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Analisis Real III
Renato Benazic
October 29, 2017
Prefacio
Renato Benazic
Introduccio´n
Contenido
1 Integrales Mu´ltiples 1
1.1 La Definicio´n de Integral sobre m-bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Propiedades Ba´sicas de la Integral sobre m-Bloques Compactos . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Conjuntos de Medida Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Caracterizacio´n de las Funciones Riemann Integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Integracio´n Iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Integrales sobre Conjuntos J-medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Cambio de Variables en la Integral Mu´ltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Espacios de Medida 35
2.1 Limitaciones y desventajas de la Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Espacios medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Caracterizacio´n de una medida. Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5 Medidas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6 Medida de Lebesgue en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7 Algunos Propiedades de la medida de Lebesgue en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.8 Algunos aspectos teo´ricos de la medida de Lebesgue en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3 Integracio´n Abstracta 65
3.1 Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 Integracio´n de funciones medibles no negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 Integracio´n de funciones medibles reales o complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.5 Conjuntos de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4 Los Espacios Lp 89
4.1 Los espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2 Los espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3
4.3 Completitud de los espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4 Aproximacio´n por funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Cap´ıtulo 1
Integrales Mu´ltiples
1.1 La Definicio´n de Integral sobre m-bloques
Primeramente introducimos la notacio´n necesaria. Si I ⊆ R es un intervalo acotado (es decir, del tipo
[a, b], ]a, b[, ]a, b], [a, b[ o inclusive [a] = [a, a]), el volumen unidimensional o longitud de I, se define por
vol (I) = b− a.
Decimos que B ⊆ Rm es un bloque m-dimensional o simplemente m-bloque si y so´lo si B es producto
cartesiano de m intervalos I1, . . . , Im, es decir
B = I1 × I2 × · · · × Im =
m∏
i=1
Ii.
Si todo los intervalos Ii son abiertos (resp. cerrados, acotados, compactos, etc.), diremos que el m-bloque
B =
m∏
i=1
Ii es abierto (resp. cerrado, acotado, compacto, etc.). Si todos los intervalos Ii tienen la misma
longitud, entonces B =
m∏
i=1
Ii es llamado m- cubo.
Para propo´sitos posteriores, vamos a admitir que uno o ma´s de los intervalos Ii pueda constar de un
so´lo punto. En este caso, decimos que B =
m∏
i=1
Ii es un m-bloque degenerado.
Si B =
m∏
i=1
Ii es un m-bloque acotado, el volumen m-dimensional o simplemente volumen de B,
denotado por vol (B), se define como el producto de las longitudes de los intervalos Ii, es decir
vol (B) =
m∏
i=1
vol (Ii).
1
Ana´lisis Real II 2
Observaciones:
1. El volumen de un m-bloque degenerado es cero.
2. Si m = 1, 2, 3 entonces el m-bloque B se denomina respectivamente intervalo, recta´ngulo, pa-
ralelep´ıpedo y su volumen vol (B) pasa a ser llamado longitud, a´rea y volumen, respectivamente.
Sea B =
m∏
i=1
Ii un m-bloque acotado, donde Ii es un intervalo de extremos ai, bi. Una cara (m− 1)-
dimensional o simplemente (m− 1)-cara de B es un producto cartesiano del tipo
I1 × · · · × Ik−1 × {ak} × Ik+1 × · · · × Im o´ I1 × · · · × Ik−1 × {bk} × Ik+1 × · · · × Im
donde k = 1, 2, . . .m.
Para m = 1, 2, 3, una (m− 1)-cara es un extremo del intervalo, un lado del recta´ngulo o una cara del
paralelep´ıpedo.
Es claro que toda (m− 1)-cara de un m-bloque, tiene volumen (m-dimensional) cero.
De manera ana´loga se definen las (m − k)-caras (k = 2, . . . ,m) de un m-bloque. Las 0-caras son
llamadas ve´rtices del m-bloque.
Definicio´n 1.1.1 Sea B =
m∏
i=1
[a1, bi] un m-bloque compacto.
1. Una particio´n P de B es un producto cartesiano P = P1 × · · · × Pm donde Pi ∈ P([ai, bi]),
∀ 1 ≤ i ≤ m. Denotaremos por P(B) al conjunto de todas las particiones del m-bloque compacto
B.
2. Sea P = P1 × · · · × Pm ∈ P(B). La norma de P , denotada por ‖P‖ es definida como
‖P‖ = max{‖Pi‖; 1 ≤ i ≤ m}
3. Sean P = P1 × · · · × Pm, Q = Q1 × · · · ×Qm ∈ P(B). Decimos que Q es un refinamiento de P si y
so´lo si Pi ⊆ Qi, ∀ 1 ≤ i ≤ m.
Observaciones:
1. Sea P = P1 × · · · × Pm ∈ P(B) donde
Pi = {ai = ti0 < ti1 < · · · < tiki = bi} ∈ P([ai, bi]), (1 ≤ i ≤ m)
Si denotamos por Iiji = [t
i
ji−1, t
i
ji ] (1 ≤ ji ≤ ki) al ji-e´simo intervalo generado por Pi ∈ P([ai, bi])
entonces
I1j1 × I2j2 × · · · × Imjm
es un m-bloque contenido en B, al cual denotaremos por Bj1,...,jm y llamaremos m-subbloque
generado por P ∈ P(B). En muchas ocasiones es conveniente enumerar consecutivamente a estos
Ana´lisis Real II 3
subbloques y denotarlos por Bi, con 1 ≤ i ≤ k = k1 · · · km. En cualquier caso, escribiremos
P = {Bj1,...,jm} o´ P = {Bi} ∈ P(B) para decir que los Bj1,...,jm (o los Bi) son los subbloques
generados por la particio´n P . Es claro que
vol (B) =
k∑
i=1
vol (Bi).
2. Si P,Q ∈ P(B) entonces P ∪ Q no necesariamente es una particio´n de B. En efecto, considere
P = {0, 1}×{0, 1/2, 1} y Q = {0, 1/2, 1}×{0, 1}. Es claro que P y Q son particiones de [0, 1]×[0, 1],
sin embargo P ∪Q no es una particio´n de [0, 1]× [0, 1].
3. Sean P = P1 × · · · × Pm, Q = Q1 × · · · ×Qm ∈ P(B), denotaremos
P +Q = (P1 ∪Q1)× (P2 ∪Q2)× · · · × (Pm ∪Qm)
Es claro que P +Q ∈ P(B) y P +Q es un refinamiento comu´n de P y Q, (es decir P ⊆ P +Q y
Q ⊆ P +Q).
Sea B =
m∏
i=1
[a1, bi] un m-bloque compacto y f : B → R una funcio´n acotada, denotemos
m(f) = inf{f(x); x ∈ B} y M(f) = sup{f(x); x ∈ B}
Es claro que m(f) ≤ f(x) ≤M(f), ∀ x ∈ B.
Si P = {Bi} ∈ P(B), denotamos
mi(f) = inf{f(x); x ∈ Bi} y Mi(f) = sup{f(x); x ∈ Bi}
Se cumple
m(f) ≤ mi(f) ≤ f(x) ≤Mi(f) ≤M(f), ∀ x ∈ Bi, ∀ i
La suma inferior y la suma superior de f relativa a la particio´n P se definen respectivamente como
L(f, P ) =
∑
i
mi(f) vol (Bi) y U(f, P ) =
∑
i
Mi(f) vol (Bi)
Es claro que
m(f) vol (B) ≤ L(f, P ) ≤ U(f, P ) ≤M(f) vol (B), ∀ P ∈ P(B)
La Integral Superior y la Integral Inferior de una funcio´n acotada f : B → R se definen respectivamente
como ∫
B
f(x)dx = inf{U(f, P ); P ∈ P(B)}∫
B
f(x)dx = sup{L(f, P ); P ∈ P(B)}
En muchas ocasiones, denotaremos
∫
B
f y
∫
B
f en vez de
∫
B
f(x)dx y
∫
B
f(x)dx, respectivamente.
Ana´lisis Real II 4
Teorema 1.1.1 Sea B un m-bloque compacto, P,Q ∈ P(B) y f : B → R una funcio´n acotada. Si Q es
un refinamiento de P entonces L(f, P ) ≤ L(f,Q) y U(f,Q) ≤ U(f, P ).
Demostracio´n. Sean P = P1 × · · · × Pm, Q = Q1 × · · · × Qm ∈ P(B) donde Q es un refinamiento de
P , luego P1 ⊆ Q1, . . . , Pm ⊆ Qm. Es suficiente considerar el caso en que Q1 =P1 ∪ {t∗}, P2 = Q2, . . . ,
Pm = Qm.
Sabemos que un m-subbloque de la particio´n P es del tipo
Bi1,i2,...,im = Ii1 × Ii2 × · · · × Iim = Ii1 ×Bi2,...,im = Ii1 ×BJ
donde J = (i2, . . . , im).
Si P1 = {a1 = t0 < . . . < tk1 = b1} entonces existe i ∈ {1, . . . , k1} tal que ti−1 < t∗ < ti, luego
Q1 = {a1 = t0 < t1 < . . . < ti−1 < t∗ < ti < · · · < tkn = b1}. De esta manera tenemos
P = {Ii1 ×BJ ; 1 ≤ i1 ≤ k1,∀ J}
Q = {Ii1 ×BJ ; 1 ≤ i1 6= i ≤ k1,∀ J} ∪ {B∗i,J = [ti−1, t∗]×BJ , B∗∗i,J = [t∗, ti]×BJ ; ∀ J}
Si denotamos
m∗i,J (f) = inf{f(x); x ∈ B∗i,J} y m∗∗i,J (f) = inf{f(x); x ∈ B∗∗i,J}
es claro que se cumplen las siguientes desigualdades
mi,J (f) ≤ m∗i,J(f),m∗∗i,J (f)
y de aqu´ı
mi,J(f) vol (Bi,J ) = mi,J (f) vol (B∗i,J) +mi,J (f) vol (B
∗∗
i,J)
≤ m∗i,J (f) vol (B∗i,J) +m∗∗i,J (f) vol (B∗∗i,J)
Luego:
L(f, P ) =
∑
i1
∑
J
mi1,J(f) vol (Bi1,J)
=
∑
J
∑
i1 6=i
mi1,J(f) vol (Bi1,J)
+∑
J
mi,J(f) vol (Bi,J )
≤
∑
J
∑
i1 6=i
mi1,J(f) vol (Bi1,J)
+∑
J
[
m∗i,J(f) vol (B
∗
i,J ) +m
∗∗
i,J(f) vol (B
∗∗
i,J )
]
= L(f,Q)
La otra desigualdad se demuestra de manera ana´loga. ¤
Corolario 1. Sean B un m-bloque compacto y f : B → R una funcio´n acotada. Se cumple
L(f, P ) ≤ U(f,Q) ∀ P,Q ∈ P(B).
Ana´lisis Real II 5
Demostracio´n. Sean P,Q ∈ P(B), sabemos que P + Q ∈ P(B) es un refinamiento comu´n de P y Q.
Del teorema anterior se tiene:
L(f, P ) ≤ L(f, P +Q) ≤ U(f, P +Q) ≤ U(f,Q) ¤
Corolario 2. Sean B un m-bloque compacto, f : B → R una funcio´n acotada y fijemos P0 ∈ P(B).
Entonces ∫
B
f = inf{U(f, P ); P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0}∫
B
f = sup{L(f, P ); P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0}
Demostracio´n. Probaremos so´lo la segunda igualdad, la demostracio´n de la primera es similar. Es claro
que
A = {L(f, P ); P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0} ⊆ {L(f, P ); P ∈ P(B)}
Luego
supA ≤
∫
B
f
Supongamos que supA <
∫
B
f (Hip. Aux.) luego existe P1 ∈ P(B) tal que supA < L(f, P1). Pero
P0+P1 ∈ P(B) es un refinamiento de P0, luego L(f, P0+P1) ≤ supA < L(f, P1) ≤ L(f, P0+P1) lo cual
es absurdo. Esta contradiccio´n prueba el resultado. ¤
Corolario 3. Sean B un m-bloque compacto y f : B → R una funcio´n acotada. Se cumple:
L(f, P ) ≤
∫
B
f ≤
∫
B
f ≤ U(f, P ), ∀ P ∈ P(B)
Demostracio´n. Es suficiente probar que
∫
B
f ≤
∫
B
f . Del Corolario 1 tenemos L(f, P ) ≤ U(f,Q),
∀ P,Q ∈ P(B). Luego ∫
B
f = sup{L(f, P ); P ∈ P(B)} ≤ U(f,Q), ∀ Q ∈ P(B)
De aqu´ı se sigue el resultado. ¤
Del Corolario anterior, surge de manera natural la siguiente interrogante ¿Existe f : B → R acotada
tal que
∫
B
f <
∫
B
f? Veamos un par de ejemplos.
Ejemplo 1.1.1 Sea B = [0, 1]× [0, 1] y definamos f : B → R mediante
f(x, y) =
{
1, si (x, y) = (0, 0)
0, en otro caso
Ana´lisis Real II 6
Vamos a hallar
∫
B
f y
∫
B
f , para ello, tomemos
P = {0 = t0 < t1 < · · · < tm = 1} × {0 = s0 < s1 < · · · < sn = 1} ∈ P(B)
y denotemos Bij = [ti−1, ti]× [sj−1, sj ], 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Por definicio´n de f se tiene que
mij = 0, y Mij(f) =
{
1, si i = j = 1
0, en otro caso
luego L(f, P ) =
m∑
i=1
n∑
j=1
mij(f) vol (Bij) = 0. Se sigue que
∫
B
f = sup {L(f, P ); P ∈ P(B)} = 0
Por otro lado
U(f, P ) =
m∑
i=1
n∑
j=1
Mij(f) vol (Bij) = vol (B11) = t1s1
De aqu´ı se sigue que la integral superior tambie´n es cero, en efecto, sea ² > 0, existe n ∈ N tal que
1
n
<
√
². Consideremos entonces la particio´n
P² = {0, 1
n
, 1} × {0, 1
n
, 1} ∈ P(B)
Por lo anterior U(f, P²) =
1
n2
< ² y de aqu´ı
∫
B
f = 0. Por tanto,
∫
B
f =
∫
B
f = 0. ¤
Ejemplo 1.1.2 Sea B = [0, 1]× [0, 1] y definamos f : B → R mediante
f(x, y) =
{
1, si (x, y) ∈ Q2
0, en otro caso
Para hallar
∫
B
f y
∫
B
f , tomemos
P = {0 = t0 < t1 < · · · < tm = 1} × {0 = s0 < s1 < · · · < sn = 1} ∈ P(B)
y denotemos Bij = [ti−1, ti]× [sj−1, sj ], 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Por definicio´n de f se sigue que
mij = 0, y Mij(f) = 1, ∀ i, j
luego
L(f, P ) =
m∑
i=1
n∑
j=1
mij(f) vol (Bij) = 0
U(f, P ) =
m∑
i=1
n∑
j=1
Mij(f) vol (Bij) =
m∑
i=1
n∑
j=1
vol (Bij) = vol (B) = 1
Ana´lisis Real II 7
Se sigue que ∫
B
f = sup {L(f, P ); P ∈ P(B)} = 0∫
B
f = inf {U(f, P ); P ∈ P(B)} = 1
De esta manera
∫
B
f <
∫
B
f . ¤
El ejemplo anteior muestra que, la suma inferior puede ser estrictamente menor que la suma superior.
