AntiDemidovich__Matemática_Superior_ (3)

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1 . / . Liashkó, A. K. Boiarthuk 
l á . G. Gai, G. P. Golovath 
Análisis matemático
Series
Funciones de
argumento vectorial
" E M A T I / I K A
URSS
M, M. JhuiiKo, A K liou|vtVK, >1. I. I'ait, l". II. I (uiomi'i
Ciiltiino'iiioe iiocnfiiie no iimciiicH mutcmiithkc. Tom 2 .
MiircMiii'M'iOí'KHit timiJiH i: |i>i;u.i, <|iyiiKiLiiu nuKTopnoro apryMcimi
/. /. I.iashkó, A. K. Hoimrliiik, Ití. G. Gai, G. P. Golovach 
Matemática superior, l'rob lemas resueltos. Tomo 3.
Análisis matemático: series y funciones de argumento vectorial
Traducción de la cuarta edición rusa (1998) 
lista serie consta de ocho volúmenes. Los cuatro primeros tomos con los que se abre esta obra,
están dedicados al estudio práctico de las funciones, las sucesiones, las series, el cálculo diferencial e 
integral de las funciones de una y varias variables; en ellos se presentan soluciones completamente
detalladas de los problemas expuestos en el famoso libro de B.P. Demidóvich.
lin los lomos 5 y 6, aparte de una detallada exposición de la teoría de las funciones de variable
compleja, se resuelven escrupulosamente cerca de 400 problemas, muchos de los cuales aparecen en
l.i inmortal colección del matemático soviético L. I. Volkoviski. Además de los temas característicos
de los cursos de este tipo, en esta parte de la obra se hallan cuestiones menos comunes como son la
integral de Newton—Leibniz y la derivada de Fermat— Lagrange. Se presta una especial atención a 
las aplicaciones conformes.
lin aproximadamente 800 problemas resueltos paso a paso, los tomos 7 y 8 abarcan todos los tópicos
del curso habitual de la teoría de las ecuaciones diferenciales. En cada sección se expone el mínimo
teórico estrictamente necesario para la resolución de los problemas correspondientes; muchos de
éstos aparecen en la genial colección de A. F. Rlíppov. Asimismo, en estos volúmenes se analizan
Unía una serie de temas bastante atípicos para libros de esta clase (teoría de la prolongación de la
solución del problema de Cauchy, ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden
no lineales, algunos métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales, aplicación de
los criterios de existencia de los ciclos límites en el plano fásico, etc.).
En la edición de este libro participaron:
Director
Vicedirector
Director de producción
Director de sistemas
Traducción
Diseño
Enmaquetación
Procesamiento de texto
Edición
Realización técnica
Domingo Marín Rico y 
Natalia Fitioguiénova 
Irina Makiéeva 
Víktor Románov 
Viktoria Malishetíko y María Andriánova 
Víktor Románov y Vasili Podobied 
Natalia Bekétova 
Svietlana Bondarenko y Anna Tiúrína 
Leonid losiliévich, Elena Kudriashova, ígor Koroviti, 
Larísa Kirdiáshkina y Pável Zrlenin 
Natalia Aríncheva, Marina Krutskó y Elena Lógvinova 
Reservados todos los derechos en todos los idiomas y en todos los países del mundo. Quedan rigurosamente
prohibidas, sin la autorización escrita del titular del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes,
hi reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía
y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
Editorial URSS
ht tp i / 'u rss .i sa .ac .ru
ISBN 5-88417-183-8 (Obra completa)
5-88417-189-7 (Tomo 3)
© Editorial URSS, 1999
Capítulo 1 
Series
§ 1. Series numéricas. Criterios de convergencia
para series de signo constante
1*1. Conceptos y definiciones generales
Definición 1. Sean an, n 6 N, elementos arbitrarios de un espacio lineal S/' en el
que está definido el concepto de convergencia. Se denomina serie de los elementos an a la
expresión siguiente
00
ai + a2 + - - + an + • • - = (!) 
ΟͮΝ
Los elementos an reciben el nombre de términos de dicha serie. En particular, si an £ M,
ó an e C, se dice que (1) es una setie numérica. 
Definición 2* La suma de los n primeros términos de la serie (1) se denomina
suma parcial y se denota frecuentemente mediante Sn, o sea,
Sn = a\ -f «2 + * • * + 
Definición 3. Si existe el límite finito para la serie (1)
l im5„ = S , 5.G
I n—k»
dicha serie converge en ÍJ' y el número S se denomina suma de la serie. Si lim Sn = oo o 
I n-+(X} 
lim Sn no existe, la serie (1) se llama divergente, I tt—*00
Definición 4. La serie
I 00
aki ak £ ���
I
se denomina rc-ésimo resto de la serie (1) o bien resto después del n-ésimo término. 
La serie (1) converge o diverge junto con su resto; por tanto, analizando la
convergencia de la serie en vez de la última se examina frecuentemente el n-ésimo resto.
Definición 5. Sea an £ R. Si an > O, la serie (1) se llama positiva; si an > O, n G N,
la serie (1) se llama estrictamente positiva. 
!() Capítulo I. S e r i e n
1.2. Condición ncci'Niiria de convergencia de una «crie
I'.II.I que la .'¡ri'ic (I) del p. 1.1 converja en ..'/ , es condición necesaria que
lim a,¡ = 0, 6 £ .y , 
U-^OÍi
donde 0 es el elemento nulo del espacio lineal !2\
1.3. Criterio de Cauchy
Supongamos que :'/ es R ó C. Para que la serie (1) del p. 1.1 converja en y es
condición necesaria y suficiente que Ve > 0 3 ííu tal que Vra > n0 A Vp € N se cumpla la
desigualdad
I-^ JI+P — — + flji+2 + • • • + < 
1.4. Serie armónica generalizada
Definición. La serie numérica Vi
^ nP 
rj=l
se denomina serie armónica generalizada, y para p — 1 se llama serie armónica. La serie
converge si p > l y diverge si p < 1.
1.5. Criterios de comparación para series numéricas
Teorema 1. Si la serie Vj a„ definida en el p. 1.1 y la serie 
oo
( ! )
n=i
son positivas, siendo, además, an C. b„ Vra > no, entonces de la convergencia de la serie 
bn se deduce la convergencia de la serie an, y de la divergencia de la serie ^ anj la 
divergencia de la serie Yl K-
Teorema 2. Si las series J2 an }/ 12 ljn son estrictamente positivas y Vrt > nu se 
satisfacen las desigualdades 
^ u J a„ bn
entonces son válidas las mismas conclusiones que en el teorema anterior. 
Teorema 3. Sí las series V K son estrictamente positivas y 
lim = c, 0 <c< +oo,
rj-»í» On
tas series convergen o divergen simultáneamente. 
Teorema 4. Si para n —> oo
la serie (1) del p. 1.1 converge sí p > 1 y diverge si p < 1. 
1.6. Criterios de D'Alembert y de Cauchy
Consideremos la serie a» definida en el p. 1.1. Supongamos que Y1 an sea una
serie estrictamente positiva y 
lim = L,
«--"Xi (l,¡
f¡ I. Seríes numóríc.iH. Crilrrios de iiniVfM^iM í«i |uu*i unles de signo constante 5 
cnloiKTS dicha serie converge mí // I y diverge ?¿l t> I. lín el caso cié que 7; = \ oo
la serie evidentemente, litmblrii diverge, ;ij h I el problema de la convergencia
permanece sin resolver y requiere un miitllsÍM>luiupleineuLirio {criterio de D'Alembert en 
forma
Si la serie os positiva y 
lim yfa^ = L, 
no
llegamos, en lo que respecta a su convergencia, a las mismas condiciones que en el criterio
de D'Alembert (criterio de Cauchy en su forma límite más simple). 
1.7. Criterio de Raabe
Si la serie (1) del p. 1.1 es estrictamente positiva y 
lim n ( ^ - - l )
o V 6¿„_i_i / Tí—K3Q \ &n+\
entonces para p > 1 la serie converge y para p < 1, diverge. Si p = +oo, la serie (!)
del p. 1�� converge; si p ~ es necesario recurrir a otros criterios para establecer su
convergencia o divergencia.
1,8. Criterio de Gauss
Si la serie (1) del p. 1.1 es estrictamente positiva y 
+ ^ + A, /í = const,aíí+i n n 
donde e > 0, < entonces la serie (1) converge para A > 1 y diverge para A < 1.
Si A — 1 la serie converge para p > 1 y diverge para p ^ 1.
1.9. Criterio integral de Cauchy—Maelaurin
OQ
Sea / una función no negativa para x > 0 y no creciente, entonces la serie f(n)
�ϻ� ���
converge o diverge según lo haga la integral impropia
+oo
f(x) dx. 
i
ll Demostrar de forma directa la convergenciade las series siguientes y hallar sus
sumas:
1 J — _ L i
1 • 4 + 4 • 7 + ' ' ' + (3n - 2)(3n + 1) + " *'
<4 Solución. Demostraremos la convergencia de la sucesión de sumas parciales (Sn) de la
serie
1 1 1 
Sn - A + A + - •• + 1 - 4 4 - 7 (3n - 2)(3n + 1)'
6 C a p í t u l o I, SCIÍON
Kediuiivinm para ello ,S'„ medíanle transformaciones cv id en les a la forma
* : ' , ( ( ' ' ; ) ( I , „ ' . , - ) ) } ( • : , ' t )
lis file i I ver que la sucesión (S7l) converge; consiguientemente, la serie numérica
dada converge y su suma es
5 = lim S„ = lim l ( l - — i - ) = ¿ 
n-»oo ti—• oo ó \ oTl t 1 / O 
2 . a) q sen a + q2 sen 2a 4- • • • + +qn sen na + • • •; 
b) q eos a + q2 eos 2a H b q" eos na H ; \q\<\. 
< Solución. Sean (un) y (v„) sucesiones de sumas parciales de las series a) y b), respecti-
vamente, y sean v, y v sus sumas. Empleando la fórmula de Euler e'v = eos <p + i senip 
escribiremos
„ „. „ J a _ «+1 i(n+l)a
+ ivn = qe'" + qe +••• + q"e'na = ^—2—£ . 
1 — qe'a
Teniendo en cuenta la condición < 1 obtenemos \qeu"\ < 1, de donde se deduce que
lim (<f+1ei("~1)a) = 0. A partir de la fórmula anterior hallamos
T I — 0 0
. . . , . . qe'" ( eos a - q s e n a \ 
tí + iv = lim (u„ + ivn) = —~—tz = q ( z—r ¿ + i-—^ ¿ I .n-*co 1 - qe,a \ 1 - 2q eos a + q¿ 1 — 2q eos a + q¿ ) 
Por lo tanto,
eos a — q q sena
u = — o , Zl > v = 1 — 2q eos a + q1 ' 1 — 2q eos a+ q2'
3 . + l + s/Ti). 
n=\
חͥ Solución. Escribamos explicitando
S„ = (V3 - 2V2 + 1) + (•Vé - 2V3 + V2 ) + {V5 - 2V4 + V3 } + • • • + 
+(Vñ-2Vn͑ ͞ l + Wn~2)+(Vn + l-2Vñ+Vn - Í)+(T/n + 2-2\/n + l++Vñ) = 
= 1 - V2 + Vn + 2 - Vñ+l = 1-V2+ = = .
s/n + 2+ s/n + X 
Por consiguiente,
S = lim Sn = 1 - Vi. • 
4 . Estudiar la convergencia de la serie U sen nx. 
n=l
< Solución. Sea x £ kn (siendo fe entero) y supongamos que la serie converja. Entonces
tiene que cumplirse la condición necesaria de convergencia
lim sen nx = 0, kir, (1) 
n—oa
fj L Series numéricas. Crllorior* ilt» umvtHHPiH'to \uu\i «nirs de signo constante 7 
ile donde resulta que lim srn(n I \)w — 0, o lim (nen nx eos x 4- eos nx sen a:) — 0.
H 'mxj rj «>*i
Tomando en consideración (I), de la lilllma igualdad oblicuemos que
lim couwj: 0, x / kw. (2)ji +<\> 
A partir de (1) y (2) se deduce que
2 . 2 lim (eos nx -f sen nx) — 0, 
T í - » 0 0
I I t*J 
que contradice a la igualdad sen a + eos a — 1. El origen de la contradicción es la
fórmula (1). Por consiguiente, si x ^ kn la serie estudiada diverge. Evidentemente, si
x kw (k es un número entero) la serie converge y su suma es igual a cero. • 
00 00
5 , Supongamos que la serie an es convergeñte. Demostrar que la serie
„ i n=1 7Í--1JNl 1 I ~1
Ai - ai> Vi — I* Pi < P2 < - - -/ que se obtiene al agrupar los términos de la serie
Í~-Pn
dada sin infringir el orden preestablecido, también converge y tiene la misma suma.
