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Cálculo 3 Virginio Gómez
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CÁLCULO I I I
D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A S
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Departamento de Ciencias Básicas
INTRODUCCION
Los contenidos que se imparten en este curso están directamente relacionados con temas de la especialidad de la
carrera Ingeniería E Electrónica. Por tanto es fundamental que el alumno al finalizar este curso se encuentre ena b
condiciones de operar, analizar y aplicar los conceptos entregados de modo tal que desarrolle características que le
permitan una correcta resolución de problemas asociados a sistemas eléctricos y de telecomunicaciones. Por
ejemplo el concepto de series es de vital importancia en un mundo digital en expansión en el cual nos encontramos
ya sea en televisión digital, fotografía digital o áreas de investigación científica como la halografía, la tomografía y
la espectografía las cuales dependen en gran medida de las series infinitas. Así también, los conceptos de derivada
de funciones multivariables, integrales dobles y triples , la obtención de volúmenes en sus diferentes sistemas son
todos conceptos aplicables a asignatura de ondas electromagnéticas; de la misma forma los campos vectoriales
asociados a los campos eléctricos y campos magnéticos. Considerando lo anterior es posible entender la importancia
de los contenidos de este curso los cuáles son una herramienta necesaria para enfrentar con éxito futuros desafíos ya
sea en asignaturas posteriores como en el mundo laboral.
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1
I N D I C E
Pág.
I SUCESIONES Y SERIES
Sucesiones ...........................................................................................................
Límite de una sucesión .........................................................................................
Serie ....................................................................................................................
Serie geométrica ..................................................................................................
Serie p o hipergeométrica ...................................................................................
Teoremas sobre series ........................................................................................
Criterio para establecer la convergencia de serie:
criterio de comparación ..................................................................
criterio de la integral .....................................................................
criterio de la serie alterna ...............................................................
criterio de la razón .......................................................................
Serie de potencias ................................................................................................
Serie de Taylor ...................................................................................................
Serie de Fourier ..................................................................................................
3
4
7
8
9
11
13
16
19
23
26
30
35
II FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Funciones de más de una variable ......................................................................
Dominio de funciones de dos variables ...............................................................
55
56
III DERIVADAS PARCIALES
Derivadas parciales ..................................................................................
Derivación implícita ...........................................................................................
Regla de la cadena ...........................................................................................
Aplicaciones de las regla de cadena:
problemas con enunciado ................................................................
demostraciones ..............................................................................
Derivada direccional .........................................................................................
Gradientes .........................................................................................................
Derivadas parciales de orden superior .................................................................
Máximos y mínimos para funciones de varias variables ....................................
Hessiano de una función de dos variables ..........................................................
Criterio de la segunda derivada ..........................................................................
Multiplicadores de Lagrange ..............................................................................
60
65
68
75
79
82
86
90
93
94
94
97
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2
IV INTEGRACION MULTIPLE
Gráfico en ‘ 3 : ....................................................................................................
planos ...................................................................................... ....
esfera ...........................................................................................
cilindro ...........................................................................................
cono ..............................................................................................
paraboloide ....................................................................................
Integrales dobles ....................................................................................................
Propiedades de la integral dobles .......................................................................
Aplicaciones de la integral doble:
cálculo de áreas en el plano ...........................................................
determinar el valor de la región ‘ .................................................
cálculo de volúmenes .....................................................................
Integrales Triples ...............................................................................................
Cálculo de volúmenes .........................................................................................
Coordenadas cilíndricas .....................................................................................
Coordenadas esféricas ........................................................................................
102
102
107
108
109
111
112
115
119
124
129
133
137
144
149
V
CAMPOS VECTORIALES
Campos vectoriales ............................................................................................
campo vectorial conservativo ............................................................
campo vectorial conservativo en el plano .........................................
Rotacional ..........................................................................................................Campo vectorial conservativo en el espacio ......................................................
Integral de trayectoria .......................................................................................
Integrales de línea .............................................................................................
Teorema de Green ...........................................................................................
157
158
158
162
162
167
168
172
Teorema de Stokes ............................................................................................
Teorema de divergencia de Gauss .......................................................................
178
183
VI AUTOEVALUACIONES ................................................................................. 190
VII BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................. 208
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Sucesiones
: Una sucesión o secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de los númerosConcepto
naturales a b ™œ
Si el n-ésimo elemento de una sucesión se designa por , entonces una sucesión es el+ œ 0 88 a b
conjunto de parejas ordenadas de la forma , donde a ba b8 0 8 8 −
Ejemplo:
1) Si ,
2
)( += n
nnf entonces:
n 1 2 3 4 5 ... n
)(nf
3
1
2
1
5
3
3
2
7
5
...
2+n
n
Los pares ordenados serán:
...;
2
,...
7
5,5;
3
2,4;
3
1,3;
2
1,2;
3
1,1
+
n
nn
Como el dominio de toda sucesión es siempre , es usual usar la
notación { } { }nanf =)( para representarla.
En el ejemplo
{ } { }nanf =)( = { },...,...,,,,, 54321 naaaaaa
{ }
+=
+= ...,2...,,7
5,
3
2,
5
3,
2
1,
3
1
2
)(
n
n
n
nnf
2) si es impar si es par0 8 œ
" 8
$ 8a b œ
œ œ a b0 8 œ "ß $ß "ß $ß "ß $ß "ß $ß ÞÞÞ
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Concepto de Límite de una Sucesión
{ }
Lan
n
Lna
MnLnaM
=
∞→
><−>>
lim
:por denota sey es sucesión la de límite el que dice se
entonces , que siempre talque0 existe 0 para Si εε
Si el límite de la sucesión existe se dice que la sucesión es convergente CV
y si no existe se dice que la sucesión es divergente DV.
Límite de una Sucesión
Sea )(xfy = una función real definida ∈∀ x ™ + con lim Lxf =)( ,
∞→x
entonces si { }na es una sucesión tal que )( ∈∀= xanf n se tiene que
lim Lna =
∞→n
Ejemplos À
Determinar si la sucesión es CV o DV
1) œ 88 #
0 B œ H970 B œ Ö # ×BB #a b a b ‘
™ ‘ © Ö # ×
lim lim limB Ä _ B Ä_ B Ä_
B "
B # œ œ œ "
B
B
B # #
B B B "
Por lo tanto, , luego la sucesión es CV.lim8 Ä _
8
8 # œ "
2) œ " &8#8 %8$$
0 B œ H970 B œ Ö! ×" &B#B %Ba b a b$$ ‘
™ ‘ © Ö!×
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lim lim limB Ä _ B Ä_ B Ä_
" &B &
#B %B #œ œ œ
" &B "
B B B &
#B %B
B B
# %B
$
$
$ $ $
$
$
$ $ #
Por lo tanto, , luego la sucesión es CV.lim8 Ä _
" &8 &
#8 %8 #œ
$
$
3) œ Š ‹8 † =/8 81
0 B œ B † =/8 H970 B œ Ö! ×Ba b a bŠ ‹1 ‘
™ ‘ © Ö!×
limB Ä _ B † =/8 œ _ † !BŠ ‹1
œ B Ä _
=/8 B
"
B
lim
Š ‹1
œ !!
œ P LB Ä _
-9=B B
"B
w #
#
lim
1 1Š ‹
œ B Ä _
-9= B
"lim
1 1Š ‹
œ 1
Por lo tanto, , luego la sucesión CV.lim8 Ä _ 8 † =/8 œ8Š ‹1 1
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Teorema: Si { }na y { }nb y son sucesiones CV y es c un número, entonces:
a) La sucesión { }c tiene como límite c
b) lim ⋅=⋅ cac n lim na
∞→n ∞→n
c) lim =± )( nn ba lim na ± lim nb
∞→n ∞→n ∞→n
d) lim =⋅ nn ba lim ⋅na lim nb
∞→n ∞→n ∞→n
e) ∞→n
lim na
nb
=
n
n
n
n
b
a
∞→
∞→
lim
lim
si 0lim ≠∞→ nn b
Ejercicios
Determine si la sucesión CV o DV
a) b) c) œ œ œ 8 " #8 " 8 "#8 " $8 " 8# ##
d) e) f) œ œ œ È$8 / "#8 8 88 8 " 8$# #
Solución
a) CV b) CV
c) DV d) DV
e) DV f) DV
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Series
Concepto de Series Infinitas
Si { }na es una sucesión infinita, entonces :
......321
1
+++++=∑∞
=
n
n
n aaaaa
se llama serie infinita o simplemente serie. Los números ,...321 ,...,,, naaaa
se llaman términos de la serie infinita.
Sea la siguiente sucesión de sumas parciales
nn aaaaS
aaaS
aaS
aS
++++=
++=
+=
=
L
M
321
3213
212
11
Si { } { }nn SSSSS ,,,, 321 L= converge, entonces la serie ∑∞
=1n
na converge.
Concepto de convergencia o divergencia de series infinitas
Sea una serie infinita dada y sea la sucesión de sumas parciales." œ
8 œ "
_
+ W8 8
Si existe y es igual a , entonces la serie dada es CV y S es la suma de la serielim8 Ä _ W W8 convergente a b
y si no existe, entonces la serie dada es DV y la serie no tiene suma.lim8 Ä _ W8 divergente a b
Teorema : Si la serie ∑∞
=1n
na es CV, entonces
Teorema : Si , entonces la serie dada ∑∞
=1n
na es DV.
0lim =∞→ nn
a
0lim ≠∞→ nn
a
Para determinar la CV o DV de series es necesario conocer algunas series especiales como así
mismo algunos criterios de convergencia de series, pues los dos teoremas antes mencionados no establecen
bajo que condiciones una serie dada CV o DV.
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Serie Geométrica
La serie
Primer término
0con 32
0
≠+⋅++⋅+⋅+⋅+=⋅∑∞
=
ararararaara n
n
n LL
razón
razón la es y minoprimer tér el es donde geométrica serie denomina Se ra
Teorema À + † < < W œ
8 œ !
_
8 +
" <La serie geométrica de razón converge a si, y sólo si,
"
y diverge si, y sólo si, ¸ ¸ ¸ ¸< " < "
Ejemplos
Determine si las series son CV o DV
+Ñ œ < œ "
8 œ ! 8 œ !
_ _" " "
# # #8
8" " Œ
Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ #"
" "#
,Ñ < œ "
8 œ !
_ & &
% %
8" Œ
Por lo tanto, la serie DV.
-Ñ < œ "
8 œ !
_ " "
# #
8" Œ
Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ" #
" "#
$
.Ñ # † < œ "
8 œ !
_ # #
$ $
8" Œ
Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ# '
" #$
&
Por lo tanto, la serie DV./Ñ $ † < œ "
8 œ !
