Álgebra aplicada, 2013 - Celia Araceli Islas Salomón

Esta es una vista previa del archivo. Inicie sesión para ver el archivo original

, 
gebra 
aplicada 
Celia Araceli Islas Salomón 
María Patricia Colín Uribe 
..... ~-..;.;..-~~-~-- Fernando Morales Téllez 
ebra 
a~pHcada 
Título original de la obra : 
ÁLGEBRA APLICADA 
ISBN 978-607-9315-23-8 
1 a. edición . 
México, D.F., julio de 2013. 
© Copyright. 
Grupo Editorial Éxodo. 
D.R. Todos los derechos reservados. 
Diseño de portada e interiores: 
Grupo Editorial Éxodo. 
www.editorialexodo.com 
SOCIO DE LA CÁMARA NACIONAL DE LA INDUSTRIA 
EDITORIAL MEXICANA 2993 
Impreso en México 
Prínted in Mexíco 
QUEDA ESTRICTAMENTE PROHIBIDA LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL DE LA 
PRESENTE EDICIÓN POR CUALQUIER MEDIO CONOCIDO O QUE PUDIERA LLEGARSE 
A CONOCER, SIN LA AUTORIZACIÓN EXPRESA DEL TITULAR DEL COPYRIGHT. 
Eresentación 
El álgebra es como un acertijo donde empiezas con algo como "x-2=4" y quieres llegar a algo como 
"x=6". 
Para trabajar en álgebra son necesarios ciertos conocim ientos previos sobre operatoria en 
Números Enteros y Números Racionales. También deben conocerse las propiedades de las poten-
cias. 
Este libro ayudara alumno a adentrarse al algebra, ya que el libro está diseñado para que al 
término de cada tema, el alumno Resuelva los ejercicios que denominamos Actividades. El profe-
sor podrá manejar estas actividades como una evaluación continua si así lo dispone, o también 
podrá maneja las actividades como guía para su examen departamental. 
También se anexa en el libro una apéndice, el cual contiene un "formulario d los temas que se 
ven en este curso y que le servirán para cursos posteriores. 
Y además cuenta con una guía en la cual incluyen todos los temas del curso. Que se puede 
manejar como una guía para preparación ara un examen final. 
La estructura de esta nueva edición está distribuida de la siguiente manera 
1/f Introducción : aquí encontrarás de una forma breve y directa los antecedentes del 
Algebra. 
1/f Números reales: en donde encontrarás de manera clara y sencilla ejemplos y ejerci-
cios para volverte a relacionar con aritmética .. 
1/f Algebra: Aquí entramos al manejo de letras y números, y todas las operaciones bási-
cas. 
1/f Ecuaciones y funciones lineales: en esta última sección, encontrarás ejemplos claros 
y sencillos que te mostrarán en dónde se aplica el conocimiento que acabas de ad-
quirir. 
Además, agregamos una serie de ejercicios adicionales al final de cada tema. También, al fi -
nal de cada capítulo, encontrarás una guía que contiene una serie de ejercicios de retroalimenta-
ción los cuales te ayudarán a prepararte para tus evaluaciones. 
Esperamos que este texto te sea de gran utilidad y contribuya a tu formación como politécni-
co, como profesionista, pero sobre todo, como mexicano. 
El conocimiento no vale si no se comparte 
Hernandez Cruz Juan Miguel 
Atentamente 
Los autores 
Agradecemos al 
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
Por la facilidades otorgadas para la elaboración 
de este texto, que tiene como fin atender el programa 
de Algebra del Nivel Medio Superior deiiPN, así como el apoyo 
que nos ha brindado como académicos y formadores 
de jóvenes mexicanos. 
Del mismo modo, reiteramos nuestro compromiso laboral 
para el progreso de tan Noble y Grandiosa Institución. 
''La técnica al servicio de la Patria" 
Celia Araceli Islas Salomón 
María Patricia Colín Uribe 
Fernando Morales Téllez 
Contenido 
PRESENTACIÓN ................................................................................................. 5 
INTRODUCCIÓN ................................................................................................ 9 
UNIDAD l. NÚMEROS REALES ......................................................................... 13 
l. CONCEPTO Y PROPIEDADES DE NÚMEROS REALES ................. ...... ...... .............. 15 
• Números ...................... .............................................................................. 15 
• Relación de orden entre los números reales .............................................. 16 
• lntervalos ...... ..... ............... ................... .............................. ........ .... ............. 17 
2. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BÁSICAS .................................................... 21 
• Propiedades de la suma o adición .............................................................. 21 
• Propiedades de la multiplicación ............................................................... 22 
• Operaciones básicas ................................................................................... 23 
3. NÚMEROS RACIONALES ....................................................................................... 29 
4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ................................................... ................. ........... 36 
• Números primos ........................... ...................... ........... ........ .......... ........... 36 
• Factores primos ........................................................ .................................. 39 
• Mínimo común múltiplo ................................................ .. .......................... .40 
• Máximo común divisor ............................................................................... 42 
• Signos de agrupación ................................................................................. .43 
S. NOTACIÓN CIENTÍFICA ...................................................................................... .. .46 
6. POTENCIAS Y RADICALES ................. .............. ...................... ................... , ............ 50 
• La potencia o exponente ........................................................................... 50 
• Radicaciun ......................... .......................... ................................... ....... ...... 51 
• Simplificación de radicales .............. ............ ................. ............................. .52 
7. RAZONES Y PROPORCIONES ........................................ ........................................ 53 
• Cantidades proporcionales ......................................... ,. ........................... .. .58 
• Media proporcional ..... ....... .......................... ................... ........................... 62 
• Cuarta proporcional ..................................................................... ......... ...... 63 
• Tercera proporcional .... ................................................................. .... ......... 65 
• Regla de tres simple .... ................................................................................ 67 
UNIDAD 11. EXPRESIONES ALGEBRAICAS .......................................................... 71 
l. DEFINICIONES ..................................................................................................... 73 
2. CONCEPTOS BÁSICOS DE TRADUCCIÓN DEL LENGUAJE COTIDIANO 
AL LENGUAJE ALGEBRAICO ................................................................................ 75 
3. OPERACIONES ALGEBRAICAS ............................................................................. 77 
4. PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES ................................................................ 87 
S. FACTORIZACIÓN ................. .......................... ..................... ................................. 93 
6. OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS .............................................. 110 
UNIDAD 111. ECUACIONES Y FUNCIONES LINEALES .......................................... 114 
1. DESPEJES ................. ........................................................................................ 117 
2. ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA .... ........................................... 119 
3. ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON 2 INCÓGNITAS ........................................... 124 
• Método por igualación .............. ....................
........................................... 127 
• Método de reducción ........ ........................ ............................................... 130 
• Método por determinantes ........................................................... ........... 132 
• Método gráfico ......................................................................................... 135 
4. ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON 3 INCÓGNITAS .......... ................................. 141 
UNIDAD IV. ECUACIONES DE 2do. GRADO O CUADRÁTICA ............................. 145 
l. ECUACIONES DE 2do GRAD0 ............................................................................. 147 
2. ECUACIONES CUADRÁTICAS Y SUS MÉTODOS DE SOLUCIÓN ........................... 147 
3. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE: ECUACIONES LINEALES, SIMULTÁNEAS, 
LINEALES Y DE 2do GRADO O CUADRÁTICAS ........................ ........................... 158 
APÉNDICE ..................................................................................................... 163 
GUÍA DE APOY0 ............................................................................................ 167 
BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 189 
Introducción 
Sin que nos demos cuenta aplicamos un sistema de conteo personal, que puede ser para tus gas-
tos al ir a la escuela, para transpórtate de un lugar a otro, para cooperar para ir al cine, una 
reunión o una fiesta, para poderte comprar un CD, lpoh, tu teléfono celular, tu ropa. 
En cada uno de los casos anteriores has empleado una cifra numérica o un numero cualquiera 
para representar tu conteo; pero y ¿Cómo nacieron esas formas de representación numérica? 
¿Cuál ha sido su evolución? ¿Realmente han influido en desarrollo tecnológico de nuestros días? 
Los primeros vestigios de la antigua matemática se encuentran en la aritmética comercial de 
los pueblos de Oriente. Existen registros en las tablillas mesopotámicas con caracteres cuneifor-
mes (2000 A.c.) las primeras huellas del uso de símbolos numéricos. El papiro Rhind (1650 A.C) 
refiere el sistema de numeración egipcio. También el Chou-Pei Suan- King (1102), el primer libro 
chino sobre cuestiones matemáticas, reseña lo que podría ser los inicios de la aritmética de ese 
pueblo. 
Es importante mencionar que los símbolos de nuestro sistema de numeración, incluido el ce-
ro, son de origen hindú, fueron introducidos en Europa por los árabes en los siglos IX y X. 
Las matemáticas como ciencia, en el sentido moderno, comienzan en Grecia y Oriente. Se 
considera a Tales de Mileto como el padre tradicional de las matemáticas griegas, pero es con 
Pitágoras (572-501 A.C) que se adquiere una noción precisa de lo que es el número y en especial el 
número natural. 
El desarrollo del numero irracional se le atribuye a Teeteto (-369 A.C). 
Euclides escribe la obra Elementos, esta obra está compuesta de 13 libros y en ella se encuen-
tra la mayor parte de la aritmética conocida por los griegos. 
En su obra Arenario, Arquímedes plantea un concepto claro de numero e infinito, también es-
cribió teoremas sobre áreas de figuras planas y sobre volúmenes de cuerpos sólidos. 
Las aportaciones de Eratóstenes (276-194 A: C) fue sobre los números primos. 
La mayor aportación de los árabes a las matemáticas proviene de Mohamed lbn-Musa, cono-
cido como AI-Juwarizmi, que vivió alrededor del 800 A.C. Escribió dos obras una llamada Algorit-
mi dicit es un tratado de aritmética y con esta se difunden en Europa las cifras hindúes, el cero y 
el sistema de numeración posicional. La segunda obra, intitulada Adjbrn Walmukabala esta obra 
aborda el álgebra general. 
Las propuestas revolucionarias de Copérnico, Tycho Brahe y Kepler en la astronomía, reque-
rían cambios en la visión de los conceptos matemáticos. René Descartes, puso la Geometría clási-
ca al alcance de los algebristas; al unificar la geometría y el álgebra. 
Las necesidades astronómicas impulsaron la invención de los logaritmos y sus tablas el esco-
cés John Napier (1550-1617) y el inglés Henry Briggs (1556-1630) brindaron esta aportación a la 
ciencia . 
Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz {1646-1716L en distintos periodos 
descubren el cálculo diferencial e integral. 
Evariste Galois {1811-1832) descubre la teoría de los campos que hoy en nuestros días se si-
gue investigando. 
Leonard Euler (1707-1783), desarrollo el caculo infinitesimal (a parte de otras teorías), e inno-
vó el concepto de función. 
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), en su obra Disquisitiones arithmeticae presento una demos-
tración del teorema fundamental del algebra. 
Nicolás lvannovich Lobatschewki {1793-1856), Juan Bolyai (1802-1860) y George Friedrich 
Bernhard Riemann 1826-1866L inician los estudios de la geometría esférica . 
George Boole {1815-1864) inicia los estudios de la relación de las matemáticas y la lógica, y el 
alemán Ernest Schroder (1841-1902) afina esa relación. 
Surge la teoría de conjuntos, creada por Georg Cantor (1845-1918). 