00
Solución, De la convergencia de la serie an se deduce la existencia de límite para
n—1
cualquier subsucesión de la sucesión de sus sumas parciales, y dicho límite es igual a la
suma de la serie S. En calidad de uria subsucesión tal tomaremos
ai — SPl, a\ + a2 + b a^-i = SP2,
«i + a2 -f - - - + aP2-i + aP2 + • • • + Oft-i = S^ ..., ai + «2 + - • + aPlHhl-i - SPri+l.
Según las condiciones del problema lim SPn = St y como la sucesión de sumas parciales den^oo
la segunda serie estudiada Ai+A2+ V An es iguala Sp ,entonces lim {A\JrA2-\ M t t )
también es igual a c. q. d.
La afirmación recíproca no es correcta, puesto que de la convergencia de una
subsucesión no se deduce la convergencia deja propia sucesión. Examinemos un ejemplo-
Sea an — ( - l ) n + 1 . Obviamente, la serie diverge, a pesar de que la serie,
00 » -1
por ejemplo, $^(1—1), obtenida de la anterior al agrupar sus
n=\
converge. • 
términos
00 00
6» Demostrar que si los términos de una serie an son positivos y la serie JZ An
^ rt-l n-1
obtenida al agrupar los términos de la primera converge, entonces la serie dada también
converge.
Solución* Sea una subsucesión arbitraria de números naturales, y (5n) y ( 5 P J sumas
parciales de las series primera y segunda, respectivamente. Dado que los términos an son
positivos, se tienen las desigualdades
£1 < Sn ^ SPí para todo n : 1 ^ n ^ , 
Sp, ^ Sn < SPl para todo n : p\ ^ n ^ pi, 
a 4 
5„, ^ Sn ^ para todo n : pk ^ n ^ pk+h
H ( . '•ipíUllo I . S f r i t ' M
Pasando al límile en la ullima desigualdad (si k • oo) y teniendo en rúen ta que Ja segunda
serie converge, ni>1 encino»
lim S„. = lim Su — lim SVín — S. • k 'txi n—>oo k->oo ' 
¡H Investigar la convergencia de las series:
7 . 1 + í + ! + I + . . . + 5 J _ _ + . . . .
חͥ Solución. Obviamente, toda sucesión de sumas parciales de la serie dada crece. De-
mostraremos que éstas no están acotadas. Para ello, consideraremos la subsucesión (Sy),
n € N, de la serie en cuestión
Sr=S2 = 1 + 1 S?=SA = 1 + 1 + 1 + 1, SZn = 1 + 1 + . . . +3 ' z 4 3 5 7' ¿ 3 t 2 " + 1 - 1 '
En virtud de las estimaciones
1 1 1 2 1 1 1 1 1 4 11 l i \ 1 ¿ I _ ^ ~ i _ I _ t I I i. •> _ _ i.
3 ' 5 7 8 4' 9 11 13 15 ' 16 4 ' " ' " '
1 1 1 2 " 1 1 
+ + + ^ 7 >2" + 1 2" + 3 2n+1 - 1 2"+1 4 '
tenemos la desigualdad
,2,1 = ( l + l ) + ( l + i ) + ( l + l + l + i ) + - + 
V2" + 1 2"+ J ~l) r 4 ' 
de donde se deduce que la subsucesión (S2<0 no está acotada y, por tanto, la sucesión (£>„)
tampoco lo está. De este modo, la serie dada diverge. • 
8 . 4 = + _ L = + J j = + . . . + _ ! + . . . .
V2 2v3 3V4 nVn+í 
A Solución. Examinemos la serie4*+(4=+4)+ (4+4+4+4) + 
V2 V2V3 M\/5 5y/6 6V7 7%/V+ (svf+ "'+ ísTl)+ "'+ (íV^+T+ "'+ (2»+i - i)V
obtenida al agrupar los términos de la serie dada. Vemos que
2V3 3Vi 2V2 3\/3 2V2 s/T
1 + • • • + - L = < - W - + 4 = < 4
7V8 iVi 7sfi (2V2)1 (V2)2'
[i L Series numéricas. Criterio»* de m m i v n \ u í \ a Melles de signo conslanle *)
Por lo Linio, para la sucesión de Mimhm jmiviiilr.N di1 ln Nene (I) es valida la estimación
i , I . - ' | ' , ' I - - - I < l I ' 
y/2 (2n 1 1 - I) y/2n} 1 (>/2 f (y/2)" " y/2 V2 ' "l 
'teniendo en cuenta el carácter monótono de Sn, deducimos que la serie (1) converge; por
ln lanto, conforme al ej, 6, converge la serie inicial. • 
• m •• « m - > r v i** i • 
1 1 1 9 . —; —— H- - ' • + • • % 
y f T 3 V^TI y/(2n - l)(2n + 1)
4 Solución. En virtud de la estimación
1 1 1 1 1 1 
vT^ V^TE y/(2n - 1)(2n + 1) 2 4 2n 
> i + + = i Jn(n -f 1)
2 \ 2 n J 2 
la serie en cuestión diverge. • 
00 00
10 . Demostrar que si la serie a n ; a„ ) 0, converge, la serie ^ a^ también converge,
n=l n—1 
4 Solución. Evidentemente, la sucesión de sumas parciales (Cn) de la segunda serie es
monótonamente no decreciente. Además, como an '•>• 0 y la primera serie converge,
entonces es válida la desigualdad
2 2 2 2 2.Cft ~ al + a2 + ' * * + an < ( a l + a2 + ' ' * ^n) ~ ^ COnst 
l'or eso, conforme al teorema de las sucesiones monótonas y acotadas existe lim Cn, es
o o
decir, la segunda serie converge según la definición 3 del p. 1.1.
i
Nótese que la afirmación recíproca no es correcta. En efecto, sea an — j-; entonces
oo oouu w 
a pesar de que la serie ^ ¿ T diverge (v. ej.7), la serie ^ ^n-iy' teorema 4 del
n=l 7i=l
p. 1.5, converge. • 
0 0 o o
1 1 . Demostrar que si las series X) ^ y E í convergen, también convergen las series
rt=i n=l
oo oo oo | 
71n=1 n=1 tí—1 
| a ty 
'4 Solución. Empleando la elemental desigualdad |an&„| ^ fan + K)* a partir de las
condiciones del problema obtenemos
ti Ti 11 CO 0 0
• E M*| « | ( E + E < | ( E ••+ E * ) = -
Jfc = l jfc-1 ra —1
ooDe aquí se deduce que la serie \an bn | converge. De la estimación
OO OO 00 OO 00
E(<*«+w 2 = E a « + 2 E + E b " ** 2 ( c + E | a n í , r e | )
n—1 »=l «—1 n=1 n=l
!() Capítulo I. Serien
se deduce que la m'gundu serie también converge. La convergencia dela leñ era serie se
deduce de la convergencia de la primera, si en ella se loma l>„ 't y se utiliza el hecho de
r\j
que la serie X ] converge. • 
n-l
UU
1 2 . Demostrar que si lim nan — 0, la serie an diverge.
n=l
Solución. Según la definición de límite, Ve > 0, 0 < £ < \a\, 3 7i0 tal que Vra > n0 y 
Vp € N son válidas las desigualdades a - £ < (m + n)am+ri < a + e, m — 1, p, o bien
a-e a + e 
tn + n m + n 
Sumando estas desigualdades respecto a m desde 1 hasta un número p obtenemos
P I P P 1 (a - e) Y] —-— < V am+n < (a + e) Y] —, ' m + n ' ' m + n m=1 m~l
de donde vemos que el resto de la serie estudiada diverge, pues diverge la serie armónica
P
lim ~~ — +oo. Por consiguiente, la propia serie también diverge. • 
<j> Nota. De las condiciones del ej. 12 resulta que an = ~ + o Q ) ~ O* para n —* oo, Por eso,
conforme al teorema 4 del p. 1.5 la serie dada diverge. No obstante, hemos preferido la demostración
directa.
00
1 3 . Demostrar que si la serie X) a f a " > 0' de términos monótonamente decrecientes
n = l
converge, entonces lim nan — 0.
n-*oo
M Solución. Según el criterio de Cauchy de la convergencia de la serie se deduce que
Ve > 0 3 n0 tal que Vil > fi0 se verifica la desigualdad an+1 + an+2 H— - + an+p < |. Por
ser (a„) una sucesión monótona y positiva, a partir de la última desigualdad resulta que
pan+P < \. Tomando luego sucesivamente p = nyp = n + í, hallamos que 2na2„ < £ y 
(2n + \)ü2„ , i < e para n > n0. Por consiguiente, nan < e para cualquier n > 2n0 (par
0 impar). • 
1 Empleando el criterio de Cauchy demostrar la convergencia de las series siguientes:
1͑Β eos x — eos 2x eos 2x - eos 3x eos nx — eos(n + \)x ¿ í j . _ 1 1- - • • i h • ' " . 
1 2 71
Solución. Fijemos un e > 0 arbitrario. Determinaremos un íio tal que para todo n > n{) y 
cierto p > () sea válida la estimación |5n+p - S„| < e, donde (S„) es una sucesión de sumas
parciales de la serie en cuestión. Tenemos
cos(w + 1) x - eos (n + 2) x + cos(n + 2) x - eos (ra +3)x 
n + 1 n + 2 +
cos(n + p) x - cos(n + p + 1) x| | cos(n + l)jc _ eos(n + 2)x 
n + p l _ ! n + 1 (n + Dtn + 2) 
§ I. Series numéricas. Criterios de í imvt'ij^m l.i |i>thi na ies de signo amslanlt I í 
cos(n -[- 3) x 
(n + 2)(» + 3)
niM(/« | p) >t\ 
(u \ p l)(n I p) 
< 1 I
n -h 1 (n | !)(?/, i- 2) 1
« » * 
n)s(n \p | í) x 
n -1- p 
1 1 2 
* _ _ ^ ^ 
(n i p - l)(rí-f p) raH-p Í¿
le donde resulta que ]5tt+jP - Sn\ < e si n() — Por eso, según el criterio de Cauchy la
sene converge, • 
1 5 .
COS X COS £ n
i 22
+ • P * . eos x _ l — 
-4 Solución. Determinaremos un número tiq tal que V71 > n0 y un p > 0 arbitrario se cumpla
l.i desigualdad \Sn+p — Snj < e. Tenemos
»%» i p Sn | 
eos x n-fl
�� ���
	
cosa;n+2
(n + 2)2
1
+ 4 « + eos X 
n+p
(n + 
-f 1
(n + 1)2 �
 � ���
1
< 1 + 1 i i E1 ' f
n{» + 1) (n + + 2)
f ^ +
(n + p) 
1
<
{n+p - 1)(tí + p) 
I
n 7i 7Í
(
\)v consiguiente, tomando no — ~ y empleando el criterio de Cauchy vemos que la serie
lada converge. • 
-n—é-
p| Utilizando el criterio de Cauchy demostrar la divergencia de las series siguientes:
���
i i 
1 + 2 + 3 +
« « 1 + I + -.
ra
^ Solución. Sea 5 — Tomemos = n, entonces
1
+
1
n + 1 n+2 
_L_ • 1 ^ 1
2n 2 n 
Consiguientemente, según el criterio de Cauchy la serie dada diverge, • 
. —- ^ ^ ^ ^ T • | |- ^ ^ ^ ^ W l l l l I l T l I •!•!•• I- n ~ I I M rfll'l I • I 1 1 — 
1 7 1 + 1 i + U 1 J + 
Solución. Dado que
5 6fi 5
1
3ti + 1 13n + 1 3n + 2 3ri 4- 3 + + +
1 1
671 - 2 6?i — 1 6 » '
donde (S¿n)f {S:m) son subsucesiones de la sucesión de sumas parciales de la serie en
cuestión, se tiene
Sen ~ ¿>3Ti > 
1 1
371 + 1 3n + 4 T + --- + 
—í— > —-— > 1 
- 2 6n - 2 6 
Así pues, conforme al criterio de Cauchy la serie diverge. • 
18. 1 + + » * 
VT"2
i» | "
1
y/n(n +1) 
+ 4> 4 é 
1
Solución. Sea £ — - . Estimemos la diferencia
!() C a p í t u l o I. S e r i e n
\ü/n >S'nÍ , 1 I , 1 ! ••• I , ' 
s/(n I l)(« I 2) / ( « I- 2)(n -•- 3) y % ( 2 n | I)
> _ L _ , _._L. , , _ J > i 
n + 2 n + 3 2n + l 4 '
De este modo, según el criterio de Cauchy la serie diverge. • 
Ul Empleando criterios diferentes investigar la convergencia de las series:
1 Q (l!)2 (2!)2 (3!)2 (n!)2
Solución. Dado que
ii—»oo a„ 71-00 (n!)22("+1) u^oo 2Zn+1 ' 
entonces por el criterio de D'Alembert la serie diverge. • 
A y ) ' 2 2 - 6 2 - 6 - 1 0 ' Solución. Observemos que el término general de la serie a,¡ tiene la forma
- 4 - 7 -10 . . . (3n + 1)
a " — 2 • 6 • 10 . . . (4n — 2)'
de donde hallamos
l i m Ss±I = l i m 3 !L±4 = 3 
oo a,¡ n-»oo 4n + 2 4 
De este modo, según el criterio de D'Alembert la serie converge. • 
2 1 . an> donde
n-\
- si n = m2,n
\ n-
חͥ Solución. Demostraremos que la serie
a„ = < (TO es un número natural).
