Aritmetica 7

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tanto por cuanto
Cuando el agua se convierte en oro
Dicen los expertos que la supervivencia de los sistemas naturales, sociales y económicos depende de nuestra capacidad para proteger y administrar de forma sostenible los escasos recursos hídricos que tenemos. Durante el siglo XX la población mundial se multiplicó por tres, el consumo de agua (consumo doméstico, industria, agricultura, etc.) se sextuplicó. Se calcula	que	en	el	año	2050	la	población	del	planeta	rondará	los	9	o	10	000	millones	de	
personas y, si las cosas siguen igual, el consumo habrá crecido de tal manera que el abastecimiento regular 
de agua será un problema serio para las cuatro quintas partes de la población mundial.
APreNDIZAjes esPerADos
Razonamiento y demostración 
•	 Define	el	tanto	por	ciento	y	realiza	sus	cálculos	res-
pectivos.
•	 Define	el	interés	simple	y	realiza	sus	cálculos	res-
pectivos.
•	 Define	el	descuento	comercial.
Comunicación matemática
•	 Expresar	 en	 forma	 matemática	 y	 adecuada	 los	
enunciados vinculados al tanto por ciento.
•	 Expresar	 en	 forma	 matemática	 y	 adecuada	 los	
enunciados vinculados al interés simple.
•	 Utilizar	el	lenguaje	correcto	para	leer	los	elemen-
tos del descuento comercial.
Resolución de problemas
•	 Resolver	problemas	que	impliquen	tanto	por	cien-
to.
•	 Resolver	problemas	de	contexto	real	y	matemático	
que impliquen utilizar los descuentos y aumentos 
sucesivos.
•	 Resolver	problemas	que	involucren	interés	simple.
•	 Resolver	problemas	relacionados	con	regla	de	des-
cuento.
Nuevo diagnóstico global
La ONU realizó una evaluación del estado de los recursos 
hídricos del planeta
8
15%
América 
del Norte
11%
13
África
< 1
5%
Australia y 
Oceanía
8%13
Europa
36%
60
Asia
América 
del Sur
26%
6
UNIDAD 7
170
1 Aritmética
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regla del tanto por cuanto
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	definir	el	tanto	por	ciento	y	realizar	sus	cálculos	respectivos
•	 A	expresar	matemáticamente	y	adecuadamente	los	enunciados	vinculados	al	tanto	por	
ciento.
•	 A	resolver	problemas	que	involucren	tanto	por	ciento.
•	 A	resolver	problemas	de	contexto	real	y	matemático	que	implican	utilizar	los	descuentos	
y aumentos sucesivos.
tigre o jaguar de Sudamérica
Muchos han calificado a la economía peruana como el nuevo tigre o jaguar de Sudamérica por su alto	crecimiento	económico	en	los	últimos	7	años.
Odría
1948–56
Prado
1956–62
Belaúnde
1963–68
Velasco
1968–75
Morales
1975–80
Belaúnde
1980–85
García
1985–90
Fujimori
1990–2000
Toledo
2001–06
García
2006–11
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
1 000
2 000
3 000
2 873
5 542
6 177
3 759
4 000
5 000
6 000
7 000
8 000
0
7 508
PBI	PER	CáPITA	REAL	1950–2007
(nuevos soles a precios de 1994)
Elaboración: Desarrollo Peruano
El	 actual	 crecimiento	 es	 una	 recuperación	 económica,	 en	 la	 que	 nos	 habíamos	metido	 entre	 los	 años	
1988–1992 a causa de una gran recesión y depresión económica combinada con una gran hiperinflación.
•	 ¿En	qué	años	y	con	qué	presidente	el	PBI	tuvo	mayor	crecimiento?
•	 ¿En	qué	año	y	con	qué	gobierno	el	PBI	tuvo	el	mayor	decrecimiento?
1regla del tanto por cuanto
UNIDAD 7Central: 619-8100 171
Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números:
Los
 
3
4 
de 16 es: Los
 
4
5 
de 25:
8 – 1 × 2
Una centena Cubo	de	7
Cubo	de	2
Cuadrado	de	
8, menos 1
Medio millar La mitad de 980
1
2 
+ 
1
3 
+ 
1
6
Raíz	cuadrada	
de 64
Cuadrado	
perfecto
Vigésimo
Los
 
5
8 
de 56:
El numerador 
de 1
5
 +
 
1
9
El numerador 
de 2 +
 
2
5
MCD	de	12;	
18 y 24
3
4 
de ... es 9
El mcm de 6; 
8 y 12
Decena y 
media
Múltiplo de 9 Docena y media
Conceptos básicos
tanto por cuanto
Si a una cantidad se le divide en varias partes iguales y se toman algu-
nas de ellas, estas se expresan como "tanto por cuanto"
 Ejemplo:
•	 Calcula	el	5	por	14	de	350
 
Divido 350 en 14 partes y tomo 5 de ellas: 5
14 
× 350 = 125
El 3 por 8 sig-
nifica: Divido 
en 8 partes y 
tomo 3:
 
3
8
tanto por ciento
Es un caso más utilizado del tanto por cuanto, la cantidad se divide en 
cien partes donde cada parte es la centésima parte y es representada 
por
 
1
100 
= %.
El 12% signifi-
ca: Divido en 
100 partes y 
tomo 12:
 
12
100
 Ejemplo:
•	 Determina:	20%	de	25	+	40%	de	15
 
Calculando:
 
20
100 
× 25 +
 
40
100 
× 15= 11
En estos enunciados: "de" o 
"del" significa producto:
•	 20%	del	40%	de	120
20
100 
× 40
100 
× 120
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Equivalencia de porcentaje y fracción
La relación es:
a% =
 
a
100
 Ejemplos:
•	 Calcule	la	fracción	de	50%;	20%;	25%	y	80%.
50
100
 =
 
1
2 
20
100
 =
 
1
5 
25
100
 =
 
1
4 
80
100
 =
 
4
5
•	 Calcule	el	equivalente	de	las	fracciones	
3
4
; 2
5
; 13
25
 y 3
8
 al porcentaje correspondiente.
3
4 
× 100 =
 
75%
 
2
5 
× 100 =
 
40%
 
13
25 
× 100 =
 
52%
 
3
8 
× 100 =
 
37,5%
 
Para pasar el porcentaje a fracción, se divide entre 100: 45% = 45
100
De fracción a porcentaje, se multiplica por 100:
 
12
25 
=
 
12
25 
× 100%
operaciones con porcentaje
Adición y sustracción
a% de N ± b% de N = (a ± b)% de N
 Ejemplos:
•	 Reducir:
 20% N + 35% N = (20 + 35)% N = 55% N
 A – 24% A =100%A – 24%A = (100 – 24)%A = 76% A
 M + 12%M – 37%M=(100 + 12 – 37)% M=75% M
La cantidad 
total es 100%
M = 100% M
A = 100% A
Multiplicación
a% × b% =
 
a × b
100
%
 Ejemplos:
•	 Reducir:
 
20% × 30% = 20
100 
× 30% = 6%
 
25% × 20% × 30% = 25
100 
× 20
100 
× 30% = 1,5%
Para simplificar 
20% × 30% × 45% 
el último % se deja 
indicado:
20
100 
× 30
100 
× 45%
1regla del tanto por cuanto
UNIDAD 7Central: 619-8100 173
•	 Reducir:	El	doble	de	N	–	30%	de	3N	+	40%	de	
N
2
 – 15% de 4N
Resolución:
 
2N – 30%(3N) + 40%(N
2
) – 15%(4N) = 200%N – 90%N +20%N – 60%N
 = (200 – 90 + 20 – 60)%N = 70%N
Son equivalentes: 20% N
4 
= 20% × ( 1
4
) × N = 20
4
%N
Aplicaciones
 ¿Qué porcentaje de "A" es "B"?
 Por regla de tres
•	 ¿Qué	porcentaje	 de	"A"	 es	"B"?
	 	 123	 123
 Total Parte
Parte Porcentaje %
A 100
Resolviendo	la	regla	de	tres	simple	directa:	x	=
 
B . 100
AB x
 Ejemplo:
•	 Si	en	un	salón	de	45	alumnos,	la	cantidad	de	varones	es	36,	¿qué	porcentaje	del	salón	son	los	
varones?
 Resolución:
# alumnos Porcentaje %
45 100 Resolviendo	la	regla	de	tres	simple	directa:
x =
 
36 . 100
45
 = 80
Entonces los varones son el 80% del aula.
36 x
 Por relación parte todo
•	 ¿Qué	porcentaje	de	"A"	 es	"B"?
	 144424443	 123	 123
 x% . A = B
 
En ecuación: x
100 
. A = B
Recuerda:	"de"	
o "del" significa 
producto; "es" 
significa igual-
dad
 Ejemplo:
•
 
¿Qué porcentaje de
 
2
3 
es
 
4
15
?
 Resolución:
 
x
100 
.
 
2
3 
=
 
4
15 
⇒ x = 4 . 100 . 3
2 . 15 
⇒
 
x= 40%
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 Variación porcentual
A los valores iniciales se le consideran 100%, y a los nuevos valores se le indicará su variación.
Parte Porcentaje %
Valor inicial 100
Valor final x
Ejemplos:
•	 Si	el	volumen	de	un	cilindro	es	pr2h, donde "r" es el radio de la base y "h" la altura, ¿qué 
sucederá	con	el	volumen,	si	el	radio	aumenta	en	20%	y	la	altura	disminuye	en	20%?
 Resolución:
Parte Porcentaje %
pr2h 100
p(120%r)2(80%h) x
 Simplificando las constantes: x = 120
100
2. 80
100 
. 100 = 115,2
 Entonces el volumen aumentó en 15,2%
•	 Si	la	base	de	un	triángulo	aumenta	en	25%,	¿en	qué	porcentaje	tiene	que	disminuir	la	altura	
para	que	el	área	aumente	en	10%?
 Resolución:
 
Recordemos	que	el	área	de	un	triángulo	es:	
base × altura
2
 Si los valores iniciales son:
Base Altura Área
100 100
100 × 100
2
=5 000
125 x 5 000 + 10%5 000 = 5 500
Los valores que se les da a las 
cantidades iniciales no alteran 
la variación porcentual, de 
preferencia se debe escoger al 
100 como valor inicial.
 
Entonces:
 
125 . x
2 
= 5 500
	 Resolviendo:	 x	=	88
 Esto significa que la altura debe disminuir en 12%
 Aumentos y descuentos
 Aumentos sucesivos
 Aumentamos a%, seguido de otro aumento de b%, estos dos aumentos serán equivalentes a un 
solo aumento de:
 
a + b +
 
a . b
100
%
Ejemplo:
•
 
Dos aumentos de 10% y 20% es equivalente a:
 
10 + 20 +
 
10 × 20
100
%=32% de aumento
Descuentos sucesivos
1regla del tanto por cuanto
UNIDAD 7Central: 619-8100 175
 Descontamos a%, seguido de otro descuento de b%, estos dos descuentos serán equivalentes a un solo 
descuento de:
 
a + b –
 
a . b
100
%
 Ejemplos:
•	 Dos	descuentos	de	20%	y	20%	es	equivalente	a:
 
20 + 20 –
 
20 × 20
100
%=36% de descuento
En los aumentos o
descuentos sucesivos: 
•	 Dos	aumentos	de:
20% y 30% ≠ aumenta 50%
•	 Dos	descuentos	de:
15% y 35% ≠ descuento 50%
•	 Si	a	un	precio	se	le	aumenta	20%,	luego	se	le	descuenta	20%,	y	por	último	se	aumenta	35%,	¿cuál	
es	la	variación	del	precio?
Aumento de 
20%
Descuento 
de 20%
Aumento de 
35%
Se tendrá 
120%
Quedará 
80%
Se tendrá 
135%
 
Luego el valor final es: 120% × 80% × 135% = 120
100 
×
 
80
100 
× 135% = 129,6%
 Entonces el precio aumentó en 29,6%
Síntesis teórica
tANto PoR CUANto
Aplicaciones
Operaciones
a%N + b%N = (a + b)%N
a%N – b%N = (a – b)%N
a% . b% . c% = a
100 
.
 
b
100 
. c%
20% de 250 = 20
100 
.
 