Albert Einstein {1879-1955) plantea la teoría de la relatividad restringida y absoluta. Plantea 
la famosa ecuación de la energía E = mc 2 
El desarrollo de las teorías de Einstein desarrolla el álgebra lineal y surgen las matrices los 
estudiosos de este tema son: Elie Cartan en 1913 y R. Brauner en 1935. 
No podrían faltar las aportaciones de los físicos matemáticos Ernest Rutherford (1871-1937), 
Max Plant (1858-1947), Niels Bohr (1885-1962) y Werner Karl Heisemberg (1901- 1976), para po-
der entender nuestro mundo actual. 
Hoy en día, la aplicación científica mediante la cibernética, se construyen los modernos siste-
mas computacionales, apoyados en la electrónica y en el cálculo de probabilidades y la estadística. 
En 1970, Patrick Rivett presenta su libro Concept on Ooperational Research inicia con esta 
obra el desarrollo interdisciplinario (ciencia y técnicas) del cálculo operativo y el desarrollo. 
Y por último no se puede dejar de hablar de nuestro país MÉXICO. Ya que es el pueblo MAYA 
el que empleo en su sistema de numeración el principio de valor posicional, toda vez que conocie-
ron el cero. Este sistema se desarrolló de manera independiente a los de las civilizaciones de 
oriente y europeas. Se utilizó fundamentalmente en cálculos astronómicos, pero también en regis-
tros comerciales. 
Es un sistema vigesimal, es decir, que tenía el nuera 20 como base, se escribía de manera ver-
tical: los símbolos cuya posición estaba en la parte más baja denotaban las unidades (kines); los 
siguientes denotaban a los 20 (uinales); los que seguían a 18x 20=360 (tunesL los siguientes 20 x 
360= (katues) y así sucesivamente. Esta situación se presentaba debida a que su calendario tenía 
un ciclo anual de 360 días, cada año estaba dividido en 18 meses y cada mes en 20 días. Los símbo-
los que se usaron son: 
1 
Escuela: 
'EvdtAXtón 
d~5tlCti 
1 Asignatura: 
Profesor (a) : 
Especialidad o Área : 
Alumno (a) : 
REALIZA LAS SIGUIENTES OPERACIONES: 
a) 8236 x 5274 = 
b) ( -723)( -420) = 
e) (4)(-7)(2)(-1)(-5)(-6) = 
d) 2(7- 4) + 3(1- S)+ 8 = 
~ 10053~2000382= 
f) 903~42874 = 
Grupo: 
Turno: 
Fecha: 
Recorta la hoja y entrégasela a tu profesor (a) para su evaluación 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
6867 + 5003 + 107284 = 
5672303- 2360314 = 
7 10 1 
- +---= 6 12 6 
13 9 1 3 
-+2--4-+1-= 
16 16 16 16 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
X 
() 
UNIDAD 1 
Números reales 
-~ 
Números reales 
1. Concepto y propiedades de los números reales 
NÚMEROS 
• El conjunto de los números reales resulta de la ampliación de otros conjuntos numéricos, 
los cuales se mencionan a continuación. Conjunto de los números naturales, N 
Integrado
por los números que sirven para contar. 
N= {1,2,3,4,5,6,7 ...... } 
• Conjunto de los enteros no negativos, z+. 
z+ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8 ..... } 
• Conjunto de los números enteros negativos. z-
z- = {-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8 ....... } 
• Conjunto de los números enteros. z• 
z• = {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3 ....... } 
• Conjunto de los números racionales, Q** 
Este conjunto lo forman todos los números de la forma E, donde p y q son números ente-
q 
ros (positivos o negativos) y q es diferente de cero. 
~ _?._ 4=(~) 6=(~) 
3' S' 1 ' 1 
(El símbolo Z proviene de la palabra alemana zahe, que significa entero. 
El símbolo Q proviene de la palabra inglesa quotient, que significa cociente} vocabulario 
• Conjunto de los números Irracionales. 1 
• Está formado por todos los números que no se pueden escribir como el cociente de dos 
enteros. 
rr 
La unión de los conjuntos de los números racionales y de los números irracionales constituyen el 
conjunto de los números reales. El conjunto de los números reales se representa por: R 
(Existe un conjunto número más amplio que es el de los números reales: los llamados números 
complejos, los cuales se verá más adelante}. 
~ ~ Álgebra aplicada 
N os números reales se pueden representar mediante los puntos de una recta numérica. Para lle-
var a cabo esta representación, se comienza por trazar una línea recta y se elige un punto de la 
misma que representa el cero, conocido también como origen. 
Los enteros positivos 1, 2, 3 ,4 .... Se asocian con puntos de una recta numérica situados a la dere-
cha del origen. Para representarlos, se selecciona una unidad de medida; al número 1 le corres-
ponde el punto situado a una unidad de distancia del origen, al número 2 le corresponde el punto 
que está a una distancia de 2 unidades del origen, y así sucesivamente . 
Los enteros negativos: -1 , -2, -3, -4 .. .. . Se asocian con puntos de la recta numérica situados a una 
distancia del origen de 1, 2, 3, 4 .......... . , unidades respectivamente, a la izquierda del cero . 
Recta Numérica 
5 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1~ 1 1 1 1 1 1 
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o +1 +2+3+4+5+6+7+8+9 \ 1 
Números entero negativos 
El número ~ se representa en la recta numérica por un punto situado a las unidades y media a la 
derecha del origen. 
Con esta idea podemos concluir que a cada número real le corresponde un solo punto de la recta 
numérica y que, recíprocamente, a cada punto de la recta numérica le corresponde un solo núme-
ro real. Esto significa que están en correspondencia biunívoca, es decir, el conjunto de los números 
reales y el de los puntos de una recta numérica son equivalentes entre sí. 
RELACIÓN DE ORDEN ENTRE LOS NÚMEROS REALES. 
Entre los números reales a y b existe una relación de orden en la que establece que un número 
real es menor o igual que otro, Desde el punto de vista geométrico, cuando dos números a y b se 
representan por puntos sobre una recta numérica se cumple una de las siguientes relaciones : 
1. Si el punto que corresponde al número a esta a la derecha del punto correspondiente al 
número b, entonces a es mayor que b, lo que se denota por a > b. 
y. 
Números reales ~ 
Unidad~ 
2. Si el punto que corresponde al número a esta a la izquierda del que le corresponde al nú- 1 
mero b, entonces a es menor que b; esto se denota por a < b. 
3. Si los puntos que corresponden a dichos números coinciden, entonces a y b son igua les y 
se denota por a = b. 
INTERVALOS 
La notación y la terminología de intervalos se utilizan para describir conjuntos numéricos, los in-
tervalos son subconjuntos de los números reales, Dados los números reales a y b, donde a < b, se 
muestran los siguientes intervalos: 
l. El conjunto de los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. 
Este intervalo se puede expresar de la siguiente manera : 
a b 
• 
a) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
-7 ~ -5 .... -3 -2 -1 o 2 3 4 5 6 7 
b) a ~ x ~b 
e) [a, b] 
En este caso, tanto los corchetes como el signo igual indican que el intervalo incluye a los 
números reales a y b 
2. El conjunto de los nueros reales mayores que a y menores que b. 
Este intervalo se puede expresar de la siguiente manera : 
a b 
a) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
-7 ~ -5 .... -3 -2 -1 o 2 3 4 5 6 7 
b) a < x <b 
e) (a,b ) 
Los paréntesis que corresponden a dichos números a y b indican que el intervalo no inclu-
ye a dichos números. 
Álgebra aplicada & 
1 3. El conjunto de los números reales mayores a y menores o iguales que b. 
Este intervalo se puede representar de la siguiente manera. 
a b 
a) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
·7 -6 ·5 -4 ·3 ·2 ·1 o 2 3 4 5 6 7 
b) a< x '5:b 
e) (a, b] paréntesis y corchete. 
4. El conjunto de los números reales mayores o iguales que a y menores que b. 
Este intervalo se puede representar de la siguiente manera . 
a b 
• 
a) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
·7 -6 ·5 -4 ·3 ·2 ·1 o 2 3 4 5 6 7 
b) a'5: x <b 
e) [ a, b ) corchete paréntesis 
5. El conjunto de los números reales mayores o iguales que "a". Este intervalo se puede re· 
presentar de la siguiente manera. 
a 
·----------------~ 00 
a) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ~ -6 ~ -4 ~ ~ ~ o 1 2 3 4 5 6 7 
b) x ~a 
e) [a, +oo] 
6. El conjunto de los números reales menores que " a" . Este intervalo se puede representar 
de la siguiente manera. 
a) 1 1 
·1 -6 ·5 
b) x<a 
e) ( -oo, a) 
a 
00 ~<----------------· 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
-4 ~ ·2 ·1 o 2 3 4 5 6 7 
Números reales 
e Ejemplos 
1. Representa en forma de intervalo el conjunto de los números reales mayores o iguales 
que -2 y menores o iguales que 8. 
Solución. 
f-2,81 o bien -2 :5 x :58 
2. Representa en forma de intervalo el conjunto de, los números reales mayores que -5 y 
menores que 12. 
Solución. 
(-5,12) o bien -5 < x < 8 
3. Representa en forma de intervalo el conjunto de, los números reales mayores o iguales 
que -1 y menores o iguales que 3. 
Solución. 
[ -1,3] o bien -1 :5 x :5 3 
Álgebra aplicada & 
1 4. Representa en forma de intervalo el conjunto de, los números reales mayores que 6 
Solución. 
(6, +oo) o bien x > 6 
S. Representa en forma de intervalo el conjunto de, los números reales mayores o iguales 
que -3 
Solución. 
[-3,+oo] obien x~-3 
6. Representa en forma de intervalo el conjunto de, los números reales menores que S 
Solución. 
( -oo, S) o bien x < S 
7. Representa en forma de intervalo el conjunto de, los números reales menores o iguales 
que 4. 
Solución. 
(-oo,4) o bien x ~ 4 
Números reales 
2. Propiedades de las operaciones básicas 
,:/. ""d~ 
1 
Las operaciones fundamentales del algebra son la suma, la resta, la multiplicación y la división. 
PROPIEDADES DE LA SUMA O ADICIÓN 
• PROPIEDAD CONMUTATIVA. Esta propiedad señala que el orden de los sumandos no 
altera la suma. 
a + b = b + a, cualquiera que sean los numeras reales a y b. 
e Ejemplo: 12 + 3 = 3 + 12 1S+8=8+1S. 3+x=x+3 
• PROPIEDAD ASOCIATIVA. Esta propiedad señala que si se quiere efectuar la suma de 
los números reales a, by e sin cambiar el orden de los sumandos se tienen dos opcio-
nes: 
Una consiste en determinar primero a+ by sumar el resultado con e, es decir (a+b) +c. 
La otra opción es efectuar la suma de a con el resultados de la suma de b+c, es decir a 
+ (b+c). En general si a, by e son tres números reales, entonces: 
a+ b +e= (a+ b) +e= a+ (b +e) 
G Ejemplo: 6+4+8=(6+4)+8=6+(4+8) = 18 
Existencia del elemento neutro para la suma La suma de un número real a y el cero es 
igual a dicho número. 
e Ejemplo: 7 + O = 7 9 + O = 9 O + S = S 
Si a representa un número real se tiene que: a+ O= a. 
Esta propiedad se enuncia así ""El número real O es el elemento neutro para la suma", 
lo que significa
que cualquier número real más cero es o igual a dicho número real. 
