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Sistemas polifásicos
18.1 INTRODUCCIÓN
Un generador de ca diseñado para proporcionar un solo voltaje senoidal por cada rotación de la
flecha (rotor) se conoce como generador de ca monofásico. Si el número de bobinas en el rotor 
se incrementa de una manera específica, el resultado es un generador de ca polifásico, el cual
proporciona más de un voltaje de ca por cada rotación del rotor. En este capítulo se examina en 
detalle el sistema trifásico puesto que es el sistema que con más frecuencia se utiliza para la 
transmisión de potencia.
Por lo común se prefieren los sistemas trifásicos sobre los monofásicos para transmitir potencia
por varias razones, entre ellas las siguientes:
1. Pueden utilizarse conductores más delgados para transmitir los mismos kVA en el mismo
voltaje, lo cual reduce la cantidad de cobre requerido (alrededor de 25% menos) y a su vez
reduce los costos de construcción y mantenimiento.
2. Es más fácil instalar líneas más livianas y las estructuras de soporte pueden ser menos 
voluminosas, además de estar más separadas entre sí.
3. Tanto equipo como motores han preferido características trifásicas de funcionamiento y 
arranque en comparación con las de los sistemas monofásicos, debido a un flujo más uni-
forme de potencia hacia el transductor que el que se puede suministrar con un sistema
monofásico.
4. En general, la mayoría de los motores grandes son trifásicos porque son de autoarranque 
y no requieren un diseño especial o circuitos de arranque adicionales.
La frecuencia generada está determinada por el número de polos en el rotor (la parte giratoria
del generador) y la velocidad a la cual se hace girar la flecha. En Estados Unidos, la frecuencia de
línea es de 60 Hz, mientras que en Europa el estándar seleccionado es de 50 Hz. Estas dos fre-
cuencias se escogieron sobre todo porque pueden ser generadas por un diseño mecánico relativa-
mente eficiente y estable, sensible al tamaño de los sistemas generadores y a la demanda que se
debe satisfacer durante periodos pico. En aviones y buques, los niveles de demanda permiten uti-
lizar una frecuencia de línea de 400 Hz.
1818Sistemas polifásicos
• Familiarizarse con la operación de un generador
trifásico y la relación de magnitud y fase que 
conecta los voltajes trifásicos.
• Ser capaz de calcular los voltajes y corrientes para 
un generador conectado en Y, o una carga conectada
en Y trifásicos.
• Comprender la importancia de la secuencia de fases
para los voltajes generados de un generador trifásico
conectado en Y, o de un generador conectado en �.
• Ser capaz de calcular los voltajes y corrientes para 
un generador trifásico conectado en � y una carga
conectada en �.
• Entender cómo calcular la potencia real, reactiva y
aparente suministrada a todos los elementos de una
carga conectada en Y o en � y ser capaz de medir 
la potencia suministrada a la carga.
Objetivos
�����	�����	�
mente eficiente y estable, sensible al tamaño de los sistemas generadores y a la demanda que sesensible al tamaño de los sistemas generadores y debe satisfacer durante periodos pico. En aviones y buques, los niveles de demanda permiten uti-ebe satisfacer durante periodos pico. En aviones y buques, los niveles de demanda permiten utilizar una frecuencia de línea de 400 Hz.lizar una frecuencia de línea de 400 Hz �	�	
820 ⏐⏐⏐ SISTEMAS POLIFÁSICOS
El sistema trifásico se utiliza en casi todos los generadores eléctricos
comerciales. Esto no significa que los sistemas de generación monofásico 
y bifásico sean obsoletos. La mayoría de los pequeños generadores de emer-
gencia, como los de gasolina, son monofásicos. El sistema bifásico se utili-
za comúnmente en servomecanismos, los cuales son sistemas de control
autocorrectores capaces de detectar y ajustar su propia operación. Los ser-
vomecanismos se utilizan en buques y aviones para mantenerlos en curso
automático, o en dispositivos más sencillos como un circuito termostático
para regular la producción de calor. En muchos casos, sin embargo, se re-
quieren entradas monofásicas y bifásicas, suministradas por una o dos fases
de un sistema generador trifásico en lugar de ser generadas de forma inde-
pendiente.
El número de voltajes de fase que puede producir un generador po-
lifásico no está limitado a tres. Se puede obtener cualquier cantidad de fases
colocando los devanados de cada fase en la posición angular apropiada
alrededor del estator. Algunos sistemas eléctricos operan con más eficiencia
si se utilizan más de tres fases. Un sistema como ese implica el proceso de
rectificación, con el cual se puede convertir una salida alterna en una 
de valor promedio, o de cd. A mayor cantidad de fases, más uniforme es la
salida de cd del sistema.
18.2 GENERADOR TRIFÁSICO
El generador trifásico de la figura 18.1(a) tiene tres bobinas de inducción
colocadas a 120° una de otra en el estator, como se muestra simbólicamente
en la figura 18.1(b). Como las tres bobinas tienen un número igual de
vueltas, y cada una gira con la misma velocidad angular, el voltaje inducido
a través de cada una tiene el mismo valor pico, forma y frecuencia. Cuando
algún medio externo hace girar la flecha del generador, los voltajes induci-
dos eAN, eBN, and eCN se generan al mismo tiempo, como se muestra en la
figura 18.2. Observe el desplazamiento de fase de 120° entre las formas de
onda y la apariencia similar de las tres funciones senoidales.
A
(a)
B
C
N
120°
A
BC
+
–
eAN
N
–
N
N
120°
120°
eBN
eCN +
+
–
(b)
FIG. 18.1
(a) Generador trifásico; (b) voltajes inducidos de un generador trifásico.
En particular, observe que 
en cualquier instante, la suma algebraica de los voltajes trifásicos de un
generador trifásico es cero.
Esto se muestra en vt � 0 en la figura 18.2, donde también es evidente que
cuando un voltaje inducido es cero, los otros dos son 86.6% de sus máximos
positivos o negativos. Además, cuando cualquiera de los dos es igual en�����	�����	�
��	�Esto se muestra en n vt � 0 en la figura 18.2, donde también es evidente queen la cuando un voltaje inducido es cero, los otros dos son 86.6% de sus máximoscuando un voltaje inducido es cero, los otros dos son 86.6% de sus máximospositivos o negativos. Además, cuando cualquiera de los dos es igual enpositivos o negativos. Además, cuando cualquiera de los dos es igual en
GENERADOR CONECTADO EN Y ⏐⏐⏐ 821
120°
120°
120°
ECN
EAN
EBN
FIG. 18.3
Diagrama fasorial para los voltajes de fase de un
generador trifásico.
magnitud y signo (en 0.5Em), el voltaje inducido restante tiene la polaridad
opuesta y un valor pico
Las expresiones senoidales respectivas para los voltajes inducidos en la
figura 18.2 son
(18.1)
El diagrama fasorial de los voltajes inducidos se muestra en la figura
18.3, donde el valor efectivo de cada uno se determina por 
y
Reordenando los fasores como se muestra en la figura 18.4 y aplicando la
ley de los vectores que establece que la suma vectorial de cualquier número
de vectores trazados de tal forma que la “cabeza” de uno esté conectada
con la “cola” del siguiente, y la cabeza del último vector esté conectada a
la cola del primero es cero, podemos concluir que la suma fasorial de los
voltajes de fase en un sistema trifásico es cero. Es decir,
(18.2)
18.3 GENERADOR CONECTADO EN Y
Si las tres terminales indicadas con N en la figura 18.1(b) se conectan juntas,
el generador se conoce como generador trifásico conectado en Y (figura
18.5). Como se indica en la figura 18.5, la Y se invirtió para facilitar la no-
EAN � EBN � ECN � 0
 ECN � ECN ��120°
 EBN � EBN ��120°
 EAN � EAN �0°
 ECN � 0.707Em1CN2 EBN � 0.707Em1BN2
 EAN � 0.707Em1AN2
eCN � Em1CN2 sen1vt � 240° 2 � Em1CN2 sen1vt � 120° 2eBN � Em1BN2 sen1vt � 120° 2
eAN � Em1AN2 sen vt
EBN
EAN
ECN
FIG. 18.4
Demostración de que la suma vectorial delos 
voltajes de fase de un generador trifásico es cero.
0.866 Em(CN)
0
60°
0.866 Em(BN)
120° 120°
p
2
p
eAN
0.5 Em(CN)
0.5 Em(CN)
eBN eCN
3
2p
2p 5
2p
3p 7
2p
4p qt
e
FIG. 18.2
Voltajes de fase de un generador trifásico.
Si las tres terminales indicadas conadas con N en la figura 18.1(b) se conectan juntas,onectan juntas,
el generador se conoce como l generador se conoce como generador trifásico conectado en Y ador trifásico conectado e (figuraigura
18.5). Como se indica en la figura 18.5, la Y se invirtió para facilitar la no-18.5). Como se indica en la figura 18.5, la Y se invirtió para facilitar la no-
822 ⏐⏐⏐ SISTEMAS POLIFÁSICOS
tación y por claridad. El punto en el cual todas las terminales están conec-
tadas se llama punto neutro. Si un conductor no está conectado desde este
punto a la carga, el sistema se llama generador de tres hilos, trifásico, conec-
tado en Y. Si el neutro está conectado, el sistema es un generador de cuatro
hilos, trifásico, conectado en Y. La función del neutro se analizará en detalle
cuando consideremos el circuito de carga.
Los tres conductores conectados de A, B, y C a la carga se llaman líneas.
Para el sistema conectado en Y, en la figura 18.5 es obvio que la corriente
de línea es igual a la corriente de fase para cada fase; esto es,
(18.3)
donde f indica una cantidad de fase, y g es un parámetro de generador.
El voltaje desde una línea a otra se llama voltaje de línea. En el diagrama
fasorial (figura 18.6), es el fasor trazado del extremo de una fase al otro en
sentido contrario al de las manecillas de reloj.
Aplicando la ley del voltaje de Kirchooff alrededor del lazo indicado en
la figura 18.6, obtenemos
o bien
El diagrama fasorial se traza de nuevo para determinar EAB como se muestra
en la figura 18.7. Como cada voltaje de fase, cuando se invierte (ENB),
biseca los otros dos, a � 60°. El ángulo b es de 30° puesto que una línea
trazada desde los extremos opuestos de un rombo divide a la mitad tanto 
el ángulo de origen como el opuesto. Las líneas trazadas entre los vértices
opuestos de un rombo también se bisecan entre sí en ángulos rectos.
La longitud x es
y EAB � 2x � 12 2132 EAN � 13EAN
x � EAN cos 30° �
13
2
 EAN
EAB � EAN � EBN � EAN � ENB
EAB � EAN � EBN � 0
IL � Ifg
120°
120°
ECN
EAN
EBN
α = 60°α
α 
=
 60
°
α
ENB
EAB
β = 30°x
x
FIG. 18.7
Determinación de un voltaje de línea
para un generador trifásico.
