Logo Studenta

analisis matematico

Vista previa del material en texto

ANÁLISIS MATEMÁTICO
(40008) y (40015)
RESUMEN DE TEORÍA
Y ENUNCIADOS DE LOS EJERCICIOS
GRADO DE MATEMÁTICAS (394)
Luis A. Tristán Vega
DPTO. DE ÁLGEBRA, ANÁLISIS MATEMÁTICO, GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA
40008
VERSIÓN REVISADA Y CORREGIDA
VALLADOLID, MAYO DE 2013
LATV
40015
2A. EDICIÓN DEL TEMARIO AMPLIADO
VALLADOLID, FEBRERO DE 2013
LATV
Última compilación: 12 de junio de 2013
Ilustración de portada: edición original en latín
de la obra “Introductio in Analysin Infinitorum”
de Leonhard Euler, del año 1748 (cita [46] de la
bibliografía).
Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maître à tous
Leed a Euler, leed a Euler, él es el maestro de todos nosotros
(Pierre Simon Laplace)
Contenido
Prólogo a Análisis Matemático V
Prólogo a Ampliación de Análisis Matemático VII
1. Espacios euclídeos 1
1.1. Topología de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Límites iterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1. Aplicaciones lineales y bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1. Comentarios sobre espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Conexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Cálculo diferencial 23
2.1. Derivabilidad y diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3. Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.1. Formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3. Aplicaciones diferenciables 41
3.1. Aplicaciones contractivas. Teorema del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1. Notas sobre la demostración del teorema de las funciones inversas . . . . . 43
3.2.2. Cambios de variables. Aplicación a las ecuaciones diferenciales . . . . . . . 44
3.3. Funciones implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.1. Teoremas de rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4. Sucesiones y series funcionales 53
4.1. Sucesiones de funciones. Modos de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3. Sucesiones y series de funciones de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4. Aproximación de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.1. Comentarios sobre la generalización del teorema de Weierstrass . . . . . . 60
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5. Fundamentos de la integral 69
5.1. Intervalos en Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.1. Conjuntos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2. Conjuntos de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.1. La locución “casi siempre” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3. Funciones escalonadas y su integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
I
6. Integral de Lebesgue 79
6.1. Definiciones y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2. Sucesiones de funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2.1. Comentarios sobre la generalización del teorema de Levi . . . . . . . . . . . 82
6.3. Integración en intervalos de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7. Medibilidad. Integración iterada 91
7.1. Funciones medibles y conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2. Integración en conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.2.1. Comentarios sobre espacios de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.2.2. Conceptos físicos definidos por integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.3. Integración iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3.1. Ejemplos notables de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8. Integración por cambio de variables 109
8.1. Nociones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.1.1. Cambios de variable en una dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.1.2. Representación y descomposición de isomorfismos lineales . . . . . . . . . 110
8.2. Teorema del cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.2.1. Notas sobre la demostración del teorema del cambio de variables . . . . . . 111
8.3. Cambios de variables usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9. Integrales paramétricas 123
9.1. Continuidad y derivación de integrales paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.1.1. Integrales flechadas dependientes de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.2. Integrales eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.3. Convolución de funciones. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.3.1. Producto de convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.3.2. Aproximaciones de la identidad. Regularización de funciones . . . . . . . . 130
9.4. Transformadas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.4.1. Transformación de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.4.2. Transformación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10. Extremos condicionados 141
10.1. Variedades diferenciables en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.1.1. Variedades definidas implícitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.2. Extremos sujetos a condiciones de ligadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.2.1. El método de Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
11. Teoría de campos 153
11.1. Curvas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.2. Campos escalares y vectoriales . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
11.3. Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
11.3.1. Gradiente de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11.3.2. Rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
11.3.3. Divergencia de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.3.4. Laplaciano de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
12. Integrales de línea 167
12.1. Integración de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
12.2. Integración de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.3. Fórmula de Riemann-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
12.3.1. Notas sobre la demostración del teorema de Riemann-Green . . . . . . . . 177
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
II
13. Integración en superficies 185
13.1. Superficies paramétricas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
13.2. Integración de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
13.3. Integración de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
13.4. Superficies con borde. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
13.5. Teorema de Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
13.5.1. Comentarios sobre formas diferenciales y el teorema general de Stokes . 198
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
A. Cónicas y Cuádricas 209
A.1. Cónicas en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
A.2. Cuádricas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Bibliografía 213
Índice de notación 217
Índice alfabético 219
III
Prólogo a Análisis Matemático
Este manual no tiene otra pretensión que la de proporcionar un guión, ajustado al temario
de la asignatura, que ayude tanto al desarrollo cotidiano de las lecciones magistrales, como
al estudio particular del alumno.
Con esto en mente, la estructura es sencilla: en cada uno de los temas en que se divide
la materia se relatan los conceptos, propiedades y teoremas correspondientes, de forma con-
cisa, pero sin renunciar a la presentación de ejemplos, observaciones aclaratorias, e incluso
referencias a temas avanzados, continuación natural de los que conforman el currículo de
la asignatura. Finalmente se proporciona una nutrida colección de enunciados de ejercicios,
de dificultad variada, desde simples aplicaciones de fórmulas hasta problemas que requieren
un planteamiento más concienzudo o una aportación intelectual que implique una visión
general de la materia expuesta en la parte teórica.
Los ejercicios se han elegido de manera que, salvo los prerrequisitos obvios del Cálculo en
una variable y el Álgebra Lineal, no precisen de otra materia que la contemplada en la asig-
natura, e intentando que abarquen todas las facetas que ésta presenta. No obstante, al igual
que en la parte teórica, son inevitables algunas referencias a disciplinas afines (Topología,
Ecuaciones Diferenciales, etc.). Algunos ejercicios o problemas serán tratados en las clases
prácticas, que girarán en torno a ellos.
En general, para el uso de estas notas de la manera más provechosa, recomendamos que
el alumno se anticipe a la presentación de la teoría en las lecciones magistrales, dedicando
unos pocos minutos a la lectura somera de la materia que corresponda de forma inminente;
esto servirá, al menos, para adquirir un primer contacto con la terminología y notación, y
en muchos casos, en los que se generalizan nociones ya presentadas en un primer curso de
Cálculo Infinitesimal, preparará al lector para una mejor comprensión de las explicaciones
del profesor.
Es necesario en este punto hacer énfasis en que el documento que presentamos dista
mucho de ser un libro de texto, y que la correcta asimilación de los conceptos teóricos y
la adquisición de la destreza en los métodos de Cálculo requiere del trabajo personal del
alumno: primero, mediante la documentación entre la bibliografía citada, afianzando o pu-
liendo aquellos aspectos teóricos que pudieran no haber quedado claros, y después, pero
no menos importante, mediante la resolución de ejercicios y problemas. Los momentáneos
intentos infructuosos no son necesariamente indicios de fracaso global, al contrario, sir-
ven para enfocar de una forma más eficiente futuros problemas similares. Un ejemplo muy
significativo: nadie puede aprender a montar en bicicleta viendo en televisión las grandes
competiciones, solamente cuando se ha experimentado lo suficiente (seguramente sufrien-
do varias caídas) se puede alcanzar la destreza; lo mismo que en el desarrollo de cualquier
actividad física o intelectual.
En relación con lo expuesto arriba, se incluye una abundante lista de referencias biblio-
gráficas, incluyendo tanto de libros de texto como manuales prácticos. Además, aunque no
sea imprescindible, se citan algunas obras de carácter divulgativo o histórico, así como las
direcciones URL de algunas páginas Web interesantes. Destacaremos luego una pequeña co-
lección de textos que pensamos son los más adecuados al currículo de la asignatura. Entre
estas obras, algunas que se pueden considerar ya clásicas y otras de factura más moderna,
se encuentra información más que suficiente para abordar con éxito el estudio de esta asig-
natura, y únicamente el autor de estas notas aporta sus gustos o preferencias personales en
cuanto a la organización secuencial del temario y el nivel de profundización.
A tenor de lo dicho cabe preguntarse ¿qué sentido tiene elaborar este material didáctico
si ya está todo escrito? En primer lugar, no hay un texto que se ajuste exactamente al con-
tenido de la asignatura, de manera que tener un guión establecido ayudará al alumno en
V
la programación de su estudio y en la tarea de documentación. También, el tener a mano
los enunciados fundamentales, permitirá al alumno acudir a las lecciones con una actitud
alejada de la del mero amanuense que transcribe la verborrea del profesor, y a éste a lo que, a
mi modo de entender, debe ser su primordial función: transmitir el entusiasmo por lo que se
enseña, fomentar la capacidad de que el alumno adquiera herramientas y hábitos de trabajo
y aprendizaje individual, y sembrar el espíritu crítico que debe acompañar a toda actividad
intelectual; a esta convicción he llegado con los años, independientemente de las sucesivas
reformas de la enseñanza universitaria, o la vana grandilocuencia con que en nuestro país
se han interpretado los acuerdos de Bolonia.
Además, he de confesar, la obligación que me impongo de elaborar por adelantado este
material me sirve de ayuda en mi labor docente en la primera andadura de la asignatura,
entre otras cosas, para decidir de una manera más eficiente (y por tanto beneficiosa para
sus destinatarios, supongo) qué incluir, cómo y en qué orden, optimizando el tiempo que se
dedicará a cada tema y sin tener que sacrificar nada importante.
Volviendo a las referencias bibliográficas, de forma más explícita:
⊲ El texto de Apostol [1] es una excelente referencia general para la asignatura, a excepción
de una pequeña parte: lo que atañe a la construcción de la integral de Lebesgue, que
presenta mediante el método de las funciones superiores, un ligera variante del método
que se expone en estas notas.
⊲ El libro de Marsden y Hoffman [25] es otra buena referencia para la primera mitad de la
asignatura y responde casifielmente a la exposición que hacemos del tema 3 (funciones
inversas e implícitas).
⊲ La colección de Fernández Viña, [11], [12] y [13], es otra excelente referencia general. En
particular, en [13] se desarrolla la construcción de la integral de Lebesgue mediante el
método de sucesiones fundamentales, que será el que seguiremos.
⊲ Los textos de Bombal, Rodríguez y Vera [4] cubren casi por completo todos los aspectos
prácticos de la asignatura.
⊲ También los suplementos de “Ejercicios y complementos” de Fernández Viña y Sánchez
Mañes, [14], [15] y [16], que acompañan los textos teóricos de Fernández Viña, son una
buena referencia general en lo tocante a la práctica.