1 si n m , 
+ ••• + 
+ (n 2 + (n2 + l)2 + " ' + ((n + l)2 - l ) 2 ) + " ' ' ( 1 )
obtenida al agrupar los términos de la serie dada, converge. Para ello, estimemos primera-
mente cada término de la serie (1). Tenemos
1 + 1 + . . . + 1 < 1 + 2 " < 2 . J _
nz (n2 + l)2 ((n + l)2 — l)2 n2 (n2 + l)2 n2' "" " 
00
Debido a que la serie ¿ según el p. 1.4 converge, también converge la serie (1) (en virtud
del teorema 1 del p. 1.5). Entonces a partir de la afirmación demostrada en el ej. 6 resulta
que la serie inicial también converge. • 
¡i L Sci ¡t-s iHiiiUMU JM. C i iltrioN tlr i i M i h » |mi*i ru-iios t\v signo umshinlc H 
' \> 71 » 
22. ¿ nx I I W',V A:'Í
I -I x2 | eos-' fav' n 1 k J 
4 Solución. Es fácil ver que
Ti
sen'ka 1 
-- • • — • ^.i 11 i . 
1 -h X1 -f eos2 ka (1 + x2f ' jUl v 1
( I )
Suponiendo que x ^ 0 (si x — 0 la serie, evidentemente, converge) y aplicando el criterio
de D'Alembert a la serie 00
nx
(1 -f xz)n ' ���
vemos que ia serie (2) converge.
Empleando ahora la desigualdad (1) y el teorema 1 del p. 1.5, podemos afirmar que
la serie dada converge. > 
00
E ( S i j )
n{n~\)
n 1 n—2
Solución. Tenemos l i m f ^ ) " lim(l — *= lim e = ¿ < 1, Por tanto, según
el criterio de Cauchy 1a serie converge. • 
2 4 . V l + y / í - V Í - f 1 / 2 - + . 
^ Solución. Observando que el término general de la serie es de la forma
a* - ^l-.^l+yfl + ^' + y/l, íjGN,
y teniendo en cuenta que >/2 — 2eos obtenemos an — J 2 - 2cos — = 2sen —77 < • 
00
Dado que la serie §: converge, a partir del teorema 1 del p. 1.5 resulta que también
«=1
converge la serie dada. • 
2 5 . Demostrar que si lim —— = q, an> O, entonces an = o(g"), donde q\ > q.?!•—>üO dn
M Solución. Sea e > O un número tan pequeño que se verifique la desigualdad € < q\ - q. 
Según la definición de límite, para un e dado se puede hallar un número N, a partir del
cual se cumplen las desigualdades
fl/V + l &N+2 - 0,-n
q - e < Jl+l < g + £ ) q - e < < q + £y q-e<-^<q±E. 
Multiplicando estas desigualdades término a término obtenemos
<In{q ~ z)n~N < On < (q + e)n~NaNy
i r Capí tu lo I. ScrU'N
ilc ilomlt'
i V >1\ f '/i 
Vemos, pues, que aumenlando el número n se puede llegar a la desigualdad
q j \ 5] J 
que proporciona que an — o(q"). • ^ OO
2 6 . Demostrar que si lim —"— = q < 1, a„ > 0, la serie 2 an converge.
n-+oo a„ n = 1
•4 Solución. Elijamos un e > 0 tal que se cumpla la desigualdad e < 1 - q. En virtud de la
existencia de iímite superior finito, para e indicado existe un número N a partir del cual
se verifican las desigualdades
0 < ~ < q + e, i = N, n - 1. 
Ai-
Multiplicando dichas desigualdades hallamos
Debido a que la serie + £)" converge, a partir del teorema 1 deducimos que la
serie a„ también converge.
La afirmación recíproca no es correcta. Considerando, por ejemplo, la serie
vemos que
mientras que la serie
l i l i l í
2 + 3 + 22 + ^ + ^ 3 + ^ 3 + -
lim — i = lim ^ = oo,
n-.co ann—-oo 2 \2/
OO 00
Xv = E (2» + 3») ' 
evidentemente, converge. De este modo, de la convergencia de la serie a„ no se deduce,
por lo general, que lim — — q < 1. • ;
n->00 a"
2 7 . Demostrar que si lim tya= q, a„ > O, entonces: a) la serie ^ ^ a„ converge si
q < I; b) la serie diverge si <7 > 1 (criterio de Cauchy generalizado).
•4 Solución. Sea q < 1. Según las condiciones de partida para un s fijo que satisface la
condición O < e < 1 - q existe un número N a partir del cual se verifican las desigualdades
aN+x < {q + e f + \ O < an < (q + e)n, q + e< 1. 
Como la serie H(q \-e)" converge, empleando el teorema 1 a partir de la última desigualdad
vemos que la serie V an también converge.
fi L Series numéricas, Criterio* ilt* i'onvtUHmhU |>»ini iem J e signo conslanle
Sea q > 1. íintonees para i uidi|iiiei' t que /Killhlaga la condición 0 < e < q I existe
un número M tal que Mk > M lo» término.*! de la rmre/iión (tiHt.) (ttlfihxk q wk > oo) 
verifican las desigualdades
>(9- > (q • es)""", . . . , «»* > (? - efk, q~e> 1, 
es decir, el término general de la serie no tiende a cero, con lo que la serie an diverge.
Investigar la convergencia de las series:
28. £ 
00 n3(V2 + ( - 1 ) " ) "
3"n =1
Solución. Con la ayuda del criterio de Cauchy generalizado hallamos
nln3(V2 + (-í)nr .. vWfv^+l) y/2+1 hm y = lim 5 — = — 5 — < 1,
11>00 V Ó k-t oo ó ó 
mlonces la serie converge. • 
29.
^ V2 + cosn>'?i - • i 
4 Solución. Dado que
^ t l n ^ t u
M < l i m ( | ) w = i < i ,rí—>oo V 2 COS 71 / n-+oo \3/ 9 
la serie dada converge conforme al criterio de Cauchy generalizado.
4 Solución. Examinemos la expresión
_ / 1 > 3 > 5 . . . (2n - l ) y / 2 - 4 - 6 . . . + 2) \P 
an |i v. 2 - 4 - 6 . . . 2 » / \ 1 • 3 - 5 . . . (2n - l)(2n +- 1) /
+ 2n + l) 2n + \ 2{2n H-1)2 \n2 / ' 71
A partir del criterio de Gauss vemos que si p > 2 la serie converge y si p ^ 2,
diverge. • 
00
31.
n=1
4 Solución. Transformando — en la forma
an n\en(n + l)TÍ+p+í 1 , 1 \n +* _ 
an+1 + l)!eíl+1 e \ ti/( l + 
P
n \n/ ?
TÍ —> OO
y empleando el criterio de Raabe vemos que para p > x la serie converge. • 2
• UmM « J W
I<> l'npílulo I. Sci-íon
3 2 . VU> i O .(?' i •«• i ) , i 
ni ' n'i' 
ii i 
< Solución. Hliminainlo el caso trivial cuando p es un número entero negativo o cero,
reduciremos la expresión siguiente a una forma más sencilla 
an n + 1 /., , 1\7 /, , M " 1 ( , , 1 \? + 1
«n+1 V + ra 0 ' ra) 0 n) 0 n) ° (ra)
X ( 1 + i ± l + o ( I ) ) = 1 + i ^ ± l + 0 ( I ) ) 7Í —i- OO
\ n \nJ/ ra \n)
Debido a que lim n { — — l ) = q ~ p+ 1, el criterio de Raabe nos dice que la serie' n—oo v"»+' 1converge si q > p. • 
3 3 V f l ' 3 - 5 . . . ( 2 n - l ) y J _
• 2 • 4 • 6 . . . (2ra) ) ' n i '
Solución. Analizando la expresión
1 + ^ T + U o ( 1 ) = l + ( f + < ? ) I + o ( I ) , n —» oo,
2ra + l ra \n/ \2 ) n \n/ 
vemos que lim n { — l ) = v2 + q, luego a partir del criterio de Raabe concluimos que
la serie dada converge para f + q > 1. • 
34. fff!!",!p+ffi'!'y,P>o,{>o,
¿-J \ nía -I- 1 V . (n 4- n - 1 W ' xΟͮͫΝ
q(q + l ) . . .(q + n - 1 )
-4 Solución. Escribiendo para ra oo la expresión en la forma
\p + nJ V p + n/ p + n \nJ 
1 - p y = 1 + a(q - P)
«n+1 \p + nJ V p + n/ p + n 
y empleando el criterio de Raabe establecemos que la serie converge si a(q — p) > 1. • 
3 5 . Demostrar que si una serie estrictamente positiva ^ a„ verifica la condición
a p /1 \ / 1 \ n=1
= 1-1 i- oí - , n —» oo, entonces an = o[ , siendo s > 0 arbitrariamente
an +1 n \n/ Vn*1^ / 
pequeño; además, si p > 0, entonces an | 0 para n —> oo, es decir, an ��
 �
 �
�� decrece
monótonamente y tiende a cero si n —+ oo. 
•4. Solución. Empecemos con el caso p > 0. Fijando un arbitrario, 0 < £0 < p, de la
condición de la existencia de límite lim n( — 1) — p hallamos
V ~ £o , ^ , , P + ío 
l + í — r - z < ~ < 1 + Í - V - Í i ) i = N , n - 1,
t ai+y i 
donde N es un número fijo lo suficientemente grande. De las desigualdades escritas se
deduce que
fi I, Series numíricaN. tiUerloh de ioiiv^t^em la |hii;i Nerirs tic signo conslanle 17
p n\\ un 
l / ft„
(' 1 ''«'") (' 1 STÍ) ' ^ 1 " 1 "^? ) '
leniendo en cuenta que an > 0 y empleando la desigualdad de Bernoulli obtenemos
i) < «„ < < 
< l + ( p - £ o ) a + 7vTT + - - ' + ¿ r ) ' ( A )
I >iido que p - Sq > 0 y ~ -f -I h ^ ~5' 0 0 P a r a n de desigualdad (A)
resulta que an —» 0. Tomando en consideración que para p > 0 la sucesión (aT1) es monótona
(pues si n ^ n0, donde n$ es un número lo suficientemente grande, entonces ^ > o 
luego > 1), nos cercioramos de la validez de la segunda parte de la afirmación.
Para demostrar la primera parte de la afirmación (es decir, p es arbitrario y e > 0)
probaremos que lim (np~ean) = 0,n—*oo
Designemos en = np £an y calcularemos la expresión . Obtenemos
\ nJ 1 V n/ \ n \nJ J 
7 Í - _ 
n\\ v 7 1 J an+\
Observando que dicha expresión tiene igual forma que a partir de lo demostrado
anteriormente vemos que en —• 0 para n oo. 
» | • | • •Mil • •! i 1 11 1 I M I I •• •• I •• I I • I • • • I • M • • • 
O O
i
SLff Investigar la convergencia de la serie ^ ^ a n si
n .1
3 6 . an = (Vn + 1 - VñY ln ——7, n > L v 7 n +1 
^ Solución, Transformaremos el termino general an desarrollando (1 + y ln(l + x) en
serie de Maclaurin con término residual en forma de Peano:
„ „ = l n { l . ^ . . - , { 2 + . ( i ) ) - ( * + . ( i ) ) .
{•Jn + l + s/ñf 
Vemos, pues, que si p > 0, entonces según el teorema 4 la serie converge.
3 7 . an = log&„ ( 1 + - ^ - ) , a > 0, 6 > 0,
<4 Solución. Procediendo análogamente al ejemplo anterior obtenemos
a,* = — 1 A - —j , n->oo, n ln 6 nh\b\n \n/ / \n¿J
Entonces, conforme al teorema 4 la serie converge si b ^ 1. • 
!() C a p í t u l o I. S e r i e n
3 8 . «„ (i ¡ ; , ) " ) " .
חͥ Solución. I Jo.Siinolhini.io ln función x i-+ ln(l + x) en serie de Maclaurin hallamos
a, = (e- e ("-i))" = (, _ e-l«G-¿.Hi»)' =
( ¿ ) ) « ( 5 ) ) ' —
Entonces si p > 1 la serie converge (ver el teorema 4). • 
3 9 . Demostrar el criterio de convergencia siguiente: una serie de términos positivos
00
V an converge si ( l - í/a^) r— ¡z p > 1 para n > n0, y diverge si ( l - ) ; ^ 1 111 tí in TL n—1
para n > n0.
