GIC S3E

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA – FÍSICA I 
UNIDAD DE ESTUDIO: CINEMÁTICA EN DOS DIMENSIONES 
SESIÓN N0 3 
GUIA INSTRUCCIONAL PARA EL ESTUDIANTE 
 
Lea cuidadosamente el contenido de esta guía instruccional. En primera instancia, se recomienda a 
los estudiantes, leer detalladamente el contenido de la unidad de estudio en el texto guía de la 
materia Física I. Luego, encontrarán ejemplos de preguntas conceptuales y problemas de desarrollo 
relacionados con el tema de estudio, así como un banco de preguntas conceptuales y problemas de 
desarrollo planteados que deben resolver como parte de esta guía. 
 
Las preguntas conceptuales son preguntas destinadas a medir la comprensión de conceptos físicos 
relevantes dentro de la unidad. En esta guía se han planteado preguntas conceptuales abiertas, cuyo 
objetivo es que el estudiante, luego de comprender el contenido de estudio, sea capaz de responder 
cada una de las preguntas, argumentando su respuesta de manera coherente y clara. 
 
Por otra parte, los problemas planteados buscan que el estudiante sea capaz de desarrollar, a través 
de la correspondiente herramienta matemática (derivación e integración), una estrategia de resolución 
que le permita plantear, desarrollar y obtener una respuesta correcta del problema sugerido, basado 
en el análisis y la comprensión de conceptos físicos estudiados. 
 
 
¡Muchos éxitos en el estudio de esta unidad! 
 
 
 
❖ LECTURA PREVIA 
TEXTO GUÍA: FÍSICA UNIVERSITARIA, SEARS SEMANSKY, UNDÉCIMA EDICIÓN, VOLUMEN 
UNO 
El estudiante debe leer el texto guía de la página 40 a la 61, previo a la revisión de esta guía 
instruccional, las cuales tratan conceptos básicos tales como: desplazamiento, tiempo, velocidad 
media e instantánea, aceleración media e instantánea, movimiento con aceleración constante, 
cuerpos en caída libre y, obtención de los vectores posición, velocidad y aceleración por métodos de 
derivación e integración. 
 
 
 
❖ REVISAR VIDEOS 
Revisar los siguientes enlaces: 
 
✓ Contenido: Derivadas aplicadas en Cinemática. 
Tiempo destinado: 12 minutos 
 
 
 https://www.youtube.com/watch?v=MQ_-8THxM3M 
 
✓ Contenido: Integrales aplicadas en Cinemática. 
Tiempo destinado: 7 minutos 
https://www.youtube.com/watch?v=YXkFshUGU0Q 
 
✓ Contenido: Ejercicio de aplicación de integrales. 
Tiempo destinado: 8 minutos 
https://www.youtube.com/watch?v=ltRo5CswLRI 
 
 
 
❖ PREGUNTAS CON RESPUESTAS 
 
Pregunta 1: ¿Qué representan cada una de las gráficas mostradas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICA 1 
La figura 1 corresponde a la gráfica posición versus tiempo (gráfica x-t) y representa como cambia 
la posición de la partícula con respecto al tiempo. Esta gráfica permite obtener información sobre el 
movimiento de la partícula, tales como: su posición, su velocidad en un tramo de su recorrido 
(velocidad media), su velocidad en un instante de tiempo (velocidad instantánea), su aceleración (si 
se acelera o desacelera). 
 
Posición de la partícula 
La gráfica x-t permite visualizar la posición de la partícula en cualquier instante de tiempo para un 
sistema de referencia específico. 
Por ejemplo, en el punto A la partícula se encuentra en una posición sobre el eje negativo del sistema 
de referencia, mientras que en el punto C, se encuentra en una posición sobre el eje positivo del 
sistema de referencia. Es importante mencionar que en el punto B, la partícula se encuentra 
sobre el origen del sistema de referencia. 
 
