ADA1_CAV_Enero_2018

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Universidad Autónoma De Yucatán
Facultad de Ingenieŕıa Qúımica
Curso: Cálculo Integral
Academia de Cálculo Multivariado y Ecuaciones Diferenciales.
Ingenieŕıa en Alimentos
Ingenieŕıa en Biotecnoloǵıa
Ingenieŕıa Industrial Loǵıstica
Ingenieŕıa Qúımica Industrial
UNIDAD 1
Funciones de varias variables
Resolución de problemas y ejercicio 1
CONTENIDO:
Dominios, gráficas, ĺımites y derivadas de funciones de varias variables
APRENDIZAJE ESPERADO:
• Encuentra dominios y representa las gráficas de funciones de varias variables.
• Calcula ĺımites y derivadas de funciones de varias variables.
Recursos
- Larson, R. & Edwards, B. (2010). Calculus. (9th. ed.). USA: Cengage Learning.
- Stewart, J. (2002). Cálculo: Trascendentes tempranas. (4ta. Ed.). México: Editorial Thomson
- Zill, D. y Wright, W. (2011). Cálculo. Trascendentes tempranas. (4ta ed.). México: Editorial
MacGraw-Hill
INSTRUCCIONES:
. La presente actividad se deberá realizar en equipos de trabajo colaborativo, de máximo 5 integrantes.
. Las instrucciones de los ejercicios se deberán redactar tinta color negro (a mano), la resolución y de-
scripción del procedimiento debe ir a tinta color azul (a mano) y la respuesta a cada ejercicio o inciso a
tinta roja (a mano).
. Los ejercicios se deberán resolver en hojas en blanco (o recicladas) con letra legible y se deberá entregar
en una carpeta color azul con broche.
. Se deberá elaborar una portada en Word que incluya: nombre y logotipo de la universidad y de la facultad,
nombre de la carrera, el nombre de la asignatura, el nombre de la unidad y número de la actividad, el
nombre de los integrantes del equipo (en orden alfabético empezando por apellido), fecha de entrega.
. Incluir al final de la portada un apartado para la calificación del trabajo del estilo
Puntos totales de la actividad: 100 Puntos obtenidos
. Incluir, el d́ıa de entrega, los criterios de evaluación listados al final del documento
. Fecha de entrega: 7 de febrero de 2018 al inicio de la clase
. Asesoŕıa o dudas: Cub́ıculo 37∗ (FIQ), v́ıa plataforma, al correo noe.chan@correo.uady.mx o para otros
horarios de asesoŕıas consultar Asesoŕıas FIQ
∗Horario de asesoŕıas del profesor.Lunes: 17:00 - 18:00. Martes: 14:00 - 16:00 hrs. Miércoles: 15:30 - 16:00 hrs. Jueves: 10:00 -
12:00 y 14:00 - 16:00 hrs. Viernes: 17:00 - 19:00
mailto:noe.chan@correo.uady.mx
https://www.facebook.com/AsesoriasTalleresFIQUADY/
Ejercicio 1. Para cada una de las siguientes funciones represente en el plano su dominio
a) f(x, y) =
√
x+ y + 1
x− 1
b) f(x, y) = x ln(y2 − x)
Ejercicio 2. El potencial eléctrico V en cualquier punto (x, y) es
V (x, y) =
5√
25 + x2 + y2
Represente en el plano las curvas equipotenciales para V =
1
2
, V =
1
3
y
1
4
.
