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Aritmetica 6

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Proporcionalidad
"Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo"
Por cierto, Arquímedes murió asesinado por un soldado romano duran-te el asedio de Siracusa, a pesar de que los mandos romanos habían dado la orden expresa de que se le respetase la vida debido a sus elevados conocimientos.En cuanto a este principio, de sobra es conocida, además de empleada 
metafóricamente en otros campos, la famosa frase de Arquímedes: "Dadme un 
punto de apoyo y moveré el mundo".
APreNDIZAjes esPerADos
Razonamiento y demostración
•	 Relaciona	el	reparto	proporcional	con	las	mag-
nitudes y proporciones.
•	 Demuestra	los	métodos	usados	en	la	regla	de	
tres simple y compuesta.
Comunicación matemática
•	 Representa	gráficamente	la	relación	de	propor-
cionalidad.
•	 Interpreta	la	condición	de	proporcionalidad	di-
recta e inversa.
•	 Identifica	las	magnitudes	directas	e	inversas
•	 Aplica	la	regla	de	tres	en	la	solución	de	situa-
ciones comerciales.
Resolución de problemas
•	 Aplica	las	definiciones	de	magnitudes	directas	
e inversas.
•	 Aplica	el	reparto	proporcional	en	la	Regla	de	
Compañía
•	 Aplica	la	Regla	de	Tres	en	la	solución	de	pro-
blemas cotidianos.
UNIDAD 6
Las palancas son máquinas simples formadas por una barra rígida, un punto de apoyo denominado fulcro, una fuerza ejercida 
o potencia (P), una resistencia (R) y una fuerza normal que ejerce el punto de apoyo sobre la palanca (N). La suma de estas tres 
fuerzas es cero.
Cuanto mayor sea la distancia entre el punto de aplicación de la fuerza y el punto de apoyo, menor es el esfuerzo que hay que 
realizar. 
La LEY DE EQUILIBRIO DE LA PALANCA: Establece que la potencia (P) por su brazo (Bp) es igual a la resistencia (R) por el suyo 
(Br), es un ejemplo clarísimo de la presencia y uso de las razones y proporciones en la física cotidiana.
1magnitudes proporcionales
UNIDAD 6Central: 619-8100 137
magnitudes proporcionales
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	relacionar	el	reparto	proporcional	con	las	magnitudes	y	proporciones.
•	 A	representar	matemáticamente	las	magnitudes	proporcionales.
•	 A	representar	gráficamente	la	relación	de	proporcionalidad.
•	 A	identificar	las	magnitudes	directas	e	inversas.
•	 A	aplicar	las	definiciones	de	magnitudes	directas	e	inversas.
operadores mecánicos
Juego	de	piñones	y	platos	de	una	bicicleta,	que	facilitan	la	diversificación	del	trabajo	a	desarrollar	con	estas máquinas. Los engranajes transmiten el movimiento entre unas partes móviles y otras.
Como	vemos,	la	rueda	está	en	el	mismo	eje	que	un	conjunto	de	engranajes,	entonces:
•	 ¿En	qué	tipo	de	recorrido	escogerías	que	la	cadena	pase	por	un	engranaje	pequeño	de	este	conjunto?
Aritmética
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Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números:
1 2 3 4 5 6
7 8
9 10 11
12 13 14 15
16 17 18 19
20 21
22 23 24
Horizontal:
1. Potencia de 2
4. Cubo	de	8
7. Número de cuatro cifras cuya suma sea 18.
8. Tres semanas (en días)
9. Número cuadrado perfecto
10. Doble de 59
11. Cuatro	días	(en	horas)
12. Cuadrado	de	58
14. Cubo	de	8
16. El resultado de sumar del 1 hasta el 9
18. Cuadrado	perfecto
19. Una decena
20. Cuadrado	de	75
21. Nota máxima en el curso de Aritmética
22. Cuadrado	de	25
23. Mes y medio en días
24. Una docena
Vertical:
1. Menor número de siete cifras diferentes
2. Cinco	manos
3. Cuadrado	de	21
4. Número capicúa de cuatro cifras
5. Una docena
6. Cubo	de	6
7. La razón geométrica de 3 y 459
10. Cuadrado	de	13
11. 13 semanas (en días)
13. Doble de 2 027
15. Número capicúa de cuatro cifras
17. La razón aritmética de 12 y 68
19. Número capicúa de tres cifras
21. Cinco	manos
1magnitudes proporcionales
UNIDAD 6Central: 619-8100 139
Conceptos básicos
Magnitud
Propiedad o cualidad de un objeto o sistema físico, que se asigna distintos valores como resultado de una 
medición.
Ejemplo:
 El área de un terreno, la edad de una persona, etc.
Magnitudes proporcionales
Dos magnitudes serán proporcionales si son dependientes entre sí, y además, tienen una relación de co-
ciente o división.
Clases de magnitudes
 Magnitudes directamente proporcionales (D.P.)
 Dos magnitudes "A" y "B" son directamente proporciona-
les, cuando:
 A = Bk
Se representa:
"A" D.P. "B" o "A" α "B"
 Conclusiones:
1. El cociente entre sus valores correspondientes es una constante.
 
"A" D.P. "B" → A
B 
= k (constante)
Magnitudes Valores correspondientes
A:	Costo 2 4 6 10 …
B: Arroz (kg) 1 2 3 5 …
 
El cociente de los valores correspondientes: 2
1 
=
 
4
2 
=
 
6
3 
=10
5 
= ... = 2
2. Los valores correspondientes de las magnitudes "A" y "B" varían en la misma proporción.
× 3 × 4
A:	Costo 2 6 24
B: Arroz (kg) 1 3 12
 
× 3
 
× 4
Si el valor de 
una se duplica, 
también la otra 
se duplicará
3. La gráfica que relaciona a estas magnitudes es una recta.
Costo	(S/.)
Arroz (kg)
1 2 3 B5
2
4
6
10
RE
Ct
A
A
El cociente de 
las coordenadas de 
cada punto de la 
recta es constante
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Magnitudes inversamente proporcionales (I.P.)
Dos magnitudes "A" y "B" son inversamente proporcionales 
cuando:
A = k
B
Se representa:
"A" I.P. "B" o "A" 
1
α
 "B"
 Conclusiones:
1. El producto de sus valores correspondientes es una constante.
 
"A" I.P. "B" ↔ A . B = k (constante)
Magnitudes Valores correspondientes
A: Velocidad 20 40 80 …
B: Tiempo 8 4 2 …
 20 . 8 = 40 . 4 = 80 . 2 =..... = 160
2. Los valores correspondientes de las magnitudes "A" y "B" varían en proporción contraria.
× 2 ÷ 5
A: Velocidad 20 40 8
B: Tiempo 8 4 20
 
÷ 2
 
× 5
Si el valor de 
una se duplica, 
la otra se divide 
entre dos.
3. La gráfica que relaciona a dos magnitudes inversamente proporcionales es una hipérbola.
A (velocidad)
B (tiempo)
80
40
2
60
20
4 86
Hipérbola equilátera
El producto de las 
coordenadas de cada 
punto de la hipérbola 
es constante
Para relacionar más de dos magnitudes proporcionales:
Si: "A" es D.P con "B"
A = k . 
B . D3
C2 
o
 
A	.	C2
B . D3 
= k"A"	es	I.P.	con	"C2"
"A" es D.P. con " D3 "
1magnitudes proporcionales
UNIDAD 6Central: 619-8100 141
Síntesis teórica
MAGNItUDES PRoPoRCIoNALES
Variación de dos 
magnitudes directas
Magnitud Temperatura Peso Número de alumnos
Cantidad 36	°C 56 kg 35
El cociente es 
constante
Gráfica entre dos 
magnitudes directas
InversasDirectas
"A" y "B" son inversamente 
proporcionales
"A" y "B" son directamente 
proporcionales
A = k .
 
1
B
A = k . B
Varían en la misma 
proporción: ambas 
aumentan o ambas 
disminuyen
A
B 
= k
Variación de dos 
magnitudes inversas
El producto es 
constante
Gráfica entre dos 
magnitudes inversas
Varían de forma 
contraria: cuando 
una aumenta, la otra 
disminuye
A (velocidad)
B (tiempo)
80
40
0 2
60
20
4 86
Costo	(S/.)
Arroz (kg)
1 2 3 5
2
4
6
10
RE
Ct
A
A . B = k
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Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. Si las magnitudes "A" y "B" son directamente 
proporcionales, hallar "x"
A 12 15
B 8 x
2. Si las magnitudes "M" y "N" son inversamente 
proporcionales, hallar "x"
M 12 15
N 10 x
3. Si las magnitudes "A2" y "B" son directamente 
proporcionales, hallar "x"
A 6 12
B 8 x
4. Si "A" y "B" son magnitudes proporcionales, 
completa la tabla:
A 24 12 6
B 8 4 10
5. Completa	la	relación	de	las	magnitudes,	si:
A D.P. B
A = 
 
B × ..........
........ × .........
O también: 
 
