Amorin, E e Vainsencher, I (2008) Introdução as Curvas Tropicais Planas UFMG pt es

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Introducción `curvas tropicales Planas
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Eden Amorim e Israel Vainsencher 
Departamento Matem'aica UFMG
26 de de agosto de, 2008
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Mis padres y Suely M'ario y `mi IRM ~ a Priscila
AK'atia, por más razones que encajaría en 
esta sala. . .
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Pref'acio
". . . es Math'ematique l'art meme le nom donner des choses el `di ". . . es Math'ematique l'art meme le nom donner des choses el `di 
ff' erentes. "(Henri Poincar'e, Science et Methode, 1908.)ff' erentes. "(Henri Poincar'e, Science et Methode, 1908.)
Tropical geometry'and la geometría alg'ebrica en el "Algebra max- +".
Incompreens'ıvel y poco atractivo ciertamente como frase de apertura, por suerte 
tenemos el resto de estas notas para explicar al lector algunas de las razones de 
encantamiento que tiene des- pertado.
A pesar de la reciente j'a demostró su potencial ya sea por extensión de los resultados 
conocidos, sobre todo en la enumeración de las curvas planas natural'area como las 
profundas conexiones con otras ramas de la v'arios Matem'atica
En la comparación inmediata con alg'ebrica geometría de variedades "cl'assica" definido 
por el sistema de ecuaciones polinómicas C Estamos distorsionado dramáticamente. Son por el sistema de ecuaciones polinómicas C Estamos distorsionado dramáticamente. Son por el sistema de ecuaciones polinómicas C Estamos distorsionado dramáticamente. Son 
substitu'ıdas por degeneración de la estructura compleja, lo que resulta en un límite nat'orio 
combinado esqueleto. Estos complejos poliédricos son, en determinadas condiciones de 
equilibrio. Por arte de magia, delicada misión ~ oes de la naturaleza merativa enu-, doblado y 
parcialmente resuelto en el caso cl'assico ( es decir, R o C)parcialmente resuelto en el caso cl'assico ( es decir, R o C)parcialmente resuelto en el caso cl'assico ( es decir, R o C)parcialmente resuelto en el caso cl'assico ( es decir, R o C)parcialmente resuelto en el caso cl'assico ( es decir, R o C)
Traduc ~ oes admiten que conducen a nuevas soluciones, problemas y resulta- del contexto 
combinat'orio.
El propósito de estas notas mini-curso se limita a introducir las nociones b'asicas, con el 
conductor fi la traducción de los resultados y la prueba de cl'assicos, teoremas en particular 
el B 'ezout y Riemann-Roch para curvas planas tropicales.
Advertimos desde j'a que Traduc ~ ao el caso de cl'assico
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no tropical reduce a una simple adaptación de la misma Trac demostrado ~ oes.
En el primer capítulo, hacemos incurre un pict'orica ~ ao, elemental, para ver algunas 
curvas planas tropicales: rectas y cónicas.
A continuación describimos la noción de ameba cl'assica una curva plana, y el proceso 
de límite que resulta en binat'orio compuesto "esqueleto". El algebriza¸c ~ ao este 
process'and introducido a través de s'eries Puiseux y valoriza¸c ~ ao. La estructura de anillo 
semi-tropical, y en particular de polinomios tropicales se presenta como un requisito previo 
para una primera fi pr'e- NIC ~ ao curva formal de avión tropical. En las secciones fi nales de 
este capítulo describimos la comparación entre cl'assica curva plana y su tropicaliza¸c ~ ao.
El carácter principal de herramientas combinat'oria se exploran en el Capítulo 3: El 
pol'ıgono Newton, subdivisiones, la condición de equilibrio. Además de definir el grado y 
género. A ' última sección
combinat'orios listas de los tipos de cónica tropical no degenere.
El capítulo 4 trata de la intersección de la teoría planas picais intercambiados curvas. La 
principal novelty'and la noción de intersección est'avel, sin igual en el mundo cl'assico.
El pr'oximo capítulo proporciona la base para el teorema de Riemann-Roch, incluyendo fi 
NIC ~ oes divisores y equivalencia racional. Como una primera aplicación, se muestra la 
estructura de un grupo C'
UBICA el'ıptica tropical.
La final de un capítulo cont'em exposi¸c ~ ao del teorema de Riemann-Roch tropical.
Entre las principales referencias que siguen, mencionamos GRI-goryMikhalkin [ 9 , 10 ] Entre las principales referencias que siguen, mencionamos GRI-goryMikhalkin [ 9 , 10 ] Entre las principales referencias que siguen, mencionamos GRI-goryMikhalkin [ 9 , 10 ] Entre las principales referencias que siguen, mencionamos GRI-goryMikhalkin [ 9 , 10 ] Entre las principales referencias que siguen, mencionamos GRI-goryMikhalkin [ 9 , 10 ] 
AndreasGathamann [ 5 ] Gay Nourine MatthewBaker y Ser [ 1 ] Y Vin'ıciusG. Ramos [ 12 ].AndreasGathamann [ 5 ] Gay Nourine MatthewBaker y Ser [ 1 ] Y Vin'ıciusG. Ramos [ 12 ].AndreasGathamann [ 5 ] Gay Nourine MatthewBaker y Ser [ 1 ] Y Vin'ıciusG. Ramos [ 12 ].AndreasGathamann [ 5 ] Gay Nourine MatthewBaker y Ser [ 1 ] Y Vin'ıciusG. Ramos [ 12 ].AndreasGathamann [ 5 ] Gay Nourine MatthewBaker y Ser [ 1 ] Y Vin'ıciusG. Ramos [ 12 ].AndreasGathamann [ 5 ] Gay Nourine MatthewBaker y Ser [ 1 ] Y Vin'ıciusG. Ramos [ 12 ].AndreasGathamann [ 5 ] Gay Nourine MatthewBaker y Ser [ 1 ] Y Vin'ıciusG. Ramos [ 12 ].
Desnecess'ario hincapié en que, por las limitaciones de espacio, tiempo y competencia, 
se omitieron muchos puntos centrales. Esperamos que al menos instigar al lector la tarea de 
`consultar la bibliografía y confirmar la frase anterior. . .
Belo Horizonte, el 26 de agosto, 2008.
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Sum'ario
1 Bienvenido al plan tropical! 8
1.1 Recta tropical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 Recta tropical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Conica tropical? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Conica tropical? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Curvas 2 tropicales 12
2.1 Las amebas y un mapa Tropical . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1 Las amebas y un mapa Tropical . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 El cuerpo semi-tropical . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 polinomios tropicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 polinomios tropicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Curvas planas tropical 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Curvas alg'ebricas tropical frente cl'assicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Curvas alg'ebricas tropical frente cl'assicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Combinat'oria tropical 23
3.1 Newton Pol'ıgono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1 Newton Pol'ıgono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 condición de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 condición de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . 28
Multiplicidad 3,3 Newton y pol'ıgono . . . . . . . . . . 29Multiplicidad 3,3 Newton y pol'ıgono . . . . . . . . . . 29
3.4 Grado y género . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Grado y género . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 recta y cónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5 recta y cónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 y Bernstein B'ezout 35
4.1 Teorema B'ezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1 Teorema B'ezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 B'ezout tropical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 B'ezout tropical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
est'avel 4,3 intersección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39est'avel 4,3 intersección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4 Teorema de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4 Teorema de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
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SUMA' ARIO 7
5 divisores 42
5.1 divisores y funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . 425.1 divisores y funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . 42
C'5.2 ubicas estructura de grupo y . . . . . . . . . . .. . 43ubicas estructura de grupo y . . . . . . . . . . . . . 43
5,3 Homeomor smo fi entre Γ y S 1 . . . . . . . . . . . . . . 455,3 Homeomor smo fi entre Γ y S 1 . . . . . . . . . . . . . . 455,3 Homeomor smo fi entre Γ y S 1 . . . . . . . . . . . . . . 455,3 Homeomor smo fi entre Γ y S 1 . . . . . . . . . . . . . . 455,3 Homeomor smo fi entre Γ y S 1 . . . . . . . . . . . . . . 455,3 Homeomor smo fi entre Γ y S 1 . . . . . . . . . . . . . . 455,3 Homeomor smo fi entre Γ y S 1 . . . . . . . . . . . . . . 455,3 Homeomor smo fi entre Γ y S 1 . . . . . . . . . . . . . . 455,3 Homeomor smo fi entre Γ y S 1 . . . . . . . . . . . . . . 455,3 Homeomor smo fi entre Γ y S 1 . . . . . . . . . . . . . . 455,3 Homeomor smo fi entre Γ y S 1 . . . . . . . . . . . . . . 455,3 Homeomor smo fi entre Γ y S 1 . . . . . . . . . . . . . . 455,3 Homeomor smo fi entre Γ y S 1 . . . . . . . . . . . . . . 455,3 Homeomor smo fi entre Γ y S 1 . . . . . . . . . . . . . . 455,3 Homeomor smo fi entre Γ y S 1 . . . . . . . . . . . . . . 455,3 Homeomor smo fi entre Γ y S 1 . . . . . . . . . . . . . . 455,3 Homeomor smo fi entre Γ y S 1 . . . . . . . . . . . . . . 455,3 Homeomor smo fi entre Γ y S 1 . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4 La estructura del grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.4 La estructura del grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6 El Riemann-Roch 48
6.1 Revis ~ ao el caso cl'assico . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.1 Revis ~ ao el caso cl'assico . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2 Condiciones de Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . 496.2 Condiciones de Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3 De vuelta en los gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3 De vuelta en los gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.4 Teorema de Riemann-Roch para Z -grafos . . . . . . . 626.4 Teorema de Riemann-Roch para Z -grafos . . . . . . . 626.4 Teorema de Riemann-Roch para Z -grafos . . . . . . . 626.4 Teorema de Riemann-Roch para Z -grafos . . . . . . . 62
Riemann-Roch 6.5 para Q -grafos . . . . . . . . . . . . . . 67Riemann-Roch 6.5 para Q -grafos . . . . . . . . . . . . . . 67Riemann-Roch 6.5 para Q -grafos . . . . . . . . . . . . . . 67Riemann-Roch 6.5 para Q -grafos . . . . . . . . . . . . . . 67
6.6 generalizada de Riemann-Roch para curvas tropicales . . 716.6 generalizada de Riemann-Roch para curvas tropicales . . 71
las gráficas 76
B Breve hist'orico 79
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Capitulo 1
Bienvenido al plan tropical!
1.1 Recta tropical
Una recta tropical en el plano real R 2 'E define como el gráfico inmerso lhado (ver Una recta tropical en el plano real R 2 'E define como el gráfico inmerso lhado (ver Una recta tropical en el plano real R 2 'E define como el gráfico inmerso lhado (ver Una recta tropical en el plano real R 2 'E define como el gráfico inmerso lhado (ver 
apéndice, ( A.1 )) Por un trivalente constitu'ıdo v'ertice con bordes ilimitadas en las direcciones apéndice, ( A.1 )) Por un trivalente constitu'ıdo v'ertice con bordes ilimitadas en las direcciones apéndice, ( A.1 )) Por un trivalente constitu'ıdo v'ertice con bordes ilimitadas en las direcciones 
(1, 1), (0, - 1) y ( - 1 0), formando una "Y", como en la fi gura 1.1 . (1, 1), (0, - 1) y ( - 1 0), formando una "Y", como en la fi gura 1.1 . (1, 1), (0, - 1) y ( - 1 0), formando una "Y", como en la fi gura 1.1 . (1, 1), (0, - 1) y ( - 1 0), formando una "Y", como en la fi gura 1.1 . (1, 1), (0, - 1) y ( - 1 0), formando una "Y", como en la fi gura 1.1 . (1, 1), (0, - 1) y ( - 1 0), formando una "Y", como en la fi gura 1.1 . (1, 1), (0, - 1) y ( - 1 0), formando una "Y", como en la fi gura 1.1 . (1, 1), (0, - 1) y ( - 1 0), formando una "Y", como en la fi gura 1.1 . (1, 1), (0, - 1) y ( - 1 0), formando una "Y", como en la fi gura 1.1 . 
q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq 
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qq
Figura 1.1: Straight Tropical f.reta
El ejemplo de lo que ocurre en anal'ıtica geometría elemental, se espera que intuitivamente 
recta tropical
• variar con dos grados de libertad;
• están determinados por dos puntos de cruce;
• se reúnen juntos, de dos en dos, en un punto s'o.
