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ANÁLISIS MATEMÁTICO (40008) y (40015) RESUMEN DE TEORÍA Y ENUNCIADOS DE LOS EJERCICIOS GRADO DE MATEMÁTICAS (394) Luis A. Tristán Vega DPTO. DE ÁLGEBRA, ANÁLISIS MATEMÁTICO, GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA 40008 VERSIÓN REVISADA Y CORREGIDA VALLADOLID, MAYO DE 2013 LATV 40015 2A. EDICIÓN DEL TEMARIO AMPLIADO VALLADOLID, FEBRERO DE 2013 LATV Última compilación: 12 de junio de 2013 Ilustración de portada: edición original en latín de la obra “Introductio in Analysin Infinitorum” de Leonhard Euler, del año 1748 (cita [46] de la bibliografía). Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous Leed a Euler, leed a Euler, él es el maestro de todos nosotros (Pierre Simon Laplace) Contenido Prólogo a Análisis Matemático V Prólogo a Ampliación de Análisis Matemático VII 1. Espacios euclídeos 1 1.1. Topología de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Límites iterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1. Aplicaciones lineales y bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1. Comentarios sobre espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5. Conexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. Cálculo diferencial 23 2.1. Derivabilidad y diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3. Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.1. Formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3. Aplicaciones diferenciables 41 3.1. Aplicaciones contractivas. Teorema del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.1. Notas sobre la demostración del teorema de las funciones inversas . . . . . 43 3.2.2. Cambios de variables. Aplicación a las ecuaciones diferenciales . . . . . . . 44 3.3. Funciones implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.1. Teoremas de rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4. Sucesiones y series funcionales 53 4.1. Sucesiones de funciones. Modos de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3. Sucesiones y series de funciones de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4. Aproximación de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4.1. Comentarios sobre la generalización del teorema de Weierstrass . . . . . . 60 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5. Fundamentos de la integral 69 5.1. Intervalos en Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.1.1. Conjuntos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.2. Conjuntos de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.2.1. La locución “casi siempre” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.3. Funciones escalonadas y su integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 I 6. Integral de Lebesgue 79 6.1. Definiciones y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2. Sucesiones de funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.2.1. Comentarios sobre la generalización del teorema de Levi . . . . . . . . . . . 82 6.3. Integración en intervalos de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7. Medibilidad. Integración iterada 91 7.1. Funciones medibles y conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.2. Integración en conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.2.1. Comentarios sobre espacios de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.2.2. Conceptos físicos definidos por integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.3. Integración iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.3.1. Ejemplos notables de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8. Integración por cambio de variables 109 8.1. Nociones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.1.1. Cambios de variable en una dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.1.2. Representación y descomposición de isomorfismos lineales . . . . . . . . . 110 8.2. Teorema del cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.2.1. Notas sobre la demostración del teorema del cambio de variables . . . . . . 111 8.3. Cambios de variables usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 9. Integrales paramétricas 123 9.1. Continuidad y derivación de integrales paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 9.1.1. Integrales flechadas dependientes de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . 125 9.2. Integrales eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9.3. Convolución de funciones. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 9.3.1. Producto de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.3.2. Aproximaciones de la identidad. Regularización de funciones . . . . . . . . 130 9.4. Transformadas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 9.4.1. Transformación de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 9.4.2. Transformación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 10. Extremos condicionados 141 10.1. Variedades diferenciables en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.1.1. Variedades definidas implícitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 10.2. Extremos sujetos a condiciones de ligadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 10.2.1. El método de Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 11. Teoría de campos 153 11.1. Curvas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 11.2. Campos escalares y vectoriales . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 11.3. Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 11.3.1. Gradiente de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 11.3.2. Rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 11.3.3. Divergencia de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 11.3.4. Laplaciano de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 12. Integrales de línea 167 12.1. Integración de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 12.2. Integración de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 12.3. Fórmula de Riemann-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 12.3.1. Notas sobre la demostración del teorema de Riemann-Green . . . . . . . . 177 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 II 13. Integración en superficies 185 13.1. Superficies paramétricas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 13.2. Integración de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 13.3. Integración de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 13.4. Superficies con borde. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 13.5. Teorema de Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 13.5.1. Comentarios sobre formas diferenciales y el teorema general de Stokes . 198 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 A. Cónicas y Cuádricas 209 A.1. Cónicas en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 A.2. Cuádricas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Bibliografía 213 Índice de notación 217 Índice alfabético 219 III Prólogo a Análisis Matemático Este manual no tiene otra pretensión que la de proporcionar un guión, ajustado al temario de la asignatura, que ayude tanto al desarrollo cotidiano de las lecciones magistrales, como al estudio particular del alumno. Con esto en mente, la estructura es sencilla: en cada uno de los temas en que se divide la materia se relatan los conceptos, propiedades y teoremas correspondientes, de forma con- cisa, pero sin renunciar a la presentación de ejemplos, observaciones aclaratorias, e incluso referencias a temas avanzados, continuación natural de los que conforman el currículo de la asignatura. Finalmente se proporciona una nutrida colección de enunciados de ejercicios, de dificultad variada, desde simples aplicaciones de fórmulas hasta problemas que requieren un planteamiento más concienzudo o una aportación intelectual que implique una visión general de la materia expuesta en la parte teórica. Los ejercicios se han elegido de manera que, salvo los prerrequisitos obvios del Cálculo en una variable y el Álgebra Lineal, no precisen de otra materia que la contemplada en la asig- natura, e intentando que abarquen todas las facetas que ésta presenta. No obstante, al igual que en la parte teórica, son inevitables algunas referencias a disciplinas afines (Topología, Ecuaciones Diferenciales, etc.). Algunos ejercicios o problemas serán tratados en las clases prácticas, que girarán en torno a ellos. En general, para el uso de estas notas de la manera más provechosa, recomendamos que el alumno se anticipe a la presentación de la teoría en las lecciones magistrales, dedicando unos pocos minutos a la lectura somera de la materia que corresponda de forma inminente; esto servirá, al menos, para adquirir un primer contacto con la terminología y notación, y en muchos casos, en los que se generalizan nociones ya presentadas en un primer curso de Cálculo Infinitesimal, preparará al lector para una mejor comprensión de las explicaciones del profesor. Es necesario en este punto hacer énfasis en que el documento que presentamos dista mucho de ser un libro de texto, y que la correcta asimilación de los conceptos teóricos y la adquisición de la destreza en los métodos de Cálculo requiere del trabajo personal del alumno: primero, mediante la documentación entre la bibliografía citada, afianzando o pu- liendo