⊲ El texto de Galindo, Sanz y Tristán [19], aunque concebido de forma generalista hacia las
enseñanzas técnicas, por lo que adolece de escasez de problemas de índole más teóri-
ca, contiene una abundante colección de ejercicios de cálculo. Las sucesiones y series
funcionales están contempladas en el tomo dedicado a funciones de una variable [18].
La edición de este documento pretende ser lo más cuidada posible, utilizando el compila-
dor de LATEX 2e, con formato “libro” (documentclass[book]), y preparado para imprimir a doble
cara (de ahí la posible aparición de páginas en blanco). En particular, para facilitar su uso
se incluyen: la tabla de contenidos, las referencias bibliográficas, el índice de notación y el
índice alfabético. En éste último se recogen también los nombres de los personajes que han
contribuido de alguna forma al desarrollo del Análisis Matemático, y que se citan en el texto,
bien sea indirectamente, o por haber prestado su nombre a algún teorema.
No puedo dejar de mencionar (es de bien nacidos ser agradecidos) que el contenido de estas
notas y su posible valía no son sólo fruto de mi trabajo personal; las enseñanzas primero,
y los consejos y colaboración luego, por parte de mis maestros y compañeros del Área de
Análisis Matemático de la Universidad de Valladolid son mucho más trascendentes que el
simple trabajo de teclear. Si algún defecto se encuentra se deberá sin duda a mis limitaciones
o despistes.
Finalmente quiero señalar que, aunque este material está dirigido a mis alumnos, cual-
quier persona que desee usarlo para fines no comerciales tiene mi expreso permiso de re-
producción. En este sentido son bienvenidas toda critica o sugerencia, tanto en el aspecto
literario como en el matemático, que ayuden a mejorar este modesto fruto de mi esfuerzo
(contactar en e-mail: ltristan@am.uva.es).
Valladolid, Junio de 2012 Luis A. Tristán Vega
VI
Prólogo a
Ampliación de Análisis Matemático
Mηδǫι´ς αγǫωµǫ´τρητoς ǫισι´τω µoι την θυ´ραν
(No entre aquí quien no sepa Geometría)
Tras meditarlo profundamente me he decidido a continuar en este documento la parte
relativa a esta asignatura de tercer curso. Es decir los 8 primeros temas corresponden a la
asignatura (40008)-Análisis Matemático mientras que los temas 9 a 13 constituyen la materia
de (40015)-Ampliación de Análisis Matemático.
Esta decisión se debe, por una parte, a la necesidad de hacer continuas referencias en ésta
de tercer curso a la de segundo curso; además, el hecho de que la materia tradicional de un
curso de Análisis Matemático en varias variables reales se haya dividido en dos asignaturas,
se debe sólo a que el plan de estudios se articula en asignaturas de 6, 9 o 12 créditos (no veo
impedimento a que pudiesen ser de 15 o 18, ni le encuentro la ventaja a esa limitación, pero
tampoco es este el sitio para discutirlo). También por este motivo mantengo el título, aunque
sólo se corresponda con el de la primera asignatura.
Además, todas las consideraciones y sugerencias hechas antes sirven, exactamente igual,
en este caso. Como novedad, mencionaré las referencias bibliográficas específicas para los
nuevos temas:
⊲ Para el primer tema de la asignatura (secciones 9.1 y 9.2 de este documento) son reco-
mendables las mismas referencias que para los temas 6, 7 y 8.
⊲ El texto de Mazón [27] nos servirá para el tema 10. De hecho, si no fuese por las ligeras
diferencias en la notación podríamos adoptarlo, tal cual, en estas notas.
⊲ También resultan útiles para el tema 10 los textos [1], [12], [15] y [25].
⊲ En general, la colección de Fernández Viña y Sánchez Mañes es una buena referencia para
todos los temas. No obstante, el cálculo vectorial se presenta del modo más formal en el
contexto de las formas diferenciales.
⊲ Para los temas de Análisis Vectorial [26] y [31] son dos referencias clásicas. Como reco-
mendación para lecturas posteriores o avanzadas, mencionaremos otros textos excelen-
tes, alguno con una merecida reputación internacional, como [8], [28] o [35], pero en ellos
la integración en variedades se presenta mediante formas diferenciales, lo que excede las
aspiraciones de nuestro temario.
⊲ El texto de Galindo, Sanz y Tristán [19], cubre la parte práctica de todos los temas, tanto
la parte de Extremos Condicionados como las de Cálculo Integral y Análisis Vectorial.
Además, he añadido un apéndice resumiendo los aspectos básicos de las cónicas y las
cuádricas afines. No sólo resultará útil a la hora de trabajar con los teoremas del Análisis
Vectorial (circulaciones o flujos de campos, etc.), también aportará una buena herramienta
en el manejo y estudio de los conjuntos que aparecen con frecuencia en el Cálculo Diferencial
y en el Cálculo Integral.
Es evidente que la destreza a la hora de tratar los aspectos geométricos allana muchas
dificultades en trabajos como la búsqueda de las secciones de conjuntos en la integración
iterada, la detección de cambios de variables ad hoc para problemas concretos, etc. De ahí la
cita, obviamente sin ánimo prohibitivo, a la frase que la tradición (o la leyenda) cuenta que
rezaba inscrita en la entrada a la Academia de Platón, en el siglo IV a. de C.
Valladolid, Junio de 2013 Luis A. Tristán Vega
VII
Tema 1
Espacios euclídeos
Hablando en rigor, un espacio euclídeo, generalizando los conceptos de la Geometría clá-
sica contemplada en los Elementos de Euclides, es un espacio vectorial real de dimensión
finita dotado de un producto interno, en el que se tienen, por tanto, aparte de las nociones
lineales generales, las relativas a ángulos (ortogonalidad, paralelismo). Ahora bien, eligiendo
una base ortonormal de uno de tales espacios (el método de Gram-Schmidt permite cons-
truirla partiendo de una base cualquiera) esa fácil establecer un isomorfismo entre él y Rn,
siendo n la dimensión del espacio. Por esta razón nos limitamos al estudio de estos espacios.
El objetivo del presente capítulo es introducir aquellas propiedades topológicas de los
espacios euclídeos que serán necesarias para abordar posteriormente el Cálculo Diferencial
en varias variables.
El punto de partida en el desarrollo de esta materia es el concepto de norma, que generaliza
el de valor absoluto de los números reales y permite establecer un argumento para medir la
proximidad de los puntos de un espacio vectorial. De hecho, la recta real es el caso más
simple de los espacios normados que nos ocupan.
El lector observará que los resultados que se exponen aquí son generalizaciones, o con-
venientes adaptaciones, de los que se presentan, con el mismo objetivo, en el estudio de la
continuidad de funciones de una variable real.
1.1. Topología de Rn
Definición 1.1. Para cada número natural n, sea Rn el conjunto de todas las n-uplas orde-
nadas de números reales x = (x1, x2, . . . , xn). A xk se le denomina coordenada k-ésima de x.
Se definen la suma de elementos de Rn y el producto de un escalar por un elemento de Rn
como sigue:
Para x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn se define su suma x+ y por
x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn).
Para x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn y α ∈ R, se define su producto αx por
αx = (αx1, α x2, . . . , α xn).
Proposición 1.2.El conjunto Rn con estas operaciones es un espacio vectorial sobre el cuer-
po de los números reales.
Observaciones 1.3.
I) Usamos, por comodidad, la notación de vectores fila. En Álgebra Lineal, atendiendo a
la representación matricial de aplicaciones y ecuaciones lineales, es usual considerar
vectores columna. Cuando se requiera denotaremos por xt al vector traspuesto de x:
xt = (x1, x2, . . . , xn)
t
=
 x1...
xn
 .
II) Es habitual confundir la estructura vectorial así obtenida con la estructura geométrica
que se obtiene al considerar un espacio afín con espacio vectorial asociado Rn y, abusan-
do de la notación, referirse a “puntos” de Rn en lugar de vectores, y a x1, x2, . . . , xn como
las coordenadas (cartesianas, en honor a R. Descartes) del punto x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn.
Este será el criterio que seguiremos en adelante.
1
2 Tema 1. Espacios euclídeos
Definición 1.4. Si x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn se define su producto escalar o
interno, que se representa por x · y o 〈x,y〉 , como
x · y = x1 y1 + x2 y2 + . . .+ xn yn.
Para cada x = (x1, x2, . . . , xn) de Rn se define su norma euclídea ‖x‖ por
‖x‖ = √x · x =
( n∑
i=1
|xi|2
)1/2
.
El espacio vectorial Rn dotado del producto interno arriba definido se conoce como el
espacio euclídeo n-dimensional.
Proposición 1.5 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si x,y ∈ Rn, entonces
|x · y| ≤ ‖x‖ ‖y‖ .
Además, la igualdad se alcanza si, y sólo si, x e y son linealmente dependientes.
Proposición 1.6. La aplicación x ∈ Rn 7→ ‖x‖ ∈ R verifica las siguientes propiedades:
I) ‖x‖ ≥ 0 para todo x ∈ Rn.
II) ‖x‖ = 0 si, y sólo si, x = 0.
III) ‖αx‖ = |α| ‖x‖ para todos x ∈ Rn, α ∈ R.
IV) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ para todos x,y ∈ Rn. (Desigualdad triangular)
Corolario 1.7. Si x,y ∈ Rn entonces
‖x− y‖ ≥ ∣∣ ‖x‖ − ‖y‖ ∣∣ . (Segunda desigualdad triangular)
Corolario 1.8. La aplicación d:Rn × Rn → R, definida por d(x,y) = ‖x− y‖ , verifica las
siguientes propiedades:
I) d(x,y) ≥ 0 para todos x,y ∈ Rn.
II) d(x,y) = 0 si, y sólo si, x = y.
III) d(x,y) = d(y,x) para todos x,y ∈ Rn.
IV) d(x, z) ≤ d(x,y) + d(y, z) para todos x,y, z ∈ Rn.
Observación 1.9. Cualquier aplicación definida sobre un espacio vectorial V con valores
en R que verifique las propiedades I) a IV) de la proposición 1.6 se denomina norma sobre V .
Otras normas notables en Rn se definen para x = (x1, x2, . . . , xn) por
‖x‖1 =
n∑
i=1
|xi| o ‖x‖∞ = sup
{|xi| : i = 1, 2, . . . , n}.
Cuando n = 1 las tres normas definidas coinciden con el valor absoluto.
