AntiDemidovich__Matemática_Superior_(1)

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MATE MATICA 
SUPERIOR
PR0BLEMA5
RESUELTOS
I. I. Liashko, 4. K. Boiarchuk Id. C. Gai, G. R Colovath 
Analisis matematico
Introduction i l analisis
Calculo diferencial para
hinciones de una variable
TEMATI/IKA
URSS
M, HJiuitiM), A. K lioup'iyK, M. f. I . Jl. I oiroim'i
Cii|M»o*nmu uocofine iio iibicmcti MaTCivurriiKc* rIV>M I. Macii> 1.
M h t c m s i t h m c c k h M i imiuiifi: iiiicjieiiHi 11 u i i u j i h 3 , npoH3uo;uiitH
L L L i t i s h k f i , A, K. Haiti relink, hi, G, Gai, G. R Golovach 
Matemitica superior Problemas resueltos. Tonio 1. Analisis matematico:
introduccidn al anjlisis y calculo diferencial para funriones de una variable
Traduction de la cuarta edition rusa (1997) 
Esta serie consta de ocho volumenes- Los cuatro primeros tomos con Jos que se abre esta obra,
cstan dedicados al estudio practico de las funriones, las sucesiones, las series, el calculo diferencial e 
integral de las f unciones de una y varias variables; en ellos se presentan soluciones completamente
detalladas de los problemas expuestos en el famoso libra de B. P. Demidovich.
En los tomos 5 y 6, aparte de una detaliada exposition de la teorfa de las funciones de variable
compleja, se resuelven escrupulosamente cerca de 400 problemas, muchos de los cuales aparecen en
la inmortal coleccion del matematico sovietico L. L Volkoviski Ademas de los temas caractensticos
de los cursos de este tipo, en esta parte de la obra se hallan cuestiones menos comunes como son la
integral de Newton—Leibniz y la derivada de Fermat—Lagrange. Se presta una especial a tend on a 
las aplicaciones conformes.
En aproximadamente 800 problemas resueltos paso a pa so, los tomos 7 y 8 abarcan todos los topicos
del curso habitual de la teona de las ecuaciones diferenciales. En cada seccion se expone el nunimo
teorico estrictamente necesario para la resoluci6n de los problemas correspondientes; muchos de
estos aparecen en la genial coleccion de A. F.Filfppov. Asimismo, en estos volumenes se analizan
toda una serie de temas bastante atlpicos para libros de esta clase (teona de la prolongation de la
solution del problems de Cauchy, ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden
no lineales, algunos metodos numericos para la resolution de ecuaciones diferenciales, aplicacion de
los criterios de existencia de los ciclos limites en el piano fasico, etc.).
En la edicion de este libro participaron;
Director
Vicedirector
Director de production
Director de sistemas
Traduction
Diseno
Enmaquetacion
Procesamiento de texto
Correction
Realization tecnica
Domingo Marin Ricoij 
Natalia Finoguienova 
Irina Makieeva 
Viktor Romanov 
Viktoria Malishenko, Konstantin Miedkov y Maria Andridnova 
Viktor Romanov y Vasili Podobied 
Natalia Beketova 
Svietlana Bondarenko y Anna Tiiirina 
Igor Korovin, Larisa Kirdidshkina y Luis Rodriguez Garcia 
Natalia Arincheva y Elena Logvinova 
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prohibidas, sin la autorizacion escrila del titular del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes,
la reproduction total o partial de esia obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografia
y el tratamiento in forma tico, y la distribution de ejemplares de ella mediante alquiler o prestamo publico.
Editorial URSS
http:// urssjsa.ac.ru
ISBN 5-88417-183-8 (Obra completa)
5^88417-184-6 (Tomo 1)
€> Editorial URSS, 1999
De la editorial Los cuatro prinieros iomos que abren la seric
"Ma tenia lica superior. Problemas resueltos", soil
la traduccion al castellano de la obra "Manual
de cons Li It a de analisis matemitico", bautizadn
por los estudiantes sovieticos con el seudotitulo
de "Anti-Demido vich".
Las dos prim eras ediriones fueron rcali-
zadas durante la existencia de la Union Sovietiea
con una tiiada total de mas dc 200 mil ejern-
plares. tin 1995, tras un gran intervalo de a us en-
da en li brer fas y bibliotecas, Editorial URSS y 
el colectivo de autores acordaron no s61o limi-
tar.se a llevar a cabo la tcrcera edition (revisada
y ampliada) del "Anti-Demidovich", sino crear
ademAs un proyecto que de algiin modo de-
sarrollase en otras rainas de ia matematica el
camino ma read o por el "Anti-Demidovich". Asf
nacio la serie "Mateniatiea superior. Problemas
resueltos", la cual asimismo incktye, por a bo-
ra, dos lomos sobre la teorfa de la variable
compleja y dos tomos sobre la feorfa de las
ecuaciones diferenciales. li.stas partes de !a serie
ban sido denominadas, respect iv a mcnte, "Anti-
Voikoviski" y "Anti-Filfppov" no solo debido a 
que muchos de los problemas que en el las se
presentan aparecen enunciados en las magnifi-
cas colecciones de problemas de L. 1. Volkoviski
y A. F. Fitfppov, sino tambicn como un sfmbolo
de reconocimiento a cstos autores.
