AMSTER, PABLO Apuntes Matemáticos Para Leer a Lacan (2. Lógica y Teoría de Conjuntos) [por Ganz1912]

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p ABLO AMSTER 
APUNTES MKfEMÁTICOS 
PARA LEER A LACAN 
2. LóGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS 
CfLelÚJ¿:-CVlva 
Pa b lo A m ster
APUNTES MATEMÁTICOS 
PARA LEER A LACAN
2. Lógica y teoría de conjuntos
A m ster, Pablo
A pu n tes m atem áticos para leer a L acan : 2. L ó gica y teoría de 
conjuntos
- I a ed. - Buenos A ires : Letra V iva, 2010.
218 p. ; 22 X 14 cm .
IS B N 978-950-649-271-7
1. Psicoanálisis. I. Título 
C D D 150.195
E d i c i ó n a l c u i d a d o d e L e a n d r o S a l g a d o
© 2010, Letra V iva, Librería y Editorial 
Av. C o ro n el D íaz 1837, ( 1425) С . A . de Buenos Aires, A rgen tina 
e - m a i l : letraviva@ elsigm a.com / w e b p a g e : w w w .im agoagenda.com
© 2010, Pablo Am ster 
pam ster@ dm .uba.ar
Prim era edición: m arzo de 2010 
Im preso en A rgentina - Printed in Argentina 
Q ueda hecho el depósito que m arca la L e y 11.723
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra bajo cualquier 
m étodo, incluidos la reprografia, la fotocopia y el tratam iento digital, 
sin la previa y expresa autorización por escrito de los titulares del 
copyright.
Estoy convencido de que todo auténtico teòrico es una 
especie de m etafisico en estado de dom esticidad, p o r 
m uy “p o sitivista "p u ro que se pu eda tener a s í m ismo. El 
m etafisico tiene la creencia de que lo lógicam ente sencillo 
es tam bién lo real; el m etafisico dom esticado no cree 
que todo cuanto sea lógicam ente sencillo haya de tom ar 
cuerpo en la realidad sensible, p ero sí que la totalidad 
de la experiencia sensorial p u ede "entenderse" a partir 
de un sistem a conceptual construido sobre prem isas de 
su m a sim plicidad. E l escéptico dirá que esto es un “credo 
m ilagro so”. R econozcam os que así es, pero tam bién se 
trata de un credo m ilagroso confirm ado en asom brosa 
m edida por el desarrollo de la ciencia.
A l b e r t E i n s t e i n
H ay suficiente m etafísica en no p en sar en nada.
A l b e r t o C a e i r o
In d i c e
Pr e f a c io ..................... ................................................................................ 9
Ca p ít u l o 1. N o c io n e s b á s ic a s d e l ó g i c a ..................................... 13
í.Definición de la definición ....................................................... 14
2.¿Q ué significa “significar”? ....................... ...............................15
3.Las leyes del pensam iento .......................................... .... .18
4 .D educción, inducción, a b d u cció n ........................................ 21
5-Lógica aristotélica......................................................................25
ó.Enunciados categ ó rico s.......................................................... .3 1
7-Cuadrante de P e ir c e ......... ............................. ..........................33
8 .S ilo g ism o s........................................... ........................................34
9.Sintaxis y sem ántica de los lenguajes formales ............38
ío.Tablas de v e r d a d ..................................................................... 40
11. Leyes ló g ic a s ............................................................................... 4 3
12.Variables libres y cu an tificación ...........................................49
13-Álgebra de c la s e s .................. ................................................. 5 4
Ca p ít u l o 2. La in d u c c ió n m a t e m á t ic a
Y EL SISTEMA DE PEANO.....................................................................59
C a p ít u lo 3. L as r e g l a s de a l - ja b a r y F ib o n a c c i r o b a d o . 71
Fibonacci ro b a d o ............................. ............................................78
De los conejos áureos a lo imaginario .....................................81
Ca p ít u l o 4. La d e m o s t r a c ió n d i a g o n a l :
u n a c r u z a d a c a n t o r i a n a .................................. ...................... .... 8 7
í.Un antecedente so c rá tic o .............................. 8 8
2.Las paradojas de la id en tificació n ....................................... 90
3.... y sin em bargo, se co o rd in a .................................................92
4.EI bicho de lo n o -n u m e rab le.............................. 94
Epílogo .......................................................................................... . 9 7
C a p ít u l o 5. La v id a s in l a b o l s a :
AUTORREFERENCIA Y TEOREMAS DE GÔDEL...................................loi
U no. Breve referencia sobre Epim énides.............................. 101
D os. Breve referencia sobre la referencia:
Q uine y G odei................ ...................................... ........................103
Tres. Proposiciones indecidibles
y teorema de G o d e i ................................ ............................... . 107
C u atro . ¿Cuál es el título de esta sección?............................110
C in co . Los lenguajes form ales .................................................112
Seis. Un pase m ágico.................................................................. 114
S iete. La liebre de M a r z o ....................... ..................................118
O ch o . Autorretrato de mí m is m o .........................................122
E p ílo g o , y nueva godelización................................................ 128
C a p ít u lo 6. B re v e p r e s e n ta c ió n de c a s o s .............................135
Segundo caso. Un caso de inconsistencia............................. 137
Tercer caso. Un caso de m etonim ia.........................................141
Cuarto caso. Un caso de m e táfo ra..........................................147
Q uinto caso. Un caso al m a rg e n .................................... .. 151
Sexto caso. Ramanujan, y otros casos......... ...160
C a p ít u lo 7. L a r e lig ió n , o r d i n e
M ATHEM ATICA D EM O N STR A TA ........................ ......................................... J 69
La c re a c ió n ....................................................................................170
Ciencia, M atem ática, R e lig ió n ................................................173
Un Dios tautológico....................................................................177
Im agen y S e m e ja n z a ........... ..................................................... 179
Consistencia, Inconsistencia................................................... 186
Ca p ít u l o 8. Pa s c a l , a h a r ó n y l a p o t e n c ia d e l d o s ......... 189
Epílogo ................ ................. ........................................................212
B i b l i o g r a f í a 217
Pr e f a c i o
En este libro se presentan diversos temas de la Matemática; 
más precisamente, de Lógica, Teoría de Conjuntos y algunos as­
pectos de su filosofía.
Los primeros cuatro capítulos se ocupan de las cuestiones más 
generales de la lógica, desde las primeras formulaciones aristo­
télicas hasta los desarrollos actuales de Boole, Peano, Frege, et­
cétera. Se habla también de la teoría de números naturales, el ál­
gebra, y ciertos aspectos relacionados con los sistemas sintácti­
cos introducidos por el psicoanalista francés Jacques Lacan en el 
Seminario sobre ‘La carta robada’.
El siguiente capítulo comprende una exposición informal de 
los célebres teoremas de incompletitud de Godei, y su incidencia 
en los más variados campos, en especial el del lenguaje y el Psi­
coanálisis. Esto lleva a reflexionar sobre ciertos temas que parti­
cipan de modo esencial en dichos teoremas: en especial, el de la 
paradoja, de gran importancia en el desarrollo del pensamiento 
filosófico. A modo de conclusión se verá que, en cierto modo, la 
disyuntiva godelianaentre incompletitud e inconsistencia pue­
de ser contemplada desde la perspectiva de la lógica clásica como 
aquello que Lacan denominó una elección forzada.
El capítulo posterior abarca, al modo de las presentaciones 
clínicas, una serie de "casos" matemáticos. Se plantean allí di­
ferentes asuntos, como el del infinito y los Alefs, el problema de 
la metáfora y la representación, para concluir con una pregunta: 
¿cómo piensa un matemático?
El título del capítulo 7 evoca a la Etica de Spinoza, y refiere 
una serie de puntos en común entre las teorías matemáticas y 
el texto bíblico. Dijo Yojanán Ben Zacai: “no hay verdad sin una 
fe sobre la que pueda apoyarse”; como veremos, en cierto senti­
do esta afirmación concierne también a las verdades matemáti­
cas. Dios -según Lacan, inconsciente- se define en concordan­
cia con la noción lógica de tautología. Por otra parte, la tradi­
ción sostiene que su Nombre es indecible; la teoría de conjun­
tos creada por el ruso Georg Cantor brinda argumentos capaces 
de sustentar este hecho.
Finalmente, el último capítulo es quizá el que más resonan­
cias despertará en el lector lacaniano; su lectura puede plantear­
se al modo de un ejercicio interpretativo. Por otra parte, se hace 
mención explícita de diferentes materias desarrolladas por La­
can, especialmente en los Seminarios XIX y XX: el triángulo de 
Pascal, la simetría y lo especular, y la lógica modal, muy conec­
tada a la lógica temporal. Esto es algo que Lacan hace notar en 
sus conocidas fórmulas:
no cesa de escribirse no cesa de no escribirse
cesa de escribirse cesa de no escribirse
Hay una frase del seminario ...ou pire que se ha hecho céle­
bre: “no hay enseñanza más que matemática, el resto es broma”. 
Al margen de las muy dispares valoraciones que existen sobre 
la enseñanza lacaniana, este trabajo busca -un poco en broma- 
apoyar esta postura, ofreciendo algunos elementos que ayuden 
a abordarla.
El lector advertirá que determ inados temas se repiten en dis­
tintos capítulos; tal repetición obedece a la finalidad de que cada 
sección se encuentre autocontenida y pueda ser así leída en for­
m a independiente.
Para concluir estas líneas, vale la pena señalar que el ánimo 
que guía a esta obra es el de la Matemática entendida como una 
de las más grandes expresiones de la humanidad, fruto de las pa­
siones más encendidas y de la búsqueda incesante. Una búsque-
с l.i, cMi cl Condo, de belleza: en todo caso se trata, tal corno la des­
cribe el filósofo y matemático inglés Bertrand Russell, de
...una belleza fría y austera, corno la de la escultura, que si 
no presenta atractivos para las partes m ás débiles de nuestra 
naturaleza y carece de las brillantes galas de la pintura o de la 
m úsica, es su blim em ente pura y susceptible de la perfección 
severa que sólo el arte m ás grande puede exhibir. El verdadero 
espíritu de deleite, la exaltación, el sentido de ser m ás que 
hom bre, piedra de toque de la m ás alta excelencia, con toda 
seguridad puede hallarse en las m atem áticas a la par que 
en la poesía. Lo m ejor que hay en las m atem áticas no sólo 
m erece aprenderse com o tarea, sino asim ilarse com o parte 
del pensam iento cotidiano y ser traído una y m ás veces ante 
el espíritu con ardor reiterado.