Asimismo, si X es un conjunto no vacío, cualquier aplicación d definida en el producto
cartesiano X × X con valores en R que verifique las propiedades I) a IV) del corolario 1.8 se
dice que es una distancia o métrica sobre X, y se dice que el par (X, d) es un espacio métrico.
Definición 1.10. Sean x ∈ Rn y r > 0. Se definen la bola abierta de centro x y radio r como el
conjunto
B(x, r) = {y ∈ Rn : d(x,y) = ‖x− y‖ < r} ;
la bola cerrada de centro x y radio r como el conjunto
B(x, r) = {y ∈ Rn : d(x,y) = ‖x− y‖ ≤ r} ;
la esfera de centro x y radio r como el conjunto
S(x, r) = B(x, r) \B(x, r) = {y ∈ Rn : d(x,y) = ‖x− y‖ = r} ,
donde “\” denota la diferencia conjuntista.
LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología
1.1. Topología de Rn 3
Lema 1.11. Sean x,y ∈ Rn .
I) Si dado r > 0 se tiene que y ∈ B(x, r) , existe s > 0 tal que B(y, s) ⊂ B(x, r) .
II) Si y 6= x existen r, s > 0 tales que B(x, r) ∩B(y, s) = Ø .
III) Si la sucesión de números reales positivos {rn}∞n=1 converge hacia 0 (o lo hace alguna
subsucesión suya), entonces
∞∩
n=1
B(x, rn) = {x} .
Definición 1.12. Si A es un subconjunto no vacío de Rn se denomina diámetro de A ,
denotado “δ(A)” o “diam(A)” a
δ(A) = sup
{
d(x,y) : x,y ∈ A}
(nótese que el diámetro de A puede ser un número real no negativo o ∞ , dependiendo de
que el conjunto {d(x,y) : x,y ∈ A} ⊂ R esté acotado o no).
Se dice que un subconjunto de Rn es acotado si es vacío o si tiene diámetro finito.
Proposición 1.13.
I) Si Ø 6= B ⊂ A ⊂ Rn entonces δ(B) ≤ δ(A) .
II) Toda bola en Rn es acotada, de hecho,
δ
(
B(x, r)
)
= δ
(
B(x, r)
)
= 2 r .
III) Un conjunto A ⊂ Rn es acotado si, y sólo si, está contenido en alguna bola.
IV) Un conjunto A ⊂ Rn es acotado si, y sólo si, está contenido en una bola centrada en 0, o
lo que es lo mismo, si existe una constante M > 0 tal que
‖x‖ ≤M para todo x ∈ E.
Definición 1.14. Sean A , B subconjuntos no vacíos de Rn. Se define la distancia entre A
y B como el número real
d(A,B) = ı´nf
{
d(x,y) : x ∈ A , y ∈ B} .
Si A = {a} es un conjunto unipuntual la distancia entre A y B se denota también d(a, B) y
se denomina distancia de a a B .
Proposición 1.15. Sean A,B subconjuntos de Rn.
I) Si A y B son acotados entonces A ∪ B es acotado. Más aún, si además A y B son no
vacíos, entonces δ(A ∪B) ≤ δ(A) + δ(B) + d(A,B) .
II) Si A 6= Ø y x,y ∈ Rn entonces ∣∣d(x, A)− d(y, A)∣∣ ≤ d(x,y) .
Definición 1.16. Sea E un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x ∈ Rn es interior a E,
o que E es un entorno de x, si existe una bola abierta de centro x contenida en E.
El conjunto de todos los puntos interiores de E se denomina interior de E y se representa
por
◦
E ó int(E) (es inmediato comprobar que
◦
E⊂ E).
Se dice que el conjunto E es abierto si es entorno de todos sus puntos, es decir, si todos
sus puntos son interiores, lo que equivale a que E =
◦
E.
Propiedades 1.17. Sean A,B y {Ai}i∈I subconjuntos de Rn.
I) Si A ⊂ B entonces
◦
A⊂
◦
B .
II) int(int(A)) = int(A) .
III)
◦
A es el mayor conjunto abierto contenido en A .
IV) ∪
i∈I
◦
Ai⊆
( ∪
i∈I
Ai
)◦
.
V)
( ∩
i∈I
Ai
)◦ ⊆ ∩
i∈I
◦
Ai , además, si I es finito se verifica la igualdad.
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
4 Tema 1. Espacios euclídeos
Ejemplos 1.18.
I) Toda bola abierta es un conjunto abierto.
II) Las bolas cerradas no son conjuntos abiertos.
III) Los intervalos abiertos de Rn, esto es, productos cartesianos de la forma
(a1, b1)× (a2, b2)× . . .× (an, bn) ,
son conjuntos abiertos.
Proposición 1.19. Se verifican las siguientes propiedades:
I) El conjunto vacío Ø y el conjunto total Rn son abiertos.
II) Si {Gi}i∈I es una familia de conjuntos abiertos, entonces la unión ∪
i∈I
Gi es un conjunto
abierto.
III) Si G1, G2, . . . , Gk son conjuntos abiertos, entonces la intersección G1 ∩G2 ∩ . . . ∩Gk es un
conjunto abierto.
Observaciones 1.20.
I) El lector que posea nociones de Topología puede reconocer en la proposición anterior
la afirmación siguiente: si denotamos por τ a la familia de todos los conjuntos abiertos
de Rn, el par (Rn, τ) es un espacio topológico.
II) La intersección de una familia arbitraria de abiertos puede no ser un conjunto abierto,
como queda patente con el siguiente ejemplo: si Gn = B(0, 1/n), n ∈ N, se tiene que
∞∩
n=1
Gn = {0}.
Definición 1.21. Sea E un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x de Rn es un punto
adherente a E si cada bola abierta centrada en x tiene intersección no vacía con E.
El conjunto de todos los puntos adherentes a E se denomina adherencia o clausura de E
y se representa por E , cl(E) ó adh(E) (es muy sencillo comprobar que E ⊂ E).
Se dice que un conjunto E de Rn es cerrado si todos sus puntos adherentes están en E,
es decir, si E = E.
Ejemplos 1.22.
I) Toda bola cerrada es un conjunto cerrado. Es más B(x, r) = B(x, r) .
II) Las bolas abiertas no son conjuntos cerrados.
III) Los intervalos cerrados de Rn, de la forma [a1, b1] × [a2, b2] × . . . × [an, bn], son conjuntos
cerrados.
Proposición 1.23. Sea A un subconjunto de Rn. Se tiene que
Rn\
◦
A= Rn \A y Rn \A = (Rn \A)◦.
Corolario 1.24. Un subconjunto E de Rn es abierto (resp. cerrado) si, y sólo si, su comple-
mentario Rn \ E es cerrado(resp. abierto).
Observaciones 1.25.
I) En la Topología General suele utilizarse la propiedad anterior para definir la familia de
cerrados, y luego caracterizar equivalentemente estos conjuntos en términos de la ad-
herencia. En este contexto (en general, en los espacios métricos) el adjetivo adherente
cobra un significado más intuitivo gracias a la noción de distancia: x ∈ A si, y sólo si,
d(x,A) = 0.
II) Pueden existir conjuntos que no sean ni abiertos ni cerrados (basta pensar en el intervalo
[0, 1) de R con la métrica usual). Aunque la terminología usada pretende ser lo más
descriptiva posible, no nos debemos dejar influir por el significado etimológico de las
palabras.
LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología
1.1. Topología de Rn 5
Propiedades 1.26. Sean A,B y {Ai}i∈I subconjuntos de Rn.
I) Si A ⊂ B entonces A ⊂ B .
II) A = A .
III) A es el cerrado más pequeño que contiene a A.
IV) ∪
i∈I
Ai ⊆ ∪
i∈I
Ai , además, si I es finito se verifica la igualdad.
V) ∩
i∈I
Ai ⊆ ∩
i∈I
Ai .
Proposición 1.27. Se verifican las siguientes propiedades:
I) El conjunto vacío Ø y el conjunto total Rn son cerrados.
II) Si {Fi}i∈I es una familia de conjuntos cerrados, entonces la intersección ∩
i∈I
Fi es un
conjunto cerrado.
III) Si F1, F2, . . . , Fk son conjuntos cerrados, entonces la unión F1∪F2∪ . . .∪Fk es un conjunto
cerrado.
Definición 1.28. Sea E un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x de Rn es un punto de
acumulación de E si para cada bola abierta B(x, r) centrada en x, la intersección B(x, r) ∩ E
contiene al menos un punto de E distinto de x, es decir, si para cada r > 0 se tiene que
B(x, r) ∩ (A \ {x}) 6= Ø .
El conjunto de todos los puntos de acumulación se denomina conjunto derivado de E y se
representa por E′.
Se dice que un punto x ∈ E es un punto aislado de E si no es un punto de acumulación
de E. Se dice que un conjunto E es discreto si todos sus puntos son aislados en él.
Proposición 1.29. Sea E un subconjunto de Rn. Entonces:
I) E = E ∪ E′.
II) E es cerrado si, y sólo si, E′ ⊂ E.
III) Si x es un punto de acumulación de E, entonces cualquier bola abierta B(x, r) de centro
x contiene infinitos puntos de E.
IV) Si x ∈ E es un punto aislado de E, entonces existe una bola abierta B(x, r) de centro x
tal que B(x, r) ∩ E = {x}.
Definición 1.30. Sea A un subconjunto de Rn. Se dice que un punto x ∈ Rn es exterior a
A si es un punto interior al complementario de A , es decir, si existe una bola abierta B(x, r)
de centro x tal que
B(x, r) ∩A = Ø .
El conjunto de puntos exteriores a A se denomina exterior de A .
Se dice que x ∈ Rn es un punto frontera de A si es adherente a A y a Rn \A simultánea-
mente. El conjunto de tales puntos se denomina frontera de A y se denota Fr(A) :
Fr(A) = A ∩ Rn \A .
Observaciones 1.31. Sea A un subconjunto de Rn.
I) Es obvio que Fr(A) es un conjunto cerrado, y que si A es cerrado, entonces Fr(A) ⊆ A.
Igualmente evidente es que Fr(A) = Fr(Rn \A).
II) El espacio Rn se expresa, respecto al conjunto A, como unión de tres conjuntos disjuntos
(alguno posiblemente vacío): la frontera de A, un cerrado; y dos abiertos, a saber, el
interior y el exterior de A.
Definición 1.32. Sean E y D ⊆ E subconjuntos de Rn. Se dice que D es denso en E si
E ⊆ D .
