cap8-estatica-y-centro-de-gravedad-fisica

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?_.a:_\'-_00_.____a._ ' ' ' __"''''''''''"_8 __^' ' M_' ''' d_' ' ''' ' ' ' ' '''"0'_'' ^M__'^4Mh^__'"'_^''''''_^_''''''''"___"'''''' '''m~"__m'i_"''' n""''''''X-''m_-'^i '" "i -;,i
a__,.,.._0=.._ _,._._,,___=_'_ __ iocHE AT_cADo _.
____''. _____: _
__Di_,_,_,i.i_,.,,;..._,_. _____._,.____._ 9_
__o_,__a_.';.__.__'''_''._, Para saur un vehicuto de un bache se obn de la siguiente manen: un cabo de una soga targa y �
____'_'v i;_.__O_'_0.,. resis_ente se sujeta at vehículo y e1 ocro. at _ronco de un á_ot o un __e situado _ barde del _mino. i
_ii''_'"^'di___'__ d d f _f _ ,b_A _ __ _d b_ _
,a_,i._,,,D__, __-____ e mO O 9Ue a SO_' eSCC O m_ _e_Sa POS_ en COn_n_Cl On. _ _'n e eS_ am U_ __U10 de 9_ '
__''''_-:-';'__., r__cco a ta misma, sau__do eI automóvil del bache. iEn qu� prîncipio es_ basado este método? ___
__0____,.;. _'_.:_,,__i A menudo b_ca el es Fue_o de una sola persona para re_ca_r un vehículo _ado, vafi�ndose de _
i____i___,____._.-,__'_'' es_e m�codo eleInenul_ d_crito al plant_r e1 probtem_ U__a cuerd_ cuatquien que sea el grado de _
i_P._.i,,___.,a___'i___'__. __ t N_ d _ _ _+ _ i - t_ n _ i 'a
i___,B__i'g_____'___æ_''_'_'____ SU nSlO_, Ce e a a aCClOn e Una Ue_ aU_qUe Sea m_e_ua, __tUua uatO Ie O an_U_O a tU __
__,_0__i_ O_' ?
_,._i _ ___!_'_'',___ di rect ión. 2,_ _
e ___ _._ _.. - - ane _ ief. r en i F e m_ j
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æ__,_'i'0__d__!_.'_;_:'a=___i...____''___,_ r_o,_n es ._m os__b_e co_ ar una hmaca de mane_ ue sus cuerdas este_n en osl.c,_o_r est,_ctam_n_e !-_
'' _i,?.,, ' d _._9_ _._. __,_,, _;, ' ' 2_
i_'_. _''.__,,'__.____'.__..__... hori_onQ_. -_;_;.
_'_ _._.'____:,'_ W rue_ que se c_en en _te _o se representan en la fi_uiA. La de _racci�n Cf de te persona __
__o,i_______i_i___,æ'__' se d_compone en dos, CQ y CP_ dirigid_ a to largo de cada parte de ta cuerda_ ld componente CQ _
i_i_____'._i,___.=_.__'- . _ . - p )
i'__.__,_'._;'_,__;;9__^9.___: TlFa e trO_CO Y, St eS_e eS O SU CIenteme_te Se_UFO, Se anU _ _Or SU reSIS'_e_Ct_. C0__'i;+_____.C_ , xc
_,__. _._;___;''__.:,____ en cambio, j_3 et vehículo y. como s_ much_ veces a lo que se mani_es_a como resistencia. pue_e :_
t::,-___''_,_0_0--__i sacar eI vehiculo deI bache. _ __cia de _(ueno _er� _nto mayor cuanto mayor s_ el �ngu lo PCQ. __
,, t i -' 'n __y_ _d ?
_,,,_'_,, .,,,..,._.___'_'',_ es decir. cu__n_o m_ tensa esté la soga. ;__n_
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'__i'__0_''B__a _______^0 ' fUENTE: __ _ed fisici7 AUTOR: Y, Perelman. Editorial mfR, P_g.: im ?i
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tc
___g?____ a_ ?t__0____cJ_____?e__g_ ____g___?9 ______e_____ct_0_n_J__?v _______ t __q___t _? _0__t____ t?0_ _ _t?_ 3_8_5___
, __ ___, __ ', _,; ___ _, _. ' _ ' _4,,_ _, _ m _ _ J _. _ _ _ ' V,_x ,_ ;__ __ __c _ _ _ ' _ ?. _ ; _? _ _
08_mV0S
_ Entender adecuad_mente los conceptos _e interacción_ fuerza y momento d_ una
fue_za.
_ D_ a conocer las di__er__as inle_cciones que se d3n en la r_atur_e2a _ al_un_ de _as fuenas
m___ i_T_po_antes, sobre to_o, a4uellas que se presenta en _a mec_nic_
_ Dcducir lo que es el _stado de equilib_o mec_ico.
_ E__tablccer las condicion___ q_e se deben cumplir p_ra _ue un cue_o o un __nju_t0 de
cuemos (si5tema) s_ encL_entre en estad_ de equiIibno mecá�ico. '
_ Conocer lo que nene a ser Centra de gravedad (C.G-) )_ su a_licaci�n para res0lver problemas
concretos de cquilibrio mec_nico.
lNTR00UCCIÓN
En la pr_ctica concreta, el conocimiento de Ia _tá_ca es de suma impo_ancia_ esto sc hace nolorio
en _- l€unos ejemplos: en ta conslrucción dc casas, cdi F_cios, _uentes, etc, Asimismo en el diseno de
ciertos c_paratos como p_lancas, balen-__s, din__ m�nJ_tros, elc_.
_un_ue empírico _l inicio, ef conocimientu de la _t�tic_ l_ ha permitido al scr humano desd_
hace ya mucho liempu atr�s, Iograr un des_rollo impo_c_nte en lo _ue a c_ns trucciones y edincaci_nes
sc re F_ere. El legado que antigu__ s ci_li2acioncs nos n_uestra como los egipcios _c sus pirámides, los
incas y sus fo_alezas son la mcior prueba _e que la Estátic__ ha sido ?,_ segui_'á siendo de _ran ulilidad
e importancia para el hombrc.'
,? ,c ?, L _ _ _ , ,,,m?,, _ _ _ __ _ o_ _ _ _ _ ;? v _ s _, _ _ ' _ _ _ _ _,, ,,, _o _, _s _0 __,,,_ -, ? _ _ _ ; _ _ _ \ _ __ _;; _, m _ _
,, ___ ^ ' _ _ _ __ _- _ __ _y _ __ __ ,_ _L_ _,_,__,_,__ _ __ 0 __ __,___ _ _c __ __ ;,�__ __ _ ^ gg_? _ _ __ ' _c _ __ _ __ ___ _ _ _ _ _o__ _, _ _' _? _,c_ _ __ ^ g?_ _
' _e _b?e______?, __,_ _0? 0, _ __ __ __9_^_a______,______?,c ,__?_%J___,____, _0?__''__, _^_'_______?___?__c _q?,________n_
c_ n_ ug_?_ =c_0g_0__o _c,V' _? _ ^^08 ____,__o,G_???_,,?,_____?_c___ ___' __ ___^,? _ _ _,,_9__, _, , _, C '_ _o__,___
__,_Jg__ _c__9__ _n ___ ___ _ _e __ ' _0" __m _ve_ _ _ _n'e9 ___ _,_, _3 _ _ _ _ _', __m__ __? _ '_ _ _c?n _c _m_m _ __ __a _? __ _ _ _ _ _ __ _ _g_' ___ m_' __ __ __c _.N
?_?_,_,0___ ,__,___Jr ? ?,?e______ _ ?___e^__??___?____m0____ s__ _u_?___ -'_,_ n__,_^_ _ ,__-,?
V _ _u, _ _ __9___??__n,? _ , ___c,_mJ, __ _ ?^ __,_ __ __ __ _^?_ C_ _, _ ___ _'X_, V_;_ _ ____, V_v,, __ _'J_o,c _ _% _ J _? _ _ _ _
, __ _ _ __ _ _ _ __, _ __ _ _ _ _ _ _ _ ' 0 _' _ , 0 _ _ _ - _ = __ _, _, _ _ _ e _ _ _ _ _ _ t _ _ _; ?,, _ __ _ d, _ _v_ _ __ __ _ _ _ e, ' ?, _ _,, ? _ _ % ?, _ ? _,o V,?? _ _ ? e?? _? , _ _, _, _ c _ q _ _ _ _ _ ?0 ,
,_'_______;c_?____''__?,?_?__v'__ _9e__ _G0_' ' u __,__q_______?_^_'c_0 _ __?___an__ __0____ _e_c _?o_?'____9?__?___
_ _,_- ;__,__=. __,,__'^ _ 'n_ _ _ __' = _'__ __ _ _? ' _ V _, _-___ ' __o __0 _9 _ ___ _ _ __ 0a __ __ __ _ 'e_ ^ _c i__ __ _ _ ' _ _ __ a e __ _ e
Eslas grondes cslrucluros rel7ejon que nue_tro_ onteposodos tenion conKImiento_ e_irico_
_obr_ eI equilibrior e__i_d de Io_ cu_rpos.
___d o _ (l lb_J _ _________ _ ____a__s _____0_______0__0______0____w___________0______o____0oD__________________0__________________________m_____0__________o__________K__t_____.__t_tt_____to____tu_______?_____t__rv___g______t____tv__r_________n__0_t_n_h__0v__________0____e__0_o_____0__u__nm_0_____os_______n________r_______o_o_0_0e__0___o____se______s___tD___
Lu m b reras Ed i i ores f ísi c a
>ara comprender a _)_nit_l_ cl__il es e_t Ah_ra, si repcntinaIr__ent_'_ cu_an___ !__ __u_?_-d_,
_Jbj_ti_'o de e.ste cc__ítu)o, rec'cirdern___ l-Jlle í_n l____ __ _t_it_-m_Js __1 l__e_ !-a_u� _curre c'_n ;'o._ }__t_ciu__.:
ca_iit__Ios ante_riore___ (C. incm_s__i_'a} , _c _entr� e l C_mo ;'a __.i__rieI___ia lu _en__1___t_-3_ ef t_j_cJu_'
,'-rtr__-ié__- er_ _! __,__i5i_n __' it___cr;__n_.'_'___ __ d_j mo_'jn_ien__ muc_ cgt_J;__c_ siJ_-__T_,__,__ _____rcn _cp____,_r. )JcJ e_)
me____niî__ _,_ _!o_ c_e_,cJos, _erci ?. re_unt�m_n_s ie_ í__ Ii_r_ _' diren_c__- q__-__ )7�_ n_ c_st_ _n equiJit__'7o
___/___--__i_sx=__?___-us____1_? ii__S f__dCan,_S_-C,_Cuer!tr__n n_ientr3S a,-_tc_ t_!_ rJtru_ s�n C_ t__, e, 3 .su c_____' (1n
_^X__'r_mel_t_n_ i_'t_- ' rT___7l J_ f)lt_n____ m___nlCU. __ __Cfr (tL_SC'_ndCra _;(_'_ _! !i_r_i.and_ SU _'eJ_í' !U__ _' taß)_r UC'_
sR __r,í_laritFc_?_ R,___ eri1_enl�lridn_ c__ mbi_s d__' estará en e_ui!ic>F___. er_t_n_?!._+_ ___-n ____- est____
pr_sici_n?, hù'_ta In�rar nue_L?__ ent__no ?. _ na_' estar�n_i _n e_. te c___o i_ r1ic'c __ _____ ei. ti_ n en
d-áremo__' ci_c?n_-a q_e a.ií _o__o _ay _t_jetos _ue movi__ierit_ con c'iert_ ace_leraìi_n _-e 4ue su
e-xp_rim_nt__ n movimient_ me_ánico, ha)_ _tros __elocídad _7_ v;ariando ide_'equilit_rio me_L^_ni___'
q_e se encueI_tran siempre en una misma (___vi_ento a_'elerado).
posición y se suete decir acerca de eslos úllimos,
que se encuenlran en reposo, o en tétminos más _
_omunes se encuen_ran en e_-tado _e equili_rio. u_Q
Ante esta situación surge de iI_mediato la _ ;; _
sieuiente pr__eunta: __or qué algunos cue_os /__ _' .
_/_
experimenlan movimient_ y otr0s sc mantie1_en __i
. _ . .. . I__I
_n re_OS07:_ lQU_- e__fm1na e e_Ul l ffO _ U_ ,_,....__,_:___ ;0
cuerpo_? Para responder a estc_s interro__ant_s
anaJicemos los siguientes ce' sos: _tonc_s, se pucde ;ntu;, que __ equ__f-_b_
Los bloqucs que se muestra se e_.cuentran un cue_ ,_e _sta__ece baJo c;e__ c_rcunst,, nc;,s _,,
en reposo, pues no se mueven, están sin sedebensatisface,cie_osrequ;s;tosoco,d__c;
acelecación (?_ _-o): efque está suspe,nd;_odel p,,c;,_mente, e,_o ___;
ter__ me_iante una cuerda )' el que está fijo p,_anteado ace,c, de _,s cond;c;one., pa,a el
dehid_ al tope, por e_to_ aflrm_remos _ue se e4u;_ibrio es e_ o_;eti_,o p_nc;p,_ y ,_2,'
encucntra en eq_ilibr_�_. cuat e,t,diamo,w- ;, E__tát;c,.
'_
i.^i_.__,._.,.. ___,.__,d.'...i,. i_,'__.i_,i_,__.,_,i,i_0o,_.ioi_..,..,;_5_, __:-:;- -__;__.-. '' :_'_; .o_,, ,,_. ., ,_. v _..,,.;.__._,;,,.,_:,__' iC',,_0__?,,__;,:\_'';0..,,_,___;.c_D,_,;,_._
g, D,__i___ _ ..___. _ ^__i,_i_e__ _,i,_____ _0_ii_,_o_'_____ii_ _'i_____^_,i i____''i _ _@_l_' 'oii__ _i'_.____ __i_, _,R0_o,_D __o,,O_9_ _ ____'_,,0._o_,_______ __ _i__
V' ____0 ,, ' _i_'. __i_ ''_'_ i'_'________,_6i,ii_'_ii__i_i0____i'i,___'_-,__i'.,_ i |' io __?_i'_i____'__0o0_D__0____^__0____0__'_D_8_o0'000i____'i '_
; _ ,. _ . ,_.,_0 ,_00.,._,_o0'_____e_,., ,__. __._,_,__g,_,. ii ,i_ .. __,_i__'__'_'_'__,__iii,li0_.i___..,_._o'___0__..i.__,g___i.,,_,_.0_,0_, ,_,o__._____g_.',i'_'_,__,___,__.,0,,,__i_,_o_0_._._i',lii_ ._,._.,._._i .,. ,_.'.,i..__._,._,'__,,,__',__o,_0o_80_o___,______00_a_0,,',__9,________po__,,__,_0__g,,,,0,'_._',,0,..
i_'__i_.o''o ;_- __, ?--.;_--,_. '';''''' ,_ _ _.,.,,!'r_ ' _ ,_'__' .,_!'''''_0ig,__'_ _','____d0____!,l,__,i'_____,_ii,,.l_,.'i'_i'_l_i_,_i.___i_,__'__'i^.0'____._____'.__'_____i___iie__,,,__,,_.__i_iii_
j_h-___-___ _ ___e,'_'_ '__.'_''', __' _ C ' _'j_ ' ' N'.,_i _,____,..i,_..,, _d..__. _'___'ii' __'__'i _'_ai_ii^....i_. __ '_ _iii _' __,i_.__,oi_'_i__ _!','_i_..i.i _i _, _ii'ii_. ___' ____ _i_ii,__,
._ii__,ii_'__0'_'_i'_....__ _i ,.._..._-_,__._0!' i.,__'''__ __ __ _ __ 'ii0_ ,,___ o_o _,, l'_i_'i__,,ii_ii__i_''i_______i__i____'i'__,____'i__ __
UM _S0 .._..,,_..i..___,'__,8i_,=.ii_!'__'___,0_i._ __,'.^__'__''^___'_ii_ii_..,.i,p_i-.__i_ .f. l ,.,__., 0.0,. ^ ._li'li,llii__'ii..ll_,_il_iii,iii.'_._ii___l.ii_.,.i'_i,_iil._i.