A × ..........
........ × ......... 
= k
A I.P. C2
A D.P. D
A I.P. E3
Aprende más
Aplicación cotidianaEn la figura se muestra unas 
ruedas girando en sentido 
horario:
Rueda	1
Rueda	2 Rueda	4
Rueda	3
d1
d4d2
d3
1. ¿Qué	rueda	da	la	mayor	cantidad	de	vueltas	en	una	hora?
2. ¿Cuál	es	la	diferencia	de	vueltas	entre	la	rueda	2	y	3	en	una	hora?
3. Determina en función de los diámetros de las ruedas, la relación entre la cantidad de vueltas de la 
rueda 1 y 4
Resolución de problemas
4. Sean las magnitudes "A" y "B", de modo que 
"A" sea directamente proporcional a "B2". Ha-
llar "A", cuando "B" sea 9, si cuando "A" es 4, 
el valor de "B" es 18
5. Sean las magnitudes "A" y "B", de modo que 
"A + B" sea directamente proporcional a 
"A – B". Si cuando "A" es 6, "B" es 4, ¿qué valor 
tomará	"A",	cuando	"B"	sea	18?
6. Las magnitudes "A2" y " B3 " son inversamente 
proporcionales.	Cuando	"A"	es	3,	el	valor	de	"B"	
es	64.	¿Qué	valor	tomará	"B",	cuando	"A"	sea	6?
7. Sea "P" y "V" la presión y el volumen de cierto 
gas, de modo que "P" es inversamente propor-
cional a "V2".	¿Cuál	es	la	presión	de	un	gas	de	
300 cm3, si 400 cm3 de dicho gas tiene una 
presión	de	2,7	atm?
8. Se sabe que "P" es directamente proporcional a 
"T" e inversamente proporcional a "V" y además 
cuando	"P"	es	8,	"T"	es	2	y	"V"	es	4.	Calcular	
el valor de "P", cuando "T" sea 3 y "V" sea 12.
9. El peso de un elefante es directamente propor-
cional	a	su	edad	en	años.	Si	un	elefante	de	30	
años	pesa	360	kg,	entonces,	¿qué	edad	tendrá	
cuando	pese	324	kg?
1magnitudes proporcionales
UNIDAD 6Central: 619-8100 143
10. Dado el gráfico de dos magnitudes proporcio-
nales, hallar "a + b"
 
4
2 6 8
a
b
A
B
11. Dado el gráfico de dos magnitudes proporcio-
nales, hallar "m + n"
 
6
m
12
2 3 n B
A
12. Hallar "x + y", si "A" es inversamente propor-
cional a "B2".
A 50 x 18
B 6 5 y
13. La potencia de un circuito varía directamente 
proporcional con la resistencia y el cuadrado de 
la corriente. Si la potencia aumenta 100% y la 
resistencia disminuye 2%, la corriente varía en 
9	amperios.	¿Cuál	era	la	corriente	al	principio?
14. "A" varía en razón directa a "B" e inversa al cua-
drado	de	"C".	Cuando	"A"	es	10,	"B"	es	4	y	"C"	
es	14.	Hallar	"A",	cuando	"B"	sea	16	y	"C"	sea	7.
15. El área que se desea pintar es proporcional al 
número de galones de pintura que se utiliza. 
Si para pintar 200 m2 se necesitan 25 galones, 
¿qué	área	se	pintará	con	15	galones?
16. El precio de un diamante es directamente pro-
porcional al cuadrado de su peso. Un diamante 
que costaba $ 450 es partido en dos partes, tal 
que uno es el doble del otro. Hallar cuanto se 
perdió o se ganó por haberlo partido.
¡Tú puedes!
1. Sean "A" y "B" dos magnitudes, tales que para valores de "B" menores o iguales a 24, "A" es inversamen-
te proporcional al cuadrado de "B"; y para valores de "B" mayores o iguales a 24, "A" es directamente 
proporcional a la raíz cuadrada de "B". Si "A" es 360, cuando "B" es 8, hallar "A", cuando "B" es 600.
a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500
2. Se tiene un sistema de "n" ruedas, donde la primera rueda engrana con la segunda, la segunda está 
unida al eje de la tercera, la tercera engrana con la cuarta, la cuarta está unida al eje de la quinta y así 
sucesivamente. Si las ruedas impares tienen la tercera parte de la cantidad de dientes que tienen las 
ruedas	pares	correspondientes,	¿cuántas	vueltas	dará	la	primera,	si	la	última	da	una	vuelta?
a) 3n b) n3 c) 3 
n
 d) n e) 32n
3. Determine	las	relaciones	de	proporcionalidad	entre	las	magnitudes	"A",	"B"	y	"C"	según	el	cuadro:
A 30 10 270 60 15 72
B 6 18 6 12 x y
C 10 10 30 20 15 x + 13
 Dar como respuesta: x2 + y2.
a) 2 329 b) 2 419 c) 2 749 d) 2 129 e) 2 519
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1. Sean las magnitudes "A" y "B", de modo que 
"A" sea directamente proporcional a "B". Hallar 
"A", cuando "B" sea 9, si cuando "A" es 4, el 
valor de "B" es 8.
2. "A" es directamente proporcional a B3 y cuan-
do "A" es 15, "B" es 27. Hallar "A", cuando "B" 
es 8.
3. Sean las magnitudes "A" y "B", de modo que 
"A + B" sea directamente proporcional a 
"A – B". Si cuando "A" es 10, "B" es 6, ¿qué 
valor	tomará	"A",	cuando	"B"	sea	3?
4. Las magnitudes "A" y " B3 " son inversamente 
proporcionales.	 Cuando	 "A"	 es	 6,	 el	 valor	 de	
"B" es 64. ¿Qué valor tomará "B", cuando "A" 
sea	3?
5. La magnitud "A" es directamente proporcional a 
" B", entonces, cuando "A" es 20, "B" es "n" y 
cuando "A" es 40, "B" es 72. Hallar "n".
6. Sea la tabla de valores de las magnitudes "A" y 
"B":
A 6 24 4
B 24 6 x
Hallar "x"
7. En cierto país se cumple que el cuadrado del 
precio de un producto es proporcional a la raíz 
cuadrada de su peso. Si un artículo cuesta 2 mo-
nedas cuando pesa 49 g, ¿cuál será el peso de 
otro	artículo	cuyo	costo	es	de	4	monedas?
8. Sea "P" y "V" la presión y el volumen de cierto 
gas, de modo que "P" es inversamente propor-
cional a "V2".	¿Cuál	es	la	presión	de	un	gas	de	
30 cm3, si 40 cm3 de dicho gas tiene una pre-
sión	de	3,6	atm?
9. Se sabe que "P" es directamente proporcional a 
"T" e inversamente proporcional a "V" y además 
cuando	"P"	es	18,	"T"	es	12	y	"V"	es	4.	Calcular	
el valor de "P", cuando "T" sea 6 y "V" sea 12.
10. Se conoce que "A" es directamente proporcio-
nal a " B"	e	inversamente	proporcional	a	"C".	
Si	cuando	"A"	es	3,	"B"	es	16	y	"C"	es	4,	hallar	
"B",	cuando	"A"	es	6	y	"C"	es	8	.
11. Dado el gráfico de dos magnitudes proporcio-
nales, hallar "a + b"
 
4
a
b
A
2 6 9 B
4. Sean	las	magnitudes	"A",	"B"	y	"C"
Para cuando "A" es constante
B 16 24 40
C 6 9 15
Para cuando "B" es constante
A 4 16 9
C 6 3 4
	 Si	cuando	"A"	es	4,	"C"	es	10	y	"B"	es	5,	hallar	"A",	cuando	"C"	sea	5	y	"B"	sea	10.	Dar	la	diferencia	
de las cifras de "A".
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
5. El tiempo que emplea un ómnibus en hacer su recorrido, varía de modo directamente proporcional al 
número de estaciones que realiza. Un ómnibus de la línea "A" demora 8 horas en hacer su recorrido, 
realizando	48	estaciones.	¿Con	cuántos	pasajeros	partió	otro	ómnibus	de	la	misma	línea,	si	tarda	50	
minutos en realizar su recorrido, y además en la primera estación bajaron 2 personas, en la segunda 
estación bajaron 3 personas, en la tercera estación 4 personas y así sucesivamente hasta llegar a la 
última	estación?	(Se	sabe	que	a	la	última	estación	llegó	completamente	vacío)
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
Practica en casa
18:10:45
1magnitudes proporcionales
UNIDAD 6Central: 619-8100 145
12. "A"	es	D.P.	a	la	suma	de	"B"	y	"C"	e	I.P.	al	cua-
drado de "D". Si cuando A = 2; B =3 y D = 6; 
entonces	 C	=	 5.	 Hallar	 "C",	 cuando	 A	=	 9;	
B = 10 y D = 4.
13. El precio de un diamante es D.P. al cuadrado de 
su volumen. Si un diamante de S/. 36 000, se le 
divide en tres partes iguales, ¿cuánto se pierde 
debido	al	fraccionamiento?
14. La velocidad del sonido en el aire es propor-
cional a la raíz cuadrada de la temperatura ab-
soluta. Si la velocidad del sonido es 340 m/s a 
la	temperatura	de	16°C,	¿cuál	será	la	velocidad	
del	sonido	a	51°C?
15. La longitud de la sombra de una varilla vertical 
es D.P. a su longitud. Si un basquetbolista que 
mide 2,2 m proyecta una sombra de 1,21 m, 
¿cuánto medirá un enano de un circo que pro-
yecta	una	sombra	de	66	cm	de	longitud?
146
2 Aritmética
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Complemento
Aprende más
1. Dos números son entre sí como 2 es a 3. Si la 
suma de sus cuadrados es 208, hallar el menor.
2. Dos números son entre sí como 3 es a 2. Si la 
suma de sus cubos es 2 240, hallar el mayor.
3. La razón de dos números es 11/5 y su razón 
aritmética es 36. Hallar el menor de dichos nú-
meros.
4. Hallar "x", dada la tabla de valores de las mag-
nitudes "A" y "B":
A 6 12 4
B 24 3 x
5. Sea "P" y"V" la presión y el volumen de cierto 
gas, de modo que "P" es inversamente propor-
cional a V2.	 ¿Cuál	 es	 la	presión	de	un	gas	de	
500 cm3, si 400 cm3 de dicho gas tiene una 
presión	de	2,5	atm?
6. El peso promedio de un grupo de 200 personas 
es	61,3	kg.	¿Cuál	será	el	nuevo	peso	promedio,	
si 80 de estas personas aumentan su peso en 
3 kg, 70 personas aumentan en 6 kg y el resto 
disminuye	en	9	kg?
7. Las	edades	de	Alex	y	Milenka	son	20	y	32	años	
respectivamente.	 ¿Dentro	de	cuántos	 años	 sus	
edades	estarán	en	la	relación	de	5	a	7?
8. Calcular	la	media	armónica	de	tres	números,	si	
la media armónica de los dos primeros es 6, la 
media armónica de los dos últimos es 12 y la 
media armónica de los extremos es 20.
9. Las magnitudes "A2" y " B3 "
 
