Analisis en Ingeniería2

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Las siguientes:
NOTAS DE CLASE
ANÁLISIS EN INGENIERÍA 
MECÁNICA
Han sido evaluadas y aprobadas 
como material de apoyo didáctico 
dentro de los cursos de la FIMEE 
de la Universidad de Guanajuato.
POR LA COMISION DE 
SUPERACION ACADEMICA DE 
LA H. ACADEMIA DE LA FIMEE.
OCTUBRE DE 2007.
Autor:
Dr. Luz Antonio Aguilera Cortés
Clave de identificación
N.ME.M.(1) I 07-10
Maestría en Ingría. Mecánica Análisis en Ingeniería 
 
Aguilera A 
 
 
 
NOTAS DE CLASE. 
 
CURSO: ANÁLISIS EN INGENIERÍA 
MECÁNICA 
Clave: 
Dr. Luz Antonio Aguilera Cortés 
Otoño 2007 
 
Maestría en Ingría. Mecánica Análisis en Ingeniería 
 
Aguilera A 
Índice 
I. Álgebra Vectorial 
 Álgebra Vectorial ………………………………………… I-1 
 Funciones Vectoriales de una Variable …………………… I-13 
 Derivada Direccional ………………………………….… I-17 
 Gradiente, Divergencia y Rotacional……………………… I-17 
 Ejemplos ………………………………………………… I-23 
 
II. Cálculo Variacional 
 Funcionales ……………………………………………… II-1 
 Ecuación de Euler ……………………………………… II-6 
 Lema Básico ………………………………………… II-9 
 Variaciones …………………………………………… II-10 
 Ejemplos ……………………………………………… II-14 
 Multiplicadores de Lagrange y Restricciones ………… II-27 
 
III. Ecuaciones Diferenciales Parciales 
 EDP Introducción ……………………………………… III-1 
 EDP 2º Orden Clasificación …………………… III-8 
 Ejemplos ……………………………………… III-9 
 Deducción de EDP ………………………………… III-15 
 Solución de D’Alembert …………………………….. III-30 
 Separación de Variables ……………………………. III-33 
 Ejemplos …………………………………………… III-35 
 Transformada de Laplace ………………………….. III-55 
 Diferencias Finitas ………………………………… III-61 
 
IV. Matrices y Formas Cuadráticas 
 Determinantes y Matrices …………………………. IV-1 
 Formas Cuadráticas ………………………………... IV-5 
 Funciones de una matriz cuadrada ………………... IV-14 
 Teorema de Cayley-Hamilton ……………………… IV-30 
 
V. Tensores (Opcional) 
 Coordenadas Oblicuas …………………………… V-1 
 Coordenadas Curvilíneas ……………………….. V-12 
 Transformaciones ……………………………… V-16 
 Convención suma de Einstein …………………. V-17 
 Tensores ……………………………………… . V-25 
 Derivada Covariante ……………………………. V-29 
Bibliografía 
Maestría en Ingría. Mecánica Análisis en Ingeniería 
Análisis Vectorial I-1 Aguilera A. 
 ALGEBRA VECTORIAL 
 
Vector: Para nuestros propósitos un vector en un espacio Euclideano es bien definido como un 
segmento lineal con una dirección y magnitud dadas. 
 
 
 F B 
 
 A 
 
 
 
Escalar: Cantidad que sólo posee magnitud. 
 Volumen, masa, temperatura, densidad, energía, trabajo, tiempo. 
 
 La magnitud o longitud de un vector se conoce como el valor absoluto del vector: 
 A = ⏐A⏐ 
 
 Despreciando su dirección, un vector cuya longitud, o valor absoluto, es la unidad se 
llama vector unitario. 
 
 Dos vectores son iguales si ellos tienen la misma dirección y la misma magnitud. 
 
 El negativo de un vector (-A) es aquél que tiene idéntica longitud pero dirección opuesta 
al original. 
 
 La suma de dos vectores A y B está definida por la ley del paralelogramo. 
 
 
 B B A-B = A+(-B) 
 A+B A 
 -B 
 A 
 
 A-B 
 
 La suma (resta) de dos vectores es otro vector. 
 
De su definición es evidente que: A+B = B+A 
 
La suma vectorial es conmutativa y asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C 
 
Vector por un escalar (n) 
 
i) n > 0 (positivo) 
 
 nA = An 
 
Desplazamiento 
Fuerza, velocidad, 
Aceleración, 
Campo eléctrico 
Campo magnético 
Maestría en Ingría. Mecánica Análisis en Ingeniería 
Análisis Vectorial I-2 Aguilera A. 
 El nuevo vector (nA) tiene la misma dirección y sentido que A pero su magnitud ha 
cambiado en la forma siguiente: 
 
 n > 1: Aumento n veces. 
 n = 1: Permaneció inalterada. 
 0 < n < 1: Disminuyó en proporción al valor de n. 
 
ii) n < 0 (negativo) 
 
Para valores negativos de n, el nuevo vector (nA) tiene dirección opuesta a A. Su 
magnitud se modifica en la misma forma que para el caso 1, sólo que en términos del 
escalar ⏐n⏐ 
 
 n = 2 
 A 2A 
 
 
 -A/2 n = -1/2 
 
 
 
PRODUCTO PUNTO Y CRUZ 
 
-PRODUCTO PUNTO: El producto punto de 2 vectores es un escalar igual al producto de 
los valores absolutos de los dos vectores y el coseno del ángulo entre sus direcciones. 
 
 A⋅B = ⏐A⏐⏐B⏐cosθ 
 B 
 
 Proyección de A 
 Sobre B ⏐A⏐cosθ 
 θ 
 A 
 Proyección de B sobre A 
 
Sobresalen dos casos particulares: 
 
1) Si uno de los vectores, digamos A, es de longitud unitaria, entonces A⋅B se simplifica a: 
⏐B⏐cosθ = Bcosθ, la cual es justamente la proyección, o componente de B en la dirección del 
vector unitario. 
 
2) Si B = A, entonces, obviamente: 
 
 A⋅A =⏐A⏐2= A2 ya que θ = 0; 
 
El producto punto es conmutativo y distributivo sobre la adición: 
 
El producto de 2 vectores es igual a la longitud de 
uno u otro de ellos multiplicada por la proyección 
del otro sobre él. 
Maestría en Ingría. Mecánica Análisis en Ingeniería 
Análisis Vectorial I-3 Aguilera A. 
 A⋅B = B⋅A ya que el cosθ es el mismo en ambos casos. 
 
 A⋅(B + C ) = A⋅B + A⋅C 
 
Si A⋅B = 0, entonces al menos uno de los vectores ( A, B ) es cero o A y B son perpendiculares. 
 
-PRODUCTO CRUZ: El producto vectorial de dos vectores A y B representado A x B es un 
vector V cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de A, B y el seno del 
ángulo entre ellos y cuya dirección es perpendicular al plano definido por A y B en la 
dirección de avance de un tornillo de rosca derecha que ha sido rotado de A hacia B. 
 
 
 A x B 
 
 BA 
 
 
 
 
 B 
 
 ⏐B⏐senθ 
 θ 
 A 
 
 De la relación entre el producto cruz y el área es fácil mostrar que la multiplicación 
vectorial es distributiva sobre la adición: 
 
 A x (B+C) = (A x B) + (A x C) 
 
Y la multiplicación vectorial es NO conmutativa: 
 
 A x B = -B x A 
 
Si A x B = 0, entonces uno u otro de los vectores A, B es cero o A y B son paralelos. 
 
 
VECTOR UNITARIO 
 
 Se define un vector de magnitud unitario como un vector con cierta dirección prescrita. 
 
 Por lo tanto, se puede expresar el vector unitario êA en la dirección del vector A como: 
 
 êA = 
Α
Α 
Ya que ⏐B⏐⏐senθ⏐ es la proyección de B en la 
dirección perpendicular a A o, en otras palabras, es la 
altura del paralelogramo definido cuando A y B son 
dibujados de un punto común, así la magnitud de AxB 
nominalmente: ⏐A⏐⏐B⏐⏐senθ⏐, es igual al área de 
ese paralelogramo. 
Maestría en Ingría. Mecánica Análisis en Ingeniería 
Análisis Vectorial I-4 Aguilera A. 
kZjYiXR ˆˆˆ ++=
y así: 
 A = AêA 
 
 Se ha visto que los vectores unitarios se pueden definir en cualquier dirección. Sin 
embargo, los vectores unitarios más útiles son aquellos que tienen direcciones mutuamente 
ortogonales (conjunto ortonormal), por ejemplo las direcciones X, Y y Z de las coordenadas 
cartesianas rectangulares, denotadas comúnmente por kyji ˆˆ,ˆ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR 
 
 Luego Xi, Yj y Zk representan las longitudes de los vectores X, Y y Z cuyas direcciones 
corresponden a la de los ejes. De la definición de suma vectorial es evidente que el vector que 
une el origen al punto general P(X,Y,Z) está definido por: 
 R 
 
En términos mas generales, cualquier vector cuyas componentes a lo largo de los ejes 
coordenados son, respectivamente, a1, a2 y a3 puede escribirse: 
 
 A = a1i + a2j + a3k 
 
Luego si 
 B = b1i + b2j + b3k 
Entonces 
 A ± B = (a1 ± b1)i + (a2 ± b2)j + (a3 ± b3)k 
 
Claramente, dos vectores serán iguales si y sólo si, sus respectivas componentes son iguales. 
 
