ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (Metodos Clasicos) 2 Parte Jack. C. McCormac.

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edlctone-s técnicas Í1.Alfaomega 
Métodos Clásico y Matricial 
Jack C. McCormac 
CUARTA EDICIÓN I • • na 1515 de 
12ª PARTEI 
, , 
METODOS CLASICOS 
T ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADAS 
PARTE DOS 
297 
Cuando una estructura tiene más reacciones externas y/o fuerzas internas que las que pueden 
determinarse con las ecuaciones de equilibrio estático (incluyendo cualesquier ecuaciones de con­ 
dición). esa estructura es estáticamente indeterminada o hiperestauca. Una carga situada en alguna 
parte de una estructura hiperestáiica o continua producirá fuerzas cortantes, momentos flexionan­ 
tes y deflcxioncs en la'> otras partes de la estructura. En otras palabras. las cargas aplicadas a una 
col umna afectan a las vigas. a las losas. a otras columnas) , ice versa. Esto es a menudo cieno. pero 
no necesariamente así con las estructuras estáticamente determinadas, 
Hasta ahora este texto se ha dedicado por completo a las estructuras estáticamente determi­ 
nadas. y el lector podría considerar. equivocadamente. que esas estructuras son las más comunes 
en la práctica. La verdad es que es difícil encontrar una viga ideal simplemente apoyada. Proba­ 
blemente el mejor lugar para buscar una sería en un libro de texto sobre estructuras, ya que las co­ 
nexiones atornilladas o soldadas entre vigas y columnas no son en realidad condiciones verdaderas 
de apoyo simple con momento nulo. 
Lo mismo puede decirse de las armaduras estáticamente determinadas. Los nudos atornilla­ 
dos o soldados no son en realidad pasadores sin fricción. como se supuso anteriormente. Los otros 
supuestos sobre las armaduras que se asumieron en los primeros capítulos tampoco son del todo 
verdaderos y. en sentido estricto. todas las armaduras son estáticamente indeterminadas, ya que 
contienen momentos y fuerzas secundarias, 
Casi todas las estructuras de concreto reforzado son hiperesráticas. El concreto para gran 
parte de un piso de concreto. incluyendo las vigas de apoyo. así corno las trabes, y Lal vez parles de 
las columnas. pueden colarse al mismo tiempo. Las varillas de refuerzo se extienden <le elemento 
a elemento estructural. así como de claro a claro. Cuando se tienen juntas de construcción. las 
varillas de refuerzo se dejan sobresalir del concreto para poder empalmarse o unirse a las vari­ 
llas del concreto que hahrá de colarse después. Además. el concreto viejo se I impia y tal vez se 
pica de manera que el nuevo se adhiera a él tanto como sea posible. El resultado de todo esto 
es que las estructuras de concreto reforzado son por lo general monolíticas o continuas y. por ello, 
estáticamente indeterminadas. 
Tal vez la única manera de construir una estructura de concreto reforzado estáticamente 
determinada sea basándose en elementos prefabricados en una planta de concreto y ensamblados 
en el lugar de la obra. Sin embargo. incluso estructuras como éstas tienen cierta continuidad en 
sus nudos. 
14.1 INTRODUCCIÓN 
Introducción a las estructuras 
estáticamente indeterminadas 
Capítulo 14 
El momento ñexionante máximo en la viga doblemente empotrada es sólo dos tercios del 
que se presenta en la viga simplemente apoyada. Por lo general, es difícil empotrar o fijar por 
completo los extremos de una viga. sobre todo en el caso de un puente. Por esta razón se emplean 
a menudo claros laterales, como se ve en la figura 14.2. Estos claros fijan en forma parcial a los 
soportes interiores, reduciéndose así el momento en el claro central. En la figura se presentan de 
manera comparativa los momentos ñexionantes que se producen en tres vigas simples con carga 
uniforme (claros de 60, l 00 y 60 pies) y los que aparecen en una viga continua, también con car­ 
ga uniforme, sobre.esos tres claros. 
Figura 14.1 (a) Una viga simple y (b) una viga doblemente empotrada. 
(b) (a) 
' wL­124 
' wL·/8 
e. 
l l l ~ Ernpo- ~l="'­'­­­'­­­'..__­1­_.L_­­.1_...1­~_ •·; Empo- 
rramicnio 'º f tramiento 
w w 
En la medida en que se incrementan los claros de las estructuras simples, sus momentos ñexio­ 
nantes aumentan con rapidez. Si el peso de una estructura por unidad de longitud permanece cons­ 
tante, de manera independiente del claro. el momento por carga muerta variará en proporción con 
el cuadrado de la longitud del mismo (M"'"" = wL2/8). Sin embargo, esta proporción no es correcta 
debido a que el peso de las estructuras debe aumentar a medida que los claros son 111ás grandes. con 
el fin de que sean lo suficientemente fuertes y resistan el incremento de los momentos flexionantcs. 
Por lo tanto. el momento por carga muerta crece más rápido que el cuadrado del claro. 
Por motivos de economía. en el caso de grandes distancias entre apoyos se justifica la utiliza­ 
ción de cipos de estructuras que tengan momentos menores que los de gran intensidad que aparecen 
en las estructuras simplemente apoyadas de grandes claros. En el capítulo 4 se presentó un tipo de 
estructura que reduce en forma considerable los momentos Ilexionantes: la de voladizo. A conti- 
nuación se presentan otros dos tipos de estructuras que reducen los momentos de flexión. 
En ciertos casos es posible tener una viga con ambos extremos empotrados en lugar de una 
viga simplemente apoyada En la figura 14.1 se comparan los momentos flexionantes desarrollados 
en una viga simplemente apoyada con carga uniforme con los momentos de una viga doblemente 
empotrada eón carga también uniforme. 
14.2 ESTRUCTURAS CONTINUAS 
Hasta los primeros años del siglo xx, los ingenieros en Estados Unidos evitaron, siempre que 
fue posible. el empleo de las estructuras estáticamente indeterminadas. Sin embargo, tres grandes 
desarrollos.cambiaron esta actitud. Estos desarrollos fueron las estructuras monolíticas de concreto 
reforzado, la soldadura de arco en las estructuras de acero y los métodos modernos de análisis. 
298 PARTE DOS. ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
El momento flcxionante máximo en el caso de una viga continua es casi 40% menor que 
cuando se tienen las vigas simples. Por desgracia, no existe un correspondiente 4()'}f de reducción 
en el costo total de la estructura. El factor real de reducción de costo probablemente sea un pe- 
queño porcentaje del costo total de la estructura. debido a que conceptos tales como cimentación, 
conexiones y sistemas de piso. no se reducen en forma importante al reducirse los momentos. Al 
variar las longitudes de los claros laterales cambiará la magnitud del momento máximo que ocurre 
en el elemento continuo. Para una carga constante uniforme sobre los tres claros, el menor mo- 
mento ocurrirá cuando los claros laterales tengan tanto como 0.3 a 0.4 veces la longitud del claro 
central. 
En la explicación anterior se vio que los momentos máximos desarrollados en las vigas se 
reducen bastante por la continuidad en la estructura. Esta disminución se produce en lugares donde 
las vigas están rígidamente unidas entre sí. o bien, donde las vigas se conectan en forma rígida 
a las columnas de una estructura. Existe continuidad de acción en la resistencia a una carga aplica- 
da en cualquier parte de una estructura continua, debido a que la carga es resistida por el esfuerzo 
combinado de todos los elementos del marco. 
(b) Diagramas de momentos si se usa una viga continua. 
Figura 14.2 Comparación de los momentos llexionantes en tres vigas simples contra una viga 
coruinua. 
­:2 2:l41.lb­píc ­:2 :!:l..t klb­pre 
~ = , 1-lhtric 
,Sl ¡ ¡ ¡ 1 ¡! 1 1 ¡ I I 1 ' I I ~ ¡ I I ~i­. • ~ • fl . ·r ~ .:l"º ­~6{lp1e, IOO pies 60pics~ • • 
1 516 klb­pie 
46-l klh-pie 464 klb-pie 
1a1 Diagramas de rnomemos s1 se usan tres vigas simples. 
.1 750 klh­pie 
1 350klb·p::L ~ "º klb­pre L . ~ 
w=, klh/píc w = 3 klh/pie w = 1 1.lh/píe I I ¡ 1 1 I I 1 1 I i_JL l ! j ¡.¡.t, 
60 píes • • 100 pies 
. ·1 60pies~· • J 
CAPÍTULO 14 INTRODUCCIÓNA LAS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 299 
Mayores factores de seguridad 
Las estructuras estáticamente indeterminadas tienen con frecuencia mayores factores de seguridad 
que las estáticamente determinadas. Cuando partes <le estructuras estáticamente indeterminadas 
de acero o de concreto reforzado resultan sobreesforzadas, éstas tienen a menudo la capacidad 
Los menores momentos flexionantes desarrollados permiten que el ingeniero seleccione elementos 
más pequeños para las componentes estructurales. El ahorro de material posiblemente puede ser 
del orden de I O a 20o/<' para puentes carreteros. El gran número de inversiones en las fuerzas que se 
producen en puentes ferroviarios permite sólo ahorros o economías de 1 O por ciento. 
Un elemento estructural de determinadas dimensiones podrá soportar más carga si es parte de 
una estructura continua que si estuviese simplemente apoyado. La continuidad permite el uso 
de elementos de menores dimensiones para las mismas cargas y claros, o bien. un mayor espa­ 
ciamiento de los apoyos para elementos de iguales dimensiones. La posibilidad de utilizar menos 
columnas en los edificios, o un menor número de pilares en el caso de los puentes. puede ocasionar 
una reducción global de los costos. 
Las estructuras continuas de concreto o acero son menos costosas al no tener las articulaciones. 
los pasadores y los demás elementos requeridos para ser estáticamente determinadas. como era la 
práctica en épocas pasadas. Las estructuras de concreto reforzado de tipo monolítico se edifican de 
manera que son naturalmente continuas y estáticamente indeterminadas. La instalación de articu­ 
laciones y de otros mecanismos de apoyo necesarios para convertir esos sistemas estructurales en 
estructuras estáticamente determinadas no sólo presentaría difíciles problemas de construcción, 
sino que además elevaría bastante los costos. Más aún, una construcción constituida por columnas 
y por vigas simplemente apoyadas necesariamente tendría que reforzarse utilizando contraventeo 
diagonal indeseable entre sus juntas, coa el fin de tener una estructura estable y rígida. 
Ahorro de materiales 
AJ comparar las estructuras hiperestáticas con las isostáticas. la primera consideración para la 
mayoría de los ingenieros deberá corresponder al costo. Sin embargo. es imposible justificar eco­ 
nómicamente la selección de uno u otro cipo de estructura sin ciertas reservas. Cada forma estruc­ 
tural presenta una situación diferente y única y. por lo canto. deberán tenerse en cuenta todos los 
factores. sean éstos de índole económica o de otro tipo. En general. las estructuras esráticameruc 
indeterminadas tienen ciertas ventajas que se describen a coruinuación. 
14.3 VENTAJAS DE LAS ESTRUCTURAS INDETERMINADAS 
Puente de arco sobre el río Colorado, Uiah. Ruta 95. (Cortesfu del 
Departamento de Transporte de> Utah.) 
• 
300 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
I J C. McCom1ac y J. K. Nelson. Jr, S1n,c111ml Steel fJ1r1i.rz11 LRFD Met//fJd, J¡1­ ed. (upper Saddle River, N. J.; 
Prenticc Hall. 2(l03}. 2.2 l­.23 l. 
Adaptabilidad al montaje en voladizo 
El método de montaje en voladizo de puentes es de gran valor cuando las condiciones por debajo 
del nivel de la superficie de rodamiento del puente (tráfico naval o niveles muy profundos del agua) 
obstaculizan el montaje de la ohra falsa. Los puentes continuos estáticamente indeterminados y 
los de tipo en voladizo pueden edificarse en forma conveniente con el método de montaje en vo­ 
ladizo. 
