Electrodinámica : Notas de Clase Rodolfo Alexander Diaz Sanchez Universidad Nacional de Colombia Departamento de Física Bogotá, Colombiambia

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Electrodina´mica: Notas de Clase
Rodolfo Alexander Diaz Sanchez
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de F´ısica
Bogota´, Colombia
The Date
ii
I´ndice general
Introduction XIII
I Campos ele´ctricos y magne´ticos independientes del tiempo 1
1. Electrosta´tica 3
1.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Campo ele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Distribuciones de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Funcio´n delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.1. Ley de Gauss en forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.2. Potencial electrosta´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.3. Potencial y trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6. Energ´ıa potencial electrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.1. Distribuciones cont´ınuas de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7. Ecuaciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.1. Ca´lculo de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8. Unicidad del potencial con condiciones de Dirichlet y Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9. Teoremas de unicidad para campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.10. Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.11. Discontinuidades en el campo ele´ctrico y en el potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.11.1. Capa dipolar superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2. Suplemento matema´tico: completez y ortonormalidad de funciones 31
2.1. Expansio´n en funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Ejemplos de funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1. Ejemplos de conjuntos discretos de funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2. Ejemplos de conjuntos cont´ınuos de funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3. Ecuacio´n de Laplace 37
3.1. Propiedades de las funciones armo´nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. Unicidad de la ecuacio´n de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3. Ecuacio´n de Laplace en dos dimensiones: coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1. Ejemplo de solucio´n en 2D con coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4. Ecuacio´n de Laplace en dos dimensiones: Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.1. Ejemplo: Interseccio´n entre dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.2. Cilindro infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5. Ecuacio´n de Laplace en tres dimensiones, coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.1. Caja de lados a, b, c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
iii
iv I´NDICE GENERAL
4. Ecuacio´n de Laplace en coordenadas esfe´ricas 53
4.1. Operador momento angular orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2. Separacio´n de variables para la ecuacio´n de Laplace en coordenadas esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.1. Solucio´n de la ecuacio´n radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.2. Solucio´n de la ecuacio´n angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3. Solucio´n angular con m = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4. Solucio´n de la ecuacio´n de Laplace con m = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5. Propiedades de Pl (cos θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6. Ejemplos de aplicacio´n de la Ec. de Laplace con simetr´ıa azimutal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.6.1. Esfera con φ = V (θ) en la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.6.2. Cascarones esfe´ricos conce´ntricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.7. Problemas con condiciones que no son de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.8. Expansio´n de 1|r−r′| en polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.8.1. Ejemplos de aplicacio´n en evaluacio´n de potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.9. Funciones asociadas de Legendre y Armo´nicos Esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5. Ecuacio´n de Laplace en coordenadas cil´ındricas, Funciones de Bessel 69
6. Conductores electrosta´ticos 71
6.1. Cavidades en conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2. Sistemas de conductores como dispositivos de almacenamiento: Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3. Sistemas con N conductores: Coeficientes de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4. Propiedades adicionales de la matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.5. El caso de dos conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.5.1. Esferas conce´ntricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.6. Esfera conductora so´lida y dos cascarones conductores esfe´ricos conce´ntricos . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.7. Dos conductores internos y un conductor envolvente conectado a tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.8. Energ´ıa electrosta´tica y matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.8.1. Simetr´ıa de los Cij por argumentos de energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.8.2. Energ´ıa electrosta´tica y capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.9. Teorema de reciprocidad para cargas y potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.10. Positividad de la matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7. Funciones de Green y ecuacio´n de Poisson en electrosta´tica 91
7.1. Teoremas de Green en electrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2. Ecuacio´n de Green y potencial electrosta´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.3. Interpretacio´n de la funcio´n de Green en electrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.4. Un teorema sobre las funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.5. Ca´lculo de funciones de Green unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 96
7.6. Evaluacio´n de la funcio´n de Green en una dimensio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.6.1. Expansio´n ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.6.2. Uso del teorema (7.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.6.3. Me´todo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.7. Funcio´n de Green bidimensional en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.7.1. Utilizacio´n del teorema (7.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.7.2. Combinacio´n de me´todo directo con expansio´n ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.7.3. Me´todo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.8. Problema bidimensional semi-infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.8.1. Expansio´n ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.8.2. Uso del teorema de valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.8.3. Combinacio´n de expansio´n ortonormal con me´todo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.8.4. Combinacio´n de me´todo directo con expansio´n cont´ınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.9. Anotaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.10. Funcio´n de Green en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
I´NDICE GENERAL v
7.11. Funcio´n de Green para espacio infinito en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8. Me´todo de ima´genes 125
8.1. Me´todo de ima´genes y teorema de unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.2. Carga frente a un plano equipotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.2.1. L´ınea de carga finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.3. Carga puntual frente a una esfera conductora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.3.1. Funcio´n de Green para el exterior e interior de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.3.2. Densidad superficial sobre la esfera conductora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.3.3. L´ımite de carga cercana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.3.4. Fuerza de la esfera sobre la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.4. Esfera conductora con hemisferios a diferente potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.5. Carga puntual frente a esfera conductora cargada y aislada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.6. Carga puntual en frente de un conductor esfe´rico a potencial V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.7. Esfera conductora colocada en campo ele´ctrico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.8. Me´todo de las ima´genes como problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.9. Energ´ıa interna electrosta´tica usando el me´todo de ima´genes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.10. Ejemplos de ca´lculo de energ´ıa interna por me´todo de ima´genes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.10.1. Energ´ıa interna de plano conductor infinito conectado a tierra frente a una carga puntual . . . 141
8.10.2. Energ´ıa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor cargado y aislado 141
8.10.3. Energ´ıa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor conectado a una
bater´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.10.4. Energ´ıa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor esfe´rico conectado
a una bater´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.10.5. Energ´ıa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor esfe´rico cargado
y aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.10.6. Energ´ıa interna de un sistema de plano conductor en presencia de un alambre infinito . . . . . 145
9. Funcio´n de Green y ecuacio´n de Poisson en coordenadas esfe´ricas 147
9.1. Delta de Dirac en coordenadas esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2. Funcio´n de Green para espacio infinito en coordenadas esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2.1. Teorema de adicio´n de armo´nicos esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.3. Esfera uniformemente cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.4. Funcio´n de Green para exterior e interior de la esfera combinando ima´genes con autofunciones . . . . . 151
9.5. Funcio´n de Green para espacio comprendido entre dos cascarones esfe´ricos conce´ntricos con G = 0 en
la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.6. Potencial en el espacio entre dos cascarones esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.7. Disco cargado uniformemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.8. Condicio´n de frontera en esfera con varilla interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.9. Carga superficial en semic´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.10. Distribucio´n poligonal de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.Funciones de Green en coordenadas cil´ındricas 159
11.Multipolos ele´ctricos 161
11.1. Expansio´n multipolar cartesiana del potencial electrosta´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.2. Multipolos esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.3. Relacio´n entre los multipolos cartesianos y esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.4. Ilustracio´n de los te´rminos monopolo, dipolo, cuadrupolo, etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.5. Promedio volume´trico del campo ele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.6. Aproximacio´n dipolar para campos cercanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.7. Multipolos de carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.7.1. Multipolos cartesianos para carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
vi I´NDICE GENERAL
11.7.2. Multipolos esfe´ricos de carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.7.3. Multipolos esfe´ricos de tres cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.8. Multipolos de una esfera uniformemente cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
11.9. Esfera deformada con momento cuadrupolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
11.10.Expansio´n multipolar de la energ´ıa potencial externa . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.11.Expansio´n multipolar de la fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.12.Expansio´n multipolar del torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
12.Electrosta´tica de medios materiales 181
12.1. Polarizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
12.1.1. Materiales diele´ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
12.1.2. Momentos dipolares inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
12.1.3. Momentos dipolares permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
12.1.4. Materiales con momentos dipolares permanentes en campos ele´ctricos externos . . . . . . . . . 183
12.1.5. Definicio´n del vector de polarizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
12.2. Campo ele´ctrico en el exterior de un diele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
12.3. Interpretacio´n F´ısica de las cargas de polarizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
12.4. Campo en el interior de un diele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
12.5. Ecuaciones de campo en presencia de diele´ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
12.6. Susceptibilidad ele´ctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
12.7. Condiciones de frontera en la interfase entre diele´ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
12.7.1. Problema con interfase utilizando ima´genes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
12.8. Funcio´n de Green para espacio infinito con semiespacios diele´ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.9. Esfera diele´ctrica de radio a colocada en diele´ctrico ∞. Carga puntual en r′ > a. . . . . . . . . . . . . 196