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[SEC. 1.1: RECTA TROPICAL 9
El primer sencillo application'and se encuentran: la fi NIC ~ ao geom'etrica recta tropical, 
sólo proporciona las coordenadas gráfico v'ertice para determinar por completo la figura. Por 
lo tanto, como en el caso del cl'assico fam'ılia recta tropical goza, dos grados de libertad.
El pr'oxima cifra debería convencernos de que uno H'a ' sola recta
Tropical a través de dos puntos en posición general no plano:Tropical a través de dos puntos en posición general no plano:Tropical a través de dos puntos en posición general no plano:
q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq 
q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q
©
©
q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq 
q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q
©
© 
q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq 
q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q
© ©
Figura 1.2: Reta tropical por 2 pontos f.reta.pontos
Exerc´ıcio 1. Para quais posi¸c˜oes do par de pontos a reta tropical ´e indeterminada?Exerc´ıcio 1. Para quais posi¸c˜oes do par de pontos a reta tropical ´e indeterminada?
Analogamente, duas retas tropicais distintas em geral se encon- tram em um ´Analogamente, duas retas tropicais distintas em geral se encon- tram em um ´Analogamente, duas retas tropicais distintas em geral se encon- tram em um ´
unico ponto.
O qualificativo “em geral” deve ser interpretado no sentido de que “a afirma¸c˜ao vale 
com probabilidade um”. Ou melhor, a cole¸c˜ao dos pares de pontos (resp. retas tropicais) 
para os quais a afirma¸c˜ao ´e verdadeira forma um aberto denso de R 2 × R 2.para os quais a afirma¸c˜ao ´e verdadeira forma um aberto denso de R 2 × R 2.para os quais a afirma¸c˜ao ´e verdadeira forma um aberto denso de R 2 × R 2.para os quais a afirma¸c˜ao ´e verdadeira forma um aberto denso de R 2 × R 2.para os quais a afirma¸c˜ao ´e verdadeira forma um aberto denso de R 2 × R 2.para os quais a afirma¸c˜ao ´e verdadeira forma um aberto denso de R 2 × R 2.
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Figura 1.3: Interse¸c˜ao de alguns pares de retas tropicais f.inter.retas
Formalizaremos essas afirma¸c˜oes nos pr´oximos cap´ıtulos.
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10 [CAP. 1: BEM-VINDO AO PLANO TROPICAL!
Exerc´ıcio 2. Para quais posi¸c˜oes do par de retas a interse¸c˜ao ´e infinita?Exerc´ıcio 2. Para quais posi¸c˜oes do par de retas a interse¸c˜ao ´e infinita?
3. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max( x, y, 0) sobre a regi˜ao3. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max( x, y, 0) sobre a regi˜ao3. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max( x, y, 0) sobre a regi˜ao3. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max( x, y, 0) sobre a regi˜ao3. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max( x, y, 0) sobre a regi˜ao3. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max( x, y, 0) sobre a regi˜ao3. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max( x, y, 0) sobre a regi˜ao3. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max( x, y, 0) sobre a regi˜ao
− 1 ≤ x, y ≤ 1.− 1 ≤ x, y ≤ 1.− 1 ≤ x, y ≤ 1.− 1 ≤ x, y ≤ 1.− 1 ≤ x, y ≤ 1.− 1 ≤ x, y ≤ 1.
1.2 Cˆonica tropical?
Aproveitando nosso conhecimento sobre retas tropicais, um pri- meiro exemplo de 
cˆonica tropical poderia ser o fornecido por um par de retas, como na figura 1.3 . Observe que cˆonica tropical poderia ser o fornecido por um par de retas, como na figura 1.3 . Observe que cˆonica tropical poderia ser o fornecido por um par de retas, como na figura 1.3 . Observe que 
nesse caso, temos duasnesse caso, temos duas
arestas ilimitadas em cada uma das dire¸c˜oes (1, 1), (0, − 1) e ( − 1, 0). No caso onde arestas ilimitadas em cada uma das dire¸c˜oes (1, 1), (0, − 1) e ( − 1, 0). No caso onde arestas ilimitadas em cada uma das dire¸c˜oes (1, 1), (0, − 1) e ( − 1, 0). No caso onde arestas ilimitadas em cada uma das dire¸c˜oes (1, 1), (0, − 1) e ( − 1, 0). No caso onde arestas ilimitadas em cada uma das dire¸c˜oes (1, 1), (0, − 1) e ( − 1, 0). No caso onde arestas ilimitadas em cada uma das dire¸c˜oes (1, 1), (0, − 1) e ( − 1, 0). No caso onde arestas ilimitadas em cada uma das dire¸c˜oes (1, 1), (0, − 1) e ( − 1, 0). No caso onde 
coincidissem as arestas, poder´ıamos imaginar como se cada dire¸c˜ao contasse com 
‘multiplicidade’ 2.
Definimos cˆonica tropical como um grafo formado por quatro v´ertices, trˆes arestas Definimos cˆonica tropical como um grafo formado por quatro v´ertices, trˆes arestas Definimos cˆonica tropical como um grafo formado por quatro v´ertices, trˆes arestas 
limitadas ligando esses v´ertices, satisfazendo uma “condi¸c˜
ao de balanceamento” explicitada mais adiante, e um
par de arestas ilimitadas em cada uma das dire¸c˜oes (1, 1), (0, − 1) e ( − 1, 0). Permitimos par de arestas ilimitadas em cada uma das dire¸c˜oes (1, 1), (0, − 1) e ( − 1, 0). Permitimos par de arestas ilimitadas em cada uma das dire¸c˜oes (1, 1), (0, − 1) e ( − 1, 0). Permitimos par de arestas ilimitadas em cada uma das dire¸c˜oes (1, 1), (0, − 1) e ( − 1, 0). Permitimos par de arestas ilimitadas em cada uma das dire¸c˜oes (1, 1), (0, − 1) e ( − 1, 0). Permitimos par de arestas ilimitadas em cada uma das dire¸c˜oes (1, 1), (0, − 1) e ( − 1, 0). Permitimos par de arestas ilimitadas em cada uma das dire¸c˜oes (1, 1), (0, − 1) e ( − 1, 0). Permitimos 
tamb´em que v´ertices e arestas coincidam, como ocorre na situa¸c˜ao degenerada do par de 
retas. A figura 1.4 mostra um exemplo de cˆonica tropical. Outros tipos ser˜ao vistos mais retas. A figura 1.4 mostra um exemplo de cˆonica tropical. Outros tipos ser˜ao vistos mais retas. A figura 1.4 mostra um exemplo de cˆonica tropical. Outros tipos ser˜ao vistos mais 
tarde.
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Figura 1.4: Uma cˆonica tropical f.conicas
Observe que o caso do par de retas pode ser imaginado como uma degenera¸c˜ao da 
cˆonica da figura 1.4 , fazendo o comprimento de uma das arestas limitadas tender a zero.cˆonica da figura 1.4 , fazendo o comprimento de uma das arestas limitadas tender a zero.cˆonica da figura 1.4 , fazendo o comprimento de uma das arestas limitadas tender a zero.
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[SEC. 1.2: Cˆ ONICA TROPICAL? 11
Exerc´ıcio 4. Quantos graus de liberdade admite uma cˆonica tropical?Exerc´ıcio 4. Quantos graus de liberdade admite uma cˆonica tropical?
5. Determine, se poss´ıvel, uma cˆonica tropical que passa pelos pontos5. Determine, se poss´ıvel, uma cˆonica tropical que passa pelos pontos
( − 1, − 1), (1, 2), (2, 1), ( − 3, 2), (3, 5)( − 1, − 1), (1, 2), (2, 1), ( − 3, 2), (3, 5)( − 1, − 1), (1, 2), (2, 1), ( − 3, 2), (3, 5)( − 1, − 1), (1, 2), (2, 1), ( − 3, 2), (3, 5)( − 1, − 1), (1, 2), (2, 1), ( − 3, 2), (3, 5)( − 1, − 1), (1, 2), (2, 1), ( − 3, 2), (3, 5)( − 1, − 1), (1, 2), (2, 1), ( − 3, 2), (3, 5)( − 1, − 1), (1, 2), (2, 1), ( − 3, 2), (3, 5)( − 1, − 1), (1, 2), (2, 1), ( − 3, 2), (3, 5)( − 1, − 1), (1, 2), (2, 1), ( − 3, 2), (3, 5)( − 1, − 1), (1, 2), (2, 1), ( − 3, 2), (3, 5)
6. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max(2 x, 2 y + 1, x + y + 2, x −6. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max(2 x, 2 y + 1, x + y + 2, x −6. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max(2 x, 2 y + 1, x + y + 2, x −6. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max(2 x, 2 y + 1, x + y + 2, x −6. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max(2 x, 2 y + 1, x + y + 2, x −6. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max(2 x, 2 y + 1, x + y + 2, x −6. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max(2 x, 2 y + 1, x + y + 2, x −6. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max(2 x, 2 y + 1, x + y + 2, x −6. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max(2 x, 2 y + 1, x + y + 2, x −6. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max(2 x, 2 y + 1, x + y + 2, x −6. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max(2 x, 2 y + 1, x + y + 2, x −6. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max(2 x, 2 y + 1, x + y + 2, x −6. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao ( x, y) 7→ max(2 x, 2 y + 1, x + y + 2, x −
3, y − 4, 0) sobre a regi˜ao − 3 ≤ x, y ≤ 5.3, y − 4, 0) sobre a regi˜ao − 3 ≤ x, y ≤ 5.3, y − 4, 0) sobre a regi˜ao − 3 ≤ x, y ≤ 5.3, y − 4, 0) sobre a regi˜ao − 3 ≤ x, y ≤ 5.3, y − 4, 0) sobre a regi˜ao − 3 ≤ x, y ≤ 5.3, y − 4, 0) sobre a regi˜ao − 3 ≤ x, y ≤ 5.3, y − 4, 0) sobre a regi˜ao − 3 ≤ x, y ≤ 5.3, y − 4, 0) sobre a regi˜ao − 3 ≤ x, y ≤ 5.3, y − 4, 0) sobre a regi˜ao − 3 ≤ x, y ≤ 5.3, y − 4, 0) sobre a regi˜ao − 3 ≤ x, y ≤ 5.3, y − 4, 0) sobre a regi˜ao − 3 ≤ x, y ≤ 5.3, y − 4, 0) sobre a regi˜ao − 3 ≤ x, y ≤ 5.