חͥ Solución. De la primera condición resulta inmediatamente que O ^ an (l — - ) "
(nótese que para n > n0 se cumple la desigualdad 1 — ~ - > 0), luego
n s- „ ^ „n\n(\ O ^ a„ < e v " >.
Empleando los desarrollos de las funciones x i-> ln(l + x) y e': en serie de Maclaurin con
término residual en forma de Peano, de la última desigualdad hallamos
1 1 2 ln211 , /ln2 n\
a„ ^ —e 2" v " ' — — - p - — r + o —rrr > n 00,
lo que conlleva (según el teorema 4) la convergencia de la serie para p > 1.
Análogamente, a partir de la segunda desigualdad del enunciado se deduce
an ^ r -
1 ln n 
n 2n2
La última desigualdad implica la divergencia de la serie. • 
00
4 0 . Demostrar que la serie ^ «„, an > 0, converge sí existe un número a > 0 tal que
- 1 n = 1 ^ - 1
, a " ¡f 1 + a para n n0, y diverge si — < 1, n ^ n0 (criterio logarítmico),ln n lnti
•4 Solución. De las condiciones del problema fácilmente resulta que 0 < ti„ ^ --¡777, n Js na 
(primer caso), y an ^ n ^ n(, (segundo caso). Empleando los criterios de comparación
podemos afirmar que en el primer caso la serie converge si a > 0, y en el segundo caso la
serie diverge. • 
Ü Investigar la convergencia de las series de término general an si:
4 1 . an = — . — , n > 2, 
(ln(ln «)) ' ""
M Solución. Dado que ^ - Nin(i™>) = ] n ( l n ( l n > 1 ; 1 p a r a „ > c x p ( c x p ( e x p 1,1)),
el criterio logarítmico (v, ej. 40) nos dice que la serie converge. • 
¡j I. Serios numéricas. Criterion <lr < nnv^i^eiu la pañi NericH de signo constante
42. a.¿ ;yrr -v, > I,
" (lnr¿)Mln«)'
Solución, En virtud de Ja estimación
i
ln ttTi'J^ (In(lnn)) <
ln ti ln Tt ^ i
válida para un número n lo suficientemente grande ( lim (!nf.ln — 0 ) , a partir del criterio
loga rítmico resulta que la serie dada diverge.
Empleando el criterio integral de Cauchy™ Maclaurin investigar la convergencia de
las siguientes series de término general an:
43. an= 1 ,n> 1.Tihr n 
i
Solución. La función x x es positiva para x > 1 y como se deduce del signo de
su derivada decreciente (para cualquier p y x lo suficientemente grandes). Por tanto, para
analizar la convergencia de la serie dada se puede emplear el criterio integral de Cauchy
Se liene
+oo +00
dx f d(lnx) 1 
< 0 0x\nvx j \npx {p-l)2P~l
2 2 
para p > 1, luego la serie converge si p > 1. • 
4 4 . an = } --fr-, n > 2. 
»(lnn)*>(ln(lnn))fl
Solución. Al igual que en el ejemplo anterior no es difícil cerciorarse de que se puede
aplicar el criterio integral. Examinemos la integral
+oo +oo
j — • ^x f dt 
x\npx(\n(\nx)y J 
3 ln 3 
'ara p ~ 1, q > 1 tenemos
+00
-q+1
I
/
dz _ z 
zí " 1 -q 
ln(In 3)
•foo
< OO.
ln(ln 3)
Consiguientemente, la serie converge si p = í y q > 1. 
Si p > 1, entonces como l^im = O para e > O y cualquier 7 , obtenemos
^¿77 ^ p para un ¿ > O lo suficientemente grande y p ^ « > 1.
Si p < 1, entonces para un t > O lo suficientemente grande se cumple la desigualdad
Así pues,, basándose en el criterio de comparación podemos afirmar que la integral
examinada converge si p > 1 y diverge si p < 1 (q es arbitrario en ambos casos). Así pues,
el criterio integral nos dice que dicha conclusión es válida también para la serie dada. • 
!() Capítulo I. S e r i e n
4 5 . investigar la convergencia de la serie ^ ^ - y - , donde /'("•) es el número de las
cifras del número n. n=1
Solución. Es fácil demostrar que v{n) = [lgn] + 1 ^ ln n +1- Dado que ^ ^ í ^ + i 
OO 00
y las series ¿ ^ r ¿ "T convergen, la serie estudiada también converge (conforme al
;¡=2 r¡=2
teorema 1 del p. 1.5). • 
4 6 . Sean Xn, n € N, las raíces sucesivas de la ecuación tgar — x. Comprobar la
convergencia de la serie ^ A~2.
Solución. A partir de la gráfica de la función estudiada vemos que si A„ > O entonces
íi7r < A„ < n-ir + j, luego
�� � L � �(n 7 r + 1 ) 2 A2 n V
por tanto, en virtud del p. 1.4 la serie dada converge.
El caso Ah < O se estudia análogamente. • 
00
4 7 . Investigar la convergencia de la serie ^ • ••
n = 2 
ln(íi!) • 
-« Solución. Según el criterio integral de Cauchy Maclaurin la serie —— diverge.
rt=2 " n ™
Empleando la desigualdad ln(n!) < n ln n y el teorema 1 del p. 1.5 deducimos que la serie
dada también diverge. • 
4 8 . Demostrar que una serie ^ a» d e términos monótonamente decrecientes y estric-
n=l 0 0
tamente positivos converge o diverge según lo haga la serie ^ ^ 2"a2«.
n=o
•4 Solución. Dado que O < ai+a2+a3+«4 + '•-+<12"*' ^ aj+2a2+4a4 + - • • + 2"a2", entonces
n
en virtud del carácter monótono de��6Q���6Q�ü y según el teorema de las sucesiones
k~i
acotadas monótonas, la convergencia de la segunda serie conlleva la convergencia de la
primera.
Además, puesto que es válida la estimación
2 (4®2 + 4<IJ + " ' + 2n+1a2»*i) < Oí + a2 + a3 + • • • + o2"",
de la convergencia de la primera serie se deduce la convergencia de la segunda. • 
4 9 . Sea f(x) > O, x Js 1, una función monótonamente no creciente. Demostrar que si la
00 <x>
serie /(n) converge, para su resto R" = ^ ^ f(k) es válida la estimación
fi L Series numéricas Criterios de loiivei^en* l-t series de signo umslanle 21
| OU | IX k 
J f(x) <íx < ltn < /(?i, I I) I I }{x) dx> 
71+1 | I 
OO ^ 
I l.ilhir la suma de la serie con un error de 0,01.
n * n^l
4 Solución. Dado que la función / es monótonamente no creciente, entonces son válidas
I.im desigualdades 0 < /(fe + 1) < f(x) < /(fe), ^ ¡ c ^ f e + U G N , luego
oo H 1
}{x)dx - J f(*)dx< Y ,
i i + 1 k 
co H 1
f(x) dx= J dx > X) +1) - ^ - /(»+1). 
lis f;u il ver que la estimación a demostrar resulta a partir de las desigualdades obtenidas.
Apliquemos dicha estimación para calcular la suma de la serie con el error indicado.
ín el caso considerado Rn — 0,01, }{x) = entonces
+DO +00
• i
1 (ra +1) 3 J x 3 1
donde obtenemos el número de los primeros términos de la serie necesarios para calcular
íii suma con un error de 0,01: n — 7. Consiguientemente, ^ ¿ ~ 1 ^ ^ + + ¿r
n^ i 
1 ¿ + 1 ^ 1 + 0,1250 + 0,0370 + 0,0156 -f 0,0080 + 0,0046 + 0,0029 « 1,1931 « 1,19i i 
(por defecto). • 
Investigar la convergencia de las series siguientes:
00
7T7150. ( « g ~ sen 
2 n + 
n=l
m Solución. Aplicando la fórmula de Maclaurin con término residual en forma de Peano y 
empleando transformaciones elementales de funciones trigonométricas, obtenemos
7T71 __ 7TO _ ^ ~~ 2(4tt-2) _ s 7T _ ^ " 2(4n-2) 0
- '" C 4n - 2 ~ S e n 2n + 1 = l + t g ^ ~ C0S 2(2 . + 1) _= 1 + ^ + * ~ 
1 + 8(2n + 1 )
( onsiguientemente, la serie diverge (ver el teorema 4 del p. 1.5). • 
51 / J na 
!() Capí tu lo I. S e r i e n
Solución. Si n Ji 3 tenemos las desigualdades
n - 2 ln(w!) Inn
^ ^ i n" ti 
00
Según el criterio integral las series y V convergen si a > 2, por tanto la serie
n=í n=l
investigada también converge si a > 2 (ver el teorema 1 del p. 1.5). • 
00
5 2 . (tt*3*7 - 1 ) • 
n=l
M Solución. Empleando la fórmula de Maclaurin, obtenemos
-4- 1 / lnn ^ . lnw , /lnn\
a " = - 1 = e x K ^ T T ) ~1 = ^ T T + ) = 0 V^y' n ^ 
entonces a partir del criterio integral y del teorema 3 del p. 1.5 resulta que la serie estudiada
converge. • 
oo
5 3 . X I
. ln2 (sen i ) 'n—1 V n/
•4 Solución. Debido a que sen - > n € N, se tiene ln2(sen < ln 2 (™). Por
consiguiente,
1_ 1 2 „ n * / 1 \ 
ln2(sen l n 2 ( f ) > ™ ln f " " U l n J ' " ^ 
Empleando el criterio integral y el teorema 3 del p. 1.5, a partir de la última expresión
se deduce que la serie dada diverge. • 
oo
5 4 . ^ ( / - i ) .
7 1 = 1
A Solución. Si a 0, entonces la serie diverge, puesto que el término general de la serie no
tiende a cero para n —* oo. Asumiremos, pues, que a < 0. Para determinar el orden del
término general en el caso n —* oo utilicemos la fórmula de Maclaurin. Tenemos
n" * , « , , , ln n /lnn\ „»/lnm\n - l = e x p ( n l n n ) - l = — + =0 ), n -> oo,
de donde, basándose en el criterio integral y en el teorema 3 del p. 1.5 vemos que la serie
converge si a < — 1. • 
0 0 2 n 
5 5 . V t / a > 0, b > 0.
f ^ (n + a)n+b(n + b)"+a'
< Solución. Se tiene
«n
n2n
(n + a)n+b(n + 6)"+° + » ) " + 6 ( i + i ) n + a '
fi I. Series numéricas. Criterios de t ouvtM^em Li p»mi Mellen de signo constante VJ>\
Debido a que las sucesiones ^{l í Ü) ' " " ) V ( ( ' i í ) " ' " ) Piirn n <1
• , , I »
constantes e y e , respectivamente, enlomes an ^ ' para�7ϻ. —+ oo. Por consiguiente,
según los teoremas 3 y 4 del p. 1.5 la serie dada converge si a \ b > 1.
> r r • r - • >•
00
T I = L
4 Solución. Obviamente, si a ^ 0 ia serie diverge, pues el término general de la serie no
tiende a cero* Si a > O, empleando la fórmula de Maclaurin obtenemos
an ln ~ - ln (sen - M = - ln fnasenna \ na/ \ na / 
n - > oo,
( o n siguientemente, conforme al teorema 4 del p. 1.5 la serie converge si a > • 
00
5 7 . Sea u n a s e r i e d e término general t£n = i v r + dx 1 . investigar su
< onvergencia,
< Solución. Como n n 
-1
O
J y/l + x4 dx > J xdx—7^-,
o o 
entonces O < un < ^ ; por tanto, a partir de los teoremas 1 y 4 del p.L5 resulta que la serie
converge. > 
OO
5 8 . Demostrar que la convergencia de la serie vectorial An en el espacio vectorial E*,
An — (anit - - , E E", es equivalente a la convergencia de todas las series
2 J ani t i — 1, fe -
7 1 -
oo
4 Solución» 1. Supongamos que todas las series ^ an¡f i — 1, fe convergen. Entonces
I lim Sni — Si, donde $ni y Si son las sucesiones de sumasparciales y las sumas de las«->00
series, respectivamente. Por definición de límite de sucesiones, para Ve > O 3 tal que
Vn > tiq se cumplen las desigualdades
£f i -— lj fe) 
luego
k
J2 ISni - Si|2 < ÍV^ fc,
t^l
o ||£„ - 5|[ < eVk, donde || * || es la norma de elementos en Sn = (5nI, Sn2í...,
24 Capítulo 1. S e r i e s
ÍXJ
S — (Si, S2,. • •, S/c) A»• I ' o r consiguiente, 3 lim S„ — S en E * ; es decir, conforme a 
Ti — I OO
la definición 3 del p. 1.1 la serie vectorial A„ converge a S. 
n = i ^ 00
2. Supongamos que la serie vectorial A,, converge y su suma es S, S £ E 4 .
Entonces según la definición 3 del p. 1.1 para Ve >' ü 3 no tal que Vn > n0 se satisface la
desigualdad
l|S» - S|| < e o 
de donde
N
k
J 2 |S„Í - s¿|2 < E,
t=l
¡SK1- - 5,1 < f V, = l,fc,
00
es decir, todas las series X) am convergen. • 
n—l
5 9 . Investigar la convergencia de las series vectoriales:
°° 1 
n=2
oo
b ) y f e " ^ — - ) 
' ¿ A ' ns/ñ' (2n + l)!!(|senn| + | eosn\)/
co
< Solución, a) Debido a que la serie ]T) ^¿¡-^ diverge en virtud del criterio integral de
n—2
Cauchy—Maclaurin, la serie vectorial dada también diverge según la afirmación del ej. 58.
b) Para que la serie vectorial dada converja es condición necesaria y suficiente que
converjan las tres series siguientes:
•Vi ÍV5 QQ
ln n n! 