12.10.Energ´ıa potencial en presencia de diele´ctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
12.10.1.Distribucio´n sobre esfera diele´ctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
12.11.Energ´ıa de un diele´ctrico en un campo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
13.Magnetosta´tica 203
13.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
13.2. El concepto de flujo de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
13.3. Conservacio´n de la carga ele´ctrica y ecuacio´n de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
13.4. Ecuacio´n de continuidad y re´gimen estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
13.5. Leyes de Ampere y Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
13.6. Extensio´n volume´trica de las leyes de Ampe´re y Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
13.7. Corrientes superficiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
13.8. Ecuaciones diferenciales e integrales de la magnetosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
13.9. Invarianza Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
13.10.Rango de validez de la formulacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
13.11.Formalismo de Green en magnetosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
13.11.1.Espira circular de corriente constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
13.12.Multipolos magne´ticos cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
13.12.1.Monopolo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
13.12.2.Momento de dipolo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
13.12.3.Te´rmino cuadrupolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
13.12.4.Expansio´n multipolar cartesiana de A (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
13.13.Multipolos magne´ticos esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
13.14.Dipolo magne´tico de una espira de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
13.15.Flujo de part´ıculas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
13.16.Expansio´n multipolar de fuerza y torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
13.17.Promedio volume´trico del campo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
13.18.Aproximacio´n dipolar del campo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
13.19.Ejemplo: densidad de corriente en un estado ato´mico excitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
I´NDICE GENERAL vii
13.20.Ejemplo: Sistema de dos anillos paralelos conce´ntricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
13.20.1.Caso particular: anillos de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
14.Magnetosta´tica de medios materiales 233
14.1. Magnetizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
14.1.1. Paramagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
14.1.2. Diamagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
14.1.3. Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
14.1.4. Consecuencias de la ausencia de monopolos magne´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
14.2. Campo generado por objetos magnetizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
14.3. Interpretacio´n de las corrientes de magnetizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
14.3.1. Corriente superficial de magnetizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
14.3.2. Corriente volume´trica de magnetizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
14.4. Campos magne´ticos en el interior de los materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
14.5. Ecuaciones de campo en medios magnetizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
14.6. Condiciones de frontera en materiales magnetizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
14.7. Ca´lculo de potenciales y campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
14.7.1. Formalismo de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
14.7.2. Vector de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
14.7.3. Densidades de corriente de magnetizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
14.7.4. Potencial escalar magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
14.8. Ejemplo: esfera uniformemente magnetizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
14.8.1. Me´todo 1: Ca´lculo del potencial escalarmagne´tico via cargas magne´ticas efectivas . . . . . . . 246
14.8.2. Me´todo 2: Ca´lculo del potencial escalar magne´tico via vector de Hertz magne´tico . . . . . . . . 247
14.8.3. Me´todo 3: Potencial vectorial magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
14.9. Ejemplo: Esfera con magnetizacio´n radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
14.10.Ejemplo: Apantallamiento magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
II Campos ele´ctricos y magne´ticos dependientes del tiempo 257
15.Ecuaciones de Maxwell 259
15.1. Ley de induccio´n de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
15.1.1. Algunas sutilezas sobre el concepto de fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
15.1.2. Fuerza de Lorentz y ley de induccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
15.1.3. Forma diferencial de la ley de induccio´n de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
15.1.4. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
15.1.5. Energ´ıa almacenada en el campo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
15.2. Ecuacio´n de Ampere Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
15.2.1. Forma integral de la cuarta ecuacio´n de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
15.3. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
15.4. Potenciales A y φ, transformaciones gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
15.4.1. Gauge de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
15.4.2. Gauge de Coulomb o transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
15.5. Ecuaciones de Maxwell en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
15.5.1. Corriente de Polarizacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
16.Leyes de conservacio´n 277
16.1. Conservacio´n de la energ´ıa: Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
16.2. Conservacio´n del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
16.3. Presio´n ejercida por el campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
16.4. Teorema de Poynting para vectores de campo complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
16.4.1. Definicio´n de impedancia en te´rminos de los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
viii I´NDICE GENERAL
17.Soluciones de la ecuacio´n de onda 291
17.1. Unicidad de la ecuacio´n de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
17.2. Solucio´n a la ecuacio´n de onda homoge´nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
17.2.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
17.2.2. Coordenadas esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
17.3. Solucio´n a la ecuacio´n de onda inhomoge´nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
17.3.1. Funcio´n de Green para la ecuacio´n de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
17.3.2. Funcio´n de Green y transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
17.3.3. Funcio´n de Green para espacio tiempo infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
17.3.4. Condicio´n de radiacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
17.3.5. Evaluacio´n de la funcio´n de Green para la ecuacio´n de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
17.3.6. Otra forma de evaluacio´n de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
17.3.7. Funcio´n de Green para espacio infinito en coordenadas esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
17.3.8. Expansio´n de una onda plana en armo´nicos esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
17.3.9. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
17.3.10.Ejercicio: carga puntual en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
17.3.11.Dipolo puntual oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
17.4. Transformada de Fourier de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
18.Ondas electromagne´ticas planas 321
18.1. Caracter´ısticas ba´sicas de una onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
18.1.1. Transporte de momento y energ´ıa en una onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
18.1.2. Ondas planas con vector de onda complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
18.2. Polarizacio´n de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
18.3. Reflexio´n y transmisio´n de ondas planas cuando se cambia de medio diele´ctrico . . . . . . . . . . . . . 328
18.3.1. Reflexio´n y transmisio´n con incidencia normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
18.3.2. Reflexio´n y transmisio´n con incidencia obl´ıcua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
18.3.3. Reflexio´n total interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
18.4. Absorcio´n y dispersio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
18.4.1. Ondas planas en medios conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
18.4.2. Reflexio´n y transmisio´n en superficies meta´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
18.5. Dispersio´n de ondas en un medio diele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
19.Gu´ıas de onda y cavidades resonantes 343
19.0.1. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
19.1. Clasificacio´n de las ondas en una gu´ıa: modos TM, TE y TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
19.2. Cable coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
19.2.1. Propagacio´n de modos TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
19.2.2. Propagacio´n de modos TM y TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
19.3. Velocidad de fase y de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
19.4. Velocidad de fase y de grupo en una gu´ıa de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
19.5. Gu´ıa de onda rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
19.6. Cavidades resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
19.6.1. Cavidad resonante cil´ındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
20.Radiacio´n 361
20.1. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
20.2. Ecuaciones de Jefimenko para los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
20.3. Ecuacionesde Jefimenko en el formalismo de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
20.4. Potenciales generados por cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
20.4.1. Potenciales de Lie´nard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
20.5. Campos ele´ctrico y magne´tico asociados a cargas puntuales mo´viles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
20.6. Radiacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
20.7. Radiacio´n de dipolo ele´ctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
I´NDICE GENERAL ix
20.8. Radiacio´n de dipolo magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
20.9. Radiacio´n generada por un distribucio´n arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
20.10.Radiacio´n de cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
20.10.1.Radiacio´n de Frenado (bremsstrahlung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
20.10.2.Radiacio´n de Ciclotro´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
21.Relatividad especial 387
21.1. Propiedades de las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
21.2. Transformaciones de Lorentz usando espacios de Riemann de cuatro dimensiones . . . . . . . . . . . . 394
21.3. Formulaciones covariantes en el espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
21.4. Fuerza y energ´ıa en relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
21.5. Formulacio´n Lagrangiana de la meca´nica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
21.5.1. Formulacio´n no manifiestamente covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
22.Electrodina´mica y relatividad 413
22.1. Ecuaciones de Maxwell en forma manifiestamente covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
22.2. Fuerza de Lorentz en forma tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
22.3. Pruebas de consistencia de la formulacio´n covariante de Maxwell (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . 415
22.4. Ecuaciones de onda e invarianza gauge en notacio´n tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
22.4.1. Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
22.5. Conservacio´n de momento y energ´ıa del campo electromagne´tico: tensor momento energ´ıa . . . . . . . 417
22.6. Conservacio´n del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
22.7. Aplicaciones de las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
22.7.1. Cuadrivectores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
22.7.2. Tensores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
A. Teoremas de unicidad de la ecuacio´n de Poisson 421
B. Coeficientes de capacitancia 423
B.1. Pruebas de consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
B.2. Derivacio´n alternativa de la Ec. (6.13) Pa´g. 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
C. Multipolos ele´ctricos 425
C.1. Ca´lculo del campo generado por un dipolo puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
C.2. Integral volume´trica del campo sobre una esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
D. Ondas planas 431
D.1. Incidencia obl´ıcua de onda plana perpendicular al plano de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
x I´NDICE GENERAL
Preface
This is the preface. It is an unnumbered chapter. The markboth TeX field at the beginning of this paragraph
sets the correct page heading for the Preface portion of the document. The preface does not appear in the table of
contents.