250
4 por 7 de 350 = 4
7
 . 350
a% =
 
a
100
¿Qué porcentaje de 
"A" es "B"?
x% . A = B
Aumentos de a% y b%
a + b + ab
100
%
Descuentos de a% y b%
a + b – ab
100
%
Variación porcentual
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1. Hallar el 20% del 10% de 800.
2. Calcula	el	5	por	6	del	12%	del	3	por	4	de	240
3. Relaciona	con	flechas:
•	 20% •	
9
20
•	 45% •
 
1
10
•	 35% •	
1
5
•	 10% •	
7
20
4. ¿Qué	porcentaje	de	45	es	36?
5. Dos descuentos sucesivos, el primero de 24% 
y el segundo de 25%, equivalen a un solo des-
cuento de:
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
Aprende más
Aplicación cotidiana
El INEI publicó su informe de fines de mayo del 2010, so-
bre la pobreza, y en ella resalta que unos 290 000 perua-
nos	dejaron	de	ser	pobres	en	el	último	año	2009.
Aproximadamente la población del Perú es de 29 millones 
y el 25% de ella corresponde a la zona rural.
1. Determine aproximadamente el porcentaje de pobreza 
en cada zona (urbana y rural) en el 2009.
2. Con	la	información	del	problema	anterior,	determine	
la población rural y urbana en el 2009.
% de pobres según zona
0
10
2004 2005 2006 2007 2008
20
30
40
50
60
70
80
2009
Rural Urbana
3. Determine la población de pobres en la zona rural y urbana en el 2009.
4. Determine el porcentaje de pobreza en el Perú en el 2009.
Resolución de problemas
5. Determina:
 20% del 3 por 5 del 45% del 2 por 9 de 1 250
6. Dados: P = 45% de la tercera parte de 200
 E = 4 por 9 del 75% de 36
	 	 R	=	25%	de	"E"
 U = 30% de "P"
	 Hallar	"P	+	E	+	R	+	U"
7. Hallar el 20% más del 40% menos de 750
8. Hallar el 25% más del 20% menos del 30% me-
nos de 70
9. ¿Qué	porcentaje	es	4/5	de	8/7?
10. ¿35%	de	qué	número	es	392?
11. Si el radio de un círculo aumenta en 20%, ¿en 
qué	porcentaje	aumentará	su	área?
12. Se presenta la oportunidad de escoger entre dos 
descuentos sucesivos:
•	 20%	y	20%
•	 10%	y	30%
 Si escogemos el mejor descuento, ¿cuánto aho-
rramos?
1regla del tanto por cuanto
UNIDAD 7Central: 619-8100 177
13. En cierto poblado viven 800 mujeres y de ellas 
el	3%	se	adornan	con	un	pañuelo.	Del	resto,	la	
mitad	usa	anteojos.	¿Cuántas	mujeres	usan	an-
teojos?
14. Una grabadora al venderse se le descuenta el 
10%, luego se le recarga el 10%, pero se le 
vuelve a descontar el 10% pagándose S/. 891. 
¿Cuál	es	el	precio	original?
15. En una granja, el 20% son patos, el 45% gallinas 
y el resto conejos. Si el número de gallinas fuera 
el doble y el número de conejos el cuádruple, 
¿qué	porcentaje	del	total	serían	los	patos?
16. Si gastara el 20% del dinero que tengo y ganara 
el 10% de lo que me quedaría perdería S/. 840. 
¿Cuánto	dinero	tengo?
¡Tú puedes!
1. En un evento sobre la problemática de la educación, se observa que el 20% de los asistentes es menor 
de edad, de estos el 50% es masculino y de los mayores de edad el 75% es masculino. Si en la reunión 
no	hay	mujeres	que	tengan	18;	19	ó	20	años	y	la	diferencia	de	la	cantidad	de	mujeres	de	21	años	a	
más con la cantidad de hombres menores de edad es 300, calcule cuántos asistieron a dicho evento.
a) 5 500 b) 2 700 c) 3 000 d) 4 800 e) 1 000
2. Un comerciante vende el 25% de las camisas que no vende. De las camisas que vendió el 25% fue 
vendido con una ganancia del 25% y el resto con una ganancia del 20%. Halle qué tanto por ciento 
es la ganancia total, del costo total de todas las camisas.
a) 2,25% b) 40% c) 7% d) 5% e) 15%
3. Ángel desea vender el celular que tiene y para ello incrementa el costo en un 20%, pero al momento 
de venderlo realiza un descuento del 25%, observándose que la pérdida, el descuento y S/. 200 for-
man una proporción aritmética continua. Halle el precio fijado
a) S/. 270 b) 600 c) 480 d) 150 e) 500
4. Realizar	un	descuento	del	25%	a	un	producto	es	equivalente	a	realizar	un	descuento	del	"m"	por	"n"	
y seguidamente de un aumento del "m" por "n" a ese producto. Halle el "m" por "n" del "m" por "n" 
de 15 000.
a) 100 b) 4 000 c) 2 000 d) 3 750 e) 6 000
5. El Sr. "Porciento" produce lápices cuyo costo se distribuye así: 50% en materia prima; 37,5% en mano 
de obra y el resto en gastos generales y además los vende ganando el 25% del costo. Debido a una 
brusca variación de precios sus costos aumentaron de la siguiente manera: materia prima en 50%, la 
mano de obra en 20% y los gastos generales en un 40%. Si ahora su ganancia será del 40% del costo, 
¿en	qué	porcentaje	aumentará	el	precio	de	venta	de	los	lápices?
a) 40% b) 45% c) 54% d) 44% e) 48%
Practica en casa
18:10:45
1. Calcular	el	20%	del	30%	de	450
2. Si al comprar una camisa me hacen un descuen-
to del 25% y debido a ello solo pagué 42 soles, 
¿cuál	es	el	precio	de	la	camisa	sin	descuento?
3. En una reunión, el 42% de los asistentes son 
mujeres. Si el número de hombres es 87, 
¿cuántas personas en total asistieron a la re-
unión?
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4. El precio de un artículo aumentó en 28% y su 
nuevo	precio	es	S/.	2	400.	¿Cuál	es	el	precio	del	
artículo	sin	aumento?
5. Dos aumentos sucesivos del 30% y 20% equi-
valen a un único aumento de:
6. Dos descuentos sucesivos del 15% y 20% equi-
valen a un único descuento de:
7. Si a un artículo cuyo precio es de S/. 450, se 
le hacen dos descuentos sucesivos del 20% y 
10%,	¿cuál	será	el	nuevo	precio?
8. ¿Qué porcentaje de "A" es "B", si se sabe que 
30%A	=	50%B?
9. Si el radio de un círculo disminuye en 40%, ¿en 
qué	porcentaje	disminuye	su	área?
10. Si el lado de un cuadrado aumenta en 15%, ¿en 
qué	porcentaje	aumenta	su	área?
11. En	 la	 compañía	 IBM,	 filial	 Perú,	 trabajan	 420	
personas,	donde	el	80%	sonhombres.	¿Cuántas	
mujeres deben contratarse para que el 30% del 
personal	sea	femenino?
12. En un almacén de abarrotes, el 60% es arroz. Si 
se vendió el 15% del arroz, ¿en qué porcentaje 
quedó	disminuido	el	almacén?
13. Si el largo de un rectángulo aumenta en 20%, 
¿en qué porcentaje debe aumentar el ancho 
para	que	el	área	aumente	en	68%?
14. "A" es igual al 10% del 25% del 30% del 40% 
de 7 000 y "B" es el 80% del 3 por 8 del 5 por 
1	000	de	 12	 000.	Calcular	 el	A%	del	 B%	de	
5 000.
15. Si el sueldo de Alex fuese aumentado en 8%, al-
canzaría	para	comprar	24	polos.	¿Cuántos	polos	
podría	comprar,	si	el	aumento	fuese	del	35%?
2Aplicaciones de porcentaje
UNIDAD 7Central: 619-8100 179
Aplicaciones de porcentaje
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	definir	el	tanto	por	ciento	y	sus	aplicaciones	comerciales.
•	 A	interpretar	el	tanto	por	ciento	como	costo,	ganancia	y	venta.
•	 A	utilizar	el	lenguaje	correcto	para	leer	enunciados	que	tengan	que	ver	con	precio	de	
lista y precio fijado.
•	 A	resolver	problemas	que	involucren	problemas	de	porcentaje	en	aplicación	comercial.
¿Dónde deposito mi CtS?
La Superintendencia de Banca y Seguros (SBS) explica que estas instituciones manejan mayores recur-sos porque otorgan préstamos a las microempresas con un costo elevado, debido al riesgo del retorno, y	esos	mayores	ingresos	los	pueden	utilizar	para	ofrecer	mayores	rendimientos	por	la	CTS.
Cajas	Municipales Banca Múltiple
Para depósitos
en S/. (%)
Para depósitos
en US$ (%)
Para depósitos
en S/. (%)
Para depósitos
en US$ (%)
Mínima Máxima Mínima Máxima Mínima Máxima Mínima Máxima
CMAC	Ica 13,00 13,00 7,00 7,00 Banco	de	Comercio 9,00 9,00 4,00 4,00
CMAC	Maynas 12,00 14,00 6,00 6,00 Mibanco 8,00 8,00 4,00 4,00
CMAC	Del	Santa 12,00 12,00 5,00 5,00 Banco	Ripley	S.A. 7,50 7,50 2,75 2,75
CMAC	Piura 12,00 12,00 6,50 6,50 Banco	Falabella 6,75 – – 4,50 – –
CMAC	Tacna 12,00 12,00 5,00 5,00 Banco	Financiero 5,25 7,25 2,75 5,25
CMAC	Sullana 11,50 12,50 6,00 7,00 Banco	Continental 4,60 7,25 4,50 – –
CMAC	Paita 11,00 12,50 5,32 6,33 BIF 4,50 4,50 2,00 4,00
CMAC	Arequipa 11,00 12,00 5,00 5,00 HSBC 4,00 4,00 1,75 4,00
CMAC	Cusco 11,00 12,00 6,00 6,50 Citibank 3,75 4,50 1,25 3,50
CMAC	Trujillo 10,00 14,00 – – – – Interbank 2,00 4,00 1,00 3,50
CMAC	Huancayo 7,00 11,00 3,00 4,25 Banco	de	Crédito 1,72 3,20 0,73 2,95
CMAC	Pisco 7,00 7,00 2,80 2,80 Scotiabank 1,10 1,20 1,00 1,10
Fuente: SBS
Si	tuvieras	que	decidir	donde	depositar	tu	CTS:
•	 ¿Dónde	la	depositarías	si	estuviese	en	soles?
•	 ¿Dónde	la	depositarías	si	estuviese	en	dólares?
Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe180
Saberes previos
1 2 3 4 5 6
7 8 9
10 11
12 13 14
15 16 18 19
20 21 22 23
24 25
Horizontal:
1. 20% de 360
2. 20% de 3 620
5. 3 a la cuarta
7. 40% de 580
9. ¿80%	de	qué	número	es	4	192?
10. Cuadrado	perfecto
11. 20% de 810
12. Número capicúa de tres cifras
14. Número capicúa de tres cifras
15. Es múltiplo de 66
18. Cuadrado	de	22
20. Medio mes (en días)
21. Una gruesa
22. Una docena
24. Cuadrado	perfecto
25. Cuadrado	de	18
Vertical:
1. 15% de 4 820
2. Factorial	de	6
3. Cuarta	parte	de	100
4. 40% de 1 065
5. ¿50%	de	qué	número	es	4	211?
6. Menor número de cinco cifras diferentes
8. Una vuelta entera en grados
11. Potencia de 2
12. El resultado de sumar del 1 al 9
13. Cuadrado	de	21
14. Número capicúa de cuatro cifras
16. Número capicúa de tres cifras
19. ¿25%	de	qué	número	es	203?
20. Múltiplo de 7
2Aplicaciones de porcentaje
UNIDAD 7Central: 619-8100 181
Conceptos básicos
Aplicación comercial
 Relación de demanda, oferta e ingreso
	 Cuando	 se	 comercializa	 un	 producto	 se	 tiene	 lo	 si-
guiente: la cantidad de unidades vendidas (oferta), el 
precio de venta (demanda) y el monto recaudado (in-
greso). Entonces se cumple:
Q: Unidades vendidas
P: Precio de cada producto
I: Ingreso
 I = P . Q
El ingreso es proporcional a 
las unidades vendidas y al 
precio de venta de cada uno.
•	Así	20	chompas	(demanda)	
a S/. 40 c/u (precio), produci-
rá un ingreso:
I = 20 . 40 = 800 soles
Ejemplo:
•	 Una	tienda	vende	media	centena	de	productos	en	S/.	6	000.	Si	las	ventas	aumentan	en	20%,	
debido	a	que	el	precio	de	venta	disminuyó	en	25%,	¿cuál	es	el	nuevo	ingreso?
 Resolución:
	 Q	=	50	productos,	I	=	6	000	soles,	P	=	?
 Entonces: 6 000 = 50 P ⇒ P = 120 soles c/u
 Luego:
 Q = 120% . 50 = 60
 P = 75% . 120 = 90 soles
 Entonces: I = 60 . 90 = 5 400 soles
 Relación de costo, ganancia y venta
Un comerciante compra sus productos (costo), luego planifica la venta con un beneficio (ganancia).
Sea:
C:	 Precio	de	compra	o	costo
V: Precio de venta
G: Ganancia
Se cumple:
V	=	C	+	G
Ejemplos:
•	 Un	mayorista	se	dedica	a	la	venta	de	cuadernos.	Si		
los compra a S/. 60 la docena y los vende a S/. 60 
la decena, ¿qué porcentaje de ganancia tiene en la 
venta	de	cada	cuaderno?
 