 
 
Velocidad instantánea de la partícula: 
La pendiente de la gráfica x-t para un instante específico, representa la velocidad instantánea de la 
partícula en dicho punto. Además, el signo de la pendiente indica en qué dirección se mueve la 
misma. 
Por ejemplo, en el punto A la pendiente de la recta tangente es positiva, por lo tanto la velocidad de la 
partícula en dicho instante tiene signo positivo, indicando que la partícula se mueve a favor del 
sistema de referencia; mientras que en el punto D, la pendiente de la recta tangente es negativa, por 
lo tanto la velocidad de la partícula en dicho instante tiene signo negativo, indicando que la partícula 
se mueve en contra del sistema de referencia. Es importante recalcar que en el punto C, la 
pendiente es cero, así que la velocidad en dicho punto es cero, lo cual significa que la 
partícula instantáneamente está en reposo. 
 
Velocidad media de la partícula: 
La pendiente de la recta entre dos puntos en la gráfica x-t, representa la velocidad media de la 
partícula en dicho tramo. Si la pendiente es positiva entonces la velocidad media en ese tramo tendrá 
signo positivo (a favor del sistema de referencia), caso contrario tendrá signo negativo (en contra del 
sistema de referencia). 
 
Aceleración de la partícula: 
La curvatura de la gráfica x-t representa la aceleración de la partícula en dicho punto. Si la curvatura 
es hacia arriba entonces la aceleración es positiva y si la curvatura es hacia abajo, la aceleración es 
negativa. 
Para determinar si una partícula se acelera o desacelera se debe comparar el signo tanto de la 
velocidad como de la aceleración de la misma. Así, si los vectores velocidad y aceleración coindicen 
en signo entonces la partícula se “acelera”; y si los signos son contarios, las partícula se “desacelera”. 
Por ejemplo, en el punto A la pendiente de la curva es positiva (velocidad positiva) y la curvatura es 
hacia arriba (aceleración positiva) por lo tanto la partícula se mueve a favor del sistema de referencia 
“acelerándose”; mientras en el punto E, la pendiente de la curva es negativa (velocidad negativa) y la 
curvatura es hacia arriba (aceleración positiva), indicando que la partícula se mueve en contra del 
sistema de referencia “desacelerándose”. 
Es importante recalcar que en el punto C, la pendiente de la curva es cero (velocidad cero), y la 
curvatura es hacia abajo (aceleración negativa), lo cual indica que la partícula 
instantáneamente esta en reposo pero la velocidad está cambiando de “positiva “a “negativa”; 
mientras que en el punto D, la pendiente es negativa (velocidad negativa) y la curvatura es 
cero, por tanto la partícula se mueve en dirección contraria al sistema de referencia, pero su 
rapidez no cambia. 
 
 
GRAFICA 2 
La figura 2 corresponde a la gráfica “y” versus “x” y representa la trayectoria de la partícula en dos 
dimensiones. Permite obtener información acerca de la posición, desplazamiento y velocidad media 
de la partícula. 
Ejemplo: 
A t1=20s, la posición de la partícula es: 𝑟1⃗⃗⃗⃗ = (2𝑖̂ + 3𝑗̂) 𝑚 
A t2=40s, la posición de la partícula es: 𝑟2⃗⃗⃗⃗ = (6𝑖̂ + 4𝑗̂) 𝑚 
El desplazamiento de la partícula entre t1 y t2 es: 
 
 
 
 ∆𝑟⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑟 2 − 𝑟 1 = (6𝑖̂ + 4𝑗̂) 𝑚 − (2𝑖̂ + 3𝑗̂) 𝑚 = (4𝑖̂ + 𝑗̂) 𝑚 
 
La velocidad media en dicho intervalo de tiempo es: 
𝑣 =
 ∆𝑟⃗⃗⃗⃗ ⃗
∆𝑡
=
(4𝑖̂ + 𝑗̂) 𝑚
20𝑠
= (0.2𝑖̂ + 0.05𝑗̂) 𝑚/𝑠 
 
 
Pregunta 2: ¿Qué representa la gráfica mostrada? 
 
La figura corresponde a la gráfica velocidad versus tiempo 
(gráfica v-t) y muestra como cambia la velocidad de la partícula 
con respecto al tiempo. Esta gráfica permite obtener información 
acerca de la aceleración y la velocidad de la partícula. 
Es importante recalcar que la gráfica mostrada por sí sola no 
muestra información sobre la posición de la partícula en un 
instante de tiempo. 
 
