	nació,	Pedro	tenía	6	años	y	hace	
10	 años	 la	 relación	 de	 sus	 edades	 era	 de	 4	 a	
7. ¿Dentro de cuánto tiempo la relación de sus 
edades	será	como	11	es	a	13?
13. Si:
 
m
6 
=
 
6
p 
=
 
p
q 
=
 
q
48
 = 48
r
, hallar "q – m".
14. Los antecedentes de varias razones equivalen-
tes son: 3; 4; 5 y 6. Si la suma de los dos prime-
ros consecuentes es 28, hallar la suma de los 
dos últimos.
15. Si:
 
x
12 
=
 
y
18 
=
 
z
24 
=
 
w
6
 y además: x . w + y . z = 350, hallar: z
2Proporciones
UNIDAD 5Central: 619-8100 121
Proporciones
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	representar		matemáticamente	en	forma	adecuada		enunciados	vinculados	a	la	propor-
ción.
•	 A	utilizar		el	lenguaje	correcto	para	leer	enunciados	de	razones	y	proporciones.
•	 A	plantear	las	características	de	las	proporciones	discretas	y	continuas.
•	 A	calcular	los	términos	de	una	proporción.
•	 A	definir	la	razón	y	la	proporción	así	como		identificar	sus	clases.
La ley de Charles y Gay-Lussac
Relaciona el volumen y la temperatura de una cierta cantidad de gas ideal, mantenido a una presión constante, mediante una constante de proporcionalidad directa. Así que, a mayor movimiento de las partículas (temperatura), mayor volumen del gas.
La	ley	de	Charles	es	una	de	las	más	importantes	leyes	acerca	del	comportamiento	de	los	gases,	y	ha	sido	
usada de muchas formas diferentes, desde globos de aire caliente hasta acuarios.
–250 –150 –50 0 50 100 150 200 250 300
10
20
40
50
60
70
80
Temperatura,	°C
Volumen, ml
30
•	 ¿Qué	volumen	se	proyecta	para	una	temperatura	de	200	°C?
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Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números:
1 2 3 4 5 6 7
8 9
10 11 12
13 14 15 16
17 18 19
20 21 22
23 24
Horizontal:
1. Razón	aritmética	de	234	y	153
3. Razón	geométrica	de	44	y	4
5. El cuadrado de 11
8. Número capicúa de cinco cifras
9. Una decena
10. Medio día (en horas)
12. Una docena
13. Número capicúa de cuatro cifras
15. Cubo	de	7
17. Cuadrado	de	21
18. 3/4 de día (en horas)
19. Un día (en horas)
20. Cubo	de	7
21. Cuadrado	de	75
23. Cuadrado	de	41
24. Razón	aritmética	de	51	y	35
Vertical:
1. Razón	geométrica	de	261	y	3
2. Menor número de cinco cifras diferentes
3. Factorial	de	5
4. Potencia de 2
5. Cuadrado	de	4,	más	1
6. Número de tres cifras cuya suma sea cuatro
7. Menor número de siete cifras diferentes
10. Una gruesa
11. Número de tres cifras cuya suma sea 18
14. Cuadrado	de	56
16. Número de cuatro cifras cuya suma sea 9
18. Doble de 79
20. Quinta potencia de 2
22. Razón	aritmética	entre	89	y	28
2Proporciones
UNIDAD 5Central: 619-8100 123
Conceptos básicos
Proporción
Es la igualdad de dos razones.
Clases de proporciones
 Proporción aritmética (equi – diferencia)
Es la igualdad de dos razones aritméticas.
 a – b = c – d
En la proporción aritmética:
"a" y "d" son los extremos y "b" y "c" los medios
Entonces: a + d = b + c
Suma de extremos = suma de medios
Observación
1. Cuando	los	medios	son	diferentes,	se	le	deno-
mina proporción aritmética discreta.
 a – b = c – d
A "d" se le llama cuarta diferencial
Ejemplo:
•	 Calcular	la	cuarta	diferencial	de	18;	14	y	
46
 Luego: 18 – 14 = 46 – x
	 Resolviendo:	x	=	42
2. Cuando	los	medios	son	iguales,	se	le	denomi-
na proporción aritmética continua
 a – b = b – c
A "b" se le llama media diferencial
A "c" se le llama tercera diferencial
Ejemplos:
•	 Calcular	la	tercera	diferencial	de	78	y	65
 Luego: 78 – 65 = 65 – x
	 Resolviendo:	 x	=	52
•	 Calcular	la	media	diferencial	de	28	y	20
 Luego: 28 – x = x – 20
	 Resolviendo:	 x	=	24
Proporción geométrica (equi–cociente)
 Es la igualdad de dos razones 
geométricas.
 
