[D. Kletenik] Problemas de Geometria Analitica

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D. KLETENIK
PROBLEMAS
DE GEOMETRIA ANALITICA
1"e1JisacloR ¡JO" et. I"1'ofeso1"
N. I~~'IMOV
Tradrwtdo de~ 'ruso
por
I!:MILlANO APARICIO DEnN'ARDO.
(Jnn1litlat() a Dootor Ct't Cfe-Jh"(."# }:4slr.o-.3ra.f,!,m(d'k(M,
(;rrletll'ót<lt:--O rlr. lfFa.tr:1tlttiHcff8 .""'''pl;,,,U,'t'~11 r7f:t ./)IHti-h't"
E.,UtJ"OI:UC.d (Te .íYtMeÚ
{tncC1·a. (HHci6n)
EDITORIAL MIR
MOSCU
Primera Parte
GEOMETRIA
ANALITICA
PLANA
1
Capítulo
PROBLEI\{AS ELEMENTALES DE LA GEOltfETRTA
ANALITICA PLANA
§ 1. El eje y segmentos del eje. Las coordenadas
. en la recta
So llama eje a Iu recta en la <¡UO so ha elegido unu diruccién posí-
tl vn. el segmento, limitado por los puntos A y D, 8() Huma dirigido,
si 80 ha convenido cuál do MtOS puntos es el origen y cuál ()I extremo
del segmento, El segmento dirigido, con el origen A y con el extremo
JJ: se designa con el aímbolo AIJ, So llama magnitud el01 segmento
dirigido del ojo Il su longitud, tomada con signo más, si la direccién
de] segmento (es decir, la dtroccién del origen al extremo) coincido
con la direccíón positiva del cje, y con signo menos, si cstn díreccíén
es contraria a la dirección positiva del cje. La magnitud del segmento
Al) se designa con 01 símbolo A./J y su longitud con el símholo IAB l.
Si los puntos Ji y JJ coíucidcn, se dice que el segmento que determinan
('8 nulo; es ovídento qua en este caso AI1 = DA = O (la dirección
del segmento nulo os 'indefini(1u).
Supongamos duda una recta arbitraria e, Tornemos un segmento
1)('1'unidad do medida do longitudes, elijamos en la recta la dirocc¡ón
posttiva (dMPUé.5 do lo cual la recta se convierto en ojo) *) y designe-
mos con la Ietru O algún !HmLO do ella. Con esto, 011 la recta a queda
establecido un sistem a de coordenadas. •
So llama coordenada de un punto cualqulera M de la recta a.
(en el sistema do ooonlcnudas establecido) al número z , iguul a la
magnitud del segmento 0111:
x=OM,
El punto O se llama origen de coordenadas y su coordenada C8 i~\lul
a COto. A continuación, 01 símbolo M (x) indica quo el punto M Llene
la coordonadu x.
Si Mj (XI) Y M2 (X2) son dos puntos arbitrarios do la recta a,
la fórmula
M1M2=X2-XI
expresa la magnitud dol segmento M,1l12 y la Iórmula
1.1tIjMzl=1 :Z;2-Xj
expresa su longitud.
") Por lo general, en los diugrnmus Se señala do izquierda a dere-
cha la dirección positiva en los ojos horizontales.
7
f. Trazar los pun Los:
A(3). B(5~. C(-i.), D(4), E(-f),
F (V'2) y H ( - V5).
2. Trazar los puntos, cuyas coordenadas satisfacen a las
ecuaciones
1) J.,t[=2¡ 2) IX-'1I=3¡ 3) 1-1-:cl=2; 4) 12+;:¡;1=2.
3. Caractenizar geométricamen te la posición do los
puntos, cuyas coordenadas satisfacen a las desigualdades:
1) x>2; 2) x-3<0; 3) 12-,7;<0;
4) 2.:1:-3.,.;:0; 5) 3.1'-5>0; G)1<:1:<3;
7) -2<x<3;
8) 2-x O' C) 2z-1 . 10 2-z O' 11) 23:-1. ..x-t> , U x-2 >1., ) .:-1< " x-2 <1,
12) x2-8x+15<0; 13) x2-8x+15>O;
14) :r.2+x-12>0; 15) x2+.:¡;-12<0.
4. Determinar la magnitud AB y la longitud 1AH
JeI segmento definido por los puntos:
1) A (3) y B (11); 2) A (5) y B (2);
3) A (-1) y B (3); 4) A (- 5) "Y B (- B);
5) A(-l) y B(-3); G) A(-7) Y B(-5).
5, Calcular la coordenada del punto A, si se conocen:
1) B(3) y AB=5; 2) B(2) y AB= -3;
3) B(-1) y BA=2; 4) B(-5) y BA= -3;
5) B(O) y IABI=2; 6) B{2) y IABI=3;
7) B(-1) y IABI=5; 8) B(-5) y IABI=2.
6. Caractcrtznr geométrtcamonte la posición de los
puntos, cuyas coordenadas satisfacen a las siguíentes des-
igualdades:
1) Ixl<1¡ 2) Ixl>2; 3) Ixl<2;
4) jxl>3; 5) Ix-21<3; 6) Ix-51<1;
7) Ix-11>2; 8) Ix-31>1; 9) 1$+11<3;
10) Ix+21>1; 11) Ix+51<1; 12) Ix+11>2.
8
7. Determinar la r.allón }..= ~; , en la que 01 punto C
divide al segmento AB en los siguientes casos;
1) A (2), B (6) y C (4); 2) A (2), B (4) y C (7);
3) A (-1), B (5) y C (a); 4) A (1), B (13) Y e (5);
5) A(5), B(-2) y C(-5).
8. Se dan tres puntos A (-7), B (-1) y e (1). Deter-
minar la raz6n A., en la que cada uno de ellos divide al
segmento Iimitado por los otros dos.
9. Determinar la razón }..= :~ , en la que un punto
dado 111(x) divide al segmento MtM2 limitado por los
puntos Mt(Xt) y M2 (x2).
10. Determinar la coordenada x del punto M, que divido
al segmento M1M2 limitado por los puntos dados MI (XI)
Y M2(x",) en una razón dada A.(A.= ~:~~).
11. Determinar la coordenada x del punto medio del
segmento limitado por los dos puntos dadosMI (XI) YM2 (X2)'
12. Determinar la coordenada x del punto medio del
segmento limitado por los dos puntos dados en cada uno
de los casos siguientes:
1) A (a) y B (5); 2) e (-1) y D (5);
3) lvJt(-1) y Mz(-3); 4) Pt(-5) y P2(1);
5) o, (3) y Q2 ( - 4).
13. Doterrninar la coordenada del punto M couocicndo»
1) 1'\.11(3), M2 (7) y A.= ::~~= 2;
2) A (2), B ( - 5) y '" = ~ = 3;
CM 1
3) C(-1), D(S) y A.= MD ='2;
AM
4) A(-1), B(3) y J..= MB =-2;
BM5) A(1), B(-3) Y A.= MA = -3;
o) A(-2), B(-1) y A.= !~= -f.
9
14. Dados dos puntos A (5) y B (-3). detcrruiuar:
1) la coordenada del punto 1111 simétrico al punto A con
respecto al punto B;
2) la coordenada del punto N simétríco al punto B con
respecto al punto A.
15. m segmento limitado por los puntos A (-2) y B (19)
se ha dividido en tres partes iguales, Determinar las (.001'-
donadas de los puntos de división.
16. Determinar Ias coordenadas de los extremos A y 8
del segmento dividido en tres partes iguales por los puntos
P (-25) y Q (-9).
§ 2. Coordenadas cartesianas rectangulares en el plano
81 sistema (lo coordunadas cnrtosian o roctungular 50 detcnnln a
por IIIlU unidad Iíneal para )0 mcrltcíén do Ionglmdcs y por dos ojoa,
perpendiculares entro sí, numerados 011 un orden determinado.
!I
11v1------oH
to
Pig. 1.
[~I punto do Intorauccién do los cíos 50 Ilauiu origen do coordenu-
dll~, y los mismos (IJCS. ojos do ooordcnudna. El primero de Los ejes
coordenados se Il ama ojc .1(, nbscisas y o! segundo, ejo do ordenadas.
El or-igen do coordeuadus so indica con la letra O, 01eje do absci-
sas con 111notaclén Ox , y 01 de ordenadas con In notación Oy.
So llaman coordenadas do \ID punto arbitrario M, en el sístema
dado, u los números
z=OMx• 1/=011-11/
(fig. 1), donde ~1:e y Mil son Ias proyecciones tlol punto ./Id sobro los
ejes O" yOy; 0_""",08 la waguitu,l dcl aogmento OMr dol oje de abscísns.
y OMv indico la magnitud ele) segmento OMII dol l'je do ordonndas.El número % se Ilama abscisa del punto M; el número y ordenada do
esto mismo punto. La notación M (%; y) indica que la abscisa del punto
/01 os (JI número 3), In ordonadn, 01número y.
El tljo Off divido tUllo 01 plano en (los sumíplanos: el que cstlÍ
aituadc en la llil'oceibn positiva del cío Ox se Llamo. derecho y, al
otro, izquierdo. An álognnionte, 01 eje 0% divido el plano en dos semi-
10
planos; 1)1que está situadu en La diroociún positiva tllll lljÓ Oy so lla-
ma superior y, el otro, in(crior.
Los cíes coordenados dividon conjuntamente el plano en cuatro
cuadrantes que estiín numerados segun la slgulentc regla: el primer
cuadrante coordenado es el quo está situado a la vez en los semtplanca
derecho y superior; 01 segundo. en los somlnlnnos izquierdo y superior:
el tercero, en los semtpíencs izquierdo o inferior y, el cuarto, on los
sumiplunos derecho o inforiur.
f 7. Trazar los puntos
A (2; 3). B (-5; 1), e (-2; -3), D (O;3),
( 1 2 )E (-5; O).F - 3' ; '3 .
18. Hallar las coordenad as de las proyecciones elo los
puntos
A (2; -3), B (3; -1), e (-5; 1), D (-3; -2),
E (-5; -1)
'I;O})J'Ü 01 ejo do abscisas.
19. Hallar las coordenadas al) las proyecoioncs de los
puntos
.ti (-3; 2), B (-5; 1), e (3; -2), D (-1; 1),
E (-U; -2)
sobro el oje de ordenadas.
20. Hallar las coordenadas do los puntos simétricos
a los puntos
1) A (2; 3); 2) B (-3; 2); 3) e (-1; -1);
4) D (-3; -5); 5) E (-4; 6); 6) F (a; IJ)
con respecto al eje O«.
21. Hallar las coordenadas de los puntos simétricos
n los puntos
1) A (-1; 2); 2) B (3; -1); 3) e (-2; -2);
4) D (-2; 5); 5) E (3; -5); 6) F (e: b)
con respecto al eje Oy.
22. Hallar Ias coordenadas de los puntos simétricos
a los puntos
1) A (3; 3); 2) B (2; -4); 3) e (-2; 1);
4) D (5; -3); 5) E (-5; -4); 6) F (a; h)
con respecto al origen de coordenadas. '
1t
23. Hallar las coordenadas de los puntos simétricos
a los puntos
1) A (2; 3); 2) B (5; -2); 3) e (-3; 4)
con respecto a la bisectriz del primer ángulo coordenado.
24. Hallar las coordenadas de los puntos simétricos
ti los puntos
1) A (3; 5); 2) B (-4; 3); 3) e (7; -2)
con respecto a la bisectr-iz del segundo ángulo conrdauado ,
25. Determinar en qué cuadrantes puede estar situado
el punto M (x; y), si;
1) xy >O; 2) xy < O; 3) x - y = O;
4:) x + y = O; 5) x + y >Q; 6) (C + y < O;
7) z - y >O; 8) x - y < O.
§ 3. Coordenados polares
El sistoma de coordenadas polares se determina por un punto O
llamado polo, por un ravc OA que parto de este punto y que so dono-
mina oje polar, y por una unidad Iíneal para la medición de Iongí-
tudes. Además, cuando so consídora un sistema polar hay que con-
venir en qué rotaciones alrededor del punto O se toman como posit.ivas
(en las figüras, por lo general, se toman como positivas las rutacíones
en dirección contraria a la de las agujas do un reloj).