Pablo Amster 
Junio 2009
Ca p í t u l o i
N o c i o n e s b á s i c a s d e l ó g i c a
En este capítulo describiremos algunos de los aspectos gene­
rales de la lógica, desde las primeras formulaciones aristotélicas 
hasta los desarrollos iniciados en el siglo XIX por autores como 
Boole, Peano y Frege, entre otros.
Para empezar, es oportuno destacar que cualquier reflexión 
más o menos seria acerca del pensamiento obliga a justamente 
a pensar: muy especialmente, a pensar sobre el lenguaje. Según 
ciertos autores, de la escuela denominada/orma/i'sta, toda la Ló­
gica no es más que un lenguaje bien hecho; por ejemplo, ese es el 
singular parecer de aquel grupo de matemáticos formalistas au­
todenominado Nicolás Bourbaki:
... la Lógica, en lo que com o m atem áticos nos co n ciern e, no es m ás 
que la gram ática del lenguaje que em p leam os, un len gu aje que tuvo 
q ue existir antes de que la gram ática pud iera ser constru ida...
Más allá de la Matemática, que Russell intentó presentar como 
un mero capítulo de la Lógica, el debate filosófico del siglo XX 
encontró a un Wittgenstein profundamente implicado en estas 
cuestiones:
L a filosofía es una lu ch a co n tra el em b ru jam ien to 
de nuestra inteligencia por el lenguaje.
Es claro que el lenguaje excede a la Lógica, hasta tal punto que 
el más completo de los sistemas, si es consistente, resulta infali­
blemente burlado por el mecanismo godeliano que permite cons­
truir una proposición indecidible y revelar así su incompletitud1. 
Como sea, vale la pena hacer un breve recorrido por las principa­
les consideraciones lógicas en torno al lenguaje, en particular so­
bre la definición y algunos aspectos de la semántica.
Comenzaremos por ocuparnos del razonamiento y el cálcu­
lo lógico. También efectuaremos algunos comentarios acerca de 
ciertos razonamientos muy conocidos, inválidos pero sumamen­
te valiosos, como la inducción y especialmente aquella sugestiva 
forma introducida por Peirce: la abducción. Finalmente, veremos 
algunas nociones sobre el cálculo proposicional, las tablas de ver­
dad, las leyes lógicas, la cuantificación y el álgebra de clases.
i. D e f i n i c i ó n d e l a d e f i n i c i ó n
En el lenguaje común, “definir” consiste en explicar el sig­
nificado de un término. Pero la matemática y la lógica, o me­
jor dicho sus tropiezos, muestran que hace falta tener bastante 
más cuidado. Esto justifica quizás la anterior frase de Bourba- 
ki, que postula la pre-existencia del lenguaje a la construcción 
de la gramática.
No profundizaremos aquí sobre este problema, aunque vale 
la pena señalar que la definición esconde alguna imposibilidad. 
Es lo que han probado los lógicos del siglo XX, aunque de alguna 
manera ya lo sabían los antiguos: de-finir implica delimitar, po­
ner en el dominio de lo finito una infinitud de propiedades. Ta­
les dificultades habían llevado a los filósofos platónicos a ensa­
yar aquella definición que se haría célebre:
El hom bre es un bípedo im plum e.
Una versión sin duda falaz cuenta la no menos célebre respuesta 
que a tan académica audiencia ofreció Diógenes el cínico, cuando 
arrojó al estrado un pollo desplumado al tiempo que profería:
i. Ver capítulo 5.
I li' .ii|iií al hom bre de Platón.
lai como ocurre ante su respuesta a las aporías de Zenón (“el 
movimiento se demuestra andando” frase que supuestamente 
pronunció unos ochenta años antes de desplumar al pobre po­
llo), se suele reprochar a Diógenes el no haber entendido la ver­
dadera esencia del problema. De todas formas debemos conve­
nir que la definición de Platón resulta un tanto amplia: las propie­
dades empleadas para definir el concepto, aunque verdaderas, no 
son suficientes para distinguirlos por completo de otras entidades 
(los pollos desplumados). De acuerdo con el identitas indiscerrti- 
bilium -indiscernibilidad de los idénticos- formulado por Leib­
niz, si dos cosas son distintas debe existir alguna propiedad que 
no sea común a ambas, lo que permite “estrechar” un poco la de­
finición, por ejemplo:
El hombre es un bípedo implume que no cacarea.
Vale la pena aclarar que en el afán de distinguir se corre el 
riesgo de caer en definiciones demasiado estrechas, que no lle­
gan a abarcar la totalidad de objetos que se quieren definir, por 
ejemplo:
El hombre es un bípedo implume de 3 6 años que se llama En­
rique.
2 . ¿Qu é s i g n i f i c a “ s i g n i f i c a r ” ?
En los párrafos anteriores hemos dicho, vagamente, que defi­
nir consiste en explicar el significadode un término. Ahora bien: 
¿qué significa “significar”? Este tema constituye el campo de la 
semántica, cuyas consideraciones fundamentales pueden encon­
trarse en autores como Frege, Tarski, Quine, Davidson, etcétera. 
Mencionemos brevemente aquella distinción elemental que es­
tablece dos sentidos diferentes para la noción de significado:
En un sentido extensional o denotativo, el significado es el 
conjunto de objetos (extensión) a los cuales la definición pue­
de aplicarse.
I l 'id i Л Y THORÍA Dii ('(>N|1INT( >S Pa b l o A m s t ií r
En un sentido intensional о connotativo, el significado con­
siste en las propiedades que son comunes a los objetos que cons­
ti Luyen la extensión.
Conviene tener también en cuenta la distinción entre signifi­
cación y referencia: según cita Quine (1984),
...los p ro b lem as de lo que gen éricam e n te se llam a sem án tica q u e ­
d an d ivid id os en dos p ro vin cias tan fu n d am en talm en te diversas 
que no m erecen una ap elació n co m ún . Se las puede llam ar te o ­
ría de la sig n ificació n y teoría de la referencia. ‘S em á n tica ’ sería un 
n om bre excelente p ara la teoría de la sign ificación , si no fuera p or 
el h ech o de que a lgu n a s de las m ejores ob ras de la llam ad a se m á n ­
tica, esp ecialm e n te la de Tarski, perten ecen a la teoría de la referen­
cia. L o s p rin cip ales co n cep to s de la teoría de la sign ificación , a p a r­
te del de sign ificación m ism o, son los de sin o n im ia (o igu aldad de 
sign ificación ), s ig n ifica n cia o sig n ificativid ad (p osesión de sig n ifi­
cació n ) y an aliticid ad (verdad p or virtu d de la sign ificació n ). O tro 
es el de im p licación , o an aliticid ad del co n d icion al. Lo s p rin cip a ­
les co n cep to s de la teoría de la referencia son los de nom brar, v e r­
dad, d en o tació n (o ser-verd ad ero -d e) y extensión. O tro es la n o ­
ció n de valores de variables.
Es fácil ver que un término puede tener connotación y no de­
notación: por ejemplo, podemos definirai mangrejo como la poco 
afortunada cruza entre una manguera y un cangrejo. La palabra, 
aunque desusada, tiene connotación: su significado es claro y no 
induce a errores. Sin embargo, nada hay en el universo que me­
rezca ser llamado “mangrejo”, y entonces su denotación es vacía: 
esto muestra, entre otras cosas, que la definición de una entidad 
no implica su existencia.
Ejemplos similares abundan en la obra de L.Carroll, bajo el fa­
moso apelativo de palabras-maletín. Muchas de ellas aparecen en 
el poema Jabberwocky, minuciosamente explicado por Humpty 
Dumpty en el capítulo VI de A través del espejo. Aunque debe­
mos decir que para este personaje la idea de significado difiere 
un poco de la que hemos expuesto:
C u an do yo uso una p alabra -d ijo H u m p ty D u m p ty en tono algo d es­
p e c tiv o -, esa palabra sign ifica exactam en te lo q u e yo quiero que sig ­
nifique... ni m ás ni m enos.
También Quine hace un planteo al respecto, e intenta ver las 
consecuencias de definir a “Pegaso” de distintas maneras; entre 
ellas una muy sugestiva: la cosa que pegasea. Pero si asumimos 
como alguna vez hicimos con los Reyes Magos o el Ratón Pé­
rez- que Pegaso no existe, dicha inexistencia tiene un carácter 
muy diferente a la que muestra este otro ejemplo:
La redonda cú p u la cu ad rad a del B erkeley College.
En efecto, aquí el objeto definido no puede existir pues su 
propia definición presenta una contradicción (ver Quine, op. 
cit., Acerca de lo que hay). Vale la pena mencionar también que 
la cuestión antes sugerida de que “la esencia no implica la exis­
tencia” permitió a Spinoza demostrar la unicidad de Dios. El fi­
lósofo entiende a Dios como una sustancia, cuya esencia es exis­
tir; y un ser cuya esencia es existir necesariamente existe. Lue­
go, aduce que una definición no establece el número de indivi­
duos que la satisfacen: de este modo, si hubiera por ejemplo ca­
torce dioses se tendría que la existencia de trece de ellos sería in­
necesaria. Eso contradice la definición de sustancia; existe, pues, 
un único Dios2.
En Matemática, los sentidos denotativo y connotativo se ven 
reflejados en las dos formas de definir a un conjunto, por com­
prensión y por extensión :
A = {x / xesu n número natural impar menor que 10 }
(por comprensión)
o bien,
A = { i, 3, 5, 7, 9 } (por extensión).
Es claro que las dos definiciones describen un mismo con­
junto, la primera de ellas dando una “explicación” o descripción 
de su contenido, y la segunda haciendo una lista de sus elemen­
2. Para Spinoza es fundamental el concepto de un Dios cuya esencia envuelve a la 
existencia, poniendo en juego la distinción aristotélica entre particulares y uni­
versales. Bajo esta distinción, la existencia queda del lado de lo particular, mien­
tras que la esencia corresponde a lo universal.
tos3. Esta última se caracteriza por su unicidad: si bien existen 
infinitas maneras diferentes de definir por comprensión, la ex­
tensión es siempre única.