C	=
 
60
12 
= 5 soles
 
V =
 
60
10 
= 6 soles
 Ganancia por cuaderno = 1 sol
 
¿Qué	%	del	costo	es	la	ganancia?:	
1
5 
× 100=20%
Por defecto se considera 
que la ganancia es un 
porcentaje del precio de 
costo.
•	Si	la	ganancia	es	20%
⇒	C	+	20%C	=	V
Aritmética
TRILCE
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•	 En	la	venta	de	un	producto	se	gana	el	20%	del	precio	de	costo	más	el	10%	del	precio	de	venta.	
¿Qué	porcentaje	de	la	venta	se	gana?
	 Como	la	ganancia	es:	 G	=	20%C	+	10%V	 ⇒	C	+	(20%C	+	10%V)	=	V
	 	 	 Reduciendo:	120%	C	=	90%	V
 
C
V 
=
 
3
4
	 Si:	C	=	3k	y	V	=	4k,	la	ganancia	es:	G	=	k
 
¿Qué %	de	la	venta	es	la	ganancia?:	 k
4k 
× 100
 
=25%
•	 Un	producto	se	vende	en	S/.	240,	ganando	un	20%.	También	se	sabe	que	los	gastos	que	oca-
siona	esta	venta	es	el	20%	de	la	ganancia.	Calcula	la	ganancia	neta.
	 C	=	?
 V = 240 soles
	 G	=	20%	C
	 C	+	20%C	=	240	⇒	120%C	=	240	⇒	C	=	200	soles
 G = 240 – 200 = 40 (Ganancia bruta)
 Gastos = 20%(40) = 8 soles
 Como:	 GBruta = GNeta + Gastos
 GNeta = 40 – 8 =32 soles
De la ganancia 
(bruta), se descuenta 
los gastos y está 
quedando la 
ganancia neta.
•	 En	la	venta	de	un	producto	se	pierde	el	20%	del	precio	de	venta.	¿Qué	porcentaje	del	precio	
de	costo	se	está	perdiendo?
	 C	=	Costo
 P = Pérdida (ganancia negativa) = 20%V
 V = Venta
	 C	–	Pérdida	=	V	⇒	 C	–	20%V	=	V
	 	 C	=	120%	V
 
C
V 
=
 
6
5
	 C	=	6k	y	V	=	5k,	entonces:	pérdida	=	k
 
Porcentaje de pérdida: k
6k 
× 100 = 16,6%
La pérdida (P) es una 
ganancia negativa, así:
C	–	Pérdida	=	V
 Relación de venta, descuento y lista
 Los comerciantes para mejorar sus ventas, ofrecen descuentos, por ello se genera los precios de venta 
y lista (marca o fijado).
 V: Precio de venta
 L: Precio de lista
 D: Descuento
L – D = V
2Aplicaciones de porcentaje
UNIDAD 7Central: 619-8100 183
Ejemplos:
•	 Una	camisa	tiene	un	precio	fijado	en	S/.	80,	pero	los	clientes	tienen	una	rebaja	del	20%.	¿Cuál	
es	el	precio	de	venta?
 L = 80
 D = 20%
	 V	=	?
 V = L – D
 V = 80 – 20%(80) = 64 soles
Por defecto, el descuento 
es un porcentaje del 
precio de Lista.
•	Descuento	15%
⇒ L – 15%L = V
•	 Alex	va	a	una	tienda	muy	conocida	para	comprar	un	pantalón	y	le	ofrecen	dos	descuentos	
sucesivos	del	20%	y	20%.	Si	Alex	paga	S/.	32,	¿cuánto	está	ahorrando	en	esta	compra?
	 L	=	?
 
