AntiDemidovich_Matemática Superior_(4)

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4
/ . / . Liashkó, A. K. Boiarthuk 
l á . 6 . Gai, 6 . P. Golovach 
Análisis matemático
Integrales múltiples
y curvilíneas
T E M A T I / I K A
URSS
H . H . J I u i m k o , A. K . Ihiii|)' IVK, M. I , i a í l , I . U l o j i o n a ' I
('iiimiio'iiioc IUICOIÍHC ni mici i miitcmiithkc. TOM 3 .
MaTCMinn'iecKiiH iiiiii.iihí: KpnriiMC 11 upuiiojimicHiifaic hiitcipaju,i
/. I. Uaahkó, A. K. ¡íoiiiriliuk, tií. C. Gtii, C. P. Colovach 
Matemática superior. Problemas resueltos. Tomo 4.
Análisis matemático: integrales múltiples y curvilíneas
Traducción de la cuarta edición rusa (1997) 
lista serie consta de ocho volúmenes. Los cuatro primeros tomos con los que se abre esta obra,
están'dedicados al estudio práctico de las funciones, las sucesiones, las series, el cálculo diferencial e 
integral de las funciones de una y varias variables; en ellos se presentan soluciones completamente
detalladas de los problemas expuestos en el famoso libro de B. P. Demidóvich.
lin los tomos 5 y 6, aparte de una detallada exposición de la teoría de las funciones de variable
compleja, se resuelven escrupulosamente cerca de 400 problemas, muchos de los cuales aparecen en
la inmortal colección del matemático soviético L. I. Volkoviski. Además de los temas característicos
de los cursos de este tipo, en esta parte de la obra se hallan cuestiones menos comunes como son la
integral de Newton—Leibniz y la derivada de Fermat—Lagrange. Se presta una especial atención a 
las aplicaciones conformes.
lín aproximadamente 800 problemas resueltos paso a paso, los tomos 7 y 8 abarcan todos los tópicos
del curso habitual de la teoría de las ecuaciones diferenciales. En cada sección se expone el mínimo
teórico estrictamente necesario para la resolución de los problemas correspondientes; muchos de
estos aparecen en la genial colección de A. F. Filíppov. Asimismo, en estos volúmenes se analizan
luda una serie de temas bastante atípicos para libros de esta clase (teoría de la prolongación de la
solución del problema de Cauchy, ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden
no lineales, algunos métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales, aplicación de
los criterios de existencia de los ciclos límites en el plano fásico, etc.).
En la edición de este libro participaron:
Director
Director de producción
Director de sistemas
Traducción
Diseño
Enmaquetación
Procesamiento de texto
Edición
Realización técnica
Domingo Marín Ricoy 
Natalia Finoguiénova 
¡riña Makiéeva 
Víktor Románov 
Viktoria Malishenko y Marín Andriánova 
Víktor Románov y Vasili Podobied 
Natalia Bekétova 
Svietlana Bondarenko y Anua Tiúrina 
Leonid losffiévich, Elena Kttdriashova, ígor Korovitt, 
Larisa Kirdiáshkina y Pável Zelenin 
Natalia Aríncheua, Marina Kmtskó y Elena Lógvittova 
Reservados todos los derechos en todos los idiomas y en todos tos países del mundo. Quedan rigurosamente
prohibidas, sin la autorización escrita det titular del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes,
la reproducción tota! o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía
y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
HafljrrcjibcriiO «yPCC». 113208, MocKBa, loBOKaCKHCKasi, 27/74, kom
JlniicioHíi J1P Na063377 ot 25.05.94r. k nciam G2.04.99r, <t 70x100/16. Ilci,jt. 16.
Omciarano h AOOT «noüMTex-4». 129110, MocKiia, E. flepesicjiaBcuasi, 46, 3sk.N> 527
Editorial URSS
ISBN 5-88417-183-8 (Obra completa)
5-88417-190-0 (Tomo 4)
© Editorial URSS, 1999
Capítulo 1 
Integrales dependientes del parámetro
§1. Integrales propias dependientes del parámetro
1.1. Continuidad de la función
F:y>-> I f(x, y)dx. (1) 
a
Teorema 1. Si la función / : IT K, donde II = {(as, y)\a ^x < Ayb ^y < , es 
continua, la función F es continua en el segmento [ft, 13). 
Teorema 2. Si la función f es continua en II y las curvas x — <p(y) y x = ip(y), 
y E [£>, B], son continuas y no salen fuera de los límites de II, la función 
I'.y*-* j f(x,y)dx ���
pKsr)
es continua en el segmento [b, B\. 
1.2. Paso al límite bajo el signo integral
Teorema 1. En las condiciones del teorema del p> son válidas las fórmulas 
A A 
i™ / f(x¡y)dx= i lim f(x1y)dx,
y^yoj J y^yo 
i>(v) $(yo) 
/ f(x>y)dx= / f{x)yQ)dx.
y^vo J J 
PÍP) P(ífo)
funciones
parámetro de la familia, y £ Y, tiende uniformemente a la función límite g para y ^ yo, 
y0£Rt s i V £ > 0 3 ¿ > 0 t a l que para 0 < \y — jfo| < 5 se tiene \f(x>y) - < £ para
todo x del dominio de definición de las funciones / y g. 
Si yo — oo, entonces las desigualdades O < \y - yQ\ < 8 se deben sustituir por la
HpfiitmalHaH \ll\ A* ei tin. = —cV̂ nnr Ta Hocín-n-ali-Ĵ j-l nt X/fli ^ ... J»"\
'I ('.i|>l1tilti I. Integrales dependientes del |itiránu-tn>
Ic-oreniii 2. Si puní un y C Y Jijo la función f es coniinuu respecto n x C [a, A] y 
l'iirn y > yo Hendí• n tu función limite g uniformemente respecto a x, entonces 
11 Ji 
lim I f(x,y)dx— I g{x)dx. 
W—'l/o J J 
1.3. Derivación bajo el signo integra!
Teorema 1. Si ¡as funciones / y f¡¡ son continuas en II, entonces la junción F es 
derivable en el segmento ��� B] y su derivada se determina a partir de la fórmula de Leibniz 
A A 
Jy J f(x,y)dx = j f'y{x,y)dx.
Teorema 2. Si se verifican las condiciones del teorema 2 del y. 1.1 y las funciones <p 
y •ip son derívables para b < y < B, entonces 
V'(sí) i>(y) 
j- J }(x,y)dx = f(m,y) i>'(v) - f(m,y) <p'(y) + J f'vix,y)dx, y e y>,B\. 
<f(y) - <p(y) 
1.4. Integración bajo el signo integral
Teorema. Si la función f es continua en II, entonces 
J dy J f(x,y)dx = jdx J f(x,y)dy. 
1» Investigar la continuidad de la función
i
F: y / V dx, J x2+y- ' 
o
donde f 6 C [ 0 , 1 ] y f(x) > 0 .
Solución. Las funciones y : x i-> y f son integrables respecto a x en [0,1] y son de
signo constante para 0 < x < 1. Además, la función / es continua; por consiguiente, se
cumplen todas las condiciones del primer teorema del valor medio en el cálculo integral
(Ver T. 2, cap. 2, sec. 2), luego
y f(x) 
F(y) = f(c{y)) arctg I 0 < c(y) < 1. 
Sea f. > 0. Kntonces,
|/''(<-") -= | ( / ( ' # ) ) I' 1 (<•(-£))) arctg ~ | 
2 mín f(x) 1arctg£ 7r mín f(x) > 0 , £ -* 0.
xe[o,u
§ 1. Intégralo* |>ni|tltm <lit|temlli*iilrN «leí |Mi\iuietro 5
Debido a que la función ifr: Oír, y) \ * JJ/^j e:i mtitiiuja en cada uno de Jos rectángulos
< x ^ 1; # ^ < j4], [0 x : I; A ? - y 9 fidonde ¿i > 0, A > 0, entonces, según
el teorema 1 del p. 1.1, la función ¡** es continua en cada uno de los segmentos y 
A, — ó\. Como 6 y A son arbitrarios, vemos que la función F es continua Vt/ ^ 0.
2. Hallar:
i H-ar
a) Iim f b) Iimim / T;—•O J 1 
tía:
+ a;2 4- a 2 '
- i a
1
c) lim [ -n-+ oo J 1 
0
d) lim f <*->ooJ
In(:c 4 |a|)
¡n(ac2 4* a 2 )
da?.
i
I Solución* Dado que las funciones (x, á) i-* Vx2 4 ot2, a 1 4 otf (a?, a) üx^ S O n
continuas, entonces según el teorema 1 del p. 1.2 se puede efectuar el paso al límite respecto
a a en el integrando para a —» a[)f siendo ct0 finito.
i i 
a) lim / Vx2 4 a2dx — f \x 
a
1+a
b) » » / t r o
dx — 1;
/
o
-i
¿x , oto = 0.
Dado que para n ya fijos (n € N, |a| > 1) las funciones íc i
i+(i+S)
vr
y
y A W
s o n continuas respecto a a ? ( 0 ^ a ? < l y l < ® ^ 2 , respectivamente)
TT^ P a r a / ( * > a ) = I P a r a a 0 0 ( v o ri+(i+sr
a continuación), entonces, según el teorema 2 del p. 1.2 obtenemos:
i i i tfo _ f i- dx _ p dx _ le 
~ íi+o+f r ~ ¿ ^ ~ c ) i i m 4 i í é f =
d) / - / i™. «í» - i .
e+1'
ir-+oo a •••> oo
La convergencia uniforme de la sucesión ( / n (x ) ) y de la familia de las funciones
x f(x7 á) se deduce de las estimaciones siguientes:
1 1
1 4 ( 1 4 1 + e" (1 4 e*) (l 4 (l 4 f ) " )
< sup
0<xs£l
< e X 1 4
x
n
<
1 4
x
n
€ — K ) + 0 
para n ooVx E [0,1], Sea e > 0, entonces
1n(s + \a\) _ i 
!n(#2 4 a 2 ) 2 
l n ( l 4 lx\a\)
2 ln(£2 4- a 2 )
< x\a\
(x2 4 a2) ln(x2 4 a 2 )
<
<
Z\a 1
(1 4 a2)ln(l 4 a 2 ) ^ ln(l 4 ot2) < e 
Va? G [1,2] siempre que |a| > (e* - l )1/2 •
O t'jiplldlo L111 líbrale» dependiente» del |Mi<1incho
i
3 . I lallnr A lim f « "Hm" dO. 
ii >i
ti
•4 Solución. Como sen t) > ~0 para 0 < 0 íC se tiene e~Rsen$ í j Por tanto,
ffl £ 
2 2 
J e-'1™* de < j e-íRe dd = ^ ( 1 - e~R)
» o 
y 0 < A ^ lim ^ ( 1 - e~R) = 0, es decir, A= 0. • 
Jl—+00 ¿ "
4 . Sea f una función continua en el segmento [A,D\. Demostrar que
X
lim ^ í (f(t + h) - f(t)) dt = f(x) - f(a), A < a < x < B. 
>0 ti
a
4 Solución. Introduciendo la primitiva F de la función /, con la ayuda de la fórmula de 
Newton—Leibniz obtenemos
I (F'(t + h)~ F'(t)) dt = (F(t + h)~ F(t)) \l = F(x + h) - F(x) - (F(a + h) - F(a)), 
u
entonces
F(x-i-h) - F(x) 
lim 7- [ (f(t + h) - f(t)) dt = lim : 
h-»(l ti J ' h->0
_ F(a + k)-F(a) = ^ _ ^ = m _ ^ 
k—*o n> 
5 . Supongamos que: 1) f„(x) ^ 0 , n € N, en el segmento [—1,1]; 2) <p„(x) 0 para
i
n oo si 0 < e < |ar| < 1; 3) j tpn{x)dx —• 1 para n oo. Demostrar que para una
- i
i
lim /'.
n—>cc J 
función / € C [ - l , 1] se verifica
i
nx)<pn(x)dx = m 
i
< Solución. Sea ó > 0. Veamos la desigualdad
i
< *j f(x)<pn(x)dx - f{Q) 
-L
í \ j !(j)>P»(*)dx | | /(a!V„(a:)rf3! I / / ( ^ « ( a ) dar - /(O) ���
§ I. [nle#ttilei4 ¡mtptag de fWftdlpuft'i1* <lrl |?«ií vlmetro 7
Para el primor sumando del Neptunio miembro de (I) Iruemos la estimación siguiente:
f{x)<pn(x)dx
V
-i
2M sup ���
donde M = máx\f(x)\ ¿ 0 (observemos que si f(x) E 0 en [ -1 ,1 ] , la afirmación del
leo rema es trivial).
Empleando el primer teorema del valor medio, así como la desigualdad 1), estimemos
el segundo sumando del segundo miembro de (1)
t
j f(x)ipn(x)dz - /(O) <pn(x)dx ~ /(0)| < 
í;
•
|/tf»)-/(0)[ J <Pnfr)dX + 1 1 ipn(íc) dx <
i — €
< [/(C") - /(0)| f <pn(x) dx + M 1 - j <p„(x)dx\+2M sup ipn(x),J 1 j I 0<c<|Í|<1
(3)
-I
donde |£n| < e. 
En virtud de la continuidad de la función / siempre se puede elegir un e 
se cumpla la desigualdad
Después de fijar s, a partir de las condiciones 2) y 3) hallamos
tal que
(4)
1
0 < sup tpn{x) < " I " ,
•
1
tpn(x) dx — 1 
i
< 6
4M'
(5)
0 < / < 1 + 64 M '
si n es lo suficientemente grande.