son inversamente 
proporcionales.	Cuando	"A"	es	4,	el	valor	de	"B"	
es	64.	¿Qué	valor	tomará	"B",	cuando	"A"	sea	8?
10. Se sabe que "P" es directamente proporcional a 
"T" e inversamente proporcional a "V" y además 
cuando	"P"	es	8,	"T"	es	6	y	"V"	es	4.	Calcular	
el valor de "P", cuando "T" sea 12 y "V" sea 8.
11. Rosa	y	yaneth	tienen	entre	las	dos	S/.	4	200	y	
sus dineros están en la relación de 4 a 3 respec-
tivamente.	 ¿Cuánto	 dinero	 debe	 darle	 Rosa	 a	
yaneth	para	que	la	nueva	relación	sea	de	3	a	4?
12. En una proporción geométrica, los consecuen-
tes están en la relación de 2 a 5 y además los 
términos medios son consecutivos. Si el primer 
término es igual a la razón aritmética entre el 
cuarto y la suma de los términos medios, calcu-
le el tercer término.
13. En una bolsa se tienen 150 caramelos, de los 
cuales	80	son	de	fresa	y	el	resto	de	limón.	¿Cuán-
tos caramelos de fresa se deben quitar para que 
por	cada	4	caramelos	de	fresa	haya	5	de	limón?
14. Se tiene dos magnitudes "A" y "B". Si la raíz 
cúbica de "A" es inversamente proporcional a 
"B" y además cuando "A" es 8, "B" es 6, calcular 
"A", cuando "B" sea 2.
15. Un alumno tiene las siguientes notas en sus cua-
tro primeros exámenes: 18; 16; 14 y 10. Si de-
sea obtener un promedio de 15 en los cinco pri-
meros	exámenes,	¿cuál	debe	ser	su	quinta	nota?
16. "A" es directamente proporcional a "B2" e inver-
samente	proporcional	a	"C0,5" y además cuan-
do	"A"	es	4,	"B"	es	8	y	"C"	es	16.	Hallar	"A",	
cuando	"B"	es	12	y	"C"	es	36.
17. Si: a
21 
=
 
b
15 
=
 
c
24
, y además: a + b + c = 240, 
hallar "c – b".
18. El	 costo	 "C"	 de	 un	 diamante	 es	 directamente		
proporcional al cuadrado de su peso "W" e in-
versamente proporcional al número de diaman-
tes "N" del mismo tipo. Hallar "x + y"
C W N
200 10 24
x 15 9
300 5 y
19. Si 12 es la media proporcional de "m" y 18 y 
"2m" es la tercera proporcional de 9 y "n", ¿cuál 
es	la	cuarta	proporcional	de	"m",	"n"	y	16?
20. En una proporción geométrica continua, la 
suma de los extremos es 13 y la diferencia de 
los mismos es 5. Hallar el valor de la media pro-
porcional.
2Complemento
UNIDAD 6Central: 619-8100 147
¡Tú puedes!
1. En una serie de tres razones geométricas equivalentes continuas, se sabe que la suma de sus términos 
es a la suma de sus consecuentes como 7 es a 4. Si la diferencia de los términos de la segunda razón 
es el menor número que tiene 12 divisores, halla la diferencia de los términos extremos.
a) 170 b) 175 c) 180 d) 185 e) 190
2. Se tiene tres recipientes de vino cuyos contenidos están en la relación de 9; 6 y 10. Se pasan "a" litros 
del primer al segundo recipiente, y luego "b" litros del tercer al segundo recipiente, siendo la nueva 
relación	de	4;	6	y	5	respectivamente.	Calcular	el	volumen	final	del	tercer	recipiente,	si:	a	–	b	=	4.
a) 6 b) 14 c) 15 d) 35 e) 50
3. Una hormiga recorre los lados de un polígono regular con velocidades en cada lado de 3; 15; 35; ...; 
483	m/s.	Calcula	la	velocidad	promedio	de	la	hormiga	al	dar	una	vuelta	completa.
a) 26 m/s b) 24 c) 25 d) 23 e) 22
4. Dos vasos "A" y "B" del mismo peso (vacío) contienen cantidades diferentes de vino, donde el peso 
total de "B" es los 4/11 del peso total de "A". Si se vacía el contenido de "B" en "A" este va a pesar 11 
veces el peso de "B", y si se vacía el contenido de "A" en "B", este resulta pesando 8 veces el peso de 
"A"	más	225	gramos.	¿Cuál	es	la	diferencia	de	los	pesos	de	cada	vaso?
a) 360 g b) 405 c) 390 d) 375 e) 420
5. En una serie de razones geométricas iguales, los antecedentes son: la suma de cubos, la suma de cua-
drados, la diferencia de cuadrados y el producto de dos números, y los consecuentes son 182; 25; 7 
y	12.	¿Cuáles	son	los	números?
a) 8 y 6 b) 16 y 12 c) 32 y 18 d) 8 y 12 e) 12 y 9
Practica en casa
18:10:45
1. Si: a
3 
=
 
b
7 
=
 
c
8 
=
 
d
10
; además: 2a + 3c – 2d = 60,
 
hallar "b".
2. Los antecedentes de varias razones equivalen-
tes son: 3; 4; 5 y 6. Si la suma de los dos prime-
ros consecuentes es 28, hallar los dos últimos.
3. Tres números forman una proporción aritmética 
continua de constante igual a 5. Si los dos ma-
yores están en la proporción de 4 a 3, calcular 
la tercera diferencial.
4. Cuando	Juan	nació,	Pedro	tenía	6	años	y	hace	
10	años	la	relación	de	sus	edades	era	como	4	a	
7.	 ¿Dentro	de	cuántos	años	 la	 relación	de	 sus	
edades	será	como	11	a	13?
5. La suma de los cuatro términos de una propor-
ción geométrica continua es 18. Si la diferencia 
de sus términos extremos es 6, calcular el pro-
ducto de sus cuatro términos.
6. La razón de dos números es 4/11. Si la razón 
aritmética de dichos números es 210, hallar el 
mayor de ellos.
7. Si 32 y 4 son el primer y último antecedente 
de cuatro razones geométricas equivalentes y 
continuas, hallar el último de los consecuentes.
8. El mayor y menor de los promedios de dos nú-
meros son números enteros positivos cuya dife-
rencia es 4. Si uno de los números es 24, hallar 
el otro número.
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9. La razón aritmética de dos números es 48 y el 
promedio aritmético de dichos números es 35. 
Hallar el menor de ellos.
10. Si la suma de 40 números enteros consecutivos 
es 1 140, hallar el promedio de los tres últimos 
números.
11. En un salón de 60 alumnos, el promedio de no-
tas en Literatura es 12. Si 20 de ellos tienen un 
promedio de 18, ¿cuál es el promedio de los 40 
alumnos	restantes?
12. Se sabe que "P" es D.P. a "T" e I.P. a "V", ade-
más	cuando	P	=	8;	T	=	2	entonces	V	=	4.	Cal-
cular "P", cuando: T = 3 y V = 12.
13. Dado el gráfico de magnitudes, hallar: a + b
 
mag.1
40
a
12
b 15 20 mag.2
14. La magnitud "A" varía proporcionalmente a "B" 
y	al	cuadrado	de	"C"	e	inversamente	proporcio-
nal	 a	 "D".	 Si	 cuando	A	=	8;	 B	=	 5;	 C	=	4,	
entonces	D	=	2.	 ¿Cuánto	 valdrá	 "B",	 cuando	
A	=	2D	y	D	=	4C?
15. Si "A" es D.P. a B, además cuando: A = 18 ; 
B = 9, hallar "A", cuando: B = 36.
3reparto proporcional
UNIDAD 6Central: 619-8100 149
reparto proporcional
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	interpretar	los	resultados	que	se	obtienen	de	la	resolución	de	problemas	de	carácter	
real.
•	 A	utilizar	el	lenguaje	correcto	para	comprender	enunciados	de	proporcionalidad.
•	 A	interpretar	la	condición	de	proporcionalidad	directa	e	inversa.
•	 A	identificar	las	magnitudes	directas	e	inversas
•	 A	resolver	problemas	que	involucren	"reparto	proporcional".
•	 A	aplicar	el	reparto	proporcional	en	la	"regla	de	compañía"
Reparto de corriente y voltaje
En los circuitos eléctricos, existen dos tipos de conexiones muy utilizadas: en serie y paraleloCuando	la	conexión	es	en	serie,	se	utiliza	el	reparto	proporcional	directo,	a	este	método	se	le	llama	"divisor de tensión".
Batería
Interruptor
Receptores
 