'''' ' ___ '^ =' _''__'_ _|i'' 0'' __'' '_--'__ ''di''i_' , __ ' 00'__ __' i__,___''__i'iii'iii _'i'^_ii__'
_o_ =_!_ _ Nues_ro_ onte__sJdos not deJoron eI mochu_lcchu. r_nente
complejo Inco que a _esor de Id_ inclem_ncJds _e/ tJem__ o srgue
_c _i_. __o rel7ej_ Inv.s _!Co-_ c_n_c___en,tnvs e._.,hJrlcos de __s _._c_s
sobre Io_c�tlcn.
386
do_ctn_qgneseaocn_lehs_c_mel)ttbcle_a_r_nrcerc_ytl T_pF)e_e_c__oT_ls_s_co_cbo_uJneq_ma_oa_ sc___rve__ _______ _ m t _ __ ____ _ t
''. __TEQ_CClON, fUEQ_ Y PQ_MEQ_ '_'_''',_-_
cONDICl�N D___ El EQUllIB_lO x::_.;-.-_-
_ERtERA _EY _E NEMtON _na persona que practica boxeo, se
_e,, a c,,,_qu__er c,emo de encuentra eolpeando un saco con arena. At
.t,o entoFno I_e s,,emos a la co,_c1__s;Jo_n de golpearel saco, elpunodelapersonaeierceuna
, ,omet;_o __ _, __nnue,c__, de ,t,o u ot,os acci6n sobre este; pero también el sacu ejerce
A _ . rue,c__a r_,s,,c_ e,terna de un una ac_ión sobre el pu�_o, íe_to último lo
C__rpOS. _lnl
_r po sohre otro _e _e denom__naAcc_.o_n p_demoscomprobarporeldolorqueenmayor
_o_,e,n podemos dec_,,- _ue sob,e un cue _� se o menor medida sentimos al golpear el saco o,
_F_psfa un e Fecto _sto es p,oduc__ dR _na en todo cc_so, _or el rrenado del pu�o por parte
;o,n. El e ui1i_,;o _e ,n cue o tiene mucho __l SaCO)_ íntOnCeS pOdemOS Pla_tear 9Ue_
-_o_n _u_, __e,_,menta de pc_rte i,_ tu_da acc_ún /e corresponde una acción de
-em_to s_ste,gamos _.,n r__,irecci_n rontr__-i_, a /_ cu_I, romúnmer7te, se Ie
,pto en nues_,a mano _ce,ca de e/ l d_N,e_n_s que _enomjn_ re4cción!
/ e_, ,e_oso _h_,a p,eeun_e_monos __po, ,__,e_ Según to __puesto entre el s__co y cl pu�o
7 _a ,espuesta es senc____a po,que _o e_xiste una 8cción mutu__ a la cual en f_sica
,,s s__ste,,,,endo y la acc__o/ n de nuest,_ n_ano ll_amos lnteracc1ón.
-_to h,ce _s,_b_e _ue este se enc,entre Por Io tanto, en el ejemplo que estamos
anal_zand0, F_nalmente_ diremos: i_ls0coyeIpu�o
1.e F__;sn_a foFma __demos entendeF intcract __n !
;p_, c_u� nu c_e_ _,_a _ámp_ra co1e_da de_ techo7_ A continuaCión, la pre_unta que surge es la
o �_rJf qu� nu cae un I_,bro col_c__o encjma de Si_UiCnEe: _C6mO Sabef Si el 80l_e del _Un_ SObfe
un,-3. n__sa7. el saco Fue débil o muy inlenso?t es decir, �cómo
_ impo_ante t_____,_bj�n se�aj_ aue l3 ac_j6n medimos la acción _e lln cuemo _obre otro?
de u_) cuemu sr_bre _tro, nene acompa�ada de Rara ello_ hacemos uso de una magnitud
la acción de ese otr_ cue__ sobre el Drimero. vectorial a la cual llamaremos _uena (?F )_ _a
Para comprender de mejor manera _sto último_, cual_ ___ene por unidades: el _emon (símbo_o N);
analicemos el sieuiente ejemplo: por ahora ser_ suf_ciente con saber que esto se
'__ _!'s' ___' _c _-_-__ _ _ __?_ estableció en honor al cientín_co ingles Isaac
i,_''_ Newton (l643-I 727J, que apo_6 en el campo de
__'' _ la 0n_mica y la Gravitaci�n.
._, En la práctica_ para determinar,
_ _ _. _;_'_ experimentalmen_e, el valor de una fuer2a
- -_ 0,,,. i,,.. i...,. __,_, _i,0._.,_o,.,_ i__i_,,.,,_,..,. _,_,____ _,,;.,_,,.,;,., ' - c : _'' ' v_'' ' ' ' - '_ _ : ;_ _.... __., _ usamo, __n,_,ume,,o, como e, d,_namo_me_,o y _,' ' i ' '
^ '0 _''o 0^' '_ ''' ' ' ___, r ;'_. ::''; w'':' __/_ _q_o,; _ a ba_an_. cuyos mec_imos de (uncion_iento
/-_':i'- detaltaremos m_s adelante.
_t_F__0__0_L____0(a___s_ _c_0_adraclter_l ___t ______0 _______________ _ _ ____\________t___0_t___________lp________________________________ _______________________|r____0____v0________A__________n_y___________Q_______v_____________t_______t__________________y____y_______ _____ _ _
Lu m b reras Ed itores f ís ica
Mtonces. según lo que hemos planteado_ una Así, para el e_empIo que estamosanali2anda
fuerza cuyo módulo e_- 40 __ corresponde a una se cumpfe que
acción más intensa que la corr_spondien(e a una F_ = -F,,
fuer_a de m�dulo 20 N. El signo menos indica o expresa _ue estas
Conocido el concepto de fuerza, podemos Fuerzas son de direcciones confrarias.
retomar nuestro ejemplo y representar Un_ vez conocida esta ley_ podemu_
gráF_camente mediante vectores las fuerzas que comprender de mejor manera algunos
sur_en al interectuar el pu�o y el saco, para ello fen6menos bastantes interesantes que de seguro
es necesano un_' sEparación jmaginaria de Ios conocemos e incluso algunos de ellos hemos
cuemos en contac to. experimentado aleuna ve2, por ejemplo: _Por qu�
al disparar con una carabina, este junto con
, nueslra__ manos experimentan un retroc_so? __or
Se_a_n m_i_i ' qué los cohe tes pueden e )evar5e o e._perimentan
dufanteclgatpe 0D
_ __ propulsión al expu_sar e3ses7. o __nF _ué sería
in_posible _ue podamos _levamos y despeigarnos
., del piso, Iirando de nue5tros cabe_llos hacia arn_a
0 ,- _0_, t _ _--o con nuestr_s manos?
:_ 0__0,._.,... i!_-__,__ f2 F_ ;o-:=-.__
_ - ___ j_i_--------- -____
'. .__-_-. __'' (_eacci6nJ (_c __) __.:__m;
D.., o
..,_, __c'___. _
re__e__^e__an _'ì__è;'____ s__n ___es_ ::.. _'__,____.i,'_ .''
::'n'_''__''___''___, _';: _'_'0_._0''_
_ '' Uef2a e PUnO SO fe e SaCO- ' ,'n0 .,.. ''' _..,;._^0
_ __ ..'''''._;:_Y_ ,-_(_c_m)
: fuerz_ del saco sobre el pu�o. __ei ... '':.'-.._;;,�____._''_.-_n. _____-_'_;_'__:.. _. __
_,t,_cas de estas fuefzas ' ' '^ - ,, _'__\..,.;.,_.;.iK_)
conocidas como fuenas de acci�n __ reacci6n._se ....,.,. __-___.:_,;_,::.,_._.:__,_____'
e_presan en lo que se conoce como la Tercera __,,_!_,'__-',.'__:,__'''''' '
Ley de Ne__on o también conocida como Ley
de Acctón y de Reaccio_ n. La ValideZ de la TerCera Le_' de _e__ton nO s_
1,a Ter_er_ Ley de _1E_ton establece lo restrin_e solo a los cuer_os o sistemas en
siguiente_. En un_ in(ef0cci_n sufgen un pof de equitibrio, por el contrariu es vátida en toda
_ue F__s conocid_s como _uef_as de 0cción y 1nteraCClÓn eSté O nO el Sl5tema en e_Ullfbfl0_
feacrión, l0s cua Jes son de igu_l módulo, 4c(ú_n Ad_má5 SU apllC_Ct�n nO Se enmarCa SÓ10 _ la
sobfe un_ mism_ linea fect_ (sobre un_ mismo Me_niCa, COmO _'erernOS máS adelante tam_lén
J_/neo de ucciónj __ pfesenr_n _irpcciones hacenlUs llio de esEa Je_' en 1a EleCtrost�tica por
con(r0fias. poner aIgún cjemplo.
388
___d__J_na__d______0_o___________________q________%_u)___e_ ___ ea_c___f0l_t_nr_e______mag___________________r___y__/n_aan_o__a_q____u________________0__e______0__________o_____lo______s____ _____e____r_eanc_leo_ _ue _ __b_____ /___n_s___v__y__________?__________r_________0______c_____oq5_n__t__________________p______________J____________ ______t0__________tr________t _ ________________ ________v_________t___/_t______________________t__________ e____/__________________e______9______mt____s_n__n____r______________________a__ __ >__ _ f
Lumbreras Ed �tores fis ica
3. La igualdad de móduIos de las fue_2as de un balón de fut_ot, al apoyarnos so_re el _iso.
acción y reacción de la cuel trata la Tercera e_c. Y con respecto a to s_gundo tenemos la
Ley. de Ne_4'ton_ no debe c_nfundirse con la interacción cntre la iierra y la Luna, entre ia
i_l___ ldad de sus efcctos. _r ejemplo a1 chocar Tierra v, el Sol. entre imanes, etc,
un tren con I_n automó__'il, el módulo de fas
fuer2as dc u o sobre el otro serén i uales__ . C_l6n
peru sus efecto__ so_re cada uno i_,i__^'___,____!_,_'__0,,,'0o__,o_,g_0__..__.,,._o.,__' . ^_ i_ve:. _ ____'ii__,.
individuaImente serán diferentes. Es obvio _='__0__'___o_'__'_' __ __'__ >_ __=0_- _ __i____
'''''UiU_ _'_';0_____'_
_ue en este caso el automóvil sale más ^ _
Inte_cci6npor
_ t,c_o 'nter''_' _' t^^LaCtO
ori __,in__ una fuerza al act_ar s_bre un cue_u
de__nde de una serie de factores, la_es como j. El cont_cto fealmente no e_isEe; la rc__l�iún
son Ja masa del cuerpo, sus DfOpieda_es anjvelmolecu!_ies tansr_r)dequelojn__ide.
e1ásticas, su _ct_isEencia mecánica, elc. __n(onces nos_ tros entend __fem_s po
contacto, cuando __na .supcrr_cie se accrce
-_ mucho sobre _tra, tanto que la separación
.__ - _ _G _ __ ', ' _' ' _ ' _ T ' ' ' '' _ __. _. __ ' _tes enL,e _fla, ,-e, in,p,,cept;bl
_! t _...._.,_.;...._,.;,,_..0.,.-=__.''_'=...___--_ de '
-_,,,__,_. _, ,_. _______''_0j___''__'_'__'__._0'_^i'_"'i'i'''^__''_____'"_'_''''- ch_ar
_.
t _ _ _ L_P_'W^S ^!eC_'_d^S
, _ _ . in_erachian eslando sc_ad_.
D' ; ' _, ' _, _! _.F
,_._:__.;___v__....;__.. F ! F 0_,_,,_,,0_,,.,d,,._ el ., _'_y" o'j:^i'_
''_____0_d'''_'__,'_'_ ;!____R__''__,,;;.,_i.__>_ ch_ue ''^'Y ^ " +9 '"''^
'' '':' ' ' u=O u=O
' ._,_,ç'__.';... __g_ng;_n: _so
_______ ____'_''__ _':'__''_D'=''^''_- __'n''___''''''-'a_ /___,,__ , .. _;_u,�s - ___a'''_..__;_...
.______,_ _.____g__., _____;_,_____0.V_, __g�__V_ _ ___. _'e___0i '____'_'''_ _'''0___.0_ ' '0_'''_ ''__'' _'i_ _ue
los imanes _ repetcn mutwamente
4. Desde un enfoqu_ did�_tico l_1s inEeracciones es__doa_e_a___' _
entrc los cuemos, se pueden plantear de dos c. _ _ _ - -- - - - - _
,n formas: Interacción por contacto e ,/'/ _ " ___
' Interacción a distancia (fa cual se da sin ; _ ;_
necesidad de un contacto, es decir, que los _ _ _'
_ _ d ''__- -__x _
' Trayect.
se aradot_. Un _em lo de fo rimefo es ta elEP_Ca
�Qu� mantiene a nucs_o pl_eta o_itando cn (on!o _
interc_Cc iÓn aue oCurre al dar1e un puntapi� a s01? f__a se da medi__c una in_eracci6n Brar;_cion_.