 Ya que el producto punto de vectores que son perpendiculares es cero, se tiene que: 
 i⋅j = j⋅k = k⋅i = 0 
 
kˆ
jˆ
iˆ
X
Y
Z
Maestría en Ingría. Mecánica Análisis en Ingeniería 
Análisis Vectorial I-5 Aguilera A. 
 Sin embargo, aplicando la magnitud de un vector, se tiene: 
 i⋅i = j⋅j = k⋅k = 1 
 
 De aquí: 
 A ⋅ B = (a1i + a2j + a3k)⋅(b1i + b2j + b3k) 
 =a1b1 + a2b2 + a3b3 
 
 
 En particular, si B = A, se tiene 
 
 A⋅A =⏐A⏐2 = a12 + a22 + a32 
 ó 
 ⏐A⏐= 232221 aaa ++ 
Así, si: 
 A = Axi + Ayj + Azk 
 B = Bxi + Byj + Bzk 
 
 A⋅B= (Axi + Ayj + Azk)⋅ (Bxi + Byj + Bzk) 
 =(i⋅i)AxBx+(i⋅j)AxBy+(i⋅k)AxBz+(j⋅i)AyBx+(j⋅j)AyBx+(j⋅k)AyBz 
 +(k⋅i)AzBx+(k⋅j)AzBy+(k⋅k)AzBz 
 
 = AxBx + AyBy + AzBz 
 
 El ángulo comprendido entre dos vectores A y B: 
Recordando que A⋅B=⏐A⏐⏐B⏐cosθ, resolviendo para cosθ,se tiene: 
 
 a1b1+a2b2+a3b3 
 cosθ= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lAlB + mAmB + nAnB 
 23
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1 bbbaaa ++++ 
 
 A⋅B = ABcosθ 
 
∴ cosθ= (A⋅B)/AB = (AxBx + AyBy +AzBz)/AB = lAlB + mAmB + nAnB 
 
 
Ejemplo: 
 
1) Encontrar el ángulo entre los vectores A= 2i + 3j - 1k y B= -1i + 1j + 2k 
 
Calculamos primero su producto escalar: 
 A⋅B = (2i+3j-1k)⋅(-1i+1j+2k)= (2)(-1)+(3)(1)+(-1)(2) = -2+3-2 
 
 A⋅B = -1 
Luego la magnitud de cada vector: 
 
 A = 14132 222 =++ = 3.74 
Aplicando la propiedad 
distributiva, expandiendo y 
simplificando 
Maestría en Ingría. Mecánica Análisis en Ingeniería 
Análisis Vectorial I-6 Aguilera A. 
 B = 6211 222 =++ = 2.15 
Así: 
 cosθ= -1/(3.74)(2.15)= -1/9.17=-0.109 
 
θ=96.3° 
 
 Para el producto cruz de los vectores unitarios i, j y k, se tiene: 
 
 ixi = jxj = kxk = 0 
 ixj = -jxi = k 
 jxk = -kxj = i 
 kxi = -ixk = j 
 
 Luego se obtiene para el producto cruz de dos vectores: 
 
 A x B=(a1i+a2j+a3k)x(b1i+b2j+b3k) = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k 
 
 El cual es precisamente la forma expandida del determinante: 
 
 i j k 
 AxB= a1 a2 a3 
 b1 b2 b3 
 
 El carácter anti-conmutativo del producto cruz corresponde así al hecho de que 
intercambiando dos renglones de un determinante cambia el signo del determinante. 
 
 
 TRIPLE PRODUCTO 
Se tienen los 3 siguientes casos: 
 
 (A⋅B)C ; A⋅(B x C) ; A x (B x C) 
 
(A⋅B)C Es un vector cuya longitud es ⏐A⋅B⏐ veces la longitud de C y cuya dirección es la 
misma de C u opuesta según si A⋅B es positivo ó negativo. 
 
A⋅(B x C) TRIPLE PRODUCTO ESCALAR 
 Geométricamente, el triple producto escalar A⋅(B x C) representa el volumen de un 
paralelepípedo de aristas A, B y C. 
 
 De aquí A⋅(B x C), cuyo valor es justamente la magnitud de B x C multiplicada por la 
proyección de A sobre B x C, es numéricamente igual al volumen del PARALELEPÍPEDO. Además 
se cumple: 
 
 A⋅(BxC) = B⋅(CxA) = C⋅(AxB) = [ABC] 
 
A⋅(BxC) ≠ A⋅(CxB) Por qué? 
 
Maestría en Ingría. Mecánica Análisis en Ingeniería 
Análisis Vectorial I-7 Aguilera A. 
 
En cualquier triple producto escalar el punto y la cruz pueden intercambiarse sin alterar el 
valor del producto. [ABC] 
 
[ABC] = 0 es una condición necesaria y suficiente para que A, B y C sean paralelas a un mismo 
plano. En particular, si dos factores de un triple producto escalar tienen la misma dirección, el 
producto es cero. 
 
Ejemplo: VOLUMEN DE UN PARALELEPIPEDO 
 
 Demostrar que el valor absoluto de A⋅(B x C) es igual al volumen de un paralelepípedo de 
aristas A, B y C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I=⏐BxC⏐=⏐B⏐⏐C⏐senθ 
h=A⋅n=Acosγ 
V = [Acosγ][⏐B⏐⏐C⏐senθ] 
 
Volumendel paralelepípedo = [altura (h)][área del paralelogramo (I)] 
 
V = (A⋅n)(⏐BxC⏐) 
V = A⋅{⏐BxC⏐n} 
V = A⋅(BxC) 
 
 La altura del paralelogramo es la proyección del vector A sobre BxC. 
 Algebraicamente, si escribimos: 
 
 A = a1i + a2j + a3k; B = b1i + b2j + b3k; C = c1i + c2j + c3k; 
 
 Se tiene: 
 A⋅(BxC)=(a1i+a2j+a3k)⋅[(b2c3-b3c2)i-(b1c3-b3c1)j+(b1c2-b2c1)k] 
 A⋅(BxC)=a1(b2c3-b3c2)-a2(b1c3-b3c1)+a3(b1c2-b2c1) 
 
 Lo cual es justamente la forma expandida del determinante: 
 
 a1 a2 a3 
 [ABC]= b1 b2 b3 
 c1 c2 c3 
 
Sea n el vector unitario perpendicular al 
paralelogramo I, con la misma dirección y 
sentido que BxC, y h la distancia del 
extremo A al paralelogramo I. 
C h
I
Maestría en Ingría. Mecánica Análisis en Ingeniería 
Análisis Vectorial I-8 Aguilera A. 
 Finalmente para el triple producto vectorial, se tiene: 
 
 A x (BxC) = (A⋅C)B - (A⋅B)C 
 
 Además: 
 A x (B x C) ≠ (A x B) x C 
 
 Con el conocimiento del triple producto escalar y vectorial, los productos que involucren 
mas de tres vectores pueden ser expandidos sin dificultad: 
 (A x B )⋅(C x D) = A⋅[B x (C x D)] 
 = A⋅[(B⋅D)C - (B⋅C)D] 
 = (A⋅C)(B⋅D) - (A⋅D)(B⋅C) 
 
 similarmente: 
 
 (A x B) x (C x D) = (A x B⋅D) C-(A x B⋅C)D 
 TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL = [ABD]C-[ABC]D 
 
 
Ejemplos 
 
(1) Sea: 
 A=17i + 8j + 12k 
 B=5i + 10j + 3k 
 
Obtener A-B 
 
A-B=(17i + 8j + 12k ) -(5i + 10j + 3k) = (17-5)i + (8-10)j + (12-3)k 
A-B=1 i -2j +9k 
 
 
(2) Dados los vectores A y B, determinar C = A-B, ¿Cuáles son los cosenos directores de C? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TAREA 
DEMOSTRAR 
IDENTIDAD DE LAGRANGE 
De la figura se tiene: 
 A=10i+5k 
 B=3j+4k 
 
Entonces: 
 C=A-B=10i-3j+k 
Luego: 
 
⏐C⏐=(102+32+12)1/2=1101/2=10.49 
 
y los cosenos directores: 
 
l= 10/10.49= 0.953; m=0.286;n=0.095 
 m=-3/10.49 =-0.286 
Maestría en Ingría. Mecánica Análisis en Ingeniería 
Análisis Vectorial I-9 Aguilera A. 
(3) Dados los vectores 
 A=17i+8j+12k 
 B=5i+10j+3k 
 Determinar su suma y la magnitud de C ∴ C = A + B 
 
Solución: 
 C=A+B=(17i+8j+12k)+(5i+10j+3k) 
 C=(17+5)i+(8+10)j+(12+3)k 
 C=22i+18j+15k 
y la magnitud: 
 C=(222+182+152)1/2=10331/2=32.14 
 
(4) Sea: 
 A=20i+4pj+rk 
 B=4i+8j+(p+q)k 
 C=8qi+8qj+15k 
∴ p, q, r son escalares desconocidos y C = A + B determinar p, q y r. 
 
C = A + B 
 8qi+8qj+15k=(20i+4pj+rk)+[4i+8j+(p+q)k] 
 8qi+8qj+15k=24i+(4p+8)j+(r+p+q)k 
 
A partir de esta ecuación se obtiene: 
 
 8q = 24 ∴ q = 3 
8q = 4p+8 ∴ p = 4 
15 = r+p+q ∴ r = 8 
 
 
(5) Vector unitario y cosenos directores. 
 
a) Expresar el vector V en función de sus componentes y determinar el vector unitario êv. 
 
b) ¿Cuáles son los cosenos directores l, m y n correspondientes a V y los ángulos respectivos α, β 
y γ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ev= V/ V ∴ V=Vev 
Maestría en Ingría. Mecánica Análisis en Ingeniería 
Análisis Vectorial I-10 Aguilera A. 
Solución: 
 
a) Utilizando vectores coordenados unitarios, el vector V se puede expresar en función de 
sus componentes unitarias como: 
 V=3i+4j+12k 
 
 La magnitud de V puede calcularse fácilmente: 
 V = (32 + 42 + 122)1/2 =13 
 
 Entonces: 
 êv = V/V = (3i+ 4j+ 12k)/13=0.231i+0.308j+0.923k 
 
b) Como el vector unitario se puede expresar en la forma: 
 êv=li+mj+nk 
 
Se obtiene: 
 
 l = cosα = 0.231 ∴ α = 76º39’ 
 m = cosβ = 0.308 ∴ β = 72º3’ 
 n = cosγ = 0.923 ∴ γ = 22º38’ 
 
 
6) Área de un paralelogramo 
 
-Hallar el área del paralelogramo determinado por los vectores: 
 
 A = 2i + 3j - k 
 B = -i + j + 2k 
 
Calculemos primero el producto vectorial de A y B 
 
 i j k 
 A x B= 2 3 -1 = [(3)(2)-(1)(-1)]i-[(2)(2)-(-1)(-1)]j+[(2)(1)-(-1)(3)]k 
 -1 1 2 
 
 A x B = 7i - 3j + 5k 
 
 Luego el área del paralelogramo es justamente la magnitud de AxB: 
 
 Área = ⏐A x B⏐= 25949537 222 ++=++ = 9.11 u2 
 
 
 
 
 
Maestría en Ingría. Mecánica Análisis en Ingeniería 
Análisis Vectorial I-11 Aguilera A. 
 