Ejercicio 3. Muestre las curvas de nivel solicitadas para las siguientes funciones
a) z = x2 + 4y2, c = 0, 1, 2, 3, 4 b) f(x, y) = x2 − y2, c = 16, 9, 4, 0, −4, −9, −16
Ejercicio 4. Usando los mapas de contorno que encontró en el ejercicio ?? represente las gráficas de las
siguientes funciones, si lo requiere trace más curvas de nivel.
a) z = x2 + 4y2 b) f(x, y) = x2 − y2
Ejercicio 5. Evalúe los siguientes ĺımites o compruebe que no existen
a) lim
(x, y)→(0, 0)
(
x2 − y2
x2 + y2
)2
b) lim
(x, y)→(0, 0)
x− y√
x−√y
c) lim
(x,y)→(0,0)
8x2y2
x4 + y4
d) lim
(x,y)→(0,0)
x2y2
x3 + y3
e) lim
(x,y)→(0,0)
x2y3
x4 + y6
f) lim
(x,y)→(2,−1)
3x− 2y
x+ 4y
Ejercicio 6. Encuentre las primeras y segundas derivadas parciales de
a) z = 2x2y + cos(x+ y) b) z = ex−y sen(x+ y)
Ejercicio 7. Emplee la regla de la cadena para encontrar la derivada solicitada
a) u(x, y) = yex + xey; x = cos t; y = sen t;
du
dt
.
b) u = xy + xz + yz; x = rs; y = r2 − s2; z = (r − s)2; ∂u
∂r
;
∂u
∂s
.
c) u = x2 + y2 + z2; x = r senφ cos θ; y = r senφ sen θ; z = r cosφ;
∂u
∂r
;
∂u
∂φ
;
∂u
∂θ
.
Ejercicio 8. Para los siguientes ejercicios emplee la regla de la cadena en su versión para funciones multivari-
adas
a) Si f es una función diferenciable de la variable u, considere u = bx− ay y demuestre que z = f(bx− ay)
satisface la ecuación azx + bzy = 0, donde a y b son constantes
b) Si f es una función diferenciable de las variables u y v, considere u = x− y y v = y − x; demuestre que
z = f(x− y, y − x) satisface la ecuación zx + zy = 0
c) Si ϕ = f(x−ct)+g(x+ct), donde c es una constante y f y g denotan funciones. Muestre que ∂
2ϕ
∂x2
=
1
c2
∂2ϕ
∂t2
Ejercicio 9. Para la ecuación de van der Waals
(
p+
n2a
V 2
)
(V − nb) = nRT encuentre: a) ∂p
∂T
y b)
∂V
∂p
.
Criterios de evaluación
Criterio Puntaje Puntaje
obtenido
Portada, forma y criterios de evaluación: Entrega el trabajo con
portada, los datos solicitados en las instrucciones, según la forma
establecida y los criterios de evaluación. Trabaja en forma colab-
orativa
Total 5 pts.
Ejercicio 1. Representa el dominio de la función como un subcon-
junto del plano de manera correcta, ordenada y con la notación
adecuada.
4 pts. c/inciso
Total 8 pts.
Ejercicio 2. Representa las curvas equipotenciales solicitadas de
manera correcta, ordenada y con la notación adecuada. Total 5 pts.
Ejercicio 3. Representa las curvas de nivel de manera correcta,
ordenada y con la notación adecuada.
4 pts. c/inciso
Total 8 pts.
Ejercicio 4. Representa la gráfica de las superficies en el espacio
de manera correcta, ordenada y con la notación adecuada.
4 pts. c/inciso
Total 8 pts.
Ejercicio 5. Evalúa los ĺımites o comprueba que no existen de
manera correcta, ordenada y con la notación adecuada.
4 pts. c/inciso
Total 24 pts.
Ejercicio 6. Encuentra las derivadas solicitas de manera correcta,
ordenada y con la notación adecuada.
4 pts. c/inciso
Total 8 pts.
Ejercicio 7. Encuentra las derivadas solicitadas escribiendo la
fórmula utilizada de manera correcta, ordenada y con la notación
adecuada.
4 pts. c/inciso
Total 12 pts.
Ejercicio 8. Demuestra la fórmula solicitada de manera correcta,
ordenada y con la notación adecuada.
4 pts. c/inciso
Total 12 pts.
Ejercicio 9. Encuentra las derivadas solicitadas mostrando la
fórmula utilizada de manera correcta, ordenada y con la notación
adecuada.
5 pts. c/inciso
Total 10 pts.