a
b 
=
 
c
d
En la proporción geométrica:
"a" y "d" son los extremos y "b" y "c" los medios
Entonces: a . d = b . c
Producto de extremos = producto de medios
Observación
1. Cuando	los	medios	son	diferentes,	se	le	deno-
mina proporción geométrica discreta.
a
b 
=
 
c
d
A "d" se le llama cuarta proporcional 
Ejemplo:
•	 Calcular	la	cuarta	proporcional	de	28;14	
y 16
 
Luego:
 
28
14 
=
 
16
x
	 Resolviendo:	x	=	8
2. Cuando	los	medios	son	iguales,	se	le	denomi-
na proporción geométrica continua.
a
b 
=
 
b
c
A "b" se le llama media proporcional
A "c" se le llama tercera proporcional
Ejemplos:
•	 Calcular	la	tercera	proporcional	de	40	y	20.
Luego:
 
40
20 
=
 
20
x 
⇒ 40 . x = 20 . 20 ⇒ x = 10
•	 Calcular	la	media	proporcional	de	27	y	3.
Luego:
 
27
x 
=
 
x
3 
⇒ 27 . 3 = x . x ⇒ x = 9
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Síntesis teórica
PRoPoRCIÓN
"a" y "d" = extremos
"b" y "c" = medios
PRoPoRCIóN	
GEoMéTRICA
PRoPoRCIóN	
ARITMéTICA
Igualdad de dos razones
Términos medios 
diferentes
Términos medios 
iguales
Términos medios 
diferentes
Términos medios 
iguales
a
b 
= c
d
a – b = c – d
P.A. discreta P.A. continua P.G. discreta P.G. continua
d: cuarta diferencial b: media diferencialc: tercera diferencial d: cuarta proporcional
b: media proporcional
c: tercera proporcional
a – b = c – d a – b = b – c
a
b 
= c
d
a
b 
= b
c
b
 
= a + c
2 b = a . c
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. Completa	la	proporción	aritmética:
 12 – ....... = 15 – 11
 Luego, la cuarta diferencial es:.............
2. Si la proporción aritmética es continua:
 23 – ......... = ........... – 11
 La media diferencial es:.............
3. Si la proporción geométrica es continua:
 