7) Área de un triángulo 
 
-Determinar el área del triángulo cuyos vértices son (0,0,0), (2,4,10) y (3,12,5) 
 
SOLUCIÓN: 
Puesto que 
Área=1/2ABsen(A,B)=1/2⏐AxB⏐ 
∴ A=2i+4j+10k 
 B=3i+12j+5k 
 
 i j k 
 A x B = 2 4 10 = -100i + 20j + 12k 
 3 12 5 
 
 ⏐A x B⏐= 222 1220100 ++ = 102.7 
∴ Área = 102.7/2 = 51.35 u2 
 
 
(8) Expresión de un vector por medio de los vectores coordenados unitarios. 
 
 Los vectores A y B de las caras del paralelogramo tienen magnitudes de 65 y 20√2 
respectivamente, expresar A y B en función de sus componentes utilizando los vectores 
coordenados unitarios: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
 
 êA=(12j-5k)/13 
 êB=(-5i+5k)/5√2 
 
así: 
 A=AêA=65[(12j-5k)/13]=60j-25k 
 B=BêB=20√2[(-5i+5k)/5√2]=-20i+20k 
 
 
 
Maestría en Ingría. Mecánica Análisis en Ingeniería 
Análisis Vectorial I-12 Aguilera A. 
 
DISTANCIA MÍNIMA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA 
 
9) Determinar la distancia mínima entre el punto (1,4,8) y la recta que pasa por (0,0,0) y (2,14,5) 
 
SOLUCIÓN: 
 
La distancia mínima entre el punto A y la recta 
OB es la perpendicular AD, trazada desde A 
hasta la recta OB, de la figura. 
 
 
AD=B sen(A⋅B)= AB sen(A⋅B)/A = ⏐AxB⏐/A 
 
Y como: 
 
A=2i+14j+5k 
B=i+4j+8k 
 
entonces: 
 
 i j k 
AxB = 2 14 5 = 92i - 11j - 6k 
 1 4 8 
 
De manera que: 
 
⏐AxB⏐ = ( ) ( )862161192 222 =++ = 93 
⏐A⏐ = ( ) ( )2255142 222 =++ =15 
 
Así: 
 
AD= 93/15= 6.2 u 
 
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Análisis Vectorial I-13 Aguilera A. 
FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE 
 
 Si t es un escalar variable y si para cada uno de los valores de t en algún intervalo existe 
un valor correspondiente de un vector V, se dice que V es función vectorial de t. 
 
 V(t)=V1(t)i+V2(t)j+V3(t)k 
 
 
 V(t) es continua si y sólo si las tres funciones escalares V1(t), V2(t) y V3(t) son continuas 
 
 Si la variable independiente t de una función vectorial V(t) cambia en un Δt, la función 
cambiará en general en magnitud y dirección. Específicamente para un incremento Δt se tieneel 
incremento en el vector: 
 
 ΔV=V(t+Δt)-V(t) 
 =[V1(t+Δt)i+V2(t+Δt)j+V3(t+Δt)k]-[V1(t)i+V2(t)j+V3(t)k] 
 =ΔV1i+ΔV2j+ΔV3k 
 
 Así para la derivada de una función vectorial, se tiene: 
 
 dV V(t+Δt)-V(t) ΔV 
 ⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯ 
 dt Δt→0 Δt Δt→0 Δt 
 
O usando las componentes: 
 
 dV ΔV1 ΔV2 ΔV3 
 ⎯ = lim ⎯⎯ i + lim ⎯⎯ j + lim ⎯⎯ k 
 dt Δt→0 Δt Δt→0 Δt Δt→0 Δt 
 
 
 dV dV1 dV2 dV3 
 ⎯ = ⎯⎯ i + ⎯⎯ j + ⎯⎯ k [con i, j y k constantes] 
 dt dt dt dt 
 
 
 La variación de un vector con respecto a t puede consistir en un cambio de magnitud, en 
un cambio de dirección ó en ambos. 
 
 De la última relación se puede definir la diferencial de una función vectorial V(t) como: 
 dV = dV1i+dV2j+dV3k 
 
 En particular, para el vector 
 
 R = xi+yj+zk 
 
 
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Análisis Vectorial I-14 Aguilera A. 
 Dibujado del origen al punto P(x,y,z), se tiene 
 
 dR = dxi+dyj+dz 
 
 
 z 
 
 
 V(t+Δt) 
 ΔV 
 V(t) 
 y 
 
 x 
 
 
Interpretación geométrica de una función vectorial de una variable. 
 
 
* Si Δt→0 la dirección de ΔV y de aquí la dirección de ΔV /Δt, se aproxima a la dirección de la 
tangente a c. Esto es, 
dt
dv es un vector tangente a la curva c, la cual es el lugar geométrico de los 
puntos extremos del vector V(t). En particular si la variable escalar t es la longitud de arco s de c, 
medida de algún punto de referencia sobre c, se tiene 
 
 
 dV ⏐ΔV⏐ cuerda infinitesimal de c 
 ⎯ = lim ⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1 
 ds Δs→0 ⏐Δs⏐ Δs→0 arco infinitesimal de c 
 
Así, si s es la longitud de arco de la curva c definida por los puntos extremos de los vectores V(s), 
entonces dV/ds es una tangente unitaria a c. 
 
 
De la definición de la derivada de una función vectorial se obtiene la derivada de la suma, 
diferencia y producto de vectores las cuales pueden obtenerse del cálculo ordinario teniendo sólo 
especial cuidado en el orden de los factores, así: 
 
 d(U±V) dU dV 
⎯⎯⎯ = ⎯ ± ⎯ 
 dt dt dt 
 
DEMOSTRACIÓN: 
 
 d(A+B) A(t+Δt)+B(t+Δt)-A(t)-B(t) 
 ⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 
 dt Δt→0 Δt 
( )
dt
dB
dt
dABA
dt
d +=+•
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Análisis Vectorial I-15 Aguilera A. 
 
 A(t+Δt)-A(t) B(t+Δt)-B(t) 
 = lim ⎯⎯⎯⎯⎯ + lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 
 Δt→0 Δt Δt→0 Δt 
 
 dA dB 
 = ⎯ + ⎯ 
 dt dt 
 
 d(ϕV) dϕ dV 
⎯⎯⎯ = ⎯V + ϕ⎯ 
 dt dt dt 
 
 
d dA dB 
⎯ (A⋅B) = ⎯ ⋅ B+ A ⋅ ⎯ 
dt dt dt 
 
DEMOSTRACIÓN: 
 
 d(A⋅B) A(t+Δt)⋅B(t+Δt)-A(t)⋅B(t) 
 ⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 
 dt Δt→0 Δt 
 
 A(t+Δt)⋅B(t+Δt)-A(t+Δt)⋅B(t)+A(t+Δt)⋅B(t)-A(t)⋅B(t) 
 = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 
 Δt→0 Δt 
 
 A(t+Δt)⋅[B(t+Δt)-B(t)] [A(t+Δt)-A(t)]⋅B(t) 
 = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 
 Δt→0 Δt Δt→0 Δt 
 
 dB dA 
 = A⋅ ⎯ + ⎯ ⋅ B 
 dt dt 
 
 
 
 d(U x V) dU dV 
⎯⎯⎯ = ⎯ x V + U x ⎯ 
 dt dt dt 
 
 
d[UVW] dU dV dW 
⎯⎯⎯ = ⎯ VW + U ⎯ W + UV ⎯ 
 dt dt dt dt 
 
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Análisis Vectorial I-16 Aguilera A. 
 
 
 d[Ux(VxW)] dU dV dW 
⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯ x (VxW) + U x ⎯ x W + U x V x ⎯ 
 dt dt dt dt 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Dado Q = 3t2i + ( 8t + 2 )j + 5k, obtener V tal que V = dQ / dt 
 
V = dQ / dt = 6ti + 8j 
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Análisis Vectorial I-17 Aguilera A. 
EL OPERADOR ∇ (NABLA) 
 
 
 Q(x + Δx,y + Δy,z + Δz) 
 
 ΔR 
 
 P(x,y,z) 
 R+ΔR 
 R 
 
 C 
 
 
 Sea φ una función escalar de posición que tiene primeras derivadas parciales con respecto 
a x, y, z en alguna región del espacio y sea R = xi+yj+zk (vector del origen al punto P). 
Si nos movemos de P a un punto cercano Q(x + Δx,y + Δy,z + Δz), la función φ cambiará en un 
Δφ cuyo valor exacto del cálculo es: 
 
 
Δφ = (∂φ/∂x)Δx + (∂φ/∂y)Δy + (∂φ/∂z)Δz + ε1Δx + ε2Δy + ε3Δz 
 
 
donde εi→0 cuando Q→P, es decir, cuando Δx, Δy y Δz tienden a cero. Si dividimos el cambio 
Δφ por la distancia Δs =⏐ΔR⏐ entre P y Q, se obtiene la medida de la razón a la cual cambia φ 
cuando nos movemos de P a Q: 
 
 
Δφ ∂φΔx ∂φΔy ∂φΔz Δx Δy Δz 
⎯ = ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ + ε1⎯ + ε2⎯ + ε3⎯ 
Δs ∂xΔs ∂yΔs ∂zΔs Δs Δs Δs 
 
Así, si φ(x,y,z) representa la temperatura en el punto P(x,y,z), entonces Δφ/Δs representa la razón 
promedio de cambio de la temperatura en la dirección en la cuál Δs es medido. 
 