Utilizando ahora las estimaciones (2)-(5), de (1) se obtiene
i
<6
para todo n lo suficientemente grande. • 
6 . Comprobar la posibilidad de efectuar el paso al límite bajo el signo integral en la
expresión siguiente
lim / —re ? dx. 
v^u j y 
o
H l u|i(liilo I. Integrales dependientes del imi.uih'Iio
Solución, líl pusit ni límite no puede ser realizado. Efectivamente, pasando al límite bajo el
signo integral obtenemos cero. No obstante, si calcularemos la integral y después pasaremos
al límite obtendremos
i i 
lim / dx — ^l im / d ( ™ ] = i l i m f l — e - ? ) — i .
r-o./ y2 2 y—a J \ y2 J 2yV 1 2 
I) o 
Nótese que en el punto (0,0) la función /: {x,y) i-» ^¡e «* experimenta una
discontinuidad. • 
a a~ x+a 
7 . Sean a) F ( a ) = J f(x + a, x - a)dx; b) F(a) = J dx J sen( :r z + y2 - a2)dy.
0 0 x—a 
Hallar F'(a). 
Solución, a) Asumiendo la existencia de las derivadas parciales continuas de las funciones
(u, v) i ^ f(u, v), donde u= x + a, v — x— a, conforme a la fórmula de Leibniz tenemos
o
F\a) = /(2a, 0) + J (fUu,v) - f'v(u, v)) dx. 
o
Observando que = f u + fv escribimos
a a 
J (ti - ti) dx =2 J ti dx - /(2a, 0) + f(a,-a). 
o o 
a
Por consiguiente, F'(a) = f(a, -a) + 2 f f'¡ dx. 
o
x+a
b) Denotemos f(x, a) = / sen (x2 + y2 - a2) dy, entonces
x—a
a2
F'(a) = 2/(a 2 , a ) a + J f'a{ x, a ) dx, 
o x+a
/¿(x, a) — sen(&2 + {x + a)2 - a 2 ) 4 sen(z2 + {x - a}2 - a2) -- 2a J cos(.x2 4 y2 - a 
x—a
De este modo, obtenemos
a2+a a2
F' (a) = 2a j sen (y2 + a 4 - a 2 ) dy + 2 J sen 2x2 eos 2aar dx -
2)dy.
cr 2+íi
- 2 a j dx J cos(x2 + y2 - a2) dy. • 
$ I. Intégralo* projild* dp|wiHlitMitt<N ilrl ¡Mijnu'ho 9
H h 
8 . Hallar F"(x) si F(x) y j d( j f(x | ( | •//) dy, h > 0, donde / es una función
continua. n 0
Solución. Evidentemente, para una función / continua es válida la igualdad
0
f(t + ta) dt f(t)dt.
a
Utilizando esta igualdad y la posibilidad de derivar respecto al parámetro obtenemos
d_f±
dx\h2
o
J mdrjJ 
*Hh
¿ f ( f ( h + X + O f ( x + í ) ) 1
ft2
0
x+h
/ ( í ) dí , 
F V ) - ¿ (/(2ft H-ar) — 2/(ft + x) + f(x)). •
X
9. Demostrar la fórmula
í . = = *»<*), nGN,
donde
o)
sen ir si a? ̂ 0,
si x - 0,
xhfyncos(y+f)dyt x¿0, o
eos TÍTT
12+1 » x = o, w e n.
A partir de la fórmula (1) obtener la estimación d
nf(x)
dx ^ ñ+1 P a r a 35 ^ ]~00.+00[.
Solución. La demostración de la fórmula (1) para x ^ 0 se lleva a cabo mediante el método
de inducción matemática. En efecto, para ti = 1 la igualdad (1) es lícita. Suponiendo que
la fórmula (1) es válida para un cierto n = kf derivemos los dos miembros respecto a x e 
integrémoslos después por partes. Entonces resulta
h d
k+1
fc+1 d X M V 
/sena;
x
1 / — cosíX \ 
X
X -f fCTT
2
k±l f 
xk+2 J 
k
y cosijr + í
hir
xk+i f - - " v - 1 2 
o
1 í — cosí
X \ 
i k + 1 
XJfc+2 ( f r i c o s ( y +
kir
~2
X
X
+ 1
o h + 
Jfe+l f . k-K y s e n { y + — 
X X
0
X
jfc+i ( . for W ¿ 2 / C0S + (fe + 1)7T2 X^í).
rt o
10 ('i!|)Uuli> I. lnIcgr.ilcN dfpcndii ' i i t i 'H del |mi.íiih-Iio
Aliora demostremos Ki validez do la fórmula (I) para x 0. IJ lili/,indo el desarrollo
do sena: en serie de Maclnurin obtenemos £ rctCiC P a r a x ^ G- Obviamente,
* ^ / ÍÎ ÍF^para x = 0 la suma de esta serie es igual a la unidad. Por lo tanto f(x) = ¿ J rat+i)! P a r a
0
todo x, de donde hallamos /'"'(O)
Como para x 0 se tiene
n+1 * 
I
n+r
IcDS — f 
y para x — 0 |/(n'(0)| — entonces \fx € ]—oo, +oo[ se tiene
dnm
dxn n + 1
1 0 . Aproximar la función f:x>> x2 en el segmento [1,3] por una función lineal
i h » b x tal que sea mínima la función
3
I(a,b) = J (a + bx — x2ydx.
i
< Solución. Debido a que el integrando tiene derivadas parciales continuas para cua-
lesquiera a y b, se puede aplicar la fórmula de Leibniz. Derivando bajo el signo integral
respecto a a y b y teniendo en cuenta las condiciones necesarias de extremo de la función I 
obtenemos
3 3 
j'a(a, b)=2 J(a + bx- x2) dx = 0, l'b(a, b) ~ 2 J(a + bx- x2)x dx = 0, 
i i 
de donde resulta a = — y, b = 4. Es fácil ver que T"a(a, 6) = 4. Así pues,
dzI(a, b) =4da2 + 16 dadb+~ db2 = 4(da + 2 dbf + ~db2 > 0,
3 3 
o sea, para a — — y , 6 = 4 la función I alcanza su valor mínimo. Por consiguiente, la
función lineal y — 4x — y satisface el problema planteado. • 
1 1 . Hallar las derivadas de las integrales elípticas completas 
dtp
E(k) = f vT • k2sen2ipd<p, F(k) = í d<P 0<k<l, 
J J \/l —&2senfyn rt y 4
y expresarlas mediante las funciones E y F .
Comprobar que E(k) satisface la ecuación diferencial
tj I. Integral OH pmpUn <l<'|H'mlleule»i del p.ir.íiuelro I I 
g • • te • ̂ m • • ««wv • « «. • . . . .
4 Solución. Sea k E (Aro, C |0, l|. línloneeH, las luneiones (fc, y?) y l -A:2sen2^,
{A:, v?) H-f ^ " ? —- son continuas en el rectángulo tt {(tpf k) 10 ^ tp < fc0 ^ A; íí ki \. 
Voi consiguiente, a la integral se le puedo aplicar la fórmula de Leibniz, Tenemos
7T
. y , , . / fcsenV j 
7 V i - r s e n ¿ w
o v
Multiplicando los dos miembros de esta igualdad por k y utilizando las expresiones
explícitas para E{k) y F(k) hallamos
dE(k) _ E(k) - F(k) 
dk k (2)
Integrando en (1) por partes obtenemos
Í T
_ f j e n M c o ^ _ ^ f —fea
J -r- k2ser\2<o J (1 - k 
eos2 (p dtp 
V 1 - k2 sen2 <p J (1 ~k2 senV)3/20 0 ÍT * 
/ <*<P , , f sen y 
J (l-k2$en2<pf/2 7 (1 — A;2 se
d(p
2,„\32 ' sen2yj)
o o 
Como TT ÍT
F ' ( f e ) ~ * / ( T - i s e ^ F 5 ' ( f c í , ( f c ) ) ' " / (1 - fc2 sen^)3/2
o o 
(la derivación es posible por la razón análoga a la expuesta anteriormente), resulta que
K\k) = Ff(k) = -k(kF(k))\ Utilizando la fórmula (2), a partir de la última expresión
lia llamos
y w ^ ™ . (3)
k{ 1 - k) k 
La fórmula (2) proporciona F(k) = E{k) - kEf{k), F* ~ -kE". Sustituyendo F(k) y F'(k) 
en (3) llegamos a la ecuación diferencial considerada.
Por último, ya que los números &o y pueden ser arbitrariamente próximos a cero
y a la unidad, respectivamente, todas las conclusiones anteriormente obtenidas son válidaspara 0 < k < 1, 
1 2 . Demostrar que la función de Bessel 
Tt
ín : x »-> — / cos(íî ? — x sen (p) dtp, n E Z,
o
satisface la ecuación de Bessel 
x2ln(x) + 0!ÍÍ(a;) -f (a?2 " »2)I„(aO - 0, 
\ 2 Capitulo I. Integrales dependiente» del |Mr¿ntclm
•4 Solución. Calculando la derivada de la integral dada e integrando después por partes,
hallamos
»
f!,(•>•) -•- ¡ sen (ntp -- x senw) (ticos tp) — 
t J 
« » Tt 
~ ~ J eos tp cos{wp - x sen <p)d<p - ^ J (1 - sen2<p) cos{n<p ~ x sen <p) d<p — 
0 0
cos<pcos(ntp - xsentp)d<p • xl„(x) — x). (1) 
o
Como ~ f cus(ntp — x sen <p)(n — x eos tp) dtp = 0, se tiene
(i
ir
~ J eos(ntp — x sen ip) eos <p dtp -- nl„ (x). (2)
o
Multiplicando los dos miembros de la igualdad (1) por x y teniendo en cuenta la
identidad (2) obtenemos la ecuación de Bessel. • 
1| Calcular Tas integrales siguientes derivando respecto al parámetro:
jr
13. /(a) = J ln(l — 2a eosx + a2)dx.
o
4 Solución. Sea ||a| - í\ ̂ e > 0. Entonces, la función /: (a,x) i-> Jn(l - 2aeo
derivada f'H : (a,x) i-+ ^ a c ^ i V s o n c o n t i n u a s e n I a región II = {(e,a-)| ||a[ — l j e > ü;
t) : - :»: x } , luego, de acuerdo con el teorema 1 del p.1.3, podemos derivar respecto al
parámetro a bajo el signo integral. Tenemos
eos x , : dX. 
2a eos x -|-• a2
Mediante la sustitución í = tg | reducimos la integral a la forma siguiente
+00
i't \ -± f a - l - f (q + l K 2 ,,
J (1 + í2)({l — a)2 + (1 + a)2t2)o
Utilizando el método de los coeficientes indeterminados (ver T. 2, cap. 1, sec.2) y la fórmula
de Newton—Leibniz obtenemos
2fr
1 O si |o| < 1 - e,
luego
f 2?r In |a| + Ci si ¡a| > 1 + e, \ C2 si |a| ^ 1 — e, 
donde Ci, C% son constantes arbitrarias.
J(a)
§ ]. Integrales pmpl*iN dt<pFiidU*nU**i del juiiAnu-lro
Debido a que el resultado obtenido vn válido pnni cualquier e > 0 arbitrariamente
pequeño, entonces
2/r In |u| | C\ ni |a| > I,
i(a) = i , r . 62 si \a\ < 1. 
Para calcular I(=fcl) hacemos uso de la integral inicial
IT IT
O
I ( ± l ) = J ln(2(1 ib eos a:)) dx = 2?rln2 + 4 J ln seo t dt ^ 0. (2)
0 o 
Como 1(0) = 0, se tiene C2 = 0. Además, como vemos a partir de (1), lim I(a) — 0.
|o[——0
Por consiguiente, tomando en consideración la identidad (2) hallamos que la función I es
continua en los puntos a = \f a = — 1 por la izquierda y por la derecha, respectivamente.
Observando que
ir
f\n^(a2 ~ 2a eos x + l ) ) dx = -27rln|a| + I(a), a ± 0, (3)
0
1
I legamos a la conclusión de que la función I es continua en dichos puntos también por la
derecha y por la izquierda, respectivamente. En efecto, a partir de la fórmula (3) resulta
lim I(a) = 2tt lim ln|a|+ lim I = lim I(a) = 0.
H->l+0 faHl+0 |n[-+l+G Va/ |a|—0
•
De este modo, la función I es continua para todo a. Por tanto, tomando C\ = 0 
leñemos
he ln |a| si |a| > 1,
0 si [a ¡< 1. • 
3 T
<1
1 4 . I ( a } = / a r C t g ( a t g a : ) ^
J tgar
oSea a ^ £ > 0. Entonces, las funciones
arrtg (fl tg x) / n y £ 
t g í ' ^ ^ ^ r _ j _ . _ „
f:(x,a)~i a, x = 0, * y 
0,
0, x = \ 2 ' 
2>
son continuas en el rectángulo R — {(£,£) |0 ^ x < a ^ € > 0 } , por lo tanto conforme
al teorema 1 del p. 1.3 para a ^ e > 0 es válida la igualdad
7T
7 +00
J 1 + a2 tg2;
dx f dt TT 
tg2® y (1 + í2)(l + a2í2) 2(1 + a ) '
o o 
Al efectuar la integración obtenemos
I(a) = | ln(l + o) + C, (1)
donde C es una constante arbitraria.
M t ,i|Htnli) I. Integrales dependit'iilcM tlol |>.iiAmclro
V¡i que podemos lomar e > 0 arbitrariamente pequeño, el resultado obtenido es
v;í lid o para todo a > 0. Ijntonces, a partir de (1) se deduce que ) 
C = lim I(a). (2)
De este modo, si la integral inicial es una función continua respecto al parámetro a,
entonces, tomando en consideración (2) obtenemos C = 1(0). En el caso considerado
la integral realmente es continua respecto a a (conforme al teorema 1 del p. 1.1). Por
consiguiente, C = 0 e I(a) = | ln(l + a) para a J? 0. 