Y para la conexión en paralelo, tenemos el reparto proporcional inverso, que se le llama "divisor de co-
rriente". 
Batería
Interruptor
Receptores
Hilos
conductoresSegún sea el caso, la corriente o el voltaje es la que se reparte proporcionalmente
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Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números:
14 más 16 
entre 2
Exceso de 78 
sobre 49
Diferencia de 
87 y 43
Tres quincenas 8 – 3 × 2 Le falta 8 para ser 460
12 docenas
Cuadrado	de	2	
por 10
54 + 30 × 30 841 – 247
Media centena 
más 5 29 × 26
Media cente-
na por 5 Triple de 304
4 más 10 
entre 2
Mitad de 
42 más 6
Capicúa	de	
cuatro cifras 4 cientos
Capicúa	de	
dos cifras
Capicúa	de	
dos cifras
Capicúa	de	
tres cifras
20(7) a 
base diez
23 × 4 Número par
500(9) a 
base diez C.A.(543)
60 docenas La suma de 54 y 73
Conceptos básicos
Reparto proporcional
Consiste	en	repartir	una	cantidad	"N"	en	partes	que	sean	directa	o	inversamente	proporcional	a	unos	nú-
meros. Así que este reparto puede ser:
 Reparto proporcional directo
 Sea una cantidad "N" que se debe repartir pro-
porcionalmente a: "a1"; "a2"; "a3"; ...; "an", en-
tonces:
 N = A1 + A2 + A3 +..... + An
 
A1
a1 
=
 
A2
a2 
= A3
a3 
= ... = An
an
Si el reparto es
proporcional a 3; 4 y 
7, entonces las cantida-
des serán: 3k; 4k y 7k
3reparto proporcional
UNIDAD 6Central: 619-8100 151
 Ejemplo:
•	 Repartir	3	400	de	modo	directamente	proporcional	a	 8; 18; 50 y 98
 Resolución:
 Simplificaremos los coeficientes o índices:
8 ÷ 2 = 2 ⇒ 2k
18 ÷ 2 = 3 ⇒ 3k
50 ÷ 2 = 5 ⇒ 5k
98 ÷ 2 = 7 ⇒ 7k
17k = 3 400 Como:	k	=	200,	las	cantidades	son:	400;	600;	1	000	y	1	400
Reparto proporcional inverso
Sea una cantidad "N" que se debe repartir de modo 
inversamente proporcional a: "a1"; "a2"; "a3"; ...; "an", 
entonces:
N = A1 + A2 + A3 + ... + An
A1 . a1 = A2 . a2 = ... = An . an
Si el reparto es
inversamente proporcional
a 3; 4 y 5, será equivalente 
a un reparto directo de
1
3
;
 
1
4 
y
 
1
5
 Ejemplo:
•	 Repartir	2	600	de	modo	inversamente	proporcional	a	35; 36 y 37
 Resolución:
 Simplificaremos los coeficientes o índices:
 A directa × 9
35 ÷ 35 = 1 ⇒ 1 ⇒ 9k
36 ÷ 35 = 3 ⇒
 
1
3 
⇒ 3k
37 ÷ 35 = 9 ⇒
 
1
9 
⇒ k
13k = 2 600 Como:	k	=	200,	las	cantidades	son:	1	800;	600	y	200
 Reparto proporcional compuesto
 Utilizando las propiedades de magnitudes proporcionales, se debe convertir en reparto directo.
Ejemplo:
•	 Repartir	1	550	en	tres	partes	que	sean:
 Directamente proporcional a 12; 15 y 9
 Inversamente proporcional a 4; 8 y 12
 Directamente proporcional a 3; 6 y 4
Recuerda	que	si:
"A" D.P. "B"
"A"	I.P.	"C"
A =
 
B
C
k
Resolución:
 El reparto debe ser directamente proporcional a: 12 × 3
4 
= 9;
 
15 × 6
8 
=
 
45
4 
y
 
9× 4
12 
= 3
 
9
 
× 4
3 
⇒ 12 ⇒ 12k
 
45
4 
× 4
3 
⇒
 
15 ⇒ 15k
 
3
 
× 4
3 
⇒
 
4 ⇒ 4k
31k = 1 550 Como	k	=	50;	las	cantidades	son:	600;	750	y	200
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 Regla de compañía
	 En	una	compañía	o	empresa	se	tiene	una	ganancia	o	pérdida	y	los	socios	deben	participar	de	ella.	Para	
eso el reparto se debe hacer considerando la participación de cada uno.
 Proporcional a sus capitales
La ganancia o pérdida es directamente propor-
cional a sus capitales.
Ganancias G1 G2 G3 ...
Capitales C1 C2 C3 ...
G1
C1 
=
 
G2
C2 
= G3
C3 
= ...
Si los aportes son: 2 000; 
3 000; 4 000 y 5 000 
soles, las ganancias serán: 
2k; 3k; 4k y 5k
 Proporcional a sus tiempos de participación
La ganancia o pérdida es directamente propor-
cional a sus tiempos.
Ganancias G1 G2 G3 ...
Tiempos t1 t2 t3 ...
G1
t1 
=
 
G2
t2 
= G3
t3 
= ...
Si participaron durante: 
12 meses; 9 meses y 8 
meses, las ganancias 
serán: 12k; 9k y 8k
 Puede darse el caso que los aportes y los tiempos sean diferentes, entonces el reparto debe ser 
compuesto, proporcional a los capitales y tiempos.
 
Las ganancias son direc-
tamente proporcionales a 
los aportes y el tiempo de 
participación de ellos
Ejemplo:
•	 Una	empresa	que	duró	un	año,	tiene	una	ganancia	de	S/.	19	500	que	debe	ser	repartido	entre	
Alex,	Carlos,	Mario	y	Milenka	cuyos	aportes	fueron	2	000;	3	000;	5	000	y	6	000	soles	respec-
tivamente. Además Alex fue el creador de la empresa y que dos meses después de fundada, 
se	incorporó	Carlos,	luego,	dos	meses	después	ingresa	Mario,	y	finalmente	dos	meses	después	
Milenka.	¿Cuánto	le	corresponde	a	cada	uno?
 Resolución:
Capitales Tiempo
Alex 2 000 12 meses
Carlos 3 000 10
Mario 5 000 8
Milenka 6 000 6
 
G1
2000 × 12 
=
 
G2
3000 × 10 
= G3
5000 × 8 
= G4
6000 × 6
 
Simplificando: G1
12 
=
 
G2
15 
= G3
20 
= G4
18 
= k
 
Como	la	ganancia	total	es	S/.	19	500,	entonces:	k	=
 
19 500
12 + 15 + 20 + 18 
=300
	 Finalmente	las	ganancias	son:	3	600;	4	500;	6	000	y	5	400	soles
3reparto proporcional
UNIDAD 6Central: 619-8100 153
Síntesis teórica
REPARto PRoPoRCIoNAL
Repartir	"N"
Inversamente proporcionalDirectamente proporcional
Inversamente 
proporcional a: "a"; "b" y "c"
Directamente 
proporcional a: "a", "b" y "c"
1
a
k + 1
b
k + 1
c
k= Nak + bk + ck = N
Repartir	600	de	modo	
directamente proporcional 
a 12; 18 y 15
Repartir	600	de	modo	
inversamente proporcional 
a 6; 2; 3 y 1
El reparto directo a: 
1
6
; 1
2
; 1
3
 y 1 
multiplicamos por 6
k + 3k + 2k + 6k = 600
k = 50
Las cantidades son:
1(50) = 50
3(50) = 150
2(50) = 100
6(50) = 300
Dividiendo entre 3:
4k + 6k + 5k = 600
k = 40
Las cantidades son:
4(40) = 160
6(40) = 240
5(40) = 200
Reparto proporcional 
compuesto
Repartir	120
D.P. a: 2; 5 y 6
I.P. a: 4; 6 y 18
Será directo a:
2 1
4 
=
 