Aceleración instantánea de la partícula 
La pendiente de la gráfica v-t en un punto específico, representa la aceleración instantánea de la 
partícula en dicho punto. 
Por ejemplo, en el punto A la pendiente de la recta tangente es positiva, por lo tanto la aceleración de 
la partícula en dicho punto tiene signo positivo; mientras que en el punto D, la pendiente de la recta 
tangente es negativa, por lo tantola aceleración de la partícula en dicho punto tiene signo negativo. 
Es importante recalcar que en el punto C, la pendiente es cero, así que aceleración en dicho 
punto es cero (pero la partícula si tiene velocidad y es máxima). 
 
 
 
Aceleración media de la partícula: 
La pendiente de la recta entre dos puntos en la gráfica v-t, representa la aceleración media de la 
partícula en dicho tramo. Si la pendiente es positiva entonces la aceleración media en ese tramo 
tendrá signo positivo (a favor del sistema de referencia), caso contrario tendrá signo negativo (en 
contra del sistema de referencia). 
 
 
Velocidad de partícula 
Ya que se trata de una gráfica de velocidad, cualquier punto que se encuentre en la parte superior del 
eje del tiempo representa velocidades positivas, y los que se encuentren por debajo de ella, 
velocidades negativas. 
Ejemplo: 
En el punto A, la partícula tiene velocidad negativa (el punto se encuentra en la parte inferior del 
gráfico) y la pendiente en dicho punto es positiva (aceleración positiva); por lo tanto, la partícula se 
mueve en contra del sistema de referencia “desacelerándose”. 
 
 
 
En el punto B, la partícula tiene velocidad cero (el punto se encuentra justo sobre el eje del tiempo) y 
la pendiente en dicho punto es positiva (aceleración positiva); por lo tanto, la partícula se encuentra 
instantáneamente en reposo, a punto de moverse a favor del sistema de referencia. 
 
En el punto C, la velocidad es positiva y la pendiente es cero (aceleración cero), por lo tanto la 
partícula se mueve a favor del sistema de referencia con su máxima rapidez. 
 
 
 
 
El estudiante debe poder explicar que sucede con la partícula en los puntos D y E. Explique. 
 
Punto D 
En el punto D, la partícula tiene velocidad cero (el punto se encuentra justo sobre el eje del tiempo) y 
la pendiente en dicho punto es negativa (aceleración negativa); por lo tanto, la partícula se encuentra 
instantáneamente en reposo, a punto de moverse en contra del sistema de referencia 
 
 
Punto E 
En el punto E, la partícula tiene velocidad negativa (el punto se encuentra en la parte inferior del 
gráfico) y la pendiente en dicho punto es negativa (aceleración negativa); por lo tanto, la partícula se 
mueve en contra del sistema de referencia “acelerándose”. 
 
 
 
 
❖ PROBLEMAS RESUELTOS 
 
 
 
Ejemplo 1: Movimiento en una dimensión 
 
La posición de una partícula varía con el tiempo según 𝑟 = (4𝑡 + 2)𝑖 ̂ expresada en SI. Calcular la 
velocidad instantánea en t=1s y t=3s. 
 
RECORDAR: “La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media conforme el intervalo de 
tiempo se acerca a cero; es igual a la tasa instantánea de cambio de posición con el tiempo”. 
 
Desarrollo: 
 
𝑣 =
𝑑𝑟 
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(4𝑡 + 2)𝑖̂ =
𝑑
𝑑𝑡
(4𝑡)𝑖̂ +
𝑑
𝑑𝑡
(2)𝑖̂ = 4𝑖̂ [𝑚/𝑠] 
 
 
 
Ejemplo 2: Movimiento en dos dimensiones 
 
Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de una partícula son x=t2+2; y=2t2-1 donde x e y están 
dados en metros y t está en segundos. Calcular: 
a) La velocidad instantánea. 
b) La aceleración instantánea. 
 
RECORDAR: “La aceleración instantánea es el límite de la aceleración media conforme el intervalo 
de tiempo se acerca a cero. En el lenguaje del cálculo, la aceleración instantánea es la tasa 
instantánea de cambio de la velocidad con el tiempo”. 
 