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Cap´ıtulo 2
Curvas tropicais
2.1 Amebas e o mapa tropical
Para entender o aspecto dos grafos apresentados no cap´ıtulo ante- rior, vamos estudar 
as chamadas amebas de curvas planas. Considere o mapaas chamadas amebas de curvas planas. Considere o mapaas chamadas amebas de curvas planas. Considere o mapa
Log : ( C ∗) 2 → R 2( C ∗) 2 → R 2( C ∗) 2 → R 2( C ∗) 2 → R 2( C ∗) 2 → R 2( C ∗) 2 → R 2( C ∗) 2 → R 2
( z 1, z 2)( z 1, z 2)( z 1, z 2)( z 1, z 2)( z 1, z 2) 7→ ( x 1, x 2) := ( log | z 1|, log | z 2|).7→ ( x 1, x 2) := ( log | z 1|, log | z 2|).7→ ( x 1, x 2) := ( log | z 1|, log | z 2|).7→ ( x 1, x 2) := ( log | z 1|, log | z 2|).7→ ( x 1, x 2) := ( log | z 1|, log | z 2|).7→ ( x 1, x 2) := ( log | z 1|, log | z 2|).7→ ( x 1, x 2) := ( log | z 1|, log | z 2|).7→ ( x 1, x 2) := ( log | z 1|, log | z 2|).7→ ( x 1, x 2) := ( log | z 1|,log | z 2|).7→ ( x 1, x 2) := ( log | z 1|, log | z 2|).7→ ( x 1, x 2) := ( log | z 1|, log | z 2|).
(2.1) e.mapa.ameba(2.1) e.mapa.ameba
Dada uma curva alg´ebrica plana C em C 2, o conjunto imagemDada uma curva alg´ebrica plana C em C 2, o conjunto imagemDada uma curva alg´ebrica plana C em C 2, o conjunto imagemDada uma curva alg´ebrica plana C em C 2, o conjunto imagemDada uma curva alg´ebrica plana C em C 2, o conjunto imagemDada uma curva alg´ebrica plana C em C 2, o conjunto imagem
Log ( C ∩ ( C ∗) 2) ⊂ R 2Log ( C ∩ ( C ∗) 2) ⊂ R 2Log ( C ∩ ( C ∗) 2) ⊂ R 2Log ( C ∩ ( C ∗) 2) ⊂ R 2Log ( C ∩ ( C ∗) 2) ⊂ R 2Log ( C ∩ ( C ∗) 2) ⊂ R 2Log ( C ∩ ( C ∗) 2) ⊂ R 2Log ( C ∩ ( C ∗) 2) ⊂ R 2Log ( C ∩ ( C ∗) 2) ⊂ R 2
´e chamado de ameba da curva C. A figura abaixo mostra as amebas de uma reta e de uma ´e chamado de ameba da curva C. A figura abaixo mostra as amebas de uma reta e de uma ´e chamado de ameba da curva C. A figura abaixo mostra as amebas de uma reta e de uma ´e chamado de ameba da curva C. A figura abaixo mostra as amebas de uma reta e de uma ´e chamado de ameba da curva C. A figura abaixo mostra as amebas de uma reta e de uma 
cˆonica. Por elas, deve ficar clara a origem das curvas tropicais: elas s˜ao os “esqueletos” de 
amebas.
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Figura 2.1:Ameba da reta x + y = 1 e a de uma cˆonica As “pernas” ou “tent´aculos” Figura 2.1:Ameba da reta x + y = 1 e a de uma cˆonica As “pernas” ou “tent´aculos” Figura 2.1:Ameba da reta x + y = 1 e a de uma cˆonica As “pernas” ou “tent´aculos” 
horizontal/vertical provˆem das ima-
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[SEC. 2.1: AMEBAS E O MAPA TROPICAL 13
gens de pontos pr´oximos das interse¸c˜oes com os eixos coordenados (log 0 = −∞...!).gens de pontos pr´oximos das interse¸c˜oes com os eixos coordenados (log 0 = −∞...!).
Exerc´ıcio 7. Mostre que se z 2Exerc´ıcio 7. Mostre que se z 2Exerc´ıcio 7. Mostre que se z 2Exerc´ıcio 7. Mostre que se z 2
1 + z 21 + z 21 + z 2 2 = 1 ent˜ao o limite de log(| z 1|)2 = 1 ent˜ao o limite de log(| z 1|)2 = 1 ent˜ao o limite de log(| z 1|)2 = 1 ent˜ao o limite de log(| z 1|)2 = 1 ent˜ao o limite de log(| z 1|)2 = 1 ent˜ao o limite de log(| z 1|)
log(| z 2|)log(| z 2|)log(| z 2|)
para | z 1|, | z 2| →∞ ´e igual a 1.para | z 1|, | z 2| →∞ ´e igual a 1.para | z 1|, | z 2| →∞ ´e igual a 1.para | z 1|, | z 2| →∞ ´e igual a 1.para | z 1|, | z 2| →∞ ´e igual a 1.para | z 1|, | z 2| →∞ ´e igual a 1.para | z 1|, | z 2| →∞ ´e igual a 1.para | z 1|, | z 2| →∞ ´e igual a 1.
Formalmente, consideremos agora os mapas
Log t( z 1, z 2) = ( − log t | z 1|, − log t | z 2|) =Log t( z 1, z 2) = ( − log t | z 1|, − log t | z 2|) =Log t( z 1, z 2) = ( − log t | z 1|, − log t | z 2|) =Log t( z 1, z 2) = ( − log t | z 1|, − log t | z 2|) =Log t( z 1, z 2) = ( − log t | z 1|, − log t | z 2|) =Log t( z 1, z 2) = ( − log t | z 1|, − log t | z 2|) =Log t( z 1, z 2) = ( − log t | z 1|, − log t | z 2|) =Log t( z 1, z 2) = ( − log t | z 1|, − log t | z 2|) =Log t( z 1, z 2) = ( − log t | z 1|, − log t | z 2|) =Log t( z 1, z 2) = ( − log t | z 1|, − log t | z 2|) =Log t( z 1, z 2) = ( − log t | z 1|, − log t | z 2|) =Log t( z 1, z 2) = ( − log t | z 1|, − log t | z 2|) =Log t( z 1, z 2) = ( − log t | z 1|, − log t | z 2|) =Log t( z 1, z 2) = ( − log t | z 1|, − log t | z 2|) =Log t( z 1, z 2) = ( − log t | z 1|, − log t | z 2|) =Log t( z 1, z 2) = ( − log t | z 1|, − log t | z 2|) =
( − log | z 1|( − log | z 1|( − log | z 1|( − log | z 1|( − log | z 1|
log t , − log | z 2|log t , − log | z 2|log t , − log | z 2|log t , − log | z 2|log t , − log | z 2|log t , − log | z 2|log tlog t
)
onde a base do logaritmo passa a ser um real arbitr´ario t > 0. A troca de sinal prov´em do onde a base do logaritmo passa a ser um real arbitr´ario t > 0. A troca de sinal prov´em do onde a base do logaritmo passa a ser um real arbitr´ario t > 0. A troca de sinal prov´em do 
desejo de manter a orienta¸c˜ao, lembrando que log t < 0 para 0 < t < 1. Dada uma curva desejo de manter a orienta¸c˜ao, lembrando que log t < 0 para 0 < t < 1. Dada uma curva desejo de manter a orienta¸c˜ao, lembrando que log t < 0 para 0 < t < 1. Dada uma curva desejo de manter a orienta¸c˜ao, lembrando que log t < 0 para 0 < t < 1. Dada uma curva desejo de manter a orienta¸c˜ao, lembrando que log t < 0 para 0 < t < 1. Dada uma curva 
alg´ebrica C, temos a fam´ılia de amebas {Log t( C ∩alg´ebrica C, temos a fam´ılia de amebas {Log t( C ∩alg´ebrica C, temos a fam´ılia de amebas {Log t( C ∩alg´ebrica C, temos a fam´ılia de amebas {Log t( C ∩alg´ebrica C, temos a fam´ılia de amebas {Log t( C ∩alg´ebrica C, temos a fam´ılia de amebas {Log t( C ∩
( C ∗) 2)} t> 0. O conjunto obtido como limite dessa fam´ılia quando( C ∗) 2)} t> 0. O conjunto obtido como limite dessa fam´ılia quando( C ∗) 2)} t> 0. O conjunto obtido como limite dessa fam´ılia quando( C ∗) 2)} t> 0. O conjunto obtido como limite dessa fam´ılia quando( C ∗) 2)} t> 0. O conjunto obtido como limite dessa fam´ılia quando( C ∗) 2)} t> 0. O conjunto obtido como limite dessa fam´ılia quando( C ∗) 2)} t> 0. O conjunto obtido como limite dessa fam´ılia quando
t tende a zero ´e o que definimos como curva tropical plana. A figura 2.2 ilustra esse t tende a zero ´e o que definimos como curva tropical plana. A figura 2.2 ilustra esse t tende a zero ´e o que definimos como curva tropical plana. A figura 2.2 ilustra esse t tende a zero ´e o que definimos como curva tropical plana. A figura 2.2 ilustra esse 
processo de limite para o caso da reta C =processo de limite para o caso da reta C =
{( x, y) | x + y = 1}. Embora tra¸cos dessas amebas tenham origem{( x, y) | x + y = 1}. Embora tra¸cos dessas amebas tenham origem{( x, y) | x + y = 1}. Embora tra¸cos dessas amebas tenham origem
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Figura 2.2: Ameba da reta x + y = 1 degenerando a seu esqueleto Figura 2.2: Ameba da reta x + y = 1 degenerando a seu esqueleto Figura 2.2: Ameba da reta x + y = 1 degenerando a seu esqueleto f.amebadegen
relativamente antiga cf. [ 2 ], o leitor h´a de convir que n˜ao se trata exatamente de uma relativamente antiga cf. [ 2 ], o leitor h´a de convir que n˜ao se trata exatamente de uma relativamente antiga cf. [ 2 ], o leitor h´a de convir que n˜ao se trata exatamente de uma 
defini¸c˜ao amig´avel. . .
Mas vale lembrar que estamos em uma Escola de ´ Algebra!