_ ' '
& &
8" Œ
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Serie p o serie Hiperarmónica
0con serie llama se
1
3
1
2
111 serie La
1
>
+++++=∑∞
=
pp
nn pppn p
LL
.armónica serie denomina se
1
3
1
2
111 serie la entonces ,1 Si
1
LL +++++== ∑∞
= nn
p
n
La serie es si, y sólo si, y es si, y Teorema convergente divergenteÀ : : "
8 œ "
_ "
8:
"
sólo si, ! : Ÿ "
Ejemplos
Determine si las series son CV o DV
Por lo tanto, la serie DV+Ñ : œ "
8 œ "
_ "
8
"
Por lo tanto, la serie CV,Ñ : œ $
8 œ "
_ "
8
" $
Por lo tanto, la serie DV-Ñ : œ
8 œ "
_ " "
8 $
"
"Î$
Por lo tanto, la serie CV.Ñ : œ
8 œ "
_ "
8
" 1 1
Por lo tanto, la serie CV/Ñ : œ
8 œ "
_ " %
8 $
" È$ %
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Ejercicios
I Decida si las siguientes series geométricas CV. o DV.
"Ñ #Ñ $Ñ #
8 œ ! 8 œ !
_ _ _% ( )
# $ &8 8 œ !
8 8" " "Œ Œ
G
%Ñ &Ñ Ð #&Ñ 'Ñ
8 œ ! 8 œ ! 8 œ !
_ _ _$ &'
Ð ""Ñ $8
8 8" " " a b
II Decida si las siguientes series CV. o DV.:
"Ñ #Ñ $Ñ
8 œ " 8 œ " 8 œ "
_ _ _" $ #
"&8 8"& 8%Î*
" " "
%Ñ &Ñ 'Ñ
8 œ " 8 œ " 8 œ "
_ _ _# % (
8& 8 8&Î) "#Î&
" " "
Solución
I
1) la serie CV 2) , la serie DV< œ ß < œ " (# $
3) la serie DV 4) la serie CV< œ ß < œ ß) "& ""
5) la serie DV 6) la serie DV< œ #&ß < œ &' ß
II
1) la serie DV 2) la serie CV: œ " ß : œ "& ß
3) la serie DV 4) la serie CV: œ ß : œ &ß%*
5) la serie DV 6) la serie CV: œ ß : œ ß& "#) &
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Teoremas sobre Series
: Si y son dos series infinitas que difieren solamente en un númeroTeorema 1 " "
8 œ " 8 œ "
_ _
+ ,8 8
finito de términos, entonces ambas series CV o ambas series DV.
: Determine si la serie es CV o DVEjemplo "
8 œ "
_ "
8 "
y"
8 œ "
_ " " " " " "
8 " # $ % & 8 "œ ÞÞÞ ÞÞÞ
"
8 œ "
_ " " " " " "
8 # $ % & 8œ " ÞÞÞ ÞÞÞ
La serie equivale a la serie armónica, pero con un término menos. Como "
8 œ "
_ "
8 "
es DV, entonces es también DV.! "
8 œ "
_ " "
8 8 "8 œ "
_
: Sea una constante no nula:Teorema 2 -
a) Si es CV y su suma es , entonces es CV y su" " "
8 œ " 8 œ " 8 œ "
_ _ _
+ W - † + œ - † +8 8 8
suma es -WÞ
b) Si es DV, entonces DV." "
8 œ " 8 œ "
_ _
, - † ,8 8
:Ejemplo
1) " " "
8 œ " 8 œ " 8 œ "
_ _ _# " "
$ $ $8 8 8œ # † œ # †
es serie geométrica con y por lo tanto CV."
8 œ "
_ " "
$ $8 < œ
Así, es CV."
8 œ "
_ #
$8
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2) " "È È8 œ " 8 œ "
_ _# # "
$ 8 8
œ †$
es serie con y por lo tanto DV." È8 œ "
_ " "
8
: : œ #
Así, es DV. " È8 œ "
_ #
$ 8
: Si y son series CV cuyas sumas, respectivamente, son A y B,Teorema3 " "
8 œ " 8 œ "
_ _
+ ,8 8
entonces:
a) es CV y su suma es A B" a b
8 œ "
_
+ , 8 8
b) es CV y su resta es A B" a b
8 œ "
_
+ , 8 8
:Ejemplo
" " "Œ
8 œ " 8 œ " 8 œ "
_ _ _" $ " $
# & # &8 8 8 8 œ
es CV y su suma es "
8 œ "
_ "
#8 "
es CV y su suma es "
8 œ "
_ $ $
& %8
Luego, es CV y su suma es " Œ
8 œ "
_ " $ (
# & %8 8
: Si es una serie CV y es una serie DV, entoncesTeorema 4 " "
8 œ " 8 œ "
_ _
+ ,8 8
es DV." a b
8 œ "
_
+ „ ,8 8
:Ejemplo
" " "Œ
8 œ " 8 œ " 8 œ "
_ _ _& # & #
) *8 ) *88 8 œ
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es una serie geométrica con y por lo tanto CV"
8 œ "
_ & "
) )8 < œ
es una serie con y por lo tanto DV"
8 œ "
_ # "
* 8† : : œ "
Luego, es DV." Œ
8 œ "
_ & #
) *88
Criterios para establecer la convergencia de series infinitas
A.- Criterio de comparación
Sea ∑∞
=1n
na una serie de términos positivos:
a) Si ∑∞
=1n
nb es una serie de términos positivos que es CV y ∈∀≤ nba nn , entonces
∑∞
=1n
na es CV.
b) Si ∑∞
=1n
nb es una serie de términos positivos que es DV y ∈∀≥ nba nn , entonces
∑∞
=1n
na es DV
: Determine si la serie CV o DV.Ejemplos
"Ñ
8 œ "
_ "
&8 "
"
&8 " Ÿ '8 a8 −
" "
&8 " '8
serie armónica y por lo tanto DV" "
8 œ " 8 œ "
_ _" " "
'8 ' 8œ †
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Luego, es DV"
8 œ "
_ "
&8 "
#Ñ
8 œ "
_ "
8 %
" #
8 % 8 a8 −# #
" "
8 % 8Ÿ# #
serie con y por lo tanto CV"
8 œ "
_ "
8 : : œ ##
Luego, es CV."
8 œ "
_ "
8 %#
$Ñ
8 œ "
_ 8
8 "
" #
8 8 "8 " #8
" " "# #
# # "& %
$ $ ""! '
% % ""( )
& & "#' "!
#
8 "
8 " #8 #
serie armónica y por lo tanto DV" "
8 œ " 8 œ "
_ _" " "
#8 # 8œ †
Luego, es DV."
8 œ "
_ 8
8 "#
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Ejercicios
Decida si la serie CV. o DV.
"Ñ #Ñ
8 œ " 8 œ "
_ _" "
8 ($ % $8
" "
$Ñ %Ñ
8 œ " 8 œ "
_ _" "
8 # $8 "#
" "
&Ñ
8 œ "
_ "
8 %
" È
Solución
1) CV 2) CV
3) DV 4) CV
5) DV
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B) Criterio de la Integral de Cauchy
Sea )(xfy = una función continua, positiva, decreciente y definida 1≥∀ x , entonces la
serie ∑∞
=1n
na es CV si la integral impropia ∫
∞+
1
)( dxxf es CV y la
serie ∑∞
=1n
na es DV si la integral impropia ∫
∞+
1
)( dxxf es DV .
:Ejemplos
Determinar si la serie CV o DV.
"Ñ 8 † /
8 œ "
_
8"
es decreciente, positiva y definida 0 B œ B † / 0 B a B "Ba b a b
( (
" "
_
,Ä_
B † / .B œ B † / .BB B
,
lim
( B † / .BB
? œ B Ê .? œ .B .@ œ / .B Ê @ œ /B B
( (B † / .B œ B/ / .BB B B
œ B/ / GB B
œ G B "/B
lim lim
,Ä_ ,Ä_"
"
( º, B † / .B œB B "/B ,
œ , " " "/ /lim,Ä_ ,
œ , " #/ /lim,Ä_ ,
œ P L " #/ /
w
,Ä_ ,Œ lim
œ #/
Por lo tanto, CV a Luego la serie es CV. ( "
"
_
B † / .B Þ 8 † /B 8#/ 8 œ "
_
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#Ñ
8 œ "
_ E<->1 8
8 "
" #
es decreciente, positiva y definida 0 B œ 0 B a B "E<->1 BB "a b a b#
( (
" "
_
# #,Ä_
E<->1 B E<->1 B
B " B ".B œ .B
,
lim
( E<->1 B "B " " B.B ? œ E<->1 B Ê .? œ .B# #
( (E<->1 BB " .B œ ?.?#
œ G?#
#
œ GE<->1 B#
a b#
lim lim
,Ä_ ,Ä_" #
#
"
( a b º, E<->1 B E<->1 BB " #.B œ ,
œ E<->1 , E<->1 "# #lim,Ä_
# #a b a b
œ ) $#
1 1# #
œ $$#
1#
Por lo tanto, CV a Luego la serie es CV.( "
"
_
# #
#E<->1 B $ E<->1 8
B " $# 8 ".B Þ 8 œ "
_1
$Ñ
8 œ "
_ "
8 " 68 8 "
" a b a bÈ
es decreciente, positiva y definida 0 B œ 0 B a B ""
B " 68 B "
a b a ba b a bÈ
( (a b a b a b a bÈ È" "_ ,Ä_" "B " 68 B " B " 68 B ".B œ .B,lim
( a b a bÈ"B " 68 B " .B
? œ 68 B " Ê .? œ .B"B "a b
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( (a b a bÈ È" "B " 68 B " .B œ .??
œ ? .?( "#
œ # ? GÈ
œ # 68 B " GÈ a b
lim lim
,Ä_ ,Ä_" "
( a b a bÈ È a b º, "B " 68 B " .B œ # 68 B " ,
œ # 68 , " # 68#lim
,Ä_
È a b È
œ _ # 68#È
œ _
Por lo tanto, DV Luego la serie( a b a bÈ"_ "B " 68 B " .B Þ
es DV." a b a bÈ8 œ "
_ "
8 " 68 8 "
Ejercicios
Determine si la serie CV o DV.
"Ñ #Ñ $Ñ
8 œ " 8 œ " 8 œ #
_ _ _" 8 "
#8 "
#
8 #$ 8 688
" " " a b #
%Ñ &Ñ
8 œ " 8 œ "
_ _/ ""Î8
8 #8 "
" " È #
Solución
1) DV 2) DV 3) CV
4) CV 5) DV
V
IR
G
IN
IO
G
O
M
E
Z
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19
Series infinitas de términos positivos y negativos
Concepto: Si ∈∀> nan 0 , entonces:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
aaaaaaa
aaaaaaa
⋅−−−+−+−=⋅−
⋅−++−+−+−=⋅−
++∞
=
∞
=
∑
∑
1
54321
1
1
54321
1
)1( )1(
y
)1( )1(
L
L
Se denominan series alternas o series alternantes.
:Ejemplos
"Ñ " † œ ÞÞÞ " †
8 œ "
_
8 8" " " " " "
8 " # $ % & 8 "
" a b a b
#Ñ " † œ " ÞÞÞ " †
8 œ "
_
8 " 8 "" " " " " "
8 # $ % & 8
" a b a b
C.- Criterio de la serie alterna
Si ∈∀> nan 0 , entonces las series alternas nn
n
a⋅−∑∞
=1
)1( y
n
n
n
a⋅− +
∞
=
∑ 1
1
)1( convergen si, y sólo si:
a) ∈∀<< + naa nn 10
b) lim 0=na
∞→n
V
IR
G
IN
IO
G
O
M
E
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20
:Ejemplos
Determine si la serie CV o DV.