La mezcla de denotación y connotación da lugar a confusio­
nes y aparentes paradojas, como las que describe Quine en su ar­
tículo Referencia y Modalidad4. La discusión se centra en uno de 
los principios más básicos de la Lógica, que sin embargo a menu­
do se manifiesta ineficaz; por eso Quine llegó a postular la exis­
tencia de ciertas “semientidades crepusculares a las cuales no se 
aplica el principio de identidad”.
3 . L a s l e y e s d e l p e n s a m i e n t o
Esta sección lleva el mismo título que la famoso libro del lógi­
co inglés G. Boole, considerada por los historiadores como el pri­
mer desarrollo de la lógica formal. Pero debemos decir que The 
laws o f Thought era un título demasiado ambicioso, y la propia 
Lógica no tardaría en revelar que “las” ansiadas leyes no existen. 
Claro que eso no significa que pensemos sin ley alguna (al menos 
no siempre); sin embargo, los métodos lógicos se toparon muy 
pronto con sus propias limitaciones y sufrieron su golpe defini­
tivo con los sucesivos teoremas de Godei, Tarski, Church, según 
veremos más adelante. De cualquier modo, es justo reconocer en 
la obra de Boole el nacimiento de la Lógica. Es interesante men­
cionar que pocos años antes de la aparición de su obra, el filósofo 
alemán Immanuel Kant había asegurado que la Lógica
...según toda verosim ilitud, parece estar co n clu sa y perfecta.
3. La palabra “lista” es aquí empleada informalmente; debe ser entendida simple­
mente como una anotación minuciosa de objetos, pero sin que ello implique 
una sucesión. Existen conjuntos cuyos elementos no pueden escribirse en for­
ma sucesiva: son los que Cantor denominó conjuntos no numerables, como el 
de los números reales. Esta denominación surge por oposición a los conjuntos 
numerables (por ejemplo, los números naturales), cuyo cardinal o cantidad de 
elementos es el conocido X 0 (alef cero). Veremos más sobre esto en el capítu­
lo 4. Cabe aclarar también que la anterior definición “por comprensión” no es 
del todo correcta, pues emplea aquel axioma que Cantor denominó “de abstrac­
ción”, y es causante de la paradoja de Russell. En las próximas páginas veremos 
esto con mayor detalle.
4. Quine, op.cit.
Ndcidni iiÀsu a s ni; i/ i c i c a
De algún modo, debe haber hecho falta este anuncio de Kant 
para que los matemáticos se dispusieran por fin a sentar las ba­
ses de esta disciplina.
¿Qué es razonar? Para responder a esta pregunta nos remon­
taremos a los primeros esbozos que fueran trazados en tal direc­
ción, aquellos que fomentaron el entusiasmo kantiano: nos refe­
rimos a la obra de Aristóteles, cuyo sistema de reglas para el razo­
namiento mantuvo su vigencia por unos cuantos siglos.
En primer lugar, cabe señalar otro aspecto ligado al lengua­
je, másprecisamente a sus usos: si bien en la escuela todos he­
mos aprendido que el lenguaje puede ser informativo, expresivo
o directivo, no parece muy probable establecer un razonamien­
to con premisas tales como “¿Qué mirás?”, o “Sonate la nariz”. En 
otras palabras, es razonable suponer que los enunciados que in­
teresan a la Lógica son siempre oraciones declarativas. Los razo­
namientos se basan en las relaciones entre las llamadas proposi­
ciones o enunciados predicables, es decir, enunciados a los que 
se puede asignar un valor de verdad.
Un mérito muy destacable de Aristóteles consiste en haber trans­
formado al razonamiento -o al menos buena parte de él- en un cál­
culo, convirtiendo a los problemas lógicos en ejercicios de aplica­
ción de un conjunto de reglas. Esta idea es fiel a la etimología de la 
palabra “razón” en tanto encierra una ratio o división: para detec­
tar la validez de un argumento nada mejor que dividirlo en premi­
sas y conclusiones, que a su vez pueden resultar premisas de nue­
vas conclusiones. Al cabo de tanta división se obtiene aquella uni­
dad mínima denominada silogismo, que consiste en dos proposi­
ciones (premisas), de las cuales se deriva, a partir de ciertas reglas 
de inferencia, una tercera proposición llamada conclusión. El cum­
plimiento de dichas reglas es fundamental, al margen de la verdad 
de las proposiciones intervinientes: podemos decir que las premi­
sas deben ofrecer, de alguna forma, una prueba de la conclusión a 
la que se llega. El siguiente es un razonamiento válido
Todos los gatos son mamíferos.
Todos los mamíferos son animales.
Luego, todos los gatos son animales
aunque también lo es este otro:
Todo buen ciclista lee a Kierkegaard.
Los que leen a Kierkegaard no escuchan operetas.
Luego, ningún buen ciclista escucha operetas.
Como se ve, lo que importa en la relación entre las premisas y 
la conclusión es el aspecto sintáctico y no el semántico. Pero al­
guna relación entre los enunciados tiene que existir: compare­
mos por ejemplo las frases:
Desde el día en que vi Tiburón me da miedo meterme al agua.
Desde el día en que vi Tiburón salí con mi novia tres o cua­
tro veces.
En la primera hay implícito un razonamiento, puesto que la 
conclusión parece seguirse de la premisa “vi Tiburón”; en cam­
bio, la segunda frase indica entre los dos enunciados una rela­
ción temporal, pero no lógica.
En virtud de los ejemplos que hemos visto, cualquier persona 
seria podría poner en duda el valor de los métodos lógicos: ciclis­
tas que leen a Kierkegaard y no escuchan operetas, ¿qué es eso? 
Bien podría decirse que la Lógica permite decir cualquier clase 
de disparate, siempre que se trate de un disparate “lógico”. Qui­
zás por eso Russell dijo:
Las m atem áticas son una cien cia en la que n u n ca se sabe de qué se
habla, ni si lo que se dice es verdadero.
Por otro lado, después de haber comprobado la validez de al­
gunos silogismos no es difícil comprender el sentido de la más 
famosa de sus frases:
L a m atem ática es u n a vasta tautología.
Famosa o no, la aseveración no quita valor a la Matemática. Hay 
algo que queda absolutamente garantizado por la corrección de un 
razonamiento: si se parte de premisas verdaderas, entonces la con­
clusión es verdadera. Se suele acusar a los métodos lógicos de no
.i^rrg.ir nada a nuestros conocimientos: si al comienzo sabemos 
(|iK‘ todos los mamíferos son animales, y tras un cálculo obtene­
mos por resultado que todos los gatos son animales, terminamos el 
r.v/.onamiento sabiendo menos de lo que ya sabíamos. Desde esta 
perspectiva la lógica no agrega, sino que en algún sentido resta: 
(•so justifica el hecho de que la operación lleve un nombre tan sig­
nificativo como “deducir”. Sin embargo, la acusación deja de lado 
un aspecto fundamental de los métodos lógicos: brindar una ma­
nera efectiva de refutar un enunciado. Nada hay en la Lógica que 
permita validar las leyes de las ciencias empíricas, pues para veri­
ficar una afirmación universal deberíamos ser capaces de compro­
bar su verdad caso por caso, y eso es imposible. Pero es muy fácil 
falsear un enunciado: si un razonamiento lleva a una conclusión 
falsa, entonces es falsa alguna de las premisas. En esta elemental 
observación se basa el falsacionismo de Karl Popper.
4. D e d u c c i ó n , i n d u c c i ó n , a b d u c c i ó n
En la sección precedente hemos dado una breve descripción 
de lo que para la Lógica significa “razonar” haciendo hincapié en 
la propiedad principal que tienen los razonamientos válidos: si las 
premisas son verdaderas, las conclusiones también lo son. Sin em­
bargo, hay otras formas de llegar a conclusiones, que son inválidas 
desde el punto de vista lógico, pero no por eso menos importantes. 
Se las suele denominar también “razonamientos” aunque en rigor 
no lo sean; conviene llamar entonces al anterior razonamiento de­
ductivo, para distinguirlo de otras dos formas no válidas, conocidas 
como razonamiento inductivo y razonamiento abductivo.
A diferencia de la deducción, la inducción no brinda certeza 
alguna respecto de la verdad de las conclusiones, aunque en oca­
siones establece una cierta probabilidad. El razonamiento induc­
tivo consiste, a grandes rasgos, en extraer alguna ley general a par­
tir de determinado número de casos particulares. Como hemos 
anticipado, gran parte de las leyes de la ciencia se formulan en 
base a algún método inductivo; un enunciado bastante elemen­
tal de la zoología, por ejemplo
Los osos tienen cuatro patas,
se apoya en el hecho de que tal propiedad se ha verificado inva­
riablemente en todos los casos observados, aunque no hay im­
pedimentos de orden lógico a la aparición futura de osos quin- 
túpedos5.
Dijimos antes que la deducción “resta”; en la inducción, en 
cambio, la conclusión dice siempre más de lo que dicen las pre­
misas. Se suele decir que la inducción “va de lo particular a lo ge­
neral”, contrariamente a la deducción, que “va de lo general a lo 
particular”. Comparemos el contundente silogismo
Todos los gatos son simpáticos
Félix es un gato
luego, Félix es simpático
con un razonamiento inductivo, a todas luces más sospechoso:
Félix es un gato
Félix es simpático
luego, todos los gatos son simpáticos.
Desde el punto de vista práctico, quizás sea aventurado dar una 
ley general a partir de una única observación; al menos, la con­
clusión parece reforzarse si presentamos más argumentos:
Félix es un gato y es simpático
Тот es un gato y es simpático
El gato Barbieri es un gato y es simpático
luego, todos los gatos son simpáticos.
De cualquier forma, siempre queda abierta la posibilidad de 
que alguien venga y nos arruine todo al anunciar:
5. De todas maneras, negarse a admitir la ley como verdadera podría ser visto por 
algunos como una necedad, algo así como buscar la quinta pata al oso. Un ca­
rácter diferente presentan enunciados tales como
Los cuadrúpedos tienen cuatro patas, 
cuya verdad es tautológica. En efecto, la propiedad de tener cuatro patas no es 
otra cosa que la definición del concepto “cuadrúpedo”.