39O
__A5ddcehecxaouenepbbantoelltncoam_nrdclcoe_eoss_ceolas_ml5gootltfotd_,___uncntc_el_t_gsco_xcpt_oa___ Igt d m_ _bl _q _66t _ ___ __ t _v_______n________0_____t__, __ _ ____ ____ _ __F__________0oo_____ __ t__
CA_íTu Lo vlll __ Estática y Cent_ de grav_ad
_.'__, __;.._v__._.._ _x_ -'_-.'n--?- -_--__,__-_ '' _ ?.__'_-_____.::__ .;. ';.?. _' ._,S'_.?.._.!'__.... _._____.-__----__M_ _;_--_ ___n_ _ _--_v'_' _ -: __'':__ ''_:i_ _ _'__' :_'__:''__'__ 'i;-__-_____-_-. -'__ '_'- _- _-5_=__---__- ___. _%__ _&,m___4,_æ,_,:.'__,_ _:_\_c_._:_'___:;_:. i__,_;___;.. _;__,_i__:_:-:__";__;'''_n ';,!__X'___X._'_n,\__,___'--._:.:__:___. :;_;;C: '-'_':;.__..;'__' ' _.:'___ t__'___4____v___!____ ____J'_ ,_'m__'_''x'' __,____:_;:__.'___!_'!'_____:'_ __ '':__'_
'_n,..;:..:'ì_ u' _ .E__- _' __U' __U:. ''_._'_';! :''__j_' '-_8._____n-_' _.__,__._'._-_._."-,__ _ __:.._'_._;H,.. _.. f.._ ..__ ..:'.''i .';m, _____,_,,__.___ -'__-.___.___"'- __i;J_n' ;'__._._, _,,.__;,;;.,,_.,_,,._d,._, _,___n_,0V_._,___0;_;;.;_n:,-..'..,._....;,_,_.',.:'_,___..:..S;'_::;-:'._.:''_.:_:.'';.._.:':_.;,._..;__.._;?\::'._';._'_,;,__,0..___,.,.;d4'_!''__n___,,'',_____;/__',_,,,..n._, ,.__.:...,_.:;:_;__,:_;_._...:v__.:;_..,.__.._..,...._,5_i_'___,_,;_.._;.;__,..._:__._..-...5._?..,!_..,._..,:.:__,n..j,_.....__.4'_'__æ___4___.__,_,;_d'' ___, _'_t;__,._!,;._..____.;'_.,;.;.;'::..;._:v_'_':_;_..;.':_,.v_:_;:,;__.:.:'_
En la naturale2at nos encontramos con ._,//__/
muchos tipos de fuenas, las m_s comunes son .,._ '''_''' m1
e_las que se e_ercen por contacto, ,,'' F_
empUl'amOS1 _feS_OnamOS1 COm_rlmlmOS O M_ ..;...;-.::.____._.'''___6_''''''th_ ___''a ,_/
t_f_os un ob_e_o, y _r supuetto como m lo _ .,._;___.;'.''_.;;-__;___,;_';_'_:;... .':_;y_0., ' ,___'_
.e,n ha o_,,, f,e_, ,e ':'' _ '' ''__æ,...,..:__.-.;_:__._,____..:___':__.'::__:_.__,_:__;;.__-_'" R _ _'!:__.,._
"':_'_'_--_''_e __'-:_______':-_ F
see_ercenadi8tanCt_. '_, =-. _00,,-- _------- __0, ___,.,. _-_-
En este capjtul_, estudiaremos_ con la .._., :;i_._'_:.. mi
_jnalid_d de conocer de manera m_ detalfada, _;;;.., __' .,.._'_._,'_~_'_ _
a!gunas de eslas Fuerzas_ dando especial _.;" .. '__
importancia a aquellas que tOn de uSO m_S l___ra_'m '
. . , ,. _Ia_tiy�nil_ _ B
treCUente en OS 1VefSOS Ca_ltU OS e eC_lCa- _ 0 m3
i, en Ofden de lmPO_anCla Eenem05 _\\\\_
FuER__ _E _i_vE_AD __ _ Como podemos obse__ en el gr_F_co, la
S
Tierra tira de los cue_os hacia su centro, no
_ando en et capitulo de Cinem�tica,
lmPO_a dOnd_ eSte UblCadO, Se mUeVa O n0. l,a
estud_amos la c__a l_bre se hablÓ de la &__ttiÓn _
' F serepresenta mediante un vector diri_ido
te__tre, pCro _qué si_nl_Ca eStO? lsaaC K!ewtOn _
hacia e1 centro de la TIem. Eslo último que hem_s
en SU teUfí_' _e GfaV�taCiOn Unl_e_4I eSta eCl
p_anteado no es del todo cie_o, pero p_a '_os F_nes
qu_ rOdu__ I0s C_'PmOS en eI UnIUeßO Se 0tf0en _
q'_e perSe8ulmo_ es una buena aproximaci_n/_o
e_lte Sl_ _p_r qU2._ e_ eS_ entOnCeS Se _ an_e
que ocwre es que est_nos considerando l_ _ie__
_Ue efa debldO a la maSa de lO_ C_m_OS, pof eSte
como una esfer_ perfecla y adem_ homogénea
mOllVO tOdOS lOS C__erpOS er_ el UnlVefSO
. , , A . d . accl.o,n (de densidad uniforme) lo cual L_omo sabemos
lnteraCtUan entr__ _l. eSte tl_O e l_ter
d _ a de los c,e os a_ora se _e no es del todo preciso. .4dem_ nótese que los
l Oa _maS
, n r_v_.t8c_ong_ cue_os también atraen a la Tierra c_n _g ; per_
.o,n te,restrg de _, cual corno la Tierra tiene una masa muy grande
.c,la, de es_e _,_po comparada con Ia masa de los cuemos que est_n
-nteracc__o_n esta ser/la la at Facc-_o,n ue en su cercanía rMT>>mJ deSpreci_o_, en 1a
_me,tan _os cuemos po, p_rte de _a TjNena práctica, Ios efec_tos de atracció' n de los cue_os
Nlnte,actu,an con ella Aho,a como sobrelaTie_a.
;ada a __, _.nte,acc;6n _ _ene una T_biént de_mos tener presente que el gran
fueF2a, por _o que _a f__eF,, de gFa_gdgd es tama�o que presenta la Tienat en comparación
aquell, que mide la ac,_ón de __ _e_a sobre _os con nosotrus hace que no pod_os percibir su
cue_os que se encuentr0 en sus inmediaciones CUf VatUra y en tal SentidO tefminamOS _Or
(et cuemo puede encontrarse en _a superrjc_e COnSIdef_r Sl.l SUPerfiCie COmO Si Fuese Una
terrestre, por encjma de e1la _ incluso por debajo), SU__Cie _l_a,
pp_ee J_eeuua__n____alJcca,_ls_l_ndrtdFre0dt___o_ _ ( )__F___ t__ _ ___ g _ en__(_r_s(_2( )) ( )_)__ mgt_)t(R+__) _ p (c_tt_)
Lumb reras Ed it_re5 fís_ca
Hacjendo tal consideracj6n la f GMT.m
_f __ C-_R+_ 2
UefZae_raV_a Se 0o
_ t,_c _ y d,_ _g_d, ,11 l,_,
'CSen!_'a VeF a '!! _ _ G_MT
aCta a__lO. COm_rObar eStO nO eS C - x JJ 2
ningún problema, basta con soltar Fg
un objeto y notarem_5 que cae _ En _St_ CaSO t_ rUef2a 8fa_taCiOn_l Fc
vertjcalmente poF _cciór) de la _, _ feCibe cl nombre partitul_r de ruer__ de
e_'te crecto nos estaría indicando _
su direcci6n. _r8Ved8d Fs y el FaCtOr _2 reC_be
Ahora, _cómo detenninar el m_dulo de la
F__e,2a de _,,vedad7. nombre de m�dulo de la aceleración de la
P"a _llO_ eS ^'CCeS_iO 'del'ntam_' U" PO'O gravedad (?g). ior lo _anto
a lo q L___ __eremos con más detalle en el capítulo
de Gf_VitaCiÓn. __a_C Ne_On eSt8bleCiÓ q_e el F _ nJ
m_dI_lo de l_ iue__u con que se 0(raen __s
0f(jcu(_s es dife_;umpnle pfopofcional __ -UnidadeS
__ducto cJe _us r_,6____s e inuef5_nmen(e m : en kilO_ FamO
__U_ OfCl OnYI _ I_ dl_l0r_C_ _a 4Ue Se_af0 MS CentrDS _ _
t_ :enN__î7tanl_!
Con._'iUcramus a _os cuemos cuales_uiera
Como p_demos nulaF. el m_d_lo _e !3 f,m
_ \_, ç _2
r, --- --------_ . depende de la masa del __erpo _- _c_ la
aceIRración de la _ra_'edad cn el Iugar dond_ e5t�
_' - d __' ubicado el cuemo.
.n.n_-n..-__-._ _ Esto t_ pode_m__ comprohar c_1anda
_ _ Cm1_m_ t )ntent___ete__un_\,e o ,debemosa l_
' ,_--_d2 t_
_-. .-- -- -_._...m___' un__ fuu_ en conlra _e _u fuer2_ de, grav___cnd_
C : canst__nte de ._1ra_'it__ci�n uni_'crsa_. Su valor sebemos que cu_do m�s m__sjvo es el c__er_o,
es ___7xl0-''' _.m' /_2 mayor debexre_vaI_r_e la ruenaquc_ebemus_
__nter,cc-_o_ n de Ja T__eF,a con _pticar p_ra levantarlo, ya _ue debemos __'enL_er
_ n ut,_, cuer_u _ue _e encuent,e en sus una mav_ or atracciór_ terrestre.
_n_,__ed,'- ,_ciones ten_n_os Así mismo, p_demos n_tar que g disn_inuv, e
_,!, con la a1 tL_ra, _r lo tyn to. ie F4 también J is__in L_)_e_
c "_ _g _ __ con 1a al lura. aunque pafa la s _nmediac_o__e5_ de la
. , ,,_ _ suµcrf_iieterr_strc_(h<<X). _4 espr_cticament?
MT ', ' __ constantc_' 5u n_ó___lo a._Laaf a
+__ '
_ Fc -__
_'_ _ donde
' J__ T _-__x___tn_,
392
_fR F___________________m_Ar______c__________gmr______t Gt(____t_t0__(__5___o______________g_)(l)loml__s2_)t_________F___B__v___(_5Jh_____o__ of_tN_ _cbon___p___a_____f___rq0__z___l____p__e__oe0__0o__y__opa(J__dtg_5o_o)__s0bef_ea_u_n_m_ax_ pb__a___r____a__a__d_____n______0s___t__F____a___g___p_a_____ l_a_____(ue_a
CAiiTuLO v_ll Estática y Centro de gravedad
__i,_.,.o,,_. i_.0_.__ __ '_''e.,_, ___ i___,,,_._oi,__,__._. _,__.,0i____g___0 '_,__'' _i__,___0___d___ _'a__.________0_.9,..i_,___ii,_o__a,iii__'__'_,.,. ._,,. _ii,8,g'D,,,___,,,i_,_,_0o,?'____.,._i_..__._i_a___.a__ _, _,__ __i.,_,__ _,,i,8,,_._,g___i_,__,.g;_'__,,o_,, Si_ __. __,,g__,e0__ _; __ ,._ __.g_._.,__'0__._,' _____' ________.... , ,___ _,_. __o ____, __oi.'__ _____0__,g_o,.__,
' _.g _'_._.__, a ' _0_i__ __., ' _... ^0 '_ 8'5 0 ., _. ' _. ._ _, 0,__ _0.0_ ..l,0. , _..,, _ _., _,0, __a._ iD_~_^__0 _'_,..i0o,_,___.,.. __ _ ''., ' _'_. _,' __ _' ^' '_. _, _ ', ' ',, ___, _ ''__ ' _____i___.. _,' il_,__0, '_,_._,.. _ __._0 _,_,._._.0... __ _. _,, _ _ ', _,.,o,00 _ 0o.._o __ ' _ _._. ' _0.._,i_,.__,',o.__._, _,,_,_..____o__., ',_. 0L _'_ ' '__ _;æ' ''' ' ''' _ia___'' _'o, _,..,,._0_o ', _. _,_,,0=,,,00_..__, _.. _, '__. _.0,, _. _ ' '_,, '_
(6,67xao-" )(6x _o1') g g _ 1 �_e__.-'___:::__s':_v_'_::___'__''____ ''_- ---'M' -"''M' '_'___"_m-"_^-_'___-^^__' __'__.
3 _ ' :: _/r'' Decir rue_ de gravedad no es igual a _,'''_.,_
. ,d ",_! decir peso. Recibe el nombre de peso de un '__e''__
OmO SabemOS __a flneS _f CtlCOS COMI eramOS __, _
CUerpo a Ue_ _emen CU af COn a qUe e _?",_
_ i__ , _'e_
_ S _, cue_ actua sobre l_ s__perncie def Cue_ e_ _00_0'
Pbr ejemplo, si una persona tìcne una m_sa 'i''_ _ue se encuentra apayado o tambien _,0
de 50 !_g y se encuentra en fas jnmediaciones de ,,. s_spendido,acau_de_atr_cci�nde laTler_- o_,__,'
la supe_cie Terrestre, su F, tiene un móduto de '__d____0o____o__ _____'__''_'____''___d _ '_____ o'____"_"_ __'0__ _D__'____'______o __ _____'0___'0''___'______'___'___ __'0__0 _____ _''_0o__'__'''____''_____''0 ''__'_ _0_______0_0_'___ _o____
_ _r ejemplo_ en _a F_gura se muestra un saco
Al actuar sobre un cuerpo Ia Fg tiene un
punto de aplicación, que puede estar dentro o
uera _e él _' al cual denominamos Centro de
Grave_ad (C.G_). _. , ,
_un4ue este pu__to se ampliar� y det__ llará , _ - .
más ä- detante, es necesario por ahora conocer la i'__o__0_______0_____'_'''''' p
ubicaci6n del C.G. de algunos cuerpos ^___..,.,.,_,.,0. _ ;,._,D ___ _ ________-__
homogeneos de fo__ regular. _____i__, _ l__'' p __
_ ,.. ''_'!_''___''''o_i_"i' '''. _ .. .. _, ,, ,,,,0___,_,__,d.,,e_l _co7
BwTa recta Ptaca _angul_ ,_,^__' ^'__,.0d,
homog_nea homogenea _,___,_,.,...,.,,.,...,, ,. _..,_,,,__i. _
Y_G.c___c_
elpuntome_o _
___ . _' _-___ ;___,-_.._....;.,. ' L_ fuerza P con la que el seco empuj4_
. "' C., _,. _ i hacja ab_o a la balanM yiene a ser el eso _e l
.,_ ' ' .". y cG _d_ saco, el módut_ de esta (uerza es lo que marca la
_'_ j cm_l___0____
..' _ ' d__o, a an2a. _r e O, eS COffeCtO CClf qU__ una
balanza mide el peso de los cuemos.
Pla_ fett0_W_ _fera Asj t4mbi�n pare ef caso de una l�_,parah
omo g _nea homo g �nea s u s e n d._ d a e f è d _ t e ,,
_ . B con la ue esta __l_ de _a cue Fu_
. _;__..-.__,_;._'____.__.. "__ _?:,i?, ,_G_
D_G.__ DC.Gro__ cuifdan _ _
__d__. d_d__Are_ __a 8_
_,_0_ ___c_i___'-' __0
OO_JlO Cili�drO ,,v.,''i
homog�neo homog�neo _ n,_'_' O ,.,_,.,,,.. _i e___
f,, ...? K _ -/4__ _p
_-,_ C_G. -.'' 0__^'''_;'___ _''_"'_''__''''':-'''"'------ _ .
_''_,_,e,,, " ^'__^'_''' -/-__
_ C _. c_ncide cm y CG. cdncide c_
_ cenmD der _o. cl cenhn _ n___. _
_eFd_en_m ___o__ _ (__ ______a___c________F____n______t__________0_(______ ____ ___________ _ _p l _ _p ql t t_ d t _ tpp _ __An c0ot nlast_apa_mf_ tt_essaA_dye8y_
Lumbreras Ed itore_ f ísica
Nótese en los ejemplos anteriores que la Fg
_e un cuemo actua _ubre el mismo cuem_, en _F
cambio su _eso (__) actúa sobce el cuemo en el
ie,e ___.
' __
__i en �mbos casos e_ cuerpo se _o_ra '__
_
mantener en r_poSO, !_s mÓduI_S de la fUer2a __
gra__edad y el pe__o coinciden (esto ie podrá _
3CCi
_emostT3rcuando se plantee _a primera '.__O .,_.-o----- ----N,-
_ _CCl
condicián d_ equilibrio); por esta ra2ón se Ies
s_1ele conf__ndir y se habla de pcso y de fuena de
, , __
raVCdad COmU Sl UeS_n Uer ZaS l_Ua eS; __fO COn _
_a0
_jslir_tos nom_res_ lo cual es jncorrecto. __
0_
FueR_A DE _ENs_óy ( ^r ) j
En el ejemplo ariterior, en el cual la lámpara
se enL'onlra_a s__spen_id_ _el techo mediante _ hace, et corte ;,m,_,_n,rl-
una cuerda. se _ue_e ___ucir que dehid_ a Ia
de a CUer a lnCremRnt_n SU SepafaCl_n, _efO
uer2a que la lampara e_e __ce sObre Ia Cuerda en
/ ésEas interactúan atr_?'éndose.
UnO _e SU_S R__tf_m0S l0 _Ue h_bt_mOS -
-_nado peso) y a __ Fue,2a qu_ e_ techo Cada pane de la cuerda atrae a la otra cOn
ejer_e sn_re Ia n_ism_- cuefda; pero en el otro FUef_laSqU_SOndel_Ualm_UlOpef0dlreCCiOneS
e,_'tremo, ila cuef___ se n_antjene tcnsa! COnt FarlaS, CafaCterl2_ndOS_ _Of aCtUaf a 10 laf_O
' de ta cL1erda y estar dirigid_s hacia el corte
,,6n ima._inario. A esta__ fuer2_s las denuminam0s
0,_ l_ln_a _ Fuer___ de tens{ón.