Línea
C
A
R
G
IL
Línea
IL
Línea
IL
Neutro
Ifg
+
EAN
–
A
N
Ifg
+
ECN
– Ifg
EBN
+
–
C B
A
FIG. 18.5
Generador conectado en Y.
(voltaje de fase)
+
EAN
–
A
N
+
ECN
–
C
B
EBN
+
–
EBC
(voltaje de línea)EAB
ECA
FIG. 18.6
Voltajes de línea y fase del generador trifásico
conectado en Y.
�����	�����	�
��	�yy EEABE � 22xx222 �� 1122 22131�	22 EEANANEE �� 1133111 EEANANEFIG. 18.7Determinación de un voltaje de líneaterminación de un voltaje de para un generador trifásico.para un generador trifásico.
SECUENCIA DE FASES (GENERADOR CONECTADO EN Y) ⏐⏐⏐ 823
Punto fijo P
EAN
A
N
ECN
C
B
EBN
Rotación
FIG. 18.9
Determinación de la secuencia de fases desde los
voltajes de un generador trifásico.
Observando a partir del diagrama fasorial que de u EAB 30°, obte-
nemos el resultado
y
En palabras, la magnitud del voltaje de línea de un generador conectado en
Y es por el voltaje de fase:
(18.4)
con el ángulo de fase entre cualquier voltaje de línea y el voltaje de fase más
cercano a 30°.
En notación senoidal,
y
El diagrama fasorial de los voltajes de línea y fase se muestra en la figura
18.8. Si los fasores que representan los voltajes de línea en la figura 18.8(a)
se reacomodan ligeramente, formarán un lazo cerrado, figura 18.8(b). Por
consiguiente, podemos concluir que la suma de los voltajes de línea también
es cero; es decir,
(18.5)EAB � ECA � EBC � 0
 eBC � 12EBC sen 1vt � 270° 2 eCA � 12ECA sen 1vt � 150° 2
 eAB � 12EAB sen 1vt � 30° 2
EL � 13Ef
13
 EBC � 13EBN �270°
 ECA � 13 ECN �150°
 EAB � EAB �30° � 13EAN �30°
�b�
18.4 SECUENCIA DE FASES 
(GENERADOR CONECTADO EN Y)
La secuencia de fases puede determinarse por el orden en que los fasores
que representan los voltajes de fase pasan por un punto fijo en el diagrama
fasorial si los fasores giran en un sentido contrario al de las manecillas de
reloj. Por ejemplo, en la figura 18.9 la secuencia de fases es ABC. Sin em-
bargo, puesto que el punto fijo puede seleccionarse en cualquier parte del 
(b)
EAB
EBC
ECA
120°
120°
120°
ECN
EAN
EBN
30°
30°
EABECA
EBC
30°
(a)
FIG. 18.8
(a) Diagrama fasorial de los voltajes de línea y fase de un generador trifásico;
(b) demostración de que la suma de vectores de los voltajes de línea
de un sistema trifásico es cero.
�����	�����	�
��	�FIG. 18.9Determinación de la secuencia de fases desde losDeterminación de la secuencia de fases desde losvoltajes de un generador trifásico.oltajes de un generador trifásico.fasorial si los fasores giran en un sentido contrario al de las manecillas den en un sentido contrario al de las manecillas dereloj. Por ejemplo, en la figura 18.9 la secuencia de fases es eloj. Por ejemplo, en la figura 18.9 la secuencia de fases ABC.AB Sin em- em-bargo, puesto que el punto fijo puede seleccionarse en cualquier parte delbargo, puesto que el punto fijo puede seleccionarse en cualquier parte del 
824 ⏐⏐⏐ SISTEMAS POLIFÁSICOS
diagrama fasorial, la secuencia también puede escribirse como BCA o CAB.
La secuencia de fases es muy importante en la distribución de potencia
trifásica. En un motor trifásico, por ejemplo, si se intercambian dos voltajes
de fase, la secuencia cambiará, y la dirección de rotación del motor se in-
vertirá. Se describirán otros efectos cuando consideremos el sistema tri-
fásico cargado.
La secuencia de fases también puede describirse en función de los volta-
jes de línea. Trazando los voltajes de línea en un diagrama fasorial en la
figura 18.10, podemos determinar la secuencia de fases haciendo girar de
nuevo los fasores en sentido contrario al de las manecillas de reloj. En este
caso, sin embargo, la secuencia se determina observando el orden de los
primeros o segundos subíndices que pasan. En el sistema de la figura 18.10,
por ejemplo, la secuencia de fases de los primeros subíndices que pasan por
el punto P es ABC, y la secuencia de fases de los segundos subíndices es
BCA. Pero sabemos que BCA equivale a ABC, por lo que la secuencia es la
misma para cada uno. Observe que la secuencia de fases es la misma que los
voltajes de fase descritos en la figura 18.9.
Si se proporciona la secuencia, el diagrama fasorial puede trazarse con
sólo seleccionar un voltaje de referencia, colocarlo en el eje de referencia 
y luego trazar los demás voltajes en la posición angular apropiada. Para una
secuencia de ACB, por ejemplo, podríamos escoger EAB como referencia,
figura 18.11(a), si buscáramos el diagrama fasorial de los voltajes de línea, 
o EAN para los voltajes de fase, figura 18.11(b). Para la secuencia indica-
da, los diagramas fasoriales serían como los de la figura 18.11. En notación
fasorial
•EAN � EAN �0° 1referencia 2ECN � ECN ��120°
EBN � EBN ��120°
•EAB � EAB �0° 1referencia 2ECA � ECA ��120°
EBC � EBC ��120°
P
EAB
A
ECA
C
B
EBC
Rotación
FIG. 18.10
Determinación de la secuencia de fases
de los voltajes de línea de un generador trifásico.
P
EAB
A
EBC
B
C
ECA
ACB
(a)
P
EAN
A
EBN
B
C
ECN
ACB
(b)
FIG. 18.11
Trazo del diagrama fasorial a partir de la secuencia de fases.
Voltajes 
de línea
Voltajes 
de fase
�����	�����	�
��	�FIG. 18.1118.11Trazo del diagramafasorial a partir de la secuencia de fases.Trazo del diagrama fasorial a partir de la secuencia de fases.
GENERADOR CONECTADO EN Y CON UNA CARGA CONECTADA EN Y ⏐⏐⏐ 825
18.5 GENERADOR CONECTADO EN Y CON 
UNA CARGA CONECTADA EN Y 
Las cargas conectadas a fuentes trifásicas son de dos tipos: el Y y el �. Si
una carga conectada en Y se conecta a un generador conectado en Y, el sis-
tema simbólicamente se representa como Y-Y. La configuración física de
dicho sistema se muestra en la figura 18.12
IL
IL
EL
Ifg
+
–
A
N
Ifg
+
–
C
Ifg
+
–
Ef
Ef
EL
IL
c
EL
IfL
IN
a
IfL
Ef Vf
+
–
n
IfL
bVf Vf+
–
+
–
Z1
Z3 Z2
B
FIG. 18.12
Generador conectado en Y con una carga conectada en Y.
Si la carga está balanceada, puede quitarse la conexión neutra sin afec-
tar el circuito en manera alguna; es decir, si
entonces IN será cero (lo que se demostrará en el ejemplo 18.1). Observe que
para tener una carga balanceada, el ángulo de fase también debe ser el
mismo para cada impedancia, una condición que no era necesaria en el cir-
cuito de cd cuando consideramos los sistemas balanceados.
En la práctica, si una fábrica, por ejemplo, tuviera sólo cargas trifásicas
balanceadas, la ausencia del neutro no tendría ningún efecto puesto que,
idealmente, el sistema siempre estaría balanceado. Por consiguiente, el
costo sería menor ya que el número de conductores requeridos se reduciría.
Sin embargo, los sistemas de iluminación y la mayoría de otros equipos
eléctricos utilizan sólo uno de los voltajes de fase, e incluso si la carga está
diseñada para ser balanceada (como debiera ser), nunca existe un balanceo
continuo perfecto puesto que las luces y otros equipos eléctricos se encien-
den y se apagan, lo que perturba la condición balanceada. El neutro es, por
consiguiente, necesario para alejar de la carga la corriente resultante y regre-
sarla al generador conectado en Y. Esto se demostró cuando consideramos
los sistemas conectados en Y desbalanceados.
A continuación examinaremos el sistema conectado en Y-Y de cuatro
hilos. La corriente que pasa a través de cada fase del generador es la misma
que su corriente de línea correspondiente, la cual a su vez para una carga
conectada en Y es igual a la corriente de la carga a la cual está conectada:
(18.6)
Para una carga balanceada o una desbalanceada, puesto que el generador
y la carga tienen un punto neutro común, entonces
(18.7)Vf � Ef
Ifg � IL � IfL
Z1 � Z2 � Z3
(18.7)18.7)�	�� Ef�	�
826 ⏐⏐⏐ SISTEMAS POLIFÁSICOS
Además, como IfL Vf>Zf, la magnitud de la corriente en cada fase es
igual para una carga balanceada y desigual para una carga desbalanceada.
Recuerde que para el generador conectado en Y, la magnitud del voltaje de
línea es igual a por el voltaje de fase. Esta misma relación puede apli-
carse a una carga conectada en Y de cuatro hilos desbalanceada:
(18.8)
Para una caída de voltaje a través de un elemento de carga, el primer sub-
índice se refiere a aquella terminal a través de la cual entra la corriente al 
elemento de carga, y el segundo se refiere a la terminal por donde sale la
corriente. En otras palabras, el primer subíndice es, por definición, positivo
con respecto al segundo para una caída de voltaje. Observe la figura 18.13,
en la cual se indican los subíndices dobles para una fuente de voltaje y una
caída de voltaje.
EJEMPLO 18.1 La secuencia de fases del generador conectado en Y de la
figura 18.13 es ABC.
a. Determine los ángulos de fase u2 y u3.
b. Determine la magnitud de los voltajes de la línea.
c. Determine las corrientes de línea.
d. Compruebe que, como la carga está balanceada, IN � 0.
EL � 13Vf
13
�
A
+
–
120 V 0�EAN
120 V θ3θ
ECN EBN
+
–
+
–
N
C B
a
+
–
3 �Ian
+
–
+
–
n
c b
Van
4 �
4 � Vbn
3 �
Vcn
3 �
Icn Ibn
IAa
EAB
IN
IBb
ECA
ICcEBC
4 � Carga
balanceada
120 V θ2θ
FIG. 18.13
Ejemplo 18.1.