~ ~ Álgebra aplicada 
~XISTENCIA DELI N VERSO ADITIVO 
Si se considera un número real a, entonces existe otro número real (-a), tal que la suma de ellos es 
igual a cero . A+ (-a)= O 
Por esta razón, el número (-a) se llama inverso aditivo del número a, y viceversa. 
e Ejemplo: 4 + ( -4) = O -8 + 8 = O 
Geométricamente, los inversos aditivos se representan en la recta numérica por puntos situados a 
la misma distancia del origen pero en direcciones opuestas 
Si se tiene el número real-a, su inverso aditivo es -(-a)= a. Así tenemos 
Para cualquier número real a,- (-a)= a 
8 Ejemplo: -(-7) = 7 -( -3) = 3. 
Suma y valor absoluto de números reales . 
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN 
La multiplicación es una operación que tiene por objeto hallar un número, denominado producto, 
a partir de dos a más números, llamados factores. 
Si a y b representan dos números reales, entonces el producto de a y b se pueden representar 
mediante cualquiera de las formas siguientes: 
1. a· b 
2. a(b) 
3. (a)(b) 
4. ab 
5. a * b 
6. ax b 
Nota : con valores numéricos no se representa con el punto, ya que puede confundirse con 
una número entero y decimal, y cuando se ocupan letra no se maneja el termino x, ya 
que se puede confundir como una variable. 
Números reales 
y. """~ 
1 • PROPIEDAD CONMUTATIVA. 
Esta propiedad establece que el orden de los factores no altera el producto, por 
ejemplo: S( 4) = 4(5) . En general si a y b son dos numeros reales cualesquiera, en-
tonces: ab = ba. 
• PROPIEDAD ASOCIATIVA. Si tenemos el producto de tres números, por mencionar 
un caso 2, 9 y 4, primero se puede multiplicar 2(9) y luego multiplicar el resultado 
por 4; o bien, multiplicar primero 9( 4) y después multiplicar el resultado por 2; es de-
cir: 
2x9x4 = (2x9)x4 = 18x4 = 72 
2x9x4 = 2x(9x4) = 2x36 = 72. 
Observa que no se esta cambiando el orden de los factores, sino la forma 
de agruparlos. 
En general, la propiedad asociativa de la multiplicación indica que si a, b y e son tres 
números reales, entonces: abe = (ab )e = a(bc ). 
Elemento neutro de la multiplicación es el número 1, ya que el producto de todo nu-
mero por 1 es igual a ese número: por ejemplo: 
1(a) =a 1(6) = 6 1(-8) = -8. 
OPERACIONES BÁSICAS 
SUMA O ADICIÓN 
En esta operación los elementos reciben el nombre de sumandos y el resultado suma o adición. La 
suma o adición de números enteros se efectúa solo si los signos de los números son iguales. 
¿Cuál es el resultado de 3 + 9? 
3 + 9 = 12 
¿Cuál es el resultado de -5-1- 3? 
-5-1-3 = -9 
~ ~ ÁlgWro oplirodo 
1 Para sumar números de dos o más dígitos, los sumandos se ordenan en forma vertical para hacer 
coincidir las respectivas clases y se realiza la operación, columna por columna y de derecha a iz-
quierda. 
(:!) Ejemplo: 325 + 63 
325 
+ 63 
388 
Suma: -1533-2980-537 
Efectúa las siguientes operaciones. 
l. 364 + 93 = 
2. 40SO + 2019 + 310 = 
3. 11207 + S874 + 4S3 + 96 
4. 102207 + 1137S + 1117 + 60 = 
-1S33 
-2980 
-S37 
-soso 
YL .. ~->~ 
~ 
Actividad 
S. 112300S + 247S727 + 704973 + S3200 
6. 7000000 + 648000 + S3047 + 4200 + 600 = 
7. - 242- S63 = 
8. -12S0-396= 
9. -63S9- 4872 - 4S = 
10. - S12013419 - 23642000- 12S3421- 68312S = 
Números reales 
RESTA O DIFERENCIA 
y. "'"~ 
1 
Es la operación inversa de la suma o adición. Los elementos de una resta son el minuendo(+), sus-
traendo (-) y la diferencia 
Cuando se restan dos números enteros a diferencia lleva el signo del entero de mayor valor abso-
luto 
(1 Ejemplo: efectúa: 7- 2 
7-2=5 
Su resultado es S ya que 7 es mayor en valor absoluto. 
~ Ejemplo: efectúa: 6- 12 
6-12 = -6 
Su resultado es -6 ya que 12 es mayor en valor absoluto. 
Si los números son de dos o más dígitos, entonces se acomodan de manera vertical, para que coin-
cidan las clases y se efectúen las operaciones, columna por columna, de derecha a izquierda. 
(~) Ejemplo: 289-47 
El resultado de: -6-3-2+8+1 
289 
-47 
242 
Se recomienda sumar las cantidades que tienen el mismo signo: 
-6-6-2 = -11 8+1=9 
Posteriormente se restan ambos resultados: -11 + 9 = -2. 
& 
1 
Atgebra aplicada 
)'1. $~ ~ 
Actividad 
Efectúa las siguientes operaciones. 
l. -2 + 6 = 
2. -8 + 8 = 
3. -13 - 1S + 6 + 11 = 
4. -9 - 7 - 8 - 2 + S + 4 + 11 = 
S. 13 - 2 - S - 9 - 1 + 8 = 
6. 4 - 3 - 2 + 6 + 1 - S + 4 - 8 - 9 = 
7. S31- 120- 402 + 101 = 
8. -8S3 + 4S + 73 + 183 + 2 - 166 = 
9. 9031-1217-1902 + 4701-18 = 
10. 1432 + 17913-19935-2001-7034= 
Números reales 
MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO 
La multiplicación es la representación de la suma de una misma cantidad varias veces, se repre-
senta con los símbolos. "x" o ( ) . 
Los elementos de una multiplicación reciben el nombre de factores y el resultado producto o mul-
tiplicación. 
La multiplicación: 3x4, es lo mismo que: 
3x4 = 4 + 4 + 4 = 12 o bien 4x3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 
Para no realizar las sumas, se utilizan las tablas de multiplicar. 
Al multiplicar números de varios dígitos, estos se colocan en vertical y se realiza el procedimiento 
que muestra el siguiente ejemplo: 
¿El resultado de 358x6, es? 
ybA 
Actividad 
Efectúa las siguientes operaciones. 
1. 3x567 = 
2. 4846x5 = 
3. 9821x3890 = 
4. ( -5)( -4) = 
5. (-324)(48) = 
6. ( -4256)( -3023) = 
7. ( -27845)(327)( -35) = 
8. ( -82462)(2732) = 
9. (12734)( -4263) = 
10. (1978)(-2003)(31) = 
;-..:. 
fi:ISIÓN O COCI::;; oplirod• 
Si a y b son números enteros, la división de a entre b, siendo b un numero entero diferente de 
cero, consiste en encontrar a los números enteros p y r, tales que: 
a= bp + r Para todo a> b y b < r. 
Donde a recibe el nombre de dividendo, belde divisor, p de cociente y r de residuo. 
Realiza las siguientes divisiones. 
1. 8 
3 
2. 
485 
23 
3. 1216 35 
4. 
3724 
125 
S. 4296 --
853 
6. 
15396 
526 
7. 
42874 
--
903 
8. 110121874 
22325 
9. 2000382 
10053 
10. 3123274 = 
42524 
~ )'L $~ ~ 
Actividad 
Números reales 
,:/. "''d~ 
1 
3. Números racionales 
La idea del numero racional como relación entre dos enteros fue utilizada por los pitagóricos en el 
siglo VI A:C: 
Un numero raciona puede escribirse como ~~ a j b' a/ b, donde a es el numerador y b es el de-
nominador y b debe ser diferente de cero numerador 
denominador 
Con los números racionales, también se pueden hacer las operaciones de suma, resta, multiplica-
ción y división. 
SUMA Y RESTA: 
l. Cuando los términos del denominador son iguales, se procede a realizar la suma o resta de 
la misma forma que con los números enteros. 
~ Ejemplo: 
3 4 2 9 
-+-+-=-S S S S 
2 3 1 2-4 -2 
7 7 7 7 7 
2. Cuando los términos del denominador son diferentes: se pueden emplear una formula, 
para poder realizar rápidamente la fracción: 
(:1) Ejemplo: 
3 4 2 (3)(3)(S) + (4)(2)(S)- (2)(2)(3) 4S + 40-12 SS -12 73 
2 + 3-5 = (2)(3)(S) = 30 = 3o = 3o 
y en ocasiones hay que reducirá su mínima expresión. 
3 ~ = 22 recuerda que para realizar la convesion de fracción mixta a fracción impropia, 
7 7 
multiplicas 7*3 y le sumas el numerador de esta forma tenemos 21+1 =22, yel denomina-
dor se mantiene, de ahí que tengamos: 3 ~ = 22 
7 7 
& l 
Algebra aplicada 
2. 
4 1 
---
9 9 
3. 
S 3 1 2 
-+-----= 
8 4 6 3 
4. 2 1 2 3+---+-= S 4 2 
S. 1 2 1 6-+3--1-= 
S 3 4 
6. 1 1 1 3--2-+1-= 
2 3 4 
7. 
1 2 9 7--1-+-= 
2 S 10 
1 1 1 1 3 10. -2-------+ 1-= 
8 2 16 32 4 
,.L.~$~ 
~ 
Actividad 
MULTIPLICACIÓN: 
La multiplicación se realiza de la siguiente forma: 
(~) (~) = ~~ 
~Ejemplo: 
( 3) (2) (3)(2) 6 5 4 = (5)(4) =
20 
6 3 Y se reduce, en este caso sacando mitad: 
20 10 
3 S 4 1. -x-x- = 
4 3 S 
S. 13~x2_x4~ = 
2 17 S 
2 4 9 2 7 7. -x-x-x-x- = 
3 6 7 S 3 
8. ~x2.x1~ = 
S 23 4 
3 10 4 2 S 9. -x-x-x-x- = 
3 S 9 3 7 
1 3 S S 10. 2x-x-x3-x5- = 
9 S 4 3 
YL . _ -~~~~ 
~ 
Actividad 
Números reales 
~ ~ISIÓN Álgebra aplicada 
La división se realiza de la siguiente forma: 
l. 1 3 
2 7 
2. 13 4 
9 3 
3. 4 2 --7-4-= 
9 3 
4. 
1 S 5--7-6-= 
3 7 
S. S S 
8 7 
6. 8 1 --7-6-= 
S 2 
7. 4 1 
2 6 
8. 1 1 4--;-8-= S 2 
56...:...?_ 9. . 
4 2 
1 7 10. - ...;-- = 
4 9 
(~) ...;- (~) = (4)(5) = 20 7 S (7)(3) 21 
YL .. ~~ 
~ 
Actividad 
Números reales 
CONVERSIONES 
Cualquier fracción común puede representarse como un decimal y viceversa. 
~ Ejemplo: 
Convertir~ a numero decimal 
4 
R l. 1 d" . . ' 0·75 o 75 d . 1 ea 1zamos a IVISion: 4r3 . numero ec1ma, 
Convierte las siguientes fracciones. 
1 1. 
3 
1 2. 
S 
3. S -
4 
4. 3 -
S 
S. 1 
10 
6. 1~ 
S 
7. 1~ 
8 
s. z2. 
