Espaços Métricos: Definições e Propriedades

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Ana´lisis Matema´tico I
Actividad 5
Espacios Me´tricos
1. Definicio´n. Se dice que un conjunto X es un espacio me´trico si para cada
dos puntos p, q de X se tiene asociado un nu´mero real d(p, q) llamado la
distancia de p a q, que satisface:
a) d(p, q) > 0 si p 6= q y d(p, p) = 0.
b) d(p, q) = d(q, p).
c) d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q) para todo r ∈ X.
Cualquier funcio´n d : X ×X → R+ ∪ {0} con las propiedades anteriores
se llama una funcio´n distancia o me´trica.
2. Ejemplo: Rn con d(x, y) = |x − y| = √∑ni=1(xi − yi)2 es un espacio
me´trico
3. Si (X, d) es un espacio me´trico, A es un subconjunto de X, es (A, d
∣∣
A×A)
un espacio me´trico? Justifica tu respuesta.
4. Definicio´n.Si ai < bi para i = 1, . . . , n, el conjunto de todos los puntos
en Rn cuyas coordenadas satisfacen ai ≤ xi ≤ bi para i = 1, . . . , n se llama
una n-celda.
5. Definiciones de bola abierta y bola cerrada, conjunto convexo.
6. Demuestra que las bolas abiertas (y las cerradas) en Rn son convexas.
As´ı como las n-celdas. [sugerencia: usa la identidad p = tp+ (1− t)p]
7. Definiciones: Sea (X, d) un espacio me´trico. Define
vecindad de un punto p ∈ X,
[Es el conjunto Nr(p) = {x ∈ X : d(x, p) < r}, donde r > 0]
punto l´ımite de un conjunto E ⊂ X,
[es un punto p tal que cualquier vecindad de p intersecta a E en un
punto distinto de p.]
punto aislado de un conjunto E ⊂ X,
[es un punto de E que no es punto l´ımite de E.]
conjunto cerrado,
[Un conjunto es cerrado si contiene a todos sus puntos l´ımites]
punto interior de un conjunto E ⊂ X,
[es un punto p para el cual existe una vecindad N de P tal que
N ⊂ E]
conjunto abierto,
[Un conjunto es abierto si todos sus puntos son interiores]
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conjunto perfecto,
[es un conjunto cerrado E ⊂ X tal que cada uno de sus puntos es
punto l´ımite de E]
conjunto acotado,
[E ⊂ X es acotado si existe M ∈ R y p ∈ X tales que d(x, p) < M
para toda x ∈ E]
conjunto denso
[E ⊂ X es denso en X si todo punto de X es punto l´ımite de E o
punto de E]
8. Teorema. Toda vecindad es un conjunto abierto.
9. Teorema. Si p es un punto l´ımite de un conjunto E, toda vecindad de p
contiene infinitos puntos de E.
10. Corolario. Un conjunto finito de puntos no tiene puntos l´ımite.
11. Ejemplos. Determina si cada uno de los siguientes es abierto, cerrado,
acotado o perfecto.
a) {z ∈ C : |z| < 1} en C con la distancia d(z, w) = |z − w|.
b) {z ∈ C : |z| ≤ 1} en C con la distancia d(z, w) = |z − w|.
c) Un conjunto finito en Rn.
d) Los enteros en R.
e) {1/n : n ∈ N} en R
f ) R2 en R2.
g) (a, b) con a < b en R.
12. Teorema. Un conjunto es abierto si y solo si su complemento es cerrado.
[Si U es abierto entonces para cada p ∈ U , existe una vecindad Nr(p)
contenida en U . Por otra parte, si q es un punto l´ımite de U c entonces
toda vecindad de q contiene puntos de U c. Se sigue que U c es cerrado.
Si U c es cerrado entonces cada punto en (U c)c = U no es punto l´ımite de
U c, en otras palabras, Existe vecindad Nr(p) tal que ∅ = Nr(p) ∩ (U c −
{p}) = Nr(p) ∩ U c, o sea Nr(p) ⊂ U ]
13. Corolario. Un conjunto es cerrado si y solo si su complemento es abierto.
Teorema. Sea (X, d) un espacio me´trico.
a) X, ∅ son abiertos.
b) Para toda coleccio´n Gα de conjuntos abiertos,⋃
α
Gα
es abierto.
2
c) Para toda coleccio´n finita G1, . . . , Gn de conjuntos abiertos,
G1 ∩ . . . ∩Gn
es abierto
14. Formula y demuestra un teorema ana´logo al anterior para cerrados. [Usa
las leyes de De Morgan]
15. Dar ejemplos que ilustren que la condicio´n de que la coleccio´n sea finita
en c) de los dos teoremas de arriba es necesaria.
16. Definicio´n de cerradura de un conjunto.
[La cerradura de un conjunto E ⊂ X se define como el conjunto E = E∪E′
donde E′ denota el conjunto de puntos l´ımite de E.]
17. Teorema. Si X es un espacio me´trico y E ⊂ X, entonces
a) E es cerrado.
b) E = E si y solo si E es cerrado.
c) Si F es un subconjunto cerrado de X tal que E ⊂ F entonces E ⊂ F .
Bosquejo:
a) Si p ∈ (E)c entonces p /∈ E y p /∈ E′, entonces existe vecindad
Nr(p) tal que ∅ = Nr(p) ∩ (E − {p}) = Nr(p) ∩ E. Verifica que
Nr(p) ⊂ Ec ∩ (E′)c = (E)c
b) E es cerrado ssi E′ ⊂ E ssi E ∪ E′ = E
c) Si E ⊂ F entonces E′ ⊂ F ′. As´ı que
E¯ = E ∪E′ ⊂ F ∪ F ′ = F¯ = F
18. Teorema. Sea E 6= ∅ un conjunto de nu´meros reales acotado superi-
ormente. Si y = supE, entonces y ∈ E. En particular, si E es cerrado,
entonces y ∈ E.
[Si y /∈ E entonces para cada r > 0, existe e ∈ E tal que y − r < e < y,
entonces para cada r > 0, se tiene que Nr(y) ∩ (E − {y}) 6= ∅]
19. Teorema. Supongamos que Y ⊂ X. Un subconjunto E de Y es abierto
relativo en Y , si y solo si E = Y ∩ G para algu´n subconjunto abierto G
de X.
[Si E es abierto relativo en Y entonces para cada p ∈ E, existe rp > 0
tal que las condiciones d(p, q) < rp y q ∈ Y implican que q ∈ E. Define
Vp = {x ∈ X : d(p, x) < rp} y toma G =
⋃
p∈E Vp. Verifica que E = G∩Y .
Para el rec´ıproco procede de manera directa.]
Ejercicios
Hacer los ejercicios 5-11 del Rudin pag. 47.
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