aquellos aspectos teóricos que pudieran no haber quedado claros, y después, pero no menos importante, mediante la resolución de ejercicios y problemas. Los momentáneos intentos infructuosos no son necesariamente indicios de fracaso global, al contrario, sir- ven para enfocar de una forma más eficiente futuros problemas similares. Un ejemplo muy significativo: nadie puede aprender a montar en bicicleta viendo en televisión las grandes competiciones, solamente cuando se ha experimentado lo suficiente (seguramente sufrien- do varias caídas) se puede alcanzar la destreza; lo mismo que en el desarrollo de cualquier actividad física o intelectual. En relación con lo expuesto arriba, se incluye una abundante lista de referencias biblio- gráficas, incluyendo tanto de libros de texto como manuales prácticos. Además, aunque no sea imprescindible, se citan algunas obras de carácter divulgativo o histórico, así como las direcciones URL de algunas páginas Web interesantes. Destacaremos luego una pequeña co- lección de textos que pensamos son los más adecuados al currículo de la asignatura. Entre estas obras, algunas que se pueden considerar ya clásicas y otras de factura más moderna, se encuentra información más que suficiente para abordar con éxito el estudio de esta asig- natura, y únicamente el autor de estas notas aporta sus gustos o preferencias personales en cuanto a la organización secuencial del temario y el nivel de profundización. A tenor de lo dicho cabe preguntarse ¿qué sentido tiene elaborar este material didáctico si ya está todo escrito? En primer lugar, no hay un texto que se ajuste exactamente al con- tenido de la asignatura, de manera que tener un guión establecido ayudará al alumno en V la programación de su estudio y en la tarea de documentación. También, el tener a mano los enunciados fundamentales, permitirá al alumno acudir a las lecciones con una actitud alejada de la del mero amanuense que transcribe la verborrea del profesor, y a éste a lo que, a mi modo de entender, debe ser su primordial función: transmitir el entusiasmo por lo que se enseña, fomentar la capacidad de que el alumno adquiera herramientas y hábitos de trabajo y aprendizaje individual, y sembrar el espíritu crítico que debe acompañar a toda actividad intelectual; a esta convicción he llegado con los años, independientemente de las sucesivas reformas de la enseñanza universitaria, o la vana grandilocuencia con que en nuestro país se han interpretado los acuerdos de Bolonia. Además, he de confesar, la obligación que me impongo de elaborar por adelantado este material me sirve de ayuda en mi labor docente en la primera andadura de la asignatura, entre otras cosas, para decidir de una manera más eficiente (y por tanto beneficiosa para sus destinatarios, supongo) qué incluir, cómo y en qué orden, optimizando el tiempo que se dedicará a cada tema y sin tener que sacrificar nada importante. Volviendo a las referencias bibliográficas, de forma más explícita: ⊲ El texto de Apostol [1] es una excelente referencia general para la asignatura, a excepción de una pequeña parte: lo que atañe a la construcción de la integral de Lebesgue, que presenta mediante el método de las funciones superiores, un ligera variante del método que se expone en estas notas. ⊲ El libro de Marsden y Hoffman [25] es otra buena referencia para la primera mitad de la asignatura y responde casifielmente a la exposición que hacemos del tema 3 (funciones inversas e implícitas). ⊲ La colección de Fernández Viña, [11], [12] y [13], es otra excelente referencia general. En particular, en [13] se desarrolla la construcción de la integral de Lebesgue mediante el método de sucesiones fundamentales, que será el que seguiremos. ⊲ Los textos de Bombal, Rodríguez y Vera [4] cubren casi por completo todos los aspectos prácticos de la asignatura. ⊲ También los suplementos de “Ejercicios y complementos” de Fernández Viña y Sánchez Mañes, [14], [15] y [16], que acompañan los textos teóricos de Fernández Viña, son una buena referencia general en lo tocante a la práctica. ⊲ El texto de Galindo, Sanz y Tristán [19], aunque concebido de forma generalista hacia las enseñanzas técnicas, por lo que adolece de escasez de problemas de índole más teóri- ca, contiene una abundante colección de ejercicios de cálculo. Las sucesiones y series funcionales están contempladas en el tomo dedicado a funciones de una variable [18]. La edición de este documento pretende ser lo más cuidada posible, utilizando el compila- dor de LATEX 2e, con formato “libro” (documentclass[book]), y preparado para imprimir a doble cara (de ahí la posible aparición de páginas en blanco). En particular, para facilitar su uso se incluyen: la tabla de contenidos, las referencias bibliográficas, el índice de notación y el índice alfabético. En éste último se recogen también los nombres de los personajes que han contribuido de alguna forma al desarrollo del Análisis Matemático, y que se citan en el texto, bien sea indirectamente, o por haber prestado su nombre a algún teorema. No puedo dejar de mencionar (es de bien nacidos ser agradecidos) que el contenido de estas notas y su posible valía no son sólo fruto de mi trabajo personal; las enseñanzas primero, y los consejos y colaboración luego, por parte de mis maestros y compañeros del Área de Análisis Matemático de la Universidad de Valladolid son mucho más trascendentes que el simple trabajo de teclear. Si algún defecto se encuentra se deberá sin duda a mis limitaciones o despistes. Finalmente quiero señalar que, aunque este material está dirigido a mis alumnos, cual- quier persona que desee usarlo para fines no comerciales tiene mi expreso permiso de re- producción. En este sentido son bienvenidas toda critica o sugerencia, tanto en el aspecto literario como en el matemático, que ayuden a mejorar este modesto fruto de mi esfuerzo (contactar en e-mail: ltristan@am.uva.es). Valladolid, Junio de 2012 Luis A. Tristán Vega VI Prólogo a Ampliación de Análisis Matemático Mηδǫι´ς αγǫωµǫ´τρητoς ǫισι´τω µoι την θυ´ραν (No entre aquí quien no sepa Geometría) Tras meditarlo profundamente me he decidido a continuar en este documento la parte relativa a esta asignatura de tercer curso. Es decir los 8 primeros temas corresponden a la asignatura (40008)-Análisis Matemático mientras que los temas 9 a 13 constituyen la materia de (40015)-Ampliación de Análisis Matemático. Esta decisión se debe, por una parte, a la necesidad de hacer continuas referencias en ésta de tercer curso a la de segundo curso; además, el hecho de que la materia tradicional de un curso de Análisis Matemático en varias variables reales se haya dividido en dos asignaturas, se debe sólo a que el plan de estudios se articula en asignaturas de 6, 9 o 12 créditos (no veo impedimento a que pudiesen ser de 15 o 18, ni le encuentro la ventaja a esa limitación, pero tampoco es este el sitio para discutirlo). También por este motivo mantengo el título, aunque sólo se corresponda con el de la primera asignatura. Además, todas las consideraciones y sugerencias hechas antes sirven, exactamente igual, en este caso. Como novedad, mencionaré las referencias bibliográficas específicas para los nuevos temas: ⊲ Para el primer tema de la asignatura (secciones 9.1 y 9.2 de este documento) son reco- mendables las mismas referencias que para los temas 6, 7 y 8. ⊲ El texto de Mazón [27] nos servirá para el tema 10. De hecho, si no fuese por las ligeras diferencias en la notación podríamos adoptarlo, tal cual, en estas notas. ⊲ También resultan útiles para el tema 10 los textos [1], [12], [15] y [25]. ⊲ En general, la colección de Fernández Viña y Sánchez Mañes es una buena referencia para todos los temas. No obstante, el cálculo vectorial se presenta del modo más formal en el contexto de las formas diferenciales. ⊲ Para los temas de Análisis Vectorial [26] y [31] son dos referencias clásicas. Como reco- mendación para lecturas posteriores o avanzadas, mencionaremos otros textos excelen- tes, alguno con una merecida reputación internacional, como [8], [28] o [35], pero en ellos la integración en variedades se presenta mediante formas diferenciales, lo que excede las aspiraciones de nuestro temario. ⊲ El texto de Galindo, Sanz y Tristán [19], cubre la parte práctica de todos los temas, tanto la parte de Extremos Condicionados como las de Cálculo Integral y Análisis Vectorial. Además, he añadido un apéndice resumiendo los aspectos básicos de las cónicas y las cuádricas afines. No sólo resultará útil a la hora de trabajar con los teoremas del Análisis Vectorial (circulaciones o flujos de campos, etc.), también aportará una buena herramienta en el manejo y estudio de los conjuntos que aparecen con frecuencia en el Cálculo Diferencial y en el Cálculo Integral. Es evidente que la destreza a la hora de tratar los aspectos geométricos allana muchas dificultades en trabajos como la búsqueda de las secciones de conjuntos en la integración iterada, la detección de cambios de variables ad hoc para problemas concretos, etc. De ahí la cita, obviamente sin ánimo prohibitivo, a la frase que la tradición (o la leyenda) cuenta que rezaba inscrita en la entrada a la Academia de Platón, en el siglo IV a. de C. Valladolid, Junio de 2013 Luis A. Tristán Vega VII Tema 1 Espacios euclídeos Hablando en rigor, un espacio