Aquellas funciones cuya integral superior coincide con su integral inferior, son de relevancia para la teor´ıa.
Definicio´n 1.1.2 Sea B un m-bloque compacto y f : B → R una funcio´n acotada. Decimos que f es
Riemann integrable sobre B si y so´lo si ∫
B
f =
∫
B
f
Si f es integrable sobre B entonces la integral de Riemann sobre B, denotada por
∫
B
f(x)dx o´
∫
B
f se
define como ∫
B
f =
∫
B
f =
∫
B
f
Denotaremos por R(B) al conjunto de todas las funciones Riemann integrables sobre el m-bloque com-
pacto B.
Observacio´n: Sea B un m-bloque compacto, f : B → R una funcio´n acotada. Si f ∈ R(B) entonces
por el Corolario 3 se tiene que
L(f, P ) ≤
∫
B
f ≤ U(f, P ) ∀ P ∈ P(B)
Teorema 1.1.2 Sea B un m-bloque compacto y f : B → R una funcio´n acotada. Se cumple f ∈ R(B)
si y so´lo si dado ² > 0, existe P = P (²) ∈ P(B) tal que U(f, P )− L(f, P ) < ².
Demostracio´n. (⇒) Por hipo´tesis ∫
B
f =
∫
B
f =
∫
B
f
luego ∫
B
f = inf{U(f, P ); P ∈ P(B)} = sup{L(f, P ); P ∈ P(B)}
Ana´lisis Real II 8
Dado ² > 0, existe P1 ∈ P(B) tal que U(f, P1) <
∫
B
f+
²
2
y existe P2 ∈ P(B) tal que
∫
B
f− ²
2
< L(f, P2).
Tomando P = P1 + P2 tenemos
U(f, P )− ²
2
≤ U(f, P1)− ²2 <
∫
B
f < L(f, P2) +
²
2
≤ L(f, P ) + ²
2
As´ı, existe P ∈ P(B) tal que U(f, P )− L(f, P ) < ².
(⇐) Dado ² > 0, por hipo´tesis existe P = P (²) ∈ P(B) tal que U(f, P )−L(f, P ) < ². Por el Corolario 3
al Teorema 1.1.1 tenemos que
0 ≤
∫
B
f −
∫
B
f ≤ U(f, P )− L(f, P ) < ²
Se sigue que
∫
B
f =
∫
B
f . ¤
Existe otra caracterizacio´n de funcio´n Riemann integrable, la cual usa el concepto de oscilacio´n.
Definicio´n 1.1.3 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una funcio´n acotada. La oscilacio´n de f sobre el conjunto
X, denotada por ω(f,X) es definida como
ω(f,X) = sup{|f(x)− f(y)|; x, y ∈ X}
Proposicio´n 1.1.3 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una funcio´n acotada, se cumple:
1. Si mX(f) = inf{f(x); x ∈ X} y MX(f) = sup{f(x); x ∈ X} entonces
ω(f,X) =MX(f)−mX(f)
2. Si Y ⊆ X entonces ω(f, Y ) ≤ ω(f,X).
3. Si X = B es un m-bloque compacto y P = {Bi} ∈ P(B) entonces
U(f, P )− L(f, P ) =
∑
i
ω(f,Bi) vol (Bi)
Demostracio´n. 1.) Sean x, y ∈ X, cosideremos dos casos: Si f(x) ≥ f(y) entonces |f(x) − f(y)| =
f(x)− f(y) ≤MX(f)−mX(f).
Si f(x) < f(y) entonces |f(x)− f(y)| = f(y)− f(x) ≤MX(f)−mX(f).
En cualquier caso se tiene que |f(x)− f(y)| ≤MX(f)−mX(f), ∀ x, y ∈ X, es decir
ω(f,X) ≤MX(f)−mX(f).
Supongamos que ω(f,X) < MX(f)−mX(f) (Hip. Aux.) entonces ω(f,X)+mX(f) < MX(f), luego
existe un x0 ∈ X tal que ω(f,X) +mX(f) < f(x0), se sigue que mX(f) < f(x0)− ω(f,X), luego existe
un y0 ∈ X tal que f(y0) < f(x0)− ω(f,X). As´ı
ω(f,X) < f(x0)− f(y0) ≤ |f(x0)− f(y0)| ≤ ω(f,X)
Ana´lisis Real II 9
lo cual es una contradiccio´n. La parte 2.) es evidente.
3.) De la definicio´n y la parte 1, tenemos
U(f, P )− L(f, P ) =
∑
i
Mi(f) vol (Bi)−
∑
i
mi(f) vol (Bi) =
∑
i
[Mi(f)−mi(f)] vol (Bi)
=
∑
i
ω(f,Bi) vol (Bi)
lo cual prueba el resultado. ¤
Corolario. Sea B un m-bloque compacto, f : B → R una funcio´n acotada. Se cumple f ∈ R(B) si y
so´lo si dado ² > 0, existe P = P (²) = {Bi} ∈ P(B) tal que
∑
i
ω(f,Bi) vol (Bi) < ².
Demostracio´n. Consecuencia directa del Teorema 1.1.2 y la parte 3 de la proposicio´n anterior. ¤
Teorema 1.1.4 Si B un m-bloquecompacto entonces C(B) ⊆ R(B).
Demostracio´n. Sea f ∈ C(B) entonces f es u. c. en B, luego dado ² > 0 ∃ δ > 0 tal que si x, y ∈ B y
‖x− y‖ < δ entonces |f(x)− f(y)| < ²
2 vol (B)
.
Si tomamos P = {Bi} ∈ P(B) con ‖P‖ < δ√
m
, para x, y ∈ Bi se cumple
‖x− y‖2 =
m∑
j=1
|xj − yj |2 ≤
m∑
j=1
‖Pj‖2 ≤ m‖P‖2 < δ2
Luego |f(x) − f(y)| < ²
2 vol (B)
, ∀ x, y ∈ Bi lo cual implica que ω(f,Bi) < ²vol (B) y por lo tanto∑
i
ω(f,Bi) vol (Bi) < ². De esta manera f ∈ R(B). ¤
1.2 Propiedades Ba´sicas de la Integral sobre m-Bloques Com-
pactos
Teorema 1.2.1 Si B es un m-bloque compacto y
f : B → R
x 7→ f(x) = 1
entonces f ∈ R(B) y ∫
B
1 = vol (B)
Demostracio´n. Como f = 1 ∈ C(B), se sigue que f = 1 ∈ R(B).
Ana´lisis Real II 10
Por otro lado, dado P = {Bi} ∈ P(B), se cumple
L(1, P ) =
∑
i
vol (Bi) = vol (B).
Se sigue que
∫
B
1 = vol (B). ¤
Teorema 1.2.2 Si B es un m-bloque compacto, f ∈ R(B) y c ∈ R, entonces cf ∈ R(B) y∫
B
cf = c
∫
B
f
Demostracio´n. Sea P = {Bi} ∈ P(B). Si c ≥ 0 entonces
mi(cf) = inf{(cf)(x); x ∈ Bi} = c · inf{f(x); x ∈ Bi} = c ·mi(f)
Ana´logamente Mi(cf) = c ·Mi(f). Luego
L(cf, P ) =
∑
i
mi(cf) vol (Bi) = c
∑
i
mi(f) vol (Bi) = cL(f, P )
Ana´logamente U(cf, P ) = cU(f, P ). Por lo tanto∫
B
cf = sup{L(cf, P ); P ∈ P(B)} = c · sup{L(f, P ); P ∈ P(B)} = c
∫
B
f = c
∫
B
f
Ana´logamente
∫
B
cf = c
∫
B
f . Se sigue que cf ∈ R(B) y
∫
B
cf = c
∫
B
f . ¤
Lema 1.2.1 Si B es un m-bloque compacto y f, g : B → R son funciones acotadas entonces se cumple
1.
∫
B
(f + g) ≥
∫
B
f +
∫
B
g.
2.
∫
B
(f + g) ≤
∫
B
f +
∫
B
g.
Demostracio´n. 1.) Sea P = {Bi} ∈ P(B). Dado x ∈ Bi se cumple
mi(f) +mi(g) ≤ f(x) + g(x) = (f + g)(x)
luego
mi(f) +mi(g) ≤ mi(f + g), ∀ i
Por tanto
L(f + g, P ) =
∑
i
mi(f + g) vol (Bi) ≥
k∑
i
mi(f) vol (Bi) +
∑
i
mi(g) vol (Bi)
= L(f, P ) + L(g, P ), ∀ P ∈ P(B)
Ana´lisis Real II 11
Sean P1, P2 ∈ P(B) y P = P1 + P2, luego
L(f, P1) + L(g, P2) ≤ L(f, P ) + L(g, P ) ≤ L(f + g, P ) ≤
∫
B
(f + g)
Se sigue que
∫
B
(f + g) ≥
∫
B
f +
∫
B
g. ¤
Teorema 1.2.3 Si B es un m-bloque compacto y f, g ∈ R(B) entonces f + g ∈ R(B) y∫
B
(f + g) =
∫
B
f +
∫
B
g
Demostracio´n. Por hipo´tesis y el lema anterior∫
B
f +
∫
B
g =
∫
B
f +
∫
B
g ≤
∫
B
(f + g) ≤
∫
B
(f + g) ≤
∫
B
f +
∫
B
g =
∫
B
f +
∫
B
g
Se sigue que f + g ∈ R(B) y
∫
B
(f + g) =
∫
B
f +
∫
B
g. ¤
Observacio´n: Los resultados anteriores nos dice que R(B) es un R-espacio vectorial y el operador
Γ : R(B) → R
f 7→ Γ(f) =
∫
B
f
es un funcional lineal.
Teorema 1.2.4 Si B es un m-bloque compacto y f, g ∈ R(B) tales que f(x) ≤ g(x), ∀ x ∈ B entonces∫
B
f ≤
∫
B
g
Demostracio´n. Sea P = {Bi} ∈ P(B). Para x ∈ Bi se cumple que mi(f) ≤ f(x) ≤ g(x), luego
mi(f) ≤ mi(g). Se sigue que
L(f, P ) =
∑
i
mi(f) vol (Bi) ≤
∑
i
mi(g) vol (Bi) = L(g, P ) ≤
∫
B
g =
∫
B
g, ∀ P ∈ P(B)
esto implica que
∫
B
f ≤
∫
B
g. ¤
Observaciones:
1. Si B un m-bloque compacto y f ∈ R(B) es tal que f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ B entonces
∫
B
f ≥ 0.
2. El operador Γ : R(B)→ R es mono´tono, es decir si f, g ∈ R(B) con f ≤ g entonces Γ(f) ≤ Γ(g).
Ana´lisis Real II 12
Definicio´n 1.2.1 Sea X ⊆ Rm y f, g : X → R
1. El ma´ximo de f y g, y el mı´nimo de f y g son las funciones max{f, g},min{f, g} : X → R definidas
por
max{f, g}(x) = max{f(x), g(x)} y min{f, g}(x) = min{f(x), g(x)}, ∀ x ∈ X
2. La parte positiva de f y la parte negativa de f , denotadas respectivamente por f+, f− son las
funciones f+, f− : X → R definidas por
f+ = max{f, 0} y f− = −min{f, 0}
Observaciones:
1. De las definiciones de ma´ximo y mı´nimo se sigue directamente que:
max{f, g} = 1
2
(f + g + |f − g|) y min{f, g} = 1
2
(f + g − |f − g|)
luego
f+ =
1
2
(f + |f |) y f− = 1
2
(|f | − f)
2. f+ y f− son funciones no negativas.
3. f = f+ − f−.
4. |f | = f+ + f−.
5. f ≥ 0 ⇒ f+ = f y f− = 0.
6. f ≤ 0 ⇒ f+ = 0 y f− = −f .
7. f+ · f− = 0.
Lema 1.2.2 Si B es un m-bloque compacto y f : B → R una funcio´n acotada entonces se cumple
U(f, P )− L(f, P )=[U(f+, P )− L(f+, P )] + [U(f−, P )− L(f−, P )], ∀ P ∈ P(B)
Demostracio´n. Sea P = {Bi} ∈ P(B). Afirmo que
Mi(f)−mi(f) =Mi(f+)−mi(f+) +Mi(f−)−mi(f−)
En efecto, consideremos tres casos:
Caso 1: mi(f) ≥ 0. En este caso tenemos que f+ = f y f− = 0 y por tanto la igualdad se cumple
trivialmente.
Caso 2: Mi(f) ≤ 0. En este caso tenemos que f+ = 0 y f− = −f , por tanto nuevamente la igualdad se
cumple trivialmente.
Ana´lisis Real II 13
Caso 3: mi(f) < 0 < Mi(f). En este caso Mi(f+) = Mi(f), mi(f+) = 0, Mi(f−) = −mi(f) y
mi(f−) = 0, luego
Mi(f)−mi(f) =Mi(f+) +Mi(f−) =Mi(f+)−mi(f+) +Mi(f−)−mi(f−)
lo cual prueba la afirmacio´n.
Multiplicando la igualdad por vol (Bi) y sumando sobre i, el lema se sigue. ¤
Teorema 1.2.5 Si B es un m-bloque compacto y f : B → R es una funcio´n acotada, se tiene
f ∈ R(B)⇐⇒ f+, f− ∈ R(B)
Demostracio´n. (⇒) Dado ² > 0, existe un P ∈ P(B) tal que U(f, P ) − L(f, P ) < ². Por el lema
anterior
U(f+, P )− L(f+, P ) ≤ U(f, P )− L(f, P ) < ² y U(f−, P )− L(f−, P ) ≤ U(f, P )− L(f, P ) < ²
Luego f+, f− ∈ R(B).