' F= fu_depaIte
_6_ _ d___echa. _s_tas fuer2as est_n presentes _n cual_uier
i_i_ _.___d._i,_.__,_,_o,,,.. _0
___. _ '_'''''''' 0, __e _UntOallnteT10fdetaCUe FdYymantlenenU_ldaS_
_ ,______- - ,' '0 a todas las parles de etla. si _a cuerda es
_t.- _
_/ t \\ Se_a_�n '' __ C!U__de consjderada de mas_ desprecie__e o mu
_- _n_a _edela
___a_ e uen- a en com _rac;a_
_.__ . cuerpo que sostiene, s_ demuestra que en
__ cual__ier punto a _o largo d_ 1a cuer_a la tensión
// \\
_rescnta igual valor.
El _feCtO _e _StaS f_ef2aS a'l aCtUaf e_ la A ni__eI molpcular, _sta_ fuer_,as son una
cu_rda_ es la tendencia a set}arar sus partes; pero ma,,;festac;nn _e _,__ etra_c :,ó,_ entre t_S mo_�cu _
si e__to no l_gTa ocurrir, es decir, si _a cuerda no se de t, cue,da clue sp o p_,nen el _.
rompe es pu�que en su interior se mani Fleslan
separa_ión d__id_ 3J est,xra,_iento e 1c__ que est�
Ue MaS ql__ SR O_Onen a tal efeCtO, _Sl C0mO Se
. . / F .sumetid_ ta cuerda.
I_ en e Sl_Ulente _ra lCO.
394
_d_ee_()orm3fst e_d_le_ltJv_t_ an_ t h_ t __ _t _p_g __n_ _0 _ _a_ltuq_(tdetlmn, apl__odpeepllcc)raasem0so0odftseeuun_n_ya_fgFFaus_oeunftr2vn__ecaa F__
cniiTu Lo vlII Esta'tica y Centro de gravedad
En la F_eura se muestra un rnodelo mecánico D_____^ __
de la oposición de las molecu_as de la cuerda al __^ __ _ 0^ 0
serseparadas.
_ __o __________n__?,_0_0 ' 0___ _ ?? ?
,0_ _ _L _ _ _ _
,%_,_,, _ __ _
_. _ 0 K'osoEros estudiar_mus únicamente la_
t_X_a_ _ ^
lm___ ^_.c7_\- deform_Ciones por estiramiento _' COn__reSi6n.m ^ ' cu ' ^
_, __ _ , _ _, ' cuando un cue_o esta_ derocmado> en su intenoc
,,, __t__,,m_,_c_'; ___ sg ,ese,tan f,er,,s ue se o on_n a las Fue_as
' _ 'n der_ormadas. tal como __a lo hem_s planteado er_
el caso ante__r cuan_o se trat� de la fuena de
la suma _ resultante de todas esI_ pequenas tens._o,
r_e_zas que sur_en a _ivel moIecular es !a que Tomem_scomoe_-
__n_min_mOS FUerlaS de tCn5iÓn_ de __sy de_prec_ablg, colga_o del tpcho, _al,
como muestra la F_gura_ en esta sil_aci_n se
__ER__ _____%_ ( _,) e,cuent,a con s, long;t,d natu,al_ (LoJ.
Un cuer___ el_5_ico es aquel que tiene la _ _ s _ ;_
capacj_ad de rccupc_ar su f0Tm_ y tamanu _
n,__u_al cuand_ d__;'an d__ ac1u3r las ruerza_ que lo Lo _0 ,,a =
dc(ormc_n. F_co rJcurr_ por ejernpl_ con una pelota = a
_t,,e unaes_,_n__a ,n, __,-__ un ,esone ett X=O --- -- + o _?____'__=_ ____
a Ff__I
M _ener__ tOdOS lOS C____S _Ueden S_ x a
Jef_rmados_ es decir _ued_n seT z__ara_os en tu O 0
forma por la acciú_ _e fuer2as y pueden --- --
'_ m_eF_. muchas de __ F d_ro__ _
se pueden n_tar a simple n_a; en 0tros casos 5_n s._ en su ext,emo __.b Fe e ___
tan peque__ que no pueden s_ adv_ ' das 5 in v e r t._ c, _ h a c _._ a b a. o e _ T e s o, t e s e e s t. _
inst_men_os especiales- _on _.tud , a la cual vam_s, denom._
L__ s deformaciones más comunes s_n por defo_4c_-o_n _ong._
estira__;ento y _ompresión:, un cuerpo e5tá AI est-_,a, el resn_e __nternamente a n-_
estirado cuando 5U 1on_i_tu_ et mayor que su mo_ec,___e_at_decaus,,unam,_orsep_ac_;__n
lOn_'tUd n'tUral (lU__'tUd CU_ndO eSt_ _"n desusmoléculas,sur_iendoasípeque__sfuen_
de(Orm'rJ Y eSt_ COl_Prim'_O C__dO SU lOn_'lUd que se opo__ en a tal efecto y dando como result6d_
eS n_enOr qUe 5U IO__ltUd natUf_. _iSt_n OtrOS la m_ifest__cj6n de fue_as que se 0ponen e ld
tipo_de_eforma_:ón com_ l_torsj_nola _exión, separación de �as partes de1 resorte _ l_ cual
__1 c_mo se muestra a continuatiÓn. denominamos Fu_rza e __' ti__a ( F,) .
__t__t Gc__tl_utc_oaf_t___m_(c____tthrcrfol_snt_tl_c____)___n/___t__rt____M_____t__t_ct___)_c_ res_0drtte ____rtdr emeyn4_ue f_to_3 __x_______x_x______t_ _0l_,___t______Ft_t_lrr__l_____x____|__ _ tt r
Lu m b re ras E_ itores f is ica
Al igl_al _ue la fuer2a Jc tensión la (uer_a
elástica cslá prescnte en cualquier punto al _
interior del re__urte y se oµone a las f_erzas _
___rormadoFas (_) tal como to muestca el _ O----_
gránc_, tr_t_' r_do de q__e el rcsorle recupere su 0 ,_oN. _l
Ian€i tud nntural (Ln). __s (ácil notar qlle _ medi__
_ue _un_entamo__ 1a fuer2a de(_rm__ dora mayur __
ser� ta deformaci_n x _el re_orte y, en
consecuencia__ rE_a)'__ st_r_ el _nódulo _e la Fue r2a F_- 5o __
el_^ s lica. Es. le c_mpurlam iento fue e.studiado por
el lne f"- _Ot_ert HU- '____ ( l 6S3- l 703) qUl__ llC30 a La _,a,_a__ _�n de Fuer,a con _a _er.ormac ;�n de_
__st_tglacer ____ e1 m__ulo de la fucrza elástica ,eso_e se p,edc rc, p,esen,__,, c_n u,_ 4,__-t_,c_ t__x.
es directan_e_te _roPOfCionaI a fa d_fUfm_Ci�_. _e _c,e,du co_ _, __e,,, de _uon_ e. 13 grá__c, d__e
ES _eCif __er una 1íne__ fect_.
1i_nilede
_ _ n a ru__-uIa
_;._Kx f _F(_,) P1_'"'' i
F__ _- - -. - - -_ - _-_ -- - -. -
Est_ f_laC'c�n C_i rOn_Cida caE_O l_ LRy _e i _m__ede
_ e_a__'_cIdad
00ke_ dr.)_)_C F _ _ . _.. _ _ _ _ _ _ _ _ _
Ft- : mU_(l!__ dl' l_ fUP?2a eláStiCa (_n _, C_'VtOn). ; :
x : dcíuTn_ariiJn _i_I resorte (en met_os _ t2 - -- "- - '-- !, ;
___-__tln__tr_J_ ). _ ;
K : const_nte d_' _r____Jrc�onalidad cono_'i__ 1 ; ; ! ;
.t,,te _, ,,_€,_d_, su _,__ _,,, cs o _, ; ; _ x' (m)
, _e_ cf,__,e__,,_,c_,_e, _, c__,_ n,et_r__,___ _el ue _e la __r�n1__ se lil'__L_ q_e a n___ _.,'or Fuerza
._c,du su ._,s__,_ es e_ (_/n,) en aplicad_, _f resc_rte _____rimenti_ m_-?__-or
F _erorrnaci_n: v_ p__e__0s u;_c_r __ _r_Flca
_ __llE_0S C_iUS _Se _lle e RXDf_S__
{!Jl (,_,/Cnì). tcnn (_ _ _! _ -i' _ -__ _ __!'_ - _ _'
;,___ e e_tc,_ _R_. s_, _.._ ,Jns; ue __n m�to_o L___.€_._ _ = t_-1! !ít
F_-',_;1 _ç ,ned;r f___ (_._e,z,_s. c,_,,_,_.cchando _,_ S____i_l t_ ___r_!ic_ l_s c'u__rµ__ __ cr}n____'_'3n __-ui
.upu,,;u,,__;_d_,._ __., _as fu_rza_. _p_;ca_as e- un _rrJ___da L_____ ___t_i_ti_ ___ _lc_iic1 u___ _lL__to _'__ iur
d r . _ t _ s lf__r)cJn_.in;____ _í__j_e __ fl__s__cir__'_ _. r__.__ el7__ u_t
rCSOft_' C(__ 5ll _ Orm_Cl_n_ SC C(_nS IU_-__ ll
l-u_l l__ f(l__r_e__ )__ ____ _-r_-_ ____J_ur_';_naI___ a l__ s
ln___UmCtfU5 4U_ _aStCarnerlt_ SOn
de Tc_l-lnaciu__es _' _i Ic_s _-_J__?,_-__!us ___1crJi___ una
JS__SltIVUS qUe7 tt_n_n un feSOfte fl)O en Un
_.__:'fuFI_l_CIUn _L'_tC!_t_I _n __!_ _li_- ___, C__t_ f,_,S_ CS
_>_lrer_1o y _ _!u lar5u de �l exiS'le una escala c.n_,_o_..___ ,un,c, eta _ c_e 14_t_c_.d,_ s.,
_f_JU__ d_ e_ _t '___'tC)n, eti____r_rl_ C_. m_ Pn lIll�_ __ ul_f.Elu__ _.__,,n____E__c_u ,_,,_ (__efn,c_ cl,er_u. f,n._
f__l_, t__! CUnj_ Se nlUeStríl. cu_-. u u__e _le _f a ,c,n_ çrs_e.
396
___x_?___?____ _ __n_n__t__ _____K__ ___x______ __ __t_.__lf.____ll______l__t_.__.___?;___ pclp_gourla___1ea_sl1_;g__a_s_l__L_co__rpnoes5teay_mue_tcst_0ra_anpe_on_gdeeeldmgge22qtLFo2aKKtusne_d_ccl_noea_2tc_u(tdur_gea_flt
CA_tTulo vl__ Est_tica y Centro de gravedad
_ ___ ''__ ?,,_,n________^_,o,c__ _,_,_,__,___,____o_______'__,__,_,___,? __,_g,___,__?__,__,____,,,_0,,___c,o______,__v?____^>_,_,,_____ Relatlón gntre Ig congtantg _e Fl I_e_
_ _ _ ?__ ,n ,_ v?, __,,__ _,___,__,?__, ?_' ,,_?___ ,m ,_, ___i_ _, 9_w__ V__ _,__s_V"c_, '_ _ , _d,________c___c,,?v ____, J
.' _ r_- __ Y la lO_9lt_d nat_fal d_ _n feSOfte l__l
- _ _no_' El valo, de _, cons_,nte de n,g_.de, nos _
_ _presa el mo_du1o de 1, Fue,,a que debemos Habíamos indicado que ta conslante de
o apt'ac__ reso_epan_ogr_deIo__loenuna ' ngide2 (K) depende_ entre otrus factore_, de las
unidad de longitud. e_ dimensiones del resorle, especír_camenle nos
Por ejemplo interpretemos el valor dc la , ,efe_mos a su longjtud nat_Fa_. La Felación que
? conslante de _sidez K = l OO NJcm, de un ex__ste ent,e ambos e, _,nversamente p,opur_,
reso_e.
_le v_or nas indica que por cada I cm que - '
._Je desee defoFmaF al reso_e, ya sea pafa , LPOf qUe Se _lantRa eSta an_aCi Ón? P_fqUe
estirarlo G compnmir__ se requiere aplicar una _ c__ m_s fácil estirar un reso_e l__ rgu en la pr�c tica
fUe_ de m_uIO l_ N_ e_, que estirar un resorte cort0 de iguaI ma_e_ia!;
__ O ~;J _' ue_e com Fobaflo se recomjenda ue lo _4 a
, ._. K=IO0Ntm _. _ _ , ,e__, .__n on .
'_ _!-'m-_ __ que a menor longitud natural, mayor ser_ la
_ ' _- '; _ F___ooN _ constan;e de n'_gi_e2,
; ; _ Por ejemplo, si lenemos un resorte de
, __2. ____ _. _ _ _ con,tante de ;g;de2 K y 1ong;tud n,tu,al L_, _qué
! ' F_ 2oo N __ ocurre si cortamos el res_rte en dos partes
;_ "'"0_'"' __
'g Ptor ello, a_ comparar las constantes de rigidez _
_ de dos resorles l y 2 se determina que si _
K1 >_,_ entor_ces para de Fo_ar el reso_e l se K _ Lo
_ rcq__iere __ay_r fuer2a que uara de Fo_ar en , , , , , , , , , , , 2
Ia misma lo__gitud _ reso_e 2,
0 _=O O _ , _ _ n _ -
! _ _r
, . '', '',,,'; _-O_
, _ _, !, M Pbdem_s deducir a partir de _a re!ación ante_
,'__ _ _ _ ' ' _ ? ' ' _. , mencionada, que la constan_e _e �gidez _e cada
'' , K_>K_ ' ' , arte ser_e_do_lede _aconst t __ _
Tambien Se _Uede _la Ilteaf qUe Si a a_bOS _ reso_e injcj___ esto porque la ton j_tud natuf_ de
re_rtes se les ejercen fuer_s de igu_ valor, cad, p,_e es a_ora _a m__ _ad de le lon ,_t
e1 de mayor ri_ide2 se defo_a mcnos.
, _ , del reSO_e IniCial.
l J l_ F En _eneral, Sl d1VldlmU5 el feSOFt_
' ' ' ' ' ' ;' ' ' ' U :' en n _artes i_uales_ Ea constan_e de n___'
_ - cada parte __erá nK.