25
....... 
=
 
.......
4
 Luego, la media proporcional es:..........
4. Calcular	la	media	proporcional	de	12	y	3
5. Calcular	la	tercera	proporcional	de	18	y	6
2Proporciones
UNIDAD 5Central: 619-8100 125
Aprende más
Aplicación cotidiana
Existen varios tipos de mezcla de concreto, dependiendo en don-
de se vaya a utilizar y la función que cumplirá, variando las canti-
dades de cal, arena y cemento se pueden hacer mezclas diferentes 
especiales para uno u otro uso. Aquí vamos a explicarte como ha-
cer una mezcla de cal y cemento que sea la más simple y común.
Para preparar esta mezcla necesitamos respetar esta proporción:
•	 1	balde	de	cemento
•	 2	de	grava
•	 3	de	arena
1. Si	utilizamos	5	baldes	de	cemento,	¿cuántos	baldes	de	grava	y	arena	se	utilizarán?
2. Si	necesitamos	una	mezcla	de	120	baldes,	¿cuántos	serán	de	cemento?
3. Para cubrir un techo de 74 m2 con un espesor de 10 cm, serequiere de 50 kg de cemento. Si un balde 
contiene	2,5	kg	de	cemento,	¿cuántos	baldes	de	arena	y	grava	se	requieren	para	dicho	techo?
Resolución de problemas
4. Si 15 es la media proporcional de "m" y 25 y 
"2m" es la tercera proporcional de 8 y "n", ¿cuál 
es	la	cuarta	proporcional	de	"m",	"n"	y	15?
5. Ordene los números 3; 12 y 6 para formar una 
proporción	geométrica	continua.	¿Cuál	es	el	va-
lor	de	la	razón?
6. En una proporción geométrica continua, la 
suma de los extremos es 75 y la diferencia de 
los mismos es 21. Hallar el valor de la media 
proporcional.
7. En una proporción geométrica continua, los tér-
minos extremos están en la relación de 4 a 9, 
siendo su suma 65. Hallar la media proporcional.
8. Si "A" es la cuarta diferencial de 28; 9 y 41 y 
"B" es la media diferencial de 16 y 12, hallar la 
tercera diferencial de "A" y "B".
9. El producto de los cuatro términos de una pro-
porción geométrica continua es 104 976. Hallar 
la tercera proporcional, si los dos primeros térmi-
nos suman 21. Dar como respuesta el producto 
de sus cifras.
10. La tercera proporcional de (x – 2) y (x + 2) es 
(x	+	8).	¿Cuál	es	la	cuarta	proporcional	de	"x";	
(x	+	6)	y	(x	+	5)?
11. Tres números son entre sí como 2; 6 y 8. Si la 
media diferencial entre el segundo y el tercero 
es 28, hallar la media proporcional entre el pri-
mero y el tercero.
12. Se tiene una proporción aritmética continua, 
donde la suma de los cuatro términos es 112 
y la diferencia de los extremos es 18. Hallar di-
chos extremos.
13. El producto de los cuatro términos de una pro-
porción geométrica continua es 256. Si la dife-
rencia de los extremos es 6, hallar la suma de 
los antecedentes de dicha proporción.
14. En una proporción geométrica continua, el pri-
mer término es la novena parte del último tér-
mino. Si la suma de los extremos es 100, hallar 
la media proporcional.
15. El producto de los cuatro términos de una pro-
porción geométrica continua es 1 296. Si la 
suma de sus extremos es 15, hallar el mayor de 
los extremos.
16. En una proporción geométrica, la suma de los 
dos primeros términos es 20 y la suma de los 
dos últimos términos es 25. Hallar el menor de 
los términos medios, si la suma de los conse-
cuentes es 27.
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¡Tú puedes!
1. Se sabe que: 
m2 + 25
5 
=
 
n2 + 49
7 
= 
p2 + 4
2
 y además: m + 2n + p = 63.
 
Calcule:	m	+	n	–	p
a) 20 b) 25 c) 30 d) 42 e) 16
2. En una proporción geométrica continua, se cumple que el producto de los cuatro términos acepta 
como factores primos a dos enteros consecutivos y tiene 45 divisores. Además, dicho producto no 
contiene a 32 pero si a 48. Hallar el menor de los términos de la proporción, si uno de los extremos 
es cubo perfecto y el otro es múltiplo de 6.
a) 8 b) 12 c) 15 d) 18 e) 9
3. En una reunión, el número de hombres que bailan es al número de damas que no bailan como 1 es a 
2 y además, el número de damas es al número de hombres que no bailan como 3 es a 5. Determinar 
cuántas personas bailan, si en total asistieron 72 personas.
a) 8 b) 14 c) 24 d) 12 e) 16
4. Un club tiene 4 290 socios activos. Tuvieron que decidir sobre cierta moción, estando en contra de 
ella una cantidad como 7 miembros y a favor solamente como 4. Luego de la reconsideración fue 
aprobada con una relación de 8 es a 5. Si no hubo abstenciones, ¿cuántas personas cambiaron de 
opinión?
a) 920 b) 1 020 c) 1 080 d) 980 e) 1 060
5. Para elegir los nuevos dirigentes de un club se presentan dos listas "A" y "B" y para votar se hacen pre-
sentes 240 socios. En una votación de sondeo inicial, la elección favorece a "B" en la proporción de 3 
a	2,	pero	en	la	votación	legal	"A"	ganó	en	una	proporción	de	5	a	3.	¿Cuántos	socios	que	inicialmente	
votaron	por	"B"	cambian	por	"A"?
a) 24 b) 48 c) 54 d) 72 e) 80
Practica en casa
18:10:45
1. En una proporción geométrica continua, la 
suma de los extremos es 58 y la diferencia de 
ellos es 40. Hallar la media proporcional.
2. Calcular	la	media	diferencial	de	23	y	15.
3. Calcular	la	media	proporcional	de	9	y	4
4. Calcular	"x"	en:	12 + x
18 
=
 
5
2
5. Calcular	la	media	proporcional	de	20	y	125
6. Calcular	la	media	diferencial	de	18	y	10
7. Calcular	"x"	en:	38 + x
18 + x 
=
 