xi
xii PREFACE
Introduction
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xiii
xiv INTRODUCTION
Parte I
Campos ele´ctricos y magne´ticos
independientes del tiempo
1
Cap´ıtulo 1
Electrosta´tica
El concepto de carga ele´ctrica es relativamente cercano a nuestra experiencia diaria. Comenzaremos analizando el
feno´meno de electrizacio´n, y a aquellos materiales que adquieren tal propiedad los denominaremos cargas ele´ctricas.
La interaccio´n entre cargas ele´ctricas que se encuentran en reposo con respecto a un sistema de referencia inercial,
sera´ el motivo de estudio de la electrosta´tica. Esta es obviamente la ma´s simple de las configuraciones de cargas y
constituye el punto de partida para el posterior estudio de las cargas en movimiento.
1.1. Ley de Coulomb
La interaccio´n ele´ctrica se obtuvo inicialmente por frotamiento1. Los materiales que son frotados adquieren una
propiedad que denominaremos electrizacio´n y que genera una serie de feno´menos que describiremos a continuacio´n.
Experimentalmente se encuentra que si tenemos dos cuerpos electrizados en reposo con respecto a algu´n sistema
inercial, y que esta´n a distancias muchos mayores que sus dimensiones entonces
Dicha fuerza es central, es decir actu´a a lo largo de la l´ınea que une los objetos electrizados.
F es proporcional a 1/r2 siendo r la distancia que separa las cargas (i.e. los objetos que se han electrizado).
Solo hay dos tipos de electrizacio´n (que definimos como electrizacio´n positiva y negativa), part´ıculas con elec-
trizaciones semejantes se repelen en tanto que si ellas tienen electrizaciones diferentes se atraen. Esto puede
verse fa´cilmente con experimentos de frotacio´n. Por ejemplo si frotamos dos materiales ide´nticos con pan˜os
ide´nticos, podemos suponer razonablemente que han adquirido el mismo tipo de electrizacio´n, y al acercarlos
estos se repelen mostrando que electrizaciones iguales se repelen. Si llamamos electrizacio´n A a la adquirida
por un material dado y luego electrizamos otro material, vemos que en algunos casos se repelen y en otros
se atraen. Denominaremos electrizacio´n B a la de un material que se atrae con el de electrizacio´n A. La pre-
gunta natural es ¿existe una tercera electrizacio´n C?. Para responder a esta pregunta electrizamos un tercer
material. Los experimentos muestran que si electrizo cualquier otro material, y si al acercarlo al material con
electrizacio´n A se atrae con e´l, entonces se repele con el material de electrizacio´n B, con lo cual se concluye
que el nuevo material tiene electrizacio´n B. Similarmente, si el nuevo material electrizado se repele con el de
electrizacio´n A, se atraera´ con el de electrizacio´n B mostrando que el nuevo material tiene electrizacio´n tipo
A. Tendr´ıamos un conflicto con esta imagen si al electrizar el material se atrajera (o se repeliera) con ambos
materiales de electrizacio´n tipo A y B. En tal caso, tendr´ıa que contemplarse la posibilidad de tres o ma´s tipos
de electrizaciones. Los experimentos de frotacio´n muestran sin embargo, que este no es el caso.
La fuerza es proporcional al producto de las cargas. El sentido de la fuerza lo determina el signo del producto
de las cargas. Si tal signo es positivo (negativo) la fuerza entre las cargas sera´ repulsiva (atractiva). La carga es
una cantidad escalar y aditiva lo cual se puede ver midiendo la fuerza que una carga q1 hace sobre una carga
q y luego reemplazando la carga q1 por una carga q2 en la misma posicio´n, para medir ahora la fuerza de q2
1Por supuesto, el rayo, las auroras boreales, la esta´tica generada esponta´neamente en ciertos materiales,etc. son feno´menos naturales
de origen ele´ctrico que fueron parte de la experiencia diaria a lo largo de la historia de la humanidad. No obstante, el frotamiento fue´
la primera forma de tener control sobre los feno´menos ele´ctricos. Adema´s, el origen ele´ctrico de los diversos feno´menos naturales fue´
establecido mucho despue´s.
3
4 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
sobre q. Finalmente se juntan las dos cargas en la misma posicio´n en la que se colocaron antes y se observa que
la fuerza resultante coincide con la suma vectorial de las fuerzas que se obtuvieron en los dos casos anteriores.
Es decir se obtiene el resultado correcto si lo vemos como la interaccio´n de la carga q1 + q2 con la carga q.
Convencionalmente se llamo´ positiva a la electrizacio´n que adquiere el vidrio frotado y negativa a la electrizacio´n
que adquiere el a´mbar frotado.
Cuando tenemos una distribucio´n de cargas que actu´an sobre una carga pequen˜a, la fuerza y campo totales obede-
cen el principio de superposicio´n. Este principio de superposicio´n se puede extrapolar cuando tenemos distribuciones
cont´ınuas de carga.
Sean dos cargas ele´ctricas q1 y q2, ambas en reposo con respecto a un sistema de referencia inercial. Asumiremos
que estas cargas son puntuales de modo que esta´n localizadas en posiciones bien definidas r1 y r2 respectivamente
2.
Los experimentos muestran que bajo tales condiciones, la fuerza que la carga q1 ejerce sobre la carga q2 viene dada
por
Fq1→q2 = Kc
q1q2 (r2 − r1)
|r2 − r1|3
(1.1)
donde r1, r2 son las posiciones de las cargas con respecto a algu´n sistema de referencia inercial, y Kc es una constante
universal de proporcionalidad. En principio, todo el contenido F´ısico de la electrosta´tica yace en la ley de Coulomb
y el principio de superposicio´n. La escogencia de la constante de proporcionalidad determina la unidad de carga.
No´tese que la ley de Coulomb nos fija las dimensiones del producto Kcq1q2 pero no de las cantidades Kc y q por
aparte, por esta razo´n es posible fijar las dimensiones de Kc para obtener en consecuencia las dimensiones de q, o por
otro lado fijar las unidades de q (como unidades independientes de las unidades ba´sicas de longitud tiempo y masa)
con lo cual quedar´ıan fijadas las unidades de Kc. Esto nos lleva a dos tipos de unidades que son las mas comu´nmente
usadas
Unidades electrosta´ticas (e.s.u): Basado en el sistema c.g.s. En este sistema fijamos las unidades de Kc eligiendo
Kc = 1 (adimensional) de modo que la carga queda con dimensiones de cm
3/2g1/2s−1. A la cantidad q =
1cm3/2g1/2s−1 la denominamos una unidad electrosta´tica o statcoulomb. En este sistema de unidades, q =
1 statcoul cuando ejerce una fuerza de una dina sobre otra carga ide´ntica colocada a un cent´ımetro.
MKSA o sistema internacional SI: Este sistema fija a la carga como unidad independiente (coulombio) en
cuyo caso la constante Kc queda con unidades definidas. Se define a su vez la constante Kc = 1/ (4πε0) con
ε0 = 8,85 × 10−12C2/Nm2. Definimos en este sistema la carga unidad q = 1 coulomb cuando dos cargas
ide´nticas separadas un metro experimentan una fuerza mutua de 14piε0Newtons. La relacio´n entre las unidades
SI y las unidades electrosta´ticas esta´ dada por 1Coul = 3× 109Statcoul.