D = 20% + 20% ⇒ (20 + 20 – 20 × 20
100
)% = 36%
 V = 32 soles
 L – 36%L = V
 
⇒
 
64% L = 32
 
⇒
 
L = 50
Cuando	los	descuentos	
son sucesivos se 
recomienda usar su 
equivalente:
(a + b – a . b
100
)%
Síntesis teórica
APLICACIoNES DE PoRCENtAjE
 Lista – Descuento = Venta
 PL – Descuento = PV
•	 Ejemplo:
 Descuento = 15%
 PL – 15%PL = PV0,85PL = PV
	 Costo	+	Ganancia	=	Venta
 PC + Ganancia = PV
•	 Ejemplo:
 Ganancia = 20%
 PC + 20%PC = PV
 1,2PC = PV
Ingreso	=	Cantidad	.	Precio
Cantidad	=	Demanda
Precio = Oferta
•	 Ejemplo:
 20 artículos a S/. 5 cada uno
 Ingreso = 20 . 5 = 100 soles
Al precio de lista también se le llama precio de marca o fijado
Por defecto:
La ganancia es un porcentaje del costo.
Ganancia neta = Ganancia bruta – Gastos
La pérdida es una ganancia negativa.
Aritmética
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Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. Completa	la	tabla:
DEMANDA
# artículos
PRECIo
Soles c/u
INGRESo
Soles
200 6
5,5 2 200
800 3 200
2. Completa	la	tabla:
CoSTo GANANCIA VENTA
200 146
55 220
1 250 2 200
3. Un producto que costó S/. 32, se vende en 
S/.	40.	¿Qué	porcentaje	del	costo	es	la	ganancia?
4. Completa	la	tabla:
LISTA (S/.) DESCUENTo	(S/.) VENTA (S/.)
200 60
55 220
250 230
5. En la farmacia, un medicamento se vende con 
una rebaja del 15%. Si este medicamento cues-
ta S/. 240 (precio de lista), ¿cuánto se pagará por 
el	medicamento?
Aprende más
1. El precio de venta de un televisor es de S/. 506. 
Si la ganancia es el 15%, ¿cuánto se gana en 
esta	venta?
2. El precio de costo de una lavadora es de S/. 340. 
Si la ganancia es el 15% del precio de venta, 
¿cuánto	se	gana	en	esta	venta?
3. El precio de venta de una computadora es de 
S/. 1 200. Si la ganancia es el 20% del precio de 
costo más el 20% del precio de venta, ¿cuánto 
se	gana	en	esta	venta?
4. Si en la venta de un artículo se gana el 20% del 
precio de venta, ¿qué porcentaje del precio de 
costo	se	gana?
5. Si en la venta de un producto se gana el 17% del 
precio de costo más el 10% del precio de venta, 
¿qué	porcentaje	del	precio	de	costo	se	gana?
6. Si la cantidad de artículos vendidos aumentan 
en 20% y el precio de cada artículo disminuye 
en	20%,	¿en	qué	porcentaje	varían	los	ingresos?
7. Un comerciante ha fijado sus precios para la 
venta en S/. 2 500. Si al momento de las ventas 
se ofrece dos descuentos sucesivos del 20% y 
10%,	¿a	qué	precio	vende	los	productos?
8. Una filmadora Panasonic sufre una deprecia-
ción	 del	 15%	 por	 cada	 año	 de	 uso,	 respecto	
al	precio	que	tuvo	al	comenzar	cada	año.	Si	al	
cabo	de	dos	años	se	cotiza	en	$	1	156,	¿cuál	fue	
el	precio	de	la	filmadora	nueva?
9. Un fabricante reduce en 25% el precio de venta 
de sus artículos. ¿En qué porcentaje debe incre-
mentar su volumen de ventas, para que sus in-
gresos	aumenten	en	20%?
10. Alex vendió dos bicicletas a $ 180 cada una. Si 
en una de ellas ganó el 20% del precio de costo 
y en la otra perdió el 20% del precio de costo, 
¿cuánto	ganó	o	perdió	en	este	negocio?
11. Una computadora se vendió en $ 1 200, ganan-
do	el	15%	del	precio	de	venta.	 ¿Cuál	 sería	el	
precio de venta, si se quiere ganar el 15% del 
precio	de	costo?
12. Una inmobiliaria vendió un terreno en $ 12 000 
ganando el 20% del precio de costo más el 15% 
del precio de venta. Hallar el precio de costo 
del terreno.
13. Si al vender una refrigeradora se gana el 30% 
del precio de venta, ¿qué porcentaje del precio 
de	costo	se	está	ganando?
2Aplicaciones de porcentaje
UNIDAD 7Central: 619-8100 185
14. ¿A qué precio de venta se debe fijar un DVD 
cuyo costo es $ 300, sabiendo que se va a hacer 
una rebaja del 10% y aún así se gana el 20% del 
precio	de	costo?
15. Un comerciante rebajó el precio de venta de su 
mercadería en un 20%. Si sus ventas aumenta-
ron en un 40%, ¿en qué porcentaje aumentaron 
sus	ingresos?
16. Un trabajador observa que su salario ha sido 
descontado	en	un	20%.	¿Cuál	debe	ser	el	por-
centaje de aumento para que reciba su salario 
original?
¡Tú puedes!
1. En una universidad particular, el departamento de Servicio Social, decide rebajar las pensiones de 
enseñanza	a	los	estudiantes	de	menores	recursos	económicos	en	un	20%	y	aumentar	en	un	30%	al	
resto. Si el monto total de las pensiones queda disminuido en un 10% con esta política, ¿qué tanto 
por ciento de la pensión total representará la pensión pagada por los estudiantes de menores recursos 
económicos?
a) 50% b) 80% c) 82% d) 85% e) 79%
2. Un vendedor adquirió un lote de cuadernos y vendió la tercera parte ganando el 20% sobre el precio 
de compra. Luego vendió la sexta parte del resto perdiendo el 25% sobre el precio de venta. Si en es-
tas dos ventas le han dado una ganancia de S/. 2 760 menos que el costo del lote sobrante, determine 
cuánto pagó el comerciante por el lote de cuadernos.
a) S/. 8 730 b) 2 560 c) 5 400 d) 7 200 e) 3 900
3. Se fija el precio de un artículo aumentando en "a%" su precio de costo. Si al venderlo se hace un des-
cuento equivalente al 25% de su precio de costo y se observa que la ganancia es el 20% del precio de 
venta, calcule el valor de "a".
a) 50 b) 28 c) 60 d) 32 e) 70
4. Una persona venderá un juego de muebles otorgando dos descuentos sucesivos del 7,5% y 4%, y aún 
así ganará el 20% fijado. Si esta persona había comprado los muebles en la fábrica con un descuento 
del 12,5% del precio de lista, ¿cuánto gana en la venta, sabiendo que el precio fijado excede al precio 
de	lista	en	S/.	902?
a) S/. 350 b) 275 c) 375 d) 340,75 e) 425
5. Alex vende pescado ganando el 30% de su costo entre las 5 am y las 8 am; el 10% entre las 8 am y 
las 10 am y perdiendo el 15% a partir de este último lapso. Si en un día ganó el 5% de lo invertido y 
sabiendo que vendió el 40% de su mercancía antes de las 8 am, ¿qué tanto por ciento de lo comprado 
se	tuvo	que	vender	a	pérdida?
a) 60% b) 50% c) 52% d) 54% e) 45%
Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe186
Practica en casa
18:10:45
1. El precio de costo de un horno microondas es 
$ 180. Si se vendió en $ 240, ¿qué porcentaje 
del	precio	de	venta	se	ganó?
2. Al vender una cocina eléctrica en 775 dóla-
res	 se	 ganó	 el	 24%.	 ¿Cuál	 fue	 su	 precio	 de	
costo?
3. El precio de costo de una máquina panificadora 
es 47 500 dólares. Si se quiere ganar el 24% del 
precio	de	venta,	¿a	cuánto	se	debe	vender?
4. Si un comerciante gana el 35% del precio de 
costo, ¿qué porcentaje del precio de venta está 
ganando?
5. El precio de costo de una lavadora es S/. 6 800. 
Si la ganancia es el 15% del precio de venta, 
¿cuánto	se	gana	en	esta	venta?
6. El precio de venta de una computadora es de 
S/. 1 200. Si la ganancia es el 25% del precio de 
costo más el 25% del precio de venta, ¿cuánto 
se	gana	en	esta	venta?
7. Si en la venta de un artículo se gana el 25% del 
precio de venta, ¿qué porcentaje del precio de 
costo	se	gana?
8. Si en la venta de un producto se gana el 25% 
del costo más el 20% de la venta, ¿qué porcen-
taje	del	precio	de	costo	se	gana?
9. Si la cantidad de artículos vendidos aumentan 
en 40% y el precio de cada artículo disminuye 
en	30%,	¿en	qué	porcentaje	varían	los	ingresos?
10. Si los precios de cada producto disminuyen en 
4%, ¿en qué porcentaje deben aumentar las 
ventas	para	que	el	ingreso	aumente	en	44%?
11. Un comerciante ha fijado sus precios para la 
venta en S/. 2 500. Si al momento de las ventas 
se ofrece dos descuentos sucesivos del 20% y 
30%,	¿a	qué	precio	vende	los	productos?
12. Un fabricante reduce en 25% el precio de venta 
de sus artículos. ¿En qué porcentaje debe incre-
mentar su volumen de ventas, para que sus in-
gresos	aumenten	en	50%?
13. Alex vendió dos bicicletas a $ 120 cada una. Si 
en una de ellas ganó el 20% del precio de costo 
y en la otra perdió el 20% del precio de costo, 
¿cuánto	ganó	o	perdió	en	este	negocio?
14. Pedro tiene una casa que vale S/. 100 000 y 
se la vende a Beto con una ganancia del 10%. 
Beto le revende la casa a Pedro con una pérdida 
del	10%.	¿Cuánto	ganó	o	perdió	Pedro?
15. Al vender un objeto ganando el 30% del precio 
de costo segana S/. 60 más que si se vendiera 
ganando	el	20%	del	precio	de	venta.	 ¿Cuánto	
cuesta	el	objeto?
3regla de interés
UNIDAD 7Central: 619-8100 187
regla de interés
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	definir	el	interés	simple	y	realizar	sus	cálculos	respectivos
•	 A	interpretar	el	interés	simple	dándole	el	contexto	real.
•	 A	expresar	matemáticamente	y	adecuadamente	los	enunciados	vinculados	al	interés	sim-
ple.
•	 A	utilizar	el	lenguaje	correcto	para	leer	enunciados	de	interés	simple.
•	 A	resolver	problemas	que	involucren	interés	simple.
Si vas a endeudarte, opta por un préstamo
No hay que tener miedo a endeudarse, a lo que hay que temer es a pedir dinero sin un propósito de-finido, y a solicitar más de lo que se pueda pagar. Puede ser más cómodo comprar usando tarjeta, pero si planificas un poco puedes encontrar un préstamo personal con tasas mucho más baratas.
Un simple consejo para tomar un préstamo bueno, bonito y barato "No compre a plazos con su tarjeta de 
crédito, pida más bien un préstamo personal".
Bancos Financieras Cajas municipales
Empresa tarjeta Préstamo* Empresa tarjeta Préstamo* Entidad Préstamo*
Continental 48,63 19,38 Crediscotia 67,49 46,48 Arequipa 26,23
Comercio 27,24 14,25 TFC ------ 89,86 Cusco 27,42
Crédito 28,79 17,39 Edyficar ------ 58,52 Del Santa 34,61
Financiero --- 36,32 Crear ------ 64,45 Huancayo 35,98
BIF 30,00 18,54 Confianza ------ 50,54 Ica 30,00
Scotiabank 22,66 ------ Universal ------ ------ Maynas 28,49
Citibank 43,57 ------ Uno 73,93 ------ Paita 135,99
Interbank 48,45 19,64 Efectiva ------ 83,91 Pisco 42,65
Mibanco 57,76 50,04 Financiera ------ ------ Piura 15,45
HSBC 36,18 17,75 Sullana 46,64
Falabella 53,59 ------
* Préstamos no revolventes para libre dis-
ponibilidad hasta 360 días
Tacna 21,84
Ripley 58,86 36,44 Trujillo 30,02
Azteca 213,31 155,30 Lima 12,87
FUENTE: INEI. DTDES. "Proyecciones de Población del Perú, 1950 – 2050". Marzo 2009.
•	 Del	consejo	que	se	da,	¿consideras	que	tiene	sustento	lógico?
•	 Si	debes	tomar	un	préstamo,	¿qué	tipo	y	en	qué	entidad	lo	pedirías?
Aritmética
TRILCE
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Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números:
1 2 3 4 5
6 7
8 9
10 11 12 13
14 15 16 17
18 19 20 21
22 23
Horizontal:
1. 25% de 456
3. Menor número de cuatro cifras diferentes
6. Trece docenas
7. Una gruesa
8. Cubo	de	7
9. Si a 800, se le aumenta el 15%, se obtiene:
10. 900 más su 5% es:
12. Décima parte en porcentaje:
13. Una hora (en minutos)
14. El triple de 2 784
16. Número capicúa de tres cifras
18. 80% de 90
19. Cubo	de	6
21. 45% de 120
22. Cuadrado	de	80
23. Cuadrado	de	22
Vertical: 
1. 12% de 1 025
2. La mitad de 906
3. Número cuadrado perfecto de tres cifras
4. Un día (en horas)
5. ¿24%	de	qué	número	es	828?
6. Una gruesa
7. Factorial	de	5
10. Mayor número de cuatro cifras diferentes
11. El resultado de sumar del 1 hasta el 10
12. Cuadrado	de	11,	multiplicado	por	10
13. Cuarta	potencia	de	5
15. Número cuadrado perfecto de tres cifras
17. Una gruesa
3regla de interés
UNIDAD 7Central: 619-8100 189
Conceptos básicos
Regla de interés
Las	entidades	financieras	(Bancos,	AFP,	Cajas	Municipales,	etc.)	se	dedican	a	prestar	y	recibir	dinero,	el	
cual en un cierto tiempo genera una ganancia.
Elementos de la regla de interés
Los elementos que participan en la regla de interés son:
Capital
Es la cantidad de dinero o recurso que genera una ganancia al transcurrir un tiempo.
 tiempo de imposición
 Es el tiempo donde el capital permanece para generar una ga-
nancia.
Ejemplos:
 1 semestre = 6 meses = 180 días
 1 trimestre = 3 meses = 90 días
	 1	año	=	12	meses	=	360	días
Comercialmente	se	
considera:
•	30	días	=	1	mes
•	12	meses	=	1	año
•	1	año	=	360	días
 tasa de interés
 Es el porcentaje o fracción del capital que representa la ganancia en un periodo de tiempo.
Ejemplos:
Interprete las siguientes tasas de interés:
•	 12%	anual
	 Esta	tasa	indica	que	el	interés	o	ganancia	será	del	12%	del	capital	cada	año.
•	 15%	semestral
 Esta tasa indica que el interés o ganancia será del 15% del capital cada seis meses.
•	 21%	trimestral
 Esta tasa indica que el interés o ganancia será del 21% 
del capital cada tres meses.
•	 0,25	cuatrimestral
 Esta tasa indica que el interés o ganancia será del 
0,25 = 1
4 
del capital cada cuatro meses.
Cuando	la	tasa	solo
menciona el 
porcentaje, se 
considera tasa anual.
20% = 20% anual
 Interés
 Es la ganancia, rédito o renta que genera un capital después de un tiempo a una determinada tasa de 
interés.
Monto
 Es el nuevo capital o también en cuanto se convierte el capital después de un determinado tiempo.
 M	=	C	+	I
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Ejemplos:
•	 Si	un	capital	de	S/.	2	200	en	dos	meses	ha	ganado	S/.	550,	¿cuál	es	el	monto?
	 Como:
C	=	2	200
I = 550
M	=	?
M = 2 200 + 550 = 2 750
•	 La	renta	anual	de	un	capital	es	de	S/.	120.	¿Cuál	es	el	capital,	si	el	monto	es	de	S/.	2	300?
	 Como:
C	=	?
I = 120
M = 2 300
	2	300	=	C	+	120
	 C	=	2	180
•	 Si	después	de	un	trimestre	S/.	2	230	se	ha	convertido	en	S/.	2	430,	¿cuál	es	el	interés	generado	
por	dicho	capital?
	 Como:
C	=	2	230
I	=	?
M = 2 430
 2 430 = 2 230 + I
 I = 200
Clases de interés
 Interés simple
 Para todo periodo de tiempo, el capital permanece constante, así el interés será constante.
 Fórmula
	 Si	 la	 tasa	 (R%)	 y	 el	 tiempo	 (t)	
están en las mismas unidades:
 I	=	C	×	R%	×	t
Capital:	 C	(constante)
Interés: I + I + I = 3I
Monto:	 M	=	C	+	3I
C C C
I I I
 Ejemplos:
•	 Un	 capital	 de	 S/.	 2	 000	 se	 presta	 al	 1,5%	
mensual	durante	8	meses.	¿Cuál	es	el	 inte-
rés?
	 Como	la	tasa	y	el	tiempo	están	en	las	mismas	
unidades:
 I = (1,5% . 2 000) . 8 = 240
Si la tasa y el tiempo no
tienen las mismas unidades, 
será necesario homogenizar:
•	12%	anual	=	1%	mensual
•	6%	trimestral	=	2%	mensual
•	3%	bimestral	=	18%	anual
•	 Un	capital	de	S/.	2	500	se	presta	al	12%	trimestral	durante	5	meses.	¿Cuál	es	el	interés?
 La tasa y el tiempo no tienen las mismas unidades (homogenicemos)
	 R	=	12%	trimestral	(en	tres	meses)	=	4%	mensual
 I = (4% . 2 500) . 5 = 500
•	 Un	capital	de	S/.	3	500	se	presta	al	8%	mensual	durante	225	días.	¿Cuál	es	el	interés?
 La tasa y el tiempo no tienen las mismas unidades (homogenicemos)
 t = 225 días = 225
30
 = 15
2
 meses
 I = (8% . 3 500) . (15
2
) = 2 100
3regla de interés
UNIDAD 7Central: 619-8100 191
Interés compuesto
 Después de un periodo de tiempo, se determina el monto y este se convierte en el capital para el próxi-
mo periodo, y así sucesivamente se va aumentando el capital.
 
