analisis-sergio-plaza

Vista previa del material en texto

Ana´lisis en Varias Variables
Sergio Plaza S.
Contenidos
1 Topolog´ıa en Espacios Vectoriales Normados 1
1.1 Producto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Norma en Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Topolog´ıa en Espacios Vectoriales Normados . . . . . . . . 11
1.5 Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados 27
2.1 Puntos de Acumulacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Caracterizacio´n de los Conjuntos Cerrados . . . . . . . . . 38
2.3 Conjuntos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Aplicaciones Continuas 49
3.1 Continuidad Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
i
ii
4 L´ımite de Aplicaciones 81
4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5 Propiedades Ba´sicas de las Aplicaciones Continuas 97
5.1 Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6 Ca´lculo Diferencial en Espacios Euclideanos 107
6.0.1 Notaciones Ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.1 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.1.1 Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2 Casos Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2.1 Caminos Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3 Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.4 Clase de Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.5 Teoremas Fundamentales del Ca´lculo Diferencial . . . . . 141
6.5.1 Teorema de la Funcio´n Inversa . . . . . . . . . . . 148
6.5.2 Forma Local de las Submersiones . . . . . . . . . 158
6.5.3 Forma Local de las Inmersiones . . . . . . . . . . . 165
6.6 Fo´rmulas de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.7 Valores Extremos de Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . 175
6.8 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7 Superficies en Espacios Euclideanos 219
7.1 Ejemplos de Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.2 Aplicaciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
7.3 Espacio Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.3.1 Bases en TpM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
iii
7.3.2 Cambio de Base en TpM . . . . . . . . . . . . . . 257
7.3.3 Derivada de una Aplicacio´n Diferenciable entre
Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.4 Particio´n de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.5 Particio´n de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
7.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
8 Orientacio´n en superficies 295
8.1 Orientacio´n en Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . 295
8.2 Superficies Orientables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
8.3 Orientacio´n y Atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
8.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
9 Superficies con Borde 315
9.1 Cambios de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
9.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
10 Ca´lculo Integral 333
10.1 Integral de Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
10.2 Integrales Mu´ltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
10.3 Conjuntos de Medida Cero y Conjuntos de Contenido . . 340
10.4 Ca´lculo de Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
10.5 Teorema del Cambio de Variable . . . . . . . . . . . . . . 356
10.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
11 Formas Diferenciales en Superficies 385
11.1 Cambio de Variable y Formas Co–inducidas . . . . . . . . 391
11.2 Derivada Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
11.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
iv
12 Integracio´n de Formas Diferenciables 411
12.1 Integral de k–formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
12.2 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
12.2.1 Teorema de Green y Teorema de Gauss . . . . . . 424
12.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
Cap´ıtulo 1
Topolog´ıa en Espacios
Vectoriales Normados
En lo que sigue Rn denota el espacio euclidiano n–dimensional. Note-
mos que R0 = {0} . Denotamos los puntos de Rn por x = (x1, . . . , xn) ,
donde xi ∈ R (i = 1, . . . , n ). Aqu´ı, (x1, . . . , xn) = (y1, . . . , yn) significa
que xi = yi para todo i = 1, . . . , n . En Rn tenemos una estructura
natural de espacio vectorial, dada como sigue. Si x = (x1, . . . , xn) ,
y = (y1, . . . , yn) dos dos puntos de Rn y λ es un nu´mero real, defini-
mos la suma x+ y y el producto escalar λx , por
a) x+ y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) ,
b) λx = (λx1, . . . , λxn) ,
con esta estructura Rn es un espacio vectorial de dimensio´n n sobre
R . El elemento neutro para la suma es el vector 0 = (0, . . . , 0) , y el ele-
mento inverso de x = (x1, . . . , xn) es el elemento −x = (−x1, . . . ,−xn) .
Tenemos tambie´n una base destacada, E = {e1, . . . , en} , donde para
i = 1, . . . , n vectores ei son dados por ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) , con
1
2 Topolog´ıa en Espacios Vectoriales Normados
un 1 en la posicio´n i y ceros en las restantes posiciones, la cual llamare-
mos base cano´nica, en esta base cada x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn se escribe
como x = x1e1 + · · ·+ xnen =
∑n
i=1 xiei .
1.1 Producto Interno
Sea V un espacio vectorial. Un producto interno en V es una aplicacio´n
I : V × V → R que satisface:
Pi1.- I(x, y) = I(y, x) para todo x, y ∈ V ,
Pi2.- I(x+ x′, y) = I(x, y) + I(x′, y) para todo x, x′, y ∈ V ,
Pi3.- I(αx, y) = αI(x, y) = I(x, αy) para todo x, y ∈ V y todo α ∈ R ,
Pi4.- I(x, x) > 0 si x 6= 0 .
Por ejemplo, en Rn tenemos el producto interno cano´nico, el cual es
dado por I((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) =
∑n
i=1 xi yi , en este caso I se
denota simplemente por 〈 , 〉 .
Un forma natural de construir otros productos internos en Rn es
considerar una matriz A = (aij)n×n sime´trica, es decir, AT = A
(donde AT es la traspuesta de A ), positiva definida, es decir, 〈Ax, x〉 =∑n
i,j=1 aijxixj > 0 para todo x 6= 0 , en estas condiciones definimos
IA((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) =
∑n
i,j=1 xiaijxj . En general, se usa la
notacio´n (x1, . . . , xn)A(y1, . . . , yn)T para denotar el producto interno
IA .
Obsrvacio´n. Sea A = (aij)16i,j6n una matriz de orden n × n . Se
definen los menores principales Ak (1 6 k 6 n) de A como las subma-
Sergio Plaza 3
trices
Ak =

a11 · · · aik
...
. . .
...
ak1 · · · akk
 .
Entonces se tiene que A es positiva definida si det(Ak) > 0 para todo
1 6 k 6 n .
Por ejemplo, las siguiente matrices son positivas definidas,
A =
 3 8
−2 3
 y A =

2 −1 0
−1 2 −1
0 −1 2
 .
1.2 Norma en Espacios Vectoriales
Una norma en un espacio vectorial V es una aplicacio´n N : V → R
que satisface:
N1.- N(x+ y) 6 N(x) +N(y) para todo x, y ∈ V ,
N2.- N(αx) = |α|N(x) para todo x ∈ V y todo α ∈ R ,
N3.- N(x) > 0 para todox ∈ V , con x 6= 0 .
Ejemplos. En Rn tenemos las normas
1. N(x) =
√〈x, x〉 , la cual es denotada, en este caso por || · || , y
es llamada norma euclideana.
2. ||x||M = max{|x1|, . . . , |xn|} , llamada norma del ma´ximo.
3. ||x||S =
∑n
i=1 |xi| , llamada norma de la suma.
4 Topolog´ıa en Espacios Vectoriales Normados
Dado un producto interno I en V , decimos que dos vectores x, y ∈ V
son ortogonales respecto a I si I(x, y) = 0 , por ejemplo, en Rn con el
producto interno cano´nico se tiene que los vectores ei y ej de la base
cano´nica son ortogonales cuando i 6= j .
Un modo natural de obtener normas en un espacio vectorial V , dotado
de un producto interno I , es definir
NI(x) =
√
I(x, x) .
En efecto, es inmediato que NI(x) > 0 cuando x 6= 0 , y que NI(αx) =
|α|NI(x) para todo x ∈ V y todo α ∈ R . Ahora, si x, y ∈ V entonces
(NI(x+ y))2 = I(x+ y, x+ y) = (I(x, x))2 + 2I(x, y) + (I(y, y))2
para terminar la prueba, demostraremos el siguiente teorema.
Teorema 1.1 (desigualdad de Cauchy–Schwartz) Sea V un espacio
vectorial dotado producto interno I . Entonces para cada x, y ∈ V se
tiene que |I(x, y)| 6 NI(x)NI(y) . Adema´s, la igualdad vale si, so´lo si,
uno de los vectores x, y es mu´ltiplo escalar del otro.
Demostracio´n. Si x = 0 o y = 0 es resultado esta´ probado.
Supongamos que y 6= 0 . Sean α = I(x, y)/(NI(y))2 y z = x−αy . Se
tiene I(z, y) = I(x−αy, y) = I(x, y)−αI(y, y) = I(x, y)−α(NI(y))2 =
I(x, y)−I(x, y) = 0 , luego z es ortogonal a y . Ahora, como x = z+αy
(NI(x))2 = I(z + αy, z + αz)
= I(z, z) + α2I(y, y) + 2αI(z, y)
= (NI(z))2 + α2(NI(y))2 ,
de donde
(NI(x))2 > α2(NI(y))2 =
(
I(x, y)
(NI(y))2
)2
(NI(y))2 =
(I(x, y))2
(NI(y))2
,
Sergio Plaza 5
esto es, (NI(x)NI(y))2 > (I(x, y))2 , lo cual implica que |I(x, y)| 6
NI(x)NI(y) . Ahora, la igualdad se verifica si, y so´lo si, NI(z) = 0 , esto
es, si z = 0 , es decir, x = αy . Lo que completa la prueba.
Ejemplo. Un ejemplo interesante de norma viene dado por || ||p : Rn →
R definida para p > 1 por
||(x1, . . . , xn)||p = (|x1|p + · · ·+ |xn|p)1/p .
Esta es una norma en Rn , llamada norma de Minkowski. Para p = 1
corresponde a la norma de la suma anterior y para p = 2 no es ma´s que
la norma euclideana.
Los axiomas N.2 y N.3 son de verificacio´n inmediata, para demostrar
que || ||p satisface el axioma N.1, primero probaremos el siguiente
Lema 1.1 Sean p, q nu´meros reales mayores que 1 tales que 1p +
1
q =
1 . Entonces para cualquier par de nu´meros reales a y b se tiene que
|ab| 6 |a|
p
p
+
|b|q
q
.
Demostracio´n. Consideremos la funcio´n f : [0,∞[→ R definida por
f(x) = xα + αx + α , donde α ∈ ]0, 1[ . Entonces f alcanza su valor
ma´ximo en x = 1 . Tomando α = 1p y haciendo x =
|a|p
|b|q se sigue el
resultado.
Proposicio´n 1.1 (desigualdad de Ho¨lder). Sean x = (x1, . . . , xn) e
y = (y1, . . . , yn) dos vectores en Rn y sean p, q nu´meros reales mayores
que 1 , tales que 1p +
1
q = 1 . Entonces
n∑
i=1
|xiyi| 6
(
n∑
i=1
|xi|p
)1/p ( n∑
i=1
|yqi
)1/q
.
6 Topolog´ıa en Espacios Vectoriales Normados
Demostracio´n. Supongamos primero que x 6= 0 y que y 6= 0 . Ha-
gamos α = (|x1|p + · · ·+ |xn|p)1/p y β = (|y1|q + · · ·+ |yn|q)1/q . La
desigualdad a probar se escribe entonces como∣∣∣∣x1α y1β
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣x2α y2β
∣∣∣∣+ · · ·+ ∣∣∣∣xnα ynβ
∣∣∣∣ 6 1 .
A partir de esto la prueba es similar a la prueba de la desigualdad de
Cauchy–Schwartz. Los detalles quedan a cargo del lector.
Ahora probaremos la desigualdad triangular para || ||p , donde p > 1 .
Escribiendo esta´ en forma expl´ıcita, nos queda(
n∑
i=1
|xi + yi|p
)1/p
6
(
n∑
i=1
|xi|p
)1/p
+
(
n∑
i=1
|yi|p
)1/p
Para su demostracio´n, escribamos
n∑
i=1
|xi + yi|p 6
n∑
i=1
(|xi|+ |yi|)p
=
n∑
i=1
(|xi|+ |yi|)p−1 (|xi|+ |yi|)
=
n∑
i=1
(|xi|+ |yi|)p−1 |xi|+
n∑
i=1
(|xi|+ |yi|)p−1 |yi|
aplicamos ahora la desigualdad de Ho¨lder a cada una de las sumas an-
teriores del u´ltimo miembro. Para la primera suma haga ai = |xi| y
bi = (|xi| + |yi|)p−1 , y para la segunda la eleccio´n es completamente
ana´loga. Los detalles son dejados a cargo del lector.