"Ñ " †
8 œ "
_
8 "
$8
" a b
+ œ + œ8 "
" "
$ 8 " $88a b
+Ñ a8 −" "$8 $ $8
,Ñ œ !"$8lim8Ä_
Por lo tanto, la serie CV.
#Ñ " †
8 œ "
_
8 " "
8 "
" a b #
+ œ + œ8 "
" "
8 " " 8 8 "a b# #
+Ñ a8 −" "8 #8 # 8 "# #
Por lo tanto, la serie CV.,Ñ œ !"8 "lim8Ä_ #
:Teorema
a) Una serie o se dice que es" "a b a b
8 œ " 8 œ "
_ _
" † + " † +8 8 "8 8
CVA si la serie es CV.Absolutamente Convergente a b "
8 œ "
_
+8
b) Una serie o se dice que es" "a b a b
8 œ " 8 œ "
_ _
" † + " † +8 8 "8 8
CVC si la serie es DV.Condicionalmente Convergente a b "
8 œ "
_
+8
V
IR
G
IN
IO
G
O
M
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21
:Ejemplos
"Ñ " †
8 œ "
_
8 &
%8
" a b
+ œ + œ8 "
& &
%8 " 8 %8
+Ñ a8 −& &
%8 " %8
,Ñ œ !&%8lim8Ä_
La serie es CV." a b
8 œ "
_
" †8 &%8
es una serie geométrica con y por lo tanto, CV" " Œ
8 œ " 8 œ "
_ _& " "
% % %8 œ & † < œ
8
Luego la serie CVA" a b
8 œ "
_
" †8 &%8
#Ñ " †
8 œ "
_
8 " "
8
" a b È
+ œ + œ8 "
" "
8 " 8 8È È
+Ñ a8 −" "
8 " 8È È
,Ñ œ !"
8
lim
8Ä_ È
La serie es CV." a b È8 œ "
_
" †8 " "
8
es una serie con y por lo tanto, DV" "È8 œ " 8 œ "
_ _" " "
8
œ : : œ
8 #"#
Luego la serie CVC" a b È8 œ "
_
" †8 " "
8
V
IR
G
IN
IO
G
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22
Ejercicios
Usando criterio de la serie alterna, indique si la serie CV. o DV. En caso de ser CV. decida,
además, si es CVA. o CVC.
"Ñ Ð "Ñ † #Ñ Ð "Ñ †
8 œ " 8 œ "
_ _
8 " 8
8 " 8 "#
" " 1 1
$Ñ Ð "Ñ † %Ñ Ð "Ñ †
8 œ " 8 œ #
_ _
8 8 "
Ð8 "Ñ 8 "# $
" " 1 1
&Ñ Ð "Ñ † 'Ñ Ð "Ñ †
8 œ " 8 œ "
_ _
8 " 8 "
8 8 $8 "
" "È 1 1
Solución
1) CVC 2) CVA 3) CVA
4) CVA 5) CVA 6) CVC
V
IR
G
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23
D.- Criterio de la Razón o Criterio de D'Alambert
Sea ∑∞
=1n
na una serie infinita donde : 0≠na
y ρ=+
∞→ n
n
a
a
n
1lim
entonces:
a) cuando 1<ρ , la serie CVA.
b) cuando 1>ρ , la serie DV.
c) cuando 1=ρ el criterio no da información.
Ejemplos:
Determine si la serie CV o DV.
!
"Ñ
8 œ "
_ $8 "
8
"
!
!
!
!º º º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a b a b+8 "+ $ † $ 8 "8 œ œ † œ
$8 #
8 "
$8 "
8
$ † $ † $ 8 $8
8 " † 8 8
lim
8Ä_
$
8 " œ ! "
Por lo tanto, CV
!
"
8 œ "
_ $8 "
8
!#Ñ " †
8 œ "
_
8 #8
8
" a b a b
!
!
!
!º º º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a b
a b a b a b a b a b+8 "+ #88 œ œ †
#8 #
8 "
#8
8
#8 # † #8 " † #8 8
8 "
œ %8 '8 #88 "
$ #
V
IR
G
IN
IO
G
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24
lim lim
8Ä_ 8Ä_
$ #
$ #
%8 '8 #8
8 " œ
% ' #8 8 88 8 8
8 "
8 8
œ %8 '8 #
" "8
lim
8Ä_
#
œ _"
œ _ "
Por lo tanto, DV.
!" a b a b
8 œ "
_
" †8 #88
$Ñ " †
8 œ "
_
8 #8
8
" a b $
º º º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a b+8 "
+8
œ œ †
#8 "
8 "
#8
8
# † # 88
8 " #
8
$
$
$
Š ‹$
œ #88 $8 $8 "
$
$ #
lim lim
8Ä_ 8Ä_
$
$ #
$
$
$ #
$ $ $ $
#8
8 $8 $8 " œ
#88
8 8 8 "
8 8 8 8 $ $
œ #
" $ $ "8 8 8
lim
8Ä_
# $
œ # "
Por lo tanto, DV." a b
8 œ "
_
" †8 #
8
8$
%Ñ " †
8 œ "
_
8 8 #
&8
" a b
º º º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
+8 "
+ & † & 8 # &8 "!8
œ œ † œ
8 $
&8 "
8 #
&8
8 $ & 8 $
8
8
V
IR
G
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lim lim
8Ä_ 8Ä_
w8 $ " "
&8 "! & &œ P L œ "
Por lo tanto, CVA." a b
8 œ "
_
" †8 8 #&8
Ejercicios
Determine si la serie CV o DV.
"Ñ #Ñ Ð "Ñ
8 œ ! 8 œ "
_ _8 " x &
# #8 x8
8 8" "a b a b
$Ñ Ð "Ñ %Ñ
8 œ " 8 œ "
_ _
8 8 x 8
8 $ $ 8 "8 8
#" "a b a b
&Ñ Ð "Ñ
8 œ "
_
8 "
Ð#8 "Ñx
"
Solución
1) DV 2) CVA 3) DV
4) CV 5) CVA
V
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G
IN
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G
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26
Serie de Potencias
Concepto: Una serie de potencias en ax − es una serie de la forma :
variable.es , númerosson y
)(
0
)(3)(3
2)(2)(10
xaib
nax
n
nb
naxnbaxbaxbaxbb −∑
∞
==−++−+−+−+ L
Si x es un número particular, entonces ax − se transforma en un número
y nax
n
nb )(
0
−∑∞= es una serie infinita de términos constantes.
Si 0=a , entonces se obtiene la siguiente serie
nxnbxbxbxbb
nx
n
nb +++++=∑
∞
= L
3
3
2
2100
Es importante conocer los intervalos de convergencia o divergencia de una serie de potencias.
Como aparece la variable , entonces una serie de potencias es una función B 0 B œ , B +
8 œ !
_
8 8a b a b"
donde el dominio de la función es el intervalo de convergencia de la serie. Para ello se utiliza el Criterio de
la Razón y se resuelve la inecuación , además se debe hacer el análisis de los extremos.3 "
:Ejemplos
Determine el intervalo de convergenciade las siguientes series de potencias
"Ñ " †
8 œ "
_
8 " # † B "8 8
8 † $8
" a b a b
º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a ba ba b+8 "+8 œ
# † B "8 " 8 "
8 " † $8 "
# † B "8 8
8 † $8
œ †# † # † B " † B " 8 † $
8 8 8
8 " † $ † $8 # † B "8 8º ºa b a ba b a b
œ † † B "# 8$ 8 "
¸ ¸
lim lim
8Ä_ 8Ä_
# 8 # 8
$ 8 " $ 8 "† † B " œ † B "
¸ ¸ ¸ ¸
œ P L † B "# "$ "
w
8Ä_
¸ ¸ lim
œ † B "#$
¸ ¸
V
IR
G
IN
IO
G
O
M
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# #
$ $† B " " Í " ÐB "Ñ "
¸ ¸
Í B " $ $# #
Í B & "# #
Análisis de los extremos
Para B œ &#
" "a b a bΠa b a b
8 œ " 8 œ "
_ _
" † œ " †8 " 8 "
# † 8 $#
8
8 † $ 8 † $8 8
# †8 " $
8 8
#8
œ " †
8 œ "
_
8 " "
8
" a b#
œ
8 œ "
_ "
8
"
Pero, es la serie armónica y por lo tanto DV."
8 œ "
_ "
8
Para B œ "#
" "a b a bŒ
8 œ " 8 œ "
_ _
" † œ " †8 " 8 "
# †8 $#
8
8 † $ 8 † $8 8
# †8 $
8
#8
œ " †
8 œ "
_
8 " "
8
" a b
Pero, es una serie alterna que es CVC." a b
8 œ "
_
" †8 " "8
Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie
es " a b a b
8 œ "
_
" † B Ÿ8 " # † B " & "
8 8
8 † $ # #8
V
IR
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#Ñ " †
8 œ "
_
8 B $ 8
8
" a b a b
!
!
!
º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a ba ba b+8 "+8 œ
B $ 8 "
8 "
B $ 8
8
!
!œ †B $ † B $ 8
8
8 " † 8 B $ 8º ºa b a ba b a b
œ † B $"8 "
¸ ¸
lim lim
8Ä_ 8Ä_
" "
8 " 8 "† B $ œ B $
¸ ¸ ¸ ¸
œ B $ † !¸ ¸
œ ! "
Por lo tanto, la serie es CVA
!
" a b a b
8 œ "
_
" † a B −8 B $
8
8 ‘
!$Ñ " †
8 œ "
_
8 8
"! † B8 8
" a b
!
!º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a b
+8 "
+8
œ
8 "
"! † B8 " 8 "
8
"! † B8 8
!
!
œ †8 " † 8 "! † B"! † "! † B † B 88 8
8 8º ºa b
œ 8 " † "
"! B
a b ¸ ¸
lim lim
8Ä_ 8Ä_
a b ¸ ¸ ¸ ¸8 " † œ Ð8 "Ñ" ""! B "! B
œ †_"
"! B¸ ¸
œ _ "
Por lo tanto, la serie es DV
!
" a b a b
8 œ "
_
" † a B −8 B $
8
8 ‘
V
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G
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29
Ejercicios
Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias
"Ñ Ð#8Ñx † #Ñ Ð "Ñ †
8 œ ! 8 œ "
_ _B ÐB &Ñ
#
8 8 " 8
8 † &8
" "Œ
$Ñ %Ñ Ð "Ñ †
8 œ " 8 œ "
_ _ÐB #Ñ ÐB (Ñ8 " 8
Ð8 "Ñ † $8 "
8 "
8 † (8
" "
&Ñ Ð "Ñ † 'Ñ Ð "Ñ
8 œ " 8 œ "
_ _
8 " 8B 8x ÐB %Ñ8 " 8
Ð#8 "Ñ $8
" " #
!