_ ,,,,'!,--X-2-_!!, _0
_ ___,,_ ,;__, ' u 0 0 _ 0 0 0 0 0 0 0
;, ' _�o _ ___Lo
_ssspdl eetn_e_ms_p_ul0sc___ee_crlm_dlnc___5fr_o___st{__ynd_te_d__e_srlK_ldg_ J_ _ t ________ __________ _______________________________p___ ___ y__________ ______________n___ t__c____t_nd_ o__ e______l___s_____u____e_ l0e_
l_l__breras __ _itores __sjca
_jemplo J ,,,.,,,____,,,..,v,,,_.,_,;.,.., o,.,,.,..o.o.o ,,0,,,,.,.,,,,.,,,, ,,,,.,..0.00,.,,.,,.0 ,0 .,, _,,0,o__.._,_,,,o,,,_, -__, 0,,
. _ . ____00'^'_ _' .!__._g''___''_,-;_-__ '_-_ _'_' ..__' '^ ':v.v,.____0_''i_0',...,__o_9. _jo'__�j__d_O' ^_0',''__e___e__.__', '0e0a____0__0_____,___j__B'__' ._,'___^__',__0',__ _'__-'_ m'_'_'_,___''.,__,;._'___Xt_"'M'_'5_'_''' ;�' _;':.i _?._n__'_ ;t. ' '___-' ____.. ':____ __.___
_ t_l_Ile Un fR_Of e e Cm _ J0rt_J U n_ Ura. t___-_'_:',_'!t__. _-"^^e'0__' _._'._.!_,__,_'_0____8_D___0_d0 :,i:_i,_!_/;__'--^-_'_0_'_-____.' '' _%__,,''__'D'0__-,__-'_'_'n_?';_--_;;_--__' u;''_:_.______:'=__---__- _^__-'.____
. .. _/ . ,. . ___'_''_''__i__:X___,_m-___:=__..;;i"_;.'_.;'_,''__,_i______:'____-___.__,.._-:;/_- '_?';_.. ';___:_i__-.;___-- __ __ '_;._.__..__'_''__i_,::'',:_;___,i,:'_,__-_,_.n__:_'- ;___',._;_';''_'=;,.?.;.e.;_.,:..X_.,d____,_,
_'_J ConS _n e e f___i Cl _t _ m- l l_-! l__O_ ;___:''''_= ?':_' ?___'!:_____'''___0'n__t_c___ '__:'_/^_-:i:,_.__x______ì;:_=:__;h;'__h?_i_,__:"'-i?__''_!'''_-'_'__',y_''"._____,-î''..^' ' ?'.___._;_':__:::____'____''''_'_:
_ _ _____'_''_ _;__q ' _:'' _ '__i_^_m____sn4__',______:'''_-_: __n;' _''' m______^''?_'''''_''_ 'i_'"8';'''' ''-'''''^' :''_'__,,_'_^_, ' '__._'''__;'':____':.4" _'''''__:?, J:';~''_____-_''_,
t' it'?_rte t'n l 0_ _}3ft_,S Cl___-d.S Ol__ltU CS SUn __,',,_;___..:_':___.^,.;_ =-_-..s__._=_.___---.;.-_;.__i'_:;_:'_..,;_,;''_;____-_:'_____:':;_::_:;'_;'._--_o_,___,__0__,_0 _ .; - '''_'..'_;'-,;;.__,__._,n__';.__.'___.;'.'_.. _____-:._____,_:__.
_-_r ,__ __ _r . )_ _ ?_ _ _;_'_'_:_'''_,_,_-_',_/__-_..-__,-,_;=._.!_'''.:____'__''',i-____-.___;'_'''''''''' 0.,,o^..__i_i_____i'j& ____,,o-'-^-mj- ''';'',_':5;'''_;_,;,'-_-;.__._'__''___
_ _"-i;__l_ -l _ '" í-._'_'_,_x.__.''_-'-;__'::;__?.':V.,,_' x,,,,,,,,__6'',o0,_,_:.ii_"'_i_i,__',: ___'____'..''__._,=.._,,:;4xc?'.;.,_i_''..:___;.__.:____,,;t_
T. _)J!_1c7 de (_;,__,_ p_- rtr_ '' ' ''' %_-____,. __æ"'__ __ _: ___ ^ _ _ __ _; '___'_' _ :'.__' '_c.,_'"_;.'''_''_____''-_'' _'____-:__;m._;
'"' - ' ______,__;.a_,,,,_,_.__0_.,,0,.o_.,^!"__"'____ _c ____g_,__._ _,_\\__- ,. ____,''':;,_c_-__-;C--?s_-_'_';
l,_,_i____.__i_,,g.._.____''_____i__,i_'0_;ao =_,_,0,_.., _ _,__ _ _ ' _ i' 0' _ ''___,,,,o,o __g _ " S _ ' __ _i _. i, !_;. _ s_,.
_u(uc____f_ ___,_,___,oi,eo0,,__.__,i___,_.g_.,,__,__0,,0_,,o__,_a_e___,_ .___,___,_''!'^'______L_'8_____'___eo._,_____;',,,,,,,,,,,,,,,,,, ,_,,0 ' '__ :__0 _ ____x, . ' _.'J, __x._..;.':'.:__-:, ,
. a _ _ __ '. '' _ æ_ _ _i. _,' _ _= __ _. i _ __ ' __ _ ' _ __0 _ __o _,.a ,.. _._, , _.. ? _, __ e ' 9.. '_ _ _. __ ' _ ' _ O ' ^ i _ _ _ _ '' ' _ 0 ' i__ _ __ i ! _, _ , 0 0_ __ j_, ___o. ,_, ,.e,_ & _._ ,, = , _ ' , _ ___ ' _ _ _ _ 4 ' ___ ? q _ _ __ , ' ; _e _ ' ' ' ___ j _ ' ' _ _'_ i, _ ' '_ ''_
R?i3Jre__?nt___m__J__ _'rc_F;?____ler1_e 7o _ue el enunciado __i___,'i,,____,___'',0.,,a,'__,_'________'_''__'_,____',._,'_'_'_.g_,,..._.-_',e_,,_,___..d_.,i,,i,_.,..,_,, ,, .._,'__'..__Pi_,_m _,__. _i ._,.. . _m.
d,_ t ç;__,m,n1_ p__nte_,_. ____,,0,_g__,a,l__ l,,_,__.___,.'_'____,. :__ ;___^''' ___,=_====..,_o__,===,_,_=_' _ -'''___ __=_''_ _==' ,._,__,_,,o,.,.,,,==_o0, 8___ _=_o=.,__,_,,,=0 _ ^_!.__ ._,_''__.___ , _. _',i____,_,.___,._,_i
_i_0___''_'__n.'""___'"__''_____'_-,__V '' ''"'''.' _'_''' _ " _'P:_______i'_ O^_''' ., ,,,___i,o___=o,_'_^_ _____'e_O ''___"0__0,_
K_
A nNei de IngenRna. l0 Es_cico en_encra __onon_e
_____'___
_licoc_on en eI d1se�o y construcci�n de edr_cIos
K_6O__t /m _LJ_20Cm__
' 0' ' ' ' ' 0 ' ' ' ' ' !-_ __''_'.0___?'__ii_e__,_0d0_ DiA_RAmA De cuERio i_BRe 40.___
____O cm_ 2
__ ' _ _ _ ' ' 0 _ _ _ ' Cu_ndo anali2amos a1gun cu_rpo que se
__--30cm_ e_c Llent_-_i a nuestro alrededor, not__mos y
_d d t , K K ' Ile____remos a la cun_usión de que �l inl_ra_u_
' l 2'
_ __de2 es 5imul__e__te,_n_?aiios_e_s.___oc._1al
-n_.cr__mente, pfoporcl-ona,_ a 1_ _one__tud nat_1fa_ sobTe �l ten_remos_ _ctua__ __rias fucrzas_. _r
,r lo t__ nt,J, s_g___n 1 _,s_ mateT__;t;c_s, e_ pTo_u_io ejemplo_ s'_ n_s encontramos sentados _obrc u_
de es(_s d_s ____s_njtude__ d_t)c v_er con__t_nte_ S11la >. __O_'a_US en Un_ m_S__, __ Ubf_ _Ultitr_)
cue_a actú__ n l_1 fuer7,_ de parte de Ia sil1a_ la
Con_slante d_ Lo1leitu_ ,t_ Fue,__ so_re los __es u_, e5ta,
ngi_ez natural--
E_' mhi�_n tc,T_clr_m_Js ur__fuer__epaft_dc lam_a
r__r e It ___ entre __I resorte inici_ )' sus partes tenemos _,_ p_rí__s Co__t__, u_r.
K/. l_ _ _-_. L ., _ K._. l,,,. _n la resoluci_n dc prohlem_s dc es tát i_a es
r_G_o)(__ n) __ K__ (2o) __ K_(__) sumamente importan te saber €rar_car la_ (uenas
_ue actúan sobrc un cuerpo_ v_ _ que de el1o
C _10nde _bter__mU- __ _lle
depen_e el correcto an�lisis ? posterior resulución
__.= l _7_O__/m '
_ dCl _fU_l_m__. A _ste _roCe{11mlentO _aI _l CU_l
__ = l 0_0 _Jm se r,p,escnt, _,áF,n,,mentc l,s fu,,-,a,- aptic_J,s
_ ___ir de es_us res_lIE_dos p_de_nos notar ___e e u, cue,po, to denum;n_mos DiagFama d
c_d�_ una de l___ partc._- _ct r__scJl_c _rcsenta mc__'or c,e,pu _b,g (D.c._). _,, e_ _ e_ _,ue_,u en ,-_n_, _;,;,-
c,ons_ante _e rieide2 _ue el resorte orig_ i_.a1 )r. a su p_. _, _,s_,_d_ de _o_, _,e __, con los _u__e,s __,_teF__ cf_-,.
ve7-, cntre estas dos partes es l�_ más pe_uenL_ 1a , se eranc_, _as (uer2_,, ue estos cup os e__
In__- ri_id_. so_re e_ cue,po an__ _J.z_do t_n._endo cuJ.
C_nocieI_du la Fuc_r___ _e _r__ _Je__- d, _c tensión !
_O Cam )laf a _lr___ClOn )7 ßUntO de a_lICaClOn cle
_' l__ fuerza ef___stica pu_emu._ a cuntinuaci�n ir
Ir aS ltRT2_S, qU_ d_ _hOf_ en _de ant_
µlante_ndo _I d!as_ rc_ma dc fuer__s ___o_re __n
_ llamaren_u_ Fuer_as exte_as al cuerpo.
CU_.lV0.-
398
fd_t ____________ _ ___ _ _ _(_) 0>____________ _____ c____r__s_t______________t____________nt______________________________________________v__________________________________r_n0__t__________________________________y___t_______v__________r_0___t__t_________________________________r_______________r_____________v____/_______a_____9mn__________________ _s__________
CAPíTUlO Vlll Estática y Centro de gravedad
A manera de ejemplo hagamos el D.C.L. de Veamos otro ejempla:
la esfera mostrada. Construy. amos el D.C.l. para cada una de las
__'__' esferas En el ejemplo anterior se consideró la
eCUerde QUe en Un D. .l. Se __: '
:;_:_' pared lisa ahora consideramos las esferas lisas'
FepfeSentan laS fUeF_as qUe eIefCen ''____ '
_::_:_.' icaInbia en algo la Forma de representar la fuerza
OS CUer_OS RXteFnOS SObre el __;'
',- '_ '''''/^'____'__-___ de reacción de la pared7
CUe_O qUe Se anatl2a. C0mO nOS ':'___; ;,..'.. ____-._,_.::!_?,';;,,,;_o0
interesa el D.C.L. de la esfera, .,.,.... ''_';. _____;.'_n?_,_.D,_,;.o;....,_:_:.,;:/:''p._,_,,_.:-,,,._._e,__0__..;0,_,,o.,_0___ 0
entonces los cuemos externos a 1a ,__:'__'__ _ :_.:__;;;::
e_Fefa son la Tjerra, la pared y la :;.__;;_' ,__,_._.;o':/:;',,.. A '__.. _e_'den__Y_&
cuerda ; esto signin1ca que cada uno . . &__,o:'5''_'':_:>''__:___,_;._,_', _:,__,_.,' :_''_:'___;_,_;"' ?,,_c_, '_- -'\'''"
' ' _-:_,'i___- '_;_',_'^',-___'' .__';''__ _____-?:_'''__i ' ,__:;
e eStoS CUerpOS aCtUa _0brC la _' '-_'^'_-i'' __0___'__;;_;_:_,_:. ''_,., __':;..
_ _____=;;:'_.;' _. 0 ,_,_=_/'- _'''e s f e r a
_ p o r c o n s i g u i e n t e, a c t ú a n ___D _, _ : _ ____,; ;. _; g..o_ .; ,_ _. 0 _. ,: ;__, ;___ ;; ,. ,_.. n.._ .,. , _n ;.'; '' ;.
tres fuerzas sobfe ella, '__,._.__,:__;_.:__.'_!._.n..':q,,._-,_,,,;_._'.;_':_;_
Si se considera a la cuerda de masa
_e_pre_ciable_ entonces en __ualquier punEo la No, si ambos (pared _' esfera) Son lisos o sol0
Egn__ j�n tjene igual vc_lor y se repregeni_ por un un_ de _ l10s, la _e_a de re_cción de l_ p_re_ es
vect_f dirj_ido a ,!_ lareo de la cuerda y sjempre DemR_diCUFar a l_S SU_efriCieS e_ COnt0CtO. De
al punto _e c_rte im3ginario (?T). _ fuerza de i_ual manera también Io ser�n tas fuenas entrc
eravedad F _ r_os rnide ta _ccjón de fa Tie_a laS eSferaS, pOF Ser eStaS llSaS.
S
sobre la esfera _' siempre se representa dirigido
al centro de la Tierra, que en nuestros ejercicio5 ;,._:' Fg
como ya lo hem_s explicado, será venical y hacia '' , ,,_ _.___' '
'': '' ! ________j._._'_::_ - '__'_
aba_to. l_- _Jared implde qUe __a esfera se desplace R_ 0!,.__._::.._...;'_:;._..;_.____,
hacia la izquierda, por ca._si_uiente, ejerce una :__;____;:._,:_-;',:.__,. ..'_ ':.,__
'_ ! _ __'__'_'__:''i:___::__';'' __,;_,___i_:_
UerZa qUe llamaFemOS reaCClÓrl _c �_ pared R . ' 'o___0" ,,,.___:___'';i____.7__ '
como ia p,,ed es l ;,,. _s ;mport,nte cono,e, que ' '' _ ' ' R2
la Fuerza de la pared sobre la esfera_ debe ser R. Fg ''
2 ' :
pe_endicular a las supec_cies en contacto. _to o __,_- _ 0.0- '-'''
__j___,_' _i.;_ __;__, ___ _%_i___ _ .'::
Se demostrará cuanda tratemos acerca de la ' ."__'._:___n,m._;:_'..,.._,:. !'_'_'':.>4.:,.:;_..-__.____0______,e0_ R3 ;_':
fuerza de fozamjento. .' ' , ' ;_...._..____ic;...._:-__. m,,_.__ 0 ' _ ' ':
Luego el D.C.L. de la esfera ser� así '''.. '_:.;;._.:':__:::-_.____-_'"' _ ''
--- 0 -- _;_+:__.:
R_ _ '___
.'__ 7 L '',
''';: ' R _ __.:___-,':'-___ K__,'::._- _ '''' __ _ora. en alguno.s casos_ como veremos más
i_;>;_ 0 ___,___?_:__i. ' __.,_:j___
._i''''_,_ _'-.___;._._:_,_;_',__.:.___._ _ _.._. _.___. .:___,_.__ a elante, eS COnVenlente anaJl2ar af C0nlUr_tO de
..:-__ ; '_'''_''_.j_'._.i-''-,__._m:' i,_'_:-_;_'_--___v_.:____i _ _
:_;:.:,:. 08____:_'__'' :.';:5'_0._'__,.;,,_-.'_?__ UeSen UnO SO O_ a O CUa Se e
;'. Fg suele 1_amar _i_lema, el_o con la F_nalidad d2
simpli Flcar el an_isis del problema,
399
___pFtalp_____ _____ ____J ___ __p____ ___J_t______.l_ _ __y_1_l g __ t 1_ _s___loeds_tu__los__s(ud_e_e_r2laasst_eu_sc_t_n___y___0___0_D________p__nrao__o_sean_lausn_cauma____es___sm_r_____aeellrmnpp>___d_e
Lumbreras _d �tore_ Fís ica
_ntonccs_ ha€a_us ef_D._' ,j. _ara eI siiten_e _ote que es u_,__ suma de __ectores. cuya
cont_tituido __r las __sfeFas ,_ y. _, Recuerde __!__ _per_c'iiir_ c_st_ _e__ cr:'_ la e__ '_ e1 c_- pitut_ de nná'_isis
e__ todo _.C:.l_. se _.__nsjdgf_t!.__ so__ _as fuer2â_ __ _'_it_Fi_l.
ehI_rr_c1i y __1 (_! s__!__tj__; ia_i f_Li___, __s dc ac_cii___ _' ___ !;__rtic_i<_r, _i_r_ _j c'_irJ de_ ù_-_i __ !_'_'r__s
r___cciú- n ei'_t___ i___ es'í_ i,__ rk_.c___ttan __er (u__7_.as _O_L'mOS. _^_jl__F e-I _1 li-' I!J__!_ __i.'!_ __Ial_iO____mO.
ir_L__r___' _ 1__ ___ ;_ __f .s_;_____!r!_ v, r__ _e fcs c_nsic1_ra _ __ __
c___- __d() t;__(__,__\- e_;' ___+C._. (_f_vl v_jst_t_n)_,. __oI_ '-__ ' - _ '-_
__0 _"__'_
__ F _ DDO ___!' 0 _
__ Sl __t'_)rl_'Jt ,!.___fj____ '_:i'__f_r3_ _i___ _ îtSt_m_, _ ,/ __ ' -_
t t2_l' __ ''__
1. Aqul í' (resu;(_,_Le) re__ _t_
j F _2F --'v ''
"-_ _(_ S _ l_ 'ue_ __, v_ F2.