Luego cuando Q→P, se tiene la derivada de φ en la dirección PQ o simplemente la derivada 
direccional de φ. 
dφ ∂φdx ∂φdy ∂φdz 
⎯ = ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ 
ds ∂xds ∂yds ∂zds 
 
Puede notarse que el primer factor en cada uno de los productos del lado derecho depende sólo de 
φ y de la coordenada en la cual la derivada de φ es evaluada. A su vez el segundo factor es 
independiente de φ y depende sólo de la dirección en la cual la derivada es calculada. Esto 
sugiere que dφ/ds puede representarse como el producto punto de dos vectores, uno que depende 
sólo de φ y las coordenadas de P, el otro que depende sólosobre la dirección de ds, así: 
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Análisis Vectorial I-18 Aguilera A. 
 
 
ds
dRk
z
j
y
i
x
k
s
zj
s
yi
s
xk
z
j
y
i
xds
d ⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+∂
∂+∂
∂=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+∂
∂+∂
∂⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+∂
∂+∂
∂= ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ φφφφφφφ ( 4 ) 
 
La función vectorial 
 
 k
z
j
y
i
x
ˆˆˆ
∂
∂+∂
∂+∂
∂ φφφ 
 
Se conoce como el gradiente de φ ó simplemente grad φ = ( )φ∇ . Así la ecuación ( 4 ) puede 
representarse 
 
 Vector unitario 
ds
dRgrad
ds
d ⋅= )( φφ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∇
ds
dRφ 
 
 
Así el producto ( )dsdR /⋅∇φ es justamente la proyección de grad φ en la dirección de dR/ds . 
 
grad φ tiene la propiedad de que su proyección en cualquier dirección es igual a la derivada de 
φ en esa dirección. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
grad φ depende sólo de las propiedades 
intrínsecas de φ, así en : 
 
grad φ k
z
j
y
i
x
ˆˆˆ
∂
∂+∂
∂+∂
∂= φφφ 
 
kyji ˆˆ,ˆ pueden reemplazarse por cualquier otro conjunto de vectores unitarios mutuamente 
perpendiculares así como (∂φ/∂x), (∂φ/∂y) y (∂φ/∂z) serán remplazados por las derivadas 
direccionales de φ a lo largo de los nuevos ejes . 
 El gradiente de una función se escribe frecuentemente en la forma operacional siguiente: 
 
grad φ φ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+∂
∂+∂
∂= k
z
j
y
i
x
ˆˆˆ 
ΔS POR DEFINICIÓN ES LA 
LONGITUD DE ΔR 
 
* El gradiente de φ en 
cualquier punto P es 
perpendicular a la superficie 
de nivel de φ la cual pasa a 
través de ese punto. 
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Análisis Vectorial I-19 Aguilera A. 
 
el “vector” operacional usualmente se denota por el símbolo ∇ (NABLA) así: 
 
z
k
y
j
x
i ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ ˆˆˆ ( 6 ) 
 
con esta notación: 
 
grad φ = ∇φ 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
ds
dφ = ∇φ ⋅ 
ds
dR 
 
dφ = ∇φ ⋅ dR 
 
 
También, si φ es una función de una variable simple y la cual a su vez es función de x , y, z 
entonces : 
 
 
k
z
j
y
i
x
ˆˆˆ
∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ φφφφ 
 
 
 k
zdu
udj
ydu
udi
xdu
ud ˆˆˆ
∂
∂+∂
∂+∂
∂= φφφ 
 
 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+∂
∂+∂
∂= k
z
uj
y
ui
x
u
du
d ˆˆˆφ 
 
 
∇φ = (dφ/du) ∇u 
 
 
 
El carácter vectorial del operador ∇ sugiere que también se considere a los productos punto 
y cruz en los cuales aparece como factor. Si F = kˆFjˆFiˆF 321 ++ es un vector cuyas componentes 
son funcionales de x, y, z esto conduce a las siguientes combinaciones: 
 
( ) =++⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ kFjFiFkzjyixF ˆˆˆˆˆˆ 321 
 
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Análisis Vectorial I-20 Aguilera A. 
z
F
y
F
x
F
∂
∂+∂
∂+∂
∂= 321 
 
el cual se conoce como la DIVERGENCIA del vector F , y: 
 
( ) =++⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∂∂+∂∂+∂∂=∇ kFjFiFxkzjyixxF ˆˆˆˆˆˆ 321 
 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂−∂
∂+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂−∂
∂−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂−∂
∂=
y
F
x
Fk
z
F
x
Fj
z
F
y
Fi 121323 ˆˆˆ 
 
 
321
///
ˆˆˆ
FFF
zyx
kji
∂∂∂∂∂∂= 
 
El cual se conoce como el ROTACIONAL de F 
 
Ambos, la divergencia y el rotacional tienen interpretaciones físicas que justifican sus nombres. 
 
 
DIVERGENCIA: Mecánica de fluidos 
 Razón de pérdida por unidad de volumen . 
 Ecuación de continuidad ∇⋅ev = 0 ó ∇⋅v = 0 flujo 
 incompresible. 
 
ROTACIONAL: La velocidad angular de un cuerpo que gira uniformemente es igual a ½ del 
rotacional de la velocidad lineal de cualquier punto del cuerpo 
 Ω = 1/2( ∇xv ) 
 
Los resultados de aplicar el operador ∇ a varias combinaciones de funciones escalares y 
vectoriales se expresa en las siguientes fórmulas: 
 
 
φφφ ∇⋅+⋅∇=⋅∇ vvv 
 ( )xvxvvx φφφ ∇+∇=∇ 
 ( ) xvuxuvuxv ∇⋅−∇⋅=⋅∇ 
 ( ) uvvuvuuvuxvx ⋅∇−⋅∇+∇⋅−∇⋅=∇ 
 
0=∇∇ φx el rotacional del gradiente de φ es cero. 
 
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Análisis Vectorial I-21 Aguilera A. 
0=∇⋅∇ xv la divergencia del rotacional de v es cero. 
 ( ) ( ) ( ) vvvvxvx 2∇−⋅∇∇=∇⋅∇−⋅∇∇=∇∇ 
 
∴ 2
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ EL OPERADOR DE LAPLACE 
 
Estas fórmulas son válidas sólo para la forma cartesiana del operador ∇ dada en la ecuación 
anterior. Diferentes fórmulas se originan cuando ∇ es expresada en términos de sistemas de 
coordenadas mas generales. 
 
 
 
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS 
 
 Considere dos sistemas de coordenadas rectangulares de referencia xyz y x’y’z’ con el 
mismo origen pero girado uno con respecto al otro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En donde ljk ( j, k = 1, 2, 3 ) representa los cosenos directores de los ejes x’, y’ y z’ respecto de x, 
y, z. Si los orígenes de ambos sistemas de coordenadas no coinciden, en este caso las ecuaciones 
de transformación son: 
 
 
 
 
x’= l11x + l12y +l13z+ a’1 
y’= l21x + l22y +l23z+ a’2 (2) 
z’= l31x + l32y +l33z+ a’3 
 
 
 
 
Siendo ( a’1, a’2, a’3 ) las coordenadas 
del origen o del sistema xyz respecto 
del x’y’z’ 
 
Las coordenadas de un mismo punto P 
del espacio son (x,y,z) y (x’,y’,z’) 
respecto de cada uno de los sistemas. 
Las ecuaciones de transformación de 
unas coordenadas en otras son: 
 
x’ = l11x+l12y+l13z 
y’ = l21x+l22y+l23z ( 1) 
z’ = l31x+l32y+l33z 
),,( zyxp
)',','( zyxP
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Análisis Vectorial I-22 Aguilera A. 
 Las primeras ecuaciones de transformación definen una rotación pura y las segundas 
ecuaciones una rotación y traslación. El movimiento más general de cuerpo rígido puede ser 
descrito por una rotación y una traslación alrededor de un eje ( eje del tornillo ). 
 
 La primera transformación se denomina también transformación ortogonal. 
 
Físicamente una función escalar de punto o campo escalar φ (x, y, z ), particularizada en un punto 
dado debe ser independiente de las coordenadas del mismo (por ejemplo la temperatura). 
 
 
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Análisis Vectorial I-23 Aguilera A. 
EJEMPLOS ADICIONALES: Wylie C.R. “Advanced Engineering Mathematics”, 6th ed. Mc Graw Hill, 1995 
REF. [1], Capítulo 15, Secciones 15.1- 15.5 
 
 
15.1 P13.- Dado U= kji 32 +− , V= kji 42 ++ , W= kji 33 ++ , y 
0)20()20()10( =−⋅+−⋅+−⋅ kRWjRViRU encuentre R. 
 
 
Realizando los productos, teniendo en cuenta que kRjRiRR zyx ˆˆˆ ++= 
 
ZYXzyx RRRkRjRiRkjiRU 32)ˆˆˆ()32(+−=++⋅+−=⋅ 
ZYXzyx RRRkRjRiRkjiRV 42)ˆˆˆ()42( ++=++⋅++=⋅ 
ZYXzyx RRRkRjRiRkjiRW 33)ˆˆˆ()33( ++=++⋅++=⋅ 
 
Entonces [ ] [ ] [ ] 0ˆ20)33(ˆ20)42(ˆ10)32( =−+++−+++−+− kRRRjRRRiRRR YXZYXZYX 
 
Igualando términos 
 
01032 =−+− ZYX RRR (1) 
02042 =−++ ZYX RRR (2) 
02033 =−++ ZYX RRR (3) 
 
 
restando (3) y (1) restando (2) y {(1)*(-2)} 
 
1
2
0105
−=
=
=−
x
y
y
R
Entonces
R
R
 
5
2
5
25
025
=
=
=
=−
z
yz
zy
zy
R
RR
RR
RR
 
 
 
Asi 
 kjiR ˆ52ˆ ++−= �� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Análisis Vectorial I-24 Aguilera A. 
 