Soluciones:
a. Para una secuencia de fases ABC,
y
b. Por consiguiente,
c. Vf � Ef. En consecuencia,
 � 24 A ��53.13°
 IfL � Ian �
Van
Zan
�
120 V �0°
3 � � j 4 � �
120 V �0°
5 � �53.13°
 Van � EAN Vbn � EBN Vcn � ECN
EAB � EBC � ECA � 208 V
EL � 13Ef � 11.73 2 1120 V 2 � 208 V.u3 � �120°u2 � �120°
�����	�����	�
��	�� 24 A24 A ����53.13°53.13°IfL �� Ian � ann��ZZanan ��3 3 � � jj 4 �� � 5 �� ��53.13°5
SISTEMA Y- ⏐⏐⏐ 827¢
IL
IL
EL
Ifg
+
–
A
N
Ifg
+
–
C
B
Ifg
+
–
Ef
Ef
EL
IL
c
EL
IfL
a
IfL
Ef
Vf +–
b
Vf
+
–
Z2
IfL
Z3 Z1
Vf
–
+
FIG. 18.14
Generador conectado en Y con una carga conectada en �.
y, como IL � IfL,
d. Aplicando la ley de la corriente de Kirchhoff, tenemos 
En forma rectangular,
e IN es de hecho igual a zero, como se requiere para una carga ba-
lanceada.
18.6 SISTEMA Y-�
No hay ninguna conexión neutra para el sistema Y-� de la figura 18.14.
Cualquier variación en la impedancia de una fase que produzca un sistema
desbalanceado, simplemente modifica las corrientes de línea y de fase del
sistema.
Para una carga balanceada,
(18.9)
El voltaje que pasa a través de cada fase de la carga es igual al voltaje de
línea del generador para una carga balanceada o desbalanceada:
(18.10)Vf � EL
Z1 � Z2 � Z3
IAa � 24 A ��53.13°
IBb � 24 A ��173.13°
ICc � 24 A �66.87°
g 1IAa � IBb � ICc 2
� 14.40 A � j 19.20 A
� �22.83 A � j 2.87 A
� 9.43 A � j 22.07 A
� 0 � j 0
IN � IAa � IBb � ICc
 ICc � Icn � 24 A �66.87°
 IBb � Ibn � 24 A ��173.13°
 IAa � Ian � 24 A ��53.13°
 Icn �
Vcn
Zcn
�
120 V ��120°
5 � �53.13° � 24 A �66.87°
 Ibn �
Vbn
Zbn
�
120 V ��120°
5 � �53.13° � 24 A ��173.13°
�����	�����	�
��	�FIG. 18.14FIG. 18.1Generador conectado en Y con una carga conectada en Generador conectado en Y con una carga conec ��.
828 ⏐⏐⏐ SISTEMAS POLIFÁSICOS
La relación entre las corrientes de línea y las corrientes de fase de una
carga � balanceada se determina siguiendo un método muy parecido al que
se utilizó en la sección 18.3 para determinar la relación entre los voltajes de
línea y los voltajes de fase de un generador conectado en Y. En este caso, sin
embargo, se utiliza la ley de la corriente de Kirchhoff en lugar de la del
voltaje.
El resultado es
(18.11)
y el ángulo de fase entre una corriente de línea y la más cercana corriente de
fase es de 30°. En la sección 18.7 se halla un análisis más detallado de esta
relación entre las corrientes de línea y de fase de un sistema conectado en �.
Para una carga balanceada, la magnitud de las corrientes de línea será
igual a la de las corrientes de fase.
EJEMPLO 18.2 Para el sistema trifásico de la figura 18.15:
a. Determine los ángulos de fase u2 y u3.
b. Determine la corriente en cada fase de la carga.
c. Determine la magnitud de las corrientes de línea.
IL � 13If
ECA = 150 V � v3
IAa
ICc
A
C
B
IBb
c
a
+–
b
+
IcaGenerador trifásico
conectado en Y
de 3 hilos.
Secuencia de fases:
ABC.
 
EAB = 150 V � 0�
XL = 8 �
Vbc
–
– +
R = 6 �
Iab
Ibc XL = 8 �
R = 6 �
R = 6 �
Vca Vab
XL = 8 �
EBC = 150 V � v2
FIG. 18.15
Ejemplo 18.2.
Soluciones:
a. Para una secuencia ABC,
y
b. Vf � EL. Por consiguiente,
Las corrientes de fase son
 Ica �
Vca
Zca
�
150 V ��120°
10 � �53.13° � 15 A �66.87°
 Ibc �
Vbc
Zbc
�
150 V ��120°
10 � �53.13° � 15 A ��173.13°
 Iab �
Vab
Zab
�
150 V �0°
6 � � j 8 � �
150 V �0°
10 � �53.13° � 15 A ��53.13°
Vbc � EBCVca � ECAVab � EAB
u3 ��120°u2 � �120°
Icaca ��
VcaV�ZZcac �� 150 VV����120°20���10 �� ��53.13°53.13° �� 1515 A A ��66.8766.87°°
GENERADOR CONECTADO EN ⏐⏐⏐829¢
c. Por consiguiente,
18.7 GENERADOR CONECTADO EN �
Si reacomodamos las bobinas del generador de la figura 18.16(a) como se
muestra en la figura 18.16(b), el sistema se conoce como generador de ca
conectado en � de tres hilos, trifásico. En este sistema, los voltajes de línea
y de fase son equivalentes e iguales al voltaje inducido a través de cada
bobina del generador; es decir,
o bien (18.12)EL � Efg
EAB � EAN y eAN � 12EAN sen vt
EBC � EBN y eBN � 12EBN sen1vt � 120° 2
ECA � ECN y eCN � 12ECN sen1vt � 120° 2 ∂
Secuencia
de fases
ABC
IAa � IBb � ICc � 25.95 A
IL � 13If � 11.73 2 115 A 2 � 25.95 A.
eAN
A
 +
–
N
N
N
 + +
––
eCN eBN
BC
(a)
ECA
A
+
–
 +
 +
–
C
(b)
IAC
EAB
ECN EAN
–
B
– +EBC ICB ICc
IBb
Carga
EBN
–
 +
–
IBA IAa
 +
FIG. 18.16
Generador conectado en �.
Observe que sólo hay un voltaje (magnitud) disponible en lugar de los dos
de que dispone el sistema conectado en Y.
A diferencia de la corriente de línea para el generador conectado en Y, 
la corriente de línea para el sistema conectado en �-no es igual a la corrien-
te de fase. La relación entre las dos se determina aplicando la ley de la co-
rriente de Kirchhoff en uno de los nodos y resolviendo la corriente de línea
en función de las corrientes de fase; es decir, en el nodo A,
o bien
El diagrama fasorial se muestra en la figura 18.17 para una carga balan-
ceada.
Siguiendo el mismo procedimiento para determinar la corriente de línea
que se utilizó para determinar el voltaje de línea de un generador conectado
en Y se obtiene lo siguiente:
En general,
(18.13)IL � 13Ifg
IAa � 13IBA ��30°
IBb � 13ICB ��150°
ICc � 13IAC �90°
IAa � IBA � IAC � IBA � ICA
IBA � IAa � IAC
�����	�����	�
��	�g , (18.13)8.13)�	�L 131 Ifg�	�
830 ⏐⏐⏐ SISTEMAS POLIFÁSICOS
con el ángulo de fase entre una corriente de línea y la corriente de fase más cer-
cana a 30°. El diagrama fasorial de las corrientes se muestra en la figura 18.18.
Del mismo modo que para los voltajes de un generador conectado en Y,
la suma fasorial de las corrientes de línea o de fase para sistemas conectados
en � con cargas balanceadas es cero.
18.8 SECUENCIA DE FASES
(GENERADOR CONECTADO EN �)
Aun cuando los voltajes de línea y de fase de un sistema conectado en � son
los mismos, es una práctica normal para describir la secuencia de fases en
función de los voltajes de línea. El método que se sigue es el mismo que se
describió para los voltajes de línea del generador conectado en Y. Por ejem-
plo, en la figura 18.19 se muestra el diagrama fasorial de voltajes de línea
para una secuencia de fases ABC. Al trazar un diagrama como ese debemos
tener cuidado de que las secuencias de los primeros y segundos subíndices
sean las mismas. En notación fasorial,
18.9 SISTEMAS TRIFÁSICOS �-�, �-Y 
En este capítulo se presentaron las ecuaciones básicas necesarias para
analizar cualquiera de los dos sistemas (�-�, �-Y). A continuación se dan
dos ejemplos descriptivos, uno con una carga conectada en � y otro con una
carga conectada en Y.
EJEMPLO 18.3 Para el sistema �-� que se muestra en la figura 18.20:
a. Determine los ángulos de fase u2 y u3 para la secuencia de fases espe-
cificada.
b. Determine la corriente en cada fase de la carga.
c. Determine la magnitud de las corrientes de línea.
 ECA � ECA �120°
 EBC � EBC ��120°
 EAB � EAB �0°
120°
120°
IAa
ICB
IBA
IAC
60°
ICA
30°
30°
IAa = �3 IBA
IBA
�3
2
IBA
�3
2
FIG. 18.17
Determinación de una corriente de línea a partir de las 
corrientes de fase de un generador trifásico conectado en �.
120°
120°
120°
ICB
IBA
IAC
30°
30°
IBb
ICc
30°
IAa
FIG. 18.18
Diagrama fasorial de las corrientes de un
generador trifásico conectado e, �.
P
EAB
ECA
EBC
Rotación
Secuencia de fases: ABC
FIG. 18.19
Determinación de la secuencia de fases para un
generador trifásico conectado en �.
�����	�����	�
��	�cificada.b. Determine la corriente en cada fase de la carga.b. Determine la corriente en cada fase de la carga.c. Determine la magnitud de las corrientes de línea.c. Determine la magnitud de las corrientes de línea.
SISTEMAS TRIFÁSICOS - , -Y ⏐⏐⏐ 831¢¢¢
Soluciones:
a. Para una secuencia de fases ACB,
y
b. Vf � EL. Por consiguiente,
Las corrientes de fase son
c. Por consiguiente,
EJEMPLO 18.4 Para el sistema �-Y que se muestra en la figura 18.21:
a. Determine el voltaje a través de cada fase de la carga.
b. Determine la magnitud de los voltajes de línea.
Soluciones:
a. IfL � IL. Por tanto,
 Icn � ICc � 2 A �120°
 Ibn � IBb � 2 A ��120°
 Ian � IAa � 2 A �0°
IAa � IBb � ICc � 58.82 A
IL � 13If � 11.73 2 134 A 2 � 58.82 A.
 Ica �
Vca
Zca
�
120 V ��120°
3.54 � ��45° � 33.9 A ��75°
 Ibc �
Vbc
Zbc
�
120 V �120°
3.54 � ��45° � 33.9 A �165°
 �
120 V �0°
3.54 � ��45° � 33.9 A �45°
 Iab �
Vab
Zab
�
120 V �0°15 � �0° 2 15 � ��90° 2
5 � � j 5 �
�
120 V �0°
25 � ��90°
7.071 ��45°
Vbc � EBCVca � ECAVab � EAB
u3 � �120°u2 � 120°
IAa
ICc
A
C
B
EBC = 120 V � v2
IBb
c
a
+–
b
+
Ica
Generador de ca
conectado en Δ,
trifásico, de tres hilos.
Secuencia de fases:
ACB.
 
 
ECA = 120 V � v3
EAB = 120 V � 0°
Vbc
–
–
+
Iab
Ibc
5 �
Vca
Vab
5 �
5 � 5 �
5 �5 �
FIG. 18.20
Ejemplo 18.3: sistema �-�.