Teniendo en cuenta la evidente igualdad I(a) — J(ja|)sgna, en definitiva hallamos
I(a) = | sgna • ln(l + |a|) Va. • 
1 5 . I ( a ) = / l n ; + O C O S i C ^ L [ a l < l .
J 1 - acosa; cosx 
o
Solución. Las funciones
f:{x,a)^i i—«cosí * 5' f'a:(x,a).
2a, ' l - a 2 c o s 2 x
son continuas en el rectángulo R — {(e,x) |¡aj ^ 1 - £ < 1; 0 ^ i < | } . Por lo tanto,
según el p. 1.3
+00
dt % I'(a) = 2 f ~—-¿— — 2 í -J 1 - a1 cos¿ x J 1 — a + t2 vT^s' 
o
de donde I(a) — tt aresen a + C. 
Haciendo tender e a cero vemos que la respuesta obtenida es correcta para ¡a| < 1.
Como 1(0) — 0, se tiene C — 0. Así pues, I(a) = ir aresen a. • 
1 6 . Emplear la fórmula
	 
 � � 
 � � � � % � �� ���
y calcular la integral
= f dy
J l+x2y2'
i
f arctg x dx_ 
J x vT^l 
o
���
Solución. La integral (2), por ser impropia, debe entenderse como
§ I. In legra leu pio|vlfim ile|Miullmi™ deJ jMi¿inelro Lr>
Suslituyendo en esta expresión la inle îvil (I) obleneiunr
i t 
f i:m f <ix f <** 1 IIIII I " . ^ J - -—r,
e MU,/ v/| _a¡a / 1 I xh/2 (3)
» 0 
lín virtud de que la función f : {x,y) (1+a.Zy21)v/I_3.; es continua en el rectángulo
II ..... |0 ^ x ^ 1 - e; 0 ^ y ^ l } , entonces a partir de (3) y del teorema del p. 1.4
hallamos
1 í-£ 
dxI lim ¡ dy I 
£->+0 J * J 
Cambiando de variable ¿ = aresen a: en la integral A — f — , lar I < 1,° J vi—ar(I+:c*jr) 1 1 ' 
obtenemos
= > arctg (z \/l+y2), js - tg (aresen x).
Por consiguiente,
y) = A\l e = --A-,•. :arctg ( ^ / l - f y2tg (aresen(1
v i + r v
.. tj •j
, ^ •« v «i
lín virtud de la continuidad de la función B para 0 ^ € ^ 1, 0 ^ y < 1, (si e = 0 tomemos
0) = lim B(s, y))t conforme al teorema 1 del p. 12 tenemosÉ-++Q
1 1 
/ = J¡un B{e,y)dy = f / ^ = f MI + v5).
o o 
17* Calcular las integrales:
i i 
I1 = f m ( t o l ¡ ) * T - f d l r , I2 = j eos (in i ) ^ f dx, a > 0, & > 0. 
0 0 
4 Solución. Empleando la fórmula (1) del ejemplo anterior en vez de las integrales dadas
consideraremos las reiteradas:
i b i 
¿i - J dx J xy sen l̂n dy; J2 = J dx J xy eos l̂n dy. 
0 a 0 
Las funciones
^ s e n f ^ i ) » 0 < ® < h « < y O ,
' 1 x = 0, a ^ y ^ 
. , . a?3' eos íln , 0 < x ^ 1, a^y ^b, 
0, x — 0, a ^ y ^ £>, 
W> Capitulo I. Integrales dependienti-N del pnránu'lro
son continuas, por lo tanto se puede cambiar el orden de integración:
í. i b i 
I\ — J dy J « - « . ( h ^ e t o , 72 — J dy J xy eos ^ J dx. 
a 0 a 0 
Sustituyendo x — e~l obtenemos
6 +oo h +oo
h = J dy j e-t(s+1)sentdt, I 2 = J dy J e~t(y+1) costdt. 
a O o O 
Realizando la integración respecto a t hallamos
bf dy f (y + l)dy 
I l ~ J ( y + W + 1> J l = j r -
de donde
(3/ + l)2 + l '
, . b — a T 1 . fr + 26 + 2 
J i - a r c t g 1 + ( a + 1 ) ( 6 + 1 ) 1 Jo = - ln a^+^a + l '
Ejercicios
i
1. Demostrar que la fundón F: y j ¡p(x)f(x,y)dx es continua en [c,<f] si se cumplen las
condiciones siguientes:
1) la función / es continua en el rectángulo [o, 6] x [c, d\; 
2) la función ip es absolutamente integrable en el intervalo ]a, 6[.
Investigar la continuidad de las funciones siguientes:
O, y = 0. 
/
x3 dz í n 
^ . . , arcIj>(l2+!/2)seni'
o, y = 0. 
Hallar los límites:
f 2 y2+l sgn¡(
jm/ • l^J^e-* «dx. 7. lim / 8. lim / ^ 
Para los ejemplos que citamos a continuación demostrar que es posible efectuar el paso
al límite bajo el signo integral:
1 3
/ y -* +00- 10-1arcts (m) dx> y 
i
11. / I sen ¿ 1 2 . - 1 .
o o 
§2. Integrales Impioplti* dependienteN dH parámetro 17
i:*. Supongamos que: I) la función : (^jy) • conlhttin en el rectángulo [atb] x 
2) la función y? es absolutamente Inlê nihle en el inlervalu la,'t>[. Demostrar que la función
b
/'': y H-v J tp(x)f {$,y)dx es dcrivnhte con continuidad en |e,d[.
a
Estudiar la continuidad de la derivada de la función F y la posibilidad de derivar respecto
al parámetro bajo el signo Integral:
2 1 
14. f ^—senldx. 15,F:y>-* / 
o -i
Demostrar que se puede cambiar el orden de integración en las siguientes integrales
reiteradas:
ir( 1 T I
17. jf '¡yjM^dx. 
I) Ü - i o 
§ 2. Integrales impropias dependientes
del parámetro. Convergencia uniforme
de integrales
2.1. Definición de convergencia uniforme
Supongamos quela integral impropia
+OÜ
f{x7y)dxt (1) 
donde la función / está definida en la región II = {(a?,i/)¡a ^ x < +oo, y\ < y < 
converge en el intervalo ]yi7yz[- Se dice que la integral (1) converge uniformemente en
\V\, Vi[, si Ve > 0 3 B > a tal que V6 > B A Vy G ]y\,yi[ se verifica la desigualdad
+00
f{x,y)dx < e. 
2,2, Criterio de Cauchy
Para que la integral (1) del p. 2.1 converja uniformemente en ]yi,y2[ es condición
necesaria y suficiente que Ve > O 3 A > a tal que Vor > A A V/? > A A Vy G ]yiyyi[ se
cumpla la desigualdad
P
f(x,y) dx 
a
2.3. Criterio de Weierstrass
La integral (1) del p. 2.1 converge absoluta y uniformemente en el intervalo yi[,
si 3 F\ ]a,+oo[-> M tal que |/(aj,y)| ^ F{x) Va: £ ]a,-foo[ A Vy G ]yi,y2[ y la integral
+-00
impropia J F(x)dx converge. La función F se llama mayorante de la función / ,
18 (!ii¡)íttilo I. Integrales dependiente» del panlim'lro
2.4. 1'nno al límite bajo el signo integral
Teorema 1. Sea 1) /: II -+ R una función continua respecto a la variable x que para 
y —' 2Ai <5 ]y\,vA Hcnde uniformemente respecto a x a una función límite <j en todo segment
[a, A]; 2) ta integral (1) del p. 2.1 converge uniformemente en ]y-i,yi[, entonces 
+00 +oo +00
lim / f(x,y)dx— / lim f(x, y) dx = I g{x)dx. 
J J y^y<¡ J 
a a a 
Teorema 2. Si la función f es continua para a < x < +oo, y\ í j y < yít y la 
integral (1) del p. ��� converge uniformemente en ]yuyÁ, entonces 
+oo +oo
lim / f{x,y)dx= / f{x,y0)dx.
Sf-»y0e[3/i,!fc] J J 
2.5. Continuidad de una integral impropia
Teorema 1. Si la función f es continua en la región a í j x < +oo, y\ < y -í , y la 
integral (1) del p. 2.1 converge uniformemente en el segmatto [yi, y2], entonces dicha integral 
es una función continua en el segmento indicado. 
Teorema 2, Si: 1) ¡a función f es continua y acotada en el dominio indicado; 2) la 
+00
función tp es integrable en todo segmento a x <1 A; 3) la integral f [<fi(x)\ dx converge
entonces la integral 
+00
/f(x, y) tp(x) dx 
converge uniformemente y es una función uniformemente continua del parámetro y en el 
segmento , y2].
Una definición análoga y teoremas semejantes se tienen también para las integrales
de funciones no acotadas.
Ü] Determinar los dominios de las integrales siguientes:
+00
1 8 . f l^Ldx. J xP + xi 
T
M Solución. Tomemos, para concretar, p ^ q. La función
X
J eos tdt = sen x 
está acotada y la función x •->• -J^-r tiende monótonamente a cero para p > 1. Por
consiguiente, en virtud del criterio de Dirichlet la integral
+00
/
cosa;
xP"1 dx
§2. Integrales htipr<i|d»i« dependiente* del parámetro IV
mnverge para p > h Debido n que Li fundón ir i » , ,, e?¿ monótona y acotada para
í! * tv, entonces conforme a! criterio de Abel Ja inlegi.d
\ I X )
J cosa: dx 
"N», • 1 0 , * t»
xv \ | + XH v 
TT
i nuverge para p > 1, o sea, para máx(p,^) > 1.
Dicha condición es también necesaria. En efecto, representando la integral en forma
de nna serie y empleando el teorema del valor medio obtenemos
+00 _ f(2n+3)oo * „ oo
/
cosx ^ _ tt-* f eos x dx _ 2 v^ ( - D
n-1
I i condición necesaria de convergencia de la serie implica la desigualdad max(p, q) > 1, 
|.d. • *. t 
+oo
19. f ^ d x .
J XP 
O
i Solución. Cambiemos de variable según la fórmula a; — tv, t > O, <? > O, y representemos
Li integral resultante como una suma de dos integrales:
-f-oo a +oo
sena:9 1 f sent „ . 1 f sení ,, , „ dx- - f ——dt+~ / a - 1-1, a > 0.
q J ta q J t(K q 
O 0 0 
Ŝ IÍ ̂ / 1 \ 
< nmo ^ r — O* (pr=r) para í ^ +0, entonces según el criterio de comparación la primera
inlegral converge para a < 2 y diverge para a ^ 2. Conforme al criterio de Dirichlet la
My,unda integral converge para o: < 2. Además, si or 0, entonces la integral diverge,
pues diverge la serie numérica correspondiente. Efectivamente,
+oo ^ x(n+1) ^ 
¡ f í « = 2 > i r f ^ d t ^ t f , i » < fi, < ,<« + 1),
n=l Z 1 n=lir jrn
y dicha afirmación se hace evidente.
Por consiguiente, si q > 0 la integral inicial converge para 0 < £±ít¿ < 2 / o bien,
(jiie es lo mismo, para \p — 1| < q. 
Si g < 0, tomando £ = q\ > 0, y razonando de una manera análoga, llegamos
.i la conclusión de que la integral inicial converge para \p - 1| < q\, o bien \p - 1[ < -q. 
Uniendo los dos casos y tomando en consideración que para q — 0 la integral diverge,
deducimos que la integral dada converge sólo para < 1 . • 
20 Capítulo I. Integrales dependientes del parámetro
20. f dxJ \inx\p-
< Solución. Tomemos x — e *, entonces
2 +oo 1 +oo
f dx _ f e~*dt _ f e^dt f dt
J llnarjf ~ J |f|P " J \t\P + J V ' 
0 — ln2 - ln2 1 
Como ^r = O* ( j^ ; ) para t —* O, la primera integral del segundo miembro converge e
virtud del criterio de comparación sólo para p < 1. La segunda integral converge para
todo p, pues é > t2~p para un t bastante grande. La última desigualdad resulta de la
igualdad ^ lim = 0, Así pues, la integral dada converge sólo para p < 1. • 
2 1
J i 
/
eos
Solución. Tomemos t = (1 — x) 1, x entonces
1 +00
/
cos(l - ac) ¿x _ f costdt
0 X ~{ ^ - « - ' ( 2 - 1 ) " '
+00
Debido a que la función /: 11-> — t > 1, es monótona y acotada y la integral f p ^ r
converge conforme al criterio de Dirichlet para ti < O o para n > entonces según el
criterio de Abel la integral en cuestión converge a la misma condición. Razonando como
en el ej. 18 vemos que dicha condición es necesaria. • 
+00
2 2 . f - ^ ^ d x , P > o.
J xP + sena;
o
•4 Solución. Representemos la integral dada como una suma de dos integrales:
+0O I +oo
í-rF-*^ íf'-^-ta. (1)
J X? + senx J a^+sena; j xP + sena;
0 0 1 
Como f(x) = ~ para x —• +0, la primera integral del segundo miembro
converge para cualquier p (en el punto x = O la función / tiene una discontinuidad
evitable). Dado que
sena; _ sena: sen2a: / 1 \ sen® 1 cos2a; / 1 
{J2. Integrales Impropia* d^umdltmle* del parámetro 21
| <X> I (XJ
Ihm i 11 legra les J dx y J -^¡jf d',vf p > 0, convergen en virlud del criterio de Dirichlel,
\ \ 
fOQ
y l.i integral / ^ converge solamente para p > en lotices la segunda integral de (1)
i
i
mnverge sólo para p > Por consiguiente, bajo la misma condición la integral inicial
i onverge. • 
Investigar la convergencia de las integrales siguientes utilizando para ello las series
i (invenientes:
+00
2 3 . f 1 \ d x 2 , n > 0.