_! t! '_ El rn�dulo d_ F' se deterrnir_nfie c_n
!___ !__+_ _ i(\
-_--'__ !---_ l ,,. - ._.. ---..,. , ....- n_..._.-..+.__ ---._
. ___-_c- _-' _ - ----_--' _, F F_' F2 2FF co_N
__---_'. _'_R R_-_+2+i2
.,s_,,__ / ---__ __ .-' 3 _ ,
'^ ''_ ;----~-"-,'-_ --
- _ - _ - - - ' __ cci�_n1 el cálculo resulta rnucho m_s fácil.
__ _ Cuandu Ias Fuer2as tienen igu_l dirección_ tal
_ como semu_stra
Ff_2N F2_3N
_a fuer_-a cle __ravedad subre el si5tema 'i_j-;o.,,,0- ' _
F y _,,,_ J se _c_ te,rmin__ rom_ la surna _e las F, q__,_
de c_a__ u__./.__ de lo___ ciLerpos (_ue cunstituyg ël ,.,. _' FR=5_l
s;__tema. '-
,,,,.. _ 2 A _ E s u _ T _ _ T E la Fuer_aresu l(ante est á d i_ _g ! da en esa m isma
d_ireccián _.- su módu_o es la suma de l_s
i_n ,i_s _f__m _u__' _,_(enofes _n eneral en _ _ _
cl___tq__ier _a_ _o, las fuerzas a_licadas a un cuemo F, -_ F, + __, -_ 7_ K_ + 3 __ __ 5 N
n, _e!____- ser F_c1nplaz_das p_; un_ s_la fuerza _ue
)__r, __;J,_cc,i_,__,,ese4__iv___n(e_l__ccj�n_etu____s ' CUand_ IaS f__fZaS tienen difeCCiUhCS
y, µ__ t_,_ntc,, _et_p. c__-ut-ar pt _._;_:r_,_ efect_ 4ue O__CSt_S
_,__J___-v_ 2f_uv, ,,.,__.t___a____,_ __jn_)(tl_,.,_i.._e;_ment__ /_____.t,id,J
_ J ) _ t _'_=j- _ _7"5_ __"3_
Xc_ _U_l2__ C'___ _njl_'_ y _(_jl(^___e_ie_C,,. _S a _, - __. __'- o_
t-______Ia ___ lc _____!___!:;_ _'u_c_a _cs__ltanie ( - _,. .t. _, _' ___ : ' _; ?_ i i_ ''''_' _ï - c
- __ ( 0 r, _ _ _ _ e _ _ e r._ _ t. J _ f.. _ iL_: i a _ ' _ _ s u i t _, __ t __ c _ e
_ y. o_r _ ,= _n ,. __ _ _ _ ,tce F.,__rze rgs__,!,1,e_,_t_e !_i.____r,,.e jc_ _,Ji.re__ci�r_ c;__ ld
( _''.: _?, _ ... ; _?-,) _';e_-n_ _ s__J' _a _-u_na ve_- cl_ria1 ('''''2'" d"- ^'")'O' m__UjO )' SU mÓdUl_ e' t'
de ___,n,__2s e,,__,, (_,e,2,. vc. _s 0_e_,_. __�2rcnc_;_ d_ i_s _nJn!_los de i_- _ ruet'zen_' __ la__
____._._;_______..._.. c_!_-_f_s reem?.. Iaza.
f J'K = Ff+ _'2+ ...+ Fn _R _ _',,-t', _ _ ._'- __ _, _ 3 ,_
4O_
e(l_____t__l_____ ______ ________0_ ________p(_____ _________t_pt_)___t_t___________ ___/ _________ __ _______ __ q_l_e__c__u__ef_cgo_?s_deytn_t_n_aftt_epcut_f0g_a_ cue__ ____Jn _o_____o_____e_________0F0r__
_- ______J_CJ _'1ll _st_tjca y _en1 tr_ _e grave___?_-_._
_'__,_,__'___8i,_,i,___ _a____, _,_,_,=_i____i,,r''_0___,a_,e _' _,__' _i,__i_____i. _i ____,_'____,a_i'_9.ii____,__,____,_0.' _, ...''.... .__,:. __ '_;_,:__.,_'___'_._:=_:. ___..,., _ ' _
_C_x_rnjnemc)s __) __J_._e-f_ti___ ccxtjdi_nu ite i
' ' i __ui_i__no d_ i_&s!_ac___n ?'_
e_ _rec�an_os_ a c1;!nri_n ___ __1 EJ_3r__ x_il'?_ d_ i'_mnâ_us, '' ___ _ ____ _ __,,_,__ _ _ __ ___ __ ____'
- _--'' o i i'_J__1e''_,
1 _?_ _ ,'__ri_
!_ ' _9_ , i __- i__ ,. : ~ ,
!. '' -''',_. _ _,'''
! _'. .,. _ ., .,0......'
_ -- - ____-__ _-- Re__so m._.U.
!_ '__ _^ ' ' ' _
o.,.,_..,.,.,, 1 _ = 3_!_'___J _t _____ ?5 Equj_!!_r_o EquiIibrio
!_ "_ __ ,____ 0''__'_ __ _ .,,. ___'__0__ está_co cit_é_co
!, i, - __ ,___.,__ %,., _. _"'__9____. ___._''_a^_____', _ i__i___, ___,_____'_'=_. - - ' _ - __= ___•i__0.. ____ ,. .'.'^i_' ___a__._' __'_=_ d'_,__' '_'6'_0___,___C _
' ' ' - Mainbos casos, se _ebe cumptir
que ta aceleraci6n es nula ( _ = ò)
Para e l peat___ __erc_clo. __ c__e fenómeno f(s i_o _N_nr__ q_Je ya sa_emo5 cuand_ un cue_o estcj
e_x_7e_rln_enta el _uton_�v_t_ ' e__ eqlli!__brio de traSlaci6n, será necesario
_ed_ __za un moyim_enfu recEitjnec_ unjrorme in_'e.Sti_a_, _'_Of qUé CaUSa nSiCa la aCeleiaCiÓn dem
_ _,) pu,,s ,_, _,e,oc,.d,, es con,t,nLe un cue_o es ce_a ( _0 _ ó) ?
_ _ rara esto_ ex_minemus el caso sjgu_ente
u= 3i _s _',porconsiguientR Iaaceleraci_ndel
_ _ d_nde Una eSfera hOm0_enea SUICta a Un_ CU_Fda
automów! es cero u _ () . Continuemos, _cómo
eStá el p Oste respecto _et t_eatÓn?, _ara el _eat�n M ;a _ewa, la esfe_ Fe___ pues .. ,_... ......_.,,...,.
_ pus_, e_ta_ en Fe osu u_,. su v__ucidad es nu1a su vet0cidad acete,aci_n s_n nula� _
(^u =_ y,por con__i_uie._tc, no_celera (__ _ô). ysu _ =O estáe_eq_ilib_oestático_ g i.
T,,nto e__ postc ___,,mo _,t _, uto,_,__v__f _oseen _ro_ L_rqué su a =O ?,g_quemos ,0_,,
,? ?_J _as ruer2as mue actúan s_bre _a esfera _=0 '^_''_'_j___;d_____
_CC _faC_0n nUl_ '_li -_ Ci , T__nt___nC_S_ _C_mO
' realizando su D.C._.
de Flnimos a dichos __st__ ____ rísico_- _e __s _bjetos7 ? ? _
Actúan _os fuerza,s F Y'r pues
se le _enomi,na __uilibn_ _R trwlación, es dcc�r_ _ v" ? ,_ _ _ _
a Tlerr_ _tr_e a Ia eSfefâ CGn _g \_, .,,.ii_____i0'';,.,
el posce er_ repu5_ y _- _ a_it___í_vii c_}n ,__-R.__ , ____ t_jn _ t -d f _ i''''"_i~_'
f''____rW_'?_ _ raCO U_ _
,nr____e.nt_ndn diit__ este_ __ _ec�'______-i_ ___í__,_;_, '_' _
_ buenn.. n_tar _u_ e_ e_t_m___iii sc rn_e__e
- _Zr__ __e la e_Ste Fa reß0Se seiá necesano que
e_ p___te no se muevex _' _s_a diíerenci3 r__lativa Ia _,b,, Fue,,_s ie__ ,n ,. ual n_o,a_u..
_ij_renciamos a F_m_ando __ue
_ __Fg
_ _ _oste cstá era cqui1J_r!o estátic_. con c_,nto _e fue_e _,es,_t,n2e sobre __ es;
' F,í _ut_mó__l a__t� e___ equilibr;o ciné__'_co. _ebe ser n_ula, es decir
Mtonces podemos rRsumir an __ _ )_
_=
401
_l__ ___ J_v___x_n_____r____v___7_____l__________Ab__tr__ ____ __?_fEq(__l_Ee_n__d_tF_t2_tr____u_atlr_s__l_el__hpb_as__y_unctl_l___(_______ndr___e_y__ ___0______________y______r ______________c__R__r_t____t_trt__o__r_ t___r___ __n_ ______y_____r________________cfc_e___o__0______e___vtl___t___n_u_ro____o__o_pp____F__c_0J_J____otn___e_p__mT____o__ot_>_o0_____1t0__tod_s__o_rtl____t_t_o_xo__s________f___,t0__net____F_ll__rct__r_n9___rt_n__Jh__l_t_x_p_ac___u0c0e___o______0_t______0_rT_0___ont___________o0n__b_0___0__0______Du___eoq_lls1u_sFpe____lso_ordcr__(c___me_sb(t____ F ___ll_t_F__fTfg _
'r de l0 an_j2ado, c__ ta_Iece__os q_e tg _celer2ción de un objeto ei n__la c__ cl_ ta fuen_a res_u l lan te
__túes_bre �l (_m_j�n es nul_. _r co_sje_ ujente. _oclem___ ._inteti_ar _xl ec_lliIi____ _e tras1Jci_n _lst:
.t_:_n_o _F(_), __F(,_). fTF(_),__F(_)
__ ->t�=0 F__O _ _ ' O _
!C_SlaC_Ón . _F(__)_- ___(_) _TF(_)_ >_F(_)
__'__'_0''^ ^0_i__'"'_"_"''^ '_''^'''''i__''9''''''_ ''' ''^'____'0i_:'' __''' ^''''_'__''''__00i''i_9o____. Rgs_ lu_' i _n
_'__., ''_,,i',._''_0____,i_ _,.,0'i_t _'''_' __ ' - --- -''''''''_ -_-''''_''_'''' '''_- ,.
'_^____o__ai_i_______';_.=_,.__'_____'__i,___''____'______0___;oq___'___'_'______o____i,____>i __ _'__'______ _. __' ': _ jnj_iar l__ resu!,>u_' ión cle u_ _c_>tJ __ema ( 1(_ e_tc __t iî__,
_e r__corn__en_�_ re_-li_ar pt'imero c_I D,C.L. _e l
., _. El ec_ui'_i_ric_ _-3__ tresl_ci_n de llll Cl____O ,, . _, .1-. ,
,,, _ s_stema que_!__ est_!Jieci_o si y suI_ si '
S. O_f_ _t la fU_j_,_ feSUlt___tf__ __S nUl__ eS :' En ct D.C.L.. __orf_j_erc_mos t_1s fu_r2_s
''y''',c deC_f � __it__rna5 su_rc el t_loque: la __ cciun _e la" '
, :_'.: Tie_F__ _ _ j , ___ __ c __e_ da ( _' r) ___ de _
" , , Ahora,_-egún, l__tantea dorespecto al d inL__o 'me tro,
_. El e___i_i_n_ fT,_c�nic_ __ una ___articuIa __ s__ _ec1ura (D) es eI n_ udu io de !a (ue_2x_ d_ te___ s, i �n
,_.. (_U_r_O L'__'_S _ln_t'nSlOneS __t^ (_/que ___pone l_ cL'_fda, e,_t_nies _r = i
de___r_cia) s_' e_it__blec_l' sl SU_r_' _!la la -- C_m_ _i bIoc__e __e n__ntiene en repr_so.
_.?__e e_s nut_. _,.: __F ( ,!) _ T_f (' _.
_J_mply_ J'_(-l_ ,__ a _ (�_!__ l__)
._a'__i__n__ que et rcso_e c_st_ comprimida _ cm .' T_ --- -)fJ _
y c__,_ __i __r._n1_fc 0_ _7 h_4, se e__c_;entr_ en re____G: Entr__c)___\ ___; _'__;!.;_,iIT!i__rr)__ tTm rrx_StT__ _'(xnlc7 ____rll)r�__
_;__!____ri_i,ne ;-!c_ lcct_J__ _tel din�-_n,___n___tr_ ;_L___I, D =? ) '_
(('__ns;cjcr__ _ = _O ___'____) __ =- l? ____-t. ,_i__''_'__=_o_,___ii'___g-_'_0_"_P'a_';'e''_''__i._'__=_'.0'__;___'__'"__ _'_.0a,,,,.o,, _
" _er_._i iI_ ___ c l_ ___ tc___I _r__sc?n te e I _________ t__ -
-, nc_(_r;___t1!r__ _{_f_c___onad_ c'__n t__ f_r imer__
_ _ t1 D _u__c1;___i_;_n _t_ ____ rjti_,__ G _ecir, .__ la ___ __ (t, ,
__l__(J_')c'__s, i_- s__n_L_ _ectur ic_ l __ l__ s (u_r____.__
- _ e._ten_es pnnilirá _blcncr un _ _go1 __ _-'c_l_ n_ I ,_...