(⇐) Si f+, f− ∈ R(B) entonces f = f+ − f− ∈ R(B). ¤
Corolario. Si B es un m-bloque compacto y f, g ∈ R(B) entonces
1. |f | ∈ R(B) y ∣∣∣∣∫
B
f
∣∣∣∣ ≤ ∫
B
|f |
2. max{f, g},min{f, g} ∈ R(B) y∫
B
max{f, g} ≥ max
{∫
B
f,
∫
B
g
}
,
∫
B
min{f, g} ≤ min
{∫
B
f,
∫
B
g
}
Demostracio´n. Como f ∈ R(B) entonces f+, f− ∈ R(B), luego |f | = f++ f− ∈ R(B). Por otro lado,
desde que −|f | ≤ f ≤ |f |, se tiene que
−
∫
B
|f | ≤
∫
B
f ≤
∫
B
|f |
De aqu´ı, el resultado se sigue. La prueba de 2) es similar. ¤
Teorema 1.2.6 Sea B un m-bloque compacto y f ∈ R(B) entonces f2 ∈ R(B).
Demostracio´n. Primeramente, consideremos el caso en que f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ B. Sea P = {Bi} ∈
P(B), dado x ∈ Bi, se cumple f(x) ≤ Mi(f), luego f2(x) ≤ Mi(f)2 y por tanto Mi(f2) ≤ Mi(f)2.
Ana´logamente mi(f2) ≥ mi(f)2. Por lo tanto
U(f2, P )− L(f2, P ) =
∑
i
[Mi(f)2 −mi(f2)] vol (Bi) =
∑
i
[Mi(f) +mi(f)][Mi(f)−mi(f)] vol (Bi)
≤ 2M(f)
∑
i
[Mi(f)−mi(f)] vol (Bi) = 2M [U(f, P )− L(f, P )], ∀ P ∈ P(B)
Ana´lisis Real II 14
Dado ² > 0, como f ∈ R(B), existe P ∈ P(B) tal que U(f, P ) − L(f, P ) < ²
2M(f)
. Se sigue que
U(f2, P )− L(f2, P ) < ² y por lo tanto f2 ∈ R(B).
En el caso general, tenemos
f2 = (f+ − f−)2 = (f+)2 − 2f+f− + (f−)2 = (f+)2 + (f−)2
Como f ∈ R(B) entonces f+, f− ∈ R(B) y por lo tanto (f+)2, (f−)2 ∈ R(B). As´ı f2 = (f+)2+(f−)2 ∈
R(B). ¤
Corolario. Si B es un m-bloque compacto y f, g ∈ R(B) entonces fg ∈ R(B).
Demostracio´n. Es inmediato, puesto que fg =
1
4
(f + g)2 − 1
4
(f − g)2. ¤
Observacio´n: Si B es un m-bloque compacto entonces R(B) es un a´lgebra.
Definicio´n 1.2.2 Sea X ⊆ Rm, la funcio´n caracter´ıstica de X, denotada por 1
X
es definida por
1
X
: Rm → R
x 7→ 1
X
(x) =
{
1, si x ∈ X
0, si x ∈ Rm −X
Observacio´n: Se cumplen los siguientes resultados
1. 1
X
es discontinua en x si y so´lo si x ∈ ∂X.
2. Si Y ⊆ X entonces 1Y ≤ 1X .
3. 1X∪Y ≤ 1X + 1Y .
4. 1X∪Y + 1X∩Y = 1X + 1Y .
Teorema 1.2.7 Si A,B son m-bloques compactos con A ⊆ B entonces 1A ∈ R(B) y∫
B
1A = vol (A)
Demostracio´n. Sea P0 ∈ P(B) particio´n que contiene a A como subbloque. Dado P = {Bi} ∈ P(B)
refinamiento de P0, denotemos por I al conjunto de ı´ndices i tales que Bi ⊆ A. Se cumple:
L(1A, P ) =
∑
i
mi(1A) vol (Bi) =
∑
i∈I
vol (Bi) = vol (A)
U(1A, P ) =
∑
i
Mi(1A) vol (Bi) ≥
∑
i∈I
vol (Bi) = vol (A)
Se sigue que ∫
B
1A = sup{L(1A, P ); P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0} = vol (A)∫
B
1A = inf{U(1A,P ); P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0} ≥ vol (A)
Ana´lisis Real II 15
Sea A′ m-bloque compacto tal que A ⊆ A′ ⊆ B y fijemos Q0 ∈ P(B) particio´n que contiene a A′ como
subbloque. Dado Q = {Ci} ∈ P(B) refinamiento de Q0, se cumple:
U(1A, Q) =
∑
i
Mi(1A) vol (Ci) =
∑
i∈J
vol (Ci) ≤ vol (A′)
Donde J es el conjunto de ı´ndices i tales que Ci ∩A 6= ∅. Se sigue que
vol (A) ≤
∫
B
1A ≤ vol (A′)
Tomando A′ con volumen suficientemente pro´ximo del volumen de A, el resultado se sigue. En efecto,
supongamos A =
m∏
i=1
[ai, bi], para k ∈ N definimos A′k =
(
m∏
i=1
[
ai − 1
k
, bi +
1
k
])
∩ B. Como A′k es un
m-bloque compacto tal que A ⊆ A′k ⊆ B, por la desigualdad anterior tenemos
vol (A) ≤
∫
B
1A ≤ vol (A′k) ≤
m∏
i=1
(
bi − ai + 2
k
)
, ∀ k ∈ N
Haciendo k →∞ se llega a
∫
B
1A = vol (A). ¤
1.3 Conjuntos de Medida Cero
Definicio´n 1.3.1 Decimos que X ⊆ Rm tiene medida m-dimensional cero o simplementem-medida cero,
si y so´lo si para todo ² > 0, existe una familia numerable {Ck}k∈N de m-cubos abiertos y acotados tales
que
1. X ⊆
∞⋃
k=1
Ck.
2.
∞∑
k=1
vol (Ck) < ².
Observaciones:
1. Todo conjunto unitario de Rm tiene m-medida cero.
2. Todo subconjunto finito de puntos de Rm tiene m-medida cero.
3. Todo subconjunto de un conjunto de m-medida cero tiene m-medida cero.
4. La unio´n de una familia finita de conjuntos de m-medida cero tiene m-medida cero.
5. En la definicio´n anterior podemos reemplazar m-cubos abiertos por m-cubos cerrados, m-bloques
cerrados, m-bloques abiertos.
Ana´lisis Real II 16
Proposicio´n 1.3.1 Si {Xk}k∈N es una familia numerable de subconjuntos de Rm que tienen m-medida
cero, entonces X =
∞⋃
k=1
Xk tiene m-medida cero.
Demostracio´n. Sea ² > 0, dado j ∈ Z+ (fijo, arbitrario), existe {Cj,k}k∈N coleccio´n numerable de
m-cubos abiertos tales que Xj =
∞⋃
k=1
Cj,k y
∞∑
k=1
vol (Cj,k) <
²
2j+1
.
Considero {Cj,k}j,k∈N coleccio´n numerable de m-cubos abiertos, la cual satisface:
1. X ⊆
∞⋃
j,k=1
Cj,k.
2. Sea F ⊆ N×N conjunto finito entonces existe k0 ∈ N tal que si (j, k) ∈ F entonces j, k ≤ k0. Luego
∑
(j,k)∈F
vol (Cj,k) ≤
k0∑
j=1
(
k0∑
k=1
vol (Cj,k)
)
<
k0∑
j=1
²
2j+1
<
²
2
se sigue que
∞∑
j,k=1
vol (Cj,k) ≤ ²2 < ²
Concluimos que X tiene m-medida cero. ¤
Observaciones:
1. Todo subconjunto numerable de Rm tiene m-medida cero.
2. N, Z y Q tienen medida unidimensional cero.
3. El conjunto de Cantor tiene 1-medida cero. Esto es una consecuencia directa de la propia cons-
truccio´n del conjunto de Cantor.
Lema 1.3.1 Sea B un m-bloque acotado. Si {Cj}j∈N es una familia numerable de m-cubos abiertos y
acotados tales que B ⊆
⋃
j∈N
Cj entonces
vol (B) ≤
∑
j,1
vol (Cj)
Ana´lisis Real II 17
Demostracio´n. En primer lugar, consideramos B m-bloque cerrado, se sigue entonces que B es com-
pacto. Como B ⊆
⋃
j∈N
Cj y Cj son m-cubos abiertos, tenemos que existen j1, . . . , jk ∈ N tales que
B ⊆
k⋃
i=1
Cji . Sea D un m-bloque compacto tal que
k⋃
i=1
Cji ⊆ D, entonces 1B ≤ 1 kS
i=1
Cji
! ≤
k∑
i=1
1
Cji
. Se
sigue que
vol (B) =
∫
D
1
B
≤
k∑
i=1
∫
D
1
Cji
=
k∑
i=1
vol (Cji) ≤
∑
j,1
vol (Cj)
Si B es un m-bloque acotado cualquiera, entonces no es dif´ıcil ver (¡Ejercicio!) que
vol (B) = sup{ vol (A); A ⊆ B, A es un m-bloque compacto}
Luego si A ⊆ B es un m-bloque compacto, por la primera parte tenemos que vol (A) ≤
∑
j,1
vol (Cj) y
por la definicio´n de supremo, tenemos vol (B) ≤
∑
j,1
vol (Cj). ¤
Teorema 1.3.2 Sea B un m-bloque acotado. B tiene m-medida cero si y so´lo si B es degenerado.
Demostracio´n. (⇒) Sea B un m-bloque B de m-medida cero y supongamos que B es no degenerado
(Hip. Aux.). Como vol (B) > 0 existe una coleccio´n numerable {Cj}j∈N de m-cubos abiertos tales que
B ⊆
⋃
j∈N
Cj y
∞∑
j=1
vol (Cj) < vol (B), pero por el lema anterior
vol (B) ≤
∑
j,1
vol (Cj) < vol (B)
lo cual es una contradiccio´n.
(⇐) Sea B un m-bloque degenerado. Es suficiente considerar B del tipo
B = I1 × · · · × Im−1 × {a} = B′ × {a}
donde I1, . . . , Im−1 son intervalos acotados no degenerados. Dado ² > 0 para j ∈ N, consideramos
Bj = B′×
[
a− ²
′
2j
, a+
²′
2j
]
, (con ²′ > 0 dependiente de ² a elegir). Claramente {Bj}j∈N es una coleccio´n
de m-bloques cerrados tales que B ⊆
⋃
j∈N
Bj y
∞∑
j=1
vol (Bj) =
∞∑
j=1
vol (B′)
²′
2j−1
= 2 vol (B′)²′
Si tomamos ²′ <
²
2 vol (B′)
, concluimos que B tiene m-medida cero. ¤
Ana´lisis Real II 18
Corolario. Si X ⊆ Rm y p ∈ Rn entonces X × {p} ⊆ Rm+n tiene (m+ n)-medida cero.
Demostracio´n. Sea {Cj}j∈N coleccio´n de m-cubos cerrados tales que X ⊆
⋃
j∈N
Cj , luego X × {p} ⊆⋃
j∈N
(Cj×{p}). Por el teorema anterior, el cubo degenerado Cj×{p} tiene (m+n)-medida cero y de aqu´ı,
el resultado se sigue. ¤
Observaciones:
1. En la categor´ıa de los m-bloques degenerados, tener m-medida cero es equivalente a tener volumen
cero.
2. Las (m− k)-caras de los m-bloques tienen m-medida cero.
3. Si X ⊆ Rm tiene m-medida cero entonces int (X) = ∅. El rec´ıproco de este resultado es falso, en
efecto, consideremos X = [0, 1] ∩ I, es claro que int (X) = ∅, sin embargo X no tiene medida cero.
Para demostrarlo, suponga lo contrario, como se cumple
[0, 1] = ([0, 1] ∩ I) ∪ ([0, 1] ∩Q) = X ∪ ([0, 1] ∩Q)
entonces [0, 1] ser´ıa unio´n (disjunta) de dos conjuntos de medida cero, por tanto tendr´ıa medida
cero y como [0, 1] es un 1-bloque, tendr´ıa que ser degenerado, lo cual es una contradiccio´n.
Vamos a dar un ejmplo ma´s interesante de un conjunto de interior vac´ıo y que no tiene medida cero.
Ejemplo 1.3.1 (Conjunto de Cantor que no tiene medida cero) Vamos a construir inductivamente
un conjunto compacto X ⊆ [0, 1] de interior vac´ıo pero que no tiene 1-medida cero. Para ello tomemos
a ∈ ]0, 1/2[ , se cumple
∞∑
n=1
an =
1
1− a − 1 < 1,
tomemos δ = 1−
∞∑
n=1
an > 0.
Etapa 1: Del intervalo [0, 1] retiramos el intervalo abierto J1 = Ia/2(1/2) de centro 1/2 y longitud a, y
nos quedamos con [0, 1]− J1 el cual es unio´n de dos intervalos cerrados, disjuntos, cada uno de longitud
1− a
2
. Observe que vol (J1) = a.
Etapa 2: Sean b2,1, b2,2 los puntos medios de los dos intervalos de la Etapa 1. Consideramos J2,1 =
Ia2/4(b2,1) y J2,2 = Ia2/4(b2,2) y denotemos J2 = J2,1 ∪ J2,2 y nos quedamos con
[0, 1]− J1 − J2 = [0, 1]− (J1 ∪ J2)
que es la unio´n de 4 intervalos cerrados, disjuntos, cada uno de longitud
1− a− a2
22
. Si denotamos por
vol (J2) a la suma de las longitudes de los dos intervalos J2,1 y J2,2, entonces tenemos vol (J2) = a2.
Ana´lisis Real II 19
Prosiguiendo inductivamente, en la etapa k tenemos el conjunto
[0, 1]− J1 − · · · − Jk = [0, 1]−
k⋃
j=1
Jj
el cual el la unio´n de 2k intervalos cerrados, disjuntos, cada uno de longitud
1− a− a2 − · · · − ak
2k
.
Observe que
Jk = Jk,1 ∪ · · · ∪ Jk,2k−1 ,
siendo la unio´n disjunta y cada Js,i tiene longitud
ak
2k−1
, luego su suma, denotada por vol (Jk), viene
dada por vol (Jk) = ak.