W V -Hl™ V a -
> Z - f ¿ j í ;ny/ñ' ¿-J (2n + l)!!(|sen n| + | eos n\)' 
A la primera serie se le puede aplicar el criterio de Raabe
lim n í e ^ - ^ - l ) = lim n f e ^ T s - l ) = 
n—too n—>co
= limnfl + 1 — + o ( — - l ) = lim n(Vn +1 + V ^ ) " 1 = +oo,
v Vn +1 + y/ñ \Vñ> / n—>oo v 7
luego la serie converge. A la segunda serie le apliquemos el criterio integral de Cauchy—
Maclaurin, es decir, investiguemos la convergencia de la integral impropia
+oo -feo -loo
/
ln x dx 2x~Mnx|+ 0 0 +2 [ —x - 2 [ —
Xy/X 1 J Xyfx J Xy/X 
1 1 1 
Vemos que la integral es convergente, entonces la serie también lo es. Por lo que se refiere
a la tercera serie, utilicemos primeramente el criterio de comparación
fi I. Series numéricas. Crilomm dr < un vi'íj^'m l.t p.u,i puM:Uari dr signo consianfe 2Jj
y apliquemos a la serie , i)¡i «'rilcM'in de I >'Alt*nil»<»rl
» i 
|im <«J ')•(<-"; ¡ ).)!! .1
» hxi (2n I 3)!!'//.! 2"
I'di consiguiente/ la tercera serie es convergente. Debido a que las tres series convergen,
Li serie vectorial dada también converge,
oo
6 0 . Demostrar que la convergencia de la serie de números complejos ^ zn es equíva-
00 00 n=1
Irnle a la convergencia de las series reales xn y ^ ^ yn/ donde zn = ar„ -+ iyn.
71=1 W—1
OO 00
Solución, 1, Supongamos que las series X] x « Y S convergen y sus sumas son X 
n=l rc=l 
v Y, respectivamente. Entonces, según la definición 1 del p, 1,1 para Ve > O H rio tal que
V//, > no se verifican las desigualdades
Xn-X}<e y \Yn -Y\<e, (I)
tunde Xn, Yn son las sumas parciales de dichas series. Teniendo en cuenta las desigual-
I.kles (1) obtenemos
Xn + iYn - (X + »T)| = \Xn -X + i(Yn - Y)| ^ \X„ -X\ + \Yn-Y < 2e. 
OO
<'(>nsiguientemente, las sumas parciales de la serie compleja XX^h + ¿Vn) convergen al
00 OO
numero X +iY = ^ xn -f i J2 Vn• 
7o� �� �ϗ�ü �
OO
2. Supongamos que la serie zn converge y su suma es X + iY. Según la
n=l
definición 1 del p, 1.1, Vé* > O 3 % tal que se cumple la desigualdad
Xn+iYn-(X + iY)\ <e o y/{Xn - X)2 + (Yn - Yf < e, (2)
i londe Xn -j- iYn - X\ -f iyi -f x2 4- iyz H f- xn + iyn - + zz H b zn son las sumas
parciales de la serie examinada. De (2) se deduce
\Xn - < e, |Yn - Y\ < e> 
00
es decir, Xn X e Yn —• Y para n —* oo. Por consiguiente, la serie ^ xn converge y su
W n=1
suma es X ; análogamente, la suma de la serie 2Zyn es Y. • 
� � �
6 1 . Investigar la convergencia de las series complejas siguientes;
00 00
a ) y ; 4 ± i ; b) y ; r n !
� ϭ ü j� 7 ! �� ϕ� �� 
� - / A ,� F �n3 + í' ' ¿=<i (i + 2)(i + ±)...(i + 2n)' 
OO 00
Solución, a) Debido a que las series -q-j- y X) ¿pi convergen, la serie compleja en
n=1 n=l 
. 1 1 1 U w U « A r t r t * í ' A + ' í V r t i ^ r t - n f r t ^ m A 1 f f f t t ^ / í n l A l ( " S I Y i r ^ l A ^ n f i l ' H l A T »
2(i C'apilo lo I, S e r i e s
l>) Utilizando la fórmula x \ iy --- \/x2 | y\ws <p'\-i son <p), reduzcamos la expresión
n |( . 
a l a í o m i a ffiiC/üfe' d o n d e V» = g a r c t 8 ¿ - Q , m o v á i i ^ h < 
oo
^ T C T T T ' V s ^ V ^ T < ^ . " W y l a s e r i e 5 ^ T O T T T c o n v e r 8 e según el
criterio de D'Alembert, entonces a partir del teorema del ej. 60 resulta que la serie compleja
dada también converge. • 
H Analizar la convergencia de las sucesiones (xn), n <E N, utilizando para ello las seriea
convenientes:
62. ¡r„ = l + 4= + -- -+ -5= - 2Vn.
V2 Vn 
n - l
חͥ Solución. Como xn = Y1 1_ xk) + x\ • entonces
J t = i
n - l
1 1 _ 
1
n - l
i + 4 = + • • • + 4 = - = - i - y ]V2 Vñ VF+í(Vk + í + Vk) 
Por consiguiente,
00
lim x„ = -1 -
Ti—*co ¿ — ' ' " \2f^ Vk + \(VkTT+Vkf 
Dicha serie converge conforme al teorema 4 del p. 1.5, pues
1 1 z — — _ _ r^ j — p a r a k —> oo,
por lo tanto, la sucesión dada también converge. • 
6 3 . x n = 
ln fc ln2 n 
£=i
ͥ͞ Solución. Análogamente al ejemplo anterior, tenemos
n - l
Xji
de donde
k^ 1 
Empleando la fórmula de Maclaurin con término residual en forma de Peano, tenemos
. 2)n(n +1) , n . , ... 
2 a n = — r r 2 + l n — T T " l n n ( n + 1 )n + 1 n + 1 
21n(rc + l) ln(n + l) + lnn */In?T
—; h U 
n + 1 n YW) ~ 
—2 ln n / 1\ - n + 1 nt / ln n \ _ 
n(n + l) V+ n) " n(n +1) \ n2 ) ~ 
2 ln n n - l » / ln n \ / ln n \ ; H— rr+C —5- =0 —=-), noo.n(n + l) n2(n +1) \ n2 J V n2 J 
!i J. Series nunitf ricas. ("rilerioN de mu vi'igrnrhi |mm «eru'fi de signo constanle 27
Consiguienteinenle, la convergencia de la í+ut vmioii (;i:m) es equivalente a la conver
( X ) ln TÍl'.enna de la serie J 1r- Según el criterio tnlegm), l.i última converge y, por lo lanío,
2
i onverge la sucesión estudiada. • 
Íl4* ¿Cuántos primeros términos (aproximadamente) de fas series siguientes hay que
Ihut fji cuenta para que (as mismas queden determinadas con un error de 10 L ? 
OO CÜ
1 , , x-N 2 n 
n=I -1
4 Mol ución. El numero buscado de términos de la serie se determina a partir de la desigualdad
L — 5
K + l + On+2 + - - - I < 10 I ( 0 
(onde an es el término general de la serie considerada,
a) Sea an — En virtud de que
7 1 + 1
1 ^ f dx w
(n + l)2 J x 
n
.'»r llene +oo
1 i 1 , ^ r dx 
(n + l)¿ (n + 2)¿ J X 
n
2 ' 
1 )i' t \ste modo, la desigualdad (1) se verifica si
+00
/ dx < 10-5x1 ���
n
A partir de (2) hallamos n 105,
b) Sea an — ^ ^. Entonces
. 2n+l A 2 22
+ + " " ' 1 = toT2M l 1 + ¡ T f 3 + (n +3Xn +4) +(n + 2)! V n + 3 (n + 3){n + 4) <
, 2. , / 2 \ 2 , \ (n + 3)2wKl
(» + 2)J\ n + 3 Vn + 3 / 7 + 2)1 V n + 3 Vn + 3 / 7 (n + 2)!(w + l)
Vemos, pues, que la desigualdad (1) se cumple si ^ ^ . Resolviendo la ultima
desigualdad encontramos que ra ^ 10. • 
• » . . . . . . . . ' 1 B
lijercicios
Investigar la convergencia de las series:
1. 3 -ticos^f. 4.±(nsenlf. 5. ¿|ln(cos I ) f .
n—1 n=l «—1 n-.'i
oc i— —«— \ ^ A V Vln/rí^I^I 7 Y^ gft)ü _ A V^ »|w+3K« 1 Zj y J J , \ ^ « r (2/1+1)!! * °4 l^i * 
1 7 1 ^ 1 tt—1 
!()
Capítulo I. Ser ien
9 v .. , . ( " ')' 1 0 y ü £ > 11 y M u s í 12 V 
- 3 h h <",">"' h 
13. t ^ f i Ü ^ - V ^ ) - 14. £ [ « . ( « * - f - a » v T ) ! * - ^ ¿ « ^ r i k -
t*-1 n—1 , n-2
16. Demostrar el criterio de Bertrand: si existe (al menos en sentido impropio) el límite
la serie numérica V] a„ de términos estrictamente positivos converge para q > 1 y diverge
para q < 1.
Empleando el criterio de Bertrand, investigar la convergencia de las series siguientes:
1 7 . t n * . d o n d e 7 i = ( 1 + 1 + ^ + 1 8 . ± {2n™:M.n.
»=1 k=2 n=2 
Determinar el comportamiento del términogeneral para n —* 00 e investigar la convergencia
de las series siguientes:X / n \ X y+X 2 2 \ X +X x + x 
19- E Í E i - i ™ ) » * - 2 0 . E Í / 2 1 . E I 2 2 . E I <«•
X. + x
23. E n i /(#)|sennx[ donde la función / es absolutamente integrable en ]0, +oc{ y 
n=l 0 
x
/
f(x) dx ¿ 0. 
24. E I e~*" dx-1 . 25. ¿ / senf2 dt - ^ 
ü n 
x
26. Una serie matricial ^ donde son matrices ft x Z, se denomina convergente si
n=l
Ο
3 lim y Ap — A, 
j>=l
donde A es una matriz k x i.
Probar que la convergencia de la serie matricial es equivalente a la convergencia de todas las
series del tipo
n-l
donde aVn son elementos de la matriz A„, n E N.
27. Demostrar la convergencia de la serie matricial
x A x1A1 x"A"
+ • (1)
donde A es una matriz cuadrada, I la matriz unidad y x un número. Nótese que la serie
matricial {1) define la denominada exponente matricial exA, es decir.
tj2. Criterios do ('(iDvot^iicíft ptiiii idlomadas 7})
VH. Sea /l una matriz cuadrada que puedo nei
nialn/, T tal que
ii'i11ii it Iti ii iniii luí muí diagonal, es decir, existe una
A
T'lAT
A-,
0
i
0
I Amostrar que se verifica
te
eÁ=T
0
VI. Se.i / una matriz cuadrada n x n de la forma
I >emostrar que se verifica
/
1 = 
A 1 0
A 1 0 
\
/e* 1!
eA e 
\ o 
g
21
A
1Í
A,
0 \ 
T
/
o
1 ,
A / 
* * I 
�
* • • (b-2 ! )
1!
- A /
:X
10. I Amostrar que Ja serie converge si
n=0
Til
X > " " ) 2 < i,
4
ÍV7=1
londe a^ 9 € R son ios elementos de la matriz A. 
2. Criterios de convergencia para series alternadas
2,1. Convergencia absoluta y condicional de una serie
oo
Definición 1, Se dice que la serie an converge absolutamente si converge la
OO tt-1 
Serio Ia"!' an £ O C.
H - l ex» ce
Definición 2. Si la serie X] an converge mientras que la serie \anI diverge,
oo n=l
entonces la serie XI an s e llama condicionalmente converge. 
n=1
,10 C a p í t u l o I. S e r í e s
Teorema l. De la convergencia absoluta de una serie se deduce ¡tu convergencia. 
Teorema 2. Si una serie converge absolutamente y su suma es S, entonces los términos 
de dicha serie pueden ser reordenados arbitrariamente sin que altere la suma inicial S. 