†
(Ñ )Ñ † Ð #BÑ
8 œ " 8 œ "
_ _8x † B 88
Ð#8Ñx 8 "
8 "" " Œ
*Ñ "!Ñ Ð "Ñ †
8 œ " 8 œ "
_ _# † B # † B8 8 #8 " #8
8 Ð#8Ñx
8" " #
Solución
No existe intervalo de convergencia"Ñ
#Ñ ! B Ÿ "!
$Ñ " Ÿ B &
%Ñ ! B Ÿ "%
&Ñ ‘
No existe intervalo de convergencia'Ñ
(Ñ ‘
)Ñ B " "# #
*Ñ Ÿ B Ÿ" "# #
"!Ñ ‘
V
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30
Serie de Taylor
Concepto : La expresión ∑∞
=
−⋅=
0 !
)()(
)(
n n
naxanfxf corresponde a la serie de Taylor de
f alrededor de ax = o desarrollo de f en una serie de potencias alrededor de ax = .
)(af n es la n-ésima derivada de f evaluada en ax = .
Si la serie de Taylor toma la forma ∑∞
=
⋅=
0 !
)0(
)(
n n
nxnfxf que se conoce con el nombre de
serie de Maclaurin de f .
Ejemplos
1)Desarrollar en serie de Taylor en torno a , la función B œ " 0 B œ "Ba b
0 B œ Ê 0 " œ ""B
! !a b a b
0 B œ œ B Ê 0 " œ ""B
w
#
# wa b a b
0 B œ œ #B Ê 0 " œ ##B
ww
$
$ wwa b a b
0 B œ œ 'B Ê 0 " œ ''B
www
%
% wwwa b a b
0 B œ œ #%B Ê 0 " œ #%#%B
3@
&
& 3@a b a b
0 B œ " † B " " † B " # † B " ' † B " #% † B "! " #x $ %a b a b a b a b a b a b a b a b! # $ %! ! ! !
0 B œ B " B " # † B " ' † B " #% † B "" " # ' #%a b a b a b a b a b a b! # $ %
0 B œ B " B " B " B " B "a b a b a b a b a b a b! # $ %
Por lo tanto, 0 B œ œ " † B ""B 8 œ !
_
8 8a b a b a b"
V
IR
G
IN
IO
G
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31
2) Desarrollar en serie de Maclaurin 0 B œ -9=Ba b
0 B œ -9=B Ê 0 ! œ "! !a b a b
0 B œ =/8B Ê 0 ! œ !w wa b a b
0 B œ -9=B Ê 0 ! œ "ww wwa b a b
0 B œ =/8B Ê 0 ! œ !w ww ww wa b a b
0 B œ -9=B Ê 0 ! œ "3@ 3@a b a b
! ! ! !
0 B œ " † B ! † B " † B ! † B " † B! " #x $ %a b a b! # $ %
! ! !
0 B œ ! ! B B B! # %a b ! # %
! ! !
0 B œ B B B! # %a b ! # %
Por lo tanto,
!
0 B œ -9=B œ " †
8 œ !
_
8 B#8
#8a b a b" a b
3) Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia en À
+Ñ 0 B œ 68 " Ba b a b
0 B œ 68 " B Ê 0 ! œ !! !a b a b a b
0 B œ œ " B Ê 0 ! œ """ B
w " wa b a b a b
0 B œ œ " B Ê 0 ! œ ""
" B
ww
#
# wwa b a b a ba b
0 B œ œ # " B Ê 0 ! œ ##
" B
www
$
$ wwwa b a b a ba b
0 B œ œ ' " B Ê 0 ! œ ''
" B
3@
%
% 3@a b a b a ba b
0 B œ ! † B " † B " † B # † B ' † B" " # ' #%a b ! # $ %
0 B œ ! B B B B# $ %a b # $ %
Por lo tanto, 0 B œ 68 " B œ " †
8 œ !
_
8 B8 "
8 "a b a b a b"
V
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32
Intervalo de convergencia
º º º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â ¸ ¸ Œ
+8 "
+ 8 # B † B 8 #8 B
œ œ † œ B †
B8 #
8 #
8 "
8 "
B † B 8 " 8 "8
8
#
lim lim
8Ä_ 8Ä_
¸ ¸ ¸ ¸Œ Œ B † œ B †8 " 8 "8 # 8 #
œ P L B †w
8Ä_
"
"¸ ¸ lim
œ B¸ ¸
¸ ¸B " Í " B "
Análisis de los extremos
Para B œ "
" "a b a b a b
8 œ ! 8 œ !
_ _
" † œ8 " "
8 " #8 "
8 " 8 "
œ
8 œ !
_ "
8 "
"
œ
8 œ "
_ "
8
"
Pero, es la serie armónica y por lo tanto DV"
8 œ "
_
"8
Para B œ "
" "a b a ba b
8 œ ! 8 œ !
_ _
" † œ " †8 8" "
8 "
8 " 8 "
Pero, es una serie alterna que CVC" a b
8 œ !
_
" †8 "8 "
Luego el intervalo de convergencia de la serie es " a b
8 œ !
_
" † " B Ÿ "8 B
8 "
8 "
V
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G
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33
,Ñ 0 B œ /Ba b
0 B œ / Ê 0 ! œ "B! !a b a b
0 B œ / Ê 0 ! œ "Bw wa b a b
0 B œ / Ê 0 ! œ "Bw ww wa b a b
0 B œ / Ê 0 ! œ "Bwww wwwa b a b
0 B œ / Ê 0 ! œ "B3@ 3@a b a b
! ! ! ! !
0 B œ " † B " † B " † B " † B " † B! " # $ %a b ! # $ %
Por lo tanto,
!
0 B œ / œB
8 œ !
_ B8
8a b "
Intervalo de convergencia
!
!
!
!º º º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a b a b ¸ ¸ Œ + B † B 8 "+ 8 " † 8 B 8 "œ œ † œ B †
B8 "
8 "
B8
8
8
8
8"
8
lim lim
8Ä_ 8Ä_
¸ ¸ ¸ ¸Œ Œ B † œ B †" "8 " 8 "
œ B † !¸ ¸
œ ! "
Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie es
!
"
8 œ !
_ B8
8 ‘
V
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G
IN
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34
Ejercicios
I Desarrollar en serie de Taylor
"Ñ 0ÐBÑ œ B + œ " #Ñ 0ÐBÑ œ + œ "$ "B
È con con
$Ñ 0ÐBÑ œ 68 B " + œ " %Ñ 0ÐBÑ œ -9= B + œ $a b con con 1
II Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia
"Ñ 0ÐBÑ œ / #Ñ 0ÐBÑ œ =/8 $B $Ñ 0ÐBÑ œ -9= B BÎ# "# Œ
Solución
I
"Ñ 0 B œ " B " B " & † B " & † B "# ' &% )"a b a b a b a b# $ %
#Ñ 0 B œ B "
8 œ !
_
8a b a b"
$Ñ 0 B œ 68# B " B " B " B "# ) #% '%a b a b a b a b# $ %
%Ñ 0 B œ † " † † " †" $# #8 # #8 "8 œ ! 8 œ !
_ _
8 8 "B B $ $
#8 #8 "a b a b a b" "Š ‹ Š ‹a b a bÈ
1 1
! !
II
"Ñ 0 B œ aB −
8 œ !
_ B8
# † 88a b " ! CV ‘
#Ñ 0 B œ " † a B −
8 œ !
_
8 $ † B#8 " #8 "
#8 "a b a b" a b! CV ‘
$Ñ 0 B œ -9= † " † =/8 † " †" B " B# #8 # #8 "8 œ ! 8 œ !
_ _
8 8 "8 8 "a b a b a bΠΠ" "a b a b# #! !
CV aB − ‘
V
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G
IN
IO
G
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35
Serie de Fourier
Son desarrollos de series de funciones periódicas en series trigonométricas.
Conceptos previos:
1) Función continua por segmento en : toda función que es continua en todo punto delÒ + ß , Ó 0 Ba b
intervalo .Ò + ß , Ó
2) Función periódica: es toda función que satisface la condición es el0 B 0 B > œ 0 B ß >a b a b a b
periodo.
Ejemplo: - las funciones y tienen periodo .=/8 B -9= B #1
- la función tiene periodo .>1 B 1
3) Función par: es una función par si, y sólo si 0 B 0 B œ 0 Ba b a b a b
aB − H970Þ 0 Ba b es una función simétrica respecto al eje Y.
Ejemplo: - 0 B œ Ba b #
- 0 B œ -9= Ba b
4) Función impar: es una función impar si, y sólo si 0 B 0 B œ 0 Ba b a b a b
es una función simétrica respecto al origen.aB − H970Þ 0 Ba b
Ejemplo: - 0 B œ Ba b $
- 0 B œ =/8Ba b
Propiedades de las funciones simétricas
1) Si es una función par continua en entonces0 B Ò + ß + Óßa b
( (a b a b
!+
+ +
0 B .B œ # 0 B .B
2) Si es una función impar continua en entonces0 B Ò + ß + Óßa b
0( a b
+
+
0 B .B œ
V
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G
IN
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36
Concepto: Sea )(xf una función continua por tramos en el intervalo [ ]TT,− .
La Serie de Fourier de )(xf es la serie trigonométrica
∑∞
=
+
+=
1
0 cos2)( n nn T
xnsenb
T
xna
a
xf ππ
donde 0a , na y nb se obtienen como:
∫−= TT dxxfTa )(10
dx
T
xnxf
T
a
T
Tn ∫− = πcos)(1 ,...3,2,1=n
dx
T
xnsenxf
T
b
T
Tn ∫− = π)(1 ,...3,2,1=n
Si )(xf es una función con periodo π2 , definida en el intervalo [ ]TT,− entonces
( ) ( )[ ]∑∞
=
++=
1
0 cos2)( n nn
nxsenbnxa
a
xf
donde 0a , na y nb se obtienen como:
∫−= πππ dxxfa )(10
( )∫−= πππ dxnxxfan cos)(1 ,...3,2,1=n
( )∫−= πππ dxnxsenxfbn )(1 ,...3,2,1=n
V
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37
Propiedades de la Serie de Fourier
a) Si es una , definida en el intervalo T T , entonces la serie de Fourier será0 B Ò ß Óa b función par
de la forma:
T
0 B œ + † -9=+ 8 B# 8 œ "
_
8a b " Š ‹! 1
T T
+ œ 0 B .B œ 0 B .B" #!
X !
X X( (a b a b
T T T T
+ œ 0 B † -9= .B œ 0 B † -9= .B8
" 8 B # 8 B( (a b a bŠ ‹ Š ‹
X !
X X1 1
b) Si es una , definida en el intervalo T T , entonces la serie de Fourier0 B Ò ß Óa b función impar
será de la forma:
T
0 B œ , † =/8
8 œ "
_
8
8 Ba b " Š ‹1
T T T T
, œ 0 B † =/8 .B œ 0 B † =/8 .B8
" 8 B # 8 B( (a b a bŠ ‹ Š ‹
X !