Las cargas son cantidades algebraicas reales positivas o negativas. La ley de Coulomb obedece automa´ticamente
la ley de accio´n y reaccio´n. Por otra parte, si asumimos que la Meca´nica Newtoniana es una descripcio´n adecuada de
la naturaleza, el principio de superposicio´n esta´ contenido en la segunda ley de Newton, de tal forma que la ley de
Coulomb se puede ver como un caso particular de fuerza que al obedecer la segunda ley debe cumplir el principio de
superposicio´n. Efectivamente, en el dominio de la meca´nica cla´sica el principio de superposicio´n esta´ bien soportado a
trave´s de diversas pruebas experimentales3. No obstante, en los dominios de la meca´nica cua´ntica, se pueden observar
pequen˜as desviaciones debidas a procesos como la dispersio´n luz por luz y la polarizacio´n del vac´ıo. De igual forma,
existe una fuerte base experimental para la ley del inverso cuadrado tanto en el dominio microsco´pico como en el
macrosco´pico.
1.2. Campo ele´ctrico
El campo ele´ctrico es un vector que mide la capacidad de interaccio´n o “influencia” que una carga o conjunto de
cargas tiene con respecto a otra carga externa. Experimentalmente, el campo ele´ctrico en una posicio´n r generado
por una carga o conjunto de cargas, se mide colocando una carga de prueba q′ en r y midiendo la fuerza que dicha
2En la pra´ctica, esto significa que las dimensiones de los objetos electrizados son mucho menores que la distancia relativa entre ellos, y
tambie´n mucho menores que cualquier otra dimensio´n que pueda estar involucrada en el feno´meno.
3No´tese que el principio de superposicio´n depende fuertemente de la naturaleza aditiva de las cargas.
1.3. DISTRIBUCIONES DE CARGA 5
carga experimenta. Formalmente la medicio´n del campo ele´ctrico requiere tomar el l´ımite cuando la carga de prueba
es arbitrariamente pequen˜a
E = l´ım
q′→0
F
q′
(1.2)
con el fin de asumir que q′ no altera la distribucio´n de carga original al aproximarse a tal distribucio´n4. Esta
definicio´n formal de campo no se puede aplicar con todo rigor en la realidad F´ısica, puesto que no podemos tener
hasta el momento, valores de carga menores que la carga electro´nica. No obstante, la carga electro´nica es muy pequen˜a
cuando tratamos feno´menos macrosco´picos y la ecuacio´n anterior nos da una buena descripcio´n de la realidad. Pasando
la carga a multiplicar queda
F = q′E
esta ecuacio´n se puede tomar como definicio´n alternativa de campo, y tiene la ventaja de independizar el campo
de sus fuentes. Si para dos distribuciones de carga diferentes el campo es el mismo en un determinado punto, la
fuerza que experimenta una carga de prueba en dicho punto sera´ la misma, aunque las fuentes de cada campo sean
muy distintas. A priori, esta redefinicio´n parece trivial, sin embargo nos sera´ de gran utilidad cuando estudiemos la
generacio´n de campos ele´ctricos que no dependen de fuentes.
Si una carga puntual q esta´ ubicada en alguna posicio´n dada por r′ (con respecto a algu´n sistema de referencia
inercial) entonces segu´n la ley de Coulomb (1.1), la fuerza que esta carga ejerce sobre una carga de prueba q¯ ubicada
en la posicio´n r, vendra´ dada por
F = Kc
q¯q (r− r′)
|r− r′|3
y apelando a la definicio´n (1.2) el campo ele´ctrico sera´
E = l´ım
q¯→0
F
q¯
= Kc
q (r− r′)
|r− r′|3
En conclusio´n, si una carga puntual q esta´ ubicada en alguna posicio´n dada por r′ (con respecto a algu´n sistema
de referencia inercial) el campo ele´ctrico generado por e´sta, evaluado en alguna posicio´n r viene dado por
E (r) = Kc
q (r− r′)
|r− r′|3
este campo es central y por tanto conservativo. Adema´s el campo satisface el principio de superposicio´n, el cual es
herencia directa del mismo principio aplicado a las fuerzas. Cuando tenemos una distribucio´n de cargas se usa el
principio de superposicio´n para calcular el campo generado por dicha distribucio´n en cualquier punto del espacio.
La ley de Coulomb tambie´n puede pensarse como la interaccio´n de q2 con el campo generado por q1. Definimos
E1 ≡ Fq1→q2
q2
=
Kcq1 (r2 − r1)
|r2 − r1|3
de modo que F2 = q2E1. El campo as´ı definido solo depende de la fuente y no de la carga de prueba. Ana´logamente,
se puede definir el campo generado por q2.
1.3. Distribuciones de carga
El descubrimiento de la estructura ato´mica de la materia nos enfrenta con distribuciones de carga de naturaleza
granular, que en muchas circunstancias se puede aproximar razonablemente a cargas puntuales. Incluso en el caso
macrosco´pico, cuando la distribucio´n de carga esta´ confinada a un taman˜o mucho menor que las distancias de intere´s,
la aproximacio´nde carga puntual nos da una buena descripcio´n de la mayor´ıa de feno´menos ele´ctricos. Por otra
parte, cuando tenemos distribuciones macrosco´picas con una gran cantidad de a´tomos y queremos tener en cuenta
los efectos que produce la extensio´n de dicha distribucio´n, es u´til considerar que la densidad de carga es una funcio´n
cont´ınua de las tres dimensiones espaciales. En consecuencia el campo ele´ctrico se puede modelar en te´rminos de
distribuciones de carga cont´ınuas o discretas
4De acuerdo con la ley de Coulomb, la carga q′ genera fuerzas ele´ctricas sobre cada una de las cargas de la distribucio´n cuyo campo se
quiere medir. Esto genera que las cargas se aceleren y se altere la distribucio´n, de modo que alteramos lo que se quiere medir. Es por esta
razo´n que se toma el l´ımite cuando la carga de prueba q′ tiende a cero a fin de que la fuerza de e´sta sobre las cargas de la distribucio´n
tienda a cero.
6 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
Discretas: cuando asumimos que las cargas son puntuales, es decir la distribucio´n de carga tendra´ una estructura
granular y el campo ele´ctrico es una suma discreta de los campos generados por cada part´ıcula.
E (r) = Kc
n∑
i=1
qi (r− ri)
|r− ri|3
Cont´ınuas: cuando asumimos que la distribucio´n es “gelatinosa” de modo que puede describirse por una densidad
cont´ınua ρ (r′). En tal caso, la suma sobre las fuentes que generan el campo ele´ctrico es una suma en el cont´ınuo
(integral)
E (r) = Kc
∫
dq (r′) (r− r′)
|r− r′|3 = Kc
∫
ρ (r′) (r− r′)
|r− r′|3 dV
′
Las distribuciones cont´ınuas pueden ser lineales λ, superficiales σ, o volume´tricas ρ. Tambie´n es posible tener
densidades mixtas.
1.4. Funcio´n delta de Dirac
Como veremos a continuacio´n la funcio´n delta de Dirac es un excelente instrumento para convertir densidades
puntuales, lineales y superficiales, en densidades volume´tricas equivalentes. Esto tiene un gran intere´s ya que la
ecuacio´n de Poisson es para densidades volume´tricas y no posee ana´logo en menores dimensiones, puesto que dicha
ecuacio´n proviene del teorema de la divergencia el cual no tiene ana´logo en dimensiones menores a tres. Es importante
enfatizar que la funcio´n delta de Dirac mas que una funcio´n es una distribucio´n. En el lenguaje del ana´lisis funcional,
es una uno-forma que actu´a en espacios vectoriales de funciones, asigna´ndole a cada elemento del espacio, un nu´mero
real de la siguiente forma: Sea V el espacio vectorial de las funciones definidas en el dominio (b, c) con ciertas
propiedades de continuidad, derivabilidad, integrabilidad, etc. La distribucio´n delta de Dirac es un mapeo que asigna
a cada elemento f (x) de V un nu´mero real con el siguiente algoritmo5∫ c
b
f (x) δ (x− a) dx =
{
f (a) si a ∈ (b, c)
0 si a /∈ [b, c]
Con esta distribucio´n es posible escribir una densidad de carga puntual (ubicada en r0) como una densidad
volume´trica equivalente
ρ
(
r′
)
= qδ
(
r′ − r0
)
(1.3)
esta densidad reproduce adecuadamente tanto la carga total como el campo ele´ctrico que genera
q =
∫
ρ
(
r′
)
dV ′ =
∫
q δ
(
r′ − r0
)
d3r′
E (r) = Kc
∫
(r− r′) dq (r′)
|r− r′|3 = Kc
∫
(r− r′) ρ (r′)
|r− r′|3 d
3r′ = Kc
∫
(r− r′) q δ (r′ − r0)
|r− r′|3 d
3r′ (1.4)
E (r) =
Kcq (r− r0)
|r− r0|3
(1.5)
ma´s adelante veremos que otra cantidad importante, el potencial ele´ctrosta´tico, tambie´n se reproduce adecuadamente.