Puente Broadway Street con sección en voladizo en proceso de mon- 
taje, Kansas Ciry, Missoun. (Cortesía de la USX Corporation.) 
Es difícil imaginar a las estructuras estáticamente determinadas con la belleza arquitectónica de 
muchos arcos y marcos rígidos hiperesráricos que se construyen hoy día, 
Estructuras más atractivas 
Mayor rigidez y menores deflexiones 
Las estructuras estáticamente indeterminadas son más rígidas que las estáticamente determinadas 
y sus dcflexiones son menores. Gracias a su continuidad. son más rígidas y tienen mayor estabili­ 
dad frente a todo tipo de cargas (horizontal. vertical. móvil. etcétera). 
de redistribuir parle de esos esfuerzos a zonas con menor esfuerzo. Las estructuras estáticamen- 
te determinadas no tienen por Jo general esta capacidad.' Si los momentos ñexionantes en una 
componente de una estructura estáticamente determinada alcanzan la capacidad por momento úl­ 
timo de esa componen Le. la estructura fallará. Éste no es el caso en estructuras estáricamentc indc­ 
terminadas. ya que la carga puede redistribuirse a otras panes de la estructura. 
Puede mostrarse con claridad que una viga o un marco estáücameruc indeterminado, por lo 
regular no fallará cuando su capacidad de momento último se alcance en sólo una sección. Más 
bien, habrá una redistribución de Los momentos en la estructura. Su comportamiento es muy simi­ 
lar al caso en que tres hombres caminan con un tronco en sus hombros y uno de ellos se cansa y 
baja su hombro un poco. El resultado es una redistribución de cargas a los otros hombres. cambian­ 
do así las fuerzas cortantes y los momentos flexionantcs a lo largo del tronco. 
CAPITULO 14 INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 301 
Por lo general. en las estructuras hiperestáticas se produce un mayor número de inversiones de 
fuerza que en las estructuras isosráticas. En algunas ocasiones se requiere más material de refuerzo 
en ciertas secciones de la estructura para resistir los diferentes estados de esfuerzo y para evitar 
fallas por fatiga. 
Inversión de esfuerzos 
Dificultad de análisis y diseño 
Las fuerzas en las estructuras estáticamente indeterminadas no sólo dependen de sus dimenslones, 
sino también de sus propiedades elásticas) de las secciones transversales (módulo de elasticidad. 
momentos de inercia y áreas). Esta situación da lugar a una seria dificultad en cuanto a su diseño: no 
podrán determinarse las fuerzas sino hasta conocer las dimensiones de los elementos estructurales, 
y no podrán determinarse las dimensiones si no se conocen antes las fuerzas que actúan en ellos. 
El problema se resuelve suponiendo las dimensiones de sus elementos y calculando las fuerzas, 
diseñando los elementos para esas fuerzas y evaluando las fuerzas para las nuevas dimensiones 
supuestas, y así sucesivamente. hasta lograr el diseño final. El cálculo mediante este procedimien­ 
ro (método de aproximaciones sucesivas) es más tardado que el que se requiere para diseñar una 
estructura isostáiica similar. pero el costo adicional sólo cs. una pequeña parte del costo total de 
la estructura. Estos diseños se llevan u cabo de la mejor manera por medio de la interacción del 
diseñador con una computadora. La computación interactiva se usa mucho en la actualidad en las 
industrias automotriz y aeronáutica. 
El hundimiento de los apoyos no es la única condición que altera los esfuerzos que se producen en 
estructuras estáticamente inderermi nadas. Los cambios en la posición relativa de los elementos es­ 
tructurales causados por variación de temperatura. fabricación deficiente o deformaciones internas 
por acción de la carga. pueden causar cambios graves en las fuerzas en toda la estructura. 
Aparición de otros esfuerzos 
Asentamiento de los apoyos 
Las estructuras hiperesráticas no resultan convenientes en todos aquellos casos donde las condi­ 
ciones de cimentación son desfavorables. pues los asentamientos o ladeos que se presentan en los 
apoyos de la estructura. por leves que parezcan. pueden causar cambios notables en los momen­ 
tos ñcxionantes. las fuerzas cortantes. las reacciones y las fuerzas en los miembros. En los casos 
donde se realice la consrrucción de puentes con estructura hipercstática, a pesar de que existan 
condiciones de cimentación deficientes. suele ser necesario cuantificar físicamentelas reacciones 
debidas u carga mue na. Los puntos de apoyo del puente se levantan o e bajan de manera mecánica 
hasta un nivel en donde se presente la reacción calculada. Entonces los apoyos de la estructura se 
construyen hasta ese nivel. 
Un análisis comparativo de las estructuras estáticamente determinadas con las estáticamente in­ 
determinadas pone de relieve que estas últimas poseen ciertas desventajas que las hacen poco 
prácticas en muchas aplicaciones. Estas desventajas se explican con todo detalle. en los párrafos 
siguientes. 
14.4 DESVENTAJAS DE LAS ESTRUCTURAS 
INDETERMINADAS 
302 PARTE 005 ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
• J. 1. Pared y R. B. R. Moo1111an. Anulysis t?(Swtín1/ly lndeterrninate Str11c111re.1. (Nueva York. Wiley. 195.5). p. 41:l. 
J J. S. Kinney. lndeterminate Struciura! A1111/ysis I Reading, Mass .. Addison­Weslcy, 1957 ). pp. 12­13. 
Métodos de los desplazamientos o de las rigideces 
En los métodos de análisis de desplazamientos se establecen ecuaciones con los desplazamientos 
de los nudos (rotaciones y traslaciones] necesarios para describir completamente la configuración 
deformada de la estructura. a diferencia de las ecuaciones del método de fuerzas que contienen 
acciones redundantes. Al resolver las ecuaciones simultáneas se encuentran esos desplazamientos. 
los cuales se sustituyen en las ecuaciones originales para determinar las diversas fuerzas internas. 
En el método de fuerzas se formulan ecuaciones de condición que implican un desplazamiento en 
cada una de las fuerzas redundantes en la estructura para proporcionar las ecuaciones adicionales 
necesarias para la solución. Se escriben ecuaciones Je desplazamiento por y en la dirección de 
las fuerzas redundantes; se escribe una ecuación para la condición de desplazamiento en cada 
fuerza redundante. De las ecuaciones resultantes se despejan las fuerzas resultantes, que deben 
ser suficieruerncntc grandes para satisfacer las condiciones de frontera. Como veremos pronto, las 
condiciones de frontera no necesariamente tienen que ser un desplazamiento cero. Los métodos de 
fuerzas también se llaman métodos defiexibilidades o métodos de compatibilidad. 
James Clerk Maxwell publico por primera vez en 1864 un método de fuerzas para analizar 
estructuras hipcresiáucas. Su método se basó en una consideración de las dcflcxiones, pero la ex­ 
posición (que incluía el teorema de las deflcxioncs recfprocas) fue muy breve y no llamó mucho 
la atención. Diez años después Ouo Mohr. independientemente. amplió la tcorfa hasta darle casi 
su estado actual de desarrollo. El análisis de estructuras redundantes empleando deílexiones se 
denomina, en algunas ocasiones. método de Maswell-Mohr o método de las deformaciones con- 
sistentes. :!.J 
Los métodos de fuerzas del análisis estructural son útiles para analizar vigas. marcos y arma­ 
duras estáticamente indeterminadas de primero o segundo grados. Son también útiles para algunos 
marcos de un solo nivel con dimensiones poco comunes. Para estructuras de gran indeterminación 
estática. como son los edificios de múltiples niveles y las armaduras complejas grandes, otros 
métodos son más apropiados y útiles. Estos métodos. que incluyen a la distribución de momentos 
y los métodos matriciales. que se verán en capítulos posteriores, son mucho más convenientes. De 
hecho, los métodos de fuerzas han sido superados casi por completo por los métodos de análisis 
descritos en la parte tres de este texto. Sin embargo. el estudio de los métodos de fuerzas propor­ 
ciona un claro entendimiento del comportamiento de las estructuras estáticamente indeterminadas 
que no se podrfa obtener de otro modo. 
Métodos de fuerzas 
Las estructuras estáticamente indeterminadas contienen más fuerzas desconocidas que ecuaciones 
disponibles de cqui I i brio estático para su solución. Por ello. estas estructuras no pueden analizarse 
usando sólo las ecuaciones de equilibrio estático: se requieren ecuaciones adicionales. Las fuer­ 
zas no necesarias para mantener a una estructura en equilibrio y estable son fuerzas redundantes. 
Las fuerzas redundantes pueden ser fuerzas de reacción o fuerzas en los miembros que constituyen 
a la estructura. Hay dos enfoques generales que se usan para encontrar las magnitudes de esas fuer­ 
zas redundan res: métodos de f11e1 ... as y métodos de despluziuuientos. En esta sección se anal izan 
las bases de estos métodos. 
14.S MÉTODOS PARA ANALIZAR ESTRUCTURAS 
ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
CAPITULO 14 INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 303 
En los capítulos 15 al 18 se presentan varios métodos clásicos de análisis de estructuras estática­ 
mente indeterminadas, Entre ellos figuran el método de las deformaciones consistentes. los teore­ 
mas de Castigliano y el método de pendierue­deflexión. Los primeros dos métodos son métodos 
de fuerzas. mientras que el último es de análisis por desplazamientos. Esos métodos. son principal­ 
mente de interés histórico y casi nunca se usan en la práctica. Sin embargo. constituyen Ja base de 
los métodos modernos de análisis. 
El autor ha incluido en la parte tres (capítulos 19 al 25) métodos para analizar estructuras es­ 
táticamente indeterminadas. usados a menudo hoy día por los ingenieros estructurales, Primero se 
presentan varios métodos aproximados de análisis y Juego se estudian con todo detalle los métodos 
de distribución de momentos y los matriciales. Hablando honestamente. los análisis de compu­ 
tadora basados en los métodos matriciales son casi el .. único juego en casa" en la actualidad. 
14.6 MIRANDO HACIA ADELANTE 
El método de los desplazamientos más comúnmente usado es el método matricial que se presenta 
en los capítulos 22 al 25. 
304 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
Si se retiran las cargas ex temas de la viga y se coloca una carga unitaria en 8. se desarrollará 
una deflexión en B igual a iltib, como se indica en la figura 15.l(c). Las deílexiones debidas a las 
cargas externas se denotan aquí con letras mayúsculas. La deflexión en el punto C en una viga 
debida a las cargas externas sería óc. Las deflexiones debidas a la carga unitaria imaginaria se 
Figura IS. I 
Apoyo B reemplazado 
(d) 
Carga unitaria 8 
(C) 
P1 1 p~ 
~ ' ~ =­­t r= f 
6u 
Apoyo B retirado 
(b) 
P, P, 
r ! --- t --- l "1 
VII ÁH Ve v,3== ·­ 
Ább t t 
P, p, 
A i B ! e 
~ :Ji ~~ 
V" t tvn t V, 
Viga original 
(a) 
Al método de fuerzas para el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas frecucntcrncn- 
Le se le denomina método de fas distorsiones consistentes. Como una primera ilustración de las 
distorsiones consistentes se considera a la viga de dos claros de la figura 15.1 (a). Se supone que 
la viga consiste en un material que sigue la ley de Hooke. Esta estructura estáticamente indeter­ 
minada sustenta las cargas P1 y P1 y a su ver es sustentada por las componentes de reacción en 
los puntos A. B y C. La remoción del apoyo B dejaría una viga estéticamente determinada. lo que 
prueba que la estructura es estáticamente indeterminada en primer grado. Con este apoyo elimi­ 
nado es una cuestión simple encontrar la dcllexión en B . ..ici, en la figura 15. I (b), causada por las 
cargas externas. 
15.1 VIGAS Y MARCOS CON UNA REDUNDANTE 
Métodos de fuerzas para el análisis 
de estructuras estáticamente 
indeterminadas 
Capítulo 15 
.ó.a + VaAht, = O 
6.a Va=-- 
.ó.hb 
El signo negativo en esta expresión indica que V 8 está en dirección opuesta a la carga unita­ 
ria hacia abajo. Si la solución de la expresión arroja un valor positivo, la reacción está en la misma 
dirección que la carga unitaria. Los ejemplos 15.1 a 15.4 ilustran el método de fuerzas para calcu­ 
lar las reacciones de vigas estáticamente indeterminadas que tengan una componente de reacción 
redundante. El ejemplo 15.5 muestraque el método puede ampliarse para incluir tamhién marcos 
estáticamente indeterminados. Las deflexiones necesarias para los primeros cuatro ejemplos se 
determinan con el procedimiento de la viga conjugada, mientras que las Je! ejemplo 15.5 se de­ 
terminan mediante el trabajo virtual. Después Je encontrar el valor de la reacción redundante para 
cada problema, las otras reacciones se determinan mediante la estática, y se trazan diagramas de 
fuerza cortante y de momento. 
denotan con dos letras minúsculas. La primera letra indica la posición de la deflexión y la segunda 
indica la posición de la carga unitaria. La deflexión en E causada por una carga unitaria en B sería 
Aeb· A los desplazamientos causados por las cargas unitarias se les llama a menudo coeficientes de 
flexibilidad. 
El apoyo B no es susceptible de asentamientos, y su remoción es simplemente una suposi­ 
ción de conveniencia. Una fuerza hacia arriba está presente en By es suficiente par evitar cualquier 
deflexión, o, si continuamos con la linea de razonamiento ficticia, hay una fuerza en B que es 
suficientemente grande para empujar al punto B de regreso a su posición original sin deñexión. La 
distancia que el apoyo debe ser empujado es A11• 
Una carga unitaria en B causa una dcflcxión en B igual a .ó.bb y una carga en B de 10 klb 
causará una deflcxión de 10.ó.bb· Similarmente, una reacción hacia arriba en B de V8 empujará a B 
hacia arriba una cantidad V A.ó.bb· La detlexión tola! en B debida a las cargas externas y la reacción 
V 8 son cero y pueden expresarse corno sigue: 
Viaducto I­180. Cheyenne. Wyoming. (Cortesía del 
Departamento estatal de carreteras de Wyoming.) 
306 PAR1E DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
Calculando .6.1l, Át,b y Vn 
Elt.a = (20)(11 400)­ G)(20)(750)(6.67) ­ (J)~~0)3 (10) 
+ (1 430)(25) ­ (!) (25)( 111 )(8.33) 
EIAB = 182 100 klb-pie.' 
EJAvt, = (20)(130) ­ (1)("0)( 11.1)(6.67) 
Ellibb = l 860 pie' 
li8 182 100 Va=--=- =98klb f 
Átib l 860 
130 klb­píc..2 120 klb­pie2 
El Diagrama :~ para la carga unitaria en 8 El 
t 11.1 klb-pié El t 
1 ' 
t L 156 ldb­pie 111 klb­pk _J r­1 El IU pies­¡­10 pi~~­1 25 pies 
2 080 klb-pi-:2 l -130 klb-pie~ 
El Diagrama ~ para una carga de 20 klh El 
p F • 
750 klh-pii:: 760 klb-pic 
El El V' . d '::, ,/ igu conjuga a .e:= ,¡ t7 ~ 
f.­20 pics­lL2s pies t s r,.:., 11 400 klb-pié1 M 11 4()() klh-pic~ 
El Diagrama El para carga uniforme El 
Figura 15.2 
Solución. Separando la carga uniforme y la carga concentrada y trazando sus diagramas~­ 
E = 29 X IO~ lhlpJg'.! 
1~6 000 plg 
Determinar las reacciones y dibujur los diagramas de fuerza cortante y de momento flcxionante 
para la viga con dos claros de la figura 15.2; suponga que V 8 es la redundante; E el son cons­ 
tantes. 
CAPÍTULO 15 MÉTODOS DE FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 307 
Figura I s.a 
20 klb 30 klb MA( 1-A • i B 
I O pies ~-1 O pies ­L 10 pies _Jv n 
i------30 pics­­­­­J 
Determinar las reacciones y trazar los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga 
apuntalada mostrada en la figura 15.3. Considere que Vs es la redundante: E e I son constantes. 
• :.no klb­pie 
136 klb­pie 134 klb­pie e + ::::::--,.. e::::::::::: + ::::::::,.,. 'S7 
.... ' ,. ,,;, 9_i pies ' ,v ,·­ 9.5 pies 
1.~1 ­ ­­­­.:::::::¿J28.5 klb 
1 213'­..j )1.5 
~0.5 pies 
Á OH • t ~ ~ 
28.5 klb r----. 1 f+::::::­....__ 4651~ ­­­­­­ 
• . o 
. 'f 28.5 klb 
-J (iáJ B 
98. ~:bl 
3 klb/pie w:™·~, 
20 klb t 
Diagramas de fuerza cortante y de momento: 
}:V=O 
20 + (3)(45) ­ 98 ­ 28.5 ­ V A= O 
V A = 28.5 klb r 
¿MA=O • 
(20)(10) + (45)(3)(22.5) ­ (20)(98) ­ 45Vc = O 
Ve= 26.5 klb j 
Calculando las reacciones en A y C mediánte la estática, 
308 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
Solucián. Cualquiera de las reacciones puede considerarse como la redundante y aislar­ 
se. siempre que se tenga una estructura estable. Si se elimina el momento resistente en A. 
queda un apoyo simple y las cargas de la viga hacen que la tangente a la curva elástica gire 
una cantidad eA. Un estudio breve de esta condición revelará un método para determinar 
el momento, 
Resuelva de nuevo el ejemplo 15.2, pero esta vez use el momento resistente en el empotramiento 
como la redundante. 
• 
10 I.Jb 20 klb 
:!­15 klb­pie ( A t t 
118.Hlh 3151..lb 
31.5 IJb 
1 + 1 
I J.5 ldh 
1 ­ 1 
I lt5 l.lh 
70 klb­pie 185 klb­pie 
~ + (;:...­­­­­"'" 
245 klb­pie 
Diagramas de fuerza cortante y de momento: 
YA= 31.5 klb 1 y MA = 245 klb­pie ) 
Por está ti 1.:a 
ETÁB = {1)(200)(10)(26.67) + (!)(600)(20)(23.33) = 166 670 klb­pie'' 
Eióbb = (4)(30)(30)(20) = 9 000 pie ' 
V = - 166 670 = 18 5 klb f B 9000 . 
Solución. 
, . 
... 
1 ,! ­ 
""'it''' Diagrama M para una carga de 20 klh 
r L 
"" 1, .. '" Diagrama M para una carga de JO 1.lh 
¡;; 
1 ,1 
Jo kJh­ek Diagrama m para una carga El1 unuaria \!O 8 
CAPÍTULO 15 MÉTODOS DE FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 309 
,, á\k.., 
t 5 klb-pie2 
El 
I klb­pie 
El 'l..,+ Centro de gravedad 
I O klh­picl t o· m I . . El iagrama El para un momcn o unuano en 
el sentido de las manecillas del reloj en A 
,s '" Centro de gravedad 
1 340 klb­pie2 t¡... .. , ­­HI 6.,...6;,.,71­1p1ttic:.,,"•t­­­•• +-l •­­11H3cc.3h]­1'Jltttie~,­~· l l 660 klb­pieJ 
EJ E.l 
Diagrama ~ para una carga de 20 klb 
200 klb­pie 
El ------ 
1331..lb­pie 
El 
1~niro de gravedad • ,.< > 1 
1 1 1 O kJ h-pie2 i--·i-:·i,.:·','· -~·e:'\---l~•----+il 65".6'67ffl¡:i,ii-el!!~~ ---t 890 k.lb­pie1 ·­·­­• .. •..­·­ ­ El El 
Diagrama ~ para una carga de 20 klb 
Remoción de M" 
30k1b t 20 klb ! " 
A 20 kJb '.?Oklb 
J 1 ! B . I . I . 
u 
1. 10 pieJ 10 pie, I O pies . , 
Solue,i6n. 
El valor de s, es igual a la fuerza cortante en A en la viga conjugada cargada con 
el diagrama MIEL Si se aplica un momento unitario en A. la tangente a la curva elástica 
girará una cantidad eªª' lo que también puede encontrarse con el procedimiento de la viga 
conjugada. La tangente a la curva elástica en A en realidad no gira; por lo tanto, cuando se 
reemplaza a MA., debe ser de suficiente magnitud para restituir a la tangente a su posición 
horizontal original. Puede­escribirse la siguiente expresión igualando a eN con cero y puede 
despejarse el valor de la redundante MA· 
3 10 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
Solucián. La remoción del momento del apoyo interior cambia al apoyo a una articula­ 
ción, y las vigas a cada uno de los lados tienen libertad de rotación, independientemente de 
como lo indican los ángulos eb, y en., en la curva de deflexión que se muestra, L0s valores 
numéricos de los ángulos pueden encontrarse colocando el diagrama MIEI sobre la estruc- 
tura conjugada y calculando la fuerza con . ante a cada lado del apoyo. En la viga real no 
hay cambio de pendiente de la tangente a la curva elástica desde una pequeña distancia a la 
izquierda de B hasta una.pequeña distancia a la derecha de B. 
El ángulo representado en el diagrama por 98 es el ángulo entre las tangentes a la 
curva elástica a cada lado del apoyo (es decir, e1,1 + 9b)· El momento real Me, cuando se 
le reemplaza, debe ser de magnitud suficiente para restituir las tangentes a su posición ori­ 
ginal o para reducir 08 a cero. Un momento unitario aplicado acada lado de la articulación 
produce un cambio de la pendiente de ehb; por Jo. tanto, una expresión para la magnitud de 
M,, es: 
Figura 15.4 
20 klb -+0 klb 
+ B + C A 
Calcule las reacciones y trace los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga de dos 
daros mostrada en la figura 15.4. Suponga que el momento en el apoyo interior B es Ia redun- 
dante. 
el\ 2 450 . M" = --· = - = 245 klb­pie ) • ªªª 10e _ 1­0 pies 
aa ­ ET 
2 450 klb­pie2 
El 
l 110 + l 340 
El 
De los diagramas~ 
CAPÍTULO IS MÉTODOS DE FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 31 1 
287.5 klb­pie 
21.25 klb 
1 ?5 ktb 
25.62 ktb .­­­­­­­­, 
' 1.25 klh . ,;-:T.?. -16.87 klb 
20 klb i 
• 
+ 
225 klb­pic 
+ 
6.67 klb­pi\:2 
El 
Á o t 6.67 klb­pie2 I I IJ.:n klb­pie? 
El El 
3.33 klb­piel 
El Diagrama ~ paro el momento 
unitario en B 
Solución. 
e _ 500 kJb­pie2 
b1 ­ EJ 
4 000 kJb­pie2 
~1 = El 
0 e 0 4 500 klb­pie2 B= b + 1._=­­­­­ 
I V1 ET 
. " 20 klb­pie­ 
0bb = 6.67 + 13.3.) El 
0B 4 500 . _ . Mo = - Oijb = - 20 = ­225 klb­pie 
Mediante la estática se encuentran las siguientes 
reacciones: 
14.38 klb 
tt ª 
14.3S klb 
40 klb l, 
81 
I klb­pi\: 
-1 000 klb­pic­ 
El 
Curva de dcflexión 400 klb­pie 
I CJO klb­pie ET 
El --------=----- _A-,~---e::::::::::=+:::::::==-.,~ 
t 500 kJ b­p1e21 t 4 000 klb­p1e2 t el El 
500 klb­pic2 Diagrama ~ 
El El 
t 
,g 
V A = ­1.25 klb 
Vn = -46.87 k1b 
Ve= ­l438klb 
312 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
Aplique una carga horizoníal unitaria en A y determine la deflexión horizontal Áas,, 
86 600 klb­pie.' 