X X1 1
Ejemplos À
1) Calcular la serie de Fourier de 0 B œ B B Ÿ !#B ! B a b œ 1 1
V
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38
no es función par ni impar.0 Ba b
X œ 1
+ œ 0 B .B"!
1 1
1( a b
+ œ B .B #B .B" "!
!
!1 11
1( (
+ œ † †" B " #B# #!
# #
!
!1 11
1º º
+ œ #!
1 1
+ œ #!
1
+ œ #!
1
T
+ œ 0 B † -9= .B8
" 8 B
1 1
1 1( a b Š ‹
+ œ B † -9= 8B .B #B † -9= 8B .B8
" "
1 11
1( (a b a b
!
!
" B † -9= 8B .B1 1
( a b
!
? œ B Ê .? œ .B .@ œ -9= 8B .B Ê @ œ =/8 8B8a b a b
" " =/8 8B =/8 8BB † -9= 8B .B œ B † .B8 81 11 11
( (a b ” º •a b a b
! !
!
" " =/8 8B -9= 8BB † -9= 8B .B œ B † 8 81 11 1 1
( a b ” º º •a b a b
! ! !
#
" " † =/8 8 -9=! -9= 8B † -9= 8B .B œ ! 8 8 81 11
1 1 1( a b ” •a b a b
!
# #
Pero, =/8 8 œ ! a8 − ß -9= 8 œ -9= 8 œ " a8 −8a b a b a b a b1 1 1
Luego,
1" " "B † -9= 8B .B œ 8 8
8
1 11
( a b ” •a b
!
# #
V
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39
" #B † -9= 8B .B1
1( a b
!
? œ #B Ê .? œ #.B .@ œ -9= 8B .B Ê @ œ =/8 8B8a b a b
" " =/8 8B =/8 8B#B † -9= 8B .B œ #B † #.B8 81 1
1 11( (a b a b” º •a b a b
! !!
" " =/8 8B #-9= 8B#B † -9= 8B .B œ #B † 8 81 1
1 1 1( a b a b” º º •a b a b
! ! !
#
" " # † =/8 8 #-9= 8 #-9=!#B † -9= 8B .B œ ! 8 8 81 1
1 1 1 1( a b ” •a b a b a b
! # #
Pero, =/8 8 œ ! a8 − ß -9= 8 œ " a8 −8a b a b a b1 1
Luego,
" " # " ##B † -9= 8B .B œ
8
8 81 1
1( a b ” •a b
! # #
Así,
1+ œ 8
" " " # " #
8 8 8 8
8 8
1 1” • ” •a b a b# # # #
+ œ8
" " "8
81” •a b#
T
, œ 0 B † =/8 .B8
" 8 B
1 1
1 1( a b Š ‹
, œ B † =/8 8B .B #B † =/8 8B .B8
" "
1 11
1( (a b a b
!
!
" B † =/8 8B .B1 1
( a b
!
? œ B Ê .? œ .B .@ œ =/8 8B .B Ê @ œ -9= 8B8a b a b
" " -9= 8B -9= 8BB † =/8 8B .B œ B † .B8 81 11 11
( (a b ” º •a b a b
! !
!
" " -9= 8B =/8 8BB † =/8 8B .B œ B † 8 81 11 1 1
( a b ” º º •a b a b
! ! !
#
" " † -9= 8 =/8! =/8 8B † =/8 8B .B œ ! 8 8 81 11
1 1 1( a b ” •a b a b
!
# #
V
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40
Pero, =/8 8 œ =/8 8 œ ! a8 − ß -9= 8 œ " a8 −8a b a b a b a b1 1 1
Luego,
" " "B † =/8 8B .B œ œ
8 8 "
8 81 1
( a b a b a b
!
" #B † =/8 8B .B1
1( a b
!
? œ #B Ê .? œ #.B .@ œ =/8 8B .B Ê @ œ -9= 8B8a b a b
" " -9= 8B -9= 8B#B † =/8 8B .B œ #B † #.B8 81 1
1 11( (a b a b” º •a b a b
! !!
" " -9= 8B #=/8 8B#B † =/8 8B .B œ #B † 8 81 1
1 1 1( a b a b” º º •a b a b
! ! !
#
" " # † -9= 8 #=/8 8 #=/8!#B † =/8 8B .B œ ! 8 8 81 1
1 1 1 1( a b ” •a b a b a b
! # #
Pero, =/8 8 œ ! a8 − ß -9= 8 œ " a8 −8a b a b a b1 1
Luego,
" # " # "#B † =/8 8B .B œ œ
8 8 "
8 81
1( a b a b a b
!
Así,
, œ 8
" # "8 " 8 "
8 8
a b a b
, œ8
$ " 8 "
8
a b
Por lo tanto,
0 B œ † -9= 8B † =/8 8B% 8 88 œ "
_ " " " $ "8 8 "a b a b a b" ” •a b a b 1 1# #
0 B œ † † -9= 8B $ † =/8 8B% 8 8
" " " "
8 œ " 8 œ "
_ _8 8 "a b a b a b" "Πa b a b 1 1 #
0 B œ † $ " †% 8
# -9=Ò #8 " BÓ =/8 8B
8 œ " 8 œ "
_ _
#8 "
8 "a b a b" " a b a ba b Π1 1 #
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41
2) Desarrollar en serie 0 B œ " B Ÿ !" ! B a b œ 1 1
X œ 1
es función impar0 Ba b
, œ 0 B † =/8 8B .B8
"
1 1
1( a b a b
, œ =/8 8B .B8
#
1
1( a b
!
, œ †8
# -9= 8B
81
1a b º
!
, œ † †8
# -9= 8 # -9=!
8 81 1
1a b
, œ 8
# " "
8 8
8
1” •a b
, œ8
# " " 8 "
81” •a b
Así,
0 B œ † =/8 8B
8 œ "
_ # " " 8 "
8a b a b" ” •a b1
0 B œ †% =/8Ò #8 " BÓ
8 œ "
_
#8 "a b " a b1
V
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42
3) Desarrollar en serie de Fourier 0 B œ B ß " Ÿ B Ÿ "a b ¸ ¸
0 B œ B " Ÿ B !B ! Ÿ B Ÿ "a b œ
es función par0 Ba b
X œ "
+ œ 0 B .B
"
"
!
( a b
+ œ # B .B!
!
"(
+ œ # † B#!
#
!
"º
+ œ "!
+ œ "!
+ œ " 0 B † -9= 8 B .B8
"
"( a b a b
1
+ œ # B † -9= 8 B .B8 ( a b
!
"
1
? œ B Ê .? œ .B .@ œ -9= 8 B .B Ê @ œ =/8 8 B8a b a b1 11
# B † -9= 8 B .B œ # B † .B=/8 8 B =/8 8 B8 8( (a b ” º •a b a b! !" "!
"
1 1 11 1
# B † -9= 8 B .B œ # B † =/8 8 B -9= 8 B8 8( a b ” º º •a b a b!" " "! !# #1 1 11 1
# B † -9= 8 B .B œ # ! =/8 8 -9= 8 -9=!8 8 8( a b ” •a b a b!" # # #1 1 11 1 1
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43
Pero, =/8 8 œ ! a8 − ß -9= 8 œ " a8 −8a b a b a b1 1
Luego,
# B † -9= 8 B .B œ # " "
8
8 8( a b ” •a b!" # # # #1 1 1
Así,
+ œ8
# " "8
81# #Πa b
Por lo tanto,
0 B œ † -9= 8 B" # " "# 88 œ "
_ 8a b a b" Πa b1 1# #
0 B œ †" % -9=Ò #8 " BÓ# 8 œ "
_
#8 "
a b " a ba b1 1# #
Ejercicios
Dada la función desarrollarla en serie de Fourier
"Ñ 0ÐBÑ œ B B 1 1
#Ñ 0ÐBÑ œ B Ÿ B Ÿ ! B ! B œ 1 1
$Ñ 0ÐBÑ œ B # Ÿ B Ÿ ##
%Ñ 0ÐBÑ œ #B " B Ÿ !$B ! Ÿ B Ÿ "œ
&Ñ 0ÐBÑ œ / B B 1 1
'Ñ 0ÐBÑ œ
! B Î#
" Î# B !
" ! B Î#
! Î# B
ÚÝÝÛÝÝÜ
1 1
1
1
1 1
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44
Solución
"Ñ 0 B œ # " †
8 œ "
_
8 =/8 8B
8a b a b" a b
#Ñ 0 B œ #
% -9=Ò #8 " BÓ
8 œ "
_
#8 "
a b " a ba b1 1 #
$Ñ 0 B œ " †) $#$ 88 œ "
_
8 -9=
8 B
#a b a b" Š ‹1
1
# #
%Ñ 0 B œ " †" # -9=Ò #8 " BÓ & =/8 8 B% 88 œ " 8 œ "
_ _
#8 "
8a b a b" "a b a ba b1 11 1# #
&Ñ 0 B œ " †/ / / / -9= 8B# " 88 œ "
_
8a b a b" a b1 1 1 1 #1 1
/ / 8=/8 8B
8 œ "
_
" †8 " 8
#
1 1
1
" a b a b
'Ñ 0 B œ % =/8Ò# #8 " BÓ
8 œ "
_
#8 "a b " a b1
V
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45
Una aplicación muy importante de la serie de Fourier consiste en encontrar la serie a partir del
gráfico de la función donde sus variables son .a b>ß 0 Ð>Ñ
Ejemplos
"Ñ
es una función impar periodo 0Ð>Ñ X
0Ð>Ñ œ # X Ÿ > !# ! Ÿ > Ÿ Xœ
Luego,
0Ð>Ñ œ , =/8
8 œ "
_
8
8 >
X
" Π1
, œ # =/8 .>8
# 8 >
X X( Π!X 1
, œ 8
%
X
-9= 8 >X
8
X
Œ Œ º
1
1
X
!
, œ -9= -9=8
% X 8 X 8 !
X 8 X XŒ Œ Œ ” •1 1 1
, œ 8
% " "8
81Πa b
Por lo tanto,
ó con impar0Ð>Ñ œ 0Ð>Ñ œ 8) )
8 œ " 8 œ "
_ _=/8 =/8
#8 " > 8 >
X X
#8 " 81 1
1 1" "ΠΠa b
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46
#Ñ
es una función par con periodo 0 > Xa b
0 > œ
" X Ÿ > X#
" Ÿ > ŸX X# #
" > Ÿ XX#
a b
ÚÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÜ
Luego,
0Ð>Ñ œ + -9=+ 8 ># X8 œ "
_
8! " Π1
+ œ .> " .># #X X! ! XÎ#
XÎ# X( ( a b
+ œ > >#X! ! XÎ#
XÎ# X º º
+ œ X # X XX # #! Œ
+ œ !!