16 
9. 1~ 
10 
10. 42_ 
12 
y. ""''~ 
& 
1 
Álgebra aplicada 
Para convertir un número decimal exacto a fracción común, se colocan los denominadores 10, 
100, 1000, 10000 ... según corresponda la fracción decimal, el numerador se multiplica por la misma 
cantidad colocada en el denominador y la fracción resultante se reduce o simplifica, de ser posible. 
e Ejemplo: 
Expresar en fracción común 0.5 
O.Sx10 S 1 
0.5 = o 1x1 = 10 2 
Expresar en fracción común 0.003 
0.003x1000 3 
0.003 = o 1x100 = 1000 
Expresar en fracción común 1.75 
1.7Sx100 175 175 + 25 7 3 175- - - - - 1 
. - 1x100 - 100- 100 + 25- 4- 4 
y~ 
Actividad 
Convierte las siguientes fracciones decimales a fracciones comunes. 
l. 0.20 
2. 0.33 
3. 0.25 
4. 0.44 
S. 0.66 
6. 1.5 
7. 2.75 
8. 3.08 
9. 0.005 
10. 0.005 
YL , ~~ 
~ 
Actividad 
l. 7009380 + 988980 + 73407 + 1200 + 3608 = 
2. -578- 352 = 
3. -5920- 8712 = 
4. -9502 - 42046- 59 = 
5. -5120125619- 63242396- 1234521- 9735213 = 
6. (-59341)(-459) = 
7. ( -549823)(372)( -92) = 
8. ( -395139)(3851) = 
9. (396196)( -6342) = 
10. (1960)(-2013)(397) = 
11. 485 = 
23 
12. 63472 = 
1205 
13. 120973 = 
12503 
14. 110121874 = 
22325 
15. 2000382 = 
10053 
1 16.--1 = 
1+r-¡-4 
2 17. 1 1 = 
1-----r 
1+::-r 
2-¡ 
3-! 2-.! ~-~ (4 1) 18. 3 13 X - + - = 
4-- 3 S 
3 
1 2 19. 1- --3 +--3 = 
1+-1 2+::-r 
4-2 2+3 
3 20. 4+--5 = 4+----r 
4-3 
Números reales 
,:/. "'"~ 
1 
& 
1 4. 
Álgebra aplicada 
Criterios de divisibilidad 
a) Entre dos: Un número es divisible entre dos cuando termina en cero o en cifra par 
b) Entre tres: Un número es divisible entre tres cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 
tres. 
e) Entre cuatro: Un número es divisible entre cuatro cuando las dos últimas cifras del número 
son ceros o forman múltiplos de cuatro. 
d) Entre cinco: Un número es divisible entre cinco cuando, cuando termina en cero o en 5. 
e) Entre seis: Un número es divisible entre seis cuando es divisible entre 2 y 3 
f) Entre nueve: Un número es divisible entre nueve cuando la suma de sus cifras es múltiplo 
de 9. 
g) Entre diez: todo número que termine en cero es divisible entre 10 
NÚMEROS PRIMOS 
Los números naturales que solo son divisibles entre sí mismos y la unidad se llaman números pri-
mos, Los números que no son primos se llaman números compuestos. 
Para obtener los primeros n números primos de los números naturales se puede utilizar la criba de 
Eratóstenes, la cual consiste en hacer una tabla con los números del1 hasta n. 
El procedimiento es señalar con un paréntesis los números que sean primos y tachar los no lo 
sean. Se empieza por tachar el 1 y escribir entre paréntesis el 2. A continuación se tachan los múl-
tiplos de (2), posteriormente se busca el primer número no tachado, en este caso (3), se pone 
entre paréntesis y se tachan todos sus múltiplos. El procedimiento se sigue hasta tener marcados 
todos los números. 
Números reales 
,:/. u.;,~ 
1 
Criba de Eratóstenes. 
24 25 
34 35 
45 46 
54 55 
64 65 
75 76 
84 85 
91 92 94 95 
Por lo tanto los números primos entre 1 y 100 son: 
2. 5. 7. 11. 13. 17. 19.23.29.31.37. 41.43.47.53.59. 61. 67. 71. 73 . 79. 83. 89. 97 
Teorema de Eratóstenes. 
Criterio que se utiliza para saber si un número es primo. Un número es primo si no es divisible 
entre ninguno de los números primos cuyo cuadrado sea menor que dicho número. 
~ Ejemplo: 
Determina si el número 37 es primo. 
22 = 4 
37 no es divisible entre 2,3, y S; por tanto, es un número primo: 
4,9,25 < 37 
~ ~LOR ABSOLUT:Ig<>ro opHrndo 
El valor absoluto de un número entero es el valor que tiene el número cuando prescinde del signo 
e Ejemplo: 
Número Valor 
-3 l-31=3 
+6 1+61=6 
o IOI=O 
NÚMEROS SIMÉTRICOS. 
Son aquellos que tienen el mismo valor absoluto y signo distinto. También se conocen como nu-
mero opuesto. 
8 Ejemplo: 
( + 7) y ( -7) Son simétricos. 
Uso de paréntesis. 
Cuando un grupo de números se maneja como un solo número, debe encerrarse ent re 
sis( ), corchetes [ ], o llaves { }. Estos símbolos también sirven para indicar que se van a efec-
tuar ciertas operaciones y el orden en el que se realizaran. 
Si existen signos de agrupación contenidos uno dentro de otro, iniciamos la solución de la opera-
ción eliminando el que se encuentra más al interior. 
[(4 * 3) + (7- 2)]- (8- 3) + (4- 2) = [12 + 5]- 5 + 2 = 14 
EL CERO EN LA DIVISIÓN: 
Cuando el dividendo es cero y el divisor es cualquier número diferente a cero, el cociente es cero . 
~=O 
3 
Cuando el dividendo es cualquier número diferente a cero y el divisor es cero, el cociente no exis-
te. 
2 
0 =no existe 
Números reales 
Sin embargo, es común encontrar en muchos libros de texto que para expresiones como: 
a 
Tan90° =-
o 
a 
Tan 90° =-
o 
No se escribe la indicación no existe, sino más bien : 
Tan 90° = oo(simbolo de in[ inito) 
O también: 
Factorización en números primos. 
Tan 90° = ±oo 
4 = (2) (2) 
6=(2)(3) 
30= (2)(3) (5) 
Cualquier número compuesto puede descomponerse en sus factores primos. 
FACTORES PRIMOS 
Son los que están representados únicamente por números primos. 
Ejemplo. Encontrar los factores primos de 180 
180 2 
90 2 
4S 3 
1S 3 
S S 
1 
Son los factores primos. 2, 3, 3, S 
A lo anterior se le llama factorización en primos de un número, o descomposición de un numero 
en sus factores primos. 
Álgebra aplicada 
>' ~.~~ ~ 
Actividad 
Descomponer en factores primos los siguientes números: 
1. 42 
2. 54 
3. 72 
4. 96 
5. 120 
6. 105 
7. 110 
8. 426 
9. 6310 
10. 225 
11. 496 
12. 2730 
MÍNIMO COMÚN MUTILO (m.c.m). 
El mínimo común múltiplo de dos o más números, es el menor múltiplo divisible exactamente 
entre cada uno de esos números, se abrevia con sus iniciales minúsculas: m.c.m. 
Un procedimiento para calcular el m.c.m. de varios números, consiste en descomponer en sus 
factores primos, los números dados. 
~ Ejemplo: Encontrar el m.c.m. de 30, 40, y 60 
,:/. 
Números reales """~ 
Desarrollo : 
1 
30 42 60 2 
15 21 30 2 
15 21 15 3 
5 7 5 5 
1 7 1 7 
1 1 1 
m .e .m. (30 142 1 60) = 2 X 2 X 3 X S X 7 = 22x 3 X S X 7 = 420 
El m. c. m. se utiliza para encontrar el mínimo denominador en la suma y resta de fracciones. 
)' '~~~ ~~~·'-!~ ll 
Actividad 
Hallar el mínimo común múltiplo (m . e . m ) de los siguientes números: 
a) 9 1 10, 30 
b) b. 27, 48, 56 
e) c. 12, 27, 36 
d) 15, 50, 40 
e) 6, 9, 12, 15 
f) 10, 24, 32, 60. 
~ ~IMO COM:·~m;;,~:~OR. (M. C. D) 
Máximo
común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de dichos 
números, se abrevia con sus iníciales en mayúsculas M. C. D. 
El procedimiento para calcular el máximo común divisor, consiste en la descomposición de sus 
factores primos de los números dados. 
Q) Ejemplo: Hallar el M. C. D. de: 24, 60, 72 
24 60 72 2* 
12 30 36 2* 
6 1S 18 2 
3 1S 9 3* 
1 S 3 3 
1 S 1 S 
1 1 1 
Se toman en cuenta los divisores comunes 2 *, 2 *y 3 * 
M.C.D. ( 24, 60, 72 ) = 2 X 2 X 3 = 22 X 3 = 12 
El máximo común divisor se usa para simplificar fracciones. 
Para transformar una fracción en otra irreducible se dividen sus dos términos por su M . C. M. 
s· IT 9o 1mp 11car:-
126 
90 126 2 
4S 63 3 
1S 21 3 
S 7 S 
1 7 7 
1 1 
Números reales 
El M . C. D. DE (90, 126) = 2 x 3 x 3 = 2x 32 = 18 
y. ""'~ 
1 
Para convertir una fracción en irreducible, basta dividir los dos términos por su máximo común 
divisor. Esta fracción tiene sus términos primos entre sí. 
90 (90)+(18) 5 
Entonces tenemos: - = ( ) ( ) = -126 126 7 18 7 
y L ·. $ -;?,~. ~ ~ 
Actividad 
Calcular el máximo común divisor de los siguientes números: 
d) 120, 150, 180 
SIGNOS DE AGRUPACIÓN 
Los signos de agrupación son: el paréntesis ( ), el paréntesis rectangular o corchete, [ L y las 
llaves { l Eliminación de paréntesis . Cuando aparecen paréntesis, corchetes o llaves, las opera-
ciones indicadas, se harán desde adentro de los paréntesis hacia afuera. 
~ Ejemplol: 
[7 + (9- 4) 2 ] - 12 = 
[7 + (5) 2 ] - 12 = 
[7 + 25] -12 = 
[32]- 12 = 
32 -12 = 20 
~ ~ Ejemplo2: Álgebra aplicada 
[(10- 3)- ( 4 + 1)] + 2 = 
[(7)- (5)] + 2 = 
[7- 5] + 2 = 
[2] + 2 = 
2- 2-= o 
Se trabaja de adentro hacia afuera . 
11(2 -+- 3)- {6- [3- (7 + 3)]} = 
4(5)- {6- [3- (10)]} = 
20- {6- [3- 10]} = 
2 o - { 6 - [ -7]} = 
20- {6 + 7} = 
20- {13} = 
20-13 = 7 
f) Ejemplo 3: 
[20 + {-so+ [(30)(2) + 40]-12 + 30- 20 + 6)] + {22} 
[2o +{-so+ [60 + 40]-4)] + {22} 
[2o +{-so+ [100]-4)] + {22} = 
[20 +{-so+ 100-4)] + {22} = 
[2o +{-so+ 100-4)] + {22} = 
[20 +{-54+ 100}] + 22 = 
[20 + {+46}] + 22 = 
[20 + 46] + 22 = 
66 + 22 = 3 
CJ Ejemplo4: 
-5-¡(-8+5(~ -5)]= 
-5 -¡(-8 + 5 (~ - 5)]= 
-5-¡(-8+5(-133)]= 
69 1 
-- = -17-
4 4 
1. ~ - [~ + 5 G + 3)] = 
2. ~ - [5-5 ( 3- ¡)] = 
3. -5- ¡[ -8 + 5 (~ - 2)] = 
4· G + ~) [ 3 - ~ - G - 5)] = 
7. [ (D (¡)- ~] - 3G~~D = 
8. [~ (:s)]- [~(-71)] = 
9. [~- ~] - [¡+ (~-~)] -
2 S -4+~-~ -
2 7 
Números reales 
~~ 
Actividad 
,:/. "'"~ 
1 
~ ~ Álg"~ oplloodo 
1 11. G)2 +(-¡)3 +G)2 = 
12. ( -3)( -4)[5 + 2(3- 3)]2- 7 = 
13. 1(-1)(4)(-7)1 + (-6)(-1)(-4) = 
14. 1(-4)2 (-6)3 + (-1)4 1 = 
15. -2 [3 + 4(5 - 8) + 8F = 
16. (-4)(-3)[4 + 2(2- 2)]2- 8(4 + 1) = 
17. 8 + C -9) + IC -6) + C -7)1 + l-51 = 
18. 1(-4)2 + (2- 9) 3 + (-1) 3 1 = 
5. Notación científica y operaciones 
En la vida diaria utilizamos expresiones como "El auto corría a más de 80 kilómetros por hora" o 
"la capsula es de 500 miligramos". Sin embargo, en la mayoría de los caso no sabemos que el prefi-
jo kilo significa 103 y el prefijo mili 10-3, por o que 80 kilómetros por hora equivale a 80,000 me-
tros por hora y 500 miligramos equivale a 0.5 gramos. 