Merecemos uma maneira alternativa, e totalmente alg´ebrica, para obter uma curva tropical a 
partir de uma curva “cl´assica”. Isso ´e feito pelo mapa tropical 2.3 . Para isso, introduzimos o partir de uma curva “cl´assica”. Isso ´e feito pelo mapa tropical 2.3 . Para isso, introduzimos o partir de uma curva “cl´assica”. Isso ´e feito pelo mapa tropical 2.3 . Para isso, introduzimos o 
corpo K das s´eries de Puiseux sobre os complexos. Trata-se do fecho alg´ebrico C(( t)) do corpo K das s´eries de Puiseux sobre os complexos. Trata-se do fecho alg´ebrico C(( t)) do corpo K das s´eries de Puiseux sobre os complexos. Trata-se do fecho alg´ebrico C(( t)) do corpo K das s´eries de Puiseux sobre os complexos. Trata-se do fecho alg´ebrico C(( t)) do corpo K das s´eries de Puiseux sobre os complexos. Trata-se do fecho alg´ebrico C(( t)) do corpo K das s´eries de Puiseux sobre os complexos. Trata-se do fecho alg´ebrico C(( t)) do 
corpo de s´eries de
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14 [CAP. 2: CURVAS TROPICAIS
Laurent. Concretamente, cada elemento a ∈ K ´e uma s´erie formalLaurent. Concretamente, cada elemento a ∈ K ´e uma s´erie formalLaurent. Concretamente, cada elemento a ∈ K ´e uma s´erie formalLaurent. Concretamente, cada elemento a ∈ K ´e uma s´erie formalLaurent. Concretamente, cada elemento a ∈ K ´e uma s´erie formal
a = ∑a = ∑
q ∈ Qq ∈ Qq ∈ Q
a q t q,a q t q,a q t q,a q t q, (2.2) e.a(2.2) e.a
em que
• cada coeficiente a q ∈ C;cada coeficiente a q ∈ C;cada coeficiente a q ∈ C;cada coeficiente a q ∈ C;cada coeficiente a q ∈ C;
• o subconjunto dos racionais onde a q o subconjunto dos racionais onde a q o subconjunto dos racionais onde a q 6= 0 ´e limitado6= 0 ´e limitado
inferiormente e
• o conjunto dos denominadores ´e finito. Temos C(( t)) o conjunto dos denominadores ´e finito. Temos C(( t)) o conjunto dos denominadores ´e finito. Temos C(( t)) 
= ⋃ C(( t 1= ⋃ C(( t 1= ⋃ C(( t 1= ⋃ C(( t 1= ⋃ C(( t 1
m )), onde cada C(( z)), z = t 1m )), onde cada C(( z)), z = t 1m )), onde cada C(( z)), z = t 1m )), onde cada C(( z)), z = t 1m )), onde cada C(( z)), z = t 1 m , ´e o corpom , ´e o corpo
de fra¸c˜oes do anel de s´eries formais C[[ z]]. A valoriza¸c˜ao de a ∈ K,de fra¸c˜oes do anel de s´eries formais C[[ z]]. A valoriza¸c˜ao de a ∈ K,de fra¸c˜oes do anel de s´eries formais C[[ z]]. A valoriza¸c˜ao de a ∈ K,de fra¸c˜oes do anel de s´eries formais C[[ z]]. A valoriza¸c˜ao de a ∈ K,de fra¸c˜oes do anel de s´eries formais C[[ z]]. A valoriza¸c˜ao de a ∈ K,de fra¸c˜oes do anel de s´eries formais C[[ z]]. A valoriza¸c˜ao de a ∈ K,de fra¸c˜oes do anel de s´eries formais C[[ z]]. A valoriza¸c˜ao de a ∈ K,de fra¸c˜oes do anel de s´eries formais C[[ z]]. A valoriza¸c˜ao de a ∈ K,de fra¸c˜oes do anel de s´eries formais C[[ z]]. A valoriza¸c˜ao de a ∈ K,
denotada por v(a), ´e definida como o menor racional tal que a q 6= 0. Observe que para t pequeno, denotada por v(a), ´e definida como o menor racional tal que a q 6= 0. Observe que para t pequeno, denotada por v(a), ´e definida como o menor racional tal que a q 6= 0. Observe que para t pequeno, denotada por v(a), ´e definida como o menor racional tal que a q 6= 0. Observe que para t pequeno, denotada por v(a), ´e definida como o menor racional tal que a q 6= 0. Observe que para t pequeno, denotada por v(a), ´e definida como o menor racional tal que a q 6= 0. Observe que para t pequeno, denotada por v(a), ´e definida como o menor racional tal que a q 6= 0. Observe que para t pequeno, denotada por v(a), ´e definida como o menor racional tal que a q 6= 0. Observe que para t pequeno, denotada por v(a), ´e definida como o menor racional tal que a q 6= 0. Observe que para t pequeno, 
supondo a s´erie ( 2.2 ) convergente,supondo a s´erie ( 2.2 ) convergente,supondo a s´erie ( 2.2 ) convergente,
temos
v(a) ≈ log t a.v(a) ≈ log t a.v(a) ≈ log t a.v(a) ≈ log t a.v(a) ≈ log t a.
De fato, seja v = v(a). Escrevemos a = a v t v( 1 + · · · ), onde · · · ´e desprez´ıvel para t pequeno. De fato, seja v = v(a). Escrevemos a = a v t v( 1 + · · · ), onde · · · ´e desprez´ıvel para t pequeno. De fato, seja v = v(a). Escrevemos a = a v t v( 1 + · · · ), onde · · · ´e desprez´ıvel para t pequeno. De fato, seja v = v(a). Escrevemos a = a v t v( 1 + · · · ), onde · · · ´e desprez´ıvel para t pequeno. De fato, seja v = v(a). Escrevemos a = a v t v( 1 + · · · ), onde · · · ´e desprez´ıvel para t pequeno. De fato, seja v = v(a). Escrevemos a = a v t v( 1 + · · · ), onde · · · ´e desprez´ıvel para t pequeno. De fato, seja v = v(a). Escrevemos a = a v t v( 1 + · · · ), onde · · · ´e desprez´ıvel para t pequeno. De fato, seja v = v(a). Escrevemos a = a v t v( 1 + · · · ), onde · · · ´e desprez´ıvel para t pequeno. De fato, seja v = v(a). Escrevemos a = a v t v( 1 + · · · ), onde · · · ´e desprez´ıvel para t pequeno. De fato, seja v = v(a). Escrevemos a = a v t v( 1 + · · · ), onde · · · ´e desprez´ıvel para t pequeno. De fato, seja v = v(a). Escrevemos a = a v t v( 1 + · · · ), onde · · · ´e desprez´ıvel para t pequeno. De fato, seja v = v(a). Escrevemos a = a v t v( 1 + · · · ), onde · · · ´e desprez´ıvel para t pequeno. De fato, seja v = v(a). Escrevemos a = a v t v( 1 + · · · ), onde · · · ´e desprez´ıvel para t pequeno. De fato, seja v = v(a). Escrevemos a = a v t v( 1 + · · · ), onde · · · ´e desprez´ıvel para t pequeno. 
Temos assim log t a = log t a v + v, onde lim t → 0 log t a v = 0.Temos assim log t a = log t a v + v, onde lim t → 0 log t a v = 0.Temos assim log t a = log t a v + v, onde lim t → 0 log t a v = 0.Temos assim log t a = log t a v + v, onde lim t → 0 log t a v = 0.Temos assim log t a = log t a v + v, onde lim t → 0 log t a v = 0.Temos assim log t a = log t a v + v, onde lim t → 0 log t a v = 0.Temos assim log t a = log t a v + v, onde lim t → 0 log t a v = 0.Temos assim log t a = log t a v + v, onde lim t → 0 log t a v = 0.Temos assim log t a = log t a v + v, onde lim t → 0 log t a v = 0.Temos assim log t a = log t a v + v, onde lim t → 0 log t a v = 0.Temos assim log t a = log t a v + v, onde lim t → 0 log t a v = 0.Temos assim log t a = log t a v + v, onde lim t → 0 logt a v = 0.Temos assim log t a = log t a v + v, onde lim t → 0 log t a v = 0.Temos assim log t a = log t a v + v, onde lim t → 0 log t a v = 0.Temos assim log t a = log t a v + v, onde lim t → 0 log t a v = 0.Temos assim log t a = log t a v + v, onde lim t → 0 log t a v = 0.Temos assim log t a = log t a v + v, onde lim t → 0 log t a v = 0.
Isso nos sugere uma segunda defini¸c˜ao de curva tropical, substi- tuindo a aplica¸c˜ao 
logar´ıtmica ( 2.1 ) porlogar´ıtmica ( 2.1 ) porlogar´ıtmica ( 2.1 ) por
Trop : ( K ∗) 2 → R 2( K ∗) 2 → R 2( K ∗) 2 → R 2( K ∗) 2 → R 2( K ∗) 2 → R 2( K ∗) 2 → R 2( K ∗) 2 → R 2
( z 1, z 2)( z 1, z 2)( z 1, z 2)( z 1, z 2)( z 1, z 2) 7→ ( x 1, x 2) := ( − v(z 1), − v(z 2)).7→ ( x 1, x 2) := ( − v(z 1), − v(z 2)).7→ ( x 1, x 2) := ( − v(z 1), − v(z 2)).7→ ( x 1, x 2) := ( − v(z 1), − v(z 2)).7→ ( x 1, x 2) := ( − v(z 1), − v(z 2)).7→ ( x 1, x 2) := ( − v(z 1), − v(z 2)).7→ ( x 1, x 2) := ( − v(z 1), − v(z 2)).7→ ( x 1, x 2) := ( − v(z 1), − v(z 2)).7→ ( x 1, x 2) := ( − v(z 1), − v(z 2)).7→ ( x 1, x 2) := ( − v(z 1), − v(z 2)).7→ ( x 1, x 2) := ( − v(z 1), − v(z 2)).
(2.3) e.mapatrop(2.3) e.mapatrop
Assim, dada uma curva C no plano afim K 2, podemos mape´a-la no plano real afim Assim, dada uma curva C no plano afim K 2, podemos mape´a-la no plano real afim Assim, dada uma curva C no plano afim K 2, podemos mape´a-la no plano real afim Assim, dada uma curva C no plano afim K 2, podemos mape´a-la no plano real afim Assim, dada uma curva C no plano afim K 2, podemos mape´a-la no plano real afim Assim, dada uma curva C no plano afim K 2, podemos mape´a-la no plano real afim 
tomando o fecho topol´ogico de Trop ( C ∩ ( K ∗) 2)tomando o fecho topol´ogico de Trop ( C ∩ ( K ∗) 2)tomando o fecho topol´ogico de Trop ( C ∩ ( K ∗) 2)tomando o fecho topol´ogico de Trop ( C ∩ ( K ∗) 2)tomando o fecho topol´ogico de Trop ( C ∩ ( K ∗) 2)tomando o fecho topol´ogico de Trop ( C ∩ ( K ∗) 2)
em R 2 ( uma vez que ImTrop ⊆ Q 2) e definir esse conjunto como umaem R 2 ( uma vez que ImTrop ⊆ Q 2) e definir esse conjunto como umaem R 2 ( uma vez que ImTrop ⊆ Q 2) e definir esse conjunto como umaem R 2 ( uma vez que ImTrop ⊆ Q 2) e definir esse conjunto como umaem R 2 ( uma vez que ImTrop ⊆ Q 2) e definir esse conjunto como umaem R 2 ( uma vez que ImTrop ⊆ Q 2) e definir esse conjunto como umaem R 2 ( uma vez que ImTrop ⊆ Q 2) e definir esse conjunto como umaem R 2 ( uma vez que ImTrop ⊆ Q 2) e definir esse conjunto como uma
curva tropical plana, denotado por T ( C). Veremos oportunamente (cf.( 2.5.1 ), p´ag. 21 .) como curva tropical plana, denotado por T ( C). Veremos oportunamente (cf.( 2.5.1 ), p´ag. 21 .) como curva tropical plana, denotado por T ( C). Veremos oportunamente (cf.( 2.5.1 ), p´ag. 21 .) como curva tropical plana, denotado por T ( C). Veremos oportunamente (cf.( 2.5.1 ), p´ag. 21 .) como curva tropical plana, denotado por T ( C). Veremos oportunamente (cf.( 2.5.1 ), p´ag. 21 .) como curva tropical plana, denotado por T ( C). Veremos oportunamente (cf.( 2.5.1 ), p´ag. 21 .) como curva tropical plana, denotado por T ( C). Veremos oportunamente (cf.( 2.5.1 ), p´ag. 21 .) como curva tropical plana, denotado por T ( C). Veremos oportunamente (cf.( 2.5.1 ), p´ag. 21 .) como curva tropical plana, denotado por T ( C). Veremos oportunamente (cf.( 2.5.1 ), p´ag. 21 .) como 
obter uma equa¸c˜ao para T ( C).obter uma equa¸c˜ao para T ( C).obter uma equa¸c˜ao para T ( C).