�����	�����	�
��	�IIcncn �� IICc �� 2 AA ��120°120IIbnbn � IIBb � 2 A��120°
Los voltajes de fase son 
b. Por consiguiente,
18.10 POTENCIA 
Carga balanceada conectada en Y 
Por favor remítase a la figura 18.22 para el análisis siguiente.
EBA � ECB � EAC � 34.6 V
EL � 13Vf � 11.73 2 120 V 2 � 34.6 V. Vcn � IcnZcn � 12 A �120° 2 110 � ��53.13° 2 � 20 V �66.87°
 Vbn � IbnZbn � 12 A ��120° 2 110 � ��53.13° 2 � 20 V ��173.13° Van � IanZan � 12 A �0° 2 110 � ��53.13° 2 � 20 V ��53.13°
832 ⏐⏐⏐ SISTEMAS POLIFÁSICOS
A
C
B
ICc = 2 A � 120�
c
a
+ b
Icn
ECA
EAB
Vbn
6 �
8 �
Generador conectado
en Δ, trifásico,
de tres hilos.
Secuencia de fases:
ABC
 
IAa = 2 A � 0º
EBC
IBb =
2 A � –120� +
+
–
IbnVcn
Ian
Van
n
– –
6 �
8 �
6 �
8 �
FIG. 18.21
Ejemplo 18.4: sistema �-Y.
IL
IL
EL
IL
+
–
+
–
I��
V��
I��
V��
a
bc
I�� V��
Z = R ± jX
+
–
n
EL
EL
Z
Z Z
FIG. 18.22
Carga balanceada conectada en Y.�����	�����	�
��	�FIG. 18.22FIG. 18.22Carga balanceada conectada en Y.a balanceada conectada en Y
Potencia promedio La potencia promedio suministrada a cada fase se
determina por
(watts, W) (18.14)
donde indica que u es el ángulo de fase entre Vf e If.
La potencia total suministrada se determina con la ecuación (18.15) o la
ecuación (18.16): 
(W) (18.15)
o, puesto que
entonces
Pero 
Por consiguiente,
(W) (18.16)
Potencia reactiva La potencia reactiva de cada fase (en volt-amperes
reactivos) es 
(VAR) (18.17)
La potencia reactiva total de la carga es
(VAR) (18.18)
o, procediendo de la misma manera que antes, tenemos
(VAR) (18.19)
Potencia aparente La potencia aparente de cada fase es
(VA) (18.20)
La potencia aparente total de la carga es
(VA) (18.21)
o, como antes,
(VA) (18.22)ST � 13ELIL
ST � 3Sf
Sf � VfIf
QT � 13ELIL sen uIfVf � 3IL2Xf
QT � 3Qf
Qf � VfIf sen uIfVf � If2 Xf �
Vf2
Xf
PT � 13ELIL cos uIf
Vf � 3IL2Rf
a 3
13
b 11 2 � a 3
13
b a 13
13
b � 313
3
� 13
PT � 3
EL
13
 IL cos uIf
Vf
Vf �
EL
13
 y If � IL
PT � 3Pf
uIf
Vf
Pf � VfIf cos uIf
Vf � If2 Rf �
VR2
Rf
 
POTENCIA ⏐⏐⏐ 833
�����	�����	�
��	�(VA)(VA (18.22)8.22)�	ST 1�ELE IL LI�	
Factor de potenciaEl factor de potencia del sistema es resultado de
(18.23)
EJEMPLO 18.5 Para la carga conectada en Y de la figura 18.23:
Fp �
PT
ST
� cos uIf
Vf
 1de adelanto o de retraso 2
834 ⏐⏐⏐ SISTEMAS POLIFÁSICOS
a
+
–n
c
XL = 4 �
R
 
= 3 �
XL = 4 �
+
R
 
= 3 � R
 
= 3 �
XL = 4 �
+
–
EL = 173.2 V – 120� �
EL = 173.2 V �+ 120�
EL = 173.2 V � 0�
b
–
I�� V��
I��
V�� V��
I��
FIG. 18.23
Ejemplo 18.5.
a. Determine la potencia promedio suministrada a cada fase y la carga
total.
b. Determine la potencia reactiva suministrada a cada fase y la potencia
reactiva total.
c. Determine la potencia aparente suministrada a cada fase y la potencia
aparente total.
d. Determine el factor de potencia de la carga.
Soluciones:
a. La potencia promedio es 
o bien,
b. La potencia reactiva es
o bien 
o bien
QT � 13ELIL sen uIfVf � 11.732 2 1173.2 V 2 120 A 2 10.8 2 � 4800 VAR
 QT � 3Qf � 13 2 11600 VAR 2 � 4800 VAR Qf � I2fXf � 120 A 2214 � 2 � 1400 2 14 2 � 1600 VAR
 � 1600 VAR
 Qf � VfIf sen uIfVf � 1100 V 2 120 A 2 sen 53.13° � 12000 2 10.8 2
PT � 13ELIL cos uIf
Vf � 11.732 2 1173.2 V 2 120 A 2 10.6 2 � 3600 W
 PT � 3Pf � 13 2 11200 W 2 � 3600 W Pf �
VR2
Rf
�
160 V 22
3 �
�
3600
3
� 1200 W
 Pf � If2 Rf � 120 A 2213 � 2 � 1400 2 13 2 � 1200 W � 1200 W
 Pf � VfIf cos uIf
Vf � 1100 V 2 120 A 2 cos 53.13° � 12000 2 10.6 2
�����	�����	�
��	�o bienQQTT �� 113311�ELLE IILLL LLII sensen uIfIVfV �� 111.732.73 2 12 1173.2 V173.2 V 2 12 120 AA 2 12 0.80.8 22 �� 48000 VARVAR
c. La potencia aparente es 
o bien 
d. El factor de potencia es
Carga balanceada conectada en �
Por favor remítase a la figura 18.24 para el análisis siguiente.
Fp �
PT
ST
�
3600 W
6000 VA
� 0.6 de retraso
ST � 13ELIL � 11.732 2 1173.2 V 2 120 A 2 � 6000 VA ST � 3Sf � 13 2 12000 VA 2 � 6000 VA
 Sf � VfIf � 1100 V 2 120 A 2 � 2000 VA
POTENCIA ⏐⏐⏐ 835
IL
EL
Z Z
Z
+
–
I��
+
–
V��
I��
EL
IL
EL
IL
V��– +
Z = R ± jX� �
I��
V��
FIG. 18.24
Carga balanceada conectada en �.
Potencia promedio
(W) (18.24)
(W) (18.25)
Potencia reactiva
(VAR) (18.26)
(VAR) (18.27)
Potencia aparente
(VA) (18.28)Sf � VfIf
QT � 3Qf
Qf � VfIf sen uIfVf � If2 Xf �
Vf2
Xf
PT � 3Pf
Pf � VfIf cos uIf
Vf � If2 Rf �
VR2
Rf
�����	�����	�
��	�(VA)(VA) (18.28)8.28)�	Sf IfI�	
(VA) (18.29)
Factor de potencia
(18.30)
EJEMPLO 18.6 Para la carga conectada en �-Y de la figura 18.25, deter-
mine las potencias promedio, reactiva y aparente total. Además, determine
el factor de potencia de la carga.
Fp �
PT
ST
ST � 3Sf � 13ELIL
836 ⏐⏐⏐ SISTEMAS POLIFÁSICOS
EL = 200 V ∠ 0°
6 �
EL = 200 V ∠ –120°
EL = 200 V ∠ +120°
8 �
4 � 4 �
4 �
6 �
8 � 6 �
8 �
3 �
3 �3 �
FIG. 18.25
Ejemplo 18.6.
Solución: Considere las conexiones en � y Y por separado.
Para �:
Para Y:
 STY � 3Vf If � 13 2 1116 V 2 123.12 A 2 � 8045.76 VA QTY � 3If2 Xf � 13 2 123.12 A 2213 � 2 � 4810.81 VAR 1L 2
 PTY � 3If
2 Rf � 13 2 123.12 A 2214 � 2 � 6414.41 W If �
EL>13
ZY
�
200 V>13
5 � �
116 V
5 � � 23.12 A
 ZY � 4 � � j 3 � � 5 � �36.87°
 ST¢ � 3VfIf � 13 2 1200 V 2 120 A 2 � 12,000 VA QT¢ � 3If2 Xf � 13 2 120 A 2218 � 2 � 9600 VAR 1C 2
 PT¢ � 3If
2 Rf � 13 2 120 A 2216 � 2 � 7200 W If �
EL
Z¢
�
200 V
10 �
� 20 A
 Z¢ � 6 � � j 8 � � 10 � ��53.13°
SSTTYYTTT � 33VVffVVV IIfI � 13 2 12 1116 V16 2 12 123.12 A23.12 A 22 � 8045.768045.76 VAVQTTYYTTT � 3IffI22I XXfX � 133 2 12 23.12 A3.12 A 22113 3 �� 2 � 4810.814810.81 VARV 1L 2
TYT ff f 1 2 12 1 2 1 2
Para la carga total:
EJEMPLO 18.7 Cada línea de transmisión del sistema trifásico de tres hi-
los de la figura 18.26 tiene una impedancia de 15 � � j 20 �. El sistema
suministra una potencia total de 160 kW a 12,000 V a una carga trifásica ba-
lanceada con un factor de potencia de retraso de 0.86
 Fp �
PT
ST
�
13,614.41 W
14,432.20 VA
� 0.943 de retraso
 � 14,432.2 VA
 ST � 2PT2 � QT2 � 2113,614.41 W 22 � 14789.19 VAR 22 � 4789.19 VAR 1C 2
 QT � QT¢ � QTY � 9600 VAR 1C 2 � 4810.81 VAR 1I 2 PT � PT¢ � PTY � 7200 W � 6414.41 W � 13,614.41 W
POTENCIA ⏐⏐⏐ 837
A
N
C B
15 � 20 �
15 � 20 �
15 � 20 �
Z1 = Z2 = Z3
a
n
12 k VEAB
c
Z2
Z1
Z3
b
FIG. 18.26
Ejemplo 18.7.
a. Determine la magnitud del voltaje de línea EAB del generador.
b. Determine el factor de potencia de la carga total aplicada al generador.
c. ¿Cuál es la eficiencia del sistema?
Soluciones:
a.
y
Como u� cos�1 0.86 � 30.68°, si asignamos a Vf un ángulo de 0° o a
Vf � Vf 0°, se obtiene un factor de potencia de retraso en
Para cada fase, el sistema aparecerá como se muestra en la figura 18.27,
donde
EAN � If Zlínea � Vf � 0
If � 8.94 A ��30.68°
�
 � 8.94 A
 If �
PT
3Vf cos u
�
160,000 W
316936.42 V 2 10.86 2
 PT 1carga 2 � 3VfIf cos u Vf 1carga 2 �
VL
13
�
12,000 V
1.73
� 6936.42 V
�����	�����	�
��	�donde EEANANEE �� IIf ZZlíneaa �� VVffVVV �� 00
838 ⏐⏐⏐ SISTEMAS POLIFÁSICOS
o bien
Entonces
b.
y
o bien
y Fp � 0.856 � 0.86 de carga
c.