En el trabajo científico se suele trabajar con magnitudes grandes y pequeñas, por lo regular las 
dos se usan con notación científica, en la cual el número real se cita con un número entre 1 y 10 
multiplicado por una potencia de 10. 
Algunas notaciones importantes son: 
10° 1 
101 10 
1 102 1 100 
103 1000 
10-1 0.1 
10-2 0.01 
10-3 0.001 
Como expresar con notación científica. 
~ Ejemplo: 
Expresar con notación científica el numero 378 500 000 
378 500 000 = 3.785x108 
Expresar con notación científica el numero 474 000 
474 000 = 4.74x10 5 
Números reales 
y. """~ 
1 
En ambos caso se considera el primer número de izquierda a derecha y de ahí comenzamos a re-
correr el punto decimal y de acuerdo a ese "recorrido" es el exponente que se utilizara. El recorri -
do se hace del punto hacia la derecha y los lugares que recorramos es el exponente a utilizar. 
~ Ejemplo: 
Expresar con notación científica el numero 0.000 000 534 
o.ooo ooo 534 = 5.34x1o-7 
El punto decimal se recorrió siete lugares de izquierda a derecha, hasta el primer número el 
que o convierte a entero. 
Como expresar con notación ordinaria. 
La conversión de la notación científica a la notación ordinaria, requiere mover el punto deci-
mal a la derecha si el exponente es positivo y a la izquierda si el exponente es negativo, el 
número de lugares que se recorre el punto decimal es el que indica el exponente. 
Expresar con notación ordinaria : 
4. 85x103 = 4850.0 
5.20x10-2 = 0.0520 
3.54x1 0° = 3.54 
1.03x1o-4 = o.ooo 103 
~ ~e raciones: Álgebra aplicada 
(1) Ejemplo: 
(225 000 000)(0.000150) 
= 
2 240 000 000 000 
(225 000 000)(0.000150) = (2.25x108)(1.50x10-4 ) = (3.375)(104x10- 12) = 
1 
_8 
2 240 000 000 000 2.24x1012 2.24 1.506X 0 
~Ejemplo: 
~~ 
Actividad 
Cambia a notación científica. 
a) 32 600 000 000 
b) 0.000 000 083 
e) 116 700 000 000 
d) 0.000 04 
e) 2.001 
f) 0,062 
g) 4 1 000 000 
h) S --10 000 
i) 6 632 000 
j) -o- oo16 
Números reales 
Cambia a notación ordinaria. 
a) 1.64 x1010 
b) 2.90x10- 6 
e) 8.306x1011 
d) 3.20x1o-s 
e) 7.71x10° 
f) 3.44x109 
g) 6.33x104 
h) 4.012xl0-2 
i) -2.436x102 
j) -3.4x105 
Aplica la notación científica para resolver las siguientes operaciones. 
a) 4 
1 000 000 
b) S --
10 000 
e) (S 130 000)(0.0004) 
d) (0.00052)(30 000) 2 
e) ( -0.2) 3 (0.001) 2 
f) (42 500 000 000)(0.000 032) (130 000) 2 
g) ( 45 000)(200 000) 
h) (0.031) ( 6000) 
i) (1200)(0.5) 
20 000 
j} ( 4x10
2)( 4x1o-5) 
4x1o-3 
Álgebra aplicada & 
1 6. Potencias y radicales 
LA POTENCIA O EXPONENTE 
La potencia de un número es el producto de varios factores iguales a él, en la expresión b1 = N 
Bes la base, 1 es el exponente, y N es la potencia . 
~ Ejemplo: a x a x a = a3 , se lee a elevada al cubo o a elevada a la tercera potencia. 
En general, si n es un número entero positivo se tiene: 
an = a x a x a x .... a n factores. 
Esta expresión se lee "a a la enésima potencia" 
Ley de los exponentes. 
2. a0 = 1 
6 -x 1 . a =-ax 
X 
8. ~ = a x-y 
aY 
m 
11. vam = an 
Números reales 
RADICACIÓN 
La radicación como operación inversa a la potenciación . 
Si tenemos 82 = 64 y queremos obtener ..[64 = ±8, debemos realizar la operación conocida 
como "sacar raíz cuadrada" o "extracción de una raíz" o "radicación" 
La operación se indica con la fórmula: Vb = a, en donde a es la raíz enésima de b, el símbolor, 
se llama radical, el entero n se identifica como el índice de la raíz y bes el radicando o su radical. 
También se conoce como radical a la raíz indicada de una cantidad. 
8 Ejemplo: 
..j8 2VS -8\143 Son radicales. 
En cada radical debemos distinguir el signo, el coeficiente, que es el factor que va a fuera del 
signo del radical, el radicando o subradical y el grado, el cual viene expresado por el índice de 
la raíz. 
La raíz segunda se llama cuadrada (y se representa r ) 
La raíz tercera se llama raíz cubica o cuadrada . 
Las otras reciben el nombre según el índice. Así, se dice raíz cuarta, raíz quinta, y en general 
raíz "n" (enésima). 
En el radical. -(5)3 ~ (8) 2 , el signo es negativo (-), el coeficiente es cinco, el subradical es 
(8) 2 y el grado es siete. 
{6, el signo es positivo(+), el coeficiente es uno, el subradical es 6 y el grado es 2. 
Si el indicé del radical es par y el número del subradical es positivo, el resultado tendrá dos 
raíces dentro de los
números reales; uno positivo y el otro negativo. Ejemplo: ..fi5 = ±5, 
Ya que: (5) 2 = 25 ( -5)2 = 25 . 
Si el índice de la raíz es par y el numero en el subradical es negativo, y como no hay numero 
positivo ni negativo que elevado a una potencia par de como resultado un numero negativo, 
se dice que aquella cantidad no tiene raíz en los números reales, de la solución de este pro-
blema surgen los números imaginarios. Ejemplo r-8, no hay solución dentro del conjunto 
de los números reales (numero imaginario). 
Si el índice de la raíz es impar y el número en el subradical es positivo o negativo, se tendrá 
una sola raíz, la cual lleva el mismo signo del número que está en el subradical. 
~ ~Ejemplo: Álgebra aplicada 
V-27 = -3 Ya que ( -3) 3 = -27 
\/128 = 2 Ya que (2) 7=128 
Ley de los radicales: 
2. ~=~ 
n 
4. "VO.ñ =a~ 
S. ~ = -2 
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES 
El exponente fraccionario y las leyes de los radicales pueden utilizar para hacer algunos cambios 
en los radicales. Las modificaciones más comunes son: 
1. Obtener factores del radical 
2. Introducir un factor al radical 
3. Racionalizar denominadores 
4. Expresar un radical como otro de orden (índice) menor. 
1. Obtener factores del radical. 
Si un factor del radicando es potencia exacta del índice de la raíz, se puede realizar la opera-
ción y obtener el factor como coeficiente del radical. Esta operación se facilita si precisamen-
te factorizamos el radicando. 
(D Ejemplo: 
EO = ~(5) 2 (2) = ~(5) 2 = 5-fi 
VTI = V (2)3 (2) 2 = V (2)3 V4 = 2 V4 
V-81 = VC-3) 3 (3) = VC-3) 3 V3 = -3V3 
Números reales 
y. ""'"'~ 
1 
2. Introducir un factor al radical. 
Para introducir un factor al radical, debemos elevarlo a un exponente igual al del índi-
ce de la raíz. 
e Ejemplo: 
3..[5 = ~ (3) 2..[5 = ~ (9) (S) = ..[45 
3. Racionalizar denominadores. 
Las operaciones con fracciones que contienen un radical en el denominador, se facili-
tan si antes de trabajar con ellas se racionaliza el denominador. 
La racionalización de denominadores consiste en transformar una fracción que con-
tiene un radical en el denominador en otra fracción equivalente que no contenga 
ningún radical en el denominador. 
El valor de un número racional no varía si el numerador y el denominador se multipli-
can o dividen por un mismo número distinto de cero. 
f) Ejemplo: 
2 
.¡¡ 
2 (.¡¡) _ 2.fi _ 2.fi r= r= rz 2 
.¡¡ .¡¡ - .¡¡.¡¡- -
7
- {Recuerda: vava = va~= a2 =a} 
f') Ejemplo: 
2 
3...[6 
_2_(...[6)- 2...[6 - 2...[6_2...[6- ...[6 
3...[6 ...[6 - 3...[6...[6 - 3(6)- 18 - 9 
(1 Ejemplo: 
3 
r-; {Recuerda ocupamos: (a+ b)(a- b) = a 2 - b2 } 1+v2 
_3_ ((1-,fi)) = 3(1-,fi) 2 = 3(1-{2) = 3(1-,fi) = -3( 1- ...fi) 
l+,fi 1-,fi (1)L(,fi) 1-2 -1 
& 
1 
Álgebra aplicada 
4. Expresar un radical como otro de orden (índice) menor. 
Cuando el índice de la raíz y los exponentes son factores, podemos simplificar un radi-
cal usando el exponente fraccionario. 
e Ejemplo: 
2 1 V9 = ~ (3)2 = (3)6 = (3)3 = ~ (3)1 == V3 
f) Ejemplo: 
RADICALES SEMEJANTES 
Son aquellos que tienen el mismo índice de la raíz y el mismo subradical, solo difieren en el signo y 
en el coeficiente. 
-.fi, s.J2, -3.J2, Son semejantes. 
Es necesario reducir el subradical al máximo para saber si dos o más radicales son o no semejan-
tes. 
Cuando dos radicales son semejantes se pueden reducir como términos semejantes sumando o 
restando algebraicamente. 
e Ejemplo: 
sv'IT + 6v'IT- 2v'IT = es + 6 - z)v'IT = 9v'IT 
G Ejemplo: 
8..fl- 16..f7 + 2..fl = (8 - 16 + 2)..J7 = -6..fl 
Números reales 
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES 
Se aplica el concepto: VQ.Vfj = VCib 
(4V8)(6V3) = (4)(6)~(8)(3) = 24\124 
(S~)( -4v'2)(2~) = (5)( -4)(2)~ (3)(2)(3) = -40Fl8 
División de radicales. 
tT) Ejemplo: 
RAÍZ DE UN RADICAL 
. va nf9: Se aplica el concepto: n.Jb = ~'b 
m= íz7=V9=3 ~ ~3 
La raíz enésima de un radical es otro radical, cuyo índice es el producto del índice del radical por 
1/n" 
n r:::;;;;. nm Cñ P ~ vaP = vaP = (a)nm 
G Ejemplo: 
6~ 4 1 ~ :j (3)4 = 1:) (3)4 = (3)12 = (3)3 = V3 
Algebra aplicada 
y (~.---.__,·. ~ ~'~ ~ ..... - . ~~· '1il 
Actividad 
Convertir de radical a exponente fraccionario o de exponente fraccionario a radical. 
