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Análisis Matemático II - Eduardo Espinoza Ramos - 3ed

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f (x )d x = L im ^ Y f (
ANALISIS 
MATEMÁTICO
PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERÍA
(TERCERA EDICION)
♦ INTEGRAL INDEFINIDA
♦ INTEGRAL DEFINIDA
♦ APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA
♦ INTEGRALES IMPROPIAS
♦ APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA FISICA
♦ INTEGRACION NUMERICA
♦ FUNCIONES ESPECIALES
♦ ECUACIONES PARAMETRICAS
♦ COORDENADAS POLARES
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
L I M A - P E R U
IMPRESO EN EL PERÚ
03 - 03 - 2002
3S EDICIÓN
DERECHOS RESERVADOS
Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método 
gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia, 
registros magnéticos o de alimentación de datos, sin expreso 
consentimiento del autor y Editor.
RUC
Ley de Derechos del Autor 
Registro comercial 
Escritura Publica
Ne 10070440607
Nfi13714 
Ne 10716 
Ns 4484
En la presente obra Intitulada “Análisis Matemático II para Estudiantes de 
Ciencia e Ingeniería” en su 3ra. Edición, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos 
comentarios y sugerencias de mis colegas que elaboran en las diversas universidades de la 
capital, al igual que la 2da. Edición se expone en forma teórica y práctica, los métodos de 
integración, integral definida, integración impropia, integración numérica. Ecuaciones 
Paramétricas, Coordenadas Polares y sus aplicaciones, las funciones Beta y Gamma, ios 
polinomios de Taylor, así mismo se ha incluido en las integrales indefinida las ecuaciones 
diferenciales sencillas y sus aplicaciones, se ha hecho la demostración de las propiedades de la 
integral definida, se ha incluido también mas ejercicios desarrollados y propuestos de las 
practicas y exámenes de las diversas Universidades de la capital.
La parte teórica se desarrolla de manera metódica y con especial cuidado, 
tratando de no perder el rigor matemático pero tratando de no caer en el excesivo formulismo 
que confunde al lector.
La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo 
de las funciones reales de variable real, los limites y continuidad de una función, así como la 
derivación de las funciones en una variable.
#
La presente obra es recomendable para estudiante de ciencias matemáticas, 
física, ingeniería, economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus 
conocimientos matemáticos del análisis real.
Por ultimo deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas 
por sus valiosos comentarios y sugerencias.
DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO
Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la Universidad Nacional 
Mayor de San Marcos.
Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM 
Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y tecnología del Perú. 
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPA
Doctor en matemática Pura, Universidad Federal de Río de Janeiro — Brasil.
Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Nacional del Callao.
LIC. ANTONIO CALDERON LEANDRO
Ex-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la 
Universidad Nacional del Callao.
Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de 
la Universidad Nacional del Callao.
Coordinador del Area de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad 
Ricardo Palma.
LIC. SERGIO LEYVA HARO
ExJefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad 
Nacional del Callao.
Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la 
Universidad Nacional del Callao.
LIC. JUAN BERNUI BARROS
Director del Intituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática 
de la Universidad Nacional del Callao.
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
LIC. PALERMO SOTO SOTO
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.
LIC. JOSE KIKE BRONCANO
Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras.
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
D E D I C A T O R I A
Este libro lo dedico a mis hijos RONALD, JORGE 
y DIANA, que Dios ilumine sus caminos para que 
puedan ser guías de su prójimo
P R E S E N T A C I O N
En la presente obra, Eduardo Espinoza Ramos, demuestra que sigue 
avanzando, no solo en el aspecto técnico formal de la matemática, si no que, su avance se 
manifiesta en la selección cuidadosa y esmero en la impresión de esta obra.
Su formación de matemático, como su experiencia en la docencia 
universitaria, se amalgaman y dan como fruto una obra que marca un camino en su madurez 
profesional, obra, que seguramente llenará un vacío para quienes no solo desean “resolver 
problemas” sino también conocer el lenguaje formal y las ideas de esa hermosa ciencia que es 
la matemática
DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO
DIRECTOR DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA PURA DE LA UNMSM
ASESOR DEL “CONCYTEC”
1, INTEGRAL INDEFINIDA
1.1 Introducción 1
1.2 La Antiderivada de una función 2
1.3 La Antiderivada General 2
1.4 La Integral Indefinida 3
1.5 Fórmulas Básicas de Integración 5
1.5.1 Primeras Fórmulas Básicas de Integración 6
1.5.2 Segundas Fórmulas Básicas de integración 13
1.5.3 Terceras Fórmulas Básicas de Integración 18
1.5.4 Cuartas Fórmulas Básicas de Integración 21
1.5.5 Integración por Sustitución o Cambio de Variable 23
1.5.6 Integrales de funciones que contienen un Trinomio cuadrado 27
1.5.7 Ejercicios Propuestos de las Fórmulas Básicas 32
1.5.8 Ecuaciones Diferenciales sencillas 52
1.5.9 Movimiento Rectilíneo 54
1.5.10 Aceleración Constante 56
1.5.11 Movimiento Vertical con Aceleración Gravitacional Constante 58
1.5.12 Ejercicios Desarrollados 60
1.5.13 Ejercicios y Problemas Prepuestos 69
1.6 Métodos de Integración 73
1.6.1 Integración de las Funciones Trigonométricas 73
1.6.2 Ejercicios Propuestos 87
1.6.3 Otras Integrales Trigonométricas 94
1.6.4 Ejercicios Propuestos 97
1.6.5 Integración por partes 102
1.6.6 Casos Especiales de Integración por Partes 117
1.6.7 Ejercicios Propuestos 122
130
143
150
169
181
186
190
196
201
215
218
229
253
268
269
270
276
280
280
282
296
300
302
302
303
307
308
Integración por Sustitución Trigonométricas 
Ejercicios Propuestos 
Integración de Funciones Racionales 
Ejercicios Propuestos
Métodos de HERMITE - OSTROGRADSKI 
Ejercicios Propuestos
Integrales de Funciones Racionales de Senos y Cosenos 
Ejercicios Propuestos
Integrales de Algunas Funciones Irracionales 
Fórmulas de Reducción 
Ejercicios Propuestos 
Ejercicios Desarrollados Diversos 
Ejercicios Propuestos
C A P IT U L O II
INTEGRAL DEFINIDA
Sumatorias
Propiedades de las Sumatorias 
Fórmulas de las Sumatorias 
Ejercicios Propuestos
Calculo del Area de Una Región Plana por Sumatorias 
Partición de un Intervalo Cerrado
Aproximación del Area de una Región por Areas de Rectángulos 
Sumas Superiores y Sumas Superiores 
Propiedades de las Sumas Superiores e Inferiores 
Integral Definida
Propiedades de las Integrales Superiores e Inferiores 
Integral de RIEMANN 
La integral como limite de Sumas
Calculo de la Integral Definida usando Intervalos de igual longitud
4.1 Introducción 450
4.2 Integrales Impropias con Limites Infinitos 451
4.3 Integrales Impropias con Limites Finitos 454
4.4 Criterios para la Convergencia de Integrales Impropias 457
4.4.1 Criterio de Comparación 457
4.4.2 Criterio de Convergencia para Funciones Discontinuas 457
4.4.3 Criterio de Convergencia Cuando un Limite de Integración es Infinito 457
4.4.4 Ejercicios Propuestos 461
4.5 Aplicaciones de la Integral Impropia 473
4.5.1 Areas de Regiones y
Volumen de Sólidos de Revolución 473
4.5.2 Problemas Propuestos 480
4.6 Funciones Especiales 483
4.6.1 Definición de la Función GAMMA 483
4.6.1.1 Propiedades de la Función GAMMA 483
4.6.1.2 Ejercicios Desarrollados 489
4.6.2 Definición de la Función BETA 491
4.6.2.1 Propiedades de la Función Beta 491
4.6.2.2 Ejemplos Aplicativos 493
4.6.3 Ejercicios Propuestos 497
4.7 Integrales Dependientes de un parámetro 502
4.7.1 Ejercicios Propuestos 509
4.8 El Polinomio de Taylor 511
4.8.1 Aproximación de Funciones por Polinomios 511
4.8.2 Polinomios de Taylor Engendrado por una Función 513
4.8.3 Fórmula de Taylor con Resto 518
4.8.4 Teorema del Valor Medio para Integrales 522
4.8.5 Teorema del Valor Medio Ponderado por Integrales 522
4.9 Ejercicios Desarrollados 524
4.10 Ejercicios Propuestos 529
7.3.1 Area Bajo una Curva dada en forma Parametrica
7.3.2 Longitud de Arco cuando la Curva es dada por Ecuaciones Farametricas
7.3.3 Area de una Superficie de Revolución cuando la Curva es dada en
forma Parametrica
7.4 Problemas Desarrollados
7.5 Ejercicios Propuestos
C A P IT U L O VIH
COORDENADAS POLARES
8.1 Introducción
8.2 Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares
8.3 La Recta y la Circunferencia en Coordenadas Polares
8.4 Ejercicios Propuestos
8.5 Trazado de Curvas en Coordenadas Polares
8.6 Ejemplos
8.7 Ejercicios Propuestos
8.8 Distancia entre Dos Puntos en Coordenadas Polares
8.9 Intersección de Curvas en Coordenadas Polares
8.10 Derivadas y Rectas Tangentes en Coordenadas Polares
8.11 Aplicaciones de las Integrales en Coordenadas Polares
8.12 Ejercicios Desarrollados
8.13 Ejercicios Propuestos
APENDICE 
BIBLIOGRAFIA
Integral Indefinida 1
C A P I T U L O I
I. INTEGRAL INDEFINIDA
1.1 INTRODUCCION.-
El problema básico de la derivación es: Dado el recorrido de un punto móvil, calcular 
su velocidad o también, dada una curva, calcular su pendiente.
El problema básico de la integración, es el caso inverso: dado la velocidad de un 
punto móvil en cada instante, hallar su trayectoria o también dado la pendiente de una 
curva en cada uno de sus puntos, calcular la curva.
En el estudio del cálculo diferencial se ha tratado esencialmente: Dada una función 
hallar su derivada, muchas aplicaciones importantes del cálculo, guardan relación con 
el problema inverso, es decir:
Dada la derivada de una función, hallar tal función por ejemplo: /*(jc) = 4,
g'(x) = 5jc4 . Ahora el problema es hallar ffx) y g(x), pero con un poco de astucia 
se puede hallar dichas funciones, esto es:
Esta iteración de determinar la función original a partir de su derivada es la inversa 
de la derivación y lo llamaremos cálculo de la función primitiva o antiderivada.
2 Eduardo Espinoza Ramos
DEFINICION.- La función F: I -----> R, se llama la antiderivada o primitiva de
f: 1---- >R, si F '(x )= f(x ) , V x g I . (I = [a.b])
Ejemplo.- Sea / ( jc) = 5jc4 y g(x) = 3e3x, V x e R, las funciones F(x) = x5 y
G(x) = eix para x e I 
respectivamente puesto que:
G(x)=eix para x e R son las antiderivadas de f(x) y g(x)
F{x) = jc5 
G(x)=eix
F'(x) = 5x4 = / ( x) 
G'(x) = 3eix =g(x)
Sin embargo las funciones Fx(jc) = je5 + 7 y Gx{x) = eix + 5 también son 
antiderivadas de las funciones / ( jc) = 5 jc4 y g(x) = 3e3x respectivamente, puesto que:
F,(x) = x 5 + 7 
G¡ (x) = eix + 5
F¡(x) = 5xA = / ( x) 
G|( x) = 3eix =g(x)
análogamente, otras antiderivadas de f(x) y g(x) son por ejemplo: F2(x) = xs - 4 ,
F3(x) = x5 + 4n, FA{x) = x5 +a , G2(x) = eix - 7 , G3(x) = eix - e * , GA =eix + b 
donde a y b son constantes cualquiera, puesto que sus derivadas son iguales a f(x) y 
g(x) respectivamente.
En general, si F(x) es una antiderivada de f(x) es decir que F'(x) = / ( jc) , por lo tanto
F(x) + c, también es una antiderivada de f(x) para cualquier constante c, puesto que su 
derivada es igual a la función ffx), es decir: (F(x) + c)'= F ’ (jc) = f(x)
DEFINICION.- Si la antiderivada de f(x) es F(x) sobre I. Entonces la función 
G(x) = F(x) + c, se denomina la antiderivada general de fíx).
El significado geométrico de la antiderivada F(x) de fíx), es que cualquier otra 
antiderivada de f¡x) es una curva paralela al gráfico de y = F(x).
Integral Indefinida 3
OBSERVACION.- Resulta claro que el cálculo de antiderivadas o primitivas no 
determina una única función, si no una familia de funciones, que 
difieren entre sí en una constante.
El proceso del cálculo de antiderivadas o primitivas se suele denominar integración y 
se denota por el símbolo J , llamado signo de integración, el símbolo J f(x)dx se 
llama integral indefinida de f{x).
IA LA INTEGRAL INDEFINIDA,-
DEFINICIÓN 1.- Si F(x) es una antiderivada de f(x) sobre un intervalo I.
osea F*(x) = /( jt) , entonces a su antiderivada general 
G(x) = F(x) + c se denota por:
Al cual le llamaremos la integral indefinida de f(x).
NOTA.- De la definición de la integral indefinida se tiene: G'(x) =F'(x) = / ( x) 
es decir:
4 Eduardo Espinoza Ramos
PROPIEDADES.-
De la definición de integral indefinida se tiene las propiedades:
1) -~~(f f(x)dx) = ( í f (x)dx)'= (F(x) + c)'= F'(x) = /Xx) ósea que “La derivada
dx J J
de la integral indefinida es igual al integrando” es decir:
2) d ( j f(x)dx) = (jf(x)dx)'dx = f(x)dx ósea que “La diferencial de la integral 
indefinida es igual a la función integrado por la diferencial de x, es decir:
3) Si f es una función derivable en I, entonces una antiderivada de / ' es f y
4) Se conoce que d( f(x)) = f'(x)dx, luego de la propiedad (3) se obtiene:
OBSERVACION.- De las propiedades (2 y (3), a la integral indefinida también
podemos interpretarla como una operación inversa de la 
diferenciación, puesto que la integral indefinida al actuar en la diferencial d(f(x)) 
reproduce la función f(x) más la constante de integración.
Ejemplo.- Con las propiedades de la integral indefinida, se tiene, que por simple 
inspección:
1) J (x2 + 3x + 2 )dx = j* ~ x1 + 2jc) + 2 x + c
Integral Indefinida 5
2,
r „ r , sen 3* cos4x sen3x cos4jc3) J (cos3jc - sen 4jt)dx = j d{------- + ---- ) = —-— + ——— + c
3 4
n-1 n~\
4) f xn dx - í d (—— ) = —— + c , n * -1 
J J /i +1 n +1
DEFINICIÓN 2.- En toda integral indefinida J /(jc)rfx, a la función f(x) le
llamamos función integrando y a la variable x le llamaremos 
variable de integración, la constante c es llamada constante de integración, a
J /(jt)rfx también se lee “integral indefinida de f(x) diferencial de x”
NOTA.- Sugerimos al lector el dominio de las fórmulas básicas de integración, de tal 
manera que, en el estudio de las técnicas de integración sea amena y ágil, 
para tal efecto hemos agrupado en cuatro partes las fórmulas básicas.
1.5 FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION.-
1.5.1 PRIMERAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION;-
Sean f, g funciones derivables, k y c son constantes, entonces:
© i d x - x + c © ^Kf(x)dx = K ^ f(x )d x
fH'l
(T ) j d(f(x)) = f(x )+ c ( ? ) jx "d x = +c
© J ( / (x) ± g(x))dx = J/l(x)dx ± J g(x)dx 
Sea u = f(x), una función diferenciable en x
6 Eduardo Espinoza Ramos
© j e udu = eu +c audu =——+c,a>0, a* 1
ln a
© Ju 2 +a2 a a © ¡
© í
Ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
Calcular las siguientes integrales.
J x(a - bx2 )dx
Solución
Como x (a -b x2 ) = a x -b x 3 entonces:
Solución
A la función, se expresa en la forma:
+c
_ x 2m-\f2 _ 2 x m+n~li2 + X 2x li2
= jt(4m~1)/2 - 2x (2m+2n~l)/2 +x(4n-l)/2
entonces j ^ - Z £ ^ - dx = - i x ^ 2^ 12 +x iAnl)l2)dx
jc(4m+l)/2 2JC<2m+2',+1>/2 x(4»+l)/2
(4wj +1) / 2 (2/w + 2« +1) / 2 (4« +1) / 2
Integral Indefinida 7
2-s/jt4m+1 W x2m+2n+1 2-v/x4n+1
+ 6*
4/w + l 2w + 2/i + l 4/1 + 1
© |(.x—v/x+l)(V^ + l)rf*
Solución
Efectuando la multiplicación de (x--Jx + l)(-/it +1). es decir:
(jt—Jx + lft-Jx
+1) = x 3/í + 1. entonces:
2x'n J (x --/x + l)(-s/x + l)dx = j* (x3/ 2 + \)dx
© f g (-* )./'( .T )-g '(*)■/(*) dx
J g~(X)
Solución
o t- i i j ■ . j , f ( XK g (x ) .f '(x ) - f(x).g'(x)Se sabe que la diferencial de un cociente es: a (------ ) = ----------------- --------- dx
g(x) [g(*)]~
Ahora reemplazando en la integral se tiene: 
g{x).f'(x)-f{x).g '{x) f . , /(* ) , f Wr g ( x ) , f ( x ) - n x ) .g ' ( x ) dx r /(x) =
J J OÍ*)
© J
[*W ]2 ' J *W * M
3 + lnjc J------- dx
x
Solución
+ c
A la integral escribiremos en la forma:
r3 + lnjt , dx r. dx , ln2 x-------- dx = 3 — + lnx.— = 31n|jc| +-------+ c
J x J x J jc 2
8 Eduardo Espinoza Ramos
dx
x 2 — 4jc H-13©
Solución
Cuando en el denominador se tiene una expresión cuadrática como en éste caso, se 
completa cuadrados.
x 2 -4 x + 13 = (jc2 -4jc + 4) + 9 = (jc-2)2 +9 
r dx r dx 1
í ? ^ u = J í í ^ ? ' 3 arc,e,- r ,+ ‘-
Jt + 1 .— dx 
2x
Solución
Cuando se observa que el diferencial del denominador se encuentra en el numerador
o su diferencia esté en un factor de proporcionalidad, en éste caso se aplica la fórmula 
(7) es decir:
Sea u = x 2 + 2x => du = 2(x+l)dx, de donde, ahora reemplazando en la integral:
f * + ^ dx= f — = — ln|w|+c* = —ln| x 2 + 2x |+ f J J 2u 2 2 1 1x 2 +2x J 2u 2 
x 3dx
Solución
+ jc4
En forma similar al ejercicio (7) se tiene:
Sea w = l+.v4 => du = 4xidx => x 3dx = —
Ahora reemplazando en la integral:
r x ydx tdu 1. . , I . . . 4 ,I —= 1 — = —ln \u = — In 1+jr +<•
J l+ jc 4 J 4w 4 4
*%■
integral Indefinida 9
( ¿ ) j(ax + b)* 2dx
Solución
En éste ejercicio se aplicará la fórmula (6) es decir:
Sea u = ax + b => du = adx dx = —
a
Ahora reemplazando en la integral:
f ✓ » f 3/■> du 1 2 *¡t i 2I (ax + b) “d x = \u " — = —.—u° “ +c = — (ar + fe) “ +c 
J J o a 5 5¿z
© J x w + bx"dx
Solución
A la integral dada lo escribiremos en la forma:
| x " l^!a + bx"dx = j (a+bxn)U2x H'dx ...(1)
Ahora aplicando la fórmula (6), es decir:
Sea u ~ a + bxn => du = bnxM]dx de donde x n i dx = — ... (2)
hn
Luego reemplazando (2) en (1) se tiene: 
f „ , /---- , f 1,2 du 1 n , 2(a + hxn)v l ,
I A fev í/rV = I ti ------= ------- 14 + C' ------------------------------ + CJ J hn 3 hn 3 hn
(¡T)
^ J jclnx
Solución
En ésta integral aplicamos la fórmula (6), es decir:
10 Eduardo Espinoza Ramos
dxSea u = ln(ln x) d u ~ ------ , ahora reemplazando en la integral se tiene:
jtlnx
f In(lnx) , f . dx f , u2 ln2(ln(x))— —dx — I ln(lnx)------ =1 udu = — + c = ----- +c
¿ jflnx J jclnx 2 2 2
© f *—
Solución
A la expresión, agrupemos en la forma:
^ l+ x 2 +(l + x 2)3,2 = ^(l + x2) + (l+ x 2h/l + x 2
= -J(l + x 2)(l+Vl + ="n/i + x2 -Jl+Vl+Jr2"
f xdx f C „ ít T x !;■> xdx------------ = -----= (l + Vl + x -) 1/’ -7_ . . . ( l )
V1 + * + fl + * ~)3 2 ‘yjl + x 2
ahora aplicamos la fórmula (6), es decir:
Sea u =l + T¡l-tx2 => du = .X^ X *.-(2)
Vl+.v2
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
f ..... .A^A......fu ll2du = 2u1'2 + c = 2^1 WT+*2 + c
W T
Solución
En el presente ejercicio aplicaremos la fórmula (7); es decir:
Integral Indefinida 11
3 i- _ 2
Sea u = 1+x-Jx , de donde du = - -J x dx entonces -s/jc dx =—du
2 3
Ahora reemplazamos en la integral dada, se tiene:
r -Jxdx 2 [du 2 , . . 2 , /- .
------ 7= = - — = —ln | m | +c= —ln 11+W * | +<
J 14- yJ r 3 * u 1 3
© ¡
1 + x4x 3 J m 3 
t'are,gJ + xln(x2 +l) + l dx
\+ x l
Solución
En primer lugar aplicamos la propiedad (7) es decir: 
r +xln(x2 +1) + 1 re*m * , f -> x í /x f dx
I ---------- :---- T--------------------------------------------------- — '* = I ------ T d x + \ ln<*‘ + ,>---7+1 T-7
J l + X~ J 1 + X 1 1 + X " •’ l + X "
Ahora aplicamos las fórmulas (6), (8) y (10), es decir:
f +xln(x2 +1) + 1 ln2(x2 +l)-------------- ^------'— dx= +-- ------- -+arctgx + c
J 1 + x" 4
x 2 +3
x‘ (x ' +9)
Solución
En los ejemplos anteriores, para el cálculo de las integrales, lo que sé hacia era 
expresar en una forma de tal manera que, se pueda utilizar las propiedades básicas de 
integración en forma directa, pero ciertas funciones no es tan fáciles de expresar en 
forma directa, esto depende de la práctica que se tenga y de la habilidad de la que está 
calculando; tal es el caso del presente ejercicio, es decir, en el cálculo de la integral, 
se hace de la siguiente manera.
x 2 + 3 = x 2 + —(x2 + 9 -x 2) = —x2 +—(x2 +9)
3 3 3
ahora reemplazando en la integral dada se tiene:
12 Eduardo Espinoza Ramos
r x 2 +3 _ 1 f 2x2 + (x2 +9) _ 1 f. 2x2 x 2 +9
J x V + 9 ) 3 J jr2(x2 +9) ~ 3 J r ( x 2 +9) + jt (jc2 +9)
l r r 2dx rd x1 l r2 x l n= T [ I-T —r + I — ] = r t r a rc tg -— ]+ c
3 J j r + 9 J j r 3 3 3 x
f—J Wv7
dx
x(x' +1)
Solución
En forma similar al caso anterior, el numerador expresamos en la forma:
1 = (x7 +1) - x 1, ahora reemplazamos en la integral dada:
f f = f ^ A ' A - f ^
J x (x 7 +1) J x ( x 7 + l ) J x ( x7 +1) J x ( x 7 + l)
r dx _ r x dx (aplicando la fórmula 7)
J x J x 1 +1
= l n |x | - y l n |x 7 -h 11-i-c:*
5> V cp n r —cosjcdrsen" x - 6sen* + 5
Solución
c o s jc dx r c o s jc dx f cosjc dxÍ cosx dx _ r cosjc dx r
sen2 jc-6senjc + 5 J (sen2jc-6senx + 9 ) -4 J (senjc-3)2 - 4
Integral Indefinida 13
En éstas fórmulas básicas van a considerarse los casos en que él integrando es una raíz 
cuadrada de una expresión cuadrática.
Sea u = f(x) una función diferenciable en x, entonces:
Nota.- Las integrales de este tipo se calculan completando cuadrados. 
Ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
Calcular las siguientes integrales.
O \-r= r=3 V -* 2- 6 x - 6
Solución
14 Eduardo Espinoza Ramos
En la expresión completamos cuadrados: - x2 - 6 jc- 6 = 3 - ( x2 +6+9) = 3 - ( jc + 3)2
ahora reemplazando en la integral y aplicando la fórmula (1)
t dx t dx /*+3,- .vr-_,-r= = = = arcsen(—-=-)+c
3 4 - x 2 - 6 x - 6 J ^ 3 - ( x + 3)2 V3
Solución
Completando cuadrados en la expresión 5 - 2x + x 2 se tiene:
5-2jc + jc2 = x2 -2 x + 1 + 4 = (jc-1)2 + 4 , ahora reemplazando en la integral y 
aplicando la fórmula (2)
f . - - f - ^ = = - ^ =^-r = ln lx - l + V5-2x + x2 |+c
J V 5-2x + jc2 J ,/ (x - l)2 +4
® J - A -J W l- ln x
Solución
dx
i / * . . . . a)
W l- ln 2 x V l- ln 2 jc
Sea u = lnx ==> d u - — ... (2)
x
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
— . *** = f . = arcsen(w) + c = arcsen(lnx) + c
x s l í ^ i ñ ^
Integrai Indefinida 15
Solución
A la integral dada escribiremos así: ? v „
f senx eosx d x= )_ f 2 senx.eosx ^ 4'ÉO - £ (1)
V2-sen* v 2 .12-(sen’ .t)2 \
Sea w = sen2 x => d& = 2 senxeosxdx ...(2)
Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
r sen .y eos x , 1 r du 1 , « v 1 ,sen2x x, = dx = — \ . = — aresení—¡=)+c = — arcsen(— ) + r
J V2-sen4 x 2 J 2 ^ 2 ^2
J -\/.Y2 - 2 x - l <ÍT
Solución
Completando cuadrados: jc2 — 2jc—1 = (a — l)2 —2 , reemplazando y aplicando la
fórmula (5) se tiene:
J Vx2 - 2 x - l dx = J-^ (x -l)2 -2 dx
x — 1-y/x2 - 2 x - l - ln lx -1 + V x 2 - 2 x - l \+c
© J
a/2 a x -x 2
Solución
Completando cuadrados: la x - x 2 = a 2 -(x - o ) 2.
Ahora reemplazando y aplicando la fórmula (1).
r dx r dx ,x ~ a .I = - = —¡ = = = = aresenf------) +c
J -J la x -x1 J -Jo2 - (x — ' 2o)
16 Eduardo Espinoza Ramos
Q J (8x-3 )dx
~<J\2x-4x2 -5
Solución
Cuando se tiene éste tipo de integrales, en el numerador se pone el diferencial de la 
cantidad subradical, luego se resta ó suma una cantidad de tal manera que, resulte la
misma expresión, es decir: d( 12x - 4x2 - 5) = (12 - 8jc )dx
r (&v-3)rfr r ( 1 2 - 8 x - 9 )dx _ .^r (\2-% x)dx ^ r dx
* J \2 x -4 x 2 - 5 Vi2 x - 4 x 2 - 5 ^ jl2 x -~4x^-5 ^ |l2x^ A x2^ -5
= —2-\/l2x-4jEZ -5 -f— f . =
=
2-» T T
h x-2 }
= -2'yj\2x~4x2 -5 + ^ arcsen(—y ~ ) + c
O JV2 + x2 —v/ 2 —jc 2—dx
4 ^ .
Solución
A la expresión, separamos y simplificamos
-\/2 + jc2 - ^ 2 - x 2 _ -v/2 + x 2 —n/2—jc2 _ -\/2 + . t2 —s/2—jc2 
V 4 - x 4 -^(2 + jc2) ( 2 - x 2) ^¡2+ xI ^ Í2 ^ 7 2
V2 + X2 V2-X2"
-^2 +x 2 - j2 - x 2 ^¡2+x2 - j2 - x 2 - j2 - x 2 ^ 2 + x 2
Ahora reemplazamos en la integral dada se tiene:
Integrai Indefinida 17
= arcsen(-^=)—ln |x + 1/ 2 + x3 \ +c
■n
1 (x2 +¡fríP +1
Solución
2Al integrando divide, numerador y denominador entre x
/■ 2 u j ----(1------------------------ T*1*(x -1 )dx _ r rr (x -îjfflr _ f jr f____
' (x2 + lh /x4+l • '(x 2+lh/xî + I (vJ.Iv Ü + J _
* V X2
Ahora hacemos la sustitución: w = x + — => ¿« = (1 — -^)rfx
* x2
1 2 2 1 ? 1 7 «w=x + — => u - x +-— + 2 => * +■— = « - 2„ 2 2* X X
enseguida reemplazamos en la integral
f (x“ - l )dx r du 1 fu| 1 , x +1.---------- = — , ■ = —;= arc sec —==+c - —¡=arc sec(-==-----)+c
J (x2+ lh /7 7 7 J w^ / ^ 2 -J2 - f i J2 J ï \ x \
Í
x2 +1710) I — = d x 
Vx2 +9
Solución
r x2 +17 . f(x2 +9) + 8 . f x2 +9 , _f dxI , dx= — , - ■ - dx= dx + S\ -,--=■
Vx2 +9 Vx + 9 Vx2 +9 -\/x2 + 9
= f Vx2 +9dx + 8 f —
J -vx2 +9
= —[xVx2 +9 + 251n|x + -\/x2 + 9 |+c 
2
18 Eduardo Espinoza Ramos
1,5.3 TERCERAS FÓRMULAS BASICAS DE INTEGRACIÓN,-
En éstas fórmulas básicas vamos a considerar a las funciones trigonométricas, para 
esto tenemos una función u = f(x) diferenciable en x, entonces:
| sencida m -m sw | c u "§$
Jíg&ifc ~-ífí:|€OSí¿:| ^ £?)
=ífe| e^£f+ tg(^+
Jeosecuutu ~ in [cosecu -c tgu | = In) tg~ | +c
( ? ) | ses- u.du :- :f e f x ^ ^ ^ u M i ^ - c X g u +&
J smtt. tg « ;é íN :^ # ^ t■ ^pj) J w s e p m ^ ^
Ejemplos de aplicaciones de estas fórmulas
Calcular las siguiente integrales.
Jsen(x2 -4 x + 5).(jc-2)rfx
Solución
Sea w= jc2 - 4 jc + 5 => du = 2(x-2)dx , de donde
(x -2 ) = ^ y reemplazando en la integral dada
f -iv j f du eos u cos(x2 -4 x + 5)I sen(jr -4 x + 5).(x-2)dx= I senu.— = -------- + c = ----------------------+ c ^ 2i 2* 2
J cos(sen x + x 2 ).(2x+ eos x)dx
Integral Indefinida 19
Solución
Sea u = sen x +x 2 => d u - (2x + eos x)dx , reemplazando en la integral dada 
J cos(sen x + x 2 )(2x + eos x)dx = J eos u.du = sen u + c = sen(sen x + x 2) + c
©
tg(V*2 +4)x dx
J x 1 +4
Solución
Sea u =-\/x2 +4 => du = —¡ ^ ^ = . reemplazando en la integral dada:
V*2 +4
[ tg(Vjc2 +4) X<^L= = f tg u.du = ln | sec u \ +c =ln|sec(Vx2 + 4)|+ c
J V x 2 + 4 J
(7 ) Je tg (ln .r)-^
Solución
dxSea u = ln r => d u - — , ahora reemplazando en la integral dada:
x
J c tg(ln x) — = | c tg u.du = ln | sen w | +c = ln | sen(ln jc) | +c
( 5) J sec(3x + 5)dx
Solución
Sea u = 3x + 5 => du = 3dx => rf* = ^ , ahora reemplazando en la integral dada.
f sec(3x + 5)dx = f sec m.— = — ln | sec u -1- tgu | +c = — ln | sec(3x + 5) + tg(3x + 5) | +c
* J 3 3 3
20 Eduardo Espinoza Ramos
x) + c
® [secasen +
J 2-4 x
Solución
c r j 2'Jx + c.oS'Jx .Sea u = sen V* +x => du = -------- ¡=------dx
2-Jx
Ahora reemplazando en la integral dada:
Jsec(sen^[x + x)( ^ ^ )dx = J sec 2 u.du = tgu + c = t g ( s e n + x)
(7 ) | secasen x ) tg(-Vseñx )^Jcigx^fcosxdx
Solución
f— eos xdx Jc tgW cosxSea w - Vsen x => du = —= = = ----------------dx
2vsen.v 2
De donde, ahora reemplazando en la integral se tiene:
| sec(-Vsenjc) tgí^sen x )^/c tg Wcos x rfx
= 2 J sec k. tg w.dw = 2 sec w + c = 2 secasen x) + t
© f v r + eos 8xdx
Solución
Se conoce que: eos2 4x = l + cos8x = 2cos2 4 x , ahora reemplazando
en la integral dada:
a/2 sen 4xJV1 + cos8xí& = JV2 eos2 4xí/x = a/2 Jcos 4x.dx = -+£■
Integral Indefinida 21
1.5.
En estas fórmulas básicas vamos a considerar a las funciones hiperbólicas, para esto 
consideramos una función u = f(x) diferenciable en x, entonces:
( 1 ) Jsenhw.rf.v = coshí* + é (¿p J coshfe^f« = senhw -i c
(”Í ) J tgiiu.du = ]nl'cosh» | +¿ ( 7 ) j c i0 ü .M ± ínjséah»} #
( 5) Jsec/?’?«*/ igliw+f (g) | cmechhi-du = -ttgh
?) J cosecte./. tghí<uíw = cosec/«/ +<:
Ejemplos de aplicación de estas fórmulas básicas.
© í sec hx.dx
Solución
r > , 1 2 leComo sec hx =
coshx ex +e~x e2x+ l'
Hacer: u = ex => du = exdx, reemplazando en la integral dada:
í sec hxxix = 2 f —^ ----d x - l [ = 2 arctg(w )+c =2 arctg(e*) + c
J J e~x +1 J u~ +1
J(3senh7,v-8cosh7x)rfx
Solución
J (3 senh 7x - 8 cosh 7x)rfx = 3jsenh7x.<lc-8j cosh lx.dx = - C° ^ — - ^ 5 ^ L +C 
(T ) J 5tghA.sec h2x.dx
22 Eduardo Espinoza Ramos
Solución
Sea u = tgh x => du = sech2x ¿y, reemplazando en la integral dada, y por la 
fórmula 9) de la primera parte se tiene:
cu ,-tgh.r
f5 Igh\s e c /r* dx= \5 “du= — + c = - -----+ c
i i ln5 ln5
© j cosh2 x.dx
Solución
€'X + € X 1cosh2 x.dx = (---------- )2 = —(e2* + e 2 jr + 2) , reemplazando en la integral dada
2 4
i i 2x
ícosh2 x.dx = — [(e2x + e~2x + 2)dx = —[—----— + 2x] + c
J 4 J 4 2 2
1 1 x- — (senh 2x + 2x)+c =—senh 2x + —+c
4 4 2
© i senh jc.coshjc.dx
Solución
senh5 xJ senh4 x cosh x.dx = J (senh x)4 cosh x.dx - 
(ó ) jV*. cosh{e*) senhfc* )dx
Solución
| ex cosh(er)senh(e' )dx = J senh(^x).cosh(er)£xdx =
+ C
senh2 e* ■+• c
----- ' 2du
(7) ísenh(-v/x)-^r 
J v x
Integral Indefinida 23
Solución
senh^/jc) = 2 í scnh(-Jx )d(*Jx) = 2 cosh ( J x )+c
OBSERVACION - En ciertos casos es preferible elegir un cambio de variable en la
forma mas adecuada a fin que la integración sea fácil de 
resolver y este caso veremos con el nombre de integración por sustitución o cambio 
de variable.
1.5.5. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE,- 
TEOREMA.- Si x = (JKt) es una función diferenciable entonces:
Probaremos que G(t) es la integral indefinida de la función / , esto es que
se cumple:
Demostración
Sea F(x) = J / (x)dx y definimos G(t) = F(<Kt))
(2)
Lo que es equivalente G(t) = f(4>(l))jp'(t)dt ... (3)
En efecto se tiene: dG(t) __ d ^F(<¡>{t)) = — F(x) , x = <J>(t)
di dt dt
24 Eduardo Espinoza Ramos
dF(x) dx (regja ^ ja ca(jena)
dx dt
= f(x)4'U) pues dFj X ^= f{x)
dx
- f ((¡>(t))$ (/) (lo cual demuestra 2)
Se concluye que:
Sí x = <|)(t) entonces J / (x)rfx = F(x) = F(<¡>{t)) - G{t) = J f (t)dt
Ejemplos.- Calcular las siguientes integrales.
J x\ jx - 2 dx
Solución
Sea t = x - 2 => x = t + 2 => dx = dt, reemplazando en la integral
j x l f x - 2 <¿* = J(/ + 2)Vr rf/ - J(í4/3 +2tl l i )dí
= 3 /7/3 + 3 /4,3 +c = i (jf_ 2)7/3 +l ( x - 2 ) 4/3 +c
© í # iV i- *2
Solución
Í x3á _ f x 2jr dx 
sea / = 1—x* => x2 = l - f => xdx = - - y , reemplazando en (1)
Integral Indefinida 25
1 3 / 7 !/■> .111 1V 3) f 3= - t 1 - +c = t ' ( — l ) + c = — --- - + í = V 1 —JC ( -------------------- ) + c
3 3 3 3
J v5 Vi ~v2 rfv
Solución
J x5 Vi - * 2 dx - J (x 2)2 Vi - * 2 x dx ... (1)
Sea / = 1 — jr2 => je2 = 1 -/ => x dx = - ^ , reemplazando en (1)
J * 5 Vi“ -T2rfx = J (x 2)2 Vi“ *2* rfx = J ( l - / ) 2Vf
= J ( l - 2 / + r ) - v / 7 ( - ^ - ) = | j ( 2 / J ' 2 - f 1 / J - t ‘i / 2 )d t
2 f 1 1 1 2 1 7 / ■>=—r — r ¿ — / + c
5 3 7
© I - t HJ W-v -1
= ^(1-V 2)5' 2 --(1 -A -2)3 2 - I ( l - X 2)7/2 + f 
5 3 7
d x
-1
Solución
Sea f2 = v 3 - l => .v3 = 1+ /2 => x2f/v = zí_í^ reemplazando en (1)
26 Eduardo Espinoza Ramos
f dx f x 2dx _ r 21 di
J w * 3-1 _ J 3(i+/ 2)^ r
2= -J ----7 =—arctg/+c = —arctg(-y/jc3 - l )+ c
Solución
d tSea i = jr5 +1 => x4dx = — , reemplazando en la integral dada:
f_ * . 1 f c ' " d t ^ + c = W +D6' 7 + c
30 30
r x t t f * = I f , 
J 5 ift s J
© |^ 2 + ^ 2 +a/2 + 2 co s(5 ^ + 4 M '1(2*
Solución
Por la identidad eos2 — = ■*— C0S-* de donde 1 + eos
x = 2 eos 2 —
/^2 + 2cos(5^/x + 4) = a/2.^/i + eos(Wx + 4) = ^2^2 cos^ * = 2 cos("*^*+ ^ )
^¡2 + -y¡2 + 2cos{5-Jx+4) =^2 + 2 c o s - ^ ^ -
-^2+-^2 + -^2 + 2cos(5V* + 4) =-^2+ 2 eos = V2^1 + eos ^
Integral Indefinida 27
pr pr 5-/x + 4 5-J x + 4= V2.v2.cos--------- = 2cos-----------
ahora reemplazamos en la integral dada
J ^2 + + -J2 + 2cos(5^/x + 4) . x V2dx = 2Jeos — jc'^dx
5-\/x+ 4 8 rf,v -i/? 16
=> —í f c = — = => .v ~dx = — d :
8 5 " 2-v/jc 5
J-^2+-j2+-y/2 + 2cos(5-s/x +4)Fjc 1/2í/x = 2 J c o s ífc = — senr + c
32 5Vx + 4= — sen--------- + c
5 8
Se traía de las integrales de la forma siguiente:
Las integrales de la forma (1) y (2) se calculan completando cuadrado en el trinomio y 
aplicando 11 y 12 de la Ira. fórmulas básicas 11, 2 y 3 de la 2da. fórmulas básicas es 
decir:
28 Eduardo Espinoza Ramos
r dx 1 f dx
* ax2 +bx+c o J b 7 4cfc- ¿ 2(* + — )“ +----—
2a 4¿r
í z f c - i l -
rf-Y
x a x ^ b x + c f 6 .7 4ac-Zr
I,x+ ü > - + ^ r -
Luego aplicar las fórmulas indicadas para las integrales de la forma (3) y (4), 
primeramente se calcula la derivada del trinomio cuadrado 2ax + b.
Luego se acomoda en la expresión ax + b en la siguiente forma:
ax+b = — [2cx + d]~— + b, como se observa que la expresión 2cx + d es la 
2c 2c
derivada del trinomio cuadrado, luego reemplazamos en cada una de las integrales.
j
l 1 ¥ U U U LA U 1 V 1 1 1 1 V / W W U U i U U KJ* A U V C 1 V i l t U U U I
(ax+b)dx a r (2cx+d) J ,, ad t dx— ---------= — — 5---------dx+(b- —- ) —¿---------
cx~+dx + e 2c J cx~ + dx+e 2c J cx~+dx+ecx~ -n
aquí se aplica la propiedad (7) de las Ira fórmulas básicas y la integral de la forma (1). 
En forma similar para la otra integral
r (ax + b)dx _ 2 l Í 2cx+d + ad r dx
^cx2 +dx + e ^c J Ver2 +dx + e ^c J ^Jcx^dx^-e
aquí se aplica la propiedad 6 de la Ira fórmula básicas y la integral de la forma (2 ).
Í dx— --------------
x~ +2x + 3 
Solución
Completando cuadrado x 2 + 2x+3 = (x +1) 2 + 2
Integral Indefinida 29
Í dx— — 
r ' —j r - 7 j t+ 10 
Solucion
•, 49 49Completando cuadrado jc‘ - Ix + 10 = (*“ - Ix + — ) + 10-----= (x -
4 4
-_Z_!
f dx r dx 1 _ , ' i i , 1 _ . j t - 5 ,
-------= ------=----- o = T ln |----5 - 5 - 1+í' = T ln |— ^ l+ f
j jc2 - 7 jc + 1ü / y——)" —— 3 r - Z + i . 3 r ” 2
2 4 2 2
¿AEjemplo.- Calcular la integral - p
J V4x-3-Jc2 
Solución
Completando cuadrados 4jc—3 — Jt2 =1—(a 2 - 4 y + 4) = 1-( y- 2 ) 2
í . = - f -= ^ ^ ^ = = arcsen(v-2) + c*
J V4r-3-Jt2 J Jl-(*-2)2
dxEjemplo.- Calcular la integral f .................*
J V r 2 + 6 r + 13
Solución
Completando cuadrados ,v2 + 6x + 13 = (x+ 3 r +4
í ___ — ____ - f ----- = In |x+3 W-V2 +6~y+13 1
J V * 2 +6.V + 13 ^/(v-f3)2 4 4
0 (v -2 )dxEjemplo.- Calcular la integral I ---------1 1 —
~ ^ x -lx-* 12
Solución
+r
r- | <n
30 Eduardo Espinoza Ramos
1 2 * -7 + 3 1 ^ 2x —7 | 3
2 x 2 - l x + 12 2 jc2 - 7 jc + 12 2(x2 - 7 a* + 12)
se observa que 2x — 7 es la derivada del trinomio x 2 - l x + \2
f ^ - 2 |A = i [ , 2 x ~ 7 —
J a - 7 a + 12 2 J jf - 7 x + 12 2 J a - 7 a + 12
= — In | .y2 - 7.y + 1 2 1 + — [ -------^ — -
2 2 J , 7 i 1(x — ) —
2 4
x _ 7 _ I
— ln|A2 - 7 x + 12| + —.— ln | ---- 1 \ | +c
2 2 1. 7 1 12(—) A - - + -
2 2 2
— ln |x 2 — 7,v +121 + — ln | ——-\+ c
2 2 Jc-3
3jc 1Ejemplo.- Calcular la integral í — ------------ dx
J 4x —4.V + 12
Solución
3 4 3 1
3.y-1 = - [8 a - 4 + - ] = - ( 8 a - 4 ) + - 
8 3 8 2
í dx— ^ í ^ a -4 dx+^ í
1 4x2 - 4 x + 17 * 8 J 4a-2 - 4 a+17 * + 4a2 - 4 a + J7
= —ln |4x2 - 4 a + 17 |+ — í ------P ------
8 8 J . l j .( x ------) +4
2
1
3 1
= — ln 14x2 - 4x +171 + — arcig — + c
8 16 2
Integral Indefinida 31
= —In I 4x2 ~ 4 x +171 + — arctg(——-) + c 
8 16 4
Ejemplo.- Calcular la integral í l)dx_
V x 2 + 2 .V + 2
Solución
se observa que 2x + 2 es la derivada del trinomio
r ( 3 x - l ) d x 3 |r 2 * + 2 „1r d x
W x 2 + 2 x + 2 2 , ‘
1 1 ■> - - a x q J
V x " + 2 x + 2 r( x + 1 ) 2 + 1
= 34 x l + 2 x + 2 - 4 In I x + 1 + - \ /x 2 + 2 x + 2 | + c 
(4 — 7jc )rfjcf >Ejemplo.- Calcular la integral I .
Vx2 +2 x -8 
Solución
4 -7 x = - - [ 2 x + 2 - — l = - - ( 2 x + 2) + l l2 7 2
se observa que 2x + 2 es la derivada del trinomio 
(4 -7 x)¿/x 7 f 2x + 2 r rfxr (4— Jxjux _ ¡ c ¿x + ¿ r
3 -Jx2 + 2x-8 2 -* Vx2 + 2 x -8 ^ ■\¡(x + l)2 -9
= -7-y/x2 + 2 x -8 + llln |x + l+ V x 2 + 2 x -8 |+c
32 Eduardo Espinoza Ramos
1.5.7. EJERCICIOS PROPUESTOS DE LAS FÓRMULAS BÁSICAS.-
Calcular las siguientes integrales indefinidas inmediatas:
© f 3 ax1 - 2 bx ,7 dx
Vax3 - b x 1
Rpta. 2^ax*-bx2 + c
© f a* eos x.dx Rpta. (a sen a + cos x - 1)] ,wJ (a* sen a* + cos a -1) 1 -m
© f dx
Y(l + A2)ln(A+-\/l + A2 )
Rpta. 2^/ln(x + '\/l + x2 ) +í*
© 1 ln(C0SX).tgX.rf* Rpta.
ln2(cosA)--------------+ c
2
©
f^/l + lnx . ---------- dx
J A
Rpta. — (1 + lnx)4' 3 +c 
4
©
f x" Va Rpta. 2 i „-----■%/ n 4 - h v 4 - c
^]a + bxn
V u F C/JV T t
nb
©
f x-arctg(2x) ^ Rpta. ln(l + 4x2) arctg2(2jc)
J 1 + 4x" * 8 4
©
r ¿v Rpta. 1
(aresenx)3 ^ \ - x 2
72(arcsenx)~
©
f Ja Rpta. arctgtO + c
© r a* ln¿/ ,----- — dxJ l + o2r Rpta. arctg(tf*)+c
© re*(l + xlnx) ,------------------rfxJ A Rpta. ex lnx + c
Integral Indefinida 33
@
©
©
©
©
@
jt2v(lnjc + l)rfr
r * v 2V JC-JC e +x dx
sen 2x^\ + 2 cos 2x dx
4 x (x i ,2 - 4 )}rfv
a + bx2 
ax+b dx
px + q
xdx
VJC2 +1 
V* + In y
JC
jrd.Y
y dx
'\j\6~9x2
ln(x + -\/l + *2 )
1 + JT
dx
e'dx
x 2xRpta. + c
R p ta .------ p r - e 1 + l n | y | + c
3x^J x
Rpta. -i(l+ 2cos2 ji-)3/2+ r
Rpta. - ( j t 3,2- 4 ) 4 + f 
6
Rpta. — \n\ci + bx2 |+t* 
2b
_ ¿/x b p -a q . . cjRpta. — + ——:pM n|jt + — l+c
P p~ P
Rpta. (jr2 + l)2 + r
_ _ f— liT yRpta. 24 x + —-— + c
Rpta. (x2+8)2 +c
_ I ,3x Rpta. — arcsen(— ) + £■
a + hex
Rpta. y[ln(x + ^ l + x 2 )]2 + £
Rpta. ^-ln\a + he* [+r
34 Eduardo Espinoza Ramos
í
d x
4 + (jc-2 y
. 1 x - 2 vRpta. — arclg(------) + c
2 2
j
x d x
6 + (3 + 2a2)2
_ 1 3 + 2x2Rpta. — arctg(— = —) + c
4V6 V6
sen a rfx
COSA*
Rpta. ln |1 — eos x | + c
Rpta- -y— ln | j — | +<• 
16 x2-X
sec~ x d x 
a + h tg x
Rpta. — ln| a+ ¿tgx|+í* 
b
í
see2 x d x 
6 + 2 t g 2 x
^ 1 , tg xRpta. —= arctg(-T^) + c 
2V3 V3
©
©
J e i 2 x i ) d x
Ídx7 Í ^
© J
xln" x 
2'3 ~ i
ex-2
Rpta. yí?í l r5 )+c
Rpta.
ln.r
3 , 6 .
+c
Rpta. - ( - ) " ( 1
25 5 In6 -ln5
) + c
© I 1 8 ¿ t 9 x 2 - x A
_ 2 1. , jc+ 3 .R p ta .-------In I----- 1 +c
a 3 a - 3
COSA
Rpta. 2V - cos a + c
© f , f
J sen .r^/ctgjc-1
Rpta. (í tg x -1 )3 +<
Integral Indefinida 35
©
(x2 -2 x + l)5
l - x
senh xdx
dx
(1 + cosh A ) 
(]n.i+I)e 'lnxi/r 
dx
7 l 2a x~ - b
ascnx cosx dx
1 + sen x dx
x - cos X
e hxdx
l - e hx 
x 2dx
.3 v2(a + bx )
x3 - l
x4 -4x+\ 
dx
dx
x 2 -4 v + 8 
18 dx
x 2 + 4 x -5
, sec 2x i ,
(----------)~dx
l + tg2x
Rpta. 1
2(1 + cosh x)
+ c
Rpta. xx +i
_ 1 . , a x-b .Rpta. — -ln|---~\+c
lab ax + b
Rpta. a
In a
+ c
Rpta. In | x - cos x | + c
Rpta. ^ - ln |l-e bx | +c
Rpta. - 1
3b(a + bx )
Rpta. -^ -ln|A'4 -4 a + 1 |+c
_ 1 fx-2Rpta. — arctg(-——) + c 
2 2
Rpta. 3 In | ——- | +c
x + 5
Rpta. -
2(1 + tg 2x)
+ c
36 Eduardo Espinoza Ramos
4 dx
V -4x2 -20a - 9
Rpta. 2arcsen (^ ^ ) + t-
I
aretgV* d*
Vx + 2x2 + x 3
Rpta. arctg2V*+c
© i dxcos2 A-Jl + tg-V Rpta. 2 /^l + tgjr+c
© J2x - Varcsen x
V i-* 2
dx Rpta. - l 4 \ - x 2 (aresenx) -n
j
lnxdx
x(l+ln~ x)
d v
1 ?Rpta. — ln |l + ln~ x |+c
2jt
©
dxí —J <?2'+ i
Í lnx-1 . --- y— dx
ln x
Rpta. ln |e +é~x |+c
Rpta. + c
lnx
j
g 'W
( g W ) 2
dx Rpta.
g(x)
■ + c
x ln x -( l + x 2)arctgx 
x(l + x2)ln2 x
dx _ arctgxRpta. ---- — + c
lnx
i
1 -x ln x
Xí?
dx
_ lnx Rpta. ---- + c
/
x r (xln2 x + x lnx-1) 
ln2 x
dx Rpta. ---- + c
lnx
© iV i-* 2V l-X 2
aresenx-x
(aresenx)'
dx Rpta. +c
aresenx
Integral Indefinida 37
@
©
©
©
g(x).g'(x)
■Ji+gHx)
dx
e x~e dx
ln(2x) dx
ln(4x)x
2 + x + 3 arctg3 x
1 + j r
sen ~Jx cos^x
dx
£
ln(2x) + In2 jt
dx
3x
dx
In % *—
dx
e€ e€ ^Xdx
x dx
(1 + a*4)arctg3 a*2
sznlxdx
cos'' x + 4
ex sen(4er + 2)dx
(x + 2) dx
^/x3 + 6x2 + 12x + 4
Rpta. ^ l + g 2(x) +c
Rpta. e€ +c
Rpta. In x — In 2. Ln | x In x
1 3Rpta. — ln(l + x2) + 2 arctgx + — arctg4 x + c
2 4
Rpta. -cos2
Rpta. Z irr |2 x |+ ^ ln 3 |x |+~-ln2.1n|x|+c
Rpta. e€ + c
1R p ta .---------- —- + c
4 arctg“ x
Rpta. -ln |cos x + 4 |+c
Rpta. - Z cos(4^ ' + 2)+c
Rpta. — 'vx3 + 6x2 +12x + 4+6*
38 Eduardo Espinoza Ramos
©
©
®
V3-t4 +4.v3 +6x2 +12jf+9(.v3 + x~ +x + \)dx
Rpta. -j^(3x4 +4x3 +6x2 +12a+9)5 + c
x 3 + x + 5
x 2 +l
dx
4 + 4 l ^ x :
a/3 -3 jc2
dx
Rpta. — + 5arctgx+r
J 3
Rpta. -^-(x + 4arcsenx) + c
(x + l)(x2 + l)ln(x2 + l) + 2x2 Vj _ 4 7 ----- ----------------—-e ' dx Rpta. xe ln(l + jc2 )+ c
x 2 +l
dx
x(ln(ln (lnx))).(ln(lnx))lnx
3 + xln(l + x 2)
1 + x 2
dx
xdx
(x-2)dx
4 x 2 -4 x + 13
/ 1 1 ^ T T—r r )^x~ -a~ x~ —u
sen x -x ln x . eos jcdx
a sen' a*
lnxrfv
(1-ln2 x)x
Rpta. | l n | l n | l n J |lnx |||+ c
1 ?Rpta. 3arctgx + —ln~(l+x~) + c 
4
Rpta. yarcsen(jc2 ) + c
Rpta. ^'x2 -4 x + 13 +c
Rpta. —ln | —----- — | +c
2 x -k~
__ lnx Rpta. — -fe
senx
Rpta. ~ y i n | l - l n 2 x |+ c
Integral Indefinida 39
©
©
©
©
©
x idx
V T v
e'dx
e2x -6 e ' +13 
sec2 xdx
-Jtg2 x + 4tg.t + l
1------
Vl + -v2
dx
exé ~ e 2x
dx
Vs- 4 x -* 2
dx
Vis + 2 X - X 1
dx
jcV* -9 In2 a*
rf.v
V *- £^2a +3e'
sen jc dx
V2- COS2 A
dx
Vs- 6 a -9a-2
dx
4 \2 x -9 x - -1
Rpta. arcscn(x4 )+c
1 ex -3Rpta. — arctg(--------)+c2 ^
Rpta. In | tg.v + 2 +Vtg2 x + 4tgx + 11 +r
Rpta. iVl + JC2 -31n |x + V*2 +1 |+c*
Rpta. -arcseii(e *) + £•
Rpta. arcsen(* j ^ ) + ¿
Rpta. arcsen(^Z) + c
Rpta. Z arcscn(ln x 2 ) + c
2ex -3 Rpta. arcsen(—
Vi7
i .3.V-2Rpta. - a r c s e n ( — ^ - ) + c
3 V2
40 Eduardo Espinoza Ramos
s cos x dxV -2 -sen 2 x+3senx Rpta. arcsen (2 sen x -3 ) + e
Í 2
dx
V9x2 -6 x + 2
Rpta. — ln |3 x - l W 9 x 2 6x + 2 |+c 
3
3 dxr ó a,
J T T tTI^4 ln 2 x + 9
Rpta. — ln ^ ln x + ^ T n 2 v + 9 |-fc* 
2
i
3x dx
í JC4 +6.V" +5
Rpta. y ln |x 2 + 3 + V*4 + 6x2 +5 |+c
rfx
+ J?x+#
Rpta. ln | x + 'y + 'Jx2 + px+g I +c
íoo; f ,
J Vl + tf'r +e2*
Rpta. ln |e' + — + -Jl+ex + e2jt |+c 
2
© í dxV -2 6 -1 6 x -2 ;r Rpta. —p^arcsen(—pr-)+c V2 V3
[102 j
lnxdx
rVl+ 41nx-ln2
Rpta. - V l-41n x-ln 2 x - 2 arcsen(^+^ *) + c
V5
103 eos xdx
Vsen2 x + senx + 1
Rpta. ln12 senx +1 + l^ sen2 x + senx + 11 +c
104J see x <íxJ *
^ tg 2 x+ tgx + 1
Rpta. ln |2 tgx + l + 2^tg2 x + l + 2-s/tg2x+ tgx+ l |+c
Integral Indefinida 41
-x )dx
a/4 . v 2 - 1 2 v + 7
©
108
109
©
©
©
©
©
©
©
Rpta. - ln |2 .v -3 + V4.t2 -12.V + 7 \ - - ^ 4 x 2 -12.Ï + 7 + <
4 4
4 dx
eos W l-sen 2 a- + 2 eos - v
Rpta. 41n|(tg2 x -I) + - J t g 2 a* - 2 tg y + 3 |+ r
e o s " A '(tg~ A' + l )
(sen y-feos a ) '
dx Rpta. 1
[see A - t g A
1 sec X + tg X
(8a -3) dx
dx
Vi2jl —4 r2 -5
*\Ja2 + />2x 2
eos ax ¿7a
^[a2~+s+ sen_ ¿7v
'sjl—x - x 2 dx
tJx2 + x dx
Vx2 - 2 y + 22
1 + tu v
• + t
Rpta. In I see x + tg x | - ln |see x | + e
Rpta. - 2 - \ / i 2 y - 4 x 2 -5 + — aresenf + 1
2 2
Rpta. — ln|/?A+ ^ ]a2 + b2x 2 | +c 
b
1 / 7 ^
Rpta. — Inlsenav + V*?" + sen~ tfx|+t
a/ a 2 + 2 A'+ 5 dx Rpta. * 2 + 2x + 5 + 21n| a + 1 + Vy^ + 2 x + 5 | + ¿
2 y + 1 r ----------— 9 2 a + 1Rpta. -------V 2 - a — y “ + —aresení--------) + (
4 8 3
Rpta. V-V2 + v - l n | 2 a +1 + 2Vx2 + x |
Rpta. - —- ^ v 2 — 2 y + 2 +—ln| y - I + V - y "* -2x + 2 | + r
42 Eduardo Espinoza Ramos
©
©
1119
120
©
123
125
126
127J
.128
V-*2 -2.V-3 d x
V6 a - x 2 d x
d x
Rpta. V-v2 - 2a - 3 - 2 ln | a -1 + V v2 - 2x - 3 | + í -
„ . a -3 r T 9 / a - 3Rpta. ------V6 x -x +—arcscn(—-—) + <
3
■ y fx - 1 +~<]x + 1
f/t
-J lx+ l—<Jx
Rpta. - j ( ( * + l ) 2 —(.v —1 ) 2 ) + c
Rpta. 2(^/2x+l +-s/x)-2(arctg-\/2jc + 1 + arctgV*) + c
v2sL-ni 1 (sen Y + Acosx in r)¿/v Rpta. —x2sen' +t*
In3x
jtln5jt
€?*+4
dx
2 V + 3
¿7,v
ln(2 ln jr+^ln
A 3 - 8
2e -fe 
3eT -4^
Rpta. I n — . l n l l n S . v l + l n j c + c
1
Rpta. —— I n 11 + 4 ^ ' | +c*
4 - -Rpta. — + 1)2 -4 (4 x + 1)2 + f
3
Rpta. i(A --- i- ln (2 '+ 3 ))+ í 
3 ln2
Rpta. ^jlnx+^Jlna + ...+*
r 8
Rpta. — + j l n | x 3 - 8 | + f
Rpta. ln | V3tJ2r -4 ^ 3 -4 ^ 2* |+r
Integral Indefinida 43
129 f —f^ X - Rpta. 2 a r c t g -1 + c
J -Je*-l
1^ 130) Rpta. 2-Je* + 2 - 4 arctg(—g ~ ) + c
(¡3l) f 4 = ^ Rpta. - ( í ' ’r - l ) 3,2-2(<?r +l), ' 2 +í-
^ J V i + f r 3
® r lnxrfx _ „ l—---------- R p ta .------- ----------- r +cJ y3n n r -1 \3 ?r-íln >-_l\2ln a í/x 1---------- - R p ta .------- -^----x J(lnx-l) 2x~(lnx-l)'
^ J ^ / + x V - r - l
Rpta. t>aiclg * +—ln2 (1 + x 2) + arete x +c
4
(134) Jsen(o + bx)dx Rpta. - cos^ + ^ + c
(135) J sen(lnx) ^ Rpta. -cos(lnx) + c
(oó) Jx cos(2-x2 )dx Rpta. —^ sen(2-v2 )+c
(Í37) J sen' 4xcos4xífa Rpta. -en^ ~ - + c
139)
@ J tg \|)sec2( )^dx Rpta. 4 tg 4(v) + í' 4 3
r sen x cos x d\ n x 1 /---- r—■ ... R p ta .------(/eos 2 x+ c
Veos2 x -se n 2 x ^
44 Eduardo Espinoza Ramos
140J
©
142
144)
145
146J
147J
148
149J
150J
151
152
cos(sen x + 2.v)(cos x + 2)dx
tg(sen x + 5) eos x dx
see 2 ( cos(ln jc)) sen l^nx ^¿x
eos(sen x) eos x dx
sen■fx dx
■fx
lg-Jix + 1 dx
V3x+T
, dxítg(lnx)—
JC
tg^ /ínx
dx
dx
x~Jh\x
cos“(1-4 jc) 
eos1 xdx
1-senjc
dx
1 + cos 1 0a'
dx
4+5 eos“ jc 
dx
Rpta. sen(sen a* + 2 a ) + c
Rpta. ln|sec(senjc + 5)|+c
Rpta. -tg(coslnx) + c
Rpta. sen(sen jc) + c
Rpta. -2cosa/jc+c
4 + 5sen“ x
Rpta. — ln|sec v 3 jc + 1 |
Rpta. ln|sen(lnx)|+c
Rpta. 2 In | sec Vlnjc [ +c
Rpta. - “ te(l-4jc) + c 
4
™ a. eos~ xRpta. sen a ---------- +c
1 ^tlíXRpta. -are tg (^ -^ -) + c 
6 3
I ,3 tg jc % Rpta. — arctg(—^—) + c 6 2
Integral Indefinida 45
153
1154
155
157
158
159
161
163
164
165
-s/l + senx dx
1 + tgx
sen 2x
dx
•>/] + cos 2x dx
Vl - cos 2x dx
■yjl + cos 8x dx
-s/l - cos 8x dx
sen Vcosjc.-Jtgx.senx dx
cos 6x + 6 cos 4x +15 cos x +10
cos 5x + 5 cos 3x +10 cos x
x 2 cosh(x3 +3 )dx
dx
senhx.cosh2 x 
e2x cosh x dx
e x senhxdx
senh3 x. cosh2 x dx
Rpta. - 2a/1 -sen x + c
1 tgx Rpta. — In | cos ec2x-c tg 2x | +
2 2
Rpta. V2senx + c
Rpta. - a/2 cosx + c
V2Rpta. -^-sen4x + c
O . a/2R p ta .------cos4x + c
Rpta. 2 cos Vcosx + c
dx Rpta. 2senx + c
_ senh(x3 +3) Rpta. ----- --------- + c
x , 1Rpta. ln |tg h y | +
coshx
+ c
e3x exRpta. ---- +— + c
6 2
l x
€ XR p ta .-------—+c
4 2
+ c
46 Eduardo Espinoza Ramos
(lóó) J— (lne+lnx.lne*)í/x Rpta. ex lnx+c
f x2/3+ x4esen3,r cos3x + x3 , _ , 3 -7/3 esen3jr-------------------------------- dx Rpta. — x + - - - -
J x4 7 3
168
172
1174
f O-*) , „ 1 1 1----- — d x R pta.------- r + ^ ------+ c
J x 4 3x x2 x
(l69) J x^4 + x 1dx
© í
r2e - e -3 , _ , , rI —--------------- dx Rpta. x + ln(í? —3) + cJ -Jo*e - 2e - 3
Rpta. -^(4 + x2)3' 2 +c
^ 7 0 ) J 4 l a x - x 1 d x Rpta. arcscn -—— + ° - J l a x - x 2
(x2 +2x)dx _ 1 3 , 7 , . 7/3Rpta. — (x +3x*+l) +c
& 3 + 3 x 2 +1 2
f * 1 .I . Rpta. — arcsen(— ) + c
J - /n „4 2 3V9-X4 2 ^
(l73) J6x.e J rfx Rpta. -3 t,r +c
f (6-2x)rfx a/8 -4 x - 4 x2 7 2x + l175) I . = Rpta. ------------------+—arcsen—----
J V 8 -4 x -4 x 2 2 2 6
+ c
Integra! Indefinida 47
178J
179
180
©
182
183J
184
185J
186
©
188
189
( v + 3 )d\
scns veos V dx
dx
5v- -20.V + 23
dx
dx
a/ - 5 - 1 2 a - 3 a- 2
dx
VW9 - v
a d\
5 + r 4 
dx
2.x + x +1
rfx
6 \ - 12-4v
-Ja: -hl x2
■\ic 'dx
dx 
vin y
Rpta. V-v"* +2x + 2 lnI y->-l + Vv2 + 2x ( +i
_ sen6 X Rpta. --------+ t
1 V 5 ( v - 2 )Rpta. —= arciu ----- — + c
VÎ5 - V3
1 v-1Rpta. — arctg(—^ ) + r
V3 *v 3
I r v + 2Rpta. —=arcsenv3(—^ ) + <‘
a/3 a/7
Rpta. 2arcsen(-~) + c-
1 t 2Rpta. —p^arettz^r+ r
2^5 ^
2 4 x + 1 Rpta. - =arc i u— +
a/7 - V7
1 , , a- 3 - ^ 3 9 ,R p ta .-----= - ln I ---- ----
2 - J 3 9 v - 3 + a / 3 9
1 />A-Rpt&. — aresen— +<: 
b a
Rpta. 2 '^ 2 +r
Rpta. In(lni) + £
48 Eduardo Espinoza Ramos
190
©
192
193
©
195
196)
©
I98J
199J
200
In v
dx _ In- \Rpta. ------ + t
x\n(\ + x~)dx Rpta. -^[ln(l + v2 )]2 + r
1+x-
dx
■Jx{\±^fx)
(21n v + l)rfx
x[ln' x + In a ]
x dx
(2 — 7 v)
Rpta. 21n(l+Vv) + r
Rpta. ln(ln~ x + ln r) + t*
1 4 -7 xRpta. — ( . ) + t
49 J l ^ T x
V2x-3 dx
(2x-3)r 3 +1
Rpta . 2[(2v 3)-----------------( 2 a 3 > — + — r — 3 - ^2,v-3 + a r c t g - 3 ] + <
x^[x + ] dx
xv2-5x rfv
dx
a/x + 1 - Vx
v 2 a/1 + x r/v
xv4 + x dx
2 7
Rpta. -j(x + l)* “ ——(x + 1)3 2+ r
Rpta. — (2-5.v)5 2 (2 -5 .t)3,2 +c
125 75
Rpta. y[(.v + l)3 2+,v3' 2] + c
Rpta. ~ (1 + x)7' 2 + l')5 2 + 2 + í’
Rpta. ~ (a + 4)5' 2 -^(.v + 4)3' 2 +c
íntegrai Indefinida 49
© J ; x 5dx Rpta. | [ (9 + X8 )8' - y ( 9 + x 2)5' 3 + y ( 9 + jc2)2' 3] + e+x*
202 J
dx
(1 + VTTjc)1' 2
Rpta. y (l+ V Í+ ^ ),/2(V Í+ 7 -2 )+ f
(2Ô3) Jx2(x + 3)n r/v (x+3)14 6(x + 3)13 . 3(x + 3)12R p ta .------------------- :-----+ ------------ + í
14 13
Rpta. — ln(t,T +2)--\[e2* - 4 + c
x -5x+9[205) f *~ ----- ¿v
J X 2 -5x+ 6
Rpta. x + 31n———+ c 
x -2
206) J X 2 -3x~8 X2 -2 x + l dx 10 , ,Rpta. x + ------- ln |x - l |+ cX — 1
207J j
X2 +1
(x + 2)2
dx Rpta. .y - 4 In I .V+2 Ì --------+c
x + 2
20H) I *J v~
(4x+ 5 Wa­
x ' + 2x + 2
Rpta. 21n|x" +2. + 2| + arctg(x + l)+c
209; {3x-5)dx
X -8 a+42
Rpta. — In I V2 -8x + 42| + -¡Z=arctg(^=^) + í-
2 -s/26 -V 2 6
© f - 5x + 3+ 4x + 4 rfv Rpta. 51n|x + 2| + -------+ cx + 2
211 j
(x- + l)rfx 
(X 3 + 3x-7)'
Rpta.
_____1_
3(x3 +3x-7)
•+£•
50 Eduardo Espinoza Ramos
® M * 2 + l)ln(x2 + I) + 2.ver arctg-v ^ ln(x2 + l)g>
J x 2+l x 2 +l
Rpta. e* ln(x2 +1) arctgx+c
© r r(l + x2)cosx + (l + x + x 2)senx %1. _ . , r. 7J [-------------- — ------ ------- e }dx Rpta. e Vl + x~ sen x + 1
214
217
218
f (x + l)(x2 +l)ln(x2 + l) + 2x2 , v | 2 , ,---------------- -------------------e dx Rpta. xe ln(l + x ) + t
3 x '+ l
© f r2(x2 +x+l) + (2x3 +6x2 +5x + 2)lnx x , _ r 7[—----------- --------- í-----e*dx Rpta. xVl + x+x-í?Mnx + <
J 2vx2 +x + l
[21 ó) Suponga que f(x) es una función “suficientemente derivable” simplifique la expresión
dada:
a) f(x3 íx 3 f\x)dx+ f"{x))dx Rpta. x3(l + f(x)) + f ”(x) 
d \J dx J
b) J(x/(x))'djr Rpta. x f(x)
c) J (4 /" (x ) + 5/'(x))rfx Rpta. 4 f ( x ) + 5f(x)
d) J“(íx/(x))"+x/,(x) + f(x))dx Rpta. /(x ) + x(/(x) + / ’(x))
e) J (x / '(x ) + /(x))rfx Rpta. x f(x)
rsenxí;,g2* ] lR:,---------—— dx Rpta. — e g + c
J eos x 2
f 4arctg2 x+2x2 + l + 5x + 2 , _ 4 3 5 . , ?I -------------------------dx Rpta. 2x + —arctg x + — ln|x~ +1| +<*
J l + x~ 3 2
Integral Indefinida 51
2 1 9
220)
222
223J
225
226
227J
228J
229
230
i-’ +lh/4 - 2 i 2-y"
(\ 4.V + 4 d x
d x
d \
s e n v. s c n ( c u s x ) d x
s c c a . \u x . c o s ( s e c jc )d x
V i + v + V i - A ' 2
v r ^ 7
V v ^ i - V ^ i
r/v
V 7 ~
dar
d*
(v + 4)dv
( A - + 8 a* ) 4 
r + 3
+ 2*
2 y + 5
+2.V + 5
d*
dv
1Rpfa. ^ - (4 - 2 v 2- v 4)2 +r 
16
3
ii
Rpta. — Ijl-2) 3 +c 
11
i
Rpta. -2(1 +— )2 + i- 
3a
Rpta. T V i 3 + 3 a 2 + 1
Rpta. e o s (e o s x ) + c
Rpta. s e n ( s e e x ) + c
+ <
Rpta. aresenx + ln | A' + Vi + *2 | +c
Rpta. ln | 1 + — i-1 -fe
x + 4 x ^ + 1
Rpta. l n | x | ------~ r + c
4a
Rpta. + r
5( x 2 + 8 a ) 4
Rpta. Vv2 + 2 jc + 2 ln \x + 1 + Vv2 + 2 a ' | + c
Rpta. ln jx 2 +2x + 5| + y a rc tg ^ Z + (
52 Eduardo Espinoza Ramos
231, j
( 6 - 2 y )dx
4 y - 4 a *
j __________ -j ^ “ + 1
Rpta. — VH -4 v -4 v : + — arcsciK V^+ ) + r
232 J I t - e - j2i -i C - 1c — J dx Rpta. v + ln 11*‘ - 3 1 +c
© Í 7 ÍT dx Rpta. J _ ^ ln |jc 2 +l|+c-
234 r -\¡2 x~ +1 - \ +1 Rpta. _v —— ~ ^ 2 +1 + - ^ l n | 'Jl.x + 'jlx* +1 |
2 42
+<•
235) J
v ' + i-V en3> eos3 a + A 3
_ 4
sen x
dx Rpta. ln v + --------—- X 5 +£*
3 7
1.5.8. ECUACIONES DIFERENCIALES MUY SENCILLAS.-
Una ecuación que contiene una función y sus derivadas, o solo sus derivadas, se llama 
“Ecuación Diferenciar’ usaremos la técnica de antiderivada para resolver una 
ecuación diferencial de la forma:
donde la variable dependiente “y” no aparece en el lado derecho.
La solucion de la ecuación diferencial (1) consiste simplemente en encontrar una 
función y(x) que satisfaga la ecuación (1), luego la solución general de la ecuación
(1) es la integral indefinida.
v(.v) = J/(jrW.v+< ... (2)
dxEjemplo.- Encontrar la solución general de la ecuación diferencial — = i \- o,
rfi
Solución
Integrai Indefinida 53
La solución general de la ecuación diferencial dada es: y(x) = j 2xd x + c = x 2 +c
NOTA.- Una ecuación diferencial de la forma de la ecuación (1) puede aparecer 
junto con una condición inicial de la forma y(x0) = y {) y con estas
condiciones conociendo la solución general (2) se obtiene la solución particular de la 
ecuación (1), por lo tanto la combinación.
de una ecuación diferencial con una condición inicial es llamado un “Problema con 
condición iniciar’.
dyEjemplo.- Resolver la ecuación diferencial — = 2x +1, y(0) = 3
dx
Solución
La solución general es: y(x) = J (2x + l)dx + c - x 2 + x + c como y{0) = 3 es decir:
cuando x = 0, y = 3, que al reemplazar en la solución general se tiene: 3 = 0 + 0 + c 
entonces c = 3, por lo tanto la solución particular es y = jt2 + x + 3
OBSERVACION.- El método indicado para resolver una ecuación diferencial
puede escribirse como integrar ambos lados de una ecuación 
diferencial con respecto a x.
f (— )dx = f (2x + \)dx => y(x) = x2 + x + c 
J dx J
También las ecuaciones diferenciales sencillas aparecen en la forma:
La ecuación diferencial (4) se ouede expresar con diferenciales en la forma:
54 Eduardo Espinoza Ramos
h(y)dy = g(x)dx
así las variables están separadas, por lo que se dice que estas ecuaciones son 
“Ecuaciones Diferenciales Separables” y la solución general se obtiene por 
integración directa.
~ J g{x)dx+c
¿y ^ ^ ^
Ejemplo.- Hallar la solución general de la ecuación diferencial. — -------- ------
dx y“
Solución
La ecuación diferencial — = —— ^ ——, se escribe con diferenciales
dx y~
V2dy = x 2^ x* - 3 d x , quedando las variables separadas 
ahora integrando ambos miembros para obtener la solución
3 3
\ y 2d y - í x2-y]x3 - 3 dx + c => — = —(x3 - 3 ) 2 + c 
J J 3 9
3
3>’2 = 2(x3 - 3)2 +9c que es la solución general.
OBSERVACION.- Las
ecuaciones diferenciales tienen muchas aplicaciones en
diversos campos, así por ejemplo se aplica al movimiento 
rectilíneo en Física, en Química. Biología, psicología, Sociología, Administración, 
Economía, etc., en esta sección trataremos solamente del movimiento rectilíneo, 
aceleración constante y movimiento vertical con aceleración gravitacional constante.
I S S . MOVIMIENTO RECTILINEO^
Las antiderivadas nos permite, en muchos casos importantes, analizar el movimiento 
de una partícula (o masa puntual) en términos de las fuerzas que actúan sobre esta. Si 
la partícula se mueve con movimiento rectilíneo, a lo largo de una línea recta (eje X), 
bajo la influencia de una fuerza dada, entonces el movimiento de la partícula queda 
descrito por su “función de posicion” x(t) que da su coordenada x en el tiempo t.
íntegra! Indefinida 55
A
0 . ... ^x(t) posición en el instante x
La función de posición X(t) de una partícula que se mueve a lo largo del eje X.
La “velocidad” de la partícula v(t) es la derivada, con respecto al tiempo de su función 
de posición.
A
0
1►r
x(0) = x0 t = 0velocidad x'(0)
Su aceleración a(t) es la derivada de su velocidad con respecto del tiempo.
En una situación típica, se tiene la siguiente información: 
a(t): la aceleración de la partícula 
x(0) = x0 Su posición inicial.
v(0) = v0 Su velocidad inicial.
Para determinar la función de posición de la partícula x(t). 
Primeramente resolveremos el problema con condición inicial.
correspondiente a la función velocidad v(t).
56 Eduardo Espinoza Ramos
Conociendo v(t) se puede resolver el problema con condición inicial.
dx
dt ... (P)
para la función de posición x(t) de la partícula.
1.5.10. ACELERACCION CONSTANTE.-
La solución de los problemas con condiciones iniciales en la s ecuaciones (a) y (p) es 
más sencillo cuando la aceleración “a” es constante y se parte de:
dv— = a (a es una constante) 
dt
de donde v(t) = ja d t + cl =at + cl
para calcular cx se tiene v(0) = vo obteniendo v(/)=¿*/ + v0
como jc* (/> = v(/) una segunda antiderivada se tiene:
*(/) = | v(t)dt + c2 = + v0)dt + c2
para x(0) = x0 entonces c2 =x0
Luego
(1)
(2)
(3)
NOTA.- Las ecuaciones (3) y (4) solamente son validas en los casos en que la 
aceleración “a” es constante no se aplica cuando la aceleración varia.
Ejemplo.- Las marcas de derrape de unos neumáticos indican que se han aplicado 
los frenos durante una distancia de 160 pies antes de detenerse él 
automóvil. Supongamos que el automóvil en cuestión tiene una desaceleración 
constante de 20pies/seg1 bajo las condiciones del derrape. ¿A que velocidad viajaba 
el auto cuando se comenzó a frenar?
Integral Indefinida 57
Solución
Consideremos al eje X orientado positivamente en la dirección del movimiento del 
auto, elegimos el orden de modo que xt) = 0 cuando t = 0.
x = 0 
v = v0
En este sistema coordenado, la velocidad del auto v(t) es una función decreciente del 
tiempo t (en segundos), de modo que su aceleración es a = -20 pies/seg2 y no 
a = + 20, por lo tanto comenzamos con la ecuación de aceleración constante.
dv c— = -20, integrando se tiene v(t) = ~ 20 dt + cx = -20/ 4* cx 
dt J
aunque la velocidad inicial no se conoce, los datos iniciales t = 0, v = v0 implican 
que cx = v0, luego la velocidad del automóvil es: v(t) = -20/ + v0
al sustituir los datos iniciales t = 0, x = 0 obtenemos c2 = 0 por lo tanto, la función
El hecho de que las marcas del derrape tenga una longitud de 160 pies nos dice que 
x = 160 cuando el auto se detiene, es decir: x = 160 si v = 0 al sustituir estos valores 
en la ecuación de la velocidad y de posición se tiene:
x
desaceleración constante: a = -20
inicio 
t = 0
x = 160 
v = 0
como
del automóvil es: x(l) ~ -10/2 +
— 20/ + Vq — 0
—10/" +v0/ = 160
.(1)
.(2)
de la ecuación (1) v0 = 20/ sustituyendo en (2)
— 10/- + 2 0 r ^!60 => r = 1 6 = > t = 4
58 Eduardo Espinoza Ramos
v0 = 20(4) = 80 pies/ seg
Luego cuando t = 4 seg. el auto se detiene, quiere decir que a velocidad del auto era 
v0 = 20/ - 20(4) = 80 pies!seg
1.5.11. MOVIMIENTO VERI ICAL CON ACELEíÍACION GRAV1TACIONAL
CONSTANTE.*- . • , • .. . •. , . . . -
Una de las aplicaciones de las ecuaciones de la velocidad y la aceleración esta
seleccionada con el movimiento vertical cerca de la superficie de la tierra una
partícula con este movimiento esta sujeta a una aceleración “a” hacia abajo, que casi
es constante si solo sé utilizar distancias verticales pequeñas. La magnitud de esta
1 0constante se denota con g, aproximadamente igual a 32 pies / seg ~ o 9.8 mi seg~.
Si se desprecia la resistencia del aire, podemos suponer que esta aceleración debida a 
la gravedad es la única influencia externa sobre la partícula en movimiento, como aquí 
trabajamos con el movimiento vertical, es natural elegir el eje Y como el sistema de 
coordenadas para la posición de la partícula. Si elegimos la dirección hacia arriba 
como la dirección positiva, entonces el efecto de la gravedad sobre la partícula
consiste en disminuir su altura, y también disminuye su velocidad v = — , entonces la
dt
aceleración de la partícula es: a = ~^¡= ^ pies!seg1
v{t) = Jarf/ + c = J - 32dt + c = -32/ + c = -32/ + v0 ... (1)
>•(/ ) = ^ v(t)dt + k - j (-32/ + v0 )di + k = -16/2 + v0/ + k , para t = 0, y(0) = >’o
V{) = 0 + k => k = >n por lo tanto >(/) = -16/2 + v{)t + >*0 ... (2)
Aquí y« es la altura inicial de la partícula en pies, v0 es la velocidad inicial en 
pies/seg. y t el tiempo en segundos.
Integral Indefinida 59
Ejemplo.- Suponga que se dispara una flecha en sentido vertical mediante una 
poderosa ballesta, desde el piso, y que vuelve a tocar el suelo 48 
segundos después. Si podemos despreciar la resistencia del aire. Determinar la 
velocidad inicial de la flecha y la altura máxima que alcanza.
Solución
Ubiquemos el sistema de coordenadas en el presente figura donde el nivel del suelo 
correspondiente a y = 0, la flecha se lanza en el instante t = 0 (en segundos) y con la 
dirección positiva hacia arriba. Las unidades en el eje Y están en pies.
Se tiene que cuando t = 48 seg., y = 0 y no 
tenemos la información sobre la velocidad inicial 
v0 pero se puede usar las ecuaciones (1) y (2) que
v(í) - 32/ + v0 
son < 7 7
y(t) = -16/“ v0/ + >’0 = -1 6 r + v0/
Cuando t = 4 8 seg. se tiene y = 0 de donde
0 = -16( 4 8 ) 2 + 4 8 vü => v0 = 1 6 ( 4 8 ) = 7 6 8 piesíseg
para determinar la altura máxima de la flecha, maximemos y(t) calculando el valor de 
t para lo cual la derivada se anula, es decir, la flecha alcanza su altura máxima cuando
su velocidad se anula - 3 2 / + v„ =0 de donde / = — = 2 4 en este instante, la flecha
3 2
ha alcanzado su altura máxima de ymax = >‘( 2 4 ) = - 1 6 ( 2 4 ) 2 + 7 6 8 ( 2 4 ) = 9 2 1 6 pies .
Ejemplo.- Se lanza una pelota verljcalmente hacia arriba desde el techo de una 
casa de 6 5 pies de altura y la velocidad inicial es 4 8 pies / seg. ¿Cuánto 
tiempo lardará la pelota en llegar al suelo y con qué velocidad llegará?
Solución
Y
v a l o r e s p o s i t i v o s 
h a c i a a r r i b a
a(t) = -g
t = 0 s u e l o
y(0) = y„ = o 
v (0 ) = v0
60 Eduardo Espinoza Ramos
B VA =48 pies!seg
t y(0 V
0 64 48
6 4
a =—32 pies/seg~
se sabe que v(t) = ja dt = j - 3 2 d t + c
v(t) = -32t + c como para t = 0, v(0) = 48 
48 = 0 + c entonces c = 48
Lueeo v(t) = -32t + 48
Además y(t) = J v(t)dl + k => y(t) = J (-32/ + 48)dt + k
y(() = -16/2 + 48/ + k como t = 0. y(0) = 64 
64 = 0 + 0 + k entonces k = 64 
Lueeo +48Í + 64 (2)
Calculando el tiempo transcurrido /AC que demora en llegar la pelota al suelo y esto 
ocurre cuando y = 0 de donde -16 /2 + 48/+ 64 = 0 => / 2 - 3 / - 4 = 0
(t — 4)(t + 1) = 0
es tAC = 4 seg
t = 4, t = -1 por lo
tanto el tiempo que tomara en llegar al suelo
1.5.12, EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
©
dy iResuelva la ecuación diferencial — = ( jc - 2) donde y(2) = 1.
dx
Solución
La solución general de la ecuación diferencial dada es:
Integral Indefinida 61
v(x) = í (x — 2)*dx + k= —-— i-k como y(2) = 1
J 4
(2 2)2 (x 2)2
v(2) = 1 = ---------- + k de donde k = 1 por lo tanto la solución es y = -----------+ 1
(T) Hallar la solución general de la ecuación diferencial x J \ + y 2 + v.Vl + x2 — = 0
w dx
Solución
A la ecuación diferencial expresamos con diferenciales
x.^l + y 1 dx + yrjl + x2dy = 0 separando las variables
x dx ydy _ . 4 , r x , f ydy ,_ = + _ = = 0 , integrando J - — - » *
VI + -v -^ /l + v* Vi + x V 1 + -v
de donde + -Jl + >'2 = A'
Hallar la solución general de la ecuación diferencial (4x + xy2)dx + (y + x2>*)rf>’ = 0
Solución
A la ecuación diferencial expresamos en la forma: 
x.(4 + y 2)d\ + v*(l + x2 )dy = 0 , separando las variables
xdx vdy .— + ——— = 0 , integrando
i + x 4+>-2
f * ■ + f ^ = lnfr de donde — ln(l + x2)+~ln(4 + >'2) = lnA'
J 1 + x2 J 4 + / 2 2
InVl + x2 ^ 4 + >‘2 = InA' de donde Vi + x2 ^ 1 + >’2 = £
/. ( l+ x 2) ( 4 + r ) = c
62 Eduardo Espinoza Ramos
Hallar la solución general de la ecuación diferencial x dy + i/l + y 2 dx = 0
Solución
jc dy + + y 2 dx = 0, separando las variables
. ^ + — = 0 , integrando ambos miembros
V1 + r x
j*-^=¿L= + J — = k de donde In| y + -yjl + y2 | + ln r = lnr
lnx.(>* + */] + y 2 ) = lnc por lo tanto x,(y + ^1 + y 2) = c
© Hallar la solución particular de la ecuación diferencial sen 2x dx + eos 3 y dy = 0, 
./n\ 71 
y y
Solución
sen 2x dx + eos 3 y dy = 0 , integrando ambos miembros 
Jsen2xdx+ Jcos3yrf>’ = ¿ dedonde _ CQs 2x + sen3> = ^
.71 ^ 71 _ 7T 7Tcomo y(—) = — es decir para ,x = —, y = —
' 2 3 2 3
COS7T sen7r , 1 „ , fl 1---------+ ------- - k => — + 0 = A' => Ar= —
2 3 2 2
cos2,t sen3>- 1----------- h----- - = — dedonde 2 sen 3y—3 eos 2x = 3
2 3 2
© La pendiente de al recta tangente en cualquier punto (x,y) de esta curva es 3*Jx , si el 
punto (9,4) esta en la curva, encontrar una ecuación de la curva.
Integral Indefinida 63
Solución
dy i—
Por la condición del problema: mLf - — = 3^x de donde
dx
dy - ?>4x dx integrando J dy - J ?>4x dx + c
3_
y = 2 x 2 +c como la curva pasa por (9,4) entonces 
2
4 = 29 2 +e =>4 = 5 4 + c = > c = -50 /. y = 2 x4 x -5 0
Q La pendiente de una curva en cualquier punto (x,y) de ella es igual a eos x. Encontrar
una ecuación de la curva sí esta pasa por el punto ( y ,2)
Solución
dyDe la condición del problema se tiene: mLr = — = eos x
dx
De donde dy = eos x dx, integrando j d y - j eos x dx + k
y = sen x + k, como la curva pasa por el punto (y ,2) entonces
2 = sen — + Ar => 2 = I + k de donde k = 1 y = sen x + 1
2
^8) En cada punto de una curva cuya ecuación es y = f(x); Dxy = 6x - 2 , y en el punto
(1,2) la pendiente de la curva es 8. Halle una ecuación de la curva.
Solución
Dxy = | D¿ydx+k = J(6 jc-2 )dx + k =3x2 -2 x+ k 
mLt =Dxy |(|<2) = 8 entonces 3 - 2 + 4 = 8 => k = 7
64 Eduardo Espinoza Ramos
y = J Dxy dx + c = J(3x2 - 2x + 7)rfx + c
v = y3 - x2 + Ix + c , como la curva pasa por el punto (1,2) se tiene:
l = l - l + 7 + 6 c = -6 /. v = x* - x 2 + 7 x -6
Una partícula se mueve en línea recta, x(t) es la distancia dirigida por la partícula 
desde el origen en t seg. V(t) es la velocidad de la partícula en t segundos, a(t) es la 
aceleración de la partícula en t segundos.
a) a(t) = 5 — 2t, V(2) y x = 0 cuando t = 0 expresar V(t), x(t) en términos de t.
Solución
dva(f) = — = 5 -2 1 => dv = (5 — 2t) dt, integrando 
di
F(/) = 5 / - r + c para V= 2 cuando t = 0 => c= 2
por lo tanto r ( t f * 5 t - Í 2+2
V(t) = ^ - = 5 t - r +2 dedonde dx = ( 5 t - r +2)dt 
dt
f f i 5/2 / 3J d x - J ( 5 / - r 2 +2)dt+k => x(t) = —----— -i-2/ + Ar comox = 0 cuando t = 0
0 = 0 —0 + 0 + k entonces k = 0 .%: 0 )
2 3
7 7b) a(t) = 3 t - t ~, V = — y X = 1 cuando t= 1 expresar X y V en términos de t.
6
Solución
a ( t ) = ~ ~ 3 t - t 2 dedonde dV = (3 t - í2)dt 
dt
Integral Indefinida 65
j d l ' = | ( 3 / - r )dt + c => v(/) = —*— ^r + c
2 3
1 „ 7 7 3 lcomo l = 1. F = — se tiene — = -------- +c => c = 0
6 6 2 3
K</) = — = - ----— de donde dx = ( - — — )dt
dt 2 3 2 3
1 1 7como X( 1) = 1 entonces 1=------- + A k= —
2 12 12
~ í t 1x(t) — --------- + —
2 12 12
La velocidad de una partícula que se desplaza a lo largo de una recta en el instante es 
v{t) = t ]^\ + t 2 . Determinar la distancia recorrida por la partícula desde el instante 
/j =a/8 hasta el instante í 2 =-v/24
Solución
Sea X(t) la posición de la partícula en el instante t entonces X'(t) = v(/) = tA¡l + t 2 
La distancia recorrida desde el instante tx hasta el instante í2 es:
X(t2) - X ( t i ) = X(-J24)-A 'h/8) (1)
como X'(t)=v(t) => X(l) = J v(i)dt + c
______ 1 3
A'(o = J / .v i+ í2< a = -( i+ /2) 2 +c
fc6 Eduardo Espinoza Ramos
A<V24) = - ( l + 24)- +c = — +c : A'(V8) = -(1 + X)2 + i= — + c
3 3 3 3
125 1 27
©
,— r~ 125 27 98
como A'(-s/24)-A'(Ví<)=(— + í ) - ( — + í )= —
3 3 3
Sí el conductor de un automóvil desea aumentar su rapidez de 20 mi/h a 50 mi/h 
mientras corre una distancia de 528 pies ¿Cuál es la aceleración constante que debe 
mantener?
Solución
528 pies
mi 528 X8 .
K'‘ = 2 0 T - 3 6 Ó T T '’“i , ' ’‘*
„ mi 528 220 . ,
= JóW = ~3~ *>le'> Xeg
se conoce que 1 milla = 5280 pies
además V(i) = ja d i+ c de donde V(t) = at + c
cuando t = 0, V = — => — = 0 + t => c - —
3 3 3
— (1)
ademásás x(f) = j y ( t ) d i +A-, reemplazando x(l) = j (a! +— )dl+k=---- + — + A
2 3
cuando t = 0, x = 0 => 0 = 0 + 0 + k =>k = 0 entonces at2 88/ +
2 3 ... (2)
220ahora encontramos la aceleración cuando V = —— , t = ?
x = 528, reemplazando estos valores en (1) y (2)
Integral Indefinida 67
220 88 132-----= at+— => I = -----
3 3 3a
528 = - ( — )+— (— ) => 9a(528) = 20328
2 3 3 a
20328 77 , ia - -------- => a - — pies/ seg~
9(528) 18
(l2) Si se aplica los frenos de un carro viajando a 50 mi/h y si los frenos pueden dar al 
carro una aceleración negativa constante de lOpiesIseg2 . ¿Cuánto tardará el coche 
en detenerse? ¿Qué distancia recoiTerá antes de parar?
Solución
V - 50 mi = 220 pies
VA VB A ' h 3 seg
VB =?
•y
o - -20pies / seg "
además V(t) = j -20 dt -te = -20/ + c
220 220 220 cuando t - 0, V ----- de donde -----= 0 + c => c - -----
I - : 3
f * ?20 además *(/) J V{l)dt+k - j (-20/ f +
1 2'ilx(/) = -10/~ — , juanúo t = * '< = 0
(1)
7?0/0 = -0 + 0 + k Je dorde k = tí entona:.; jc(/) = -10/" +-----
3
68 Eduardo Espinoza Ramos
para hallar el tiempo que necesita para detenerse el carro es cuando V(t) = 0, t = ? en
220 11la ecuación (1)0 = -20/ + ---- entonces t = — seg
3 3
Luego la distancia recorrida es cuando / = — seg en (2):
3
11 11 , 220 11 1210 .
•v(—) = -IO(—)- + - ( — )= — - pies 
j 3 3 3 3
( b ) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad 
inicial de 20 pies/seg. ¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo y con qué velocidad 
llegará? ¿Durante cuanto tiempo está subiendo la piedra y que tan alto llegará?
Solución
VA —20 pies/ seg TAC = ?
/
/ V TiB = ? a = -32 pies/ seg.
i \> »
4 ------ Vf = ? porque se opone el movimiento
!\ B
dV_
dt
como a= — = ~32 => V(l) = j - 3 d l + c
V(t) = -32t + c para V = 20 pies/seg. cuando t = 0. x = 0 
20 = -0 + c => c - 2 0 luego V(t) = -32t + 20
V(t) = — = -32t + 20 => dx = (-32t + 20)dt integrando 
dt
J<¿t = J(-32r + 20)<*+A x(t) = - l6 t2 +20t+k 
x = 0 cuando t= 0 0 = -0 + 0 + k => k = 0
Luego se tiene x(t) = -16t2 + 20/
Integral
Indefinida 69
Tab es el tiempo que demora en llegar al suelo, para esto x = 0 => -16 /2 + 20f = 0
t = 0, / = —, el tiempo que demora en caer es —seg y la velocidad con que llega
4 4
5 piesal suelo es V = —32(—) + 20 = -20 —— , por lo tanto V = 20pies/seg es la velocidad
4 seg
con que llega al suelo; el tiempo que demora en subir es — es decir — seg
2 8
11.5.13. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS -
® Hallar la solución general de la ecuación diferencial.
a)
dy x~ 
dx v(l + .v3)
Rpta. 3y2 — 21n(l + *1) = c
b) f i 7 7 ^ = x 2v+ x2
dx
Rpta. 2^\-\-x* = 31n(j? + l) + c
. dy , 2 ?c) — = 1 x + v -i- xy
dx
Rpta. a rc tgy -jt------- c
d)
dy _ e * + x 
dx y + ey
Rpta. y 2 - x 2 +2(ey - e x ) = c
e) ( x - y 2x )d x+ (y -x1ytd, - 0 Rpta. (x2 - l) (y 2 -1) =k
f) {x + x^jy )dy+y-fyax ~ •' Rpta. — + ln xy = c
<y
g) ey(l+x )d -jí:(1+e"kfx = 0 Rp.a. l + e y =c(í+x2)
h) (ey +1) --íx éD-e- 'senr+Dtfy-Q Rpta. (senjc + lXe-*’ + l) = k
70 Eduardo Espinoza Ramos
(T) Hallar la solución particular de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales.
v *• , 3 2 „ 3 v4 2 9a) ~~ = 3x + - T ,y ( l ) = l Rpta. y = — --------- + —
dx x - 4 x 4
b) ~ = J -----y(2) = -l Rpta. y = 2-fx+2 —5
dx -yj x + 2
J
c) v” —~— x 2 = 0 , y{-2) = -2 Rpta. y= x
dx
d) (4x+*>•2 )rfx + (>• + x 2 = 0, y( 1 )-2 Rpta. (1 ■+ x 2 )(1 + y 2) = 16
i
e) ^ l = x y y . y(3) = 1 Rpta. jc3 -3jc-3>-- 3 ln | >• |= 21
dx .v+1
f) ÉL^ ' - t o - y ' ^ 3)b1 Rpta. (x3 -1)4 =264(2.v2 -J)
dx y - x 3y
g) — -2jr tgx =0 , v(~) = 2 Rpta. y = 2 sen 2 jr
dx ' 2
h) x(y6 +l)dx+y2(x4 +l)dy = 0, y(0)=l Rpta. 3arctg2 + 2 arctg y 3 = —
j2»
© Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad 
inicial de 128 pie/seg. Si la única fuerza que se considera es la atribuida a la 
aceleración de la gravedad, determinar:
a) Cuanto tiempo tardara la piedra en chocar contra el suelo.
b) La velocidad con la cual chocara contra el suelo.
c) A que altura se elevara la piedra en su ascenso.
Rpta. a) 8 seg. b) 128pies/seg. c) 256 pies
Integral Indefinida 71
© Una pelota se deja caer desde la cúspide del monumento a Washington, el cual tiene 
555 pies de altura
a) ¿Cuánto tiempo tomara a la pelota llegar al suelo?
b) ¿A que velocidad chocara la pelota con el suelo?
Rpta. a) — V555 seg b) 8^555 pieslseg
4
& En un movimiento rectilíneo, la función aceleración de un punto es a(t) = -32 en el
instante t > 0. Si la velocidad del punto es -20 cuando t = 0, y la posición del 
mismo punto en 10 unidades en la dirección positiva cuando t = 0, encuentre la 
función velocidad V(t) y la función de posición x(t).
Rpta. V(t) = -32t - 20 , .v(/) = -16/2 -2 0 /+ 10
(ó ) Una mujer que se encuentra en un globo deja caer sus binoculares cuando el globo
esta a 150 pies de altura sobre el suelo y se eleva a razón de 10 pie/seg.
a) ¿Cuánto tiempo tardaran los binoculares en llegar al suelo?
b) ¿Cuál es la velocidad de los binoculares al momento del impacto?
Rpta. a) 3.4 seg. b) 99 pie / seg.
Usted arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 97 
pie/seg. ¿A que altura sube la pelota, y por cuanto tiempo permanece en el aire?
Rpta. 144 pies f 6 seg.
Laura suelta una piedra a un pozo, esta llega al fondo 3 seg. después ¿Cuál es la 
profundidad del pozo? Rpta. 144 pies.
parte superior de un edificio de altura 160 pies. La pelota cae al suelo en 1 base del 
edificio ¿Cuánto permanece la pelota en el aire, y con que velocidad golpea al suelo?
Efrain arroja una pelota hacia arriba, con una velocidad inicial de 48 pies/seg. desde la
Rpta. 5 seg. , 112pies/seg.
72 Eduardo Espinoza Ramos
© Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 40 
pies/seg. desde un punto situado a 20 pies sobre el nivel del suelo.
a) Si v pies/seg. es la velocidad de la pelota cuando está a x pies del punto inicial, 
exprese v en términos de x
b) ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando ésta se encuentra a 36 pies del suelo y 
sigue ascendiendo?
Rpta. a) v2 = -64jc +1600 b) 24 pies/seg.
( l l ) Una partícula se desplaza en linea recta en forma tal que sí v cm/seg. es la velocidad
de la partícula a los t segundos, entonces V(t) = sen xrt, donde el sentido positivo es a 
la derecha del origen. Si la partícula está en el origen al inicio del movimiento,
determine su posición y segundos más tarde.
Rpta. — cm a la derecha del origen.
2 n
( l ^ Juanito arroja una piedra hacia arriba, desde el suelo. La piedra alcanza una altura
máxima de 225 pies. ¿Cuál era su velocidad inicial? Rpta, 120 pies/seg.
( l ^ Gálvez arroja una pelota de tenis hacia arriba, desde la parte superior de un edificio de
400 pies de altura ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo? ¿Con que 
velocidad golpea al suelo?. Rpta. 5 seg. y -160 pies/seg.
14) Se arroja una pelota hacia arriba, desde el suelo, con una velocidad inicial de 160
pies/seg. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? Rpta. 400 pies
(ls ) Si el conductor de un automóvil desea aumentar la velocidad de 40 km./hr a 100
km./hr al recorrer una distancia de 200 m ¿Cuál es la aceleración constante que debe
mantenerse? Rpta. 1.62 m
seg
Integral Indefinida 73
(íé) El punto (3,2) esta en una curva y en cualquier punto (x,y) de la curva, la recta
tangente tiene una pendiente igual a 2x —3. Encontrar una ecuación de la curva.
Rpta. y ~ x 2 -3x + 2
^ 7) En cualquier punto (x,y) de una curva D2y = l - x 2, y una ecuación de la recta
tangente a la curva en el punto (1,1) es y = 2 - x. Encontrar una ecuación de la curva.
Rpta. 12y - 6a*2 —x 4 - 20x + 27
(l?) Los puntos (-1,3) y (0,2) están en una curva y en cualquier punto (x,y) de la curva
D 2y - 2 - 4x . Encontrar una ecuación de la curva. Rpta. 3y = 3x2 - 2x3 + 2x + c
(l?) Encontrar la curva que pasa por el punto (1,2) cuya normal en cualquier punto
(excepto en x = 0) se biseca por el eje X. Rpta. y 2 + 2x2 = 6
(20) La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x,y) en una curva es 10 - 4x y
el punto (1,-1) esta en la curva. Encontrar una ecuación de la curva.
Rpta. y = 10x-2x2 - 9
IA METODOS DE INTEGRACION -
Entre los métodos de integración que se va ha estudiar se tiene: Integración de las
funciones trigonométricas, integración por partes y casos especiales, integración por 
sustitución trigonométrica, integración de funciones racionales por descomposición en 
fracciones parciales, el Método de Ortrograski, integración de funciones racionales de 
seno y coseno, integración de algunas funciones irracionales entre ellas las binomiales 
con la combinación de CHEBICHEV.
l& f INTEGR>M-íON; Dfc £ AS ÍPSÍCÍON^
Se trata de las integrales que tiene la forma siguiente:
74 Eduardo Espinoza Ramos
J sen* jcife* Jctg1*xd xy
Jscn^ xcos" xáx s jVfg'* xcose^xás
Para calcular estas integrales, aplicaremos los criterios siguientes:
a) Para el cálculo de las integrales de la forma:
m j:
¡sen* xrf*, eos" ': J J
Se presentan dos casos:
ler. Caso.- Cuando n es un número entero positivo par, se usan las identidades 
siguientes:
■- u;. "a t ... ■....., a jal; v. wjj ;.u ■ ■. .q»¿y vt•
I —eos 2x 1 + ^
2 ■ 2
2do. Caso.- Cuando n es un número entero positivo impar, a las integrales de 
este caso expresaremos en la forma:
J sen* x á x - J scvT1 xsenxdx 
| eos* xdx~ 1
Luego se usa la identidad sen2 x + cos2 x = l 
Ejemplos de aplicación de este criterio.
Calcular las integrales siguientes:
Jsen2 3x¿¿T
Solución
Observamos que el exponente es par, entonces usamos la identidad
Integral Indefinida 75
sen2 3x =----- —— , luego al reemplazar en la integral dada se tiene:
i
f * 1 f,, ^ , 1 , sen 6x v jc sen 6xsen“ 3 xdx = — (1 - eos 6x)dx = — (x------ ) + c -----------------+

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