El gato de mi cuñada es un gato;
no obstante, resulta un animal de lo más huraño.
Como caso particular de inducción, debemos recordar tam­
bién el razonamiento por analogía, que consiste en extraer con­
clusiones sobre determinado problema o situación en base a re­
sultados obtenidos en condiciones similares. Por ejemplo, si X e 
У tienen alguna propiedad en común, entonces podemos aven­
turar que otras propiedades de X son también aplicables a Y. 
Pero como ocurre en cualquier aventura, el resultado final pue­
de ser un desastre: el método no ofrece las seguridades que ofre­
ce la buena lógica.
Conviene señalar la diferencia entre esta clase de razonamien­
to inductivo y la inducción matemática que, como veremos en el 
capítulo 2, constituye una propiedad básicade los números na­
turales. También se extiende -aunque esto es más complicado- 
a conjuntos más generales: se trata del llamado principio de in­
ducción transfinita.
Es posible dar todavía otra vuelta al esquema anterior:
Todos los gatos son simpáticos 
Félix es simpático 
luego, Félix es un gato
Este nuevo razonamiento, denominado abductivo, presenta 
un defecto muy fácil de descubrir: es claro que el tal Félix bien 
podría haber sido un canario, un elefante o un individuo simpá­
tico de cualquier clase. La propiedad de ser gato se convierte así 
en una causa posible de la simpatía de Félix, pero no necesaria­
mente la única. Se suele describir a la inferencia abductiva como 
“la lógica de la mejor explicación”: por ejemplo, si nuestros invi­
tados se presentan en casa completamente mojados, podemos 
extraer la conclusión de que afuera está lloviendo. Esto signifi­
ca que hemos optado por una posibilidad que nos pareció razo­
nable, descartando otras menos verosímiles: un vecino que rie­
ga sus plantas con descuido, o alguna travesura infantil con la 
manguera del garaje. Aunque en este caso no se trate de una con­
clusión especialmente lúcida, la abducción resulta de vital im­
portancia, tanto en la ciencia como en cualquier clase de inves-
tigación: tal es la forma de proceder de Sherlock Holmes, cuan­
do reconstruye una situación a partir de ciertos indicios. Esto 
guarda relación con el origen etimológico de la palabra inves­
tigar, proveniente del latin investigare, y en definitiva de vesti­
gium: si leemos esto al pie de la letra, descubriremos que signi­
fica, justamente, “planta del pie”.
Cualquier persona versada en anatomía pensará en los mús­
culos abductores, y podrá justamente abducir que dicho término 
proviene de separar o abrir, origen que se vislumbra en la idea de 
buscar las eventuales causas de un efecto dado desplegando un 
abanico de posibilidades:
Hay que aclarar que la implicación sigue el sentido de las fle­
chas; el procedimiento de elegir una de las de las premisas como 
“antecedente más probable” de q es descripto por Mr. Holmes 
como “razonar hacia atrás”:
El gran factor, cu and o se trata de resolver un problem a de esta clase, 
es la capacidad de razonar hacia atrás. Esta es una cualidad m u y útil 
y m u y fácil, pero la gente no se ejercita m u ch o en ella. En las tareas 
corrientes de la vid a cotidiana resulta de m ayor utilidad el razonar 
hacia adelante, y p or eso se la desatiende. Por cada persona que sabe 
analizar, h ay cin cu en ta que saben razonar por síntesis.
Las dos formas de razonamiento comentadas en esta sección 
resultan en algún sentido falaces; vale decir, una especie de in­
fracción a las leyes lógicas. En general, una falacia no es otra cosa 
que un razonamiento inválido, aunque a primera vista pueda pa­
recer correcto o resultar psicológicamente persuasivo. Tal es el 
caso de los famosos sofismas.
Pn
у Lò g i c a a r i s t o t e l i c a
Veremos ahora algunos elementos de la lógica aristotélica, que 
se apoya en la noción intuitiva de clase: una colección de cosas 
( |iit* tienen algún atributo en común. Por ejemplo, la clase de los 
jugadores de ping-pong, o la clase de los perros salchicha. A di­
ferencia de la moderna teoría de conjuntos, Aristóteles no pre- 
vió la necesidad de contar con clases vacías.
Si bien el concepto de “clase” que estamos empleando no es 
muy riguroso, vale la pena mencionar algunos aspectos de aque- 
11o que actualmente se conoce como Teoría Ingenua de Conjun­
tos. Se trata, esencialmente de la nada ingenua teoría desarro­
llada por Cantor a fines del siglo XIX; el apelativo se debe a que 
han surgido allí algunos inconvenientes, que derivaron en una 
profunda crisis en los fundamentos de la Matemática. El proble­
ma no es menor, y fue motivo de controversias entre las escue­
las logicista (encabezada por Russell y Frege), formalista (Hil­
bert, y posteriormente Bourbaki) e intuicionista (Brouwer, Poin­
caré). De alguna manera, la discusión se calmó en buena medi­
da cuando Zermelo y Fraenkel propusieron en 1908 los axiomas 
para una teoría “no ingenua”, que es la más comúnmente acep­
tada en la actualidad.
La noción de conjunto existíaya en la Matemática desde tiem­
po atrás, así como algunas de las paradojas que dicha noción trae 
consigo. La representación por medio de los diagramas de Venn 
tiene su origen en una idea anterior, la de los círculos de Euler, 
inventados por tan ilustre autor hacia 1770 como un modo de re­
solver silogismos y en especial poder explicárselos a su célebre 
princesa alemana.
Pero fue Cantor quien, en una serie de memorias escritas en­
tre 1874 y 1884, se ocupó de dar forma a tales cuestiones y fundar 
la teoría que, además de sus múltiples aplicaciones, permitió es­
tablecer sorprendentes conclusiones en torno al problema del in­
finito. En efecto, el descubrimiento de diversas clases de infini­
to, y la consecuente definición de los números transfinitos mos­
traron algunos aspectos de la Matemática completamente insos­
pechados. A una frase de Gauss, para quien el infinito actual era 
una “manera de hablar” responde Cantor:
N o obstante la diferencia esen cial entre los co n cep to s de infinito 
poten cial y de infinito actual (siend o el prim ero una m agn itu d fini­
ta variable q u e crece m ás allá de todo lím ite finito, y el seg u n d o una 
m agn itu d fija, constante, que se m an tiene m ás allá de tod as las m ag­
nitudes finitas) o curre con frecu en cia tom ar el uno por el otro... En 
vista de la ju stificad a aversión a tales infinitos actu ales ilegítim os y 
a la in fluencia de la tend en cia m o d ern a ep icú reo -m aterialista, se ha 
extendido en am p lio s círcu los cien tíficos cierto horror infiniti, que 
en cu en tra su expresión clásica y su apoyo en la carta de G au ss; sin 
em b argo m e parece que el consigu ien te rechazo, sin crítica alguna, 
del legítim o infinito actual no deja de ser una vio lació n de la n atu ­
raleza de las cosas, que han de tom arse co m o son.
La definición cantoriana de conjunto no es, por cierto, una de­
finición formal. Se trata más bien de una idea intuitiva, en donde 
un conjunto se piensa como una colección de cosas (Cantor em­
pleó la palabra Menge, “multitud”). Un conjunto es, para Cantor, 
un agrupamiento en un todo de objetos bien definidos, de nues­
tra intuición o nuestro pensamiento.
Pero esto no significa gran cosa: el término “conjunto” es, en de­
finitiva, un término primitivo de la teoría. También lo es aquel otro 
que se refiere a esos objetos de los que un conjunto se compone, los 
elementos. Para indicar que determinado x es elemento de un con­
junto A, se emplea el símbolo de pertenencia, y se escribe: x e A.
El paralelo entre teoría de conjuntos y la lógica es inmedia­
to: por ejemplo, las operaciones de intersección y unión se tra­
ducen respectivamente a las operaciones lógicas de conjunción y 
disyunción, así como la noción de complemento, definida a par­
tir de la diferencia entre conjuntos, se asocia con la negación6. 
Podemos comparar las diferentes versiones de las clásicas leyes 
de De Morgan, que se enuncian
- ,(p v q ) = -,pA-,<7 
-1 (pA q) = - ,p v - ,q
en la Lógica, y
6. La definición de las operaciones elementales entre conj un tos puedei > encontrar­
se en el Diccionario de términos matemáticos, de próxima publicación. Convie­
ne recordar en particular a la diferencia y la diferencia simétrica, en viri ud de la 
importancia que le da Lacan (por ejemplo, en La Identificación, y también en 
el célebre ejemplo de “La bolsa o la vida”).
(A u В)' = A C r\B c 
(АглВ)с = А 'и В с 
en la teoría de conjuntos7. Mencionemos finalmente a la relación 
de inclusión, muy cercana a la implicación: tanto, queen la teoría 
tie conjuntos el principio de identidadtoma la forma
VA: A c: A
Resulta claro: dicho principio, en la Lógica, dice que cualquier 
proposición p verifica:
P ^ P 
{p implica p)
Por eso, dado un conjunto A y cualquier objeto x del univer­
so, tomando como p el enunciado “x e A" se obtiene
x e A => x e A, 
que en otras palabras se lee: A está incluido en A.
La teoría de Cantor permite el libre empleo de un enunciado 
conocido como axioma de abstracción. En él se basan las defi­
niciones por comprensión antes mencionadas, que en principio 
permiten construir a partir de cualquier función proposicional ф 
el conjunto de todos los objetos del universo que la satisfacen:
{ * / Ф U ) }
La noción de “función proposicional", tan común en la Lógi­
ca, es -como veremos- una especie de predicado sin sujeto. Por 
ejemplo, la oración
ф(х) = x es mortal 
carece de sujeto: cualquier valor que se le asigna a la variable x 
pasa a cumplir ese papel y le da a la oración el carácter de pro­
posición.