Teorema 3 (de Riemann). Si una serie converge condiríonalmente, entonces mediante 
una reordenación apropiada de sus términos a partir de ésta se puede obtener una nueva serie 
con un valor de la suma fijado de antemano (no se excluyen los valores ±oo).
2.2. Criterio de Leibniz
Si a„ — (—!)"&„, bn ^ 0, y la sucesión (í>„) tiende monótonamente a cero a partir
oo
de un número no, la serie a„ converge.
«=i
Para el resto de una serie de este tipo es válida la estimación siguiente:
Rn = ( - l f M n + 1 , o < 0„ Íí 1, n> nQ.
2.3. Criterio de Abel
La serie
00
y ««&„ (i) 
n=l
oo
converge si converge la serie an y ia sucesión (í>„) es monótona y acotada.
2.4. Criterio de Dirichlet
La serie (1) converge si desde un cierto número íi0 en adelante la sucesión {&„)
tiende monótonamente a cero y la sucesión de sumas parciales de la serie an está
acotada. Ti=1
2.5. Propiedad asociativa de una serie
Los términos de una serie convergente pueden agruparse arbitrariamente sin que se
altere su suma.
6 5 .
Demostrar que una serie a„ convele si se cumplen las condiciones siguientes:
n=l 00
a) el término general a„ de la serie tiende a cero para n —> oo; b) converge la serie A„ 
M=iobtenida al agrupar los términos de la serie dada sin violar su orden; c) el número de
p„. i-i 
sumandos «; contenidos en el término An — y] a¿, 1 = pj < p2 < . . . , es finito.
i=P„
ooM Solución. Sea (S¿t) la sucesión de sumas parciales de la serie X) ^n • Entonces
n—1
Snk = « t + «2 "I + ap;-1 + % + + i + • • • + + ••• + 
+ aP„ + ap„+1 "I + a* + Oft+l + • • • + av„ ,-1 ~ 
- sk + ak+i + • • • + a P i p n < k ^pn+1 - 1, 
oo
donde (Sk) es la sucesión de sumas parciales de la serie X) an-
fcj2, Criterios de conveif^mla pañiG opQp hvi «ilIrritadas
Debido a que atl —> 0 y el número do lerrninoN de la sucesión (a^.n H - a* , 2 I • • • 
i) (C\) es finito según Jas condiciones del problema, entonces Ck —* U para h * oo.
I 'i -i mnsigniente, lim Sflk = lim Sn. Así pues, la afirmación queda demostrada. • 
11 —'OO M - + O G
flíl, I Vmostrar que Ja serie
ai -f- a2 H h a^-i - + aPy -f- • • • 
tonvrigr o diverge según lo haga la serie
oo /P»+i -i
£m>~' ( E % 
n=1 x ¿=pn
Solución. Supongamos que la primera serie converge. Entonces converge cualquier
(iiib'iucesión de sus sumas parciales, por ejemplo, la siguiente:
que es, evidentemente, la sucesión de sumas parciales de la segunda serie. Por lo tanto, la
urgunda serie también converge.
1
Supongamos ahora que la segunda serie converja. Entonces ^ 0 para
í=Pn
n > no. Dado que todos los son positivos, la suma a^+i + - •• -f i (v. ej, 65) también
l l e u d e a cero y 
lim S*k ~ lim Ski71—+OG 0 
<lt?cir, la primera serie converge. • 
(>7. Demostrar que la suma de una serie convergente no se altera si los términos de la
serie se reordenan de tal modo que ninguno de ellos se aleje de su posición inicial en más
de m posiciones, donde m es un número fijado de antemano.
00
Solución. Sea S la suma de la serie an> entonces Ver > 0 3 TV tal que Vn > N la
»=i
sucesión de sumas parciales (5n) satisface las desigualdades S — € < Sn < S e. Según las
condiciones del problema para n > N -f m es válida la desigualdad S - £ < Srn < S + 
donde es la sucesión de sumas parciales de la serie obtenida después de efectuar la
reordcnación indicada. Consiguientemente, lim S'n — S. • J1.—+OQ
Y a¿ > 0; 1 = pi < p2 < , .. . 
I|f| Demostrar la convcrgcnein de las series siguientes y li.illar niin sumas:
6 8 .
2«+lSolución. El término general de la serie es o.„ — (-l)"£>,t/ n € Z+, donde b„ — 2„
Dado que desde un cierto número n en adelante, bn tiende monótonamente a cero, la serie
converge según el criterio de Leibniz. La convergencia de esta serie puede ser demostrad
también directamente. Observando que la sucesión (S„) de sumas parciales de esta serie
puede ser representada en la forma
<? — <fW J - < ? ' 2 > _ L J . c(»+l)- J n + " n T ' ' T On , 
_ i _ I + i _ 1 + . 
" 1 2 + 4 8 +
S l í 2 + 4 8 
S f - 1 ' - - 2 (
2" 3 V ti
2 "
( - 1 ) '
,rs+l
2 " - 1
\ = 4 / i (~ir}\
) 3 V 2 2"+1 /'
(-1)* (-1)* ( - 1 ) "
2™
2 » + i
4 / ( - ! ) *\ 4 / K T
) 3 \ 2k 2"+1 /'
_ 3 \ 2Ti_1 2™+1 ) ' ~ 2" ' 
obtenemos
e 4 / 1 1 _ ( - 1 ) " - ^ 2 ( -1)" + 1
" 3 3 V 2 4 2n _ 1 ) 3 2™+1
4 ( n - l ) ( - l ) B + 1 ( -1)"
3 2"+l 2" 
Por lo tanto, el límite lim Sn existe (es decir, la serie converge) y es igual a |. • 
6 9 . 1 - 1 + 1 - 1 + I - 1 + . . . .
2 3 4 5 6 
Solución. Como el término general de la serie es de la forma an = —, « € N, y la
sucesión ( £ ) tiende monótonamente a cero, dicha serie converge conforme al criterio de
Leibniz. Hallemos ahora S2n:
= 1 - 1 + 1 
2 3 
• + 1 + | + ' + ) -2n — l 2 n ' 2 ' 3 ' ' 2n 
= C + In 2n + e2n - (C + Inn + e„) - ln 2 + e2n ~ en>
donde C es la constante de Eulery s„ —* 0 para n - » o o .
Tomando en consideración que lim Sn — lim S2n, donde (5„) es la sucesión de
íí—»ao »—* co
sumas parciales de la serie dada, obtenemos finalmente
1 1 1
,n+l( I V
7 0 . Utilizando el hecho de que y , — = ln 2, demostrar la afirmación siguiente:
Ti,
1! = 1 
1 1 1 1si los términos de la serie 1 — - + - - - + - - ••• se reordenan de tal modo que grupos
§2. Criterios de convergencia jmui nrrh'H alternadas 33
de q términos negativos alternen con grupo» de p lériníiios positivos, la suma de la nueva
1 p 
nene será igual a In2 4- - ln
4 Solución. Al realizar dicha reordenación se obtiene la serie1 1 1 1 1 1 1 1 1 
I I h ^ + 1 ' ' H~ : — _ — -(- — + * • • + 
4
3 5 2p — 1 2 4 2q 2p +1 2p + 3 4p - 1 
on lasuma igual (v. ej.66) a la suma de la serie
?
I I 1 \ (\ 1 1 V + - + }- — ] _ ( ± + ± -] + i + 
3 5 2p-\) \2 4 2q 
1 1 f [ •• • •••- 4- -L * * • -L
2p + 1 2p + 3 4p ^ y ) - - o)
ti Li ultima converge,
Examinemos la serie
I k > 
v (
- J\7(n- 1 
1 1 + T: TT + ' * * + 2(n - \)p + 1 2(n - l)p + 3 2np - 1 
1 1 1
+ « « 
2(n-l)í ¡r + 2 2 ( ? i - l ) g + 4 2nq (2)
,.i serie (2) se obtiene a partir de la serie (1) al agrupar los términos de la serie (1) de dos
•ti dos. Por ello, si demostramos que la serie (2) converge y hallamos su suma, entonces
•alindóse en el resultado del ej, 65 podemos afirmar que la serie (1) tiene igual suma.
Sea p > q. En este caso es fácil obtener la expresión para
s iendo (Sn ) la sucesión de sumas parciales de la serie (2). Sumando y sustrayendo de la
i • n I) i r s i ón (3) los términos
1 1 1 1 / 1 1 
H - ^ — 7 + ' " + - — H -f • * * + 2 nq + 2 2 nq + 4 2 np 2\nqJr\ nq + 2 np 
y empleando la fórmula asintótica
1 i 1 . l 1 | TTh 
H T^ - = ln — r emn, emn —> 0, m —> oo,771 +1 m + 2 n n 
a partir de (3) se obtiene
2ílt) 1 fí/D 
Sn = C2np + ln — - ~ ^ — + 0, n oo, (4)
O O
donde (C2np) es una subsucesión par de sumas parciales de la serie convergente j ] ' , Ti
I )e este modo, a partir de (4) se obtiene
n^l
lim — ln 2 + ~ ln
!() C a p í t u l o I. S e r i e n
Notemos que para p q se obtiene el mismo resultado, lio particular, si p = 2 y 
q — 1, se tiene
14.I_IxI4.I_I4. . = 2-
1 1 3 2 5 7 4 2 
si p — 1, q = 2, entonces
1 1 1 , 1 1 1 . 1 í o „ 
2 ~ 4 3 ~ 6 ~ 8 2 * 
0 0 ( l ) n + 1
7 1 . Reordenar los términos de la serie convergente ^ — de un modo tal que
ésta diverja.
M Solución. Examinemos, por ejemplo, la serie
>Jñ»=1
v V3 y/ñ a/2/ \J7 y/9 vTF y/i y y/3 y/l y/2) \y/7 V9 Vil y/i-
1 1 1 1 \ 
1 - 1 1 ) 4 . . . _ 
V6n-5 vbn - 3 y/bn -1 \/2ñv 
1 , n E f f l
n=l
n=l
Dicha serie se obtiene de la serie inicial una vez realizada la reordenación siguiente:
a cada tres términos positivos le sigue uno negativo. Demostremos que la serie diverge.
En virtud de la desigualdad ^ + ^ _ > - ¿ L j _ - J . > 0 obtenemos la
siguiente estimación del término general de la segunda serie: an > - g L . Debido a que00 00 * 
la serie v ¿ 5 diverge según el teorema 4 del p. 1.5, la serie a " también diverge de
acuerdo con el teorema 1 del p. 1.5. Notemos que la serie inicial converge según el criterio
de Leibniz. • 
ü Investigar la convergencia de las series alternadas:
72 i + I + I - l - I - I + I + I + I_. . .
2 3 4 5 6 7 8 9 
< Solución. En virtud de que la serie con términos agrupados converge (según el criterio de
Leibniz), entonces la demostración realizada en el ej. 65 nos dice que la serie dada también
converge. • 
73. ln n 717Tsen
4
n=l
M Solución. Debido a que
Ekit\ ( 7i" \ nit n +1 sen — = sen — 1 sen — - sen —-—7r
4 V 8 / 8 8 
K 1 sen g 
y la sucesión (n_1 ln100 n) desde un cierto número n lo suficientemente grande tiende
monótonamente a cero (esto se deduce de que lim «t-1 lnlco x — 1Ü0 lim x 1 ln99 x = 0,
X—t+OO X—>+OG 
< 0, Va; > e ), la serie dada converge conforme al criterio de Dirichlet. • 
t¡2. Criterion tic coiivfiHfnrl.1 |irti,> '«rili-M .ilu-inndns 3f>
rx;
74.