- _.. cerr_' d_, eI_ la cu_- I todas Ias ru__rias est__r �n ::;'.s
' _.__ 5'_;_' dispL_e_'ta__ cn furma conse_uti_'a, camo __ e
_(meuuxltnel_d_s_F3t2be3u___e_nna_maFe__ytet__omd_qoo Ka__4__ _m+ dt_sp_c_o_n__l__epn_c_l__o_n_Tt__tl_ p___a1 Ahtt_ 0_gF_ar_______r_oste(5_e2_oam____r)tp_tJ_mal__a2_l_palma(ncoates_l)aemtno(3_so) N_gr_ r_(_p)og_u_
CAPíT_l0 vlJi Estátìca v, Centro de gFa_-e4a_
__'emplo 3 ier_, _qué _uer2a o fuera_s _ebemos
L_ pec1u_�a esre_a de _ k?4_ está e__ re_Oso. _JQu� descompo_er? _ql_el1a5 que no estén ei_ l__
_..a)___ t-_e__e __ ruef2a __ . Ja (uerz_ de te_s;_n h0n20nta6 0 ve_iCal; en nUeStfO Cas_ de_emOS
__ _ _ _s _) descum_on_r a T.
. . _?_ï---- TcosO
! _ __ g O_3_
?! 7 _ __:
F rs_ 0 _i_ __,e, _o,.,o,__'
' _ _ _0 _,_______' _F,_m___oN
m
Resolurtón _ ,e n com_ o _a esfera se e_,cuen__,4_
Primero pasemos ha__er _l D.C.l. de la esfera_ en t_ ho,,N
a_tu__ n so_re ella tr_s Fuerzas. _
_,= _ _
, , f_Tsen0
__, r - , _ r 3ì,
' _ 5
u_O F _...... ... Tamb_,en en la ye___
_''=_',''.'a ' '''_'_" F____''''v'_''''''_:''_'____;'':':_.:_'::'.____
' _'' -::_'- - _F'(_)__F(l)' ^ - ' ' ' ' ' ' ' '
F ' ' '
_ - =40N _ T=jO_
_omo la e5(era está en reposo con 1as tres fuerzas
po_emos formar un po1ie0no-_ct0r_ ce_ado_
, ., F=_0(3/t) t F--
qUe en eSte CaSO Ser_ Un {_a__U O.
F_l tTi�ngula de (ueT___' (_rmado, es un t__ngulo Camo vemos por constT__cciór_ de _olígon0
rectáneulo c_noci_o de donde podemos vectorial (meto_o ge_ométrico) o po_
establecer que desc_mposjci6n de ruer2as (método analític_
F=30 N v, i=50 N obtenemos igual resulta_o.
C_mo se puede notar __ccliante el polí_on_ de
d. _ . ' , .c_s, - _�e_pl_ =f
S y m_ 1__te fC __lU_eS _COm Ctt_t
-,n,os ,csa_v_r ,,_.te e ).e'm _o _te me, todo e_ Del si__uiente gránco, deter_ine el m6du1o de _a_, t
._ v a d e s o _ u c,_ o, n e, o _ a n, b _. c,, ten_ i Ón _ue sop_ rta ia cuer da que sos t iene e i
!uc_ue _e 8 _._ en _e__so. b _ _o_s'J
ab_rdar este tip_ de si luación: el ll_mad_ mF __do _.
analít'_co, este méto_u consiste en tener e_ las .,
fuer_' a_ so_re direc_i_n__s _er_endiculares y . ;_--
plaiJteaF el equilit_rio _c t_s (uerzas pur cada _so
direccjón pur scparado_ para ello debemos h_cer 30o
una des_omposlctón re,ctangular de fuer_n&.
403
___t_ _(t___________)__MJ_R______ _( __)________ __ r3__/ l\__ __
______0_______________________________?n_________l_________4_ah_m____c_t________t___t_____________________7__a________________ct____n__________n_____________d__________________x______________t_____________________0_0______________________0____________t___________0____________o______o_____0___0_0_v0_t____0___o___________________________)_____________r_____________4______m__n_____________tll_t_ttdtJx__y9t__w_______J____q_______1__lc__(____________v________l______l___n____m___m____%_)ct___r___1___trr_e9le__y__4es___n__q__s________t_uo__(oc(__e_____e_0_nn)v_m__s_)o_______d_t____0__oy____e_rs__
lu mbreras _d_tores f ísica
Resoluc_ón
p,_me,o deb,m,_ h,,e, el _.c._. de_ bluque. _ ''' r
como po_,m,, n,t,, sob,e el _ act,_,n t,e, f,e,z_ __C_L_
_. ' a _i_F,er_;nc'i_' de! ej__!__o anten_r, en este caso ',., _ ,
_s ___nvenie_-____-. crJ_nar' c___m_ r_rerenci_ e_ ___1an_ _,,_,_,.__,_.,,_.,,,'__ ,_'_
inL'?_na_o v. _a _j_e__ción perp_n_i_u1ar a é1_ pare_ __ -'-
__n__._-_rn__r_pr- a l_ fuerz_ de ef__aRd__ d_ tal con_o '''i ' ' ' __,
fo i_dicam___N á c_ontin_a__�ó__.
Co._o _od__moi n_tar s___re l_ ptaca_ _
_&_lY __ _ t_ 1 _ m, J
' __ _ SUS __rl l _ _C I_____ il _ Y . _ S _ U i
_'- _'__ g SO__ _ dt_,ecc_-ones _ on t r e, ,_ _, s . s _ n
_3aO _ _,'
? c_S300 _. _ _ rea mente eS Un __lO_l__ de la eStr3tiCa y _dem_
__' _i _ '' por e_t_f e7 cuemo en fe__os_ se rumm_
j-__,_..J..,...,o.,o__/ ' '
/__ .K _F(_)___F(wlj
l____,__ o_ ''300
_------_----- r^-__
_t_hen s_r det mis___o v_lur.
!__e_u_o, con_u e,! ,__,tuque __.e_ ma_tjene en reposo y
_c_5c_n!o.s __ter!nir___-' el módul_ de r, __'_,g_l.._.,. ,_| _,!. , O_ggyac�___.i_i__,i ___,_. __e_ ._ .i. ,_., g,9 ,_,9
Fi_nte_m_î _,.,, ' ' �_-
t_ ' / ., _ _ / _-t_ Sl Un CUe_O P_Sta_ en C4Ul!_lbn'O _e "raSf_Cl'_n �,
_ _ _'. _ c _'
_ _ _ fC C v_ O t_i UCfZ_Sr _S _S, ,_
í l \, _ nec_e___rjame1_t_ de!,-\en s_f c_o_ i n e a I e s ll e _^
T = tpsen30^ = (80). - _ __, . , ' - ' _
2 j :.';: lr_CC_O_ C__l_tr__f_a ._' dR t_7U_l V_lC_f. ::?' .'
_. T-_-_1__ N ? , J ,
El ,_étod_ __ad_ será el m�todo analí_ico, ahora., _Jemp(o 5
_--___r_ m�tc)d_ d_ soluciÓn sería en f_rma __etern_i__e _l n_ódulo de lJ tensi�n en l_ cuerda,
geí_métl'ica. Sa_emGs a,ue con las tres (uer2as, que__ost3cnea_e __acetn+en eu_,- r_,omo _én e, c u y y
___elno.s form3r un tná_._Ju1_, de1 cu_ 5e deduce. de,_s;dad ,u_e,nc_al es ,__o _t_/n__a _ __ _ o _s_
' _ r__mssen__uo _
_'
Fg__o_' -- r-(8o)!-!
.;.. o _ _ _!!
' ' r . T__oN j_
''Qo '^ - _ t ,'
' _.
_5 lm__rtantR COnOC_f q_e d_ntrO _e lOS o 53O ' J
djvers__ s casos que se pueden presentar. hay dos ; '
ca_o_- en pû_tic__ar que se _resentan con __20Cm_
fr_vcuencj_, _of t(_ ue es necesarjo conocef__s ReSOlYCiO_n
_?___ def_lle. Se pUedC dedUCif 4Ue S_bre la p!_C_ aClú_n dos
fuc_s: la fuerza de gravedad F, y la fuer2a de
P___er caso: Cuan__ Sobl-_ e_ cue__ _ __js____'_;'_ pe_e de la c__erda a _a cua_ ___mamos ten_,__o,n _?
en repos_ actúan so!o dos fuenas. 4ue e,. µrec;s_ente lo quc nos p__den determ__nar
40_
__qhu_er_smusa1__esenandp_soorla_unnp_u_l_d_capad_/_cdheoeb_ma___F_egae_,neesad__,_epcl___rnKgrte_ __mmy_2o)s __ __egd__e0ta__tl_e9c_ __(an__do)(s_eg_a)_ b_ 0rd_e e__l tema de__c_e_ntr____ __
C_PiTU_O Vlfl _stá__1c_ _' Cen_r0 de grev_d__
_! ? _ pa__'_r _e elt__ también _e _bt;ene que
h_0,_n_
F�_3a___n____ _?em_;_Mndo e_tos _a5ultados en (_IJ
.%_,;v_____'- m_=.',,v_ __nemrJs __'_
, '____nf__,,__,_g, ____ '_.'_'^ m'\_:' b
_r__,__ T=_írJ
_'' _ T_'___U_-J,
., _M _ ' _ ! _ _ _
_O*_.x_ _
, . ' - ____ ____;__ ,_,___,__c______',_?,____'__,,v,_n_,_____,_e___n_;______ __^_o__D,____,_9_,_,,__,,__M?_,',n>,_,_,,,,__,_,_o__o?,_, __ ?o,_??_?_,,,_'e__,,__v__'__?___,J__
, Cm _ ' _ __n___ _,0,,__,n,_,_? e_,, _,_ _,__ __,,_ _6___,__ _ _ _,?__n ^ ^__ _c _c_ __,_ _e___ _ __ _ _ __' _?L ___ __i _' __?? ^ _;,__,_, ,_,? P' V,_? _ _?eo? __ _' _? __,
_0 _-_ _g~__
_ ^ iJna _o_a muv er_ci_nte _e delermi_.ar
5___emos _ue _al actuar _ol_ __s fuer____ -_ sobre la v ef c.G. _e __a,_3s h,m.ogéne,s o n,
ç!c_í_ _a y m_l_tenerS__ __l_ _n fepOSO, e5t_S fUe_aS homo_�neas, de FoFma Fegulaf ç i,7_gul_r, es X-
_eben ser _e i_UaI módulo_ colinealt_S y de susD, en_!iéndolas de un h!to tal como _l
direcciones contrarias (por la 0bservación ? cjemploquehemos_lanteado__quecuando
anterior). la pIaca al_0_ el repaso, sabemos que el hito _
Dc __nde se _educe que de_e pasar necesa_amente por el C.G. Este.
T _- F -_ mg (_) 0 mélodo lo veremos con mayor am_litud y
S
._dad su erF_c_.al es constanfe se , de gravedad_
de F_ne como
Se_ndo c88o: Cuando sob_e el cuem_ o sistema
__ ___ _-mA en rc_oso actúan solo tres fuerzas,
_te c_o a 5u vez _uede presenta_se de d_s
_ : Densidad su_erf_cial da masa (_Presa Ia forma,
_,uego tenem_s que m _- ,._ _ Las Eres fuer_as son para1elas.
Reemp1_ando en (l) . sx,; , , ,,v.
r = (_.A)_ � (50)' _a _ (lO)
:. r=2_50(a.b) _-;_)
Corno p_dem_s r,otar, para de terminar et mód__ fu
de l6 tensi6n, ha_e ja_te ___nocer !as dim_nsi_nes
de_ _aplac_.
___ ra una plac_ tnang_lar h_mogér_ed_, sa_emos ' _ _'~'-'
ßue el _.G_ S_ u_jc_ en et bar;!_entro, con l3 cuat Podemos deducif nue sobre ia barra en
Se _edUC_' _Of Seme_anZ_ __ t_án_Ul_S q__ rep_so 4ue se muestra actúan t_s fuer_s:
O _ _20 la Fuer2a de gravedad _g , la fuerza de pa_e
3x 2x dD_ ta cuerda (\_T ) y _3 fuc_a _e reacci�n, de
.N. __3ocm_o,3m pa_e delpiso ( _R ).
___s___ _ _ _ ____t __ __ F_ _ t__ __ _ t (_fe_s ruer___s yp_o_ysu_nrpgea__fc_c(__l_(_o_otl_n__s) eenlr_to_snoce(_s_J0)s_tfes__
L_mbrera5 Ed itores F _i i c a
_r__car la _ y r __ _Encit_o ya _ug tas dos Las tres (uer_as _esullan ser _L_r__ ;'e!as.
_ ' "
son ve_ic_es (una ve_ir,al _c__ia ab_jo y _a
_tra vertical hacia amba) )' __mG P0_en__s _________?__ ___yxm_,-,__,
otar so__ a?at_e!as __ '_''_ _ ' _ L _'_'P__
- ' ' _ -, _2 A _actir _e lo p!___teado tan__ie.,n __ __Ju_de
t^rO_ _CC_m__0 _v_a€lCaC R :'. __U3_ Sef_ SU ,, . . g
+ t t _,_ t _ * __ f _C''f _ Sl S0 Ce Ur' __e_O en Fe_O?_O __
1 l- - __' 'J_ _J_Ij_ _ _ , . _
aClUann U__fzaS_ elaSC_YeS (_-JJ SD_ ,_.
m__ _ten_7__ e e_!_ e\__uilibn_ e5 ____ ce___o que
. - _arYle!__S, _a enéStma __ ef2_ debeI_ __ef __,
aS tfCS Ue_225 J___l Una r_S_'_''__f_?___ nU a _ Sl >_
' _ parat{t__ a laS _tenOreS neCC5ar_an-_enie. __,
_S __ ellW_ s_n Ve_C__5, entOnC_S fa _efCera __ _, _h,
f_lena _ebe taInbi�n se_ ve_ica1_ es decir, iSi
,os de e((_,n s,,_ ,Fa_e(as. Jo fg,,e,_ _ebe,_, _ _as tres Fucr2n__ scn con____rent_s.
se,rp_r_je Iu _ l_ _os _n_'en_res!
_
i la terce__v F,_;erza no f_l_se _'ertica_, tendfía
_?u,_pL_r.___nte _,o____nt_, Ic_ _ua1 no te-_dn_a c_r_
muiê_ eq_;lj____'___ ya que _as d_s _-___meras
(uerz_s _ur se_ _erticales nr_ Cienen n,6-
cnmponen, _-e_ _r_ l_ __Jri2_r_t__. _ ,, __ ,,
l}e e.ste _'_do l_ c!3rra _____ p1_ede estar e_. _ _0_
equili}_r;_o _n a!ai condicj_n,cs 4ue se _ '
_-____ec,trc_n. i_a_o _e p;_ed_ n_Jtar ___ l__ F1gura
?R n_ sg e_,_,_-l_re __n n__n _r,_ _t,, t-u_r,a Er_ este caso e_ (áci__ darse cu_nta de qLle
s_,b;e 1c_ h_rra e_ re_oso actu_I_ tres Fuer2___:
_f tantU_ ___ __ J. _ t_ t_Star. ' - '
la fuer_3 de _rave_ad F , l_ reacció_ de _a
T_ paf_d(_)l ., _df. _
\ =/ 1
_
_, Teorem_ de _as tres fuer_as
, ' ^ Cu_nJo sobre un rueIpo en reposo 0cIú_n
i_opu_ ,
es_ _ ' '
_. _;___ ' rue_as deben sernecesarj_mente concu_entes.
,, -- ' las lineas de acción de las tres fuerzas se
; R deben intRr_ept_ en un solo _unto tlamado punto
i N - - - Y de concurfencta. _ra nuest Fo caso se tend;a el
Pbr fo tan(o, el corrRcto D_C_.l. para la barra, sieuienle D.C.L- de la bana.
es comu a continuaci�n _e muestra.
p_d_ _, __
T C0_Cb_I'__ _ 0
_! R1
_! ,'Fg "
_. _0
R
1
406
_cR___leov?K_smoo_l___u(lctaAodbeaf4_mr_a4ecmsoIMhoJ_ldtm_e___oreg?eg_45_n __gy____l_|_onus) _ po_xq__f____lR_ot_tt_a____mnt_2__t_ott__vp__Nv\2_rn__cqn___m9_?__2__(_24_R?__?)n_(_____?____o_?D_h)_v______F \_ ft _or_s
CnPiT__0 Vl_ _ E_t4ti_a y _en_r_ _e er_ve_a,_
Es_a cond;ción de _a co_curre__ia de tres 6h_r_ _ar_ _etermima_ el mó_u_?l J_ _! _ x
fu_rzas, n0 se pu__e j_s_;ncar c_J_ _a _rjm_ra p_d_mo_ pr_ceder _e manera ____étrica
c_ndjcjón _e __uj_jbn_, ya q_e _:ene __e yeF _on j_rI___U U __ trIán,__lU C0n _aS fU_CZ_ 4U_ _CtU_r,
e_ hec_u _e que gl c_e__ _,o f_ta _ en ;_1 se___i_o S__r_ !d ___ rc a, _l CUa_t 5efía
se _equ;ere de !__ s___nda c__diciún de eq_ilibrio.