Capital:	 C
Interés: I1 + I2 + I3
Monto:	 M	=	C	+	I1 + I2 + I3
C C	+	I1 C	+	I1 + I2
I1 I2 I3
 Fórmula
	 Si	la	tasa	(R%)	y	el	tiempo	(t)	están	en	las	mis-
mas unidades que el periodo de capitalización:
 M	=	C	×	(1	+	R%)
t
La capitalización indica
el periodo al término 
del cual se agregan los 
intereses al capital. La 
capitalización puede ser:
Anual, semestral, diaria, etc.
 Ejemplos:
•	 Si	S/.	2	000	se	depositan	al	10%	anual	durante	2	años,	con	una	capitalización	anual,	¿cuál	será	
su	interés?
 M = 2 000(1 + 10%)2 = 2 420 ⇒ El interés es 420 soles
•	 Si	depositamos	S/.	2	500	al	16%	anual	durante	9	meses,	con	una	capitalización	trimestral,	
¿cuál	será	su	interés?
 16% anual = 4% trimestral
 9 meses = 3 trimestres
 M = 2 500(1 + 4%)3 = 2 812,16 ⇒ El interés es 312,16 soles
 Interés continuo
 Es un interés compuesto, donde el periodo de capitalización es al instante.
 Fórmula
	 Si	la	tasa	(R%)	y	el	tiempo	(t)	están	en	las	mismas	unida-
des:
 M	=	C	×	e
R%t
"e" esla constante de 
Neper, su valor es:
e = 2,718281...
Fórmulas adicionales (utilizadas comercialmente)
R%	anual
"t"	años	
⇒ I =
 
CRt
100
Estas fórmulas son 
para el interés 
simple, cuando la 
tasa es anual.
R%	anual
"t" meses 
⇒ I =
 
CRt
1 200
R%	anual
"t" días
⇒ I =
 
CRt
36 000
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Síntesis teórica
REGLA DE INtERÉS
Elementos
Capital	=	C
Tasa	de	interés	=	R%
Tiempo de imposición = t
Se determina:
Interés = I
Monto = M
M	=	C	+	I
I =
 