3
2
8. Calcular	la	tercera	diferencial	de	34	y	25
9. Calcular	la	tercera	proporcional	de	12	y	18
10. En una proporción geométrica continua, el pro-
ducto de los cuatro términos es 20 736. Si el 
segundo término es el cuádruplo del primero, 
hallar el mayor de los términos.
11. El producto de los cuatro términos de una pro-
porción geométrica continua es 50 625. Si la 
razón es mayor que 1, hallar el primer antece-
dente, sabiendo que uno de ellos es 3.
2Proporciones
UNIDAD 5Central: 619-8100 127
12. Calcular	la	suma	de	los	cuatro	términos	de	una	
proporción geométrica continua, si se sabe que 
la suma de los dos primeros términos es 15 y la 
suma del primer y último término es 13.
13. Hallar la tercera proporcional de una propor-
ción geométrica continua, donde el producto 
de sus cuatro términos es 6 561 y el primer tér-
mino es 9 veces el último término.
14. En una proporción aritmética continua, los ex-
tremos son entre sí como 5 es a 3. Hallar la ra-
zón aritmética de dicha proporción, sabiendo 
que la suma de sus cuatro términos es 528.
15. La suma de los cuatro términos de una propor-
ción aritmética continua es 100. Si el producto 
de los cuatro términos es 375 000, hallar la di-
ferencia de los términos extremos.
128
3 Aritmética
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Promedios
En este capítulo aprenderemos:
•	 Aplicar	las	fórmulas	de	promedio	aritmético,	geométrico	y	armónico.
•	 A	definir	los	promedios	e	identificar	sus	clases.
•	 A	demostrar	las	relaciones	de	orden	entre	los	promedios	aritmético,	geométrico	y	armó-
nico.
•	 A	resolver	problemas	de	contexto	real	y	matemático	que	implican	utilizar	una	relación	
entre medidas.
•	 A	resolver	problemas	de	contexto	real	y	matemático	que	implican	utilizar	los	promedios.
Esperanza de vida al nacer (años de vida) por sexo en la zona urbana
PERú (1985 – 2015)
Es
pe
ra
nz
a 
de
 v
id
a
60.00
65,89
67,88
68,76
69,74
70,69
74,27
62.00
68,34
70,28
71,20
72,25 73,28
77,05
64.00
70,92
72,80
73,77
74,89
76,00
71,62
66.00
68.00
70.00
72.00
74.00
76.00
78.00
1985 – 1990 1990 – 1995 1995 – 2000 2000 – 2005 2005 – 2010 2010 – 2015
Mujeres
Ambos sexos
Hombres
Año
FUENTE: INEI. DTDES. "Proyecciones de Población del Perú, 1950 – 2050". Marzo 2009.
•	 ¿Cómo	explicas	que	el	promedio	de	ambos	sexos	fue	73,28	en	el	año	2010?
3Promedios
UNIDAD 5Central: 619-8100 129
Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números:
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14
15 16 17 18
19 20 21
22 23 24
25 26
Horizontal:
1. El resultado de sumar del 1 hasta el 9
3. 5/8 de un día (en horas)
5. Cuadrado	de	21
7. Cubo	de	6
8. Una gruesa
10. Raíz	cúbica	de	343
11. Indicar los 2/9 del mayor número de tres cifras
13. 24 + 4
14. Raíz	cuadrada	de	144
15. Cubo	de	8
19. Un día (en horas)
20. Cuadrado	de	75
21. Raíz	cúbica	de	512
22. Número de cuatro cifras cuya suma sea 7
24. Semisuma de 235 y 429
25. Menor número de cuatro cifras
26. Dos días (en horas)
Vertical:
1. Cuadrado	de	65
2. Cubo	de	8
3. Cuarta	potencia	de	2
4. Cubo	perfecto	de	tres	cifras
6. Cuadrado	de	21
9. El resultado de: 1 + 3 + 5 + ... + 39
10. Factorial	de	6
12. Cuadrado	de	150
16. Doce docenas
17. Suma de los cuatro primeros números impares
18. El resultado de: 1 + 2 + 3 + ... + 17
19. Suma de los impares del 1 hasta el 29
21. Capicúa	de	tres	cifras
23. Una decena
24. Raíz	cuadrada	de	900
25. El resultadode sumar 1/2; 1/3 y 1/6
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Conceptos básicos
Promedio
Es aquella cantidad que representa a un conjunto de da-
tos. Sean las cantidades:
 a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an
 Una característica del promedio es:
a1 ≤ Promedio ≤ an
Si los datos son: 12; 18; 20 
y 15 el promedio no puede 
ser 10 o 22. Su valor debe ser 
mínimo 12 y máximo 20.
Clasificación
Promedio aritmético (ma)
Sean las cantidades: a1; a2; a3; ...; an
ma =
 
a1 + a2 + a3 + ... + an
n
Si los datos son "a" y "b", el 
promedio o media aritmética es:
ma =
 
a + b
2
 Ejemplo:
•	 Calcular	el	promedio	aritmético	de	las	edades	de	cuatro	hermanos	que	son:	18;	12;	9	y	14	años.
ma =
 