1
2
; 5 1
6 
= 5
6 
y 6 1
18 
=1
3
Multiplicamos por 6:
3k + 5k + 2k = 120
k = 12
Las cantidades son:
 3(12) = 36
5(12) = 60
2(12) = 24
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Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. Repartir	 4	200	de	modo	directamente	propor-
cional a 3; 5; 6 y 7. Determine las cantidades 
repartidas.
2. Repartir	180	de	modo	inversamente	proporcio-
nal a 2; 6 y 12. Determine las cantidades repar-
tidas.
3. Repartir	900	de	modo	inversamente	proporcio-
nal a 2; 3 y 6. Indicar la menor parte repartida.
4. La empresa "Todo lo puede" después de un 
año	obtuvo	una	ganancia	de	12	000	soles.	Si	el	
aporte de los socios fue 200; 300 y 500 soles, 
¿qué	ganancia	le	toca	a	cada	uno?
5. Repartir	la	ganancia	de	S/.	5	000	considerando:
Socio Capital Tiempo
A 200 9 1800 ⇒ 3k
B 300 4 ⇒ 2k
C 500 6 3000 ⇒
Aprende más
Aplicación cotidiana
Esquema eléctrico en serie Esquema de componentes de un circuito en paralelo
0,2 amp
3,2 voltios
7 ohm 5 ohm 4 ohm
24 ohm
40 ohm
A
A
3 amp
45 voltios
A
1. Determina la corriente que circula por cada uno de los focos.
2. Determina la tensión en cada uno de los focos (resistencias) del circuito.
3. Determina la tensión en cada una de las resistencias del circuito.
4. Determina la lectura de cada uno de los amperímetros.
Resolución de problemas
5. Janeth	 tiene	 tres	 hijos:	 Milenka;	 Alex	 y	 Pier.	
Ellos reciben semanalmente propinas de modo 
proporcional a sus edades que son 10; 12 y 16 
años	respectivamente.	Si	Pier	recibe	9	soles	más	
que	Milenka,	¿cuánto	recibe	Alex?
6. Repartir	720	de	modo	directamente	proporcio-
nal a 8; 18 y 32. Dar como respuesta la 
menor de las partes.
7. Al repartir una cantidad proporcionalmente a 
los números 3; 9 y 27, la mayor parte excede a 
la menor en 320. Indicar la cantidad repartida.
8. Repartir	7	500	de	modo	directamente		propor-
cional a 1; 3 y 5 e inversamente proporcionala 2; 4 y 6 respectivamente. La menor parte es:
9. Repartir	372	de	modo	directamente	proporcio-
nal a tres números consecutivos de dos cifras. 
¿Cuál	es	el	valor	de	la	parte	intermedia?
10. Un agricultor desea sembrar en tres terrenos 
cuadrados de 6; 14 y 16 metros de lado. Para 
ello contrató una cuadrilla de trabajadores por 
21	960	soles.	¿Cuánto	abonó	por	la	preparación	
del	segundo	terreno?
11. Repartir	 S/.	 1	180	en	 tres	partes,	 de	 tal	 forma	
3reparto proporcional
UNIDAD 6Central: 619-8100 155
que la primera sea a la segunda como 3 es a 4 
y la segunda sea a la tercera como 5 es a 6. Dar 
la mayor parte.
12. Juan	 tiene	 8	 panes	 y	 Pedro	 4	 panes	 y	 deben	
compartirlos equitativamente con dos amigos. 
Para recompensarlos estos entregan 180 soles a 
Juan	y	Pedro.	¿Cuánto	le	tocará	a	Juan?
13. Para la explotación de un negocio se asociaron 
tres individuos aportando S/. 8 500; S/. 10 400 
y S/. 9 000. Si el negocio se declaró en quiebra 
y dejó un activo de S/. 13 392, ¿cuánto recibe el 
primer	individuo?
14. Dos socios reunieron un capital de S/. 4 200 para 
hacer un negocio. El primero dejó su capital du-
rante 2 meses y el otro durante 4 meses. Se pide 
encontrar la diferencia de los capitales aporta-
dos, sabiendo que las ganancias fueron iguales.
15. Al liquidarse una empresa en el cual partici-
paron	 "A",	 "B",	 "C"	 y	 "D"	 con	 capitales	 de	
S/. 2 000; S/. 2 500; S/. 3 000 y S/. 4 000 duran-
te 5; 2; 3 y 6 meses respectivamente, esta arrojó 
una pérdida de S/. 14 400. ¿A cuánto asciende 
la	pérdida	del	que	aportó	mayor	capital?
16. "A" empieza un negocio con S/. 24 000 y 2 
meses después de ello se incorpora "B" con 
S/. 16 000. A los 6 meses de iniciado el nego-
cio, se liquida por quiebra retirándose "A" con 
S/.	40	500.	¿Con	cuánto	se	retiró	"B"?
¡Tú puedes!
1. Una persona dispuso en su testamento que se entregue a tres sobrinos suyos la cantidad de 19 695 
soles para que se repartan proporcionalmente a las edades que cada uno de ellos tuviera en el día que 
falleciera.	Uno	de	ellos	tenía	36	años,	el	día	que	su	tío	falleció	y	le	correspondió	7	020	soles	pero	re-
nunció a ellos y el reparto se hizo entre los otros dos, también proporcional a sus edades, por lo que a 
uno	de	ellos	le	correspondió	2	700	soles	más.	¿Cuáles	eran	las	edades	de	los	sobrinos?
a) 36; 25 y 40 b) 36; 40 y 45 c) 36; 45 y 60 d) 36; 60 y 72 e) 36; 39 y 42
2. Repartir	720	soles	de	modo	directamente	proporcional	a:	"b";	"3b";	"9b";	"27b";	...;	"3nb". Si el menor 
recibió 18 soles, hallar el valor de "n".
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
3. Se reparte S/. 2 210 en cuatro partes tales que la segunda sea a la tercera como 7 es a 11, la tercera sea 
a la cuarta como 4 es a "m" y la primera sea a la segunda como 3 es a 5. Si a la cuarta le tocó S/. 1 100, 
¿cuál	es	el	valor	de	"m"?
a) 11 b) 12 c) 8 d) 44 e) 33
4. Hallar la mayor parte que resulta de repartir 168 soles de modo directamente proporcional a: 1/2; 1/6; 
1/12; 1/20; 1/30; ...; 1/156.
a) S/. 108 b) 91 c) 49 d) 68 e) 84
5. Tres agricultores han construido un canal de riego para abastecer de agua sus parcelas cuadradas y 
limítrofes de 100; 60 y 40 metros de lado, respectivamente. Los gastos de material y de mano de obra 
ascendieron a 186 000 soles, los mismos que fueron solventados por ellos en forma D.P. al agua que 
necesitan para sus parcelas e I.P. al número de peones con que contribuye para la ejecución de la obra, 
siendo	estos	12;	8	y	6	respectivamente.	¿Cuánto	aportó	el	dueño	de	la	parcela	más	pequeña?
a) S/. 100 000 b) 54 000 c) 32 000 d) 24 000 e) 18 000
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Practica en casa
18:10:45
1. Repartir	300	de	modo	directamente	proporcio-
nal a los tres primeros múltiplos de 7. Dar como 
respuesta la parte mayor.
2. Repartir	1	410	de	modo	 inversamente	propor-
cional a los números 1,5; 0,9 y 1,2. Dar como 
respuesta la parte menor.
3. Al repartir "N" de modo directamente propor-
cional a los números 2 000; 3 000 y 1 500, se 
observó que la mayor parte fue 450. Hallar "N".
4. Un padre repartió una herencia de modo direc-
tamente proporcional a las edades de sus hijos, 
que	son	24;	28	y	30	años.	Si	el	mayor	recibió	
$		3	600,	¿cuánto	recibió	el	menor?
5. Repartir	595	de	modo	directamente	proporcio-
nal a los números 48; 108 y 147. Dar la 
diferencia entre la mayor y menor parte.
6. Al repartir un número "N" de modo inversamen-
te proporcional a los números 318; 320 y 321 se 
obtuvo que la menor parte fue 25. Hallar "N".
7. Repartir	612	en	partes	directamente	proporcio-
nales	a:	2;	3;	5	y	8.	Calcular	la	mayor	parte.
8. Repartir	1	480	en	partes	directamente	propor-
cionales	a:	2;	3/4	y	1/3.	Calcular	 la	menor	de	
dichas partes.
9. Repartir	135	en	partes	directamente	proporcio-
nales	a:	0,3;	1/5	y	4.	Calcular	 la	mayor	de	di-
chas partes.
10. Miguel repartió cierta cantidad de lápices entre 
tres	niños,	en	partes	proporcionales	a	los	núme-
ros 3; 5 y 8. Si el tercero recibió 78 lápices más 
que el segundo, ¿cuál es la cantidad de lápices 
que	se	repartió?
11. La suma de tres números que son proporciona-
les a 2/3; 3/5 y 5/6 es 4 536. Hallar el número 
mayor.
12. Dividir 205 en tres partes, de tal manera que 
la primera sea a la segunda como 2 es a 5 y la 
segunda sea a la tercera como 3 es a 4. Hallar 
la primera parte.
13. Al dividir un número de modo inversamente 
proporcional a: 0,7; 7/15 y 7/17; la menor parte 
que se obtiene es 720. Hallar la mayor de las 
tres partes.
14. Tres socios reunieron un capital de S/. 30 000 
para hacer un negocio. El primero apor-
tó S/. 8 000 durante 5 meses, el segundo, 
S/. 10 000 durante 3 meses y el tercero, los res-
tantes durante 6 meses. Sabiendo que el bene-
ficio total fue de S/. 213 000, ¿qué beneficio 
obtuvo	el	primero?
15. Tres socios formaron una empresa aportando 
igual cantidad. El primero se retiró a los 4 me-
ses y el segundo lo hizo un mes después. Si a 
los 8 meses de constituida la empresa se liquidó 
con una ganancia de S/. 340 000, ¿cuál fue la 
utilidad	del	tercero?
4regla de tres
UNIDAD 6Central: 619-8100 157
regla de tres
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	demostrar	los	métodos	usados	en	la	regla	de	tres	simple	y	compuesta.
•	 A	identificar	las	magnitudes	directas	e	inversas
•	 A	aplicar	la	regla	de	tres	en	la	solución	de	situaciones	comerciales.
•	 A	aplicar	las	definiciones	de	magnitudes	directas	e	inversas.
•	 A	aplicar	la	regla	de	tres	en	la	solución	de	problemas	cotidianos.
La arqueología y las matemáticas
La altura de una persona es fácil de calcular, si el cuerpo se conserva en su totalidad. Pero también es	posible	determinar	la	estatura,	con	el	tamaño	de	ciertos	huesos	largos,	especialmente	los	de	las	piernas. Por ejemplo, se estimó la estatura de Tutankamon, por la momia y sus huesos largos intactos, 
en 169 cm.
El peso también se puede determinar a partir de cuerpos intactos, dado que se sabe que el peso en seco 
equivale	al	25%	o	30%	del	peso	en	vida.	De	este	modo	se	determinó	que	una	momia	egipcia	del	835	AC	
del Pennsylvania University Museum había pesado entre 37,8 y 45,5 kg en vida.
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Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números:
1 2 3 4 5 6 7
8 9
10 11 12
13 14 15 16
17 18 19 20
21 22 23 24
25 26
Horizontal:
1. Un día en horas
3. Número cuadrado perfecto de dos cifras
5. Cubo	de	5
8. Hallar "x", en: 8x = 32 . 9. 7
9. Hallar "x", en: 4x = 71 . 24
10. Hallar "x", en: 2x + 3 = 105
12. El cuádruplo del doble de 61
13. Décima potencia de 2
15. Hallar "x", en: x – 17 = 500
17. Una docena
18. Número capicúa de cinco cifras
21. Hallar "x", en: 4x = 9 404
23. El quíntuplo de 85
25. Múltiplo de 47
26. Cuarta	parte	de	112
Vertical:
1. Cuadrado	de	152. El resultado de sumar del 1 hasta el 9
3. 27 docenas
4. Doble de 3 242
5. Potencia de 2
6. Cuadrado	de	51
7. Cubo	de	8
11. Menor número de cinco cifras diferentes
13. Múltiplo de 59
14. Hallar "x", en: 3x + 12 = 87
15. Media centena
16. La mitad de 150
19. Hallar "x", en: 2x = 1 424
20. Factorial	de	6
22. En romanos se representa LI
24. Múltiplo de 9
4regla de tres
UNIDAD 6Central: 619-8100 159
Conceptos básicos
Regla de tres
Es un método o regla práctica que permite relacionar dos o 
más magnitudes proporcionales.
Por ejemplo: El tiempo es directamente proporcional a la dis-
tancia recorrida ya que a mayor tiempo, mayor distancia.
La velocidad y el tiempo son inversamente proporcionales, ya 
que a mayor velocidad se utiliza menos tiempo.
Si "A" y "B" son directa-
mente proporcionales:
A
B 
= cte
.
Si "A" y "B" son inversa-
mente proporcionales:
A × B = cte
Regla de tres simple
Permite relacionar dos magnitudes
 Regla de tres simple directa
	 Cuando	las	magnitudes	son	directamente	proporcionales.
 Sean "A" y "B" dos magnitudes directamente proporcionales
A D.P. B
a1 b1
a2 x
 a1 . x = a2 . b1
Si dos magnitudes 
son directas, enton-
ces sus cantidades 
varían en la misma 
proporción. (Las dos 
aumentan o las dos 
disminuyen)
Si "A" y "B" son D.P. 
el cociente de sus 
valores es constante:
a1
a2 
=
 