Ejemplo. Sea M(m×n,R) el espacio vectorial de las matrices de orden
m × n con coeficientes reales. Sean N1 y N2 normas en Rm y Rn ,
Sergio Plaza 7
respectivamente. Si A ∈M(m× n,R) la escribimos como matriz filas
A =

f1
f2
...
fm

donde fi = (ai1 . . . ain) , y x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn entonces Ax =
(〈f1, x〉, . . . , 〈fm, x〉) (〈u, v〉 denota el producto interno usual en Rn ).
Usando las normas N1 y N2 definimos una N norma en M(m×n,R) ,
llamada norma asociada, como sigue
N(A) = sup
{
N1(Ax)
N2(x)
: N2(x) 6= 0
}
= sup{N1(Ax) : N2(x) = 1} .
La verificacio´n que N(A) es una norma en M(m× n,R) es fa´cil y se
deja a cargo del lector (so´lo hay que usar las propiedades del supremos
de subconjuntos de los nu´meros reales: sup(aX) = a sup(X) si a es
una constante positiva, y sup(X+Y ) = sup(X)+sup(Y ) , donde aX =
{ax : x ∈ X} y X + Y = {x+ y : x ∈ X , y ∈ Y } ).
Para el caso de matrices de orden n× n , usando la norma euclidiana
en Rn , la expresio´n de la norma N(A) , que en este caso denotamos por
||A||2 viene dada por la fo´rmula
|A||2 =
√√√√ n∑
i,j=1
a2ij
como es fa´cil de verificar desde la definicio´n. Para obtener una expresio´n
sencilla de ||A||2 recordemos que si A ∈ M(n × n,R) entonces AT
denota la matriz transpuesta de A y si A = (aij)16i,j6n entonces el
elemento (i, j) de la matriz AT es aji . Recordemos tambie´n que la
traza de A es el nu´mero traza(A) =
∑n
i=1 aii . Con las notaciones
anteriores tenemos la siguiente proposicio´n.
8 Topolog´ıa en Espacios Vectoriales Normados
Proposicio´n 1.2 Sea A ∈M(n×n,R) entonces ||A||2 =
√
traza(AAT ) .
Demostracio´n. Si A,B ∈ M(n × n,R) entonces el elemento (i, k)
de la matriz A · B es ∑nj=1 aijbjk . En particular, el elemento (i, i)
del producto A · B es ∑nj=1 aijbji , luego la traza de A · B es dada
por
∑n
i=1
∑n
j=1 aijbji . Ahora, tomando B = A
T se tiene que bji =
aij , luego traza(A · AT ) =
∑n
i=1
∑n
j=1 a
2
ij = ||A||22 , lo que completa la
prueba.
1.3 Distancia
Sea X un conjunto no vac´ıo. Una distancia en X es una aplicacio´n
d : X ×X −→ R que satisface
d1.- d(x, y) > 0 si x 6= y ,
d2.- d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ X (simetr´ıa),
d3.- d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z) para todo x, y, z ∈ X (desigualdad
triangular).
Ejemplos
1. Sea V un espacio vectorial normado, con una norma N . Defini-
mos una distancia dN en V como
dN (x, y) = N(x− y) .
En el caso en que V = Rn y N es la norma euclideana, se tiene
que
d2((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) =
√√√√ n∑
i=1
(xi − yi)2 ,
Sergio Plaza 9
la cual es llamada distancia euclideana. De modo ana´logo, se tiene
las distancias dS(x, y) = ||x− y||S =
∑n
i=1 |xi − yi| y dM (x, y) =
||x− y||M = max{|xi − yi| : i = 1, . . . , n} .
2. La distancia en M(n×n,R) por la norma || · ||2 anterior es dada
por
d(A,B) =
√
traza((A−B)(AT −BT )) .
3. Sea X un conjunto no vac´ıo. Tenemos definida la aplicacio´n d :
X ×X → R por
d(x, y) =
 1 si x 6= y0 si x = y .
Es fa´cil probar que esta es una distancia en X , por lo tanto en
cada conjunto no vac´ıo podemos definir una distancia como la de
arriba.
4. Sea C0([0, 1],R) = {f : [0, 1] → R : f es continua }. Es claro
que C0([0, 1],R) es un espacio vectorial con la suma de funciones
y el producto escalar de una funcio´n por un nu´mero real. Tambie´n
podemos definir una distancia en este conjunto por
d(f, g) =
(∫ 1
0
(f(x)− g(x))2dx
)1/2
Definicio´n 1.1 Dos funciones distancias d y d′ (me´tricas) en un con-
junto X son equivalentes si existen constantes positivas k, k′, tales que
k′d8x, y) 6 d′(x, y) 6 kd(x, y) para todo x, y ∈ X .
Para las distancias d2 , dS , y dM definidas en Rn tenemos el siguien-
te teorema.
10 Topolog´ıa en Espacios Vectoriales Normados
Teorema 1.2 Las distancias d2 , dS , y dM definidas en Rn son
equivalentes.
Demostracio´n. Sean x = (x1, . . . , xn) , y = (y1, . . . , yn) vectores en
Rn . Vamos a demostrar que d2(x, y) 6
√
ndM (x, y) 6
√
ndS(x, y) 6
nd2(x, y) , de donde se deduce directamente el teorema.
Tenemos |xi − yi| 6 max{|xj − yj | : j = 1, . . . , n} = dM (x, y) , para
todo i = 1, . . . , n , luego
(d2(x, y))2 =
n∑
i=1
(xi − yi)2 6
n∑
i=1
(dM (x, y))2 = n (dM (x, y))2 ,
luego d2(x, y) 6
√
ndM (x, y) .
Ahora, notemos que dM (x, y) = |xj−yj | para algu´n 1 6 j 6 n , luego
dM es uno de los te´rminos en la suma que define a dS(x, y) , y como
todos esos te´rminos son no negativos se tiene que dM (x, y) 6 dS(x, y) ,
luego
√
ndM (x, y) 6
√
ndS(x, y) .
Finalmente, sea wi = |xi − yi| − dS(x, y)/n . Tenemos w2i = |xi −
yi|2 − 2|xi − yi|dS(x, y)/n+ (dS(x, y))2/n2 . Tenemos entonces que
n∑
i=1
w2i =
n∑
i=1
|xi − yi|2 − 2dS(x, y)
n
n∑
i=1
|xi − yi|+ (dS(x, y))
2
n2
n∑
i=1
1
= (d2(x, y))2 − 2(dS(x, y))
2
n
+
(dS(x, y))2
n
= (d2(x, y))2 − (dS(x, y))
2
n
.
Como
∑n
i=1w
2
i > 0 , concluimos que (d2(x, y))2− (dS(x,y))
2
n > 0 , luego
(dS(x,y))
2
n 6 (d2(x, y))2 , de donde dS(x, y) 6
√
nd2(x, y) y por lo tanto
√
ndS(x, y) 6 nd2(x, y) , lo que completa la prueba.
Sergio Plaza 11
1.4 Topolog´ıa en Espacios Vectoriales Norma-
dos
A seguir introducimos las nociones ba´sicas de topolog´ıa, esto en el con-
texto de espacios vectoriales normados.
Sea V un espacio vectorial con una norma N . Dados a ∈ V y un
nu´mero real r > 0 . La bola de centro en a y radio r es el conjunto
B(a, r) = {x ∈ V : N(x− a) < r }
de modo ana´logo, tenemos la bola cerrada B[a, r] = {x ∈ V : N(x −
a) 6 r }, y la esfera S[a, r] = {x ∈ V : N(x− a) = r } .
Ejemplo. En R2 con las normas || || , || ||S , y || ||M , geome´tricamente
se tiene que las bolas unitarias son dadas por
........................................................................................................................................................
.................
..............
.............
............
...........
...........
...........
............
.............
..............
..................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
.....
...............
...............
...............
...............
...............
...............
....................................................................................................................................................................................................................................
...............
...............
...............
...............
...............
.................................................................................................................................................................................................................................
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
.....
......................................................................................................................................................................................................................
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
.....
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
...........
Observacio´n. En general, si a = (a1, . . . , an) ∈ Rn entonces con la
norma || ||M , se tiene que
B(a, r) = ]a1 − r, a1 + r[× · · ·× ]an − r, an + r[ ,
pues ||x − a||M < r si, y so´lo si, |x1 − a1| < r , . . . , |xn − an| < r . La
prueba es fa´cil y se deja a cargo del lector.
12 Topolog´ıa en Espacios Vectoriales Normados
Esta propiedad de la norma del ma´ximo la hace conveniente en relacio´n
a los productos cartesianos.
1.5 Convexidad
Sean x, y ∈ V . El segmento de cerrado de recta que une x e y es el
conjunto
[x, y] = {(1− t)x+ ty : 0 6 t 6 1}.
Definicio´n 1.2 Decimos que un subconjunto X ⊂ V es convexo si,
para cualquier par de puntos x, y ∈ X se tiene que [x, y] ⊂ X .
Ejemplos.
1. Todo subespacio vectorial de un espacio vectorial es un conjunto
convexo.
2. Todo subespacio af´ın de un espacio vectorial es convexo. Recorde-
mos que A ⊂ V es un espacio af´ın si, existe un subespacio vectorial
F ⊂ V y un elemento a ∈ V tal que A = a+F = {a+x : x ∈ F} .
3. Si W es otro espacio vectorial y E ⊂ V , F ⊂ W son conjuntos
convexos entonces E × F ⊂ V ×W es un conjunto convexo.
4. El conjunto V −{0} no es un conjunto convexo, pues dado x ∈ V ,
el segmento de recta que une x con −x contiene a 0 ∈ V , luego
[x,−x] 6⊂ V .
Teorema 1.3 Sea V un espacio vectorial normado, con norma N .
Entonces toda bola (abierta o cerrada) B ⊂ V es un conjunto convexo.
Sergio Plaza 13
Demostracio´n. Haremos la prueba para bolas abiertas, para bolas
cerradas la prueba completamente ana´loga.
Sea B(a, r) ⊂ V una bola abierta. Sean x, y ∈ B(a, r) entonces
N(x−a) < r y N(y−a) < r . Sea t ∈ [0, 1] , tenemos (1−t)x+ty−a =
(1− t)(x−a)+ t(y−a) , luego N((1− t)x+ ty−a) = N((1− t)(x−a)+
t(y−a)) 6 N((1−t)(x−a))+N(t(y−a)) = (1−t)N(x−a)+tN(y−a) <
(1− t)r + tr = r . Lo que completa la prueba.
Definicio´n 1.3 Sea X ⊂ V . Decimos que X es acotado si, existe
r > 0 tal que X ⊂ B(0, r) (es decir, para cada x ∈ X se tiene que
N(x) < r .
Nota. En la definicio´n anterior, tambie´n podemos usar bolas cerradas
en vez de bolas abierta.
Observacio´n. Si existe una bola B(a, r) tal que X ⊂ B(a, r) entonces
X es acotado.
En efecto, para todo x ∈ X se tiene que N(x − a) < r . Sea s =
r +N(a) . Entonces tenemos que N(x) = N(x − a + a) 6 N(x − a) +
N(a) < r +N(a) , luego X ⊂ B(0, s) .
Por lo anterior, podemos decir que X ⊂ V es acotado si esta´ contenido
en alguna bola bola.
Observacio´n. Como las tres normas || · || , || · ||S , y || · ||M que hemos
definido en Rn satisfacen la relacio´n ||x||M 6 ||x|| 6 ||x||S 6 n||x||M ,
se tiene que X ⊂ Rn es acotado en relacio´n a una de esas normas si, y
so´lo si, es acotado en relacio´n a cualquiera de las otras dosnormas.
Para cada i = 1, . . . , n, sean pii : Rn −→ R las aplicaciones dadas
por pii(x1, . . . , xn) = xi , estas son llamadas proyeccio´n en la i–e´sima
coordenada. Tenemos el siguiente teorema.
14 Topolog´ıa en Espacios Vectoriales Normados
Teorema 1.4 Sea X ⊂ Rn . Entonces X es acotados si, y so´lo si,
cada conjunto Xi = pii(X) ⊂ R es acotado.
Demostracio´n. Inmediata, se deja a cargo del lector.
Definicio´n 1.4 Sea A ⊂ V . Decimos que A es un conjunto abierto
si, para cada x ∈ A existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ A .
Ejemplos
1. Toda bola abierta en V es un conjunto abierto.
En efecto, sea a ∈ V y sea r > 0 . Si x ∈ B(a, r) entonces
N(x − a) < r . Sea δ = r − N(x − a) . Es claro que δ > 0 .