 
15.1 P21.- Demuestre por métodos vectoriales que: un ángulo inscrito en un semicírculo es un 
ángulo recto. 
 
 
 
 
 
sustituyendo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sustituyendo θcos
22
=−
CBBA
ca GG 
 
 pero debido a que en la fig. se observa que a = c representan el radio del semicírculo a = c = r 
022 =− ca 
 
Con esto cosθ =0 , entonces °= 90θ 
 
 
Una segunda demostración sería la siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
De la definición θsenBABA =× 
rB
rA
2
2
=
=
 
 
krrrk
rr
rr
kji
ˆ2)(ˆ
0
0
ˆˆˆ
222 −=−−=
−
 
θ
De la definición 
θcosCBBACBBA GGGG =⋅ 
 
De la figura se observa que: 
caBA GGG += ba GG = 
cacbCB GGG −=−= 
 
Entonces 
 
22)()( cacacaCBBA −=−⋅+=⋅ GGHGGG 
)0,(r)0,( r−
θ
),0( r
AB
r r
jrirB
jrirA
ˆˆ
ˆˆ
−=
+=
 
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Análisis Vectorial I-25 Aguilera A. 
22rBA =× 
 
sustituyendo 
 
2
2 2
2 2 2
2 2
1
90
r r rsen
r r sen
sen
θ
θ
θ
θ
=
=
∴ =
= °
 
 
 
15.2 P13 .- Encuentre un vector unitario perpendicular a los vectores i-2j+k y -5i+4j-2k. 
 
Teniendo los vectores 
kjiB
kjiA
ˆ2ˆ4ˆ5
ˆˆ2ˆ
−+−=
+−=
 
 
Definiendo el plano que forman By A como B x A se conoce que el vector resultante será un 
vector perpendicular a dicho plano y por lo tanto a los vectores que lo conforman. 
 
 
245
121
ˆˆiˆ
B x 
−−
−=
kj
A = Ckji =−++−−− )104(ˆ)52(ˆ)44(ˆ 
 
 kjC ˆ6ˆ3 −−= y ceC
C
ˆ= 
 
5345369 ==+=C 
 
)ˆ2ˆ(
5
1ˆ
1 kjC −−= 
 )ˆ2ˆ(
5
1ˆ
2 kjC −−−= debido a que el plano también lo puede formar CAxB −= 
 
 
15.1 P42. Encuentre la distancia del punto (6,2,2) al plano que pasa por (1,2,3) perpendicular a 
2i+2j+k. 
 ( )
( )
kjin
P
P
ˆˆ2ˆ2
3,2,1
1,2,6
2
1
++=
 
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Análisis Vectorial I-26 Aguilera A. 
 
El plano pasa por el punto ( )3,2,1 y el vector normal al plano es kjin ˆˆ2ˆ2 ++= 
 
Donde 0R pertenece al plano y R es el Punto de interés 
 
De la fórmula demostrada en el problema 41 
 
( )
n
nRRd •−= 0 
 
( ) ( ) ( )
3122
ˆ2ˆ5
ˆ31ˆ22ˆ16
222
0
0
=++=
−=−
−+−+−=−
n
kjRR
kjiRR
 
 
Entonces 
 ( ) ( )
( )
3
82010
3
1
ˆ2ˆ2
3
25
=−+=
++•−=
d
kjikid
 
 
3
8=d 
 
 
 
15.3 P3) Encuentre a) [ABC], b) Ax(BxC), c) (AxB)xC, d) el volumen del paralelepípedo que 
tiene como lados A+C, A-C y B, e) el volumen del paralelepípedo que tiene como lados A+C, A-
C y C, f) (AxB)(CxD), y g) (AxB)x(CxD). Los vectores son; 
 
kjiD
kjiC
kjiB
kjiA
ˆˆˆ2
ˆ4ˆ7ˆ4
ˆ14ˆ2ˆ5
ˆ5ˆ10ˆ10
+−=
−+=
−−=
++=
 
 
a) 
 [ ] ( ) ( ) ( )
10 10 5
 5 -2 -14 10 8 98 10 20 56 5 35 8 1060 360 215 915
4 7 -4
ABC = = + − − + + + = − + = 
 
 
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Análisis Vectorial I-27 Aguilera A. 
b) ( )CxBxA utilizando la identidad ( ) ( ) ( )CBABCACxBxA •−•= 
 ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) kjiCxBAx
kjikji
kjikjiCxBxA
kjikjiBA
kjikjiCA
ˆ1420ˆ100ˆ610
ˆ160ˆ280ˆ160ˆ1260ˆ180ˆ450
ˆ4ˆ7ˆ440ˆ14ˆ2ˆ590
40702050ˆ14ˆ2ˆ5ˆ5ˆ10ˆ10
90207040ˆ4ˆ7ˆ4ˆ5ˆ10ˆ10
−+=
−++−−=
−+−−−−=
−=−−=−−•++=•
=−+=−+•++=•
 
 
 
c) ( ) CxBxA ( ) ( ) ( )5020ˆ25140ˆ10140
14- 2- 5
5 10 10
kˆ j 
−−+−−−+−== kji
i
BxA 
 
 kjiBxA ˆ70ˆ165ˆ130 −+−= 
 
 
( ) CxBxA = ( ) ( ) ( )660910ˆ280520ˆ490660ˆ
4- 7 4 
 70- 165 130-
kˆ jˆ ˆ 
−−++−+−== kji
i
 
 ( ) kjiCxBxA ˆ1570ˆ800ˆ170 −−−= 
 
 
d) 
 
kjiB
kjiCA
kjiCA
ˆ14ˆ2ˆ5
ˆ9ˆ3ˆ6
ˆˆ17ˆ14
−−=
++=−
++=+
 )1512()4584(17)1842(14
1425
936
11714
−−+−−−+−=
−−
=V 
 
 3 1830272193336 uV =−+−= 
 
e) 
kjiC
kjiCA
kjiCA
ˆ4ˆ7ˆ4
ˆ9ˆ3ˆ6
ˆˆ17ˆ14
−+=
++=−
++=+
 ; )1242()3624(17)6312(14
474
936
11714
−+−−−−−=
−
=V 
 
 3 03010201050 uV =++−= 
 
 
f) )()( DxCBxA ⋅ 
 kjiBxA ˆ70ˆ165ˆ130 −+−= 
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Análisis Vectorial I-28 Aguilera A. 
 
( ) ( ) ( )144ˆ84ˆ47ˆ
1 1- 2 
4 - 7 4 
kˆ jˆ ˆ 
−−++−−== kji
i
DxC 
 
kjiDxC ˆ18ˆ12ˆ3 −−= 
12601980390)ˆ18ˆ12ˆ3()ˆ70ˆ165ˆ130()()( +−−=−−⋅−+−=⋅ kjikjiDxCBxA 
1110)()( −=⋅ DxCBxA 
 
 
g) )4951560()2102346()8402970(
18123
70165130
ˆˆˆ
)()( −++−−−=
−−
−−= kji
kji
DxCxBxA 
 
 kjiDxCxBxA ˆ1065ˆ2550ˆ3810)()( +−−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15.4 P17.- El vector de posición de una partícula p en el tiempo t está dado por ( ) .8126 32 ktjttitr ++= Encuentre todos los valores de t para los cuales el movimiento de p es 
a) paralelo a i+2j+k b) perpendicular a i-5j+16k. 
 
La posición es: La velocidad es: 
 ( ) itjtittr ˆ8ˆ12ˆ6 32 ++= ( ) kttjitr ˆ2424ˆ6 2++=� 
 
a) Si el movimiento es paralelo a 
 
a
i
Ar
kjiA
0
1 2 1
24t24t 6
kˆ jˆ ˆ
0
2ˆ
2 =
=×
++=
� 
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Análisis Vectorial I-29 Aguilera A. 
 ( ) ( ) ( )2 2 ˆˆ ˆ24 48 6 24 12 24 0t t i t j t k− − − + − = 
 
2
1
2
2
3
124 48 0 t 2
1 16 24 0 t t segundo2 2
112 24 0 t 2
t t
t
t
− = =
− = = =
− = =
 
 
b) Si es perpendicular a kjiB ˆ16ˆ5ˆ +−= 
 
 0=• Br� 
 ( ) ( )
16
1 t 
4
1 t 
128
1220 t 
128
25640020
012064
03841206
0ˆ16ˆ5ˆˆ2ˆ24ˆ6
2
1
2
2
2
=
=
±=−±=
=+−
=+−
=+−•++
t
tt
tt
kjiktjti
 
 
 
15.4 P1.- Encuentre el gradiente de cada una de las siguientes funciones.(a) yzx 22 + (b) xyze (c) )( sin yzx (d) xyzyx 333 −+ (e) cba zyx 
 
k
z
fj
y
fi
x
ff ˆˆˆ ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ 
 
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 ˆˆ ˆ(a) 2 2 2
ˆˆ ˆ2 2 2
ˆˆ ˆ2
f x yz i x yz j x yz k
x y z
f xi zj yk
f xi zj yk
∂ ∂ ∂∇ = + + + + +∂ ∂ ∂
∇ = + +
∇ = + +
 
 
( ) ( ) ( )
( )
ˆˆ ˆ(b) 
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
xyz xyz xyz
xyz xyz xyz
xyz
f e i e j e k
x y z
f yze i xze j xye k
f e yzi xzj xyk
∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂
∇ = + +
∇ = + +
 
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Análisis Vectorial I-30 Aguilera A. 
 