R	.	C	.	t
100
I =
 
R	.	C	.	t
1 200
I =
 
R	.	C	.	t
36 000
Interés continuo
M	=	C	×	eR%t
M	=	C	×	(1	+	R%)tI	=	C	×	R%×	t
Si:	R%	anual	y	"t"	en	años
Si:	R%	anual	y	"t"	en	
meses Si:	R%	anual	y	"t"	en	días
Interés compuestoInterés simple
La tasa y el tiempo 
deben tener las mismas 
unidades de tiempo que 
la capitalización
Si la tasa y el tiempo están 
en las mismas unidades 
de tiempo
Clases	de	interés
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. Complete	la	siguiente	tabla:
Capital Interés Monto
2 000 2 180
312 1 800
4 200 256
2. Si el interés generado por un capital durante un 
mes es S/. 250, entonces:
•	 El	interés	de	dos	meses	es:
•	 El	interés	de	un	semestre	es:
•	 El	interés	de	un	año	es:
3. En la tabla se tiene el capital y la tasa, determina 
el interés respectivo:
Capital Tasa de interés Interés
2 000 10% anual De	dos	años
3 000 20% anual De	tres	años
4. En la tabla se tiene el capital y la tasa, determina 
el interés respectivo:
Capital Tasa de interés Interés
6 000 10% anual De 6 meses
1 500 20% anual De 2 meses
5. Calcular	el	interés	generado	por	S/.	2	400	que	
ha sido depositado al 15% anual durante 8 me-
ses.
3regla de interés
UNIDAD 7Central: 619-8100 193
Aprende más
1. Calcular	el	interés	simple	producido	por	30	000	
soles durante 90 días a una tasa de interés anual 
del 5 %.
2. ¿Cuál	 es	 el	 interés	 que	produce	un	 capital	 de	
S/.	4	000	que	estuvo	impuesto	durante	1	año	y	
3	meses	al	2%	mensual?
3. ¿Qué interés produce un capital de S/. 3 600, 
que	se	coloca	al	12%	anual	por	4	bimestres?
4. Determinar el interés generado al depositar 
S/.	3	600	al	5%	trimestral	durante	1	año.
5. ¿Cuál	es	el	capital	que	al	4%	anual	y	durante	10	
meses	ha	producido	un	interés	de	S/.	12?
6. Determina el capital final de 6 000 soles me-
diante	capitalización	simple	dentro	de	dos	años	
y medio, sabiendo que el tipo de interés simple 
anual es del 5%.
7. Calcula	el	capital	que	impuesto	al	3%	de	interés	
simple anual, se ha convertido en 4 meses en 
S/. 2 020.
8. ¿Cuál	es	el	interés	producido	por	un	capital	de	
4 000 soles prestado a un interés simple anual 
del	2,5%	durante	dos	trimestres?
9. Calcular	el	interés	que	genera	S/.	4	000	durante	
un	año	a	una	tasa	del	20%	anual,	si	se	capitaliza	
semestralmente.
10. Determina el interés que genera S/. 2 500 du-
rante 9 meses, si la tasa es del 20% trimestral y 
la capitalización es trimestral.
11. Un capital se deposita al 24% anual y al cabo 
de	6	meses	se	convierte	en	S/.	5	618.	¿Cuál	es	el	
capital,	si	la	capitalización	fue	trimestral?
12. Un capital se deposita al 5% mensual y al cabo 
de	6	meses	se	convierte	en	S/.	5	290.	¿Cuál	es	el	
capital,	si	la	capitalización	fue	trimestral?
13. Un capital se deposita al 2% mensual y al 
cabo de 8 meses, el interés es de S/. 2 080. 
¿Cuál	es	el	capital,	si	la	capitalización	fue	cua-
trimestral?
14. Si a un capital se le agrega su interés producido 
en 10 meses, se obtiene un número que es al 
capital como 21 es a 20. Hallar la tasa de interés 
anual.
15. Se ha colocado los 3/8 de un capital al 8% anual 
y	el	resto	al	6%	anual.	Si	al	cabo	de	medio	año,	
el capital más el interés total suman S/. 41 350, 
¿cuál	es	la	suma	depositada	al	6%?
16. Dos hermanos heredan $ 140 000. El mayor 
coloca su parte al 7% anual y el menor al 4% 
anual.	Si	al	cabo	de	veinte	años	sus	capitales	se	
igualaron, ¿qué parte de la herencia le corres-
pondió	al	hermano	mayor	inicialmente?
¡Tú puedes!
1. Un capital se divide en partes proporcionales a: 1; 2; 3; 4; ... imponiéndose por separado a tasas del 
2%;	3%;	4%;	5%;	...	mensuales	durante	3;	4;	5;	...	meses	hasta	un	año	respectivamente,	obteniéndose	
una renta total de S/. 4 290. Si dicho capital inicial se hubiera prestado a una tasa del 60% capitaliza-
ble cuatrimestralmente, donde después de cada periodo se retira S/. 600, calcule cuánto se recibiría 
después del tercer periodo, en que es cancelado el préstamo.
a) S/. 7 290 b) 9 700 c) 3 280 d) 8 640 e) 4 200
2. Una persona se presta S/. 7 200 de una financiera, la cual le cobra una tasa del 6,25% mensual, capi-
talizable cuatrimestralmente sobre el saldo deudor correspondiente. Si después de 4 meses amortiza 
"N" soles y luego de 4 meses más "2N" soles, y finalmente después de 4 meses "4N" soles más, calcule 
el valor de "N", si a los 16 meses de ejecutado el préstamo, la deuda ascendía a S/. 300 más que el 
préstamo inicial.
a) 500 b) 1 000 c) 600 d) 800 e) 900
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3. Un capital de S/. 1abc se divide en tres partes enteras iguales, las cuales se imponen al r1%; r2% y r3% 
de interés simple durante un mismo tiempo, siendo los intereses proporcionales a los números "a", "b" 
y "c" respectivamente. Halle el interés que produce el capital, si se impone a una tasa que es la menor 
diferencia	de	dos	de	las	anteriores	durante	5	años,	si	se	sabe	además	que	la	suma	de	las	tasas	es	51%	
y el capital es par y cubo perfecto.
a) S/. 300,20 b) 259,20 c) 258,30 d) 260,20 e) 257,20
4. Erick	deposita	S/.	1	000	al	Banco	que	le	paga	el	20%	capitalizable	anualmente	durante	2	años.	Pero	si	
hubiera invertido en un negocio que le rinda al r% durante el mismo tiempo hubiera ganado S/. 600 
más.	otro	capital	de	S/.	36	000	estuvo	impuesto	durante	un	número	de	años,	meses	y	días.	Por	los	años	
se	abonó	al	(r/13)%,	por	los	meses	al	(r/4)%	y	por	los	días	al	r%.	Calcule	el	interés	producido	por	este	
último capital, sabiendo que si se hubiera impuesto durante todo el tiempo al n% habría producido 
S/. 8 640 más que si se hubiera tenido al (n – 5)% durante todo el tiempo.
a) S/. 11 602 b) 20 106 c) 10 206 d) 140 780 e) 21 304
5. Los	2/5	de	un	capital	se	prestan	al	10%	de	interés	simple	durante	4	años	y	3	meses,	obteniéndose	
S/. 7 280 menos de ganancia que la producida por el capital restante colocado en un negocio que 
producirá	el	12%	anual	durante	3	años.	Determine	el	capital.
a) S/. 170 000 b) 175 000 c) 160 000 d) 150 000 e) 340 000
Practica en casa
18:10:45
1. Carlos	depositó	S/.	4	500	en	el	Banco	a	una	tasa	
mensual	del	3%.	¿Cuánto	ganará	en	4	meses?
2. ¿Qué interés produce S/. 2 000, si se impone 
durante	6	meses	a	una	tasa	del	5%	mensual?
3. Calcular	 el	monto	 que	 produce	 un	 capital	 de	
S/. 4 000 impuesto al 2% mensual, durante 8 
meses.
4. Un capital se deposita en un Banco que paga 
5%	 trimestral.	 ¿Cuál	 es	 el	 capital,	 si	 el	monto	
anual	obtenido	es	S/.	600?
5. ¿Qué ganancia produce S/. 2 500 durante 40 
días, si la tasa a la que fue depositada es del 
18%	semestral?
6. Calcular	 a	 cuánto	 asciende	 el	 interés	 simple	
producido por un capital de 2 500 soles inver-
tido	durante	4	años	a	una	tasa	del	6	%	anual.
7. S/. 45 000 impuestos al 15% cuatrimestral du-
rante 16 meses producen un interés de:
8. ¿En cuánto se convierte S/. 35 350 al 6% quin-
cenal	durante	4	quincenas?
9. Un capital impuesto al 20% trimestral de inte-
rés simple se convirtió al cabo de 6 meses en 
S/.		49	700.	¿Cuál	fue	el	capital?
10. Determina el interés que genera S/. 20 000 du-
rante 9 meses, si la tasa es del 20% trimestral y 
la capitalización es trimestral.
11. Determina el interés que genera S/. 40 000 du-
rante 9 meses, si la tasa es del 22%trimestral y 
la capitalización es semestral.
12. Un capital se deposita al 24% anual y al cabo 
de	6	meses	se	convierte	en	S/.	28	090.	¿Cuál	es	
el	capital,	si	la	capitalización	fue	trimestral?
13. ¿Qué capital se debe depositar al 15% de inte-
rés anual, para que se convierta en S/. 6 500 a 
los	2	años?
14. Un capital fue depositado al 5% mensual y pro-
duce un interés de S/. 800 en 4 meses. ¿Qué 
interés producirá el mismo capital a una tasa del 
3%	semestral	en	6	meses?
15. Un préstamo de S/. 20 000 se convierte al cabo 
de	un	año	en	S/.	22	400.	¿Cuál	es	la	tasa	anual	
de	interés	cobrada?
4repaso
UNIDAD 7Central: 619-8100 195
repaso
Aprende más
1. ¿Qué	porcentaje	de	5/6	es	1/2?
2. Aumentar "N" en 40% y al resultado disminuir-
le su 20%. Entonces tendríamos:
3. Alex depositó S/. 4 500 en el Banco a una tasa 
mensual	del	3%.	¿Cuánto	ha	ganado	en	4	me-
ses?
4. Se deposita en un Banco S/. 2 500 a una tasa 
quincenal del 0,6%. ¿Qué interés habrá produ-
cido	en	5	quincenas?
5. ¿Cuál	es	el	porcentaje	de	descuento	equivalen-
te a tres descuentos sucesivos del 10%; 20% y 
25%?
6. Calcular	el	interés	que	genera	S/.	4	000	durante	
18 meses a una tasa del 20% anual, si se capita-
liza semestralmente.
7. Determina el interés que genera S/. 8 000 du-
rante 9 meses, si la tasa es del 20% anual y la 
capitalización es trimestral.
8. Al sueldo de un empleado se le hace un aumen-
to	del	20%	al	comenzar	el	año	y	en	el	mes	de	
Julio	un	aumento	del	10%	sobre	el	total.	¿Qué	
porcentaje	 del	 sueldo	 del	 año	 anterior,	 estará	
recibiendo	en	Agosto?
9. Cierta	 parte	 de	 una	mercadería	 se	 vende	 per-
diendo el 8% y el resto se vende con una ga-
nancia del 7%. ¿Qué parte del total se vendió 
primero,	si	en	total	se	ganó	el	4%?
10. ¿Qué capital se debe depositar al 15% de inte-
rés anual para que se convierta en S/. 6 500 a 
los	dos	años?
11. Se vende un artículo recargándose el a% del 
precio de costo, pero en el momento de com-
prarlo se rebajó el b%. Halle el valor de "b", si 
no se ganó ni perdió.
12. Un	capital	se	deposita	durante	un	año.	La	tasa	
es del 15% trimestral y la capitalización es se-
mestral. Si el monto obtenido es S/. 8 450, ¿cuál 
es	el	capital?
13. Un capital se deposita al 20% anual y al cabo 
de	6	meses	produce	un	interés	de	S/.	205.	¿Cuál	
es	el	capital,	si	la	capitalización	fue	trimestral?
14. Al vender un terreno gané el 19% de lo que 
me costó más el 15% del precio de venta. ¿Qué 
tanto	por	ciento	del	costo	estoy	ganando?
15. Si el interés producido por un capital en 8 me-
ses equivale a un cuarto del capital, ¿cuál es la 
tasa	de	interés	anual	a	la	cual	fue	depositada?
16. El precio de una moto es $ 2 600. Si Alex tiene 
solo $ 2 400, ¿qué tiempo deberá depositar este 
dinero a una tasa del 4% mensual para que se 
pueda	comprar	la	moto?
17. Se vende 100 manzanas, una parte ganando el 
30% y el resto perdiendo el 20%. Si al final no 
se gana ni se pierde, ¿cuántas manzanas se ven-
dieron	con	ganancia?
18. Diana cuando va al mercado gasta 1/7 de su di-
nero en verduras, la mitad del resto en pollo y 
el 30% de lo que le queda en carne, sobrándole 
S/.	600.	¿Cuánto	dinero	lleva	al	mercado?
19. Una empleada de una tienda, en lugar de ha-
cer dos descuentos sucesivos del 20% y del 
30% hizo un descuento del 20% del 30% del 
precio fijado, por lo cual el cliente le reclamó 
S/.	1	045.	¿Cuál	era	el	precio	fijado?
20. ¿Cuánto	tiempo	debe	ser	colocado	un	capital	al	
25%	anual,	para	que	se	triplique?
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¡Tú puedes!
1. Un capataz cobra S/. 800 por cavar una zanja y obtiene una utilidad del 15% de dicha suma y el resto 
lo emplea en el pago de los obreros. Si hubiera contratado una máquina que reemplazaría a los obre-
ros, esta se demoraría los 8/17 del tiempo anterior, pero la máquina exige gastos que elevan en 20% 
el	costo	de	la	mano	de	obra.	¿Cuál	será	su	utilidad,	si	emplearía	la	máquina?	Considere	que	el	sueldo	
de los obreros es proporcional al tiempo trabajado.
a) S/. 420 b) 360 c) 418 d) 518 e) 312
2. Diana tiene S/. 172,10 y quiere comprarse simultáneamente un artefacto cuyo precio es de S/. 150 y 
otro artefacto de "segunda" cuyo costo actual es S/. 40. El primer artefacto aumenta su costo en 20% 
cada	año	debido	a	la	inflación,	mientras	que	el	otro	sufre	una	depreciación	del	5%.	Luego	de	haber	
invertido	su	dinero	en	un	negocio	por	2	años,	logra	adquirir	ambos	artefactos.	¿Qué	tanto	por	ciento	
mínimo	de	utilidad	anual,	le	produjo	dicho	negocio,	si	es	una	cantidad	entera?
a) 20% b) 13% c) 10% d) 18% e) 40%
3. Para fijar el precio de venta de un artículo se aumentó su costo en un 25%. Al vender dicho artículo 
se rebaja x% y luego S/. x, pagándose por él S/. 7 980. Pero si se rebaja S/. x y luego x% se pagaría 
S/.	7	984.	¿Cuál	es	su	precio	de	costo?
a) S/. 6 500 b) 7 900 c) 8 200 d) 8 000 e) 9 500
4. Al desinflarse una pelota se observa que la sombra que proyecta sobre el piso disminuye en 36%. De-
termine en qué tanto por ciento disminuye su volumen, si se desinfla de manera homogénea.
a) 52,75% b) 62,5% c) 48,8% d) 57,8125% e) 37,5%
Practica en casa
18:10:45
1. Si	Carlos	gasta	el	30%	del	dinero	que	 tiene	y	
luego gana el 28% de lo que le queda, aún pier-
de	S/.	1	560.	¿Cuánto	tiene	Juan?
2. Un capital se deposita al 5% mensual y al cabo 
de	6	meses	se	convierte	en	S/.	5	290.	¿Cuál	es	el	
capital,	si	la	capitalización	fue	trimestral?	
3. Un capital fue depositado al 5% mensual y pro-
duce S/. 8 000 en 4 meses. ¿Qué interés produ-
cirá el mismo capital a una tasa del 3% semes-
tral	en	8	meses?
4. Los 2/3 de un capital se imponen al 8% anual y 
el	resto	al	2,5%	trimestral.	Si	al	cabo	de	2	años	
el interés es de S/. 6 240, hallar el capital origi-
nal.
5. Si el volumen inicial de un cubo aumentó en 
72,8%; ¿en qué tanto por ciento aumentó su 
área	total?
6. Hallar un descuento único que reemplace a los 
descuentos sucesivos del 15% y 25% sobre una 
cierta cantidad.
7. Si la base de un triángulo disminuye en su 30% 
y la altura aumenta en 10%, ¿en qué tanto por 
ciento	varía	el	área?
8. Hallar un número de tres cifras, tal que al inver-
tir el orden de sus cifras y agregarle la unidad, 
aumente en un 100% de su valor.
9. ¿Cuál	es	la	suma	que	al	5%	de	interés	anual	se	
convierta	en	tres	años	en	S/.	3	174?
10. Un capital se presta al 50%, ¿en qué tiempo 
produce	el	25%	del	monto?
11. Si al vender una refrigeradora en S/. 600 estoy 
perdiendo el 20%, ¿a cuánto debo venderla 
para	ganar	el	20%?
4repaso
UNIDAD 7Central: 619-8100 197
12. De un grupo de 300 personas, el 40% son hom-
bres. Si se retira la mitad de los hombres, enton-
ces el nuevo porcentaje de mujeres será:
13. ¿A qué precio se debe ofrecer un equipo de 
sonido que costó S/. 850, si se quiere ganar el 
20%, luego de realizar dos descuentos sucesi-
vos	del	20%	y	15%?
14. El precio de un pantalón se ha fijado en S/. 60, 
pero esta semana está con el 30% de descuen-
to.	¿Cuál	será	el	precio	de	venta?
15. En una caja hay "x" bolas, de las cuales el 25% 
son blancas y el 75% son rojas. Si se duplica 
las blancas, ¿cuál es el porcentaje de las rojas 
respecto	al	total?
198
5 Aritmética
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regla de descuento
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	definir	el	descuento	comercial
•	 A	utilizar	el	lenguaje	correcto	para	los	elementos	del	descuento	comercial
•	 A	resolver	problemas	relacionados	con	regla	de	descuento.
•	 A	resolver	problemas	de	contexto	real	y	matemático	que	implican	utilizar	los	elementos	
del descuento comercial.
Letra de cambio
La letra de cambio, es un documento mercantil que contiene una promesa u obligación de pagar una determinada cantidad de dinero a una convenida fecha de vencimiento.
C
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EMPRESA: LA PLAtA VIENE SoLA
Número Referencia del girador Fecha de giro Lugar de giro Fecha de vencimiento Moneda e importe
00001 Librería la Estrella
Día Mes Año
Lima
Día Mes Año
1,000 €15 10 2011 15 12 2011
Por esta LETRA DE CAMBIO se servirán pagar incondicionalmente a la orden de: 
Empresa: La plata viene sola
En el siguiente lugar de pago o con cargo en la cuenta corriente del Banco:
Aceptante: .............................................................................
................................................................................................
Domicilio: ...............................................................................
DOI: ....................................... Teléfono: ................................
Importe a debitar en la cuenta del Banco que se indica
Banco Oficina Número de cuenta D.C.
Latino 034 1987975864
Nombre/Denominación o razón social del Girador
DOI
 ___________________ ___________________
 Firma Firma
Nombre del representante(s): ..............................................
............................................................................................
Fiador: ..................................................................................
Aval permanente: .................................................................
Domicilio: ..............................................................................
DOI: ...................................... Teléfono: ...............................
Firma: ...................................................................................
Nombre del representante: ...................................................
No escribir ni firmar debajo de esta línea.
Jr. Las Peras. Urb Los Frutos. Lima
Librería la Estrella
Librería la Estrella
Luis Gonzales
•	 Según	el	documento,	¿cuál	es	la	fecha	de	vencimiento?
5regla de descuento
UNIDAD 7Central: 619-8100 199
Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números:
20% de 310
Número 
capicúa de dos 
cifras
64% de 25
15% de 240 (1 + 2 + ... + 9) × 10 22% de 250
40% de 600 Una mano
30% de 1 500 Doble de 331
Número capi-
cúa de 4 cifras
Cuadrado	de	
75
25% de 
2 200
Número capi-
cúa de 3 cifras Media docena
40 % de 80 32% de 50 Doce docenas
Cuadrado	de	
11
Una docena
Cubo	de	6 5% de 80
Media docena 24% de 25
Menor número 
par 1 + 3 + 5 + 
... + 15Mitad de 
1 304
Conceptos básicos
Regla de descuento
Las	entidades	financieras	(Bancos,	AFP,	Cajas	Municipales,	etc.)	se	dedican	a	prestar	dinero,	esto	genera	un	
compromiso entre la entidad que presta y la persona que recibe el préstamo.
Elementos de la regla de descuento
Los elementos que participan en la regla de descuento son:
 Letra de cambio
 Es el documento donde se describe el compromiso entre el prestamista y el deudor; en ella se debe 
indicar las condiciones del préstamo y el tiempo que debe hacerse efectiva.
 Valor nominal (Vn)
 Es la cantidad pactada que debe ser efectiva en una determinada fecha; esta cantidad va indicada en la 
letra de cambio.
 tiempo de vencimiento
 Es el tiempo que falta para hacer efectiva la letra de cambio.
Aritmética
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 Ejemplos:
•	 1	semestre	=	6	meses	=	180	días
•	 1	año	=	12	meses	=	360	días
Fecha	de	vencimientoFecha	de	expedición	
Valor 
nominal
Como	en	la	regla	de	
interés, se considera:
30 días = 1 mes
12	meses	=	1	año
1	año	=	360	días
 tasa de descuento
 Es el porcentaje o fracción del valor nominal (Vn) o valor actual (Va) que representa el descuento en 
un periodo de tiempo.
Ejemplo:
 Interprete la siguiente tasa de descuento
•	 12%	anual
	 Esta	tasa	indica	que	el	descuento	será	del	12%	del	valor	de	la	letra	en	cada	año
Descuento (D)
 Es el descuento que se le aplica a una letra de cambio 
cuando se paga antes de la fecha de vencimiento.
Valor actual (Va)
 Es el valor de la deuda, calculada antes de la fecha de 
vencimiento:
 Va = Vn – D
Recuerda	que	a	una	
"letra comercial" se le 
aplica un descuento 
cuando se desea can-
celar antes de la fecha 
de vencimiento.
 Ejemplo:
•	 El	valor	nominal	de	una	letra	comercial	es	S/.	3	200	
y vencerá dentro de dos meses. Si el descuento es 
el	5%	mensual,	¿cuál	es	el	valor	actual?
	 Como:
 Vn = 3 200 (valor nominal)
 D = 5% . (3 200). 2 = 320 (descuento)
 Va = 3 200 – 320 = S/. 2 880 (valor actual)
El valor nominal está 
en la letra de cambio 
(no cambia) pero el 
valor actual debe ser 
calculado (variable)
Clases de descuento
 Descuento comercial
	 Cuando	el	descuento	es	el	interés	generado	por	el	valor	nominal	durante	el	tiempo	de	vencimiento.
Fórmula
Si	la	tasa	(R%)	y	el	tiempo	(t)	están	en	las	mismas	unidades:
DC	=	Vn	×	R%	×	t
5regla de descuento
UNIDAD 7Central: 619-8100 201
Ejemplo:
•	 Una	letra	cuyo	valor	nominal	es	S/.	2	000	se	desea	cancelar	8	meses	antes	de	su	vencimiento,	
a	una	tasa	de	descuento	del	1,5%	mensual.	¿Cuál	es	el	descuento	y	el	valor	actual?
	 Como	la	tasa	y	el	tiempo	están	en	las	mismas	unidades
 D = (1,5% . 2 000). 8 = 240 soles
 El valor actual será: Vn – D = 1 760 soles 
 Descuento racional
	 Cuando	el	descuento	es	el	interés	generado	por	el	valor	actual	
durante el tiempo de vencimiento.
Fórmula
Si	la	tasa	(R%)	y	el	tiempo	(t)	están	en	las	mismas	unidades:
Dr	=	Va	×	R%	×	t
Ambos descuentos 
utilizan las fórmulas 
de interés, el des-
cuento comercial 
sobre el "Vn" y el 
descuento racional 
sobre el "Va".
	 Como:	Va	=	Vn	–	D	⇒	Va	=	Vn	–	R.	Va.	t
 Despejando el valor actual: Va = V n
1	+	R	.	t
 y el descuento racional será:
 