Dado y ∈ B(x, δ) , se tiene que N(y − a) 6 N(y − x) + N(x −
a) < δ + N(x − a) = r − N(x − a) + N(x − a) = r , es decir, si
y ∈ B(x, δ) entonces N(y − a) < r , luego y ∈ B(a, r) , por lo
tanto B(x, δ) ⊂ B(a, r) .
2. El conjunto vac´ıo, ∅ , es un conjunto abierto.
En efecto, si no, existe x ∈ ∅ (*) tal que para cada ε > 0 se tiene
que B(x, ε) no esta´ contenido en el conjunto vac´ıo. Ahora, note-
mos que (*) ya nos da una contradiccio´n, por lo tanto el conjunto
vac´ıo es abierto.
3. El espacio vectorial V es un conjunto abierto.
En efecto, dado x ∈ V basta tomar cualquier ε > 0 y se tiene
que B(x, ε) ⊂ V .
4. Sea {Aλ : λ ∈ Λ } una coleccio´n arbitraria de conjuntos abiertos
Aλ ⊂ V , entonces A = ∪λ∈ΛAλ ⊂ V es un conjunto abierto.
Sergio Plaza 15
En efecto, sea x ∈ ∪λ∈Λ entonces existe λ0 ∈ Λ tal que x ∈ Aλ0 .
Como Aλ0 es un conjunto abierto, existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂
Aλ0 ⊂ ∪λ∈ΛAλ .
5. Sean A1, A2 ⊂ V conjuntos abiertos. Entonces A1 ∩ A2 es un
conjunto abierto.
En efecto, sea x ∈ A1 ∩ A2 . Como cada Ai (i = 1, 2) es un
conjunto abierto, existen εi > 0 (i = 1, 2) tales que B(x, εi) ⊂ Ai .
Sea ε = min{ε1, ε2} entonces se tiene que B(x, ε) ⊂ A1 ∩A2 .
Es claro que esta propiedad se extiende a un nu´mero finito de
conjuntos.
En resumen, tenemos probado el siguiente teorema.
Teorema 1.5 Sea A = {A ⊂ V : A es un conjunto abierto }. En-
tonces
O1.- ∅, V ∈ A ,
O2.- si A1, A2 ∈ A entonces A1 ∩A2 ∈ A ,
O3.- si {Aλ : λ ∈ Λ} es una coleccio´n arbitraria de elementos de A ,
entonces ∪λ∈ΛAλ ∈ A .
Nota. Usamos la notacio´n O1, O2, y O3, por la simple razo´n de que O
representa la palabra open del ingle´s, la cual significa abierto.
Una coleccio´n O de subconjuntos de V que satisface las propiedades
O1, O2, y O3 del teorema, es llamada una topolog´ıa para V , y cada
elemento O ∈ O es llamado un conjunto abierto de V .
Ma´s general, si X ⊂ V . Decimos que O ⊂ X es abierto en X si,
existe un conjunto abierto A ⊂ V tal que O = X ∩ A . Las siguiente
16 Topolog´ıa en Espacios Vectoriales Normados
propiedades son fa´ciles de verificar (los detalles se dejan a cargo del
lector.)
1.- ∅ y X son conjuntos abiertos en X ,
2.- si O1, O2 ⊂ X son conjuntos abiertos en X entonces O1 ∩O2 es
un conjunto abierto en X ,
3.- si {Oα : α ∈ Γ} es una coleccio´n arbitraria de conjuntos abiertos
en X , entonces ∪α∈ΓOα es un conjunto abierto en X .
Por lo tanto, la coleccio´n O = {O ⊂ X : O es abierto en X } es
una topolog´ıa para X .
Ejemplos.
1. Sea X = R+0 = {x ∈ R : x > 0} . Entonces [0, 1[ es un conjunto
abierto en R+0 , por ejemplo [0, 1[= R
+
0 ∩ ] − 1, 1[ . Notemos que
[0, 1[ no es un conjunto abierto en R .
2. Si X ⊂ V y O ⊂ X es un conjunto abierto en V , entonces O es
abierto en X . La prueba es fa´cil y se deja al lector. Note que por
el ejemplo 1 arriba, tenemos que la rec´ıproca de esta propiedad no
es verdadera.
Definicio´n 1.5 Sea A ⊂ V . Decimos que x ∈ A es un punto interior
de A si, existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ A .
Ejemplos.
1. Todo x ∈ B(a, r) es un punto interior de B(a, r) , como fue´
probado anteriormente.
Sergio Plaza 17
2. Sea x ∈ B[a, r] tal que N(x− a) = r , entonces x no es un punto
interior de B[a, r] . Esto es claro, pues para todo ε > 0 existe
u ∈ B(x, ε) tal que u /∈ B[a, r] .
Definicio´n 1.6 El interior de un conjunto A ⊂ V e el conjunto
Int(A) = {x ∈ A : x es un punto interior de A } .
Para todo conjunto A ⊂ V se tiene que Int(A) ⊂ A .
Ejemplos.
1. Sea A = [0, 1] ⊂ R , se tiene que Int([0, 1]) = ]0, 1[ .
2. Sea A = {1/n : n > 1} ⊂ R , entonces Int(A) = ∅ .
3. Sea Q ⊂ R el conjunto de los nu´mero racionales. Entonces
Int(Q) = ∅ , pues dado q ∈ Q y ε > 0 se tiene que B(q, ε)
contiene puntos racionales y puntos irracionales. Ma´s general, se
tiene que Int(Qn) = ∅ , donde Qn = Q× · · · ×Q ⊂ Rn .
4. Int(B[a, r]) = B(a, r) .
Proposicio´n 1.3 Sea X ⊂ V entonces Int(X) es un conjunto abierto.
Demostracio´n. Si Int(X) = ∅ , no hay nada que probar.
Supongamos que Int(X) 6= ∅ . Si a ∈ Int(X) entonces existe ε > 0
tal que B(a, ε) ⊂ X . Ahora, si x ∈ B(a, ε) tomando δ = ε−N(x− a)
se tiene que δ > 0 y B(x, δ) ⊂ B(a, ε) , luego x ∈ Int(X) . Lo que
completa la prueba.
Nota. Se tiene que X ⊂ V es un conjunto abierto si, y so´lo si, X =
Int(X) .
18 Topolog´ıa en Espacios Vectoriales Normados
Ahora, si X ⊂ V es un conjunto no vac´ıo, entonces puede ocurrir so´lo
una de las siguientes alternativas:
a) a ∈ Int(X) , o
b) a ∈ Int(V −X) , o
c) toda bola abierta de centro en a y radio positivo intersecta a X
y a V −X .
Definicio´n 1.7 Sea X ⊂ V . Decimos que un punto a ∈ V es un
punto frontera de X si toda bola abierta de centro en a y radio positivo
intersecta (en forma no vac´ıa) a X y a V −X . El conjunto de puntos
fronteras de X , es denotado por
Fr(X) = {a ∈ V : a es un punto frontera de X } .
Nota. Si X ⊂ V es un conjunto abierto entonces X ∩ Fr(X) = ∅ .
Definicio´n 1.8 Sea C ⊂ V . Decimos que C es un conjunto cerrado
en V si su complemento X = V − C es un conjunto abierto en V .
Usando las propiedades de la complementacio´n de conjuntos y la
definicio´n de conjunto cerrado, se prueba (fa´cilmente) el siguiente
Teorema 1.6 Sea C = {C ⊂ V : C es un conjunto cerrado en V } .
Entonces
C1.- ∅, V ∈ C ,
C2.- si C1, C2 ∈ C entonces C1 ∪C2 ∈ C (esta propiedad se extiende a
colecciones finitas de conjuntos cerrados),
Sergio Plaza 19
C3.- si {Cγ : γ ∈ Γ} es una coleccio´n arbitraria, con Cγ ∈ C para
todo γ ∈ Γ , entonces ∩γ∈ΓCγ ∈ C .
Nota. Es claro ahora que podemos definir conjuntos cerrados en un
subconjunto X ⊂ V , y que en vez de conjuntos abierto, podemos usar
conjuntos cerrados para definir una topolog´ıa en V (respectivamente,
en X ).
1.6 Ejercicios
1. Verifique que || · || , || · ||M , y || · ||S son normas en Rn .
2. Pruebe que para todo x ∈ Rn se tiene que
||x||M 6 ||x|| 6 ||x||S 6 n ||x||M .
3. Pruebe que X ⊂ V es un conjunto abierto si, y so´lo si, X =
Int(X) .
4. Si X ⊂ V es un conjunto abierto. Pruebe que X ∩ Fr(X) = ∅ .
5. Pruebe que ||x||M 6 ||x||p 6 n1/p ||x||M para todo x ∈ Rn .
6. Pruebe que ||x||M 6 ||x|| 6 ||x||S para todo x ∈ Rn .
7. Pruebe que 〈 , 〉 : R2 × R2 → R definida por 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 =
x1y1+x1y2+x2y1+4x2y2 es un producto interno en R2 . Escriba
en forma expl´ıcita la norma inducida por este producto interno
y la funcio´n distancia asociada. Represente gra´ficamente la bola
unitaria en este caso.
20 Topolog´ıa en Espacios Vectoriales Normados
8. Pruebe que la funcio´n N(A) definida en M(m × n,R) es una
norma. Si en Rm y Rn usamos la norma euclideana, exprese la
norma N(A) es este caso.
9. Sea V un espacio con producto interno I , y sea N la norma
correspondiente. Pruebe que N(x+y) ·N(x−y) 6 N(x)2+N(y)2
y 4I(x, y) = N(x + y)2 − N(x − y)2 (identidad de polarizacio´n)
para todo x, y ∈ V .
10. Sea N una norma en un espacio vectorial V . Pruebe que existe
un producto interno I en V tal que N(v) =
√
I(v, v) para todo
v ∈ V (en este caso decimos que la norma proviene de un producto
interno) si y so´lo si se satisface los siguienteN(v + w)2 +N(v − w)2 = 2N(v)2 + 2N(w)2
para todo v, w ∈ V (identidad anterior es llamada identidad del
paralelogramo)
11. Si en Rm y Rn usamos la la norma dM . Encuentre la expresio´n
de la norma N(A) definida en M(m× n,R) en este caso.
12. Describas las distancias en M(m×n,R) inducidas por las normas
definidas anteriormente.
13. Considere el espacio vectorial V = {f : f : [0, 1]→ R f continua} ,
dotado de la norma ||f || = sup{|f(x)| : x ∈ [0, 1]} .
(a) Encuentre un par de funciones f, g ∈ V tales que ||f +g||2+
||f − g||2 6= 2||f ||2 + 2||g||2 .
(b) Sea (fn)n∈N una sucesio´n en V . Pruebe que si limn→∞ ||fn|| =
0 entonces limn→∞ fn(x) = 0 para todo x ∈ [0, 1] .
Sergio Plaza 21
(c) Describa la bola unitaria en V con la distancia inducida por
la norma anterior.
14. Pruebe que F : R2 → R definida por F (x, y) =√(x− y)2 + 3y2
es una norma en R2 . ¿Existe un producto interno I en R2 tal
que F = NI ? Describa la funcio´n distancia inducida por esta
norma.
15. Sean 〈 , 〉1 y 〈 , 〉2 productos internos en un espacio vectorial V .
Pruebe que 〈 , 〉1 + 〈 , 〉2 es tambie´n un producto interno en V .
Describa la norma norma y la distancia que induce este producto
interno.
16. Determine un producto interno I en R2 tal que I((1, 0), (0, 1)) =
2 . ¿Cua´l es la norma y la distancia inducida por este producto
interno?
17. En R3 considere la aplicacio´n 〈 , 〉 : R3 × R3 → R definida por
〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 = 2x1y1+x1y3+x3y1+x2y2+x3y3 . De-
muestre que este es un producto interno.
18. Sea X = ]0, 1[⊂ R . Pruebe que d(x, y) = |x−1 − y−1| es una
distancia en X .
19. Sea d una distancia en X . Pruebe que la funcio´n d′ : X×X → R
definida por d′(x, y) = d(x, y)/(1+d(x, y)) es una distancia en X .