J \ + xn sen¿a:
o
Solución. Como
+0O _ {£+I)?r(X) ^ ' ' 00 JT
/
x dx _ f xdx _ f (kn + t) di 
l + xnsen2x J 1 + a;"sen2x J 1 + <&tt + t)nsen2£70 jfeír ft:=0 o 
i'Mimliemos la convergencia de la última serie.
Es fácil ver que
f hizdt f {h*K + t)dt } (k + l)irdt 
1 J l + (k+ l)"7rn sen2f J 1 + (kw + t)n sen2* J 1 + senH ~ 2
0 0 0 
Ll<>, ,dc * ~ T T l f e ? ' Í 2 = • » « * > * que Jx = O* , I2 = O* ) para
A; > oo, entonces conforme al criterio de comparación dicha serie y, por tanto, la integral
t onverge para n > 4. • 
+00
2 4 . f ^
J xJ} Vsen2xo
Solución- Representemos la integral dada en la forma
+00 ^ (w+l)jT
dx f dx s/a^ V sen2x n=1 J xpVsen2xTT nir 
y consideraremos la última serie. Haciendo x — nir -f t tenemos
(rt+I)ír X 
dx f dt 
xp Vsen2x J (jitt + tyWsenH TtTT 0 
Nótese que dicha integral es impropia y converge según el criterio de comparación
= O* ( -Vi si t - +0, , = o* I — h - I si ¿ - % - 0.
('ii|iíliil(i I. Integrales dependiente* del p.irAinelro
Mu vlcliid di' las estimaciones
1 } dt f dt 1 f dt .... f - < / dt < _l_ f 
'"./ i W / J (mr + ÍV^señ5* 7r''n'' J wHn + iyJ S&2/ J (7Í7T + vWí 
() o v o 
la serie (integral) en cuestión converge o diverge según lo hace la serie X) ~nv que converge
n -1 " 
sólo para p > 1. Así pues, la integral inicial converge bajo la misma condición. • 
+00
2 5 . Demostrar que si: 1) la integral J f(x,y)dx converge uniformemente en \y\,yz[; 
a
2) la función <p está acotada y monótona respecto a x, entonces la integral
+00
j f(x,y)v>(x,y)dx (1) 
a
converge uniformemente en \yi, y2[-
M Solución. Sea s > O arbitrario. En virtud de la condición 1) y según el criterio de Cauchy,
3ü(e) tal que Vi)', h" > B(e) se cumplen, independientemente de y G Jí/iií/2lasdesigualdades:
í . i."
J f(x,y)dx < y f(x,y)dx < <2>
v í 
donde M = sup |tp(x, j/)| / O (si M = O, el teorema, evidentemente, vale).
Como la función ip es monótona respecto a a; y la función / es integrable, de
acu«rdo con el segundo teorema del valor medio tenemos
b" í b" 
J f(x,y)<p(x,y)dx = tp{b' + 0,y) j f(x, y) dx + <p{b" O, y) J f(x,y)dx, 
b< v í 
donde £>' £ C b". Tomando luego en consideración las desigualdades (2) obtenemos la
estimación
b" í b" 
f(x,y)<p(x,y)dx^ ^ \<p(b'+0,y)\y f(x,y)dx + \<p(b" - 0,y)\^j f(x,y)dx <e
v " í 
Vy G ]y\,yi[- Conforme al criterio de Cauchy esto significa que la integral (1) converge
uniformemente en dicho dominio. • 
26. Sean: 1) la función f{x,y) =í O para x -> +oo, y G \y\,yi[, y es monótona respecto
X
a x, x G +oo[; 2) el valor absoluto de la primitiva / f(t, y) dt, y\ < y < y2l está acotado
£2. Inlegralen impropia* dependiente» del parámetro
por una constante Ai. Demostrar que In Integra
i
(1)
a
«onverge uniformemente en el intervalo
Solución. Apliquemos el segundo teorema del valor medio a la integral
V'
V(x> y)f(x, y) dx, b\ btf £ ]a, +oo[,
v
He Monde resulta que
t?
<p(x,y)f{x,y)dx
í b"
<p(b' + 0 ,y) J f(x,y)dx + <p(b f(x>y) dx 
b" í
•
Af ( + o , 3í)| + - 0 t y ) | ) .
Debido a que fp(a?, y) tiende para x +oo a cero uniformemente respecto al
parámetro y E ]y\, yiI, entonces Ve > 03B(s) tal que 4-0,^)1 < ¿ y
para y\ < y < yi si bf > B A > Ü, Por consiguiente, Ve > 0 3 B(e) tal que
0,9)1 < 53?
b"
tp(x,y)f(xJy)dx <s Vy e }yuyi[ 
si tí > Byb" > B. En virtud del criterio de Cauchy la integral (1) converge uniformemente
en el intervalo Il/i, 1/sL- • 
2 7 . Demostrar que la integral uniformemente convergente
+00
/ M*ir * dx, 0 < » <1,
i
u> se puede mayorar por una integral convergente no dependiente del parámetro.
+00
Solución. La integral L — j e - í dt converge, por eso, Vs > 0 3B{e) tal que
o
+00
—íe dt < s. (1)
B{£)
Elijamos un número A tal que
7 T 
A > — + Bis). 
F,
���
24 Capítulo 1- Integrales dependiente» drl panfim-tro
i ™ i i i_ Y 
Efectuando en la integral f a '?"'""' dx el cambio t -¡-(x - ' ) y haciendo uso de las
desigualdades (1) y (2) obtenemos la estimación
+00
J e 7(x »?dx = y J e~*2 dt < 
A ¿Íjt-A} D V >/ ) 
<
+oo
y J e~* dt = 2Ly<e, 0<y<^, 
—OO
+00 , +00
/ e~t2dt< J e"' dt< f e - 1 dt<e, ± ^ y < 1, 
B
de la que inmediatamente se deduce la convergencia uniforme de la integral en ]0,1[.
Por lo que se refiere a la operación de mayorar, se puede razonar del modo siguiente.
Supongamos que exista una función mayorante F . Entonces debe verificarse
f(x,y) = e-Mx-*? ^F(x). 
Es fácil ver que debido a la estructura del dominio de la fruición /: ]1, +oo[ x ]0, lf —* R,
Va; 3 y = ~ tal que f(x, y) — 1. De este modo, F{x) > 1 Vx y, obviamente, la correspondiente
integral impropia de la función F(x) diverge. • 
2 8 . Demostrar que la integral
+CC
1= j ae~ax dx 
1) converge uniformemente en cualquier intervalo O < a < a < fc; 2) converge uniforme-
mente en el segmento O ^ a < 6.
< Solución. En el primer caso es fácil construir una función mayorante, por ejemplo,
F: x be"0*, Por consiguiente, según el criterio de Weierstrass la integral converge
uniformemente.
En el segundo caso, cambiando de variable t = ax, x > O A a > O, obtenemos
+00 +00
aBJ ae~ttx dx = j e~l dt — e 
D aB 
Por consiguiente, VB > O 3 a, a G ]0, b[, tal que e aB > e, O < £ < 1. Por ejemplo,
podemos tomar cualquier a qup satisface la desigualdad O < a < ^ ln Así pues, en el
caso considerado la integral converge no uniformemente. • 
2 9 . Demostrar que la integral de Dirichlei 
I = j S ^ d x
o
1) converge uniformemente en todo segmento [o, &] que no contiene a = 0; 2) converge no
uniformemente en todo segmento [a, f>] que contiene a = 0.
t?2. InlegraltVH impropia* dependleufe* del p.námelm 25
Solución. En el primer cano, conviene ulíll/in el ej Umunido (p : x Para
si- f loo la función <p tiende monólormmeníe a eero (y, ademas, uniformemente respecto
>il parámetro a). La primitiva
X
sen at dt = — (eos aa — eos «a;)
a
a
eNlií acotada por el número ¡ ^ ¡ ^ ¡ j - Entonces, de acuerdo con e! ej.25 la integral inicial
t onverge uniformemente.
En el segundo caso, pongamos x = at, a > 0 A t > 0, resulta
+00 +00
sen ax , f sen t ,, ax — i —-— aty 
x J t 
B Ba 
de donde se deduce que Vi? > 0 3a E [a,b] tal que
+00 +00
sen ax dx >e, 0 < e < / ^ dt, 
x
B 0,1 
0 1 (electivamente, para ello es suficiente tomar a ^ 
Si a < 0, ponemos x = —at y razonando análogamente llegamos a la misma
conclusión. Así pues, la integral converge no uniformemente.
FW
+00
30. uniforme ce la integral J 
n) 1 < «o ^ a < b) 1 < a < i 
Solución, a) Es fácil ver que < ¿ para 1 ^ x < +oo, ao ^ a < +oo, y la integral
I X »
i frr converge. Por tanto, conforme al criterio de Weierstrass la integral inicial converge
\ ,r
uniformemente. +0O t_a ] a
b) Debido a que / ^ = f r f Y lim ~-¡- = +oo, entonces 3e > 0 tal que
g a—*1+Q 
+oo
3 B > B0 A 3a G ]l,+oo[ tales que f ^ > e. Por consiguiente, dicha integral
B
i onveree no uniformemente, • 
+00
3 1 . Demostrar que la integral J converge no uniformemente en el intervalo
o
I < a < +oo.
Solución. Tomemos un número B > 1. A partir de la estimación
+00 +00
f dx 1 fdx Bl~a , , 1 n
- 1
B
r"esulta que la integral dada converge no uniformemente (v. ej. 30).
2(> Capitulo I. Integrales dependiente» del p.ii'.fmelro
Investigar la convergencia uniforme de las integrales siguientes en los intervalo»
indicados:
+00
r, r, f COSaX ^ , ÓZ. I T dx, -oo < a < +00. 
J 1 +x¿
+00
<4 Solución. Como l ^ p -í - o o < a < +oo, y la integral f converge según el
—00
criterio de Weierstrass, la integral inicial converge uniformemente. • 
+00
3 3 ' / 7 0 < a < + 0 0 -J (x — a)- +1 
+00
dxM Solución. Cambiemos de variable x = a 1 en la integral I(B, a) = J j ~
+oo B
dt
(x-a)2+l'
Obtenemos I(B,a) = J g j . Si tomamos a — B > O, entonces para cualquier B se;
B-a
tendrá I(B,a) > e, donde O < £ < Por consiguiente, la integral dada converge no
uniformemente. Nótese que la convergencia de la integral considerada para un a fijo,
O < a < -foo, resulta del criterio de comparación ((x_^)2+1 ~ x —* +oo). • 
-t-oo
34. J ^ q ^ a < +oo
O
Solución. Hagamos uso del ej.25 y tomemos f(x,a) = tp(x, a) = e Según el
+00
criterio de Dirichlet la integral / ^ ^ dx converge; la función x e~ax es monótona
o
respecto a x ((e_<M% — - ae~ax sí 0) y está acotada por la unidad, por consiguiente, de
acuerdo con el ejemplo mencionado la integral inicial converge uniformemente. • 
+<x
35. I 
+OQ
dx, � � p ^ ���
i
* Solución. Como j g f < = - j . < ( f ) " ^ para s ^ e, entonces según el
criterio de Weierstrass la integral converge uniformemente. • 
36
+oo
j e~"x Cl)Sp£ dx, ÜsJ (»< +oo, p > O es un número fijo.
< Solución. En virtud de que la integral f dx converge (según el criterio de Dirichlet)
para p > O, y la función x i-> e a x es monótona respecto a a; y está acotada por la unidad,
entonces según el ej. 25 la integral inicial converge uniformemente. • 
§2. integrales Impropia dependientes del p.irámeho 27 
f
3 7 . ^ yftic ""*1 dx, 0<1(X < j (Xí.
I fX>
4 Solución. Cambiando de variable y/(rx t en la integral / y/ae~tvx dx tenemos
B
+oo +00
J V¿e^a*2dx= j e~{
B Bja 
dt
1 3 Tomando a = B > a, obtenemos la desigualdad / dx > e, válida
B
|ur i cualquier B siempre que
+00
O < s < / e~i2dL
i
Nótese que la convergencia de la integral para a ^ O se deduce del criterio de
rompa ración. • 
+00
18. I(x) = J e *2{1+y2)sen xdy, -oo < x < -foo.
o
* Solución. Evidentemente, 1(0) = 0. Tomando en la integral dada t = \x\y, x ¿ (), 
_ 2 +00
ni llenemos I(x) = C^e x , donde C = J dt ¿ O, Como lim I(x) = -C y 
o £->-0
\un I(x) - C, la función I es discontinua en el punto x - O, Por lo tanto, según el
uniformemente
l.i continuidad del integrando implicaría la continuidad de la integral). •
H-oo .2
3 9 . I p > o .+ xP 
O
Solución. Efectuando el cambio x = Vi obtenemos
+oo +0O
sen f sen¿ dt 
1 + xP J 2(1 + 
o o ' 
+00
Aplicandoel criterio de Dirichlet vemos que la integral / convf ge; la función
! 0
1 ^ 2{i+f¥)' P " CS m o n o t o n a aspecto a t y acotada por el número 0,5, entonces,
conforme al ej.25 la integral dada converge uniformemente. • 
2H Capítulo t. Integrales dependiente» del paiVinieliu
i
4 0 . J xp 1 IiV ~dx si: a )p^po>0; b) p > 0, q > I.
u
•4 Solución. Cambiando de variable según la fórmula x = e~', t > 0, obtenemos
1 +00
j Xp'l]nq±dx= J tqe-pldt.
o o 
a) Como tqe~p < tqe p':t y en virtud del criterio de comparación la integral
+00
f t<le~p1' dt converge, entonces según el criterio de Weierstrass la integral converge
o
uniformemente.
