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Proporcionalidad "Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo" Por cierto, Arquímedes murió asesinado por un soldado romano duran-te el asedio de Siracusa, a pesar de que los mandos romanos habían dado la orden expresa de que se le respetase la vida debido a sus elevados conocimientos.En cuanto a este principio, de sobra es conocida, además de empleada metafóricamente en otros campos, la famosa frase de Arquímedes: "Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo". APreNDIZAjes esPerADos Razonamiento y demostración • Relaciona el reparto proporcional con las mag- nitudes y proporciones. • Demuestra los métodos usados en la regla de tres simple y compuesta. Comunicación matemática • Representa gráficamente la relación de propor- cionalidad. • Interpreta la condición de proporcionalidad di- recta e inversa. • Identifica las magnitudes directas e inversas • Aplica la regla de tres en la solución de situa- ciones comerciales. Resolución de problemas • Aplica las definiciones de magnitudes directas e inversas. • Aplica el reparto proporcional en la Regla de Compañía • Aplica la Regla de Tres en la solución de pro- blemas cotidianos. UNIDAD 6 Las palancas son máquinas simples formadas por una barra rígida, un punto de apoyo denominado fulcro, una fuerza ejercida o potencia (P), una resistencia (R) y una fuerza normal que ejerce el punto de apoyo sobre la palanca (N). La suma de estas tres fuerzas es cero. Cuanto mayor sea la distancia entre el punto de aplicación de la fuerza y el punto de apoyo, menor es el esfuerzo que hay que realizar. La LEY DE EQUILIBRIO DE LA PALANCA: Establece que la potencia (P) por su brazo (Bp) es igual a la resistencia (R) por el suyo (Br), es un ejemplo clarísimo de la presencia y uso de las razones y proporciones en la física cotidiana. 1magnitudes proporcionales UNIDAD 6Central: 619-8100 137 magnitudes proporcionales En este capítulo aprenderemos: • A relacionar el reparto proporcional con las magnitudes y proporciones. • A representar matemáticamente las magnitudes proporcionales. • A representar gráficamente la relación de proporcionalidad. • A identificar las magnitudes directas e inversas. • A aplicar las definiciones de magnitudes directas e inversas. operadores mecánicos Juego de piñones y platos de una bicicleta, que facilitan la diversificación del trabajo a desarrollar con estas máquinas. Los engranajes transmiten el movimiento entre unas partes móviles y otras. Como vemos, la rueda está en el mismo eje que un conjunto de engranajes, entonces: • ¿En qué tipo de recorrido escogerías que la cadena pase por un engranaje pequeño de este conjunto? Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe138 Saberes previos Completa el crucigrama con números: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Horizontal: 1. Potencia de 2 4. Cubo de 8 7. Número de cuatro cifras cuya suma sea 18. 8. Tres semanas (en días) 9. Número cuadrado perfecto 10. Doble de 59 11. Cuatro días (en horas) 12. Cuadrado de 58 14. Cubo de 8 16. El resultado de sumar del 1 hasta el 9 18. Cuadrado perfecto 19. Una decena 20. Cuadrado de 75 21. Nota máxima en el curso de Aritmética 22. Cuadrado de 25 23. Mes y medio en días 24. Una docena Vertical: 1. Menor número de siete cifras diferentes 2. Cinco manos 3. Cuadrado de 21 4. Número capicúa de cuatro cifras 5. Una docena 6. Cubo de 6 7. La razón geométrica de 3 y 459 10. Cuadrado de 13 11. 13 semanas (en días) 13. Doble de 2 027 15. Número capicúa de cuatro cifras 17. La razón aritmética de 12 y 68 19. Número capicúa de tres cifras 21. Cinco manos 1magnitudes proporcionales UNIDAD 6Central: 619-8100 139 Conceptos básicos Magnitud Propiedad o cualidad de un objeto o sistema físico, que se asigna distintos valores como resultado de una medición. Ejemplo: El área de un terreno, la edad de una persona, etc. Magnitudes proporcionales Dos magnitudes serán proporcionales si son dependientes entre sí, y además, tienen una relación de co- ciente o división. Clases de magnitudes Magnitudes directamente proporcionales (D.P.) Dos magnitudes "A" y "B" son directamente proporciona- les, cuando: A = Bk Se representa: "A" D.P. "B" o "A" α "B" Conclusiones: 1. El cociente entre sus valores correspondientes es una constante. "A" D.P. "B" → A B = k (constante) Magnitudes Valores correspondientes A: Costo 2 4 6 10 … B: Arroz (kg) 1 2 3 5 … El cociente de los valores correspondientes: 2 1 = 4 2 = 6 3 =10 5 = ... = 2 2. Los valores correspondientes de las magnitudes "A" y "B" varían en la misma proporción. × 3 × 4 A: Costo 2 6 24 B: Arroz (kg) 1 3 12 × 3 × 4 Si el valor de una se duplica, también la otra se duplicará 3. La gráfica que relaciona a estas magnitudes es una recta. Costo (S/.) Arroz (kg) 1 2 3 B5 2 4 6 10 RE Ct A A El cociente de las coordenadas de cada punto de la recta es constante Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe140 Magnitudes inversamente proporcionales (I.P.) Dos magnitudes "A" y "B" son inversamente proporcionales cuando: A = k B Se representa: "A" I.P. "B" o "A" 1 α "B" Conclusiones: 1. El producto de sus valores correspondientes es una constante. "A" I.P. "B" ↔ A . B = k (constante) Magnitudes Valores correspondientes A: Velocidad 20 40 80 … B: Tiempo 8 4 2 … 20 . 8 = 40 . 4 = 80 . 2 =..... = 160 2. Los valores correspondientes de las magnitudes "A" y "B" varían en proporción contraria. × 2 ÷ 5 A: Velocidad 20 40 8 B: Tiempo 8 4 20 ÷ 2 × 5 Si el valor de una se duplica, la otra se divide entre dos. 3. La gráfica que relaciona a dos magnitudes inversamente proporcionales es una hipérbola. A (velocidad) B (tiempo) 80 40 2 60 20 4 86 Hipérbola equilátera El producto de las coordenadas de cada punto de la hipérbola es constante Para relacionar más de dos magnitudes proporcionales: Si: "A" es D.P con "B" A = k . B . D3 C2 o A . C2 B . D3 = k"A" es I.P. con "C2" "A" es D.P. con " D3 " 1magnitudes proporcionales UNIDAD 6Central: 619-8100 141 Síntesis teórica MAGNItUDES PRoPoRCIoNALES Variación de dos magnitudes directas Magnitud Temperatura Peso Número de alumnos Cantidad 36 °C 56 kg 35 El cociente es constante Gráfica entre dos magnitudes directas InversasDirectas "A" y "B" son inversamente proporcionales "A" y "B" son directamente proporcionales A = k . 1 B A = k . B Varían en la misma proporción: ambas aumentan o ambas disminuyen A B = k Variación de dos magnitudes inversas El producto es constante Gráfica entre dos magnitudes inversas Varían de forma contraria: cuando una aumenta, la otra disminuye A (velocidad) B (tiempo) 80 40 0 2 60 20 4 86 Costo (S/.) Arroz (kg) 1 2 3 5 2 4 6 10 RE Ct A A . B = k Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe142 Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Si las magnitudes "A" y "B" son directamente proporcionales, hallar "x" A 12 15 B 8 x 2. Si las magnitudes "M" y "N" son inversamente proporcionales, hallar "x" M 12 15 N 10 x 3. Si las magnitudes "A2" y "B" son directamente proporcionales, hallar "x" A 6 12 B 8 x 4. Si "A" y "B" son magnitudes proporcionales, completa la tabla: A 24 12 6 B 8 4 10 5. Completa la relación de las magnitudes, si: A D.P. B A = B × .......... ........ × ......... O también: A × .......... ........ × ......... = k A I.P. C2 A D.P. D A I.P. E3 Aprende más Aplicación cotidianaEn la figura se muestra unas ruedas girando en sentido horario: Rueda 1 Rueda 2 Rueda 4 Rueda 3 d1 d4d2 d3 1. ¿Qué rueda da la mayor cantidad de vueltas en una hora? 2. ¿Cuál es la diferencia de vueltas entre la rueda 2 y 3 en una hora? 3. Determina en función de los diámetros de las ruedas, la relación entre la cantidad de vueltas de la rueda 1 y 4 Resolución de problemas 4. Sean las magnitudes "A" y "B", de modo que "A" sea directamente proporcional a "B2". Ha- llar "A", cuando "B" sea 9, si cuando "A" es 4, el valor de "B" es 18 5. Sean las magnitudes "A" y "B", de modo que "A + B" sea directamente proporcional a "A – B". Si cuando "A" es 6, "B" es 4, ¿qué valor tomará "A", cuando "B" sea 18? 6. Las magnitudes "A2" y " B3 " son inversamente proporcionales. Cuando "A" es 3, el valor de "B" es 64. ¿Qué valor tomará "B", cuando "A" sea 6? 7. Sea "P" y "V" la presión y el volumen de cierto gas, de modo que "P" es inversamente propor- cional a "V2". ¿Cuál es la presión de un gas de 300 cm3, si 400 cm3 de dicho gas tiene una presión de 2,7 atm? 8. Se sabe que "P" es directamente proporcional a "T" e inversamente proporcional a "V" y además cuando "P" es 8, "T" es 2 y "V" es 4. Calcular el valor de "P", cuando "T" sea 3 y "V" sea 12. 9. El peso de un elefante es directamente propor- cional a su edad en años. Si un elefante de 30 años pesa 360 kg, entonces, ¿qué edad tendrá cuando pese 324 kg? 1magnitudes proporcionales UNIDAD 6Central: 619-8100 143 10. Dado el gráfico de dos magnitudes proporcio- nales, hallar "a + b" 4 2 6 8 a b A B 11. Dado el gráfico de dos magnitudes proporcio- nales, hallar "m + n" 6 m 12 2 3 n B A 12. Hallar "x + y", si "A" es inversamente propor- cional a "B2". A 50 x 18 B 6 5 y 13. La potencia de un circuito varía directamente proporcional con la resistencia y el cuadrado de la corriente. Si la potencia aumenta 100% y la resistencia disminuye 2%, la corriente varía en 9 amperios. ¿Cuál era la corriente al principio? 14. "A" varía en razón directa a "B" e inversa al cua- drado de "C". Cuando "A" es 10, "B" es 4 y "C" es 14. Hallar "A", cuando "B" sea 16 y "C" sea 7. 15. El área que se desea pintar es proporcional al número de galones de pintura que se utiliza. Si para pintar 200 m2 se necesitan 25 galones, ¿qué área se pintará con 15 galones? 16. El precio de un diamante es directamente pro- porcional al cuadrado de su peso. Un diamante que costaba $ 450 es partido en dos partes, tal que uno es el doble del otro. Hallar cuanto se perdió o se ganó por haberlo partido. ¡Tú puedes! 1. Sean "A" y "B" dos magnitudes, tales que para valores de "B" menores o iguales a 24, "A" es inversamen- te proporcional al cuadrado de "B"; y para valores de "B" mayores o iguales a 24, "A" es directamente proporcional a la raíz cuadrada de "B". Si "A" es 360, cuando "B" es 8, hallar "A", cuando "B" es 600. a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500 2. Se tiene un sistema de "n" ruedas, donde la primera rueda engrana con la segunda, la segunda está unida al eje de la tercera, la tercera engrana con la cuarta, la cuarta está unida al eje de la quinta y así sucesivamente. Si las ruedas impares tienen la tercera parte de la cantidad de dientes que tienen las ruedas pares correspondientes, ¿cuántas vueltas dará la primera, si la última da una vuelta? a) 3n b) n3 c) 3 n d) n e) 32n 3. Determine las relaciones de proporcionalidad entre las magnitudes "A", "B" y "C" según el cuadro: A 30 10 270 60 15 72 B 6 18 6 12 x y C 10 10 30 20 15 x + 13 Dar como respuesta: x2 + y2. a) 2 329 b) 2 419 c) 2 749 d) 2 129 e) 2 519 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe144 1. Sean las magnitudes "A" y "B", de modo que "A" sea directamente proporcional a "B". Hallar "A", cuando "B" sea 9, si cuando "A" es 4, el valor de "B" es 8. 2. "A" es directamente proporcional a B3 y cuan- do "A" es 15, "B" es 27. Hallar "A", cuando "B" es 8. 3. Sean las magnitudes "A" y "B", de modo que "A + B" sea directamente proporcional a "A – B". Si cuando "A" es 10, "B" es 6, ¿qué valor tomará "A", cuando "B" sea 3? 4. Las magnitudes "A" y " B3 " son inversamente proporcionales. Cuando "A" es 6, el valor de "B" es 64. ¿Qué valor tomará "B", cuando "A" sea 3? 5. La magnitud "A" es directamente proporcional a " B", entonces, cuando "A" es 20, "B" es "n" y cuando "A" es 40, "B" es 72. Hallar "n". 6. Sea la tabla de valores de las magnitudes "A" y "B": A 6 24 4 B 24 6 x Hallar "x" 7. En cierto país se cumple que el cuadrado del precio de un producto es proporcional a la raíz cuadrada de su peso. Si un artículo cuesta 2 mo- nedas cuando pesa 49 g, ¿cuál será el peso de otro artículo cuyo costo es de 4 monedas? 8. Sea "P" y "V" la presión y el volumen de cierto gas, de modo que "P" es inversamente propor- cional a "V2". ¿Cuál es la presión de un gas de 30 cm3, si 40 cm3 de dicho gas tiene una pre- sión de 3,6 atm? 9. Se sabe que "P" es directamente proporcional a "T" e inversamente proporcional a "V" y además cuando "P" es 18, "T" es 12 y "V" es 4. Calcular el valor de "P", cuando "T" sea 6 y "V" sea 12. 10. Se conoce que "A" es directamente proporcio- nal a " B" e inversamente proporcional a "C". Si cuando "A" es 3, "B" es 16 y "C" es 4, hallar "B", cuando "A" es 6 y "C" es 8 . 11. Dado el gráfico de dos magnitudes proporcio- nales, hallar "a + b" 4 a b A 2 6 9 B 4. Sean las magnitudes "A", "B" y "C" Para cuando "A" es constante B 16 24 40 C 6 9 15 Para cuando "B" es constante A 4 16 9 C 6 3 4 Si cuando "A" es 4, "C" es 10 y "B" es 5, hallar "A", cuando "C" sea 5 y "B" sea 10. Dar la diferencia de las cifras de "A". a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 5. El tiempo que emplea un ómnibus en hacer su recorrido, varía de modo directamente proporcional al número de estaciones que realiza. Un ómnibus de la línea "A" demora 8 horas en hacer su recorrido, realizando 48 estaciones. ¿Con cuántos pasajeros partió otro ómnibus de la misma línea, si tarda 50 minutos en realizar su recorrido, y además en la primera estación bajaron 2 personas, en la segunda estación bajaron 3 personas, en la tercera estación 4 personas y así sucesivamente hasta llegar a la última estación? (Se sabe que a la última estación llegó completamente vacío) a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 Practica en casa 18:10:45 1magnitudes proporcionales UNIDAD 6Central: 619-8100 145 12. "A" es D.P. a la suma de "B" y "C" e I.P. al cua- drado de "D". Si cuando A = 2; B =3 y D = 6; entonces C = 5. Hallar "C", cuando A = 9; B = 10 y D = 4. 13. El precio de un diamante es D.P. al cuadrado de su volumen. Si un diamante de S/. 36 000, se le divide en tres partes iguales, ¿cuánto se pierde debido al fraccionamiento? 14. La velocidad del sonido en el aire es propor- cional a la raíz cuadrada de la temperatura ab- soluta. Si la velocidad del sonido es 340 m/s a la temperatura de 16°C, ¿cuál será la velocidad del sonido a 51°C? 15. La longitud de la sombra de una varilla vertical es D.P. a su longitud. Si un basquetbolista que mide 2,2 m proyecta una sombra de 1,21 m, ¿cuánto medirá un enano de un circo que pro- yecta una sombra de 66 cm de longitud? 146 2 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe Complemento Aprende más 1. Dos números son entre sí como 2 es a 3. Si la suma de sus cuadrados es 208, hallar el menor. 