euclídeo, generalizando los conceptos de la Geometría clá- sica contemplada en los Elementos de Euclides, es un espacio vectorial real de dimensión finita dotado de un producto interno, en el que se tienen, por tanto, aparte de las nociones lineales generales, las relativas a ángulos (ortogonalidad, paralelismo). Ahora bien, eligiendo una base ortonormal de uno de tales espacios (el método de Gram-Schmidt permite cons- truirla partiendo de una base cualquiera) esa fácil establecer un isomorfismo entre él y Rn, siendo n la dimensión del espacio. Por esta razón nos limitamos al estudio de estos espacios. El objetivo del presente capítulo es introducir aquellas propiedades topológicas de los espacios euclídeos que serán necesarias para abordar posteriormente el Cálculo Diferencial en varias variables. El punto de partida en el desarrollo de esta materia es el concepto de norma, que generaliza el de valor absoluto de los números reales y permite establecer un argumento para medir la proximidad de los puntos de un espacio vectorial. De hecho, la recta real es el caso más simple de los espacios normados que nos ocupan. El lector observará que los resultados que se exponen aquí son generalizaciones, o con- venientes adaptaciones, de los que se presentan, con el mismo objetivo, en el estudio de la continuidad de funciones de una variable real. 1.1. Topología de Rn Definición 1.1. Para cada número natural n, sea Rn el conjunto de todas las n-uplas orde- nadas de números reales x = (x1, x2, . . . , xn). A xk se le denomina coordenada k-ésima de x. Se definen la suma de elementos de Rn y el producto de un escalar por un elemento de Rn como sigue: Para x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn se define su suma x+ y por x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn). Para x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn y α ∈ R, se define su producto αx por αx = (αx1, α x2, . . . , α xn). Proposición 1.2.El conjunto Rn con estas operaciones es un espacio vectorial sobre el cuer- po de los números reales. Observaciones 1.3. I) Usamos, por comodidad, la notación de vectores fila. En Álgebra Lineal, atendiendo a la representación matricial de aplicaciones y ecuaciones lineales, es usual considerar vectores columna. Cuando se requiera denotaremos por xt al vector traspuesto de x: xt = (x1, x2, . . . , xn) t = x1... xn . II) Es habitual confundir la estructura vectorial así obtenida con la estructura geométrica que se obtiene al considerar un espacio afín con espacio vectorial asociado Rn y, abusan- do de la notación, referirse a “puntos” de Rn en lugar de vectores, y a x1, x2, . . . , xn como las coordenadas (cartesianas, en honor a R. Descartes) del punto x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn. Este será el criterio que seguiremos en adelante. 1 2 Tema 1. Espacios euclídeos Definición 1.4. Si x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn se define su producto escalar o interno, que se representa por x · y o 〈x,y〉 , como x · y = x1 y1 + x2 y2 + . . .+ xn yn. Para cada x = (x1, x2, . . . , xn) de Rn se define su norma euclídea ‖x‖ por ‖x‖ = √x · x = ( n∑ i=1 |xi|2 )1/2 . El espacio vectorial Rn dotado del producto interno arriba definido se conoce como el espacio euclídeo n-dimensional. Proposición 1.5 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si x,y ∈ Rn, entonces |x · y| ≤ ‖x‖ ‖y‖ . Además, la igualdad se alcanza si, y sólo si, x e y son linealmente dependientes. Proposición 1.6. La aplicación x ∈ Rn 7→ ‖x‖ ∈ R verifica las siguientes propiedades: I) ‖x‖ ≥ 0 para todo x ∈ Rn. II) ‖x‖ = 0 si, y sólo si, x = 0. III) ‖αx‖ = |α| ‖x‖ para todos x ∈ Rn, α ∈ R. IV) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ para todos x,y ∈ Rn. (Desigualdad triangular) Corolario 1.7. Si x,y ∈ Rn entonces ‖x− y‖ ≥ ∣∣ ‖x‖ − ‖y‖ ∣∣ . (Segunda desigualdad triangular) Corolario 1.8. La aplicación d:Rn × Rn → R, definida por d(x,y) = ‖x− y‖ , verifica las siguientes propiedades: I) d(x,y) ≥ 0 para todos x,y ∈ Rn. II) d(x,y) = 0 si, y sólo si, x = y. III) d(x,y) = d(y,x) para todos x,y ∈ Rn. IV) d(x, z) ≤ d(x,y) + d(y, z) para todos x,y, z ∈ Rn. Observación 1.9. Cualquier aplicación definida sobre un espacio vectorial V con valores en R que verifique las propiedades I) a IV) de la proposición 1.6 se denomina norma sobre V . Otras normas notables en Rn se definen para x = (x1, x2, . . . , xn) por ‖x‖1 = n∑ i=1 |xi| o ‖x‖∞ = sup {|xi| : i = 1, 2, . . . , n}. Cuando n = 1 las tres normas definidas coinciden con el valor absoluto. Asimismo, si X es un conjunto no vacío, cualquier aplicación d definida en el producto cartesiano X × X con valores en R que verifique las propiedades I) a IV) del corolario 1.8 se dice que es una distancia o métrica sobre X, y se dice que el par (X, d) es un espacio métrico. Definición 1.10. Sean x ∈ Rn y r > 0. Se definen la bola abierta de centro x y radio r como el conjunto B(x, r) = {y ∈ Rn : d(x,y) = ‖x− y‖ < r} ; la bola cerrada de centro x y radio r como el conjunto B(x, r) = {y ∈ Rn : d(x,y) = ‖x− y‖ ≤ r} ; la esfera de centro x y radio r como el conjunto S(x, r) = B(x, r) \B(x, r) = {y ∈ Rn : d(x,y) = ‖x− y‖ = r} , donde “\” denota la diferencia conjuntista. LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología 1.1. Topología de Rn 3 Lema 1.11. Sean x,y ∈ Rn . I) Si dado r > 0 se tiene que y ∈ B(x, r) , existe s > 0 tal que B(y, s) ⊂ B(x, r) . II) Si y 6= x existen r, s > 0 tales que B(x, r) ∩B(y, s) = Ø . III) Si la sucesión de números reales positivos {rn}∞n=1 converge hacia 0 (o lo hace alguna subsucesión suya), entonces ∞∩ n=1 B(x, rn) = {x} . Definición 1.12. Si A es un subconjunto no vacío de Rn se denomina diámetro de A , denotado “δ(A)” o “diam(A)” a δ(A) = sup { d(x,y) : x,y ∈ A} (nótese que el diámetro de A puede ser un número real no negativo o ∞ , dependiendo de que el conjunto {d(x,y) : x,y ∈ A} ⊂ R esté acotado o no). Se dice que un subconjunto de Rn es acotado si es vacío o si tiene diámetro finito. Proposición 1.13. I) Si Ø 6= B ⊂ A ⊂ Rn entonces δ(B) ≤ δ(A) . II) Toda bola en Rn es acotada, de hecho, δ ( B(x, r) ) = δ ( B(x, r) ) = 2 r . III) Un conjunto A ⊂ Rn es acotado si, y sólo si, está contenido en alguna bola. IV) Un conjunto A ⊂ Rn es acotado si, y sólo si, está contenido en una bola centrada en 0, o lo que es lo mismo, si existe una constante M > 0 tal que ‖x‖ ≤M para todo x ∈ E. Definición 1.14. Sean A , B subconjuntos no vacíos de Rn. Se define la distancia entre A y B como el número real d(A,B) = ı´nf { d(x,y) : x ∈ A , y ∈ B} . Si A = {a} es un conjunto unipuntual la distancia entre A y B se denota también d(a, B) y se denomina distancia de a a B . Proposición 1.15. Sean A,B subconjuntos de Rn. I) Si A y B son acotados entonces A ∪ B es acotado. Más aún, si además A y B son no vacíos, entonces δ(A ∪B) ≤ δ(A) + δ(B) + d(A,B) . II) Si A 6= Ø y x,y ∈ Rn entonces ∣∣d(x, A)− d(y, A)∣∣ ≤ d(x,y) . Definición 1.16. Sea E un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x ∈ Rn es interior a E, o que E es un entorno de x, si existe una bola abierta de centro x contenida en E. El conjunto de todos los puntos interiores de E se denomina interior de E y se representa por ◦ E ó int(E) (es inmediato comprobar que ◦ E⊂ E). Se dice que el conjunto E es abierto si es entorno de todos sus puntos, es decir, si todos sus puntos son interiores, lo que equivale a que E = ◦ E. Propiedades 1.17. Sean A,B y {Ai}i∈I subconjuntos de Rn. I) Si A ⊂ B entonces ◦ A⊂ ◦ B . II) int(int(A)) = int(A) . III) ◦ A es el mayor conjunto abierto contenido en A . IV) ∪ i∈I ◦ Ai⊆ ( ∪ i∈I Ai )◦ . V) ( ∩ i∈I Ai )◦ ⊆ ∩ i∈I ◦ Ai , además, si I es finito se verifica la igualdad. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID 4 Tema 1. Espacios euclídeos Ejemplos 1.18. I) Toda bola abierta es un conjunto abierto. II) Las bolas cerradas no son conjuntos abiertos. III) Los intervalos abiertos de Rn, esto es, productos cartesianos de la forma (a1, b1)× (a2, b2)× . . .