A aplica¸c˜ ao de valoriza¸c˜ao v : K → Q satisfaz as seguintes pro-ao de valoriza¸c˜ao v : K → Q satisfaz as seguintes pro-ao de valoriza¸c˜ao v : K → Q satisfaz as seguintes pro-ao de valoriza¸c˜ao v : K → Q satisfaz as seguintes pro-ao de valoriza¸c˜ao v : K → Q satisfaz as seguintes pro-
priedades, facilmente verificadas pela defini¸c˜ao:
• v(a + b) ≥ min{ v(a), v(b)}v(a + b) ≥ min{ v(a), v(b)}v(a + b) ≥ min{ v(a), v(b)}v(a + b) ≥ min{ v(a), v(b)}v(a + b) ≥ min{ v(a), v(b)}
• v(ab) = v(a) + v(b)v(ab) = v(a) + v(b)
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[SEC. 2.2: O SEMI-CORPO TROPICAL 15
Lembrando a troca de sinal convencionada na aplica¸c˜ao Trop , note que
• − v(a + b) ≤ max{ − v(a), − v(b)}.• − v(a + b) ≤ max{ − v(a), − v(b)}.• − v(a + b) ≤ max{ − v(a), − v(b)}.• − v(a + b) ≤ max{ − v(a), − v(b)}.• − v(a + b) ≤ max{ − v(a), − v(b)}.• − v(a + b) ≤ max{ − v(a), − v(b)}.• − v(a + b) ≤ max{ − v(a), − v(b)}.• − v(a + b) ≤ max{ − v(a), − v(b)}.• − v(a + b) ≤ max{ − v(a), − v(b)}.
Isso observado, vamos definir em Q ( e por extens˜ao em R) uma estrutura dita de semi-corpo com Isso observado, vamos definir em Q ( e por extens˜ao em R) uma estrutura dita de semi-corpo com Isso observado, vamos definir em Q ( e por extens˜ao em R) uma estrutura dita de semi-corpo com Isso observado, vamos definir em Q ( e por extens˜ao em R) uma estrutura dita de semi-corpo com Isso observado, vamos definir em Q ( e por extens˜ao em R) uma estrutura dita de semi-corpo com Isso observado, vamos definir em Q ( e por extens˜ao em R) uma estrutura dita de semi-corpo com Isso observado, vamos definir em Q ( e por extens˜ao em R) uma estrutura dita de semi-corpo com 
as opera¸c˜oes
max{ ·, ·} e + .max{ ·, ·} e + .max{ ·, ·} e + .max{ ·, ·} e + .
Nesse contexto, trataremos as curvas tropicais de modo an´alogo ao caso cl´assico, em que 
desempenham papel central as ´algebras de poli- nˆomios, fun¸c˜oes racionais, etc.
Exerc´ıcio 8. Se a 1, · · · , a r ∈ K s˜ao tais que a 1 + · · ·+ a r = 0, ent˜ao pelo menos dois termos da Exerc´ıcio 8. Se a 1, · · · , a r ∈ K s˜ao tais que a 1 + · · ·+ a r = 0, ent˜ao pelo menos dois termos da Exerc´ıcio 8. Se a 1, · · · , a r ∈ K s˜ao tais que a 1 + · · ·+ a r = 0, ent˜ao pelo menos dois termos da Exerc´ıcio 8. Se a 1, · · · , a r ∈ K s˜ao tais que a 1 + · · ·+ a r = 0, ent˜ao pelo menos dois termos da Exerc´ıcio 8. Se a 1, · · · , a r ∈ K s˜ao tais que a 1 + · · ·+ a r = 0, ent˜ao pelo menos dois termos da Exerc´ıcio 8. Se a 1, · · · , a r ∈ K s˜ao tais que a 1 + · · ·+ a r = 0, ent˜ao pelo menos dois termos da Exerc´ıcio 8. Se a 1, · · · , a r ∈ K s˜ao tais que a 1 + · · ·+ a r = 0, ent˜ao pelo menos dois termos da Exerc´ıcio 8. Se a 1, · · · , a r ∈ K s˜ao tais que a 1 + · · ·+ a r = 0, ent˜ao pelo menos dois termos da Exerc´ıcio 8. Se a 1, · · · , a r ∈ K s˜ao tais que a 1 + · · ·+ a r = 0, ent˜ao pelo menos dois termos da Exerc´ıcio 8. Se a 1, · · · , a r ∈ K s˜ao tais que a 1 + · · ·+ a r = 0, ent˜ao pelo menos dois termos da Exerc´ıcio 8. Se a 1, · · · , a r ∈ K s˜ao tais que a 1 + · · ·+ a r = 0, ent˜ao pelo menos dois termos da Exerc´ıcio 8. Se a 1, · · · , a r ∈ K s˜ao tais que a 1 + · · ·+ a r = 0, ent˜ao pelo menos dois termos da Exerc´ıcio 8. Se a 1, · · · , a r ∈ K s˜ao tais que a 1 + · · ·+ a r = 0, ent˜ao pelo menos dois termos da Exerc´ıcio 8. Se a 1, · · · , a r ∈ K s˜ao tais que a 1 + · · ·+ a r = 0, ent˜ao pelo menos dois termos da Exerc´ıcio 8. Se a 1, · · · , a r ∈ K s˜ao tais que a 1 + · · ·+ a r = 0, ent˜ao pelo menos dois termos da Exerc´ıcio 8. Se a 1, · · · , a r ∈ K s˜ao tais que a 1 + · · ·+ a r = 0, ent˜ao pelo menos dois termos da Exerc´ıcio 8. Se a 1, · · · , a r ∈ K s˜ao tais que a 1 + · · ·+ a r = 0, ent˜ao pelo menos dois termos da 
soma atingem o valor m´ınimo min{ v(a i)}.soma atingem o valor m´ınimo min{ v(a i)}.soma atingem o valor m´ınimo min{ v(a i)}.soma atingem o valor m´ınimo min{ v(a i)}.
9. Mostre que a imagem da reta cl´assica z 1+ z 2 = 1 pelo mapa tropical est´a contida em {( x, y) ∈ 9. Mostre que a imagem da reta cl´assica z 1+ z 2 = 1 pelo mapa tropical est´a contida em {( x, y) ∈ 9. Mostre que a imagem da reta cl´assica z 1+ z 2 = 1 pelo mapa tropical est´a contida em {( x, y) ∈ 9. Mostre que a imagem da reta cl´assica z 1+ z 2 = 1 pelo mapa tropical est´a contida em {( x, y) ∈ 9. Mostre que a imagem da reta cl´assica z 1+ z 2 = 1 pelo mapa tropical est´a contida em {( x, y) ∈ 9. Mostre que a imagem da reta cl´assica z 1+ z 2 = 1 pelo mapa tropical est´a contida em {( x, y) ∈ 9. Mostre que a imagem da reta cl´assica z 1+ z 2 =1 pelo mapa tropical est´a contida em {( x, y) ∈ 9. Mostre que a imagem da reta cl´assica z 1+ z 2 = 1 pelo mapa tropical est´a contida em {( x, y) ∈ 9. Mostre que a imagem da reta cl´assica z 1+ z 2 = 1 pelo mapa tropical est´a contida em {( x, y) ∈ 9. Mostre que a imagem da reta cl´assica z 1+ z 2 = 1 pelo mapa tropical est´a contida em {( x, y) ∈ 
R 2| x = y ≥ 0 ou x = 0 ≥ y ou y = 0 ≥ x}.R 2| x = y ≥ 0 ou x = 0 ≥ y ou y = 0 ≥ x}.R 2| x = y ≥ 0 ou x = 0 ≥ y ou y = 0 ≥ x}.R 2| x = y ≥ 0 ou x = 0 ≥ y ou y = 0 ≥ x}.R 2| x = y ≥ 0 ou x = 0 ≥ y ou y = 0 ≥ x}.R 2| x = y ≥ 0 ou x = 0 ≥ y ou y = 0 ≥ x}.R 2| x = y ≥ 0 ou x = 0 ≥ y ou y = 0 ≥ x}.R 2| x = y ≥ 0 ou x = 0 ≥ y ou y = 0 ≥ x}.R 2| x = y ≥ 0 ou x = 0 ≥ y ou y = 0 ≥ x}.R 2| x = y ≥ 0 ou x = 0 ≥ y ou y = 0 ≥ x}.R 2| x = y ≥ 0 ou x = 0 ≥ y ou y = 0 ≥ x}.R 2| x = y ≥ 0 ou x = 0 ≥ y ou y = 0 ≥ x}.R 2| x = y ≥ 0 ou x = 0 ≥ y ou y = 0 ≥ x}.R 2| x = y ≥ 0 ou x = 0 ≥ y ou y = 0 ≥ x}.
( É o conjuntos dos pares ( x, y) ∈ R 2 onde o m´aximo das 3 fun¸c˜oesE o conjuntos dos pares ( x, y) ∈ R 2 onde o m´aximo das 3 fun¸c˜oesE o conjuntos dos pares ( x, y) ∈ R 2 onde o m´aximo das 3 fun¸c˜oesE o conjuntos dos pares ( x, y) ∈ R 2 onde o m´aximo das 3 fun¸c˜oesE o conjuntos dos pares ( x, y) ∈ R 2 onde o m´aximo das 3 fun¸c˜oesE o conjuntos dos pares ( x, y) ∈ R 2 onde o m´aximo das 3 fun¸c˜oes
x, y, 0 ocorre ao menos em 2 delas.) Esboce este conjunto.x, y, 0 ocorre ao menos em 2 delas.) Esboce este conjunto.x, y, 0 ocorre ao menos em 2 delas.) Esboce este conjunto.
2.2 O semi-corpo tropical
Considere o conjunto dos n´ umeros reais R acrescentado do s´ımboloumeros reais R acrescentado do s´ımboloumeros reais R acrescentado do s´ımbolo
−∞. Nesse conjunto definimos as opera¸c˜oes de−∞. Nesse conjunto definimos as opera¸c˜oes de
adi¸c˜ao tropical :
a ⊕ b = max{ a, b}, ∀ a, b ∈ Ra ⊕ b = max{ a, b}, ∀ a, b ∈ Ra ⊕ b = max{ a, b}, ∀ a, b ∈ Ra ⊕ b = max{ a, b}, ∀ a, b ∈ Ra ⊕ b = max{ a, b}, ∀ a, b ∈ Ra ⊕ b = max{ a, b}, ∀ a, b ∈ Ra ⊕ b = max{ a, b}, ∀ a, b ∈ Ra ⊕ b = max{ a, b}, ∀ a, b ∈ Ra ⊕ b = max{ a, b}, ∀ a, b ∈ R
a ⊕−∞ = a ∀ a ∈ Ra ⊕−∞ = a ∀ a ∈ Ra ⊕−∞ = a ∀ a ∈ Ra ⊕−∞ = a ∀ a ∈ Ra ⊕−∞ = a ∀ a ∈ Ra ⊕−∞ = a ∀ a ∈ Ra ⊕−∞ = a ∀ a ∈ R
−∞⊕−∞ = −∞
multiplica¸c˜ao tropical :
a b = a + b, ∀ a, b ∈ Ra b = a + b, ∀ a, b ∈ Ra b = a + b, ∀ a, b ∈ Ra b = a + b, ∀ a, b ∈ Ra b = a + b, ∀ a, b ∈ Ra b = a + b, ∀ a, b ∈ R
a −∞ = −∞ ∀ a ∈ Ra −∞ = −∞ ∀ a ∈ Ra −∞ = −∞ ∀ a ∈ Ra −∞ = −∞ ∀ a ∈ Ra −∞ = −∞ ∀ a ∈ R
−∞•−∞ = −∞
Com essas opera¸c˜oes temos uma estrutura de semi-anel em
T = R ∪ {−∞},T = R ∪ {−∞},
chamado de semi-anel tropical. Mais explicitamente,chamado de semi-anel tropical. Mais explicitamente,chamado de semi-anel tropical. Mais explicitamente,
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16 [CAP. 2: CURVAS TROPICAIS
• ( R, ⊕) ´e um mon´oide comutativo, ou seja, a adi¸c˜ao tropical ´e associativa, ( R, ⊕) ´e um mon´oide comutativo, ou seja, a adi¸c˜ao tropical ´e associativa, ( R, ⊕) ´e um mon´oide comutativo, ou seja, a adi¸c˜ao tropical ´e associativa, ( R, ⊕) ´e um mon´oide comutativo, ou seja, a adi¸c˜ao tropical ´e associativa, 
comutativa, com elemento neutro −∞. Observe que nenhum elemento de R admite comutativa, com elemento neutro −∞. Observe que nenhum elemento de R admite comutativa, com elemento neutro −∞. Observe que nenhum elemento de R admite comutativa, com elemento neutro −∞. Observe que nenhum elemento de R admite comutativa, com elemento neutro −∞. Observe que nenhum elemento de R admite 
inverso aditivo;
• ( T, ) ´e um mon´oide, cujo elemento neutro ´e 0;( T, ) ´e um mon´oide, cujo elemento neutro ´e 0;( T, ) ´e um mon´oide, cujo elemento neutro ´e 0;( T, ) ´e um mon´oide, cujo elemento neutro ´e 0;
• a multiplica¸c˜ao se distribui sobre a adi¸c˜ao;
• O elemento neutro da adi¸c˜ao, −∞, satisfaz −∞ a = −∞, ∀ a ∈O elemento neutro da adi¸c˜ao, −∞, satisfaz −∞ a = −∞, ∀ a ∈O elemento neutro da adi¸c˜ao, −∞, satisfaz −∞ a = −∞, ∀ a ∈O elemento neutro da adi¸c˜ao, −∞, satisfaz −∞ a = −∞, ∀ a ∈O elemento neutro da adi¸c˜ao, −∞, satisfaz −∞ a = −∞, ∀ a ∈O elemento neutro da adi¸c˜ao, −∞, satisfaz −∞ a = −∞, ∀ a ∈O elemento neutro da adi¸c˜ao, −∞, satisfaz −∞ a = −∞, ∀ a ∈O elemento neutro da adi¸c˜ao, −∞, satisfaz −∞ a = −∞, ∀ a ∈
T.