2. Dos números son entre sí como 3 es a 2. Si la suma de sus cubos es 2 240, hallar el mayor. 3. La razón de dos números es 11/5 y su razón aritmética es 36. Hallar el menor de dichos nú- meros. 4. Hallar "x", dada la tabla de valores de las mag- nitudes "A" y "B": A 6 12 4 B 24 3 x 5. Sea "P" y"V" la presión y el volumen de cierto gas, de modo que "P" es inversamente propor- cional a V2. ¿Cuál es la presión de un gas de 500 cm3, si 400 cm3 de dicho gas tiene una presión de 2,5 atm? 6. El peso promedio de un grupo de 200 personas es 61,3 kg. ¿Cuál será el nuevo peso promedio, si 80 de estas personas aumentan su peso en 3 kg, 70 personas aumentan en 6 kg y el resto disminuye en 9 kg? 7. Las edades de Alex y Milenka son 20 y 32 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 5 a 7? 8. Calcular la media armónica de tres números, si la media armónica de los dos primeros es 6, la media armónica de los dos últimos es 12 y la media armónica de los extremos es 20. 9. Las magnitudes "A2" y " B3 " son inversamente proporcionales. Cuando "A" es 4, el valor de "B" es 64. ¿Qué valor tomará "B", cuando "A" sea 8? 10. Se sabe que "P" es directamente proporcional a "T" e inversamente proporcional a "V" y además cuando "P" es 8, "T" es 6 y "V" es 4. Calcular el valor de "P", cuando "T" sea 12 y "V" sea 8. 11. Rosa y yaneth tienen entre las dos S/. 4 200 y sus dineros están en la relación de 4 a 3 respec- tivamente. ¿Cuánto dinero debe darle Rosa a yaneth para que la nueva relación sea de 3 a 4? 12. En una proporción geométrica, los consecuen- tes están en la relación de 2 a 5 y además los términos medios son consecutivos. Si el primer término es igual a la razón aritmética entre el cuarto y la suma de los términos medios, calcu- le el tercer término. 13. En una bolsa se tienen 150 caramelos, de los cuales 80 son de fresa y el resto de limón. ¿Cuán- tos caramelos de fresa se deben quitar para que por cada 4 caramelos de fresa haya 5 de limón? 14. Se tiene dos magnitudes "A" y "B". Si la raíz cúbica de "A" es inversamente proporcional a "B" y además cuando "A" es 8, "B" es 6, calcular "A", cuando "B" sea 2. 15. Un alumno tiene las siguientes notas en sus cua- tro primeros exámenes: 18; 16; 14 y 10. Si de- sea obtener un promedio de 15 en los cinco pri- meros exámenes, ¿cuál debe ser su quinta nota? 16. "A" es directamente proporcional a "B2" e inver- samente proporcional a "C0,5" y además cuan- do "A" es 4, "B" es 8 y "C" es 16. Hallar "A", cuando "B" es 12 y "C" es 36. 17. Si: a 21 = b 15 = c 24 , y además: a + b + c = 240, hallar "c – b". 18. El costo "C" de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso "W" e in- versamente proporcional al número de diaman- tes "N" del mismo tipo. Hallar "x + y" C W N 200 10 24 x 15 9 300 5 y 19. Si 12 es la media proporcional de "m" y 18 y "2m" es la tercera proporcional de 9 y "n", ¿cuál es la cuarta proporcional de "m", "n" y 16? 20. En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 13 y la diferencia de los mismos es 5. Hallar el valor de la media pro- porcional. 2Complemento UNIDAD 6Central: 619-8100 147 ¡Tú puedes! 1. En una serie de tres razones geométricas equivalentes continuas, se sabe que la suma de sus términos es a la suma de sus consecuentes como 7 es a 4. Si la diferencia de los términos de la segunda razón es el menor número que tiene 12 divisores, halla la diferencia de los términos extremos. a) 170 b) 175 c) 180 d) 185 e) 190 2. Se tiene tres recipientes de vino cuyos contenidos están en la relación de 9; 6 y 10. Se pasan "a" litros del primer al segundo recipiente, y luego "b" litros del tercer al segundo recipiente, siendo la nueva relación de 4; 6 y 5 respectivamente. Calcular el volumen final del tercer recipiente, si: a – b = 4. a) 6 b) 14 c) 15 d) 35 e) 50 3. Una hormiga recorre los lados de un polígono regular con velocidades en cada lado de 3; 15; 35; ...; 483 m/s. Calcula la velocidad promedio de la hormiga al dar una vuelta completa. a) 26 m/s b) 24 c) 25 d) 23 e) 22 4. Dos vasos "A" y "B" del mismo peso (vacío) contienen cantidades diferentes de vino, donde el peso total de "B" es los 4/11 del peso total de "A". Si se vacía el contenido de "B" en "A" este va a pesar 11 veces el peso de "B", y si se vacía el contenido de "A" en "B", este resulta pesando 8 veces el peso de "A" más 225 gramos. ¿Cuál es la diferencia de los pesos de cada vaso? a) 360 g b) 405 c) 390 d) 375 e) 420 5. En una serie de razones geométricas iguales, los antecedentes son: la suma de cubos, la suma de cua- drados, la diferencia de cuadrados y el producto de dos números, y los consecuentes son 182; 25; 7 y 12. ¿Cuáles son los números? a) 8 y 6 b) 16 y 12 c) 32 y 18 d) 8 y 12 e) 12 y 9 Practica en casa 18:10:45 1. Si: a 3 = b 7 = c 8 = d 10 ; además: 2a + 3c – 2d = 60, hallar "b". 2. Los antecedentes de varias razones equivalen- tes son: 3; 4; 5 y 6. Si la suma de los dos prime- ros consecuentes es 28, hallar los dos últimos. 3. Tres números forman una proporción aritmética continua de constante igual a 5. Si los dos ma- yores están en la proporción de 4 a 3, calcular la tercera diferencial. 4. Cuando Juan nació, Pedro tenía 6 años y hace 10 años la relación de sus edades era como 4 a 7. ¿Dentro de cuántos años la relación de sus edades será como 11 a 13? 5. La suma de los cuatro términos de una propor- ción geométrica continua es 18. Si la diferencia de sus términos extremos es 6, calcular el pro- ducto de sus cuatro términos. 6. La razón de dos números es 4/11. Si la razón aritmética de dichos números es 210, hallar el mayor de ellos. 7. Si 32 y 4 son el primer y último antecedente de cuatro razones geométricas equivalentes y continuas, hallar el último de los consecuentes. 8. El mayor y menor de los promedios de dos nú- meros son números enteros positivos cuya dife- rencia es 4. Si uno de los números es 24, hallar el otro número. Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe148 9. La razón aritmética de dos números es 48 y el promedio aritmético de dichos números es 35. Hallar el menor de ellos. 10. Si la suma de 40 números enteros consecutivos es 1 140, hallar el promedio de los tres últimos números. 11. En un salón de 60 alumnos, el promedio de no- tas en Literatura es 12. Si 20 de ellos tienen un promedio de 18, ¿cuál es el promedio de los 40 alumnos restantes? 12. Se sabe que "P" es D.P. a "T" e I.P. a "V", ade- más cuando P = 8; T = 2 entonces V = 4. Cal- cular "P", cuando: T = 3 y V = 12. 13. Dado el gráfico de magnitudes, hallar: a + b mag.1 40 a 12 b 15 20 mag.2 14. La magnitud "A" varía proporcionalmente a "B" y al cuadrado de "C" e inversamente proporcio- nal a "D". Si cuando A = 8; B = 5; C = 4, entonces D = 2. ¿Cuánto valdrá "B", cuando A = 2D y D = 4C? 15. Si "A" es D.P. a B, además cuando: A = 18 ; B = 9, hallar "A", cuando: B = 36. 