+00
b) Pongamos z = pt en la integral I(B,p) = f tqe~pt dt, B > 0. Tenemos
B
+00
Bp
Fijemos los números B > O y e > 0. Como
+oo
z9e~z dz = +oo,
Bp
entonces siempre podemos elegir un número p > O tal que I(B, p) > e. Así pues, la integral
Iim —̂—r I 
ígir un núj
dada converge no uniformemente. • 
41
/
xn
. dx, O sí. ti i ; +oo.
v i - x2
o 1•4 Solución. Debido a que ^ y la integral / y = f converge según el criterio de
X X X 
Weierstrass, la integral inicial converge uniformemente. • 
i
4 2 . f sen-—, 0<n< 2.
J x x" 
o
•4 Solución. Tomemos x = J , t > O, entonces
1 +00
/
I dx f sen í , ,
sen- - — ~ í t t - t dt. x xn J t2~tt
O 1 
Integrando por partes hallamos
+ 0 0 + C O
/
senf ,, eosB . „ f eost ,,
 dt = + (n~2) j dt. (1) 
B
f$2. Integrales ímpmplrf* depemllenleM del p.iiámelro 2{)
l!n virtud del ej, 26 la ultima integral converge unilormemenle (en el caso considera
Iunción tp que figura en el oj.26 vn : i \ » ^u v J • 0 para £ —• oo y e
X
respecto a t; la primitiva fcmtdt sen;*: sena está acotada por el número 2). Por lo
rt +00
Imito, para un B lo suficientemente grande es válida la estimación | J f-* dt\ < donde
B
r [ > O es un número fijado de antemano.
Consideraremos el sumando gMr en (1). Para todo b ^ B lo suficientemente
grande, dicho sumando no podemos hacerlo arbitrariamente pequeño de manera uniforme
i especio al parámetro n. En efecto, tomemos un B > O fijo y supongamos, además, que
O < e2 ^ E n t o n c e s / P a r a & = 2&tt > B, k € N, y para un n tal que satisfaga la
desigualdad O < 2 - n < obtendremos jpj - (2J)2_» > e2. Por consiguiente, la
Integral estudiada converge no uniformemente.
Nótese que la convergencia de la integral dada para O < n < 2 se deduce del criterio
de Dirichlet.
4 3 _ r ¿>d* M < i ,
J V{x - \)(x - 2Y 2o
* Solución. Como
o < < í ^Vl'-IK-V' 0 < * < lf
" \/\x — l|(ar — 2)2 ^ | ^ - J , 1 < x < 2,
se liene
i
x& dx <
Q (/[X - 11(35 - 2) 
En virtud de las estimaciones
y/xdx
l)(a - 2):
• — ^—-—^ ¡g —̂ 4-Q
U(x - 1)(® - 2f 
1 1 o
\í¿ y (x - \)(x - 2 y v^x^r
y/x o
- l)(ar - 2)2 V ^ : r 2 j
y del criterio de comparación las dos últimas integrales convergen. Por consiguiente, según
el criterio de Weierstrass la integral estudiada converge uniformemente. • 
+00
4 4 . Elegir un número b > O tal que sea O < / < e para '1,1 •: n < 10, doruh
J ' I' 1 r\- 6
30 Capítulo I. Integrales dependientes del parámetro
Solución. Como £:í --qr, se tiene
+00
J 1 + ÍC" J x 1 - 1 6 0 - 1 "
b b 
— — ( 
Resolviendo la desigualdad b^ < 1 0 hallamos que la desigualdad indicada en h 
condiciones del ejemplo será asegurada para b > 107D. • 
45. Sea
Ofmy)dx, c<y<d, (1
una integral impropia convergente, y sea x — (p(y), ip(y) £ }a, b[, la curva de discontinuida
infinita de la función /. Se dice que la integral (1) es uniformemente convergente en e 
intervalo ]a,b[, si Ve > 0 3 A > 0 tal que para cualesquiera y S2 que satisfagan las
desigualdades 0 < ój < A A 0 < ó2 < A se verifica la desigualdad
v(y)+S2
I J f(x,y)dx < e V y € ] c ,
Demostrar que la integral
iI sen(x,y)^ dx, 0 < y ^ 1, 
converge uniformemente.
M Solución. Para un e > 0 fijo demostraremos que
J+Í2
sen(x,y)/
y-i>¡ V\
x - fl 
dx <e \/y € [0,1] (2)
en el sentido de la definición dada anteriormente.
Tenemos
y+th1 s e n (x,y) dx\ y+h y y+h < í dx / dx | I' 
IT-Í1
dx
y-h 9-01
tx-y
= 2 ( 7 ^ + - ^ ) < 4 ^ A (3)
para cualesquiera y tales que 0 < í j < A y () < i 2 < á .
2
Si para Ve > 0 tomaremos A — ~ , entonces a nat+ír ^ " L l - - J
§2. Integrales impropia* dependíanle* del parámetro m
l.a integral impropia
| OU
M(x, y)ii.r, y < Y, (1)
«
|»»nd<> M es una función matricial, se denomina uniformemente convergente en el conjunto Y f
IV/ • 0 :1 A() ^ « tal que VA > AQ A Vy £ Y se cumple la desigualdad
+00
M(a?, y) d®
tunde — y))t l^i^m, \ Demostrar que la convergencia
iiiihii me de la integral (1) equivale a la convergencia uniforme de todas las integrales
+00
a,jj(x,y)dx en F. (2)
a
hntiu íón. 1) Supongamos que las integrales (2) convergen uniformemente. En este caso
Vi i) I A o > a tal que VA > Aq A Vy £ Y se verifican las desigualdades
+oo
<M®> y)dx< 1 2 ^ ro, 1 ^ j ^ n. 
I nina ni ln en consideración estas desigualdades obtenemos la estimación
+CC
M(x,y) dx ü{j (x, y) dx 
, m n \2\1/2
< £\/run¡ 
+ ir implica la convergencia uniforme de la integral impropia (1).
2) Supongamos que la integral impropia (1) converge uniformemente en Y, entonces
a IMilu de la definición dada en las condiciones de partida se deduce que es válida ta
i k-íi^ualdad
\
m n , • 
I I dij(x, y)dx j < e7
1 i-l ¿ 
jne implica
+00
ay (:jf, y) ¿ta< e Vy 6 ^ 1 ^ m, 1 ^ j ^ n,
n sea, las integrales impropias de todos los elementos de la matriz M(x,y) convergen
mullirmemente. • 
i17. Investigar la convergencia uniforme de la integral impropia
n i 
r r tr " A I ^ A M ( r > * *
(j"] )senx cas x(y +0,1) \ z+y i 
' - n \ | • 
'M 
•4 Solución. Según lo demostrado en el problema anterior, la convergencia uniforme de
integral dada equivale a la convergencia uniforme de las integrales de los elementos de i 
matriz M(x, y)\ 
+0O +00 +CO +00
¡e^senxdx, J x ^ d x , j +
1 . x 1 1 
Las integrales primera, tercera y cuarta convergen uniformemente conforme al criterio di
Weierstrass, pues las integrales mayorantes convergentes son, correspondientemente, I 
+ 0 0 + 0 0 + < »
f -X , f - x . f dx I e dx, i xe dx, —— / -5— • 
J J 3 J v^ 
1 1 1 
La segunda integral también converge uniformemente, puesto que: 1) la familia de funcionei
x ~ =t O para x +00; 2) para cada y fijo la función x >—> ^ decrece monótonamentX ' 
a cero; 3) [/eost(y + 0,1) dy\ sj 20, es decir, se cumplen todas las condiciones del ej.26
1
Así pues, la integral impropia de la matriz M(x, y) converge uniformemente.
4 8 . Para una función / integrable en el intervalo ]0,+oo[ demostrar Ja fórmula]
+ 0 0 + 0 0
lim^ I" e~axf(x)dx = J f(x)dx. 
o o 
< Solución. Estimemos la diferencia
+ 0 0 + 0 0 + 0 0
J e"axf(x)dx - J f(x)dx - J (e~ax - 1 )f(x)dx 
0 0 0 B +co 
= J(e~ax - l)/(a¡) dx + J(e~ax ~ l)f(x) dx. (1)
+ 0 0
Sea e > 0. Observando que según el ej.25 la integral f (e ax — 1 )f{x)dx converge
o
uniformemente para a > 0 (la función \x\ 1-+ e~ax - 1 está acotada por la unidad y es
+ 0 0 i 
monótona respecto a x 0; la integral f f(x)dx converge según las condiciones de"
o
partida), para un B fijo lo suficientemente grande se verifica
+ 0 0
< | Va > 0. (2)(e -1)/(«) dx 
' B 
Para los e y B indicados, hallemos un a tal que se verifique la desigualdad
b
—ax1/
0
(e -1 )f(x)dx < % 0 )
:\2 ( apíhilo 1. Integrales dependientes del pantriielro
< Solución. Según lo demostrado en el problema anterior, la convergencia uniforme de
integral dada equivale a la convergencia uniforme de las integrales de los elementos de 1 
matriz M(x,y): 
+00 +00
J e-^sen xdx, J eos x(y -1-0,1)
x + y 
+00 +00
dx ~ve-* dx • I Inf 1 + 
y
xz - y dx
Las integrales primera, tercera y cuarta convergen uniformemente conforme al criterio di
Weierstrass, pues las integrales mayorantes convergentes son, correspondientemente,
+O0 +00
dx• i xe^x da 
+00
dx
1 1
3 J i
uniformemente
x \x+y O para x —• +oo; 2) para cada y fijo la función x z+y decrece monótonament
I / 
uniformemente •
4 8 . Para una función / integrable en el intervalo ]Oy -|-oc[ demostrar la fórmul
+O0 +00
—axf(x) dx f (a?) dx. 
o o
Solución.Estimemos la diferencia
+00 +00 +00
axf(x) dx - J f(x) dx -ax 1 )f(x)dx 
o o o B +oo
—era; . i f —ax (e 1 )f(x) dx + (e 1 ) / (x) dx (1)
O B
+00
Sea e > 0. Observando que según el ej.25 la integral / -OtZ
O
1 )f{x)dx converge
:e para a ^ O (la función \x\ e - 1 está acotada por la unidad
+00
pecto a x 0; la integral / f(x) dx converge según las condicione
o
un B fiio lo suficientemente prandp vprífira
+00
-ax 1 )f{x)dx 
B
< | Va > 0. (2)
Para los e y B indicados, hallemos un a tal que se verifique la desigualdad
B
(e~ax - 1 )f(x) dx 
o
< 2 (3)
Intégrale» impropié**» dependiente* dfl panimetro 33
liuiemos
i?
( e " ' w - 1 )f(x)tlx 
o
- , (I tt "U)MIS < | 
de donde
1 2MB 
0<e<2MB, (4)
uleiuio Af = sup |/(x)| ̂ 0 (para M — 0 la afirmación del teorema es trivial).O^x^B
l'or lo tanto, a partir de (1), (2) y (3) resulta que
+00 +00
—axf(x) dx — / f(x) dx < € 
0 0 
ni /í es lo suficientemente grande y a satisface la condición (4).
+00
Demostrar que lim I f(x)sennxdx = O, si / es absolutamente integrable en el
o
Intervalo ]0, -foo[.
I Solución* Conforme al criterio de Weierstrass la integral dada converge uniformemente
ivft|ieeto al parámetro n, entonces, Ve > O 3 AG(e) > O tal que VA > A Vra
+00
f{x) sen nx dx < §. o)
í tiv ¡damos el segmento [O, A] en k -f 1 partes mediante los puntos O = x0 < X\ < , . . < 
A
,rjt i r - A y representemos la integral / }{x) sen nx dx en la forma
o
li Xi+l k x¿41
f(x) sen nx dx ~ ^^ / (f(x) - sen nx dx H— ra¿ I sen nx dx7
n. V ^ V 
O ~x¡ í O 
m¿ - inf {/(a?)}.
I Mudo a que f(x) - mi < cj¡, donde es la oscilación de la función / en el segmento
l^ij^í+i]/ entonces de (2) se obtiene la estimación
fe k 
+ - ^ { r r i i l (3)f(x) sen nx dx n¿=o í—o
i
l !n virtud de que la función / es integrable, para un e > O fijado de antemano existe una
partición del segmento [0,vá] tal que
ib
^AZiü>i < 
¿ — A
(4)
34 Capítulo I. Integrales dcpcndicnlt'N tJi'l jtiuéíiiu'tro
Una vez dada la partición, los números m, quedan determinados. I'or tanto, al toma
k I oon > | ¿ 1 ra,|, de las desigualdades (3), (4) y (1) obtendremos | f /(ar)sen JIX dx\<
e j=o o 
5 0 . Demostrar que si: 1) f(x, y) =t f(x, y0) en todo intervalo ]«, 6[; 2) -< F(x 
+00
donde / F(x) dx < +oo, entonces
a
+00 +00
lim I f(x,y)dx = / lim f(x, y) dx. 
u a 
A Solución. Estimemos el valor absoluto de la diferencia
+00 +00 b 
J /(a?, y)dx - J f(x, yQ) dx = J (f(x, y) - /(x, y0)) da; + 
+ J f(x, y)dx- I f(x, y0) dx,
b 'b 
Sea un e > O fijado de antemano. En virtud de la condición 2), para un b 
suficientemente grande son válidas las estimaciones
+00 +00 +00
1//(ar,jí)¿a;J ^ J F(x)dx<~, y f{x,y0)dx
b b 
y a partir de la condición 1), la estimación
|/<«, y) - f(x, yo)\ < 3^—- v* e ]a, b[, 
si la diferencia \y - y¡)\ es lo suficientemente pequeña.