Al´em disso, note que
• ( T, ) ´e de fato um grupo abeliano, com a divis˜ao tropical definida por a b = a − b, se b 6= ( T, ) ´e de fato um grupo abeliano, com a divis˜ao tropical definida por a b = a − b, se b 6= ( T, ) ´e de fato um grupo abeliano, com a divis˜ao tropical definida por a b = a − b, se b 6= ( T, ) ´e de fato um grupo abeliano, com a divis˜ao tropical definida por a b = a − b, se b 6= ( T, ) ´e de fato um grupo abeliano, com a divis˜ao tropical definida por a b = a − b, se b 6= ( T, ) ´e de fato um grupo abeliano, com a divis˜ao tropical definida por a b = a − b, se b 6= ( T, ) ´e de fato um grupo abeliano, com a divis˜ao tropical definida por a b = a − b, se b 6= ( T, ) ´e de fato um grupo abeliano, com a divis˜ao tropical definida por a b = a − b, se b 6= ( T, ) ´e de fato um grupo abeliano, com a divis˜ao tropical definida por a b = a − b, se b 6= ( T, ) ´e de fato um grupo abeliano, com a divis˜ao tropical definida por a b = a − b, se b 6= 
−∞. Por isso, dizemos que ( T, ⊕,•) ´e um semi-corpo;−∞. Por isso, dizemos que ( T, ⊕,•) ´e um semi-corpo;−∞. Por isso, dizemos que ( T, ⊕,•) ´e um semi-corpo;−∞. Por isso, dizemos que ( T, ⊕,•) ´e um semi-corpo;−∞. Por isso, dizemos que ( T, ⊕,•) ´e um semi-corpo;−∞. Por isso, dizemos que ( T, ⊕,•) ´e um semi-corpo;
• Temos a ⊕ a = a, para todo a ∈ T, ou seja, T ´e idempotente.Temos a ⊕ a = a, para todo a ∈ T, ou seja, T ´e idempotente.Temos a ⊕ a = a, para todo a ∈ T, ou seja, T ´e idempotente.Temos a ⊕ a = a, para todo a ∈ T, ou seja, T ´e idempotente.Temos a ⊕ a = a, para todo a ∈ T, ou seja, T ´e idempotente.Temos a ⊕ a = a, para todo a ∈ T, ou seja, T ´e idempotente.Temos a ⊕ a = a, para todo a ∈ T, ou seja, T ´e idempotente.Temos a ⊕ a = a, para todo a ∈ T, ou seja, T ´e idempotente.Temos a ⊕ a = a, para todo a ∈ T, ou seja, T ´e idempotente.Temos a ⊕ a = a, para todo a ∈ T, ou seja, T ´e idempotente.Temos a ⊕ a = a, para todo a ∈ T, ou seja, T ´e idempotente.Temos a ⊕ a = a, para todo a ∈ T, ou seja, T ´e idempotente.
2.2.1. Observa¸c˜ao. Por simplicidade de nota¸c˜ao, denotamos a exponencia¸c˜2.2.1. Observa¸c˜ao. Por simplicidade de nota¸c˜ao, denotamos a exponencia¸c˜
ao em T por a r ao inv´es de a r, ou seja, a r = r · aao em T por a r ao inv´es de a r, ou seja, a r = r · aao em T por a r ao inv´es de a r, ou seja, a r = r · aao em T por a r ao inv´es de a r, ou seja, a r = r · aao em T por a r ao inv´es de a r, ou seja, a r = r · aao em T por a r ao inv´es de a r, ou seja, a r = r · aao em T por a r ao inv´es de a r, ou seja, a r = r · aao em T por a r ao inv´es de a r, ou seja, a r = r · aao em T por a r ao inv´es de a r, ou seja, a r = r · aao em T por a r ao inv´es de a r, ou seja, a r = r · aao em T por a r ao inv´es de a r, ou seja, a r = r · aao em T por a r ao inv´es de a r, ou seja, a r = r · aao em T por a r ao inv´es de a r, ou seja, a r = r · aao em T por a r ao inv´es de a r, ou seja, a r = r · a
com a multiplica¸c˜ao usual.
Exerc´ıcio 10. Escreva a tabela das opera¸c˜oesExerc´ıcio 10. Escreva a tabela das opera¸c˜oes , ⊕ para { 1, 2, . . . , 5}.⊕ para { 1, 2, . . . , 5}.⊕ para { 1, 2, . . . , 5}.⊕ para { 1, 2, . . . , 5}.⊕ para { 1, 2, . . . , 5}.⊕ para { 1, 2, . . . , 5}.⊕ para { 1, 2, . . . , 5}.⊕ para { 1, 2, . . . , 5}.
Mostre que propriedades da aritm´etica tropical realizam o sonho de muitos alunos: ( a ⊕ b) n = aMostre que propriedades da aritm´etica tropical realizam o sonho de muitos alunos: ( a ⊕ b) n = aMostre que propriedades da aritm´etica tropical realizam o sonho de muitos alunos: ( a ⊕ b) n = aMostre que propriedades da aritm´etica tropical realizam o sonho de muitos alunos: ( a ⊕ b) n = aMostre que propriedades da aritm´etica tropical realizam o sonho de muitos alunos: ( a ⊕ b) n = aMostreque propriedades da aritm´etica tropical realizam o sonho de muitos alunos: ( a ⊕ b) n = a
n ⊕ b n ∀ a, b ∈ T, n = 1, 2, . . . :-).n ⊕ b n ∀ a, b ∈ T, n = 1, 2, . . . :-).n ⊕ b n ∀ a, b ∈ T, n = 1, 2, . . . :-).n ⊕ b n ∀ a, b ∈ T, n = 1, 2, . . . :-).n ⊕ b n ∀ a, b ∈ T, n = 1, 2, . . . :-).n ⊕ b n ∀ a, b ∈ T, n = 1, 2, . . . :-).n ⊕ b n ∀ a, b ∈ T, n = 1, 2, . . . :-).n ⊕ b n ∀ a, b ∈ T, n = 1, 2, . . . :-).n ⊕ b n ∀ a, b ∈ T, n = 1, 2, . . . :-).n ⊕ b n ∀ a, b ∈ T, n = 1, 2, . . . :-).n ⊕ b n ∀ a, b ∈ T, n = 1, 2, . . . :-).n ⊕ b n ∀ a, b ∈ T, n = 1, 2, . . . :-).n ⊕ b n ∀ a, b ∈ T, n = 1, 2, . . . :-).n ⊕ b n ∀ a, b ∈ T, n = 1, 2, . . . :-).
Definimos a topologia no semi-corpo tropical T atrav´es da identi- fica¸c˜ao com [ −∞,∞): a Definimos a topologia no semi-corpo tropical T atrav´es da identi- fica¸c˜ao com [ −∞,∞): a Definimos a topologia no semi-corpo tropical T atrav´es da identi- fica¸c˜ao com [ −∞,∞): a Definimos a topologia no semi-corpo tropical T atrav´es da identi- fica¸c˜ao com [ −∞,∞): a Definimos a topologia no semi-corpo tropical T atrav´es da identi- fica¸c˜ao com [ −∞,∞): a 
base de abertos ´e dada por { x ∈ T; x > a} ebase de abertos ´e dada por { x ∈ T; x > a} ebase de abertos ´e dada por { x ∈ T; x > a} ebase de abertos ´e dada por { x ∈ T; x > a} ebase de abertos ´e dada por { x ∈ T; x > a} ebase de abertos ´e dada por { x ∈ T; x > a} e
{ x ∈ T; x < b}, para a, b ∈ T ∗ = R.{ x ∈ T; x < b}, para a, b ∈ T ∗ = R.{ x ∈ T; x < b}, para a, b ∈ T ∗ = R.{ x ∈ T; x < b}, para a, b ∈ T ∗ = R.{ x ∈ T; x < b}, para a, b ∈ T ∗ = R.{ x ∈ T; x < b}, para a, b ∈ T ∗ = R.{ x ∈ T; x < b}, para a, b ∈ T ∗ = R.{ x ∈ T; x < b}, para a, b ∈ T ∗ = R.{ x ∈ T; x < b}, para a, b ∈ T ∗ = R.{ x ∈ T; x < b}, para a, b ∈ T ∗ = R.{ x ∈ T; x < b}, para a, b ∈ T ∗ = R.
O espa¸co tropical afim de dimens˜ao n ´e definido como o espa¸co topol´ogico O espa¸co tropical afim de dimens˜ao n ´e definido como o espa¸co topol´ogico O espa¸co tropical afim de dimens˜ao n ´e definido como o espa¸co topol´ogico O espa¸co tropical afim de dimens˜ao n ´e definido como o espa¸co topol´ogico 
T n = [ −∞,∞) nT n = [ −∞,∞) nT n = [ −∞,∞) nT n = [ −∞,∞) n
Exerc´ıcio 11. Defina uma no¸c˜ao de m´odulo sobre um semi-anel e mostra que T n = [ −∞,∞) n ´e Exerc´ıcio 11. Defina uma no¸c˜ao de m´odulo sobre um semi-anel e mostra que T n = [ −∞,∞) n ´e Exerc´ıcio 11. Defina uma no¸c˜ao de m´odulo sobre um semi-anel e mostra que T n = [ −∞,∞) n ´e Exerc´ıcio 11. Defina uma no¸c˜ao de m´odulo sobre um semi-anel e mostra que T n = [ −∞,∞) n ´e Exerc´ıcio 11. Defina uma no¸c˜ao de m´odulo sobre um semi-anel e mostra que T n = [ −∞,∞) n ´e Exerc´ıcio 11. Defina uma no¸c˜ao de m´odulo sobre um semi-anel e mostra que T n = [ −∞,∞) n ´e Exerc´ıcio 11. Defina uma no¸c˜ao de m´odulo sobre um semi-anel e mostra que T n = [ −∞,∞) n ´e 
um T − m´odulo.um T − m´odulo.um T − m´odulo.um T − m´odulo.