20. Denote por C0([0, 1],R) el conjunto de las funciones continuas de
[0, 1] en R . Pruebe que las funciones dM y d1 definidas como
sigue:
dM (f, g) = sup{|f(t)− g(t)| : t ∈ [0, 1]}
22 Topolog´ıa en Espacios Vectoriales Normados
y
d1(f, g) =
∫ 1
o
|f(t)− g(t)|dt
son funciones distancias en C0([0, 1],R) .
21. ¿Cuales de las siguientes funciones son distancias en R ?
(a) d(x, y) = |x2 − y2| ,
(b) d(x, y) = |x3 − y3 ,
(c) d(x, y) = |x− y|2 ,
(d) d(x, y) = e−|x−y|−1 .
22. Sean di , i = 1, . . . , n , me´tricas en espacios vectoriales Vi (i =
1, . . . , n). Sobre V = V1 × · · · × Vn defina para x = (x1, . . . , xn)
e y = (y1, . . . , yn) las funciones siguientes
dS(x, y) =
n∑
i=1
di(x, y) ,
de(x, y) =
(
n∑
i=1
di(x, y)2
)1/2
,
y
dM (x, y) = max{di(x, y) : i = 1, . . . , n} .
Pruebe que dS , de , y dM son funciones distancias sobre V .
Pruebe adema´s que esas funciones distancias son equivalentes.
23. Estudie y represente gra´ficamente en R2 la bola, el disco, y la
esfera unitaria para las me´tricas d , dM , y dS .
24. Sea M(n×n,R) = {A = (aij)i,j=1,...,n aij ∈ R} el espacio vectorial
de las matrices de orden n × n con coeficientes reales. Dadas
A,B ∈ M(n × n,R) , defina 〈A,B〉 = ∑ni,j=1 aijbij . Pruebe que
Sergio Plaza 23
este es un producto interno en M(n × n,R) ¿Cua´l es la norma y
la distancia inducida por el producto interno anterior?
25. Usando el isomorfismo natural que existe entre los espacios vecto-
riales L(Rn,Rn) = {L : Rn → Rn : L lineal} y M(n×n,R) in-
duzca un producto interno en L(Rn,Rn) . Describa expl´ıcitamente
la norma y la distancia inducida por esta norma. Adema´s, describa
la bola unitaria en este caso.
26. En M(n × n,R) para A,B ∈ M(n × n,R) , defina 〈A,B〉 =
traza(ABT ) , donde BT es la matriz transpuesta de B . Pruebe
que este es un producto interno en M(n×n,R) . ¿Cua´l es la norma
y la distancia inducida por el producto interno anterior?
27. Pruebe que H = {(x1, . . . , xn) : xn > α} es un subconjunto
abierto de Rn . Calcule ∂H .
28. Sea A ⊂ Rn y B(A : r) la union de las bolas de centro a ∈ A
y radio r . Probar que si A es convexo tambie´n lo es B(A; r) .
¿Sera´ cierto para la conexidad?.
29. Denotemos por S(a; r) = {z ∈ Rn : ||z − a|| = r} la esfera de
centro a y radio r . Sean x ∈ S(a; r) y r > 0 dados. Probar que
existen y ∈ B(a; r), z /∈ B(a; r) tal que ||y−x|| < r y ||z−x|| < r .
30. ¿Cua´l es la frontera de la esfera S(a; r) en Rn?
31. Probar que la frontera de la bola abierta B(a; r) es la esfera
S(a; r) , esfera de centro en a, y radio r > 0 .
32. Sea A ⊂ Rn . Probar que A es cerrado si y so´lo si A = A′ .
24 Topolog´ıa en Espacios Vectoriales Normados
33. Probar que Int(A) , el interior de un conjunto A , es siempre un
conjunto abierto.
34. Calcule el producto interno asociado a las matrices positivas definidas
siguiente
A =
 3 8
−2 3
 y A =

2 −1 0
−1 2 −1
0 −1 2

Calcule la norma asociada a el producto interno definido para cada
caso por esas matrices.
35. Probar que todo conjunto cerrado contiene su frontera.
36. Construya dos me´tricas que no sean equivalentes en Rn.
37. Grafique en R2 y R3 la bola unitaria centrada en el origen para
dos me´tricas dp distintas.
38. Pruebe las siguientes relaciones:
(a) Int(Int(A)) = Int(A) ,
(b) Int(A) = Rn − (Rn −A) ,
(c) Int(Rn −A) = Rn −A .
39. Sea A ∈M(n× n,R) . Decimos que A es ortogonal si AAT = I ,
donde I denota la matriz identidad n × n . Sea O(n) = {A ∈
M(n× n,R) : AAT = I} el conjunto de las matrices ortogonales
y sea SO(n) = {A ∈ O(n) : det(A) = 1} . Pruebe que O(2)
consiste de todas las matrices de rotacio´n y de refleccio´n:
rotθ =
 cos(θ) − sen(θ)
sen(θ) cos(θ)

Sergio Plaza 25
y
refθ =
 cos(θ) sen(θ)
sen(θ) − cos(θ)

y que SO(2) consiste de todas las matrices de rotacio´n.
Finalmente, pruebe que SO(3) consiste de todas las matrices de
rotacio´n alrededor de todos los posibles ejes de rotacio´n pasando
a trave´s del origen en R3 .
26 Topolog´ıa en Espacios Vectoriales Normados
Cap´ıtulo 2
Sucesiones en Espacios
Vectoriales Normados
Una sucesio´n en un conjunto no vac´ıo X es una funcio´n x : N → X.
Es usual denotar el valor x(k) de la sucesio´n x en el punto k ∈ N
por xk , es decir, x(k) = xk , aqu´ı seguimos la tradicio´n y adoptamos
esta notacio´n. El valor xk es llamado el k–e´simo te´rmino de la sucesio´n
x . Otra notacio´n usual, que tambie´n adoptamos es x = (xk)k∈N , o
simplemente x = (xk) , para indicar la sucesio´n x .
Sea x = (xk)k∈N una sucesio´n en X . Una subsusecio´n de (xk)k∈N
es la restriccio´n de x a un subconjunto infinito N′ ⊂ N , donde N′ =
{k1, k2, . . . , kn, . . .} y su elementos satisfacen k1 < k2 < · · · < kn < · · · .
Usaremos la notacio´n N′ = {k1 < k2 < · · · < kn < · · ·} .
La imagen de una sucesio´n x = (xk)k∈N en X , la denotaremos por
x(N) = {xk}k∈N . (No confundir la sucesio´n x = (xk)k∈N , la cual es una
funcio´n, con su conjunto imagen o conjunto de valores {xk}k∈N ⊂ X ).
En lo que sigue V denota un espacio vectorial normado dotado con
una norma N .
27
28 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
Definicio´n 2.1 Decimos que una sucesio´n x : N→ V es acotada si el
conjunto de valores {xk}k∈N es acotado, es decir, existe r > 0 tal que
N(xk) 6 r para todo k ∈ N .
Observacio´n. En Rn , una sucesio´n x = (xk)k∈N equivale a n suce-
siones de nu´meros reales.
En efecto, para cada k ∈ N tenemos que x(k) = (xk1, xk2, . . . , xkn) ,
donde xki = pii(xk) y pii : Rn → R es la aplicacio´n lineal proyeccio´n
en la i–e´sima coordenada, dada por pii(v1, . . . , vn) = vi . Las suce-
siones (xki)k∈N (i = 1, . . . , n) son llamadas sucesiones coordenadas de
la sucesio´n (xk)k∈N . Tenemos que una sucesio´n es acotada si, y so´lo si,
cada una se sus sucesiones coordenadas es acotada en R .
Ahora definiremos para sucesiones uno de los conceptos ma´s impor-
tantes en Ana´lisis, no referimos la concepto de l´ımite.
Definicio´n 2.2 Sea x = (xk)k∈N una sucesio´n en V . Decimos que
(xk)k∈Nes convergente a un punto a ∈ V si para cada ε > 0 dado,
existe k0 ∈ N , tal que k > k0 implica N(xk − a) < ε , es decir, para
todo k > k0 se tiene que xk ∈ B(a, ε) . En este caso, decimos que a es
el l´ımite de la sucesio´n (xk)k∈N , y denotamos esto por a = lim
k→∞
xk .
Observaciones
1. Desde la definicio´n de convergencia de sucesiones se tiene que,
lim
k→∞
xk = a si, y so´lo si, lim
k→∞
N(xk − a) = 0 .
2. La definicio´n de convergencia de sucesiones hace uso de una norma
fijada en V .
3. Desde la observacio´n anterior, en Rn tenemos que una sucesio´n
x = (xk)k∈N equivale a n sucesiones de nu´meros reales, pues para
Sergio Plaza 29
cada k ∈ N tenemos que x(k) = (xk1, xk2, . . . , xkn) , donde xki =
pii(xk) y pii : Rn → R es la aplicacio´n lineal proyeccio´n en la i–
e´sima coordenada. Luego, la sucesio´n x = (xk)k∈N es convergente
si y so´lo si las sucesiones (xki)k∈N (i = 1, . . . , n) son convergentes,
y por lo tanto, podemos aplicar todos los criterios que conocemos
de ana´lisis en una variable para estudiar la convergencia de las
sucesiones (xki)k∈N (i = 1, . . . , n)
Proposicio´n 2.1 Sea (xk)k∈N una sucesio´n convergente en V . En-
tonces {xk : k ∈ N } es acotado.
Demostracio´n. Sea a = lim
k→∞
xk . Entonces existe k0 ∈ N tal que para
todo k > k0 , se tiene que xk ∈ B(a, 1) . Como el conjunto {xk : 1 6
k < k0} es finito, se tiene que M = max{N(xk − a) : 1 6 k < k0 }
es finito, por lo tanto {xk : a 6 k < k0} ⊂ B(0,M) . Ahora, sea
c = max{M, ε} , se tiene que {xk : k ∈ N} ⊂ B(a, c) . Lo que completa
la prueba.
Observacio´n. La rec´ıproca de la proposicio´n anterior no es verdadera,
pues tomando la sucesio´n (xk)k∈N en R , dada por xk = (−1)k se tiene
que |xk| 6 1 , pero ella no es convergente.
Proposicio´n 2.2 Si (xk)k∈N es una sucesio´n convergente en V . En-
tonces toda subsucesio´n (xki)i∈N de (xk)k∈N es convergente. Adema´s,
si lim
k→∞
xk = b entonces lim
i→∞
xki = b .
Demostracio´n. Sea b = lim
k→∞
xk , entonces dado ε > 0 existe k0 ∈ N
tal que k > k0 implica xk ∈ B(b, ε) . Como N′ = {k1 < k2 < · · · <
kj < · · ·} ⊂ N , se sigue que existe un ı´ndice, digamos j0 ∈ N tal que
kj0 > k0 . Luego, kj > k0 para todo j > j0 , y por lo tanto xkj ∈ B(b, ε)
30 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
para todo j > j0 , es decir, (xkj )kj∈N′ es convergente, y lim
kj→∞
xkj = b ,
y la prueba esta´ completa.
Proposicio´n 2.3 Sea (xk)k∈N una sucesio´n en V . Si (xk)k∈N es
convergente entonces su l´ımite es u´nico.
Demostracio´n. Supongamos que (xk)k∈N es convergente y que posee
dos l´ımites, digamos a y b . Dado ε > 0 , existen k1, k2 ∈ N tales que
si k > k1 entonces N(xk−a) < ε y si k > k2 entonces N(xk− b) < ε .
Tenemos N(a − b) 6 N(a − xk) + N(xk − b) , luego tomando k0 =
max{k1, k2} se tiene que si k > k0 entonces N(a − b) 6 2ε . Como
ε > 0 es arbitrario se sigue que N(a − b) = 0 , de donde a = b , y la
prueba esta´ completa.
Definicio´n 2.3 Decimos que dos normas N1 y N2 en V son equiv-
alente si, existen constantes C1 > 0 y C2 > 0 tales que
C1N1(x) 6 N2(x) 6 C2N1(x) , para todo x ∈ V .
Observacio´n. Desde la definicio´n de convergencia de sucesiones, se
tiene que si N1 y N2 son dos normas equivalentes en V entonces una
sucesio´n es convergente respecto de la norma N1 si, y so´lo si, es conver-
gente respecto a N2 .