× (an, bn) , son conjuntos abiertos. Proposición 1.19. Se verifican las siguientes propiedades: I) El conjunto vacío Ø y el conjunto total Rn son abiertos. II) Si {Gi}i∈I es una familia de conjuntos abiertos, entonces la unión ∪ i∈I Gi es un conjunto abierto. III) Si G1, G2, . . . , Gk son conjuntos abiertos, entonces la intersección G1 ∩G2 ∩ . . . ∩Gk es un conjunto abierto. Observaciones 1.20. I) El lector que posea nociones de Topología puede reconocer en la proposición anterior la afirmación siguiente: si denotamos por τ a la familia de todos los conjuntos abiertos de Rn, el par (Rn, τ) es un espacio topológico. II) La intersección de una familia arbitraria de abiertos puede no ser un conjunto abierto, como queda patente con el siguiente ejemplo: si Gn = B(0, 1/n), n ∈ N, se tiene que ∞∩ n=1 Gn = {0}. Definición 1.21. Sea E un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x de Rn es un punto adherente a E si cada bola abierta centrada en x tiene intersección no vacía con E. El conjunto de todos los puntos adherentes a E se denomina adherencia o clausura de E y se representa por E , cl(E) ó adh(E) (es muy sencillo comprobar que E ⊂ E). Se dice que un conjunto E de Rn es cerrado si todos sus puntos adherentes están en E, es decir, si E = E. Ejemplos 1.22. I) Toda bola cerrada es un conjunto cerrado. Es más B(x, r) = B(x, r) . II) Las bolas abiertas no son conjuntos cerrados. III) Los intervalos cerrados de Rn, de la forma [a1, b1] × [a2, b2] × . . . × [an, bn], son conjuntos cerrados. Proposición 1.23. Sea A un subconjunto de Rn. Se tiene que Rn\ ◦ A= Rn \A y Rn \A = (Rn \A)◦. Corolario 1.24. Un subconjunto E de Rn es abierto (resp. cerrado) si, y sólo si, su comple- mentario Rn \ E es cerrado(resp. abierto). Observaciones 1.25. I) En la Topología General suele utilizarse la propiedad anterior para definir la familia de cerrados, y luego caracterizar equivalentemente estos conjuntos en términos de la ad- herencia. En este contexto (en general, en los espacios métricos) el adjetivo adherente cobra un significado más intuitivo gracias a la noción de distancia: x ∈ A si, y sólo si, d(x,A) = 0. II) Pueden existir conjuntos que no sean ni abiertos ni cerrados (basta pensar en el intervalo [0, 1) de R con la métrica usual). Aunque la terminología usada pretende ser lo más descriptiva posible, no nos debemos dejar influir por el significado etimológico de las palabras. LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología 1.1. Topología de Rn 5 Propiedades 1.26. Sean A,B y {Ai}i∈I subconjuntos de Rn. I) Si A ⊂ B entonces A ⊂ B . II) A = A . III) A es el cerrado más pequeño que contiene a A. IV) ∪ i∈I Ai ⊆ ∪ i∈I Ai , además, si I es finito se verifica la igualdad. V) ∩ i∈I Ai ⊆ ∩ i∈I Ai . Proposición 1.27. Se verifican las siguientes propiedades: I) El conjunto vacío Ø y el conjunto total Rn son cerrados. II) Si {Fi}i∈I es una familia de conjuntos cerrados, entonces la intersección ∩ i∈I Fi es un conjunto cerrado. III) Si F1, F2, . . . , Fk son conjuntos cerrados, entonces la unión F1∪F2∪ . . .∪Fk es un conjunto cerrado. Definición 1.28. Sea E un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x de Rn es un punto de acumulación de E si para cada bola abierta B(x, r) centrada en x, la intersección B(x, r) ∩ E contiene al menos un punto de E distinto de x, es decir, si para cada r > 0 se tiene que B(x, r) ∩ (A \ {x}) 6= Ø . El conjunto de todos los puntos de acumulación se denomina conjunto derivado de E y se representa por E′. Se dice que un punto x ∈ E es un punto aislado de E si no es un punto de acumulación de E. Se dice que un conjunto E es discreto si todos sus puntos son aislados en él. Proposición 1.29. Sea E un subconjunto de Rn. Entonces: I) E = E ∪ E′. II) E es cerrado si, y sólo si, E′ ⊂ E. III) Si x es un punto de acumulación de E, entonces cualquier bola abierta B(x, r) de centro x contiene infinitos puntos de E. IV) Si x ∈ E es un punto aislado de E, entonces existe una bola abierta B(x, r) de centro x tal que B(x, r) ∩ E = {x}. Definición 1.30. Sea A un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x ∈ Rn es exterior a A si es un punto interior al complementario de A , es decir, si existe una bola abierta B(x, r) de centro x tal que B(x, r) ∩A = Ø . El conjunto de puntos exteriores a A se denomina exterior de A . Se dice que x ∈ Rn es un punto frontera de A si es adherente a A y a Rn \A simultánea- mente. El conjunto de tales puntos se denomina frontera de A y se denota Fr(A) : Fr(A) = A ∩ Rn \A . Observaciones 1.31. Sea A un subconjunto de Rn. I) Es obvio que Fr(A) es un conjunto cerrado, y que si A es cerrado, entonces Fr(A) ⊆ A. Igualmente evidente es que Fr(A) = Fr(Rn \A). II) El espacio Rn se expresa, respecto al conjunto A, como unión de tres conjuntos disjuntos (alguno posiblemente vacío): la frontera de A, un cerrado; y dos abiertos, a saber, el interior y el exterior de A. Definición 1.32. Sean E y D ⊆ E subconjuntos de Rn. Se dice que D es denso en E si E ⊆ D . UNIVERSIDAD DE VALLADOLID 6 Tema 1. Espacios euclídeos 1.2. Límites Definición 1.33. Se dice que una sucesión {xk}∞k=1 de elementos de Rn es convergente si existe un punto x ∈ Rn tal que para cada número real ε > 0 existe un número natural k0 (que depende de ε) de manera que ‖xk − x‖ < ε para cada número natural k ≥ k0. En este caso, diremos que {xk}∞k=1 converge hacia x o que x es el límite de la sucesión {xk}∞k=1, y escribiremos l´ım k→∞ xk = x o xk −→ k→∞ x. El límite de una sucesión, si existe, es único. Observación 1.34. Es sencillo comprobar a partir de la definición que una sucesión {xk}∞k=1 converge hacia x si, y sólo si, l´ım k→∞ ‖xk − x‖ = 0. Definición 1.35. El conjunto {xk : k ∈ N} se denomina rango o conjunto de términos de la sucesión {xk}∞k=1. El rango de una sucesión puede ser finito o infinito. Se dice que la sucesión está acotada si lo está su rango. Proposición 1.36. Toda sucesión convergente está acotada. Si x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn es inmediato comprobar que se verifica |xi| ≤ ‖x‖ , i = 1, 2, . . . , n , desigualdad también válida para las otras dos normas que hemos destacado: ‖ ‖1 y ‖ ‖∞. A partir de las propiedades de sucesiones de números reales se obtienen fácilmente los si- guientes resultados. Proposición 1.37. Sea {xk}∞k=1 una sucesión de elementos de Rn. Escribamos xk = (x1,k, x2,k, . . . , xn,k), k ∈ N. La sucesión {xk}∞k=1 converge hacia x = (x1, x2, . . . , xn) si, y sólo si, las sucesiones de números reales {xj,k}∞k=1 convergen hacia xj, para j = 1, 2, . . . , n. Corolario 1.38. Toda sucesión acotada de Rn tiene una subsucesión convergente. Corolario 1.39. Sean {xk}∞k=1, {yk}∞k=1 dos sucesiones de elementos de Rn y {αk}∞k=1 una su- cesión de números reales. Supongamos que {xk}∞k=1 converge hacia x ∈ Rn, {yk}∞k=1 converge hacia y ∈ Rn y {αk}∞k=1 converge hacia α ∈ R. Entonces: I) l´ım k→∞ (xk + yk) = x+ y. II) l´ım k→∞ αkxk = αx. III) l´ım k→∞ (xk · yk) = x · y. IV) l´ım k→∞ ‖xk‖ = ‖x‖. Proposición 1.40 (Caracterización secuencial de la topología). Sean E un conjunto de Rn y x un punto de Rn. I) x es interior a E si, y sólo si, toda sucesión {xk}∞k=1 de elementos de Rn que converge hacia x tiene todos sus términos en E, a partir de uno en adelante. II) x es un punto adherente a E si, y sólo si, existe una sucesión {xk}∞k=1 de elementos de E que converge hacia x. III) x es un punto de acumulación de E si, y sólo si, existe una sucesión {xk}∞k=1 de elementos de E, distintos todos ellos de x, que converge hacia x. LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología 1.2. Límites 7 Como sucede para sucesiones de números reales, el carácter convergente de una sucesión en Rn puede ser determinado sin conocer previamente el valor de su límite. Definición 1.41. Se dice que una sucesión {xk}∞k=1 de elementos de Rn es de Cauchy si para cada número real ε > 0 existe un número natural k0 tal que ‖xk − xj‖ < ε, para cada par de números naturales j, k ≥ k0. Teorema 1.42 (Completitud de Rn). Una sucesión de puntos de Rn es convergente si, y sólo si, es de Cauchy. Definición 1.43. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de E y f una aplicación de E en Rm. Se dice que l ∈ Rm es el límite de la función f en a si para cada número real ε > 0 existe δ > 0 tal que ‖f(x)− l‖ < ε para cada x ∈ E con 0 < ‖x− a‖ < δ. Observación 1.44. En la definición anterior intervienen dos normas, una definida en Rn y otra en Rm. La distinción entre ambas viene dada por el contexto. Proposición 1.45. Si la aplicación f tiene límite en el punto a, éste es único. Notación: Si la aplicación f tiene límite l en el punto a se escribe l´ım x→a f(x) = l o f(x)→ l, cuando x→ a o f(x) −→ x→a l. La noción de límite restringida a subconjuntos de uno dado tiene exactamente la misma aplicación en este caso que en el de funciones de una variable. Definición 1.46. Sean A un subconjunto de Rn, a un punto de acumulación de A y f una aplicación de A en Rm. Si B ⊂ A y a es también punto de acumulación de B, el límite l´ım x→a f |B (x) , si existe, se denomina límite de la aplicación f en el punto a siguiendo (o a través de) el subespacio B y se denota por l´ım x→a x∈B f(x) . Teorema 1.47. Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de A y f una aplica- ción de A en Rm. Son equivalentes: a) f tiene límite l en el punto a. b) Para cada subconjunto B ⊂ A tal que a ∈ B′, f tiene límite en a a través de B, y éste es precisamente l. Proposición 1.48(Criterio secuencial del límite). Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de A y f una aplicación de A en Rm. Son equivalentes: a) f tiene límite en a. b) Para cada sucesión {xk}∞k=1 de puntos de A con xk 6= a, k = 1, 2, . . ., y l´ım k→∞ xk = a, la sucesión {f(xk)}∞k=1 es convergente. Además, si l´ım x→a f(x) = l, se tiene que l´ım k→∞ f(xk) = l para toda sucesión {xk}∞k=1 de puntos de A, distintos de a, y convergente hacia a. Proposición 1.49. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de E. Sean f1, f2, . . . , fm funciones reales definidas en E y f la aplicación de E en Rm definida por f(x) = ( f1(x), f2(x), . . . , fm(x) ) , x ∈ E. Entonces l´ım x→a f(x) = l = (l1, l2, . . . , lm) ∈ Rm si, y sólo si, l´ım x→a fi(x) = li ∈ R, i = 1, 2, . . . ,m. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID 8 Tema 1. Espacios euclídeos Observación 1.50. Este último resultado permite simplificar el estudio de límites y los con- ceptos que de éste se derivan, considerando únicamente funciones reales, es decir, aplicacio- nes de la forma f :E → R, donde E es un subconjunto de Rn. Definición 1.51. Sean A un conjunto de Rn y f una aplicación de A en Rm. Dado B ⊆ A, se dice que f es acotada en B si lo es el conjunto imagen f(B), es decir, si existe una constante M ≥ 0 tal que ‖f(x)‖ ≤M para todo x ∈ B . Cuando f es una función real (es decir, cuando m = 1) y acotada, los valores reales m = ı´nf{f(x) : x ∈ A} y M = sup{f(x) : x ∈ A} se denominan, respectivamente, el extremo inferior absoluto y el extremo superior absoluto de f en A. Si dichos valores se alcanzan, es decir, si existe x1 ∈ A (resp. x2 ∈ A) tal que m = f(x1) ≤ f(x) para todo x ∈ A (resp. f(x) ≤ f(x2) =M para todo x ∈ A), se dice que f tiene mínimo absoluto en A igual a m, y que éste se alcanza en x1 (resp. f tiene máximo absoluto en A igual a M , y éste se alcanza en x2). Proposición 1.52. Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de A y f una aplicación de A en Rm. Si f tiene límite en a, existe un número real δ > 0 tal que f está acotada en A ∩B(a, δ). Proposición 1.53. Sean A un subconjunto de Rn y a un punto de acumulación de A. Si f :A→ R y g:A→ Rm son aplicaciones tales que l´ım x→a f(x) = 0 y g está acotada en A ∩B(a, δ) para algún número real δ > 0, entonces l´ım x→a f(x) g(x) = 0 . Proposición 1.54. Sean E un conjunto de Rn y a un punto de acumulación de E. Suponga- mos que f , g son dos aplicaciones de E en Rm y λ es una función de E en R tales que l´ım x→a f(x) = α, l´ım x→a g(x) = β y l´ım x→a λ(x) = ℓ. Entonces: I) l´ım x→a (f + g)(x) = α+ β. II) l´ım x→a (λf)(x) = ℓα. III) l´ım x→a (f · g)(x) = α · β. IV) l´ım x→a 1 λ(x) = 1 ℓ , si ℓ 6= 0 y λ(x) 6= 0 para todo x. Aparte de las propiedades aritméticas, las funciones reales verifican, respecto al orden, propiedades similares a las de las funciones de una variable. Suponemos al lector familia- rizado con éstas y para no abundar en detalles enunciaremos una de ellas, dejándole que adapte el resto (como el criterio del Sándwich) al caso de funciones de varias variables. Proposición 1.55. Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de A y f una función de A en R. Si existe l´ım x→a f(x) = ℓ 6= 0, se tiene que: I) Si ℓ > 0, dados números reales α y β con 0 < α < ℓ < β, existe un número real δ > 0 tal que para cada x ∈ A ∩B(a, δ) con x 6= a, se verifica que α < f(x) < β. II) Si ℓ < 0, dados números reales α y β con α < ℓ < β < 0, existe un número real δ > 0 tal que para cada x ∈ A ∩B(a, δ) con x 6= a, se verifica que α < f(x) < β. Es decir, f toma valores con el mismo signo que el del límite en los puntos de un entorno adecuado de a distintos de él. LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología 1.3. Continuidad 9 1.2.1. Límites iterados A la hora de abordar el estudio de la existencia de límites para funciones definidas en conjuntos de Rn, con n ≥ 2, puede parecer tentador proceder reduciendo el problema al estudio de límites en una sola variable, concretamente: fijando n − 1 coordenadas en un primer paso, se pasa al límite en la restante, obteniendo valores que dependen de n − 1 variables; se fijan ahora n − 2 de ellas, y se reitera el proceso, obteniendo los denominados límites iterados. Lamentablemente, la existencia de dichos límites no garantiza la existencia del límite; ahora bien, en caso de que existan todos los límites, deben coincidir. Para fijar ideas y atendiendo a una mayor simplicidad, enunciaremos el resultado para el caso de una función real definida en un subconjunto de R2. Teorema 1.56. Sean f una función real definida en un conjunto A de R2 y (α, β) ∈ A′. Se supone que existe l´ım (x,y)→(α,β) f(x, y) = ℓ , y que, para cada x fijo, existe l´ım y→β f(x, y) = ϕ(x) . Si existe el límite iterado l´ım x→α ϕ(x) = l´ım x→α ( l´ım y→β f(x, y) ) , su valor coincide con ℓ. En consecuencia, si existen los dos límites iterados, pero l´ım x→α ( l´ım y→β f(x, y) ) 6= l´ım y→β ( l´ım x→α f(x, y) ) , la función f no puede tener límite en el punto (α, β). Observaciones 1.57. I) La existencia del límite de una función en un punto no garantiza que existan los límites iterados, como pone de manifiesto el ejercicio 1.19.V. II) Puede ocurrir que alguno de los límites iterados sea infinito, en este caso no es difícil probar que el límite de la función no existe. 1.3. Continuidad Definición 1.58. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de E y f una aplicación de E en Rm. Se dice que f es continua en a si para cada número real ε > 0 existe δ > 0 tal que ‖f(x)− f(a)‖ < ε para cada x ∈ E con ‖x− a‖ < δ. Si f es continua en todos los puntos de E, se dice que f es continua en E. Proposición 1.59. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de E y f una aplicación de E en Rm. I) Si a es un punto aislado de E, entonces f es continua en a. II) Si a es un punto de acumulación de E, entonces f es continua en a si, y sólo si, existe l´ım x→a f(x) y es igual a f(a). Corolario 1.60 (Criterio secuencial de la continuidad). Sean E un conjunto de Rn, a un punto de E y f una aplicación de E en Rm. Son equivalentes: a) f es continua en a. b) Para cada sucesión {xk}∞k=1 de puntos de E que converge hacia a, la sucesión {f(xk)}∞k=1 converge hacia f(a) . UNIVERSIDAD DE VALLADOLID 10 Tema 1. Espacios euclídeos Teorema 1.61. Sean E un subconjunto de Rn y a un punto de E. Sean f1, f2, . . . , fm, funcio- nes reales definidas en E y f la aplicación de E en Rm dada por f(x) = ( f1(x), f2(x), . . . , fm(x) ) , x ∈ E. Entonces f es continua en a si, y sólo si, cada una de las funciones f1, f2, . . . , fm, es continua en a. Proposición 1.62. Sean E un conjunto de Rn y a un punto de E. Sean f , g aplicaciones de E en Rm y λ una función de E en R. Supongamos que f , g y λ son continuas en a. Entonces las funciones f + g; λf ; f · g; 1 λ , si λ(x) 6= 0 para todo x ∈ E; son continuas en a. Teorema 1.63. Sean E y F subconjuntos de Rn y Rm, respectivamente. Sean f :E → F continua en a ∈ E y g:F → Rp continua en f(a) ∈ F , respectivamente. Entonces la función compuesta g ◦ f es continua en a ∈ E. Definición 1.64 (Topología de subespacio). Sea E un conjunto de Rn. Se dice que un sub- conjunto A de E es abierto (resp. cerrado) en E si existe un conjunto U abierto (resp. cerrado) en Rn tal que A = E ∩ U. Observación 1.65. Cuando E es abierto los abiertos en E son abiertos de Rn, y cuando E es cerrado los cerrados en E son cerrados en Rn. Proposición 1.66 (Caracterización topológica de la continuidad). Sean E un conjunto de Rn y f una aplicación de E en Rm. Son equivalentes las siguientes afirmaciones: a) La aplicación f es continua en E. b) Para cualquier abierto A de Rm, el conjunto f−1(A) es abiertoen E. c) Para cualquier cerrado C de Rm, el conjunto f−1(C) es cerrado en E. Ejemplos 1.67. I) La norma euclídea es una función continua en Rn. II) La proyección i-ésima πi:Rn → R, definida por πi(x1, x2, . . . , xn) = xi, es una función continua en Rn. III) En general, cualquier aplicación lineal L:Rn → Rm es continua (sobre este punto se volverá más adelante). IV) El conjunto {(x, y) ∈ R2 : x sen(y) > 0} es abierto en R2, pues es la imagen inversa del intervalo (0,∞), abierto de R, por la función f :R2 → R dada por f(x, y) = x sen(y), que es continua. V) El conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 = 0} es cerrado en R3. Definición 1.68. Sean E un conjunto de Rn y f una aplicación de E en Rm. Se dice que f es uniformemente continua en E si para cada número real ε > 0 existe δ > 0 tal que ‖f(x)− f(y)‖ < ε para todos x, y ∈ E con ‖x− y‖ < δ. Observación 1.69. Es claro que cualquier aplicación uniformemente continua en un con- junto E es continua en E, pero no recíprocamente. Proposición 1.70. Sean E un subconjunto de Rn y f :E → Rm uniformemente continua. Entonces, para cada sucesión {xk}∞k=1 de Cauchy en E , la sucesión {f(xk)}∞k=1 es de Cauchy en Rm. LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología 1.3. Continuidad 11 1.3.1. Aplicaciones lineales y bilineales En el Cálculo Diferencial juegan un papel fundamental el tipo de aplicaciones de cuya continuidad nos ocupamos ahora; las primeras, en la propia definición de diferenciabilidad, y las segundas, a la hora de estudiar los problemas de extremos relativos. Definición 1.71. Se dice que una aplicación L:Rn → Rm es lineal si L(λx+ µy) = λL(x) + µL(y) para todos x,y ∈ Rn y λ, µ ∈ R . Observaciones 1.72. I) Las proyecciones πj, j = 1, 2, . . . , n, son aplicaciones lineales en Rn. II) Fijadas las bases estándar en Rn y Rm, respectivamente, toda aplicación lineal L:Rn → Rm se representa respecto a dichas bases, de forma única, mediante una matriz A ∈ Mm,n(R), donde Mm,n(R) representa el espacio de las matrices de números reales formadas por m filas y n columnas. Concretamente, L(x) = Axt = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn x1 x2 ... xn . Teorema 1.73. Sea L:Rn → Rm una aplicación lineal. Existe una constante M ≥ 0 tal que ‖L(x)‖ ≤M ‖x‖ para todo x ∈ Rn . En particular, L es uniformemente continua en todo Rn. Definición 1.74. Se dice que una aplicación B:Rn × Rn → Rm es bilineal si es lineal en cada componente, es decir, si B(λx1 + µx2,y) = λB(x1,y) + µB(x2,y) para todos x1,x2,y ∈ Rn y λ, µ ∈ R , B(x, λy1 + µy2) = λB(x,y1) + µB(x,y2) para todos x,y1,y2 ∈ Rn y λ, µ ∈ R . Una aplicación bilineal B se dice simétrica si B(x,y) = B(y,x) para todos x,y ∈ Rn . Observaciones 1.75. I) El producto interno en Rn, B(x,y) = 〈x,y〉, es una aplicación bilineal simétrica. II) Fijada la base estándar de Rn, toda aplicación bilineal B:Rn × Rn → R se representa de forma única mediante