Definimos X = [0, 1] −
⋃
s∈N
Js. Por construccio´n X es compacto, no puede contener ningu´n intervalo
(es decir int (X) = ∅) y adema´s, afirmo que X no tiene 1-medida cero. En efecto, en primer lugar observe
que
∞∑
s=1
vol (Js) =
∞∑
s=1
as = 1− δ.
Si X tuviera 1-medida cero (Hip. Aux.) entonces existir´ıa {Cj} familia numerable de intervalos abiertos
tal que X ⊆
⋃
j∈N
Cj y
∞∑
j=1
vol (Cj) < δ. Pero
[0, 1] = X
⋃
([0, 1]−X) ⊆
⋃
j∈N
Cj
⋃(⋃
s∈N
Js
)
Por el Lema 1.3.1:
1 = vol ([0, 1]) ≤
∞∑
j=1
vol (Cj) +
∞∑
s=1
vol (Js) < δ + (1− δ) = 1
lo cual es una contradiccio´n.
Sea X un conjunto de m-medida cero yf : X → Rm ¿Bajo que´ condiciones f(X) tiene m-medida
cero? Para responder esta interrogante, necesitamos una definicio´n.
Definicio´n 1.3.2 Sea X ⊆ Rm y f : X → Rn. Decimos que f es localmente Lipschitz en X si y so´lo si
para todo x ∈ X existe Vx ⊆ Rm vecindad abierta de x tal que la restriccio´n f
∣∣
X∩Vx : X ∩ Vx → R
n es
Lipschitz en X ∩ Vx.
Proposicio´n 1.3.3 Si X ⊆ Rm tiene m-medida cero y f : X → Rm es localmente Lipschitz en X
entonces f(X) tiene m-medida cero.
Ana´lisis Real II 20
Demostracio´n. Primeramente, consideremos el caso en que f es Lipschitz en X. Luego existe K > 0
tal que si x, y ∈ X entonces ‖f(x)− f(y)‖ ≤ K‖x− y‖.
Como X tiene m-medida cero, dado ² > 0 existe una familia numerable {Ck}k∈N de m-cubos tales que
X ⊆
∞⋃
k=1
Ck y
∞∑
k=1
vol (Ck) <
²
(
√
mK)m
. Si `k es la longitud de la arista del m-cubo Ck entonces dados
y1, y2 ∈ f(X ∩ Ck), existen x1, x2 ∈ X ∩ Ck tales que f(x1) = y1 y f(x2) = y2, luego para 1 ≤ i ≤ m
tenemos
|pii(y1)− pii(y2)| ≤ ‖y1 − y2‖ = ‖f(x1)− f(x2)‖ ≤ K‖x1 − x2‖ ≤ K
√
m`k
Se sigue que y1, y2 ∈ Dk donde Dk es un m-cubo cuya arista tiene longitud K
√
m`k, es decir f(X∩Ck) ⊆
Dk, ∀ k ∈ N, luego
f(X) = f
(
X ∩
∞⋃
k=1
Ck
)
= f
( ∞⋃
k=1
X ∩ Ck
)
=
∞⋃
k=1
f(X ∩ Ck) ⊆
∞⋃
k=1
Dk
Adema´s ∞∑
k=1
vol (Dk) =
∞∑
k=1
(
√
mK)m`mk = (
√
mK)m
( ∞∑
k=1
vol (Ck)
)
< ²
Esto prueba que f(X) tiene m-medida cero.
En el caso que f es localmente Lipschitz, dado x ∈ X existe Vx ⊆ Rm vecindad abierta de X tal que
la restriccio´n f
∣∣
X∩Vx : X ∩ Vx → R
m es Lipschitz en X ∩ Vx. Como X ⊆
⋃
x∈X
Vx, por Lindelo¨f existen
x1, x2, . . . tales que X ⊆
∞⋃
k=1
Vxk . Por la primera parte f(X ∩ Vxk) tiene m-medida cero, ∀ k ∈ N y desde
que
f(X) = f
(
X ∩
∞⋃
k=1
Vxk
)
=
∞⋃
k=1
f(X ∩ Vxk)
se sigue que f(X) tiene m-medida cero. ¤
El resultado siguiente establece que la mayor´ıa de funciones de Rm a Rm que conocemos conserva la
m-medida cero.
Corolario. Sea U ⊆ Rm abierto y f ∈ C1(U,Rm). Si X ⊆ U tiene m-medida cero entonces f(X) tiene
m-medida cero.
Demostracio´n. Es suficiente probar que f es localmente Lipschitz. Sea x ∈ X, existe un ² = ²x > 0 tal
que B²[x] ⊆ U . Denotemos
Kx = sup{‖f ′(y)‖ : y ∈ B²[x]}
Por la desigualdad del valor medio
‖f(y)− f(x)‖ ≤ Kx‖y − z‖ ∀ y, z ∈ B²[x]
es decir, f es localmente Lipschitz. ¤
Proposicio´n 1.3.4 Sea U ⊆ Rm abierto y f ∈ C1(U,Rn) donde m < n entonces f(U) tiene n-medida
cero.
Ana´lisis Real II 21
Demostracio´n. Sea W = U × Rn−m ⊆ Rn y defino
g : W → Rn
(x, y) 7→ g(x, y) = f(x)
Se sigue que g ∈ C1(U,Rn) y g(U ×{0}) = f(U). Por el corolario al Teorema 1.3.2 tenemos que U ×{0}
tiene n-medida cero luego f(U) = g(U × {0}) tiene n-medida cero. ¤
Observacio´n: Si I ⊆ R es un intervalo abierto tal que [0, 1] ⊆ I y f ∈ C1(I,Rn) entonces f([0, 1]) tiene
n-medida cero, luego int (f([0, 1])) = ∅. Se deduce que en clase C1 no existen curvas de Peano.
1.4 Caracterizacio´n de las Funciones Riemann Integrables
En la presente seccio´n, daremos condiciones necesarias y suficientes para que una funcio´n acotada f :
B → R, en donde B es un m-bloque compacto, sea Riemann integrable sobre B. Para ello, necesitamos
algunos resultados previos.
Sea X ⊆ Rm y f : X → R funcio´n acotada. Recordemos que la oscilacio´n de f en X se definio´ como
ω(f,X) = sup{|f(x)− f(y)|; x, y ∈ X}
y satisfac´ıa las siguientes propiedades:
1. Si MX(f) = sup{f(x); x ∈ X} y mX(f) = {f(x) : x ∈ X} entonces ω(f,X) =MX(f)−mX(f).
2. Si Y ⊆ X entonces ω(f, Y ) ≤ ω(f,X).
3. f ∈ R(B) si y so´lo si dado ² > 0, existe P = P² = {Bi} ∈ P(B) tal que
U(f, P )− L(f, P ) =
∑
i
ω(f ;Bi) vol (Bi) < ²
Nos proponemos definir la oscilacio´n de una funcio´n en un punto x ∈ X
Dado x ∈ X, definimos
Ωx : ]0,+∞[ → R
δ 7→ Ωx(δ) = ω(f,X ∩Bδ(x))
Esta funcio´n satisface las siguientes propiedades:
1. Ωx es acotada. En efecto, dado δ > 0 se tiene
Ωx(δ) = ω(f,X ∩Bδ(x)) ≤ ω(f,X) =MX(f)−mX(f)
2. Ωx es una funcio´n mono´tona creciente. En efecto dados δ1 < δ2 entonces
Ωx(δ1) = ω(f,X ∩Bδ1(x)) ≤ ω(f,X ∩Bδ2(x)) = Ωx(δ2).
Ana´lisis Real II 22
Como 0 es punto de acumulacio´n a derecha de ]0,+∞[ , tenemos
lim
δ→0+
Ωx(δ) = inf{Ωx(δ); δ > 0} = inf{ω(f,X ∩Bδ(x)); δ > 0}
Definicio´n 1.4.1 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una funcio´n acotada. La oscilacio´n de f en el punto x,
denotada por ω(f, x), se define como
ω(f, x) = inf{ω(f,X ∩Bδ(x)); δ > 0}
Teorema 1.4.1 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una funcio´n acotada. Se cumplen las siguientes propiedades:
1. ω(f, x) ≥ 0, ∀ x ∈ X.
2. ω(f, x0) = 0 si y so´lo si f es continua en x0.
3. Si x ∈ int (Y ) e Y ⊆ X entonces ω(f, x) ≤ ω(f, Y ). En particular, si x ∈ int (X) entonces
ω(f, x) ≤ ω(f,X).
4. Si ω(f, x0) < c entonces ∃ δ > 0 tal que ω(f, x) < c, ∀ x ∈ X ∩Bδ(x0).
5. Si X ⊆ Rm es cerrado (respectivamente compacto) entonces el conjunto {x ∈ X; ω(f, x) ≥ c} es
cerrado (respectivamente compacto), para todo c ≥ 0.
Demostracio´n. 2.) (⇒) Si ω(f, x0) = 0 entonces inf{ω(f,X ∩ Bδ(x0)); δ > 0} = 0, luego dado ² > 0
existe un δ > 0 tal que ω(f,X ∩Bδ(x0)) < ², luego |f(x)− f(y)| < ², ∀ x, y ∈ X ∩Bδ(x0). En particular
si x ∈ X y ‖x− x0‖ < δ entonces |f(x)− f(x0)| < ². Es decir, f es continua en x0.
(⇐) Dado ² > 0 existe un δ > 0 tal que si x ∈ X y ‖x − x0‖ < δ entonces |f(x) − f(x0)| < ²3 . Sean
x, y ∈ X ∩Bδ(x0) entonces
|f(x)− f(y)| ≤ |f(x)− f(x0)|+ |f(x0)− f(y)| < 2²3
Luego ω(f,X ∩Bδ(x0)) ≤ 2²3 < ² y esto prueba que ω(f, x0) = 0.
3.) Si x ∈ int (Y ) entonces ∃ δ > 0 tal que Bδ(x) ⊆ Y , luego
ω(f, x) ≤ ω(f,X ∩Bδ(x)) = ω(f,Bδ(x)) ≤ ω(f, Y ). ¤
Observacio´n: La propiedad 3.) no necesariamente se cumple si retiramos la hipo´tesis x ∈ int (Y ). En
efecto, sean X = R2, Y = ]−∞, 0]× R y f : R2 → R definida por
f(x, y) =
{
0, si x ≤ 0
1, si x > 0
Como ω(f,Bδ(0)) = sup{f(x, y); (x, y) ∈ Bδ(0)} − inf{f(x, y); (x, y) ∈ Bδ(0)} = 1, ∀ δ > 0, se cumple
ω(f, 0) = inf{ω(f,Bδ(0)); δ > 0} = 1
Ana´lisis Real II 23
Por otro lado
ω(f, Y ) = sup{f(x, y); (x, y) ∈ Y } − inf{f(x, y); (x, y) ∈ Y } = 0
De esta manera ω(f, Y ) < ω(f, 0).
Teorema 1.4.2 (Lebesgue) Sea B unm-bloque compacto, f : B → R una funcio´n acotada y denotemos
Df = {x ∈ B; f es discontinua en x}
Entonces f ∈ R(B) si y so´lo si Df tiene m-medida cero.
Demostracio´n. (⇐) Sea K = ω(f,B). Dado ² > 0, existe una coleccio´n numerable de m-cubos abiertos
{C ′j} tales que Df ⊆
∞⋃
j=1
C ′j y
∞∑
j=1
vol (C ′j) <
²
2K
.
Sea x ∈ B −Df . Afirmo que existe C ′′x m-cubo abierto tal que x ∈ C ′′x y
ω(f, C ′′x ∩B) <
²
2 vol (B)
En efecto, como f es continua en x entonces ω(f, x) = 0, luego existe un δ > 0 tal que ω(f,Bδ(x)∩B) <
²
2 vol (B)
. Tomando C ′′x un m-cubo abierto, centrado en x, tal que C
′′
x ⊆ Bδ(x), se prueba la afirmacio´n.
Observe que
B = Df ∪ (B −Df ) ⊆
 ∞⋃
j=1
C ′j
⋃ ⋃
x∈B−Df
C ′′x

Como B es compacto se tiene que
B ⊆
 r⋃
j=1
C ′j
⋃( s⋃
k=1
C ′′xk
)
Consideremos P = {Bi} ∈ P(B) tal que cumple por lo menos una de las dos alternativas siguientes:
Bi ⊆ C ′j o´ Bi ⊆ C ′′xk . Denotando por I = {i; Bi ⊆ C ′j} y J = {i; Bi ⊆ C ′′xk}, se cumple:∑
i
ω(f,Bi) vol (Bi) ≤
∑
i∈I
ω(f,Bi) vol (Bi) +
∑
i∈J
ω(f,Bi) vol (Bi)
< K
∑
i∈I
vol (Bi) +
²
2 vol (B)
∑
i∈J
vol (Bi)
< K
²
2K
+
²
2 vol (B)
vol (B) = ²
Por lo tanto f ∈ R(B).
(⇒) Dado j ∈ N, definimos
Dj =
{
x ∈ B; ω(f, x) ≥ 1
j
}
Ana´lisis Real II 24
Claramente se tiene que Df ⊆
∞⋃
j=1
Dj . Es suficiente probar que Dj tiene m-medida cero, ∀ j ∈ N.
Dados j ∈ N y ² > 0, por hipo´tesis, existe P = {Bi} ∈ P(B) tal que∑
i
ω(f,Bi) vol (Bi) <
²
j
.
Sea I = {i; Dj ∩ int (Bi) 6= ∅}. Si x ∈ Dj ∩ int (Bi) entonces 1
j
≤ ω(f, x) ≤ ω(f,Bi), luego
1
j
∑
i∈I
vol (Bi) ≤
∑
i∈I
ω(f,Bi)vol (Bi) ≤
∑
i
ω(f,Bi) vol (Bi) <
²
j
es decir ∑
i∈I
vol (Bi) < ²
Por otro lado
Dj ⊆
⋃
i∈I
(int (Bi) ∩Dj) ∪
⋃
i
(∂Bi ∩Dj) ⊆
⋃
i∈I
int (Bi) ∪ Y,
en donde Y =
⋃
i
∂Bi tiene m-medida cero. ¤
1.5 Integracio´n Iterada
Sean B1 ⊆ Rm y B2 ⊆ Rn dos bloques compactos y f : B1×B2 → R una funcio´n acotada. Dado x ∈ B1,
definimos
fx : B2 → R
y 7→ fx(y) = f(x, y)
Observe que fx es la restriccio´n de f al (m+n)-bloque degenerado {x}×B2 ¿Si f ∈ R(B1×B2) entonces
fx ∈ R(B2), ∀ x ∈ B1?