b1
x
 Ejemplo:
•	 Llenar	el	tanque	con	gasolina	de	un	auto	cuesta	S/.	275.	Luego	de	consumir	85	galones,	el	
valor	de	la	gasolina	que	queda	en	el	tanque	es	de	S/.	150.	¿Cuál	es	la	capacidad	del	tanque?
 Resolución:
 A menos galones menos costo, entonces:
Galones D.P. Soles 150(x) = 275 (x – 85)
 6 x = 11(x – 85)
 5x = 11 . 85 ⇒ x = 187 soles
x 275
x – 85 150
 Regla de tres simple inversa
	 Cuando	las	magnitudes	son	inversamente	proporcionales.
 Sean "A" y "B" dos magnitudes inversamente proporcionales
A I.P. B
a1 b1
a2 x
 a2 . x = a1 . b1
Si dos magnitudes son 
inversas, entonces sus 
cantidades varían en 
proporción inversa. 
(Cuando	una	aumenta	
la otra disminuye)
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Si "A" y "B" son I.P. 
el producto de sus 
valores es constante:
a1 . b1 = a2 . x
 Ejemplo:
•	 45	obreros	pueden	hacer	un	trabajo	en	15	días.	Si	se	retiran	20	obreros,	¿en	cuántos	días	ter-
minarán	el	trabajo?
 Resolución:
 A menor cantidad de obreros, se demora mayor cantidad de días.
Obreros I.P. Días
45 15
45 . 15 = 25x ⇒ x = 27 días
45 – 20 x
Regla de tres compuesta
Permite relacionar más de dos magnitudes. Para resolver la regla de tres compuesta existen varios métodos:
Método general
 Los pasos son:
•	 ordenar	las	magnitudes
•	 Ubicar	la	magnitud	que	tiene	la	incógnita
•	 Determinar	la	proporcionalidad	de	las	magnitudes	con	
respecto a la magnitud incógnita.
•	 Reducir	y	calcular	la	incógnita
Para recordar, como 
va la fracción:
D.P. de cabeza.
I.P. igual
 Ejemplo:
•	 Para	hacer	300	pantalones	en	9	horas,	se	necesitan	32	obreros.	¿En	cuántas	horas	se	confec-
cionarán,	400	pantalones	con	24	obreros?
D.P. I.P.
Pantalones Horas Obreros
x = 9 .
 
400
300 
.
 
32
24
 ⇒ x = 16 horas
300 9 32
400 x 24
De cabeza Igual
 Como regla de tres simple
 Se considera como varias reglas de tres simple:
•	 ordenamos	las	magnitudes.
•	 Analizamos	la	proporcionalidad	entre	dos	mag-
nitudes, como se presenten.
•	 Definimos	 como	 deben	 ser	 los	 productos	 en	
cada regla de tres simple.
•	 Reducir	y	calcular	la	incógnita
El producto es así cuando son:
D.P.
I.P.
4regla de tres
UNIDAD 6Central: 619-8100 161
 Ejemplo:
•	 Un	barco	pesquero	en	22	horas	con	39	tripulantes,	capturan	2	000	peces.	¿En	cuántas	horas	
con	33	tripulantes	podrán	capturar	4	000	peces?
 Resolución:
Horas I.P. Tripulantes D.P. Peces
22 39 2 000 22 . 39 . 4 000 = x . 33 . 2 000
simplificando: x = 52 horasx 33 4 000
 La obra directa a todas
 La magnitud obra es directamente proporcional a obreros, tiempo y rendimiento, entonces:
•	 Identificar	la	magnitud	obra	o	su	equivalente	(víveres	en	total,	volumen	total,	dificultad)
•	 Reemplazar	en	la	fracción:
Obra . Dificultad
Obreros . Días . Horas . Eficiencia 
= cte
•	 Reducir	y	calcular	la	incógnita
Ejemplo:
•	 Diez	peones	demoran	15	días	de	7	horas	de	trabajo	en	sembrar	50	m2.	¿Cuántos	días	de	8	
horas de trabajo demorarán en sembrar 80 m2,	15	peones	doblemente	hábiles?
 Resolución:
	 Reemplazando	en	la	fracción	constante:
 
50
10(1) . 15 . 7 
= 80
15(2) . x . 8
 ⇒ x = 7 días
Reducción entre magnitudes
Estas dos magnitudes al multiplicarlas se convierten en una sola
 obreros y eficiencia (rendimiento)
 20 obreros al 80% de rendimiento, trabajan como si fueran:
 
x = 20 .
 
80
100 
= 16 obreros
 El rendimiento de un hombre y una mujer están en la relación de 3 a 2, entonces 9 hombres y 5 mu-
jeres trabajan como:
 
x = 9 .
 