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
6 Tema 1. Espacios euclídeos
1.2. Límites
Definición 1.33. Se dice que una sucesión {xk}∞k=1 de elementos de Rn es convergente si
existe un punto x ∈ Rn tal que para cada número real ε > 0 existe un número natural k0 (que
depende de ε) de manera que
‖xk − x‖ < ε para cada número natural k ≥ k0.
En este caso, diremos que {xk}∞k=1 converge hacia x o que x es el límite de la sucesión {xk}∞k=1,
y escribiremos
l´ım
k→∞
xk = x o xk −→
k→∞
x.
El límite de una sucesión, si existe, es único.
Observación 1.34. Es sencillo comprobar a partir de la definición que una sucesión {xk}∞k=1
converge hacia x si, y sólo si, l´ım
k→∞
‖xk − x‖ = 0.
Definición 1.35. El conjunto {xk : k ∈ N} se denomina rango o conjunto de términos de la
sucesión {xk}∞k=1. El rango de una sucesión puede ser finito o infinito. Se dice que la sucesión
está acotada si lo está su rango.
Proposición 1.36. Toda sucesión convergente está acotada.
Si x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn es inmediato comprobar que se verifica
|xi| ≤ ‖x‖ , i = 1, 2, . . . , n ,
desigualdad también válida para las otras dos normas que hemos destacado: ‖ ‖1 y ‖ ‖∞.
A partir de las propiedades de sucesiones de números reales se obtienen fácilmente los si-
guientes resultados.
Proposición 1.37. Sea {xk}∞k=1 una sucesión de elementos de Rn. Escribamos
xk = (x1,k, x2,k, . . . , xn,k), k ∈ N.
La sucesión {xk}∞k=1 converge hacia x = (x1, x2, . . . , xn) si, y sólo si, las sucesiones de números
reales {xj,k}∞k=1 convergen hacia xj, para j = 1, 2, . . . , n.
Corolario 1.38. Toda sucesión acotada de Rn tiene una subsucesión convergente.
Corolario 1.39. Sean {xk}∞k=1, {yk}∞k=1 dos sucesiones de elementos de Rn y {αk}∞k=1 una su-
cesión de números reales. Supongamos que {xk}∞k=1 converge hacia x ∈ Rn, {yk}∞k=1 converge
hacia y ∈ Rn y {αk}∞k=1 converge hacia α ∈ R. Entonces:
I) l´ım
k→∞
(xk + yk) = x+ y.
II) l´ım
k→∞
αkxk = αx.
III) l´ım
k→∞
(xk · yk) = x · y.
IV) l´ım
k→∞
‖xk‖ = ‖x‖.
Proposición 1.40 (Caracterización secuencial de la topología). Sean E un conjunto de Rn
y x un punto de Rn.
I) x es interior a E si, y sólo si, toda sucesión {xk}∞k=1 de elementos de Rn que converge
hacia x tiene todos sus términos en E, a partir de uno en adelante.
II) x es un punto adherente a E si, y sólo si, existe una sucesión {xk}∞k=1 de elementos de E
que converge hacia x.
III) x es un punto de acumulación de E si, y sólo si, existe una sucesión {xk}∞k=1 de elementos
de E, distintos todos ellos de x, que converge hacia x.
LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología
1.2. Límites 7
Como sucede para sucesiones de números reales, el carácter convergente de una sucesión
en Rn puede ser determinado sin conocer previamente el valor de su límite.
Definición 1.41. Se dice que una sucesión {xk}∞k=1 de elementos de Rn es de Cauchy si para
cada número real ε > 0 existe un número natural k0 tal que
‖xk − xj‖ < ε,
para cada par de números naturales j, k ≥ k0.
Teorema 1.42 (Completitud de Rn). Una sucesión de puntos de Rn es convergente si, y sólo
si, es de Cauchy.
Definición 1.43. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de E y f una
aplicación de E en Rm. Se dice que l ∈ Rm es el límite de la función f en a si para cada
número real ε > 0 existe δ > 0 tal que
‖f(x)− l‖ < ε
para cada x ∈ E con 0 < ‖x− a‖ < δ.
Observación 1.44. En la definición anterior intervienen dos normas, una definida en Rn y
otra en Rm. La distinción entre ambas viene dada por el contexto.
Proposición 1.45. Si la aplicación f tiene límite en el punto a, éste es único.
Notación: Si la aplicación f tiene límite l en el punto a se escribe
l´ım
x→a
f(x) = l o f(x)→ l, cuando x→ a o f(x) −→
x→a
l.
La noción de límite restringida a subconjuntos de uno dado tiene exactamente la misma
aplicación en este caso que en el de funciones de una variable.
Definición 1.46. Sean A un subconjunto de Rn, a un punto de acumulación de A y f una
aplicación de A en Rm. Si B ⊂ A y a es también punto de acumulación de B, el límite
l´ım
x→a
f |B (x) , si existe, se denomina límite de la aplicación f en el punto a siguiendo (o a través
de) el subespacio B y se denota por
l´ım
x→a
x∈B
f(x) .
Teorema 1.47. Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de A y f una aplica-
ción de A en Rm. Son equivalentes:
a) f tiene límite l en el punto a.
b) Para cada subconjunto B ⊂ A tal que a ∈ B′, f tiene límite en a a través de B, y éste es
precisamente l.
Proposición 1.48(Criterio secuencial del límite). Sean A un conjunto de Rn, a un punto
de acumulación de A y f una aplicación de A en Rm. Son equivalentes:
a) f tiene límite en a.
b) Para cada sucesión {xk}∞k=1 de puntos de A con xk 6= a, k = 1, 2, . . ., y l´ım
k→∞
xk = a, la
sucesión {f(xk)}∞k=1 es convergente.
Además, si l´ım
x→a
f(x) = l, se tiene que l´ım
k→∞
f(xk) = l para toda sucesión {xk}∞k=1 de puntos de
A, distintos de a, y convergente hacia a.
Proposición 1.49. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de E. Sean
f1, f2, . . . , fm funciones reales definidas en E y f la aplicación de E en Rm definida por
f(x) =
(
f1(x), f2(x), . . . , fm(x)
)
, x ∈ E.
Entonces
l´ım
x→a
f(x) = l = (l1, l2, . . . , lm) ∈ Rm
si, y sólo si,
l´ım
x→a
fi(x) = li ∈ R, i = 1, 2, . . . ,m.
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
8 Tema 1. Espacios euclídeos
Observación 1.50. Este último resultado permite simplificar el estudio de límites y los con-
ceptos que de éste se derivan, considerando únicamente funciones reales, es decir, aplicacio-
nes de la forma f :E → R, donde E es un subconjunto de Rn.
Definición 1.51. Sean A un conjunto de Rn y f una aplicación de A en Rm. Dado B ⊆ A, se
dice que f es acotada en B si lo es el conjunto imagen f(B), es decir, si existe una constante
M ≥ 0 tal que
‖f(x)‖ ≤M para todo x ∈ B .
Cuando f es una función real (es decir, cuando m = 1) y acotada, los valores reales
m = ı´nf{f(x) : x ∈ A} y M = sup{f(x) : x ∈ A}
se denominan, respectivamente, el extremo inferior absoluto y el extremo superior absoluto de
f en A. Si dichos valores se alcanzan, es decir, si existe x1 ∈ A (resp. x2 ∈ A) tal que
m = f(x1) ≤ f(x) para todo x ∈ A (resp. f(x) ≤ f(x2) =M para todo x ∈ A),
se dice que f tiene mínimo absoluto en A igual a m, y que éste se alcanza en x1 (resp. f tiene
máximo absoluto en A igual a M , y éste se alcanza en x2).
Proposición 1.52. Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de A y f una
aplicación de A en Rm. Si f tiene límite en a, existe un número real δ > 0 tal que f está
acotada en A ∩B(a, δ).
Proposición 1.53. Sean A un subconjunto de Rn y a un punto de acumulación de A. Si
f :A→ R y g:A→ Rm son aplicaciones tales que l´ım
x→a
f(x) = 0 y g está acotada en A ∩B(a, δ)
para algún número real δ > 0, entonces
l´ım
x→a
f(x) g(x) = 0 .
Proposición 1.54. Sean E un conjunto de Rn y a un punto de acumulación de E. Suponga-
mos que f , g son dos aplicaciones de E en Rm y λ es una función de E en R tales que
l´ım
x→a
f(x) = α, l´ım
x→a
g(x) = β y l´ım
x→a
λ(x) = ℓ.
Entonces:
I) l´ım
x→a
(f + g)(x) = α+ β.
II) l´ım
x→a
(λf)(x) = ℓα.
III) l´ım
x→a
(f · g)(x) = α · β.
IV) l´ım
x→a
1
λ(x)
=
1
ℓ
, si ℓ 6= 0 y λ(x) 6= 0 para todo x.
Aparte de las propiedades aritméticas, las funciones reales verifican, respecto al orden,
propiedades similares a las de las funciones de una variable. Suponemos al lector familia-
rizado con éstas y para no abundar en detalles enunciaremos una de ellas, dejándole que
adapte el resto (como el criterio del Sándwich) al caso de funciones de varias variables.
Proposición 1.55. Sean A un conjunto de Rn, a un punto de acumulación de A y f una
función de A en R. Si existe l´ım
x→a
f(x) = ℓ 6= 0, se tiene que:
I) Si ℓ > 0, dados números reales α y β con 0 < α < ℓ < β, existe un número real δ > 0 tal
que para cada x ∈ A ∩B(a, δ) con x 6= a, se verifica que α < f(x) < β.
II) Si ℓ < 0, dados números reales α y β con α < ℓ < β < 0, existe un número real δ > 0 tal
que para cada x ∈ A ∩B(a, δ) con x 6= a, se verifica que α < f(x) < β.
Es decir, f toma valores con el mismo signo que el del límite en los puntos de un entorno
adecuado de a distintos de él.
LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología
1.3. Continuidad 9
1.2.1. Límites iterados
A la hora de abordar el estudio de la existencia de límites para funciones definidas en
conjuntos de Rn, con n ≥ 2, puede parecer tentador proceder reduciendo el problema al
estudio de límites en una sola variable, concretamente: fijando n − 1 coordenadas en un
primer paso, se pasa al límite en la restante, obteniendo valores que dependen de n − 1
variables; se fijan ahora n − 2 de ellas, y se reitera el proceso, obteniendo los denominados
límites iterados. Lamentablemente, la existencia de dichos límites no garantiza la existencia
del límite; ahora bien, en caso de que existan todos los límites, deben coincidir. Para fijar
ideas y atendiendo a una mayor simplicidad, enunciaremos el resultado para el caso de una
función real definida en un subconjunto de R2.