Proposicio´n 2.4 Sea V un espacio vectorial con producto interno
I . Sean (xk)k∈N e (yk)k∈N sucesiones en V , y sea (αk)k∈N una
sucesio´n de nu´meros reales. Si existen a = lim
k→∞
xk , b = lim
k→∞
yk , y
α = lim
k→∞
αk entonces las sucesiones (sk)k∈N , (tk)k∈N , (uk)k∈N , y
(wk)k∈N , definidas por sk = xk + yk , tk = αkxk , uk = I(xk, yk) ,
y wk = NI(xk) son convergentes. Adema´s,
Sergio Plaza 31
a) lim
k→∞
xk + yk = a+ b ,
b) lim
k→∞
αkxk = αa ,
c) lim
k→∞
I(xk, yk) = I(a, b) ,
d) lim
k→∞
N(xk) = N(a) .
Demostracio´n. Sea ε > 0 dado. Entonces existe k0 ∈ N tal que
N(xk − a) < ε , N(yk − b) < ε , y |αk − α| < ε para todo k > k0 .
a) Se tiene que N((xk+ yk)− (a+ b)) 6 N(xk− a)+N(yk− b) . Luego,
si k > k0 entonces N((xk + yk) − (a + b)) 6 2ε , por lo tanto (sk)k∈N
es convergente y lim
k→∞
xk + yk = a+ b .
b) Se tiene que N(αkxk−αa) = N(αkxk−αka+αka−αa) 6 |αk|N(xk−
a) + |αk − α|N(a) . Sea M > 0 tal que |αk| 6 M para todo k ∈ N .
Ahora, si k > k0 entonces N(αkxk−αa) < Mε+εN(a) = (M+N(a))ε ,
de donde (αkxk)k∈N es convergente y lim
k→∞
αkxk = αa .
c) Para mostrar esta parte, vemos que desde la desigualdad de Cauchy–
Schwartz, tenemos que |I(x, y)| 6 NI(x)NI(y) . Ahora, |I(xk, yk) −
I(a, b)| = |I(xk, yk) − I(xk, b) + I(xk, b) − I(a, b)| = |I(xk, yk − b) +
I(xk − a, b)| 6 NI(xk)NI(yk − b) + NI(xk − a)NI(b) . Sea M > 0
tal que NI(xk) 6 M para todo k ∈ N . Luego, si k > k0 entonces
|I(xk, yk)− I(a, b)| 6 Mε+ εNI(b) = (M +NI(b))ε , de donde se sigue
el resultado.
d) Se tiene, por definicio´n, que NI(x) =
√
I(x, x) . Luego, NI(xk) =√
I(xk, xk) y como (I(xk, xk))k∈N es una sucesio´n convergente de nu´me-
ros reales no negativos, lim
k→∞
√
I(xk, xk) =
√
lim
k→∞
I(xk, xk) =
√
I(a, a) =
NI(a) , como quer´ıamos probar.
32 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
Nota. La existencia de lim
k→∞
xk + yk no implica la existencia de los
l´ımites lim
k→∞
xk y lim
k→∞
yk . Por ejemplo consideremos las sucesiones
(xk)k∈N e (yk)k∈N , cuyos te´rminos k–e´simos son xk = (−1)k e yk =
(−1)k+1 . Es claro que ninguna de ellas tiene l´ımite, pero xk + yk =
0 para todo k ∈ N . Observaciones ana´logas se aplican a las otras
sucesiones de la proposicio´n anterior. La construccio´n de ejemplos se
deja a cargo del lector.
Teorema 2.1 (Bolzano–Weierstrass) Toda sucesio´n acotada en Rn
posee una subsucesio´n convergente.
Demostracio´n. Sea (xk)k∈N una sucesio´n acotada en Rn , y sean
(xki)k∈N (i = 1, . . . , n) las sucesiones coordenadas de (xk)k∈N . Como
(xk)k∈N es acotada, se tiene que cada sucesio´n coordenada es acotada.
Ahora, como el Teorema de Bolzano–Weierstrass es va´lido para suce-
siones de nu´meros reales, se tiene que (xk1)k∈N posee una subsucesio´n
convergente, es decir, existe un conjunto N1 ⊂ N infinito y un nu´mero
real a1 tal que lim
k∈N1
xk1 = a1 (aqu´ı, la notacio´n lim
k∈N1
xk1 significa sim-
plemente el l´ımite de la subsucesio´n (xk1)k∈N1 ). Ahora, como (xk2)k∈N
es acotada, existen un conjunto infinito N2 ⊂ N1 y un nu´mero real
a2 tal que lim
k∈N2
xk2 = a2 . Repitiendo este argumento, encontramos
conjuntos infinitos Nn ⊂ Nn−1 ⊂ · · · ⊂ N2 ⊂ N1 ⊂ N y nu´meros
reales a1, . . . , an tales que lim
k∈Nj
xkj = aj para j = 1, . . . , n . Sea
a = (a1, . . . , an) . Entonces lim
k∈Nn
xk = a , como quer´ıamos probar.
Definicio´n 2.4 Sea (xk)k∈N una sucesio´n en V . Decimos que un
punto a ∈ V es un punto de adherencia de {xk : k ∈ N } si, existe
una subsucesio´n convergente (xkj )j∈N de (xk)k∈N con a = lim→∞xkj .
Sergio Plaza 33
Notas.
1. El Teorema de Bolzano–Weierstrass dice que el conjunto de puntos
de adherencia de una sucesio´n acotada en Rn es no vac´ıo.
2. Sea (xk)k∈N una sucesio´n en V . Si (xk)k∈N es convergente en-
tonces tiene un u´nico punto de adherencia, y este es lim
k→∞
xk .
Proposicio´n 2.5 Sea (xk)k∈N una sucesio´n en V . Entonces a ∈ V
es un punto de adherencia de (xk)k∈N si, y so´lo si, para cada ε > 0
dado, la bola B(a, ε) contiene elementos de {xk : k ∈ N } con ı´ndices
arbitrariamente grandes.
Demostracio´n. Si a ∈ V es un punto de adherencia de (xk)k∈N
entonces existe una subsucesio´n (xkj )j∈N de (xk)k∈N con a = lim
j→∞
xkj ,
de donde para cada ε > 0 dado, existe j0 ∈ N tal que j > j0 implica
xkj ∈ B(a, ε) .
Rec´ıprocamente, existe k1 ∈ N tal que N(xk1−a) < 1 ; existe k2 > k1
tal que N(xk2−a) < 1/2 , y as´ı sucesivamente, existe kj > kj−1 tal queN(xkj−a) < 1/j . Luego, la subsucesio´n (xkj )j∈N de (xk)k∈N , satisface
lim
j→∞
xkj = a . Esto completa la prueba.
De lo anterior, tenemos el siguiente teorema.
Teorema 2.2 Sea (xk)k∈N una sucesio´n acotada en Rn . Entonces
(xk)k∈N es convergente si, y so´lo si, tiene un u´nico punto de adherencia.
Demostracio´n. Si la sucesio´n es convergente entonces ella tiene un
u´nico punto de adherencia.
Rec´ıprocamente, sea a ∈ Rn el u´nico punto de adherencia de (xk)k∈N .
Afirmamos que a = lim
k→∞
xk .
34 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
Si no, entonces existe ε > 0 tal que el conjunto N1 = {k ∈ N :
xk /∈ B(a, ε) } es infinito. Ahora, como la sucesio´n (xk)k∈N es aco-
tada, se sigue que la sucesio´n (xk)k∈N1 tambie´n es acotada, luego por el
Teorema de Bolzano–Weierstrass ella posee una subsucesio´n (xk)k∈N2
convergente (N2 ⊂ N1 infinito). Sea b = lim
k∈N2
xk .
Como para k ∈ N2 se tiene que N(xk−a) > ε se sigue que N(b−a) >
ε . Luego, b 6= a , por lo tanto (xk)k∈N tiene dos puntos distintos de
adherencia. Esto es una contradiccio´n, y la prueba del teorema esta´
completa.
Definicio´n 2.5 Sea (xk)k∈N una sucesio´n en V . Decimos que (xk)k∈N
es una sucesio´n de Cauchy si, para cada ε > 0 existe k0 ∈ N tal que si
r, ` > k0 entonces N(xr − x`) < ε .
Teorema 2.3 Toda sucesio´n convergente es de Cauchy.
Demostracio´n. Sea (xk)k∈N una sucesio´n convergente en V , y sea
a = lim
k→∞
xk . Entonces dado ε > 0 existen k1, k2 ∈ N tales que N(xk−
a) < ε/2 para k > k1 y N(xk − a) < ε/2 para k > k2 . Sea k0 =
max{k1, k2} . Si r, ` > k0 entonces N(xr−x`) 6 N(xr−a)+N(x`−a) <
ε/2 + ε/2 = ε .
Nota. Si (xk)k∈N es una sucesio´n de Cauchy en V entonces no nece-
sariamente ella es convergente, por ejemplo considere la sucesio´n de
aproximaciones decimales con un, dos, tres, ..., d´ıgitos a
√
2 . Esta
es una sucesio´n de nu´meros racionales, la cual es de Cauchy, pero no
convergente en Q .
Definicio´n 2.6 Decimos que un espacio vectorial normado es completo
si cada sucesio´n de Cauchy en V es convergente.
Sergio Plaza 35
Teorema 2.4 (completitud de Rn ) El espacio vectorial normado Rn
es completo.
Demostracio´n. Sea (xk)k∈N una sucesio´n de Cauchy en Rn , entonces
sus sucesiones coordenadas (xki)k∈N (i = 1, . . . , n) son sucesiones de
Cauchy en R . Ahora, como R es completo, se tiene que existen nu´meros
reales a1, . . . , an tales que lim
k→∞
xki = ai para i = 1, . . . , n . Sea a =
(a1, . . . , an) ∈ Rn . Es claro que lim
k→∞
xk = a . Lo que completa la
prueba.
2.1 Puntos de Acumulacio´n
Sea V un espacio vectorial normado con una norma N fijada.
Definicio´n 2.7 Sea X ⊂ V . Decimos que a ∈ V es un punto de
acumulacio´n de X si toda bola abierta de centro en a contiene puntos
de X diferentes de a , es decir, para todo ε > 0 dado, existe x ∈ X ,
con x 6= a tal que 0 < N(x− a) < ε .
Ejemplos.
1. Sea X = B(a, r) entonces todo punto de B[a, r] es punto de
acumulacio´n de B(a, r) .
2. Sea X = {1/n : n ∈ N } ⊂ R . El u´nico punto de acumulacio´n de
X es 0.
En efecto, es claro que ningu´n punto 1/n de X es punto de
acumulacio´n de X , pues tomando ε = 12 | 1n+1 − 1n | se tiene que
B( 1n , ε) ∩ X = { 1n} . Por otra parte, para cada ε > 0 se tiene
que B(0, ε) contiene infinitos puntos, pues por la Propiedad Ar-
quimedeana de los nu´meros reales, existe nε ∈ N tal que nε ε > 1 ,
36 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
es decir, 1nε < ε , y por lo tanto todo m ∈ N con m > nε , satisface
1
m < ε , luego B(0, ε) ∩X = { 1n : n > nε } .
El conjunto de puntos de acumulacio´n de un conjunto X ⊂ V se
denota por X ′ , y es llamado conjunto derivado de X .
Proposicio´n 2.6 Sean X ⊂ V y a ∈ V . Entonces las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
1) a es un punto de acumulacio´n de X ,
2) existe una sucesio´n (xk)k∈N de puntos de X , con lim
k→∞
xk = a y
xk 6= a para todo k ∈ N ,
3) toda bola abierta de centro en a contiene infinitos puntos de X ,
diferentes de a .
Demostracio´n. 1) =⇒ 2). Como a ∈ V es un punto de acumulacio´n
de X , se sigue que para cada k ∈ N existe un punto xk ∈ X , con
xk 6= a , tal que 0 < N(xk − a) < 1/k . de aqu´ı es claro que la sucesio´n
(xk)k∈N de puntos de X satisface lim
k→∞
xk = a , y xk 6= a para todo
k ∈ N .
2) =⇒ 3). Sea (xk)k∈N una sucesio´n, con xk ∈ X , xk 6= a para todo
k ∈ N , y a = lim
k→∞
xk . Entonces para cualquier k0 ∈ N el conjunto
{xk : k > k0 } es infinito, si no, existir´ıa un elemento, digamos xk˜
que se repitir´ıa infinitas veces y esto nos proporciona una subsucesio´n
constante, luego convergente con l´ımite distinto de a .