Moscil 1999
C a p i t u l o 1 
Introduccion al analisis
§1. Elementos de la teoria de conjuntos
1.1, Sfmbolos logicos
Frecuentemente, en las matenititicas algunas exprcsiones verba tes se sustituyen
por sfmbolos. Asf, por ejcmplo, el snnbolo V sustituye a la expresion "para to do" o 
"t ualquiera que sea", y el simbolo 3, a la expresi6n "existe". Los sfmbolos V y 3 se llaman
fiumtificadores.
La notacion A B (implication) quiere deck que la validez del enunciado A 
predetermina la validez del enunciado B. Si, ademas, de la.validez del enunciado B se
deduce la validez de A, cscribimos A & B. Si A B, el enunciado B es condicion
neeesaria y sufiricntc para que se cumpla la afirmacion A. 
Si las a firmadones A y B son simullAneamente validas, so cscribe A A B. Si a I 
menos una de las a firmadones es valida, se denota A V B. 
1.2. Opcraciones con conjuntos
El concepto matemitico de conjunto de elementos se considers ra intuitive. Un
conjunto se define por una regla o un criterio con forme al cual se determina si un elemento
dado perlencce o no al conjunto.
Los conjuntos se designan mediante el sfmbolo A = {a:}, dortde x es la notacion
general para todos los elementos del conjunto A, Frecuentemente los conjuntos sueten
escribirse de la forma A — {a, fe, . . } , donde entre Ilaves van indieados sus elementos.
Usaremos las notaciones siguientes:
N, conjunto de los numeros naturales;
%, conjunto de los numeros enteros;
Q, conjunto de los numeros racionales;
R, conjunto de los numeros rcales;
C, conjunto de los numeros complejos;
Zn, conjunto de los numeros enteros no negativos.
La notacidn a C. A (o A 3 a) significa que el elemento a pertenece al conjunto A. 
La notacion a g A {o A 2 a) significa que el elemento a no pertenece a I conjunto A. 
Si cada uno de los elementos dt; un conjunto B, pertenecen a un conjunto A, se dice
que B es un subamjunto del conjunto A, y en ese caso se escribe B C A {o A D B) (fig, 1).
N6tese que VA se verifica que A C A, pues, naturalmente, todo elemento del conjunto A 
6 Gipilulo I. I i i L i o c U k c i o i i «i1 <111 i l l is is
pcTtenive a A. lil conjunto vaeio, es decir, el conjunto quo no contiene ningun elemento,
se dcnotnrd con el simbolo 0 . Cualquier con junto contiene a I conjunto vacio como uno de
sus subconjuntos*
Be. A 
Fig.l Fig. 2.
Definition 1, Si A C B A B C A, los conjuntos A y B se denominan conjuntos 
iguales, y se escribe A — B. 
Definicion 2, Sea A C J - El conjunto de elementos del conjunto J no pertenecien-
tes a A, se llama complemento del conjunto A respecto al conjunto J (fig. 2).
El complemento del conjunto A respecto al conjunto J se designa con el simbolo
CjA; tambi^n puede escribirse de forma mas simple, CA, siempre que se sepa respecto a 
que conjunto se toma el complemento. De este mo do,
C j A = ^ { x : x € J Ax £ A } ,
Si A C J y B C J , el complemento del conjunto B respecto al conjunto A se llama,
a veces, diferencia de los conjuntos A y B y se representa por A \ B (fig. 3), es decir,
A \ B ^ = { x : x G A Ax g B } .
Sean A y B subconjuntos del conjunto J. 
Definicion 3. Se denomina union de los conjuntos A y B al conjunto (fig. 4)
A U B = { x : x e A V x £B } .
Fig. 3.
AuB AnB
Fig. 4. Fig. 5.
AAB
Fig. 6.
Por analogia, si Ajf j — nt son subconjuntos del conjunto J , la union de los
mismos es el conjunto
n
( I Aj - { x : X e Al V X e A2 V . . . V as G A n } .
j-1
Definicion 4, Se denomina intersecciim de los subconjuntos A y B al conjunto
fj 1. IdemontoM do la leorfa <lc (onjuulnr. 7
11
Por analogfa, nn\liante el simbolo f ) 4/ se designs! Li intersecdon do los mi boon
i .1
juntos Aj C J , j — 1,11, es decir, el conjunto
it
Aj = {a;: x G Ai A x £ A-> A . . . A a; 6 
j=i
Si cada elemento / t f M s e pone en correspond enda con un cierto conjunto Afl, se
dice que esta definida una familia de conjuntos {Ajt}, ji € M. En este caso, el conjunto
(J Ap = {todos los x tales que x t A(1 al menos para algdn [i € M } se denomina unidn 
K M 
de la familiu de conjuntos {A^}, ft <?_ M; el conjunto — [x : x F Afl V/j. Q M } ye
llama intersection de esta familia.