( ) ( ) ( )
kyzxyjyzxziyzsenf
kyzxsen
z
jyzxsen
y
iyzxsen
x
f
ˆ)cos(ˆ)cos(ˆ)(
ˆ)(ˆ)(ˆ)( (c) 
++=∇
∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )kxyjxzyiyzxf
kxyzyx
z
jxyzyx
y
ixyzyx
x
f
ˆ3ˆ33ˆ33
ˆ3ˆ3ˆ3 (d)
22
333333
−+−+−=∇
−+∂
∂+−+∂
∂+−+∂
∂=∇
 
 
( ) ( ) ( )
1 1 1
ˆˆ ˆ(e) 
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
a b c
f x y z i x y z j x y z k
n y z
f ax y z i bx y z j cx y z k
a b cf x y z i j k
x y x
− − −
∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂
∇ = + +
⎡ ⎤∇ = + +⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
 
15.5 P11.- La temperatura T en estado estable de un sólido está dada por el campo escalar 
( )22 zyx +− . 
(a)Encuentre un vector cuya magnitud conduzca a la máxima razón de cambio de T en el punto 
(2,1,1). 
(b) Cual es la razón de cambio de T en el punto (2,1,1) en la dirección del vector ?2 kji +− 
 
a) 
 
( )2 2
1 2 3
( ) 2,1,1
ˆ ˆˆ R r i r
T x y z P
d dR j r k
ds ds
φ
φ φ
= = − +
= ∇ • = + + 
 
( ) ( )kzyjzyixT
k
z
Tj
y
Ti
x
TT
ˆ2ˆ2ˆ2
ˆˆˆ
+−+−=∇
∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇
 
 
Entonces para el punto (2,1,1) 
 
kjiT ˆ4ˆ4ˆ4 −−=∇ Vector que maximiza el cambio de T en el punto dado 
 
 
 
 
 
 
 
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Análisis Vectorial I-31 Aguilera A. 
b) de la ecuación: 
 
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
ldirecciona derivada la de valor el 
6
8
6/484
6
ˆ2ˆˆ4ˆ4ˆ4
121
ˆˆ2ˆˆ2ˆ2ˆ2
ds
Rd donde ˆˆ2ˆ 
222
=
−+=
+−•−−=
++
+−•+−+−=
=+−=•∇==
ds
dT
ds
dT
kjikji
ds
dT
kjikzyjzyix
ds
dT
R
RkjiR
ds
RdT
ds
dT
ds
dφ
 
 
 
 
 
 
15.5 P29.- Calcule la divergencia y el rotacional de cada uno de los campos vectoriales 
siguientes: 
 
( ) ( )ˆ ˆ(c) sin cosz y i z x y j+ − − 
 
( ) ( )ˆ ˆcosF z seny i z x y j= + − − 
 
 
Divergencia: 
 
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )
xsenyF
z
yxz
y
senyz
x
F
jyxzisenyzk
z
j
y
i
x
F
−=•∇
∂
∂+−−∂
∂++∂
∂=•∇
−−+•⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+∂
∂+∂
∂=•∇
0]cos[
ˆcosˆˆˆˆ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Análisis Vectorial I-32 Aguilera A. 
Rotacional: 
 
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
jiF
ksenyz
y
yxz
jsenyz
z
iyxz
zy
i
F
ˆˆ 
ˆ]cos[
x
 
ˆ
x
0 - 
ˆ]cos[0
 0 xcosy-z - senyz
z y x
kˆ jˆ ˆ
0
+=×∇
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +∂
∂−−−∂
∂+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +∂
∂−∂
∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−∂
∂−∂
∂=
+
∂∂∂∂∂∂=×∇
 
 
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
15.1 (8, 12) 
15.2 (18,37, 44) 
15.3 (3, 7, 16) 
15.4 (24, 39) 
15.5 (7, 13, 54). 
Antonio
Text Box
15.6 (5,13,23,37)
Antonio
Comment on Text
Tareas Opcion 2null15.1(11, 15, 27)null15.2(19, 38, 49)null15.3(2, 5, 25)null15.4 (23, 36, 37)null15.5( 8, 15, 55)null*15.6(5, 13, 23, 37)
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Cálculo Variacional Aguilera A. II-1
CÁLCULO VARIACIONAL 
 
INTRODUCCIÓN 
Conjuntamente con los problemas en que es necesario determinar los máximos y los 
mínimos de cierta función ( )xfy = [o ( )yxfz ,= ], con frecuencia surge en los problemas 
físicos la necesidad de hallar los VALORES MÁXIMOS y MÍNIMOS de un género especial de 
magnitudes, llamadas FUNCIONALES. 
Es decir, se busca determinar la función que maximiza o minimiza una cantidad que 
depende no de una o más variables independientes, sino de las funciones de un conjunto dado. 
 
FUNCIONAL: magnitud variable cuyo valor se determina mediante la elección de una o 
varias funciones. 
 
El CÁLCULO VARIACIONAL estudia los métodos que permiten hallar los valores 
máximos y mínimos de los funcionales. Los problemas en que se exige investigar el máximo o el 
mínimo de un funcional, se denominan PROBLEMAS VARIACIONALES. 
 
El cálculo de variaciones es una herramienta matemática útil para el estudio de problemas 
de OPTIMIZACIÓN. 
 
-Dada una función localizar la posición de sus valores extremos y la magnitud de éstos 
(optimización de magnitud). 
-Dada una integral definida determinar el integrando que la hace mínima y el valor de la 
integral (optimización de forma) 
 
Muchas leyes de la mecánica y de la física se reducen a la afirmación que cierto funcional debe 
alcanzar su máximo o su mínimo en el proceso considerado (PRINCIPIOS VARIACIONALES 
DE LA MECÁNICA o LA FÍSICA). 
 
 Los tres problemas siguientes ejercieron gran influencia en el desarrollo del cálculo 
variacional : 
 
PROBLEMA DE BRAQUISTÓCRONA (1696 Bernoulli J.) En este problema se exige 
determinar la curva que une dos puntos dados A y B, que no pertenecen a una misma recta 
vertical , que posee la propiedad de que un punto material se deslice por dicha curva desde el 
punto A hasta el punto B en el menor tiempo posible. 
 
 
 
 
Es fácil ver que la línea de deslizamiento 
más rápido no será la recta que une los 
puntos A y B , a pesar de que ésta sea la 
distancia más corta entre dichos puntos, ya 
que al moverse por esta recta la velocidad 
aumentará en forma relativamente lenta. Si, 
en cambio, se toma una curva que baje más 
bruscamente cerca del punto A, entonces, 
aunque el camino se alarga, gran parte del 
recorrido será con gran velocidad. 
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Cálculo Variacional Aguilera A. II-2
PROBLEMA DE LAS GEODÉSICAS: aquí se pide determinar la línea de menor longitud que 
una dos puntos dados en cierta superficie ( ) 0,, =zyxφ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-PROBLEMA ISOPERIMÉTRICO: Se pide hallar una línea cerrada de longitud dada l que 
delimite el área máxima S .(Esta línea es la circunferencia) 
 
Otro caso que puede incluso reducirse al cálculo elemental se refiere al problema: de 
todas las curvas suaves que unen a ( )000 , yxP con ( )111 , yxP encontrar aquella de longitudmínima (RECTA). 
 
Al relacionar el cálculo variacional con en cálculo elemental puede distinguirse lo 
siguiente: 
 
CÁLCULO CÁLCULO VARIACIONAL 
 
MINIMIZAR
MAXIMIZAR }FUNCIONES 
MINIMIZAR
MAXIMIZAR }FUNCIONALES 
 
Un funcional es una regla que asigna un número real único a cada función de un conjunto, 
o dominio dado de funciones. 
 
Ya hemos tratado con muchas funcionales en nuestros estudios anteriores de matemáticas, 
por citar algunos ejemplos: 
 
1. Para un valor fijo de x y una función fija f , la expresión ( )[ ]xgf es una 
funcional cuyo dominio es el conjunto de todas las funciones g tales que x está 
contenida en el dominio de g y ( )xg está en el dominio de f . 
2. ( )∫ ba dxxf es un funcional, puesto que es una regla que asigna un número real 
único a cada función f que sea integrable sobre [ ]ba, . 
3. Los coeficientes de Fourier 
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Cálculo Variacional Aguilera A. II-3
 
( )∫ += pddn dxpxnxfpa
2 
 
cos1 π ( )∫ += pddn dxpxnsenxfpb
2 
 
1 π
 
 
son funcionales, dado que son fórmulas o reglas que asignan valores numéricos 
únicos a cada función periódica que satisfaga las condiciones de Dirichet. 
4. Para cada valor x la expresión 
( ) ( ) ( ) ( )xyaxyaxyayL 0'1''0 ++= 
es un funcional cuyo dominio es el conjunto de todas las funciones y que sean 
dos veces diferenciables en x . 
5. La deflexión máxima del extremo de una viga en voladizo que se obliga a vibrar 
por medio de una carga armónica ( ) tsenxw ω es un funcional cuyo dominio es el 
conjunto de todas las funciones admisibles de distribución de carga ( )xw 
6. La energía potencial ( ) ( ) 2
0
1 ''
2
l
V EI x y x dx= ⎡ ⎤⎣ ⎦∫ que es almacenada en una viga 
flexionada es un funcional cuyo dominio es el conjunto de todas las curvas 
admisibles de deflexión ( )xy . 
7. La energía cinética de una viga vibrante ( ) ( )∫= l tdxsenxyxT 0 22221 ωρω en 
cualquier instante particular es una funcional cuyo dominio es el conjunto de 
todas las curvas admisibles de deflexión ( )xy . 
 
Un funcional que se estudiará a detalle es : 
 
( ) ( )∫∫ ≡= baba dxuuxFdxyyxFI ',,',, (1) 
 
En particular, se intenta hallar la función , y , en el dominio de todas las funciones continuamente 
diferenciables que satisfacen las condiciones en los extremos ( ) 1yay = y ( ) 2yby = que 
maximice o minimice a I . 
 