3reparto proporcional UNIDAD 6Central: 619-8100 149 reparto proporcional En este capítulo aprenderemos: • A interpretar los resultados que se obtienen de la resolución de problemas de carácter real. • A utilizar el lenguaje correcto para comprender enunciados de proporcionalidad. • A interpretar la condición de proporcionalidad directa e inversa. • A identificar las magnitudes directas e inversas • A resolver problemas que involucren "reparto proporcional". • A aplicar el reparto proporcional en la "regla de compañía" Reparto de corriente y voltaje En los circuitos eléctricos, existen dos tipos de conexiones muy utilizadas: en serie y paraleloCuando la conexión es en serie, se utiliza el reparto proporcional directo, a este método se le llama "divisor de tensión". Batería Interruptor Receptores Y para la conexión en paralelo, tenemos el reparto proporcional inverso, que se le llama "divisor de co- rriente". Batería Interruptor Receptores Hilos conductoresSegún sea el caso, la corriente o el voltaje es la que se reparte proporcionalmente Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe150 Saberes previos Completa el crucigrama con números: 14 más 16 entre 2 Exceso de 78 sobre 49 Diferencia de 87 y 43 Tres quincenas 8 – 3 × 2 Le falta 8 para ser 460 12 docenas Cuadrado de 2 por 10 54 + 30 × 30 841 – 247 Media centena más 5 29 × 26 Media cente- na por 5 Triple de 304 4 más 10 entre 2 Mitad de 42 más 6 Capicúa de cuatro cifras 4 cientos Capicúa de dos cifras Capicúa de dos cifras Capicúa de tres cifras 20(7) a base diez 23 × 4 Número par 500(9) a base diez C.A.(543) 60 docenas La suma de 54 y 73 Conceptos básicos Reparto proporcional Consiste en repartir una cantidad "N" en partes que sean directa o inversamente proporcional a unos nú- meros. Así que este reparto puede ser: Reparto proporcional directo Sea una cantidad "N" que se debe repartir pro- porcionalmente a: "a1"; "a2"; "a3"; ...; "an", en- tonces: N = A1 + A2 + A3 +..... + An A1 a1 = A2 a2 = A3 a3 = ... = An an Si el reparto es proporcional a 3; 4 y 7, entonces las cantida- des serán: 3k; 4k y 7k 3reparto proporcional UNIDAD 6Central: 619-8100 151 Ejemplo: • Repartir 3 400 de modo directamente proporcional a 8; 18; 50 y 98 Resolución: Simplificaremos los coeficientes o índices: 8 ÷ 2 = 2 ⇒ 2k 18 ÷ 2 = 3 ⇒ 3k 50 ÷ 2 = 5 ⇒ 5k 98 ÷ 2 = 7 ⇒ 7k 17k = 3 400 Como: k = 200, las cantidades son: 400; 600; 1 000 y 1 400 Reparto proporcional inverso Sea una cantidad "N" que se debe repartir de modo inversamente proporcional a: "a1"; "a2"; "a3"; ...; "an", entonces: N = A1 + A2 + A3 + ... + An A1 . a1 = A2 . a2 = ... = An . an Si el reparto es inversamente proporcional a 3; 4 y 5, será equivalente a un reparto directo de 1 3 ; 1 4 y 1 5 Ejemplo: • Repartir 2 600 de modo inversamente proporcional a 35; 36 y 37 Resolución: Simplificaremos los coeficientes o índices: A directa × 9 35 ÷ 35 = 1 ⇒ 1 ⇒ 9k 36 ÷ 35 = 3 ⇒ 1 3 ⇒ 3k 37 ÷ 35 = 9 ⇒ 1 9 ⇒ k 13k = 2 600 Como: k = 200, las cantidades son: 1 800; 600 y 200 Reparto proporcional compuesto Utilizando las propiedades de magnitudes proporcionales, se debe convertir en reparto directo. Ejemplo: • Repartir 1 550 en tres partes que sean: Directamente proporcional a 12; 15 y 9 Inversamente proporcional a 4; 8 y 12 Directamente proporcional a 3; 6 y 4 Recuerda que si: "A" D.P. "B" "A" I.P. "C" A = B C k Resolución: El reparto debe ser directamente proporcional a: 12 × 3 4 = 9; 15 × 6 8 = 45 4 y 9× 4 12 = 3 9 × 4 3 ⇒ 12 ⇒ 12k 45 4 × 4 3 ⇒ 15 ⇒ 15k 3 × 4 3 ⇒ 4 ⇒ 4k 31k = 1 550 Como k = 50; las cantidades son: 600; 750 y 200 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe152 Regla de compañía En una compañía o empresa se tiene una ganancia o pérdida y los socios deben participar de ella. Para eso el reparto se debe hacer considerando la participación de cada uno. Proporcional a sus capitales La ganancia o pérdida es directamente propor- cional a sus capitales. Ganancias G1 G2 G3 ... Capitales C1 C2 C3 ... G1 C1 = G2 C2 = G3 C3 = ... Si los aportes son: 2 000; 3 000; 4 000 y 5 000 soles, las ganancias serán: 2k; 3k; 4k y 5k Proporcional a sus tiempos de participación La ganancia o pérdida es directamente propor- cional a sus tiempos. Ganancias G1 G2 G3 ... Tiempos t1 t2 t3 ... G1 t1 = G2 t2 = G3 t3 = ... Si participaron durante: 12 meses; 9 meses y 8 meses, las ganancias serán: 12k; 9k y 8k Puede darse el caso que los aportes y los tiempos sean diferentes, entonces el reparto debe ser compuesto, proporcional a los capitales y tiempos. Las ganancias son direc- tamente proporcionales a los aportes y el tiempo de participación de ellos Ejemplo: • Una empresa que duró un año, tiene una ganancia de S/. 19 500 que debe ser repartido entre Alex, Carlos, Mario y Milenka cuyos aportes fueron 2 000; 3 000; 5 000 y 6 000 soles respec- tivamente. Además Alex fue el creador de la empresa y que dos meses después de fundada, se incorporó Carlos, luego, dos meses después ingresa Mario, y finalmente dos meses después Milenka. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Resolución: Capitales Tiempo Alex 2 000 12 meses Carlos 3 000 10 Mario 5 000 8 Milenka 6 000 6 G1 2000 × 12 = G2 3000 × 10 = G3 5000 × 8 = G4 6000 × 6 Simplificando: G1 12 = G2 15 = G3 20 = G4 18 = k Como la ganancia total es S/. 19 500, entonces: k = 19 500 12 + 15 + 20 + 18 =300 Finalmente las ganancias son: 3 600; 4 500; 6 000 y 5 400 soles 3reparto proporcional UNIDAD 6Central: 619-8100 153 Síntesis teórica REPARto PRoPoRCIoNAL Repartir "N" Inversamente proporcionalDirectamente proporcional Inversamente proporcional a: "a"; "b" y "c" Directamente proporcional a: "a", "b" y "c" 1 a k + 1 b k + 1 c k= Nak + bk + ck = N Repartir 600 de modo directamente proporcional a 12; 18 y 15 Repartir 600 de modo inversamente proporcional a 6; 2; 3 y 1 El reparto directo a: 1 6 ; 1 2 ; 1 3 y 1 multiplicamos por 6 k + 3k + 2k + 6k = 600 k = 50 Las cantidades son: 1(50) = 50 3(50) = 150 2(50) = 100 6(50) = 300 Dividiendo entre 3: 4k + 6k + 5k = 600 k = 40 Las cantidades son: 4(40) = 160 6(40) = 240 5(40) = 200 Reparto proporcional compuesto Repartir 120 D.P. a: 2; 5 y 6 I.P. a: 4; 6 y 18 Será directo a: 2 1 4 = 1 2 ; 5 1 6 = 5 6 y 6 1 18 =1 3 Multiplicamos por 6: 3k + 5k + 2k = 120 k = 12 Las cantidades son: 3(12) = 36 5(12) = 60 2(12) = 24 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe154 Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Repartir 4 200 de modo directamente propor- cional a 3; 5; 6 y 7. Determine las cantidades repartidas. 2. Repartir 180 de modo inversamente proporcio- nal a 2; 6 y 12. Determine las cantidades repar- tidas. 3. Repartir 900 de modo inversamente proporcio- nal a 2; 3 y 6. Indicar la menor parte repartida. 4. La empresa "Todo lo puede" después de un año obtuvo una ganancia de 12 000 soles. Si el aporte de los socios fue 200; 300 y 500 soles, ¿qué ganancia le toca a cada uno? 5. Repartir la ganancia de S/. 5 000 considerando: Socio Capital Tiempo A 200 9 1800 ⇒ 3k B 300 4 ⇒ 2k C 500 6 3000 ⇒ Aprende más Aplicación cotidiana Esquema eléctrico en serie Esquema de componentes de un circuito en paralelo 0,2 amp 3,2 voltios 7 ohm 5 ohm 4 ohm 24 ohm 40 ohm A A 3 amp 45 voltios A 1. Determina la corriente que circula por cada uno de los focos. 2. Determina la tensión en cada uno de los focos (resistencias) del circuito. 3. Determina la tensión en cada una de las resistencias del circuito. 4. Determina la lectura de cada uno de los amperímetros. Resolución de problemas 5. Janeth tiene tres hijos: Milenka; Alex y Pier. Ellos reciben semanalmente propinas de modo proporcional a sus edades que son 10; 12 y 16 años respectivamente. Si Pier recibe 9 soles más que Milenka, ¿cuánto recibe Alex? 6. Repartir 720 de modo directamente proporcio- nal a 8; 18 y 32. Dar como respuesta la menor de las partes. 7. Al repartir una cantidad proporcionalmente a los números 3; 9 y 27, la mayor parte excede a la menor en 320. Indicar la cantidad repartida. 