1. vs 
2. JG) 
3. 7V4 
4. 7~ (5) 2 
2 
S. (7)3 
3 
6. 5(2)2 
3 
7. G)s 
8. 16 \164 
9. 3..f55 
10. 12 m 
4 
11. 2{5 
12. ( 4)\/2 
13. ~ ~ 3 S 
Resolver las siguientes operaciones. 
1. (2VS)( 4V9) 
2. ( -v'3)( -4{5) 
3. (¡v'3) ( -2~) ( -~V6) 
4. ~~ (¡v'3 + ~viz) 
5. 17'VS- 6'VS 
6. ~ v'z - ~{8 + vso 
2 3 
7. -3..[63 + sm + 7.fi 
8. ~ /32 - 5~ 2 2 
9. s..f3 + 2.[12 2 3 
1o.m-zJ75-4v'TI 
Racionaliza las siguientes operaciones. 
{S 
1. ,[6 
3 
2. {S 
3. 2 1-,fi. 
4. 
4 
{6- 2 
5. 3-.JS 
.JS-1 
6. 4 
..f3 
2+..f3 
7. ..f3-1 
4 9
· 2..f3+3..fi 
S 10. ---¡:;. 
2-v4 
Números reales 
~ ~ Álgebra aplicada 
~esuelve las siguientes operaciones. 
1. (..JS)2 
2.~ 
3. .j[(5)2 ]3 
4. Vm 
S. .J 4..[8 
6. jm 
7. j (2) 3..J5 
7. Razones y proporciones 
CANTIDADES PROPORCIONALES. 
Si se tienen 2 cantidades que al multiplicar una de ellas por un número la otra queda multiplicada 
por el mismo número, o al dividir una de ellas la otra queda dividida por el mismo número, se dice 
que las cantidades son directamente proporcionales. 
ti Ejemplo: 
Si 18 lápices cuestan $28, entonces 54 lápices costaran el triple, es decir $84; al multiplicar el 
número de lápices por 3 el costo también quedo multiplicado por 3. Por lo tanto las cantida-
des son directamente proporcionales. 
Un automóvil recorre 360 Km en 4 horas a velocidad constante; entonces, en 2 horas recorre-
rá la mitad, esto es 180 Km, ambas cantidades quedaron divididas por 2, entonces se dice que . 
son directamente proporcionales. 
Si se tienen 2 cantidades tales que al multiplicar una de ellas por un número, a otra queda di-
vidida por el mismo número y viceversa, entonces se dice que son inversamente proporciona-
les. 
Números reales 
~ Ejemplo: 
y. """~ 
1 
Si 18 hombres construyen una barda en 12 días, entonces 6 hombres construirán la misma 
barda en el triple de tiempo, es decir 36 días. Al dividir el número de hombres por 3, el nú-
mero de días quedo multiplicado por 3, por consiguiente las cantidades son inversamente 
proporcionales. 
RAZÓN. Es el cociente entre dos cantidades, donde el numerador recibe el nombre de anteceden-
te y el denominador el nombre de consecuente. 
Para las cantidades a, b, en la razón~ o a: b, con b * O, a recibe el nombre de antecedente y b el 
de consecuente. 
En la razón 4: 6 (se lee 4 es a 6), 2 es el antecedente y 4 el consecuente 
Razón de proporcionalidad. Si a y b son cantidades directamente proporcionales, la razón ~ recibe 
el nombre de razón de proporcionalidad, la cual siempre es constante . 
(1 Ejemplo: 
Si 18 libros de matemáticas cuestan $1260, la razón de proporcionalidad es de 70, ya que. 
1260 = 70 
18 
Proporción . Es la igualdad entre dos razones. 
~ = .:_O bien a : b ::e: d con b * O y d * O 
b d 
La expresión se lee: a es b como e es a d, a y d son los extremos y by e son los medios. 
e Ejemplo: 
3 es a 6 como 8 es a 16, se escribe:~ = ~. Al simplificar cada fracción se obtiene~' la ra-
6 16 2 
zón de proporcionalidad 
En una proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios: 
a 
b 
e 
'd Entonces a * d = b * e con b * O y d * o 
& 
1 
Álgebra aplicada 
Para la proporción: ¡ = ~~ se tiene que: (5)(16) = (4)(20) = 80 
En una proporción un extremo es igual al producto de los medios dividido por el extremo res-
tante . Es decir: 
a e b•e d __ b•e b = d Entonces: a = ----;¡- o a 
~ Ejemplo:
X 24 
Hallar el valor de x en la siguiente proporción: 
S 30 
(5)(24) 120 
x= =-=4 
30 30 
e '1 1 1 d 1 . . . ' .... 7 10 ¿ ua es e va or e y en a s1gu1ente proporc1on r: - = -
(2)(10) 
y= 
7 
2 y 
20 
7 
En una proporción un medio es igual al producto de los extremos dividido por el medio res-
tante : 
a e b = a•d a•d Entonces o e = -
e b 
-
b d 
¿Cuál es el valor de a en la proporción~ = ~? 
4 28 
(28)(5) 140 
a= =-= 35 
4 4 
~ YL .. ~~ ~ 
Actividad 
Determinar el valor del elemento que falta en cada una de las proporciones siguientes: 
l. 3 X -
4 8 
2. 2 8 -
X 32 
3. 4 12 -
S y 
X 6 4. -=-
S 15 
20 6 S. ---
a 15 
6 2._-L . 
14 10 
7. X 
4 
2 8. 
3 
6 
2 
12 
X 
9. ?._- 56 
8 y 
10. ~ = ~ 
8 12 
11. ~ = _:_ 
7 28 
12. ~ = ~ 
S 20 
14. 2... = 150 
100 75 
15. 15 = 30 
70 X 
16. ~ = 15 
X 9 
17. ~ = 12 
S y 
18. 90 = 15 
X 85 
19. ~ = 16 
X 12 
20. ~ = ~ 
12 3 
Números reales 
~ ~DIA PROP~::I:::L. (MEDIA GEOMÉTRICA). 
A una proporción de la forma: 
a b 
= b e 
b=t=O 
Se le llama proporción geométrica y se dice que bes media proporcional (geométrica) entre a y c. 
La media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos: 
b =rae 
(1 Ejemplo: 
En la proporción : ~ = _: , x es la media proporcional de 9 y 4, por la tanto tenemos: 
X 4 
X= .j(9)(4) = 6 
x =6 
¿Cuál es la media proporcional entre 4 y 6? 
4 X 
-
X 6 
x = .JC4)(6) =m 
Encontrar la media geométrica entre 0.375 y 0.5. 
Conviertes las fracciones decimales a fracción común: 
0.375 = ~ y 0.5 = ~ 
3 
S X 
X 1 
2 
~L L~~ 
~ 
Actividad 
Números reales 
Encuentra la media proporcional (geométrica} entre los números dados: 
1. 12 y 13 
2. 6 y 24 
3. 9 y 25 
4. 4 y 12 
S. 2 y 7 
6. 9 y 18 
7. 10 y 25 
8. 0.1 y 0.5 
9. 0.2 y 0.8 
10. 0.8 y 1.16 
CUARTA PROPORCIONAL 
Se le llama cuarta proporcional a cualquiera de los 4 términos en una proporción. 
G Ejemplo: 
¿Una cuarta proporcional de 6, 4 y 3? 
6 3 
-= 4 X 
(4)(3) 12 
x= --=-=2 6 6 
La cuarta proporcional es 2. 
~ & Ál!1"bm op/irodo 
1 ¿Una cuarta proporcional de~ , ~ , ~ 1 4 2 10 
5 1 
4 10 
1 X 
2 
(i)(io) 21o (1)(4) 4 2 1 
X = 5 =S= (5)(20) = 100 =50= 25 
4 4 
La cuarta proporcional es~ 
2S 
Y -.~~ ~ 
Actividad 
Encuentra la cuarta proporcional de los siguientes números: 
1. 2, S, y 1S 
2. 61 8, y 24 
3. 2, S y 14 
4. 4, 31 y 32 
S. 7, S, y 63 
6. 2, 4 y S 
7. 3,6y8 
1 3 2 
8. 2 1 ¡ y 3 
S 7 1 
9. ¡ 1 2 y¡ 
1 1 1 10.- - y-
3 ' S 2 
2 4 1 11.- - y -
S ' 3 3 
3 S 1 12.- - y -
7 1 2 4 
Números reales 
TERCERA PROPORCIONAL 
Se llama así a cualquiera de los extremos de una proporción geométrica, es decir, 
a b 
-
b d 
A es la tercera proporcional entre by d, en su defecto d es la tercera proporcional entre a y b. 
1) Ejemplo: 
Determinar la tercera proporcional entre 4 y 12. 
Se forma una proporción al tomar como medio a uno de los números dados y como último 
extremo a x. 
4 12 
12 X 
(12)(12) 144 
X= =-= 36 4 4 
Por lo tanto la, una tercera proporcional es 36 
Ahora a si tomamos a 4 como valor medio: 
12 4 
4 X 
Por lo tanto la, una tercera proporcional es~· 
& 
1 
Álgebra aplicada 
Calcula una tercera pro porcional. 
1. 18 y 6 
24 y 4 2. 
3. 8 y 4 
18 y 9 4. 
5. 54 y 18 
1 S 
6. 3 y 6 
2 1 
7. 3 y 4 
S 1 
8. 9 y 18 
3 1 
9. 5 y 2 
3 
10. 9 y 2 
:'\. ~¡~ 
Actividad 
Números reales 
REGLA DE TRES SIMPLE 
Es la operación que se utiliza para encontrar el cuarto terminó en una proporción. A la parte que 
contiene los datos conocidos se le llama supuesto y a la que contiene el dato no conocido se le 
llama pregunta 
DIRECTA: Se utiliza cuando las cantidades son directamente proporcionales 
e") Ejemplo 1: 
Si 12 discos compactos cuestan $600. ¿Cuánto cuestan 18? 
Supuesto: 12 discos cuestan $600 
Pregunta 18 discos cuestan x 
12 600 
18 X 
(18)(600) 10800 
x= =--=$900 
12 12 
Por lo tanto 18 discos compactos cuestan $900 
Gj Ejemplo 2: 
Una llave se abre 4 horas diarias durante S días, vierte 5200 litros de agua. ¿Cuántos litros 
verterá en 12 días, si se abre 4 horas por día? 
Supuesto: 20 horas la llave ha vertido 5200 litros 
Pregunta : en 48 horas ha vertido x litros. 
20 
48 
(48)(5200) 
x=----
20 
5200 
X 
249600 
---= 12480 
20 
Por lo tanto, en 48 horas la llave vierte 12 480 litros. 
~ ~ Álgebra aplicada 
~VERSA. Se utiliza cuando las cantidades son inversamente proporcionales. 
fJ Ejemplo 1: 
Se ha planteado que no barda sea construida por 24 hombres en 18 días; sin embargo, so-
lo se logró contratar a 12 hombres ¿En cuántos días la construirán? 
Supuesto: 24 hombres construyen la barda en 18 días 
Pregunta : 12 hombres la construirán en x días. 
Las cantidades son inversamente proporcionales, ya que al disminuir el número de hom-
bres, los contratados tardaran más días en construirla . 