De este modo, de (1), (2) y (3) se obtiene
+00 +00
1/ f(x,y)dx- J f(x,y0)dx <e 
a a 
para todo y bastante próximo a y0. • 
5 1 . Sea / una función continua y acotada en 10, +oo[. Demostrar que
+00
/ = lim - f dx = ±m-
y->±0 Tt J X¿ + y¿
O
A Solución. Tomemos x = ty, t > O, y > O, entonces
+00
I = lim
y~>+0
n
* f ^ - d t .
K J t2 + 1 
Integrales impropian ilt'|>i'nilii-nIcn «!<•! parámetro
1•
IMildon que ¿t^j, donde \f(tp)\ M comí, j ^ ~ (converge) y en virtud
do fu continuidad de Ja función / , la fracción l para V ~1* +0 en cada intervalo
Ahito entonces conforme al ej. 50 obtenemos
m
+00
lim — 
Í/-++0 7T
IM
t2 +1 
I-O0
dt 2
7r
lim fS
t2 +1 /(O)- 0 )
o o
|*n v ii I mi del carácter impar de la integral respecto a la variable y y a partir de la
íflHftldad (1) tenemos
+00
lim * / 
jr-*-Q 7T J 
yffr)
x2 + y2
dx m •
o
+Q0
I i aliar v f dx lim / — — -
n-oo / 
O
nt lición. Representando la integral dada en la forma
+CO +00
/
dx 1
/
xn dx f dx
xn + l J xn +1 
o o 1
>1 servando que
i +00 +oo
f — 
J xn
dx
+ 1 
< 1 f dx
n + 1' / a;Hl <
/
da?
ar*
1
n - 1 i « >2, 
o
•leñemos
o
+00
lim f 
n^ooj Xn + 1 
L • 
o
i
Demostrar que F : a 
sen-
x
~dx es una función continua en el intervalo
< a <2, 
o
Jución. Cambiando de variable x = t > O, obtenemos
+00
F(a)
/
sen at 
t2 - a
dt
i
-oo < a ^ 5.. Entonces, en virtud de la estimación < ^ y del criterio
Weierstrass la integral examinada converge uniformemente. Si tomamos también en
sideración que para -oo < a ^ t ^ 1, la función t k» es continua, entonces
m el teorema 1 del p. 25 podemos afirmar que la función F es continua en dicho
rvaln
36 Capítulo I. Integrales dcpcndk'iili 'w ilt'l |Mr<1nu'lro
Sen ™ í:- « í ; 2 - e, e > 0. Entonces, | f sen at dt | < -2r 4, l'ara un t oo fijo !
función t i-f tiende monótonamente a cero uniformemente respecto a a (esto resulta djj
la estimación < ). Consiguientemente, según la afirmación del ej. 26 la integral inicia
converge uniformemente. Teniendo también en cuenta la continuidad del integrando pari
\ sC a ^ 2 — e, llegamos a la conclusión de que la función F es continua en el segmenta
considerado.
Así pues, la función F es continua para -oo < a e. Como e > 0 es arbitrario
la afirmación del problema queda demostrada. • 
5 4 . Determinar los puntos de discontinuidad de la función
+00
r sen((l - az)x2)
x
dx.
•4 Solución. Al sustituir t = (1 - a')x, a ^ ±1, obtenemos
+oo
F(a} = J —j— dt sgn (1 — a2).
o
Obviamente, dicha igualdad es válida también para |a| = 1. Los puntos a = 1 y a — 
son los puntos de discontinuidad de primera especie de la función F . • 
i Investigar la continuidad de las funciones siguientes en los segmentos indicados:
55.
+00
xdx
2 + xa
, a > 2. 
< Solución. Se puede demostrar (v. ej. 31) que la integral en cuestión converge no uniforme
mente en el dominio indicado (su convergencia se deduce del criterio de comparación). Poi
lo tanto, por ahora no podemos decir nada sobre la continuidad de la función F .
Sea a > 2 + e, donde e > 0. Entonces, para x > 1 se tiene < ^ . Come
= O* ( j irr) para x —> +oo, entonces conforme al criterio de Weierstrass la integral
+00
i
converge imiformemente. Tomando en consideración la continuidad del integrando, a partir
del teorema 1 del p. 2.5 llegamos a la conclusión de que la función $ es continua para
a ^ 2 4- £, es decir, para a > 2.
Teniendo en cuenta que en virtud del p. 1.1 la función
i
x dx $ :«h j 
2 + xa
es continua para a > 2, deducimos que la función F: a i 
para a > 2. • 
+ $(«) también es continua
s2. Intégrale» ímpropi.i* iU'|H*iu1ltMilrN itrl |w«ímelro X/
ir
fWh « K-f f JCTXX dx, 0 < <v < 2,J x(t(7r — xy* 
o
| NohuJóm Sea 0 < e ^ a ^ 2 - £ < 2 . Representando la integral dada como una suma de
ll-Mia integrales y estimando los integrandos obtenemos
4 1 7T— 1 
Hel'l X 
- x)a
dx< í te + í te + 
J xa-\it - x)a J Xa (it - x)<* 
H 0 1 ,K 1 7T
+ / xa(tt - x)a~l ** j a1"* +7r 2 +
dx
(tt - a;)1-*"
I hu loque las últimas integrales, conforme al criterio de comparación, convergen, entonces la
|)tlef;t .il inicial, según el criterio de Weierstrass, converge uniformemente para e ^ a ^ 2—e,
Ihiirndo también en cuenta la continuidad de la función
. / , senai
Xa (ir - x)a
ni el dominio 0 < £ < 7 r , £ < ar ^ 2 - £, a partir del teorema 1 del p,2.5 vemos que la
iw'ión F es continua en todo segmento f ^ a ^ 2 — e. Así pues, la función es continua
«MI el intervalo 0 < a < 2, > 
+00
0
4 Nal lición. Cambiando de variable x según la fórmula x — k% 1 en la integral bajo el
m îio suma torio
í
i ed urimos la integral dada a la siguiente:
sen x •" 
ÍT t
Fía) = 1 f ^ 
o
( o m o ¿v^ ^ ( § ) * ^ ( f ) 1 * F^"' 0 < ¿ ^ 1, donde 0 < e < entonces en virtud del
i _t
rriterio de Weierstrass la integral f converge uniformemente en el segmento [e, 1 - e].
o
x -t 
Análogamente se puede demostrar que la integral / también converge
*-i sen _t
uniformemente en este segmento. Además, ya que la función t h-» es continua en laS6H í 
región 0 < ¿ < ?r, entonces según el teorema 1 del p. 2.5 la función F 
es continua para a £ [e, 1 - ¿]. Como e > 0 es arbitrario, dicha función es continua para
3K Capítulo I. Integrales dcpcndicnlrit tlrl iiAiiíniflriiEjercicios
Investigar la convergencia uniforme de tas integrales impropias que citamos a continuad*
en los intervalos indicados:
+ 0C -I-ÍX3
18. / dx, 0 <y< +oo, donde R es la función de Riemann. 19. f ==¡g0 dx,0<y^A 
0 (1
-K» +oc20• f arcts dx,0<y< +00. 21. f x ^ ^ dx, y> 0.
1 i 
+ 30 1 
22. / dx, 1 < y < +oo. 23. J x"'1 ln(l - x)dx, y > 0-
l o 
24. f -oo<y<2. 25. /«/COS 4 da:, -00 < y < +oo.
o o 
Hallar los límites:
+« ( n - ~ „ 
26. lim / /B(:e)dx, donde /„(*) = i F e " ' ® > B-»CÜ t. ' — 
27. üm J e - ' 2 ^ d t . 28. lim f ^ r ' - d í .
x->+<x p I—+00 u 
Comprobar la continuidad de las funciones siguientes:
+=c ¿ 1
o o 
§3. Derivación e integración de integrales impropias
bajo el signo integral
3.1. Derivación respecto al parámetro
Teorema 1. Supongamos que se verifican las condiciones siguientes: 1) la función f¡
+00
es continua en la región a < x < +oo, yi ^ y ^ y2; �� la integral f f{x,y)dx converge, 
a
+oo
3) la integral f fy(x,y)dx converge uniformemente en el segmento [y\,yi]. Entonces, 
a
+oo +00
Jy J f(x,y)dx = J f'j(x,y)dx 
a a 
en el segmento [3/1,2/2]-
Teorema 2. Si las funciones f y f'y son continuas y acotadas en el dominio indicado 
+00 +CO
y la integral f \'p{x)\ dx converge, entonces la integral f f(x,y)<p(x)dx representa el valor 
a a 
de una función derivable en el segmento [yi,yz\ y 
^ J f(x,y)<p(x)dx = j f'y(x,y)<p(x)dx.
fi l Derivación e integración de Inlegnili** Impnipia* bajo el signo integral 34)
3.2. Integración respecto at parámetro
teorema 1. Si ¡a función f <\s continua futra n? - a, y f;t/t, jfal, y la integra! 
i * .
i / (-'" r //) dx converge uniformemente en [y\}y¿\, enlomen es válida la fórmula »
2/3 +oo loo Vi
dl9 J f(x 1 y)dx = J dx J f(xy y) dy. 
V\ a <* 
Señalemos que. dicha fórmula es válida también en el caso de que y\ = -oo,
+00 +00
l/f | 00, si f(x,y) ^ 0, las integrales f f(x,y)dx, f f(x,y)dy son continuas y 
—00 -00
+00 +00 +00 +00
Hiiivt'r^r una de las integrales reiteradas J dy f f(x^y)dx o f dx f f(xyy)dy.
-00 —00 —00 —00
teorema 2. Si la función f es continua para a ^ x < +00, c < y < +00, y te 
4-00 +00
y / y) tía;
a
Hiííiv/^r/i uniformemente: la primera en cada segmento [a, ^4] y la segunda en cada segmento 
r, Í 1/ SÍ al menos una de las integrales reiteradas 
+00 +00 +00 +00
dx J \f(x,y)\dy, J dy J \f(x,y)\dx 
o c c a 
\ 01 nurge, entonces convergen y son iguales entre sí las integrales reiteradas 
+00 +00 +00 +00
dx J f(x7y)dyt J dy j f(x,y)dx. 
a
Teorema 3. Si f es continua y acotada para a ^ x < +00, y E [yi¡ y2], y la integral 
| \ip(x)\dx converge, entonces 
+ 0 0 + 0 0
dy / /(a?,») p(a?) da - / p(a¡) dx / /(ar, y) ¿y.
a a 
1
5 8 . Haciendo uso de la fórmula ¡ x dx — n > O, calcular la integral
o
1
i - - '
1= I x"-1}nmxdx,
o
donde m G N.
4 0 Capítulo I. Integrales dcpendlenti'N di'l puritim-lro
A Solución. Derivando formalmente m veces respecto al p¡m1molro n los dos miembros
la igualdad en cuestión obtenemos
1 = j x" _ 1 ln"' xdx = Q ) < m ) = (-1)™ „ro+1 ' 
0
Demostremos que podemos derivar m veces bajo el signo integral. Tomemos pa
eso x = \,t> 0, y transformemos las integrales dadas en las siguientes:
1 +00 +00
fx»-idx = J ¿ L , / = ( - ! r f ^ d t .
0 1 1 
Debido a que las funciones t h> t 'n 1 y t ^ t~"~l lnm t son continuas en la regi
i
0 < e < n < +oo, 1 ^ t < +oo y la integral fxn~1dx converge, entonces, de acuer
o
+00 . , „ ln t 
con el p. 3.1, queda por demostrar que la integral J ^jzr dt converge uniformemente en
i
semintervalo O < £ ^ n < +oo. En efecto, ya que
\]nmt\ ln™í _ hTt J _ (2m\m J _
tn+i - tUt f f ¿ i+l '
a partir del criterio de Weierstrass vemos que la integral I converge uniformemente
dicho semintervalo. Consiguientemente, según el teorema 1 del p.3.1, para cada e > O fij
la integral puede ser derivada respecto al parámetro n, n ^ e, es decir, para n > 0. • 
+oo
_ _ f dx 7T 
5 9 . Empleando la fórmula J 2 = , « > O, calcular la integral
o
+ 0 0
o
A Solución. Derivando formalmente n veces respecto al parámetro a ambos miembros
la fórmula dada obtenemos
+ 0 0
f d x 1 („ -VA [ n ) - ( ~ 1 ) " " ! ( 2 » - 1 ) ! ! t
( ' J (x2 + ar+i- a Va ) ~ (2í}-)!!a"2v/a ' 
o
de donde resulta el valor de la integral I n + j .
La posibilidad de derivar n veces se deduce del p.3.1. En efecto, las funcione
(;x, a) > j j ^ y (x, a) >-•> ¡¿q^ízt son continuas en la región ü < £ sí a < +00, O < x < +0
+00
La integral J converge para a > 0. La integral In+\ converge uniformemente según
o
el criterio de Weierstrass ( ^ foM^yirr Para x ^ 0) en el semintervalo £ a < +00.