Teorema 1.56. Sean f una función real definida en un conjunto A de R2 y (α, β) ∈ A′. Se
supone que existe
l´ım
(x,y)→(α,β)
f(x, y) = ℓ ,
y que, para cada x fijo, existe l´ım
y→β
f(x, y) = ϕ(x) .
Si existe el límite iterado
l´ım
x→α
ϕ(x) = l´ım
x→α
(
l´ım
y→β
f(x, y)
)
,
su valor coincide con ℓ.
En consecuencia, si existen los dos límites iterados, pero
l´ım
x→α
(
l´ım
y→β
f(x, y)
)
6= l´ım
y→β
(
l´ım
x→α
f(x, y)
)
,
la función f no puede tener límite en el punto (α, β).
Observaciones 1.57.
I) La existencia del límite de una función en un punto no garantiza que existan los límites
iterados, como pone de manifiesto el ejercicio 1.19.V.
II) Puede ocurrir que alguno de los límites iterados sea infinito, en este caso no es difícil
probar que el límite de la función no existe.
1.3. Continuidad
Definición 1.58. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de E y f una aplicación de E en Rm.
Se dice que f es continua en a si para cada número real ε > 0 existe δ > 0 tal que
‖f(x)− f(a)‖ < ε
para cada x ∈ E con ‖x− a‖ < δ.
Si f es continua en todos los puntos de E, se dice que f es continua en E.
Proposición 1.59. Sean E un conjunto de Rn, a un punto de E y f una aplicación de E
en Rm.
I) Si a es un punto aislado de E, entonces f es continua en a.
II) Si a es un punto de acumulación de E, entonces f es continua en a si, y sólo si, existe
l´ım
x→a
f(x) y es igual a f(a).
Corolario 1.60 (Criterio secuencial de la continuidad). Sean E un conjunto de Rn, a un
punto de E y f una aplicación de E en Rm. Son equivalentes:
a) f es continua en a.
b) Para cada sucesión {xk}∞k=1 de puntos de E que converge hacia a, la sucesión {f(xk)}∞k=1
converge hacia f(a) .
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
10 Tema 1. Espacios euclídeos
Teorema 1.61. Sean E un subconjunto de Rn y a un punto de E. Sean f1, f2, . . . , fm, funcio-
nes reales definidas en E y f la aplicación de E en Rm dada por
f(x) =
(
f1(x), f2(x), . . . , fm(x)
)
, x ∈ E.
Entonces f es continua en a si, y sólo si, cada una de las funciones f1, f2, . . . , fm, es continua
en a.
Proposición 1.62. Sean E un conjunto de Rn y a un punto de E. Sean f , g aplicaciones de
E en Rm y λ una función de E en R. Supongamos que f , g y λ son continuas en a. Entonces
las funciones
f + g; λf ; f · g; 1
λ
, si λ(x) 6= 0 para todo x ∈ E;
son continuas en a.
Teorema 1.63. Sean E y F subconjuntos de Rn y Rm, respectivamente. Sean f :E → F
continua en a ∈ E y g:F → Rp continua en f(a) ∈ F , respectivamente. Entonces la función
compuesta g ◦ f es continua en a ∈ E.
Definición 1.64 (Topología de subespacio). Sea E un conjunto de Rn. Se dice que un sub-
conjunto A de E es abierto (resp. cerrado) en E si existe un conjunto U abierto (resp. cerrado)
en Rn tal que
A = E ∩ U.
Observación 1.65. Cuando E es abierto los abiertos en E son abiertos de Rn, y cuando E es
cerrado los cerrados en E son cerrados en Rn.
Proposición 1.66 (Caracterización topológica de la continuidad). Sean E un conjunto de
Rn y f una aplicación de E en Rm. Son equivalentes las siguientes afirmaciones:
a) La aplicación f es continua en E.
b) Para cualquier abierto A de Rm, el conjunto f−1(A) es abiertoen E.
c) Para cualquier cerrado C de Rm, el conjunto f−1(C) es cerrado en E.
Ejemplos 1.67.
I) La norma euclídea es una función continua en Rn.
II) La proyección i-ésima πi:Rn → R, definida por
πi(x1, x2, . . . , xn) = xi,
es una función continua en Rn.
III) En general, cualquier aplicación lineal L:Rn → Rm es continua (sobre este punto se
volverá más adelante).
IV) El conjunto {(x, y) ∈ R2 : x sen(y) > 0} es abierto en R2, pues es la imagen inversa del
intervalo (0,∞), abierto de R, por la función f :R2 → R dada por f(x, y) = x sen(y), que es
continua.
V) El conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 − z2 = 0} es cerrado en R3.
Definición 1.68. Sean E un conjunto de Rn y f una aplicación de E en Rm. Se dice que f es
uniformemente continua en E si para cada número real ε > 0 existe δ > 0 tal que
‖f(x)− f(y)‖ < ε
para todos x, y ∈ E con ‖x− y‖ < δ.
Observación 1.69. Es claro que cualquier aplicación uniformemente continua en un con-
junto E es continua en E, pero no recíprocamente.
Proposición 1.70. Sean E un subconjunto de Rn y f :E → Rm uniformemente continua.
Entonces, para cada sucesión {xk}∞k=1 de Cauchy en E , la sucesión {f(xk)}∞k=1 es de Cauchy
en Rm.
LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología
1.3. Continuidad 11
1.3.1. Aplicaciones lineales y bilineales
En el Cálculo Diferencial juegan un papel fundamental el tipo de aplicaciones de cuya
continuidad nos ocupamos ahora; las primeras, en la propia definición de diferenciabilidad,
y las segundas, a la hora de estudiar los problemas de extremos relativos.
Definición 1.71. Se dice que una aplicación L:Rn → Rm es lineal si
L(λx+ µy) = λL(x) + µL(y) para todos x,y ∈ Rn y λ, µ ∈ R .
Observaciones 1.72.
I) Las proyecciones πj, j = 1, 2, . . . , n, son aplicaciones lineales en Rn.
II) Fijadas las bases estándar en Rn y Rm, respectivamente, toda aplicación lineal L:Rn → Rm
se representa respecto a dichas bases, de forma única, mediante una matriz A ∈ Mm,n(R),
donde Mm,n(R) representa el espacio de las matrices de números reales formadas por m
filas y n columnas. Concretamente,
L(x) = Axt =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn


x1
x2
...
xn
 .
Teorema 1.73. Sea L:Rn → Rm una aplicación lineal. Existe una constante M ≥ 0 tal que
‖L(x)‖ ≤M ‖x‖ para todo x ∈ Rn .
En particular, L es uniformemente continua en todo Rn.
Definición 1.74. Se dice que una aplicación B:Rn × Rn → Rm es bilineal si es lineal en cada
componente, es decir, si
B(λx1 + µx2,y) = λB(x1,y) + µB(x2,y) para todos x1,x2,y ∈ Rn y λ, µ ∈ R ,
B(x, λy1 + µy2) = λB(x,y1) + µB(x,y2) para todos x,y1,y2 ∈ Rn y λ, µ ∈ R .
Una aplicación bilineal B se dice simétrica si
B(x,y) = B(y,x) para todos x,y ∈ Rn .
Observaciones 1.75.
I) El producto interno en Rn, B(x,y) = 〈x,y〉, es una aplicación bilineal simétrica.
II) Fijada la base estándar de Rn, toda aplicación bilineal B:Rn × Rn → R se representa de
forma única mediante una matriz A ∈ Mn,n(R), concretamente
B(x,y) = xAyt .
Teorema 1.76. Sea B:Rn × Rn → Rm una aplicación bilineal. Existe una constante M ≥ 0
tal que
‖B(x,y)‖ ≤M ‖x‖ ‖y‖ para todos x,y ∈ Rn .
En particular, B es continua en todo Rn × Rn.
Observación 1.77. Una forma cuadrática en Rn, que es una función definida por un polino-
mio homogéneo de grado 2, es decir, de la forma
Q(x1, x2, . . . , xn) =
∑
1≤i≤j≤n
cij xi xj , cij ∈ R ,
se puede interpretar como la actuación de una aplicación bilineal simétrica B sobre el punto
(x,x) ∈ Rn×Rn: Q(x) = B(x,x) = xAxt. Los coeficientes de la matriz A = (aij)1≤i,j≤n vienen
dados por aii = cii y aij = aji = cij/2 si i < j .
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
12 Tema 1. Espacios euclídeos
1.4. Compacidad
Definición 1.78. Una familia {Ai}i∈I de subconjuntos de Rn se denomina recubrimiento de
un conjunto E de Rn si
E ⊂ ∪
i∈I
Ai .
Si todos los conjuntos Ai , i ∈ I , son abiertos se dice que {Ai}i∈I es un recubrimiento abierto
de E .
Se dice que un conjunto K de Rn es compacto si todo recubrimiento abierto de K admite
un subrecubrimiento finito, es decir, si para cada recubrimiento abierto {Gi}i∈I de K existe
una subfamilia finita {Gi1 , Gi2 , . . . , Gim} tal que
K ⊂ Gi1 ∪Gi2 ∪ . . . ∪Gim .
Ejemplos 1.79.
I) Los conjuntos finitos son conjuntos compactos.
II) Si {xk}∞k=1 converge hacia x , el conjunto {xk : k ∈ N} ∪ {x} es compacto.
Proposición 1.80. Sean F,K dos conjuntos de Rn. Supongamos que F es cerrado, K es
compacto y F ⊂ K. Entonces F es compacto. En otras palabras, los subconjuntos cerrados
de conjuntos compactos son compactos.
Proposición 1.81. Todo intervalo cerrado y acotado de Rn es compacto.
Teorema 1.82. Sea K un subconjunto de Rn. Son equivalentes las siguientes propiedades:
a) K es cerrado y acotado.
b) K es compacto.
c) Todo subconjunto infinito de K tiene un punto de acumulación en K .
d) Cada sucesión {xk}∞k=1 de elementos de K admite una subsucesión {xkj}∞j=1 que con-
verge hacia un punto de K .
Observación 1.83. La equivalencia de los asertos a) y b) en el teorema anterior se conoce
con el nombre de teorema de Heine-Borel. La implicación a)⇒c) se conoce como teorema de
Bolzano-Weierstrass.
Teorema 1.84 (de Weierstrass, versión general). Sean E un conjunto de Rn y f una apli-
cación continua de E en Rm. Si K es un subconjunto compacto de E, entonces f(K) es
compacto.