Ejemplo 1.5.1 Consideremos la funcio´n
f : [0, 1]× [0, 1] → R
(x, y) 7→ f(x, y) =
 0, si x 6= 1/21, si x = 1/2, y ∈ Q0, si x = 1/2, y ∈ I
Claramente Df = {1/2} × [0, 1]. Como Df tiene 2-medida cero, concluimos que f ∈ R([0, 1] × [0, 1]),
pero
f1/2 : [0, 1] → R
y 7→ f1/2(y) =
{
1, si y ∈ Q
0, si y ∈ I
se sigue que Df1/2 = [0, 1], luego f1/2 /∈ R([0, 1]).
Ana´lisis Real II 25
Observacio´n: Se puede probar que si f ∈ R(B1 × B2) entonces el conjunto {x ∈ B1; fx /∈ R(B2)}
tiene m-medida nula. Este resultado es parte importante del Teorema de Fubini. Un caso especial es el
siguiente:
Teorema 1.5.1 (Integracio´n Iterada) Sean B1 ⊆ Rm, B2 ⊆ Rn bloques compactos y f ∈ R(B1×B2).
Para cada x ∈ B1 denotamos
fx : B2 → R
y 7→ fx(y) = f(x, y)
Si definimos las funciones L y U como
L : B1 → R
x 7→ L(x) =
∫
B2
fx(y)dy
U : B1 → R
x 7→ U(x) =
∫
B2
fx(y)dy
entonces L,U ∈ R(B1) y adema´s∫
B1
L(x)dx =
∫
B1
(∫
B2
f(x, y)dy
)
dx =
∫
B1×B2
f
∫
B1
U(x)dx =
∫
B1
(∫
B2
f(x, y)dy
)
dx =
∫
B1×B2
f
Demostracio´n. Sean P1 =
{
B1i
} ∈ P(B1) y P2 = {B2j} ∈ P(B2) entonces P = P1×P2 = {B1i ×B2j} ∈
P(B1 ×B2). Se cumple
L(f, P ) =
∑
i,j
mi,j(f) vol (B1i ×B2j ) =
∑
i,j
mi,j(f) vol (B1i ) · vol (B2j )
=
∑
i
∑
j
mi,j(f) vol (B2j )
 vol (B1i ) (1.1)
Por otro lado, si x ∈ B1i entonces
mi,j(f) = inf{f(x, y); (x, y) ∈ B1i ×B2j } ≤ inf{fx(y); y ∈ B2j } = mj(fx)
Luego ∑
j
mi,j(f) vol (B2j ) ≤
∑
j
mj(fx) vol (B2j ) = L(fx, P2) ≤
∫
B2
fx(y)dy = L(x), ∀ x ∈ B1i
es decir
∑
j
mi,j(f) vol (B2j ) ≤ mi(L), ∀ x ∈ B1i . Reemplazando en (1.1)
L(f, P ) ≤
∑
i
mi(L) vol (B1i ) = L(L, P1) (1.2)
Ana´lisis Real II 26
Ana´logamente
U(U , P1) ≤ U(f, P ) (1.3)
De (1.2) y (1.3)
L(f, P ) ≤ L(L, P1) ≤ U(L, P1) ≤ U(U , P1) ≤ U(f, P ), ∀ P = P1 × P2 ∈ P(B1 ×B2)
Como f ∈ R(B1×B2), dado ² > 0, existe P = P² = P1×P2 ∈ P(B1×B2) tal que U(f, P )−L(f, P ) < ²,
luego existe P1 ∈ P(B1) tal que U(L, P1)−L(L, P1) < ² y esto implica que que L ∈ R(B1). Ana´logamente,
se demuestra que U ∈ R(B1).
Finalmente, usando la propiedad:
Sean A,B ⊆ R conjuntos acotados tales que, dado a ∈ A, existe b = ba ∈ B tal quwe a ≤ b, entonces
sup(A) ≤ sup(B).
En nuestro caso, para
A = {L(f, P ); P ∈ P(B1 ×B2)} y B = {L(L, P1); P1 ∈ P(B1)} ,
Por (1.2) se cumple la condicio´n anterior, luego∫
B1×B2
f =
∫
B1×B2
f = sup(A) ≤ sup(B) =
∫
B1
L(x)dx =
∫
B1
L(x)dx
Ana´logamente. se prueba que ∫
B1×B2
f ≥
∫
B1
U(x)dx,
y de aqu´ı se sigue que
∫
B1×B2
f =
∫
B1
L(x)dx =
∫
B1
U(x)dx. ¤
Observaciones:
1. Una demostracio´n ana´loga muestra que∫
B1×B2
f =
∫
B2
(∫
B1
f(x, y)dx
)
dy =
∫
B2
(∫
B1
f(x, y)dx
)
dy
2. Si f ∈ C(B1 ×B2) entonces fx ∈ R(B2), ∀ x ∈ B1, luego∫
B2
fx(y)dy =
∫
B2
fx(y) =
∫
B2
fx(y)dy
Por lo tanto ∫
B1
(∫
B2
f(x, y)dy
)
dx =
∫
B1×B2
f
Ana´logamente ∫
B2
(∫
B1
f(x, y)dx
)
dy =
∫
B1×B2
f
Ana´lisis Real II 27
3. Si B =
m∏
i=1
[ai, bi] y f ∈ C(B) entonces
∫
B
f =
∫ bn
an
(
· · ·
(∫ b1
a1
f(x1, . . . , xn)dx1
)
· · ·
)
dxn
Este resultado es u´til para calcular integrales de funciones continuas sobre m-bloques compactos.
Ejemplo 1.5.2 Sea B = [−1, 1] × [1, 4] y f : B → R definida por f(x, y) = xe√y, como f ∈ C(B), por
la observacio´n anterior:∫
B
f =
∫ 4
1
(∫ 1
−1
xe
√
ydx
)
dy =
∫ 4
1
e
√
y
(∫ 1
−1
xdx
)
dy = 0
1.6 Integrales sobre Conjuntos J-medibles
Hasta ahora so´lo sabemos integrar sobre m-bloques compactos, en la presente seccio´n vamos a ver que se
puede integrar sobre conjuntos ma´s generales.
Definicio´n 1.6.1 Sea X ⊆ Rm un conjunto acotado.
1. Decimos que X es Jordan medible o simplemente J-medible en Rm si y so´lo si existe un m-bloque
compacto B con X ⊆ int (B) tal que 1X ∈ R(B).
2. Sea X un conjunto J-medible en Rm, el volumen m-dimensional de X o simplemente volumen de
X, denotado por vol (X), se define como
vol (X) =
∫
B
1
X
en donde B es un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B).
Observaciones:
1. No es dif´ıcil probar que la definicio´n de conjunto J-medible as´ı como de su volumen no dependen
de la eleccio´n del m-bloque B con la propiedad X ⊆ int (B).
2. La parte 2 de la definicio´n anterior es una generalizacio´n del Teorema 1.2.7.
3. Denotaremos por J (Rm) a la coleccio´n de todos los subconjuntos acotados J-medibles en Rm.
Teorema 1.6.1 Sea X ⊆ Rm un conjunto acotado. X ∈ J (Rm) si y so´lo si su frontera ∂X tiene
m-medida cero.
Ana´lisis Real II 28
Demostracio´n. Sea B un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). Denotemos
D1
X
= {x ∈ B; 1X es discontinua en x}
Se sigue que D1
X
= ∂X, por lo tanto X ∈ J (Rm) si y so´lo si 1X ∈ R(B) si y so´lo si D1
X
= ∂X tiene
m-medida cero. ¤
Observaciones:
1. Como la frontera de un m-bloque acotado es unio´n (finita) de m-bloques degenerados, concluimos
que los m-bloques acotados son J-medibles en Rm.
2. Las bolas abiertas y cerradas son conjuntos J-medibles en Rm.
3. Hasta ahora so´lo sab´ıamos calcular el volumen dem-bloques acotados, la definicio´n anterior extiende
el ca´lculo del volumen a conjuntos J-medibles. Los Teoremas 1.2.7 y 1.6.1 establecen que esta es
una buena extensio´n. Ma´s au´n, si denotamos por F a la familia de todos los m-bloques compactos,
hemos extendido vol : F → [0,+∞[ a vol : J (Rm)→ [0,+∞[.
Proposicio´n 1.6.2 Sea X ⊆ Rm un conjunto acotado. X ∈ J (Rm) si y so´lo si ∂X ∈ J (Rm) y
vol (∂X) = 0.
Demostracio´n. (⇒) Como ∂X es cerrado se tiene que ∂(∂X) ⊆ ∂X, de la hipo´tesis se sigue que ∂(∂X)
tiene m-medida cero y por tanto ∂X ∈ J (Rm). Por otro lado, sea ² > 0, como ∂X tiene m-medida cero,
existe {Cj} coleccio´n numerable de m-cubos abiertos acotados tales que ∂X ⊆
⋃
j∈N
Cj y
∞∑
j=1
vol (Cj) < ².
Como ∂X es compacto, ∂X ⊆ C1 ∪ · · · ∪ Cs. Sea B un m-bloque compacto cuyo interior contenga a la
clausura de C1 ∪ · · · ∪ Cs, se cumple
vol (∂X) =
∫
B
1∂X ≤
∫
B
1C1∪···∪Cs ≤
s∑
j=1
∫
B
1Cj =
s∑
j=1
vol (Cj) < ²
Se sigue que vol (∂X) = 0.
(⇐) Sea B un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). Por hipo´tesis
0 = vol (∂X) =
∫
B
1∂X = inf {U(1∂X , P ); P ∈ P(B)}
Dado ² > 0, existe P = {Bi} ∈ P(B) tal que U(1∂X , P ) < ². Denotemos
I = {i; ∂X ∩Bi 6= ∅}
claramente ∂X ⊆
⋃
i∈I
Bi y adema´s
² >
∑
i
Mi(1∂X) vol (Bi) =
∑
i∈I
vol (Bi)
Ana´lisis Real II 29
Se sigue que ∂X tiene m-medida cero y por tanto X ∈ J (Rm). ¤
Ejercicio: Sea X ∈ J (Rm), pruebe que vol (X) = 0⇐⇒ int (X) = ∅. Pruebe que el resultado es falso
si retiramos la hipo´tesis de ser X J-medible.
Teorema 1.6.3 Si X,Y ∈ J (Rm) entonces
1. X ∪ Y , X ∩ Y , X − Y ∈ J (Rm).
2. Si X ⊆ Y entonces vol (X) ≤ vol (Y ).
3. vol (X ∪ Y ) = vol (X) + vol (Y )− vol (X ∩ Y ).
Demostracio´n. Por hipo´tesis ∂X y ∂Y tienen m-medida cero.
1. Como ∂(X∪Y ) ⊆ ∂X∪∂Y , se sigue que ∂(X∪Y ) tienem-medida cero y por lo tantoX∪Y ∈ J (Rm).
2. Ejercicio.
3. Sea B un m-bloque compacto tal que X,Y ⊆ int (B). Sabemos que 1
X∪Y +1X∩Y = 1X +1Y , luego
vol (X ∪ Y ) + vol (X ∩ Y ) =
∫
B
(1X∪Y + 1X∩Y ) =
∫
B
1X +
∫
B
1X = vol (X) + vol (Y ) ¤
A continuacio´n, definiremos la integral de una funcio´n acotadasobre un conjunto J-medible.
Sea X ∈ J (Rm) y f : X → R una funcio´n acotada, consideremos B un m-bloque compacto tal que
X ⊆ int (B). Definimos la funcio´n
1Xf = fX : B → R
x 7→ fX(x) =
{
f(x), x ∈ X
0, x ∈ B −X
Definicio´n 1.6.2 Sea X ∈ J (Rm) y f : X → R una funcio´n acotada. Decimos que f es Riemann
Integrable sobre X, lo que denotamos f ∈ R(X) si y so´lo si 1Xf = fX ∈ R(B), en donde B es un
m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). En caso afirmativo definimos∫
X
f =
∫
B
fX
Teorema 1.6.4 Sea X ∈ J (Rm), f : X → R una funcio´n acotada y denotemos
Df = {x ∈ X; f es discontinua en x}
Se cumple f ∈ R(X) si y so´lo si Df tiene m-medida cero.
Demostracio´n. En primer lugar afirmo que Df ⊆ DfX ⊆ Df ∪ ∂X. En efecto: Supongamos que
Df ∩ (Rm − DfX ) 6= ∅ (Hip. Aux.) y tomemos x ∈ Df con x /∈ DfX entonces ∃ (xk) ⊆ X tal que
lim
k→∞
xk = x y lim
k→∞
f(xk) 6= f(x). Como fX es continua en x entonces lim
k→∞
fX(xk) = fX(x), luego
lim
k→∞
f(xk) = f(x) contradiccio´n! esto prueba que x ∈ DfX . El otro contenido es ana´logo, y as´ı la
afirmacio´n esta´ probada. Como X ∈ J (Rm), ∂X tiene m- medida cero, luego f ∈ R(X) si y so´lo si
fX ∈ R(B) si y so´lo si DfX tiene m-medida cero si y so´lo si Df tiene m-medida cero. ¤
Ana´lisis Real II 30
Teorema 1.6.5 Dado X ∈ J (Rm), se cumple
1. Si f ∈ R(X) y c ∈ R entonces cf ∈ R(X) y
∫
X
cf = c
∫
X
f .
2. Si f, g ∈ R(X) entonces f + g ∈ R(X) y
∫
X
(f + g) =
∫
X
f +
∫
X
g.
3. Si f, g ∈ R(X) y f(x) ≤ g(x), ∀ x ∈ X entonces
∫
X
f ≤
∫
X
g. En particular, si m ≤ f(x) ≤ M ,
∀ x ∈ X entonces
m · vol (X) ≤
∫
X
f ≤M · vol (X)
4. Si f, g ∈ R(X) entonces max{f, g},min{f, g} ∈ R(X).
5. f ∈ R(X) si y so´lo si f+, f− ∈ R(X).
6. Si f ∈ R(X) entonces |f | ∈ R(X) y
∣∣∣∣∫
X
f
∣∣∣∣ ≤ ∫
X
|f |. En particular
∣∣∣∣∫
X
f
∣∣∣∣ ≤M(f) · vol (X), donde
M(f) = sup{|f(x)|; x ∈ X}.