3) =⇒ 1). Inmediata.
Corolario 2.5 Si X ′ 6= ∅ entonces X es infinito.
Sergio Plaza 37
Demostracio´n. Inmediata.
Nota. Se sigue del Corolario que si X es finito entonces X ′ = ∅ . La
rec´ıproca es falsa, por ejemplo consideremos el conjunto Z ⊂ R , se tiene
que Z′ = ∅ , pero claramente este conjunto no es finito.
En Rn , por el Teorema de Bolzano–Weierstrass tenemos el siguiente
teorema.
Teorema 2.6 Si X ⊂ Rn es infinito y acotado entonces X ′ 6= ∅ .
Demostracio´n. Como X es infinito, este contiene un conjunto nu-
merable infinito de puntos distintos {x1, x2, . . . , xk , . . .} . De este modo
obtenemos una sucesio´n (xk)k∈N , con xk ∈ X para todo k ∈ N . Ahora,
como X es acotado se sigue que la sucesio´n (xk)k∈N es acotada, y por
el Teorema de Bolzano–Weierstrass ella posee una subsucesio´n (xkj )j∈N
convergente a algu´n punto a ∈ Rn . Finalmente, como los te´rminos de la
sucesio´n (xkj )j∈N son distintos dos a dos, se sigue que a lo ma´s uno de
ellos podr´ıa ser igual a a , eliminando ese te´rmino, si existe, obtenemos
una sucesio´n (x˜kj )j∈N de elementos de X todos distintos de a , con
lim
k→∞
x˜kj = a .
Definicio´n 2.8 Decimos que a ∈ X es un punto aislado de X si,
existe ε > 0 tal que B(a, ε) ∩ X = {a} , es decir, a no es punto de
acumulacio´n de X .
Si todo punto de X es aislado, decimos que X es discreto. Por
ejemplo, Z ⊂ R es discreto, y en consecuencia Zn ⊂ Rn es discreto.
38 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
2.2 Caracterizacio´n de los Conjuntos Cerrados
Hemos definido un conjunto cerrado como el complemento de un con-
junto abierto, ahora daremos una caracterizacio´n de los conjuntos cerra-
dos en te´rminos de sucesiones.
Definicio´n 2.9 Sea X ⊂ V . La clausura de X es el conjunto de sus
puntos adherentes, y se denota por X o clausura(X) .
Desde la definicio´n, tenemos que a /∈ X si, y so´lo si, existe ε > 0 tal
que B(a, ε) ∩X = ∅ .
Sea O ⊂ V un conjunto abierto, y sea a ∈ O entonces existe ε > 0
tal que B(a, ε) ⊂ O , y como cada bola abierta es un conjunto abierto,
tenemos:
a) a ∈ X si, y so´lo si, para todo conjunto abierto O ⊂ V , con
a ∈ O , se tiene que X ∩O 6= ∅ .
b) a /∈ X si, y so´lo si, existe un conjunto abierto O ⊂ V , con a ∈ O,
tal que X ∩O = ∅ .
Ejemplo. Sea Qn ⊂ Rn el conjunto de puntos de Rn con todas sus
coordenadas racionales, entonces Qn = Rn .
Tenemos la siguiente caracterizacio´n de los conjuntos cerrados.
Teorema 2.7 Sea X ⊂ V . Entonces X es cerrado si, y so´lo si,
X = X .
Demostracio´n. Si X ⊂ V es cerrado, entonces O = V − X es un
conjunto abierto. Luego, si y /∈ X entonces y ∈ O , y como O es
abierto, existe ε > 0 tal que B(y, ε) ⊂ O , por lo tanto B(y, ε) ∩X =
Sergio Plaza 39
∅ , de donde y no es un punto adherente de X . Luego, todo punto
adherente de X debe pertenecer a X , esto es, X ⊂ X , y como es claro
que X ⊂ X , se tiene que X = X .
Rec´ıprocamente, supongamos que X = X . Sea O = V −X , entonces
para todo b ∈ O existe ε > 0 tal que B(b, ε) ∩ X = ∅ . Luego, si
x ∈ B(b, ε) se tiene que B(b, ε) es un conjunto abierto que contiene a
x , y es disjunto de X . Luego, B(b, ε) ⊂ V −X , es decir, O = V −X
es un conjunto abierto, y porlo tanto X es cerrado.
Corolario 2.8 La clausura de un conjunto cerrado es un conjunto ce-
rrado.
Demostracio´n. Si X ⊂ V es un conjunto cerrado entonces X = X .
Luego, X es un conjunto cerrado.
Nota. El corolario arriba nos dice que X = X .
Corolario 2.9 Sea X ⊂ V . Entonces X es cerrado si, y so´lo si, para
cada sucesio´n convergente (xk)k∈N , con xk ∈ X para todo k ∈ N , se
tiene que lim
k→∞
xk ∈ X .
Demostracio´n. Si X ⊂ V es cerrado entonces X = X . Luego,
si (xk)k∈N es una sucesio´n convergente de elementos de X entonces
a = lim
k→∞
xk es un elemento de X = X .
Rec´ıprocamente, es claro que X ⊂ X . Ahora, si a ∈ X entonces
existe una sucesio´n de puntos xk ∈ X , con xk 6= a para todo k ∈ N y
a = lim
k→∞
xk , como por hipo´tesis se tiene que lim
k→∞
xk ∈ X , se sigue que
a ∈ X , es decir, X ⊂ X .
Nota. Es claro que si X ⊂ Y ⊂ V entonces X ⊂ Y , de esto se sigue
la siguiente proposicio´n.
40 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
Proposicio´n 2.7 Sea X ⊂ V un conjunto acotado, entonces X es
un conjunto acotado.
Demostracio´n. Como X es acotado, existe M > 0 tal que X ⊂
B[0,M ] . Como B[0,M ] es un conjunto cerrado se sigue que X ⊂
B[0,M ] = B[0,M ] , esto es, X es acotado.
Desde la definicio´n de punto frontera de un conjunto X ⊂ V , tenemos
que a ∈ Fr(X) si, y so´lo si, a es adherente a X y a V −X , es decir,
Fr(X) = X ∩ V −X . En particular, Fr(X) es un conjunto cerrado.
Del mismo modo como definimos conjunto abierto relativo a un con-
junto X ⊂ V , definimos el concepto de conjunto cerrado relativo a X ,
diciendo que C ⊂ X es cerrado en X si existe un conjunto cerrado
F ⊂ V tal que C = F ∩ X . De modo ana´logo al caso de conjuntos
abiertos relativos, se prueba que:
a) ∅, X son conjuntos cerrados relativos a X ,
b) si C1, C2 ⊂ X son conjuntos relativos a X , entonces C1 ∪ C2 es
un conjunto cerrado relativo a X ,
c) si {Cλ : λ ∈ Λ} es una coleccio´n de conjuntos Cλ ⊂ X , cerrados
relativos a X , entonces ∩λ∈ΛCλ es un conjunto cerrado relativo
a X .
Note que C ⊂ X es cerrado relativo a X si, y so´lo si, X−C es abierto
relativo a X . De esto podemos definir una topolog´ıa para V tomando la
coleccio´n de los conjuntos cerrados en V , y una topolog´ıa para X ⊂ V
considerando la coleccio´n de los conjuntos cerrados relativos a X .
Sean Y ⊂ X ⊂ V . Definimos la clausura de Y relativo a X como
siendo el conjunto Y ∩X , es decir, es el conjunto de puntos adherentes
de Y que pertenecen a X .
Sergio Plaza 41
Definicio´n 2.10 Sean Y ⊂ X ⊂ V . Decimos que Y es denso en X
si Y ∩X = X , y decimos que Y es denso en V si Y = V .
Nota. Desde la definicio´n, se tiene que Y ⊂ X es denso en X si, y
so´lo si, para cada x ∈ X y cada ε > 0 , se tiene que B(x, ε) ∩ Y 6= ∅ .
Proposicio´n 2.8 Todo subconjunto X ⊂ Rn contiene un subconjunto
numerable el cual es denso en X
Demostracio´n. Si X es finito o numerable, no hay que probar.
Supongamos que X es infinito no numerable. Sea B = {B(q, r) : q ∈
Qn y r ∈ Q} , la coleccio´n de las bolas abiertas con centro en puntos con
todas sus coordenadas racionales en Rn y radio racional. Esta coleccio´n
es numerable, es decir, podemos escribir B = {B1, B2 , . . .} . Para cada
i ∈ N elijamos un punto xi ∈ Bi ∩ X , caso esta interseccio´n sea no
vac´ıa. Si Bi ∩ X = ∅ , tal xi no existira´. Sea E = {xi : i ∈ N} el
conjunto obtenido de ese modo.
Ahora, sea x ∈ X y ε > 0 . Tenemos que existe r > 0 racional con
2r < ε . Como Qn es denso en Rn , existe q ∈ Qn tal que ||x− q|| < r .
Luego, x ∈ B(q, r) = Bi para algu´n i ∈ N . Por lo tanto, Bi ∩X 6= ∅
y existe xi ∈ E . Como x, xi ∈ Bi = B(q, r) se tiene que ||x − xi|| 6
||x− q||+ ||q − xi|| < 2r < ε . Luego, B(x, ε) ∩X 6= ∅ , de donde E es
denso en X , como quer´ıamos probar
2.3 Conjuntos Compactos
Definicio´n 2.11 Sea K ⊂ V . Decimos que K es compacto si, toda
sucesio´n (xk)k∈N en K posee una subsucesio´n convergente a un punto
de K .
42 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
Nota. Desde el Teorema de Bolzano–Weierstrass, tenemos la siguiente
caracterizacio´n de los conjuntos compactos en Rn .
Teorema 2.10 Sea K ⊂ Rn . Entonces K es compacto si, y so´lo si,
K es cerrado y acotado.
Demostracio´n. Supongamos que K ⊂ Rn es cerrado y acotado, y sea
(xk)k∈N una sucesio´n de puntos en K . Entonces (xk)k∈N es acotada, y
por el Teorema de Bolzano–Weierstrass se sigue que (xk)k∈N posee una
subsucesio´n convergente, digamos (xkj )j∈N . Sea a = lim
j→∞
xkj . Como
K es cerrado y xkj ∈ K para todo j ∈ N , se sigue que a ∈ K . Por lo
tanto K es compacto.
Rec´ıprocamente, supongamos que K es compacto y que (xk)k∈N es
una sucesio´n de puntos en K , convergente a un punto a . Entonces
(xk)k∈N posee una subsucesio´n (xkj )j∈N convergente a un punto de K ,
y como lim
j→∞
xkj = lim
k→∞
xk , se sigue que a = lim
k→∞
xk ∈ K , por lo tanto
K es cerrado. Finalmente, si K no es acotado, entonces existe una
sucesio´n (xk)k∈N , con xk ∈ K para todo k ∈ N , tal que ||xk|| > k .
Esta sucesio´n no posee ninguna subsucesio´n convergente, luego K no
es compacto, esta comtradiccio´n completa la prueba.
Tenemos la siguiente proposicio´n, cuya prueba es inmediata a partir
de la definicio´n de conjunto compacto.
Proposicio´n 2.9 a) Sean K1, . . . ,K` ⊂ V conjuntos compactos,
entonces K1 ∪ . . . ∪K` es compacto.
b) Sea {Kλ : λ ∈ Λ} una familia de subconjuntos compactos de V ,
entonces ∩λ∈ΛKλ es un conjunto compacto.
c) Si K1 ⊂ V y K2 ⊂ W son conjuntos compactos, entonces K1 ×
K2 ⊂ V ×W es un conjunto compacto.
Sergio Plaza 43
Demostracio´n A cargo del lector.
Teorema 2.11 (Cantor) Si {Kn : n ∈ N} es una sucesio´n decre-
cientes de conjuntos compactos no vac´ıos, es decir, K1 ⊃ K2 ⊃ · · · ⊃
Km ⊃ · · · entonces la interseccio´n K = ∩n∈NKn es un conjunto com-
pacto no vac´ıo
Demostracio´n. Por la proposicio´n anterior K es compacto. Ahora,
para cada k ∈ N elegimos un punto xk ∈ Kk y obtenemos un sucesio´n
(xk)k∈N . Como K1 ⊃ K2 ⊃ · · · se sigue que (xk)k∈N es una sucesio´n
en K1 , por lo tanto posee una subsucesio´n convergente (xkj )j∈N , con
lim
j→∞
xkj = x ∈ K1 .