TI L 
»sen w 
Ti
OO <X) M
Solución. Las series XJ y convergen: la primera según el criterio de
Ti—1 7l~l jr n \ 
VA y la segunda según el criterio de Dirichlet (pues, la sucesión f X X - ! ) * c o s está
iili 'ni,ido,
Ο
£ ( - d * cos 2k 
1 í - l ) n- i + ^ L r c o s ( 2 7 i + l)
2 2 cos 1 
< 1 + (cos 1)
2
-i
y 1 Monde monótonamente a cero para n —> oo). Por consiguiente, su semidiferencia
oo
2 " ra 
Q O H=1
rtservn
n
liimhién converge.
oo
7.S. V ( - i ) "
���—2 V ^ + í - l ) " '
4 Solución. Representando el término general de la serie en la forma
(-ir
Vñ + (-l)n
1
n- 1 r¿ — 1 n - 1 
oo
/ -i y " fX -i
V observando que la serie ¿ J converge según el criterio de Leibniz y la serie X) ípj
n-2 n—2 
tiverge, deducimos que la serie dada también diverge. • 
oo
oo
76. V sen (W n2 + k2).
n-i
M Solución, Debido a que
sen (?ry/n* + k2) =(-l)n senit(Vn2 + k2-n) =(-l)nbnt
donde bn = sen tiende monótonamente (si n > ra0) a cero para n —* oo, entonces
aplicando el criterio de Leibniz vemos que la serie estudiada converge, • 
00 / i\[V»I
n71=1
4 Solución, Examinemos la serie obtenida al agrupar los términos de la serie dada. Tenemos
K * M +
1
8 9 10 +
• á + 1 ) + 15/
4 * 4 +
+ + » I 
3 6 C a p i t u l o 1. S e r i o s
D a d o q u e
a 1 1 1 „ 2 k +1 
k2 + k2 + í + ' • • + (fc + l ) ? _ l < fc2 - > U '
2k
E l 1 1
íí-2 + mMtk + 1 ^ 4 - rn\ ~ WTJÍTT5 ~ fc2 4- A* -I- 1 > (k2 + m)((A; + l)2 + m) k2 + 4k + 2 &2 + 4v + 3 
(2 k +1)2 1 1 
(fe2 + 2k){k2 + 4k + l) Zk2 + 4k + 2 k2 + 4k •{• 3 
para k ^ k0, la serie ^ ( - l ) 4 ^ converge según el criterio de Leibniz. Haciendo uso del
L O
ej. 66 llegamos entonces a la conclusión de que la serie dada también converge. • 
7 8 . £ 
eos n+1
ln2n
•4 Solución. Se tiene
7™2 / i\« ( n2 ^ / tí 
cos ÍT+T = cosríTfT " = ^ cosiTPT
® f _ i y ¡ + i
Debido a que la serie ¿ J ^ converge según el criterio de Leibniz, y la sucesión
(cos ^ j ) es monótona "y acotada, la serie investigada también converge conforme al
criterio de Abel. • 
7 9 . Demostrar que la serie alternada
h - b2 + b3 - 64 + • • • + (-1)"_1&„ + - • - , bn > 0, 
converge si = 1 + — + o ^ ^ para n —» 00, p > 0.
M Solución. Como se deduce del ej. 35, para p > 0 la sucesión (bn) l 0 si n > n0. Por tanto,
a partir del criterio de Leibniz resulta que la serie dada converge. • 
Investigar la convergencia absoluta de las series siguientes:
80- ÍX'^ )-
ti = 2
Solución. Sea p < 0. En este caso el término general de la serie no tiende a cero y, por
consiguiente, la serie diverge. Sea, ahora, p > 0. Empleando la fórmula de Maclaurin con
término residual en forma de Peano obtenemos
$2. C'iili'iios (!«• (íiuvim'MI'IU'Ih urthi Ncrlru .il temadas 37
O( ' ) 
\ w P / 
SI 11 00.
m i ^ i I i 1 lo que, según el criterio de Loibm/,, lii so rio 1 converge para p > 0 y la serie
i h i » I 
- ¿ F + ° converge conforme al teorema 4 del p. 1,5 para > | ) ] a*n/ donde a*n — 
n I 
•t i 
{ptir.i p ^ ^ s e r * e diverge), entonces la serie dada converge sólo para p > ^. 
Utilizando la desigualdad
1 < | l n ( l + . ( " 1 ) n2 nP n?
V Ion leo remas 1 y 4 del p, 1,5, vemos que la serie dada converge absolutamente para p > 1.
IW mnsiguiente, si \ < p < X la serie investigada converge condicionalmente. • 
Hl.
n 2 
( - i r
(» + ( - 1 ) " ) '
Solución. Para p ^ O el término general de la serie no tiende a cero, es decir, la serie
divnge. Consideraremos entonces el caso p > 0. Empleando la fórmula de Maclaurin con
rl limi ni no residual en forma de Peano transformemos el término general de la serie como
nI^ iic:
( o" < - i ) " í r í ' ( i + 
(n | { 1)»)f
t i )
n
n v -
( - i ) " í r p ( i + p ( - D
n+1
n +
(-ir p
nP np + lr + 
oí 1
\nP-
00 00
ní n > oo. Las series ¿ y ¿ { ^ r -f o convergen para p > O (la primera en
71=2
vit liul del criterio de Leibniz y la segunda/ por el teorema 4 del p. 1.5). Por tanto, la serie
Inicial converge siempre que se verifique esta misma condición.
Como
n = 2, oo,< <
(n + iy (n + (-l)")p (n - l)p'
oo
y Li serie Y^ ¿ converge para p > 1, entonces a partir de la última desigualdad y del
t i = 2
I ni rema 1 del p. 1,5 deducimos que la serie inicial converge absolutamente si p > 1,
i no siguientemente, si O < p ^ 1 la serie converge condicionalmente. • 
oo
82. V sen
KJT
T i ' i TnP + sen . !I=I 4
Solución. Obviamente, para p ^ O la serie diverge, pues no se cumple la condición
mirosaria de convergencia. Al igual que en el ejemplo anterior, representemos el término
- 1 — forma
/ATT/ « 7Í7T
uní — I w + sen
i
4 4
n r sen rnr
4 � �
sen tltt -1
TiP
sen nv
np
1
sen nv
V?
sen nw sen2 mr
n? n2p +
1
n2v n oo
Capítulo I. Series
Si p > tí la serio ¿ --™1- converge por el criterio de Diriclilet, puesto que
» -1
ly^sen ~ ¡ < — ~ i 0, n~~*oo.
4 1 sen | v?
00
Para p > 0 la serie también converge según el criterio de Dirichlet La serie
n=l
^ ( n 2 ? + 0 ( í i 2 P ) )
» = i N ' 
converge tan sólo para p > | según el teorema 4 del p. 1.5. Por ello, la semidiferencia de
estas series ^ ^ 
\ + - \ £ +
71=1 \ / 11=1 V ' 
00
converge para p > | (pues, para 0 < p ^ ~ la serie ñ~-v diverge, por lo tanto esta última
n=t 7
serie también diverge). Consiguientemente, la serie inicial converge sólo para p >
Para definir la región de convergencia absoluta hacemos uso de las estimaciones
|senf | [ s e n f | 1 < 2 | s e n f |
2 n¡> ^ nP " h | *a>'-T I n? 
1 1 ^ n¡' I 
1 c o s f = s e n 2 f ^ |sen^[ ^ i 
2n? 2n? nP ^ nP ^ nP' 
así como de los teoremas 1, 4 del p. 1.5. De estas desigualdades resulta que la serie dada
converge absolutamente sólo para p > 1, Por lo tanto, si | < p < 1, la serie converge
condicionalmente. • 
°° ¡ i\l</¡¡]83- m 
» = i
Solución. Es evidente que para p > 1 la serie converge absolutamente. Para determinar el
dominio de su convergencia examinemos la serie
oo (2)
71 = 1 
donde An = + (n] + • • • + fri^y, se obtiene al agrupar los términos de la serie
dada. Puesto que 0 < A„ < para n —>• oo y p > y, además,
* - -1
(2n + l)((n2 + 4 n + l f - (n2 + 2 n f ) _ 1 1
(n2 + 2n)P(n2 + 4n + \)P (n2+4n + 2)? (n2+4n + 3)P 
§2. Criterios iK* conv^r^nt ifi jwt'rt MPI'IIW alternada»
para un n lo suficien tomen te grande, la Nodo ronvoigr en virlud del criterio de Leibniz.
Atlomiís, An > no tiende a coro si p • |; por lanío, la serie (2) diverge si p < 
I'ím »onsiguiente, conforme al ej. 66 la serio (I) converge sólo para p > Así pues, la
hoHo (I) converge condicional mente para ^ < p L • 
8 4 . y L l l —Z—«• « n
΅ͺ͑ ͑͢
4 Niillición. La serie obtenida al reagrupar los términos de la serie de partida tal como sigue
OO
1
£ < - » ' " ( Ü ^ t t + ' +
¿=1 J [e
k}J7
dlvrij;o como se deduce de la estimación + - • • + prf > '] = 1 - ^ ^ 1 -
k • 'X). Por consiguiente, haciendo uso del ej. 66 vemos que la serie investigada también
illvorgo. • 
(X>
H5- E * - 1 ^
1*3 * 5... (2n 
2*4-6... (2 n) » i ^ v
4 Noliu ión. Examinemos la expresión
I • * 5 . . . (2 n - l ) y # / 1 • 3 • 5 . . . (2re - l ) ( 2 w - f j ) y
• 4 • 6 . . . (2«) / ' V 2 - 4 * 6 . . . (2n)(2« + 2) ) 
271 + 1 / 2n + l Vil/ 2w Vn/ ' 
di' donde teniendo en cuenta el ej. 79 resulta que la serie converge para p > 0. Como para
¡t 0 el término general de la serie no tiende a cero si n —• oo, la condición p > O es
nn rsiiria para que la serie converja.
Aplicando el criterio de Gauss vemos que la serie converge absolutamente sólo para
/i • .1. Consiguientemente, para los valores de p que satisfacen la desigualdad O < p ^ 2,
lit se rio dada converge sólo condiciona lmente. • 
8 6 1 , 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + . . .
F 2í y 4? 5P ó*
4 Sol ucíón. Evidentemente, para p^Ooq^O la serie diverge (esto resulta del criterio
i ici osario de convergencia). Por tanto, a continuación consideraremos que p > O y q > O.
Agrupemos los términos de la serie dada del modo siguiente:
VP 2 * / \3P 4 * / 6* / ^ \riP (n 4-(n 4- l)q
I Jado que
I ^ 1 = J^ 1 A. . 1 
' (n + 1)« ~~ vP - ¿ K )
1 1 a q , n\\ 1 1 , q , / 1 \ 
np n? V ÍÍ
u p i l l H O
la serio agrupada converge para p q > 0 según el teorema 4 di'l p. |.!>. Un el caso p -A q 
vemos que la serie converge si se cumplen ambas desigualdades p > I y q > 1. Entonces
teniendo en cuenta el ej. 65 deducimos que para que la serie dada converja tienen que
cumplirse las mismas condiciones. Obviamente, la serie converge absolutamente sólo para
p > 1 y g > 1. • 
8 7 . i + l _ l + 1 + 1 _ 1 + . 
3P 2P 5" 7? 4? 
חͥ Solución. La serie 1 + + ¿ + + + de los valores absolutos de los términos
de la seiie dada, converge tan sólo para p > 1, ya que bajo dicha condición converge la,
00
serie Y] ^ y ios términos de una serie absolutamente convergente pueden reordenarse de
cualquier manera.
Si p — 1, obtenemos la serie analizada en el ej. 70, donde se estableció que dicha
serie converge.
Consideraremos el caso 0 < p < 1. Formemos la subsucesión (53„) de sumas
parciales de la serie dada, donde 
1 1 . 1Ssn -1 ~ b+ é 
1
+
+
4? ^ (2 n -
1
(2n)P +
= C2„ + 
(2 n +1)? 
1 • + 
+
+ ••• + (2n + 3)P ' ' (4n-1)P ' (271 + 1)? (2n + 3)'' (4ra - 1)'''
siendo (C2n) una subsucesión de la sucesión de sumas parciales de la serie convergente
E
Q O
(-Í)" . Debido a que
1 + 1(2 n + 3)? + ••• + >
n
(4n - 1)P ( 4 n - i y
+oo, para oo,
lim C2n + lini ( -n—>00 rj >oo \ ( + ' ' +00.
(2n +1)? 
entonces
Jim S3n - ^ , ^ y (2w + ^ (2h + 3)p • 1 (4B - 1)J> , 
Por consiguiente, para O < p < 1 la serie en cuestión diverge. A partir de la condición
necesaria de convergencia vemos que la serie diverge también para p < 0. Así pues,
llegamos a la conclusión de que la serie investigada converge absolutamente si p > 1, y 
converge condicioxialmente si p = 1. • 
88. i + i_3?
1 + 1 , 1
1? 5p 7? 
1 + 1 + J _ _ l + 
3? 9? 11? 5?
חͥ Solución. Evidentemente, si p > 1 dicha serie converge absolutamente, pues bajo esta
00
condición converge la serie - y los términos de series absolutamente convergentes
n-l
pueden reordenarse de cualquier manera.
Sea O < p < 1. Consideremos la subsucesión (S3n) de la sucesión de las sumas 
parciales de la serie en cuestión
1 1 1 +
Como S3n > (4n-l)P
3n (2n + l)P ' (2n + 3)P ' ' (4n l ) f
oo para n -+ oo, la serie dada diverge.
§2. t riU rios do cimv«MHi»ii<iit p<u,i hví\vh .dhrnadas 41
Sea p I. Üri este cuso 0 S^ v * y w^ un el teorema de una sucesión mo
y mulada, lim es finito, Por (unsi^ uicnle, converge J<i seríi
tt >00
I
5 ח
4 I 
I )rl>ii lo ¿i que en el ejemplo considerado se cumplen lodos las condiciones del ej. 65, la serie
e mi ni n ¡id a converge.
lomando, además, en consideración que para p ^ O dicha serie diverge, establecemos
letimlivamente que la serie converge absolutamente para p ^ 1 y condicional mente para
/
i
V
H«>, 2 1 1 2 1 1 2
29 3? 4? 5¥ 6P 7P 8?