Se forman las razones ente las cantidades: 
Razón entre el número de hombres: 24 
12 
R ' 1 ' d d' 18 azon entre e numero e 1as: -
X 
Se invierte cualquiera de las razones y se iguala con la otra, es decir: 
. (18)(24) 43 2 
Resolviendo: x = = - = 36 
12 12 
X 24 
18 12 
Por lo tanto 12 hombres construyen la barda en 36 días. 
fJ Ejemplo 2: 
Las ruedas traseras y delanteras de un automóvil tienen un diámetro de 1.5 m y 1 m, res-
pectivamente, cuando las primeras han dado 350 vueltas ¿Cuántas vueltas han dado la 
segunda? 
R ' d"' 1.5 azon entre 1ametros: -
1 
R ' 1 ' d 1 350 azon entre e numero e vue tas: -
X 
Se invierte cualquiera de las razones y se iguala con la otra, es decir: 
X 1.5 
350 1 
Resolviendo: x = (350)(1.5) = 525 = 525 
1 1 
Por lo tanto, las ruedas delanteras dan 525 vueltas. 
Resuelve los siguientes problemas. 
>'L ._~~ ~ 
Actividad 
Números reales 
l. El precio de 25 latas de aceite es de $248. ¿Cuántas latas se podrán comprar con $1240? 
2. Lupita escucha la radio durante 30 minutos, lapso en el que hay 7 minutos de anuncios 
comerciales; si escucha la radio durante 120 minutos. ¿Cuántos minutos de anuncios escu-
chara? 
3. Durante 70 días de trabajo Mariana gano $3500, ¿Cuánto ganaría si trabajara 12 dias mas? 
4. Una llave abierta 6 horas diariamente durante 7 días arrojo 6120 litros de agua, ¿Cuántos 
litros de agua arrojara durante 14 días si se abre 4 horas diarias? 
S. Un automóvil gasta 9 litros de gasolina cada 120 kilómetros. Si quedan en el deposito 6 li-
tros, ¿Cuántos kilómetros podrá recorrer? 
6. En un libro de 80 páginas cada una tiene 35 líneas, ¿Cuántas paginas tendrá el mismo libro 
si en cada una se colocan 40 líneas? 
& 
1 7. 
8. 
Álgebra aplicada 
Una bodega se llena con 3SOO sacos de 6 kg de papas cada uno y otra de la misma capaci-
dad se llena con sacos de S kg, ¿Cuántos sacos caben en la segunda bodega? 
Un leñador tarda 8 segundos en dividir en 4 partes un tronco de cierto tamaño, ¿Cuánto 
tiempo tardara en dividir un tronco semejante en S partes? 
9. Si un automóvil hizo 9 horas durante un recorrido de 7SO kilómetros, ¿Qué tiempo em-
pleara en recorrer 22SO kilómetros si su velocidad es constante? . 
10. Miriam tiene en su tienda varios sacos de harina de 18 kg y va a vender cada uno en $108, 
pero como nadie quiere comprar por saco decide venderla por kilo, su primer cliente le pi-
dió 4 kilos, ahora ella debe saber cuánto debe cobrarle. 
UNIDAD 11 
Expresiones algebraicas 
Expresiones algebraicas 
,:/. "''d~ 
1 
1. Definiciones 
ALGEBRA 
Es parte de las matemáticas que estudian el cálculo de las cantidades representándolas con letras
En algebra se manejan: Variables y constantes: y = 3x + 10 
Variables: y, x 
Constantes: 3,10 
ELEMENTOS DE UN TÉRMINO: 
* 
Respecto al signo de un término, será negativo si le precede al signo menos(-} y positivo si 
le precede el signo más(+}. En N caso de que se omita el signo de un término, se considera 
que tiene signo positivo. Así que Sa, equivale a +Sa 
* El coeficiente numérico. 
Si un término algebraico es el producto de un número concreto por uno o más números li-
terales, dicho número es su coeficiente numérico, por ejemplo, los coeficientes numéricos 
de 7x2, -4xy, y 3, -xy son 7, -4, 1 y -1 
* literal. 
* 
La parte literal la constituyen las letras del término algebraico. Así en 2ab, la parte literal 
es ab 
Exponente. 
Es la parte a la cual la literal esta elevada, a 3, b2c5, el exponente es: en a es 3,en bes 2 y 
en e es S 
CLASES DE TÉRMINO. 
Termino entero: Es el que no tiene denominador literal como: Sa, 6a4 b3 , 2
5
a 
Termino fraccionario: Es el que tiene denominador literal como: 4x 
y 
Termino racional: Es el que no tiene radical como: 8x2, Sa2b3 • 
Termino irracional: Es el que tiene radical como: JXY, % 
~ ~ Álgebra aplicada 
~ermino homogéneo. Son los que tienen el mismo grado absoluto. Así, 7x 5y 4, y 1Sx5y4 , son 
homogéneos porque ambos son de quinto grado absoluto. 
Términos heterogéneos. Son los de distinto grado absoluto, como: 6b, que es de 1er grado, 8b 4 
que es de cuarto grado 
Señala el signo, coeficiente numérico, parte literal y exponente de cada uno de los términos si-
guientes: 
l. 9x3 2.a5b 3. -xy2 4. -6mn S. ~az 3 
S 
Coeficiente Parte 
Termino Signo 
numérico literal 
Exponente 
1 9x3 + (positivo) 9 X 3 
2 a5b + (positivo) 1 a b En a S, en b 1 
3 -xyz (negativo) 1 X y En x 1, en y 2 
4 -6mn (negativo) 6 m n En m 1, en n 1 
3 (positivo) 3 S 
-az3 + - a z En a 1, en z 3 
S S 
MONOMIO: Es una expresión algebraica que consta de un solo termino: -4x5 , 6a5 b8 
BINOMIO: Es una expresión algebraica que consta de dos términos: 6a + 7, -7x + 3b 
TRINOMIO: Es una expresión algebraica que consta de tres términos: 8x + x 2 - 3, 
4x 7 - Sx 6 + 3ab 
POLINOMIO: Es una expresión algebraica que consta de más de tres términos. 
TÉRMINOS SEMEJANTES: Dos o más términos son semejantes, si tienen la misma parte literal con 
iguales exponentes (difieren solamente en su signo y coeficiente numérico) . 
y. 
Expresiones algebraicas ~ 
Unid~d~ 
GRADO DE UN POLINOMIO: El mayor exponente de cualquier variable en un polinomio determina 1 
el grado del polinomio. 
x 3 + x2 + x - 3 es de tercer grado con respecto a la x 
a 5 - 6a4z4 + a 3 z 3 - 4y 6 es de quinto grado con respecto a la a, es de cuarto 
grado con respecto a la z, y es de sexto grado con respecto a la y 
El mayor de los exponentes de los términos de un polinomio determina el gado del polinomio. 
Los términos de un polinomio se pueden ordenar de acuerdo a su grado en forma ascendente (de 
menor a mayor o descendente de mayor a menor) 
en forma descendente. 
en forma ascendente. 
2. Conceptos básicos de traducción del lenguaje 
cotidiano al lenguaje algebraico 
Frecuentemente en la resolución de problemas matemáticos se requiere una expresión algebraica 
que representa el enunciado verbal y viceversa. En el cuadro siguiente se muestran algunos ejem-
plos. 
Del lenguaje común al lenguaje algebraico 
LENGUAJE COMÚN 
El doble de un número 
La diferencia de dos números 
La raíz cuadrada de un número 
El triple del cubo de un número 
El producto de dos números 
El cociente de dos números 
La mitad de un número 
r\ 
LENGUAJE 
ALGEBRAICO 
2x 
x-y 
ab 
a 
b 
1 
-x 2 
0> 
1 
Álgebra aplicada 
El lenguaje algebraico al lenguaje común 
r4-
LENGUAJE 
COMÚN 
3x 
m+n 
a-b 
3(x +y) 
1 2 
-x 3 
LENGUAJE ALGEBRAICO 
El triple de un número. 
El producto de un número por el cuadrado del otro. 
La suma de dos números 
La diferencia de dos números 
La suma de los cubos de dos números respectivamente 
El triple de la suma de dos números 
Un tercio del cuadrado de un número 
Yk l, $.~ 
~ 
Actividad 
Traduzca del lenguaje común al lenguaje algebraico 
, LENGUAJE COMÚN 
Un número cualquier. 
! La suma de dos números. 
El doble de la suma de dos números. 
El cubo de la mitad del producto de dos 
números. 
El cuadrado de la suma de los cuadra-
dos de dos números. 
La raíz cubica de la diferencia de dos 
números. 
Dos números consecutivos. 
LENGUAJE ALGEBRAICO 
Expresiones algebraicas 
Traduzca del lenguaje algebraico al lenguaje común 
LENGUAJE COMÚN LENGUAJE ALGEBRAICO 
X 
2x +-2 
(a- b) + 3x 
zR 
3. Operaciones algebraicas 
Las operaciones algebraicas son adición (sumaL sustracción (resta), multiplicación y división. 
SUMA O ADICIÓN 
Para sumar dos o más polinomios se requiere reducir términos semejantes de los polinomios que 
se suman. Para ello pueden escribirse los polinomios en renglones sucesivos de forma que los 
térm inos semejantes queden en una misma columna y a continuación se reducen los términos 
semejantes. Es importante que los polinomios que se suman se ordenen todos respecto a una 
misma letra, ya sea en forma descendente o ascendente, es decir, que los exponentes de una letra 
seleccior1ada vaya aumentando o disminuyendo de uno en uno. 
Sumar los siguientes polinomios. 
~ ~ A1g"''" •pli<•d• 
1 Ordenando con respecto a "x" y tomando los exponentes en forma descendente, tenemos: 
-x4 + 4x 3 + 6x 2 - 9x - 8 
-x4 + x 3 - 4x2 + 2x + S 
-2x4 - Sx 3 - x 2 + 3x + 19 
-4x4 + x 2 - 4x + 6 
La realizar la siguiente suma : 
2x 2 - Sxy + y 2 - 7; -3y2 - x 2 - 7xy- 1; Sx 2 - xy + 6 
Orden<:HJdo los polinomios respecto a "x" y colocándolos en renglones 
Realiza las siguientes sumas. 
2x 2 - Sxy + y 2 - 7 
-x2 - 7xy- 3y2 - 1 
Sx 2 - xy + 6 
6x 2 - 13xy- 2y- 2 
Yc_~~ [~ 
Actividad 
1. 12x2 - 18x + 7 ; 6x 33- 9x 2 - Sx- 9 
3. 8w 2 - Sw- 6 ; 7w 2 - 10w- 9 
4. 4x3 - 7x · 6x 3 + x + 1 1 
8. 16x8 + 23x -19 ; 27x8 - 2x6 - 3x 3 
10. a6- 6a5 + 4a3 + 10 ; 3é + Sa4 - 7a3 + a2 - 2 ; 
Expresiones algebraicas 
,:/. "'"~ 
1 RESTA O DIFERENCIA O SUSTRACCIÓN 
En principio toda resta de polinomios puede expresarse como una suma aplicando la regla siguien-
te 
X- y= X+ (-y) 
En otras palabras, para restar dos polinomios se suma el minuendo con el inverso aditivo del sus-
traendo. 