Teorema 1.85 (de Weierstrass para funciones escalares). Sea f una función real definida
y continua en un conjunto compacto K de Rn. Entonces f es acotada y alcanza sus extremos
absolutos, es decir, existen dos puntos x e y de K tales que
f(x) ≤ f(z) ≤ f(y) para todo z ∈ K.
Proposición 1.86. Sea K un conjunto compacto de Rn. Supongamos que f es una aplicación
inyectiva y continua de K en Rm. Entonces la aplicación inversa f−1 definida en f(K) es
continua.
Observación 1.87. Dados A ⊂ Rn y B ⊂ Rm, si f :A→ B es biyectiva y continua, y también
f−1:B → A es continua, se dice que f es un homeomorfismo. Esta es una noción topológica,
es decir, se puede establecer únicamente en términos de conjuntos abiertos: una biyección
f :A → B es un homeomorfismo si, y sólo si, para cada abierto V de A la imagen f(V ) es
abierta en B.
LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología
1.4. Compacidad 13
Teorema 1.88 (de Heine-Cantor). Sean K un conjunto compacto de Rn y f una aplicación
continua de K en Rm. Entonces f es uniformemente continua en K.
Proposición 1.89 (Propiedades de separación). Sea A,B subconjuntos no vacíos de Rn.
I) x ∈ A si, y sólo si, d(x, A) = 0 .
II) La función g(x) = d(x, A) es uniformemente continua en Rn.
III) Si A,B son ambos cerrados y disjuntos entre sí, entonces la función f :Rn → R dada por
f(x) =
d(x, A)
d(x, A) + d(x, B)
es continua en Rn, f(x) = 0 si x ∈ A , y f(x) = 1 si x ∈ B.
IV) Si A,B son cerrados y disjuntos entre sí, entonces existen dos abiertos disjuntos U, V
de Rn tales que A ⊂ U y B ⊂ V .
V) Más general, si A∩B = A∩B = Ø , existen entonces dos abiertos U y V tales que A ⊆ U ,
B ⊆ V y U ∩ V = Ø .
VI) Si A,B son disjuntos, A cerrado y B compacto, entonces d(A,B) > 0. De hecho, existe
un punto b ∈ B tal que d(B,A) = d(b, A) .
Observaciones 1.90.
I) La propiedad enunciada en 1.89.III, de separación de cerrados por funciones continuas,
se conoce como Lema de Urysohn en el contexto de la Topología General.
II) En Topología se denomina espacio normal al que verifica la propiedad de separación de
cerrados 1.89.IV. En consecuencia, los espacios euclídeos (y, en general, los espacios
métricos) son normales.
1.4.1. Comentarios sobre espacios normados
Los siguientes resultados se presentan como una llamada de atención, para prevenir al
lector de la tentación de generalizar a espacios métricos cualesquiera las propiedades to-
pológicas de Rn. Esta materiaes propia de un curso de Análisis Funcional, por lo que nos
limitamos a señalar unos pocos puntos significativos. Como se puede ver, las diferencias son
motivadas por la dimensión algebraica (infinita) del espacio vectorial.
Definición 1.91. Se dice que dos normas ̺1, ̺2 definidas sobre el mismo espacio vectorial V
son equivalentes si existen constantes N,M > 0 tales que
N̺1(x) ≤ ̺2(x) ≤M̺1(x) para todo x ∈ V.
Teorema 1.92. En Rn (en general, en cualquier espacio vectorial de dimensión finita) todas
las normas son equivalentes.
Teorema 1.93 (de Riesz). Un espacio vectorial normado es de dimensión finita si, y sólo si,
todo bola cerrada es compacta.
Observaciones 1.94.
I) El teorema 1.92 implica en particular que las topologías asociadas a las distintas nor-
mas coinciden, y permite utilizar a todos los efectos, en el estudio de las propiedades
topológicas (abiertos, cerrados, etc.) y métricas (acotación, sucesiones de Cauchy, etc.),
cualquier norma; es decir, en todos los resultados enunciados anteriormente la norma
euclídea puede ser sustituida por otra cualquiera (ver ejercicio 1.9).
II) De hecho esta propiedad caracteriza los espacios de dimensión finita; es decir, en un es-
pacio normado de dimensión infinita es posible definir una nueva norma no equivalente
a la original.
III) Es inmediato que si toda bola cerrada es compacta también lo es todo cerrado y acotado.
El teorema de Riesz establece que en un espacio normado de dimensión infinita existen
conjuntos cerrados y acotados, pero no compactos.
IV) El teorema 1.73 no es válido en espacios normados X de dimensión infinita; esto es,
existen aplicaciones lineales Λ:X → R no continuas.
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
14 Tema 1. Espacios euclídeos
1.5. Conexión
El concepto que tratamos ahora generaliza la noción de intervalo en el sentido de conjunto
“sin componentes aisladas”. Para ilustrar su importancia haremos notar que el hecho de que
una función real de variable real tenga derivada nula en todo punto de un abierto no implica
que la función sea constante, a menos que su dominio de definición sea un intervalo.
En el caso de la recta este concepto tiene una fácil interpretación geométrica a partir de la
relación de orden allí definida, pero si n > 1, la imposibilidad de definir una relación de orden
en Rn que goce de las mismas propiedades hace necesario un tratamiento más minucioso.
En todo caso, en las aplicaciones usuales, es suficiente considerar conjuntos convexos o
estrellados, que definimos más adelante.
Definición 1.95. Se dice que un conjunto A de Rn es no conexo si existen dos conjuntos
abiertos U y V que verifican las siguientes propiedades:
I) A ⊂ U ∪ V .
II) A ∩ U 6= Ø, A ∩ V 6= Ø.
III) A ∩ U ∩ V = Ø.
En caso contrario, se dice que A es conexo.
Proposición 1.96. Un conjunto A de Rn es no conexo si, y sólo si, existen dos conjuntos
cerrados E y F que verifican las siguientes propiedades:
I) A ⊂ E ∪ F .
II) A ∩ E 6= Ø, A ∩ F 6= Ø.
III) A ∩ E ∩ F = Ø.
Ejemplo 1.97. Los intervalos (incluyendo en este concepto al conjunto vacío y a los conjuntos
unipuntuales) son los únicos conjuntos conexos de R. En este sentido, es útil convenir que
un intervalo de la recta es un conjunto I ⊂ R que verifica la siguiente propiedad:
“Si x, y ∈ I y x ≤ z ≤ y , entonces también z ∈ I”,
o dicho de forma más coloquial, si I contiene a dos puntos, también contiene a todos los
puntos intermedios a ellos.
Proposición 1.98. Sean E un conjunto de Rn y f una aplicación continua de E en Rm. Si A
es un subconjunto conexo de E, entonces f(A) es conexo.
Observación 1.99. Cuando el resultado anterior se aplica a funciones reales de variable real
lo que se obtiene no es otra cosa que la propiedad de Darboux.
Proposición 1.100. Sea {Ai}i∈I una familia de conjuntos conexos de Rn tales que Ai∩Aj 6= Ø
para cada par de índices i, j ∈ I . Entonces la unión ∪
i∈I
Ai es un conjunto conexo.
Corolario 1.101. Sea {Ai}i∈I una familia de conjuntos conexos de Rn tal que la intersección
∩
i∈I
Ai es no vacía. Entonces la unión ∪
i∈I
Ai es un conjunto conexo.
Corolario 1.102. Sean A ⊂ Rn y a ∈ A . Si para cada x ∈ A existe un conexo Cx tal que
{a,x} ⊂ Cx ⊂ A , entonces A es conexo.
Corolario 1.103. Sea {Ak}∞k=1 una sucesión de conjuntos conexos de Rn tales que
Ak ∩Ak+1 6= Ø para todo k ∈ N .
Entonces la unión
∞∪
k=1
Ak es un conjunto conexo.
Proposición 1.104. Sea A un conjunto conexo de Rn. Si B es un conjunto de Rn tal que
A ⊂ B ⊂ A,
entonces B es conexo. Por tanto, A es conexo si lo es A.
LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología
1.5. Conexión 15
Definición 1.105. Sean E un conjunto de Rn y x un punto de E. Llamaremos componente
conexa de E que contiene a x a la unión de todos los subconjuntos conexos de E que contienen
a x. En otras palabras, la componente conexa de E que contiene a x es el mayor conjunto
conexo contenido en E y que contiene a x.
Si A es una componente conexa de E que contiene a algún punto de E, diremos que A es
una componente conexa de E.
Proposición 1.106. Todo conjunto E ⊂ Rn es unión disjunta de sus componentes conexas.
Proposición 1.107. Si A es un subconjunto abierto de Rn las componentes conexas de A
son conjuntos abiertos.
Observación 1.108. Los dos resultados anteriores tienen una lectura muy sencilla en R:
cada abierto de la recta real es unión disjunta de intervalos abiertos.
Definición 1.109. Se dice que un subconjunto A de Rn es arco-conexo o conexo por caminos
si para cada par de puntos x, y de A, existe una aplicación continua de un intervalo compacto
de R en A, γ: [a, b]→ A, tal que
γ(a) = x y γ(b) = y.
En las condiciones anteriores, la aplicación γ recibe el nombre de arco o camino, los
puntos γ(a) y γ(b) se denominan extremos del arco, y se dice que γ une los puntos x e y.
Ejemplos 1.110.
I) Se dice que un conjunto A ⊂ Rn es estrellado respecto de un punto a ∈ A si para cada
x de A el segmento de extremos a y x está totalmente contenido en A , es decir, si se
tiene que
ta+ (1− t)x ∈ A para todo t ∈ [0, 1] .
Los conjuntos estrellados son arco-conexos.
II) Se dice que un conjunto A ⊂ Rn es convexo si para cada par de puntos x,y de A el
segmento de extremos x e y está totalmente contenido en A , es decir, si se tiene que
tx+ (1− t)y ∈ A para todo t ∈ [0, 1] .
Los conjuntos convexos son estrellados respecto de cada uno de sus puntos y, por tanto,
arco-conexos. En particular, los siguientes conjuntos son arco-conexos: Rn, los subespa-
cios afines de Rn (como rectas y planos), las bolas abiertas y las bolas cerradas (relativas
a cualquier norma).
Proposición 1.111. Todo subconjunto arco-conexo de Rn es conexo.
Observación 1.112. El recíproco de la proposición anterior no es cierto. Por ejemplo, el grafo
de la función f :R→ R dada por
f(x) =
{
sen
(
1/x
)
, x > 0,
0 , x ≤ 0,
es un conjunto conexo de R2 que no es arco-conexo.