Dr = 
Vn	.	R	.	t
1	+	R	.	t
Comercialmente	el	
descuento que se 
utiliza es el "Dc", 
pero si se considera 
el descuento justo 
es el "Dr".
Fórmulas adicionales (utilizadas comercialmente)
Comercial Racional
Estas fórmulas son 
para los descuen-
tos, cuando la tasa 
es anual.
R%	anual
"t"	años
Dc =
 
Vn	.	R	.	t
100
Dr =
 
Vn	.	R	.	t
100	+	R	.	t
R%	anual
"t" meses
Dc =
 
Vn	.	R	.	t
1 200
Dr =
 
Vn	.	R	.	t
1	200	+	R	.	t
R%	anual
"t" días
Dc =
 
Vn	.	R	.	t
36 000
Dr =
 
Vn	.	R	.	t
36	000	+	R	.	t
Comparación entre los descuentos
 Relación de orden
	 Comparando	las	fórmulas	de	los	descuentos,	el	descuento	comercial	siempre	será	mayor	que	el	racional.
Dc	>	Dr
Al descuento comercial también 
se le llama externo o abusivo
Al descuentoracional también 
se le llama interno o matemático
 El valor nominal con los descuentos 
 La relación entre los descuentos y el valor nominal es:
 
Vn = 
Dc . Dr
Dc – Dr
 Diferencia de los descuentos
Aritmética
TRILCE
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 La diferencia de los descuentos es igual al interés del descuento racional:
 
Dc – Dr = Dr	.	R	.	t
100
Letras equivalentes
 Letras equivalentes
 Dos letras serán equivalentes cuando sus valores actuales son iguales
Va1 = Va2
Con	esta	
relación 
podemos 
cambiar 
una letra 
por otra.
 tiempo de vencimiento medio
	 Cuando	una	letra	reemplaza	a	un	conjunto	de	letras,	y	todas	tienen	la	misma	tasa	de	descuento	y	además:
 Vnu = Vn1 + Vn2 + Vn3
 El tiempo de la letra única será:
 
tu = 
Vn1 . t1 + Vn2 . t2 + Vn3 . t3
Vn1 + Vn2 + Vn3
Esta fórmula es 
utilizada por 
las entidades 
financieras para 
reemplazar varias 
letras por una sola.
 Un pago dividido entre varios
 El valor actual es equivalente a la suma de los valores actuales de las letras que la reemplazan.
Pago	=	Ci + Va1 + Va2 + Va3
	 En	esta	fórmula	"Ci" es la cuota inicial y la deuda está dividida en tres pagos.
Síntesis teórica
REGLA DE DESCUENto
Descuento racionalValor nominal = Vn
Tasa	de	descuento	=	R%
Tiempo de vencimiento = t
Se determina:
Descuento = D
Valor actual = Va
Va = Vn – D
Dos letras equivalentes: Va1 = Va2
Si: Vn = Vn1 + Vn2 + Vn3 + Vn4
El tiempo de vencimiento
t =
 
Vn1t1 + Vn2t2 + Vn3t3 + Vn4t4
Vn1 + Vn2 + Vn3 + Vn4
Pago en partes
Costo	=	Inicial	+	Va1 + Va2 + Va3 + Va4
Clases	de	descuentoElementos
Dr = Vn	×	R%	×	t
1	+	R%	×	t
Dc = Vn	×	R%	×	t
Descuento comercial
La tasa y el tiempo están en las 
mismas unidades de tiempo
La tasa y el tiempo deben tener las 
mismas unidades de tiempo
Letras equivalentes
5regla de descuento
UNIDAD 7Central: 619-8100 203
Aplica lo comprendido
10 x
 5
50
1. Complete	la	siguiente	tabla:
Valor nominal Descuento Valor actual
2 000 1 980
312 1 800
4 200 256
2. En los siguientes casos, se presenta situaciones 
relacionadas con letras comerciales.
•	 José	pagó	S/.	2	100	por	una	letra	cuyo	valor	
era de S/. 3 000, 4 meses antes de su venci-
miento.
•	 Carlos	firmó	una	letra	por	S/.	1	200	y	pudo	
cancelarla 2 meses antes de su vencimiento 
con S/. 1 050
Interpreta estos casos y completa la tabla:
Valor 
nominal
Valor 
actual
Tiempo de 
vencimiento
Para	Carlos
Para	José
3. En los siguientes casos, se presenta situaciones 
relacionadas con letras comerciales.
•	 Mario	pagó	S/.	3	100	por	una	letra	cuyo	va-
lor era de S/. 3 500, 4 meses antes de su 
vencimiento.
•	 Alex	 firmó	una	letra	por	S/.	2	200	y	pudo	
cancelarla 2 meses antes de su vencimiento 
con S/. 2 150
Interpreta estos casos y completa la tabla:
Valor nominal Valor actual Descuento
Para Mario
Para Alex
4. Utilizando la fórmula: Dc =
 
Vn	.	R	.	t
100
	 Complete	la	tabla:
Valor 
nominal
Tasa de 
descuento
Tiempo 
en	años
Descuento 
comercial
Valor 
actual
1 200 10% anual 2
5. Utilizando la fórmula: Dr = 
Vn	.	R	.	t
1	+	R	.	t
Complete	la	tabla:
Valor 
nominal
Tasa de 
descuento Tiempo
Descuento 
racional
Valor 
actual
1 200 10% anual 5	años
Aprende más
1. Calcular	el	descuento	que	se	recibe	por	una	le-
tra cuyo valor nominal es de S/. 1 500 y que es 
descontada al 12% anual, 6 meses antes de su 
vencimiento.
2. Una letra es descontada al 2,5% mensual un 
año	antes	de	su	vencimiento.	Si	el	valor	nomi-
nal de la letra es de S/. 2 500, ¿qué descuento 
se	obtiene?
3. Una letra de S/. 1 500 debe ser descontada al 
6% trimestral. ¿Qué descuento se obtendrá, si 
se	cotiza	5	meses	antes	de	su	vencimiento?
4. Determina el valor actual de una letra cuyo va-
lor nominal es S/. 2 400, que se presenta 4 me-
ses antes de su vencimiento y es descontada al 
12% trimestral.
5. Calcula	el	valor	actual	de	una	letra	comercial	
que vence dentro de 6 meses y es desconta-
da al 18% anual, si el valor nominal es de 
S/. 3 600.
6. Una letra se cancela 4 meses antes de su venci-
miento al 10% anual con S/. 2 900. Determina 
el valor nominal de la letra comercial.
7. Una letra de S/. 5 000 es cancelada 6 meses 
antes	de	su	vencimiento	con	S/.	4	400.	¿Cuál	es	
la	tasa	anual	de	descuento?
8. Una letra de S/. 4 000 es cancelada con 
S/.	 3	 400.	 ¿Cuántos	meses	 antes	 de	 su	 venci-
miento	se	canceló,	si	la	tasa	es	de	30%	anual?
Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe204
9. Calcular	el	descuento	racional	de	una	letra	co-
mercial, cuyo valor nominal es de S/. 2 600 y 
que vence dentro de 4 meses a una tasa del 
12% anual.
10. Calcular	el	descuento	racional	de	una	letra	co-
mercial, cuyo valor nominal es de S/. 4 800 y 
que vence dentro de 8 meses a una tasa del 
15% anual.
11. Una letra de S/. 3 400 que vence dentro de 8 
meses desea ser cambiada por otra cuyo venci-
miento	sea	dentro	de	un	año.	¿Cuál	es	el	valor	
nominal de la segunda letra, si la tasa de des-
cuento	es	del	15%	anual?
12. Una letra de S/. 3 300 que vence dentro de 4 
meses desea ser cambiada por otra cuyo venci-
miento	sea	dentro	de	un	año.	¿Cuál	es	el	valor	
nominal de la segunda letra, si la tasa de des-
cuento	es	del	12%	anual?
13. Por la compra de una lavadora de S/. 1 200 se 
pagó S/. 300 al contado y se firmó una letra que 
se debe pagar dentro de 8 meses. Si la tasa de 
descuento es del 15% anual, ¿cuál es el valor 
nominal	de	la	letra	firmada?
14. Se paga al contado S/. 500 por la compra de una 
computadora de S/. 4 900 y se firmó una letra 
que se debe pagar dentro de 4 meses. Si la tasa 
de descuento es del 25% anual, ¿cuál es el valor 
nominal	de	la	letra	firmada?
15. ¿Cuál	 será	 el	 descuento	 comercial	 y	 el	 valor	
efectivo de un pagaré de S/. 720 000 que vence 
el 15 de noviembre y se negocia al 5% el 17 de 
agosto	del	mismo	año?
16. Sobre cierta letra se conoce que su valor actual 
racional es de 12,5% más que el valor actual co-
mercial y además el descuento interno y externo 
se diferencian en S/. 80. Halle el valor nominal.
¡Tú puedes!
1. Comprar	un	artefacto	se	puede	realizar	por	dos	formas	de	pago:
•	 La	primera,	con	una	cuota	inicial	de	S/.	709	y	por	el	saldo	se	firma	dos	letras	equivalentes	que	
vencen dentro de 4 y 7 meses, descontado al 60% comercialmente.
•	 La	segunda,	sin	cuota	inicial	a	pagarse	con	tres	letras,	la	primera	de	S/.910,	que	vence	dentro	de	3	
meses, la segunda de S/.225 que vence dentro de 5 meses y la tercera de S/.440 que vence dentro 
de	6	meses,	descontados	racionalmente	al	10%	mensual.	Calcule	la	suma	de	valores	nominales	de	
la primera forma de pago.
a) S/. 290 b) 320 c) 870 d) 580 e) 560
2. Se tiene tres letras, cuyos valores nominales son S/. 100; S/. 200 y S/. 75, pagaderas dentro de 4; 5 
y 6 meses pero serán descontadas al 30%; 50% y 40% respectivamente. Si se quiere tener una letra 
única, cuyo valor nominal sea la suma de los valores nominales anteriores, y que la tasa de descuento 
comercial sea igual al promedio aritmético de las tasas anteriores, calcule el tiempo de vencimiento 
de esta letra única.
a) 3 meses b) 6 c) 4 d) 7 e) 5
3. Un capital se impone al 30% trimestral durante 5 meses y al cabo de este tiempo se presta este dinero, 
acordándose pagar la tercera parte como interés al cabo de 7 meses. Pero 3 meses después se cancela 
la deuda con S/.680. Halle el capital, si el descuento comercial estuvo al 8% mensual.
a) S/. 400 b) 700 c) 500 d) 800 e) 600
4. Los descuentos comercial y racional están en la relación de 9 a 5 y la letra vence dentro de 8 meses. Si 
el valor nominal, el descuento comercial y racional suman S/. 3 030, halle el valor actual comercial, si 
se cancela faltando 3 meses para el vencimiento.
a) S/. 930 b) 990c) 945 d) 1 050 e) 975
5regla de descuento
UNIDAD 7Central: 619-8100 205
5. Se tienen "k" letras cuyos valores nominales son: Vn1, Vn2, Vn3, …, Vnk y se descuentan a una tasa del 
1%;	2%;	3%;	...	así	sucesivamente	y	sus	tiempos	de	vencimiento	son:	2;	3;	4;	...	años	respectivamente.	
Si	se	descuentan	en	estos	momentos,	se	observa	que	los	descuentos	son	iguales.	Calcule	"k",	si	la	suma	
de los valores nominales de dichas letras y uno de los descuentos están en la relación de 1 200 y 13 
respectivamente.
a) 12 b) 17 c) 13 d) 19 e) 15
Practica en casa
18:10:45
1. Calcular	el	descuento	que	se	recibe	por	una	le-
tra cuyo valor nominal es de S/. 2 500 y que es 
descontada al 18% anual, 6 meses antes de su 
vencimiento.
2. Una letra es descontada al 2,5% mensual dos 
años	antes	de	su	vencimiento.	Si	el	valor	nomi-
nal de la letra es S/. 5 000, ¿qué descuento se 
obtiene?
3. Una letra de S/. 2 500 debe ser descontada al 
6% trimestral. ¿Qué descuento se obtendrá, si 
se	cotiza	5	meses	antes	de	su	vencimiento?
4. Determina el valor actual de una letra cuyo va-
lor nominal es S/. 4 800, que se presenta 6 me-
ses antes de su vencimiento y es descontada al 
12% trimestral.
5. Calcula	el	valor	actual	de	una	letra	comercial	
que vence dentro de 6 meses y es desconta-
da al 18% anual, si el valor nominal es de 
S/. 4 500.
6. Una letra se cancela 4 meses antes de su venci-
miento al 15% anual con S/. 3 800. Determina 
el valor nominal de la letra comercial.
7. Una letra de S/. 3 000 es cancelada 6 meses 
antes	de	su	vencimiento	con	S/.	2	400.	¿Cuál	es	
la	tasa	anual	de	descuento?
8. Una letra de S/. 4 500 es cancelada con 
S/.	 3	 600.	 ¿Cuántos	meses	 antes	 de	 su	 venci-
miento	se	canceló,	si	la	tasa	es	de	30%	anual?
9. Calcular	el	descuento	racional	de	una	letra	co-
mercial, cuyo valor nominal es S/. 2 200 y que 
vence dentro de 8 meses a una tasa del 15% 
anual.
10. Calcular	el	descuento	racional	de	una	letra	co-
mercial, cuyo valor nominal es S/. 6 000 y que 
vence dentro de 5 meses a una tasa del 10% 
anual.
11. Una letra de S/. 5 254 que vence dentro de 9 
meses desea ser cambiada por otra cuyo venci-
miento	sea	dentro	de	6	meses.	¿Cuál	es	el	valor	
nominal de la segunda letra, si la tasa de des-
cuento	es	del	15%	anual?
12. Una letra de S/. 2 256 que vence dentro de 4 
meses desea ser cambiada por otra cuyo venci-
miento	sea	dentro	de	6	meses.	¿Cuál	es	el	valor	
nominal de la segunda letra, si la tasa de des-
cuento	es	del	12%	anual?
13. Una letra de S/. 11 310 que vence dentro de 
2	años	desea	 ser	cambiada	por	dos	 letras	que	
tienen el mismo valor nominal, una cuyo ven-
cimiento sea dentro de 9 meses y la otra dentro 
de	 6	meses.	 ¿Cuál	 es	 el	 valor	 nominal	 de	 las	
letras,	si	la	tasa	de	descuento	es	del	15%	anual?
14. Por la compra de un artefacto de S/. 1 500 se 
pagó S/. 600 al contado y se firmó una letra que 
se debe pagar dentro de 8 meses. Si la tasa de 
descuento es del 15% anual, ¿cuál es el valor 
nominal	de	la	letra	firmada?
15. ¿Cuál	 será	 el	 descuento	 comercial	 y	 el	 valor	
efectivo de un pagaré de S/. 72 000 que vence 
el 15 de noviembre y se negocia al 5% el 17 de 
agosto	del	mismo	año?
206
6 Aritmética
TRILCE
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regla de mezcla
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	definir	el	precio	de	mezcla	de	varios	ingredientes.
•	 A	interpretar	el	precio	de	mezcla	en	un	contexto	real.
•	 A	verbalizar	adecuadamente	los	símbolos	utilizados	para	calcular	el	precio	de	la	mezcla
•	 A	operar	correctamente	al	calcular	el	precio	de	mezcla.
•	 A	resolver	problemas	de	contexto	real	y	matemático	que	expliquen	la	importancia	del	
precio de mezcla.
Suero glucosado
Es una solución de glucosa, cuyas dos indicaciones principales son la rehidratación en las deshidrata-ciones hipertónicas (por sudación o por falta de ingestión de líquidos) y como agente aportador de energía. El suero glucosado al 5%, significa que contiene 5 g de glucosa por cada 100 ml.
•	 Si	a	un	paciente	se	le	aplica	250	cc	de	suero	glucosado	al	10%,	¿cuánto	de	glucosa	estará	recibiendo?
6regla de mezcla
UNIDAD 7Central: 619-8100 207
Saberes previos
Completa	el	crucigrama	con	números:
1 2 3 4 5 6
7 8 9
10 11 12 13
14 15 16
17 18
19 20
21 22
Horizontal:
1. Cuadrado	de	11
4. Potencia de 2 de cuatro cifras
7. Mayor número de cinco cifras diferentes
9. Decena y media
10. Número capicúa de cuatro cifras
12. Número de tres cifras consecutivas
14. Nueve centenas
15. Número de cuatro cifras consecutivas decre-
cientes
17. Múltiplo de 256 de cuatro cifras
18. Menor capicúa de dos cifras
19. Cuatro	docenas
20. Número capicúa de cinco cifras
21. Cuarta	potencia	de	5
22. Cuadrado	de	11
Vertical:
2. El número que sigue en: 16; 20; 24; ....
3. Capicúa	de	tres	cifras
4. Cuadrado	de	13
5. Cubo	de	6
6. Suma desde el 1 hasta 9
7. Mayor número de tres cifras
8. La suma del 1 al 10
11. Menor número de tres cifras
13. Capicúa	de	cuatro	cifras	cuya	suma	de	cifras	es	
16
15. Número capicúa de cuatro cifras
16. Cubo	de	7
17. Menor número de tres cifras pares significativas
18. Múltiplo de 91 de tres cifras
20. Cinco	quincenas
Aritmética
TRILCE
Colegios
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Conceptos básicos
Mezclas
Conceptualmente	hablando	se	llama	"mezcla"	a	la	unión	íntima	de	varias	sustancias,	aunque	comercial-
mente se puede afirmar que mezcla es el procedimiento que tiene por finalidad reunir artículos o sustan-
cias de una misma especie, relacionando la calidad y cantidad de cada una.
 Clases de mezclas
 Una forma de clasificar las sustancias es considerando la forma de medir la calidad, así podemos des-
tacar:
 Sustancias con precios unitarios
 La calidad de estas, está determinada por el precio en cada unidad de peso
 Ejemplo:
 Arroz de S/. 3 el kilogramo
 Azúcar de S/. 1,20 el kilogramo
 Vino de S/. 25 el litro
•	 Precio	total:	 20 kg de arroz a S/. 3,5 c/kg 
⇒ El costo de los 20 kg es: 20 (3,5) = 70 soles
 Sustancias con alcohol
 En la mezcla de alcohol y agua, el porcentaje de alcohol en la 
mezcla se denomina grado o pureza de la mezcla alcohólica.
 
Grado = Volumen de alcohol
Volumen total 
× 100
 Ejemplo:
El grado, indica 
el porcentaje 
de alcohol en la 
mezcla, así 75o 
indica que el 
75% de la mezcla 
es alcohol puro
•	 Se	tiene	120	cm3 de alcohol de 80°. Determina la cantidad de alcohol y agua que contie-
ne la mezcla.
 
VOH = 
80
100 
× 120 = 96 cm3 y 20% de 120 = 24 cm3 es agua
 Aleaciones
	 Cuando	se	funden	metales,	 la	calidad	de	estas	mez-
clas se denominan "Ley" y es la relación entre los pe-
sos de material fino y el total.
Ley = Peso de material fino
Peso total
La "Liga" es la proporción de material ordinario y el total, así:
Liga = Peso de material ordinario
Peso total
 
Ley + liga = 1
 Ejemplo:
•	 Una	aleación	de	150	g	de	plata	cuya	ley	es	de	750	milé-
simos,	¿qué	cantidad	de	plata	pura	contiene?
 
750
1 000 
= Peso de plata
150
 Entonces hay 112,5 g de plata pura y 37,5 g de material 
ordinario
Se acostumbra
en una aleación 
de plata, dar la 
ley en milésimos 
y en una de oro
en kilates.
6regla de mezcla
UNIDAD 7Central: 619-8100 209
 Kilates
 Generalmente cuando el material fino de la aleación es el oro, la ley se da en kilates:
 24 kilates = 1 (100% de oro)
 Ejemplo:
	 Un	anillo	de	21	kilates	pesa	80	g,	¿qué	cantidad	de	oro	puro	contiene?
 
21
24 
= Peso de oro
80
 Entonces hay 70 g de oro puro y 10 g de material ordinario.
Densidad
 En estas mezclas la relación de la masa o peso con el volumen nos indica en cierta medida la ca-
lidad.
 Ejemplo:
– Densidad del mercurio 13,6 g/cc
– Densidad del aceite 0,92 g/cc
– Densidad de la gasolina