Se acostumbra escribir en un renglón los términos del minuendo y por debajo de este los que co-
rresponden al inverso aditivo del sustraendo, de forma que los términos semejantes estén colora-
dos en una misma columna; por último, se procede a reducir términos semejantes. (Para más faci-
lidad después de la palabra resta inviertes los signos a todos los términos que le preceden a la 
palabra "de") 
Restar el polinomio: -10x4 + 8x3 - 7x- 4 + Sx 2 de 10x2 - 6x4 + x- 10- x3 
-10x4 + 8x3 + Sx2 - 7x- 4 
6x4 + x 3 - 10x2 - x + 10 
-4x 2 + 11x3 - Sx 2 - Sx + 6 
YL.,~~ ~ 
Actividad 
Realiza las siguientes restas o sustracciones. 
1. Restar sé- 4a- 7 
2. Restar 4c- 9 
3. Restar r 3 - 4 
4. Restar a 2 - 6a + 9 
5. Restar 7x3 - 4x 2 +S 
6. De 6a3 - Sa2 + 3 
7. De 7x3 - 14x5 + 21x4 + x 
8. De 4a6 - 6a5 + a 2 - Sa + S 
9. De 8mB + 3Sm5 - 6m2 +m 
10. De 12zB + 18z7 - Sz4 + 1 
De 9a4 + 4a- 6 
De 2c- 3 
De -6r- 4 
De a2 - 9 
De 6x3 + 9x2 - 7 
Restar 8a3 - 2a - 4 
Restar 1Sx7 - 18x5 + 21x4 +S 
Restar 7 a6 - Sa4 + a 2 - 9a 
Restar 8mB + 3Sm5 - 7m2 
Restar 12zB - 4z 6 + 32z3 + 2z 
~ ~LTIPLICACIÓN Á!9•broopHoodo 
Respecto a la multiplicación y en cuanto a lo polinomios distinguiremos tres casos: 
1. Multiplicación de monomios 
2. Multiplicación de un monomio por un polinomio 
3. Multiplicación
de polinomio por polinomio. 
En la multiplicación de dos o más monomios se aplican las reglas de los signos, las leyes de los 
exponentes y los axiomas de la multiplicación. 
Para multiplicar podemos seguir estos pasos: 
1. Se determina el signo del producto (leyes de los signos) 
2. Se multiplican los coeficientes numéricos 
3. Se multiplican las partes literales aplicando las leyes de los exponentes respectivos. 
Multiplica los monomios siguientes: 
Como los dos monomios son positivos el resultado es positivo. 
Como los dos monomios son negativos el resultado es positivo. 
Su equivalente es: 
Recuerda un exponente elevado a otro exponente los exponentes se multiplican, un numero nega-
tivo elevado a una potencia impar nos da negativo. 
Expresiones algebraicas 
,:/. """~ 
Multiplicación de monomio por polinomio. 
Para efectuar esta operación se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación que, como 
recordaras, postula lo siguiente: a(b +e+ d + .... +k)=ab + ac + ad + ... . +ak 
Ejemplo multiplicar: 3x 2 (2x3 - 7x 2 - x + 6) 
[
x-5 x+3 x+l] Resolver: 8 - +---
2 4 8 
[
X - 5 X + 3 X + 1] _ (X - 5) (X + 3) (X + 1) 8 --+----- -8 -- +8 -- -8 --
2 4 8 2 4 8 
Reduciendo 
4(x- 5) + 2(x + 3)- (x + 1) 
4x- 20 + 2x + 6- x - 1 = 5x- 15 
Multiplicación de polinomio por polinomio 
Consideremos los polinomios (a+ b) y (x +y+ z) que vamos a multiplica. 
Para multiplicarlos, hagamos: w = a+ b 
(a+ b)(x +y+ z) = w(x +y+ z) 
Multiplicando: wx + wy + wz, sustituyendo w = a+ b 
Se tiene: (a+ b)x +(a+ b)y +(a+ b)z = ax + bx +ay+ by+ az + bz 
Observa que cada término del primer polinomio se ha multiplicado por cada uno de los términos 
del segundo polinomio. Obviamente, de acuerdo a la propiedad distributiva de multiplicación. 
También se puede proceder multiplicando cada término del segundo polinomio por los términos 
del primero. 
Multiplicar: (7x- 5)(4x 3 - 5x 2 - 2x + 3)= 
=7x(4x 3 - 5x 2 - 2x + 3)- 5(4x 3 - 5x 2 - 2x + 3)= 
=28x3+1 - 35x1+2 - 14x1+1 + 21x- 20x3 + 25x2 + 10x- 15 
28x4 - 35x 3 - 14x2 + 21x- 20x 3 + 25x2 + 10x- 15 
~ ~ Á~•bro oplirodo 
1 ~educiendo términos:= 
28x4 - 5Sx3 + 11x2 + 31x- 15 
Si bien la multiplicación de polinomios puede hacerse como el ejemplo anterior, al multiplicar dos 
polinomios se acostumbra a escribirlos en dos renglones (uno de bajo del otro) y multiplicar cada 
uno de los términos del polinomio que se encuentran en el renglón inferior por el que se encuen-
tra el renglón superior. Es importante ordenar los términos semejantes que resultan del producto 
en una misma columna para así facilita la operación de reducir términos semejantes. 
Se comienza de izquierda a derecha (en aritmética de derecha a izquierda) 
Realiza la multiplicación siguiente: 
(2x- 5)(4x3 - 7x 2 + 2x- 3) 
4x 3 - 7x 2 + 2x- 3 
2x- S 
8x4 - 14x3 + 4x 2 - 6x 
-20x3 + 35x 2 - 10x + 15 
8x4 - 34x3 + 39x2 - 16x + 15 de polinomios . 
Primero se considerara la división entre monomios, luego la de un polinomio entre un monomio y 
finalmente la de dos polinomios. Cabe aclarar que en todos los ejercicios se supondrá que todos 
los divisores son diferentes de cero. 
Realiza las siguientes multiplicaciones. 
l. 
-4 ( a2 -~a - 30) 
2. e ( S 2 ) - 8c - 4c -6 
2 
3. --a 9a --a +-4 2 ( S 3 4 a) 
3 2 4 
4. 12y2 (3y 5 + Sy 2 + 6y + 1) 
S. (x 3 - 4x 2 + Sx- 2)2x 3 
6. -9c3 (Sc4 + c3 - 6c - 3) 
>' L . Z-?~ ~ 
Actividad 
8 ~ ( 21 4 7 3 1 5) 7. -xz -x --x +-x 
7 2 4 16 
9. (3x- 8)(x2 + 7x + 2) 
10. (x 2 - 2x- 6)(2x + 5) 
( 4 6 16 ~) (9 2 ) 11. 3a +-gaz 2a -2a 
( 1 1 
1
) 12. (4a2 + 12a- 16) ¡- 2a3 
13. (y4 + 4y3 + Sy2 - 3y- S)(y 2 + 1) 
14. (x3 - 7x- 8)(2x3 + x2 - 3) 
15. (Sx4 - 2x 2 - 4x + 1)(3x2 - 6) 
DIVISIÓN O COCIENTE 
• DIVISIÓN DE UN MONOMIO ENTRE UN MONOMIO. 
Se dividen los coeficientes numéricos 
Se aplica la ley de los exponentes: x: = xm-n 
X 
Efectúa las divisiones entre monomios. 
15x-3 = sx-3-(-6) = sx-3+6 = Sx3 
3x-6 
Expresiones algebraicas 
_6xayz-z _ 3¡xa-ay-2-(-s)z-2-(-a) ] _ 3xoy-2+Sz-2+a _ 3y3z6 
-sx8y-5z8 4 4 - -4-
2Bxz 4 2-7 4 -5 4 , 1' . h . 
- 7 = x = x = -5 aqUI ap 1camos que Siempre ay que maneJar exponentes po-7x x 
sitivos. 
& 
1 • 
Álgebra aplicada 
DIVISIÓN DE UN MONOMIO ENTRE UN POLINOMIO. 
Para dividir un polinomio entre un monomio se aplica la propiedad distributiva de la divi-
sión, es decir se divide cada termino del polinomio entre el monomio. 
Realiza las siguientes divisiones. 
15x3 -12x2 + 6x = 15x 3 _ 12x2 + 6x = Sx 2 _ 4x1 + 2 
3x 3x 3x 3x 
• DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN POLINOMIO. 
La división euclidiana de dos polinomios, igual que la división de números enteros dentro 
del dominio entero, permite encontrar como resultado del proceso de división un polino-
mio cociente y un polinomio residuo, y para efectuarlo se siguen los siguientes pasos. 
l. Se ordenan los dos polinomios en orden decreciente de una de las letras comunes 
a ambos polinomios, incluidos los términos con coeficiente cero para las potencias 
faltantes. 
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, con 
lo que se obtiene el primer término cociente. 
3. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y el producto obtenido 
se resta del dividendo, y se obtiene un nuevo dividendo. 
4. Con el nuevo dividendo se repiten las operaciones de los pasos 2 y 3 hasta que el 
polinomio resultante sea cero o contenga la letra respecto a la que se hizo el pro-
cedimiento del primer paso, con un exponente menor que el que posee dicha letra 
del divisor. 
5. Si se quiere comprobar que el resultado sea correcto se multiplica 1 cociente por el 
divisor y al producto obtenido se le suma el residuo de la división. El resultado de-
be de coincidir con el polinomio dividendo. 
x + 2~3x 2 + 2x - 8 
e Ejemplo: 
l. Buscamos un numero o letra que multiplicado por x 2 nos de -3x 2, 
2. Ese número seria 3x 
3. Al realizar la operación de multiplicar 3x por x + 2, nos da un valor de - 3x2 - 6x 
4. Se le resta al termino de 3x 2 + 2x- 8 
3x 2 + 2x- 8 
-3x2 - 6x 
-4x- 8 
5. dando como resultado: -4x- 8 
6. x + 2vf -4x - 8 
Expresiones algebraicas 
7. Ahora buscamos un número que multiplicado por x, nos de -4x 
8. Ese número seria -4 
9. Al multiplicar nos daría: 4x + 8 
10. Le restamos al termino: -4x- 8 
-4x-8 
+4x+8 
11. Nos da un residuo de "O" 
12. x + 2vf3x 2 + 2x - 8 =3x 2 - 4 
Realiza las siguientes divisiones. 
l. 4Sx
6y 8 
-25x9y 4 
2. 
7x3y7 
42x3y 7 
3. (sc
4 d)d2 
15(cd)2 
3 
4. 
(2w3z4 ) 
(8wz 5 ) 2 
YL. $~ ~ 
Actividad 
6. 
8. 
9. 
Álgebra aplicada 
12x4 +2x3 -2x2 +12x8 
x2 
7y11+5y9-4y7-59y6+4ys 
syz 
zx 3 -ax2+4x-10 
1 
zx2 
1 1 1 
3y3+27y2-24y5 1 o. __.::.__ _ _.::.__.,....1 ----=~ 
3y-2 
6a 2 -sa-6 12.---
3a+2 
17. 27x
5
-2 
3x-1 
Expresiones algebraicas 
4. Productos y cocientes notables 
,:/. """~ 
1 
PRODUCTOS NOTABLES 
Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede 
ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. 
a) Cuadrado de la suma de dos cantidades. 
*Elevar al cuadrado x +y equivale a multiplicar este binomio por si mismo y tendremos: 
(x + y) 2 = (x + y)(x +y) 
Si realizamos la multiplicación tendríamos: 
Lo anterior se puede definir como: 
x+y 
x+y 
x 2 +xy 
xy + yz 
"El cuadrado del primer término más el doble producto del primer término por el segundo 
término más el cuadrado del segundo término" 
Si el binomio es negativo x-y El enunciado quedaría de la siguiente manera: 
"El cuadrado del primer término menos el doble producto del primer término por el se-
gundo término más el cuadrado