una matriz A ∈ Mn,n(R), concretamente B(x,y) = xAyt . Teorema 1.76. Sea B:Rn × Rn → Rm una aplicación bilineal. Existe una constante M ≥ 0 tal que ‖B(x,y)‖ ≤M ‖x‖ ‖y‖ para todos x,y ∈ Rn . En particular, B es continua en todo Rn × Rn. Observación 1.77. Una forma cuadrática en Rn, que es una función definida por un polino- mio homogéneo de grado 2, es decir, de la forma Q(x1, x2, . . . , xn) = ∑ 1≤i≤j≤n cij xi xj , cij ∈ R , se puede interpretar como la actuación de una aplicación bilineal simétrica B sobre el punto (x,x) ∈ Rn×Rn: Q(x) = B(x,x) = xAxt. Los coeficientes de la matriz A = (aij)1≤i,j≤n vienen dados por aii = cii y aij = aji = cij/2 si i < j . UNIVERSIDAD DE VALLADOLID 12 Tema 1. Espacios euclídeos 1.4. Compacidad Definición 1.78. Una familia {Ai}i∈I de subconjuntos de Rn se denomina recubrimiento de un conjunto E de Rn si E ⊂ ∪ i∈I Ai . Si todos los conjuntos Ai , i ∈ I , son abiertos se dice que {Ai}i∈I es un recubrimiento abierto de E . Se dice que un conjunto K de Rn es compacto si todo recubrimiento abierto de K admite un subrecubrimiento finito, es decir, si para cada recubrimiento abierto {Gi}i∈I de K existe una subfamilia finita {Gi1 , Gi2 , . . . , Gim} tal que K ⊂ Gi1 ∪Gi2 ∪ . . . ∪Gim . Ejemplos 1.79. I) Los conjuntos finitos son conjuntos compactos. II) Si {xk}∞k=1 converge hacia x , el conjunto {xk : k ∈ N} ∪ {x} es compacto. Proposición 1.80. Sean F,K dos conjuntos de Rn. Supongamos que F es cerrado, K es compacto y F ⊂ K. Entonces F es compacto. En otras palabras, los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos. Proposición 1.81. Todo intervalo cerrado y acotado de Rn es compacto. Teorema 1.82. Sea K un subconjunto de Rn. Son equivalentes las siguientes propiedades: a) K es cerrado y acotado. b) K es compacto. c) Todo subconjunto infinito de K tiene un punto de acumulación en K . d) Cada sucesión {xk}∞k=1 de elementos de K admite una subsucesión {xkj}∞j=1 que con- verge hacia un punto de K . Observación 1.83. La equivalencia de los asertos a) y b) en el teorema anterior se conoce con el nombre de teorema de Heine-Borel. La implicación a)⇒c) se conoce como teorema de Bolzano-Weierstrass. Teorema 1.84 (de Weierstrass, versión general). Sean E un conjunto de Rn y f una apli- cación continua de E en Rm. Si K es un subconjunto compacto de E, entonces f(K) es compacto. Teorema 1.85 (de Weierstrass para funciones escalares). Sea f una función real definida y continua en un conjunto compacto K de Rn. Entonces f es acotada y alcanza sus extremos absolutos, es decir, existen dos puntos x e y de K tales que f(x) ≤ f(z) ≤ f(y) para todo z ∈ K. Proposición 1.86. Sea K un conjunto compacto de Rn. Supongamos que f es una aplicación inyectiva y continua de K en Rm. Entonces la aplicación inversa f−1 definida en f(K) es continua. Observación 1.87. Dados A ⊂ Rn y B ⊂ Rm, si f :A→ B es biyectiva y continua, y también f−1:B → A es continua, se dice que f es un homeomorfismo. Esta es una noción topológica, es decir, se puede establecer únicamente en términos de conjuntos abiertos: una biyección f :A → B es un homeomorfismo si, y sólo si, para cada abierto V de A la imagen f(V ) es abierta en B. LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología 1.4. Compacidad 13 Teorema 1.88 (de Heine-Cantor). Sean K un conjunto compacto de Rn y f una aplicación continua de K en Rm. Entonces f es uniformemente continua en K. Proposición 1.89 (Propiedades de separación). Sea A,B subconjuntos no vacíos de Rn. I) x ∈ A si, y sólo si, d(x, A) = 0 . II) La función g(x) = d(x, A) es uniformemente continua en Rn. III) Si A,B son ambos cerrados y disjuntos entre sí, entonces la función f :Rn → R dada por f(x) = d(x, A) d(x, A) + d(x, B) es continua en Rn, f(x) = 0 si x ∈ A , y f(x) = 1 si x ∈ B. IV) Si A,B son cerrados y disjuntos entre sí, entonces existen dos abiertos disjuntos U, V de Rn tales que A ⊂ U y B ⊂ V . V) Más general, si A∩B = A∩B = Ø , existen entonces dos abiertos U y V tales que A ⊆ U , B ⊆ V y U ∩ V = Ø . VI) Si A,B son disjuntos, A cerrado y B compacto, entonces d(A,B) > 0. De hecho, existe un punto b ∈ B tal que d(B,A) = d(b, A) . Observaciones 1.90. I) La propiedad enunciada en 1.89.III, de separación de cerrados por funciones continuas, se conoce como Lema de Urysohn en el contexto de la Topología General. II) En Topología se denomina espacio normal al que verifica la propiedad de separación de cerrados 1.89.IV. En consecuencia, los espacios euclídeos (y, en general, los espacios métricos) son normales. 1.4.1. Comentarios sobre espacios normados Los siguientes resultados se presentan como una llamada de atención, para prevenir al lector de la tentación de generalizar a espacios métricos cualesquiera las propiedades to- pológicas de Rn. Esta materiaes propia de un curso de Análisis Funcional, por lo que nos limitamos a señalar unos pocos puntos significativos. Como se puede ver, las diferencias son motivadas por la dimensión algebraica (infinita) del espacio vectorial. Definición 1.91. Se dice que dos normas ̺1, ̺2 definidas sobre el mismo espacio vectorial V son equivalentes si existen constantes N,M > 0 tales que N̺1(x) ≤ ̺2(x) ≤M̺1(x) para todo x ∈ V. Teorema 1.92. En Rn (en general, en cualquier espacio vectorial de dimensión finita) todas las normas son equivalentes. Teorema 1.93 (de Riesz). Un espacio vectorial normado es de dimensión finita si, y sólo si, todo bola cerrada es compacta. Observaciones 1.94. I) El teorema 1.92 implica en particular que las topologías asociadas a las distintas nor- mas coinciden, y permite utilizar a todos los efectos, en el estudio de las propiedades topológicas (abiertos, cerrados, etc.) y métricas (acotación, sucesiones de Cauchy, etc.), cualquier norma; es decir, en todos los resultados enunciados anteriormente la norma euclídea puede ser sustituida por otra cualquiera (ver ejercicio 1.9). II) De hecho esta propiedad caracteriza los espacios de dimensión finita; es decir, en un es- pacio normado de dimensión infinita es posible definir una nueva norma no equivalente a la original. III) Es inmediato que si toda bola cerrada es compacta también lo es todo cerrado y acotado. El teorema de Riesz establece que en un espacio normado de dimensión infinita existen conjuntos cerrados y acotados, pero no compactos. IV) El teorema 1.73 no es válido en espacios normados X de dimensión infinita; esto es, existen aplicaciones lineales Λ:X → R no continuas. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID 14 Tema 1. Espacios euclídeos 1.5. Conexión El concepto que tratamos ahora generaliza la noción de intervalo en el sentido de conjunto “sin componentes aisladas”. Para ilustrar su importancia haremos notar que el hecho de que una función real de variable real tenga derivada nula en todo punto de un abierto no implica que la función sea constante, a menos que su dominio de definición sea un intervalo. En el caso de la recta este concepto tiene una fácil interpretación geométrica a partir de la relación de orden allí definida, pero si n > 1, la imposibilidad de definir una relación de orden en Rn que goce de las mismas propiedades hace necesario un tratamiento más minucioso. En todo caso, en las aplicaciones usuales, es suficiente considerar conjuntos convexos o estrellados, que definimos más adelante. Definición 1.95. Se dice que un conjunto A de Rn es no conexo si existen dos conjuntos abiertos U y V que verifican las siguientes propiedades: I) A ⊂ U ∪ V . II) A ∩ U 6= Ø, A ∩ V 6= Ø. III) A ∩ U ∩ V = Ø. En caso contrario, se dice que A es conexo. Proposición 1.96. Un conjunto A de Rn es no conexo si, y sólo si, existen dos conjuntos cerrados E y F que verifican las siguientes propiedades: I) A ⊂ E ∪ F . II) A ∩ E 6= Ø, A ∩ F 6= Ø. III) A ∩ E ∩ F = Ø. Ejemplo 1.97. Los intervalos (incluyendo en este concepto al conjunto vacío y a los conjuntos unipuntuales) son los únicos conjuntos conexos de R. En este sentido, es útil convenir que un intervalo de la recta es un conjunto I ⊂ R que verifica la siguiente propiedad: “Si x, y ∈ I y x ≤ z ≤ y , entonces también z ∈ I”, o dicho de forma más coloquial, si I contiene a dos puntos, también contiene a todos los puntos intermedios a ellos. Proposición 1.98. Sean E un conjunto de Rn y f una aplicación continua de E en Rm. Si A es un subconjunto conexo de E, entonces f(A) es conexo. Observación 1.99. Cuando el resultado anterior se aplica a funciones reales de variable real lo que se obtiene no es otra cosa que la propiedad de Darboux. Proposición 1.100. Sea {Ai}i∈I una familia de conjuntos conexos de Rn tales que Ai∩Aj 6= Ø para cada par de índices i, j ∈ I . Entonces la unión ∪ i∈I Ai es un conjunto conexo. Corolario 1.101. Sea {Ai}i∈I una familia de conjuntos conexos de Rn tal que la intersección ∩ i∈I Ai es no vacía. Entonces la unión ∪ i∈I Ai es un conjunto conexo. Corolario 1.102. Sean A ⊂ Rn y a ∈ A . Si para cada x ∈ A existe un conexo Cx tal que {a,x} ⊂ Cx ⊂ A , entonces A es conexo. Corolario 1.103. Sea {Ak}∞k=1 una sucesión de conjuntos conexos de Rn tales que Ak ∩Ak+1 6= Ø para todo k ∈ N . Entonces la unión ∞∪ k=1 Ak es un conjunto conexo. Proposición 1.104. Sea A un conjunto conexo de Rn. Si B es un conjunto de Rn tal que A ⊂ B ⊂ A, entonces B es conexo. Por tanto, A es conexo si lo es A. LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología 1.5. Conexión 