+ œ " -9= .> " -9= .>8
# 8 > 8 >
X X X ( (Œ Œ a b! XÎ#XÎ# X1 1
+ œ #X
=/8 =/88 > 8 >X X
8 8
X X
8
! XÎ#
XÎ# X
Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò
Œ Œ º º
1 1
1 1
+ œ =/8 =/8! =/8 8 =/88
# X 8 8
X 8 # #Œ Š ‹Š ‹ Š ‹a b1 1 11
V
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47
Pero, con impar=/8 œ " 88#
8Š ‹ a b1
+ œ # "8
# X
X 8
8ΠΠa ba b1
con impar+ œ 88
% " 8
8
a b
1
Por lo tanto,
con impar0 > œ " † 8%
8 œ "
_
8
-9= 8 >X
8a b a b" Π1
1
$Ñ
es una función par con periodo 0Ð>Ñ #X
Para determinar es necesario determinar las ecuaciones de las rectas que pasan por los puntos0Ð>Ña b a b a b a b #X ß " à !ß " !ß " à #X ß " y
Ecuación de la recta que pasa por a b a b #X ß " à !ß "
0 > " œ > ! Ê 0 > œ > "# "#X Xa b a b a b
Ecuación de la recta que pasa por a b a b!ß " à #X ß "
0 > " œ > ! Ê 0 > œ > "# "#X Xa b a b a b
Así,
0 > œ
"
X > " #X Ÿ > !
> " ! Ÿ > Ÿ #X"X
a b ÚÝÛÝÜ
V
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48
Luego,
0Ð>Ñ œ + -9=+ 8 ># X8 œ "
_
8! " Π1
+ œ > " .># "#X X! !
#X( Œ
+ œ >" " >X X #!
#
!
#X º
+ œ #X #X !#X! a b
+ œ !!
+ œ > " -9= .>8
# " 8 >
#X X #X( ΠΠ!#X 1
+ œ > " -9= .>" " 8 >X X #X8 !
#X( ΠΠ1
? œ > " Ê .? œ " "X X
.@ œ -9= Ê @ œ8 >#X
=/8 8 >#X
8
#X
ΠΠ1
1
1
+ œ > " =/8 =/8 .>8
# " #X 8 > " #X 8 >
X X 8 #X X 8 #X Œ Œ Œ Œ Œ Œ º (1 11 1!
#X
!
#X
+ œ -9=8
# # #X 8 >
X 8 8 #XŒ º Œ Œ 1 1 1 !
#X
+ œ 8
) " "8
81# #Πa b
Por lo tanto,
0 > œ "'
8 œ "
_ -9= #8 "
>
#X
#8 "
a b " ” •a bŒ a b1
1
# #
o
V
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49
con impar0 > œ 8"'
8 œ "
_ -9=
8 >
#X
8a b " Π1
1
# #
Ejercicios
Determine la serie de Fourier para:
"Ñ
#Ñ
$Ñ
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50
Solución
es impar con periodo "Ñ 0Ð>Ñ %X
0Ð>Ñ œ
> # #X Ÿ > X"X
"
X > X Ÿ > X
> # X Ÿ > Ÿ #X"X
ÚÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÜ
0Ð>Ñ œ " †%
8 œ "
_
8
=/8 8 >#X
81
1" a b Œ
es impar con periodo #Ñ 0Ð>Ñ %X
0Ð>Ñ œ > #X Ÿ > Ÿ #X"X
0Ð>Ñ œ " † " †% #
8 œ " 8 œ "
_ _
8 " 8
=/8 =/88 > 8 >#X #X
8 81 1
1 1
# #" "a b a bŒ Œ
es par con periodo $Ñ 0Ð>Ñ %X
0 > œ
$
#X > $ #X Ÿ > !
> $ ! Ÿ > Ÿ #X$#X
a b ÚÝÛÝÜ
con impar0 > œ " † ß 8$ "## 88 œ "
_
8
-9= 8 >#Xa b a b" Π1
1
# #
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51
Serie cosenoidal y senoidal de Fourier
Si es una función continua en el intervalo T , entonces:0 B Ò !ß Óa b
a) La serie cosenoidal de Fourier de en T es:0 B Ò !ß Óa b
, donde
T
0 B œ + † -9=+ 8 B# 8 œ "
_
8a b " Š ‹! 1
T
+ œ 0 B .B"!
!
X( a b
T T
+ œ 0 B † -9= .B8
# 8 B( a b Š ‹
!
X 1
b) La serie senoidal de Fourier de en T es:0 B Ò !ß Óa b
, donde
T
0 B œ , † =/8
8 œ "
_
8
8 Ba b " Š ‹1
T T
, œ 0 B † =/8 .B8
# 8 B( a b Š ‹
!
X 1
:Ejemplo
Desarrollar en serie cosenoidal y senoidal en 00 B œ B B a b 1 1
Serie cosenoidal
X œ 1+ œ 0 B .B"!
!1
1( a b
+ œ B .B"!
!1
1
1( a b
+ œ B " B#!
#
!1
1
1Œ º
+ œ " #!
#
#
1 1
1Œ
+ œ #!
1
+ œ #!
1
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52
T
+ œ 0 B † -9= .B8
# 8 B
1
1 1( a b Š ‹
!
+ œ B † -9= 8B .B8
#
1
1
1( a b a b
!
+ œ † -9= 8B .B B † -9= 8B .B8
# #
1 1
1 1
1( (a b a b
! !
# #=/8 8B† -9= 8B .B œ 81
1
1
1( a b a b º
! !
# #=/8 8 #=/8 !† -9= 8B .B œ 8 81
1
1 1( a b a b a b
!
# † -9= 8B .B œ !1
1
1( a b
!
# B † -9= 8B .B1
1( a b
!
? œ B Ê .? œ .B .@ œ -9= 8B .B Ê @ œ =/8 8B8a b a b
# # =/8 8B =/8 8BB † -9= 8B .B œ B † .B8 81 1
1 11( (a b ” º •a b a b
! !!
# # =/8 8B -9= 8BB † -9= 8B .B œ B † 8 81 1
1 1 1( a b ” º º •a b a b
! ! !
#
# # † =/8 8 -9= 8 -9=!B † -9= 8B .B œ ! 8 8 81 1
1 1 1 1( a b ” •a b a b
! # #
# # " "B † -9= 8B .B œ
8
8 81 1
1( a b ” •a b
! # #
Así,
+ œ ! 8
# " "8
8 81” •a b# #
+ œ 8
# " "8
81” •a b#
Luego,
0 B œ † -9= 8B% 88 œ "
_ # " "8a b a b" ” •a b1 1 #
ó con impar0 B œ † 0 B œ † 8% % 8
% -9=Ò #8 " BÓ % -9= 8B
8 œ " 8 œ "
_ _
#8 "
a b a b" "a b a ba b1 11 1# #
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53
Serie senoidal
T
, œ 0 B † =/8 .B8
# 8 B
1
1 1( a b Š ‹
!
, œ B † =/8 8B .B8
#
1
1
1( a b a b
!
, œ † =/8 8B .B B † =/8 8B .B8
# #
1 1
1 1
1( (a b a b
! !
# #-9= 8B† =/8 8B .B œ 81
1
1
1( a b a b º
! !
# #-9= 8 #-9= !† -9= 8B .B œ 8 81
1
1 1( a b a b a b
!
# # " #† -9= 8B .B œ
8
81
1
1( a b a b
!
# B † =/8 8B .B1
1( a b
!
? œ B Ê .? œ .B .@ œ =/8 8B .B Ê @ œ -9= 8B8a b a b
# # -9= 8B -9= 8BB † =/8 8B .B œ B † .B8 81 1
1 11( (a b ” º •a b a b
! !!
# # -9= 8B =/8 8BB † =/8 8B .B œ B † 8 81 1
1 1 1( a b ” º º •a b a b
! ! !
#
# # † -9= 8 =/8 8 =/8!B † =/8 8B .B œ ! 8 8 81 1
1 1 1 1( a b ” •a b a b
! # #
# # "B † =/8 8B .B œ
8
81
1( a b a b
!
Así,
, œ 8
# " # # "8 8
8 8
a b a b
, œ8
#
8
Luego,
ó 0 B œ † =/8 8B 0 B œ # †
8 œ " 8 œ "
_ _# =/8 8B
8 8a b a b a b" " a b
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Ejercicios
I) Calcule la serie senoidal de Fourier de la función dada
"Ñ 0ÐBÑ œ " ! B " #Ñ 0ÐBÑ œ B ! B ; ; # 1
$Ñ 0ÐBÑ œ -9= B ! B %Ñ 0ÐBÑ œ B B ! B " ; ; 1 #
&Ñ 0ÐBÑ œ / ! B "B ;
II) Calcule la serie cosenoidal de Fourier de la función dada
"Ñ 0ÐBÑ œ / ! B " #Ñ 0ÐBÑ œ " B ! B B ; ; 1
$Ñ 0ÐBÑ œ =/8B ! B %Ñ 0ÐBÑ œ B B ! B " ; ; 1 #
&Ñ 0ÐBÑ œ " ! B " ;
Solución
I )
"Ñ 0 B œ 0 B œ ß8% =/8 #8 " B % =/8 8 B
8 œ " 8 œ "
_ _
#8 " 8a b a b" "a b a b1 11 1[ ] ó impar
#Ñ 0 B œ #
8 œ "
_ # 8 " # =/8 8B8
8a b " ’ “a ba b a b1 1
# #
$
$Ñ 0 B œ 0 B œ ß 8% #8 =/8 #8 B % 8=/8 8B
8 œ
_ _
#8 " 8 œ # 8 "
a b a b" "a b a b a ba b1 11 [ ] ó par# #
%Ñ 0 B œ 0 B œ ß 8) =/8 #8 " B ) =/8 8 B
8 œ " 8 œ "
_ _
#8 " 8
a b a b" "a b a ba b1 11 1$ $ $$[ ] ó impar
&Ñ 0 B œ #
8 œ "
_ 8 / 8 " =/8 8 B8
8 "a b " a b a ba b1 11 # #
II)
"Ñ 0 B œ #/ " / " " -9= 8 B# " 88 œ "
_ 8a b " a b a ba b 11# #
#Ñ 0 B œ 0 B œ ß 8% # % # 8
" % -9=Ò #8 " BÓ " % -9= 8B
8 œ " 8 œ #
_ _
#8 "
a b a b" "a b a ba b1 11 1# #o impar
$Ñ 0 B œ 0 B œ ß 8" % -9= #8B " % -9= 8B
8 œ " 8 œ #
_ _
" #8 " 8
a b a b" "a b a ba b1 1 1 1# # o par
%Ñ 0 B œ 0 B œ ß 8" % -9= #8 B " % -9= 8 B"# "# 88 œ " 8 œ "
_ _
#8
a b a b" "a b a ba b1 11 1# #o par
&Ñ 0 B œ "#a b
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Funciones de más de una variable
Hasta el momento se han estudiado funciones de una sola variable, es decir, funciones de la forma
C œ 0 B C B B −a b , donde la variable depende de la variable , . Se extenderá ahora este concepto a‘
funciones de más de una variable.
Por ejemplo À
22),( yxyxfz +== e variableslas de depende yxz
yzxzyxfw +== ),,( zyxw y , variableslas de depende
En estos casos los elementos del dominio de la función no serán números reales, sino elementos
de otros espacios numéricos.
