Conjuntos Finitos, Numeráveis e Não Numeráveis

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Ana´lisis Matema´tico I
Actividad 4
Conjuntos Finitos, Conjuntos Numerables y Conjuntos No Numerables
1. Definicio´n. Decimos que dos conjuntos A y B tienen la misma cardinali-
dad, denotado A ∼ B, si existe una funcio´n biyectiva A→ B. Verifica que
tener la misma cardinalidad es una relacio´n de equivalencia.
2. Definicio´n. Para todo entero positivo n sea In = {1, 2, . . . , n}. Para todo
conjunto A, decimos que
a) A es finito si A ∼ In para algu´n n (el conjunto vac´ıo se considera
finito).
b) A es infinito si no es finito.
c) A es numerable si A ∼ N.
d) A es no numerable si no es finito ni numerable.
e) A es a lo ma´s numerable si es finito o numerable.
3. Ejemplo: N ∼ Z. ¿ Puede un conjunto numerable tener un subconjunto
numerable?
4. Definicio´n. Una sucesio´n es una funcio´n definida en N. Si para cada
n ∈ N, f(n) = xn, se acostumbra representar a la sucesio´n f mediante
{xn}, o mediante x1, x2, x3, . . .. Los valores de f , o sea los elementos xn,
se llaman te´rminos de la sucesio´n. Si A es un conjunto y xn ∈ A para toda
n ∈ N, se dice que {xn} es una sucesio´n en A, o una sucesio´n de elementos
de A.
A veces es conveniente sustituir N en esta definicio´n por N ∪ {0}.
5. Teorema. Todo subconjunto infinito de un conjunto numerable es numer-
able.
6. Corolario.
a) Existe una funcio´n suprayectiva f : N → A si, y so´lo si, A es a lo
sumo numerable.
b) Existe una funcio´n inyectiva f : A → N si, y so´lo si, A es a lo sumo
numerable.
7. Teorema. Si {En} es una sucesio´n de conjuntos numerables y
S =
∞⋃
n=1
En,
entonces S es numerable.
1
[Define la sucesio´n usando el siguiente diagrama:
x11 x12 x13 x14 . . .
x21 x22 x23 x24 . . .
x31 x32 x33 x34 . . .
x41 x42 x43 x44 . . .
]
8. Corolario. Si A es a lo sumo numerable, y para cada a ∈ A, Ba es a lo
sumo numerable, entonces
T =
⋃
a∈A
Ba
es a lo sumo numerable.
[T es equivalente a un subconjunto de S arriba]
9. Teorema. Si A es un conjunto numerable y Bn es el conjunto de todas las
n-adas (a1, . . . , an) con ak ∈ A (para k = 1, . . . , n) sin que los elementos
sean necesariamente diferentes, entonces Bn es numerable.
[Procede por induccio´n y usa que Bn =
⋃
a∈A{(b, a) : b ∈ Bn−1}]
10. Corolario. El conjunto de los nu´meros racionales es numerable.
11. El conjunto A, que consta de todas las sucesiones cuyos elementos son los
d´ıgitos 0 y 1, es no numerable.
[Si B es un subconjunto numerable de A, define un elemento de A que no
pertenece a B]
Ejercicios
1. Demuestra que el conjunto vac´ıo es subconjunto de cada conjunto.
2. Se dice que un nu´mero complejo z es algebraico si hay enteros a0, . . . , an,
que no son todos cero, tales que
a0z
n + a1z
n−1 + . . .+ an−1z + an = 0.
Demostrar que el conjunto de todos los nu´meros algebraicos es numerable.
[Sugerencia: Para cada entero positivo N hay solo un nu´mero finito de
ecuaciones con
n+ |a0|+ |a1|+ . . .+ |an−1|+ |an| = N ]
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