Ahora, si lo hemos pl__ead_ con antic;pación e5 a
orque se hace necesari_ para los D.C.l. _a
__3_ a
____ _ i _ Jt , ___ __ _Lc ?9?
_-_
Igualmente, como _t caso antenor, a pacti_ 1
de lo expue5to po_emos concluir que sj
__ sobreuncue _actu,ann(uer2as (n _)_e _ _elt__n___}Ddef_e__sobtene___s ,
etlas resutten ser concurrentes, _a _nésima _ R_ _
anU=__
debe tambi�n c_ncumr con las antenores. mg
cn __ _ _ . _ _ __ _c _ 9 Adem5s, del gr_Flco se _educ_ que
_ _
_Jemplo6 t_a=----
_
Si en el caso anterior, consideramos ta barra
hDmogénea de 4 _; dete_ine fos m6dWos de R,
_ _ _ o _ 2 1-
2 ' 1ue _ a ___can_o teore_a de __t__
_n ^calculamosR2. U
/neasu cG coinc_de _ _2+_2
' ' "2- "1 _g
consu punto medio, con esto el D.C.L. de la bana
/ R,= 202+40
serla:
- ._. Rz=2oJtN
:_' _ R
--r---------? _ _ _
_ ,___v __ \_,^v ,__
_' F, n _ _ ?_nh ^ ____W_X ' _;_ ? "?___ __ ___
_ , 5____,;,_?qw___''_,_\ /n'___ ,j____
_ - 20 _ ___'?'__'____:'__" ' __?w ' _ y ____,,_q_,,?, _ ?___,_?,,??' ' _ _
, _ m _? _ _ _ _ _ _, _ ^ V _ _. x j __ : _, _ , _ _ _,? _ _ _ ' _ _ _ > _ _ n,, ?? _ ?, _v ?, __ _ _ _ _7 _, _ ? _ _ _ ?
_ ^; C G ! _?,M,,___,___ ' 5____ __ ___ ^ ?m_ _ __ _?, 5 __,_ ___?_, _, ,_,__"____________ _ ,_______,_ _
,' __ _ ' ' _?__^___q_J_n___,___,_,_c ___ ___,__ ___._^ _ ?__ ' __? __ __,?___m_____"_^,____,_, '____??_____
, ; _ _ __, _ _,? ^ _, _?,, _ _v _?K ____ee_ ^,_?_,,q n,_, _, ___nv, ~_n ,, ',_ , t. _? __ ___? _J ?v __g_ ? _,_, _,, '_,_ Ç,__ __ ' __ _, _"J __v_ __ _ %___n_?_ __ ,
! j __ _' __ _ ,_n_'a _' _ _ _''___ _ _? __,_ __ ____m__,___ ___ __' __ _L _ _ _ __,,_?C_, __^ _' _c_ _?____ G __ _ i__ _, ?___M__ _ _ _^_ _n
, ' _,,___?__ __,_ _ ^ ??__v, _? _?? _,_ __,__ __ _ __?_? _ _____ _,_ '?v> __ __ _?_?_____ v L __e __ _ i?? _ ^___ _,
__v__,,?___?____?c_,_ _ ,_'q,_,,____,__,_,__ç_?_ __ _,____i__?_ ?_ _?___?__??_c_, ?_,'c_n_,_ __,_^___,__,,, _____
' '_ w _ _ _t' _ ______o_c?^______me__^ __,_?__ j? n___^___??,,____ ,_____, _,__ ?,, _ ?^n__,__,__?,__ m_?_?? __??n _n_ _ ^
Rn !_m_ ' _ ____ '^____a ______ m__ ' __ _^ ' _ C' _ _ _e__, _L '_ V_ _^_ __ __ _' ? _u
__ 2_-_ mantener Q yn puent_ c_/gante en _q_il_bf_o e_ una
mJ:cdciÓn __ la_ condJcIune_ de equilibrio.
_
_________qFe_ucy(_tt_nep_E_rn_Rno__d2s_______1_r_____7t0)__l__et______(_______0t_(2AJ0____./__t_M)tcf_(_E__ll_t__f_t)t______lt_t(_(t Jlrrr_ )_f_____n_)___v_________r__o__a_n_
E___D____________________0___0__0_____0o____0_____0__0_o_____t__o_0______o_o__________o(____________o_0_0__o___0_____0o______0___________________0___0___o0____00___00_____0__0o_00_0____________0_______________o______e____0____________0D_________o____0_____00_____0_o____t_____0_____o______0_________o______o_____n____0____u__________o___00e________________0__0_e_______00__________0_t_0o0_c____0______0____________o___00___o__0__0_____oo0c_o____0___t,__o____o___o___0__________________0o__________0o0_0________o_____o00__0____o___________0___0__________D__o_________0_0o_______aoo__p__l_______________0p_o________________o_xo________0____0_0R_n_/____0_?__a____0_______t__0___0________w_________________t__0_________o_r__o__4___t___0o0______________l__0_0____________________o0_0o___________o____0____________>___l_0_____D__o0_______t__0______________0__0______0__________________0___0_____o______0__________0_____0________h____________________________0___0______0____0________________o_________________0_____0__0o__0_________0___________0________D_________t0___t_0f0_n__0_____y___o_____00_____________oo__n_o____0__0__________D0_________ltt___
lumbrera_ Editores f ís ica
.,_, ? . .
cuandu se hizo __x1, D.c.L. de l_ esfera_ apoy_da i_r 4_é aV_n2a ef h_mhrC _l C_r_i_c^_IJ:
,.e una __re_ vert__ce_ _r._e_ e_ernµfo en g_. j- l l1_mbre _r_siona cr_n su 2apato
. _ ) ,_rs_,_er__,,__mos q._e ta) _a,ed e Fa ___s_ in_çul,_ándose e_ e_ pi_-o ásper_ )' n_tese _lle su
' d ) ' za_a_a n0 rc__a___ _qui�n l__ impide?_ _s l_ fuerz__
eS _eClr, _(> _?_ _5ent_/ !__ ru_Oìlda J5__1e_aS. pOr '
_ F ' ,_ dero_'amient__ue_-_oponeas_resbd__iam_'en_o.
_ _'_iC 1a fUef__ _'__ _.l_rCl_ _r_ fe l__'_ CS CCa _
rer__.'e_r) re__ li_�-__ rlo Ct_ISle su__rf1Cl_ =///(...,.,_.,.
__rF__ct_am_r_t___ Il_n, _or l_ t_n___, ______O -___,_,__'_.__,_8,,,__
(Ifl_ _U___ffI_:I_ fe5,ba)a G tf_tc_ _e ICSt__iar_ _-- /j'' 't;
rf7__. __e___t.ç _ _:____, de___(J _ ias ___pere___s. s(;r__7e_. -__ ' _ - !_ __
p____x?n__as t__e;'__-3? '_a__'___t___c'__-_!__? n_!le s_l_i__0a_:_ _,__-n ? -
__ )F__ _e____, _ n, ,1n _. __c_ u_ _,___c_,. ruefz_ __ 1__, ,_u__ ,_ Cumo _'em :7s _n '__s __;-_e!nrIlos fa fu__f_,_ __
F _ . (_?' rn. __m_entrJ ?____cxs_-_ntn_eman_,__a f3___r___!_'_n_m
1'f_O_ll__r___U_ _Cf___ e C0__mlentG f . _
_c__' ca__n;. __n _i;__!__- nr_ __i_r_e e__rJ. _,_r ej___;___;__J,
J___nJ, l_ I_l(1__ ____;-!____. _0i_t__jtt__n_i'_!_t_, _.____f-__ _S ' , . .
_ ßt_('_ _Ci_rl_(_ ____-!__.rl_t_' Cj_ !_i_ _U_Fr t_!___ __UC
rC '__r_ �__na (J_ Cr-}__'__ e__Mt 1U(_I_-_S1 4__ ____C__ Otr___ ,, . , _., . _ ; ,_. nc;,,, ,,_ .., _ ,_i2
_____S _i_ _05 __. __ r �nlt__ _'_._jn_ _ 1c__ _ i_' ___ FC__f____ci _i0S, i_3Pr ,r ,_a_ u _ubf._cen( ,,
rJ _1 _!.i__ '_____ _ i__ __i_:__ r e _ __J _!? f ) _ _- - _; __ l i __ _ '_ l __ s _, _ a _ _, () i_, C t C. o,.,... ,.,o,,,.,,,..,.,,.0,..,,_.o, _,.,,,,..,,. g,0,,,...,0,,,,,,,o,,g,..o,,,,,..,,..,,,.....,,,,o...,_,,...,.,,,,.,0,,,_.,_0o,,,,,,_,o,p,0__..,,,,ag,..0.,,.,,,.0D_.,_,.,o,p,.a,,...,...,,,,,,.,.._...00.,,.,0,. ...,.,,,0.,,.,,.,9,,_,,,_0_D_a_,..,.,o.,,..,
-,_._ N, _. ___ r._l_ 5 t__ c_r__ y.. )_ j c.i, _ r:_ r,__ __;, ___ t _ c_,_y _. (__c ?_ ;n_ s ' d__ __, ___.__,_,, _e_ ___ __ ___d_._ _ __00__,o _.._ __o._;,,,0,e _,_..,, ____..__,__0 8o___0_,____,______9_.,,___0 _,_o_0. __0,,_,,_ __,___ __ 8__0_g _o_,_,,e,,,__,.,__ _._,,_. _,_ __0_ _e__.,__, _ __ _ _ ___ 8,_. ___,_,,!_, __,, _0, _ __o _ __ __,_ _,_._, ____00_a _____ ',___, _.__,_0 __,__ '__ _: _a?,_'__0. __,, ^_' _. .e _ _.^__ i_.0 __ __ __ ^ _____ _ 6_,_ __,,. _ _ ___'_,,e.l,
__ _ _ _ _! z a n_ i ( _ y_ ;e 4 _. __ l rr_7 __�_ , _; i __ n _ r. _ __ c_ _,_ !J. d _, l ) __ __ n i ___ i__ _1 _ " _ __ ___ __,0_,' _, __._,0,_ ___,_,__, _0__0 __i ^ __ __ ___,_ __ ^_0__ V _ ' _0_ __,_ _ __ ___ _ __ _0 _0' __ 0 _' _ '_. __,?_, _ _' _' ___0o._0 _ _8 ___ _' ___0 'x'_ __ __ ___0_g_ '_ 0__ _ _ 0_ ' ' ',' _ ___ _. _ ' ''_ -. .i _,i_ _,0_ ^'_' ''. _. = _ _' _ ' '. _' '._ _'_ __ _ __ _ __ _, ' _' _w, ^ _ "_ _ '.
. _ . .. . _ . , l i _. _,,_, 00, _,__, _, _, _, _0,,,_,__ __,0 __ _ Oq __00 __, _.,_, ^ 0 _ ' _ '_, _., __ _.,a_._, _ __.. _,,8_ _. _._.. __,,._, __.,_. _ __ __, __,o _.0,, ' _,, ^ P _ _, _ _o._o,0,__,, _ _ _ _ _,. _0,_,, _n _, __o0 _, _,0 _ _o,,_ ___0 _ _ _ _,, _.gi,,a. _0. __i___,_ __ _ _n _ _ ' ;._ ' ' _ __!.. _._ _- _ '_ _ _ ; '0,,a _, ' '_ 0,_ ___. _ _,,,,, _ _ _ _.' _. i. __ _ ' ' _' ^ i,. _, _ i i__o.__,_,,,e, _x, _ _ _ _ _ _ _ _o _0 _o _ __,,,
'a-' lt _ -'' '' ' - "V_ '' ''' '_' ' '' '_ '_"'0^"0'O__"'"''''''O'__dPii'''_'_^i^^_'__o''P"i'"'''___''_i'__'____.__,_=_'''.'oi'.0i___.'_0___0_�_,.,.=?,==,,?_o-.___,;...._.____,'_ _'ii_'__.,__' _'__'_i___"'d__
_'-_-_';__' él __? j_fu'__JCC e_!tCC _.c_!.-f_S adyaCenteS d_ _'____^_____g___'__g_,0__','_,___..__i._.____,____._..,_._____.i,__,____,_'_,,_g,0,_._._.,__g_,i0._..
un f___!,do, _2_ç se desµJ;zar\ a (__ _cTef_,te vel__vid_J. ,,0.,_.,__,.. _'' ! __ "'a' _.__,_,,g l _,,,'._,.,.,... =. _ ___.',..•. _ _,'_._ _. _. _... _.,,... =,... _:. ''' _ '_ ' _ ' '__0
E_ r__zamier_t_J seL__ _or de_-1i2amient(J, que e_ el ,,.,,,,_,_,i__L_e'0e_=____,___i_0.,___.;_D:_.:._;'__,__'i___i'_' .0o,e'__o_a',_______:0''
_ntey, esa an,__1-zar _lede se, el fo2a,niento . .o,.,,.,,,,,,,...,_,0,i_,,.'..i__.,_ _,,_ _ __.,. _ 0_ _...,i,_ _ _ _e., _ i _ _ __ __ _ _ ^ _' P _ D ..i.,o,, _ l'o,_,i i_ ea,_ _.,,_ i _ __ _ _ ' _.,a_. - =
_ t __c(, ?r ., ,o_ _ ,n;ento c _lne_ t___._o ?r como '__:?__i0i_ ,a_.•__0''_"__''''''' ''' ._,_.,i,,,,__i_,,._,_a
s _ _ ' K ' "' ' i ' ' _' '_ '_ _^'____0'___'____ _"ii i_ ii- - _'ii'
a _' UntinUaC- i__n _eta_l__.mOS. __oh__r__tog__ ,_
_Pur _ué no res__la et lapicero de nuestros dedos? _ o _ _ ____ _ __ _ _co.
L _ fuer__a de- _ra_Jedad sobre el lapicero es
e_____ibrad3 __r _a fuerza de rozam_ento entre ?',s FuER_A _e Ro_A__eNT_ Es_�T_co i _/J )
de_USYel la_ICeC__ rons_,_e,emos e_ an_/lisi_ __, un ___ ue,
. enci _ma de Uuna super Fl 'cic h_ !rizon ilel. Las Ufuer2as
o 8 0 J _ que d-ctuan so_re e'_ _1oque son la fuerza _e
__-- __i. _o0 gcavcdad ( _F,) y la re___ciun del pi,so ( _R ) ,
a_8
_h0nt2_otntt_t q_ue()_contrarres__teFet l___tew____/o__f_________0__Jve______________c_ o_fl_o________t______d___bel f__ t_ _ deune_gectqrg__eLr_oafml_s(cml
Feo_n_Jtsytarsx/_n_________y_t_t__p_a_____es____________0_t____te__________0____D_J__d(_____s___t_pt___d__________e______d_____/__tt_______t?_t_____em______0e____0___n_tr_Dp____ytt_n_____gt___?_po____e___m_o__e5e___rnmR_______s_d_t_v_tr___p0Flt_?anco_a_hsooqrce_mtcu4c_2e6d__o6oao__egegnlonl_earl_l_aaln_mlaFctoudeFl_p__6duedererlonlean_aay2a_wtd_td_agou____e_oo__y_c____d)_ddoddgesneegesl