Por lo tanto, podemos derivar en dicho semintervalo así como en el intervalo O < a < +00
(pues £ > O es arbitrario). • 
& • 
H i Derivación e integración de IntrgmlrN lni|iM>|<l.i'< h.ijo el signo integral 41
| I ü >
00. I íemostrar que la integral de Diricfilcf I(fv) 
/
Neuwr . 
li
liene derivada para a / 0.
o
«
embargo, esta no puede ser hallada mediante la regla de Leibniz
H H I M I I Ó I K lomando ax = t tenemos / (a ) = const. Entonces,
0. Sin embargo, si derivamos formalmente respecto a 
ll^itinos a la integral divergente
+oo
eos a x dx. 
para a ^ 0 resulta que
a bajo el signo integral
o
A l . I Amostrar la fórmula de Frullani 
+00
f{ax) - /(te) dx = ^ b a > b >
x a 
o
+00
donde / es una función continua y la integral / — dx converge V A > 0 
A * 
4 Niihu tón. Conforme a las condiciones de partida tenemos
+oo
f fifi*) 
+oo
dx mt
+00
dt
• / 
/ ( te)
+oo
dx
x
m
t dt,
Aa Ab
de donde
+ O Ú
f(ax) - f(bx) 
Ab
dx
x
m
i dt.
A Aa
Aplicando a la última integral el primer teorema del valor medio obtenemos
+oo Ab
x t a
Aa
(1)
Debido a que la función / es continua se tiene Iim / (£) — /(O), y a partir de (1)
ii>;uilta que existe el límite
+00
f{ax) - f(bx) 
+00
lim / J v 7—* dx J fiax)~f{bx)dx = min*. • x a 
o
+ 0 C
•
Nota. Puede ocurrir que la integral f ^ dx, A > O, diverge, pero existe lim f(x) = /(-hoo) y 
A & - > + 0 C
Litubién converge la integral J dx, donde f*(x) = f(x) - f{+oo). Entonces, de acuerdo con lo
ilidio anteríonnente/
+ 00
f(ax) - f(bx) b
x dx - (/(O) - /{+oo}) ln- .
o
42 Capítulo I. Integrales dcpcndicnk'N del par.inii'tm
Calcular las integrales:
+0° i „ i 
62. I(a) = / dx, a > 0, ¡3 > 0. 
o
A Solución. Para a ^ e > 0, (3 ̂ £ > 0, las funciones
-e ra*xe' ' f'a :(x,a) 
0, x = 0, 
son continuas para a > £ > 0. Según el criterio de comparación la integral
+oI + 0 0 i „ 1 e — e ' , dx
+00 _ 2
converge, y la integral J xe 01 dx converge uniformemente según el criterio de Weie
o
strass en el semintervalo a > e (como función mayorante podemos tomar x xe 
Consiguientemente, conforme al teorema 1 del p. 3.1 se puede derivar respecto a a bajo 6 
signo integral. Tenemos
+00
l'{oc) = - J xe^ dx = a > e > 0, 
o
de donde hallamos /(a) = ]na+(p(f3). Obviamente, I{¡3) — 0, por lo tanto <p(/3) = j ¡n/3
¡3^£>0.
Así pues, I (a) = |ln^, a > e > 0 . Como e > 0 es arbitrario, la respuesta e 
correcta Va > 0, ¡3 > 0. • 
+0° p 2
63. I(a) — J ( j "X~e ^ dx, a>0, /3>Q. 
a
A Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, es fácil demostrar que es posible deriva]
respecto a a . Entonces, para « e > 0, /3 ̂ £ > 0 tenemos
/ '(a) — 2 J 
+00
e-{a+p)z _ e~2ax
(ix.
Aplicando la fórmula de Frullani (v. ej. 61} hallamos l ' {a) = 21n y al integrar respect
a a obtenemos
I(a) = -2(a + P)(\n(a + ¡3) - 1) + 2a(ln 2a - 1) + <p(f3). 
De la condición I(/3) = 0 resulta que <p(ft) = 2/í(ln2p - 1). Por tanto,
Como e > 0 es arbitrario, el resultado obtenido es válido para a > 0, fJ > 0. • 
[i i Derivación e integración de ItilegMlen Iiii}iki|iI.ih l>ajo el signo integral 43
| fX>
H4. i(w)
Mile axx __ 
X
sen mx <h:f a > 0, // > 0. 
(i
$ Niiluclón. Derivando respecto al parámetro 7it obtenemos
foo
fm(m) (e
—ax e P*)cos rnxdx. (o
o
I imlorme al teorema 1 del p. 3.1 es posible derivar bajo el signo integral, pues las funciones
/ : (m,a?) > X sen mx p
0,
x¿0,
x = 0, 
fm : (m,x) (e ax - e &x)cos mx 
nmii continuas en la región -oo < ra < 4-oc, 0 ^ x < -i-oo; la integral(1) converge
it hit oí memente en virtud del criterio de Weierstrass, y la integral inicial converge.
Al efectuar la integración en (1) hallamos ITm(m) a P , de dondet̂ +m2 ft2+m2
arctg^ - arctg^ + C\ Como 7(0) — 0, se tiene C = 0. Por consiguiente,
ln(l - a2x2)
x2Vl — x2
dx, [a| ̂ 1. 
o
Solución. Sea |a| 1 — e, 0 < e < 1. Entonces, para un e fijo las funciones
ln(l-aV)
/: {x7 a) x
2vT~ t > 
a2 ,
x ^ 0, 
a? = 0,
j
Ja : , a) 
2a
(1 - a2x2)VT^
non continuas en la región |aj < 1 — s, |a?| < 1. La integral J(a) converge según el criterio
t Ir comparación, y la integral
i
i » = - 2 adx
o
(1 — a2x2)V 1 — x o )
i on verge uniformemente en virtud del criterio de Weierstrass fra(x1 a)j íJ {\-(i-£)W)y/íZ'¿2)
ni <•! segmento \a\ ^ 1 — Por consiguiente, se puede derivar respecto al parámetro a 
lujo el signo integral para \a\ ^ 1 - e (ver el teorema 1 del p.3.1).
Sustituyendo en (1) x — sení obtenemos
n
2
j*{a) = - 2 a
dt 7ror
1 — a 2 sen2í
ú
no donde se deduce que — a2 -f C, Como 1(0) = 0, se tiene
consiguiente,
I(a) = 7 r ( v / l - < * 2 - l ) .
1 Jebído a aue £ es arbitrario, el resultado obtenido es válido para \a\ < 1,
C tt. Por
(2)
<14 ('pululo 1. Integrales dependientes del parámetro
No e s difieil ver q u e lo función / es continua en l.i región |<r| í ; 1, |ar| < 1 
Infectivamente, según el criterio d e Weierstrass la integral / ( « ) converge uniformemente eí
el segmento |«| < I (\f(x, a}¡ ^ luego la función I es continua para |a| ^ 1. Po
eso, i ( ± l ) = lim I{a), o sea, la fórmula (2) es correcta para a = ±1. • 
M - i - o
i
„2_2\
6 6 . W - J ^ * .
0
Solución. Análogamente al ej. 65 se tiene
l'(a) — —2a f ^ 
J (1 - a2x2)Vl^ 1 0, a = 0, o v
de donde resulta que I(a) — —7rln ( l + Vi - a2) + C, |o| < 1. Como /(O) = 0, entonce
C = 7rln2, luego
„ . . 1 + Vi - a 2I(a) = - i r ln . 
Debido a que la integral inicial es continua para |a| 1, la respuesta obtenida es
válida también para |a| 1. • 
+00
1
Solución. Las funciones
, , v arctg a x , , 1 /: (a;,a) >—• , fa: (x,a) —•—
x2vx2-l x(l + a2x2)Vx2 — 1 
son continuas en la región 1 < x < +oo, — oo < a < +oo; las integrales
dxí a r c ^ a x d x ¡ f 
J x2Vx2 - 1 ' J x(l + á ^ x{l + a2x2)Vx2 - 1 
convergen uniformemente según el criterio de Weierstrass, pues
| arctg aaü| ir 1 1 
X2Vx2 — 1 " 2x2Vx2 — 1' x(l 4- a2x2)Vx2 — 1 " xVx2 — 1 
y las integrales de las funciones mayorantes convergen. Por consiguiente, las funciones / �
y f',r son continuas para todo a, luego podemos derivar bajo el signo integral. Tenemos ]
+00
dx
x(í + a2x2)Vx2 - 1 
Tomando x = chí obtenemos l'(a) = |( l — de donde I(a) — - Vi + a2)+C,
Como 1(0) = 0, se tiene C = De este modo, I(a) = ? fl + a - v T + a 2 ) , a 0.
w
fi l Derivación e integración de ¡nlrgiale* Impropiar* bajo el wigno integral 45
Análogamente, para a £ 0 oblencinou /(o) " (l a Vi H lin definitiva,
Míenlo?; I(a) — + |or| - y/\ f (x1) sgim, \ty\ * ívj.
+00
tlH. #(«) ln(q
2 + ar2)
/?2 -I- a:2
dx.
o
| Niiliii ión. Sea / 0. Entonces las funciones
. , , ln(a2 + x2) , f : (x, a) »-> 2 2 , fa: (xt a) 
2a
(a2 + x2}(/32 + x2)
mom mntinuas para 0 < x < +oo, —oo < a < -feo y la integral I (a) en virtud del criterio
de Weierstrass converge uniformemente en todo segmento [—/i, A\: 
|ln(a2 + * 2 ) |
P2 + x2
< tp{x)
¡32 + x2>
tp(x) = máx||ln(^l2 -f |ln#2|}.
La integral
+ao
f(a) 2a dx 
(a2 + x2)(J32 + x1) 0 )
0
Mmbirn converge uniformemente, pero tan sólo en el segmento 0 < s ^ |a] ^ A. En efecto,
2a < 2 A 
(o2 + x2){/32 + x2) ^ (e2 + x2)(f32 -f x2)
Í){x)
+ 00
v ln integral / ip(x)dx converge*
o
De este modo, la función I es continua Va G ]—oo, +oü[, y la función es continua
para \a\ > 0. 
Efectuando la integración en (1) obtenemos I'(a) = j ^ J ^ ^ r 0/ de donde
/(rr) - ^ ln(|or| + \/3\) + C. Dado que
H-oo
/(ll) = 2 
ln#
p2 + x 
dx
+ C O
2 f ln|/3| 
\P\ + t2
dt + 
+oo +CX)
2 fhxtdt 21nj/3| f dt 
\P\ + t2 \ P \ + t2
7Tlnl/?|
m ' 
o o o
enlonces C = 0. En definitiva tenemos / (a ) = p ln(|a| + 1/51), f3 ¿ 0,
Señalemos que para fl = 0 la integral dada converge tan sóío para
+00 7
aso integrando por partes obtenemos fácilmente que J ^t® * dx -
a 1. En este
e TT. • 
0
+00
6 9 . I(a, /J)
arctg ax * arctg px 
dx.
x
o
+00
4 Solución. Obviamente, I(a,fi) — / ¡3)dx, donde
o
f(x,aj3) p- arctg aa; * arctg £ O,x-ü.
46 Capítulo I. Integrales dependiente» del p.ir.tmetro
La función / es continua en la región 0 ^ x < -j-oo, -oo < [1 < j oo, y la integral dada
en virtud del criterio de Weierstrass converge uniformemente (la función mnyorante tp sej
construye del modo siguiente: para 0 ^ x < I tomamos \f{x, a , fí)\ y para x > 1,: 
\}{x, a, es decir, ^(x) = \ap\ para 0 < x < 1 y <p(x) = para a; > 1), Entonces,
según el p.2.5 la función 7 es continua Ver,/? € ]—oo,-¡-oo[.
Sea Q < e a A < +oo, 0 < 6 ^ p ^ B < +00. Entonces es fácil comprobar que
se verifican las fórmulas
+CO
, _ f arctg px „ f dx 
= y X d + ^ l ^ JoM,P)~ j (1 + a2x2){1 + p2x2y
0 o 
de donde hallamos l'ápia, P) = 2(a+p) • Integrando sucesivamente esta igualdad respecto a p 
y a obtenemos
I(a, p) = ¿(a + p)(ln(ar + p) - l) + v?(a) + MP), (1) 
donde <p, ij> son funciones a determinar. En virtud de que e > 0, £ > 0, A> 0, B > 0 son
arbitrarios, la última expresión es válida para cualesquiera a > 0 y P > 0. Nótese que (1)
es la restricción de la función 7 a la región de los valores positivos de los parámetros a 
y p. Para determinar la función 7 para todos los a, p G ]-oo,+oo[ hay que definir las
funciones <p y tp de un modo tal que la función 7 sea continua Va, p. La condición de
continuidad
üm 7(a, P) = lim I{a, p) = lim I(a, p) = 7(0, P) = I(a, 0) = 7(0,0)
conduce a la igualdad
<p(a) + i>{P) = | {P( 1 - ln p) + a(l - ln a)) . (2)
Por lo tanto, teniendo en cuenta la identidad I(a,p) = 7(|«¡, |/3|) sgn(«, p) y la
igualdad (2), en definitiva obtenemos
I(a,P) = { fsgn(a/?)ln('»Wgr » «P ¿ 0. 
si ap = 0.
/
2 y í T
e~x dx = — , resolver los
ejemplos siguientes: o 
70
+00
. 7 = J(alx2 + Zb1x + cl)e-{axl+2!'x+c)dx,a>Q.
Solución. Transformando el trinomio ax2 + 2bx + c en la forma ( v a í + + ^-y
tomando \fax + = t obtenemos
+00
7= J(At2 + 2Bt + C)e~l1 dt, 
Derivación e integración D E I n l e ^ R A L E * I I I I ¡ M O P L » M b a j o el signo integral 47
Í )lHld<
A — ' - - = c . » « . ! — e « 
a y/a <r aÁy/a
4 J í
i M tillo ii que
I +00 -roo -too +00 
i '' dt = v^F, 2 y íe"'1 dt = 0, J ¿2e"'! dt = i J íe_ id(í2) = ~ j e"'
>«• —OO —OO —OO —OO
leñemos
1 ^ ^ ( f + C ) = ¿ + 262)ai - 4 o » ! + 2 a 2 c i ) e ~ ^ .
