ELECTIVO I INFORME

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Facultad de Ciencias Naturales y Formales 
 
“Año del Buen Servicio al Ciudadano” 
Escuela Profesional de Matemáticas 
 
INFORME DE LABORATORIO 
 
ALUMNO: GIANCARLO CABRERA CERVANTES 
CUI: 20140331 
ASIGNATURA: ELECTIVO I 
DOCENTE: DR. ÁNGEL SANGIACOMO CARAZAS 
SEMESTRE: VIII 
 
 
AREQUIPA – PERÚ 
2017 
INFORME DE LABORATORIO N° 01 
 
Del alumno: Giancarlo Cabrera Cervantes 
Al Profesor: Ángel Sangiacomo Carazas 
Asunto: Polinomio de Lagrange 
Fecha: 24/08/2017 
 
Tengo a bien informar a usted sobre la práctica de laboratorio que desarrolla el siguiente 
tema: 
 
Polinomio de Lagrange 
 
a) ¿Qué es? 
Ajusta un dominio finito de puntos del plano con un polinomio de grado n, utilizando 
los polinomios de Lagrange. 
 
b) ¿Cómo es? 
En el programa poli_lagrange22.m calculamos el polinomio de Lagrange evaluado en 
un punto. Con el programa lagrange.m este polinomio es evaluado en un dominio 
discreto. 
 
c) ¿Qué hace? 
Evalúa y grafica el polinomio de aproximación de Lagrange para un dominio discreto. 
 
d) Código: 
 
d.1) Variables de entrada: 
X = Vector de longitud n, es el dominio de evaluación. 
x = Vector con las primeras componentes de los valores (x, y=f(x)) que se conocen. 
y = Vector con las segundas componentes de los valores (x, y=f(x)) que se conocen. 
 
d.2) Variables de Salida: 
P = Es el vector imagen del vector X. 
 
 
 
 
 
e) Corrida: 
 
 
 
 
 
 
INFORME DE LABORATORIO N° 02 
 
Del alumno: Giancarlo Cabrera Cervantes 
Al Profesor: Ángel Sangiacomo Carazas 
Asunto: Polinomio interpolante de Newton con diferencias divididas progresivas 
Fecha: 31/08/2017 
 
Tengo a bien informar a usted sobre la práctica de laboratorio que desarrolla el siguiente 
tema: 
 
Polinomio interpolante de Newton con diferencias divididas progresivas 
 
a) ¿Qué es? 
Hasta ahora hemos interpolado funciones mediante polinomios con las fórmula de 
Lagrange, pero ésta tiene una gran inconveniente, que consiste en que no se puede pasar 
fácilmente de una interpolación de un grado a otra de un grado mayor. Tal problema es 
superado por este método de interpolación. 
 
b) ¿Cómo es? 
En el algoritmo divididas11.m calculamos las diferencias divididas y hallamos el 
polinomio de diferencias divididas en un punto. En divididas.m usamos el programa 
anterior para hallar el polinomio de diferencias divididas en un dominio discreto de 
puntos y después se hace la gráfica. 
 
c) ¿Qué hace? 
Partiendo de 𝑛 puntos (x, y) podemos obtener un polinomio de grado 𝑛 − 1. El método 
que se utilizará es el de las diferencias divididas para obtener los coeficientes. 
 
d) Código: 
 
d.1) Variables de entrada: 
X = Vector de longitud 𝑛, es el dominio donde se hace la aproximación. 
x = Vector con las primeras componentes de los valores (x, y=f(x)) que se conocen. 
 
y = Vector con las segundas componentes de los valores (x, y=f(x)) que se conocen. 
 
d.2) Variables de salida: 
P = Es el vector imagen del vector X. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Corrida: 
 
 
 
 
 
Gráfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INFORME DE LABORATORIO N° 03 
 
Del alumno: Giancarlo Cabrera Cervantes 
Al Profesor: Ángel Sangiacomo Carazas 
Asunto: Interpolación de Lagrange usando los puntos de Chebyshev 
Fecha: 07/09/2017 
 
Tengo a bien informar a usted sobre la práctica de laboratorio que desarrolla el siguiente 
tema: 
Interpolación de Lagrange usando los puntos de Chebyshev 
 
a) ¿Qué es? 
 
