Cortaduras de Dedekind e Campo Ordenado

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Ana´lisis Matema´tico I
Actividad 2
Cortaduras de Dedekind
Teorema. Existe un campo ordenado R con la propiedad de la mı´nima cota
superior. Adema´s, R contiene a Q como subcampo.
1. Los miembros de R son subconjuntos de Q que se llaman cortaduras. Una
cortadura es cualquier subconjunto de Q con las siguientes propiedades:
I) α 6= ∅, α 6= Q.
II) Si p ∈ α, q ∈ Q y q < p, entonces q ∈ α.
III) Si p ∈ α, entonces p < r para algu´n r ∈ α.
2. Define α < β si y solo si α ( β. Esto define un orden en R.
3. El conjunto ordenado R tiene la propiedad de la mı´nima cota superior. Si
∅ 6= A ⊂ R esta´ acotado superiormente entonces
β =
⋃
γ∈A
γ
es el supremo de A.
4. Si α, β ∈ R se define
α+ β = {r + s : r ∈ α, s ∈ β},
y
0∗ = {r ∈ Q : r < 0}.
Se verifica que se satisfacen los axiomas de la adicio´n y la primera condicio´n
de la definicio´n de campo ordenado.
5. Si α, β, γ ∈ R y β < γ, entonces α+β < α+γ. Por tanto, α > 0∗ si y solo
si −α < 0∗.
6. Sea R+ = {α ∈ R : α > 0∗}. Si α, β ∈ R∗, entonces se define
αβ = {p ∈ Q : p ≤ rs para algunos r ∈ α, s ∈ β, r > 0, s > 0},
1∗ = {r ∈ Q : r < 1},
se verifica que se satisfacen los axiomas de la multiplicacio´n para R+ con
este producto, y la propiedad distributiva. Tambie´n se verifica la segunda
condicio´n de campo ordenado.
7. Se define la multiplicacio´n para los restantes casos:
αβ =
 (−α)(−β) si α < 0
∗, β < 0∗
−[(−α)β] si α < 0∗, β > 0∗
−[α(−β)] si α > 0∗, β < 0∗
Se demuestran los restantes axiomas para que R sea un campo, haciendo
uso de la identidad γ = −(−γ) y el paso anterior.
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8. Para cada r ∈ Q asociamos la cortadura
r∗ = {q ∈ Q : q < r},
y se cumple:
a) r∗ + s∗ = (r + s)∗
b) r∗s∗ = (rs)∗
c) r∗ < s∗ si y solo si r < s.
9. Q∗ es isomorfo a Q.
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