Se Ilaman coordenadas polares de un punto arhrtraio M (con
respecto al sistema dado) a los números p = OM r e=~ AOM (fig. 2).
El ángulo O ticllo el significado que se da a los ángulos en trigonome-
tría. El numero p es la primera coordenada v se llama radío poial';
01 número e es la segunda coordenada y se llama ángulo POIIlI' del
punto /11*).
I~I símholo M (p; O) indica que el punto M tiene las coordenadas
polares p y O.
El ángulo polar e tiene infinidad de valores posibles (quo se
diferencian unos de otros en \IDa magnitud de la forma ±2nn, donde
n es un número entero positivo). El valor del ángulo polar que satis-
face a las desigualdades -n < e -< + n so llU1I1R valor fundamental.
Convengamos en que. cuando se consideren a la vez un sistema
carteaiano de coordenadas y un sistema polar de coordenadas: t) uti-
l izaromos una misma unidad de medida, 2) en la definición do los
*) Aquí, OM indica la Ion g i tu d del segmento y tiene el
significado que so da a las longitudes en geometría (es decir, ae toma
su valor absoluto sin tener en cuenta el signo). En este caso no es
necesarto emplear el símbnlo 10111 " tan complicado, puesto que los
puntos O y M 89 consideran como puntos arbitrarios del plano y no
como puntos de un eje. En adelante, a menudo so empleará, un casos
antílogos, uno simplificación semejante de 108 aímholos.
ángulos polares tomaremos como posltívaa las rotaciones en la dlrcc-
ción en que debo girar el semício positivo de abscisas para que del
modo más corto coincida con 01 sonuoje positivo do ordonadas (de
esto manero, si los cies do coortlcnadns están situados en su forma
hahitu~l. es. decir, si el ojo Of ostá dirigido hacia la derecha y el eje
Oy hacía arriba, entonces, los nngulos polares se toman como do costum-
bre, o son, son positivos los ángulos quo 80 toman en díreccién con-
traria 11 In do las agujos eJo un reloj).
LN
O A
Fig. 2.
Con ostu condíclón, si ol polo del sistema do coordonndas polnros
coincide con el origen (lo coordenndaa cartesianas rectangulares. y el
ojo polar con el semiojo positivo do abscisas, el paso do las coordc-
nndas polares do un pun to arbitrario u las coordenadas cortcsíanas
del mismo pun to se ef(\Ctúa medíantn las fórmulas
z=pcos9,
I/=P son e.
En este mismo caso, las fórmulas
son Las fórmulas de p8S0 do las coordenadas cartesianos a Las polares.
Convengamosen quo, on lo sucesivo, al considerar conjuntamente
dos sistemas de coordenadas polares, la direcctén positiva do las rota-
ciones y la unidad do medida do los dos sistemas serlÍn iguales.
26. Trazar los puntos, dadas sus coordenadas poiMes:
A (3; ~), B (2; n), e (3; - ~ ), D (4; 3 ~ ) ,
E(5¡ 2) y F(1; -1)
(ofectuar, aproximadamente, el~trazado de los puntos D, E
y F, empleando el transportador).
'2:1. Determinar las coordenadas polares de los puntos
simétricos a los puntos
Mt(3; ~), M2(2; -~), Ms(3; -~),
J'III,(1; 2} y M~(5; -1)
con respecto al eje polar, si estos están dados en un sis-
tema de coordenadas polares.
28, Determinar las coordenadas polares de los puntos
simétricos a los puntos
Mi{l¡ ~) 1 M2(S; ~) 1 M3(2¡ - ~),
ll:f,. ('i; f n) y M5 (3; - 2)
con respecto al ])010, sí éstos están dados en un sistema
de coordenadas polares.
29. En un sistema de coordenadas polares so han dado
dos vértices
A (3; - ~ 1C) Y B (5; 1: 10)
do un paralelogramo ABCD 1 cuyo punto de intersección
do las diagonales coincide con el polo. Determinar los otros
dos vórtices de este paralelogramo,
30. En un sistema do coordenadas polares se han dado
Jos puntos A (8; - f n) y B (6; ~). Calen lar las coor-
denadas polares del punto medía del segmento que une los
puntos A y B.
31. En un sistema de coordenadas polares se han dado
los puntos
A(3; ~), n(2; -~), C(1;n), D(5; -fn).
E(3; 2) y F(2; -1).
La dirección positiva del eje polar se ha cambiado por la
contrarta. Determinar las coordenadas polares do estos
puntos en el nuevo sistema.
32. En un ststeme de coordenadas polares se han dado
los puntos
MI (3; ~). Mz(1¡ in), M3(2¡ O),
M~(5i :). Ms(3; -in) y Mo(1; gn).
El cíe polar ha girado do manera que en la llueva posi-
ción pasa por el punto M l. Determina!' las coordenadas
do Jos puntos dados en 01 lluevo sistema (polar).
33. En un sistema do coordenadas polares se han dado
los puntos MI (12; in) y Mz(12; -fn). Calcular las
14
coordenadas polares del punto medio del segmento que une
los puntos JY! I Y 11<[!l'
3,1. En un sistema de coordenadas polares se han dado
lo~ puntos M t(PI; 01) y Mz (pz, O2), Calcular la distancia d
entre ellos.
:35. En un sistema de coordenadas polares se han dado
los puntos MI (5; :) y M2 (8; - ~). Calcula l' la
dístancia d entre «llos.
3(t I~n un sistema de coordenadas polares se han dado
dos vértices adyacentes de un cuadrado MI (12; - ~ )
y Mz (:~; .~) . Determínar su área.
37. En un sistema de coordenadas polares so han dado
dos vért.ices opuestos de un cuadrado P (6; - 172 :n)
y. Q (4; f n) . Determinar Sil área.
38. En un sistema de coordenadas polares se han dado
dos vértices do un tl'iiÍJlgulo equilátero A (4; - 112 1t)
Y B (8; 17'}"n) . Determinar su área.
39. Uno de los vértices de) triúngulo OAB está en el
polo; los otros dos son los puntos A (PI; 01) y B (P2; O2),
Calcular el área de este trhingulo.
/jO. Uno de los vértices del triángulo OAB estó. en el
polo O; los otros dos son los puntos A (5; ~) y B (4; ~).
Calcular el úrea de este triángulo.
41. Calcular el área del triángulo, si sus vértices
11 (3; i:n), B (8; ~ 1t) Y e (6; ~ 11) están dados en
coordenadas polares.
42. El polo de un sistema de coordenadas polares coin-
cide con 01 origen de coordenadas cartesianas rectangula-
res; el eje polar coincide con el semieje positivo de abscisas.
En 01 sistema de coordenadas polares se han dado los puntos
¡'!tri (6; ~), M2 (5; O), IV!l (2; ~), M~(10; - ; ) •
M6 (8; i1t), MG (12; - ~ ) . Detormínar las coordenadas
cartesianas de ellos.
15
43. El polo de un sistema de coordenadas polares coin-
cide con el origen do coordenadas cartesianas rectangulares:
01 eje polar coincido con el scmro]o positivo de abscisas.
En el sistema cartesiano de coordonadas rectangulares se
han dado
los puntos Mi (O; 5); j'¡l[2 (-3¡ O); M 3 (Va; 1);
M4 (- V2; - Vi); M6 (1; - V3). Determinar las coor-
denadas polares de ostos puntos.
§ 4. Segmento dirigido. Proyección de un segmento sobre
un eje arbitrario. Proyecciones de un segmento sobre los
ejes coordenados. Longitud y ángulo polar de un
segmento. Distancia entre dos puntos
Un segmento rccliHnoo so [lama dirj~jdo. si so ha indicado cuál
do los pun tos que lo limitan es el origen yeual os el extremo. El segmento
dirigillo con ol origun (\1\ 1.'1punto A y con 01 oxtromo en el plinto B
B
A
Fig.3.
(Ug. 3) so indica con 01 símbolo AB (os decir ,lo mismo quo 01 segmentol
del ojo; véase § i). La longitud del segmento dirigido AB (respecto
a la unidad de medida considerada) so indica con el símbolo IABI
(o Allí véase la observación de la pág. 12).
Se llama proyección de) segmento A/J sobre un eje u, al nümoro
igual a la magnitud del segmento AtllJ del ejo u: se supone que 01
punto Al os la proyección dol punto A sobre el ojo Il y que el punto
/JI es la proyección del punto 1) sobro el mismo eje.
Ln proyección dol segmento ifjj' sobre el cíe " se indica con o)
símbolo PTuAB. Si en 01 plano se ha dado un sistema de coordenadas
cartesian« rectangular, la proyección del segmento sobre el eje 0%
so Indica con el sÚDbolo X y la proyección sobre el ejo Oy, con el
símbolo Y.
Si se conocen las coordenadas do los puntos MI (;1;1: YI) y M2(xz: Y2),
las proyeccionos X o y del segmento dirigido ~ sobro los ojos
caoordcrinüos pueden calcularse mediante Iás rórmullls
X=X2-"'I'
Y=YZ-YI'
16
I~s uoctr, p:lra hallar JIIS proyecciones del segmento dirigido sobre
los ejes coordenados es necesarlo restar lae coordenadus de su nrígen
do las coordenadas do su extremo.
Se llama ángulo polar del segmento M 1M2 al ángulo e en 01 que
hoy que hacer girar el semle]o positivo O» pnru que su direcclón
coincida con la dirección del segmento M 1M",.
El ángulo fl tíono el signíficudo que so (11, a Jos ángulos en la
trtgonomutrta. Oc acuerdo con esto O tiene 1I11a infinidad do valores
posibles, que se difercncran entro sí on ·UlIB mugnitud de la Iorma
±2mt (donde n os un número entero y positivo). Se llama valor (1111-
damenral del ángulo polar a uno do sus valores que satisface a las
desigualdades -1\ < e -< + n ,
Las fórmulas
X=d.cos6. Y=d·scnEl
expresan las proyecclones do U1I segmento arbitrarto sobre los ejes
coordenados medrante su longitud y 511 ángulo polar, D() aquí se dodu-
cen los fórmulas
y.
cos Il xVxz+ylí •
d= -VX~+ y2
~en6
y
-VX2+ )'2 •
que expresan la longitud y 01 ángulo polar d()l segmento mediante
sus proyecciones sobre los <:jCs coordenados.
Si en el plano se han duJo dos puntos MI (;);',; 111) Y M2 (;);'2; Y2),
10.dístanoín d entro ellos so dotormina )lor h. fórmula
d= V(X2-X.)2+(YZ-Yl)2.
44. Calcular la proyección del segmento sobre el eje u.•
si se ban dado su longitud d y su ángulo de inclinación
<phacia el eje:
lO
1) d=6. <P='T;
3) d= 7. <p = ~ ;
5) d=5. <p=1C;
4) d=5, <p=0;
:rt
6) d=4, <P= --¡r'
45. Trazar el segmento que parte del origen de las
coordenadas. conociendo sus proyeccicnes 80I)l'(! los ejes
coordenados:
1) X =3,
3) x= -5,
5) X =0,
Y=2;
y=o;
Y=3;
2-3~2
2) X=2,
4)X= -2,
6) x= -5,
Y=-5;
Y=3;
y= -1.
17
1¡6. Trazar los segmentos que tienen el origen en el punto
111 (2; -1), conociendo sus proyecciones sobre los ejes
coordonados:
11) X=4, Y=3; b) X=2, Y=O;
e) X=-3, Y=1; d) X=-4, Y=-2;
e) X=O, Y=-3; f) X=l Y=-3.
47. Dados los puntos Mt(1; -2), M2(2.; 1), Ma(5; O),
M d-1; \"1.) y }liTs (O; - 3), hallar las proyecciones de los
siguientes segmentos sobro los ejes coordenados:
1) M1Mz, 2) M3il¡[j, 3) M,Ms, 4) k15Ma.
1¡8. Dadas las proyecciones del segmento M1,'\Il2 sobre
los ejes coordenados X = 5, y = -4, hallar las coordena-
das de Sil extremo, sabiendo que 511 origen está en el punto
MI (-2; 3),
~9. Dadas las proyecciones del segmento AB sobre los
ejes coordenados X = 4, y = -5, hallar las coordenadas
de su origen, sabiendo que su extremo está en el punto
B(1;-3),
50. Trazar los segmentos que parten del origen de coor-
denadas, conociendo la longitud d y el ángulo potar O de
cada llll0 de ellos:
1) d=5, O ¡r. 2) d=3, 5=5'; O=(f1t;
3) d=~., O n, 4) d=:l, -1=-1l' 0= -g:Jt.
5i. Trazar los segmentos que tienen (11 oeigon en el
punto M (2; B), conociendo la longitud y el ángulo polar
de cada uno de ellos:
1) cl=2, 0=-1~; 2) <l='J, e=~;
3) d=5, 9= - ~
(las coordenadas del punto ]'y! son cartesíanas]',
t'i2. Calcu lar las proyecciones de los segmentos sobre
los ejes coordenados, conociendo Ia longitud d y el ángulo
'18
polar a de cada uno de ellos:
1) d=12, 6=fn; 2) d=6, G= - ~;
3) d = 2, f) = - T .
53. Dadas las proyecciones do los sogmontos sobro los
eje~ coordenados:
1) X = 3, y = _IL; 2) X = 12. Y = 5;
3) X= -8, Y=6,
calcular la longttud de cada uno de ellos.
51. Dadas las proyecciones do los segmentos sobro los
eies coordenados:
1) X =1, y= V3; 2) X=3V2, Y= -3VZ;
3) x= -2V3, Y=2,
calcul ar la longitud d y el ángulo polar 6 de cada uno
do ellos.
55. Dados Jos puntos
.M¡(2; -3), ft/2(1; -4), M~(-1; -7)
y Jli[d-4; 8),
calcular la longitud y el úugulo polar de los siguientes
segrnen tos:
a) M1M2, b) /111M3, e) MzM,. d) M4M3'
56. La longitud d do un segmento es igual a 5. su proyec-
ción sobre el eje de abscisas es igual a 4. Hallar la proyec-
ción de este segmento sobre el eje de ordenados, si forma con
el eje de ordenadas: a) un ángulo agudo, b) un ángulo
obtuso.
57. La longitud del segmento MN es igual a 13; su
origen está en el punto M (3; -2); la proyección sobre el
eje de abscisas es igual a -12. Hallar las coordenadas del
extremo de este segmonto, si forma con el eje de ordenadas:
a) un ángulo agudo, b) un ángulo obtuso.
58. La longitud del segmento MN es igual a 17; su
extremo está en el punto N (-7; 3) y la proyección SObl'O
el oje de ordenadas es igual a 15. Hallpr las coordenadas
2· 19
del origen de este segmento. si se sabe que forma con el
eje de abscisus: a) un áugulo ngudo. b) un ángulo obtuso.
59. Conociendo las proyecciones del segmento sobre los
ejes coordenados X = L Y = - V~3. hallar su proyocoión
sobre 01 eje que forma el ángulo 0= f n con el eje Ox,
60. Dados dos puntos 1vI¡(1; -5) y M:d.4; - 1), hal lar
las proyecciones de} sogrnen to M 1M z sobre el eje quo forma
con el eje 0:& el ángulo e= - ~ .
61. Dados dos puntos P ( - 5; 2) y Q (3; 1). hallar la
proyección del segmento PQ sobro el eje que forma con el
oje O» el ángulo 9=arctgf.
62.Dados dos puntos M¡(2; -2) y Mz(7; -3), hallar
la proyección del segmento M¡Mz sobre el eje que pasa por
Jos puntos .4(5;-4),8(-7; 1) Y cuya dirección es: 1)de
A hacia B, 2) de B hacia A.
63. Dados los puntos A (O; O), B (3; -4), e (-3; 4),
D (-2; 2) y E (10; -3), determinar la distancia d entre
los puntos: i) A y B; 2) B y e; 3) A y e; 4) e y D;
5) A y D; 6) D y E.
M. Dados dos vértices adyacentes do un cuadrado
A (3; -7) y B (-1; I.!), calcular su área.
65. Dados dos vértices opuestos de UII cuadrado P (3, 5)
y Q (1; -3), calcular su área.
(j(). Calcular el área de un triángulo regular, si dos de
sus vórtices son 4 (-3; 2) y B (1; 6).
67. Dados tros vértices A (3; -7), B (5; -7); e (-2; 5)
de un -paralologramo ABeD, cuyo cuarto vértice D es opues-
to a B. determinar las longitudes de las diagonales de este
paralelogramo.
68. El lado de un rombo es igual a 5 V 1.0 y dos de sus
vértices opuestos son los puntos P (4; 9) y Q (-2; 1).
Calcular el área de esto rombo-
69. El lado de un rombo os igual a 5 V2" y dos de sus
vértices opuestos son los puntos P (3; -4) y Q (1; 2). Cal-
cular la longitud de la altura de este rombo.
70. Demostrar que los puntos A (3; -5), B (-2; -7)
y e (18; 1) están en una recta.
71. Demostrar que el triángulo con los vértices
Al (1; 1).
A2(2; 3) y A3(5;. -1) es rectángulo.
20
72. Demostrar que los puntos A (2; 2), B (-1; 6),
e (-5; 3) y D (-2; -1) son vórtices de un cuadrado.
73. Averiguar si entre Jos ángulos internos del triángulo
con los vértices M. (1; 1), 1112(O; 2) y M3 (2; -1) hay
algún ángulu obtuso.
74. Demostrar que todos los ángulos internos del trián-
gulo con los vértices .1It! (-1; 3), N (1; 2) y P (O; 4) son
agudos.
75. Los puntos A (5; O), B (O; 1) y e (3; 3) son vértices
de un tL'iángulo. Calcular sus ángulos Internos.
76. Los puntos A (- V3; 1), B (O; 2) y e (-ZV3; 2)
son vértices de un triángulo. Calcular su ángulo externo
COJl el vértice en el punto A.
77. Hallar en el eje de abscisas UIl punto ]11, cuya dis-
tancia hasta el punto N (2; -3) sea igual ¡l 5.
78. Hallar en el eje de ordenadas un punto 11-.1,cuya
distancia hasta el punto N (-8; 13) sea ígna l a 17.
79. Dados dos plintos M' (2; 2) y N (5; -2). hallar en
el eje. de abscisas un punto P de modo que el ángulo MPN
sea recto.
80. Por 01 punto A (4; 2) se ha trazado una circunfe-
rencia, tangente a los dos ejes de coordenadas. Determinar
su centro e y su radio R.
81. Por e] punto M'I (1; -2) se ha trazado una circun-
ferencia de radio 5, tangente al eje 03.:, Determinar el centroe de la misma.
82. Determinar las coordenadas del punto Jl!rz• simé-
trico al punto ¡"VI (1; 2) con respecto a la recta que pasa
por los puntos A (1; O) 'Y B (-1; -2).
83. Dados dos vértices opuestos de un cuadrado. A (3; O)
y e (-4; 1), hallar los otros dos vér-tices.
84. Dados dos vérttces adyacentes de 11n cuadrado.
A (2; -1) y B (-1.; 3), determinar los otros dos vértices.
85. Los vértices de un trrángulo son: ]!t!. (-3; 6),
M2 (9; -10) y M3 (-5; 4). Determinar el centro e y el
radio R de la circunferencia cirounscrita en él.
§ 5. División de un segmento en una razón dada
Si el punto M (x; y) está en la recta quo pasa por dos puntos
d MIMda os M. (xI: y,). MZ(X2: y'.)) y se ha dadn la razón '.= MM" en
la que el punto M divíde al segmento MIMz, las coordenadas del
21
punto M se dotorminan medtanto las Iórznulas
XI+"x2 Yl+AY2
x = 1+1.. ' y = ---¡-::¡::r- .
Si M es el punto medio del segmento ""sM2, BUS cocrdenadas Sil deter-
minan POI' las fórmulas
xs+xz _ !/S+Y2
3:=--2-' 11---2-,
86. Los extremos de una varllla homogénea sOllA (3; -5)
y B (-1; 1). Determinar las coordenadas de su centro do
gravedad.
87. El centro de gravedad de una varilla homogénea
está situado en el punto.M (1; 4); uno de sus extremos en
el punto P (-2; 2). Determinar las coordenadas del otro
extremo Q de la varilla.
88. Los vértices do un triángulo son: A (1; -3),
B (3; -5) y e (-5; 7). Determinar los puntos modios de
sus lados.
89. Dados dos puntos A (3; -1) y B (2; 1), determinar:
1) las coordenadas de punto M simétrico al punto .ti
con respecto al punto B;
2) las coordenadas del punto N símétrico al punto B
con respecto al pun to A.
90. Los puntos medios do los lados de un triángulo
son: M (2; -1), N (-1; 4) y P (-2; 2). Determinar sus
vértices.
91. Dados tres vértices de un paralelogramo: A (3; -5),
B (5; -3) y e (-1; 3), determinar el cuarto vértice D
opuesto a B. .
92. Dados dos vórtices adyacentes de un paralelogramo:
A (-3; 5), B (1; 7) y el punto de intersección de sus diago-
nales fI.f (1; 1), determinar los otros dos vértices.
93. Dados tres vértices de un paralelogramo ABCD:
A (2; 3), B (4; -j.) y e (O; 5), hallar el cuarto vórtice D.
94. Los vértices de un triángulo son: A (1; 4.), B (3; -O)
y e (-5; 2). Determinar In longitud de la mediana trazada
desdo el punt o B.
95. El segmento limitado por los puntos A (1; -3)
y B (4; 3) ha sido dividido en tres partes iguales. Deter-
minar las coordenadas de los puntos de división.
96. Los vértices de un triángulo son: A (2; -5),
B (1; -2) y C (4; 7). Hallar el punto de intersección del
lado AC con la bisectriz. del ángulo interno del vértice B.
22
97. Los, vértices do un triángulo son: A (3; -5),
B (-3; 3) y e (-1; -2). Determinar la longitud de la
bisectriz del ángulo interno del vértice A.
98. Los vértices do un triángulo son: A (-1; -1),
B (3; 5) y e (-4; 1.). Hallar el punto do intersección de
In bísectcí» del ángulo externo del vórtice A cou 13 pro-
longación del lado Be,
99. Los vértices de un triángulo son: A (3; -5),
B (1; -3) y e (2; -2). Determinar la longitud de lo
bisectriz del ángulo externo del vértice B.
tOO. Los puntos A (1; -1), B (3; 3) y e (4; 5) estáu
situados en una recta. Determinar la razón A, en la que
cada punto divide 01 segmento limitado pOI' los otros dos.
tOI. Determinar las coordenadas de los extremos A y B
del segmento que es dividido en tres partes iguales por los
puntos P (2; 2) Y Q (1; 5).
102. Una recta pasa por los puntos 1111 (-12; -13)
YM2 (-2; -5). Hallar en esta recto 01 punto cuya abscisa
es igual a 3.
103. Una recto pasa por los puntos M (2; -3)
y N (-6; 5). Hallar en esta recta el punto cuya ordenada
es igual a -5.
l04. Una recta pasa P()'C los puntos A (7; -3)
y B (23; -6). Hallar el punto de Intersección de esta recta
con el eje do abscisas.
t05. Una recta pasa por los puntosA (5; 2) y B (-4; -7).
Hallar el punto de ínterseccíón de esta recta con el eje de
ordenadas.
106. Los vértices de un cuadrilátero son: A (-3; 12),
B (3; -4), e (5; -4) y D (5; 8). Determinar lo razón en
la que su diagonal A e divide la díugonal BD.
t07. Los vértices de un cuadrilátero son: A (-2; 14.),
B (4; -2), e (6; -2) y D (6; 10). Determinar el punto de
Intorseccíén de sus diagonales Ae y BD.
108. Dados los vérticos de una lámina homogénea I;rion-
guiar A (XI; YI), B (xz; Y2) y e (X3; Y3), detorminar las
coordenadas do su centro de gravedad.
O b s e r v a ció n. El centro de gravedad se encuentra en el
punto de Intersección do las medianas.
109. El punto M de intersección de las medianas do un
triángulo está situado en el ejo do abscisas; dos do sus vért.i-
ces son los puntos A (2; -3) y B (-5; 1); el terc.er vértice
23
e esLú en el eje do ordenadas. Determinar las coordenadas
de los plintos M y C.
110. Se han dado los vértices de una lúmina homogé-
nea triangular A (XI; YI). B (xz. Y2), y e (xs; Ya)' Uniendo
los puntos medios de sus lados se forma otra lámina horno-
g6nen teiangular. Demostrar que coinciden los centros de
g¡'ovedllu de Las Iámínas.
O 11s o r va e i 6 n , Aplicar Los resultados del problema 108.
i11. En una lámina homogénea que tiene la forma de
un cuadrado, de lado igual a 12. se ha hecho un corte cua-
y
/
Ir~•I
•\~O~-~·_-_-__~~~_-_-_~-~;~-----x
y
.Fig./,. Fig. 5.
druugular: las rectas dol corte pasan por el centro de!
cuadrado; los ejes coordenados están dirigidos por los lados
de la lám ina (fig. 4). Determinar el centro de gravedad
do esta lá mina.
112. En una lá minn homogénea que tiene la forma de
un rectángulo. con los lados iguales a a y b, se ha hacho
un corte rectangular: las rectas del corte pasan pOI' el
centro: los ejes coordenados están di rígidos por los lados
de la lámina (fig. 5). Determina r el centro de gravedad
de esta lámina,
113. 1)0 una lámina homogénea que tiene la forma do
un cuadrado, de lado igual a 2a. se ha cecortado un trián-
gulo; la recta del corto une los puntos medios de dos lados
adyacentes y los ejes de ccordenadus están dirigidos por los
lados de la lámina (Hg. 6). Determinar 01 centro de gra-
vedar! de la misma.
114. En los puntos A (XI; YI), B (X2; Y2) y e (X3; Ya)
están concentradas las masas In, n y p. Determinar las Coor-
denadas del centro de gravedad de este sistema de tres
masas.
Fig.6.
115. Los puntos A (4; 2), B (7; -2) y e (1; 6) son los
vértices de UIl triángulo de alambre homogéneo. Determi-
nar el centro de gravedad de este triángulo.
§ 6. Area del triángulo
Cuulesquíora quo sean los puntos A (:1'1: rI,), B (xz; yz) y e (X3. Y3)'
el área
S del triángulo ABe se dctormlna por la rórmula
11X2-XI Y'l-1I11±s=- .
2 x3-xl Ya-YI
El segundo miembro de ostn Iórmula es igual a + S. cun ndo la rota-
ción más corta del sogmont.o;¡¡¡ hacía 01 segmentu AC I!S positiva
y a -8. cuando es negativa.
1'16. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son
los puntos:
1) A (2; -3). B (3; 2) y e (-2; 5);
2) MI (-3; 2), M2 (5; -2) y M 3 (1; 3);
3) ivI (3; -4). N (-2; 3) y P (4; 5).
117. Los vértices de un tritíngulo son los puntos A (3; 6),
B (-1; .,) y e (2; -'1). Calcular la longitud do su altura
bajada desde -el vértice C.
118. Determinar el área del paralelogramo, tres de cuyos
vértices son los puntos A (-2; 3). B (4; -5) y e (-3; 1).
25
H9. Tres vértices de un paralelogramo son 105 puntos
A (3; 7), B (2; -3) y e (-1; 4). Calcular la longitud de
su altura bajada desde el vértice B al lado AG.
120. Dados los vértices consecutivos de una lámina
homogénea cuadrangulnr A (2; 1), B (5; 3), e (-1; 7)
Y D (-7; 5), determinar las coordenadss de su centro de
gravedad,
121. Dados los vértices consecutivos de una lámina
homogénea pentagonal A (2; 3), B (O; 6), G (-1; 5),
D (O; 1) Y E (1; 1), determinar las coordenadas de su centro
do gravedad.
122. El área de un triángulo es S = 3; dos do sus vér-
tices son los puntos A (3; 1) y B (1; -3); el tercer vérticee está situado en el ejo Oy. Determinar las coordenadas
del vértice c.
123. El área de un triángulo es S = 4; dos de sus vér-
tices son los puntos A (2; 1) YB (3; -2); 01 tercer vérticee está situado en el eje Ox, Determinar las coordenadas
del vértice G.
124. El área de un triángulo os S = 3; dos do sus vér-
tices son los puntos A (~; 1) y B (1; -3); el centro de
gravedad de este triángulo está situado en el eje Ox. Dctor-
minal' las coordenadas del torcer vértice c.
125. El área dEl UH paralelogramo es S = 12 unidades
cuadradas; dos do sus vértices son los puntos A (-1; 3)
y 8 (-2; 4). Hallar los otros dos vértices de este para-
lelogramo , sabiendo que el punto do intersección de sus
diagonales es~ú situado en el eje de abscisas.
126. El área de un paralelogramo es S = 17 unidades
cuadradas; dos do sus vértices son los puntos A (2; 1)
y B (5; -3). Hallar los otros dos vértices de este para-
lelogramo, sabiendo quo el punto de intersección de sus
diagonales está en 01 eje de ordenadas.
§ 7. Transformación de coordenadas
La trunsformaci6n do coordenadas carWSiQD8S rectangulares l~or
traslación paralela de los ejes S6 determina med iante las fórmulas
y=y'+b.
AClllí, x e y son las coordenedns de un punto 8l'bitra'l'io M do! plano.
relativo a los ejes primf tivos; e'; IJ' son las coordonadas del mismo
punto, relativo a los »[es IIUOVOS; a, b son los coordenadas del nuevo
origen O', relativo a los ejes primitivos (también so dice que a es lu.
26
magnitud eJotraslación en dirección del ejo de abscisas y b. la magni-
tud de traslación en dirección del eje de ordenadas).
La transformacién de coordenadas cartesianas rectangulares por
rotación do los ej<'S en un ángulo a. (que tiene (\1 significado que se
da a los ángulos on la trigonometría) so determina mediante las fór-
mulas
:1:=%' cosa.-y' SOlla,
y =x' son a+ ¡¡' cos 01.
Aquí. x o 11 son las coordenadas do un punto ar hitrnrio M del planu,
rolati vo 1\ los ejos primitivos; x'. v' son las eoordonadns dol mismo
punto, rulntí vo a los cjes nuevos.
Las fórmulas
x=x' COSOl-¡¡' sona+a,
y=x' sen a.+y' cos et+ b,
detcrmlnun la transformación de coordenadas por traslación paralela
del sistema <lo ejes en una magnitud a en dtroecién do O», en una
mngnitud b en dirocción do OY. y por rotación sucesiva de los CjC8
en un ángulo a. Todas las Iérmulas indicadas corresponden a la trans-
Iorrnaelén de coordenadas manteniendo invariable la unida'] do medida.
En los problemas que siguen se supone quo la unidad de medida se
manuene invariable.
127. Escribir las fórmulas de transformación de coor-
denadas, si el origen do coordenadas se ha trasladado (sin
cambiar la dirección de los ejes) al punto: 1) A (3; 4);
2) B (-2; 1); 3) e (-3; 5).
128. El origen de coordenadas so ha trasladado (sin
cambiar la dirección de los ejes) al punto O' (3; -4). Las
coordenadas do los puntos A (1, 3), B (-3; O)y e (-1; 4)
están determinadas en el nuevo sistema. Calcular las coor-
denadas do estos puntos en el sistema de coordenadas pri-
mitivo.
129.Dados los puntos A (2; 1), B (-1; 3) y e (-2; 5),
hallar sus coordenadas en el nuevo sistema, si el origen
de coordenadas se ha trasladado (sin cambiac la dirección
de los ejes): 1) al punto A; 2) al punto B; 3) al punto C.
130. Determinar las coordenadas primitivas del origen
O' del nuevo sistema, si las íórmulas de transformación de
coordenadas se han dado mediante las igualdades Siguientes:
1) x = x' + 3, y = y' + 5; 2) x = z' - 2, y = y' + 1;
3) x = x", y = y' -' 1; 4) x = x' - 5, y = y'.
t 31. Escribir las fórmulas do transíormación de coor-
denadas, si los ejes coordenados han girado en uno de los
27
ángulos siguientes:
1) 60°; 2) -45"; 3) 90°; 4) _90°; 5) 180°...
132. Los ejos de coordenadas han girado un ángulo
a =GO°. Las cocrdenadas de los puntos A (2 Ií"3; - 4) I
B eV3; O) y e (O; - 2 vg) están determinadas en el nuevo
sistema. Calcu tú las coordenadas do estos mismos puntos
en el 'sistema de coordenadas primitivo.
133. Dados los puntos M (3; 1),N(-1;5)yP(-3;-1),
hallar sus coordenadas en el lluevo slstcma, Ki los ejes coor-
denados han girado un ángulo:
1) -45"; 2) 90"; 3) -900;. 4) 180~.
131i. Determinar el ángulo a, en al que han girarlo los
ejes, si las fórmulas de transformación de coordenadas se
determinan por las siguientes ig,ualdndes:
t 35. Determinar las coordenadas del nuevo origen O'
de coordenadas, sabiondo que el punto A (3; -4) está
situado en el nuevo eje de abscisas, el punto B (2; 3)
está situado en el nuevo eje de ordenados y los ejes de los
sistemas de coordenadas primitivo y nuevo tienen respecti-
vamente las mismas direcciones.
136~ Escribir las fórmulas de transformación de coor-
donadas, si 01 punto MI (2; -3) está situado en el nuevo
ejo de abscisas, el punto Jlt!2 (1; -7) está situado en el
nuevo eje de ordenadas y los ejes de los sistemas de coor-
denadas primitivo y nuevo tienen respectivamente las
mismas direcciones.
f 37. Dos sistemas de ejes coordenados O», Oy y Ox',
Oy' tienen un origen común O y se transforman el uno
en el otro mediante una rotación en cierto ángulo. Las
coordenadas del punto A (3; -4) están determinadas respec-
to al primero de ellos. Deducir las fórmulas de transforma-
ción do coordenadas, sabiendo que la dirección positiva
del eje Ox' está definida por 01 segmento OA.
28
138. El eje de coordenadas se ha trasladado ni punto
O' (-1, 2). y los ejes coordenados han girado un ángulo
ex = arctg :&. Las coordenadas de los puntos Mi (3i 2)",
M 2 (2; -3) y M 3 (13; -13) están d~terminadas en el
nuevo sistema. Determinar las coordenadas de estos mis-
mos puntos en el sistema de coordenadas primitivo.
139. Dados tres puntos: A (5; 5),B (2; -1) yC (12; -6),
hallar sus coordenadas en el nuevo sistema, si el origen
do coordenadas se ha trasladado al punto B y los ejes coor-
denados han girado un ángulo ex= arctg -} .
140. Determinar las coordenadas primiLivas del lluevo
origen y el ángulo a, en el que han girado los ejes, sí las
fórmulas de transformación de coordenadas se dan mediante
las siguientes igualdades;
1) x= -y'+3, y=x'-2; 2) x= -.'t'-1, y= -y'+3;
3) Vi, +Ví r I - V2 '+ Vi, 3x=Tx TU --<), Y= -Tx TY - .
141.. Se han dado dos puntos: Mi (9; -3) y Mz (-6; 5).
El origen de coordenadas se ha trasladado al punto M1
y los ejes coordenados han girado do manera que la direc-
ción positiva del nuevo eje de abscisas coincide con la
dirección del segmento MIJIII 2. Deducir las fórmulas de
transformación de coordenadas.
142. El eje polar de un
sistema de coordenadas pola-
res es paralelo al eje de abscisas de un sistema cartesiano
rectangular y t iene la misma dirección que él. Se han
dado las coordenadas cartesianas rectangulares del polo
0(1; 2) y las coordenadas polares de los puntos MI (7; ~) ,
M2 (3; O), JllIa (5; - ~ ), M, (2; i- ,,;) y M5 (2; - ~) .
Determinar las coordenadas de estos puntos (m el sistema
cartesiano rec tangular.
143. El polo de un sistema de coordenadas polares coin-
cide con el origen de coordenadas de un sistema carte-
siano rectangular, y el eje polar tiene la dirección
de la bisectriz del primer ángulo coordenado. So han da-
do las coordenadas polares de los puntos MI (5; ~),
M~ ( 3; - ~) • M3 ( 1; 4 rt ), M, ( 6¡ - {- 11) Y
29
M b (2; - ~ ). Determinar las coordenadas car tesianas
rectangulares de estos pun Los.
144. El eje polar de un sistema de coordenadas pola-
res es paralelo al ejo de abscisas de un sistema cartesiano
rectangular y tiene la misma dirección que él. Se han dado
las coordenadas cartesinnas rectangulares del polo O (3; 2)
y de Jos puntos
MI (5; 2) •• /lt12{3; 1). M3(3; 5),
M" (3+ 112; 2- 1Ii) y Ms (3+ y3; 3).
Determinar las coordenadas polares de estos puntos.
145. Bl polo do un sistema de coordenadas pol.aros
coincido con el origen de coordenadas cartesianas rectan-
gulares, y el eje polar Liene In dirección de In bisectriz del
primer ángulo coordenado. Se han dado las coordenadas
cartesianas rectangulares de los puntos
MI( -1: 1),M2 (112; - Y2), M3 (1;V3),
M,(-1I3;1) y Ms(2Y3; -2).
Determinar las coordenadas polares de los mismos.
II
Capítulo
ECUACIO N DE U NA LI NFA
§ 8. Función de dos variables
Si existe una ley, según la cual a cada punto M del plano (o de
alguna parte del plano) Sil 10 pone <.'11 correspondencia un número 11,
se dice que en C)} plano (o en la parte del plano) «eslá dada una Iuncíón
del punto»; ésta so exprosa mediante una igualdad de la forma u == / (M). El número u que corresponde al punto M, so llama valor
de la Iuncíén en el punto M. Por ejomplo, si A os IIn punto rijo del
[,Iano y M es UII punto arbitrario, la distancia desdo A basta M es unaunción del pun to M. En esto caso, f (M) = AM.
Supongamos que se ha dado una [unción u = t CM) y 1\ la voz
un sistema de coordenadas. Entonces, cada punto arbitrario M se
determina por sus coordenadas s , y. Do acuerdo a esto, el valor (11)la
función en el plinto M so determina por las coordenadas "', y, o dicho
do otro modo, u = t (M) es una función <lo dos variables x e y. La
función do dos variables "'i y se indica con ln notación I ("" y); si
f (M) = I (x, y), la [órmu a 11 = f (x, y) so llama expresión de la
función en 01 sistema de coordenadas elegido. Así. on 01 ejemplo ante-
rior f (M) = AM Y en IIn sistema 110 coordenadas cartesiano rectan-
gular con el origen en el punto A, la expresión de esta función será:
u= V:rZ+y2.
146. Se han dado dos puntos P y Q, la distancia entre
los cuales es igual a a y la función f (M) = di - d!, donde
dI = lVIP y d2 = MQ. Determinar la expresión. de esta fun-
ción, si el punto P se ha tomado como origen de coorde-
nadas y el eje Ox está dirigido por el segmento PQ.
~'147. Con los datos del problema 146, determinar la
exprosíón de la función f (M) (directamente y mediante
una transformación de coordenadas, aplicando el resultado
del problema 146), si:
1) 01 punto medio del segmento PQ se ha tomado como
origen de coordenadas y el eje O» tiene la dirección del
segmento PQ;
31
2) .el punto P se 11a tomado como origen de coorde-
nadas y el eje O» tiene la dirección del segmento QP.
\48. Dados un cuadrado ABCD con el lado a y una
función f (M) = di + d~ + ~ + d¡, donde di = MA, dz =
= MB, da = Me y di, = MD, determinar la expresión
de esta función, si las diagonales del cuadrado se han tomado
como ejes de coordenadas (el eje Ox tiene la dirección del
segmento AC y el eje Oy, la dirección del segmen-
to BD).
149. Con los datos del problema 148, determinar la
expresión de la función j (M) (directamente y mediante
una transformación de coordenadas, aplicando el resultado
del problema 148), si el punto A se ha tomado como ori-
gen de coordenadas y los ejes de coordenadas están diri-
gidos por sus lados (el eje O» por el segmento AB y el eje
Oy por el segmento AD).
150. Dada la función f (z, y) = X2 + y2 - 6x -1- 8y,
determinar la expresión de esta función en el lluevo sistema
de coordenadas, si el origen de coordenadas se ha trasladado
(sin cambia.' la dirección do los ejes) al punto O' (3; -4).
151. Dada la función I (z, y) = X2 - y2 - 16, determi-
nar la expresión de est a función en el nuevo sistemu de coor-
denadas, si II)S ejes (jo coordenadas han girado un ángulo
de -45<',
152. Dada la función j (x, y) = X2 -1- yZ, determinar la
expresión de esta función en el nuevo sistema de coorde-
nadas. si los ejes de coordenadas han girado un ángulo ex.
153. Hallar un punto, en el que, al trasladar el origen
de coordenadas a él, la expresión de la función f (z, y) =
= a;2 - 4y2 - 6x + By + 3, después de la transformación,
no contenga términos de primer grado respecto a las nuevas
variables.
154. Hallar un punto, en el que, al trasladar el origen
de coordenadas a él, la expresión de la [unción t (x, y) =
= x1. - 4xy + 4y2 + 2x + y - 7, después de la transfor-
mación, no contenga términos de primer grado respecto a las
nuevas variables,
155. ¿Qué ángulo tienen que girar los ojes courdenados
para que la expresión de la Iuución f (x, y) = X2 - 2xy +
+ y2 _ 6x + 3, después de la transformación, 110 contenga
el término del producto de las nuevas variables?
3:1.
156. ¿Qué ángulo tienen que girar los ejes coordena-
dos para que la expresión de la función f (x, y) = 3X2 +
+ 2 V3XY + y~, después de la transformación, no contenga
el término del producto de las nuevas variables?
§ 9. Concepto de ecuacíén de una linea.
Determinación de la línea mediante una ecuación
Una igualdad de la forma F (:2:, y) = O so llama ecuación de dos
variables 3;, 11, si no se verifica para cualquier par de números :2:, y.
También se dice que dos números :2: = XO, y = Yo satlsfacon a una ecua-
ci6n de la forma F (:2:, y) = O, si al sustituir estos números en la ecua-
ci6n, en lugar de las variables :2: e y, el primer miembro se convier-
te en cero,
. Se llama ecuación de una línea dada (en el sistema de coordenadas
asignado) a una ecuación de dos variables que satisfacen a las coorde-
nadas de cualquier punto situado en la linea y quo no satísíacen a las
coordenadas de ningún otro punto situado fuera de olla,
. En adelante, en lugar do la expresi6n «se ha dado la ecuaei én
de' la Iínca F (x, V) = o» diremos, frecuentemente, de modo más abre-
viudo: so ha dado la Jínea F (x, y) = O.
Si se han dado dos líneas F (x. y) = O y <l> (x, y) = O, la solu-
ción común del sístoma
{
r t», y)=O,
<D (x, y)=O
proporciona todos Jos puntos do su intorsoccién. Con más exactitud,
cada par do números quo es solución común de este sistema determína
uno,do los puntos do intersección.
157. Dados los puntos*) Mj (2; -2), Mz (2; 2), Ma (2;
-1), M, (3; -3), .M5 (5; -5), M¿ (3;-2), determinar
cuáles de estos puntos están en la línea definida por la
ecuaci6n x + y = O y cuáles no están en ella. ¿Qué línea
deííne esta ecuación? (Representarla en el plano).
158. En la línea definida por la ecuación X2 + y~ = 25,
hallar los puntos cuyas abscisas son iguales a los siguien-
tes números: a) O, b) -3, e) 5, d) 7; hallar en esta línea
los puntos cuyas ordenadas son iguales a los siguientes
números: e) 3, f) -5, g) -8. ¿Qué línea se define por esta
ecuación? (Representarla en el plano).
159. Determinar las líneas que están dadas por las
ecuaciones (construirlas en el plano):
1) x - y = O; 2) x + y = O; 3) x - 2 = O;
4) x + 3 =, O; 5) y - 5 = O; 6) y + 2 = O;----
..) En los casos en que no se nombro el sistema do coordenadas,
S9 supone que es cartesiano rectangular.
3-352 33
7) x = O; 8) y = O; 9) ;¡;2 - xy = O; 10) xy+ y' = O;
1'1) x.1 - y2 = O; 12) xy = O; 13) !¡Z - 9 = O;
14) ;);2 - 8.'1; -1- '15 = O; '15) y2 + Sy + 4. = O;
16) xZy-7;-ey+10y=O: 17) y= Ix 1: 18) x= IY 1;
19) y + Ixl = O; 20) a: + 1 y I = O;
21) y =)x-1I; 22) y=I:r,-+ 21; 2::3) x2+y2=16;
24) (:¡; - 2)2 ;- (y - 1? = 16; 25) (x + 5}e+ (y - 1)2=9;
26) (x - 1)2 + y'l = 4; 27) X2 + (y -1- 3)2 = 1;
28) (x - 3)Z + y'l = O: 29) zZ + 2y2 = O;
30) 2x2 + 3y~+ 5 = O; 31) (x - 2)2 + (y -1- 3)2 + 1 = O.
160. Dadas las Iíneas:
1) x + y = O; 2) x - y = O; 3) X2 + yÜ - 36 = O;
4) X2 + y2 _ 2x + y = O; 5) :¡;'~+ y2 + 4x - Gy - 1 =0,
determinar cuáles de ellas pasan por el origen de coorde-
nadas.
161. Dadas las líneas:
1) x'l + y2 = 49; 2) (x - 3)Z + (y + 4)2 = 25;
3) (.1: + 6}2 + (y - 3)W = 25; 4) (x -1- 5)~ + (y - 4)2 = 9;
5) .1:2 + y2 - 12x + 16y = O; 6) X2 + y'l - 2x +8y +7~Oj
7) X2 + y~ - Gx + 4y + 12 = O,
hallar sus puntos de intersección: a) con el eje Ox; b) COIl
el eje Oy. ¡
162. Hallar los puntos de ínterscoclén de las dos lineas:
1) X2 + ye = 8, x - y = O;'
2) X2 -(- y2 - 16x + 4y + 18 = 0, x + 11= O;
3) 3;2 + y2 _ 2x + 4y _ 3 = 0, :e2 + y2 = 25;
4) ;);2 + y: _ 8x + 10y + 40 = O. ;);2 + y2 = 4.
163. En un sistema de coordenadas polares se han
dado los puntos
M1 (1; ~). M2(2; O), M3(2; ~) .
(" - n ) (2)M" ~(3", G y M6 1",31( "
34
Determinar cuáles de estos puntos están en la lí nea
dofinida por la ecuación dada on coordenadas polares p =-
= 2 cos () y cuáles no lo están. ¿Qué Ii nea está deñnida
por esta ecuación? (Representarla gráítcamonte).
164. En la línea definida pOI' In ecuncí ón p =- __2_o '
cos
bullar los puntos cuyos ángulos polares son iguales a los
siguientes números: a) ~ , b) -;, e) O, d) ~. ¿Quó
línea está definida por esta ecuación? (Construirla eJl el
plano).
165. En In línea definida por la ecuación P=~ ,sen \1
hollar los puntos cuyos radios polares son iguales a los
siguientes números: a) 1, b) 2, e) V2'. ¿Qué linea está
definida por esta ecuación? (Ccnstruírla en el plano).
1611. Determinar las Iíneas que se determinan en COOl'-
denudas polares por las siguientes ecuaciones [conatru ir-lus
en el plano):
1 p = 5; 2) e = ~ ; :3) e = - ~ ;
4) pcosO=2; 5) psenS=1; 6) p=6cosO;
"( 1
7) P = 10 sen O; 8) sen fJ =:r; 9) sen p = 2 .
167. Construir en el plano los sigutcntos espirales de
Arquímedes:
O ti'1) p=26¡ 2) p=58; 3) P=-n; 4) p= -n-'
tG8. Construir en el plnno las siguientes espirnlcs
hiperbólicas:
1) p= t; 2) p = ir; 3) p = ~ ¡ 4) P = - ~ .
169. Construir en el plano 1n5 slgutcntos oaplrnlcs
logluitnticas:
1) p = 20¡ P= ( ~t .
170. Determinar las longitudes de los segmentos inter-
secados por In espiral do Arquímedes
p=36
en el rayo que parLe del polo con una inclinación al eje
polar do un ángulo 1) = ~ . Hacer el dibujo.
171. En la espiral de Arquímedes
5
P=li'0
se 11<'\ tomado un punto e cuyo radio polar es igual a 4.7.
Determinar en cuántas partes divide esta espiral el radio
polar del punto C. Hacer el dibujo.
172. En la espiral hiperbólica
6
P="ij"
hallar un punto P, cuyo radio polar sea igual n 12.
liacer el dibujo.
i73. En la espiral logarítmica
p=3°
hallar un punto Q, cuyo radio polar sea igual a 8i.
Hacer el dibu jo.
§ 10. Deducción de las ecuaciones de líneas
previamente dadas
En los problemas dol párrafo anterior, la linea estaba definida
mediante la ecuación dada. Aquí consideraremos problemas de carác-
ter Inverso: en cada uno do ellos la curva se deClne goométrtcamcnte
y so pide hallar su ecuaci6n. .
E j e ro p 1 o 1. Deducir on un sistema de coordenadas cartesia-
no rectangular la ecuación del lugar gecmétrico do los puntos, cuya
sume de los cuadrados do distancias a dos puntos dados Al (-a;
O) y A2 (a; O) sea uno cantidad constante, igual a 4a~.
S o 1 u ció n. Indiquemos con la letra M un punto arbítrarlo
de la línea y con las lotras x o y las coordenadas do este punto. Como
01 punto M puede ocupar cualquier posición en la linea, x o 11 son
can Lidadl's variables, llamadas coordenadas variables.
Escribamos simb6lícamento la prcpiodnd geom6trica de esta
Iínea:
(1)
Al moverse el punto M, en esta Igualdad pueden variar las lon-
gitudes MA I Y M A,2' Sus ox.presiones mediante las coordenadas varia-
bles dol punto M son:
MAt= Y(;-"x-'+-a""')Z"""+""'y-::2, MA2= Y(x-a)z+ V~.
36
Sustituyendo estas expresiones obtenidas on la Igualdad (-O, hallamos
la ecuación que relaciona las coordenadas :1' o 11 del punto M:
("'+a)2+!lZ+(:¡;-a)II+!I~=4a2. (2)
Esta es la ecuación do la linea dada.
En efecto, para cado. punto M sítuadc en esta línea, se cumplo
la condtcién (1) y, por consiguiente, IRS coordenadas del punto 111
satisfacen a la ocuacíén (2); para cada I)Un~OM no situado en la linea,
DO se cumple la condíclén (1) y, por lo ranto, sus coordenadas no
sattsfacen a la ecuación (2).
H
Fig. 7.
As{ pues, el problema está resuelto. Se puode, sin embnrgo,
aímplíücar la ecuación (2); abriendo flaréntcsis y reduciendo los térml-
110S semejantes, obtenemos lit ecuación do la Iín ea dada en la. forma
a:'+y2=a~.
Ahora se observa fácilmonto que la linea dada es una circunferencia
con el centro en el origon do coordenadas y con el radio igual a 4.
E j e m .p 1 o 2. Deducir en 01 sistema de coordenadas polares
la ecuación do la circunforoncia con el centro C (Po; Bo) y con el radio T
(fig. 7).
S o 1 u ció n. Designomos con la letra M un punto arbttrarlo
do la circunforoncia y con las letras r y O sus coordenadas polares.
Como el punto M puede ocupar en Ia circunferencia una posición
arbitraria, las cantidades p y O son var iahles , 001 mismo modo quo
on 01 caso del slatoma cartesiano, éstas se Ilnman coordonadas
variables.
Todos los puntos de la circunferencia están a In distancia r dol
centro; escribamos esta condición stmbóllcamontc:
CM=T. (t)
Expresemos CM mediante las coordenadns variables del punto M
(apliquemos el teorema do los cosenos; ligo 7):
CM= Vp~+p~-2Popcos (0-00).
Sustituyondo la oxprcsión obtenida on la igualdad (1), hallamos la
ecuación que relaci6na las coordonadas p, B del punto 111:
lIp3+pa-2Popcos (0-00)= r. (2)
Esta es la ecuaclén do la circunferencia dada.
37
En cíectc, para cada punto M sltuado en la circunferencia dadu, so
cumplo la condición (1) Y. por conaiguíentc, las coordenadas del
punto M satlsfacon a la ecuación (2); para cada punto M, no situado
on la clrcunfcroncia dado. no so cumplo la condíclén (1) Y. por lo
tan to, sus coordonadas no aatístaccn s la ecuación (2).
Así pues, 111problema queda resuelto. Se puede tamhién slmpli-
Ilcar un poco In ecuación obtenida y representar+a sin radical
pZ-2pop cos (6-00) = r\\-p8.
174. Deducir la ecuación del lugar geométrico de los
puntos que equidistan de los ojes coordenados.
175. Deducir la ecuación del lugar geométrico do los
puntos que están a una distancia a del ejo Oy.
t76. Doduci r la ecuación del lugar geométrico de los
puntos quo están a una distancia b del oje Ox,
1.77. Desde el punto P (6; -8) se han trazado todos
los rayos posibles hasta su intersección con el eje de abscisas.
Hallar la ocuación del lugar geométrico do sus puntos
medios.
178. Desde el punto e (10; -3) se han trazado todos
los rayos posibles hasta su intersección con 01 eje de orde-
nadas. Hallar la ecuación dol lugar geom6tricO de sus
puntos modios.
179. Hallar Ia ecuncíón de In trayectoria del punto
que en cada momento do su movimiento equidista de los
pontos:
1) A (3; 2) y B (2; 3); 2) A (5; -1) y B (1; -5);
3) A (5; -2) y B (-3; -2); 4) A (3; -1) Y B (3; 5).
t80. Ha'llar Ia ecuación del lugar geométrico do los
puntos cuya diferencia de los cuadrados de sus distancias
u los puntos A (-a; O) y B (a; O) sea igual a c.
181. Deducir la ecuación de la circunferencia con
centro ou 01 origen de coordenadas y radio r.
182. Deducir In ecuación de la clrcun'Inranci a con cen-
tro e (a; ~) y radio r.
1.83. Dada la ecuación de la circunferencia x! + y2 = 25,
hallar la ecuación dol lugar goométl'ico de los puntos modios
do las cuerdas do esta circunferencia cuyas longi tudos
sean iguales a 8.
i84. Hallar la ecuación del lugar geométrtco de los
puntos cuya suma de los cuadrados de sus distancias n los
puntos A (-3; O) y B (3; O) sea igual a 50.
al:!
185. Los vértices de un cuadrado son los puntos A (a; a),
B (-a; a), e (-a; -a) y D (a; -a). Hallar la ecuación
del lugar geométrico de los puntos cuya suma de los cuadra-
dos do sus distancias a los lados de este cuadrado sea una
cantidad constante, igual a 6a2•
186. Por el origen do coordenadas Se han trazado todas
las cuerdas posibles de la circunferencia (x -8)~ + y~ = 6ft.
Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos
medios de estas cuerdas.
187. Deducir la ecuación del lugar geométrico de los
puntos en que la suma do sus distancias a dos puntos dados
FI (-3; O)y F 2 (3; O)sea una cantidad constante, igual a '10.
188. Deducir la ecuación del lugar geométrico de los
puntos en que ],11 diferencía de sus distancias a dos puntos
dados Fl (-5; O) y F2 (5; O) sea una cantidad constante.
igual a 6.
189. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los
puntos, cuyas distancias a un punto dado F (3; O) seno
iguales a sus distancias a la recta x + 3 = o.
190. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los
puntos en que la suma de sus distancias a dos puntos dados
FI (-e; O) y F2 (e; O) sea una cantidad constante. i~ual
a 2a. Este lugar geométrico so llama oltpso y los puntos FI
y F2 se llaman focos do la elipse.
Demostrar que la ecuación do la oltpsc os
;¡;~ y2
1i2+"i)2= 1.
donde b2 = a~ - ca.
191. Deducir la ecuación del Lugar gcométrtco de los
puntos en que la diferencia de sus dtstancias a dos pun-
tos dados Pi (-e; O) y F'l. (e; O) SM uno cantidad cons-
tante. igual a 2a. Este lugar geométl'Ít.() se Ilnma htpér-
bola y los puntos F1 y F2 se Ila man locos de la hipérbola.
Demostrar que la ecuación de la hipérbola es
;¡;~ y2
/i1i'- b2 =1,
donde b2 = c2 - a~.
192. Deducir la ecuación del Iugnr geométrico do los
puntos para los cuales sus distancias a un punto dado
F (-tr-; O) sean igualas a sus distanclns a una recta dada
39
x = - f. Este lugar geométrico se llama 'parábola, el
puntoF se llama foco de la parábola y la recta dada, directriz.
193. Deducir la ecuación del lugar geométrico de Jos
puntos para los cuales la razón de sus d istancras a un punto
dado F (-4; O)respecto a sus distancias a una recta dada
4$ + 25 = O sea igual a ;_.
¡¡
194. Deducir la ecuación del lugar geométrico de los
puntos para los cuales la razón de sus distancias a un punto
dado F (-5: O)respecto a sus distancias a una recta dada
5x + 10 = O sea' igual a {.
195. Deducir la ecuación del lugar geométrico de los
puntos para los cuales sus distancias mini mas a dos circun-
ferencias dadas (x + 3)2 + y2 = 1, (x - 3ra + y'l. = 81
sean iguales entre si.
196. Deducir la ecuación del lugar geométrico de los
puntos para los cuales sus distancias mínimas a dos circun-
ferencias dadas (x + 10)2 + yZ = 289, (x _ '10)2 -1- y~ == 1
sean iguales entre sí"
197. Deducir la ecuación del lugar geométrico de los
puntos para los cuales sus distancias mínimas a una cir-
cunferencia dada (x - 5)2 + y2 = 9 y a una recta dada
x + 2 = O sean iguales entre sí.
198. Una recta es perpendicular al eje polar e inter-
cepta en él un segmento igual a 3. Hallar' la ecuación de
esta recta en coordenadas polares.
199. Un rayo parte del polo con una inclinación al
eje polar de un ángulo -F. Hallar la ecuación de este rayo
en coordenadas polares.
200. Una recta pasa por el polo con una inclinación
al eje polar de un ángulo de 450• Hallar la ecuación ele esta
recta en coordenadas polares.
201. Hallar. en coordenadas polares, el lugar geomé-
trico do los puntos, cuyas distancias al eje polar son
iguales a '5.
202. Una circunferencia de radio R = 5 pasa por el
polo y su centro está en el ejo polar. Hallar la ecuación
de esta circunferencia en COOrdenadas polares.
203. Una circunferencia de radio R = 3 es tangente al
eje ,polar en el polo. Hallar la ecuación de esta circun-
ferencia en coordenadas polares.
40
§ 11. Ecuaciones paramétricas de una línea
Designemos por las letras x e y las coordenadas do un punto M;
consíderomoa dos funciones del argumento t:
%= q> (1), } (1)
y=1j>(t).
Al voriar 1, generalmente, también varían las cantidades XI)II
y, por consiguionte, so desplaza el punto M. Las igualdades (1) so
llaman ecuaciones paramétrtcas de la Iínoa, que es lo. trayoctoria dol
punto M; 01 argumento t recibe el nombre de parámetro. Si (lo las
igualdades (i) se puede eliminar el parámetro 1, obtendremos la ecua-
ción de la trayectoria del punto M en la forma
F(x, y)=O.
204. Los extremos de una varilla AB resbalan sobre
los ejes de coordenadas. El punto M divide la varilla en
Fig.8.
dos partes A M = a y BJI.f = b. Deducir las ecuaciones
paramétrtcas del punto M, tomando por parámetro el
ángulo t = ,2í: OBA (Hg. 8). Eliminar después el pará-
metro t·y hallar la ecuación de la trayectoria del punto M
en la forma F (x, y) = o. .
205. La trayectoria del punto M es una elipse, cuya
2 2
ecuación es :2 +h = 1 (véase el problema 190). Deducir
las ecuaciones para métricas de la trayectoria del punto M,
tomando por parámetro t el ángulo que forma el segmen-
to OM con el eje Ox.
206. La trayectoria del puoto M es una hipérbola,
cuya ecuación es ~ - ~ = 1 (véase el problema 191).
Ded ucir las ecuaciones paramétrtcas de la trayectoria del
punto M, tomando por parámetro t el ángulo que forma
el segmento OM con 01 oje O:;;.
207. La trayectoria del punto M es una parábola,
cuya ecuación es y2 = 2px (véase el problema 192). Dedu-
cir las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del pun-
to M, tomando por parámetro t:
1) la ordenada del punto 111;
2) el ángulo que forma el segmento 01')([ con el eje Ox;
3) el ángulo que forma el segmento F1J.{ con el eje Oz;
siendo el punto F 01 foco de la parábola.
208. Dadas las ecuaciones polares do las siguientes
líneas:
1\ 0= 2R cos O: 2) p = 2R sen 9; 3) p = 2p ~~2~' hallar
las ecuaciones para métricas de estas líneas en coordena-
das cartesianas rectangulares, haciendo coincidir el semi-
eje positivo de abscisas con el eje polar y tomando por
parámetro el ángulo polar.
209. Dadas las ecuacíonos para métricas do las línoas
1) x=t2-2t+1,} 2) x=acost.} 3) x=asect,
y=t-1; y=asent; y=btgt;
(1. ( 1)} 5) x=2ROOS2t,}4.) x=:r t+T ' Y=R sen 2t;
y=~(t-+);
6) x=Rsen2t. }
y =2R son" t;
7) x = 2p ctg2~, }
y=2pctgt,
ol irninando 01 parámetro t. hallar las ecuaciones de estas
líneas -de la íormn
F (.r.. y) = O.
111
Capítulo
LINEAS DE l'Hll'tlliR OHDEN
~ 12. Fom13 general de la ecuación de Ia recta.
Ecuación de la recta en funci6n del
coeficiente angular.
Angulo de dos rectas. Condición de paralelismo y de
perpendicularidad de dos rectas
En coordenndas cartesianas, cada recta so deturmiua por una
ecuación de prhncr grado ~', recíprucamcntc, cada ecuación de primer
grado determina una 1'00[,8.,
. La ecuaciéu de la forma
A.r+llY-I-C=O (1)
50 Llama ecuación general do la recta.
El angula (;(, definido como muestra In fig. 9, so llama úngu!r> de
inclinación de la recta respecto al eje O», La tangento del ángulo do
y
Fig. 9.
inclinación de la recta respecto al 1*' 03: so llanta cooñcíontc angular
do la recta y so designa ordínnríamonte con In letra k:
k= tg <x.
La ecuación y = ka; + b se llama ecuución do la recta en Iun-
cíón del coeficiente angular: k es el cooñcionto angular y 1, es la mag-
nitud del segmento que íntcrcupta la recta M 01 oío Oy desdo 01 origou
do coordenadas.
Sí la ecuación do la recta so da en su forma gencrnl
Az+.8y+C=O,
su coeficiente angular so determina por lu Iórmulu
A
k=-B'
43
La ecuación y - /lo = k (x - xo) es la ecuación de la recta que
pasa pOI' el punto Mo (xo; /10) y tieno el coeficiente angular k.
Si In recta pasa por los puntos M, (x,; //,) y }l,f2 (X2; /12) su coeft-
oíon LO angular se dctermlna por la fórmula
jo //2-//1..=-;;=-;;¡ .
La ccuucíén
X-XI = Y-YI
X:!-x( //2-/11
es In ecuación do la recta que Ilasa por dos puntos
Mt(xl; /11)y M"2(XZ; II'/).
Si so conocen los coeñcíentes angulares de dos rectas k, y "2,
uno do 108 ángulos rp formado por cst.as rectas so dotermma por la
Iónnula
k2-k,
tgq>=i+k11'2 .
El crttorío do paralelismo do dos rectas es la igualdad do sus
coeñcten tes angulares
k,~k2'
El criterio de perpendicularidad de (los rectas es la relación
1
k,k2= -1 o ka= -T¡'
Es decir, los coeficientes angulares de dos rectas perpendiculares
son recíprocos en valor absoluto y contrarios do signo.
210. Deterrninarcuáles de los puntos M1 (3; 1), M2 (2; 3),
Ma(6;3), M~ (-3; -3), Ms (3; -'1), M6 (-2; 1) están
situados en la recta
2x - 3y - 3 = O
y cuáles no lo están.
2(1. Los puntos PI, Pz, Ps, P, Y P5 están situados en
la recta
3x - 2y - 6 = O;
sus ahscísas son igual es respocti Vilmente a los números:
4, O, 2, -2 y -ti. Determinar las ordenadas de estos puntos.
212. Los puntos Q" Q2, Qa. Q4 y Q5 están situados eu Ia
recta
x - 3y + 2 = O;
sus ordenadas son iguales respectivamente a los números:
1, 0, 2, -1, 3. Detormínar las abscisas de estos puntos.
213. Determinar los puntos do intersección de la recta
2x-3y-12=0
con los ejes coordenados y construir esta recta en el plano.
214. Hallar el punto de tntersección de dos rectas
3z - 4y - 29 = O, 2x + 5y + 19 = O.
215. Los lados AS, Be y A e del triángulo ABe son
dados medianto sus ecuaciones correspondientes .*)
4x + 3y - 5 = O, x - 3y + 10 = O, x - 2 = O.
Determinar las coordenadas de sus vértices.
216. Dadas las ecuaciones do dos lados de nn paralelo-
gramo
8x + 3y + 1 = O, 2x + y - 1 = O
y la ecuación de una de sus díngonnles
3x + 2y +3 = O,
determinar las coordenadas de los vértices de este paralelo-
gramo.
217. Los lados de un triángulo están en las rectas
x+ 5y - 7 = O, 3x - 2y - 4 = O, 7x + y + 19 = O.
Calcular su área S.
218. El área de un triángulo es S = 8 unidades cuadra-
das; dos de sus vórtices son los puntos A (1; -2), B (2; 3)
y el tercer vértice e está en la recta
2x + y - 2 = O.
Determinar las coordenadas del vértíce C.
219. El área de un triángulo es S = 1,5 unidades
cuadradas; dos do sus vértices son los puntos A (2; -3)
y B (3; -2) y el centro de gravedad do este tl'iángulo ostá
en la recta
3x - y - 8 = O.
Determinar las coordenadas del tercer vértice e.
220. Hallar la ecuación de la recta )' trazar ésta 011
el plano, conociendo su coeficiente angular k y el segmen-
.) Aquí y en lo sucesivo, In frase dos ecuaciones do los lados.
tlene el sentido do las ecuaciones da los ¡·COI.AS en las que estén los
lados.
45
to b que ella intercepta en el eje Oy;
1) k=i-, &=3; 2) k=3, b=O; 3) k=O, b=-2;
4) k= -t, &=3; 5) k= -2, &= -5;
1 2
6) k=-1f' u=1f'
221. Determinar 01 coeficiente angular k y el segmento b
que intercepta en el eje Oy cada una de las rectas:
1) 5$ - y + 3 ~ O; 2) 2x + 3y - ü = O;
3) 5x + 3y -;- 2 = O; 4) 3x + 2y = O; 5) y - 3 = O.
222. Se da la recta
5x + 3y - 3 = O.
Determínar 01 coeficiente angular k de In recta:
'J) paralela n la recta dada;
2) perpendicular n la recta dada.
223. So da In recta
2x + 3y +4 = O.
Hallar la ecuación do la recta que pasn por el punto
Mo (2; 1) :
1) paralela a la rectn dada:
2) perpendicular u la recta dada.
224. Dadas las ocuncíones de dos lados de un rectángulo
2.'l! - 3y + 5 = O; 3x + 2y - 7 = O
y uno do sus vértices A (2; -3), hallar las ecuaciones de los
otros dos lados de este rectángulo.
225. Dadas las ecuacioues de dos Indos de un rectángulo
x - 2y = 0, x - 2y + 15 = °
y la ocuacíún de una de sus diagonales
7x + y -15 = 0,
hallar los vértices del rectángulo.
22(i. Hallar la proyección dol punto P (-6; 4) sobre
la recta
4x - 5y +3 = o.
227. Hallar 110 punto Q simétrico nI punto P (-5; 13)
relatí vo a la recta
2x - 3y - 3 = O.
228. Hallar en cada uno de los casos siguientes la ecua-
ción de la recta paralela a las dos rectas dadas y que pasa
por el medio de ellas:
'1) 3x - 2y - 1 = O, 2) 5x + y + 3 = O,
3.1' - 2y - 13 = O; 5x + y - 17 = O;
3) 23: + 3y - 6 = O, 4) !ir. + 7y + 15 = 0,
4.x + 6y + 17 = O; 5x + 7[/ + 3 = O;
5) 3x - "l5y - 1 = O,
x - 5y - 2 = Q.
229. Calcular el coeficiente angular le de la recta que
pasa por dos puntos dados:
n) M1 (2; -5), JltIz (3; 2); b) P (-3; 1), Q (i; 8);
e) A (5; -3), B (-1; 6).
230. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por
16Svértices del trilÍngulo A (5; -4), B (-1; 3), e (-3; -2)
y son paralelas a los lados opuestos.
231. Dados los puntos medios de los lados de un trilÍll-
gulo:
MI (2; 1), 1112(5; 3) y M3 (3; -4),
hallar las ecuacíones de 5\IS lados.
232. Dados dos puntos: P (2; 3) y Q (-1; O). hallar
In ecuación de la rectn que pasa por el punto Q. perpendi-
cular al segmento PQ.
233. Hallar la ecuación do la recta, si el punto P (2; 3)
es la base de la perpendicular bajarla del origen ele coor-
denadas a esta recta.
234. Dados los vértices ele UIl triángulo MI (2; 1),
M2 (-1; -1) Y M3 (3; 2), hallar las ecuaciones de sus
alturas.
235. Los Indos de un triíingulo se dan por sus ecua-
ciones
~x - y - 7 = O, x + 3y - 31 = O, x + 5y - 7 = o.
Hallar el punto de intersección de sus alturas.
236. Dados los vórtices de un trtáugulo A (1; -1),
B (-2: 1) y e (3; 5), hallar la ecuación do la porpendi-
cular bajada desde el vértice A a la mediana, trazada
desde el vértice B.
237. Dados los vért.lces de un triángulo A (2; -2),
B (3; -5) y e (5; 7), hallar la ecuación de la perpendicular
47
bajada desde el vértice C a In bisectriz del ángulo interno
del vórtice A.
238. Hallar las ecuaciones de los lados y do las medianas
del triángulo que tiene los vértices A (3; 2), B (5; -2),
C (1; O).
239. Por los puntos M, (-1; 2) y M 2 (2; 3) se ha
trazado una recta. Determinar los puntos do intersección de
esta recta con los ejes coordenados.
240. Demostrar quo la condición, según la cual tras
puntos MI (XI. YI). M2 (X2; Y'J.) y M3 (X3; Ya) están situados
on una recta, puede escribirse on la forma siguiente:
XI YI 1.
Xz yz 1 =0.
$3 V3 1.
241. Demostrar que la ecuación do la recta que pasa
por dos puntos dados Mi (Xl; VI) Y M'l. ($2; Vz), puede
escribirse on la forma siguiente:
x y 1
XI YI 1 =0.
.2:2 Y2 1
242. Dados los vórtices consecutivos de un cuadrilátero
convexo A (-3i 1), B (3; 9), C (7; 6) y D (-2; -6),
detorminar el punto de intersección de sus diagonales.
243. Dados dos vértices adyacentes A (-3; -1)
y B (2; 2) de un paralelogramo ABCD y el punto Q (3; O)
de intersección de sus diagonales, hollar los ecuaciones de
sus lados.
244. So dan las ecuaciones de dos lados de un rectán-
gulo 5x + 2y - 7 = O, 5x + 2y - 36 = O y la ecuación
de una do sus diagonales
3x + 7y - 10 = O.
Hallar las ecuaciones de los otros lados y de la otra diagonal.
245. Dados los vértices de un triángulo A (1; -2),
B (5; ti) Y C (-2; O), hallar las ecuaciones de las hísec-
trices de los ángulos interno y oxterno del vórtice A.
2lj6. Hollar la ecuación de lo recta que pasa por el
punto P (3; 5) a igual distancia de los puntos A (-7; 3)
y B (11; -15).
247. Hollar la proyección del punto P (-8; 12) sobre
la recta que pasa por los puntos A (2; -3) y B (-5; 1.).
48
248. Hallar un punto MI, simétrico al punto M2 (8; -9),
relativo a la recta que paso. por los puntos A (3; -q)
y B (-1; -2).
249. Hallar, en el oje de abscisas,
un punto Pite manern
que la suma de sus distnncías a los puntos M (1; 2) y N (3; 4)
sea miníma.
250. Hallar, en el eje de ordenadas, un punto P de
manera que la diferencia de sus distancias a los puntos
M (-3; 2) y N (2; 5) sea máxi ma.
251. Hallar en la recta 2.x - y - 5 = O un punto P de
manera que la suma de sus distancias a los puntos A (-7; 1),
B (-5; 5) sea mínima.
252. Hallar en la recta 3x - y - 1 = O un punto P
de manera que la diferencia de sus distancias a los puntos
A (4; 1) y B (O; 4) sea máxima.
253. Determinar el ángulo q> formado por las rectas
1) 5x - y + 7 = O, 3x + 2y = O;
2) 3x - 2y + 7 = O, 2x + Sy - 3 = O;
3) x - 2y - 4 = O. 2x - 4y + 3 = O;
4) 3x + 2y - 1 = O, 5x - 2y + 3 = O.
254. Dada la recta
2x + 3y +4 = O,
hallar la ecuación do la recta que pasa por el punto Mo (2; 1)
y forma un ángulo de 450 con la recto. dada.
255. El punto A (-4; 5) es un vértice dol cuadrado
cuya diagonal está en la recta
7x - y +8 = O.
Hallar las ecuaciones de los lados y de In segunda diagonal
do este cuadrado.
256. Dados dos vértices opuestos de un cuadrado
A (-1; 3) y e (6; 2), hallar las ecuaciones de sus lados.
257. El punto E (1; -1) es 01 centro de un cuadrado,
uno de cuyos lados est.á (m la recta
x - 2y + 12 = O.
Hallar las ecuaciones de las rectas en las que están los
otros lados de oste cuadrado.
258. Desde el punto iV.lo (-2; 3) so ha dirigido hacia
el oje O» un rayo de luz con una inclinación de un ángulo Ct.
So sabe que tg ex= 3. El rayo se ha refloiado del eje O«.
49
Hallar las ecuaciouos do las rectas en la quo ostán los rayos
incidente i/ reítejado.
259. Un rayo de luz va dirigido por la recta x - 2y ++ 5 = O. Al llegar a la recta 3x - 2y + 7 = O se ha refleja-
do da ella. Hallar la ecuación de la recta 011 la que está
el rayo reflejad o.
260. Dadas las ecuaciones do los Indos de UIl. triúngulo
3x + 4y - 1 -= 0, z - 7y - 17 = 0, 7x + y + 3'1 = 0,
demostrar que esto triángulo es isósceles. Resolver este
problema comparando los ángulos de este triángulo.
261. Demostrar que la ecuación de In recta quo paso. por
el punto ]111(;¡;I; YI) Y es parulcla a la recta
Ax +By + e = 0,
puede escribirse en la Iorma siguiente:
A (x - XI) + B (y - Yt) = O.
262. Hallar la ecuación de la recto. quo pasa pOI' 01punto
MI (2; -;'3) y es paralela 11 la recta:
1) 3x - 7y + 3 = O; 2) J; + 9y - '1 t =. O;
3} 10;1: - 24y - 7 = O; 4) 2x + 3 = O; 5) ;)y - 1 = O.
Resotver el. problema sin calcular los coeficientes angulares
do las rectas dadas.
;:; el l. U. Aplicur (jI resultado (101 problemu anterior.
263. Demostrar que la condíclón do perpeudicularidad
de las rectas
At·t: +BIY +(;. = 0, A2·t: +B2y +C2 ~~ ()
puede escribirse en la forma síguícn Le:
A1A2 + BlB2 -= (J.
2(11. Detorrni llar qué PUI'OS do eectus son perpe ud icu 111ros:
1) 3x - y +:3 = 0, 2) 3x - 4y + 1 = O,
x + :3y - 1 = O; 4.:r. - 3y + 7 = ú;
3) ÜX - 15y + 7 = 0, 4) ~h;- 12y + 5 = 0,
10x + 4y - ;) = 0, 8x + (iy - 13 = O;
5) T» - 2y + 1 = 0, 6) 5x - 7y +~= 0,
4x + By + 17 = O; 3x + 2y - 5 = O.
50
Rcsclvce (,1 prohlem» sin Cl\lculM los cooñcicntes angulares
de las rectas dadas,
N u t n, A1,l.ear la condloión de 11t"'J)l'II,lIclllarida,] de las 1'I.'ctl1'l
tledlJeld" en el prcblema 26iJ.
26.'~. Demostrar que In fÓl'ltIul¡¡ pon'! dctorminar el
ángulo 'P Jormorlo por las rectas
A.r + S.!! +C, ::..0, A 2_X +B:y +C~ = O
puede escribirse ('11 la siguiente íorma:
l _ ..1,B;-Azn\
g q> - AIA:d B.lJ: •
266. Determinar 01 Itngulo Ij) formado por las dos rectes:
'1) :~-y+5=O. 2) xV2-V}f3-5=O.
l:t+y-7=0¡ (3+ V2}x+ (V6- V3) y+ 7=0;
3) xV3+yV2-2=O.
xJ{ij-3y+3=O.
Resolver 1:1 problema sin calcular Jos coeficientes angulares
ele 1I1s rectas dadas.
N .. t 11. Apltcar I~ lóm1Ul:l. obtt'lIidl1 en el problema 265 pnrn
detorminar 1)1ángulo Iormndo por dos rectas.
267. Dados dos vértices de un triángulo M, (-10; 2)
y 1\11.(6; 4), cuyas alturas so cortan 011 el punto N (5, 2),
determinar las coordenadas del tercer vértice 11-1s-
268, Dados dos vértices A (3; -1) ')' B (5; 7) del triün-
gulo ABC y ~I puuto N (4; -1) de iuterseccíén de sus
alturas, bullar las ecuaciones de los lados ele ~sLO tri:ingl110.
269. En 01 triángulo ABe se dan: la ecuación del lu-
do AB. que es 53' - 3y + 2 = O. y lns ecuncíonos de JII~
ultura» A:'V y EN, que son respectlvamente 1).1: - 3y + l = O
y 7$ _L 2y - 22 = O. Hallar las ecuaciones de los otros
dos Indos y de In tercera altura.
270. Hallllr las ecuaciones ¡fe lus Indos del lriongulo
A BC, si se don uno de 1l1lS vértices A (t; 3) y las C('lII1CiOllOS
do dos medianas
X - 2y + 1 = O e y - 1 = O.
27t. Hallar las ecuaciones de los Indos de UJI tr'iángulo.
si se dan un" de sus ....6rLices B (_/1; -5) y las ecuaciones
do dos alturas
5x + 3y - 4 = O y 3.1' + 8y 1- 13 = O.
272. Hallar las ocuacíunes do los Indos de un tl'it\ugulo,
conociendo uno de los vértices A (4; -1) y las ecuaciones
de dos bisectrices
x - f = ° y x - y - 1 = O.
273. Hallar Ias ecuaciones de los lados de un triángulo,
conociendo uno de sus vértices B (2; 6) y las ccuacíoncs do la
altura ,'1; - 7y + 15 = O y de la bisectriz 7x + y + 5 = 0,
trazadas desde uno de sus vértices.
274. Hallar las ecuaciones de los lados de 111\ triángulo,
conociendo uno de sus vértices B (2; -1) Ylas ecuaciones
de la altura
3x - 4.y + 27 = O
y de la bisectriz
x + 2/1 - 5 = 0,
trazadas desde diferentes vértices.
275. Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo,
conociendo uno de sus vórtices e (4; -i) y las ecuaciones
de la altura
y de la mediana
2x - 3y + 12 = O
2x + By = O,
trazadas desde un vértice.
276. Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo,
conociendo uno de sus vértices B (2; -7) y las ecuaciones
do la alura
3x+y+11=0
x + 2y + 7 = O,
trazadas desde diferentes vértices.
277. Hallar las ecuaciones do los lados do UD triángulo,
conociendo uno de sus vértlcos e (4; 3) y las ecuaciones
de lo bisectriz
y do la mediana
a: + 2y - 5 = O
y de la mediana
(LX + 13y - 10 = O,
trazadas desde un vértice
278, Hallar las ecuaciones de los Indos de UII L1'iáJI gu lo,
conociendo UI\O do sus vértices A (3; -1) y las ecuaciouas
de la bisectriz
z - 4y + 10 = O
y de la mediana
6x + 10y - 59 = O,
trezudas desdo d ¡forentes vértices.
279. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el
origen de coordenadas y forma con las rectas
x - y + 12 = 0, 2x + y + 9 = °
un triángulo, cuyo área es igual a 1,5 unidades cuadradas.
280. Entre las rectas que pasan por el punto P (3; O)
hallar una cuyo segmento, eomprendldo entro las rectas
2x - y - 2 = O, a: + y + 3 = O,
sea dividido por la mitad en el punto P.
281. Por el punto P (-3; -1) se han trazado todas
las rectas posibles. Demostrar que el segmento de coda
111)[1 do ellas, comprendido entro las rectas
a: - 2y - 3 = 0, x - 2y -1- 5 = 0,
se di vide por la mitad on el punto P.
282. Por 01 punto P (O; 1) se han trazado todas las
rectas posibles. Demostrar que entre ellas no hay una recta
cuyo segmento, comprendido entre las rectas
x - 2y - 3 = O, x - 2y + 17 = O,
sea dividido por la mitad en el punto P.
283. Hollar la ecuación do la recta que pasa por el
origen de coordenadas, sabiendo que la longitud de su seg-
mento, comprendido entro las rectas
2x - y + 5 = O, 2x - y + 10 = 0,
es igual a V 10.
284. Rallar la ecuación de la recta que pasa por el punto
e (-5; 4), sabiendo que la longitud do su segmento, com-
prendido entre las rectas
a: + 2y + 1 = 0, x + 2y - 1 = 0,
es igual a 5.
§ (3. Ecuaciones íncompletas de 111 recta.
Dtscusién do las ecuaciones aírnul táneas de. dos y do
tres rectas, Ecuación (,segmontarla» do la recta
Sí on 10 ecuación dll In recta, dado on su formo {tenorol
1'''':+Dy'¡''C=O (1)
so anula lino o (los do los tres coctiotontes (iucluyondu I~ILérmlno
indt'pc.lldiCI\ te). la ecuación