Utiliza la interpolación de Lagrange de manera óptima, debido a que se toman los 
puntos de Chebyshev. 
 
b) ¿Cómo es? 
Calcula los puntos de Chebyshev y usa estos puntos para hallar el polinomio de 
Lagrange en estos puntos, con la ayuda del algoritmo anterior, luego grafica la solución 
aproximada junto con la solución exacta. 
 
c) ¿Qué hace? 
Reduce al mínimo el error mediante una colocación habilidosa que consiste en la 
elección de los puntos de Chebyshev en [-1,1]. 
 
d) Código: 
 
d.1) Variables de entrada: 
 ff = Función a aproximar 
 x = Vector discreto del dominio 
 y = Vector imagen de x (ff(x)) 
x01 = Puntos de Chebyshev 
 
 
 
d.2) Variables de salida: 
 
 Tabla de comparación para visualizar el error. 
Grafica de la función, su polinomio de Lagrange en un dominio arbitrario, y el 
polinomio de Lagrange que resulta del uso de los puntos de Chebyshev en el 
dominio x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Corrida: 
 
 
 
 
 
 
 
INFORME DE LABORATORIO N° 04 
 
Del alumno: Giancarlo Cabrera Cervantes 
Al Profesor: Ángel Sangiacomo Carazas 
Asunto: Método de Mínimos Cuadrados 
Fecha: 14/09/2017 
 
Tengo a bien informar a usted sobre la práctica de laboratorio que desarrolla el siguiente 
tema: 
Método de Mínimos Cuadrados 
 
a) ¿Qué es? 
Es usado para resolver el problema de determinar la recta que mejor ajuste al conjunto 
discretizado de puntos, cuando el error es la suma de los cuadrados de la diferencia 
entre los valores de 𝑦 y la recta de aproximación. 
 
b) ¿Cómo es? 
Convierte un vector de 𝑛 × 2 en un sistema lineal al multiplicarlo por su transpuesta y 
luego resuelve el sistema lineal hallando los coeficientes de la función lineal. 
 
c) ¿Qué hace? 
Halla los valores de las constantes a0 y a1 que hagan al error de los cuadrados (yi – (a1xi 
+ a0))
2 mínimo. 
 
d) Código: 
 
d.1) Variables de entrada: 
 X = Dominio de discretización. 
 x = puntos de paso del dominio. 
 y = imágenes correspondientes a los puntos de paso x. 
 
 
 
d.2) Variables de salida: 
 𝑎 = Vector de coeficientes a0 y a1 del polinomio lineal a0 + a1x de 
interpolación. 
 Gráfica del conjunto de puntos (X, Y(X)) que describen una recta de 
aproximacion. 
 
 
 
e) Corrida: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INFORME DE LABORATORIO N° 05 
 
Del alumno: Giancarlo Cabrera Cervantes 
Al Profesor: Ángel Sangiacomo Carazas 
Asunto: MinMáx 
Fecha: 21/09/2017 
 
Tengo a bien informar a usted sobre la práctica de laboratorio que desarrolla el siguiente 
tema: 
MinMáx 
a) ¿Qué es? 
Es un método que fundamenta en un sentido frío o cuantitativo la mejor aproximación 
lineal. 
 
b) ¿Cómo es? 
El algoritmo minimiza el cuadrado de los errores, usando fórmulas basadas en 
aproximaciones. 
 
c) ¿Qué hace? 
Minimiza el error o a la desviación absoluta. 
 
d) Código 
d.1) Variables de entrada: 
 x = puntos de paso del dominio. 
 y = imágenes correspondientes a los puntos de paso x. 
 
d.2) Variables de salida: 
 Grafica de comparación entre la solución exacta y la solución aproximada. 
 