NuIim ión. Examinemos la serie
2 1 -f(» + iy¡ (» + 2)pn=l,4s/v„
���
hHcií¡(K. de la inicial al agrupar sus términos de tres en tres. Asumiendo que p > O y q > O,
leñemos
• 2 1 / I 1 \ 
" n>> (n +1)1 (n + 2f Vn? ni) 
+ n —> oo,
de dtMide, en virtud de los criterios de comparación del p. 1.5, se deduce que para p — q 
lii M'rie (2) converge. Sea p q- Entonces an ^ para n —oo y, por consiguiente,
nrj;im los criterios de comparación la serie (2) diverge si mínQ?, q) ^ 1. Teniendo en cuenta
el i rilerio del ej, 65 y observando que todas las condiciones de dicho ejemplo se cumplen
cn el raso considerado, llegamos, en lo que respecta a la convergencia de la serie (1), a las
mininas conclusiones que para la serie (2),
Vemos, además, que para p ^ O o q ^ O la serie (1) diverge (pues el término gene mi
»le l.i serie no tiende a cero), y para p > l y g > l l a serie converge absolutamente, luego
|iiii,i O < p — q < 1 la serie converge condiciona lmente. • 
V I I I • • • I M I I • • I I I M B ! • ! • I I I l l l l l I • I I • I I I I I I ' * I I I I I I I I B I M I M I M B I I M
^ n l \ J J í m \ m ( m ~ ty • - - ( m ~ 7 1 í 1 )«)(). E ^ ) , donde
n / ni 
Tt=]
Solución. Es conveniente representar el término general en la forma
m\ . . ,n_i, , (ra - m - l)(n - m - 2)... (1 - m)m 
n ) = ( - ! )
n~%, K n\
vid entórnente, para m € Zq la serie converge absolutamente. Por tanto, excluyendo este
'•iso, consideraremos la expresión
bn m 1 1 ni 1 r ——bn+1 n n(n — m)' 
i orno a partir de ciertonúmero nQ la sucesión (&„) es de signo determinado, asumiremos
que bn > O, n ^ Teniendo en cuenta el ej. 79, de la expresión (1) resulta que la serie
ronverge si m + 1 > 0. Debido a que para m + 1 ^ O la sucesión crece monótonamente,
!()
Capí tu lo I. S e r i e n
la condición m | I > 0 también es necesaria para la convergencia ik> la serie. Conforme al
criterio de Gau.ss, de (1) resulta que la serie converge absolutamente si ni > 0 y diverge
(absolutamente) para m < 0. 
Así pues, llegamos a la conclusión de que para m ^ 0 la serie converge absolutamente
y para — 1 < m < 0, converge condicionalmente- • 
9 1 . Demostrar que para cada p > 0 el valor de la suma de la serie ^ ^ — — — está
comprendido entre los límites ^ y 1.
•4 Solución. Debido a que, en virtud del criterio de Leibniz, la serie converge, todas las
subsucesiones de sumas parciales tienen un mismo límite S. Además, la subsucesión (S2n)r
Sin ( l 2p) + (3p 4p) + ' • • + ( ( 2 n - l ) P {2ny)' 
crece y la subsucesión (S2n-¡),
S2n-t = 1 - - y ) ( Q n - 2}i' ~ (2ra — 1)P)'
decrece. Por consiguiente, S2n < S < S2r¡....¡, de donde se deduce que S < Si < 1. Para
demostrar la estimación inferior consideremos la subsucesión (,S.in_i). Debido a que la
gráfica de la función í h p > 0, x > 0, es cóncava, se verifican las desigualdades
i + ¿ > ! 1 + 1 > 2 + 2 OI 1 CTI ^ An' T» T í l » UD> •••' 1\n r C/t„ , l^ í)37' 5;- 4p> 7P 9P 8P> ' " ' (4B - [An + Xf (4n)¡>'
de donde para Ím„_i se obtiene la estimación
S = 1 _ l - i _ l 4 . . 1 1 • 1 >
*" 1 2'' ' 3P 4P ' (4n - 1)P (4b)'' (4B +1)''
> i _ l + l _ . . 1 i 1 ^ 1 1 ? 
2>' 4>' (4B - 2f (4nf 2? 2">
y el paso al límite litis proporciona
1 S lim Sin-1 = 5 ^ 1 - — lim S2„ = 1 - ~ .
ti—>oo ¿r n^oo ¿ f
Así pues, S ^ > c. q. d. • 
9 2 . ¿Cuántos primeros términos de las series siguientes hay que tener en cuenta para
que las mismas queden determinadas con un error de 10~6?
, V ( - i r 1 . , , ^ s e n B °
a ) ^ v b ^ t t ' b ) ^ - j r -n=l n=l
M Solución, a) Según la estimación del resto que se deduce del criterio de Leibniz, el
número N buscado se determina a partir de la desigualdad r- ——— < 10 6, de donde
N 106 (v. p. 2.2).
b) Conforme al criterio de Dirichlet la serie converge y su suma es igual, según
el p. 2.5, a la suma de la serie agrupada
2. CrileríuH »lo convoi^ imu Li |»iti<t himU-s .illi-ni.nl.is 43
00
11K, K ( 0 »11 ^ sen k 
k 1MI){U l)|l y/k
*|0i\ evidentemente, es de tipo Leibniz, es decir, converge según el criterio de Leibniz.
i ntiNÍ}»uíentcmente, para el resto de oslo serie es válida la estimación
180»+179
k-18071+1
sen k < 1
lBOw+179
Viso n +1 
V sen k° < 1 - < lO'6,
, fr? , VÑTlsen 4 k—l80n+l 360
de donde N ^ 1,32 -106* • 
M3. demostrar que la serie armónica permanece divergente si, sin reordenar sus términos,
t iiinbiainos sus signos de un modo tal que q términos negativos alternen con p términos
ponilivos (p ^ q). La convergencia tendrá lugar sólo para p = q. 
Polución. La serie indicada en las condiciones del problema
1 -h i + 2 3 
1 1
9 m » 
p p +1 p + 2 
1
» 4 + 1
P + q p + q + l 
+ 4 * 1 + 12p + q 
I * I 
Mc^ un el ej. 66, converge o diverge según lo haga la serie
i " 2 f +
1 1
p 4-1 p + 2 
+ ' - * "h +
+ 1p + q + 1 
1
2p -f q (1)
'iim p > q. Dado que son válidas las estimaciones
» * > 
i
s2 + ( 
» m + 1
p + 1 
+ + M± al p+q > 1 - J - o -
1
p + 1 
i 1
2p + q 2p + q + l +
P
+
q
i
2p + 2q 
>
2p + q 2p + q >ÍP~
H
p 2p 
* • p 
IJ
i - i ^ ¡ ¡_
p 2p + q wp+{n- 1 )q - l)a) 
xn. > 0 
y liin aín - +oo, concluimos que la serie (1) diverge.
Jl <<x> 
Sea p < qr Estimando las sumas parciales de la serie del modo siguiente
Si < p, S2<p- q
p+Q
> s3 <P 
q-p
p + q 
Si<p- q
q-p
p + q � (p + qy S s < p - t ^ ( 1 + p + q \ 
1
$2n < P q_-pp + q 
ftto+l < p 
1 1 
1 + - + --- + —
2 n -
p + q V 2 
n(p + q)' 
+ 1.n
Icarminamos que lim S2n \ i n^ oo
oo, o sea, la serie (1) diverge.
44 Capílulo I. S e r i e s
l'Miühílenle, sea p q. Jín esle caso la serie ( I ) es de tipo l.eibni/ y, por consiguiente,
te .converge.
Ejercicios ¡ 
Investigar la convergencia de las series siguientes: ;l
3 3 . £ s e n ^ l n ( l + = ^ ) . í 
n=2 «-1 n=1
34- É & • 35" E a r c l* «<g ) s e n (" + í ) •• 36" t arcsen^ cos ¿ - (-!)«. : 
n-2 TI—1 N=l • ;j
37. 3 9 . É ( ( f a r c t g ^ ) U " - l ) .
n=2 Ti—2 u=.1 V ' 
40. V ¿ fc" eos3 2n, p € N. 41. ¿ 42. V ( - l ) " f + ~ r — + • " + 
PCTtt
0C- +-X OC 1 X ti
43. £ ( - 1 ) " / 44. -£f{l-x2r dx-senn. 45. £ / 
o ti=l D 0 
TC
46. an/ donde an es la solución de la ecuación
n—1
1
C» + 2)an+1 + 2(u + l)aB+1 + nan = 0, ffli =-1, a2 = 
•x
Investigar la convergencia de las series matriciales ^ ,4„ siguientes:
n=l
47. J f . = f a » ; 4 8 . A a - f 2 " ' " \ sen 1 - cos 1 ) n V ^ ^ ^^ / 
§3. Operaciones con series
3.1. Adición de series
Supongamos que las series
cc oo
G ^ , (1)
»=1 n=l
definidas en V , convergen. Entonces son válidas las igualdades
oo oo oo
]P(Aan + p,bn) = A y2 an + (i Y] bn,
»=1 tí=1 n=l
donde A, ¡i son números reales o complejos arbitrarios.
3.2. Regla de Cauchy
Se llama producto de dos series numéricas (1) a la serie cuyo término general es de
la forma
cn = a\bn + a2&n-i + • • • + anbi-
< )[li<l,|< huir» 4 tHI wth'H
I'mi lo ¡general, ]C / X) '*» V No olml.iulr, una de l¿is serios converge y la otra
7 1 - n i II I 
nmvrrj;o absolutamente, siempre se verilie-i
( X )
7l~ l « I 
l'nlii iórmula es válida también en el caso de que las tres series convergen
minar las sumas de las series siguientes:
•m. E 
¡X) 2 n jtCOS —r-
2»?i=i
Hohuiún* Debido a que
2ut 1 _ 2 WT f si n ¿ 3fc, k € N,cos —— — l - 2sen • = s 
3 3 i 1 si
oo 00
y liri series W*, Z) ^ convergen, aplicando la afirmación del p.3.1 tenemos
n—1 n=l
v _ _ 1 (l + 1 U i - i + J - U
2" ~ 2 \2 22 / 23 2 \ 24 2 5 /M I 00 , 0 0
i i _ ! í I x i U i = — - - V - - 2
26 2 \27 28 / 29 * * 2 ^ 23™ 2 ^ 2r2n 7 71=1 n - l
•
M < 1.
n^O
oo
Solución. Puesto que la serie J 2 ( x v T converge, entonces empleando la afirmación
n-Q
•I p.3.1 tenemos
k i 
\ a f I í 2£±i 1 2 2 2 2 3 \ Ilyi * 1 = l + y + xy + xy + x y +x y H 
>. n OO 00 00
$ > | f ) t t + y X > f ) " = (l + y) 
71—0 71=o
i + y 
1 -xy 
Mí). Demostrar que
00 1 00 ( iv>
^ n! ^ n!
IT—O Jí=0
oo
Sedtic ión. Dado que la serie Y ¿ converge, a partir del p.3.2 tenemos«=i
¿ ^ ( n - 1 ) ! ^ n - l ! A f ' n=l x ' n=l v ' n=l n=2
!() Capítulo I. S e r i e n
donde
H (— l)fc 1 (— l)4
Cn = akb„-k+] = ( -1)" ^ { k _ I ) [ ( n _ k ) V a ^ j j — ^ , = 
Como ¿ ¿fetíí = ¿(1 - 1)" = 0, « G N, se tiene
k=0
(-1)'
11 k k=0
La afirmación queda demostrada.
oo
9 7 . Demostrar que el cuadrado de la serie convergente ^ -—j=— es una seria
n—1
divergente.
חͥ Solución. Ante todo observemos que la serie dada converge (condicionalmente) por e 
criterio de Leibniz. Según la regla del p.3.2 se tiene
Cn
W ( - l r + 1 . >, = ( _ 1 ) n + i y - 1
¿A Vk Vn-k + lJ f ^ y/k(n- k + l) 
Debido a que , T > - , n G N, k = 1. n, se verifica
n i y" 1
^ y/k(n - k +1) ^ n 
00
Por consiguiente, según el criterio necesario la serie J 2 cn diverge. • 
T!=l
9 8 . Verificar que el producto de dos series divergentes
-¿(ir y 
ra—1 n=;l
proporciona una serie convergente absolutamente.
Solución. Es fácil establecer (por ejemplo, con la ayuda del criterio de Cauchy) que las
series divergen. Utilizando la regla de multiplicación de series tenemos
Tí—i
c,, = aibn + bran + ^ akbn~k+lj
k=2
donde
o i = l , a» = - ( | ) B l , fci=l, 6 » = 2 ( 2 " " , + ¿ ) • « = 2 , 3 , . . . .
§4. SiuvnIoiw* y «tulpa JuiiHoiialc» 47
hii i onsiguiente,
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 ϭ � � D U� A � u L � 6 ( A D � 
 �k 2 k-2 
)
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