3
2 
+ 5 = 18,5 mujeres
 obra y dificultad (dureza)
 Una carretera de 400 km que tiene una dureza como 2, equivale a:
 400 × 2 = 800 km
 tiempo
	 Una	compañía	trabaja	6	horas	diarias	durante	15	días,	esto	equivale	a:
 6 × 15 = 90 horas
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Síntesis teórica
REGLA DE tRES
Clases
Regla de tres compuestaRegla de tres simple
Clases
Regla	de	tres	simple	
directa
Regla	de	tres	simple	
inversa
a1 . x = a2 . b1 a1 . b1 = a2 . x
Días
I.P. Obreros
I.P. H/D
D.P. Obra
Obra
Obreros . Días . H/D
A D.P. B
a1 b1
a2 x
A I.P. B
a1 b1
a2 x
Obreros Días H/D Obra
12 15 8 24
15 x 6 30
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. Un grupo de obreros debe construir una carrete-
ra, de acuerdo a los siguientes datos:
Días Horas/diarias
12 8
16 x
 Hallar "x".
2. Un grupo de carpinteros debe fabricar unos 
muebles, de acuerdo a los siguientes datos:
Días Rendimiento	c/carpintero
12 100
x 80
 Hallar "x".
3. Un grupo de jardineros pueden sembrar un te-
rreno cuadrado de 12 metros en 16 días. ¿En 
cuántos días sembrarán otro terreno de forma 
cuadrada	de	15	metros	de	lado?
Área (m2) Días
144 16
x
4. Por una tubería de 12 cm de diámetro circula 
180	l/s	de	gas.	¿Cuánto	circulará	por	otra	tube-
ría	de	10	cm	de	diámetro?
Área (cm2) Litros/s
144p 180
x
5. Dada la siguiente regla de tres:
Días Horasc/día
Rendimiento
c/obrero Obreros Obra Dureza
12 6 100 18 300 3
15 x 75 16 200 5
 Hallar "x".
4regla de tres
UNIDAD 6Central: 619-8100 163
Aprende más
Aplicación cotidiana
La estatura está correlacionada con la longitud de sus huesos largos. Esto 
quiere decir que una persona alta tendrá los huesos más grandes que los 
de otra persona baja. Todo esto significa que si de un grupo humano se 
conoce su estatura y la longitud del fémur, la variación de estas magnitu-
des indica que son directamente proporcionales. En un grupo de varones, 
se tiene:
Fémur	(cm) Estatura (cm)
30 138
40 
1. Si el fémur de un alumno del colegio mide 50 cm, ¿cuál es su esta-
tura?
2. Si la estatura de un profesor del colegio es de 166,5 cm, ¿cuál es la 
longitud	de	su	fémur?
Otro de los huesos considerado como largo es el húmero, entonces las 
magnitudes estatura y longitud del húmero son directamente proporciona-
les. Si los datos de un grupo de mujeres, son:
Húmero (cm) Estatura (cm)
30 153,5
40 181
3. Si el húmero de una alumna del colegio mide 24 cm, ¿cuál es su 
estatura?
4. Si la estatura de una alumna del colegio es de 126 cm, ¿cuál es la 
longitud	de	su	húmero?
Fémur
Tibia
Peroné
clavícula
omóplato 
o escápula
húmero
cúbitoradio
huesos meta-
carpianos
huesos 
del carpo
falanges
Resolución de problemas
5. Si parapintar 180 m2 se necesitan 24 kg de pin-
tura, ¿cuántos kg de pintura se necesitarán para 
pintar una superficie rectangular de 12 m de lar-
go	por	10	m	de	ancho?
6. Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se 
aumentan 3 caballos más, ¿para cuántos días al-
canzará	la	ración	alimentaria?
7. Un jardinero siembra un terreno cuadrado de 
8	metros	de	lado	en	5	días.	¿Cuánto	tiempo	se	
demorará en sembrar otro terreno cuadrado de 
16	metros	de	lado?
8. Para pintar un rectángulo hecho de cartulina de 
50 cm de largo por 12 cm de ancho, se requiere 
de	300	c.c.	de	pintura.	¿Cuántos	c.c.	de	pintura	
se requiere para pintar un cuadrado de 18 cm 
de	lado?
9. Ocho campesinos siembran un terreno cuadra-
do de 16 metros de lado en 12 días. ¿En cuán-
tos días, 30 campesinos sembrarán otro terreno 
cuadrado	de	20	metros	de	lado?
10. Un reloj da 4 campanadas en 4 segundos, ¿en 
cuántos	segundos	dará	13	campanadas?
11. Roberto	inventa	50	problemas	de	Aritmética	en	
4	 días,	 dedicándose	 5	 horas	 diarias.	 ¿Cuántos	
días necesitará para inventar 80 problemas, si 
pretende	trabajar	en	ellos	dos	horas	diarias?
12. Juan	puede	hacer	un	trabajo	en	12	días.	Si	Pedro	
es	un	50%	más	eficiente	que	Juan,	¿en	cuántos	
días	puede	hacer	el	mismo	trabajo?
13. Al pintar un balón esférico de 40 cm de radio se 
usó	2	galones	de	pintura.	 ¿Cuántos	galones	de	
pintura se utilizará para pintar otro balón esférico 
de	60	cm	de	radio,	si	se	desea	dar	dos	manos?
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¡Tú puedes!
1. Para realizar una obra se empieza trabajando con un solo obrero y por cada día que pasa se contratan 2 
obreros,	terminando	así	la	obra	en	"n"	días.	Calcular	"n",	si	la	misma	obra	la	pueden	realizar	9	obreros	
de doble eficiencia que los anteriores en 8 días.
a) 12 b) 13 c) 17 d) 19 e) 31
2. Diez obreros pueden cavar una zanja de 20 m de profundidad en 12 días. Después de cierto tiempo de 
trabajo se decide aumentar la profundidad en 10 m para lo cual contratan 4 obreros adicionales, 25% 
más eficientes terminando la obra a los 15 días de iniciado el trabajo. ¿A los cuántos días se aumentó 
el	número	de	obreros?
a) 8 días b) 9 c) 11 d) 12 e) 13
3. Un contratista acepta una construcción a realizarse en 76 días, para lo cual contratará 20 obreros. Al 
cabo de 10 días acepta otro contrato con un plazo no mayor a 68 días y para esto contratará 27 obre-
ros; 47 días después de esto, observa que de la primera obra se ha avanzado los 5/12 y de la segunda 
los 9/10. Entonces destina "x" obreros del segundo al primero, para cumplir con el primer plazo. Al 
terminar el primer trabajo los "x" obreros retornan a su obra, sin embargo, se ve en la necesidad de 
contratar	"y"	obreros,	para	terminar	la	obra	en	el	plazo	máximo.	Calcule	"x	+	y",	si	el	primer	grupo	de	
obreros es 62,5% menos eficiente que el segundo.
a) 20 b) 39 c) 32 d) 40 e) 36
4. En	la	construcción	de	una	piscina	laboral,	inicialmente	han	trabajado	"N"	albañiles	durante	"N	+	6"	
horas diarias en un día. Si se determina reducir diariamente la jornada laboral en 2 horas cada día y 
simultáneamente incrementar dos obreros cada día, de tal modo que la productividad del quinto día 
sea 88,148% de la del primer día, calcule "N".
a) 5 b) 10 c) 7 d) 11 e) 9
5. Al cabo de 27 días de trabajo, 35 obreros que trabajaron 8 horas diarias se percataron que falta termi-
nar de la obra, los 4/7 de lo que ya está hecho y solamente le quedan 12 días para entregar la obra. 
En vista de la situación contrataron de inmediato más obreros y trabajaron todos 1 hora más por día. 
¿Cuántos	obreros	se	contrataron,	teniendo	en	cuenta	que	lo	que	falta	se	hace	doblemente	difícil	con	
cada	cuarta	parte	que	avanzan,	debido	al	mal	clima	y	la	dureza	del	terreno?
a) 115 b) 5 c) 265 d) 65 e) 120
14. Dos hombres y 4 mujeres pueden hacer una 
obra en 6 días; pero con 2 hombres más se pue-
de hacer el mismo trabajo en 4 días. ¿En cuántos 
días	hará	dicha	obra	un	hombre	trabajando	solo?
15. Veinticuatro obreros pueden hacer una obra en 
19 días, pero luego de 5 días de trabajo se re-
tiran 8 obreros por lo que terminaron "a" días 
después	del	plazo	fijado.	Calcular	"a"
16. Un grupo de 33 obreros puede hacer una obra 
en 30 días. Si luego de 6 días de trabajo se les 
pide que terminen lo que falta de la obra en 18 
días, ¿con cuántos obreros se deben reforzar a 
partir	del	séptimo	día?
4regla de tres
UNIDAD 6Central: 619-8100 165
Practica en casa
18:10:45
1. 1 200 hombres tienen víveres para 80 días, pero 
al finalizar el día 25 se retiran 320 hombres. 
¿Cuántos	días	más	durarán	los	víveres?
2. En 16 días, 9 obreros han hecho los 2/5 de una 
obra. Si se retiran 3 obreros, ¿cuántos días de-
morarán los obreros restantes para terminar la 
obra?
3. Si para pintar 360 m2 se necesitan 24 kg de pin-
tura, ¿cuántos kg de pintura se necesitarán para 
pintar una superficie rectangular de 15 m de lar-
go	por	10	m	de	ancho?
4. Veinte personas tienen alimento para 12 días. Si 
luego de 4 días se retiran 4 personas, ¿cuántos 
días	durarán	los	alimentos	a	los	restantes?
5. Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se 
aumentan 3 caballos más, ¿para cuántos días al-
canzará	la	ración	alimentaria?
6. En 16 horas, 9 pintores han pintado los 3/8 de 
un	edificio.	¿Cuántas	horas	demorarán	12	pinto-
res	en	terminar	de	pintar	el	edificio?
7. Un jardinero siembra un terreno cuadrado de 
8	m	de	lado	en	16	días.	¿Cuánto	tiempo	se	de-
morará en sembrar otro terreno cuadrado de 12 
metros	de	lado?
8. Para hacer 600 m de una obra, 30 obreros han 
trabajado 12 días a razón de 10 horas diarias. 
¿Cuántos	días	necesitarán	36	obreros	para	ha-
cer 900 m de la misma obra trabajando 6 horas 
diarias?
9. Doce obreros hacen una obra en 20 días. ¿En 
cuántos días, 8 obreros doblemente hábiles que 
los	anteriores	harán	la	misma	obra?
10. Lucho inventa 50 problemas en 4 días, dedi-
cándose	 5	 horas	 diarias.	 ¿Cuántos	 días	 nece-
sitará para inventar 80 problemas, si pretende 
trabajar	en	ellos	2	horas	por	día?
11. Ocho máquinas trabajan 6 horas diarias durante 
5	días.	¿Cuántos	días	se	tardarán	2	máquinas	en	
realizar el mismo trabajo, si funcionan durante 
8	horas	diarias?
12. Si 18 campesinos siembran un terreno cuadra-
do de 15 metros de lado en 15 días, ¿en cuán-
tos días, 30 campesinos sembrarán otro terreno 
cuadrado	de	20	metros	de	lado?
13. Tres hombres trabajando 8 horas diarias han he-
cho	80	metros	de	una	obra	en	10	días.	¿Cuántos	
días necesitarán 5 hombres trabajando 6 horas 
diarias	para	hacer	60	metros	de	la	misma	obra?
14. Veinte operarios pueden producir 120 pares de 
zapatos	en	18	días.	¿Cuántos	operarios	pueden	
producir	160	zapatos	en	24	días?
15. Con	12	obreros	se	puede	hacer	una	obra	en	40	
días. ¿En cuántos días, 15 obreros cuya rapidez 
es 5 veces la de los anteriores, harán una obra 9 
veces	más	difícil	que	la	primera?
166
5 Aritmética
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repaso
Aprende más
1. Hallar la media aritmética y la media geométri-
ca de 25 y 49. Dar como respuesta la diferencia 
de dichas medias.
2. Si para pintar 180 m2 se necesitan 24 kg de 
pintura, ¿cuántos kg se necesitarán para pintar 
una superficie rectangular de 12 m de largo por 
20	m	de	ancho?
3. El promedio de siete números consecutivos pa-
res	es	70.	¿Cuál	es	el	promedio	de	los	dos	me-
nores	números?
4. Ocho caballos tienen ración para 15 días. Si se 
aumentan 2 caballos más, ¿para cuántos días al-
canzará	la	ración	alimentaria?
5. Hallar la suma de cifras del promedio geométri-
co de los números: 8; 30; 27 y 125.
6. Un jardinero siembra un terreno cuadrado de 9 
metros	de	lado	en	10	días.	¿Cuánto	tiempo	se	
demorará en sembrar otro terreno cuadrado de 
18	metros	de	lado?
7. Doce obreros hacen una obra en 30 días, ¿en 
cuántos	días,	18	obreros	haránla	misma	obra?
8. Para pintar un rectángulo hecho de cartulina de 
60 cm de largo por 12 cm de ancho, se requiere 
de	300	c.c.	de	pintura.	¿Cuántos	c.c.	de	pintura	
se requiere para pintar un cuadrado de 18 cm 
de	lado?
9. Dados los números 12; 18 y 216, calcular la 
diferencia entre su promedio aritmético y su 
promedio geométrico.
10. Doce campesinos siembran un terreno cuadra-
do de 6 metros de lado en 15 días. ¿En cuán-
tos días, 20 campesinos sembrarán otro terreno 
cuadrado	de	10	metros	de	lado?
11. El promedio de cuatro números es 15. Si la 
suma de los tres primeros números es 50, hallar 
el último número.
12. En una clase de Aritmética el promedio de los 
diez	 aprobados	 fue	 15.	 ¿Cuál	 es	 el	 promedio	
de los desaprobados, si el promedio de los 30 
alumnos	de	la	clase	es	11?
13. Sean las magnitudes "A" y "B", de modo que 
"A" sea directamente proporcional a "B2". Ha-
llar "A", cuando "B" sea 9, si cuando "A" es 8 el 
valor de "B" es 18
14. Sean las magnitudes "A" y "B", de modo que 
"A + B" sea directamente proporcional a 
"A – B". Si cuando "A" es 5, "B" es 4; ¿qué valor 
tomará	"A",	cuando	"B"	sea	16?
15. En 20 días de 6 horas diarias, 24 costureras de 
rendimiento 6, hicieron 300 pantalones de do-
ble	costura.	¿Cuántas	costureras	de	rendimiento	
8, trabajando 9 horas diarias durante 20 días, 
harán	200	pantalones	con	triple	costura?
16. Dieciocho obreros pueden hacer una obra en 
40 días. Si 12 de los obreros aumentaron su ren-
dimiento en 50%, ¿cuántos días antes termina-
rán	la	obra?
17. Se distribuye una cantidad de dinero entre tres 
personas de modo directamente proporcional a 
3; 4 y 5. Pero si lo hubieran hecho de manera 
proporcional a 7; 12 y 5 uno recibiría S/. 145 
menos.	 Calcular	 cuánto	 le	 correspondió	 a	 los	
dos restantes.
18. Se reparte una cierta cantidad "N" en partes di-
rectamente proporcionales a los números natu-
rales menores que 50. Si la suma de la mayor y 
menor parte es 150, calcular "N".
19. El tiempo que demora un planeta en dar una 
vuelta al Sol es directamente proporcional al 
cubo de la distancia del planeta e inversamente 
proporcional	al	peso	del	planeta.	¿Cuánto	tiem-
po demora un planeta de doble peso de la Tie-
rra en dar una vuelta al Sol, si la distancia que 
lo	separa	del	Sol	es	el	doble	que	el	de	la	Tierra?
20. Se tiene dos magnitudes "A" y "B" que son in-
versamente proporcionales para valores de "B" 
menores o iguales a 30, pero "A" es directa-
mente proporcional a "B" para valores mayores 
o iguales a 30. Si "A" es 6, cuando "B" es 20, 
¿cuál	es	el	valor	de	"A",	cuando	"B"	sea	60?
5repaso
UNIDAD 6Central: 619-8100 167
¡Tú puedes!
1. Para ejecutar una obra, se cuenta con dos cuadrillas: la primera tiene 40 hombres y puede concluir la 
obra en 30 días y la segunda, 60 hombres y puede terminar la obra en 40 días. Si tomamos solamente 
3/4	de	la	primera	y	los	2/3	de	la	segunda	cuadrilla,	¿en	cuántos	días	terminarán	la	obra?
a) 24 b) 32 c) 48 d) 18 e) 28
2. Un hombre y dos mujeres pueden hacer un trabajo en 10 horas y dos hombres y una mujer pueden 
hacer	el	mismo	trabajo	en	8	horas.	¿Cuántos	hombres	deberán	trabajar	junto	a	4	mujeres	para	realizar	
el	mismo	trabajo	en	4	horas?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
3. Un trabajo puede ser hecho en 15 días por 10 hombres. Seis días después de iniciada la obra 4 de 
ellos aumentan su eficiencia en un 20% y el resto la baja en a%. Hallar "a", si la obra se termina en 
un tiempo total de 16 días.
a) 16 b) 20 c) 25 d) 30 e) 18
4. Un negocio se realizó en 18 meses. Al inicio "A" aportó S/. 6 000 y 8 meses después incrementó su 
capital	en	30%;	"B"	empezó	con	S/.	7	500,	pero	a	los	10	meses	disminuyó	su	capital	en	25%;	"C"	
empezó con S/. 5 000 y duplicó su aporte 4 meses después y 2 meses antes de terminar el negocio 
aumentó	en	S/.	2	000.	Si	la	utilidad	neta	fue	de	S/.	348	500,	¿qué	utilidad	le	corresponde	a	"C"?
a) S/. 12 150 b) 14 280 c) 13 940 d) 12 120 e) 12 000
5. Varios socios forman una empresa, aportando cada socio el doble que el anterior y al cabo de cierto 
tiempo se reparten abbc0 soles de utilidad. Si el primer socio recibió
 
b
2
b
2
b
2
0
 
incluido su capital;
 
siendo su utilidad los 5/7 de lo que aportó, calcular el número de socios
a) 5 b) 4 c) 6 d) 2 e) 3
Practica en casa
18:10:45
1. Veinte personas tienen alimento para 12 días y 
luego	de	4	días	se	retiran	4	personas.	¿Cuántos	
días	duran	los	alimentos	para	los	restantes?
2. Diez obreros trabajando en la construcción de 
un puente hacen 3/5 de la obra en 8 días. Si se 
retiran 8 obreros, ¿cuántos días emplearán los 
restantes	para	terminar	la	obra?
3. En 24 horas, 15 obreros han hecho 1/4 de una 
obra.	¿Cuántas	horas	empleará	otra	cuadrilla	de		
30 hombres doblemente hábiles para terminar 
la	obra?
4. Un grupo de 9 jardineros demoran 4 h en podar 
600 m2 de un jardín. Si renuncia un jardinero, 
¿cuánto demorarán los restantes en podar otro 
jardín de 400 m2?
5. Si	36	señoras	tejen	120	chompas;	108	señoras,	
¿cuántas	chompas	tejerán?
6. Una persona tarda 10 horas para hacer los 4/9 de 
una	obra,	¿cuántas	horas	tardará	en	terminarla?
7. Por 8 manzanas pagó S/. 12, ¿cuánto pagaré por 
una	docena	de	manzanas?
8. Un poste telefónico de 6 m de altura da una 
sombra	 que	 mide	 2,5	 m.	 ¿Cuánto	 medirá	 la	
sombra de una persona de 1,68 m de altura, a 
la	misma	hora?
9. Repartir	$2	225	en	tres	partes	que	sean	D.P.	a	
los números: 3; 5 y 8, e I.P. a los números: 4; 
6 y 9. Dar como respuesta la parte intermedia.
Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe168
10. Tres amigos se asociaron para formar una em-
presa,	el	primero	aporta	S/.6	000	durante	5	años;	
el	segundo	S/.	3	000	durante	8	años	y	el	tercero	
S/. 9 000. Al repartir los S/. 15 000 de ganancia 
el	tercero	recibió	la	mitad	del	total.	Calcular	el	
tiempo	de	imposición	del	tercero	en	años.
11. Tres socios inician un negocio colocando el 
mismo capital; durante 4 meses, 7 meses y 9 
meses respectivamente. Si hubo una ganancia 
de	S/.	4	000,	¿cuánto	le	corresponde	al	primero?
12. Marco quiere repartir S/. 540 en forma direc-
tamente proporcional a las edades de sus cua-
tro	 sobrinos	que	 tienen	10;	12;	14	y	18	años,	
¿cuánto	le	corresponde	al	menor	de	ellos?
13. Repartir	S/.	1	180	en	tres	partes,	de	tal	manera	
que la primera sea a la segunda como 3 es a 4 
y la segunda sea los 5/6 de la tercera. Dar la 
mayor parte.
14. Se reparte S/. 6 500 entre tres personas en forma 
D.P. a: p; p2 y p3. Si el menor recibe S/. 500, 
¿cuánto	recibe	el	mayor?
15. Se reparte una cantidad en cuatro partes propor-
cionales a 4; 12; 3 y 5 e inversamente propor-
cionales	a	7;	14;	3	y	7.	¿Cuál	es	la	cantidad	re-
partida, si las dos últimas partes juntas, exceden 
a	las	dos	primeras	partes	en	485?

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