8. Repartir 7 500 de modo directamente propor- cional a 1; 3 y 5 e inversamente proporcionala 2; 4 y 6 respectivamente. La menor parte es: 9. Repartir 372 de modo directamente proporcio- nal a tres números consecutivos de dos cifras. ¿Cuál es el valor de la parte intermedia? 10. Un agricultor desea sembrar en tres terrenos cuadrados de 6; 14 y 16 metros de lado. Para ello contrató una cuadrilla de trabajadores por 21 960 soles. ¿Cuánto abonó por la preparación del segundo terreno? 11. Repartir S/. 1 180 en tres partes, de tal forma 3reparto proporcional UNIDAD 6Central: 619-8100 155 que la primera sea a la segunda como 3 es a 4 y la segunda sea a la tercera como 5 es a 6. Dar la mayor parte. 12. Juan tiene 8 panes y Pedro 4 panes y deben compartirlos equitativamente con dos amigos. Para recompensarlos estos entregan 180 soles a Juan y Pedro. ¿Cuánto le tocará a Juan? 13. Para la explotación de un negocio se asociaron tres individuos aportando S/. 8 500; S/. 10 400 y S/. 9 000. Si el negocio se declaró en quiebra y dejó un activo de S/. 13 392, ¿cuánto recibe el primer individuo? 14. Dos socios reunieron un capital de S/. 4 200 para hacer un negocio. El primero dejó su capital du- rante 2 meses y el otro durante 4 meses. Se pide encontrar la diferencia de los capitales aporta- dos, sabiendo que las ganancias fueron iguales. 15. Al liquidarse una empresa en el cual partici- paron "A", "B", "C" y "D" con capitales de S/. 2 000; S/. 2 500; S/. 3 000 y S/. 4 000 duran- te 5; 2; 3 y 6 meses respectivamente, esta arrojó una pérdida de S/. 14 400. ¿A cuánto asciende la pérdida del que aportó mayor capital? 16. "A" empieza un negocio con S/. 24 000 y 2 meses después de ello se incorpora "B" con S/. 16 000. A los 6 meses de iniciado el nego- cio, se liquida por quiebra retirándose "A" con S/. 40 500. ¿Con cuánto se retiró "B"? ¡Tú puedes! 1. Una persona dispuso en su testamento que se entregue a tres sobrinos suyos la cantidad de 19 695 soles para que se repartan proporcionalmente a las edades que cada uno de ellos tuviera en el día que falleciera. Uno de ellos tenía 36 años, el día que su tío falleció y le correspondió 7 020 soles pero re- nunció a ellos y el reparto se hizo entre los otros dos, también proporcional a sus edades, por lo que a uno de ellos le correspondió 2 700 soles más. ¿Cuáles eran las edades de los sobrinos? a) 36; 25 y 40 b) 36; 40 y 45 c) 36; 45 y 60 d) 36; 60 y 72 e) 36; 39 y 42 2. Repartir 720 soles de modo directamente proporcional a: "b"; "3b"; "9b"; "27b"; ...; "3nb". Si el menor recibió 18 soles, hallar el valor de "n". a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 3. Se reparte S/. 2 210 en cuatro partes tales que la segunda sea a la tercera como 7 es a 11, la tercera sea a la cuarta como 4 es a "m" y la primera sea a la segunda como 3 es a 5. Si a la cuarta le tocó S/. 1 100, ¿cuál es el valor de "m"? a) 11 b) 12 c) 8 d) 44 e) 33 4. Hallar la mayor parte que resulta de repartir 168 soles de modo directamente proporcional a: 1/2; 1/6; 1/12; 1/20; 1/30; ...; 1/156. a) S/. 108 b) 91 c) 49 d) 68 e) 84 5. Tres agricultores han construido un canal de riego para abastecer de agua sus parcelas cuadradas y limítrofes de 100; 60 y 40 metros de lado, respectivamente. Los gastos de material y de mano de obra ascendieron a 186 000 soles, los mismos que fueron solventados por ellos en forma D.P. al agua que necesitan para sus parcelas e I.P. al número de peones con que contribuye para la ejecución de la obra, siendo estos 12; 8 y 6 respectivamente. ¿Cuánto aportó el dueño de la parcela más pequeña? a) S/. 100 000 b) 54 000 c) 32 000 d) 24 000 e) 18 000 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe156 Practica en casa 18:10:45 1. Repartir 300 de modo directamente proporcio- nal a los tres primeros múltiplos de 7. Dar como respuesta la parte mayor. 2. Repartir 1 410 de modo inversamente propor- cional a los números 1,5; 0,9 y 1,2. Dar como respuesta la parte menor. 3. Al repartir "N" de modo directamente propor- cional a los números 2 000; 3 000 y 1 500, se observó que la mayor parte fue 450. Hallar "N". 4. Un padre repartió una herencia de modo direc- tamente proporcional a las edades de sus hijos, que son 24; 28 y 30 años. Si el mayor recibió $ 3 600, ¿cuánto recibió el menor? 5. Repartir 595 de modo directamente proporcio- nal a los números 48; 108 y 147. Dar la diferencia entre la mayor y menor parte. 6. Al repartir un número "N" de modo inversamen- te proporcional a los números 318; 320 y 321 se obtuvo que la menor parte fue 25. Hallar "N". 7. Repartir 612 en partes directamente proporcio- nales a: 2; 3; 5 y 8. Calcular la mayor parte. 8. Repartir 1 480 en partes directamente propor- cionales a: 2; 3/4 y 1/3. Calcular la menor de dichas partes. 9. Repartir 135 en partes directamente proporcio- nales a: 0,3; 1/5 y 4. Calcular la mayor de di- chas partes. 10. Miguel repartió cierta cantidad de lápices entre tres niños, en partes proporcionales a los núme- ros 3; 5 y 8. Si el tercero recibió 78 lápices más que el segundo, ¿cuál es la cantidad de lápices que se repartió? 11. La suma de tres números que son proporciona- les a 2/3; 3/5 y 5/6 es 4 536. Hallar el número mayor. 12. Dividir 205 en tres partes, de tal manera que la primera sea a la segunda como 2 es a 5 y la segunda sea a la tercera como 3 es a 4. Hallar la primera parte. 13. Al dividir un número de modo inversamente proporcional a: 0,7; 7/15 y 7/17; la menor parte que se obtiene es 720. Hallar la mayor de las tres partes. 14. Tres socios reunieron un capital de S/. 30 000 para hacer un negocio. El primero apor- tó S/. 8 000 durante 5 meses, el segundo, S/. 10 000 durante 3 meses y el tercero, los res- tantes durante 6 meses. Sabiendo que el bene- ficio total fue de S/. 213 000, ¿qué beneficio obtuvo el primero? 15. Tres socios formaron una empresa aportando igual cantidad. El primero se retiró a los 4 me- ses y el segundo lo hizo un mes después. Si a los 8 meses de constituida la empresa se liquidó con una ganancia de S/. 340 000, ¿cuál fue la utilidad del tercero? 4regla de tres UNIDAD 6Central: 619-8100 157 regla de tres En este capítulo aprenderemos: • A demostrar los métodos usados en la regla de tres simple y compuesta. • A identificar las magnitudes directas e inversas • A aplicar la regla de tres en la solución de situaciones comerciales. • A aplicar las definiciones de magnitudes directas e inversas. • A aplicar la regla de tres en la solución de problemas cotidianos. La arqueología y las matemáticas La altura de una persona es fácil de calcular, si el cuerpo se conserva en su totalidad. Pero también es posible determinar la estatura, con el tamaño de ciertos huesos largos, especialmente los de las piernas. Por ejemplo, se estimó la estatura de Tutankamon, por la momia y sus huesos largos intactos, en 169 cm. El peso también se puede determinar a partir de cuerpos intactos, dado que se sabe que el peso en seco equivale al 25% o 30% del peso en vida. De este modo se determinó que una momia egipcia del 835 AC del Pennsylvania University Museum había pesado entre 37,8 y 45,5 kg en vida. Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe158 Saberes previos Completa el crucigrama con números: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Horizontal: 1. Un día en horas 3. Número cuadrado perfecto de dos cifras 5. Cubo de 5 8. Hallar "x", en: 8x = 32 . 