 
 
 
 
 
 
e) Corrida: 
 
 
 
 
INFORME DE LABORATORIO N° 06 
 
Del alumno: Giancarlo Cabrera Cervantes 
Al Profesor: Ángel Sangiacomo Carazas 
Asunto: Aproximación por Función Racional 
Fecha: 28/09/2017 
 
Tengo a bien informar a usted sobre la práctica de laboratorio que desarrolla el siguiente 
tema:
Aproximación por Función Racional 
a) ¿Qué es? 
Es empleado con la finalidad de que la distribución del error sea lo más uniforme 
posible en el intervalo de aproximación. 
 
b) ¿Cómo es? 
Construye la función racional, usando polinomios de Macclaurin introducidos en el 
algoritmo. Luego se evalúa en cada punto del dominio discreto usando un bucle for. 
 
c) ¿Qué hace? 
Halla los coeficientes indeterminadosen el numerador y denominador de la función 
racional de modo que se haga desaparecer las primeras N potencias de x en el 
numerador. Una vez hecho esto, se determina la función racional. En nuestro programa 
se busca dar a conocer los errores cuando se utiliza un polinomio de Macclaurin y la 
función racional, respectivamente. 
 
d) Código: 
d.1) Variables de entrada: 
 x = punto inicial del intervalo de aproximación. 
 
d.2) Variables de salida: 
 Tabla de comparación entre la solución por función racional y la función exacta. 
 Gráfica del polinomio interpolante racional y la función que queremos aproximar. 
 
 
 
 
e) Corrida: 
 
 
 
 
 
INFORME DE LABORATORIO N° 07 
 
Del alumno: Giancarlo Cabrera Cervantes 
Al Profesor: Ángel Sangiacomo Carazas 
Asunto: Método de Galerkin 
Fecha: 12/10/2017 
 
Tengo a bien informar a usted sobre la práctica de laboratorio que desarrolla el siguiente 
tema: 
Método de Galerkin 
 
a) ¿Qué es? 
Resuelve una ecuación diferencial ordinaria dando funciones base de las cuales la primera 
satisfaga las condiciones de frontera, de esa manera una solución aproximada se puede 
expresar como combinación lineal de tales funciones, de ahí se obtiene el residuo y para 
hallar los coeficientes se exige que el residuo sea ortogonal a cada función base. 
 
b) ¿Cómo es? 
Halla las integrales de ciertas funciones, coloca los resultados en una matriz A y un vector 
b, obteniendo un sistema lineal, resuelve este sistema lineal, hallando un vector 𝑐 cuyos 
elementos son los coeficientes del polinomio de aproximación. Lo que sigue es la gráfica. 
 
c) ¿Qué hace? 
Con el procedimiento descrito anteriormente, lo que se obtiene es una minimización del 
residuo, es decir, el residuo 𝑅 es casi cero. 
 
d) Código: 
d.1) Variables de entrada: 
ff = funciones que multiplican a los coeficientes 𝑐(𝑖) y que también se pueden 
considerar términos independientes en la expresión de 𝑢𝑖(𝑥)𝑅(𝑥). 
yt1= solución exacta del problema. 
x = Puntos del dominio. 
 
 
d.2) Variables de salida: 
y11 = solución aproximada en los puntos del dominio x. 
Gráfica de la solución aproximada y la solución exacta de la ecuación diferencial 
ordinaria y gráfica de los errores. 
 
 
 
 
 
 
e) Corrida: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INFORME DE LABORATORIO N° 08 
 
Del alumno: Giancarlo Cabrera Cervantes 
Al Profesor: Ángel Sangiacomo Carazas 
Asunto: Matrices de Diferenciación de Chebyshev 
Fecha: 19/10/2017 
 
Tengo a bien informar a usted sobre la práctica de laboratorio que desarrolla el siguiente 
tema: 
Matrices de Diferenciación de Chebyshev 
 
a) ¿Qué es? 
Es aquel que toma como puntos base a los de Chebyshev y a partir de eso se define 
matrices que se aplican para diferenciar funciones, obteniendo una derivada discreta. A tal 
matriz la denotamos por 𝐷𝑁. 
 
b) ¿Cómo es? 
Halla 𝑛 + 1 puntos de Chebyshev, luego calcula la matriz de Diferenciación de Chebyshev 
por 2 partes, las diagonales usando el teorema 4.4.1 de la pág.74 y la parte central de la 
matriz usando la identidad de la pág.76 del libro guía. 
 
c) ¿Qué hace? 
Ajusta de manera eficiente la derivada de una función. 
 
d) Código: 
d.1) Variable de entrada: 
N = Cantidad de puntos de Chebyshev 
 
d.2) Variable de salida: 
D = Matriz de Diferenciación de Chebyshev 
 
 
 
 
 
 
 
e) Corrida: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INFORME DE LABORATORIO N° 09 
 