7. Si f ∈ R(X) entonces f2 ∈ R(X).
8. Si f, g ∈ R(X) entonces fg ∈ R(X).
9. Si f ∈ R(X) y vol (X) = 0 entonces
∫
X
f = 0.
Demostracio´n. Sea B un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). Desde que (f + g)X = fX + gX
(¡Ejercicio!) se sigue que si f, g ∈ R(X) entonces fX , gX ∈ R(B), luego (f + g)X = fX + gX ∈ R(B), es
decir f + g ∈ R(X). Adema´s∫
X
(f + g) =
∫
B
(f + g)X =
∫
B
(fX + gX) =
∫
B
fX +
∫
B
gX =
∫
X
f +
∫
X
g
Las dema´s son ana´logas. ¤
Observacio´n: Si X ∈ J (Rm), entonces R(X) es una R-a´lgebra.
Teorema 1.6.6 (Teorema del Valor Medio para Integrales) Si X ∈ J (Rm) es conexo y f ∈ C(X)
entonces existe un x0 ∈ X tal que ∫
X
f = f(x0) · vol (X)
Demostracio´n. Si vol (X) = 0, por la parte 9 del teorema anterior, la igualdad es inmediata. Consi-
deremos el caso en que vol (X) > 0. Como f ∈ C(X) y X es conexo entonces f(X) es un intervalo cuyos
extremos lo denotamos por m y M , luego m ≤ f(x) ≤M , ∀ x ∈ X, as´ı
m · vol (X) =
∫
X
m ≤
∫
X
f ≤
∫
X
M =M · vol (X)
Ana´lisis Real II 31
Se sigue que
1
vol (X)
∫
X
f ∈ f(X) luego existe un x0 ∈ X tal que f(x0) = 1vol (X)
∫
X
f . ¤
Teorema 1.6.7 Sean X,Y ∈ J (Rm). Se cumple que f ∈ R(X ∪ Y ) si y so´lo si f ∣∣
X
∈ R(X) y
f
∣∣
Y
∈ R(Y ). En caso afirmativo ∫
X∪Y
f +
∫
X∩Y
f =
∫
X
f +
∫
Y
f
En particular, si int (X ∩ Y ) = ∅ entonces∫
X∪Y
f =
∫
X
f +
∫
Y
f
Demostracio´n. Se cumple que
D
f
∣∣
X
∪D
f
∣∣
Y
⊆ Df ⊆ D
f
∣∣
X
∪D
f
∣∣
Y
∪ ∂X ∪ ∂Y
Como X,Y ∈ J (Rm) se tiene que ∂X y ∂Y tienen m-medida cero, luego f ∈ R(X ∪ Y ) si y so´lo si Df
tiene m-medida cero si y so´lo si D
f
∣∣
X
y D
f
∣∣
Y
tienen m-medida si y so´lo si f
∣∣
X
∈ R(X) y f ∣∣
Y
∈ R(Y ).
Sea B un m-bloque compacto tal que X ∪ Y ⊆ int (B) y consideremos las funciones fX∪Y , fX∩Y :
B → R, se cumple fX∪Y + fX∩Y = fX + fY , luego∫
X∪Y
f +
∫
X∩Y
f =
∫
B
fX∪Y +
∫
B
fX∩Y =
∫
B
fX +
∫
B
fY =
∫
X
f +
∫
Y
f
Finalmente como X,Y ∈ J (Rm) e int (X ∩ Y ) = ∅ entonces por el ejercicio vol (X ∩ Y ) = 0, luego∫
X∩Y
f = 0 y por la parte 9 del Teorema 1.6.5 el resultado se sigue. ¤
Corolario 1. Si X,Y ∈ J (Rm), Y ⊆ X, f ∈ R(X) e int (X − Y ) = ∅ entonces∫
X
f =
∫
Y
f
Demostracio´n. Como X = (X − Y ) ∪ Y , (X − Y ) ∩ Y = ∅ y X − Y ∈ J (Rm) entonces∫
X
f =
∫
X−Y
f +
∫
Y
f
Adema´s como int (X − Y ) = ∅, por el ejercicio vol (X − Y ) = 0, luego∫
X
f =
∫
X−Y
f +
∫
Y
f =
∫
Y
f ¤
Corolario 2. Sean X ∈ J (Rm) y f ∈ R(X). Si U = int (X) entonces∫
X
f =
∫
U
f
Ana´lisis Real II 32
Demostracio´n. Como U = int (X) entonces ∂U ⊆ ∂X luego U ∈ J (Rm) e int (X −U) = int (∂X) = ∅.
Luego, por el Corolario 1:
∫
X
f =
∫
U
f . ¤
Observacio´n: En virtud del corolario anterior, de ahora en adelante podemos suponer que las integrales
se realizan sobre conjuntos abiertos J-medibles.
Sea X ∈ J (Rm), se puede usar el Teorema 1.6.1 para calcular
∫
X
f , puesto que, por definicio´n∫
X
f =
∫
B
fX , en donde B es un m-bloque tal que X ⊆ int (B).
Ejemplo 1.6.1 Sea X = [−1, 1] × [−1, 1] − B1(0) ∈ J (R2) y considero f : R2 → R definida por
f(x, y) = xe
√
y2+1. Como f ∈ C(R2) entonces f ∈ C(X) ⊆ R(X), nos proponemos hallar
∫
X
f , para
ello consideremos el 2-bloque B = [−2, 2]× [−2, 2] y la funcio´n
fX : B → R
(x, y) 7→ fX(x, y) =
{
f(x, y), si (x, y) ∈ X
0, si (x, y) ∈ B −X
es decir
fX(x, y) =
{
xe
√
y2+1, si − 1 ≤ x < −
√
1− y2 o´
√
1− y2 < x < 1, −1 ≤ y ≤ 1
0, (x, y) ∈ B −X
De esta manera∫
X
f =
∫
B
fX =
∫ 1
−1
[∫ −√1−y2
−1
xe
√
y2+1dx+
∫ 1
√
1−y2
xe
√
y2+1dx
]
dy = 0 ¤
Para finalizar la seccio´n, probaremos que existen abiertos acotados que no son J-medibles. En efecto,
sea X el conjunto de Cantor de medida positiva y denotamos Y = X × [0, 1]. Supongamos que Y tiene
2-medida cero (Hip. Aux.) denotemos B = [0, 1] × [0, 1] ⊇ Y , como ∂Y ⊆ Y , por la hipo´tesis auxiliar
concluimos que f = 1Y ∈ R(B). Por el teorema de la integracio´n iterada, la funcio´n
L : [0, 1] → R
x 7→ L(x) =
∫ 1
0
fx(y)dy
es Riemann integrable sobre [0, 1]. Observe que para x ∈ X tenemos fx = 1 (puesto que si y ∈ [0, 1]
entonces (x, y) ∈ Y , luego 1 = fx(y) = 1Y (x, y)). Ana´logamente, si x /∈ X entonces fx = 0. Luego
L(x) =
∫ 1
0
fx(y)dy =
{
1, si x ∈ X
0, si x /∈ X
es decir L = 1X , concluimos que 1X ∈ R([0, 1]) y por tanto X = ∂X tiene 1-medida cero lo cual es una
contradiccio´n. De esta manera Y = X × [0, 1] tiene 2-medida cero. Ahora es fa´cil construir un abierto
Ana´lisis Real II 33
de R2 cuya frontera no tiene 2-medida cero. En efecto, sea B cualquier 2-bloque abierto que contenga a
[0, 1]× [0, 1] y sea U = B−Y . Como Y es cerrado tenemos que U es abierto y como Y ⊆ ∂U (¡Ejercicio!)
deducimos que ∂U no tiene 2-medida cero.
La existencia de abiertos acotados que no sean J-medibles es mala para la teor´ıa de la integracio´n
puesto que si U es uno de tales abiertos, con la teor´ıa estudiada hasta el momento la integral
∫
U
f no
necesariamente estar´ıa definida, au´n suponiendo que f ∈ C(U).
1.7 Cambio de Variables en la Integral Mu´ltiple
Del Ana´lisis en una variable real, tenemos el siguiente resultado: Sea f ∈ C([a, b]) y g : [c, d]→ R tal que
g′ ∈ R([c, d]) y g([c, d]) ⊆ [a, b]. Entonces∫ g(d)
g(c)
f(x)dx =
∫ d
c
f(g(t))g′(t)dt
No es dif´ıcil probar que si g es inyectiva e I = ]c, d[ , entonces∫
g(I)
f =
∫
I
(f ◦ g) · |g′|.
La generalizacio´n de este resultado a integrales mu´ltiples es la siguiente:
Teorema 1.7.1 (Cambio de coordenadas) Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y g ∈ C1(U ;Rm) inyectiva
tal que g(U) sea acotado y det[Jg(x)] 6= 0, ∀ x ∈ U . Si f ∈ R(g(U)) entonces∫
g(U)
f =
∫
U
(f ◦ g) · |det Jg|.
La demostracio´n del teorema anterior, usando solo integral de Riemann,es muy complicada y sera´
pospuesta hacia el final, en donde ya tendremos a mano la integral de Lebesgue.
Se debe observar que en el Teorema de Cambio de variables, el abierto no necesariamente es J-medible.
ESto se debe al hecho que es posible definir la integral de Riemann de una funcio´n definida sobre un
abierto no necesariamente J-medible, pero para ello se requiere el manejo de particiones de la unidad.
En el ca´lculo, los cambios de variables ma´s usados son:
1. Coordenadas polares: Es la funcio´n (x, y) = g(r, θ) = (r cos θ, rsen θ), en cuyo caso se tiene∫
g(U)
f(x, y)dxdy =
∫
U
f(r cos θ, rsen θ)r drdθ.
2. Coordenadas cil´ındricas: Es la funcio´n (x, y, z) = g(r, θ, z) = (r cos θ, rsen θ, z), en cuyo caso se
tiene ∫
g(U)
f(x, y, z)dxdydz =
∫
U
f(r cos θ, rsen θ, z)r drdθdz.
Ana´lisis Real II 34
3. Coordenadas esfe´ricas: Es la funcio´n (x, y, z) = g(ρ, θ, ϕ) = (ρ cos θsenϕ, rsen θsenϕ, ρ cosϕ), en
cuyo caso se tiene∫
g(U)
f(x, y, z)dxdydz =
∫
U
f(ρ cos θsenϕ, rsen θsenϕ, ρ cosϕ)ρ2senϕdρdθdϕ.
Cap´ıtulo 2
Espacios de Medida
2.1 Limitaciones y desventajas de la Integral de Riemann
La integral de Rieman tiene muchas desventajas, tantos teo´ricas como pra´cticas.
El primer inconveniente que podemos nombrar es la existencia de conjuntos abiertos acotados que no
son J-medibles. Como hemos observado en el Cap´ıtulo anterior, si U es un conjunto abierto acotado que
no es J-medible entonces no podemos asegurar la existencia de
∫
U
f a pesar de que f ∈ C(U).
La segunda desventaja es el hecho que funciones muy discontinuas no sean integrables. Esta desventaja
consiste en que es fa´cil encontrar una funcio´n muy discontinua que coincida, salvo un conjunto de medida
cero, con una funcio´n continua y, sin embargo una y otra no son equivalentes en el sentido de la integral
de Riemann. Por ejemplo, consideremos f, g : [0, 1]→ R definidas por
f(x) =
{
1, x ∈ [0, 1] ∩Q
0, x ∈ [0, 1] ∩ I y g(x) = 0
Se tiene que f = g salvo en [0, 1] ∩ Q, el cual tiene medida cero, y sin embargo g ∈ R([0, 1]) pero
f /∈ R([0, 1]).
Un tercer inconveniente, es que necesitamos integrar funciones acotadas sobre conjuntos acotados. No
podemos integrar sobre Rm.
Un cuarto inconveniente de la integral de Riemann, y quiza´ uno de los ma´s importantes, es que ella
no se comporta bien con respecto al proceso del “paso al l´ımite”, esto significa que puede existir una
sucesio´n de funciones Riemann-integrables cuyo l´ımite puntual no lo es. Veamos ma´s detalladamente
estos conceptos.
Sea X ⊆ Rm, denotaremos por F(X;Rn) al conjunto de todas las funciones definidas en X y con
valores en Rn. Con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de un nu´mero real por una
funcio´n, el conjunto F(X;Rn) se torna un R-espacio vectorial.
Definicio´n 2.1.1 Una sucesio´n de funciones en F(X;Rn) es una funcio´n f : N → F(X;Rn) tal que a
cada nu´mero natural k le asocia una funcio´n f(k) = fk ∈ F(X;Rn), llamada el k-e´simo te´rmino de la
sucesio´n.
35
Ana´lisis Real III 36
Notacio´n. En sucesivo el s´ımbolo (fk) ⊆ F(X;Rn) significara´ que “(fk) es una sucesio´n de funciones
en F(X;Rn)”
Sea (fk) ⊆ F(X;Rn), para cada x ∈ X se tiene que fk(x) ∈ Rn, para todo k ∈ N, luego (fk(x)) es
una sucesio´n en Rn. Si la sucesio´n (fk(x)) ⊆ Rn es convergente para cada x ∈ X entonces existe un
vector (que depende de x ∈ X) f(x) ∈ Rn tal que lim
k→∞
fk(x) = f(x). De esta manera podemos definir la
funcio´n
f : X → Rn
x 7→ f(x) = lim
k→∞
fk(x)
es decir f ∈ F(X;Rn).
Definicio´n 2.1.2 Sea (fk) ⊆ F(X;Rn) y f ∈ F(X;Rn). Decimos que la sucesio´n de funciones (fk)
converge puntualmente a f , lo que escribimos fk → f si y so´lo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
1. (fk(x)) ⊆ Rn es convergente, para todo x ∈ X.
2. lim
k→∞
fk(x) = f(x), para todo x ∈ X.
Ejemplo 2.1.1 Sea X el intervalo cerrado [0, 1] y consideremos la sucesio´n (fk) ⊆ F(X;R) definida por
fk : X → R
x 7→ fk(x) = xk
Observe que
lim
k→∞
fk(x) = lim
k→∞
xk =
{
0, si 0 ≤ x < 1
1, si x = 1
Si definimos
f : [0, 1] → R
x 7→ f(x) =
{
0, si 0 ≤ x < 1
1, si x = 1
tenemos que lim
k→∞
fk(x) = f(x), para todo x ∈ X, es decir fk → f . ¤
Ejemplo 2.1.2 Sea X el intervalo cerrado [0, 1]. Como Q ∩X es numerable, podemos escribir
Q ∩X = {q1, q2, . . . , qk, . . .}.