PRINCIPIOS VARIACIONALES 
 
 Los principios variacionales son una de las herramientas más poderosas para formular las 
ecuaciones de movimiento de sistemas de GDL−n y sistemas continuos con una clara 
comprensión sobre cualquier aproximación hecha durante el proceso de derivar las ecuaciones. 
 
 El cálculo de variaciones es un método poderoso para la solución de problemas en varios 
campos, algunos ejemplos son: 
 
ƒ ESTÁTICA Y DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS 
ƒ ELASTICIDAD (EN GENERAL) 
ƒ VIBRACIONES 
ƒ ÓPTICA 
ƒ OPTIMIZACIÓN 
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Cálculo Variacional Aguilera A. II-4
El cálculo de variaciones estudia la determinación de un extremal (MÁXIMO o 
MÍNIMO) o valores estacionarios (PUNTO DE INFLEXIÓN) de FUNCIONALES. Un 
FUNCIONAL puede definirse como una función de funciones. Con lo cual el cálculo variacional 
puede usarse para resolver problemas de optimización de trayectorias. 
 
Las bases de este tópico fueron dadas por los hermanos Bernoulli e importantes 
contribuciones fueron hechas por Euler, Lagrange, Weirstrass, Hamilton y Bolzane. 
 
 
 
 
Fig. Puntos extremales de ( )tfx = 
 
PROBLEMA DE CÁLCULO DE VARIACIONES 
 
 Un problema simple de la teoría del cálculo de variaciones puede establecerse de la 
siguiente manera, sin restricciones: 
 
Encuentre una función ( )xu que MINIMICE al funcional (integral) 
( )∫= 2
1
 
 
'',',,
x
x
uuuxFA (1A) 
donde A y F son FUNCIONALES (funciones de otras funciones) 
 
( )xuu = ( )dx
xduu =' ( )2
2
''
dx
xudu = 
 
 En mecánica , el funcional usualmente posee un significado físico claro. Por ejemplo en la 
mecánica de sólidos deformables, la energía potencial ( )π juega la regla del funcional (π es una 
función de las componentes del desplazamiento u , v y w , las cuales, a su vez, son funciones de 
las coordenadas x , y y z ). La integral en (1) está definida en la región o dominio [ ]21 , xx . Sean 
los valores de u definidos sobre las fronteras 11 )( uxu = y 22 )( uxu = . Éstas se conocen como las 
condiciones de frontera del problema. 
 
 Uno de los procedimientos que pueden usarse para resolver el problema de la ec. 
(1) es ; 
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Cálculo Variacional Aguilera A. II-5
 
1. Seleccione una serie de intentos o soluciones tentativas ( )xu para el problema dado y 
exprese el funcional A en términos de cada una de las soluciones tentativas. 
2. Compare los valores de A dados para las diferentes soluciones tentativas . 
3. Encuentre la solución correcta al problema como la solución particular tentativa la cual 
hace que el funcional A posea un extremo o valor estacionario. 
 
El procedimiento matemático usado para seleccionar la solución correcta de un número de 
soluciones tentativas se llama CÁLCULO DE VARIACIONES. 
 
VALORES ESTACIONARIOS FUNCIONALES 
 
 Cualquier solución tentativa ( )xu en la vecindad de la solución exacta ( )xu puede 
representarse 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
la variación de u (es decir uδ ) se define como un infinitesimal, cambio arbitrario en u para un 
valor fijo en la variable x (es decir, para 0=xδ ). Aquí δ es el OPERADOR VARIACIONAL 
(similar al operador diferencial d ). 
 
 La operación de variación es conmutativa en la integración y derivación 
 ( ) ( )dxFdxF ∫∫ = δδ 
( )u
dx
d
dx
du δδ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
 
 
También, definimos la variación de una función de varias variables o un funcional en una manera 
similar al cálculo elemental de la diferencial total de una función. 
 
 
 
 
 
xx de fijo un valor paravariación 0=δ 
x
x
Fu
u
Fu
u
Fu
u
FF δδδδδ ∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂= ''
''
'
' (2) 
0
( ) ( ) ( )
u de exactatentativa
variación soluciónsolución
xuxuxu
 
 
 δ+=
 
u2 
u1 
 x1 x x2 
Solución 
Tentativa 
 
Solución 
Exacta 
)(xuδ 
)(xu 
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Cálculo Variacional Aguilera A. II-6
 Ahora, consideraremos la variación en ( )AA δ correspondiendo a variaciones en la 
solución uδ . Si buscamos la condición en la cualA es estacionaria, tomamos la condición 
(necesaria) como aquella que anula la primera derivada de A (similar a maximizar o minimizar 
funciones simples en cálculo ordinario) 
 
 ∫∫ ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∂
∂+∂
∂+∂
∂= 2
1
2
1
 
 
 
 
0''
''
'
'
x
x
x
x
Fdxdxu
u
Fu
u
Fu
u
FA δδδδδ (3) 
( ) ( )∫∫∫∫ −∂∂=∂∂∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∂
∂
∂
∂=∂
∂ 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
 
 '
 
 
 
 
 
 
 
 '''
'
'
x
x u
x
x
x
x
x
x
x
x
udxF
dx
du
u
Fdxu
xu
Fdx
x
u
u
Fdxu
u
F δδδδδ (4) 
 
( )
∫
∫∫∫
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=∂
∂
∂
∂=∂
∂
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
 
 2
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
''''
'
''
 
'
''
'
''
'
''
''
''
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
udx
u
F
dx
du
u
F
dx
du
u
F
dxu
u
F
dx
du
u
Fdxu
xu
Fdxu
u
F
δδδ
δδδδ
 (5) 
Así 
 
( ) 2
1
2
1
2
1
 
 
 
 
 
 2
2
 ' 
''
 ''' 
'''
x
x
x
x
x
x
u
u
FuFu
dx
dFuudx
u
F
dx
d
u
F
dx
d
u
FA ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂= ∫ δδδδ 
 
Ya que uδ es arbitraria, cada uno de los términos debe igualarse a cero. 
 
0
''' 2
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
u
F
dx
d
u
F
dx
d
u
F
 (7) 
 
 ( ) 0 
2
1
''' =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
x
x
uu uFdx
dF δ (8) 
 
 0' 
''
2
1
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂ x
x
u
u
F δ (9) 
 
La ecuación (7) es la ecuación diferencial gobernante para el problema dado y se llama la 
ECUACIÓN DE EULER o EC. EULER-LAGRANGE . Las ecuaciones (8) y (9) dan las 
CONDICIONES DE FRONTERA. 
 
Las condiciones que establecen las ecs. (8) y (9) se conocen como CONDICIONES DE 
FRONTERA NATURAL (Si ellas son satisfechas se llaman condiciones de frontera libres ). Si 
las condiciones de frontera NO son satisfechas, deberíamos tener; 
 
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Cálculo Variacional Aguilera A. II-7
( ) 01 =xuδ ( ) 02 =xuδ ( ) 0' 1 =xuδ ( ) 0' 2 =xuδ 
 
para que sean satisfechas las ecuaciones (8) y (9). Éstas se llaman CONDICIONES DE 
FRONTERA FORZADAS O GEOMÉTRICAS . 
 
 
Distinga que la ec. (7) de la página previa puede reducirse si F no depende de u ′′ a la expresión; 
 
0
'
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
u
F
dx
d
u
F
 (7A) 
 
 
 
CASOS ESPECIALES DE LA EC. (7A) 
 
i) Si la función F no involucra a u de manera explícita, entonces 0≡∂
∂
u
F y la ec. (7A) 
se reduce a; k
u
F
u
F
dx
d =′∂
∂∴=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
′∂
∂ 0 
ii) Si F no involucra a x ni a u de manera explícita, la derivada parcial 
u
F
′∂
∂ es función 
solo de .u′ Toda solución tendrá la forma au =′ donde la cte. a es una función de 
uk ∴. es una función lineal de x. 
 
iii) Puede verificarse por diferenciación que : 
 
 
 
 
 
Si F no involucra a x en forma explícita, entonces 0≡∂
∂
x
F y la ecuación de Euler-Lagrange se 
simplifica. Una primera integración de esta ecuación da como resultado 
 KF
u
Fu =−′∂
∂′ 
 
 iv) Si el integrando F de la integral ( )∫ ′= 2
1
,,
x
x
dxuuxFA es la derivada total de alguna 
función ( )uxh , con respecto de x, entonces. 
 
( ) ( ) ( )( )( )2 2 2 21 1 1 1
,
2 1,
, , , ,
x x x u
x x x u
dA u x u u dx h x u dx dh x u h h
dx
′= = = = −⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ ∫ (8) 
x
F
u
F
dx
d
y
FuF
u
Fu
dx
d
∂
∂−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
′∂
∂−∂
∂′−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −′∂
∂′
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Cálculo Variacional Aguilera A. II-8
 
Esto prueba que el valor de A es independiente de u, aunque u debe de cumplir las condiciones de 
extremo ( ) ( ) 2211 uy uxuxu == . 
 
Para este caso la ecuación Euler-Lagrange se analiza como; 
 
( )
2 2
'2
2 2
' 2
 ; por hipótesis con esto
 ;u u
u
dh h hF u
dx x u
h h hF u F
u x u u
d h hF u
dx x u u
∂ ∂ ′= = +∂ ∂
∂ ∂ ∂′= + =∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ′= +∂ ∂ ∂
 
 
Ya que uxxu hh = se tiene que ( )' 0u udF Fdx− ≡ 
 
 
 
Comentario 
 
Debe tenerse cuidado y distinguir que la ec. (7A) no es una condición suficiente para que u 
extremice la integral A(I) de la ec. (8) o ec.(1). Una solución de la ec. de Euler-Lagrange, con 
condiciones de extremo pre-definidas, puede conducir a un valor estacionario de A pero no 
necesariamente un máximo o un mínimo; y aún si un extremo ocurre, éste puede ser relativo y no 
absoluto. En algunos casos inclusive podría obtenerse soluciones en forma implícita lo cual a su 
vez traería sus complicaciones. Estas observaciones sugieren la necesidad de profundizar más en 
la teoría matemática, pero afortunadamente en aplicaciones elementales del cálculo de 
variaciones esto no es necesario en forma estricta. Así que podemos dejar de intentar 
profundizar en la teoría y mejor nos concentraremos en aspectos prácticos del tema lo cual 
después de todo es nuestro objetivo principal. 
 
