Análise Matemática I: Continuidade e Compacidade

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Ana´lisis Matema´tico I
Actividad 13
CONTINUIDAD Y COMPACIDAD
1. Definicio´n de funcio´n acotada Rk → R.
2. Teorema. Si f : X → Y es una funcio´n continua entre espacios me´tricos
y X es compacto, entonces f(X) es compacto.
3. Teorema. Si f : X → Rk es continua y X es compacto, entonces f(X) es
cerrado y acotado (en particular f es acotada).
4. Teorema. Si f : X → R es continua y X es compacto, entonces existen
α y ω en X tales que f(α) = sup f(X) y f(ω) = ı´nf f(X).
5. Teorema. Si f : X → Y es una funcioo´n biyectiva y continua definida en
el espacio me´trico compacto X, entonces f−1 es continua.
[Demuestra que si C ⊂ X es cerrado entonces (f−1)−1(C) = f(C) es
cerrado]
6. Definicio´n de funcio´n uniformemente continua entre espacios me´tricos.
7. La funcio´n f : (0,∞) → R dada por f(x) = 1x es continua pero no es
uniformemente continua.
[Supongamos que existe δ > 0 tal que
(x, y ∈ (0,∞) y |x− y| < δ ) implica que |f(x)− f(y)| < 1/2.
Sea N ∈ N tal que 1/N < δ. Observa que |2/N − 1/N | < δ, as´ı que
N/2 = |f(2/N)− f(1/N)| < 1/2, o sea N < 1, una contradiccio´n]
8. Teorema. Si f : X → Y es continua y X es compacto, entonces f es
uniformemente continua.
[Sea � > 0. Para cada p ∈ X, existe δp > 0 tal que
d(x, p) < δp implica d(f(x), f(p)) < �/2.
Por compacidad de X, existen N δp1
2
(p1), . . . , N δpm
2
(pm) que cubren a X.
Sea δ = mı´n{ δp12 , . . . , δpm2 }. Supongamos que d(x, y) < δ. Existe pj tal que
d(x, pj) < δpj/2, entonces d(y, pj) ≤ d(y, x) + d(x, pj) < δpj . Por lo tanto,
d(f(x), f(y)) ≤ d(f(x), f(pj)) + d(f(pj), f(y)) < 2(�/2). ]
CONTINUIDAD Y CONEXIDAD
1. Teorema. Si f : X → Y es una funcio´n continua entre espacios me´tricos
y E es un subconjunto conexo de X, entonces f(E) es conexo.
2. Teorema (Del valor intermedio). Si f : [a, b] ⊂ R → R es continua, y c
es un nu´mero tal que f(a) < c < f(b), entonces existe x ∈ (a, b) tal que
f(x) = c.
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