100
7 1 . y e ch 6a dar, a > 0.
00
Nolución. Tenemos
+00 +00 +00
1= / e ax\hbxdx = l f e~'lx? 1 "J dx+l í e-ax*-"xdx.
-OÚ -00 —00
(>1 servando que las dos integrales en el segundo miembro son casos particulares de la
Inlegral considerada en el ejemplo anterior, obtenemos I = 
+00
7 2 . I{\a\) = J 
o
Solución. Representando la integral dada en la forma
1 +00
O
V realizando el cambio V — \ en la primera integral obtenemos
+00 +00
1 1 
I )ebido a que los integrandos f\ y fz son continuos para todo a y 1 ^ y < +00,
Lis integrales correspondientes convergen uniformemente según el criterio de Weierstrass
2 +00 +co 2
(I/](«I0)I < ¿ J 1/2(̂ 7 < e~v ) y las integrales / 4 , / e~y convergen; por lo tanto,
1 1
la función / es continua Vlaf € IR.
48 Capítulo I, Integrales dependientes del parámetro
Sea |«| e > 0. Ya que las funciones son continuas en la región |a[ > e,
1 ^ V < y Jas integrales correspondientes, según el criterio mavorante, convergen
uniformemente en cada segmento £ ^ |a| sj A, entonces la función I es continuas para
\a\ > 0. Por consiguiente,
+ C O
dl(\a\)
d\a\
- 2 | « ! / e - ( ^ ) § . (1)
o
Además, tomando en la integral inicial x = y > 0, obtenemosv
+oo
7 ( | « | ) = | a | | e - ^ | . (2)
o
Comparando (1) y (2) llegamos a la ecuación diferencial l'(\a\) + 21{\a\) = 0, de donde,
determinamos 7(|a|) = Ce- 2 '" ' , |a| > 0. Debido a que la función 7(|a|) es continua,
debe verificarse 1(0) — lim (Ce"2'11'). Tomando en consideración que 7(0) =^ hallamos
Así pUes, en definitiva obtenemos /(|a|) — ^ - e 2'fl'. •
+oo
7 3 . I(b) = J e'ax2 eos bx dx, a > 0, b € R .
o
< Solución. Las funciones f: {b, x) i—e~ax eos bx y (b, x) >-+ —xe~ax sen bx son continuas
en la región ü ^ x < +oo, - o o < b < +oo; las integrales
+00 +00
j' e "x eos bx dx, f xe ax sen bx dx 
o 0 
según el criterio de Weierstrass convergen uniformemente respecto al parámetro b. Por
consiguiente, las funciones 7 e 7' son continuas V6 G IR y 
+oo +00
/{&) = - [ xe ax sen bxdx - ^-e ax sen bx - f e ax eos bx dx = -~-I(b) 
J 2a o 2a J 2a 
o o 
Tenemos, pues, la ecuación diferencial l'(b) + jaI(b) — 0, de donde hallamos I(b) — Ce . 
+ 00 , r— ¡—
Como 7(0) = f e~ax <te = | ̂ /f, se tiene 7(6) = \yj* , a > 0, b € R. • 
J-OO
7 4 f x2" e~xl eos 2bxdx, n € N. 
<f l Derivación e integración de Integrales Impropian Im|<> vi signo inlegraf 49
I HnftH ión. Derivando 2n veces ¡a integral tlel ejemplo anlei ior y tomando a — 1 obtenemos
l - o o
' / 2~ f í 
ÍJ7> } 
h*
€ X COS Ibxdx - ("1)m2z" y "'colara® y—e 2u
U 0
lie tlmult
+00
x2ne x co$2bxdx — (—1) 22»+1
O
+00
7 5 . Calcular la integral de Dirichlet D(¡3) senfix
x
dx a partir de la integral
+00
/K/0 sen px
o
a? cía?, a^Of p £ R. o
4 £Ji»li tetón. Ya que la función
/ : (a, a?) A x = 
+00
fui mntinua para todo a finito (a ^ 0) y O ^ x < +oo, y la integral f f(a} x) dx conformeo
til ej.25 converge uniformemente respecto a a > O, entonces la función I es continua
lenpecto a la variable a ^ O, Por ello, I(+0,/3) = D(P). 
Sea a > 0. Entonces la función tp: (p,x) e~axcosPx, x > O, ™oo < p < +oo, es
ii mi iuua y la integral
+ C Q
e " r eos /3a: rfi' ���
O
uegiin el criterio mayorante converge uniformemente respecto al parámetro p, pues
f ,r;r eos px| < e~ax. Por lo tanto, se puede derivar respecto a p. Efectuando la integración
en (1) se obtiene J¿{a,jS) = ñ^* ar > O, de donde I(a,p) = arctg £ + C(a). Como
/(„,()) = O, se tiene C(a) = O e / (a , /?) - arctg
Así pues, en definitiva tenemos
Dtf) = J(+0, /3) = lim arctg 2 = J sgn/3.
Of-++0 Oí L •
Empleando la integral de Dirichlet y la fórmula de Frullani calcular las integrales
niguientes:
+00
76. /(«,/?)
OKP cos px
X
dx, a p e
50 Capítulo 1. Integrales dcpcndicntCH del p.nJmietio
A Solución. Para a ^ e > 0, |¿¡3| ^ £ > 0 y 0 < je < +oo las funciones
/: (a,p,x) ±(e~
a**-cospx), ® 
\p2 - a, x =0, 
( sen/3ar , p 
^ P i x — u,
+00 (
son continuas. La integral dada, así como las integrales /¿(a',/3) = J f'a(a,p,x)di|
+oo o •:
I'p(a,¡3) —' f fp{a,p,x)dx convergen uniformemente (la primera según el criterio d 
o
Weierstrass y la segunda, de acuerdo con el ej. 26). Por consiguiente, las funciones I , I„, l 
son continuas y existe la diferencial
+ 00 +00
dl{a,p) = J e~ax" dx^j da + (^J dx*j dp = + | sgn pdp
o o 
(ver las integrales de Dirichlet y de Euler—Poisson). Efectuando la integración hallamos
I{ct,P) = \\P\-^+C. (1 
Como e > O es arbitrario, el resultado obtenido es válido para a > O, \ft\ > C
Demostremos que también se verifica para a ^ O, —oo < P < +oo.
Representemos la integral inicial como una suma de dos integrales
1 +0O
I(a,p) = j f{a,p,x)dx + J f(a,P, x)dx. 
o i | 
Vemos, pues, que la primera integral es una función continua de a y p para cualesquiera d 
y P- 1.a segunda integral converge uniformemente para a O y cualquier p, pues
|/(a,/3,a;)| ^ Además, la función / es continua, por lo tanto la segunda integra]
también es una función continua para a ^ O y P arbitrario. ' 
Utilizando la continuidad de la función I hallamos el valor de la constante C 
a partir de la igualdad /(0,0) = lim (§|/3| - y/ña + C) = 0.
Así pues, de (1) obtenemos definitivamente I(a, P) — ^iPi-^/wa, a ^ 0, P € H. • 
+oo
rtrj f sen ax eos px , ,, _ /7. / — dx, a,P 6 
J ® 
o
-4 Solución. Representando la integral dada en la forma
+oo +oo +00
/
sen ax eos px ^ _ 1 f sen (a -f P)x ^ 1 f sen (or - p)x ^ 
x X~2J x + 2 j x ® 
Ip Derivación e intcttracj^ d<? JjjtouittltuvJlMuuuAJlfH¿yiix'it.^ivm»J^w.ikv^.fiJ
y |i»M Iciuii) uso de la integral de Dirichlet (v. <•)- 7h) oMeneinos
loo
sen ax eos Px xf , . m , t
~ dx ^ j (»8n 1 I sBn (« ~ P)) - • 
o
nHn
7H.
|
/' sen ax sen px 
i ~ X dx, a,/? ii
f finlinlon. Empleando la fórmula de Frullani {v, ej.61) hallamos
i
" señase sen Px
+00
dx
x ¡IK eos |a - — eos ¡a + /?!#) dx 
o o
a # ±p. • 
1
2 ln
a + P 
a-p
I i»0
71). fsesen a x
x
dx, a G R. 
11
n rt 1 
4 NotueióiK Utilizando la identidad sen ax — ̂ senaa? — ^ sen3aa?r así como la integral d
I Mili-lilel (v. ej.75), tenemos
1
j FK'iv ÍVJ;
I x 
+00 +00
dx senaa;
x
dx sen 3 ax _ 3n dx — x
o o
- s g n a - ™ sgn3<* = ^ sgna
+00
HO. l(a,p) 
sen4a# — sen4 Px 
x dx
o
Nnhu íón. Transformando la diferencia sen4ora; ~ serfipx en la forma
sen4oía: - sen4px i ((1 - eos2axf - (1 - coslpxf) = í (fdpjx) - f(\a\x)), 
1
f(x) = 2cos2x — -eos 4a;,
leñemos +00
*(<*, p) 
f(\m - f(\a\x) 
x
- dx. 
o
Apliquemos ahora la fórmula de Frullani (v. ej.61). Debido a que la función / 
+00
efi continua y según el criterio de Dirichlet la integral f ^ dx ton/erge para V.4 > 0,
ntonces con la ayuda de la fórmula mencionada obtenemos I(a,P) --- | lnot_íi , ap ¿0, 
52 t 'iijiítulo I. Integrales dependienli'H del puivlim'lro
Si a — 0, /i -/ 0 o p -•- 0, a la integral inicial diverge. I'or último, si a = (3 = 
la integral existe y es igual a cero. Así pues, en definitiva tenemos
sIn|2| si a p ¿ 0 ,
si a = p = 0. • 
81.
+00ílsen(ar) dx.
< Solución. Realizando el cambio de variable x = Vt, t > 0, obtenemos la integral
Dirichlet (v. ej. 75):
+ C O + 0 0
sen(a;2)
J x 2 J t 4 
+oo
8 2 . Determinar el factor de discontinuidad de Dirichlet D(x) = ~ J sen A eos Xx' 
Va: £ R. o 
Solución. Tomando x = a = 1, fi — x en el ej, 77 obtenemos
I>{®)=|(sgn(l + a!) + s g n ( l - ® ) ) l
es decir.
' i si M < i ,
D(x) = \ si x = ±1,
0 si tel > 1 . • 
-KXP
8 3 . Calcular la integral / — v. p. / — dx. 
° r j x+b 
A Solución. Tomemos t = x + b, entonces
+00 +00
f sen at , ,. ,, f eos at , ,, I= v.p. j —-—cos(ab)dt— v.p. I —-—senaoaí = 
-00 -00 + c o
= 2cos(a6) J dt = ir cos(ai>) sgn
puesto que
+oo
/
eos at ,, f eos at ,, , f 
—•— dt = lim I — ; — dt + lim / t *™h> I t e—« i A—l-x J , .4-.+-X " — OO —A £ 
eos at ,, , f eos at ndt + lim / — - — dt — O 
H I Derivación c integración de Inlegidle* impNipliiN bajo el s igno integral 53
llnhlf lt» al carácter impar del integrando, y 
+oo +00
/
sen at ,, /"sena/ .. , f sen ai .. „ f senaí J±
—:— dt = lim / — t - dt I lim I —r — dt = 2 / — : — dt y l - l X d - i * . ^ ^ —oo —A £ (J
t^bldn ni carácter par del integrando, • 
+00
I lacicndo uso de la fórmula ^ — / e 1 / ( 1 * dj/ calcular la integral de Laplace 
I O O „ O
! i eos ax , Un) j ^ dx. 
O
| Nulin ion. Según las condiciones del problema se tiene
+00 +00
L(ar) = J dx J e y{l+xl) eos ax dy. 
o o 
—AiMn indiquemos el integrando por e , k > 0,y analicemos la integral
+00 +OÚ
L dx e~y~{k+y)x2 eos axdx. (1) 
o o 
11\ lnnción / : (x,y ) cosaas es continua en la región O ^ x < -foo,
II y < +oo; las integrales
+00 +00
j e-y-(k+vW cos axdy y J e-v-Vt+y)*2 cos ax dx
o o 
i mivergen uniformemente conforme al criterio mayorante de Weierstrass (efectivamente,
+00 +00
e » cosazf ^ coswcj ^ e~kx y las integrales f e~ydy, f e'kx dx 
< nnvergen). A partir de la estimación o o 
+00 +00 +00 +00 . 
J dx J cos az rfJ < y e~y dy j 
0 0 0 0 
e~kxl dx 
p»e deduce que la integral (1) converge. Por consiguiente, apoyándose en el teorema 2 del
I». 3.2 se puede cambiar en (1) el orden de integración:
+00 +00
<71. «A _ / a.. I L (k a) — / e'vdy / e ' w cos axdx. 
o o 
l Jlilizando la solución del ej. 73 hallamos
+00 +00
//(fc, a) = ^ f —.=e~ dy = f dt, 7 ( í ) - ¿ + 1 \
2 J \/y + k J 4í¿
(2)
54 Capitulo I. Integrales dependiente» del p<ititniftio
Debido, n que la integral f c~kx"f^ydx converge uniformemente para k ^ 0 y 
integrando es una función continua, la función L* es continua respecto a la variable k (v
el teorema 1 del p.2.5). Por tanto,
+OÚ +00
L(a) = lim