Hay varias sucesiones de distribuciones que convergen a la funcio´n Delta de Dirac (para mas detalles ver por ejemplo
[2, 3]) una de las mas utilizadas es la sucesio´n definida por
fn (x− a) = n√
π
e−n
2(x−a)2
se puede demostrar que al tomar el l´ımite cuando n→∞ se reproduce la definicio´n y todas las propiedades ba´sicas
de la distribucio´n delta de Dirac. No´tese que todas las distribuciones gaussianas contenidas en esta sucesio´n tienen
5Es usual definir la “funcio´n” delta de Dirac como δ (r) =
{
∞ si r = 0
0 si r 6= 0
y
∫
δ (x) dx = 1. Esta definicio´n se basa en una
concepcio´n erro´nea de la distribucio´n delta de Dirac como una funcio´n. A pesar de ello, hablaremos de ahora en adelante de la funcio´n
delta de Dirac para estar acorde con la literatura.
1.5. LEY DE GAUSS 7
a´rea unidad y esta´n centradas en a. De otra parte, a medida que aumenta n las campanas gaussianas se vuelven ma´s
agudas y ma´s altas a fin de conservar el a´rea. Para valores de n suficientemente altos, el a´rea se concentra en una
vecindad cada vez ma´s pequen˜a alrededor de a. En el l´ımite cuando n→∞, toda el a´rea se concentra en un intervalo
arbitrariamente pequen˜o alrededor de a.
Algunas propiedades ba´sicas son las siguientes:
1.
∫∞
−∞ δ (x− a) dx = 1
2.
∫∞
−∞ f (x) ∇δ (r− r0) dV = − ∇f |r=r0
3. δ (ax) = 1|a|δ (x)
4. δ (r− r0) = δ (r0 − r)
5. xδ (x) = 0
6. δ
(
x2 − e2) = 12|e| [δ (x+ e) + δ (x− e)]
Vale enfatizar que debido a su naturaleza de distribucio´n, la funcio´n delta de Dirac no tiene sentido por s´ı sola,
sino u´nicamente dentro de una integral. Por ejemplo cuando decimos que δ (ax) = 1|a|δ (x), no estamos hablando de
una coincidencia nume´rica entre ambos miembros, sino de una identidad que se debe aplicar al espacio vectorial de
funciones en que estemos trabajando, es decir∫ c
b
f (x) δ (ax) dx =
∫ c
b
f (x)
1
|a|δ (x) dx ∀ f (x) ∈ V y ∀ a ∈ R
Estrictamente, el mapeo tambie´n se puede hacer sobre los nu´meros complejos con propiedades ana´logas. En este
mismo esp´ıritu, es necesario aclarar que la densidad volume´trica equivalente de una carga puntual (y todas las
densidades equivalentes que nos encontremos de aqu´ı en adelante) es realmente una distribucio´n. Por ejemplo, la
densidad descrita por (1.3), solo tiene realmente sentido dentro de integrales tales como las expresadas en (1.4).
Las densidades ordinarias son funciones, pero las densidades equivalentes son distribuciones. En s´ıntesis, lo que se
construye con la densidad volume´trica equivalente es una distribucio´n que me produzca el mapeo adecuado para
reproducir la carga total y el potencial6.
En ma´s de una dimensio´n la delta se convierte simplemente en productos de deltas unidimensionales, la propiedad∫
δ(n) (x) dnx = 1, aplicada a n dimensiones, nos dice que la delta no es adimensional, sus dimensiones son de
x−n.
1.5. Ley de Gauss
La ley de Coulomb junto con el principio de superposicio´n conducen a una forma integral muy u´til conocida como
ley de Gauss. La ley de Gauss en su forma integral, es u´til cuando queremos evaluar E en una distribucio´n de cargas
con cierta simetr´ıa, o cuando queremos evaluar la carga total encerrada en cierto volumen. Finalmente, la forma
integral nos conduce a una forma diferencial con la cual se pueden abordar casos ma´s generales. De acuerdo con la
figura 1.1, dado un origen de coordenadas O y un punto donde se ubica la carga O′ podemos construir un diferencial
de flujo en la vecindad de la posicio´n definida por el vector r. El campo electrosta´tico viene dado por
E (r) = Kc
q (r− r′)
|r− r′|3
y el flujo de un campo E (r) sobre un diferencial de superficie dS centrada en r esta´ dado por
E (r) · dS (r) = Kc q (r− r
′) · dS (r)
|r− r′|3
6Estos dos mapeos se definen en el espacios de las funciones q (r0) y q (r0) / |r− r
′| en el caso de cargas puntuales. Para cargas lineales
ser´ıan en el espacio de funciones λ (x) y λ (x) / |r− r′|.
8 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
Figura 1.1: Ilustracio´n del a´ngulo so´lido subtendido por una superficie dS con respecto al origen O′ en el cual se
encuentra la carga, y que esta´ en la posicio´n r′ con respecto al origen O del sistema coordenado. El a´ngulo θ mide la
inclinacio´n del vector diferencial de superficie dS con respecto al radio vector r− r′ que va desde O′ hasta el punto
donde esta´ centrada dicha superficie. Este a´ngulo tambie´n mide la inclinacio´n de la superficiecon respecto al campo
ele´ctrico generado por la carga puntual en O′.
donde r′ define la posicio´n de la carga que genera el campo (con respecto a O). Integrando sobre una superficie
cerrada, se obtiene ∮
E (r) · dS (r) = Kc q
∮
(r− r′) · dS (r)
|r− r′|3
es bien conocido que el integrando del miembro derecho define el diferencial de a´ngulo so´lido subtendido por el a´rea
dS tomando como ve´rtice el punto O′, como se aprecia en la Fig. 1.1∮
(r− r′) · dS (r)
|r− r′|3 =
∮
dΩ (1.6)
donde ∮
dΩ =
{
4π si O′ esta´ dentro de la superficie cerrada
0 si O′ esta´ fuera de la superficie cerrada (1.7)
con lo cual resulta ∮
E (r) · dS (r) = Kc q
∮
dΩ
1.5. LEY DE GAUSS 9
y teniendo en cuenta (1.7), este resultado se puede expresar de manera equivalente as´ı∮
E · dS = 4πKcq
∫
δ
(
r− r′) dV = 4πKcq{ 1 si O′ esta´ dentro0 si O′ esta´ fuera
apelando al principio de superposicio´n esta ley se puede aplicar a cualquier distribucio´n de cargas. Para el flujo de
campo solo contribuye la carga neta que esta´ adentro (suma algebraica de cargas). Obse´rvese que la ley de Gauss
se basa en tres suposiciones fundamentales a) La ley del inverso cuadrado del campo de cargas puntuales7, b) el
principio de superposicio´n, c) la naturaleza central de la fuerza.