No obstante, cuando se consideran conjuntos abiertos, se verifica la equivalencia de am-
bos conceptos, lo que proporciona una herramienta deductiva muy útil:
Proposición 1.113. Si A es un conjunto abierto y conexo de Rn, entonces A es arco-conexo.
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
16 Tema 1. Espacios euclídeos
Ejercicios
1.1 Determinar los subconjuntos de R2 tales que las relaciones:
I) z = log
( y
x2 + y2 − 1
)
II) z = log(1− x y)
III) z =
√
x cos(y)
IV) z =
√
sen
(
x2 + y2
)
V) z = log
(
x+ y2
)
VI) z =
√
1− (x2 + y2)
definen funciones (x, y) 7→ z de dichos conjuntos en R (es decir, determinar los dominios más
generales de las funciones definidas por estas expresiones).
1.2 Demostrar que el conjunto A = {(x, y, z) ∈ R3 : y2 − z2 ≥ 9, x2 + y2 ≤ 25} es acotado. ¿Lo
es el conjunto B = {(x, y, z) ∈ R3 : y2 − z2 ≥ 9}?
1.3 Probar que:
I) El conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x y > 1} es un abierto de R2.
II) El conjuntoB = {(x, y) ∈ R2 : x y ≤ 1} es un cerrado de R2.
III) El conjunto C = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ x2 + y2 ≤ 4} es un cerrado y acotado de R3.
1.4 Sea M un subespacio lineal de Rn. Probar que:
I) Si M 6= {0}, entonces M es un conjunto no acotado.
II) Si M tiene interior no vacío, entonces M = Rn.
1.5 Determinar el interior, la adherencia, el derivado y la frontera de los siguientes subcon-
juntos de R3:
I) A = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0}.
II) B = {(x, y, z) ∈ R3 : z > 0 , x2 + y2 < 1 , x2 + y2 + z2 ≤ 5}.
1.6 Sea A un subconjunto numerable de Rn.
I) Probar que el interior de A es vacío.
II) ¿Es cierto que la adherencia de A es numerable?
1.7 Sean n un número natural y α un número real estrictamente positivo. Para cada k ∈ N
se considera el conjunto
Ak =
{
(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn :
n∑
j=1
(
xj − 1
k
)2
≤ α
2
k2
}
.
I) Probar que, si
√
n ≤ α, entonces para cada k = 1, 2, . . . se tiene que Ak ⊂ A1.
II) Determinar los valores de α para los cuales el conjunto
∞∪
k=1
Ak no es un cerrado de Rn.
1.8 Sean A ⊂ Rn, B ⊂ Rm . Probar que la frontera de A×B en Rn × Rm es
Fr(A×B) =
(
Fr(A)×B
)
∪
(
A× Fr(B)
)
.
1.9 Determinar las mínimas constantes A, B, C y D para las que se verifican las siguientes
desigualdades para todo x ∈ Rn:
‖x‖ ≤ A ‖x‖1 , ‖x‖1 ≤ B ‖x‖ , ‖x‖ ≤ C ‖x‖∞ , ‖x‖∞ ≤ D ‖x‖ .
LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología
Ejercicios 17
1.10 Sea BQ la familia de todas las bolas abiertas de Rn centradas en puntos de coordenadas
racionales y de radio racional.
I) Probar que para todo abierto A de Rn, existe una subfamilia {Bi : i ∈ IA} de elementos de
BQ tal que A = ∪
i∈IA
Bi.
II) Deducir que todo conjunto E ⊂ Rn posee un subconjunto D numerable y denso en E.
III) Deducir que todo subconjunto discreto de Rn es numerable.
IV) Sea {Uλ : λ ∈ L} una familia de abiertos no vacíos de Rn tales que Uλ∩Uµ = Ø si λ 6= µ .
Probar que L es numerable.
1.11 Sea F un subconjunto cerrado de Rn. Demostrar que existe un conjunto K tal que
Fr(K) = F .
Sugerencia: Considerar un subconjunto numerable y denso en F .
1.12 Sean E ⊂ Rn y f :E → R . Demostrar que el conjunto de puntos donde f alcanza un
máximo relativo estricto es numerable.
Nota: Se dice que f tiene en x0 ∈ E un máximo relativo estricto si existe un entorno V de x0 tal
que f(x) < f(x0) para cada x ∈ V ∩ E con x 6= x0 .
1.13 Sea A un subconjunto no numerable de Rn. Mediante un razonamiento secuencial,
probar que A tiene al menos un punto de acumulación.
Sugerencia: Para algún n ∈ N ha de ser infinita la intersección A ∩B(0, n).
1.14 Sea f una función real definida en una bola B(x0, r) ⊂ R2. Probar que f tiene límite ℓ
en el punto x0 = (x0, y0) si, y sólo si, existe un número real R, 0 < R < r, tal que para todo
ρ ∈ (0, R) se tiene que
g(ρ) = sup
{∣∣f(x0 + ρ cos(θ), y0 + ρ sen(θ))− ℓ∣∣ : θ ∈ [0, 2π]} <∞ ,
y la función g: (0, R)→ [0,∞) así definida verifica que l´ım
ρ→0
g(ρ) = 0 .
1.15 Determinar, si existen, los límites de las siguientes aplicaciones en los puntos que se
indican:
I) f(x, y) =
(x− 1) + y
(x− 1)2 + (y − 1)2 , (x, y) 6= (1, 1), en el punto (1, 1).
II) f(x, y) =
(1 + x2 + y2) sen(y)
y
, y 6= 0, en el punto (0, 0).
III) f(x, y) =
|y|
x2
e
−|y|/x2 , x 6= 0, en el punto (0, 0).
IV) f(x, y) =
1− cos (√x y)
y
, x, y > 0, en el punto (0, 0).
V) f(x, y) =
1− cos (√x2 + y2)
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0).
VI) f(x, y) =
e−|x+y| − 1
|x+ y| , x+ y 6= 0, en el punto (0, 0).
VII) f(x, y) =
(
x2 + y2
)x2y2
, (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0).
VIII) f(x, y) =
x y
|x|+ |y| , (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0).
IX) f(x, y) =
( x2y
x2 + y2
, cos(x+ y)
)
, (x, y) 6= (0, 0), en el punto (0, 0).
X) f(x, y) =
(
y − 1
1 + (x− 1)2 + (y − 1)2 ,
(x− 1)(y − 1)
(x− 1)2 + (y − 1)2
)
, (x, y) 6= (1, 1), en el punto (1, 1).
XI) f(x, y) =
(
exy − 1
x
, log
(1 + xy
x
))
, x, y > 0, en el punto (0, 0).
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
18 Tema 1. Espacios euclídeos
1.16 Estudiar la existencia del límite en 0 ∈ Rn de las siguientes funciones:
I) f(x) =
sen(‖x‖)2
‖x‖2 , x 6= 0.
II) f(x) =
log(1− ‖x‖)
‖x‖2 , 0 < ‖x‖ < 1.
III) f(x) =
log(1 + x1x2 · · ·xn)
x1x2 · · ·xn , xi > 0, i = 1, 2, . . . , n.
1.17 Para cada uno de los siguientes subconjuntos S ⊆ R2:
a) S =
{
(x, y) : y = ax
}
, b) S =
{
(x, y) : y = ax2
}
, c) S = {(x, y) : y2 = ax}, d) S = R2,
hállense los siguientes límites a través del subespacio S:
l´ım
(x,y)→(0,0)
(x,y)∈S
xy
x2 + y2
, l´ım
(x,y)→(0,0)
(x,y)∈S
x2 − y2
x2 + y2
.
1.18 Si una función de Rn en R tiene el mismo límite en un punto a lo largo de cada recta
que pasa por él, ¿tiene la función límite en dicho punto?
1.19 Para las siguientes funciones f :R2 \ {(0, 0)} → R:
I) f(x, y) =
x2 + y2
x2 + y2 + (x− y)2
II) f(x, y) =
x2y2
x2 + y2 + (x− y)2
III) f(x, y) =
x2y2
x2y2 + (x− y)2
IV) f(x, y) =

sen(xy)
x
si x 6= 0,
y si x = 0
V) f(x, y) =
{
(x+ y) sen(1/x) sen(1/y) si x 6= 0 e y 6= 0,
0 si x = 0 o y = 0
VI) f(x, y) =

sen(x)− sen(y)
tg(x)− tg(y) si tg(x) 6= tg(y),
0 si tg(x) = tg(y)
VII) f(x, y) =
x2 + y2
x2 + y4
,
VIII) f(x, y) =

sen(x)− sen(y)
tg(x)− tg(y) si tg(x) 6= tg(y),
0 si tg(x) = tg(y)
determinar si existen los siguientes límites, y calcular su valor cuando proceda:
l´ım
x→0
(
l´ım
y→0
f(x, y)
)
, l´ım
y→0
(
l´ım
x→0
f(x, y)
)
, l´ım
(x,y)→(0,0)
f(x, y).
1.20 Estudiar la continuidad en (0, 0) de la función f :R2 → R definida por
f(x, y) =
 x
4 + y4
x
si x 6= 0,
0 si x = 0.
1.21 Determinar para qué valores de p es continua en (0, 0) la función f :R2 → R definida por
f(x, y) =

x2y2
(x2 + y2)p
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología
Ejercicios 19
1.22 Estudiar la continuidad en R3 de la función definida por
f(x, y, z) =

x2 y2 z
x6 + y6 + z4
si (x, y, z) 6= (0, 0, 0);
0 si (x, y, z) = (0, 0, 0).
1.23 Una función f :Rn → R se dice que es separadamente continua si para cada i = 1, 2, . . . , n,
al fijar (a1, a2, . . . , an−1) ∈ Rn−1, la función
t 7−→ f(a1, . . . , ai−1,
i)
t , ai, . . . , an−1)
es continua en R.
Pruébese que la función f :R2 → R, dada por
f(x, y) =

xy
x2 + y2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0),
es separadamente continua pero no es continua.
1.24 Estudiar la continuidad en Rn de las siguientes funciones:
I) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) =
 x1
n+1 x2 · . . . · xn
‖x‖2n si x 6= 0;
0 si x = 0.
II) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) =

x1 x2 · · ·xn
‖x‖n−1 si x 6= 0;
0 si x = 0.
III) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) =

(x1 + x2 + · · ·+ xn)n
‖x‖n−1 si x 6= 0;
0 si x = 0.
1.25 Sean b ∈ R y f :R2 → R la función dada por
f(x, y) =

x3 − y2
x2 − y si x
2 6= y;
b si x2 = y.