Consideremos la sucesio´n (fk) ⊆ F(X;R) y la funcio´n f ∈ F(X;R) definidas por
fk(x) =
{
1, si x ∈ {q1, . . . , qk}
0, si x ∈ X − {q1, . . . , qk} y f(x) =
{
1, si x ∈ Q ∩X
0, si x ∈ I ∩X
Afirmo que fk → f . En efecto, sea x ∈ X. Se presentan dos casos:
Caso 1: x ∈ Q ∩X. En este caso, existe k0 ∈ N tal que x = qk0 . Luego la sucesio´n (fk(x)) ⊆ R viene
dada por
fk(x) =
{
0, si k < k0
1, si k ≥ k0
Ana´lisis Real III 37
De esta manera
lim
k→∞
fk(x) = 1 = f(x)
Caso 2: x ∈ I ∩X. En este caso fk(x) = 0, ∀ k ∈ N, luego
lim
k→∞
fk(x) = 0 = f(x)
De los dos casos anteriores, se deduce la afirmacio´n. Por otro lado, es claro que (fk) ⊆ R(X) pero
f /∈ R(X). ¤
Este mal comportamiento de la integral de Riemann con respecto al proceso del paso al l´ımite, fue
una de las razones para extender el concepto de funcio´n integrable.
Recordemos que para definir funcio´n Riemann integrable f : B → R, primero toma´bamos una par-
ticio´n del m-bloque B. La idea novedosa de Lebesgue fue la de tomar una particio´n del intervalo imagen
c = y0 < y1 < · · · < yn−1 < yn = d
y aproximar el valor de
∫
B
f mediante
n∑
j=1
yj−1 + yj
2
vol
(
f−1([yj−1, yj ])
)
Como ejemplo, vamos hallar
∫ 1
0
√
xdx por e´ste me´todo.
Para ello, observamos que el integrando f(x) =
√
x cumple f([0, 1]) = [0, 1], luego, consideramos la
particio´n (regular)
y0 = 0, y1 =
1
n
, y2 =
2
n
, . . . , yn−1 =
n− 1
n
, yn = 1 (n ∈ N)
se tiene
f−1([yj−1, yj ]) = [y2j−1, y
2
j ], ∀ 1 ≤ j ≤ n
luego
vol
(
f−1([yj−1, yj ])
)
= y2j − y2j−1 =
j2
n2
− (j − 1)
2
n2
=
2j − 1
n2
Las ´´alturas” de los recta´ngulos, ser´ıan
yj−1 + yj
2
=
2j − 1
2n
As´ı
n∑
j=1
yj−1 + yj
2
vol
(
f−1([yj−1, yj ])
)
=
n∑
j=1
2j − 1
2n
· 2j − 1
n2
=
1
2n3
n∑
j=1
(4j2 − 4j + 1)
=
1
3
(
1 +
1
n
)(
2 +
1
n
)
− 1
n
(
1 +
1
n
)
+
1
2n2
Ana´lisis Real III 38
As´ı ∫ 1
0
√
xdx = lim
n→∞
n∑
j=1
yj−1 + yj
2
vol
(
f−1([yj−1, yj ])
)
=
1
3
El cual coincide con el valor calculado usando particiones y sumas de Riemann.
Volviendo al caso general, se puede apreciar que la principal dificultad para calcular la suma
n∑
j=1
yj−1 + yj
2
vol
(
f−1([yj−1, yj ])
)
reside en el hecho de que los conjuntos f−1([yj−1, yj ]) pueden ser muy complicados y en general no se le
pueden asignar un volumen (o ma´s generalmente, una medida).
El primer paso para solucionar este problema ser´ıa detectar aquellos conjuntos a los cuales se les pueda
asignar una medida (los cuales sera´n llamados conjuntos medibles) y luego estudiar aquellas funciones
para las cuales las preima´genes de intervalos siempre sean conjuntos medibles (estas funciones sera´n
llamadas funciones medibles).
2.2 Espacios medibles
Definicio´n 2.2.1 Sea X un conjunto no vac´ıo. Una coleccio´n A de subconjuntos de X es llamada
σ-a´lgebra en X si y so´lo si satisface las siguientes propiedades:
1. X ∈ A.
2. Si A,B ∈ A entonces A−B ∈ A.
3. Si {Ak}k∈N ⊆ A entonces
∞⋃
k=1
Ak ∈ A.
Si A es una σ-a´lgebra en X entonces los elementos de A son llamados conjuntos medibles.
Decimos que el par (X,A) es un espacio medible si y so´lo si X es un conjunto no vac´ıo y A es una
σ-a´lgebra en X.
Observaciones:
1. El prefijo σ se refiere al hecho de que la condicio´n 3) de la definicio´n anterior se cumpla para todas
las uniones numerables de conjuntos de la coleccio´nA.
2. Si cambiamos la condicio´n 3) por “A,B ∈ A implica que A∪B ∈ A” entonces A es llamada a´lgebra
Booleana o simplemente a´lgebra en X.
3. Toda σ-a´lgebra es un a´lgebra, pero el rec´ıproco no necesariamente es cierto.
Ejemplo 2.2.1 Sea X un conjunto no vac´ıo. Si A = {∅, X} entonces (X,A) es un espacio medible. Por
otro lado si denotamos por P(X) al conjunto potencia de X entonces (X,P(X)) es tambie´n un espacio
medible. Concluimos que todo conjunto no vac´ıo X admite dos σ-a´lgebras triviales.
Ana´lisis Real III 39
Ejemplo 2.2.2 Si X = {a, b, c} y A = {∅, {a}, {b, c}, {a, b, c}} entonces (X,A) es un espacio medible.
Ejemplo 2.2.3 Sea X un conjunto no vac´ıo, ∅ 6= A ⊆ X y consideremos A = {∅, A,Ac, X} entonces
(X,A) es un espacio medible. Ma´s au´n, A es la ma´s pequen˜a σ-a´lgebra que contiene al subconjunto A.
Ejemplo 2.2.4 Los subconjuntos de R que son reuniones finitas de intervalos de la forma [a, b[, [a,+∞[
o´ ]−∞, b[, es un a´lgebra pero no una σ-a´lgebra de R.
Proposicio´n 2.2.1 Sea (X,A) un espacio medible. Se cumple:
1. ∅ ∈ A
2. A ∈ A entonces Ac = X −A ∈ A.
3. Si A,B ∈ A entonces A ∩B ∈ A.
4. Si A,B ∈ A entonces A∆B = (A−B) ∪ (B −A) ∈ A.
5. Si {Ak}k∈N ⊆ A entonces
∞⋂
k=1
Ak ∈ A.
Demostracio´n. 5). X − Ak ∈ A, ∀ k ∈ N, luego X −
( ∞⋂
k=1
Ak
)
=
∞⋃
k=1
(X − Ak) ∈ A. Se sigue que
∞⋂
k=1
Ak ∈ A. ¤
Observaciones:
1. Una manera equivalente de definir σ-a´lgebra en X es la siguiente:
Decimos que A es una σ-a´lgebra en X si y so´lo si satisface las siguientes propiedades:
(a) X, ∅ ∈ A.
(b) Si A ∈ A entonces Ac = X −A ∈ A.
(c) Si {Ak}k∈N ⊆ A entonces
∞⋃
k=1
Ak ∈ A.
Queda como ejercicio para el lector mostrar la equivalencia de ambas definiciones.
2. Toda σ-a´lgebra es una coleccio´n de conjuntos que es cerrada con respecto al complemento, diferencia,
uniones (finitas y numerables) e intersecciones (finitas y numerables).
Existen otras operaciones entre conjuntos que sera´n de intere´s en lo sucesivo.
Ana´lisis Real III 40
Definicio´n 2.2.2 Sea X un conjunto no vac´ıo y {Ak}k∈N una coleccio´n numerable de subconjuntos de
X.
1. El l´ımite superior y el l´ımite inferior de {Ak}, denotados respectivamente por lim sup{Ak} y
lim inf{Ak} se definen como
lim sup{Ak} =
∞⋂
k=1
 ∞⋃
j=k
Aj
 y lim inf{Ak} = ∞⋃
k=1
 ∞⋂
j=k
Aj

2. Decimos que la coleccio´n {Ak} tiene l´ımite si y so´lo si el l´ımite superior y el l´ımite inferior de
{Ak}k∈N coinciden. En este caso, denotamos por lim{Ak} al valor comu´n.
Ejemplo 2.2.5 Sea X = N y Ak = {n ∈ N; n ≥ k}, desde que Ak+1 ⊆ Ak, se cumple:
lim sup{Ak} =
∞⋂
k=1
 ∞⋃
j=k
Aj
 = ∅ y lim inf{Ak} = ∞⋃
k=1
 ∞⋂
j=k
Aj
 = ∅
Conclu´ımos que la sucesio´n de conjuntos dada tiene l´ımite y lim{Ak} = ∅. ¤
Proposicio´n 2.2.2 Sea X un conjunto no vac´ıo y {Ak}k∈N una coleccio´n numerable de subconjuntos de
X.
1. Si A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ · · · entonces la coleccio´n {Ak} tiene l´ımite y
lim{Ak} =
∞⋃
k=1
Ak
2. Si A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ · · · entonces la coleccio´n {Ak} tiene l´ımite y
lim{Ak} =
∞⋂
k=1
Ak
Demostracio´n. 1) Se cumple lim inf{Ak} =
∞⋂
k=1
 ∞⋃
j=k
Aj
 = ∞⋃
k=1
Ak.
Por otro lado, como A1 ⊆ A2 ⊂ A3 ⊆ · · ·, entonces
∞⋃
j=k
Aj =
∞⋃
j=1
Aj , luego
lim sup{Ak} =
∞⋂
k=1
 ∞⋃
j=k
Aj
 = ∞⋂
k=1
 ∞⋃
j=1
Aj
 = ∞⋃
j=1
Aj
Ana´lisis Real III 41
Conclu´ımos que la sucesio´n de conjuntos dada tiene l´ımite y lim{Ak} =
∞⋃
j=1
Aj . ¤
Corolario 1. Sea X un conjunto no vac´ıo y {Ak}k∈N una coleccio´n numerable de subconjuntos de X.
Las colecciones

∞⋃
j=k
Aj

k∈N
y

∞⋂
j=k
Aj

k∈N
tienen l´ımite y
lim

∞⋃
j=k
Aj
 = lim sup{Ak} y lim

∞⋂
j=k
Aj
 = lim inf{Ak}
Demostracio´n. Sea Bk =
∞⋃
j=k
Aj . Se sigue que B1 ⊇ B2 ⊇ B3 ⊇ · · ·. Por la proposicio´n anterior {Bk}
tiene l´ımite y
lim{Bk} =
∞⋂
k=1
Bk =
∞⋂
k=1
 ∞⋃
j=k
Aj
 = lim sup{Ak} ¤
Corolario 2. Sea (X,A) un espacio medible y {Ak}k∈N ⊆ A entonces lim sup{Ak} ∈ A, lim inf{Ak} ∈ A
y en caso que exista lim{Ak} ∈ A.
Demostracio´n. ¡Ejercicio! ¤
Proposicio´n 2.2.3 Si X es un conjunto no vac´ıo y {Ai}i∈I es una coleccio´n arbitraria de σ-a´lgebras en
X entonces
⋂
i∈I
Ai es una σ-a´lgebra de X.
Demostracio´n. ¡Ejercicio! ¤
Para finalizar la seccio´n, sea X un conjunto no vac´ıo y consideremos F una familia cualquiera de
subconjuntos de X. Vamos a probar que existe una mı´nima σ-a´lgebra de X que contiene a F . En efecto,
definamos
B = {A; A es una σ-a´lgebra de X y F ⊆ A}
Claramente B 6= ∅. Consideremos
σ(F) =
⋂
A∈B
A
De la Proposicio´n 2.2.3 se tiene que σ(F) es una σ-a´lgebra de X y F ⊆ σ(F), adema´s, si A′ es cualquier
σ-a´lgebra de X que contiene a F entonces por definicio´n A′ ∈ B, luego σ(F) ⊆ A′, por tanto σ(F) es la
mı´nima σ-a´lgebra de X que contiene a F . σ(F) se llama σ-a´lgebra de X generada por la familia F .
Si (X, τ) es un espacio topolo´gico, entonces σ(τ) es llamada σ-a´lgebra de Borel y sus elementos son
llamados boreleanos o conjuntos de Borel. En particular, todo conjunto abierto y todo conjunto cerrado
es un boreleano. Tambie´n lo esta´n las uniones numerables de conjuntos cerrados (Fσ), las intersecciones
numerables de conjuntos abiertos (Gδ) y as´ı sucesivamente. Denotaremos por B(X) al σ-a´lgebra de Borel
del espacio topolo´gico (X, τ).
Ana´lisis Real III 42
2.3 Medidas
Definicio´n 2.3.1 Sea (X,A) un espacio medible. Decimos que la funcio´n µ : A → [0,∞] es una medida
positiva o simplementemedida si y so´lo si µ es completamente aditiva, esto significa que para toda coleccio´n
numerable y disjunta dos a dos {Ak}k∈N ⊆ A se tiene µ
( ∞⋃
k=1
Ak
)
=
∞∑
k=1
µ(Ak).
Decimos que la terna (X,A, µ) es un espacio de medida si y so´lo si X es un conjunto no vac´ıo y A es
una σ-a´lgebra en X y µ : A → [0,+∞] es una medida.
Observaciones:
1. En la definicio´n anterior consideramos
∞∑
k=1
µ(Ak) ∈ [0,+∞], es decir la suma de la serie puede ser
un nu´mero real no negativo o incluso el infinito.
2. Para evitar casos triviales, haremos siempre la suposicio´n que existe A ∈ A tal que µ(A) <∞.
3. Si µ(X) <∞ decimos que µ es una medida finita.
4. Si µ(X) = 1, decimos que µ es una probabilidad sobre X.
5. Si existe una familia numerable {Xk} ⊆ A tales que X =
∞⋃
k=1
Xk y µ(Xk) < ∞ entonces decimos
que µ es una medida σ-finita.
Ejemplo 2.3.1 Sea (X,A) un espacio medible, si µ : A → [0,+∞] se define como µ(A) = 0, ∀ A ∈ A
entonces µ es una medida, la cual es llamada medida nula.
