Reais Extendidos e Números Complexos

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Ana´lisis Matema´tico I
Actividad 3
Los Reales Extendidos
1. Definicio´n de los reales extendidos.
2. Convenciones:
a) Para todo x ∈ R se verifica:
−∞ < x <∞
x+∞ =∞, x−∞ = −∞,
x
+∞ =
x
−∞ = 0
b) Si x > 0, entonces x(+∞) = +∞, x(−∞) = −∞.
c) Si x < 0, entonces x(+∞) = −∞, x(−∞) = +∞.
d) Cuando es necesario hacer distincio´n entre los nu´meros en R y los
s´ımbolos ±∞, los primeros se llaman finitos.
3. El campo de los nu´meros complejos. Parte real, parte imaginaria, mo´dulo,
conjugado de un nu´mero complejo.
Ejercicios
1. Sea A un conjunto de nu´meros reales que no es vac´ıo, que esta´ acotado
inferiormente. Si −A = {−x : x ∈ A}. Demuestra que
ı´nf A = − sup(−A)
2. Sea b > 1 fijo
a) Si m,n, p, q son enteros n > 0, q > 0, y r = mn =
p
q , demostrar que
(bm)1/n = (bp)1/q.
As´ı que tiene sentido definir br = (bm)1/n.
b) Demostrar que br+s = brbs si r y s son racionales.
c) Si x es real, y se define B(x) como el conjunto de todos los nu´meros
bt donde t es racional y t ≤ x. Demuestra que
br = supB(r)
cuando r es racional. As´ı que tiene sentido definir bx := supB(x),
para cada nu´mero real x.
d) Demostrar que bx+y = bxby para todos los reales x, y.
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3. Sean b > 1, y > 0 fijos, demostrar que hay un real u´nico x tal que bx = y,
al completar el siguiente bosquejo. (A este x se le llama logaritmo de y de
base b).
a) Para cualquier entero positivo n, bn − 1 ≥ n(b− 1)
b) En consecuencia, b− 1 ≥ n(b1/n − 1).
c) Si t > 1 y n > b−1t−1 , entonces b
1/n < t.
d) Si w es tal que bw < y, entonces bw+1/n < y para un n suficientemente
grande. [Aplique la parte c) con t = y · b−w]
e) Si bw > y, entonces bw−1/n > y para un n suficientemente grande.
f ) Considerar A como el conjunto de todos los w tales que bw < y, y
mostrar que x = supA satisface que bx = y.
g) Demostrar que x es u´nico.
4. Demostrar que en el campo complejo no puede definirse ningu´n orden para
que e´ste sea un campo ordenado.
5. (El orden diccionario o lexicogra´fico en C) Sean z = a + ib, y w = c + id
define z < w si y solo si a < c o´ a = c y b < d. Demuestra que esta es
una relacio´n de orden en C. ¿ Tiene C con este orden la propiedad de la
mı´nima cota superior ? (Justifica tu respuesta)
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