18.11 MÉTODO DE LOS TRES WATÍMETROS 
La potencia suministrada a una carga conectada en Y de cuatro hilos ba-
lanceada o desbalanceada puede determinarse por el método de los tres
watímetros, es decir, utilizando tres watímetros como se muestra en la
figura 18.28. Cada watímetro mide la potencia suministrada a cada fase. La
bobina de potencial de cada watímetro se conecta en paralelo con la carga,
mientras que la bobina de corriente está en serie con la carga. La potencia
promedio total del sistema se determina sumando las tres lecturas de los
watímetros; es decir,
(18.31)
Para la carga (balanceada o desbalanceada), los watímetros se conectan
como se muestra en la figura 18.29. La potencia total es de nuevo la suma de
las lecturas de los tres watímetros:
(18.32)PT¢ � P1 � P2 � P3
PTY � P1 � P2 � P3
 � 97.8%
 h �
Ps
Pe
�
Ps
Ps � Ppérdidas
�
160 kW
160 kW � 3596.55 W � 0.978
cos uT �
PT
13VLIL
�
163,596.55 W11.73 2 112,358.26 V 2 18.94 A 2
PT � 13VLIL cos uT
 � 163,596.55 W
 � 160,000 W � 3596.55 W
 � 160 kW � 318.94 A 2215 � � 160 kW � 31IL 22 Rlínea
 PT � Pcarga � Plíneas
 � 12,358.26 V
 EAB � 13Efg � 11.73 2 17143.5 V 2 � 7143.5 V �0.68°
 � 7142.98 V � j 85.35 V
 � 206.56 V � j 85.35 V � 6936.42 V
 � 223.5 V �22.45° � 6936.42 V �0°
 � 18.94 A ��30.68° 2 125 � �53.13° 2 � 6936.42 V �0° EAN � IfZlínea � Vf
If = 8.94 A � –30.68�
A 15 � IfIL 20 �
EAN
+
–
+
–
VfZ1
Zlínea
FIG. 18.27
Carga en cada fase del sistema de la figura 18.26.
�����	�����	�
��	�(18.32)(18.32)��	�PT � P1 P2 � P3��	�
MÉTODO DE LOS DOS WATÍMETROS ⏐⏐⏐ 839
+
–
Z1
Línea
Neutro
P3
P1
P2
+
–CC1
PC1
CC2
PC2
CC3
PC3
+
–
+
–
+
–
+
–
Línea
a
bc
n
Línea
Z3 Z2
FIG. 18.28
Método de los tres watímetros para una carga conectada en Y.
+
–
P1
P2
+
–
CC1
PC1
CC2
PC2
CC3
P3
+
–
+
–
+
–
Línea
a
b
c
Línea
Línea
Z2
PC3
+
–
Z3 Z1
FIG. 18.29
Método de los tres watímetros para una carga conectada en �.
Si en cualquiera de los casos que se acaban de describir la carga está ba-
lanceada, la potencia suministrada a cada fase será la misma. La potencia
total, por lo tanto, es tres veces la lectura de cualquiera de los watímetros.
18.12 MÉTODO DE LOS DOS WATÍMETROS
La potencia suministrada a una carga balanceada o desbalanceada conectada
en D o en Y, trifásica, de tres hilos, se determina utilizando sólo dos watí-
metros si se emplea la conexión adecuada, y si las lecturas de los watímetrosse interpretan correctamente. Las conexiones básicas de este método de los
dos watímetros se muestran en la figura 18.30. Un extremo de cada bobina
de potencia se conecta a la misma línea. Entonces se colocan las bobinas de
corriente en las líneas restantes.
La conexión que se muestra en la figura 18.31 también satisface los re-
querimientos. También es posible una tercera conexión, pero ésta se deja al
lector como ejercicio.
La potencia total suministrada a la carga es la suma algebraica de las lec-
turas de los dos watímetros. Para una carga balanceada, consideramos ahora
dos métodos de determinar si la potencia total es la suma o de la diferencia
de las lecturas de los dos watímetros. El primer método que se describirá re-
Línea
a
Línea
Línea
c
b
+
–
+
–
+
–
+
–
P1 CC1
PC1
P2
CC2
PC2
Carga
conectada
en �
o en Y
FIG. 18.30
Método de los dos watímetros para
una carga conectada en � o en Y.
Línea
a
Carga
conectada
en �
o en Y
Línea
Línea
c
b
+
–
+
–
+
–
+
–
P1
CC1
PC1
P2
CC2
PC2
FIG. 18.31
Conexión alternativa para el método de los dos watímetros.�����	�����	�
��	�FIG. 18.3118.3Conexión alternativa para el método de los dos watímetros.Conexión alternativa para el método de los dos watímetr
840 ⏐⏐⏐ SISTEMAS POLIFÁSICOS
quiere que conozcamos o seamos capaces de determinar el factor de potencia
(de adelanto o de retraso) de cualquier fase de la carga. Una vez que se obtiene
esta información, puede aplicarse directamente a la curva de la figura 18.32.
La curva en la figura 18.32 es una curva del factor de potencia de la carga
(fase) contra la relación Pl>Ph, donde Pl y Ph son las magnitudes de las lec-
turas más baja y más alta de los watímetros, respectivamente. Observe que
para un factor de potencia (de adelanto o de retraso) mayor que 0.5, el valor
de la relación es positivo. Esto indica que ambos watímetros están leyendo
valores positivos, y que la potencia total es la suma de las lecturas de los dos
watímetros; es decir, PT � Pl � Ph. Para un factor de potencia menor que 0.5
(de adelanto o de retraso), la relación tiene un valor negativo. Esto indica que
el watímetro de menor lectura está leyendo negativo, y la potencia total es la
diferencia de las lecturas de los dos watímetros; es decir, PT � Ph � Pl.
Un examen minucioso revela, que cuando el factor de potencia es 1
(cos 0° � 1), correspondiente a una carga puramente resistiva, Pl>Ph � 1 o
Pl � Ph, y ambos watímetros indican los mismos watts. A un factor de po-
tencia igual a 0 (cos 90° � 0), correspondiente a una carga puramente reac-
tiva, Pl>Ph � �1 or Pl � �Ph, y una vez más ambos watímetros indican los
mismos watts pero con signos opuestos. La transición de una relación ne-
gativa a una positiva ocurre cuando el factor de potencia de la carga es de
0.5 o u � cos�1 0.5 � 60°. A este factor de potencia, Pl>Ph � 0, de modo
que Pl � 0, en tanto que Ph lee la potencia total suministrada a la carga.
El segundo método de determinar si la potencia total es la suma o la
diferencia de las lecturas de los dos watímetros implica una sencilla prue-
ba de laboratorio. Para realizarla, ambos watímetros deben tener primero
una desviación de escala alta. Si uno de los watímetros tiene una indicación
bajo cero, se puede obtener una deflexión de escala alta con sólo invertir los
cables de la bobina de corriente del watímetro. Para realizar la prueba:
1. Tome nota de cuál línea no tiene una bobina de corriente que detecte
la corriente de línea.
2. Desconecte el cable de la bobina de potencial del watímetro de 
lectura baja que está conectado a la línea sin la bobina de co-
rriente.
3. Tome el cable desconectado de la bobina de potencial del watímetro
de lectura baja, y toque un punto de conexión en la línea que tenga la
bobina de corriente del watímetro de lectura alta.
4. Si la aguja se desvía hacia abajo (por debajo de cero watts), la lectura
promedio del watímetro de lectura baja debe restarse de la del
watímetro de lectura alta. De lo contrario, las lecturas deben sumarse.
0.2
0–0.25–0.5–0.75–1.0 +0.25 +0.5 +0.75 +1.0
Fa
ct
or
 d
e
po
te
nc
ia
 
A
de
la
nt
o
o
 r
et
ra
so
 
0.4
0.6
0.8
1.0
0.5
Fp
PT = Ph – Pl PT = Pl + Ph
Pl Ph/
FIG. 18.32
Determinación de si las lecturas obtenidas aplicando el método de los dos
watímetros deben sumarse o restarse.
�����	�����	�
��	�4. Si la aguja se desvía hacia abajo (por debajo de cero watts), la lecturaa se desvía hacipromedio del watímetro de lectura baja debe restarse de la delpromedio del watímetro de lectura baja debe restarse de la delwatímetro de lectura alta. De lo contrario, las lecturas deben sumarse.watímetro de lectura alta. De lo contrario, las lecturas deben sumarse.
MÉTODO DE LOS DOS WATÍMETROS ⏐⏐⏐ 841
15 �
EBC = 208 V ∠ –120°
EAB = 208 V ∠ 0°
20 �
a
A
10 �
12 �
R2
R1
XL
12 �
bc
XC Iab
Ica
R3
Ibc
IBb
IAa
ICc
+
–
+
–
ECA = 208 V ∠ 120°
+
–
+
–
B
C
W1
W2
FIG. 18.33
Ejemplo 18.8.
Para un sistema balanceado, puesto que 
el factor de potencia de la carga (fase) se determina con las lecturas de los
watímetros y la magnitud del voltaje y de la corriente de línea:
(18.33)
EJEMPLO 18.8 Para la carga conectada en � desbalanceada de la figura
18.33 con dos watímetros correctamente conectados:
Fp � cos uIf
Vf �
Ph � Pl
13ELIL
PT � Ph � P1 � 13ELIL cos uIf
Vf
a. Determine la magnitud y el ángulo de las corrientes de fase.
b. Calcule la magnitud y ángulo de las corrientes de línea.
c. Determine la lectura de potencia de cada watímetro.
d. Calcule la potencia total absorbida por la carga.
e. Compare el resultado del inciso (d) con la potencia total calculada uti-
lizando las corrientes de fase y los elementos resistivos.
Soluciones:
a.
b.
 � 32.79 A ��5.55°
 � 20.8 A � 11.84 A � j 3.17 A � 32.64 A � j 3.17 A
 � 20.8 A � 1�11.84 A � j 3.17 A 2 � 20.8 A �0° � 12.26 A �165° IAa � Iab � Ica
 � 12.26 A �165°
 Ica �
Vca
Zca
�
ECA
Zca
�
208 V ��120°
12 � � j 12 � �
208 V ��120°
16.97 � ��45°
 � 8.32 A ��173.13°
 Ibc �
Vbc
Zbc
�
EBC
Zbc
�
208 V ��120°
15 � � j 20 � �
208 V ��120°
25 � �53.13°
 Iab �
Vab
Zab
�
EAB
Zab
�
208 V �0°
10 � �0°
� 20.8 A �0°
�����	�����	�
��	��� 32.7932.7 AA��5.55.55°°� 20.8 A0.8 �� 11.84 A84 � j 3.17 A3.17 A � 32.64 A32.64 A � j 3.17 A3.120.8 A 1 11.84 A1.84 A � j 3.17 A 2
842 ⏐⏐⏐ SISTEMAS POLIFÁSICOS
c.
pero
con
d.
e.