Si , entonces los elementos del dominio de son pares ordenados y , por lo tanto, seD œ 0 Bß C 0a b
está trabajando en el espacio numérico real bidimensional .a b‘#
Si , entonces los elementos del dominio de son triadas o ternas y , por lo tanto, seA œ 0 Bß Cß D 0a b
está trabajando en el espacio numérico real tridimensional .a b‘$
Concepto de función de dos variables
Sea un conjunto de pares ordenados reales. Si a cada par ordenado de le corresponde unH H
número real , entonces se dice que es función de e El conjunto es el dominio de y el0 Bß C 0 B CÞ H 0a b
conjunto de valores es el recorrido de 0 Bß C 0a b
Ejemplos À
"Ñ 0 À È‘ ‘# a b a bBß C È 0 Bß C œ B C # #
#Ñ 0 À È‘ ‘# a b a bBß C È 0 Bß C œ B CBC #
$Ñ 0 À È‘ ‘# a b a bBß C È 0 Bß C œ /BCB C
Concepto de función de tres variables
Sea un conjunto de ternas ordenadas reales. Si a cada terna ordenada de le corresponde unH H
número real , entonces se dice que es función de El conjunto es el dominio de y el0 Bß Cß D 0 Bß Cß DÞ H 0a b
conjunto de valores es el recorrido de 0 Bß Cß D 0a b
Ejemplos À
"Ñ 0 À È‘ ‘$ a b a bBß Cß D È 0 Bß Cß D œ B C D # # #
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#Ñ 0 À È‘ ‘$ a b a bBß Cß D È 0 Bß Cß D œ B CBC D #
$Ñ 0 À È‘ ‘$ a b a b a ba bBß Cß D È 0 Bß Cß D œ -9= BC D68 C D B #
Dominio de funciones de dos variables
Para determinar el dominio de funciones de dos variables se deben considerar las mismas
restricciones que para funciones de una sola variable, es decir,
a) si la función está formada por una expresión que lleva una raiz cuadrada, entonces la cantidad
subradical debe ser mayor o igual a cero.
b) si la función está formada por una fracción, entonces el denominador debe ser distinto de cero.
c) si la función está formada por una fracción con raiz cuadrada en el denominador, entonces la
cantidad subradical debe ser mayor que cero.
d) si la función está formada por una expresión que tenga logaritmo, entonces el argumento del
logaritmo debe ser mayor que cero.
Ejemplos:
Determinar el dominio de las siguientes funciones
"Ñ 0 Bß C œ #& B Ca b È # #
#& B C !# #
B C #& Î † "# # a b
B C Ÿ #&# #
corresponde a todos los puntos del plano que forman una circunferencia centrada deB C œ #&# #
radio cinco.
corresponde a todos los puntos del plano que se encuentran en el interior de laB C #&# #
circunferencia de radio cinco.
H970 œ Bß C − Î Bß C{ se encuentra en y dentro de la circunferenciaa b a b‘#
}B C œ #&# #
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#Ñ 0 Bß C œ $B &CB Ca b
B C Á !
B Á C
corresponde a todos los puntos el plano que están en la recta B œ C B œ C
{ no está en la recta H970 œ Bß C − Î Bß C B œ C ×a b a b‘#
$Ñ 0 Bß C œ 68#B Ca b a b
#B C !
#B C
corresponde a todos los puntos del plano que están en la recta #B œ C C œ #B
corresponde a todos los puntos del plano que están bajo la recta #B C C œ #B
{ está bajo la recta H970 œ Bß C − Î Bß C C œ #B ×a b a b‘#
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%Ñ 0 Bß C œ *B #&C ##&C B #a b È # #
*B #&C ##& !# #
*B #&C ##& Î À ##&# #
B C
#& * "
# #
corresponde a todos los puntos del plano que están en la elipse
B C
#& * œ "
# #
B C
#& * œ "
# #
corresponde a todos los puntos del plano que están fuera de la
B C
#& * "
# #
elipse
B C
#& * œ "
# #
C B # Á !
C Á B #
corresponde a todos los puntos del plano que están en la rectaC œ B #
C œ B #
corresponde a todos los puntos del plano que no están en la rectaC Á B #
C œ B #
{ está en y fuera de la elipse H970 œ Bß C − Î Bß C œ "B C#& *a b a b‘# # #
y no están en la recta C œ B # ×
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Ejercicios
Determine el dominio de las siguientes funciones À
+Ñ 0ÐBß CÑ œ B C "
%C &B
# #È
,Ñ 0ÐBß CÑ œ 68Ð* B $C Ñ# #
-Ñ 0ÐBß CÑ œ B C $'#B $C
È # #
#
.Ñ 0ÐBß CÑ œ /
C #B
68ÐC BÑ
È
Solución
está sobre la recta +ÑH970 œ Bß C − Î Bß C C œ B&%œ a b a b‘#
está en el interior de la elipse ,ÑH970 œ Bß C − Î Bß C œ "B C* $œ a b a b‘# # #
está en y dentro de la circunferencia-ÑH970 œ Bß C − Î Bß Cœa b a b‘#
y no pertenece a la parábola B C œ $' C œ B#$
# # #
{ está sobre las rectas e y está en la.ÑH970 œ Bß C − Î Bß C C œ #B C œ Ba b a b‘#
recta C œ #B ×
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60
Derivadas Parciales
:por definidas
, funciones lasson a respectocon y a respectocon de Primeras
parciales derivadas las entonces , variablesdos defunción una , ),( Sea
Conceptos
yx ffyxf
yxfz =
siempre que exista el límite.
),(),(lim),(),(
0 x
yxfyxxfyxf
x
z
x
yxf
x
x ∆
−∆+==∂
∂=∂
∂
→∆
y
yxfyyxfyxf
y
z
y
yxf
yy ∆
−∆+==∂
∂=∂
∂
→∆
),(),(lim),(),(
0
Es decir, si entonces para determinar se considera constante la variable y seD œ 0 Bß C ß 0 Ca b B
deriva con respecto a . De la misma forma , para obtener se considera constante la variable y seB 0 BC
deriva con respecto a C
Ejemplos À
Obtener en 0 ß 0 ÀB C
"Ñ 0 Bß C œ $B #C (B %Ca b # $
0 œ 'B ( 0 œ 'C %B C #
#Ñ 0 Bß C œ #BC *B &Ca b $ %
0 œ #C #(B 0 œ #B #!CB C# $
$Ñ 0 Bß C œ $BC %Ba b a b# $
0 œ $ $BC %B $C % 0 œ ")BC $BC %BB C# # #
# #a b a b a b
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%Ñ 0 Bß C œ #B &C$B #Ca b $
0 œ 0 œ# $B #C $ #B &C "&C $B #C # #B &C
$B #C $B #CB C
$ # $
# #
a b a b a b a ba b a b
0 œ 0 œ%C "&C #!C %&BC %B
$B #C $B #CB C
$ $ #
# #a b a b
&Ñ 0 Bß C œ BC B C B Ca b # $ % (
0 œ C #BC %B C 0 œ B $B C (B CB C$ $ ( # # % '
'Ñ 0 Bß C œ B/ >1 #B $CBCa b a b
0 œ / BC/ #=/- #B $C 0 œ B / $=/- #B $CBC BC BCB C# # #a b a b
(Ñ 0 Bß C œ 68 B C =/8 BC BC -9= BCa b a b a b a b# #
0 œ C -9= BC C-9= BC BC =/8 BC#BB CB # #
#a b a b a b
0 œ B -9= BC B-9= BC B C=/8 BC #CB CC # #
#a b a b a b
El concepto de derivada parcial también es posible extenderlo para una función de tres variables.
Sea , una función de tres variables, entonces las derivadas parciales primeras de A œ 0 Bß Cß D 0a b
con respecto a , a y a están definidas porB C D À
`0 Bß Cß D `A 0 B Bß Cß D 0 Bß Cß D
`B `B Bœ œ 0 Bß Cß D œ B Ä !
a b a b a ba bB lim? ? ?
`0 Bß Cß D `A 0 Bß C Cß D 0 Bß Cß D
`C `C Cœ œ 0 Bß Cß D œ C Ä !
a b a b a ba bC lim? ? ?
, z
`0 Bß Cß D `A 0 Bß Cß D D 0 Bß Cß D
`D `D Dœ œ 0 Bß C œ D Ä !
a b a b a ba bD lim? ??
siempre que el límite exista
Es decir, si para determinar se consideran constantes las variables y y seA œ 0 Bß Cß D 0 C DBa b
deriva con respecto a la variable . De esta misma forma para obtener se consideran constantes lasB 0C
variables y y se deriva con respecto a la variable . Por último, por igual camino para calcular seB D C 0D
consideran constantes las variables e y se deriva con respecto a la variable .B C D
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Ejemplos À
Obtener en0 ß 0 ß 0 ÀB C D
"Ñ 0 Bß Cß D œ #B %C &D $B %C Da b # $ %
0 œ %B $ 0 œ "#C % 0 œ #!D "B C D# $
#Ñ 0 Bß Cß D œ BC $CD %BD BCDa b
0 œ C %D CD 0 œ B $D BD 0 œ $C %B BCB C D
$Ñ 0 Bß Cß D œ BC/ 68 B C DBDa b a b
0 œ C/ BCD/ BD "B C DB
BD
0 œ B/ BD "B C DC
0 œ B C/ BD "B C DD
#
%Ñ 0 Bß Cß D œ $B &C#C Da b
0 œ $#C DB
0 œ œ & #C D # $B &C &D 'B
#C D #C DC # #
a b a ba b a b
0 œ $B &C
#C DD #a b
&Ñ 0 Bß Cß D œ 68 B C D =/8 $B C >1 &C %Da b a b a b a b# # #
0 œ $ -9= $B C#BB C DB # # # a b
0 œ -9= $B C &=/- &C %D#CB C DC # # #
#a b a b
0 œ %=/- $B C#DB C DD # # #
#a b
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'Ñ 0 Bß Cß D œ B/ C -9= BCD D BCDBCDa b a b È
0 œ / BCD/ C D =/8 BCD BCD BCD CD# BCDB
#
#a b È
0 œ B D/ -9= BCD BCD =/8 BCD BCD BD# BCDC
#
#a b a b È
0 œ B C/ BC =/8 BCD BCD BCD BCD# BCDD
# # a b È È
(Ñ 0 Bß Cß D œ =/8 #B $C >1 $C %D 68 &D Ba b a b a b a b$ #$ %
0 œ '=/8 #B $C -9= #B $C )Ò68 &D B Ó † "&D BB
# %a b a b a b a b
0 œ *=/8 #B $C -9= #B $C *Ò=/- $C %D Ó $C %DC # # $ #a b a b a b a b
0 œ "#Ò=/- $C %D Ó $C %D %!Ò68 &D B Ó † "&D BD
# $ # %a b a b a b a b
Ejercicios
I Determine y en:0 0B C
+Ñ 0 Bß C œ $B %C B C BCa b # $
,Ñ 0 Bß C œ 68 $B 'C -9= $BC ' B >1 #C "!a b a b a b a b
-Ñ 0 Bß C œ $B %C $B C %B )Ca b a bÈ ) ( '
.Ñ 0 Bß C œ (B )C%C *Ba b
II Determine y en:0 ß 0 0B C D
+Ñ 0 Bß Cß D œ BCD 68 $B %C &D %B 'C *Da b a b
,Ñ 0 Bß Cß D œ %B *C (Da b È$ % % (
-Ñ 0 Bß Cß D œ -9= $B 'C (D / B C D-9= BCDa b a b a b $ % '
.Ñ 0 Bß Cß D œ B68C D=/8CC>1B BC/a b D
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Solución
I +Ñ 0 œ $ #BC C 0 œ % B $BCB C$ # #
,Ñ 0 œ $C † =/8 $BC ' >1 #C "!$$B 'CB a b a b
0 œ $B † =/8 $BC ' #B † =/- #C "!'$B 'CC
#a b a b
-Ñ 0 œ #% $B C #)B$
# $B %CB
( 'È a b
0 œ ) $B C %)C#
$B %CC
( &È a b
.Ñ 0 œ 0 œ "!!C "!!B
%C *B %C *BB C# #a b a b
II +Ñ 0 œ CD % 0 œ BD '$ %$B %C &D $B %C &DB C
0 œ BC *&$B %C &DD
,Ñ 0 œ 0 œ"'B $'C
$ %B *C (D $ %B *C (D
B C
$ $
% % ( % % (# #É Éa b a b$ $
0 œ %*D
$ %B *C (D
D
'
% % ( #Éa b$
-Ñ 0 œ $=/8 $B 'C (D CD † =/8 BCD † / $B C D-9= BCDB # % 'a b a b a b
0 œ '=/8 $B 'C (D BD † =/8 BCD † / %B C D-9= BCDC $ $ 'a b a b ab
0 œ (=/8 $B 'C (D BC † =/8 BCD † / 'B C D-9= BCDD $ % &a b a b a b
.Ñ 0 œ 68C C>1B BC/ B68C D=/8C C=/- B C/
D
C>1B BC/DB
D #
#
a b a ba ba b
0 œ
B
C D-9=C C>1B BC/ B68C D=/8C >1B B/
D D
C>1B BC/DC #
Πa b a ba ba b
0 œ =/8C C>1B BC/ B68C D=/8C BC/
D D
C>1B BC/DD #
a ba b a ba ba b
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Derivación implícita
Cuando no es posible despejar una variable en función de las restantes se usa el concepto de
derivada implícita.