9. 7 9. Hallar "x", en: 4x = 71 . 24 10. Hallar "x", en: 2x + 3 = 105 12. El cuádruplo del doble de 61 13. Décima potencia de 2 15. Hallar "x", en: x – 17 = 500 17. Una docena 18. Número capicúa de cinco cifras 21. Hallar "x", en: 4x = 9 404 23. El quíntuplo de 85 25. Múltiplo de 47 26. Cuarta parte de 112 Vertical: 1. Cuadrado de 152. El resultado de sumar del 1 hasta el 9 3. 27 docenas 4. Doble de 3 242 5. Potencia de 2 6. Cuadrado de 51 7. Cubo de 8 11. Menor número de cinco cifras diferentes 13. Múltiplo de 59 14. Hallar "x", en: 3x + 12 = 87 15. Media centena 16. La mitad de 150 19. Hallar "x", en: 2x = 1 424 20. Factorial de 6 22. En romanos se representa LI 24. Múltiplo de 9 4regla de tres UNIDAD 6Central: 619-8100 159 Conceptos básicos Regla de tres Es un método o regla práctica que permite relacionar dos o más magnitudes proporcionales. Por ejemplo: El tiempo es directamente proporcional a la dis- tancia recorrida ya que a mayor tiempo, mayor distancia. La velocidad y el tiempo son inversamente proporcionales, ya que a mayor velocidad se utiliza menos tiempo. Si "A" y "B" son directa- mente proporcionales: A B = cte . Si "A" y "B" son inversa- mente proporcionales: A × B = cte Regla de tres simple Permite relacionar dos magnitudes Regla de tres simple directa Cuando las magnitudes son directamente proporcionales. Sean "A" y "B" dos magnitudes directamente proporcionales A D.P. B a1 b1 a2 x a1 . x = a2 . b1 Si dos magnitudes son directas, enton- ces sus cantidades varían en la misma proporción. (Las dos aumentan o las dos disminuyen) Si "A" y "B" son D.P. el cociente de sus valores es constante: a1 a2 = b1 x Ejemplo: • Llenar el tanque con gasolina de un auto cuesta S/. 275. Luego de consumir 85 galones, el valor de la gasolina que queda en el tanque es de S/. 150. ¿Cuál es la capacidad del tanque? Resolución: A menos galones menos costo, entonces: Galones D.P. Soles 150(x) = 275 (x – 85) 6 x = 11(x – 85) 5x = 11 . 85 ⇒ x = 187 soles x 275 x – 85 150 Regla de tres simple inversa Cuando las magnitudes son inversamente proporcionales. Sean "A" y "B" dos magnitudes inversamente proporcionales A I.P. B a1 b1 a2 x a2 . x = a1 . b1 Si dos magnitudes son inversas, entonces sus cantidades varían en proporción inversa. (Cuando una aumenta la otra disminuye) Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe160 Si "A" y "B" son I.P. el producto de sus valores es constante: a1 . b1 = a2 . x Ejemplo: • 45 obreros pueden hacer un trabajo en 15 días. Si se retiran 20 obreros, ¿en cuántos días ter- minarán el trabajo? Resolución: A menor cantidad de obreros, se demora mayor cantidad de días. Obreros I.P. Días 45 15 45 . 15 = 25x ⇒ x = 27 días 45 – 20 x Regla de tres compuesta Permite relacionar más de dos magnitudes. Para resolver la regla de tres compuesta existen varios métodos: Método general Los pasos son: • ordenar las magnitudes • Ubicar la magnitud que tiene la incógnita • Determinar la proporcionalidad de las magnitudes con respecto a la magnitud incógnita. • Reducir y calcular la incógnita Para recordar, como va la fracción: D.P. de cabeza. I.P. igual Ejemplo: • Para hacer 300 pantalones en 9 horas, se necesitan 32 obreros. ¿En cuántas horas se confec- cionarán, 400 pantalones con 24 obreros? D.P. I.P. Pantalones Horas Obreros x = 9 . 400 300 . 32 24 ⇒ x = 16 horas 300 9 32 400 x 24 De cabeza Igual Como regla de tres simple Se considera como varias reglas de tres simple: • ordenamos las magnitudes. • Analizamos la proporcionalidad entre dos mag- nitudes, como se presenten. • Definimos como deben ser los productos en cada regla de tres simple. • Reducir y calcular la incógnita El producto es así cuando son: D.P. I.P. 4regla de tres UNIDAD 6Central: 619-8100 161 Ejemplo: • Un barco pesquero en 22 horas con 39 tripulantes, capturan 2 000 peces. ¿En cuántas horas con 33 tripulantes podrán capturar 4 000 peces? Resolución: Horas I.P. Tripulantes D.P. Peces 22 39 2 000 22 . 39 . 4 000 = x . 33 . 2 000 simplificando: x = 52 horasx 33 4 000 La obra directa a todas La magnitud obra es directamente proporcional a obreros, tiempo y rendimiento, entonces: • Identificar la magnitud obra o su equivalente (víveres en total, volumen total, dificultad) • Reemplazar en la fracción: Obra . Dificultad Obreros . Días . Horas . Eficiencia = cte • Reducir y calcular la incógnita Ejemplo: • Diez peones demoran 15 días de 7 horas de trabajo en sembrar 50 m2. ¿Cuántos días de 8 horas de trabajo demorarán en sembrar 80 m2, 15 peones doblemente hábiles? Resolución: Reemplazando en la fracción constante: 50 10(1) . 15 . 7 = 80 15(2) . x . 8 ⇒ x = 7 días Reducción entre magnitudes Estas dos magnitudes al multiplicarlas se convierten en una sola obreros y eficiencia (rendimiento) 20 obreros al 80% de rendimiento, trabajan como si fueran: x = 20 . 80 100 = 16 obreros El rendimiento de un hombre y una mujer están en la relación de 3 a 2, entonces 9 hombres y 5 mu- jeres trabajan como: x = 9 . 3 2 + 5 = 18,5 mujeres obra y dificultad (dureza) Una carretera de 400 km que tiene una dureza como 2, equivale a: 400 × 2 = 800 km tiempo Una compañía trabaja 6 horas diarias durante 15 días, esto equivale a: 6 × 15 = 90 horas Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe162 Síntesis teórica REGLA DE tRES Clases Regla de tres compuestaRegla de tres simple Clases Regla de tres simple directa Regla de tres simple inversa a1 . x = a2 . b1 a1 . b1 = a2 . x Días I.P. Obreros I.P. H/D D.P. Obra Obra Obreros . Días . H/D A D.P. B a1 b1 a2 x A I.P. B a1 b1 a2 x Obreros Días H/D Obra 12 15 8 24 15 x 6 30 Aplica lo comprendido 10 x 5 50 1. Un grupo de obreros debe construir una carrete- ra, de acuerdo a los siguientes datos: Días Horas/diarias 12 8 16 x Hallar "x". 2. Un grupo de carpinteros debe fabricar unos muebles, de acuerdo a los siguientes datos: Días Rendimiento c/carpintero 12 100 x 80 Hallar "x". 3. Un grupo de jardineros pueden sembrar un te- rreno cuadrado de 12 metros en 16 días. ¿En cuántos días sembrarán otro terreno de forma cuadrada de 15 metros de lado? Área (m2) Días 144 16 x 4. Por una tubería de 12 cm de diámetro circula 180 l/s de gas. ¿Cuánto circulará por otra tube- ría de 10 cm de diámetro? Área (cm2) Litros/s 144p 180 x 5. Dada la siguiente regla de tres: Días Horasc/día Rendimiento c/obrero Obreros Obra Dureza 12 6 100 18 300 3 15 x 75 16 200 5 Hallar "x". 4regla de tres UNIDAD 6Central: 619-8100 163 Aprende más Aplicación cotidiana La estatura está correlacionada con la longitud de sus huesos largos. Esto quiere decir que una persona alta tendrá los huesos más grandes que los de otra persona baja. Todo esto significa que si de un grupo humano se conoce su estatura y la longitud del fémur, la variación de estas magnitu- des indica que son directamente proporcionales. En un grupo de varones, se tiene: Fémur (cm) Estatura (cm) 30 138 40 1. Si el fémur de un alumno del colegio mide 50 cm, ¿cuál es su esta- tura? 2. Si la estatura de un profesor del colegio es de 166,5 cm, ¿cuál es la longitud de su fémur? Otro de los huesos considerado como largo es el húmero, entonces las magnitudes estatura y longitud del húmero son directamente proporciona- les. Si los datos de un grupo de mujeres, son: Húmero (cm) Estatura (cm) 30 153,5 40 181 3. Si el húmero de una alumna del colegio mide 24 cm, ¿cuál es su estatura? 