Ejemplo 2.3.2 Sea (X,A) un espacio medible, si µ : A → [0,+∞] se define como µ(∅) = 0 y µ(A) =∞,
∀ A ∈ A, A 6= ∅ entonces µ es una medida.
Ejemplo 2.3.3 Sea X un conjunto no vac´ıo y P(X) su conjunto potencia. Ya sabemos que (X,P(X))
es un espacio medible. Si definimos µ : P(X)→ [0,+∞] por
µ(A) =
{
card (A), si A es finito
∞, caso contrario
entonces (X,P(X), µ) es un espacio de medida. La medida µ es llamada medida de conteo.
Ejemplo 2.3.4 Sea (X,A) un espacio medible y fijemos un a ∈ X. Definimos δa : A → [0,+∞] como
δa(A) =
{
1, si a ∈ A
0, si a /∈ A
entonces (X,A, δa) es un espacio de medida. La medida δa es llamada medida de Dirac centrada en a.
Ana´lisis Real III 43
Ejemplo 2.3.5 Sea (X,A, µ) un espacio de medida y fijemos un E ∈ A. Consideramos µE : A → [0,+∞]
definida por µE(A) = µ(A∩E). Entonces (X,A, µE) es un espacio de medida. Ma´s au´n, si µ(E) ∈]0,∞[,
podemos definir µ
∣∣∣∣
E
: A → [0,+∞] como µ
∣∣∣∣
E
(A) =
µ(A ∩ E)
µ(E)
. Se sigue que µ
∣∣∣∣
E
es una medida, la cual
es llamada medida condicional.
Ejemplo 2.3.6 (X,A, µ) es un espacio de medida y fijemos un E ∈ A. Consideramos
AE = {E ∩A; A ∈ A}
y µE = µ
∣∣
AE : AE → [0,+∞]. Entonces (E,AE , µE) es un espacio de medida.Observacio´n: Por el momento, vamos a aceptar las siguientes reglas aritme´ticas al operar con el infinito:
1. a+∞ =∞, ∀ a ∈ R
2. ∞+∞ =∞
No esta´ definido el valor de ∞−∞
Teorema 2.3.1 Sea (X,A, µ) un espacio de medida. Se cumple:
1. µ(∅) = 0.
2. Si A1, . . . , An ∈ A son disjuntos dos a dos entonces µ
(
n⋃
k=1
Ak
)
=
n∑
k=1
µ(Ak).
3. Si A,B ∈ A y A ⊆ B entonces µ(A) ≤ µ(B).
4. Si A,B ∈ A, A ⊆ B y µ(A) <∞ entonces µ(B −A) = µ(B)− µ(A).
5. µ(A ∪B) + µ(A ∩B) = µ(A) + µ(B), ∀ A,B ∈ A
Demostracio´n. 1) Sea A ∈ A tal que µ(A) < ∞, consideramos A1 = A, A2 = A3 = · · · = ∅ entonces
{Ak} ⊆ A es una familia disjunta dos a dos y
µ(A) = µ(A ∪ ∅) = µ
( ∞⋃
k=1
Ak
)
=
∞∑
k=1
µ(Ak) = µ(A) +
∞∑
k=2
µ(∅)
Luego
∑
k,2
µ(∅) converge a cero y por tanto µ(∅) = 0.
2) Sean An+1 = An+2 = · · · = ∅, entonces {Ak} ⊆ A es una familia disjunta dos a dos y
µ
(
n⋃
k=1
Ak
)
= µ
( ∞⋃
k=1
Ak
)
=
∞∑
k=1
µ(Ak) =
n∑
k=1
µ(Ak) +
∞∑
k=n+1
µ(Ak) =
n∑
k=1
µ(Ak)
Ana´lisis Real III 44
3) Como B = A ∪ (B −A), por la parte 2) se tiene
µ(B) = µ(A ∪ (B −A)) = µ(A) + µ(B −A) ≥ µ(A)
4) De la parte anterior µ(B) = µ(A) + µ(B −A) y como µ(A) <∞ entonces µ(B −A) = µ(B)− µ(A).
5) Si µ(A∩B) =∞ entonces, por 3), µ(A) = µ(B) = µ(A∪B) =∞ y la igualdad se cumple trivialmente.
Consideremos entonces µ(A ∩B) <∞. Como se tiene la unio´n disjunta
A ∪B = [A− (A ∩B)] ∪ (A ∩B) ∪ [B − (A ∩B)]
las parte 2) y 4) implican
µ(A ∪B) = µ(A− (A ∩B)) + µ(A ∩B) + µ(B − (A ∩B))
= µ(A)− µ(A ∩B) + µ(A ∩B) + µ(B)− µ(A ∩B)
un simple despeje conduce al resultado. ¤
Teorema 2.3.2 Sea (X,A, µ) un espacio de medida y {Ak} ⊆ A entonces
µ
( ∞⋃
k=1
Ak
)
≤
∞∑
k=1
µ(Ak) (µ es completamente subaditiva)
Demostracio´n. Sea B1 = A1, B2 = A2 − A1, B3 = A3 − (A1 ∪ A2), . . . , Bk = Ak −
k−1⋃
j=1
Aj , . . . . Se
sigue que {Bk} ⊆ A es disjunta dos a dos, Bk ⊆ Ak y
∞⋃
k=1
Bk =
∞⋃
k=1
Ak, luego
µ
( ∞⋃
k=1
Ak
)
= µ
( ∞⋃
k=1
Bk
)
=
∞∑
k=1
µ(Bk) ≤
∞∑
k=1
µ(Ak) ¤
Corolario. Sea (X,A, µ) un espacio de medida y {Ak} ⊆ A tales que µ(Ak) = 0 entonces µ
( ∞⋃
k=1
Ak
)
=
0.
Teorema 2.3.3 Sea (X,A, µ) un espacio de medida y {Ak} ⊆ A, se cumplen:
1. Si A1 ⊆ A2 ⊆ · · · ⊆ Ak ⊆ · · · entonces
lim
k→∞
µ(Ak) = µ
( ∞⋃
k=1
Ak
)
= µ (lim{Ak})
Ana´lisis Real III 45
2. Si A1 ⊇ A2 ⊇ · · · ⊇ Ak ⊇ · · · y µ(A1) <∞ entonces
lim
k→∞
µ(Ak) = µ
( ∞⋂
k=1
Ak
)
= µ (lim{Ak})
Demostracio´n.
1. Consideramos B1 = A1 y Bn = An − An−1, ∀ n ≥ 2. Se sigue que {Bn} es una coleccio´n disjunta
dos a dos de conjuntos medibles.
No es dif´ıcil demostrar que se cumplen:
An =
n⋃
k=1
Bk, ∀ n ≥ 1 y
∞⋃
n=1
An =
∞⋃
k=1
Bk
luego
µ
( ∞⋃
n=1
An
)
= µ
( ∞⋃
k=1
Bk
)
=
∞∑
k=1
µ(Bk) = lim
n→∞
n∑
k=1
µ(Bk) = lim
n→∞µ
(
n⋃
k=1
Bk
)
= lim
n→∞µ(An)
2. De la hipo´tesis se sigue que {A1 −An} ⊆ A y A1 −A2 ⊆ A1 −A3 ⊆ · · ·, de la parte 1) se sigue que
lim
k→∞
µ(A1 −Ak) = µ
( ∞⋃
k=1
(A1 −Ak)
)
Por otro lado, como µ(A1) <∞ entonces µ(Ak) <∞, ∀ k ≥ 1, luego
µ(A1 −Ak) = µ(A1)− µ(Ak), ∀ k ≥ 1
Adema´s, por teor´ıa de conjuntos:
∞⋃
k=1
(A1 −Ak) = A1 −
∞⋂
k=1
Ak
Reemplazando las dos u´ltimas igualdades en la primera y teniendo en cuenta que la interseccio´n
tiene medida finita, llegamos a:
µ(A1)− lim
k→∞
µ(Ak) = lim
k→∞
[µ(A1)− µ(Ak)] = µ
(
A1 −
∞⋂
k=1
Ak
)
= µ(A1)− µ
( ∞⋂
k=1
Ak
)
de donde se sigue el resultado. ¤
Observacio´n: Sea X = {1, 2, 3, . . .} A = P(X) y µ : A → [0,∞] la medida de conteo. Si Ak =
{k, k + 1, k + 2, . . .} entonces {Ak} ⊆ A, A1 ⊇ A2 ⊇ · · · ⊇ Ak ⊇ · · ·,
∞⋂
k=1
Ak = ∅ y µ(Ak) = ∞, ∀ k ∈ N.
Esto muestra que la hipo´tesis µ(A1) es necesaria en la parte 2) del teorema anterior.
Ana´lisis Real III 46
2.4 Caracterizacio´n de una medida. Unicidad
Las σ-a´lgebras, en particular los borelianos, son familias que tienen muchos elementos y es imposible
describir todos ellos. Por ejemplo, ya hemos visto que si (X, τ) es un espacio topolo´gico, su σ-a´lgebra
de borel σ(τ) contiene no solamente a los abiertos y los cerrados, sino que tambie´n a las intersecciones
numerables de abiertos (los Gδ), las uniones numerables de cerrados (los Fδ), las uniones e intersecciones
numerables de tales conjuntos, etc.
De esta manera, verificar que dos medidas, definidas sobre una σ-a´lgebra, son iguales ser´ıa una tarea
muy dif´ıcil si es que no contamos con algunos resultados de caracterizacio´n. En esta seccio´n, estudiamos
algunos de estos resultados.
Definicio´n 2.4.1 Sea X un conjunto no vac´ıo. Una coleccio´n Λ de subconjuntos de X es llamada
λ-sistema en X si y so´lo si satisface las siguientes propiedades:
1. ∅ ∈ Λ.
2. Si {Ak}k∈N ⊆ Λ es una sucesio´n creciente, es decir A1 ⊆ A2 ⊆ · · · entonces
∞⋃
k=1
Ak ∈ Λ. (Estabilidad
por uniones numerables crecientes)
3. Si A,B ∈ Λ y A ⊆ B entonces B −A ∈ Λ. (Estabilidad por diferencia propia)
Proposicio´n 2.4.1 Sea X un conjunto no vac´ıo y F ⊆ P(X), existe un mı´nimo λ-sistema Λ(F) que
contiene a F
Demostracio´n. Definimos
B = {Λ; Λ es una λ-sistema de X y F ⊆ Λ}
Claramente P(X) ∈ B y por tanto B 6= ∅. Consideremos
Λ(F) =
⋂
Λ∈B
Λ
No es dif´ıcil demostrar que Λ(F) cumple las condiciones de la Proposicio´n. ¤
Notacio´n: Λ(F) se llama λ-sistema de X generado por la familia F .
¿Que´ relacio´n existe entre un λ-sistema y una σ-a´lgebra?
En primer lugar, observamos que toda σ-a´lgebra es un λ-sistema (¡Ejercicio!), pero el rec´ıproco no es
cierto (¡Ejercicio!). Sin embargo, asumiendo algunas condiciones adicionales, el λ-sistema se torna una
σ-a´lgebra
Proposicio´n 2.4.2 Sea X un conjunto no vac´ıo y Λ ⊆ P(X) un λ-sistema de X. Si se cumple
1. X ∈ Λ.
Ana´lisis Real III 47
2. Si A,B ∈ Λ entonces A ∩B ∈ Λ. (Estabilidad por intersecciones finitas)
Entonces Λ es una σ-a´lgebra de X.
Demostracio´n. Por i) se tiene que X ∈ Λ.
Sea A ∈ Λ entonces Ac = X −A ∈ Λ.
Antes de considerar familias numerables, primeramente veamos el caso finito. Sean A,B ∈ Λ, entonces
A ∪B = (Ac ∩Bc)c ∈ Λ
Se sigue que si A1, . . . , An ∈ Λ entonces
n⋃
k=1
Ak ∈ Λ.
Finalmente, sea {Ak}k∈N ⊆ Λ, consideremos Bn =
n⋃
k=1
Ak. Se sigue que {Bn}n∈N ⊆ Λ, B1 ⊆ B2 ⊆
B3 ⊆ . . .. Por la estabilidad de los λ-sistemas con relacio´n a uniones numerables crecientes, se tiene que
∞⋃
k=1
Ak =
∞⋃
n=1
Bn ∈ Λ
Se sigue que Λ es una σ-a´lgebra de X. ¤
Observacio´n: Una familia F ⊆ P(X) que satisface las dos condiciones siguientes
1. X ∈ F .
2. Si A,B ∈ F entonces A ∩B ∈ F . (Estabilidad por intersecciones finitas)
es llamada pi-sistema.
Teorema 2.4.3 Sea X un conjunto no vac´ıo, si F ⊆ P(X) es un pi-sistema, entonces Λ(F) = σ(F)
Demostracio´n. Como F ⊆ σ(F) y σ(F) es un λ-sistema entonces Λ(F) ⊆ σ(F).
Rec´ıprocamente, como Λ(F) es un λ-sistema tal que X ∈ F ⊆ Λ(F), por la Proposicio´n 2.4.2, para
demostrar que Λ(F) es una σ-a´lgebra, es suficiente probar que Λ(F) es estable por intersecciones finitas.
Afirmacio´n: Si F ∈ F y A ∈ Λ(F) entonces F ∩A ∈ Λ(F).
En efecto, dado F ∈ F , definimos el conjunto
ΛF = {A ∈ Λ(F); A ∩ F ∈ Λ(F)}
No es dif´ıcil probar que ΛF es un λ-sistema (¡Ejercicio!).
Si E ∈ F entonces E ∩F ∈ F ⊆ Λ(F), luego E ∈ ΛF . De esta manera F ⊆ ΛF y por la minimalidad
Λ(F) ⊆ ΛF , ∀ F ∈ F . De aqu´ı se sigue inmediatamente la Afirmacio´n.
Fijemos ahora B ∈ Λ(F) y consideremos el conjunto
ΛB = {A ∈ Λ(F); A ∩B ∈ Λ(F)}
Ana´lisis Real III 48
Se sigue que ΛB es un λ-sistema (¡Ejercicio!)
Observe que si F ∈ F , por la Afirmacio´n anterior F ∩ B ⊆ Λ(F), luego F ∈ ΛB . De esta manera
F ⊆ ΛB y por la minimalidad Λ(F) ⊆ ΛB , ∀ B ∈ Λ(F).
Finalmente, si A,B ∈ Λ(F) entonces A ∈ ΛB y por tanto A ∩B ∈ Λ(F). ¤
Corolario 1. Sea