Para un estudio más detallado (Rigor Matemático) consultar. 
1. Gilbert A. Calculus of Variations, Mathematical Association of America,1944. 
2. Weinstock R. Calculus of Variations, Mc Graw Hill, NY, 1952. 
3. Lanczos C. The Variational Principles of Mechanics, Dover, 4th ed, 1970. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo Variacional Aguilera A. II-9
0'x
)(xφ
)(xη
0x 1'x 1x
LEMA BÁSICO DEL CALCULO DE VARIACIONES. 
 
Si para cada función continua en ( )xη se tiene 
 
( ) ( ) 01
0
=∫ xx dxxx ηφ ( )( ) 0
0
1
0
=
=
x
x
η
η
 
 
siendo ( )xφ una función continua en [ ]10 , xx , entonces 
 ( ) 0≡xφ en dicho segmento. 
 
Para probar lo anterior, suponga que ( ) 0≠xφ , entonces existe una 'x para la cual ( ) ( ) 0' ó 0' <> xx φφ 
 
 
 Definamos una ( )xη , tal que 
( ) ( ) ( )2 2' '0 1
0
0
x x x x xη
⎧⎪⎪= − −⎨⎪⎪⎩
 
'
0 0
' '
0 1
'
1 1
x x x
x x x
x x x
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
 
 
 
 
 
 
Note que ( )xη es continuamente diferenciable, sustituyendo 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ −−=1
0
'
1
'
0
2'
1
2'
0
x
x
x
x
dxxxxxxdxxx φφη 
 
 
para el caso en que ( ) 0>xφ { }'1'0 xxx ≤≤ el resultado de la integral es positivo lo cual 
contradice la hipótesis, luego ( ) .0≡xφ Igualmente se puede obtener este resultado si se supone 
( ) 0<xφ . 
 
 
 
 
 
 
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Cálculo Variacional Aguilera A. II-10
VARIACIONES 
 
 Suponga que ( )',, yyxF es una funcional definida sobre un conjunto de funciones ( ){ }xy 
y desarrollaremos una expresión para el cambio de F correspondiente a un cambio asignado de ( )xy para un valor fijo de x 
 
 Si se cambia ( )xy a la función 
( ) ( )( )x y x xϕ εη= + ε independiente de x 
al cambio ( )xεη lo llamaremos variación de y y lo denotaremos por yδ 
 ( )xy εηδ = 
 
luego el valor cambiado de ( )' xϕ es 
 
( ) ( )'y x xεη′+ 
( ) ( )xxy '' εηδ = 
para la variación de ( )xy' correspondiente a estos cambios se tiene 
 ( ) ( )',,'',, yyxFyyxFF −++=Δ εηεη 
 
Si desarrollamos el primer término del segundo miembro en un desarrollo de Maclaurin en 
potencias de ε , se tiene 
 
( ) ( )',,...
!2
'
'
2'
'
',,
2
2'
2'
22
2
2
2
yyxF
y
F
yy
F
y
F
y
F
y
FyyxFF −+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂∂
∂+∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+=Δ εηηηηεηη
 
Despreciando los términos de ε con potencia 2≥ , se tiene 
 
εηηε '
'y
F
y
FF ∂
∂+∂
∂=Δ 
 
En forma equivalente 
 
 ''
y
y
Fy
y
FF δδ ∂
∂+∂
∂=Δ 
 
Por analogía con la diferencial de una función, la última expresión se define como la variación 
del funcional F y se denota *Fδ . 
 
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Cálculo Variacional Aguilera A. II-11
*Por estricta analogía con la diferencial de una función de tres variables, se podría haber 
esperado la definición 
'
'
y
y
Fy
y
Fx
x
FF δδδδ ∂
∂+∂
∂+∂
∂= 
 Sin embargo se debe recordar que el funcional es el valor de ( )',, yyxF en un valor 
particular de x es decir, no se hace variar x en el cálculo de Fδ y por consiguiente 0=xδ 
 
 De paso se observa que en su forma más simple, la diferencial de una función es una 
aproximación de primer orden al cambio en la función a medida que x varía a lo largo de una 
curva particular, mientras que la variación de un funcional es una aproximación de primer orden 
al cambio en el funcional, en un valor particular de x , a medida que variamos de curva a curva. 
 
Resulta interesante e importante hacer notar que las variaciones pueden calcularse mediante las 
mismas reglas que se aplican a las diferenciales. 
 ( ) 2121 FFFF δδδ ±=± 
** ( ) 122121 FFFFFF δδδ += 
2
2
2112
2
1
F
FFFF
F
F δδδ −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 
( ) FnFF nn δδ 1−= 
 
 ** ( ) ( ) ( ) 212121 '',,'',, FFyyxFyyxFFF −++++=Δ εηεηεηεη 
 
De donde desarrollando una vez más en términos de potencias de ε , y recordando que 
yδεη = y '' yδεη = , se obtiene 
 
( ) 2122211121 ...''...'' FFy
F
y
FF
y
F
y
FFFF −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+=Δ εηηεηη 
 1221
11
2
22
1 ''
'
'
FFFFy
y
Fy
y
FFy
y
Fy
y
FF δδδδδδ +=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂= 
 
De la definición ( ) ( )[ ] ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛===
dx
dyyx
dx
dy
dx
d δδεηδ ' 
 
Que establece: La derivada de la variación es igual a la variación de la derivada 
 
Si se tiene un funcional de más de una función se tendría por ejemplo para ( )',',, uvuxF , 
entonces la variación de éste se define 
 
 ''
'
'
v
v
Fu
u
Fv
v
Fu
u
FF δδ
δδδ
δδδ
δδδ
δδ +++= 
Antonio
Cross-Out
Antonio
Replacement Text
F(x,u,v,u',v')
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 Considérese ahora que se tiene el funcional ( )',, yyxF y que se desea conocer la 
variación de su integral ( ), , 'F x y y dxδ ∫ 
( ) ( )∫= ba dxyyxFyI ',, 
luego ( ) ( )yIyII −+=Δ εη 
 
Si los límites de I no dependen de y , se tiene 
( ) ( ) =−++=Δ ∫∫ baba yyxFyyxFI ',,'',, εηεη 
 ( ) ( )[ ] ( )dxyyxFyyxFyyxF b
a
b
a ∫∫ Δ=−++= ',,',,'',, εηεη 
 
así 
 ( )dxyyxFI b
a∫= ',,δδ 
 
La integral de la variación es igual a la variación de la integral. 
 
 Una condición necesaria para que el funcional I tenga un extremo es que su variación se 
anule 
 
( ) ( ) ( ) dxy
dx
dFyFdxyFyFdxyyxFI
b
a yy
b
a yy
b
a
 '',,
 
 '
 
 '
 
 ∫∫∫ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +=+== δδδδδδ 
integrando el último término por partes, con 'yFu = y ( ) dxydx
ddv ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= δ 
( ) ( )∫∫ −= b a ' ' ' ydxdx
Fd
yFdx
dx
ydF y
b
ay
b
a y
δδδ 
 
como se supone que ( )xy εηδ ≡ se anula en ax = y bx = debido a las condiciones usuales 
sobre ( )xy o bien, que 'yF satisface las condiciones naturales en la frontera, lo que hace que se 
anule en estos puntos, se tiene 
 ( )∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= b
a
y
y ydxdx
Fd
FI
 
 
' δδ 
 
 Como ya hemos visto que 
( )
0 ' =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
dx
Fd
F yy es una condición necesaria para la 
existencia de un extremo de I , se concluye que Iδ también es cero en cualquier extremo de I . 
Inversamente, puesto que yδ es una variación arbitraria en y , la condición 0=Iδ implica que 
Antonio
Highlight
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( )
0 ' =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ − yy Fdx
Fd y esto nos representa justamente la ecuación que ya habíamos deducido 
 ( )
0' =− yy Fdx
Fd
0
'
d F F
dx y y
⎛ ⎞∂ ∂• − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ Ecuación de Euler 
 
 
 
 
 
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Ejemplos 
 
1) ¿ Qué curva que una los puntos ( )111 , yxP y ( )222 , yxP tiene la longitud más corta ? 
 
Aquí, la respuesta es obvia, a saber, el segmento 21PP , pero resulta interesante verificar este 
hecho geométrico elemental, por medio del cálculo de variaciones. Por supuesto, lo que se tiene 
que hacer es determinar la función que minimice la integral 
 
∫ ∫== ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+== 2
1
2
1
 
 
 
 
2
 1
xx
xx
x
x
dx
dx
dydsL 
para esta integral, la ecuación de Euler es 
 
( ) ( ) 0'1 '1 22 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +∂
∂−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +′∂
∂ y
y
y
ydx
d
 
lo cual se reduce a 
( ) cy
y =
+ 2'1
'
 
despejando 'y 
m
c
cy =−= 21' 
integrando 
bmxy += 
 
Por supuesto, las constantes m y b se determinan por la condición de que esta recta debe 
pasar por 1P y 2P . 
 
Por ejemplo es fácil verificar que, m, la pendiente de la recta que cubre los puntos 1P y 2P es: 
 
 
 
 
Aplicando la condición de P1 
 
Aplicando la condición de P2 
 
Ahora restando se obtiene 
 
 
Finalmente despejando m, se obtiene