Del alumno: Giancarlo Cabrera Cervantes 
Al Profesor: Ángel Sangiacomo Carazas 
Asunto: Derivada de una función con Chebyshev 
Fecha: 26/10/2017 
 
Tengo a bien informar a usted sobre la práctica de laboratorio que desarrolla el siguiente 
tema: 
Derivada de una función con Chebyshev 
a) ¿Qué es? 
Resuelve el problema de derivación numérica mediante el uso de la matriz 𝐷𝑁. 
 
b) ¿Cómo es? 
Usa la matriz de Diferenciación de Chebyshev para hallar la evaluación de la derivada de 
una función xx en los puntos de Chebyshev, al multiplicar la matriz de diferenciación de 
Chebyshev por el vector evaluado de la función. 
 
c) ¿Qué hace? 
A partir de los valores de la derivada permite hallar un polinomio que ajuste f’, en el 
intervalo de evaluación. 
 
d) Código 
d.1) Variables de entrada: 
n = Cantidad de puntos de Chebyshev tomados para la discretización 
xx = función de la cual se quiere hallar su derivada aproximada 
dxx = derivada exacta de la función xx 
 
d.2) Variables de salida: 
[dr dxx’] = vector que aproxima a la derivada en los puntos de Chebyshev respectivos. 
 
 
 
 
 
e) Corrida: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INFORME DE LABORATORIO N° 10 
 
Del alumno: Giancarlo Cabrera Cervantes 
Al Profesor: Ángel Sangiacomo Carazas 
Asunto: Aplicación de la Diferenciación de Chebyshev a las EDO lineales. 
Fecha: 16/11/2017 
 
Tengo a bien informar a usted sobre la práctica de laboratorio que desarrolla el siguiente 
tema: 
Aplicación de la Diferenciación de Chebyshev a las EDO lineales 
a) ¿Qué es? 
Con el uso del operador 𝐷𝑁 resuelve problemas lineales con valores en la frontera. 
 
b) ¿Cómo es? 
Calcula la matriz de Diferenciación de Chebyshev 𝐷𝑁, y la utiliza para resolver la EDO, 
mediante un sistema de ecuaciones y halla un polinomio interpolador. 
 
c) ¿Qué hace? 
Muestra la solución aproximada al problema en los puntos de Chebyshev. 
 
d) Código: 
d.1) Variable de entrada 
Sea la EDO: y"+gy'+hy=f (t) 
Ingresar: g, h y f; funciones de t. 
N = Cantidad de puntos de Chebyshev 
 
d.2) Variable de salida 
 Yaprox = Solución aproximada de la función en los puntos de Chebyshev 
 Y(t) = Solución exacta de la función en los puntos de Chebyshev 
 
 
 
 
 
 
e) Corrida: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INFORME DE LABORATORIO N° 11 
 
Del alumno: Giancarlo Cabrera Cervantes 
Al Profesor: Ángel Sangiacomo Carazas 
Asunto: Aplicación de la Diferenciación de Chebyshev a las EDO no lineales. 
Fecha: 07/12/2017 
 
Tengo a bien informar a usted sobre la práctica de laboratorio que desarrolla el siguiente 
tema: 
Aplicación de la Diferenciación de Chebyshev a las EDO no lineales 
a) ¿Qué es? 
Con el uso del operador 𝐷𝑁 resuelve problemas no lineales con valores en la frontera 
lineales. 
 
b) ¿Cómo es? 
Calcula la matriz de Diferenciación de Chebyshev 𝐷𝑁, enseguida se itera con un sistema de 
ecuaciones hasta alcanzar la tolerancia pedida. Luego, halla un polinomio que representa 
una aproximacion a la solución. 
 
c) ¿Qué hace? 
Muestra la solución aproximada al problema en los puntos de Chebyshev. 
 
d) Código: 
d.1) Variables de entrada: 
Sea la EDO: y"+yy=f(t)=t 
N = Cantidad de puntos de Chebyshev 
n = Cantidad de iteraciones 
v = vector inicial que valores de la solución. 
 
d.2) Variables de salida: 
Yaprox = Solución aproximada de la función en los puntos de Chebyshev 
Grafica de la solución aproximada a la EDO. 
 
 
 
 
 
e) Corrida: