Límite-indeterminado-0-entre-0-por-doble-racionalización

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Límites indeterminados 0/0 por doble racionalización 
 
Contenido 
 
Calcular los siguientes límites por doble racionalización 
 
 
 
 
 
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Solución: 
Claramente se trata de un límite indeterminado de la forma 
 
 
, ya que 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces para calcular el límite vamos racionalizar tanto numerador como denominador. 
Primero el numerador: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicando y dividiendo por 
el conjugado del numerador, 
que es . 
 
Recordemos, por binomios conjugados, que: 
La raíz cuadrada se 
cancela con el cuadrado: Reduciendo términos semejantes: 
 
Hasta aquí terminamos con la primera racionalización. 
Ahora, para la segunda racionalización, multiplicar y 
dividir por el conjugado de que es 
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Por lo tanto 
 
Regresar al contenido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ya que , aparece 
en el numerador y en el 
denominador, entonces 
simplificando tenemos: 
 
Recordemos, por binomios 
conjugados, que: 
La raíz cuadrada se cancela 
con el cuadrado: 
 
Aplicando el límite, es 
decir, sustituyendo 
 , tenemos: 
Simplificando
: 
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Solución: 
Ya que 
 
 
 
 
 
 
Tenemos que es un límite indeterminado de la forma 
 
 
. Entonces para calcular el límite vamos 
racionalizar tanto numerador como denominador. 
Primero el numerador: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicando y dividiendo por el 
conjugado del numerador. El conjugado 
de es . 
 
La raíz cuadrada se cancela con el cuadrado: 
Hasta aquí terminamos con la primera racionalización. 
Ahora, para la segunda racionalización, multiplicar y dividir 
por el conjugado de , el cual es 
 
Recordemos, por binomios conjugados, que: 
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Por lo tanto 
 
 
Regresar al contenido 
 
 
Recordemos, por binomios conjugados, que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
La raíz cuadrada se 
cancela con el cuadrado 
 
Ya que está tanto en el numerador 
como en el denominador, entonces 
simplificando tenemos 
 
Aplicando el límite, 
sustituyendo 
Simplificando 
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Solución: 
Tenemos que se trata de un de un límite de la forma 
 
 
, ya que 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces para calcular el límite vamos racionalizar tanto numerador como denominador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para racionalizar el numerador, 
multiplicamos y dividimos por su 
conjugado, el cual es 
Recordemos, por binomios 
conjugados, que: 
Hasta aquí terminamos con la primera 
racionalización. 
Ahora, para la segunda racionalización, 
multiplicar y dividir por el conjugado de 
 , que es 
Recordemos, por binomios 
conjugados, que: 
 
Factorizando por término común 
La raíz cuadrada se cancela con el 
cuadrado, y, además, aplicando leyes 
de los exponentes a , 
recordemos que: 
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Por lo tanto 
 
 
Regresar al contenido 
 
 
Ya que tenemos a tanto 
numerador como denominador, 
entonces simplificando tenemos:Aplicando diferencia de cubos a 
 . Recordemos que: 
Aplicando el límite, sustituyendo 
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Solución: 
Claramente es un límite indeterminado de la forma 
 
 
, ya que 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces para calcular el límite vamos racionalizar tanto numerador como denominador. 
Primero en el numerador: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicando y dividiendo por el conjugado 
del numerador, el cual es 
 
La raíz cuadrada se 
cancela con el cuadrado 
 
Hasta aquí ya terminamos con la primera racionalización. 
Ahora, para la segunda racionalización, multiplicar y dividir por 
el conjugado de que es 
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Por lo tanto 
 
 
Regresar al contenido 
 
 
 
 
 
 
Ya que tenemos tanto en el 
numerador como en el denominador, 
entonces simplificando tenemos: 
 
La raíz cuadrada se cancela con el cuadrado 
Aplicando el límite, 
sustituyendo : 
 
Ya que tenemos tanto 
en el numerador como en 
el denominador, entonces 
simplificando tenemos 
 
Utilizando: 
 
 
 
 
 
 
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Solución: 
Como podemos observar es un límite indeterminado de la forma 
 
 
, ya que 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces vamos a encontrar el límite usando algebra. Aplicaremos racionalización tanto al 
numerador como al denominador. Primero empecemos con el numerador: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicando y dividiendo por el conjugado 
del numerador, que es 
Cancelando la raíz 
cuadrada con el cuadrado 
Hasta aquí ya terminamos con la primera racionalización. 
Ahora, para la segunda racionalización, multiplicar y dividir por 
el conjugado , el cual es: 
 
 
Recordemos, por binomios conjugados, que: 
Aplicando leyes de los signos para 
eliminar el paréntesis a 
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Por lo tanto 
 
 
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Reescribiendo 
 
 
Ya que en el numerador y en el 
denominador tenemos el factor 
 , simplificando tenemos: 
 
 
 
 
 
Usando: La raíz cuadrada se 
cancela con el cuadrado 
Aplicando el límite, 
sustituyendo