AA= - El 
Calcule la deflexión horizontal en A mediante trabajo virtual. El resultado es 
40 
t 
50 
f 
7\ 
30 klb 60 klb i i 
Solución. Retire H" como la redundante. Esto cambiará a A a un apoyo de tipo de rodillo. 
Figura I S.5 
JOklh 60rh ! H11 ¡ 
­10 pies ­r­· "' pies 110 pies j . ,.r Yu E e l constantes 
H y I\ l 
VA 
Calcule las reacciones y trace el diagrama de momento para la estructura mostrada en la figura 
15.5. 
CAPÍTULO 15 MÉTODOS DE FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 3 13 
El método de fuerzas para analizar vigas y marcos con una redundante puede ampliarse al análisis 
de vigas y de marcos con dos o más redundantes. A continuación se considerará la viga continua 
con dos reacciones redundantes que se muestra en la figura 15.6. 
15.2 VIGAS Y MARCOS CON DOS O MÁS REDUNDANTES 
Puente sobre el río Raritan en Nueva Jersey. (Cortesía de Sieínman, 
Boynton. Gronquist & BirdsaJI Consulting Engineers.) 
48.7 klb 
Diagrama de momentos 
­11.3 IJb l 
l3klh--""" 
30 klb 60 klb 
• 
??6 lb­ . , -l 13 klb­pic -- .1 pie 
260 klb­pie + 
260 klb­pie ­ l 
Calcule las reacciones restantes mediante la estática. 
6.A + HA&a., = o 
AA ­86 660 HA=--=- = +l3klb­+ Aaa +6 667 
... 6 667 klb­pie3 
uaa = + - El 
El resultado es 
314 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
El método de fuerzas para calcular las reacciones redundantes puede ampliarse indefinida­ 
mente a estructuras con cualquier número de redundantes. Sin embargo, los cálculos pueden llegar 
~B + VHD.l>b + Vc~bc = 0 
D.c + Yalicb + Vcó.cc = O 
Puede escribirse una ecuación para la deflexión en cada uno de los apoyos. Ambas ecuacio­ 
nes contienen las dos incógnitas V 8 y V e, y sus valores pueden obtenerse resol viendo las ecua­ 
ciones simultáneamente. 
Paso a desnivel 1­81 de la ruta fluvial auxiliar en Harrisburg, 
Pennsylvania. (Cortesía de Ganneu Fleming.) 
ae P¡ P, p P4 
A t B ( { e t D 4 ~ X ::ti- 
t t t t v,. Vu Ve Vn 
Figura 15.6 
Para hacer que la viga sea estáticamente determinada, es necesario retirar dos apoyos. Se 
supone que retiramos los apoyos B y C, y se calculan sus deñexiones li8 y lic debidas a Jas cargas 
externas. Teóricamente se retiran las cargas externas de la viga; se coloca una carga unitaria en B: y 
se encuentran las deflexiones en 8 y C (libb y Áct,). La carga unitaria se mueve a C, y se determinan 
las deñexiones en los dos puntos il1,c y ilcc· 
Las reacciones en los apoyos B y C empujan a estos puntos hacia arriba hasta que están en 
sus posiciones originales de deílexión cero. La reacción V 8 elevará a B una cantidad V 0t.bi, y a C 
una cantidad V BÓ.:h· La reacción V e eleva a C por V'~"" y a B por V cÁbc· 
CAPITULO 15 METODOS DE FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 315 
Si tres hombres caminan con un tronco sobre uno de sus hombros (situación estáticamente 
indctenninada) y uno de los hombres baja ligeramente el hombro cargado, él no soportará el mis­ 
mo peso total que antes. En efecto, al separarse del tronco ha cedido más peso del mismo a los 
{)tTO& hombres. E\ asemamiento de un apoyo en una viga continua estáticamente indeterminada 
tiene el mismo efecto. 
Los valores de A8 y ó.bb deben calcularse en pulgadas si el movimiento del apoyo está dado 
en pulgadas; se calculan en pies si el movimiento del apoyo está dado en pies. cte. El ejemplo 15.6 
ilustra el análisis de la viga de dos claros del ejemplo 15. l con la suposición de un asentamiento de i plg en el apoyo interior. El diagrama de momentos se traza después de que ocurre el asentamiento 
y se compara con el diagrama antes del asentamiento. El desplazamiento aparentemente pequeño 
ha cambiado totalmente la escena del momento. 
En fas secciones precedentes se han considerado vigas continuas con apoyos que no experimentan 
desplazamiento alguno. No obstante. si un apoyo se asienta o sufre algún tipo de desplazamiento 
con respecto a su posición teórica original, pueden aparecer en la estructura cambios notables 
en reacciones. fuerzas cortantes, momentos flexionarues y esfuerzos, Cualesquiera que sean los 
factores que causen los desplazamientos en los soportes (cimentaciones débiles, cambios de tem­ 
peratura, montaje o fabricación deficientes, etc.), el análisis podrá desarrollarse mediante las ecua­ 
ciones de deformación establecidas antes para las vigas continuas. 
En la sección 15. l desarrollamos una expresión para la deflcxión en el punto B para la viga 
de dos claros de la figura 15.1. Esta expresión se desarrolló suponiendo que el soporte B se retiraba 
temporalmente de la estructura. permitiendo que el punto B se deflexione. después de lo cual el 
apoyo se reemplazaba. Se suponía que la reacción en B. Va, tendría la suficiente magnitud para 
empujar a B hacia arriba a su posición original de dcflexión cero. Si B se asentase en realidad 1.0 
plg, Y B será mas pequeña porque solamente tendrá que empujar a B hacia arriba una cantidad 
óa ­ 1.0 plg, y la expresión para la deflcxión puede escribirse como 
15.3 ASENTAMIENTO DE APOYOS 
fi.s + Ysfi.bo + Vc6bc + Vo6bcl = O 
6c + VRfi.cb + Ycó.cc + Vollcct = O 
flo + V sildb + V c6uc + V ofi.dct = O 
P1 P, P1 P1 15 
.....&: t ;::.u:; r ;:a:; ! ! ;4.. ;e'" 
t 1 t t t 
VA Vn Ve vf) Yr. 
Figura 15.7 
a ser bastante tediosos, si hay más de dos o tres redundantes. Considerando la viga de la figura 15.7 
pueden escribirse las siguientes expresiones: 
• 
J f 6 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
+ ~ + 1 2)0'k 
136 klb-pie 134 klb-pk 
::::­:,..... .,.......­: ::::---,.,. Diagrama de momentos antes 
del asentamiento 
51.2 klb 
Diagrama de fuerza cortante r~­­_21.2 28.5 
después del asentamiento de B ,._L __ + __ J_....,,1.::­2­­­lr+­­......_._+_..=........,.==­­­­­~ ­=:::::¿J 28.8 ­­­­ : 1 ­­­­...J46j 
• 
362 kJl:>-pie 224 klb-pie 360 klb-pie 
Diagrama de momentos después k:::::" ~ ~ 
del asentamiento de B 
VA=51.2klhT 
V e = 46.5 klb t 
1.81­0.750 = 57_3 k T 0.0185 . Va = 
Á _ 182 100 kJb­pie3 _ 1 81 1 u- El ­ . pg 
Ább 1 860 :b­pie3 = O.O 185 plg 
Áll ­ 0.750 + VaÁbb = O 
Solucián. Los valores de 6.8 y 6.b~ anteriormente encontrados están calculados en pul­ 
gadas, y se determina el efecto del asentamiento del apoyo en V 8. Mediante la estática se 
encuentran los nuevos valores de VA y V cY se trazan los diagramas de fuerza cortante y de 
momento. Se repite el diagrama de momentos antes del asentamiento para mostrar los dra­ 
máticos cambios. Ahora el lector entenderá por qué los ingenierosestrucmrales se resisten 
a usar estructuras estáticamente indeterminadas cuando las condiciones de cimentación son 
malas. Los asentamientos pueden causar todo tipo de cambios y de problemas. 
Figura I S.8 
20klb 
E= 29 x I oc, lb/p]gl 
l = 6 000 plg 
Determinar las reacciones y trazar los diagramas de fuerza· cortante y <le momento para la viga 
del ejemplo l 5.1, reproducida en la figura 15.8, si el apoyo B se asienta! plg. 
CAPITULO 15 METODOS DE FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 317 
Figura 1 5.1 O 
Aseruamlemo relativo; B = ­1.19 plg, y C =­1.59 plg 
(b) 
L25 plg }1.'.:! 1 plg J.16 plg l. !O plg 
2.4º plg ;}1.11:>pJg 275 plg }1.59 plg ­ 
Diagrama <le asentamientos: 
(a) 
1 
e a 
Q, ' ?I .. p ­ - 
I O pies 10 pies 10 pies IOpies IOpies --- r~-~ 
~n -~ ­v ,, -v •• ­ ­ . 
A - . .,,/\ o 40 klb ¡ 40 klb ! 50 klh ¡ 
Cuando algunos o todos los apoyos se desplacen. el análisis puede efectuarse con base en 
valores relativos de los aseniamieruos. Por ejemplo, si todos los apoyos de la viga de la figura 
15.9(a) se asentaran 1.5 plg. las condiciones de esfuerzo. en teoría. permanecerían inalteradas. Si 
los apoyos se desplazan cantidades diferentes pero permanecen alineados. como se ilustra en la 
figura 15.9(b). la situación será teóricamente la misma que antes del asentamiento. 
Cuando se presenten asentamientos inconsistentes, y los apoyos ya no estén alineados, las 
condiciones de esfuerzo cambiarán debido a la deformación de la viga. Esta situación podría tra­ 
tarse trazando una línea recta a través de las posiciones desplazadas de dos de los apoyos, general­ 
mente los extremos. A partir de esta línea se determinan y se usan en los cálculos las distancias de 
los otros apoyos. como se ilustra en la figura l 5.9(c). 
Se supone que los apoyos de la viga de tres claros de la figura 15.1 O(a) se asientan como 
sigue: A es 1.25 plg, B es 2.40 plg, C es 2.75 plg, y D es 1.1 O plg. En la figura 15.1 O(b) se traza 
un diagrama de estos asentamientos y se determinan los asentamientos relativos de los apoyos B 
yC. 
La solución de las dos ecuaciones simultáneas que siguen arrojará los valores de V8 y Ye. 
Mediante la estática pueden entonces calcularse los valores de VA y VI)· 
Figura 15.9 
Línea recta de A a C Asenramienro relativo de B = 0.78 plg 
(C) 
A B C 
(b) 
~~-1._00_p_Lg ...J¡L. _'-"_~o_p-lg _jl 1.5() plg A B C 
(a) 
,.K. :a: t-- 20 pies­­· t ..... o­­­­30 pies­­­­., t 
e A B 
318 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
• 
h2.1s klb 31.55 14.20 1 + 1 1 + 1 1 1 + 1 17.85 8.45 25.8 Diagrama de fuerza cortante después del ascntarniento 
321 klb­píe 458 klb­pic . 516 klb­pie 
\ 14" klb . \ 374 klb-ptc _! ­·~ ------- .------ - + Momentos después del asentamiento 
1 ~7 klb­pie 53 klb-pie 15+ klb­pie ,........ :=:::::::,, <......::.­­­" ........... ~ ¿ + + + 126 klb-pie 168 klb­pie 
Momentos antes del asentamiento 
50 klb 40 klb 40klb l l i t 32.15 t t t 
V A =32.15 VB=49A Ve= 21.65 Yn ="5.S 
La solución simultánea de las ecuaciones ( 15. l) y ( 15.2) da los valores de V 6 y V e, y por 
estática se determinan VA y VD· 
(15.2) 
(15.1) 
Escribiendo las ecuaciones para las deflexiones finales en Los dos apoyos 
{
asentamiento} A13 + V13Abb + VcAtx: = relativo deB 
3.76 +0.0349V13 +0.0374Yc = 1.19 
Ac + VaAcb + YcAcc = Lle 
4.57 +0.0374Vs +0.0498Yc = L.59 
Sotucián: 
Calculando las deñexiones en los apoyos B y C. 