15 Definición 1.105. Sean E un conjunto de Rn y x un punto de E. Llamaremos componente conexa de E que contiene a x a la unión de todos los subconjuntos conexos de E que contienen a x. En otras palabras, la componente conexa de E que contiene a x es el mayor conjunto conexo contenido en E y que contiene a x. Si A es una componente conexa de E que contiene a algún punto de E, diremos que A es una componente conexa de E. Proposición 1.106. Todo conjunto E ⊂ Rn es unión disjunta de sus componentes conexas. Proposición 1.107. Si A es un subconjunto abierto de Rn las componentes conexas de A son conjuntos abiertos. Observación 1.108. Los dos resultados anteriores tienen una lectura muy sencilla en R: cada abierto de la recta real es unión disjunta de intervalos abiertos. Definición 1.109. Se dice que un subconjunto A de Rn es arco-conexo o conexo por caminos si para cada par de puntos x, y de A, existe una aplicación continua de un intervalo compacto de R en A, γ: [a, b]→ A, tal que γ(a) = x y γ(b) = y. En las condiciones anteriores, la aplicación γ recibe el nombre de arco o camino, los puntos γ(a) y γ(b) se denominan extremos del arco, y se dice que γ une los puntos x e y. Ejemplos 1.110. I) Se dice que un conjunto A ⊂ Rn es estrellado respecto de un punto a ∈ A si para cada x de A el segmento de extremos a y x está totalmente contenido en A , es decir, si se tiene que ta+ (1− t)x ∈ A para todo t ∈ [0, 1] . Los conjuntos estrellados son arco-conexos. II) Se dice que un conjunto A ⊂ Rn es convexo si para cada par de puntos x,y de A el segmento de extremos x e y está totalmente contenido en A , es decir, si se tiene que tx+ (1− t)y ∈ A para todo t ∈ [0, 1] . Los conjuntos convexos son estrellados respecto de cada uno de sus puntos y, por tanto, arco-conexos. En particular, los siguientes conjuntos son arco-conexos: Rn, los subespa- cios afines de Rn (como rectas y planos), las bolas abiertas y las bolas cerradas (relativas a cualquier norma). Proposición 1.111. Todo subconjunto arco-conexo de Rn es conexo. Observación 1.112. El recíproco de la proposición anterior no es cierto. Por ejemplo, el grafo de la función f :R→ R dada por f(x) = { sen ( 1/x ) , x > 0, 0 , x ≤ 0, es un conjunto conexo de R2 que no es arco-conexo. No obstante, cuando se consideran conjuntos abiertos, se verifica la equivalencia de am- bos conceptos, lo que proporciona una herramienta deductiva muy útil: Proposición 1.113. Si A es un conjunto abierto y conexo de Rn, entonces A es arco-conexo. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID 16 Tema 1. Espacios euclídeos Ejercicios 1.1 Determinar los subconjuntos de R2 tales que las relaciones: I) z = log ( y x2 + y2 − 1 ) II) z = log(1− x y) III) z = √ x cos(y) IV) z = √ sen ( x2 + y2 ) V) z = log ( x+ y2 ) VI) z = √ 1− (x2 + y2) definen funciones (x, y) 7→ z de dichos conjuntos en R (es decir, determinar los dominios más generales de las funciones definidas por estas expresiones). 1.2 Demostrar que el conjunto A = {(x, y, z) ∈ R3 : y2 − z2 ≥ 9, x2 + y2 ≤ 25} es acotado. ¿Lo es el conjunto B = {(x, y, z) ∈ R3 : y2 − z2 ≥ 9}? 1.3 Probar que: I) El conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x y > 1} es un abierto de R2. II) El conjuntoB = {(x, y) ∈ R2 : x y ≤ 1} es un cerrado de R2. III) El conjunto C = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ x2 + y2 ≤ 4} es un cerrado y acotado de R3. 1.4 Sea M un subespacio lineal de Rn. Probar que: I) Si M 6= {0}, entonces M es un conjunto no acotado. II) Si M tiene interior no vacío, entonces M = Rn. 1.5 Determinar el interior, la adherencia, el derivado y la frontera de los siguientes subcon- juntos de R3: I) A = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0}. II) B = {(x, y, z) ∈ R3 : z > 0 , x2 + y2 < 1 , x2 + y2 + z2 ≤ 5}. 1.6 Sea A un subconjunto numerable de Rn. I) Probar que el interior de A es vacío. II) ¿Es cierto que la adherencia de A es numerable? 1.7 Sean n un número natural y α un número real estrictamente positivo. Para cada k ∈ N se considera el conjunto Ak = { (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn : n∑ j=1 ( xj − 1 k )2 ≤ α 2 k2 } . I) Probar que, si √ n ≤ α, entonces para cada k = 1, 2, . . . se tiene que Ak ⊂ A1. II) Determinar los valores de α para los cuales el conjunto ∞∪ k=1 Ak no es un cerrado de Rn. 1.8 Sean A ⊂ Rn, B ⊂ Rm . Probar que la frontera de A×B en Rn × Rm es Fr(A×B) = ( Fr(A)×B ) ∪ ( A× Fr(B) ) . 1.9 Determinar las mínimas constantes A, B, C y D para las que se verifican las siguientes desigualdades para todo x ∈ Rn: ‖x‖ ≤ A ‖x‖1 , ‖x‖1 ≤ B ‖x‖ , ‖x‖ ≤ C ‖x‖∞ , ‖x‖∞ ≤ D ‖x‖ . LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología Ejercicios 17 1.10 Sea BQ la familia de todas las bolas abiertas de Rn centradas en puntos de coordenadas racionales y de radio racional. I) Probar que para todo abierto A de Rn, existe una subfamilia {Bi : i ∈ IA} de elementos de BQ tal que A = ∪ i∈IA Bi. II) Deducir que todo conjunto E ⊂ Rn posee un subconjunto D numerable y denso en E. III) Deducir que todo subconjunto discreto de Rn es numerable. IV) Sea {Uλ : λ ∈ L} una familia de abiertos no vacíos de Rn tales que Uλ∩Uµ = Ø si λ 6= µ . Probar que L es numerable. 1.11 Sea F un subconjunto cerrado de Rn. Demostrar que existe un conjunto K tal que Fr(K) = F . Sugerencia: Considerar un subconjunto numerable y denso en F . 1.12 Sean E ⊂ Rn y f :E → R . Demostrar que el conjunto de puntos donde f alcanza un máximo relativo estricto es numerable. Nota: Se dice que f tiene en x0 ∈ E un máximo relativo estricto si existe un entorno V de x0 tal que f(x) < f(x0) para cada x ∈ V ∩ E con x 6= x0 . 1.13 Sea A un subconjunto no numerable de Rn. Mediante un razonamiento secuencial, probar que A tiene al menos un punto de acumulación. Sugerencia: Para algún n ∈ N ha de ser infinita la intersección A ∩B(0, n). 1.14 Sea f una función real definida en una bola B(x0, r) ⊂ R2. Probar que f tiene límite ℓ en el punto x0 = (x0, y0) si, y sólo si, existe un número real R, 0 < R < r, tal que para todo ρ ∈ (0, R) se tiene que g(ρ) = sup {∣∣f(x0 + ρ cos(θ), y0 + ρ sen(θ))− ℓ∣∣ : θ ∈ [0, 2π]} <∞ , y la función g: (0, R)→ [0,∞) así definida verifica que l´ım ρ→0 g(ρ) = 0 . 1.15 Determinar, si existen, los límites de las siguientes aplicaciones en los puntos que se indican: I) f(x, y) = (x− 1) + y (x− 1)2 + (y − 1)2 , (x, y) 6= (1, 1), en el punto (1, 1). II) f(x, y) = (1 + x2 + y2) sen(y) y , y 6= 0, en el punto (0, 0). III) f(x, y) = |y| x2 e −|y|/x2 , x 6= 0, en el punto (0, 0). IV) f(x, y) = 1− cos (√x y) y , x, y > 0, en el punto (0, 0). V) f(x, y) = 1− cos (√x2 + y2) x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0). VI) f(x, y) = e−|x+y| − 1 |x+ y| , x+ y 6= 0, en el punto (0, 0). VII) f(x, y) = ( x2 + y2 )x2y2 , (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0). VIII) f(x, y) = x y |x|+ |y| , (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0). IX) f(x, y) = ( x2y x2 + y2 , cos(x+ y) ) , (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0). X) f(x, y) = ( y − 1 1 + (x− 1)2 + (y − 1)2 , (x− 1)(y − 1) (x− 1)2 + (y − 1)2 ) , (x, y) 6= (1, 1), en el punto (1, 1). XI) f(x, y) = ( exy − 1 x , log (1 + xy x )) , x, y > 0, en el punto (0, 0). UNIVERSIDAD DE VALLADOLID 18 Tema 1. Espacios euclídeos 1.16 Estudiar la existencia del límite en 0 ∈ Rn de las siguientes funciones: I) f(x) = sen(‖x‖)2 ‖x‖2 , x 6= 0. II) f(x) = log(1− ‖x‖) ‖x‖2 , 0 < ‖x‖ < 1. III) f(x) = log(1 + x1x2 · · ·xn) x1x2 · · ·xn , xi > 0, i = 1, 2, . . . , n. 1.17 Para cada uno de los siguientes subconjuntos S ⊆ R2: a) S = { (x, y) : y = ax } , b) S = { (x, y) : y = ax2 } , c) S = {(x, y) : y2 = ax}, d) S = R2, hállense los siguientes límites a través del subespacio S: l´ım (x,y)→(0,0) (x,y)∈S xy x2 + y2 , l´ım (x,y)→(0,0) (x,y)∈S x2 − y2 x2 + y2 . 1.18 Si una función de Rn en R tiene el mismo límite en un punto a lo largo de cada recta que pasa por él, ¿tiene la función límite en dicho punto? 1.19 Para las siguientes funciones f :R2 \ {(0, 0)} → R: I) f(x, y) = x2 + y2 x2 + y2 + (x− y)2 II) f(x, y) = x2y2 x2 + y2 + (x− y)2 III) f(x, y) = x2y2 x2y2 + (x− y)2 IV) f(x, y) = sen(xy) x si x 6= 0, y si x = 0 V) f(x, y) = { (x+ y) sen(1/x) sen(1/y) si x 6= 0 e y 6= 0, 0 si x = 0 o y = 0 VI) f(x, y) = sen(x)− sen(y) tg(x)− tg(y) si tg(x) 6= tg(y), 0 si tg(x) = tg(y) VII) f(x, y) = x2 + y2 x2 + y4 , VIII) f(x, y) = sen(x)− sen(y) tg(x)− tg(y) si tg(x) 6= tg(y), 0 si tg(x) = tg(y) determinar si existen los siguientes límites, y calcular su valor cuando proceda: l´ım x→0 ( l´ım y→0 f(x, y) ) , l´ım y→0 ( l´ım x→0 f(x, y) ) , l´ım (x,y)→(0,0) f(x, y). 1.20 Estudiar la continuidad en (0, 0) de la función f :R2 → R definida por f(x, y) = x 4 + y4 x si x 6= 0, 0 si x = 0. 1.21 Determinar para qué valores de p es continua en (0, 0) la función f :R2 → R definida por f(x, y) = x2y2 (x2 + y2)p si (x, y) 6= (0, 0), 0 si (x, y) = (0, 0). LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología Ejercicios 19 1.22 Estudiar la continuidad en R3 de la función definida por f(x, y, z) = x2 y2 z x6 + y6 + z4 si (x, y, z) 6= (0, 0, 0); 0 si (x, y, z) = (0, 0, 0). 1.23 Una función f :Rn → R se dice que es separadamente continua si para cada i = 1, 2, . . . , n, al fijar (a1, a2, . . . , an−1) ∈ Rn−1, la función t 7−→ f(a1, . . . , ai−1, i) t , ai, . . . , an−1) es continua en R. Pruébese que la función f :R2 → R, dada por f(x, y) = xy x2 + y2 si (x, y) 6= (0, 0), 0 si (x, y) = (0, 0), es separadamente continua pero no es continua. 