2.3 Polinˆomios tropicais
Um polinˆomio tropical ´e uma express˜ao da formaUm polinˆomio tropical ´e uma express˜ao da formaUm polinˆomio tropical ´e uma express˜ao da forma
p(x) = ⊕p(x) = ⊕
j ∈ Jj ∈ Jj ∈ J
a j x j,a j x j,a j x j,a j x j, (2.4) e.poltrop(2.4) e.poltrop
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[SEC. 2.3: POLINˆ OMIOS TROPICAIS 17
onde a j ∈ T ∗ e J ´e um subconjunto finito de Z n ≥ 0; por simplicidade de nota¸c˜ao, escrevemosonde a j ∈ T ∗ e J ´e um subconjunto finito de Z n ≥ 0; por simplicidade de nota¸c˜ao, escrevemosonde a j ∈ T ∗ e J ´e um subconjunto finito de Z n ≥ 0; por simplicidade de nota¸c˜ao, escrevemosonde a j ∈ T ∗ e J ´e um subconjunto finito de Z n ≥ 0; por simplicidade de nota¸c˜ao, escrevemosonde a j ∈ T ∗ e J ´e um subconjunto finito de Z n ≥ 0; por simplicidade de nota¸c˜ao, escrevemosonde a j ∈ T ∗ e J ´e um subconjunto finito de Z n ≥ 0; por simplicidade de nota¸c˜ao, escrevemosonde a j ∈ T ∗ e J ´e um subconjunto finito de Z n ≥ 0; por simplicidade de nota¸c˜ao, escrevemosonde a j ∈ T ∗ e J ´e um subconjunto finito de Z n ≥ 0; por simplicidade de nota¸c˜ao, escrevemosonde a j ∈ T ∗ e J ´e um subconjunto finito de Z n ≥ 0; por simplicidade de nota¸c˜ao, escrevemosonde a j ∈ T ∗ e J ´e um subconjunto finito de Z n ≥ 0; por simplicidade de nota¸c˜ao, escrevemosonde a j ∈ T ∗ e J ´e um subconjunto finito de Z n ≥ 0; por simplicidade de nota¸c˜ao, escrevemosonde a j ∈ T ∗ e J ´e um subconjunto finito de Z n ≥ 0; por simplicidade de nota¸c˜ao, escrevemosonde a j ∈ T ∗ e J ´e um subconjunto finito de Z n ≥ 0; por simplicidade de nota¸c˜ao, escrevemosonde a j ∈ T ∗ e J ´e um subconjunto finito de Z n ≥ 0; por simplicidade de nota¸c˜ao, escrevemos
j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1j = (j 1, . . . , j n) ∈ Z n ≥ 0 e x j = x j 1
1
· · · x j nx j nx j n
n .
O conjunto J ´e o suporte do polinˆomio p(x). O conjunto T[ x 1, . . . , x n]O conjunto J ´e o suporte do polinˆomio p(x). O conjunto T[ x 1, . . . , x n]O conjunto J ´e o suporte do polinˆomio p(x). O conjunto T[ x 1, . . . , x n]O conjunto J ´e o suporte do polinˆomio p(x). O conjunto T[ x 1, . . . , x n]O conjunto J ´e o suporte do polinˆomio p(x). O conjunto T[ x 1, . . . , x n]O conjunto J ´e o suporte do polinˆomio p(x). O conjunto T[ x 1, . . . , x n]O conjunto J ´e o suporte do polinˆomio p(x). O conjunto T[ x 1, . . . , x n]O conjunto J ´e o suporte do polinˆomio p(x). O conjunto T[ x 1, . . . , x n]O conjunto J ´e o suporte do polinˆomio p(x). O conjunto T[ x 1, . . . , x n]O conjunto J ´e o suporte do polinˆomio p(x). O conjunto T[ x 1, . . . , x n]O conjunto J ´e o suporte do polinˆomio p(x). O conjunto T[ x 1, . . . , x n]O conjunto J ´e o suporte do polinˆomio p(x). O conjunto T[ x 1, . . . , x n]O conjunto J ´e o suporte do polinˆomio p(x). O conjunto T[ x 1, . . . , x n]O conjunto J ´e o suporte do polinˆomio p(x). O conjunto T[ x 1, . . . , x n]O conjunto J ´e o suporte do polinˆomio p(x). O conjunto T[ x 1, . . . , x n]O conjunto J ´e o suporte do polinˆomio p(x). O conjunto T[ x 1, . . . , x n]
dos polinˆomios tropicais recebe a estrutura de semi-anel com as opera¸c˜oes usuais para 
polinˆomios nas vari´aveis x 1, . . . , x n, substituindo +, ·polinˆomios nas vari´aveis x 1, . . . , x n, substituindo +, ·polinˆomios nas vari´aveis x 1, . . . , x n, substituindo +, ·polinˆomios nas vari´aveis x 1, . . . , x n, substituindo +, ·polinˆomios nas vari´aveis x 1, . . . , x n, substituindo +, ·polinˆomios nas vari´aveis x 1, . . . , x n, substituindo +, ·polinˆomios nas vari´aveis x 1, . . . , x n, substituindo +, ·polinˆomios nas vari´aveis x 1, . . . , x n, substituindo +, ·polinˆomios nas vari´aveis x 1, . . . , x n, substituindo +, ·polinˆomios nas vari´aveis x 1, . . . , x n, substituindo +, ·polinˆomios nas vari´aveis x 1, . . . , x n, substituindo +, ·
cl´assicos pelos correspondentes tropicais. Temos por exemplo,
( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2)⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.( a (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b) (c x 1 ⊕ d) = a c(x 21 ⊕ x 1 x 2) ⊕ a d (x 1 ⊕ x 2) ⊕ b c x 1 ⊕ b d.
O mais importante ´e que esse conjunto apresenta uma estrutura de
´algebra tropical. Isto significa um semi-anel A com elemento neutro 0 A e identidade 1 A tal que:´algebra tropical. Isto significa um semi-anel A com elemento neutro 0 A e identidade 1 A tal que:´algebra tropical. Isto significa um semi-anel A com elemento neutro 0 A e identidade 1 A tal que:´algebra tropical. Isto significa um semi-anel A com elemento neutro 0 A e identidade 1 A tal que:´algebra tropical. Isto significa um semi-anel A com elemento neutro 0 A e identidade 1 A tal que:´algebra tropical. Isto significa um semi-anel A com elemento neutro 0 A e identidade 1 A tal que:´algebra tropical. Isto significa um semi-anel A com elemento neutro 0 A e identidade 1 A tal que:´algebra tropical. Isto significa um semi-anel A com elemento neutro 0 A e identidade 1 A tal que:
• ´e equipado com T- cone de v´ertice 0 A, isto ´e, um mapa´e equipado com T- cone de v´ertice 0 A, isto ´e, um mapa´e equipado com T- cone de v´ertice 0 A, isto ´e, um mapa´e equipado com T- cone de v´ertice 0 A, isto ´e, um mapa´e equipado com T- cone de v´ertice 0 A, isto ´e, um mapa
T × A → AT × A → AT × A → AT × A → AT × A → A
( a, f)( a, f) 7→ a f7→ a f
satisfazendo, para a, b ∈ T e f ∈ A,satisfazendo, para a, b ∈ T e f ∈ A,satisfazendo, para a, b ∈ T e f ∈ A,satisfazendo, para a, b ∈ T e f ∈ A,satisfazendo, para a, b ∈ T e f ∈ A,satisfazendo, para a, b ∈ T e f ∈ A,satisfazendo, para a, b ∈ T e f ∈ A,satisfazendo, para a, b ∈ T e f ∈ A,
? (a b) f = a (b f); ?? a f 6= b f se a 6= b; ? (a b) f = a (b f); ?? a f 6= b f se a 6= b; ? (a b) f = a (b f); ?? a f 6= b f se a 6= b; ? (a b) f = a (b f); ?? a f 6= b f se a 6= b; ? (a b) f = a (b f); ?? a f 6= b f se a 6= b; ? (a b) f = a (b f); ?? a f 6= b f se a 6= b; ? (a b) f = a (b f); ?? a f 6= b f se a 6= b; ? (a b) f = a (b f); ?? a f 6= b f se a 6= b; ? (a b) f = a (b f); ?? a f 6= b f se a 6= b; 
? ? ? −∞ f = 0 A;? ? ? −∞ f = 0 A;? ? ? −∞ f = 0 A;? ? ? −∞ f = 0 A;? ? ? −∞ f = 0 A;
• o T- cone ´e compat´ıvel com as opera¸c˜oes do semi-anel, isto ´e,o T- cone ´e compat´ıvel com as opera¸c˜oes do semi-anel, isto ´e,o T- cone ´e compat´ıvel com as opera¸c˜oes do semi-anel, isto ´e,
a (f g) = (a f) g;a (f g) = (a f) g;a (f g) = (a f) g;
• dados f, g, h ∈ A, se f g = f h, ent˜ao g = h ou f ´e divisor de zero, isto ´e, existe ˜dados f, g, h ∈ A, se f g = f h, ent˜ao g = h ou f ´e divisor de zero, isto ´e, existe ˜dados f, g, h ∈ A, se f g = f h, ent˜ao g = h ou f ´e divisor de zero, isto ´e, existe ˜dados f, g, h ∈ A, se f g = f h, ent˜ao g = h ou f ´e divisor de zero, isto ´e, existe ˜dados f, g, h ∈ A, se f g = f h, ent˜ao g = h ou f ´e divisor de zero, isto ´e, existe ˜dados f, g, h ∈ A, se f g = f h, ent˜ao g = h ou f ´e divisor de zero, isto ´e, existe ˜dados f, g, h ∈ A, se f g = f h, ent˜ao g = h ou f ´e divisor de zero, isto ´e, existe ˜dados f, g, h ∈ A, se f g = f h, ent˜ao g = h ou f ´e divisor de zero, isto ´e, existe ˜dados f, g, h ∈ A, se f g = f h, ent˜ao g = h ou f ´e divisor de zero, isto ´e, existe ˜dados f, g, h ∈ A, se f g = f h, ent˜ao g = h ou f ´e divisor de zero, isto ´e, existe ˜dados f, g, h ∈ A, se f g = f h, ent˜ao g = h ou f ´e divisor de zero, isto ´e, existe ˜dados f, g, h ∈ A, se f g = f h, ent˜ao g = h ou f ´e divisor de zero, isto ´e, existe ˜
f tal que ff tal que ff tal que f
˜
f = 0 A.f = 0 A.f = 0 A.