A = 514 350 klb­pie3 = 3 76 Jo­ B El · Po 
A = 625 300 klb­pie3 = 4 57 Jo uc El .. pe­ 
4 765 klb-pie! Abb = El = 0.0349 plg 
A = 6 820 klb­pie3 = O 0498 1 ce EI . p g 
5 140 klb­pie3 
Abe= Ado = El = 0.0374 plg 
Determinar las reacciones Pª1"ª la. vigµ de la figura 15. l O suponiendo que Los apoyos se asientan 
como se muestra en esa figura. Trace Los diagramas resultantes de fuerza cortantey de momento. 
IÍB ­ l.19 + YaAbb + Ycáhc = 0 
Lle ­ l.59 + VBAcb + YcAcc = O 
CAPÍTULO 15 MÉTODOS DE FUERZAS PARA El ANA.LISIS DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 319 
50ldb 
Empo. 
15.10 
1 10 pies zo pies­­l i­20 pies­­...¡..,­­­­30 pies­­­J 
2.4 klb­pie B 
Empo­ 
tramiento 100 klb 
t 
15.9 (Resp.: V,,= 9.42 klb 1­ M0 ­2.91.6 klb­pie.) 
X ,. d • 
~Opii;s­ 10 pies 10 pies 20pies­ 15 pies 15 pies . ¡. 30 pies 40 pies 30 pies 
B e 
30 klb 
* o O:.... 
70klb 
* 
40 klb ! 
15.8 
5 rn 
X 1 ::4-, 
-1orn- .... i-10m+IOm- 
,___ __ ISm 20m­­­­ 
70 ki'I 
B ¡ C 50 kN ¡ A 
(Resp.: V11 ­ 74.66 kN T, Mu= ­197.3 kN. m.) 
JO pies -is pies­~ 
­­­­25 pies +­30 pies­­­•1 
B e 50 klb 
15.6 
menos que se especifique otra cosa. Utilice el método de las 
distorsiones consistentes. 
A B ¿ 2.4 klb-pic C 
15.S (Resp.: VA = 7.5 klb 1. M11 -562.5 klb­pie.) 
Empotramiento 
A 
15.4 
60 kíb 4() klb 50klb 
A ! ¡ B ! e 
~ 
IO ..', p"'l lO ., 
Q 
-·LO pi,.l 10 pies 
~ ' Jli 
30 pies 20 pies 
15.3 (Resp.: V11­ 102.37 klb T. M11 ­ -368.5 klb­pie.) 
50 klb 70 klb i __ ::J.t._A __ ¡ -----ft B 
lO ''"~- ro pies 
JO pies­­­­­20 pies­­­­ 
15.1 (Resp.: V11 = 96.28 klb 1. M13 = ­262.8 klb­pie.) 
En los problemas 15.1 al 15.23 calcule las reacciones y di- 
buje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionan- 
te de las vigas continuas o marcos: E e I son constantes, a 
15.4 PROBLEMAS PARA SOLUCIONAR 
60 klb 80 klb 
A ¡ R ¡ e 
Á 
10 pie, t lO pi" t~ I O pies t I O pies Q ! ~ 
10 pies 20 pies 
15.7 
15.2 
320 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
l­20 pie~­­~ 
l "['~ 
30 ies 
A º 
­ ­ ­ ­ 
­ ­ 1.2 klb/pie 
.'f· 
2.4 ~lb/pie C 
15.20 
15.19 tResp.: VL = 17.55 klb T, H,, = 13.7 klb .­.) 
AJ..----------' 
r f­,;pie,+15 pi"~ 
30 klb 
60 kJb 
B C ­­­.....i.­­­ .. ~ 
15 ics 
15.18 
/\ F 
30 klb 
11 = 1 000 p]g4 ¡ 60 klb 12 = ( 800 p!g• l l 1 = 1 000 plg4 
) El =.29 X J(.)6 
~ 
c. .,..,l,j~~ " ¡ t,/pJu2 
20 pies ­­ 20 pies ~ e e­ 
15 pies 15 píes 
­­­40 pies 30 pies­­.i 
A 
15.17 (Resp.: Ye= 19.54 klb, M0 ­3 U.6 klb­pie.) 
1 = 1 500 plg'I 
~ 
B F.=29x 106 
Jb/pJgl 
1 =-3 000 plg' 
50 klb 
Empo- 
tramiento 
15.16 
1 1 = 3 000 plg4 
f­.­20 ries­­­­­­­20 pies­­­~1 
B 
Empo­ 
tramiento 
15.12 La viga del problema 15. J. suponiendo que el soporte B se 
asienta 2.50 plg. E= 29 x 106 lb/plg2• 1 = 1 200 plg", 
15.13 La viga del problema 15.1. suponiendo los siguientes asen- 
tamientos de los sopones: A ­ 4.00 plg, B = 2.00 plg y C 
­ 3.50 plg. E ­ 29 x l 01, lb/plg2. 1 ­ 1 200 plg''. tResp, 
Vn = 122.66 klb, M11= ­526.6 klb­pie.) 
15.14 La viga del problema­ 15.8. suponiendo los siguientes asen­ 
tamientos de los soportes: A ­ l.00 plg, B = 3.00 plg. 
C = l.50 plg y D = 2.00 plg. E= 29 X 106 Ib/plg". 1 = 
3 200 plg". 
15.15 tResp.: V u = 14.00 klb T, MA = ­160 klb­pie ).) 
B 
SOklb 
i 
30 klb ¡ 
15.11 tResp.: V11 = 64.59 klb 1, Me= ­268.9 klb­pic.) 
CAPITULO 15 MÉTODOS DE FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 32 f 
V I(F1µBL/AE) 
B = ­ L(µiL/AE) 
Las fuerzas en los miembros de la armadura debidas a las cargas externas. cuando se elimina 
la redundante, no son las fuerzas finales correctas y se les denomina aquí fuerzas F1• La deflexión 
en el apoyo eliminado debida a las cargas externas puede calcu Iarse, mediante L( ¡:¡tµL/ AE). La de­ 
flexión causada en el apoyo al colocar una carga unitaria ahí puede encontrarse aplicando la misma 
expresión de trabajo virtual, exceplo que la carga unitaria es ahora la carga externa y las fuerzas 
causadas son las mismas que las fuerzas µ. La deflcxión en el apoyo debida a la carga unitaria es 
I(µ1L/ AE), y la reacción redundante puede expresarse como sigue: 
~B + Va~bb = O 
Vfl = ­ ~B 
llbb 
Las armaduras pueden ser estáticamente indeterminadasdebido a reacciones redundantes. a ele­ 
mentos redundantes o a una combinación de ambos, Desde un principio se considerarán armaduras 
con redundantes externas, y se analizarán con base en el cálculo de deflexiones. de manera muy 
semejante al procedimiento empleado en el capítulo anterior para las vigas estáticamente indeter­ 
minadas. 
En el análisis siguiente se estudiará la armadura continua de dos claros que se muestra en la 
figura 16.1. Una componente <le reacción. por ejemplo V¡¡, se elimina, y se determina la dcflcxion 
en ese punto causado por las cargas externas. En seguida se eliminan las cargas externas de la 
armadura, y se determina la deflexión en el punto ele apoyo B debida a una carga unitaria en ese 
punto. La reacción se reemplaza, y ésta proporciona la fuerza necesaria para empujar al apoyo a su 
posición original. Entonces la expresión familiar de deflexión se escribe como sigue: 
16.1 ANÁLISIS DE ARMADURAS CON REDUNDANTES EXTERNAS 
Métodos de fuerzas para el análisis 
de estructuras estáticamente 
indeterminadas (continuación) 
Capítulo 16 
Figura 16.1 
30 k)b 30 klh t L~ v,, 
i------- ~ por 25 pics « 100 pies­­­­­ 
Calcular las reacciones y las fuerzas en las barras de la armadura continua de dos claros que se 
muestra en la figura 16.1. Los números en círculos indican las áreas de las barras en pulgadas 
cuadradas. 
Puente del desfiladero del Río Grande, en el condado Taos. Nuevo 
México. (Cortesía del A menean lnstíuuc of Stccl Construction, lnc.) 
El ejemplo L6. l ilustra el análisis completo de una armadura de dos daros por el rnéto- 
do antes descrito. Después de haber encontrado la reacción redundante, pueden determinarse las 
otras reacciones y las fuerzas finales en las barras usando las ecuaciones de equilibro estático. Sin 
embargo, se dispone de otro método para encontrar las fuerzas finales y deberá usarse como una 
verificación matemática. Cuando la reacción redundante V1¡ se regresa a la armadura. hace que la 
fuerza en cada miembro cambie a V8 multiplicada por su valor de fuerza u. La fuerza final en un 
miembro se convierte en 
CAPÍTULO 16 METODOS DE FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ... (CONTINUACIÓN) 3 23 
t 
Vc.;=32 klb Yu=56klb 30 klb 30klb 
40 15 15 40 
o 22.5 
<<f..J> 18 
7.5 7.5 
Las siguientes reacciones y fuerzas en los elementos se encuentran por equilibrio' 
estático con objeto de verificar los valores finales en. la tabla. 
35 690 
Ve= ­~7, = ­5.6.0klb r 
E 
Calculando los valores de b.8 y Abb en la tabla 16.1. 
I klb 
0.625 0.625 0.625 
l.25 
Ye= 6U klb Fuerzas F v,,=40klb 30 klb 30 klb 
50 50 75 t 
Retire las cargas externas y coloque una carga unitaria en el apoyo central. Luego 
calcule las fuerzas u, 
75 
O 12.5 
10 ,1::, 30 
62.5 62.5 
Soíucuin. Retiramos el apoyo central como apoyo redundante y calculamos la fuerzas 
F'. 