El axioma de abstracción parece más que aceptable, razón por 
la cual Frege no tuvo reparos en emplearlo para definir al conjun­
to vacío. Claro, esta definición no es e-vidente, pues el concepto 
es muy lejano a nuestra intuición: según entendimos, un conjun­
to es una colección de cosas, luego... ¿cómo pensaren una colec­
ción que no tenga nada? Cualquiera puede decirse coleccionisl.i
7. A 'quiere decir complemento de A. Lacan emplea también la noi.x ió n Л, quo lo
Topología reserva para la clausura de A.
de estampillas, obras pictóricas o premios literarios, si se puede 
llamar “colección” a algo tan poco profuso como el vacío.
Como sea, este difícil conjunto puede definirse por abstracción, 
mediante el sencillo recurso de buscar alguna propiedad que na­
die8 en El Universo sea capaz de cumplir: de este modo, resulta tan 
vacío el conjunto de los elefantes que tienen seis patas como el de 
las peras de un olmo. Sin embargo, debemos convenir que es ne­
cesario dar una propiedad que sea formulable en lenguaje lógico: 
por eso, pensó Frege que sería una buena idea definir
0 = { x / х ф х }
Con este truco, la Matemática quedaría completamente es­
tablecida como un capítulo de la Lógica, como pretendía la es­
cuela logicista, aunque el descubrimiento de la paradoja de Rus­
sell en 1901 mostró que la construcción llevada a cabo por Frege 
no era válida, lo que significó un derrumbe de sus afanes. Una de 
las versiones más difundidas de esta paradoja se refiere a un bar­
bero que afeita a todos aquellos que no se afeitan a sí mismos. Es 
fácil ver que este barbero no puede afeitarse ni dejar de hacerlo; 
sin embargo, según señala Quine esto no determina una parado­
ja sino la imposibilidad de que exista un barbero así.
Llevada a nuestro contexto, se puede reproducir la paradoja 
considerando dos tipos diferentes de conjuntos:
1- Los conjuntos ordinarios, que no se contienen a sí mismos
como elemento, es decir: A es ordinario si A 110 pertene­
ce а Л. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales, 
que no es un número natural.
2- Los conjuntos extraordinarios, que se contienen a sí mis­
mos como elemento, es decir: A es extraordinario si A per-
в. Es claro que “nadie” no indica persona, sino que se refiere a una propiedad que 
ningún objeto del universo satisface. Borges hace un empleo interesante de di­
cho vocablo en Las ruinas circulares:
Nadie lo vio desembarcar en la unánime noche, nadie vio la canoa tic bambú 
sumiéndose en el fango sagrado, pero a los pocos días nadie ignoraba...
B o r g i í s , 19 7 6
tenece a A . Por ejemplo, el conjunto de todos los conjuntos, 
que en tanto conjunto es elemento de sí mismo.
lista clasificación es completamente lícita en la teoría de Can­
tor, pues sólo precisa del axioma de abstracción. Pero el mismo 
axioma permite que definamos el conjunto
X = { A / A es un conjunto ordinario } 
que no tardará en traernos problemas. En efecto, si X es ordina­
rio, debe cumplirse que X pertenece a X, es decir, X es extraor­
dinario (absurdo). Si suponemos, por el contrario, que X es ex­
traordinario, por definición resulta que X no pertenece a X y en­
tonces X es ordinario... un nuevo absurdo, que señala que esta­
mos ante una paradoja.
La aparición de esta paradoja indica que, así planteada, la 
teoría de conjuntos es inconsistente; eso no nos conviene, pues 
la presencia de una contradicción (p л -,p) trivializa una teoría. 
Puede verse fácilmente que a partir de una contradicción se pue­
de concluir cualquier cosa, como mostró por ejemplo Russell al 
dar una prueba rigurosa del siguiente enunciado:
Si i es igual a 2, yo soy el Papa.
Ante tal panorama, no queda otro remedio que cambiar la axio­
mática: introducir condiciones que limiten la definición de con­
junto para impedir que pueda definirse de un conjunto tan per­
nicioso como el conjunto de los conjuntos ordinarios.
La manera más simple, aunque tajante, consiste en decretar 
explícitamente que un conjunto no puede ser elemento de sí mis­
mo: es decir, sólo considerar como conjuntos hechos y derechos 
a los conjuntos ordinarios, con lo que la paradoja se elimina de 
raíz. En realidad, esta restricción es excesiva y puede ser evitada, 
aunque ello no ocurre en los Principia Matemática, esa obra mo­
numental de Russell y Whitehead destinada a restablecer los va­
cilantes fundamentos de la Matemática. Se describe allí la teoría 
de tipos, una construcción más bien complicada según la cual los 
conjuntos de cierto tipo tienen como elementos a conjuntos de ti­
pos anteriores; de este modo, se evita la mezcla de niveles de len­
guaje, un verdadero caldo de cultivo para el surgimiento de para­
dojas. El resultado, de todas formas, no logró satisfacer las aspi­
raciones logicistas, como más adelante veremos.
Una consecuencia inmediata de la paradoja de Russell es que 
el Universo no es un conjunto. Esto significa que no tiene senti­
do proponer que El Universo es el conjunto de todas las cosas que 
existen,
LI = { x / x existe }
o el de las cosas idénticas a sí mismas,
U = { x / x = x }
i La explicación es sencilla, al menos si se supone que estamos 
hablando de un universo ordinario:
Si U es un conjunto, no puede ser elemento de sí mismo;
por ende U no existe (o bien: U es distinto de U).
De aquí se desprende un problema con respecto a la noción de 
complemento, pues por definición la unión de un conjunto con su 
complemento debería ser todo el universo. Pero "todo” no es un 
conjunto, de modo que sólo puede pensarse en un complemento 
relativo: el complemento de un conjunto se define siempre respec­
to de otro conjunto que lo contenga. A este conjunto “más grande” 
se lo llama universal, pero de ninguna forma puede pretenderse 
que se constituya en El Universo. Sería inadecuado, por ejemplo, 
considerarci complemento del conjunto G de los gatos como todo 
aquello en el universo que no es gato; en cambio, dado a priori el 
conjunto universal M de los mamíferos, entonces es correcto de­
finir el complemento de G en la siguiente forma:
Gc = M - G = { x e M / x í G}
Es imposible dar un carácter absoluto al complemento, pues de­
pende siempre de modo esencial de nuestra decisión previa acer­
ca de cuál va a ser el universo para nuestro discurso''.
9. Vemos así que es más sencillo ponerse de acuerdo acerca de lo que liay que acer­
ca de lo que no hay. Macedonio Fernández se manifestaba en coni r.i de produc­
tos tales como las galletas sin sal, pues existe una infinidad de cosas que las ga­
lletas no tienen. Como sea, a veces pensar en el complemento restituí ventajoso; 
por ejemplo para recibir regalos de no-cumpleaños, talcoinodcuuicslra I lump- 
ty Dumpty a una desconcertada Alicia (L. Carroll, op.cit.). Sobre el problema on­
tològico de lo que hay, algo veremos en el último capítulo.
ЗО
I ,.i aparición de paradojas en la teoría de conjuntos no fueuna 
novedad: en 1898 se había formulado otra, laparadojade Burali- 
I 01 ti, que descubrió el propio Cantor pero la atribuyó a un de­
lecto en su definición de los ordinales. Como sea, no se esperaba 
фи* estos hallazgos fueran realmente a hacer tambalear a toda la 
Matemática. Las nociones de interpretación y modelo, y los len­
i/uajes de primer orden tuvieron su origen a partir de estas difi­
cultades: el susto que se llevaron los matemáticos, a principios 
del siglo XX, llevó a la búsqueda de un rigor lógico mucho ma­
yor. Un elocuente resultado de tal rigor es la axiomática de Zer- 
melo-Fraenkel10.
(). E n u n c i a d o s c a t e g ó r i c o s
Las llamadas proposiciones categóricas establecen relaciones 
entre dos clases, afirmando o negando inclusiones parciales o to­
tales entre ellas. Existen entonces cuatro formas distintas:
Todo Ses P (universal afirmativa)
Ningún Ses P (universal negativa)
Algún Ses P (particular afirmativa)
Algún S no es P (particular negativa)
10. Como dijimos, la paradoja lo arruina todo, una situación comparable con la 
maldad que comprueba Dios en el hombre, pocas generaciones después de ha­
berlo creado:
...toda imaginación de los pensamientos de su corazón era solamente mala to­
dos los días (Genesis VI, 5)
La solución que encuentra Dios es casi tan drástica como la de Russell:
Borraré al hombre que he creado de sobre la faz de la tierra, desde el hombre has­
ta la bestia, hasta el reptil y hasta el ave del cielo, porque Me arrepiento de haber­
los hecho. (Genesis VI, 7)
Como sea, Noé “halló gracia en los ojos del Señor”: en la teoría de conjuntos di­
cho rol de "justo en su generación” bien podría ser cumplido por el conjunto va­
cío, que va a ser la base de la rigurosa teoría de Zermelo-Fraenkel. Como el vacío, 
también Noé está “despojado" cuando se queda dormido en medio de su tienda, 
aunque sus hijos mayores no tardan en cubrir esta desnudez con un manto.
Aunque la correspondencia gramatical no es exacta, las le­
tras S y P evocan las ideas de “sujeto” y “predicado”. En términos 
de clases, es inmediato observar que la oración todo Ses P equi­
vale a decir:
Todo elemento de S es también elemento de P.
Ello revela una inclusión total: por ejemplo, la frase
Todos los gatos son pardos
señala el dudoso hecho de que todo elemento de la clase S = “ga­
tos” pertenece a la clase P = “individuos pardos”. En otras pala­
bras, la clase S está totalmente incluida en la clase P; del mismo 
modo, la proposición particular afirmativa algún S es P nos in­
forma que la clase S está parcialmente incluida en la clase P. De­
bemos aclarar que eso no niega la posibilidad de que la inclusión 
sea total: cuando decimos
Algunos miembros de mi familia tocan la trompeta,
la oración es verdadera si al menos uno de mis familiares es trom- 
petista, y seguirá siéndola aun si todos lo son.
También resulta claro que las proposiciones negativas, tanto 
la universal como la particular, niegan la inclusión parcial o to­
tal de la clase S en la clase P. Así, al decir
Ningún pingüino desayuna antes de las ocho, 
estamos negando la proposición
Algunos pingüinos desayunan antes de las ocho.