Dado n ∈ N arbitrario, tenemos que xni ∈ Kn para todo ni > n ,
luego x = lim
i→∞
xni ∈ Kn . Por lo tanto, el punto x ∈ Kn para todo
n ∈ N , es decir, x ∈ K = ∩n∈NKn .
Definicio´n 2.12 Sea X ⊂ V . Decimos que una coleccio´n {Aα : α ∈
Γ} de subconjuntos de V es un cubrimiento de X si X ⊂ ∪α∈ΓAα . Si
cada Aα es un conjunto abierto (cerrado, compacto, etc.) decimos que
{Aα : α ∈ Γ} es un cubrimiento abierto (cerrado, compacto, etc.)
Sea {Aα : α ∈ Γ} un cubrimiento de X ⊂ V , un subcubrimiento
de X es una subcoleccio´n {Aα : α ∈ Γ′ } , donde Γ′ ⊂ Γ y X ⊂
∪α∈Γ′Aα . Decimos que el cubrimiento {Aα : α ∈ Γ} es numerable
(respectivamente, finito) si Γ es numerable (respectivamente, finito).
Teorema 2.12 (Lindelo¨f) Sea X ⊂ Rn . Entonces todo cubrimiento
abierto O = {Oλ : λ ∈ Λ} de X posee un subcubrimiento numerable.
Demostracio´n. Sea E = {x1, x2, . . .} ⊂ X un conjunto numerable
y denso en X . Sea B la coleccio´n de las bolas abiertas B(x, r) con
44 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
centro en algu´n x ∈ E y radio r racional, y tales que cada una de
ellas esta´ contenida en algu´n elemento de Oλ de O , para algu´n λ ∈ Λ .
Es claro que la coleccio´n B es numerable. Ahora, dado x ∈ X , existe
r > 0 racional tal que B(x, 2r) ⊂ Oλ , y como E es denso en X
existe x ∈ B(xi, r) . Sea y ∈ B(xi, r) entonces ||y − xi|| < r , luego
||x − y|| 6 ||x − xi|| + ||xi − y|| < 2r , por lo tanto y ∈ B(x, 2r) ⊂ Oλ ,
de donde concluimos que B(xi, r) ⊂ Oλ . Tomando una enumeracio´n
B1, B2, . . . , Bk, . . . para las bolas en B y eligiendo para cada j ∈ N un
ı´ndice λi ∈ Λ tal que Bi ⊂ Oλi se tiene que X ⊂ Oλ1 ∪ · · · ∪Oλn ∪ · · · .
Lo que completa la prueba.
Teorema 2.13 (Borel–Lebesgue) Sea K ⊂ Rn . EntoncesK es com-
pacto si, y so´lo si, todo cubrimiento abierto O = {Oλ : λ ∈ Λ} de K
posee un subcubrimiento finito.
Demostracio´n. Por el Teorema de Lindelo¨f obtenemos un subcubrim-
iento numerable {Oλi : i ∈ N } de K . Sea Ki = K ∩ (Rn − (Oλ1 ∪
· · · ∪ Oλi)) para todo i ∈ N . Esto nos da una sucesio´n decreciente de
conjuntos compactos K1 ⊃ K2 ⊃ · · · . Dado x ∈ K existe j ∈ N tal
que x ∈ Oλj , luego x /∈ Kj , es decir, ningu´n punto de K esta en todos
los Kj , de donde ∩∞j=1Kj = ∅ . Luego, por el Teorema de Cantor, algu´n
Ki0 = ∅ , esto significa que K ⊂ Oλ1 ∪ · · · ∪Oλi0−1 .
Rec´ıprocamente, es inmediato que la coleccio´n B1 = {B(x, 1) : x ∈
K} es un cubrimiento abierto de K , por lo tanto posee un subcubri-
miento finito, es decir, K ⊂ B(x1, 1) ∪ · · · ∪ B(xj , 1) . Luego, K esta´
contenido en una unio´n finita de conjuntos acotados, y en consecuencia
K es acotado. Ahora, si existe a ∈ K −K entonces para cada i ∈ N ,
tomamos Oi = Rn −B[a, 1/n] . Si K no es cerrado entonces para todo
x ∈ K se tiene que x 6= a , luego ||x−a|| > 1/n para algu´n n ∈ N , por
Sergio Plaza 45
lo tanto x ∈ On . De esto, tenemos que K ⊂ ∪∞n=1On , y existe entonces
un subcubrimiento finito, K ⊂ On1 ∪ · · · ∪ Onj . Como O1 ⊂ O2 ⊂ · · ·
toda unio´n de una coleccio´n de conjuntos Oi es igual al conjunto de
ı´ndice mayor en la coleccio´n. Luego, K ⊂ Oi , para algu´n i ∈ N , esto
significa que la bola B(a, 1/i) no tiene puntos en comu´n con K , lo que
contradice que a ∈ K −K , y la prueba del teorema esta´ completa.
Observacio´n. Desde el Teorema de Borel–Lebesgue podemos redefinir
el concepto de conjunto compacto en Rn , diciendo que K ⊂ Rn es
compacto si, y so´lo si, todo cubrimiento abierto de K posee un sub-
cubrimiento finito. Esta es la deficio´n general de conjunto compacto en
topolog´ıa.
2.4 Conexidad
Definicio´n 2.13 Sea X ⊂ V . Decimos que X es conexo si X =
A∪B , con A y B conjuntos abiertos y disjuntos implica que A = ∅ o
B = ∅ .
Si X no es conexo, decimos que X es disconexo.
Ejemplos.
1. X = R − {0} es disconexo en R , pues R − {0} = {x ∈ R : x <
0} ∪ {x ∈ R : x > 0} y ambos conjuntos son abiertos, disjuntos,
y no vac´ıos.
2. Todo conjunto discreto es disconexo.
3. Q ⊂ R es disconexo, pues existe a ∈ R−Q y tenemos Q = {q ∈
Q : q < a} ∪ {q ∈ Q : q > a} , y ambos conjuntos son abiertos,
disjuntos, y no vac´ıos.
46 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
Para los subconjuntos conexos de R tenemos la siguiente caracteri-
zacio´n.
Teorema 2.14 Un subconjunto X ⊂ R es conexo si, y so´lo si, es un
intervalo (acotado o no).
Demostracio´n. Ver [12].
Teorema 2.15 La unio´n de una familia de conjuntos conexos con un
punto en comu´n es un conjunto conexo.
Demostracio´n. Sea X = ∪λ∈ΛCλ , donde cada Cλ es conexo, y existe
a ∈ V con a ∈ Cλ para todo λ ∈ Λ . Si X = A∪B y a ∈ A , entonces
para cada λ ∈ Λ , tenemos que Xλ = X∩Cλ = (A∪B)∩Cλ = (A∩Cλ)∪
(B ∩Cλ) . Como Cλ es conexo y a ∈ A , se tiene que B ∩Cλ = ∅ para
todo λ ∈ Λ . Luego, B = B ∩X = B ∩ (∪λ∈Λ) = ∪λ∈Λ(B ∩ Cλ) = ∅ .
Corolario 2.16 Sea X ⊂ V . Entonces X es conexo si, y so´lo si,
para cada a, b ∈ X existe un conjunto conexo Cab , con a, b ∈ Cab y
Cab ⊂ X .
Demostracio´n (=⇒) Obvia.
(⇐=) Fijemos a ∈ X . Entonces los conjuntos Cax , con x ∈ X son
conexo, y a ∈ Cax para todo x ∈ X . Adema´s, es claro que ∪x∈XCax =
X . Luego, por la proposicio´n anterior, X es conexo.
2.5 Ejercicios
1. Sea G = B(a; r)− {a} . ¿Es G conexo?
2. Demuestre que {x} es un conjunto conexo.
Sergio Plaza 47
3. Demuestre que un convexo de (Rn, || · ||) es un conjunto conexo.
Concluya que las bolas en espacios normados son conjuntos conexos.
4. Pruebe que la sucesio´n (xk)k∈N dada por xk = (−1)k no es con-
vergente.
5. Sean N1 y N2 dos normas equivalentes en un espacio vectorial
normado V . Demuestre que una sucesio´n en V converge respecto
a N1 si, y so´lo si, converge respecto a N2 .
6. Pruebe que si X ⊂ V esta´ contenido en una unio´n finita de con-
juntos acotados en V entonces X es acotado.
7. ¡Sera´ cierto que ∂A = A′ −A ?.
8. Sean A,B ⊂ V , dos conjuntos compactos en el espacio vectorial
normado V . Pruebe que el conjunto A+B = {a+b : a ∈ A , b ∈
B} es un conjunto compacto.
9. Muestre con un ejemplo que A compacto no implica A compacto.
¿Vale la rec´ıproca?
10. Encuentre una me´trica para la que un conjunto es compacto si y
so´lo si es finito.
11. Pruebe que el conjunto K = { 1n : n = 1, 2, . . .}∪{0} es compacto
en R .
12. Pruebe que la unio´n finita de subconjuntos compacto es un con-
junto compacto.
13. Sea I ⊂ R un intervalo con extremos a < b . Sea c ∈ I con
a < c < b Prueba que I − {c} es disconexo. ¿Que ocurre si p
48 Sucesiones en Espacios Vectoriales Normados
es un punto interior a un disco D en R2 , es decir, es D − {p}
disconexo?
14. Sea (xn)n∈N una sucesio´n de Cauchy en Rm . Pruebe que si
(xn)n∈N tiene alguna subsucesio´n convergente a x ∈ Rm entonces
(xn)n∈N es convegente y lim
n→∞xn = x .
15. Sea (xn)n∈N es una sucesio´n de Cauchy en Rm . Si (yn)n∈N es otra
sucesio´n en Rm verificando d(xn, yn) < 1/n para todo n > 1 ,
pruebe que:
(a) (yn)n∈N tambie´n es de Cauchy,
(b) lim
n→∞xn = x si, y so´lo si, limn→∞ yn = x .
16. Sea b ∈ B(a; r) tal que lim
k→∞
xk = b . Probar que existe k0 ∈ N
tal que xk ∈ B(a; r) para todo k > k0 .
17. Demuestre que si lim
n→∞xn = 0 en R
n con una norma, entonces
lim
n→∞xn = 0 en R
n con cualquier otra norma.
18. Calcule el interior, la adherencia y la acumulacio´n con la me´trica
eucl´ıdea de los conjuntos siguientes:
A = {(x, y) : y = x3},
B = ]0, 1]∪ ]9, 10[
C = {(x, y, z)|x+ y + z < 1}.
19. Calcule los l´ımites, si existen, de las sucesiones siguientes
(i) xn = (nsen(1/n), n
2+1
5n3+10
) .
(ii) xn = (n cos(1/n)− 1), n3+6n3+10 , 1n+1)
Cap´ıtulo 3
Aplicaciones Continuas
Sean V y W espacios vectoriales normados, con normas N y N˜ ,
respectivamente.
Definicio´n 3.1 Sea X ⊂ V . Decimos que una aplicacio´n f : X −→
W es continua en un punto x0 ∈ X si, para cada ε > 0 dado, existe
δ > 0 (que depende de ε y de x0 ) tal que si x ∈ X , con N(x−x0) < δ ,
entonces N˜(f(x) − f(x0)) < ε . Adema´s, decimos que f : X → W es
continua en X si es continua en cada punto x ∈ X .
En te´rmino de bolas abiertas, la continuidad de una aplicacio´n f :
X → W en un punto x0 ∈ X se traduce como sigue: para cada ε > 0
dado, existe δ > 0 tal que f(B(x0, δ) ∩X) ⊂ B(f(x0), ε) .
La continuidad es un concepto local, esto es, si cada x0 ∈ X es el
centro de una bola abierta B tal que la restriccio´n de la aplicacio´n f a
esa bola, f/(X ∩B) , es continua entonces f es continua en X .
Notas.
1. Sean N1 y N2 normas equivalentes en V , y sean N˜1 y N˜2
normas equivalentes en W . Entonces una aplicacio´n f : X ⊂
49
50 Aplicaciones Continuas
V → W es continua en relacio´n a las normas N1 de V y N˜1 de
W si, y so´lo si, es continua respecto a las normas N2 de V y N˜2
de W .