18 + 12 + 9 + 14
4 
= 13,25
Promedio geométrico (mg)
Sean las cantidades: a1; a2; a3; ...; an
 mg = a1 × a2 × a3 × ... × an
n
Si los datos son "a" y "b", el 
promedio o media geométrica es:
mg = a × b
 Ejemplo:
•	 Los	aumentos	porcentuales	de	un	producto	son	20%;	25%	y	2%.	Calcular	el	promedio	geomé-
trico de estos aumentos.
 mg = 20 × 25 × 2
3 ⇒ mg = 10%
Promedio armónico (mh)
 Sean las cantidades: a1; a2; a3; ...; an
mh =
 
n
1
a1 
+
 
1
a2 
+
 
1
a3 
+ ... +
 
1
an
Si los datos son "a" y "b", el 
promedio o media armónica es:
mh =
 
2
1
a 
+
 
1
b 
=
 
2ab
a + b
 Ejemplo:
•	 Calcular	el	promedio	armónico	de	las	velocidades	12;	20;	30	y	42	km/h,	que	desarrolló	un	
ciclista en una competencia:
 
mh =
 
4
1
12 
+
 
1
20 
+
 
1
30 
+
 
1
42 
⇒ mh = 21 km/h
3Promedios
UNIDAD 5Central: 619-8100 131
Promedio ponderado
	 Cuando	los	datos	influyen	de	diferente	modo	en	el	promedio,	se	le	asigna	a	cada	uno	un	peso,	el	cual	
debe ser considerado para determinar el promedio
 Ejemplo:
•	 Sean	las	notas	de	Alex,	alumno	del	colegio:
Rubro Nota Peso
Exámenes de entrada 08 2
Examen mensual 16 3
Examen bimestral 18 4
Revisión	de	cuaderno 14 1
 Determina su promedio
 
Promedio ponderado =
 
8 × 2 + 16 × 3 + 18 × 4 + 14 × 1
2 + 3 + 4 + 1 
= 15
Propiedades
•	 Para	cantidades	diferentes	se	tiene	que:
 ma > mg > mh Si los datos son: 12; 6 y 24
•	 ma =
 
12 + 6 + 24
3
 = 14
•	 mg = 12 × 6 × 24
3 = 12
•	 mh =
 
3
1
12 
+
 
1
6 
+
 
1 
24 
= 10,28
•	 Para	cantidades	iguales	se	tiene	que:
 ma = mg = mh
Si los datos son: 7; 7; 7; 7; 7
ma = 7; mg = 7; mh = 7
•	 Para	dos	números	se	cumple	que:
 
ma =
 
a + b
2
; mg = a . b; mh =
 
2ab
a + b
 Luego:
 ma . mh = mg
2
Si los datos son "a" y "b":
ma . mh = a . b
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Síntesis teórica
PRoMEDIoS
PRoPIEDADES
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an
a1 ≤ Promedio ≤ an
Promedio ponderado
Nota Peso
12 5
15 2
18 3
P.P. =
 
12 × 5 + 15 × 2 + 18 × 3
5 + 2 + 3
Para "n" números:
P.A. ≥ P.G. ≥ P.H.
Para dos números "a" y "b"
P.A. = M.A. =
 
a + b
2
P.G. = M.G. = a . b 
P.H. = M.H. =
 
2
1
a 
+
 
1
b 
=
 
2ab
a + b
Promedio armónicoPromedio aritmético Promedio geométrico
P.H. =
 
n
Suma de las inversas
P.A. =
 
Suma de datos
n P.G. = Producto de datos
n
Sean los números "a", "b" y "c"
P.H. =
 