(La diferencia mínima se debe al nivel de precisión conducida a través
de los cálculos).
18.13 CARGA CONECTADA EN Y, DE CUATRO
HILOS, TRIFÁSICA, DESBALANCEADA 
Para la carga conectada en Y trifásica de cuatro hilos de la figura 18.34, las
condiciones son tales que ninguna de las impedancias de carga es igual, de
ahí que tengamos una carga polifásica desbalanceada. Como el neutro es
un punto común entre la carga y la fuente, independientemente de la impe-
dancia de cada fase de la carga y de la fuente, el voltaje que pasa a través de
cada fase es el voltaje de fase del generador:
(18.34)
Por tanto, las corrientes de fase se determinan por la ley de Ohm:
(18.35) If1 �
Vf1
Z1
�
Ef1
Z1
 etcétera
Vf � Ef
 � 7168.43 W
 � 4326.4 W � 1038.34 W � 1803.69 W
 � 120.8 A 2210 � � 18.32 A 2215 � � 112.26 A 2212 � PT � 1Iab 22R1 � 1Ibc 22R2 � 1Ica 22R3
 � 7167.45 W
 PT � P1 � P2 � 6788.35 W � 379.1 W
 � 379.1 W
 � 1208 V 2 15.5 A 2 cos 70.65° P2 � VcbICc cos uICcVcb
 ICc � 5.5 A �130.65°
 � 208 V �60°
 Vcb � ECB � 208 V ��120° � 180°
 Vbc � EBC � 208 V ��120°
 � 6788.35 W
 � 1208 V 2 132.79 A 2 cos 5.55° IAa � 32.79 A ��5.55°
 P1 � VabIAa cos uIAa
Vab
 Vab � 208 V �0°
 � 5.5 A �130.65°
 � �11.84 A � 8.26 A � j 13.17A � 1 A 2 � �3.58 A � j 4.17 A � 1�11.84 A � j 3.17 A 2 � 1�8.26 A � j 1 A 2 � 12.26 A �165° � 8.32 A ��173.13°
 ICc � Ica � Ibc
 � 29.08 A ��178.03°
 � �8.26 A � 20.8 A � j 1 A � �29.06 A � j 1 A
 � 1�8.26 A � j 1 A 2 � 20.8 A � 8.32 A ��173.13° � 20.8 A �0° IBb � Ibc � Iab
(18.35)���	�
��Z1����	�
CARGA CONECTADA EN Y, DE CUATRO HILOS, TRIFÁSICA, DESBALANCEADA ⏐⏐⏐ 843
208 V �–120�
208 V �120�
208 V �0�
Transformador
trifásico secundario
1 φ
120 V
1 φ
208 V
1 φ
120 V
1 φ
208 V
Carga
balanceada
trifásica
de 208 V
FIG. 18.35
Suministro industrial de 3f>1f, 208 V>120 V.
Entonces, la corriente en el neutro para cualquier sistema desbalanceado se
determina aplicando la ley de la corriente de Kirchhoff en el punto común n:
(18.36)
Debido a la diversidad de equipo en un entorno industrial, tanto la po-
tencia trifásica como la potencia monofásica se suelen proporcionar con 
la fase única obtenida del sistema trifásico. Además, como la carga en cada
fase cambia continuamente, se utiliza un sistema de cuatro hilos (con un
neutro) para garantizar niveles de voltaje estables y proporcionar una ruta
para la corriente resultante de una carga desbalanceada. El sistema de la
figura 18.35 tiene un transformador trifásico que reduce el voltaje de línea
de 13,800 a 208 V. Todas las cargas de demanda de baja potencia, como ilu-
minación, tomas de corriente de pared, seguridad, etcétera, utilizan el
voltaje monofásico de 120 V de línea a neutro. Las cargas de potencia más
altas, como las de acondicionadores de aire, hornos o secadoras eléctricos,
etcétera, utilizan el voltaje monofásico de 208 V disponible de línea a línea.
Para motores más grandes y equipo de alta demanda especial, la potencia
trifásica total puede tomarse directamente del sistema, como se muestra en
IN � If1 � If2 � If3 � IL1 � IL2 � IL3
Línea
IL1
Línea
Línea
Neutro
IfL1
+
–
+
–
+
–
IN
IL2
Vf1 Z1
IL3
IfL2
Vf2
Z2Z3
Vf3
IfL3
EL
EL EL
FIG. 18.34
Carga conectada en Y desbalanceada.
�����	�����	�
��	�FIG. 18.35G. 18.35Suministro industrial de 3Suministro industrial de 3ff>>fff 1> ff, 208 V, 208 V>>VVV 120 V.120 V>>
844 ⏐⏐⏐ SISTEMAS POLIFÁSICOS
la figura 18.35. En el diseño y construcción de un establecimiento comer-
cial, el National Electric Code (NEC, en Estados Unidos) requiere que se haga
todo el esfuerzo posible para asegurarse de que las cargas esperadas, ya sean
monofásicas o polifásicas, produzcan una carga lo más balanceada posible
entre las fases, para garantizar el más alto nivel de eficiencia de transmisión.
18.14 CARGA CONECTADA EN Y, DE TRES HILOS,
TRIFÁSICA, DESBALANCEADA 
Para el sistema de la figura 18.36, las ecuaciones requeridas se derivan apli-
cando primero la ley del voltaje de Kirchhoff alrededor de cada lazo cerrado
para producir
ECA � Vcn � Van � 0
EBC � Vbn � Vcn � 0
EAB � Van � Vbn � 0
Z1
Z2Z3
ECA
EBC
EAB
ECA
+
–
Vcn
+
–
Van
+
–
Ian
EAB
+
–
Ibn
Icn
–
+
Vbn
EBC +–
n
a
c b
FIG. 18.36
Carga conectada en Y, de tres hilos, trifásica, desbalanceada.
Sustituyendo tenemos
Aplicando la ley de la corriente de Kirchhoff en el nodo n se obtiene
y
Sustituyendo Ibn en las ecuaciones (18.37a y b) se obtiene
las cuales se rescriben como 
 EBC � Ian1�Z2 2 � Icn 3�1Z2 � Z3 2 4 EAB � Ian1Z1 � Z2 2 � IcnZ2
 EBC � �1Ian � Icn 2Z2 � IcnZ3 EAB � IanZ1 � 3�1Ian � Icn 2 4Z2
Ibn � �Ian � IcnIan � Ibn � Icn � 0
(18.37a)
(18.37b)
(18.37c)
EAB � IanZ1 � IbnZ2
EBC � IbnZ2 � IcnZ3
ECA � IcnZ3 � IanZ1
Vcn � IcnZ3Vbn � IbnZ2Van � IanZ1
�����	�����	�
��	�EEBC � Ianan1��ZZ2 2 �� IIcncn 3�11ZZ2 �� ZZ33 2 42 4EEABE � Ianan1ZZ11 � Z2 2 � Icnc Z22
CARGA CONECTADA EN Y, DE TRES HILOS, TRIFÁSICA, DESBALANCEADA ⏐⏐⏐ 845
Utilizando determinantes, tenemos 
Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff a los voltajes de línea se obtiene 
o
Sustituyendo (EAB � ECB) en la ecuación anterior por Ian resulta
y (18.38)
Del mismo modo, puede demostrarse que 
(18.39)
Sustituyendo la ecuación (18.39) por Icn en el lado derecho de la ecuación
(18.37b), obtenemos
(18.40)
EJEMPLO 18.9 Un indicador de secuencia de fases es un instrumento
como el de la figura 18.37(a), que puede mostrar en pantalla la secuencia de
fases de un circuito polifásico. En la figura 18.37(b) aparece una red que rea-
liza esta función. La secuencia de fases aplicada es ABC. El foco correspon-
diente a esta secuencia de fases ilumina más que el foco que indica la
secuencia de fases ACB, porque a través del foco ABC pasa más corriente.
Calculando las corrientes de fase se demuestra que esta situación sí existe: 
Según la ecuación (18.39), 
Z1 � XC �
1
vC
�
11377 rad/s 2 116 � 10�6 F 2 � 166 �
Ibn �
EBCZ1 � EABZ3
Z1Z2 � Z1Z3 � Z2Z3
Icn �
ECAZ2 � EBCZ1
Z1Z2 � Z1Z3 � Z2Z3
Ian �
EABZ3 � ECAZ2
Z1Z2 � Z1Z3 � Z2Z3
Ian �
�Z21�ECA 2 � Z3EAB
�Z1Z2 � Z1Z3 � Z2Z3
EAB � EBC � �ECAEAB � ECA � EBC � 0
 Ian �
�Z21EAB � EBC 2 � Z3EAB
�Z1Z2 � Z1Z3 � Z2Z3
 �
�1Z2 � Z3 2EAB � EBCZ2
�Z1Z2 � Z1Z3 � Z2Z3 � Z22 � Z22
 Ian �
`EAB Z2
EBC �1Z2 � Z3 2 ``Z1 � Z2 Z2
�Z2 �1Z2 � Z3 2 `
Icn �
40,000 V �120° � 33,200 V ��30°
33,200 � ��90° � 33,200 � ��90° � 40,000 � �0°
 �
1200 V �120° 2 1200 � �0° 2 � 1200 V ��120° 2 1166 � ��90° 21166 � ��90° 2 1200 � �0° 2 � 1166 � ��90° 2 1200 � �0° 2 � 1200 � �0° 2 1200 � �0° 2
 Icn �
ECAZ2 � EBCZ1
Z1Z2 � Z1Z3 � Z2Z3
�����	�����	�
��	�Icncn � 40,000 V, �120° �� 33,200 VV ���30°�	�����	�33,20033,200 �� ���90°90° �� 33,20033,200 �� ��90°0° �� 40,000,000 �� ��0°0°
846 ⏐⏐⏐ SISTEMAS POLIFÁSICOS
Dividiendo el numerador y el denominador entre 1000 y convirtiendo am-
bos al dominio rectangular obtenemos 
Según la ecuación (18.40), 
Dividiendo entre 1000 y convirtiendo al dominio rectangular obtenemos
e Ibn 	 Icn por un factor de más de 3 : 1. Por consiguiente, el foco que indica
una secuencia ABC iluminará más debido a la mayor corriente. Si la secuen-
cia de fases fuera ACB, lo contrario es lo que funcionaría.
 �
70.73 �166.43°
77.52 ��58.93° � 0.91 A �225.36°
 Ibn �
�28.75 � j 16.60 � 40.0
77.52 ��58.93° �
�68.75 � j 16.60
77.52 ��58.93°
 Ibn �
33,200 V ��210° � 40,000 V �0°
77.52 � 103 � ��58.93°
 �
1200 V ��120° 2 1166 ��90° 2 � 1200 V �0° 2 1200 �0° 2
77.52 � 103 � ��58.93°
 Ibn �
EBCZ1 � EABZ3
Z1Z2 � Z1Z3 � Z2Z3
 Icn � 0.259 A �123.06°
 �
8.75 � j 18.04
77.52 ��58.93° �
20.05 �64.13°
77.52 ��58.93°
 Icn �
1�20 � j 34.64 2 � 128.75 � j 16.60 2
40 � j 66.4
(a)
FIG. 18.37
(a) Indicador de secuencia de fases. (b) Red detectora de secuencia de fases.