La prueba es fa´cil y se deja a cargo del lector.
2. Si f : X ⊂ V → W es continua. Entonces para cada Y ⊂ X se
tiene que f/Y : Y → W es continua. Esto es inmediato desde la
definicio´n.
3. Si x0 es un punto aislado de X ⊂ V entonces f : X → W
es continua en x0 , pues en este caso, se tiene que dado ε > 0
entonces para cualquier δ > 0 se satisface x ∈ X , N1(x−x0) < δ
implica N2(f(x)− f(x0)) = 0 < ε .
Ejemplos.
1. Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =

x3 + y3
x2 + y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0) .
Entonces f es continua. Mostrar la continuidad de f fuera origen
es fa´cil y se deja a cargo del lector. Ahora, sea ε > 0 dado,
usando en R2 la norma euclideana, tenemos que |x| 6 ||(x, y)|| =√
x2 + y2 y |y| 6 ||(x, y)|| =
√
x2 + y2 , luego
|f(x, y)| 6 2||(x, y)||
3
||(x, y)||2 = 2||(x, y)|| ,
por lo tanto basta tomarδ = ε/2 y tenemos que ||(x, y)−(0, 0)|| =
||(x, y)|| < δ implica |f(x, y)| 6 ε .
Sergio Plaza 51
2. Toda aplicacio´n f : X ⊂ V →W es continua en un punto aislado
de X .
En efecto, sea a ∈ X un punto aislado. Entonces existe δ > 0 tal
que B(a, δ) ∩ X = {a} . Ahora, sea ε > 0 , tomamos el nu´mero
δ > 0 anterior tenemos que x ∈ X , con N(x − a) < δ implica
que x = a , por lo tanto N˜(f(x)− f(x)) = 0 < ε .
3. Aplicaciones Lipschitzianas. Sea f : X ⊂ V → W . Decimos
que f es una aplicacio´n Lipschitz si, existe una constante Lf > 0
(constante de Lipschitz para f ) tal que
sup
x,y∈X
x 6=y
N˜(f(x)− f(y))
N(x− y) 6 Lf .
Toda aplicacio´n f : X ⊂ V →W Lipschitz es continua.
En efecto, sea ε > 0 dado, elegimos δ = ε/(L+1) , donde L es la
constante de Lipschitz de f , se tiene que si x ∈ X , conN(x−x0) <
δ, entonces N˜(f(x)− f(x0)) 6 LN(x− x0) < L εL+1 < ε.
Una clase importante de aplicaciones lipschitzianas la constituyen
las transformaciones lineales entre espacios euclideanos.
En Rm y Rn consideramos normas N1 y N2 , respectivamente.
Se define una norma N en el espacio vectorial L(Rm,Rn) = {L :
Rm → Rn ; L lineal} , subordinada a las norma N1 y N2 , como
N(T ) = sup{N2(T (v)) : v ∈ Rm , N1(v) = 1}
= sup
{
N2(T (v))
N1(v)
: v ∈ Rm , v 6= 0
}
.
Es fa´cil ver que N(T ) define una norma en L(Rm,Rn) (verifi-
cacio´n rutinaria a cargo del lector). Desde la definicio´n, se sigue
52 Aplicaciones Continuas
que N2((T (v)) 6 N(T )N1(v) para todo v ∈ Rm , con v 6= 0 , y
como esta desigualdad vale trivialmente para v = 0 , se tiene que
T es una aplicacio´n Lipschitz con constante de Lipschitz igual a
N(T ) .
4. Aplicaciones Bilineales. Una aplicacio´n B : Rm × Rn → R` es
bilineal si es lineal en cada variable, es decir,
(a) B(αv1 + v2, w) = αB(v1, w) +B(v2, w) ,
(b) B(v, βw1 + w2) = βB(v, w1) +B(v, w2) .
Sea L2(Rm × Rn,R`) el conjunto de las aplicaciones bilineales
de Rm × Rn en R` . Es fa´cil ver que L2(Rm × Rn,R`) es un
espacio vectorial. Ahora, sean N1 , N2 , y N3 normas en Rm ,
Rn , y R` , respectivamente. En Rm ×Rn consideramos la norma
N0(v, w) = max{N1(v), N2(w)} . Definimos una norma N en
L2(Rm × Rn,R`) , subordinada a las normas N0 y N3 por
N(B) = sup{N3(B(v, w)) : (v, w) ∈ Rm × Rn ,
N1(v) = N2(w) = 1}
= sup
{
N3(B(v, w))
N0(v, w)
: (v, w) ∈ Rm × Rn ,
v 6= 0 , w 6= 0} .
Desde la definicio´n, tenemos que N3(B(v, w)) 6 N(B)N1(v)N2(w)
para todo (v, w) ∈ Rm × Rn .
En efecto, la desigualdad es trivial si v = 0 o w = 0 . Ahora, si
v 6= 0 y w 6= 0 , se tiene que los vectores v1 = v/N1(v) y w1 =
w/N2(w) satisfacen N1(v1) = N2(w1) = 1 , luego N0(v1, w1) 6
N(B) , y de aqu´ı se sigue que N1(B(v, w)) 6 N(B)N1(v)N2(w) .
Sergio Plaza 53
Ahora, sean (v, w), (u, z) ∈ Rm×Rn . Tenemos B(v, w)−B(u, z) =
B(v, w−z)+B(v−u, z) , luego N(B(v, w)−B(u, z)) 6 N(B(v, w−
z))+N(B(v−u, z)) 6 N(B)(N1(v)N2(w− z)+N1(v−u)N2(z)) .
Consecuentemente, dado ε > 0 tomamos δ = ε2N(B)(M+1) , donde
M = max{N1(v), N2(w)} y se tiene que N0((v, w) − (u, z)) < δ
implica que N1(v − u) < δ y N2(w − z) < δ . Luego,
N(B(v, w)−B(u, z)) < N(B)(N1(v)δ + δN2(z))
= N(B)δ(N1(v) +N2(z))
6 N(B)δ2M
= N(B)2M
ε
2N(B)(M + 1)
< ε ,
es decir, N((v, w)−(u, z)) < δ implica N(B(v, w)−B(u, z)) < ε .
Por lo tanto, B es continua en cada punto (v, w) ∈ Rm × Rn .
Algunas consecuencias
(a) Sea λ : R × Rm → Rm la aplicacio´n dada por λ(α, v) = αv
(producto escalar). Claramente, λ es bilineal, por lo tanto
continua.
(b) Sea I : Rm × Rm → R un producto interno. Por definicio´n,
I es bilineal, por lo tanto continua.
Para los siguientes ejemplos, identificamos el espacio vecto-
rial de las aplicaciones lineales de Rm en Rn , el cual hemos
denotado por L(Rm,Rn) con el espacio vectorial Rmn .
(c) Sea eval : L(Rm,Rn) × Rm → Rn la aplicacio´n dada por
ev(L, x) = L(x) , evaluacio´n de L en x . Es claro que eval
es bilineal, por lo tanto continua.
54 Aplicaciones Continuas
(d) Sea comp : L(Rm,Rn) × L(Rp,Rm) → L(Rp,Rn) la apli-
cacio´n dada por comp(L, T ) = T ◦L (composicio´n de aplica-
ciones lineales). Es claro que comp es bilineal, por lo tanto
continua.
(e) Sea p : R × R → R la aplicacio´n dada por p(x, y) = x · y ,
producto de nu´meros reales. Es claro que p es bilineal, por
lo tanto continua.
(f) Sea M(m×n,R) el espacio vectorial de las matrices de orden
m × n con entradas reales. Sea P : M(m × n,R) ×M(n ×
p,R)→M(m×p,R) la aplicacio´n dada por P (A,B) = A·B ,
producto de matrices. Se tiene que P es bilineal, por lo tanto
continua.
5. Isometr´ıas. Decimos que una aplicacio´n f : X ⊂ V → W es
una isometr´ıa si N˜(f(x)− f(y)) = N(x− y) , es decir, f preserva
distancias. Es claro, desde la definicio´n que toda isometr´ıa es una
aplicacio´n continua. Para verlo basta tomar δ = ε en la definicio´n
de continuidad.
Por ejemplo, si n 6 m entonces la aplicacio´n i : Rn → Rm
definida por i(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn, 0, . . . , 0) es una isometr´ıa.
Nota. Toda isometr´ıa es una aplicacio´n inyectiva, pues si f(x) =
f(y) entonces 0 = N˜(f(x)− f(y)) = N(x− y) , luego x = y .
Sea f : X ⊂ V → W una isometr´ıa, y sea Y = f(X) . Entonces
f−1 : Y → X tambie´n es una isometr´ıa.
Por ejemplo, si a ∈ V es un vector fijo y Ta : V → V es dada por
Ta(v) = a+ v , traslacio´n por a . Entonces Ta es una isometr´ıa y
T−1a = T−a .
Sergio Plaza 55
En Rm tenemos que T : Rm → Rm es una aplicacio´n lineal
entonces T es una isometr´ıa si, y so´lo si, 〈T (x), T (y)〉 = 〈x, y〉
para todo x, y ∈ Rm .
6. Contracciones De´biles. Decimos que una aplicacio´n f : X ⊂
V → W es una contraccio´n de´bil si f es Lipschitz con constante
de Lipschitz igual a 1, es decir, para cada x, y ∈ X se tiene que
N˜(f(x) − f(y)) 6 N(x − y) . Es inmediato que toda contraccio´n
de´bil es una aplicacio´n continua.
Ejemplo, sea s : V ×V → V la aplicacio´n dada por s(x, y) = x+y
(suma de vectores en V ). Para ver que s es una contraccio´n de´bil,
tomamos en V × V la norma NS((x, y)) = N(x) +N(y) (norma
de la suma). Sean (x, y), (u, v) ∈ V × V , se tiene N(s(x, y) −
s(u, v)) = N((x−u)+(y−v)) 6 N(x−u)+N(y−v) = NS((x, y)−
(u, v)) .
Ejemplo, proyecciones. Sean V1 y V2 espacios vectoriales nor-
mados, con normas N1 y N2 , respectivamente. Se definen las
aplicaciones pii : V1 × V2 → Vi (i = 1, 2) por pi1(x, y) = x y
pi2(x, y) = y , estas son llamadas proyecciones en la primera y se-
gunda coordenada, respectivamente. En V1 × V2 consideramos la
norma de la suma NS(x, y) = N1(x) +N2(y) . Tenemos
N1(pi1(u1, v1)− pi1(u2, v2)) = N1(u1 − u2)
6 N1(u1 − u2) +N2(v1 − v2)
= NS((u1 − u2, v1 − v2))
= NS((u1, v1)− (u2, v2)) .
Luego, pi1 es una contraccio´n de´bil. De modo ana´logo se prueba
que pi2 es una contraccio´n de´bil.
56 Aplicaciones Continuas
Este ejemplo se generaliza a un producto cartesiano de un nu´mero
finito de espacios vectoriales normados. As´ı, considerando Rm
como el producto cartesiano de n copias de R se tiene que las
proyecciones pii : Rn → R , definidas por pii(x1, . . . , xi, . . . , xn) =
xi (proyeccio´n en la i–e´sima coordenada) es una contraccio´n de´bil,
por lo tanto continua, para cada i = 1, . . . , n .
Teorema 3.1 Sean f : X ⊂ V →W y g : Y ⊂W → Z aplicaciones,
con f es continua en a ∈ X y g es continua en f(a) , y f(X) ⊂ Y ,
Entonces la aplicacio´n g ◦ f es continua en a .
Demostracio´n. Sea ε > 0 dado. Como g es continua en f(a) se
tiene que existe η > 0 tal que si y ∈ Y satisface N2(y − f(a)) < η
entonces N3(g(y) − g(f(a))) < ε . Considerando el nu´mero η > 0 se
tiene que existe δ > 0 tal que si x ∈ X y N1(x − a) < δ entonces
N2(f(x) − f(a)) < η , y por lo tanto N3(g(f(x)) − g(fa))) < ε , lo que
muestra que g ◦ f es continua en a .
Teorema 3.2 Sean f, g : X ⊂ V → W y α : X → R aplica-
ciones continuas en a ∈ X . Entonces las aplicaciones f ± g , αf ,
y I(f, g) , dadas por (f ± g)(x) =