3
1
a 
+
 
1
b 
+
 
1
c
Sean los números "a", "b" y "c"
P.A. =
 
a + b + c
3
Sean los números "a", "b" y "c"
P.G. = a . b . c3
3Promedios
UNIDAD 5Central: 619-8100 133
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. Determina "x", si:
13 + 12 + 15 + 11 + x
5 
= 14
2. Calcular	el	promedio	geométrico	de	25;	20	y	2
3. Calcular	 el	 promedio	 aritmético	 de	 los	 cinco	
primeros números primos impares.
4. Calcular	el	promedio	armónico	de	12	y	20.
5. Calcular	el	promedio	ponderado	de	las	notas	de	
las	aulas	"A",	"B"	y	"C":
Aula # de alumnos Nota de cada aula
A 20 15
B 30 13
C 10 9
Aprende más
Aplicación cotidiana
América Latina
Esperanza de vida al nacer (Años)
Datos del 2007
En esta oportunidad presentamos un ranking latinoamericano re-
ferido a uno de los más importantes indicadores del desarrollo: la 
esperanza de vida al nacer.
Este	indicador,	como	se	sabe,	estima	el	número	de	años	que	po-
drían vivir las personas de un país teniendo en cuenta las con-
diciones generales de vida imperantes en él, en aspectos tales 
como mortalidad infantil, niveles de pobreza, nutrición, acceso a 
infraestructura sanitaria, servicios de salud, etc.
1. Calcular	el	promedio	de	los	cinco	países	que	tienen	la	mayor	
esperanza de vida.
2. Calcular	 el	 promedio	de	 esperanza	de	 vida	de	dos	países:	
el que tiene el mayor y el que tiene la menor esperanza de 
vida.
3. Calcular	el	promedio	de	esperanza	de	vida	del	Perú	y	de	los	
países fronterizos con el Perú.
País Años
1 Costa	Rica 79
2 Chile 78
3 Cuba 78
4 Perú 76
5 México 76
6 Panamá 76
7 Argentina 75
8 Uruguay 75
9 Colombia 75
10 Venezuela 75
11 Paraguay 74
12 Brasil 73
13 Ecuador 73
14 Nicaragua 73
15 El Salvador 72
16 República	Dominicana 72
17 Honduras 71
18 Guatemala 69
19 Bolivia 66
Fuente: OMS. Elaboración: Desarrollo Peruano
Resolución de problemas
4. Un alumno tiene las siguientes notas en sus cua-
tro primeros exámenes: 91; 88; 66 y 78. Si desea 
obtener un promedio de 85 en los cinco prime-
ros	exámenes,	¿cuál	debería	ser	su	quinta	nota?
5. Hallar la media aritmética y la media geométri-
ca de 9 y 25. Dar como respuesta la diferencia 
de dichas medias.
6. Hallar la suma de cifras del promedio geométri-
co de los números 8; 27 y 125.
7. El promedio de cinco números consecutivos 
pares	 es	 24.	 ¿Cuál	 es	 el	 promedio	 de	 los	 dos	
menores	números?
8. El promedio de cuatro números es 14. Si la 
suma de los tres primeros números es 50, hallar 
el último número.
Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe134
9. El promedio de tres números consecutivos de 
una	progresión	aritmética	de	razón	7	es	25.	Cal-
cular el promedio geométrico del mayor y me-
nor número.
10. El promedio de las edades de seis personas es 
48	 años.	 Si	 ninguna	 de	 ellas	 es	menor	 de	 43	
años,	¿cuál	es	la	máxima	edad	que	podría	tener	
una	de	ellas?
11. El promedio de cinco números es 85. Si se con-
sidera un sexto número y el promedio aumenta 
en 15, hallar el sexto número.
12. El promedio de las edades de cinco personas es 
38	años.	Si	todas	las	edades	son	diferentes	entre	
sí	y	ninguna	es	mayor	de	44	años,	¿cuál	es	la	mí-
nima	edad	que	puede	tener	una	de	las	personas?
13. En un salón, el promedio de edad de los 18 
hombres	es	16	años	y	el	promedio	de	edad	de	
las	12	mujeres	es	14	años.	Calcular	el	promedio	
de edad de todo el salón.
14. El promedio aritmético de 20 números es 45, el 
de otros 35 números es 24 y el de otros 45 nú-
meros es 60. Entonces, el promedio aritmético 