I) ¿En qué puntos es discontinua f?
II) Determinar el valor que debe atribuirse a b para que la restricción de f a la recta de
ecuación x+ y = 2 tenga el menor número de discontinuidades.
III) Si g denota la restricción de f al segmento que une los puntos (0, 2) y (2, 0), para el valor
de b hallado en ii), ¿es g una función acotada?
1.26 Demostrar que, si f = (f1, f2, . . . , fm) es una aplicación continua de un conjunto A ⊂ Rn
en Rm, entonces la función g:A→ R definida por
g(x) = mı´n
{
f1(x), f2(x), . . . , fm(x)
}
es continua en A.
1.27 Sean E un subconjunto de Rn, x0 ∈ Rn y B1, B2, . . . , Bm subespacios de E tales que
m∪
i=1
Bi = E y el punto x0 es de acumulación de todos los Bi, 1 ≤ i ≤ m. Sea también f :E → R.
Se supone que existe y0 ∈ R tal que
l´ım
x→x0
x∈Bi
f(x) = y0 para cada i =1, 2, . . . ,m .
Demostrar que l´ım
x→x0
f(x) = y0.
Comprobar con un contraejemplo que la conclusión del apartado anterior es falsa si se
aplica a una familia infinita de subespacios {Bi : i ∈ I} que recubra E.
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
20 Tema 1. Espacios euclídeos
1.28 Sea K un compacto de Rn contenido en la bola abierta B(0, 1). Probar que existe un
número real r, con 0 < r < 1, tal que K ⊆ B(0, r).
1.29 Sea K un compacto de Rn. Se supone que existe un número real r > 0 tal que para
cada par de elementos distintos, x e y, de K se tiene que
‖x− y‖ ≥ r.
Demostrar que K es un conjunto finito.
1.30 Demostrar que, si B es un subconjunto no compacto de Rn, existe una función continua
y no acotada f :B → R.
1.31 Sean A compacto de Rn, r > 0 y
B = ∪
x∈A
B(x, r).
Demostrar que B es compacto.
1.32 Sea A un subconjunto abierto de Rn, A 6= Rn. Fijada cualquier norma ‖ ‖ en Rn, y la
métrica d asociada, se considera, para cada m ∈ N, el conjunto
Km =
{
x ∈ A : ‖x‖ ≤ m, d(x,Rn \A) ≥ 1/m
}
.
Probar que {Km}∞m=1 es una sucesión expansiva de compactos para A, es decir, que verifica
las siguientes propiedades:
I) Km es compacto.
II) Km ⊂
◦
Km+1 para todo m ∈ N.
III)
∞∪
m=1
Km = A.
1.33 ¿Es la intersección de dos conexos de Rn un conjunto conexo?
1.34 Sean A un subconjunto no vacío de Rn con A 6= Rn, a un elemento de A y b un elemento
de Rn \ A. Si γ es una aplicación continua de [0, 1] en Rn con γ(0) = a y γ(1) = b, probar que
existe un elemento t ∈ [0, 1] tal que
γ(t) ∈ Fr(A).
1.35 Sea f :R2 → R una función continua tal que f(−1, 0) > 0 y f(1, 0) < 0. Demostrar que
existen infinitos puntos de R2 donde la función se anula.
1.36 Sea f una función continua de [0, 1] en Rn tal que ‖f(0)‖ = 1 y ‖f(1)‖ = 3. Probar que
existe un punto ξ ∈ (0, 1) tal que ‖f(ξ)‖ = 2.
1.37 Sea γ : [0, 1]→ R2, γ = (γ1, γ2), continua y tal que
γ(0) ∈ B((−5, 0), 1) y γ(1) ∈ B((5, 0), 1).
Probar que existe un punto t0 ∈ [0, 1] tal que γ1(t0) = γ2(t0).
1.38 Demostrar que el conjunto de componentes conexas de un abierto de Rn es numerable.
1.39 Sea n ≥ 2.
I) Probar que un hiperplano de Rn es cerrado y conexo, pero no compacto.
II) Demostrar que los subespacios vectoriales de Rn son cerrados y conexos.
Sugerencia: Escribir el subespacio como intersección finita de hiperplanos.
1.40 Sea f : Rn → Rm una aplicación continua. Demostrar que su grafo
G(f) =
{(
x,f(x)
) ∈ Rn+m : x ∈ Rn}
es un subconjunto cerrado y conexo de Rn+m.
LATV Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología
Ejercicios 21
1.41 Sea L una aplicación lineal de Rn en R no idénticamente nula.
I) Probar que no es conexo el conjunto Rn \Ker(L).
II) ¿Cuántas componentes conexas tiene este conjunto?
1.42 Sean A un conjunto conexo de Rn y a, b dos elementos distintos de A. Si r = ‖a− b‖,
demostrar que para cada número real δ, con 0 < δ < r, el conjunto
A ∩ {x ∈ Rn : ‖x− a‖ = δ}
es no vacío. Deducir que los subconjuntos conexos de Rn que constan de más de un punto
son no numerables.
1.43 Sea
{
rx
}
x∈R
una familia de números reales estrictamente positivos. Demostrar que el
conjunto
A = ∪
x∈R
B
(
(x, 0), rx
)
es conexo en R2. ¿Es compacto?
Estúdiese la misma cuestión para el conjunto
B = ∪
n∈Z
B
(
(n, 0), rn
)
.
1.44 Sea f un homeomorfismo de [0, 1] en sí mismo. Probar que f , o bien deja fijos los
extremos, o bien los intercambia.
1.45 Sean A ( Rn, B ( Rm . Probar que el complementario de A×B en Rn × Rm es conexo.
1.46 Sea A un subconjunto denso de la recta real. Probar que el conjunto
B = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ A ó y ∈ A}
es un subconjunto denso y conexo de R2.
1.47 Demostrar que no son homeomorfos entre sí dos cualesquiera de los siguientes con-
juntos (en todos que se considera la topología usual):
1) R 2) [0, 1] 3) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}
4) R2 5) [0, 1]× [0, 1] .
Sugerencia: Comparar las propiedades de compacidad y conexión de estos conjuntos o de alguno de
sus subconjuntos.
1.48 Sean A ⊂ Rn, B ⊂ Rm conjuntos no vacíos. Probar que es condición necesaria y sufi-
ciente para que A×B sea, respectivamente:
I) abierto,
II) cerrado,
III) acotado,
IV) compacto,
V) conexo,
en Rn × Rm ≃ Rm+n, que así lo sean cada uno de los factores A y B.
1.49 Sean A ⊂ Rn, B ⊂ Rm conjuntos no vacíos, f :A → R, g:B → R . El producto tensorial
de las funciones f y g es la función, denotada por f ⊗ g, y definida en A×B por
f ⊗ g (x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym) = f(x1, x2, . . . , xn) g(y1, y2, . . . , ym) ,
Si f es continua en a ∈ A y g es continua en b ∈ B, probar que f ⊗ g es continua en el punto
c =
(
a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bm) ∈ A×B.
UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
22 Tema 1. Espacios euclídeos
Nota: Análogamente se define el producto tensorial de una cantidad finita funciones. Así, por
ejemplo, si para cada i = 1, 2, . . . , n se tiene definida fi:Ai → R, donde Ai es un subconjunto
de R, el producto tensorial de las funciones fi es la función g = f1 ⊗ f2 ⊗ · · · ⊗ fn, definida en
A1 ×A2 × · · · ×An por g(x1, x2, . . . , xn) = f1(x1) f2(x2) · · · fn(xn), i.e.,
(f1 ⊗ f2 ⊗ · · · ⊗ fn)(x) =
n∏
i=1
(fi ◦ πi)(x)
(en esta situación también se dice que la función g es de variables separadas). Aplicando re-
currentemente el resultado anterior se deduce que si fi es continua en ci ∈ Ai, i = 1, 2, . . . , n,
entonces g es continua en el punto c = (c1, c2, . . . , cn) ∈ A.
1.50 Sean A ⊂ Rn, B ⊂ Rm conjuntos no vacíos, f :A→ R, g:B → R .
I) Si f y g son uniformemente continuas en sus respectivos dominios ¿se puede asegurar
que f ⊗ g es uniformemente continua en A×B?
II) Pongamos que f y g alcanzan un extremo local en x0 ∈ A, y0 ∈ B, respectivamente. ¿se
puede asegurar que f ⊗ g alcanza un extremo local en (x0,y0)?
III) Supongamos que A y B son compactos y f y g continuas. ¿existe alguna relación entre
los extremos absolutos de f ⊗ g y los de f y g?
Tema 2
Cálculo diferencial
La idea fundamental de todo el Cálculo Diferencial es sencilla: tratar de obtener propieda-
des sobre objetos (en la práctica, funciones) que, sin ser lineales, admiten una cierta “apro-
ximación lineal”. Esta idea queda diluida en el caso de funciones de una variable real por el
hecho de que la existencia de tal aproximación equivale a que los cocientes incrementales de
la función tengan límite, esto es, que se pueda hablar de “velocidad”, “tasa de crecimiento”,
etc., según el contexto o la disciplina científica en que se use.
La presentación actual de esta materia difiere bastante de su desarrollo histórico, paralelo
al de la Física Matemática, y cuyo germen se puede situar en el uso de derivadas parciales
por Euler, D’Alembert, etc. en el siglo XVIII, en el que la continuidad era concebida como
una propiedad mucho más fuerte que como se entiende hoy en día, implicando entonces la
derivabilidad. Este fundamento casi filosófico, y que prevaleció durante largo tiempo, está
recogido en la frase de Leibniz “Natura non facit saltus” (la Naturaleza no da saltos).
A pesar de que el tratamiento es el mismo para cualquier dimensión n del espacio euclídeo,
para la correcta asimilación y mejor aprovechamiento de la materia que se contempla en este
tema, será necesario haber adquirido un sólido conocimiento de los conceptos básicos sobre
funciones de una variable real y cierta destreza en su cálculo. Por supuesto, todo lo que
se afirme en general (para dimensión arbitraria n) tiene su correspondiente versión en una
variable, con la que ya debe estar familiarizado el lector. Pero no recíprocamente; por ejemplo,
cuando n > 1 hemos de distinguir entre las nociones de “derivabilidad” y “diferenciabilidad”,
coincidentes en el caso n = 1.
2.1. Derivabilidad y diferenciabilidad
Cuando se consideran aplicaciones definidas en abiertos de Rn, n > 1, carece de sentido
considerar cocientes incrementales

Otros materiales