[Inciso (a) cortesía de Fluke Corporation].
EAB = 200 V � 0�
200 �
EBC = 200 V � –120�
ECA = 200 V � +120�
f = 60 Hz
16 mF
ACB
a (1)
(3) c b (2)
Z1
 Focos (150 W)
con resistencia
interna de 200 �
200 �
ABC
n
Z3 Z2
(b)
�����	�����	�
��	����cia de fases fuera ACBA , lo contrario es lo que funcionaría.contra
PROBLEMAS ⏐⏐⏐ 847
PROBLEMAS
SECCIÓN 18.5 Generador conectado en Y
con una carga conectada en Y 
1. Una carga Y balanceada que tiene un resistor de 10 � en cada
fase está conectada a un generador trifásico de cuatro hilos
conectado en Y, que tiene un voltaje de línea de 208 V. Calcule
la magnitud de
a. el voltaje de fase del generador.
b. el voltaje de fase de la carga.
c. la corriente de fase de la carga.
d. la corriente de línea.
2. Repita el problema 1 si cada impedancia de fase se cambia a un
resistor de 12 � en serie con una reactancia capacitiva de 16 �.
3. Repita el problema 1 si cada impedancia de fase se cambia 
a un resistor de 10 � en paralelo con una reactancia capacitiva
de 10 �.
4. La secuencia de fases para el sistema Y-Y de la figura 18.88 
esABC.
a. Determine los ángulos u2 y u3 para la secuencia de fases 
especificada.
b. Determine el voltaje a través de cada impedancia de fase 
en forma fasorial.
c. Determine la corriente que fluye a través de cada impedan-
cia de fase en forma fasorial.
d. Trace el diagrama fasorial de las corrientes encontradas en
el inciso (c), y demuestre que su suma fasorial es cero.
e. Determine la magnitud de las corrientes de línea.
f. Determine la magnitud de los voltajes de línea.
5. Repita el problema 4 si las impedancias de fase se cambian a un
resistor de 9 � en serie con una reactancia inductiva de 12 �.
6. Repita el problema 4 si las impedancias de fase se cambian a 
un resistor de 6 � en paralelo con una reactancia capacitiva 
de 8 �.
7. Para el sistema de la figura 18.39, determine la magnitud de los
voltajes y corrientes desconocidos.
A
120 V �0�
a
20 �
20 �20 �
C B c b
120 V �03θ
+
–
N
– 120 V �02θ
+
FIG. 18.38
Problemas 4, 5, 6 y 31.
a
10 �
10 �
Generador trifásico
de tres hilos
conectado en Y 
Secuencia de fases:
ABC 
10 �
Ian
n
–
–
+
Van
IAa
A
EAB = 220 V �0�
EBC = 220 V � + 120�
N
B
C
ECA = 220 V � –120�
IBb
ICc
Icn Ibn
bc
+
10 �
Vbn
–
Vcn
+
10 �
10 �
FIG. 18.39
Problemas 7, 32 y 44.�����	�����	�
��	��� ���FIG. 18.39G.Problemas 7, 32 y 44.Problemas 7, 32 y 4
848 ⏐⏐⏐ SISTEMAS POLIFÁSICOS
*8. Calcule la magnitud del voltaje EAB para el sistema trifásico
balanceado que se muestra en la figura 18.40.
*9. Para el sistema Y-Y de la figura 18.41:
a. Determine la magnitud y ángulo asociados con los voltajes
EAN, EBN, y ECN.
b. Determine la magnitud y ángulo asociados con cada co-
rriente de fase de la carga: Ian, Ibn, y Icn.
c. Determine la magnitud y ángulo de fase de cada co-
rriente de línea: IAa, IBb, y ICc.
d. Determine la magnitud y ángulo de fase del voltaje que
pasa a través de cada fase de la carga: Van, Vbn, y Vcn.
A 30 �
+
0.4 k�
N
B
C
30 �
EBC = 22 kV ∠–120°
40 �
30 � 40 �
IAa
IBb
ICc
ECA = 22 kV ∠+120°
EAB = 22 kV ∠0°
–
Van
Ian
1 k�
+
–
Vbn1 k�
0.4 k�
Ibn
bc
1 k�
+
0.4 k�
Icn
–
40 �
Vcn
a
FIG. 18.41
Problema 9.
+
EABGenerador
trifásico
de tres hilos
conectado en Y
A
B
C
1 �
Resistencia en línea
a
16 �
12 �
n
12 �
16 �
c b
12 �
16 �
V = 50 Vφ
–
1 �
1 �
FIG. 18.40
Problema 8.
�����	�����	�
��	�� � ���FIG. 18.41G. 18.4Problema 9.Problema 9
PROBLEMAS ⏐⏐⏐ 849
SECCIÓN 18.6 Sistema Y-�
10. Una carga � balanceada que tiene un resistor de 20 � en cada
fase está conectada a un generador trifásico de tres hilos co-
nectado en Y, cuyo voltaje de línea es de 208 V. Calcule la 
magnitud de
a. el voltaje de fase del generador.
b. el voltaje de fase de la carga.
c. la corriente de fase de la carga.
d. la corriente de línea.
11. Repita el problema 10 si cada impedancia de fase se cambia 
a un resistor de 6.8 � en serie con una reactancia inductiva 
de 14 �.
12. Repita el problema 10 si cada impedancia de fase se cambia a
un resistor de 18 � en paralelo con una reactancia capacitiva de
18 �.
13. La secuencia de fases para el sistema Y-� de la figura 18.42 
es ABC.
a. Determine los ángulos u2 y u3 para la secuencia de fases 
especificada.
b. Determine el voltaje a través de cada impedancia de fase 
en forma fasorial.
c. Trace el diagrama fasorial de los voltajes determinados en
el inciso (b), y demuestre que su suma es cero alrededor 
del lazo cerrado de la carga �.
d. Determine la corriente que fluye a través de cada impedan-
cia de fase en forma fasorial.
e. Determine la magnitud de las corrientes de línea.
f. Determine la magnitud de los voltajes de fase del generador.
14. Repita el problema 13 si las impedancias de fase se cambian 
a un resistor de 100 � en serie con una reactancia capacitiva 
de 100 �.
15. Repita el problema 13 si las impedancias de fase se cambian a un
resistor de 3 � en paralelo con una reactancia inductiva de 4 �.
16. Para el sistema de la figura 18.43, determine la magnitud de los
voltajes y corrientes desconocidos.
10 �10 �
a
10 �
Generador trifásico
de tres y cuatro hilos
conectado en Y
Secuencia de fases: ABC
10 �
Ica
+
Vab
IAa
A
ECA = 220 V � + 120�
B
C
EBC = 220 V � –120�
IBb
ICc
bc
–
–
Vca
+
10 �
EAB = 220 V �0�
10 �
Iab
Ibc
Vbc +–
FIG. 18.43
Problemas 16, 35 y 47.
b
22 �
c
a
B
N
C
A
EBC = 208 V ∠v2
ECA = 208 V ∠v3
EAB = 208 V ∠0°
22 � 22 �
FIG. 18.42
Problemas 13, 14, 15, 34 y 45.
�����	�����	�
��	�� ���FIG. 18.43G.Problemas 16, 35 y 47.Problemas 16, 35 y 47. �
850 ⏐⏐⏐ SISTEMAS POLIFÁSICOS
*17. Para la carga conectada en � de la figura 18.44:
a. Determine la magnitud y ángulo de cada corriente de fase
Iab, Ibc y Ica.
b. Calcule la magnitud y ángulo de cada corriente de línea
IAa, IBb y ICc.
c. Determine la magnitud y ángulo de los voltajes EAB, EBC
y ECA.
SECCIÓN 18.9 Sistemas trifásicos �-�, �-Y 
18. Una carga Y balanceada que tiene un resistor de 30 � en cada
fase está conectada a un generador trifásico conectado en, �
cuyo voltaje de línea es de 208 V. Calcule la magnitud de
a. el voltaje de fase del generador.
b. el voltaje de fase de la carga.
c. la corriente de fase de la carga .
d. la corriente de línea.
19. Repita el problema 18 si cada impedancia de fase se cambia 
a un resistor de 12 � en serie con una reactancia inductiva de
12 �.
20. Repita el problema 18 si cada impedancia de fase se cambia 
a un resistor de 15 � en paralelo con una reactancia capacitiva
de 20 �.
*21. Para el sistema de la figura 18.45, determine la magnitud de 
los voltajes y corrientes desconocidos.
22. Repita el problema 21 si cada impedancia de fase se cambia 
a un resistor de 10 � en serie con una reactancia inductiva de
20 �.
23. Repita el problema 21 si cada impedancia de fase se cambia a
un resistor de 20 � en paralelo con una reactancia capacitiva 
de 15 �.
Van 24 �
A
B
C
a
n
bc
Generador trifásico
de tres hilos
conectado en �
Secuencia de fases:
ABC 
IBb
ICc
Icn Ibn
Ian
IAa
+
–
24 � 24 �
Vbn
+
–
+
–Vcn
EBC = 120 V � –120�
EAB = 120 V �0�
ECA = 120 V � + 120�
FIG. 18.45
Problemas 21, 22, 23 y 37.
20 �10 �
+
–
20 �10 �
20 �10 �
1 k�
0.3 k� 1 k�
0.3 k�0.3 k�
1 k�
a
c
IAa
IBb
ICc
ECA
+
–
EAB
B
+
–
EBC
C
Ica
Iab
Ibc
b
Vab = 16 kV ∠0°
Vbc = 16 kV ∠–120°
Vca = 16 kV ∠+120°
A
FIG. 18.44
Problema 17.
�����	�����	�
��	�� ���FIG. 18.45G. 18.4Problemas 21, 22, 23 y 37.Problemas 21, 22, 23 y�
PROBLEMAS ⏐⏐⏐ 851
24. Una carga � balanceada que tiene un resistor de 220 � en cada
fase está conectada a un generador trifásico conectado en �
cuyo voltaje de línea es de 440 V. Calcule la magnitud de
a. el voltaje de fase del generador.
b. el voltaje de fase de la carga.
c. la corriente de fase de la carga .
d. la corriente de línea.
25. Repita el problema 24 si cada impedancia de fase se cambia a un
resistor de 12 � en serie con una reactancia capacitiva de 9 �.
26. Repita el problema 24 si cada impedancia de fase se cambia 
a un resistor de 22 � en paralelo con una reactancia inductiva
de 22 �.
SECCIÓN 18.10 Potencia
30. Determine los watts, volt-amperes reactivos, y volt-amperes to-
tales, así como el Fp del sistema trifásico del problema 2
31. Determine los watts, volt-amperes reactivos, y volt-amperes 
totales, así como el Fp del sistema trifásico del problema 4. 