de los 100 números será:
15. En una clase de 30 alumnos, la estatura prome-
dio de los hombres es 1,70 m y el de las muje-
res	1,6	m.	¿Cuántos	hombres	hay	en	clase,	si	el	
promedio	de	la	clase	es	1,63	m?
16. El promedio aritmético de 30 números es 25. 
Si sacamos tres de estos números, por ejemplo: 
20; 10 y 18, hallar el promedio de los números 
que quedan.
¡Tú puedes!
1. Hallar la media aritmética de: 8; 16; 24; 32; ...; 8n
a) 4(n + 1) b) 8(n – 1) c) 8(n + 1) d) 4(n – 1) e) 4n (n – 1) 
2. En	un	salón	de	clase,	la	suma	de	las	edades	de	todos	los	alumnos	es	900	años	y	la	edad	promedio	es	
18	años.	Si	cada	alumno	tuviera	3	años	más	y	cada	alumna	tuviera	2	años	menos,	la	edad	promedio	
aumentaría	en	1	año.	Hallar	la	relación	en	la	que	se	encuentran	el	número	de	alumnos	y	el	número	de	
alumnas.
a) 3
2
 b) 1
4
 c) 5
2
 d) 3
1
 e) 1
2
3. En un salón de "x" personas, se determinó queel promedio de las edades de los hombres era "m" 
años	y	el	promedio	de	las	mujeres	"n"	años.	Hallar	el	número	de	hombres,	si	el	promedio	de	las	"x"	
personas	es	"y"	años.
a) x(y – m)
m – n
 b) x(n – y)
m – n
 c) x(y – n)
m – n
 d) x(y – m)
n – x
 e) x(y – n)
n – m
4. En un examen se obtuvo que el promedio de notas de los varones era 1 100 y el promedio de notas de 
las damas 1 150. Si el número de varones respecto al de damas es como 5 a 7, ¿cuál es el promedio 
del	examen?
a) 1 032 b) 1 051 c) 1 079 d) 1 129,16 e) 1 143
5. Se	obtuvo	que	la	media	armónica	de	los	números:	2;	6;	12;	20;	...;	n(n	+	1)	es	igual	a	21.	¿Cuál	es	la	
media	armónica	de	los	"n"	siguientes	números	de	la	serie?
a) 820 b) 800 c) 880 d) 861 e) 841
3Promedios
UNIDAD 5Central: 619-8100 135
Practica en casa
18:10:45
10. Si la suma de 40 números consecutivos es 
1 140, hallar el promedio de los tres últimos 
números.
11. En un salón de 60 alumnos, el promedio de no-
tas en Aritmética es 12. Si 20 de ellos tienen un 
promedio de 18, ¿cuál es el promedio de los 40 
restantes?
12. El promedio aritmético de las edades de 12 per-
sonas	 es	 29	 años.	 Si	 se	 retiran	 4	 personas,	 el	
promedio	de	las	restantes	es	25	años.	¿Cuál	es	
el promedio de las cuatro personas que se reti-
raron?
13. Calcular	el	promedio	ponderado	de	las	notas	de	
un alumno:
Nota Peso
15 3
09 2
18 1
14. Hallar dos números, sabiendo que su mayor 
promedio es 8 y su menor promedio es 63/8. 
Dar como respuesta la diferencia de dichos nú-
meros.
15. Seis	señoras	están	reunidas.	Si	ninguna	pasa	de	
los	60	años	y	el	promedio	de	edades	es	54,	la	
mínima edad que puede tener una de ellas es:
1. Calcular	el	promedio	aritmético	de	17;	12;	13	
y 18.
2. La razón aritmética de dos números es 48 y su 
promedio aritmético es 35. Hallar el menor de 
los números.
3. Calcular	el	promedio	geométrico	de	12	y	75
4. Un grupo de seis amigas tienen una edad pro-
medio	de	28	años.	Si	ninguna	de	ellas	es	menor	
de	25	años,	¿cuál	es	la	edad	máxima	que	puede	
tener	una	de	ellas?
5. Calcular	el	promedio	geométrico	de	27;	32	y	2
6. El sueldo promedio de cinco profesores es 
1 650 soles. Si los sueldos de tres de ellos son 
1 250; 1 800 y 2 200 soles, hallar el sueldo de 
los otros dos, sabiendo que son proporcionales 
a 2 y 3.
7. Calcular	el	promedio	aritmético	de	los	diez	pri-
meros números primos.
8. Si el promedio de cinco números impares con-
secutivos es 17, hallar el promedio de los dos 
mayores números.
9. ¿Cuál	es	el	promedio	armónico	de	12;	20	y	30?

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