4. Si la estatura de una alumna del colegio es de 126 cm, ¿cuál es la longitud de su húmero? Fémur Tibia Peroné clavícula omóplato o escápula húmero cúbitoradio huesos meta- carpianos huesos del carpo falanges Resolución de problemas 5. Si parapintar 180 m2 se necesitan 24 kg de pin- tura, ¿cuántos kg de pintura se necesitarán para pintar una superficie rectangular de 12 m de lar- go por 10 m de ancho? 6. Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumentan 3 caballos más, ¿para cuántos días al- canzará la ración alimentaria? 7. Un jardinero siembra un terreno cuadrado de 8 metros de lado en 5 días. ¿Cuánto tiempo se demorará en sembrar otro terreno cuadrado de 16 metros de lado? 8. Para pintar un rectángulo hecho de cartulina de 50 cm de largo por 12 cm de ancho, se requiere de 300 c.c. de pintura. ¿Cuántos c.c. de pintura se requiere para pintar un cuadrado de 18 cm de lado? 9. Ocho campesinos siembran un terreno cuadra- do de 16 metros de lado en 12 días. ¿En cuán- tos días, 30 campesinos sembrarán otro terreno cuadrado de 20 metros de lado? 10. Un reloj da 4 campanadas en 4 segundos, ¿en cuántos segundos dará 13 campanadas? 11. Roberto inventa 50 problemas de Aritmética en 4 días, dedicándose 5 horas diarias. ¿Cuántos días necesitará para inventar 80 problemas, si pretende trabajar en ellos dos horas diarias? 12. Juan puede hacer un trabajo en 12 días. Si Pedro es un 50% más eficiente que Juan, ¿en cuántos días puede hacer el mismo trabajo? 13. Al pintar un balón esférico de 40 cm de radio se usó 2 galones de pintura. ¿Cuántos galones de pintura se utilizará para pintar otro balón esférico de 60 cm de radio, si se desea dar dos manos? Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe164 ¡Tú puedes! 1. Para realizar una obra se empieza trabajando con un solo obrero y por cada día que pasa se contratan 2 obreros, terminando así la obra en "n" días. Calcular "n", si la misma obra la pueden realizar 9 obreros de doble eficiencia que los anteriores en 8 días. a) 12 b) 13 c) 17 d) 19 e) 31 2. Diez obreros pueden cavar una zanja de 20 m de profundidad en 12 días. Después de cierto tiempo de trabajo se decide aumentar la profundidad en 10 m para lo cual contratan 4 obreros adicionales, 25% más eficientes terminando la obra a los 15 días de iniciado el trabajo. ¿A los cuántos días se aumentó el número de obreros? a) 8 días b) 9 c) 11 d) 12 e) 13 3. Un contratista acepta una construcción a realizarse en 76 días, para lo cual contratará 20 obreros. Al cabo de 10 días acepta otro contrato con un plazo no mayor a 68 días y para esto contratará 27 obre- ros; 47 días después de esto, observa que de la primera obra se ha avanzado los 5/12 y de la segunda los 9/10. Entonces destina "x" obreros del segundo al primero, para cumplir con el primer plazo. Al terminar el primer trabajo los "x" obreros retornan a su obra, sin embargo, se ve en la necesidad de contratar "y" obreros, para terminar la obra en el plazo máximo. Calcule "x + y", si el primer grupo de obreros es 62,5% menos eficiente que el segundo. a) 20 b) 39 c) 32 d) 40 e) 36 4. En la construcción de una piscina laboral, inicialmente han trabajado "N" albañiles durante "N + 6" horas diarias en un día. Si se determina reducir diariamente la jornada laboral en 2 horas cada día y simultáneamente incrementar dos obreros cada día, de tal modo que la productividad del quinto día sea 88,148% de la del primer día, calcule "N". a) 5 b) 10 c) 7 d) 11 e) 9 5. Al cabo de 27 días de trabajo, 35 obreros que trabajaron 8 horas diarias se percataron que falta termi- nar de la obra, los 4/7 de lo que ya está hecho y solamente le quedan 12 días para entregar la obra. En vista de la situación contrataron de inmediato más obreros y trabajaron todos 1 hora más por día. ¿Cuántos obreros se contrataron, teniendo en cuenta que lo que falta se hace doblemente difícil con cada cuarta parte que avanzan, debido al mal clima y la dureza del terreno? a) 115 b) 5 c) 265 d) 65 e) 120 14. Dos hombres y 4 mujeres pueden hacer una obra en 6 días; pero con 2 hombres más se pue- de hacer el mismo trabajo en 4 días. ¿En cuántos días hará dicha obra un hombre trabajando solo? 15. Veinticuatro obreros pueden hacer una obra en 19 días, pero luego de 5 días de trabajo se re- tiran 8 obreros por lo que terminaron "a" días después del plazo fijado. Calcular "a" 16. Un grupo de 33 obreros puede hacer una obra en 30 días. Si luego de 6 días de trabajo se les pide que terminen lo que falta de la obra en 18 días, ¿con cuántos obreros se deben reforzar a partir del séptimo día? 4regla de tres UNIDAD 6Central: 619-8100 165 Practica en casa 18:10:45 1. 1 200 hombres tienen víveres para 80 días, pero al finalizar el día 25 se retiran 320 hombres. ¿Cuántos días más durarán los víveres? 2. En 16 días, 9 obreros han hecho los 2/5 de una obra. Si se retiran 3 obreros, ¿cuántos días de- morarán los obreros restantes para terminar la obra? 3. Si para pintar 360 m2 se necesitan 24 kg de pin- tura, ¿cuántos kg de pintura se necesitarán para pintar una superficie rectangular de 15 m de lar- go por 10 m de ancho? 4. Veinte personas tienen alimento para 12 días. Si luego de 4 días se retiran 4 personas, ¿cuántos días durarán los alimentos a los restantes? 5. Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumentan 3 caballos más, ¿para cuántos días al- canzará la ración alimentaria? 6. En 16 horas, 9 pintores han pintado los 3/8 de un edificio. ¿Cuántas horas demorarán 12 pinto- res en terminar de pintar el edificio? 7. Un jardinero siembra un terreno cuadrado de 8 m de lado en 16 días. ¿Cuánto tiempo se de- morará en sembrar otro terreno cuadrado de 12 metros de lado? 8. Para hacer 600 m de una obra, 30 obreros han trabajado 12 días a razón de 10 horas diarias. ¿Cuántos días necesitarán 36 obreros para ha- cer 900 m de la misma obra trabajando 6 horas diarias? 9. Doce obreros hacen una obra en 20 días. ¿En cuántos días, 8 obreros doblemente hábiles que los anteriores harán la misma obra? 10. Lucho inventa 50 problemas en 4 días, dedi- cándose 5 horas diarias. ¿Cuántos días nece- sitará para inventar 80 problemas, si pretende trabajar en ellos 2 horas por día? 11. Ocho máquinas trabajan 6 horas diarias durante 5 días. ¿Cuántos días se tardarán 2 máquinas en realizar el mismo trabajo, si funcionan durante 8 horas diarias? 12. Si 18 campesinos siembran un terreno cuadra- do de 15 metros de lado en 15 días, ¿en cuán- tos días, 30 campesinos sembrarán otro terreno cuadrado de 20 metros de lado? 13. Tres hombres trabajando 8 horas diarias han he- cho 80 metros de una obra en 10 días. ¿Cuántos días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obra? 14. Veinte operarios pueden producir 120 pares de zapatos en 18 días. ¿Cuántos operarios pueden producir 160 zapatos en 24 días? 15. Con 12 obreros se puede hacer una obra en 40 días. ¿En cuántos días, 15 obreros cuya rapidez es 5 veces la de los anteriores, harán una obra 9 veces más difícil que la primera? 166 5 Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe repaso Aprende más 1. Hallar la media aritmética y la media geométri- ca de 25 y 49. Dar como respuesta la diferencia de dichas medias. 