La expresio´n (1.6) para el a´ngulo so´lido puede entenderse cualitativamente en el ana´logo bidimensional, supon-
gamos que queremos hacer la integral ∮
dθ
en el plano. Si el lazo cerrado simple8 contiene al origen y comenzamos desde cierta posicio´n r0 de un punto sobre el
lazo, al realizar el giro completo en direccio´n antihoraria hemos barrido un a´ngulo 2π ya que el sentido de giro (con
respecto al sistema coordenado) del vector posicio´n nunca se invierte. Por tanto∮
dθ =
∫ θ0+2pi
θ0
dθ = 2π si el lazo encierra al origen
en contraste si el lazo cerrado simple no encierra al origen, vemos que el vector posicio´n inicial de giro r0 al realizar
un giro antihorario completo sobre el lazo, debe invertir su sentido de giro con respecto al sistema coordenado para
volver a su posicio´n inicial. En un giro completo el vector posicio´n “va y vuelve” con respecto a la coordenada angular
θ dentro de cierto intervalo [θ0, θma´x] siendo θ0 el a´ngulo inicial. Por esta razo´n la integral angular se anula en este
caso9 ∮
dθ =
∫ θma´x
θ0
dθ +
∫ θ0
θma´x
dθ = 0 si el lazo no encierra al origen
Por supuesto podemos hacer un ana´lisis similar si el origen para realizar el barrido del lazo esta´ desplazado con
respecto al origen de coordenadas. Es decir si r se reemplaza por r− r′ siendo r′ fijo y haciendo el barrido con el
vector relativo r− r′. En este caso lo que es relevante es si r′ esta´ dentro o fuera del lazo. Situacio´n similar ocurre
con el a´ngulo so´lido dependiendo de si la superficie cerrada (en 3 dimensiones) encierra o no al origen con respecto
al cual se hace el barrido. Cuando la superficie encierra a tal origen, se barre el a´ngulo so´lido completo 4π (as´ı como
en el caso dos dimensional se barre el a´ngulo plano completo 2π) y hay un efecto de cancelacio´n cuando dicho origen
no esta´ contenido en la superficie cerrada.
La expresio´n (1.6) para el a´ngulo so´lido nos permitira´ desarrollar una importante identidad que sera´ de uso
frecuente en nuestros desarrollos, calculemos la divergencia del gradiente de la funcio´n |r− r′|−1
∇ ·
(
∇ 1|r− r′|
)
≡ ∇2
(
1
|r− r′|
)
el operador ∇ se refiere a las coordenadas no primadas. Haciendo el cambio de variable r¯ = r− r′ y teniendo en
cuenta que ∇r¯ = ∇ tenemos que
∇2
(
1
|r− r′|
)
= ∇2r¯
(
1
r¯
)
esto es equivalente a redefinir el origen en r′ = 0. Olvidemos la notacio´n r¯ y calculemos expl´ıcitamente esta cantidad
para r 6= 0; en tal caso escribiendo el operador laplaciano en coordenadas esfe´ricas vemos que solo aparece la derivada
con respecto a la coordenada r debido a la simetr´ıa esfe´rica de 1/r
∇2
(
1
r
)
=
1
r
∂2
∂r2
(
r
1
r
)
= 0
7Si el campo ele´ctrico fuera proporcional por ejemplo a r−3, no obtendr´ıamos el a´ngulo so´lido en la expresio´n (1.6).
8Por lazo cerrado simple indicamos un lazo que no se intersecta a s´ı mismo, por ejemplo un lazo en forma de 8 NO es un lazo simple.
Aunque no lo decimos expl´ıcitamente, usaremos lazos cerrados simples a menos que se indique lo contrario.
9Estrictamente, este ana´lisis solo es va´lido cuando la curva cerrada tiene la misma concavidad en todos sus puntos, vista por un punto
interior al lazo. Cuando este no es el caso, puede haber varios intervalos de ida y vuelta pero au´n as´ı la cancelacio´n ocurre.
10 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
pero para r = 0 esta expresio´n esta´ indeterminada. No obstante, veremos el comportamiento de esta expresio´n bajo
una integral de volumen en una cierta vecindad de r = 0∫
V
∇2
(
1
r
)
dV =
∫
∇ ·
[
∇
(
1
r
)]
dV =
∮ [
∇
(
1
r
)]
· n dS
=
∮ [
− r
r3
]
· dS = −
∮
dΩ = −4π
{
1 si O′ esta´ dentro
0 si O′ esta´ fuera (1.8)
donde hemos aplicado el teorema de Gauss o teorema de la divergencia as´ı como la Ec. (1.6). Vemos entonces que
∇2 (1r) = 0 para r 6= 0 en tanto que su integral en un volumen que contiene a r = 0 es 4π, reasignando r→ r− r′
resulta entonces que ∫
V
∇2
(
1
|r− r′|
)
dV = −4π
{
1 si el volumen incluye al punto r′
0 si el volumen no incluye a r′
(1.9)
no´tese que en (1.8) hemos usado el teorema de Gauss a pesar de que la funcio´n no es bien comportada en el
volumen en cuestio´n, esto es inconsistente si tomamos a∇2
(
|r− r′|−1
)
como una funcio´n ordinaria. Lo que realmente
estamos haciendo es considerando a ∇2
(
|r− r′|−1
)
como una distribucio´n y encontrando cual es el mapeo que nos
permite asignar un valor a la integral de volumen de modo que nos permita usar el teorema de Gauss. Notemos que
precisamente la Ec. (1.9) emula la propiedad fundamental de la delta de Dirac en tres dimensiones de modo que
∇2
(
1
|r− r′|
)
= −4πδ (r− r′) (1.10)
esta identidad sera´ de uso muy frecuente.
1.5.1. Ley de Gauss en forma diferencial
Partiendo de la ley de Gauss, escribimos la carga total como una integracio´n volume´trica de la densidad∮
E · dS = 4πKcq = 4πKc
∫
ρ (r) dV
esto siempre es posible incluso si la densidad es lineal, superficial o puntual, ya que podemos constru´ır una densidad
volume´trica equivalente, como veremos ma´s adelante. Por otro lado el teorema de la divergencia nos dice que∮
E · dS =
∫
(∇ ·E) dV
comparando las integrales de volumen ∫
(∇ ·E) dV = 4πKc
∫
ρ (r) dV
al ser esto va´lido para un volumen arbitrario en forma y taman˜o se tiene
∇ · E = 4πKcρ (r)
Esta ecuacio´n es va´lida para cualquier distribucio´n esta´tica de cargas, y me dice que las cargas positivas (negativas)
son fuentes (sumideros) de l´ıneas de campo ele´ctrico. Sin embargo, veremos ma´s adelante que esta ecuacio´n se
extrapola al caso de campos dependientes del tiempo.
1.5.2. Potencial electrosta´tico
El campo ele´ctrico generado por una carga puntual esta´tica es conservativo en virtud de su naturaleza central y
de su independencia temporal. Por otro lado, la superposicio´n de campos conservativos genera otro campo tambie´n
conservativo, de lo cual se sigue que cualquier campo ele´ctrico generado por una distribucio´n esta´tica de cargas
1.5. LEY DE GAUSS 11
(cont´ınuas o discretas) es conservativo. Matema´ticamente, un campo conservativo se puede escribir como E = −∇φ,
siendo φ una funcio´n escalar. La funcio´n escalar asociada al campo ele´ctrico se conoce como potencial
Por otro lado, si recordamos que F = qE para una carga de prueba q, resulta que la fuerza F sobre la carga de
prueba es conservativa y se le asocia una energ´ıa potencial F = −∇Ep. De esto se deduce que φ = Ep/q de modo
que el potencial es la energ´ıa potencialpor unidad de carga generada por cierta distribucio´n.
Escribamos el campo ele´ctrico para una distribucio´n arbitraria de cargas
E (r) = Kc
∫
dq (r′) (r− r′)
|r− r′|3
Va´lido para distribucio´n cont´ınua. Usando
−∇
(
1
|r− r′|
)
=
r− r′
|r− r′|3 (1.11)
el campo queda
E (r) = −Kc
∫
dq
(
r′
) ∇( 1|r− r′|
)
y como ∇ opera sobre la variable r pero no sobre r′, puede salir de la integral
E (r) = −∇
[
Kc
∫
dq (r′)
|r− r′|
]
Definiendo
E = −∇φ (r) ; φ (r) ≡ Kc
∫
dq (r′)
|r− r′| (1.12)
obtenemos una funcio´n escalar φ (r) asociada al campo ele´ctrico E, tal funcio´n escalar es el denominado potencial
escalar electrosta´tico10 . En esta ecuacio´n podemos tomar ∇2 a ambos lados
∇2φ (r) ≡ Kc∇2
∫
dq (r′)
|r− r′| = Kc
∫
dq
(
r′
) ∇2( 1|r− r′|
)
usando la identidad (1.10)
∇2
(
1
|r− r′|
)
= −4πδ (r− r′) (1.13)
queda
∇2φ (r) = −4πKc
∫
dq
(
r′
)
δ
(
r− r′) = −4πKc ∫ ρ (r′) δ (r− r′) dV ′ = −4πKcρ (r)
Con lo cual queda
∇2φ (r) = −4πKcρ (r) (1.14)
Conocida como la ecuacio´n de Poisson para el potencial escalar. Esta ecuacio´n tambie´n se puede obtener de la ley
de Gauss en forma diferencial junto con la conservatividad del campo
∇ ·E = 4πKcρ (r)⇒ ∇ · (−∇φ) = 4πKcρ (r)⇒ ∇2φ (r) = −4πKcρ (r)
Para un conjunto de cargas puntuales qi ubicadas en las posiciones ri, se puede definir una densidad volume´trica
equivalente que me permite usar la formulacio´n en el cont´ınuo, tal distribucio´n equivalente se describe por
ρ
(
r′
)
=
N∑
i=1
qiδ
(
r′−ri
)
10Esta expresio´n para el potencial depende de que se defina el cero de potencial en el infinito. Por esta razo´n, la forma integral t´ıpica
del potencial puede diverger cuando se trabajan distribuciones de carga no localizadas.