En otras palabras, negamos la inclusión parcial de la clase “pin­
güinos” en la clase “individuos que desayunan antes de las ocho”. 
Veamos por último un ejemplo de particular negativa:
Algunos bailarines no saben de contabilidad.
En este caso, estamos negando la inclusión total de la clase de 
bailarines en la clase de personas que saben de contabilidad. La 
frase podría leerse, en efecto, como:
No todos los bailarines saben de contabilidad.
Durante la Edad Media, los escolásticos denotaron a las cuatro 
proposiciones categóricas empleando respectivamente las letras 
A, E, 1, O, a partir de una sencilla regla mnemotècnica que tiene 
1 en cuenta el hecho evidente de que los dos enunciados afirmati­
vos (Ajflrmo) contradicen a los negativos (nEgO). Más precisa­
mente, las relaciones se resumen en el siguiente esquema:
A contrarias E
subalternas subalternas
7. C u a d r a n t e d e P e i r c e
Lacan presenta la lógica aristotélica en el Seminario IX me­
diante el famoso cuadrante de Peirce, a partir de los enunciados 
A: todo trazo es vertical 
E: ningún trazo es vertical 
I: algún trazo es vertical 
O: algún trazo no es vertical 
y un sencillo diagrama:
El lector puede intentar, a modo de ejercicio, analizar la ver­
dad de cada una de las proposiciones en los distintos cuadrantes. 
Más adelante volveremos sobre este punto.
И
L Ó G IC A Y T E O R ÍA D E CO N JU N TOS l ’A lll.O A m s t k k
8 . S i l o g i s m o s
Según mencionamos, los silogismos son razonamientos que 
se componen de dos premisas y una conclusión:
Premisa i: Ningún oso hormiguero tiene ideas polí­
ticas moderadas.
Premisa 2: Algunos osos hormigueros prefieren el té
al café.
Conclusión: Algunos seres que prefieren el té al café no tienen 
ideas políticas moderadas.
A pesar de su simplicidad, Aristóteles y su discípulo Teofrasto 
han dedicado seguramente unas cuantas tardes a formular reglas 
precisas para determinar si un silogismo es o no válido; sin em­
bargo, si se emplea un sistema de cálculo apropiado, o el lengua­
je de la teoría de conjuntos, dichas reglas se vuelven innecesarias. 
Pero los antiguos estudiaron exhaustivamente los 64 posibles si­
logismos, y determinaron la validez de 19 de ellos.
Veremos una forma muy sencilla de resolver silogism os a partir 
de diagramas: para ello, bastará con representar a las clases me­
diante los llamados círculos de Euler, indicando con un o aque­
llas regiones en donde no hay elementos, y con un г aquellas en 
donde hay al menos uno. Así, las cuatro proposiciones categóri­
cas se representan del siguiente modo:
S P S P S P S P
TodoS es P Ningún S es P Algún S es P Algún S no es P
Con un poco de cuidado, resulta fácil aplicar esta representación 
a cualquier silogismo: en el ejemplo anterior, si consideramos 
S = “osos hormigueros”
P = “seres con ideas políticas moderadas"
R = “seres que prefieren el té al café”
I untemos “traducir” una a una las premisas, y representarlas a to- 
( Lis en un único diagrama:
Premisa i: Ningún S es P
S P
Conviene observar aquí que nos vemos forzados a escribir dos 
( с-ros distintos, pues la presencia de R divide la región común a 
S y P en dos partes. Un problema distinto aparece con la premi­
se siguiente,
Premisa 2: Algún S es R
S P
R
En efecto, sabemos que hay por lo menos un elemento común 
.1 S y R, pero la premisa por sí sola no nos permite decir a cuál de 
las dos regiones de esta intersección pertenece (acaso haya ele­
mentos en ambas). Por eso escribimos provisoriamente un 1 so­
bre la línea divisoria, hasta tanto recopilemos toda la informa­
ción disponible:
Premisas i y 2: Ningún S es P
Algún S es R
S P
Gracias a la segunda premisa se resuelven las dudas acerca de 
ese que se encontraba “en suspenso” hasta que el o de la región 
común a S y P lo desplazó, para confinarlo en esa pequeña por­
ción que se ve en el diagrama. En consecuencia, podemos extraer 
la conclusión; existe al menos un elemento que pertenece a i? y 
no pertenece a P:
Conclusión: Algún R noes P
A veces se presentan razonamientos más complicados, pero 
que en realidad no son otra cosa que la combinación de dos o más 
silogismos. Consideremos por ejemplo las siguientes premisas:
1. Algunas estufas son objetos de arte.
2. Todo objeto de arte causa a mi abuela dolor de cabeza.
3. Todo lo que causa a mi abuela dolor de cabeza es muy apre­
ciado por mi abuelo.
De acuerdo con el método que hemos visto, se definen las 
clases:
S = “estufas”
P = “objetos de arte”
R = “objetos que causan a mi abuela dolor de cabeza”
T = “objetos muy apreciados por mi abuelo”
Se tiene, entonces,Зб
N o c i o n ü s i iA s k a n d i . i / i i ì i c a
S P
Premisas i y 2: Algún Ses P
Todo P es R
Conclusion 1: Algún Ses R
R
Premisa 3 y Conclusion 1:
R T
Todo R e s T 
Algún Ses R
Conclusión:A/gún S es T.
En otras palabras:
Algunas estufas son muy apreciadas por mi abuelo.
Estos razonamientos se denominan sorites; en ocasiones la 
conclusion parece muy alejada del punto de partida, porque pue­
den ser muchos los silogismos que se concatenan. Esto termina 
de explicar la idea de “vasta tautología” mencionada en la pági­
na 20: todo teorema, por complicado que parezca, no resulta en 
el fondo otra cosa que el encadenamiento de cierto número de 
pasos triviales.
También pueden presentarse silogismos en forma incomple­
ta, omitiendo alguna de las premisas, por ejemplo:
Ninguna persona respetable roba el sombrero a sus semejan­
tes; en consecuencia, nosotros no robamos el sombrero a nues­
tros semejantes.
Para que el razonamiento sea correcto, se debe intercalar la si­
guiente premisa, cuya verdad puede merecer alguna objeción:
Nosotros somos personas respetables.
A estos razonamientos incompletos se los conoce como entime- 
mas. La premisa que se omite se da por sobreentendida, pero no re-
sulta consecuencia de las otras dos proposiciones; corno ya vimos, 
el siguiente razonamiento abductivo es lógicamente inválido:
Premisa i: Ninguna persona respetable roba el sombre­
ro a sus semejantes.
Premisa 2: Nosotros no robamos el sombrero a nues­
tros semejantes.
Conclusión: Nosotros somos personas respetables 
R = personas respetables
S = personas que roban el sombrero a sus semejantes.
N = nosotros
N
El diagrama muestra que -mal que nos pese- nuestra respe­
tabilidad no se sigue de las premisas. Felizmente tampoco se si­
gue la presunción contraria; en rigor, el propio diagrama deja ver 
que las premisas no permiten extraer conclusigli alguna.
9. S i n t a x i s y s e m á n t i c a d e l o s l e n g u a j e s f o r m a l e s
En las páginas anteriores hemos visto que los razonamientos se 
construyen apartir de proposiciones: enunciados a los que se puede 
asignar un valor de verdad. Los silogismos consideran únicamente 
“proposiciones categóricas”; sin embargo, la Lógica formal emplea 
un lenguaje que permite operarcon las proposiciones como simples 
letras. Las reglas que nos dicen cómo combinali lidias letras forman 
parte de aquello que se conoce como calculo pmposicional.
N o c IUNH S IiA s K 'A S D ii LÒ G IC A
( onsiilei emos para comenzar ciertas proposiciones denomi- 
n.iil.isíífómj'cas, que se indican por medio de las letrasp, q, r, etc. 
Se definen además diversos operadores, llamados genéricamen­
te l oiicctivas: entre ellos los más comunes son
la negación, denotada por medio del símbolo -, 
la conjunción o et (л) 
la disyunción o ve/ (v) 
la implicación (=>) 
la disyunción exclusiva (у)
la equivalencia lògica, también conocida como si у sólo 
si ( о )
listo permite formar distintos tipos de proposiciones com­
puestas, por ejemplo
p v q
p=> q 
-.p A q 
{p = > q )v ^ r
Como se ve en el último caso, si se pretende combinar me­
diante conectivas más de dos proposiciones, se hace preciso in­
troducir paréntesis, a fines de evitar la ambigüedad en la escri­
tura. El proceso que permite definir las proposiciones es induc­
t ivo; toda proposición compuesta se define a partir de las propo­
siciones atómicas mediante las siguientes reglas:
1) Si p es una proposición, entonces ip es una proposición.
2) Si p y q son proposiciones, entonces
p / \ q p v q p = > q p y q p<=>q 
son proposiciones11.
11. En rigor, las proposiciones definidas por la regla 2 deben escribirse:
(P л 9 ) ( p v q ) ( p = > q ) ( p v q ) (p<=>q)
Sin embargo, existe un sistema (denominado notación polaca) que permite evitar el 
empleo de los paréntesis; de todas formas, se suele preferir la escritura clásica, pues 
resulta más clara. Lacan le da una especial importancia a los paréntesis en el Semi­
nario sobre ‘La carta robada’, en especial en la sección Paréntesis de los paréntesis 
(ver J.Bekerman, P.Amster, 1999).
i o . T a b l a s d e v e r d a d
Una vez dadas las reglas que permiten formar las propo­
siciones, se define el valor de verdad como una función que a 
cada proposición le hace corresponder el valor V (verdadero) o 
F (falso) a partir de los valores de sus átomos. La manera habi­
tual de presentar a tal función es por medio de las tablas de ver­
dad] por ejemplo, el valor de verdad para la negación se estable­
ce de modo tal que si p es verdadera, entonces su negación es 
falsa, y viceversa:
n e g a c i ó n
p " P
V F
F V
De la misma forma, la conjunción de dos proposiciones p y q 
toma el valor V si (y solamente si) el valor de ambas es V, como 
se refleja en la tabla:
CONJUNCIÓN
P Я p/\q
V V V
V F F
F V F
F F F
Para la conectivas restantes tenemos:
DISYUNCIÓN
P Я p v ,?