32. Determine los watts, volt-amperes reactivos, y volt-amperes to-
tales, y el Fp delsistema trifásico del problema 7.
33. Determine los watts, volt-amperes reactivos y volt-amperes to-
tales, así como el Fp of del sistema trifásico del problema 12. 
34. Determine los watts, volt-amperes reactivos, y volt-amperes 
totales, y el Fp del sistema trifásico del problema 14. 
35. Determine los watts, volt-amperes reactivos y volt-amperes to-
tales, así como el Fp del sistema trifásico del problema 16.
36. Determine los watts, volt-amperes reactivos, y volt-amperes 
totales, así como el Fp del sistema trifásico del problema 20.
37. Determine los watts, volt-amperes reactivos, y volt-amperes to-
tales, así como el Fp del sistema trifásico del problema 22.
38. Determine los watts, volt-amperes reactivos, y volt-amperes 
totales, así como el Fp del sistema trifásico del problema 26.
39. Determine los watts, volt-amperes reactivos, y volt-amperes to-
tales, así como el Fp del sistema trifásico del problema 28.
40. Una carga trifásica, balanceada, conectada en � tiene un voltaje
de línea de 200 y un consumo de potencia total de 4800 W con
un factor de potencia de retraso de 0.8. Determine la impedan-
cia de cada fase en coordenadas rectangulares.
41. Una carga trifásica, balanceada, conectada en Y tiene un voltaje
de línea de 208 y un consumo de potencia total de 1200 W con
un factor de potencia de retraso de 0.6. Determine la impedan-
cia de cada fase en coordenadas rectangulares.
*42. Determine los watts, volt-amperes reactivos, y volt-amperes to-
tales, así como el Fp del sistema de la figura 18.47.
*43. El sistema Y-Y de la figura 18.48 tiene una carga balanceada y
una impedancia de línea Zlínea � 4 � � j 20 �. Si el voltaje de
línea en el generador es de 16,000 V y la potencia total sumi-
nistrada a la carga es de 1200 kW a 80 A, determine lo siguiente:
a. La magnitud de cada voltaje de fase del generador.
b. La magnitud de las corrientes de línea.
c. La potencia total suministrada por la fuente.
d. El ángulo del factor de potencia de toda la carga “visto”
por la fuente.
20 �
aA
BC
20 �
20 �
c
ECA = 100 V ∠v3
EAB = 100 V ∠0°
EBC = 100 V ∠v2
b
FIG. 18.46
Problema 27.
27. La secuencia de fases del sistema �-� de la figura 18.46 es ABC.
a. Determine los ángulos u2 y u3 para la secuencia de fases 
especificada.
b. Determine el voltaje que pasa a través de cada impedancia
de fase en forma fasorial.
c. Trace el diagrama fasorial de los voltajes determinados en
el inciso (b), y demuestre que su suma fasorial es cero
alrededor del lazo cerrado de la carga �.
d. Determine la corriente que fluye a través de cada impedan-
cia de fase en forma fasorial.
e. Determine la magnitud de las corrientes de línea.
28. Repita el problema 25 si cada impedancia de fase se cambia 
a un resistor de 12 � en serie con una reactancia inductiva de
16 �.
29. Repita el problema 25 si cada impedancia de fase se cambia 
a un resistor de 20 � en paralelo con una reactancia capacitiva
de 20 �.
tales, así como el FpF del sistema trifásico del problema 22.sistema t
38.38. Determine los watts, volt-amperes reactivos, y volt-amperes Determine los watts, volt-amperes reactivos, y volt-ampe
totales, así como el totales, así como FpF del sistema trifásico del problema 26.del sistema trifásico del problema 2
c.. La potencia total suministrada por la fuente.
d.. El ángulo del factor de potencia de toda la carga “visto”El ángulo del factor de potencia de toda la carga visto
por la fuente.por la fuen �
852 ⏐⏐⏐ SISTEMAS POLIFÁSICOS
e. La magnitud y el ángulo de la corriente IAa si EAN � 
EAN 0°.
f. La magnitud y el ángulo de voltaje de fase Van.
g. La impedancia de la carga de cada fase en coordenadas 
rectangulares.
h. La diferencia entre el factor de potencia de la carga y el
factor de potencia de todo el sistema (incluida Zlínea).
i. La eficiencia del sistema.
SECCIÓN 18.11 Método de los tres watímetros
44. a. Bosqueje las conexiones requeridas para medir los watts
totales suministrados a la carga de la figura 18.39 utili-
zando tres watímetros.
b. Determine la disipación de watts total y la lectura de cada
watímetro.
45. Repita el problema 44 para la red de la figura 18.42.
SECCIÓN 18.12 Método de los dos watímetros
46. a. Para el sistema de tres hilos de la figura 18.49, conecte 
correctamente un segundo watímetro para que los dos
midan la potencia suministrada a la carga.
b. Si un watímetro lee 200 W y el otro 85 W, ¿cuál es la disi-
pación total en watts si el factor de potencia total es de 
0.8 de retraso?
�
Z1
Z2 Z3
A
N
C B
IAa
EAB = 16 kV
4 � 20 �
4 � 20 �
4 � 20 �
c b
n
+
–
EAN
+
–
Van
a
Ian = 80 A
Z1 = Z2 = Z3
aislamiento Fp
FIG. 18.48
Problema 43.
c. Repita el inciso (b) si el factor de potencia total es de 0.2 
de retraso y Pl � 100 W.
47. Bosqueje tres formas diferentes de que dos watímetros puedan
conectarse para medir la potencia total suministrada a la carga
del problema 16.
*48. Para el sistema Y-� de la figura 18.50:
a. Determine la magnitud y ángulo de las corrientes de fase.
b. Determine la magnitud y ángulo de las corrientes de línea.
c. Determine la lectura de cada watímetro.
d. Determine la potencia total suministrada a la carga.
Carga
conectada
en Δ o en Y
+
–
+
–
Watímetro 
CC
PC
FIG. 18.49
Problema 46.
a
20 �15 �
3 �
4 � 4 �
4 �
n
15 �
b
20 �15 �
3 �3 �
c
20 �
EBC = 125 V � –120°
ECA = 125 V � + 120°
EAB = 125 V �0°
FIG. 18.47
Problema 42.
�����	�����	�
��	�b. Si un watímetro lee 200 W y el otro 85 W, ¿cuál es la disi-l otro 85 Wpación total en watts si el factor de potencia total es deación total en watts si el factor de potencia total es 0.8 de retraso?.8 de retraso b. Determine la magnitud y ángulo de las corrientes de línea.erminec. Determine la lectura de cada watímetro.ermine la lectura de cada watímetro.d. Determine la potencia total suministrada a la carga.ermine la potencia total suministrada a la carga.�
GLOSARIO ⏐⏐⏐ 853
SECCIÓN 18.13 Carga conectada en Y,
de cuatro hilos, trifásica, desbalanceada
*49. Para el sistema de la figura 18.51:
a. Calcule la magnitud del voltaje que pasa a través de cada
fase de la carga.
b. Determine la magnitud de la corriente que fluye a través 
de cada fase de la carga.
c. Determine los watts, volt-amperes reactivos, volt-amperes
totales, y el Fp del sistema.
d. Determine las corrientes de fase en forma fasorial.
e. Utilizando los resultados del inciso (c), determine la co-
rriente IN.
SECCIÓN 18.14 Carga conectada en Y, de tres hilos,
trifásica, desbalanceada
*50. Para el sistema trifásico de tres hilos de la figura 18.52, deter-
mine la magnitud de la corriente que fluye a través de cada fase
de la carga, y determine los watts, volt-amperes reactivos, volt-
amperes totales, y el Fp de la carga.
2 �
EBC = 208 V � –120°
ECA = 208 V � –240°
EAB = 208 V �0°
2 �
c b
n
10 �
10 �
12 �
12 �
a
FIG. 18.51
Problema 49.
EBC = 200 V � –120°
ECA = 200 V � –240°
EAB = 200 V �0°
20 �
c b
n
16 �
12 �
3 �
4 �
a
FIG. 18.52
Problema 50.
GLOSARIO
Carga polifásica desbalanceada Carga que no tiene la misma im-
pedancia en cada fase.
Conexión neutra Conexión entre el generador y la carga que, en
condiciones balanceadas, tendrá una corriente cero asociada con
ella.
Corriente de fase Corriente que fluye a través de cada fase de un
generador o carga monofásica (o polifásica).
Corriente de línea Corriente que fluye del generador a la carga 
de un sistema monofásico o polifásico.
Generador de ca conectado en � Generador trifásico que tiene 
las tres fases conectadas en forma de la letra griega mayúscula
delta (�).
Generador de ca monofásico Fuente electromecánica de potencia
de ca que genera un voltajesenoidal único con una frecuencia de-
terminada por la velocidad de rotación y el número de polos del
rotor.
Generador de ca polifásico Fuente electromecánica de potencia 
de ca que genera más de un voltaje senoidal por cada rotación del
rotor. La frecuencia generada está determinada por la velocidad
de rotación y el número de polos del rotor.
R3 10 �
ECA = 208 V ∠120°
+
–
+
–
A
W1
+
–
+
–
W2
B
C
IAa
IBb
ICc
–
+
EAB = 208 V ∠0°
EBC = 208 V ∠–120°
–
+
–
+
10 �XC
R1
R2
10 �
10 �
Iab
a
Ibc
Ica
c
b
10 �
XL
FIG. 18.50
Problema 48.
�����	�����	�
��	�mine la magnitud de la corriente que fluye a través de cada fasecorriente qde la carga, y determine los watts, volt-amperes reactivos, volt-e la carga, y determine los watts, volt-amperes reactivos, voamperes totales, y el amperes totales, FpF de la carga.de la car de ca que genera más de un voltaje senoidal por cada rotación delde ca qrotor. La frecuencia generada está determinada por la velocidadrotor. La frecuencia generada está determinada por la velocidadde rotación y el número de polos del rotor.de rotación y el número de polos del ro �
854 ⏐⏐⏐ SISTEMAS POLIFÁSICOS
Generador trifásico conectado en Y Fuente trifásica de potencia
de ca en la cual las tres fases están conectadas en forma de letra
ye (Y).
Método de los dos watímetros Método para determinar la poten-
cia total suministrada a una carga trifásica conectada en � o en Y
utilizando sólo dos watímetros y considerando el factor de po-
tencia de la carga.
Método de los tres watímetros Método para determinar la poten-
cia total suministrada a una carga trifásica utilizando tres watí-
metros.
Secuencia de fases Orden en el cual los voltajes senoidales genera-
dos de un generador polifásico afectarán la carga a la cual están
aplicados.
Voltaje de fase Voltaje que aparece entre la línea y el neutro de un
generador conectado en ye (Y) y de línea a línea en un generador
conectado en delta (�).
Voltaje de línea Diferencia de potencial entre las líneas de un sis-
tema monofásico o polifásico.
�����	�����	�
��	��