1.24 Estudiar la continuidad en Rn de las siguientes funciones: I) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) = x1 n+1 x2 · . . . · xn ‖x‖2n si x 6= 0; 0 si x = 0. II) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) = x1 x2 · · ·xn ‖x‖n−1 si x 6= 0; 0 si x = 0. III) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) = (x1 + x2 + · · ·+ xn)n ‖x‖n−1 si x 6= 0; 0 si x = 0. 1.25 Sean b ∈ R y f :R2 → R la función dada por f(x, y) = x3 − y2 x2 − y si x 2 6= y; b si x2 = y. I) ¿En qué puntos es discontinua f? II) Determinar el valor que debe atribuirse a b para que la restricción de f a la recta de ecuación x+ y = 2 tenga el menor número de discontinuidades. III) Si g denota la restricción de f al segmento que une los puntos (0, 2) y (2, 0), para el valor de b hallado en ii), ¿es g una función acotada? 1.26 Demostrar que, si f = (f1, f2, . . . , fm) es una aplicación continua de un conjunto A ⊂ Rn en Rm, entonces la función g:A→ R definida por g(x) = mı´n { f1(x), f2(x), . . . , fm(x) } es continua en A. 1.27 Sean E un subconjunto de Rn, x0 ∈ Rn y B1, B2, . . . , Bm subespacios de E tales que m∪ i=1 Bi = E y el punto x0 es de acumulación de todos los Bi, 1 ≤ i ≤ m. Sea también f :E → R. Se supone que existe y0 ∈ R tal que l´ım x→x0 x∈Bi f(x) = y0 para cada i =1, 2, . . . ,m . Demostrar que l´ım x→x0 f(x) = y0. Comprobar con un contraejemplo que la conclusión del apartado anterior es falsa si se aplica a una familia infinita de subespacios {Bi : i ∈ I} que recubra E. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID 20 Tema 1. Espacios euclídeos 1.28 Sea K un compacto de Rn contenido en la bola abierta B(0, 1). Probar que existe un número real r, con 0 < r < 1, tal que K ⊆ B(0, r). 1.29 Sea K un compacto de Rn. Se supone que existe un número real r > 0 tal que para cada par de elementos distintos, x e y, de K se tiene que ‖x− y‖ ≥ r. Demostrar que K es un conjunto finito. 1.30 Demostrar que, si B es un subconjunto no compacto de Rn, existe una función continua y no acotada f :B → R. 1.31 Sean A compacto de Rn, r > 0 y B = ∪ x∈A B(x, r). Demostrar que B es compacto. 1.32 Sea A un subconjunto abierto de Rn, A 6= Rn. Fijada cualquier norma ‖ ‖ en Rn, y la métrica d asociada, se considera, para cada m ∈ N, el conjunto Km = { x ∈ A : ‖x‖ ≤ m, d(x,Rn \A) ≥ 1/m } . Probar que {Km}∞m=1 es una sucesión expansiva de compactos para A, es decir, que verifica las siguientes propiedades: I) Km es compacto. II) Km ⊂ ◦ Km+1 para todo m ∈ N. III) ∞∪ m=1 Km = A. 1.33 ¿Es la intersección de dos conexos de Rn un conjunto conexo? 1.34 Sean A un subconjunto no vacío de Rn con A 6= Rn, a un elemento de A y b un elemento de Rn \ A. Si γ es una aplicación continua de [0, 1] en Rn con γ(0) = a y γ(1) = b, probar que existe un elemento t ∈ [0, 1] tal que γ(t) ∈ Fr(A). 1.35 Sea f :R2 → R una función continua tal que f(−1, 0) > 0 y f(1, 0) < 0. Demostrar que existen infinitos puntos de R2 donde la función se anula. 1.36 Sea f una función continua de [0, 1] en Rn tal que ‖f(0)‖ = 1 y ‖f(1)‖ = 3. Probar que existe un punto ξ ∈ (0, 1) tal que ‖f(ξ)‖ = 2. 1.37 Sea γ : [0, 1]→ R2, γ = (γ1, γ2), continua y tal que γ(0) ∈ B((−5, 0), 1) y γ(1) ∈ B((5, 0), 1). Probar que existe un punto t0 ∈ [0, 1] tal que γ1(t0) = γ2(t0). 1.38 Demostrar que el conjunto de componentes conexas de un abierto de Rn es numerable. 1.39 Sea n ≥ 2. I) Probar que un hiperplano de Rn es cerrado y conexo, pero no compacto. II) Demostrar que los subespacios vectoriales de Rn son cerrados y conexos. Sugerencia: Escribir el subespacio como intersección finita de hiperplanos. 1.40 Sea f : Rn → Rm una aplicación continua. Demostrar que su grafo G(f) = {( x,f(x) ) ∈ Rn+m : x ∈ Rn} es un subconjunto cerrado y conexo de Rn+m. LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología Ejercicios 21 1.41 Sea L una aplicación lineal de Rn en R no idénticamente nula. I) Probar que no es conexo el conjunto Rn \Ker(L). II) ¿Cuántas componentes conexas tiene este conjunto? 1.42 Sean A un conjunto conexo de Rn y a, b dos elementos distintos de A. Si r = ‖a− b‖, demostrar que para cada número real δ, con 0 < δ < r, el conjunto A ∩ {x ∈ Rn : ‖x− a‖ = δ} es no vacío. Deducir que los subconjuntos conexos de Rn que constan de más de un punto son no numerables. 1.43 Sea { rx } x∈R una familia de números reales estrictamente positivos. Demostrar que el conjunto A = ∪ x∈R B ( (x, 0), rx ) es conexo en R2. ¿Es compacto? Estúdiese la misma cuestión para el conjunto B = ∪ n∈Z B ( (n, 0), rn ) . 1.44 Sea f un homeomorfismo de [0, 1] en sí mismo. Probar que f , o bien deja fijos los extremos, o bien los intercambia. 1.45 Sean A ( Rn, B ( Rm . Probar que el complementario de A×B en Rn × Rm es conexo. 1.46 Sea A un subconjunto denso de la recta real. Probar que el conjunto B = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ A ó y ∈ A} es un subconjunto denso y conexo de R2. 1.47 Demostrar que no son homeomorfos entre sí dos cualesquiera de los siguientes con- juntos (en todos que se considera la topología usual): 1) R 2) [0, 1] 3) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} 4) R2 5) [0, 1]× [0, 1] . Sugerencia: Comparar las propiedades de compacidad y conexión de estos conjuntos o de alguno de sus subconjuntos. 1.48 Sean A ⊂ Rn, B ⊂ Rm conjuntos no vacíos. Probar que es condición necesaria y sufi- ciente para que A×B sea, respectivamente: I) abierto, II) cerrado, III) acotado, IV) compacto, V) conexo, en Rn × Rm ≃ Rm+n, que así lo sean cada uno de los factores A y B. 1.49 Sean A ⊂ Rn, B ⊂ Rm conjuntos no vacíos, f :A → R, g:B → R . El producto tensorial de las funciones f y g es la función, denotada por f ⊗ g, y definida en A×B por f ⊗ g (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym) = f(x1, x2, . . . , xn) g(y1, y2, . . . , ym) , Si f es continua en a ∈ A y g es continua en b ∈ B, probar que f ⊗ g es continua en el punto c = ( a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bm) ∈ A×B. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID 22 Tema 1. Espacios euclídeos Nota: Análogamente se define el producto tensorial de una cantidad finita funciones. Así, por ejemplo, si para cada i = 1, 2, . . . , n se tiene definida fi:Ai → R, donde Ai es un subconjunto de R, el producto tensorial de las funciones fi es la función g = f1 ⊗ f2 ⊗ · · · ⊗ fn, definida en A1 ×A2 × · · · ×An por g(x1, x2, . . . , xn) = f1(x1) f2(x2) · · · fn(xn), i.e., (f1 ⊗ f2 ⊗ · · · ⊗ fn)(x) = n∏ i=1 (fi ◦ πi)(x) (en esta situación también se dice que la función g es de variables separadas). Aplicando re- currentemente el resultado anterior se deduce que si fi es continua en ci ∈ Ai, i = 1, 2, . . . , n, entonces g es continua en el punto c = (c1, c2, . . . , cn) ∈ A. 1.50 Sean A ⊂ Rn, B ⊂ Rm conjuntos no vacíos, f :A→ R, g:B → R . I) Si f y g son uniformemente continuas en sus respectivos dominios ¿se puede asegurar que f ⊗ g es uniformemente continua en A×B? II) Pongamos que f y g alcanzan un extremo local en x0 ∈ A, y0 ∈ B, respectivamente. ¿se puede asegurar que f ⊗ g alcanza un extremo local en (x0,y0)? III) Supongamos que A y B son compactos y f y g continuas. ¿existe alguna relación entre los extremos absolutos de f ⊗ g y los de f y g? Tema 2 Cálculo diferencial La idea fundamental de todo el Cálculo Diferencial es sencilla: tratar de obtener propieda- des sobre objetos (en la práctica, funciones) que, sin ser lineales, admiten una cierta “apro- ximación lineal”. Esta idea queda diluida en el caso de funciones de una variable real por el hecho de que la existencia de tal aproximación equivale a que los cocientes incrementales de la función tengan límite, esto es, que se pueda hablar de “velocidad”, “tasa de crecimiento”, etc., según el contexto o la disciplina científica en que se use. La presentación actual de esta materia difiere bastante de su desarrollo histórico, paralelo al de la Física Matemática, y cuyo germen se puede situar en el uso de derivadas parciales por Euler, D’Alembert, etc. en el siglo XVIII, en el que la continuidad era concebida como una propiedad mucho más fuerte que como se entiende hoy en día, implicando entonces la derivabilidad. Este fundamento casi filosófico, y que prevaleció durante largo tiempo, está recogido en la frase de Leibniz “Natura non facit saltus” (la Naturaleza no da saltos). A pesar de que el tratamiento es el mismo para cualquier dimensión n del espacio euclídeo, para la correcta asimilación y mejor aprovechamiento de la materia que se contempla en este tema, será necesario haber adquirido un sólido conocimiento de los conceptos básicos sobre funciones de una variable real y cierta destreza en su cálculo. Por supuesto, todo lo que se afirme en general (para dimensión arbitraria n) tiene su correspondiente versión en una variable, con la que ya debe estar familiarizado el lector. Pero no recíprocamente; por ejemplo, cuando n > 1 hemos de distinguir entre las nociones de “derivabilidad” y “diferenciabilidad”, coincidentes en el caso n = 1. 2.1. Derivabilidad y diferenciabilidad Cuando se consideran aplicaciones definidas en abiertos de Rn, n > 1, carece de sentido considerar cocientes incrementales
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