V V V
V F V
F V V
F F F
IMPLICACIÓN
P ________________ £ ___________________P =><7
V V V
V F F
F V V
F F V
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
p ____ ____ __ я................... ............р у д
V V F
V F V
F V V
F F F
EQUIVALENCIA LÓGICA
p __________________ _____ q ________________________ p < ^ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Otra manera de presentar a esta función de valuación consis­
te en los circuitos lógicos, a los que Lacan se refiere en el Semi­
nario II: por ejemplo, la conjunción y la disyunción se represen­
tan respectivamente por
conjunción
disyu n ció n
Estos circuitos se interpretan en términos de “pasaje de co­
rriente”: ¿bajo qué condiciones pasa la corriente desde el punto 
A hasta el punto B? En el primer caso, resulta claro que ambas 
“puertas”, p y q deben estar cerradas, mientras que en el segundo 
caso basta con que al menos una de ellas lo esté.
Entonces conviene pensara los valores FyV respectivamente 
como “puerta abierta” y “puerta cerrada”. Existe otra forma de 
escribirlos, que nos brindará una nueva perspectiva: se trata 
simplemente de denotar con un o al valor F, y con un i al valor V. 
Observamos entonces por ejemplo que la conjunción p л q toma 
el valor i sólo cuando el valor de cada uno de sus términos es i; 
basta con que alguno de ellos tenga valor o para que el valor de 
p л q también sea o. En otras palabras, el valor de p л q equivale 
al mínimo valor entre los valores de p y q. Esto se puede escribir 
de la siguiente manera:
v{p a ç ) = infiyip), v(q)} 
en donde v denota la función devaluación y la partícula “inf” ex­
presa el ínfimo (el más pequeño) entre los correspondientes va­
lores. Análogamente, el valor de p v q corresponde al mayor de 
dichos valores, que expresamos como un supremo: 
vip vq ) = sup{v(p), v{(¡)}
Esta manera de pensar al conjunto de valores de verdad remite 
al ejemplo más elemental de álgebra de Boole'1] según esta idea, 
los valores o y i se definen como complementarios,
o ’ = i / ’ o
y resulta fácil verificar las siguientes propiedades, еще junto a las 
anteriores pueden tomarse como una definición de la función v, 
alternativa a las tablas de verdad:
v(-,p) = v(i>)' 
v(p=>q) = sup{v(/>)’, v((/)|
La equivalenciay la disyunción exi ■ 111 s i va г< ■< 111 i « ■ re n (orinas algo 
más complicadas, cuya verificación queda c o m o ejercicio:
12. Es decir, el álgebra booleana (o, i}. A pes.u ile mi i i iv i.i lnl.nl, l.i observación deja 
ver la posibilidad de una generalización quei i mi empir I,is ll.iiiucl.is lógicas mul- 
tivalentes, con más de dos valores de veril.id l'.ii.i iin.i ilelmuii'in de "álgebra de 
B oole"verel Diccionario de términos m.ilem.illi un, ile p n k ......publicación.
V (p <?> q) = inf{sup{v{p)’, v(q)}, sup{v{p), víq)]}
V (p Y q) = inf{sup{v{p), v(q)}, sup{v(p)’, v(q}’}11. L e y e s l ó g i c a s
Las anteriores tablas de verdad perm iten dem ostrar las deno­
minadas leyes lógicas o tautologías. M ás allá del uso informal que 
liemos dado a esta palabra al recordar la frase de Russell, una tau- 
I o logia consiste simplemente en una proposición cuyo valor de ver­
dad es i, independientemente del valor de sus com ponentes13. Hay 
cilgunos ejemplos m uy sencillos, com o el principio de identidad:
P ^ P
que se dem uestra por la tabla
p p p=>p
V V V
F F V
Del m ism o m odo se prueban otras leyes tales com o
Principio de no contradicción: -'(P a -, p)
P -•p p A -"p -'(рл-'р)
V F F V
F V F V
Principio de tercero excluido: p v -n p
P -P p v ^ p
V F V
F V V
13. Análogamente se define a la falsedad lógica o “contradicción” como una propo­
sición compuesta cuyo valor de verdad es o. A las proposiciones que no son tau­
tologías ni contradicciones se las denomina contingencias, vale decir, proposi­
ciones cuyo valor de verdad depende de los valores de verdad de sus Atomos.
Algunas de estas tautologías expresan la equivalencia de dos 
fórmulas, lo que permite aplicar el importante principio de sus- 
tituibilidad4, y se demuestra por la igualdad de las respectivas ta­
blas de verdad. Una de las más evidentes es la doble negación
P = -v-P
cuya verificación es inmediata15:
__________ P _______ ~~P_________________ _________ ^ - P _________
V F V
F V F
A modo de ejemplo algo menos trivial podemos comprobar la 
validez de la primera de las leyes de De Morgan comentadas por 
Lacan en diversos seminarios:
-,(p л q) = (~,p V -.q)
Para el primer término de la igualdad se obtiene:
p Я p / \ q
/-“S<
S
:r
V V V F
V F F V
F V F V
F F F V
mientras que para el segundo vale
14. A grandes rasgos.dicho principio establece que en cualquier fórmula, una expre­
sión puede reemplazarse por otra equivalente. Por ejemplo, a partir de la igual­
dad 4 = 2 + 2, podemos reemplazar al valor 4 en la fórmula
4 < 2 5
para obtener:
2 + 2 < 25
15. Para demostrar la equivalencia entre dos proposiciones, basta con verificar en 
la tabla que las respectivas columnas son idénticas. En muchos textos la equi­
valencia se denota mediante el símbolo para distinguirla de la igualdad entre 
proposiciones: por ejemplo, las fórmulas equivalentes (p л q) y (q л p) no son 
sin embargo iguales. Es fácil demostrar que dos proposiciones p y q son equiva­
lentes si y sólo si la fórmula (p » q) es una tautología.
p .........q........... ..........;-p............. ...... я ....... ..~'P v ^q
V V F F F
V F F V V
F V V F V
F F V V V
y Ki equivalencia queda demostrada. La otra ley,
А р V q) = (->p л -,<7) 
se demuestra en forma análoga.
El último ejemplo establece una propiedad importante, pues 
blinda una forma de negar una conjunción о una disyunción. 
¿I omo negar las otras conectivas? Es fácil verificar a partir de 
Lis tablas que
-,(p O q ) =p y q
y obviamente entonces
-■ (p У q) = p o q 
Por otro lado, tenemos:
p q p = > q ^ ( p = > q )
V V V F
V F F V
F V V F
F F V F
y entonces es inmediato verificar que
(p => Я) = P л —,<7 
Esto hace pensar en la siguiente definición alternativa para la 
implicación:
p = > q = - , p v q
El resultado es bastante intuitivo: o bien no se cumple p, o se 
cumple q. Cabe decir que esta última igualdad se verifica sin ne­
cesidad de recurrir ya a las tablas: en efecto, por la ley de doblo 
negación sabemos que
p= > q = ->-«(P => q)
T >
De este modo, la propiedad anterior nos permite deducir lo 
siguiente:
P => 4 = -1 (p a ->q)
Aplicando ahora una de las leyes de De Morgan y nuevamen­
te la ley de doble negación obtenemos:
p => q = -i p V -i-,q = -, p v q 
como queríamos demostrar.
El último desarrollo trae aparejada una nueva cuestión: si he­
mos podido deducir a la implicación a partir de la negación y la 
disyunción, entonces no era necesario definirla desde el comien­
zo. En rigor, podemos observar que todas las conectivas se dedu­
cen de esas dos:
p л q = -, {-.p V -,q)
p => q = -P V q
Otro tanto ocurre con la equivalencia lógica, que no es otra 
cosa que la conjunción de dos implicaciones,
p O q = (p => q) л (q => p) = (-.p v q) л (-,<:/ v p)=
.p V q) V q v p)\
y también con la disyunción exclusiva, que se puede pensar en 
base a las anteriores de distintas maneras:
P У q = -, (p q) = (p v q) л -, (p л q)= -,( ,/> v (¡) v , (-, p v q) 
Tal propiedad se resume diciendo que {-,, v | es im conjunto 
adecuado de conectivas. El lector puede veri(ic.ir que el conjun­
to (-,, л } también lo es. En realidad, autores como Russell mos­
traron que todas las conectivas pueden deducirse de una sola, de­
nominada incompatibilidad:
p Ч P 1 ч
V V F
V [•' V
F V V
F [•' V
En otras palabras, la incompatibilicl.nl ile /> y </ es verdade­
ra, a m enos que p y q sean am bas veril.uler.is .11 m ism o Liempo.
I л negación de p se define como la incompatibilidad de p con­
sigo misma, es decir:
-P = P Ip
Una simple inspección a la tabla de verdad basta para reco­
nocer a la incompatibilidad en su carácter de negación de la con­
junción; luego es claro que conviene “definir” a la conjunción de 
la siguiente manera:
р л д = -,(р \q) = (p\q) | (p\q)
p q p 1 q ip\q) 1 (p\q)
V V F V
V F V F
F V V F
F F V F
A partir de aquí, el resto de las conectivas se obtiene de un 
modo similar al desarrollado unos párrafos atrás. A modo de 
ejercicio, se puede comprobar que todas las conectivas se defi­
nen también a partir de otra conectiva, que intuitivamente ex­
presa la fórmula “ni p ni q”, vale decir:
¿ _____________________ 4___________________ ni (p,q)
V V F
V F F
F V F
F F V
De este modo observamos un hecho que puede parecer cu­
rioso: todo el sistema se sostiene sobre una versión más o menos 
formal de una expresión un tanto insulsa:
Ni fu, ni fa.
El lector interesado en ejercitar un poco puede entretenerse 
demostrando algunas de las siguientes leyes lógicas: 
Idempotencia del et p л p = p
Idempotencia del vel p v p = p
Simplificación (p л q) => p
Adición p=> (p v g)
Enunciado contrarrecíproco (p => g) = (-.g => -.p)
Transitividad de la implicación
(p => q) л (g => r) => (p => r)
Ley asociativa para el et [(p л q) л r] = [p л (g л r)i
Ley asociativa para el ve/ [(p v q) v r] = [p v (g v r)]
Ley asociativa para la equivalencia
[(p o ? ) o r ] = [ p o ( ç o г)]
Leyes conmutativas para et, vel y equivalencia'. 
p л g = g лр 
p v q = q v p
p o q = q<^p
Leyes distributivas, del et respecto del vel, y viceversa:
(p л q) v r = (p v г) л (g v r)
(p v g) л г = (p л r) v (g л r)
Una regla de especial importancia es la reducción al absurdo, 
dada por la absurda tautología
(-,p => p) => p,
cuya aplicación práctica se resume en la siguiente “receta” para 
demostrar un enunciado p:
Suponemos que p es falsa; si de allí obtenemos una contra­
dicción, esto quiere decir que -p es falsa, y en consecuencia p es 
verdadera16.
Mencionemos finalmente aquellas conocidas reglas que con­
forman la base de todo cálculo:
Modus ponendo ponens [(p -> q) л p] => q
Modus tollendo tollens [(p => g) л -ig] => -.p
Modus ponendo tollens [(p v g) л p] => ->g
Modus tollendo ponens [(p v g) A-.p] => g
Cabe advertir que ante tal profusión de leyes lógicas es fácil 
cometer algún descuido y tomar por verdadero lo que es falso y 
por falso lo que es verdadero... Quién sabe, acaso porque un es­
píritu, no menos astuto y burlador que poderoso, ha puesto su 
industria toda en engañarme'7.
16. A modo de ejemplo, veremos una aplicación de este método en el capítulo 4.
17. Las citas pertenecen a Descartes, Meditaciones. En realidad, no se requiere un
1 2 . V a r i a b l e s l i b r e s y c u a n t i f i c a c ió n
Hasta el momento hemos descripto los fundamentos de un 
cálculo basado únicamente en proposiciones, en las que aún no 
.1 parece la idea de “variable”.
Pero en los desarrollos del siglo XIX aparecería aquella no­
ción queen ese entonces se denominó función proposicional, de­
finida por B. Russell de la siguiente manera:
Una función p rop osicional es una expresión que contiene uno o m ás 
constituyentes indeterm inados, tales que, cu and o asignam os valores 
a estos constituyen tes, la expresión resulta una proposición.
Por ejemplo, si consideramos la frase
ф(х): X es mayor de 25 años,
no podemos decir que ф sea verdadera o falsa a menos que asig­
nemos un valora la variable:
ф (mi tío Carlos): mi tío Carlos es mayor de 2 5 años.
I ,a definición russelliana, más bien intuitiva, lleva a pensar a
l.i f unción proposicional según anticipamos, como un “predica­
do sin sujeto”; el sujeto faltante es una suerte de agujero, que pue­
de resumirse en esa sensación de suspenso dejada por los pun­
ios suspensivos:
......... es un hombre.
l’or otro lado, introduce el concepto de variable, que Lacan 
describe siguiendo a Frege como un “agujero” en el que se puede 
ubicar cualquier valor del universo:
i;i‘nio tan poderoso para hacer errar a cualquiera, se trate o no -al decir de La- 
c.m - de un no-incauto. Por ejemplo, bien podría uno creer que la siguiente re- 
i;l.i es verdadera,
(p => q) => r = p => (q -> r),
!■ incluso reforzar tal creencia asignándole un nombre pomposo:
asociatividad de la implicación.
Sin embargo, es fácil probar que la presunta “ley” es falsa. El error en asunto de le­
yes, que en Gargantua y Pantagruel se compara con la confusión de Isaac (a la que 
colaboró su esposa Rivka) de tomar a Jacob por Esaú, en determinados casos toma 
1111 cariz más trágico: por ejemplo, el lamentable error judicial que llevó al presidio 
.1 Mitia Karamazov (ver F.Dostoyevski, Los Hermanos Karamazov).
VX,------ --------
Se dice también que es una fórmula abierta, que se cierra al po - 
ner un sujeto -o, si se quiere, “sujetar”-a la variable libre. En rea­
lidad existe otra manera de cerrarla, dada por la cuantificaciórt.
La Lógica Matemática introduce a las variables como términos 
del lenguaje formal, que a su vez pueden combinarse para formar 
nuevos términos; luego, se definen las fórmulas de un modo in­
ductivo similar al mencionado en la sección 9'8.
Se hace necesaria, sin embargo, una nueva y misteriosa regla 
denominada de cuantificación:
Si ф es una fórmula, entonces Vx: ф у Эх/ф son fórmulas.
Es decir, las fórmulas se pueden cuantificar: por ejemplo la 
fórmula “abierta”
ф(х) = x colecciona mariposas 
da lugar a las fórmulas
Vx: ф(х) у Зх / ф(х)
que se leen respectivamente como 
para todo x se cumple ф(х)
У
existe x tal que se cumple ф(х),
es decir:
Todo x colecciona mariposas
У
Existe x tal que x colecciona mariposas.
De esta forma, hemos vuelto a las antiguas proposiciones aris­
totélicas, aunque escritas de un modo más formal. Para que las 
cosas funcionen, la “clase” que habíamos denominado S debe ser 
establecida de antemano como el conjunto de valores que puede 
tomar la variable x; en suma, el universo de discurso. A grandes 
rasgos, en eso consiste la operación semántica de interpretación;
18. Para ser más precisos, diremos que el lenguaje formal considera también cier­
tos símbolos denominados de relación y defunción, así como las constantes. Por 
ejemplo, si x e y son términos y R es una relación binaria, entonces xRy es un 
término.
N o i 'IO N K S DANICAS Dii LÒ G ICA
dependiendo del universo en que sean interpretadas, las frases 
.interiores resultarán verdaderas o falsas. Por ejemplo, en el con­
junto de seres humanos la primera de ellas es falsa y la segunda 
es verdadera, pues existe al menos un ser humano que coleccio­
na mariposas19. Si consideramos como universo, en cambio, al
i onjunto de coleccionistas de mariposas, se ve que ambas frases 
son allí verdaderas. La cuestión que podemos plantear ahora es: 
¿existe alguna interpretación según la cual la primera frase sea 
verdadera y la segunda falsa? Se trata de un asunto clave: se suele 
decir que la universal afirmativa expresa la esencia, mientras que
l.i particular expresa la existencia; nuestra pregunta nos ubica en- 
tnnces en torno a la cuestión comentada en la primera sección: 
¿es lícito afirmar que la esencia implica la existencia?
! ,a respuesta es sencilla, aunque de ningún modo trivial. La­
rari recurre al cuadrante de Peirce antes mencionado, en donde 
se ve perfectamente que las proposiciones
Todo trazo es vertical
У
Ningún trazo es vertical 
son simultáneamente verdaderas allí donde no hay trazos.
O
En efecto, vemos que A es verdadera en el cuadrante superior 
izquierdo pero también en el derecho, y algo similar ocurre con las
i ) l ras proposiciones: cada una de ellas domina exactamente dos cua-
i<). En el “al menos uno” se basa Lacan para hablar del homoinzune, homofonía de 
au moins une.
drantes. Eso determina una inevitable superposición; en particular, 
en el cuadrante superior derecho las dos proposiciones universales 
son simultáneamente verdaderas. Esto muestra que la contrariedad 
no implica contradicción, como pensaba Aristóteles. Como dijimos, 
el filósofo no tuvo en cuenta a las clases vacías; por eso en su lógica 
“todos” implica “algunos”. Sin embargo, si el universo fuera vacío 
el hecho de que todos coleccionasen mariposas no garantizaría la 
existencia de al menos un coleccionista, justamente porque el va­
cío anula toda existencia. La definición lógica de la interpretación 
como semántica de los lenguajes formales pone precisamente como 
condición que el “universo de discurso” sea no vacío.
De las observaciones anteriores se desprende una forma inme­
diata de reescribir las cuatro proposiciones categóricas:
A Vx: ф(х) Vx: -.ф(х) E
1 Зх/ф(х) 3x/-^ (x) О
en donde las contradicciones antes señaladas reflejan el “eviden­
te” hecho de que A es la negación de O, y E es la negación de I, 
es decir:
A = -> O 
E = -, I
Tales identidades determinan dos equivalencias que bien pue­
den considerarse una generalización de las leyes de De Morgan: 
Зх/ -.ф(х) = -, (Vx : ф(х))
Vx: -.ф(х) = (Зх / ф(х))
En efecto, el “paratodo”yel “existe” pueden pensarse como un 
gran et y un gran ve/ respectivamente, lo que llevó a ciertos auto­
res a emplear los símbolos Л у V . Esto refleja la idea intuitiva de 
conjunción y disyunción “universales”: por ejemplo, si el universo 
está constituido por finitos elementos x„ ... x,„ es claro que
Vx: ф(х) = А х: ф(х) = ф(х,) л ... л ф(хм)
Зх /ф(х) = Vх/ф(х) = ф(х,) V ... V ф(х„)
lo que termina de explicar la relación con las leyes de De Morgan. 
Un definitiva, la universal afirmativa puede construirse como se­
llala Lacan a partir de la excepción; más precisamente, negan­
do que la haya:
Vx: ф(х) = -л(3х / -.ф(х))
es decir,
А = -.О
Conviene mencionar que todos estos argumentos admiten 
una formulación rigurosa dentro de los lenguajes formales: bas­
ta con definir apropiadamente el valor de verdad para las propo­
siciones cuantificadas. Según hemos observado, para que la uni­
versal Vx: ф(х) sea verdadera, la propiedad ф debe valer para to­
dos los elementos del universo; alcanza con una excepción (es 
decir, que ф sea falsa para al menos un valor de x) para que su va­
lor de verdad sea o. Esto justifica que intuitivamente el valor de 
verdad de Vx: ф(х) pueda pensarse como el ínfimo de los valo­
res de ф(а) en donde a recorre todos los elementos del univer­
so. Del mismo modo, el homoinzune lacaniano estaría indican­
do que el valor de verdad de Зх /ф(х) se define como el supremo 
de dichos valores20:
v(Vx: ф(х)) = inf{ у(ф(а)) }
v(3x /ф(x)) = sup { у(ф(а))}
A partir de lo visto, podemos observar