2. Si para pintar 180 m2 se necesitan 24 kg de pintura, ¿cuántos kg se necesitarán para pintar una superficie rectangular de 12 m de largo por 20 m de ancho? 3. El promedio de siete números consecutivos pa- res es 70. ¿Cuál es el promedio de los dos me- nores números? 4. Ocho caballos tienen ración para 15 días. Si se aumentan 2 caballos más, ¿para cuántos días al- canzará la ración alimentaria? 5. Hallar la suma de cifras del promedio geométri- co de los números: 8; 30; 27 y 125. 6. Un jardinero siembra un terreno cuadrado de 9 metros de lado en 10 días. ¿Cuánto tiempo se demorará en sembrar otro terreno cuadrado de 18 metros de lado? 7. Doce obreros hacen una obra en 30 días, ¿en cuántos días, 18 obreros haránla misma obra? 8. Para pintar un rectángulo hecho de cartulina de 60 cm de largo por 12 cm de ancho, se requiere de 300 c.c. de pintura. ¿Cuántos c.c. de pintura se requiere para pintar un cuadrado de 18 cm de lado? 9. Dados los números 12; 18 y 216, calcular la diferencia entre su promedio aritmético y su promedio geométrico. 10. Doce campesinos siembran un terreno cuadra- do de 6 metros de lado en 15 días. ¿En cuán- tos días, 20 campesinos sembrarán otro terreno cuadrado de 10 metros de lado? 11. El promedio de cuatro números es 15. Si la suma de los tres primeros números es 50, hallar el último número. 12. En una clase de Aritmética el promedio de los diez aprobados fue 15. ¿Cuál es el promedio de los desaprobados, si el promedio de los 30 alumnos de la clase es 11? 13. Sean las magnitudes "A" y "B", de modo que "A" sea directamente proporcional a "B2". Ha- llar "A", cuando "B" sea 9, si cuando "A" es 8 el valor de "B" es 18 14. Sean las magnitudes "A" y "B", de modo que "A + B" sea directamente proporcional a "A – B". Si cuando "A" es 5, "B" es 4; ¿qué valor tomará "A", cuando "B" sea 16? 15. En 20 días de 6 horas diarias, 24 costureras de rendimiento 6, hicieron 300 pantalones de do- ble costura. ¿Cuántas costureras de rendimiento 8, trabajando 9 horas diarias durante 20 días, harán 200 pantalones con triple costura? 16. Dieciocho obreros pueden hacer una obra en 40 días. Si 12 de los obreros aumentaron su ren- dimiento en 50%, ¿cuántos días antes termina- rán la obra? 17. Se distribuye una cantidad de dinero entre tres personas de modo directamente proporcional a 3; 4 y 5. Pero si lo hubieran hecho de manera proporcional a 7; 12 y 5 uno recibiría S/. 145 menos. Calcular cuánto le correspondió a los dos restantes. 18. Se reparte una cierta cantidad "N" en partes di- rectamente proporcionales a los números natu- rales menores que 50. Si la suma de la mayor y menor parte es 150, calcular "N". 19. El tiempo que demora un planeta en dar una vuelta al Sol es directamente proporcional al cubo de la distancia del planeta e inversamente proporcional al peso del planeta. ¿Cuánto tiem- po demora un planeta de doble peso de la Tie- rra en dar una vuelta al Sol, si la distancia que lo separa del Sol es el doble que el de la Tierra? 20. Se tiene dos magnitudes "A" y "B" que son in- versamente proporcionales para valores de "B" menores o iguales a 30, pero "A" es directa- mente proporcional a "B" para valores mayores o iguales a 30. Si "A" es 6, cuando "B" es 20, ¿cuál es el valor de "A", cuando "B" sea 60? 5repaso UNIDAD 6Central: 619-8100 167 ¡Tú puedes! 1. Para ejecutar una obra, se cuenta con dos cuadrillas: la primera tiene 40 hombres y puede concluir la obra en 30 días y la segunda, 60 hombres y puede terminar la obra en 40 días. Si tomamos solamente 3/4 de la primera y los 2/3 de la segunda cuadrilla, ¿en cuántos días terminarán la obra? a) 24 b) 32 c) 48 d) 18 e) 28 2. Un hombre y dos mujeres pueden hacer un trabajo en 10 horas y dos hombres y una mujer pueden hacer el mismo trabajo en 8 horas. ¿Cuántos hombres deberán trabajar junto a 4 mujeres para realizar el mismo trabajo en 4 horas? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 3. Un trabajo puede ser hecho en 15 días por 10 hombres. Seis días después de iniciada la obra 4 de ellos aumentan su eficiencia en un 20% y el resto la baja en a%. Hallar "a", si la obra se termina en un tiempo total de 16 días. a) 16 b) 20 c) 25 d) 30 e) 18 4. Un negocio se realizó en 18 meses. Al inicio "A" aportó S/. 6 000 y 8 meses después incrementó su capital en 30%; "B" empezó con S/. 7 500, pero a los 10 meses disminuyó su capital en 25%; "C" empezó con S/. 5 000 y duplicó su aporte 4 meses después y 2 meses antes de terminar el negocio aumentó en S/. 2 000. Si la utilidad neta fue de S/. 348 500, ¿qué utilidad le corresponde a "C"? a) S/. 12 150 b) 14 280 c) 13 940 d) 12 120 e) 12 000 5. Varios socios forman una empresa, aportando cada socio el doble que el anterior y al cabo de cierto tiempo se reparten abbc0 soles de utilidad. Si el primer socio recibió b 2 b 2 b 2 0 incluido su capital; siendo su utilidad los 5/7 de lo que aportó, calcular el número de socios a) 5 b) 4 c) 6 d) 2 e) 3 Practica en casa 18:10:45 1. Veinte personas tienen alimento para 12 días y luego de 4 días se retiran 4 personas. ¿Cuántos días duran los alimentos para los restantes? 2. Diez obreros trabajando en la construcción de un puente hacen 3/5 de la obra en 8 días. Si se retiran 8 obreros, ¿cuántos días emplearán los restantes para terminar la obra? 3. En 24 horas, 15 obreros han hecho 1/4 de una obra. ¿Cuántas horas empleará otra cuadrilla de 30 hombres doblemente hábiles para terminar la obra? 4. Un grupo de 9 jardineros demoran 4 h en podar 600 m2 de un jardín. Si renuncia un jardinero, ¿cuánto demorarán los restantes en podar otro jardín de 400 m2? 5. Si 36 señoras tejen 120 chompas; 108 señoras, ¿cuántas chompas tejerán? 6. Una persona tarda 10 horas para hacer los 4/9 de una obra, ¿cuántas horas tardará en terminarla? 7. Por 8 manzanas pagó S/. 12, ¿cuánto pagaré por una docena de manzanas? 8. Un poste telefónico de 6 m de altura da una sombra que mide 2,5 m. ¿Cuánto medirá la sombra de una persona de 1,68 m de altura, a la misma hora? 9. Repartir $2 225 en tres partes que sean D.P. a los números: 3; 5 y 8, e I.P. a los números: 4; 6 y 9. Dar como respuesta la parte intermedia. Aritmética TRILCE Colegios www.trilce.edu.pe168 10. Tres amigos se asociaron para formar una em- presa, el primero aporta S/.6 000 durante 5 años; el segundo S/. 3 000 durante 8 años y el tercero S/. 9 000. Al repartir los S/. 15 000 de ganancia el tercero recibió la mitad del total. Calcular el tiempo de imposición del tercero en años. 11. Tres socios inician un negocio colocando el mismo capital; durante 4 meses, 7 meses y 9 meses respectivamente. Si hubo una ganancia de S/. 4 000, ¿cuánto le corresponde al primero? 12. Marco quiere repartir S/. 540 en forma direc- tamente proporcional a las edades de sus cua- tro sobrinos que tienen 10; 12; 14 y 18 años, ¿cuánto le corresponde al menor de ellos? 13. Repartir S/. 1 180 en tres partes, de tal manera que la primera sea a la segunda como 3 es a 4 y la segunda sea los 5/6 de la tercera. Dar la mayor parte. 14. Se reparte S/. 6 500 entre tres personas en forma D.P. a: p; p2 y p3. Si el menor recibe S/. 500, ¿cuánto recibe el mayor? 15. Se reparte una cantidad en cuatro partes propor- cionales a 4; 12; 3 y 5 e inversamente propor- cionales a 7; 14; 3 y 7. ¿Cuál es la cantidad re- partida, si las dos últimas partes juntas, exceden a las dos primeras partes en 485?
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