• 
324 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
Las fuerzas debidas a una carga unitaria en B se designan como fuerza, µ8 y aquéllas debi- 
das a una carga unitaria en C se designan fuerzas 11<_·. Una carga unitaria en B causará una dellexión 
en C que es igual a í:(µ8µcL/ AE), y una carga unitaria en C causa la misma dcflexión en B, 
¿(µcµ0L/ AE). que es otra ilustración de la ley de. Maxwell. Las expresiones de deflexión toman 
la Iorma 
Figura 16.2 
© 
Lo 
© ¡ L1 © . 'f.,, © l L1 © . ~ J. ""I'" ..... )'. L1 
V" 40 kit, V ll 50 klb 
Aa + Vallbb + Vcllbc = O 
l:ic + Y al:ic:b + V cl:icc = O 
Debería ser evidente que el procedimiento de las deflcxioncs puede utilizarse para analizar 
armaduras 4uc tienen dos o más reacciones redundantes. La armadura mostrada en la figura 16.2 
es continua sobre tres claros. Las reacciones V 8 y V, en los apoyos interiores pueden considerarse 
como las reacciones redundantes. Las siguientes ecuaciones de condición. escritas previamente 
para una viga continua de tres claros, son aplicables a la armadura: 
TABLA 16.1 
L F' F\~L µ.1L 
Barra L (plg) 'A (plg<) A (klb) µ Ae=- Ább=- F=F' 1 Ysµ. AE AE 
Lt¡L1 300 4 75 +50 t­0.625 12340 +29.2 +15.0 
L1L~ 300 4 75 'I 50 +0.625 +23.40 1­29.2 -1 15.0 
l.,iL~ 300 4 75 +75 +0.625 +3510 +29.2 ,40.0 
L k¡ 300 4 75 +75 +0.625 +3510 +29.2 +40.0 1 
L1P1 384 4 96 ­64 ­0.800 +4920 +61.4 ­19..2­ 
U1lh 300 4 75 -62.5 ­1.25 +5.85() + t 17.0 1 7.5 ,, 
UzU3 300 4 75 ­62.5 ­1.25 +5850 +117.0 +75 
U3L_i 384 4 96 ­96 ­0.800 +7370 +61.4 ­51.2 
U1L1 240 3 80 1·30 o o o +30.0 
U1Lz 384 3 128 .. 1·16 +0.800 t 1640 t 820 ­28.8 
UzL;i 240 3 80 o o () o o 
Lzl!3 38~. 3 128 ­16 +0.800 ­1640 + $2.0 ­60.8 
U1l.,¡ 240 3 80 +30 o o o +30.ú 
L 35 690/E 637.6/c • 
CAPITULO 16 MÉTODOS DE FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ... (CONTINUACIÓN) 325 
XL, ~ + L, F':EL = O 
X=_ L, (F'µL/ AE) 
¿,(µ2L/AE) 
m=2j­3 
Las armaduras con redundantes interiores pueden analizarse en forma semejante a la em­ 
pleada en relación con las armaduras con redundantes externas para una armadura estáticamente 
indeterminada de primer grado. Se supone que una barra es la redundante y se le corta o elimi­ 
na teóricamente de la estructura. Las barras restantes deben formar una.armadura estáticamente 
determinada y estable. Se supone que las fuerzas P' en estos elementos son de una naturaleza tal 
que hacen que los nudos en los extremos del elemento removido se separen. siendo la distancia 
1:(F'µL/ AE). 
El elemento redundante se reemplaza en la armadura y se supone que tiene una fuerza uni­ 
taria <le tensión. Se calcula la fuerzaµ en cada uno de los elementos causada por la fuerza re­ 
dundante de + 1 y estas fuerzas harán que los nudos se contraigan una cantidad igual a 1:(µ 2L/ 
AE). Si la redundante tiene una fuerza real de X. los nudos van a contraerse una cantidad igual a 
XI.(µ2L/AE). 
Si el miembro hubiera sido aserrado a In mitad. las fuerzas F' hubieran abierto una brecha 
de I:(F'µL/ AE): por lo tanto. X debe ser suficiente para cerrar la brecha, y pueden escribirse las 
siguientes expresiones: 
La armadura mostrada en la figura 16.3 tiene una barra más de las necesarias para garantizar la 
estabilidad, y por ello es estáticamente indeterminada internamente de primer grado, como puede 
verificarse al aplicar la ecuación 
16.2 ANÁLISIS DE ARMADURAS CON REDUNDANTES INTERNAS 
Puente sobre el río Tennessce, Stevenson. 
Alabarna, (Cortesía de USX 
Corporation.) 
Al resolver simultáneamente estas ecuaciones se obtendrán los valores de las redundantes. Si 
ocurren asentamientos en los apoyos, las deílexiones tendrán que tratarse numéricamente con las 
mismas unidades liadas para los asentamientos. 
326 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
20klb 
o 0.707 o 
o 
0.707 
Reemplace.Ljü, con una fuerza de + 1 y calcule las fuerzas µ. 
15 klb 25klb 1 () klb 
20 j :'i 15 
15 
15 "-' o "''" ­ 
20 
Solución. Suponga que L1 U2 es el miembro redundante, retírelo, y calcule las fuerzas F'. 
Figura 16.3 
Sin nudo 
U2 U¡ 
f 
Lo,/.c===®==E::ii E::::~~=tr,~===~C:~~4 [es HI\-~ 
fv,, 2Sklb f v13 
i------ 'l por 24 pies­= 72 p1es­­­­­1 
Determinar las fuerzas en los miembros de la armadura internamente redundante que se muestra 
enla figura 16.3. Los miembros U1L1• U1Li,L1U2yU2Li tienen áreas de 1 plg2. Las áreas son de 
2 plg2 para cada uno de los otros miembros. E= 29 x I06 lb/plg2. 
La aplicación de este método para analizar armaduras con redundantes internas se muestra 
en el ejemplo 16.2. Una vez que se ha calculado la fuerza en la barra redundante. la fuerza en cual­ 
quier otra barra es igual a su fuerza F' más X veces su fuerza u, Las fuerzas finales también pueden 
calcularse mediante la estática como una verificación del desarrollo matemético. 
CAPÍTULO 16 MÉTODOS DE FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ... (CONTINUACIÓN) 327 
Para armaduras que tienen más de una redundanteinterna. es necesario resolver ecuaciones 
simultaneas para la solución. Teóricamente se cortan dos banas. con fuerzas XA y X8, que se 
supone son las redundantes. Las fuerzas P' en los miembros restantes de la armadura separan a 
los sitios cortados por I,(PµAL/ AE) y I,(F'µ8L/ AE}, respectivamente. El reemplazo del primer 
miembro redundante con una fuerza de+ 1 origina fuerzas µA en los miembros de la armadura y 
hace que las brechas se cierren por 1:(µ1 AL/ AE) y :EµAµ8L/ AE. La repetición del proceso con 
las otras redundantes origina a las fuerzas µ8 y cierres ele brecha adicionales de :E(µ0µ,,L/ AE) Y 
I,(µ\L/ AE). Las fuerzas redundantes deben ser suficientes para cerrar las brechas. permitiendo 
que se escriban las siguientes ecuaciones: 
t 15 ¡ 13.47 20 t 
15 klb IO klb 25 kJb 20 klb Fuerzas finales • 
Formando la tabla 16.2 y calculando X. 
TABLA 16.1 
L F' F'µL µ2L F­F"+Xµ 
Barra L (plg) A (plg2) A (klb) µ AE AE (klb ) 
L¡¡L¡ 288 2 144 +1,5 o o o +15.00 
L,L:? 288 2 ]44 H5 ­0.707 ­1 530 +72 + 13.47 
~~ 288 2 144 -f 20 o o o +20.00 .. LoU, 408 2 204 ­2J.2 o o ,O ­2L20 
U1U2 zss 2 144 ­20 ·­0.707 +2040 +72 ­2 L5:3 
U1L:i 408 2 204 ­283 o o o ­28.30 
U¡L¡ 288 1 288 r io ­0._707 ­2040 +144 +8.47 
U,L:? 40$ l. 408 +7.1 +LO +2!).00 +408 +9.26 
L,U2 408 408 o +LO o +408 +2.16 
U2L:i 288 288 ­1 20 ­0.707 ­4070 ­1­144 l· 18.47 
¿ ­2700 p 1248 
X= _Í:,(F'µL/AE) = ­2 100 = +2.16 klb _¿(µ2L/AE) +1248 
Fuerzas finales en los miembros de la armadura. 
328 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
Puente de peaje en el río Delawarc, (Cortesía de la USX 
Corporation .. ) 
La colocación de una carga unitaria en el apoyo interior originará detlexiones en las brechas 
en los miembros cortados, así como en el punto ele aplicación. 
Se retiran de la armadura a las diagonales designadas como D y E. y la reacción interior V 8, 
lo que hace isostática a la estructura. Las aberturas de las brechas en los miembros cortados y las 
deflexiones en el apoyo interior debidas a las cargas externas pueden calcularse de lo siguiente: 
VA 
Figura 16.4 
Las ecuaciones de deflexiones se han formulado con tanta frecuencia en las secciones anteriores, 
que probablemente el lector ya se encuentre en condiciones de escribir sin dificultad las ecuaciones 
correspondientes a otros tipos de vigas y de armaduras estáticamente indeterminadas que no se 
han examinado anteriormente. No obstante, se presentará ahora un grupo adicional de ecuaciones 
necesario para el análisis de armaduras que son hipcrcsráucas tanto interior como exteriormente. 
En el análisis que sigue se considerará la armadura que se muestra en la figura 16.4, la cual tiene 
como redundantes a dos barras y a una componente de reacción. 
16.3 ANÁLISIS DE ARMADURAS CON REDUNDANTES INTERNAS Y EXTERNAS 
CAPITULO 16 MÉTODOS DE FUERZAS PARA El ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ... (CONTINUACIÓN) 329 
Figura 16.5 Armadura usada para el análisis de los efectos 
por cambios de temperatura. 
Las estructuras están sujetas a deformaciones no sólo dehido a las cargas externas. sino también 
a los cambios de temperatura. al asentamiento de los apoyos. a errores en las dimensiones de fa­ 
bricación. a contracción en los elementos de concreto reforzado causada por el secado y el flujo 
plástico. etc. Estas deformaciones en las estructuras estéticamente indeterminadas pueden producir 
grandes fuerzas adicionales en los elementos. Supongamos. a manera de ejemplo. que las barras 
de la cuerda superior de la armadura que se muestra en la figura 16.5 están mucho más expuestas al 
16.4 CAMBIOS DE TEMPERATURA, CONTRACCIÓN, 
ERRORES DE FABRICACIÓN, ETCÉTERA 
La solución de este tipo de problemas no contiene nada nuevo. por lo que nos ahorramos el 
espacio y los extensos cálculos que por necesidad implicaría un ejemplo semejante. 
.:la + V aÁbb + XoÁbd + XEilbe = 0 
Á¡) + Y aÁdb + Xo.!idd + XEÁt.1c = 0 
ClE + V aÁeb + Xo.!ied + XEÁee = O 
El cálculo de este conjunto de deflexiones permite calcular los valores numéricos de las 
fuerzas redundantes. ya que la deflexión total para cada una puede igualarse a cero . 
En forma similar. el reemplazo del miembro E con una fuerza de+ l causará estas de­ 
flexiones: 
Reemplazando el miembro D y suponiendo que tenga una fuerza unitaria de tensión positiva 
se originan las siguientes deflexiones: 
330 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
TABLA 16.3 
!L = At · coef · l 
A l µ2L ( F'L) µ (ill) = F' µl Barra l {plg) (plg2) A µ AE equivalente ·a AE . AE 
(,¡¡L, 2.'IO 10 24 ­2.5 +150 
Lt~ 24() 10 24 -25 +150 LoU, J46 11) 34.6 tl.80J + 112.48 (60)(0.0000065)(346) = 0.2433 
.0.1149 
U1L~ 346 10 34.6 +t.803 + l l~.48 ((,0)(0.0000065}(346) = 0.2433 
0.J 349 
U;.l-1 144 5 28.R ­3.0 +159.2 
:E==+ 784.16 L=0.4866 E 
1.0 klb 
Las barras de la cuerda superior ele la armadura estáticamente indeterminada mostrada en la figu­ 
ra 16.5. experimentan un incremento de temperatura de 60 ºF. Si E =29 x 106 Ib/pJg2 y el coefi­ 
ciente de dilatación térrnica lineal es 0.0000065 /ºF, determinar las fuerzas inducidas en cada una 
de las barras de la armadura, Los números en círculos son áreas en pulgadas cuadradas. 
Solucion. Suponemos que HB es la reacción redundante y calculamos. las fuerzas u. 
sol que las otras han­as. En consecuencia, en un día muy caliente pueden alcanzar temperaturas 
mucho más altas que las otras barras y sus Iuervas pueden sufrir cambios apreciables. 