12 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
cualitativamente, esto se puede ver teniendo en cuenta que la densidad de un conjunto de cargas puntuales es cero en
los puntos donde no hay carga, e infinita en cada punto donde hay una carga. Adema´s al integrar ρ (r′) sobre todo
el espacio, se obtiene la carga total en virtud de la normalizacio´n de la delta de Dirac∫
ρ
(
r′
)
dV ′ =
N∑
i=1
qi
∫
δ
(
r′−ri
)
d3r′ =
N∑
i=1
qi
finalmente, podemos verificar que el ρ equivalente para una distribucio´n discreta nos da el potencial correcto asociado
a dicha distribucio´n
φ (r) = Kc
∫
ρ (r′)
|r− r′|dV
′ = Kc
N∑
i=1
qi
∫
δ (r′−ri)
|r− r′| dV
′ = Kc
N∑
i=1
qi
|r− ri|
por otro lado
∇×E = −∇× (∇φ) = 0 (1.15)
ya que el rotacional del gradiente de una funcio´n escalar bien comportada es siempre cero. Esta es otra forma
equivalente de ver la conservatividad del campo, todos los campos conservativos son irrotacionales y viceversa (siempre
y cuando el campo dependa exclusivamente de la posicio´n).
La ecuacio´n E = −∇φ nos dice que dado el potencial se puede calcular el campo ele´ctrico de manera u´nica.
El hecho de que el potencial sea una cantidad escalar con la misma informacio´n F´ısica del campo, es una ventaja
operativa, pero tambie´n surge la pregunta ¿como un objeto con un solo grado de libertad puede contener la misma
informacio´n que uno de tres grados de libertad?, la respuesta es que las componentes del campo ele´ctrico no son
realmente independientes, puesto que ∇× E = 0 y ∇ · E = 4πKcρ, de modo que tenemos 6 ecuaciones diferenciales
para las componentes de dicho campo11. Cabe mencionar que el potencial obedece a un principio de superposicio´n,
heredado del campo. Finalmente, es importante tener en cuenta que existe una arbitrariedad en la definicio´n del
potencial, para lo cual es necesario fijar el punto del espacio en el cual definimos el potencial cero. Esto no es ninguna
contradiccio´n ya que el potencial no es un observable f´ısico como veremos ma´s adelante, el observable es la diferencia
de potencial. El campo ele´ctrico en cambio s´ı es un observable.
Retomando la Ec. (1.15) que es equivalente a la conservatividad y usando el teorema de Stokes, se tiene∫
S
(∇×E) · dS =
∮
C
E · dl = 0
donde S es cualquier superficie delimitada por el lazo cerrado C. Vemos entonces que toda integral de l´ınea cerrada
del campo electrosta´tico es cero. Ahora sean dos caminos que pasan por los mismos puntos A y B ⇒∮
E · dl =
∫ B
A
E · dl
∣∣∣∣
C1
+
∫ A
B
E · dl
∣∣∣∣
C2
= 0
⇒
∫ B
A
E · dl
∣∣∣∣
C1
−
∫ B
A
E · dl
∣∣∣∣
C2
= 0
de lo cual se deduce que ∫ B
A
E · dl
∣∣∣∣
C1
=
∫ B
A
E · dl
∣∣∣∣
C2
y como los puntos A y B son arbitrarios (en virtud de la arbitrariedad de los lazos cerrados originales), se deduce
que la integral de l´ınea del campo ele´ctrico es independiente del camino y solo depende de los extremos. Esta es otra
forma de definir a un campo conservativo, y de hecho es la que mayores implicaciones f´ısicas tiene. Hay que tener
especial cuidado con los campos mal comportados. Como ejemplo, sea F (r) = (A/r)uθ, una fuerza restringida a
dos dimensiones. El diferencial de trabajo es dW = F · dr = (A/r)uθ · (dr ur + r dθ uθ) = (A/r) r dθ calculemos el
trabajo para varias trayectorias
11Es importante enfatizar que au´n quedan grados de libertad, gracias a que estas 6 ecuaciones son ecuaciones diferenciales de primer
orden (estos grados de libertad se traducen en el potencial y en la arbitrariedad para definirlo). Si estas ecuaciones fueran lineales en el
campo, e´ste estar´ıa de hecho sobredeterminado. Ma´s adelante veremos que la determinacio´n del rotacional y la divergencia de un campo
vectorial, au´n no son suficientes para darle unicidad a la solucio´n de tal campo vectorial.
1.5. LEY DE GAUSS 13
1) Trayectoria cuyos vectores posicio´n inicial y final esta´n a un a´ngulo θ1 y θ2 respectivamente
W =
∫
Adθ = A (θ2 − θ1)
independiente de la trayectoria, solo importan los extremos e incluso solo el a´ngulo (no la distancia)
2) Trayectoria cerrada que no encierra al origen
W =
∫ r2
r1
A dθ +
∫ r1
r2
A dθ = A (θ2 − θ1) +A (θ1 − θ2) = 0
da cero independiente de la forma espec´ıfica de la trayectoria (siempre que no incluya el origen)
3) Trayectoria cerrada que encierra al origen
W =
∫ 2pi
0
A dθ = 2πA 6= 0
Luego la fuerza no es conservativa, la cuestio´n es que ∇ × F = 0 en todo el espacio excepto en el origen, de modo
que un camino cerrado que contenga al origen no da necesariamente cero.
Se puede probar que un campo central de la forma E (r) = E (ρ) uρ con ρ en coordenadas esfe´ricas es conservativo
si E (ρ) es una funcio´n bien comportada. Se puede calcular el rotacional de este campo y verificar que es cero en todo
el espacio. De especial intere´s son los campos de la forma
M (r) = k
∫
df (r′) (r− r′)
|r− r′|n+1 n = real
Se puede verificar que ∇×M = 0, y el potencial asociado se puede encontrar teniendo en cuenta que
(r− r′)
|r− r′|n+1 =
{
1
n−1∇
(
1
|r−r′|n−1
)
si n 6= 1
∇ ln |r− r′| si n = 1
1.5.3. Potencial y trabajo
La coleccio´n de todos los puntos con el mismo potencial forma las llamadas superficies equipotenciales. Como
E = −∇φ, las l´ıneas de campo son perpendiculares a tales superficies, y el campo va en la direccio´n en la cual
el potencial disminuye, veamos el sentido F´ısico del potencial: consideremos el trabajo realizado sobre una carga q
puntual para llevarla con velocidad constante desde a hasta b en presencia de un campo ele´ctrico
Wa→b =
∫ b
a
Fext · dr = −q
∫ b
a
E · dr = q
∫ b
a
∇φ · dr
Wa→b = q
∫ b
a
dφ = q [φ (b)− φ (a)]
el signo menos proviene del hecho de que lo que se esta´ calculando es el trabajo hecho por el agente externo sobre
la carga, como e´sta debe ir con velocidad constante, la fuerza externa debe ser igual en magnitud pero opuesta en
direccio´n a la fuerza del campo sobre la carga. Dividiendo esta ecuacio´n por la carga
Wa→b
q
= φ (b)− φ (a) = −
∫ b
a
E· dr
De modo que la diferencia de potencial asociada al campo E es el trabajo realizado sobre una carga unidad q puntual
para llevarla con velocidad constante desde a hasta b en presencia de dicho campo ele´ctrico.