Si , es decir, es una función de dos variables que depende de e . Para obtener D œ 0 Bß C D B C `D`Ba b
se considera constante la variable y se deriva implícitamente con respecto a . C D B
Para obtener se considera constante la variable y se deriva implícitamente con respecto a
`D
`C B D
C.
Obtener , enEjemplo À À`D `D`B `C
"Ñ B C D œ #&# # #
Para
`D
`B
#B #D † œ ! Ê œ `D `D B`B `B D
Para
`D
`C
#C #D † œ ! Ê œ `D `D C`C `C D
#Ñ >1 B C >1 C D œ "a b a b
Para
`D
`B
=/- B C =/- C D † œ !`D`B
# #a b a b
`D =/- B C
`B =/- C Dœ
#
#
a ba b
Para
`D
`C
=/- B C =/- C D † " œ !`D`C
# #a b a b Œ
`D =/- B C =/- C D
`C =/- C Dœ
# #
#
a b a ba b
$Ñ D † / C † / / œ #BD CD BC
Para
`D
`B
`D `D `D
`B `B `B† / D † / † D B † C † / † C/ œ !
BD BD CD BCΠ#
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`D D / C/
`B / BD/ C /œ
BD BC
BD BD CD
#
#
Para
`D
`C
`D `D `D
`C `C `C† / BD † / † / C † / † D C † B/ œ !
BD BD CD CD BCŒ
`D / CD/ B/
`B / BD/ C /œ
CD CD BC
BD BD CD#
%Ñ / >1 CD œ 68 BCD -9= BDBCD a b a b a b
Para
`D
`B
/ CD BC C=/- CD œ CD BC =/8 BD † D BBCD `D `D " `D `D`B `B BCD `B `BŒ Œ Œ a b a b#
`D
`B œ
"
B D=/8 BD CD/
BCD
BC/ C=/- CD B=/8 BDBCD "D
a b
a b a b#
Para
`D
`C
/ BD BC =/- CD D C œ BD BC B=/8 BDBCD `D `D " `D `D`C `C BCD `C `CŒ Œ Œ a b a b#
`D
`B œ
"
C D=/- CD BD/
BCD
BC/ C=/- CD B=/8 BDBCD "D
#
#
a b
a b a b
Ejercicios
Obtener y en
`D `D
`B `C À
+Ñ B %C *D œ $'# # #
,Ñ CD BD BC BCD œ !
-Ñ $B %C 'D œ '!% $ &
.Ñ #B C D œ 68D
/Ñ =/8ÐB CÑ -9=ÐC DÑ =/-ÐD BÑ œ "
0Ñ B/ C=/8 CD œ D>1 BDBC a b a b
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Solución
+Ñ œ œ`D B `D %C`B *D `C *D
,Ñ œ œ`D CD D C `D BD D B`B C B BC `C C B BC
-Ñ œ œ `D #B `D #C`B &D `C &D
$ #
% %
.Ñ œ œ`D # `D "`B `C" "
D D " "
/Ñ œ`D -9= B C =/- B D >1 B D`B =/8 C D =/- B D >1 B D
a b a b a ba b a b a b
`D -9= B C =/8 C D
`C =/8 C D =/- B D >1 B Dœ
a b a ba b a b a b
0Ñ œ`D D =/- BD / BC/`B C -9= CD >1 BD BD =/- BD
# # BC BC
# #
a ba b a b a b
`D B / =/8 CD CD -9= CD
`C >1 BD BD =/- BD C -9= CDœ
# BC
# #
a b a ba b a b a b
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Regla de la cadena
Teorema : Supóngase que ),( yxfz = , es una función de dos variables y que existen
y
y
z
x
z
∂
∂
∂
∂
con ),( srfx = e ),( srfy = funciones de sr y para las cuales
existen las derivadas .,,,
s
y
r
y
s
x
r
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Luego,
s
z
r
z
∂
∂
∂
∂ y existen y vienen dadas por:
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
∂
∂⋅∂
∂+∂
∂⋅∂
∂=∂
∂
r
y
y
z
r
x
x
z
r
z
∂
∂⋅∂
∂+∂
∂⋅∂
∂=∂
∂
Ejemplos
1) Determine en:
`D
`<
D œ B C# #
B œ = <$ %
C œ =<
`D `D `B `D `C
`< `B `< `C `<œ † †
`D `D `B `C
`B `C `< `<œ #B œ #C œ %< œ =
$
`D
`< œ #B %< #C =a b a ba bˆ ‰$
V
IR
G
IN
IO
G
O
M
E
Z
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2) Determine en:
`D
`=
D œ C $B C$ #
B œ <-9= =a b
C œ <=/8 =a b
`D `D `B `D `C
`= `B `= `C `=œ † †
`D `D `B `C
`B `C `= `=œ 'BC œ $C $B œ <=/8 = œ <-9= =
# # a b a b
`D
`= œ 'BC <=/8 = $C $B <-9= =a ba b a ba b a bˆ ‰# #
3) Determine y en:
`D `D
`+ `,
D œ =/8 #B $Ca b
B œ >1 + /a b ,
C œ 68 " + -9= $,a b a b
`D `D `B `D `C
`+ `B `+ `C `+œ † †
`D `D
`B `Cœ #-9= #B $C œ $-9= #B $Ca b a b
`B `C "
`+ `+ " +œ =/- + œ
#a b
`D "
`+ " +œ #-9= #B $C =/- + $-9= #B $C a b a b a ba b a bˆ ‰ Œ #
`D `D `B `D `C
`, `B `, `C `,œ † †
`D `D
`B `Cœ #-9= #B $C œ $-9= #B $Ca b a b
`B `C
`, `,œ / œ $=/8 $,
, a b
`D
`+ œ #-9= #B $C / $-9= #B $C $=/8 $,a b a ba ba b a b a bˆ ‰,
V
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G
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IO
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El teorema también es aplicable para funciones de tres variables
Si ),,( zyxfw = es una función de tres variables para la cual existen
z
w
y
w
x
w
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ,, con ),(;),(;),( srfzsrfysrfx === .
Entonces w es función de sr y , luego
s
w
r
w
∂
∂
∂
∂ y existen y están definidas por:
r
z
z
w
r
y
y
z
r
x
x
w
r
w
∂
∂⋅∂
∂+∂
∂⋅∂
∂+∂
∂⋅∂
∂=∂
∂
s
z
z
w
s
y
y
z
s
x
x
w
s
w
∂
∂⋅∂
∂+∂
∂⋅∂
∂+∂
∂⋅∂
∂=∂
∂
:Ejemplos
1) Obtener en:
`A
`<
A œ B #CD D# $
B œ -9= < /=a b
C œ #< $=
D œ 68 < >1 #=a b a b
`A `A `B `A `C `A `D
`< `B `< `C `< `D `<œ † † †
`A `A `A
`B `C `Dœ #B œ #D œ #C $D
#
`B `C `D "
`< `< `< <œ =/8 < œ # œa b
`A "
`< <œ #B =/8 < #D # #C $Da ba b a ba ba b ˆ ‰Œ #
V
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G
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2) Obtener en:
`A
`=
A œ -9= B C Da b# $
B œ < =$ %
C œ =/8 $<#a b
D œ >1 %= (a b'
`A `A `B `A `C `A `D
`= `B `= `C `= `D `=œ † † †
`A `A
`B `Cœ #B=/8 B C D œ =/8 B C D
ˆ ‰ ˆ ‰# $ # $
`A
`D œ $D =/8 B C D
# # $ˆ ‰
`B `C `D
`= `= `=œ %< = œ ! œ #%=/- %= ( † %= (
$ $ # ' &a b a b
`A
`= œ #B=/8 B C D %< = $D =/8 B C D #%=/- %= ( † %= (
ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ a b a b# $ $ $ # # $ # ' &
3) Determine en :
`A
`+
A œ BCD
B œ +-9= , =/8 ,a b a b
C œ 68 + +=/8 ,a b a b
D œ #+ $,
`A `A `B `A `C `A `D
`+ `B `+ `C `+ `D `+œ † † †
`A C `A B `A BC
`B D `C D `D Dœ œ œ #
`B `C " `D
`+ `+ + `+œ -9= , œ =/8 , œ #a b a b
`A C B " BC
`+ D D + Dœ -9= , =/8 , #Š ‹ Š ‹ Š ‹a b a b a ba b Œ #
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Otra aplicación de la regla de la cadena es la siguiente:
1) Sea ),( yxfz = una función de dos variables donde y
y
z
x
z
∂
∂
∂
∂ existen,
con )(tfx = e )(tfy = , entonces z depende de t y
t
z
∂
∂ queda definida por:
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
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