Los problemas de este tipo pueden tratarse de la misma manera que los problemas anterio­ 
res de este capítulo. Se calculan los cambios en la longitud de cada una de las barras debidos a 
la temperatura. (Estos valores, que corresponden a los valores F'L/ AE. son iguales, cada uno, al 
cambio de temperatura multiplicado por el coeficiente de dilatación del material y por la longi- 
tud de la barra.) La redundante se retira de la estructura, se coloca una carga unitaria en el apoyo 
en la dirección de la redundante y se calculan las fuerzas µ. Entonces se determinan los valores 
I.(?µL/ AE) y l(µzL/ AE) con las mismas unidades y se escribe la expresión acostumbrada para 
la deflex ión. En el ejemplo 16.3 se expone un problema de es Le tipo. 
CAPITULO 16 MÉTODOS DE FUERZAS PARA El ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS .... (CONTINUACIÓN) 33 1 
Figura 16.6 
. ,:.~t:­··.~­".'.­­­­­­­­_­".'­­.c.g:; . 
. , ... 
El primer teorema de Casugliano, conocido por lo común como el método del trabajo mínimo. 
desempeñó un importante papel en el desarrollo del análisis de estructuras durante varios años. 
Sin embargo, sólo se usa de manera ocasional en la actualidad. Está estrechamente relacionado 
con el método de las distorsiones consistentes estudiado en el capítulo 15. y es muy efectivo para 
el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas, especialmente armaduras y estructuras 
compuestas. (Las estructuras compuestas se definen aquí como las estructuras que tienen algunos 
miembros solamente con esfuerzos axiales y otros miembros con esfuerzos axiales y esfuer­ 
zos ñexionantes.) Aunque son aplicables a vigas y a marcos, generalmente son más satisfactorios 
otros métodos tales como el método de distribución de momentos (estudiado en los capítulos 20 
y 21 ). El método del trabajo mínimo tiene la desventaja de no ser aplicable en su forma usual a 
las fuerzas causadas por desplazamientos debidos a cambios de temperatura. asentamientos de los 
sopones o errores de fabricación. 
En el capítulo 13 se demostró que la primera derivada parcial del trabajo interno total con 
respecto a una carga P (real o imaginaria) aplicada en un punto en la estructura es igual a la de­ 
flexión en la dirección de P. Para este estudio. se consideran la viga continua de la figura 16.6 y su 
reacción vertical en el apoyo B. V 8 . 
16.5 PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO 
• 
Observe la simetría 
de fuerzas 
Las fuerzas finalesen las barras de la armadura debidas al cambio de temperatura son las 
siguientes: 
A = (784.16)(1 000) = +o 02704 l bb + 29xl06 • pg 
tia = +­O .4866 plg 
lle + He.6.bl> = O 
HB = 0.4866 = ­18.02klb ­­t 0.02704 
332 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS 
Figura 16. 7 
1­­­­­­20 pies­­­­­­1­­­10 pie,­­ ... 
e 
hmpotrarnieero 
~Üili h, 
Determine la reacción en el soporte C en la viga mostrada en la figura 16.7 mediante el trabajó 
mínimo: E e I son constantes. 
Éste es un enunciado del primer teorema de Castigliano. Ecuaciones <le este tipo pueden 
escribirse para cada punto de restricción en una estructura estáticamente indeterminada. Una c~­ 
tructura se deformará de manera consistente con sus limitaciones físicas, es decir, que el trabajo 
interno de deformación será un mínimo. 
Las columnas y las trabes que concurren en un nudo de un edificio se deflexionarán la misma 
cantidad. que será el valor mínimo posible. Despreciando el efecto de los otros extremos de estos 
miembros, puede verse que cada miemhro no realiza más trabajo que el necesario, y el trabajo total 
realizado por Lodos los miembros en el nudo es el mínimo posible. 
De la discusión anterior puede enunciarse el teorema del trabajo mínimo: El trabajo interno 
realizado por cada miembro o por cada parte de una estructura estáticamente indeterminada 
sujeta a un conjunto de carga externas, es la cantidad mínima posible necesaria para mantener el 
equilibrio al sustentar las cargas. 
En algunas ocasiones (especialmente para vigas y marcos continuos), el método del trabajo 
mínimo es muy complicado de aplicar. En consecuencia. los lectores a menudo expresan opiniones 
más bien desfavorables acerca de lo que piensan del término .. trabajo mínimo ", 
Para analizar una esuuctura estáticamente indeterminada con el teorema de Castigliano, 
se supone que ciertos miembros son redundantes y se considera que se retiran de la estructura, 
La remoción de los miembros debe ser suficiente para dejar una estructura básica estáticamente 
determinada y estable. Las fuerzas F' en la estructura se determinan para las cargas externas; las 
redundantes se reemplazan con las cargas X1, X1, etc.: y se determinan las tuerzas que causan. 
El trabajo interno total de deformación puede establecerse en términos de las fuerzas ~ así 
corno las fuerzas causadas por las cargas redundantes. El resultado se diferencia sucesivamente con 
respecto a las redundantes. Las derivadas se igualan a cero con objeto de determinar los valores 
de las redundantes. 
Los ejemplos 16.4 a 16.9 muestran el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas 
por el trabajo mínimo. Aunque los métodos de trabajo mínimo y de distorsión consisten le son los 
métodos más generales para analizar diferentes cipos de estructuras estáticamente indeterminadas, 
actualmente no se usan con mucha frecuencia porque otros métodos tales como la distribución de 
momentos y los programas de computadora son de aplicación mucho más simple. 
aw =O 
éiP 
Si la primera derivada parcial del trabajo en esta viga se toma con respecto a la reacción V lh 
se obtendrá la dcflexión en B pero esa deflexién es cero. 
CAPÍTULO 16 MÉTODOS DE FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ... (CONTINUACIÓN) 333 
1 
1 
Figura 16.8 
VA: 18­0.4 Ve 
i------ '.10 pies ­­­­­+­o­10 pies­~ 
f­­­­­­­­­30 pies---------i----- 
Yc V11=­32­0.6Vc· 
20 klb 
+s A 
Determine el valor <le la reacción en el apoyo C. figura 16.8 mediante el método de trabajo mí­ 
mmo. 
• v. =31.1 klbT 
BM M ilM f M(ºM)dx==O Sección M - e/Ve El sv; i'JV< 
• 1 r(I CaB V.,x1 X¡ VcXi El o (V,)('¡) dx¡ 
1 J:l!) ~ 
BaA Vcx2+ lOV0 Xz+ 10 V.,:x~ + 20V cX-2 fü O (VeXi + 20Y,xi ­60X1 ­60x~+ ­60~ 4 IOOV, l OOV0 ­ 600x2 
­600x2) dx2 
l: 9 ooov. ­ 280.000 - O 
TABLA 16.4 
i------- 20 pies 
• Ve 
X¡----1 
IOpies­­J 
Ernpotrarnien to t 60-Vc 
e 
60 klb 
+a 
1200­30 V r ,----..._ 
Soíucián. Se supone que la reacción en C es V e y las otras reacciones se determinan 
como sigue: 
334 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
Figura 16.9 
' 
20 pies 
30klh 
­10 pies~­­­15 pic~­­.­­J 
Determine la fuerza en la barra CD de la armadura mostrada en la figura 16.9. Los valores en 
círculos son áreas en pulgadas cuadradas. E es constante. 
­90 333 + 2 400.3 Ve= O 
Ve= +37.6 klb 1 • 
Integrando las expresiones JM(éHvl/ilV8)(dx/EI) y substituyendo los valores de los 
límites apropiados, el resultado para la viga completa es 
I.10 U (-l.2x1 1 0.36V,.x¡ t­7.2Vcx,1 
- 204x4 + 36Vc ­ 1 920) dx.1 
­0.6x4­6 
f lQ 0 (­19.2~ +0.36Vcx~) dx, ­0.6x, 32x., - 0.6V..x, 
JH/ 0 (+O.Sxi + 0.16V,x~ + 6.4V0x2 
­ 128x2 ­i­64Vc ­2880) dxi 
­0.4xz­ $ 
J
~ 
(-7.Zxf-l O.l6V0xr)dx1 
() 
o "ll e 
EaD 
BaC 
AaB 
fM(ilM)dx ~ O _íJVe_ El M ~ección 
TABLA 16.S 
Solución. 
CAPÍTULO 16 METODOS DE FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ... (CONTINUACIÓN) 335 
Figura 16.1 O 
A B 
2 por 25 pies ~ 50 pies 
e 
2 por :2; pies = ;o pies 
Analice la armadura de la figura 16.10 mediante el método de trabajo mínimo. Los números en 
cfrculos son áreas de las barras, en pulgadas cuadradas. 
0.8 T 
30­2 T 
e A 
TABLA 16.6 
A (plg2) L 31' F(')F) ~ Barr.a l (plg) A F er ar AE 
AD 268 2 134 +l.34T +l.34 1·240T 
BD 240 2 120 ­2T ¡ 30 -2 +4&0T­7 200 
CD 300 300 +T +I +300T 
I. 1020T­7200=0 
T= +7.06 klb 
Sotucton. Suponemos que la barra CD es la barra redundante y que se le asigna una fuer­ 
za T. Las otras fuerzas se determinan mediante nudos con los siguientes resultados. 
336 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
LoL1 300 4 75 +50 ­0.625Vu +3750­ 46.9V13 ­0.625 ­2345+29.3Vn 
L1L"2 300 4 75 +so ­0.62..iVB +3750­ 46.9Vn ­0625 ­2345 1 29.3Vo 
L2L, 300 4 75 +75 ­0.625Vu + 5625 ­ 46.9VH ­0.625 ­3520+29.3Vu 
L_,L4 300 .4 75 +75 ­0.6'.!5Vn 1 5625­ 46.9Vn ­0.625 ­ ~520 + 29.3V e 
LnU1 384 4 96 ­64 +0.8Vu ­6144+ 76.SVn +0.8 ­4915+61.4Ve 
U1U1 300 4 75 ­62.5 + J.25Va ­4687 + 93.SVo +1.25 ­5860+ 117.2\lu 
U2Us 300 4 75 ­62.S + J.?~Vu ­4687 + 93.SVn + 1.25 ­$860+ l 17.2VB 
U3L4 384 ..¡ 96 ­96 +0.8Ya ­9216+ 7ó.8Vll .­0.8 ­ 7373 +61.4Vu 
ll1L1 240 3 80 +30 10 +2400+ o o o f­ o 
U1L:i 384 3 128 H6 ­0.8Vn + 2048­10'.}AVu ­0.8 ­1638 + 81.9V0 
U~L2 240 3 80 o +o O+ o o o+ o 
L3U.1 384 3 128 ­16 ­0.8Vo ­2048­102.4VH ­0.8 + 1638 1- 81.9V ll 
ll1L.1 240 3 80 +30 ..¡ o +2400+ o o o+ o 
I ­35 738 
1 638.2Vu • 
FL iiF ­­­ AiNn ilF <JVn F(klb} FL A L Barra L (plg) A (plg2) A 
TABLA 16.7 
aw FL 8F E-=--- AVa A avs 
­35.738 -l 638.2Va =0 
Va= +56 klb T 
Calcule los valores en la tabla 16.7. 
0.625 vil 0.625 V li 0.625 VII 
1.25 Vn 1.25 V13 
-l ;¡, q,f' o ..:i. '<' 'b i­ 'b ~­ () ~ <:)· 
Reemplace el apoyo del centro y determine su efecto en las fuerzas de las barras en 
términos de V a­ 
4() klh 
625 62.5 ! 
o 
~ o /(¡ r'l 
50 50 75 75 
40klb 30 1,;lh 30klb 60 klb 
Soiucion. Retire el apoyo del centro y calcule las fuerzas F'. 
CAPITULO 16 MtrODOS DE FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ... (CONTINUACIÓN) 33 7 
Empo- 
tramierun 
e 
X¡~ 
B !º 10 klb 
Xz~ 
¡ .. ­­­­20 pies 
TABLA 16.8 
L L iJF FciF)~ Barra L (plg) A (plg2) .A AE F (klb) er &T A,E 
AC 120 0.Q 200 6.90 +7' +l 1­6.90T 
L, + 6J)()T 
Solución. 