Es importante mencionar que el trabajo solo depende de la diferencia de potencial y que E = −∇φ deja una
constante arbitraria por definir en el potencial. Por tanto, el potencial φ′ ≡ φ+ c (siendo c una constante) describe la
misma F´ısica que φ. Esto se llama una transformacio´n Gauge o de calibracio´n (transformacio´n del campo). El campo
y el trabajo son invariantes Gauge. La forma ma´s general del potencial es entonces
14 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
φ (r) = Kc
∫
ρ (r′) dV ′
|r− r′| + φ0
Para fijar la constante escojemos un punto de referencia para definir el cero de potencial. Tomemos el ejemplo de la
carga puntual; en coordenadas polares tenemos:∫ b
a
E · dr = KcQ
∫ b
a
1
r2
ur · (dr ur + rdθ uθ) = Kc
∫ b
a
Q
r2
dr = −Kc Q
r
∣∣∣∣b
a
= KcQ
(
1
ra
− 1
rb
)
= φ (a)− φ (b)
de modo que
φ (a) = KcQ
(
1
ra
− 1
rb
)
+ φ (b)
si hacemos ra = r, rb →∞ tenemos que
φ (r) =
KcQ
r
+ φ (∞)
la escogencia φ (∞) = 0 siempre es posible en distribuciones localizadas de carga, pues estas se ven de lejos siempre
como puntuales. Cuando hay distribuciones de carga no localizadas como en el caso de un alambre infinito, la
escogencia del cero de potencial en el infinito conduce por lo general a divergencias.
Discusio´n: En general s´ı es posible definir el cero de potencial en un punto en el infinito incluso cuando la carga
no esta´ localizada. Sin embargo, en tal caso no es correcto definir el potencial cero cuando r → ∞ (r distancia del
punto a un origen de coordenadas). La razo´n para ello es que r → ∞ no define un punto sino una superficie, y no
debemos perder de vista que el potencial debe ser fijado en un punto y no en una superficie. La pregunta natural es
¿porque´ la definicio´n del cero de potencial en r → ∞ es va´lida para distribuciones localizadas?, la respuesta radica
en el hecho de que para distancias suficientemente grandes, la distribucio´n se puede ver como una carga puntual, esto
significa que para una esfera suficientemente grande y “centrada” en la distribucio´n, la superficie de dicha esfera es
equipotencial, de modo que definir cero el potencial en un punto de su superficie equivale a definirlo cero en todos los
puntos de la superficie. Cuando la distribucio´n no es localizada, no podemos verla como puntual, incluso aleja´ndonos
indefinidamente, por tanto esta enorme esfera no define una superficie equipotencial.
Veamos el ejemplo espec´ıfico de un alambre infinito, si ri define la distancia del punto Pi al alambre, tenemos que
φ21 = −
∫ P2
P1
E · dS = −2λ ln r2 + 2λ ln r1 = −2λ ln r + const
Escogemos φ (a) = 0 con a arbitrario (a 6= 0, a 6= ∞). Si elegimos el cero de potencial en un punto espec´ıfico en el
infinito (por ejemplo el punto (0, 0, z →∞)), vamos a obtener potenciales infinitos en todo el espacio. Sin embargo,
las diferencias de potencial (que son los verdaderos observables f´ısicos) van a continuar siendo finitas. Hay que tener
en cuenta sin embargo que las distribuciones reales son localizadas.
1.6. Energ´ıa potencial electrosta´tica
Dado el cara´cter conservativo del campo electrosta´tico, el trabajo realizado para traer una carga desde a hasta b
en un potencial externo φ (r) es
Wa→b = −q
∫ b
a
E · d~l = q [φ (b)− φ (a)]
De esta manera podemos asociar una energ´ıa potencial a una carga q, en cada punto r del espacio, y sera´ equivalente
al trabajo necesario para mover la carga desde un punto de referencia donde el potencial es cero hasta el punto r en
cuestio´n12. Para distribuciones localizadas de carga es usual definir el cero de potencial en el infinito, en tal caso
W∞→r = qφ (r) = U (r) = energı´a potencial asociada a la carga q
12Esto es ana´logo a la energ´ıa potencial asociada a una part´ıcula en un campo gravitatorio. Cuando estamos en un campo gravitatorio
constante la energ´ıa potencial es mgh donde h = 0 se define por ejemplo en el suelo. Esta energ´ıa potencial es justamente el trabajo
necesario para que una part´ıcula de masa m se traslade desde el cero de potencial hasta un punto con altura h.
1.6. ENERGI´A POTENCIAL ELECTROSTA´TICA 15
Calculemos ahora el trabajo necesario para formar una distribucio´n esta´tica de cargas puntuales.
Para estimar este trabajo podemos razonar del siguiente modo: El trabajo necesario para traer la primera carga
es cero, ya que no hay fuerzas ni campos a los cuales oponerse, de modo que el trabajo necesario para traer la primera
carga desde el infinito hasta su posicio´n final r1 (denotado porW1) es nulo. Al traer la segunda carga desde el infinito
hasta su posicio´n final r2, e´sta ya se mueve en el campo generado por la primera, y como la primera carga genera un
potencial φ1 (r) entonces el trabajo para traer la segunda carga desde el infinito hasta una cierta posicio´n r2 es
W2 = q2φ1 (r2) = Kcq2
q1
|r2 − r1| = Kc
q1q2
r12
; rij ≡ |rj − ri| = rji
ana´logamente, la tercera carga se mueve en el campo generado por las dos primeras desde el infinito hasta su posicio´n
r3
W3 = q3 [φ1 (r3) + φ2 (r3)] = Kcq3
(
q1
r13
+
q2
r23
)
= Kc
(
q1q3
r13
+
q2q3
r23
)
si el sistema solo consta de tres cargas el trabajo total es
WT =W1 +W2 +W3 = Kc
(
q1q2
r12
+
q1q3
r13
+
q2q3
r23
)
esto sugiere que para n cargas la expresio´n sea
WT =
n−1∑
i=1
n∑
k>i
Kcqiqk
rik
se sugiere al lector demostrar la anterior expresio´n por induccio´n matema´tica. Tambie´n se deja al lector la tarea de
demostrar que este trabajo total coincide con el valor de la energ´ıa potencial interna del sistema Uint, es decir la
energ´ıa potencial asociada con las fuerzas internas. Esta expresio´n se puede escribir de una forma ma´s sime´trica si
tenemos en cuenta que para un par dado i, k podemos escribir
qiqk
rik
=
1
2
(
qiqk
rik
+
qkqi
rki
)
de manera que podemos reemplazar la restriccio´n k > i por la restriccio´n k 6= i introduciendo un factor 1/2. La
energ´ıa interna se escribira´ entonces en la forma
WT = Uint =
1
2
n∑
i=1
n∑
k 6=i
Kcqiqk
rik
(1.16)
donde el factor 1/2 se coloca debido al doble conteo de te´rminos, adema´s k 6= i lo cual implica que una part´ıcula no
interactu´a consigo misma. Veremos adema´s que esta expresio´n es ma´s adecuada para hacer el paso al cont´ınuo.
Por otro lado, si tenemos en cuenta que
φi =
n∑
k 6=i
Kcqk
rik
donde φi es el potencial asociado a la carga qi debido a su interaccio´n con las otras cargas. La energ´ıa interna se
puede escribir como
Uint =
1
2
n∑
i=1
qiφi (1.17)
Esta expresio´n no contiene la autoenerg´ıa asociada a cada carga individual, pues asume que las cargas ya esta´n
armadas, esto se ve´ en el hecho de que φi es el potencial debido a todas las cargas excepto la i − e´sima. Solo
contiene los te´rminos debidos a la interaccio´n entre las cargas. Estas autoenerg´ıas son divergentes pero se pueden
renormalizar13. Como veremos ma´s adelante, cuando asumimos distribuciones cont´ınuas de cargas estos te´rminos
de autoenerg´ıa aparecen en la formulacio´n sin dar divergencias (siempre y cuando la densidad sea finita en todo el
espacio).
13El hecho de que las autointeracciones diverjan tiene que ver con el hecho de que se necesita una energ´ıa infinita para ensamblar una
carga puntual.
16 CAPI´TULO 1. ELECTROSTA´TICA
1.6.1. Distribuciones cont´ınuas de carga
Formaremos la distribucio´n volume´trica trayendo elementos diferenciales de carga desde el infinito. La natura-
leza conservativa de las interacciones electrosta´ticas nos garantiza que la energ´ıa total final de la distribucio´n es
independiente del orden en que se traigan las cargas (de lo contrario