Desarrollo: 
 
Determinando la velocidad: 
 
𝑣𝑥 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑡2 + 2) = 2𝑡 
 
𝑣𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(2𝑡2 − 1) = 4𝑡 
 
Entonces: �⃗⃗� = (𝟐𝒕 �̂� + 𝟒𝒕 𝒋̂) [𝑚/𝑠] 
 
 
 
 
Determinando la aceleración: 
 
𝑎𝑥 =
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(2𝑡) = 2 
 
𝑎𝑦 =
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(4𝑡) = 4 
 
Entonces: �⃗⃗� = (𝟐�̂� + 𝟒𝒋̂) [𝑚 𝑠2⁄ ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TAREA PARA LA SESION 3 
 
❖ PREGUNTAS PROPUESTAS 
 
Pregunta 1 
Una profesora de física sale de su casa y camina por la acera hacia el 
campus. A los 6 minutos, comienza a llover y ella regresa a casa. La 
distancia entre ella y su casa en función del tiempo se muestra en la 
figura adjunta. En cuál punto rotulado (en la gráfica) su velocidad es: 
 
a) cero, 
b) constante y positiva 
c) constante y negativa 
d) de magnitud creciente 
e) de magnitud decreciente 
 
Pregunta 2 
Una gota de aceite cae cada 5 s desde el motor de un automóvil en movimiento. La figura adjunta 
muestra el patrón de las gotas que quedan en el pavimento. 
¿Cuál es la rapidez media del automóvil en esta sección de su movimiento? 
 
a) 20 m/s 
b) 24 m/s 
c) 30 m/s 
d) 100 m/s 
e) 120 m/s 
 
 
❖ PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
Problema 1 
 
Un automóvil está parado ante un semáforo. Después viaja en línea recta y su distancia con respecto 
al semáforo está dada por 𝑥(𝑡) = 𝑏𝑡2 − 𝑐𝑡3 , donde b= 2.40 m/s2 y c= 0.120 m/s3. Determinar: 
a) la velocidad media del auto entre el intervalo t= 0 a t =10.0 s. 
b) la velocidad instantánea del auto en t= 0 y en t=5.0 s 
c) ¿Cuánto tiempo después de arrancar el auto vuelve a detenerse? 
 
 
 
 
 
Problema 2 
El vector velocidad de una partícula viene dado por: 𝑣 = (3𝑡 − 2)𝒊 + (6𝑡2 − 5)𝒋 [𝒎/𝒔] 
Determinar la aceleración de la partícula en t=4s. 
 
 
 
Problema 3 
Un móvil describe un movimiento rectilíneo. En la figura, se representa su 
velocidad en función del tiempo. Sabiendo que en el instante t=0, el móvil 
parte del origen (x=0): 
a) Realizar la gráfica de la aceleración en función del tiempo 
b) Determinar el desplazamiento total del móvil, hasta el instante t=8s. 
c) Determinar la expresión de la posición x del móvil en función del tiempo t, 
en los tramos AB y BC usando ecuaciones de Cinemática y herramienta de integración. Comparar 
las respuestas. 
 
 
Problema 4 
Una partícula se mueve en la dirección positiva del eje X, de modo que su velocidad varía según la 
ecuación: v = α√x, donde α es una constante. Si en el instante t=0 la partícula se encuentra en la 
posición, x=0. Determinar: 
a) La posición de la partícula como función del tiempo 
b) La velocidad de la partícula en función del tiempo. 
c) La aceleración de la partícula en función del tiempo. 
d) La distancia recorrida por la partícula en función del tiempo. 
e) ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula? 
 
 
Problema 5 
Los frenos de un automóvil se aplican, haciendo reducir la 
velocidad a una tasa de 10m/s2. Sabiendo que el coche se detiene 
en 100m desde su posición de origen, determinar: 
a) La velocidad del auto inmediatamente antes de aplicar los 
frenos. 
b) El tiempo requerido para que el coche se detenga. 
NOTA: Resolver por método de integración 
Recordar: 
 
 
 
 
 
 
Problema 6 
La aceleración de una partícula se define por la relación: 𝑎 = −𝑘 𝑥⁄ para 𝑥 ≠ 0 
Se ha determinado experimentalmente que v=15 m/s cuando x=0.6m y que v=9m/s cuando x=1.2m. 
Determinar: 
a) El valor de k. 
b) La rapidez de la partícula cuando x=1.5m 
c) La posición de la partícula en la que su velocidad es cero. 
 
 
 
 
 
 
ANEXO 
DERIVADAS: Expresiones básicas