Se supone que la barra es la redundante con una fuerza T y se calculan los valores de 
ZF( aF/élT)(LJ AE) y J M( oM/oT)(dx/EI). Se usan valores relativos de E de 29 y 1 .5 para el 
acero y la madera, respectivamente. 
Figura 16.1 1 
­­­­20 pies­­­­~1­IO pies_..j 
e B 
<, Barra de acero 
<, A= 0.6 plj I O lie!. 
E=29x 1061b/pl¡f 
' 1 
Ernpo- 
tramiento 
Viga de madera 
1 = 1 728 pJg4 
E= 1.5 X 106 lb/plgl \ 
Usando el procedimiento de trabajo mínimo, calcule la fuerza en la barra.de acero de la estructuracompuesta mostrada en la figura 16. 1 1. 
Debe ser ohvio de los problemas de ejemplo anteriores que la cantidad de trabajo que inter­ 
viene en el análisis de armaduras estáticamente indeterminadas por los métodos <le trabajo mínima 
y distorsiones consistentes es aproximadamente igual. 
El trabajo mínimo es especialmente útil para analizar estructuras compuestas, tales come 
las que se consideran en los ejemplos 16.8 y 16.9. En estos tipos de estructuras tienen lugar tan­ 
Lo la acción de flexión como la acción de la armadura. El lector estará convencido de la ventaja del 
trabajo mínimo para el análisis de las estructuras compuestas si intenta resolver los dos problemas 
siguientes mediante distorsiones consistentes. 
338 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
Solución. 
Haciendo que BD sea la redundante con una fuerza de F, la deñexién de la viga en B se 
encuentra en términos de F. 
Figura 16.12 
A 
Viga de madera de 12 x 12 plg n = r 12s plg4l e 
Conexión simple 
.. -,.~ 
10 'es "°' Barra de ~cero 
A =2 plg" 
­­­2Q pies D ?O pies~ 
Enl!ldcrn = [ .5 X 106 lh/plg2 
E,ictr,, = 29 X I O~ lh/plg2 
Encuentre las fuerzas en todas las barras ele la armadura de pendolón sencillo mostrada en la 
figura 16.12. 
J M(ªM) dx+ ~F(r)F)­1 = (103T­ 18)(1728)+6.90T=0 aT El aT AE . ­ 
T = +17.4 klb • 
Paracambiar el valor de 1.03T ­ 18 a pulgadas es necesario multiplicarlo por 1 728 
x 1 000 y dividirlo entre I x 106, ya que se usó 29 para E en vez de 29 x 106. Para cambiar 
el valor de 6.90T a pulgadas es necesario multiplicarlo por 1 000 y dividirlo entre J x 10". 
La única diferencia en las dos conversiones es el 1 728: por lo tanto, la expresión puede 
escribirse corno sigue para cambiarla a las mismas unidades. 
,JM ;¡M ! Jr1(ºM) d.x Sección M M- sr iff ()T El 
D­aC ­IOx o o o 
2!) J (Tx2 ­ 10x2 ­ 100x1 
CaB Tx- lOx X. Tx2-10xz-100x () 
­100 dx ( 1.5)( l 728} 
I: J.OTI­18 
TABLA 16.9 
CAPiTULO 16 MÉTODOS DE FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS .. (CONTlNUACIÓN) 339 
AC= ­(1)(49.2) = ­49.2 klb AD= +(l.12)(49.2) = +55.1 l<lb 
BD = ­(1)(49.2) = ­49.2 klb DC = +(l.12)(49.2) = +55.1 klb • 
Cambiando estos valores a unidades equivalentes y despejando aF. F = 49.2 klb 
Fuerzas finales: 
TABLA 16.10 
L F1L &FI &F' F'L 
Barra L (plg)' A (plg2) E - fl (~!~) AE ~ cF x AE AE aF 
AC 4&0 144 r.s X IÓ6 2.22 -F -2.22F -1 +2.22P 
BD LZO 144 1.5 X 106 0555 -F ­0.555F -1 +0555P 
AD 268 2 29 X JOÍ> 4.62 +- L12F +5.19F + 1.12 +5.$0F oc 268 2 29 X 106 4.62 + l.l2F +5.l9F + 1.\1 +5.80F 
I. l 4.3751" 
­44 400 +- 8.891" 1 . 14.375F = O 
F A !:==;?t 
D f t F 1 
Determinar las fuerzas en Ias diversas barras en términos de la fuerza desconocida F. 
F r.lM X M = 25X ­ 2 x ¡¡p = - 2 
J. iJMdx _. J2º (-12.5x2 +0.25Fx2) dx M é!FEI­1 0 El 
2(­12.Sx.3 /3 + Ó.25Fx3 /3)~º _ -66 600 + l 333F 
El ET 
­66 600 + J 333F = _44 400 + 889F 1.5 . 
DeAaBydeCaB: 
50 klb 
A H ¡ e 
t t t F 25 f F 25­2 ­i 
340 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
Solucián. 
Esta armadura fue modelada de fa misma manera que las armaduras en los capítulos pre­ 
vios. Los grados de libertad por flexión en los extremos de cada barra fueron liberados 
así como los grados de libertad por torsión al inicio de cae.la barra. Se muestra el modelo 
estructural resultante. 
Se muestran ñechas en dos de las barras para indicar los extremos i y .i tal como se 
usa en la solución por computadora. El extremo i se ubica al inicio de la flecha mientras 
que el extremo j está en el extremo más alejado. 
Figura 16. 13 
t VA 
[­4­­­­­­­­3 por24 pies= 72 píes 
i 10 klb i :!5 kili 
2 
1 24 ics 
l 
Determine las fuerzas en la armadura mostrada en la figura 16. J3 usando el programa SABLE32 
de computadora. Ésta es la misma armadura que se analizó en el ejemplo 16.2. El número al 
lado de cada barra es el área de ésta. 
Como habrá usted visto en las estructuras resueltas hasta ahora, el análisis de sistemas de estructu­ 
ras estáticamente indeterminadas es muy tedioso. especialmente cuando las estructuras implicadas 
son de un tamaño considerable. En muchos casos, las soluciones a mano no son factibles aun si 
se usa software computacional. En los despachos de cálculo generalmente se emplean programas 
de computadora para analizar estructuras grandes. En el ejemplo 16.10 se mostrará el análisis de 
estructuras estáticamente indeterminadas usando una computadora donde se usa SABLE32 para 
analizar una armadura estáticamente indeterminada, El procedí miento que se usa es idéntico al que 
se usa para las armaduras estáticamente determinadas. 
16.6 ANÁLISIS CON COMPUTADORAS 
El primer teorema de Castigliano no es tan fácil de usar como el segundo teorema u otros 
métodos de energía. como el del trabajo virtual, porque la energía de deformación se formula 
más fácilmente en términos de cargas que en términos de desplazamientos. Sin embargo, para 
algunas respuestas estructurales y para el desarrollo de las matrices del sistema cuando se usan 
métodos matriciales (que estudiaremos a partir del Capítulo 22), el primer teorema de Castigliano 
es el método más fácil de usar. Este método es en particular útil para la evaluación de estructuras 
con respuesta no lineal. 
CAPITULO 16 MÉTODOS DE FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ... (CONTINUACIÓN) 341 
r­20 pies­¡­­20 pies­ 
16.1 (Resp.: L1Li = +25.93 klb, U1L2 ­ ­36.66 klb.) 
En los problemas 16.1 al 16.13 determine las reacciones y las fuer­ 
zas en las barras de las armaduras mostradas usando el método de 
las distorsiones consistentes. 
® 
B 
60klb 
30 klb _.,.,!"'­­­­­­­.­ l 
e ¡Qr 
-,.(i:~ f'F:P, =,tj =C­ ~@~3f~ .. ~­~~~t:i~~­' ~~•~0~~-.~,Jfjf 0,'fi '1 
16. 7 PROBLEMAS PARA SOLUCIONAR 
Fuerzas en los extremos­ de los miembros 
Viga Caso Extremo Axial Cortante-Y Momento-Z 
1 1 i 2.15,;i,E:+01 O.Q.QOE+o0 O.OOOE+oo 
j ­2.15­4E+01 ó.OOOE+OO O .OOOE+OO 
2 1 i 2.121E+01 Q.OOOE+OO o.ooos­co 
j ­2.121E+01 O.OOOE+OO O.OOOE+OO 
3 1 i ­8.457E+01 O.OOOE+oo O.OOOE+OO 
j 8A57E+01 0.000E+OO O.OOOE+OO 
4 1 i ­9.253E+01 O.OOOE­1­00 O.OOOE+OO 
j 9.253E+01 O.OOOE+oO O,.OOOE+OO 
5 1 i ­2.182E+01 O.OOOE+OO O.OOOB­i­00 
J 2.182E+01 O.OOOE+oo O.OOOE+oo 
6 1 i ­1.846E+01 e.ooos­oo O.OOOE+OO 
j 1.846E+01 o.ooos-reo O.OOOE­t­00 
7 1 i 2.828E+01 O.OOOE+oo O.OOOE+OO 
j ­2.828E+01 O.OOOE+OO O.OOOE+OO 
8 1 i ­1.SOOE 101 O.OOOE+oo O.OOOE+oo 
j 1.500E+01 O.OOOE+OO O.OOOE+OO 
9 1 i ­1.346E+01 O.OQOE+OO O.OOOE+OO 
j 1.346E+01 O.OóOE+OO O.OOOE+óo 
10 1 i ­2.000E+Ol O .. OOOE+OO O.OOOE+OO 
j 2.000E+Oi O.OOOE+­00 0,000E+OO • 
342 PARTE DOS ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS 
~)-'i-----=-------:~L_,_1 _ _._ ® '• 
-1· ­l­'rfl1J5pi~ 
® 20 ies 
No hay nudo 
en la imerseccion 
de las diagonales 
so klb ~.,.__ __ ®_5 _,,u_,_~ 
30 klb 
© © © 
CD @ ® 1 CD ® © '.Wpies _l 
© © © 
30 klh 60klh 
3 por '.!:'i pies= 75 pies 
16.8 
© 
16.7 (Resp.: Y1. = 49.0 klb f. U0U1 ­ ­61.25 klb, U2L3 = 
­113 6 klb.) 
~­­­­­­~ ­30 klb----r 
J0>':.._--------1------~2ores 
40 klb r 
1­­­­30 pies­­~:­­30 pies­­~ 
60 klb 
16.6 Todas las áreas son iguales. 
~~~ ·r.:;.~ ~ ~,.:.~., 
­­ 8 m _,...¡ .,__ 8 m ­1 
e 
80 kN 
50 kN - !,­­­­­.­1 
~ 6m ! 
16.5 (Resp.: Y11 = 64.89 kN t. L0L1 = + 35.05 kN.) 
L1 L2 LJ 
1­­­­­4 por 3() pies e 120 pies­­­­­1 
50 kili ¡ 
u. 
80 klb ¡ 
U1 
40 klb ! u, 
16.4 Todas las áreas son iguales. 
1­­30 pie~-- 
90klh-~< 
!s pies :T,,;es 
16.3 Todas las áreas son iguales. (Resp.: VR ­ 45.5 klb 1, U()U1 
­ +8.4 klb, U2L2 = ­26.8 klb.) 
50 klb 
Uzi 
16.2 
CAPÍTULO 16 MÉTODOS DE FUERZAS PARA EL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ... {CONTINUACIÓN) 343 
¡ 
60 klb 
30 ies ® 
20pies­¡ i­15pie.~, 
16.14 En los problemas 16. 14 al 16.22 analice las estructuras 
usando