A condi¸c˜ao ?? acima mostra que o semi-corpo tropical mergulha na ´algebra tropical, A condi¸c˜ao ?? acima mostra que o semi-corpo tropical mergulha na ´algebra tropical, 
mediante o homomorfismo de semi-an´eis ι A : T →mediante o homomorfismo de semi-an´eis ι A : T →mediante o homomorfismo de semi-an´eis ι A : T →mediante o homomorfismo de semi-an´eis ι A : T →mediante o homomorfismo de semi-an´eis ι A : T →
A, definido por ι A( a) = a 1 A = a. Em particular, vale 0 A = −∞ e 1 A = 0.A, definido por ι A( a) = a 1 A = a. Em particular, vale 0 A = −∞ e 1 A = 0.A, definido por ι A( a) = a 1 A = a. Em particular, vale 0 A = −∞ e 1 A = 0.A, definido por ι A( a) = a 1 A = a. Em particular, vale 0 A = −∞ e 1 A = 0.A, definido por ι A( a) = a 1 A = a. Em particular, vale 0 A = −∞ e 1 A = 0.A, definido por ι A( a) = a 1 A = a. Em particular, vale 0 A = −∞ e 1 A = 0.A, definido por ι A( a) = a 1 A = a. Em particular, vale 0 A = −∞ e 1 A = 0.A, definido por ι A( a) = a 1 A = a. Em particular, vale 0 A = −∞ e 1 A = 0.A, definido por ι A( a) = a 1 A = a. Em particular, vale 0 A = −∞ e 1 A = 0.A, definido por ι A( a) = a 1 A = a. Em particular, vale 0 A = −∞ e 1 A = 0.A, definido por ι A( a) = a 1 A = a. Em particular, vale 0 A = −∞ e 1 A = 0.A, definido por ι A( a) = a 1 A = a. Em particular, vale 0 A = −∞ e 1 A = 0.A, definido por ι A( a) = a 1 A = a. Em particular, vale 0 A = −∞ e 1 A = 0.A, definido por ι A( a) = a 1 A = a. Em particular, vale 0 A = −∞ e 1 A = 0.
Outra ´algebra tropical ´e a das fun¸c˜oes regulares de T n, denotada por O( T n). Um Outra ´algebra tropical ´e a das fun¸c˜oes regulares de T n, denotada por O( T n). Um Outra ´algebra tropical ´e a das fun¸c˜oes regulares de T n, denotada por O( T n). Um Outra ´algebra tropical ´e a das fun¸c˜oes regulares de T n, denotada por O( T n). Um Outra ´algebra tropical ´e a das fun¸c˜oes regulares de T n, denotada por O( T n). Um Outra ´algebra tropical ´e a das fun¸c˜oes regulares de T n, denotada por O( T n). Um Outra ´algebra tropical ´e a das fun¸c˜oes regulares de T n, denotada por O( T n). Um Outra ´algebra tropical ´e a das fun¸c˜oes regulares de T n, denotada por O( T n). Um Outra ´algebra tropical ´e a das fun¸c˜oes regulares de T n, denotada por O( T n). Um Outra ´algebra tropical ´e a das fun¸c˜oes regulares de T n, denotada por O( T n). Um 
elemento de O( T n), chamado de fun¸c˜ao regular, ´e da forma elemento de O( T n), chamado de fun¸c˜ao regular, ´e da forma elemento de O( T n), chamado defun¸c˜ao regular, ´e da forma elemento de O( T n), chamado de fun¸c˜ao regular, ´e da forma elemento de O( T n), chamado de fun¸c˜ao regular, ´e da forma elemento de O( T n), chamado de fun¸c˜ao regular, ´e da forma elemento de O( T n), chamado de fun¸c˜ao regular, ´e da forma 
T n → TT n → TT n → TT n → T
x 7→ f(x),7→ f(x),
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18 [CAP. 2: CURVAS TROPICAIS
onde f ∈ T[ x 1, . . . , x n]. A adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao s˜ao definidas ponto a ponto e as fun¸c˜oes onde f ∈ T[ x 1, . . . , x n]. A adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao s˜ao definidas ponto a ponto e as fun¸c˜oes onde f ∈ T[ x 1, . . . , x n]. A adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao s˜ao definidas ponto a ponto e as fun¸c˜oes onde f ∈ T[ x 1, . . . , x n]. A adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao s˜ao definidas ponto a ponto e as fun¸c˜oes onde f ∈ T[ x 1, . . . , x n]. A adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao s˜ao definidas ponto a ponto e as fun¸c˜oes onde f ∈ T[ x 1, . . . , x n]. A adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao s˜ao definidas ponto a ponto e as fun¸c˜oes onde f ∈ T[ x 1, . . . , x n]. A adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao s˜ao definidas ponto a ponto e as fun¸c˜oes onde f ∈ T[ x 1, . . . , x n]. A adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao s˜ao definidas ponto a ponto e as fun¸c˜oes onde f ∈ T[ x 1, . . . , x n]. A adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao s˜ao definidas ponto a ponto e as fun¸c˜oes onde f ∈ T[ x 1, . . . , x n]. A adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao s˜ao definidas ponto a ponto e as fun¸c˜oes onde f ∈ T[ x 1, . . . , x n]. A adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao s˜ao definidas ponto a ponto e as fun¸c˜oes onde f ∈ T[ x 1, . . . , x n]. A adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao s˜ao definidas ponto a ponto e as fun¸c˜oes onde f ∈ T[ x 1, . . . , x n]. A adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao s˜ao definidas ponto a ponto e as fun¸c˜oes 
constantes s˜ao dadas pelo mergulho ι O( T n).constantes s˜ao dadas pelo mergulho ι O( T n).constantes s˜ao dadas pelo mergulho ι O( T n).constantes s˜ao dadas pelo mergulho ι O( T n).constantes s˜ao dadas pelo mergulho ι O( T n).
Observe que n˜ao h´a uma rela¸c˜ao biun´ıvoca entre as ´algebras tro- picais de 
polinˆomios tropicais e fun¸c˜oes regulares.
Exerc´ıcio 12. Mostre que os polinˆomios tropicais em uma vari´avelExerc´ıcio 12. Mostre que os polinˆomios tropicais em uma vari´avel
x 2 ⊕ 0 e x 2 ⊕ x ⊕ 0 s˜ao distintos como polinˆomios tropicais, mas representam a mesma x 2 ⊕ 0 e x 2 ⊕ x ⊕ 0 s˜ao distintos como polinˆomios tropicais, mas representam a mesma x 2 ⊕ 0 e x 2 ⊕ x ⊕ 0 s˜ao distintos como polinˆomios tropicais, mas representam a mesma x 2 ⊕ 0 e x 2 ⊕ x ⊕ 0 s˜ao distintos como polinˆomios tropicais, mas representam a mesma x 2 ⊕ 0 e x 2 ⊕ x ⊕ 0 s˜ao distintos como polinˆomios tropicais, mas representam a mesma x 2 ⊕ 0 e x 2 ⊕ x ⊕ 0 s˜ao distintos como polinˆomios tropicais, mas representam a mesma x 2 ⊕ 0 e x 2 ⊕ x ⊕ 0 s˜ao distintos como polinˆomios tropicais, mas representam a mesma x 2 ⊕ 0 e x 2 ⊕ x ⊕ 0 s˜ao distintos como polinˆomios tropicais, mas representam a mesma x 2 ⊕ 0 e x 2 ⊕ x ⊕ 0 s˜ao distintos como polinˆomios tropicais, mas representam a mesma x 2 ⊕ 0 e x 2 ⊕ x ⊕ 0 s˜ao distintos como polinˆomios tropicais, mas representam a mesma x 2 ⊕ 0 e x 2 ⊕ x ⊕ 0 s˜ao distintos como polinˆomios tropicais, mas representam a mesma x 2 ⊕ 0 e x 2 ⊕ x ⊕ 0 s˜ao distintos como polinˆomios tropicais, mas representam a mesma 
fun¸c˜ao: examine os gr´aficos!
ex.1
13. Mostre que os monˆomios tropicais s˜ao as fun¸c˜oes lineares com coeficientes inteiros ≥ 0.13. Mostre que os monˆomios tropicais s˜ao as fun¸c˜oes lineares com coeficientes inteiros ≥ 0.13. Mostre que os monˆomios tropicais s˜ao as fun¸c˜oes lineares com coeficientes inteiros ≥ 0.13. Mostre que os monˆomios tropicais s˜ao as fun¸c˜oes lineares com coeficientes inteiros ≥ 0.
14. Desenhe os gr´aficos dos polinˆomios tropicais f(x) = a x ⊕14. Desenhe os gr´aficos dos polinˆomios tropicais f(x) = a x ⊕14. Desenhe os gr´aficos dos polinˆomios tropicais f(x) = a x ⊕14. Desenhe os gr´aficos dos polinˆomios tropicais f(x) = a x ⊕
b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ b, g(x) = a x 2 ⊕ b x ⊕ c, h(x) = a x 3 ⊕ b x 2 ⊕ c x ⊕ d. Mostre que a fun¸c˜ao g(x) se fatora como a (x ⊕ 
( b − a))( b − a))( b − a))( b − a)) ( x ⊕ ( c − b).( x ⊕ ( c − b).( x ⊕ ( c − b).( x ⊕ ( c − b).( x ⊕ ( c − b).( x ⊕ ( c − b).
Generalize.
2.4 Curvas tropicais planas
Considere um polinˆomio tropical f ∈ T[ x, y], ou seja,Considere um polinˆomio tropical f ∈ T[ x, y], ou seja,Considere um polinˆomio tropical f ∈ T[ x, y], ou seja,Considere um polinˆomio tropical f ∈ T[ x, y], ou seja,Considere um polinˆomio tropical f ∈ T[ x, y], ou seja,Considere um polinˆomio tropical f ∈ T[ x, y], ou seja,
f = ⊕f = ⊕
j ∈ Jj ∈ Jj ∈ J
a j x j 1a j x j 1a j x j 1a j x j 1a j x j 1 y j 2 = maxy j 2 = maxy j 2 = maxy j 2 = max
j ∈ J { a j + j 1 x + j 2 y}j ∈ J { a j + j 1 x + j 2 y}j ∈ J { a j + j 1 x + j 2 y}j ∈ J { a j + j 1 x + j 2 y}j ∈ J { a j + j 1 x + j 2 y}j ∈ J { a j + j 1 x + j 2 y}j ∈ J { a j + j 1 x + j 2 y}j ∈ J { a j + j 1 x + j 2 y}j ∈ J { a j + j 1 x + j 2 y}j ∈ J { a j + j 1 x + j 2 y}
(2.5) e.curva.trop(2.5) e.curva.trop
onde j = (j 1, j 2) ∈ J ⊂ Z 2 ≥ 0, J finito.onde j = (j 1, j 2) ∈ J ⊂ Z 2 ≥ 0, J finito.onde j = (j 1, j 2) ∈ J ⊂ Z 2 ≥ 0, J finito.onde j = (j 1, j 2) ∈ J ⊂ Z 2 ≥ 0, J finito.onde j = (j 1, j 2) ∈ J ⊂ Z 2 ≥ 0, J finito.onde j = (j 1, j 2) ∈ J ⊂ Z 2 ≥ 0, J finito.onde j = (j 1, j 2) ∈ J ⊂ Z 2 ≥ 0, J finito.onde j = (j 1, j 2) ∈ J ⊂ Z 2 ≥ 0, J finito.onde j = (j 1, j 2) ∈ J ⊂ Z 2 ≥ 0, J finito.onde j = (j 1, j 2) ∈ J ⊂ Z 2 ≥ 0, J finito.onde j = (j 1, j 2) ∈ J ⊂ Z 2 ≥ 0, J finito.onde j = (j 1, j 2) ∈ J ⊂ Z 2 ≥ 0, J finito.onde j = (j 1, j 2) ∈ J ⊂ Z 2 ≥ 0, J finito.onde j = (j 1, j 2) ∈ J ⊂ Z 2 ≥ 0, J finito.
Observe que a fun¸c˜ao regular definida por f, restrita ao plano real, ´e uma fun¸c˜ao Observe que a fun¸c˜ao regular definida por f, restrita ao plano real, ´e uma fun¸c˜ao Observe que a fun¸c˜ao regular definida por f, restrita ao plano real, ´e uma fun¸c˜ao 
cont´ınua, linear por partes e convexa, isto ´e:
• f : R 2 → R ´e tal que seu dom´ınio R 2 pode ser decomposto em um n´f : R 2 → R ´e tal que seu dom´ınio R