Definicion 5. Se denomina diferencia simehiai de dos conjuntos A y B al conjunto
determinado por la uni6n de Lis diferencias A\B y B \ A (fig. 6).
La diferencia simetrica se denola con el simbolo A A B. 
Definicl6n 6. Dos elementos a y ft se denominan par ordenado, si se indica cuSI
de dichos elementos es el primero y cual es el segundo, y, ademas, se verifica que
{{a, b) = (c, (J)) (a ~cAb~ d). 
Un par ordenado de elementos a y b se denota con el simbolo (a, 6).
De modo analogo se define un sistema ordenado de n elementos a.\, «2) • • •, a„, 
el cual se designa con el sfinbolo {(iiT<i2,..., a,,)- Los elementos «i, a j , . . . , an se llaman
coordenadas del sistema ordenado (flj, a2,..., a,J,
Definicion 7. El conjunto de todos los pares ordenados posibles (a, 6), donde
a G A, b EE B, se denomina producto de los conjuntos A y B y se designa con el simbolo
AxB.
Analogamente, mediante el simbolo A\ X A2 X • • • X Atl se designa el producto dc
los conjuntos Aj C J , j = 1. n, es dedr, el conjunto dc todos los sistemas ordenados
posibles (oi, a ? , . . . , an), donde a j £ Aj, j = 1, n. 
1.3. Algebra tie Boole
Sean A, B y D subconjuntos arbitrarios del conjunto J . De esta forma, de
las definiciones de union, intersection y complemenlo se deducen iumediatamente las
afirmaciones siguientes:
1) A u B C J , A n B C J {caracter interno de las operationes de union e 
interseccion);
2) A U B — B U A, A n B = B n A (conmutatividad de las operaciones de union
e interseccion);
3) A U (B U D) = (A U B) U D, A n (B H D) - (A n B) n D (asociatividad do las
operaciones de union c interseccion);
4) A U (B n D) = {A U B) n (A U D) (distributividad de la operation de union
respecto a la operation de interseccion);
A ft {B U D) = (A D B) U (A n D) (distributividad de la operation de
interseccion respecto a la operation de nmon);
5) ADA — A n >4 - A; 
6} 0 U S = S ) # ( A n £ # A ) ;
7) A U 0 = A, A n J - A, A n 0 = 0, A U J = J )
8) A U CA ~ J , An QA — 0. 
K C'iipftuJo I. (ntroduccion al aruilisis
Si para los elementos de un conjunto a = {A, B} C , . * . } estan definidas las
operaciones de union U y do intersection n, las cuales verifican las relaciones l)-8), la
lema (cr, U, n) se denomina algebra de Boole. De este modo, si cr es una familia de todas
las partes del conjunto J , entonces U, Pi) es un algebra de Boole.
1.4. Principio de dualidad
Para cualquier par de conjuntos Ay B del conjunto J se verifican las igualdades
C (A U B) = CA fl CBt C(Af)B) = CA U CB. (1)
Las propiedades expresadas por las igualdades (1) se denominan principio de duali-
dad. Verbalmente dichas igualdades pueden enunciarse del modo siguiente: el complemento 
de la union de los conjuntos es igual a la interseccion de sus complements, y el complemen-
to de la interseccion de los conjuntos es igual a la unidn de sus complementos. El principio
de dualidad se extiende sin dificultad alguna a un numero arbitrario de subconjuntos A^;
en este caso se escribe
/t fi $ p 
Es decir, al intercambiar entre si el orden en que se escribe el simbolo de complemento C y el
simbolo U (o bien el fl), este ultimo se transforms en el fl (en el U, correspondientemente),
1.5* Algebra de conjuntos
Sea J un conjunto y P ( J ) , el sistema de todos los subconjuntos del conjunto J .
Definicion 1. Una familia no vacfa R C P{J) en donde la union, interseccion y 
diferencia de conjuntos son operaciones internas, se denomina anillo de conjuntos. 
Definicion 2* Un conjunto E se llama unidad de la familia de conjuntos £ si E £ S 
y VA G 2 se verifica la igualdad A n E ~ A. 
Definicion 3. Un anillo de conjuntos que contiene a la unidad como uno de sus
elementos se denomina algebra de conjuntos* 
Definicion 4. Una familia de conjuntos S C P{J) se denomina semianillo si
contiene al conjunto vacio y V4 G S y VAi C A existen conjuntos A2, .., An G S tales
que
A = At U A2\J . •. U 4
donde el simbolo U designa la union de conjuntos disjuntos.
1* Demostrar la validez de las afirmaciones l)-8) del p. 1.3.
Solucion. 1) Conforme a la definicion 3 del p. 1.2 se tiene
AUB ^{xe J :x € AV x € B}, 
y, por consiguiente, de la inclusion x G A U B se deduce que x G J , es decir, A U B C J .
Analogamente, segun la definicion 4 del p, 1.2
Af)B = {x € J :x e AAx £ B}, 
por lo cual de la inclusion x G A fl B resulta la inclusion A fl B C 3. 
2) Dado que la afirmacion x Q Av x € B e s estrictamente equivalente a la afirma-
cion x £ B\f x G A, resulta
A\jB = {xeJ:xeAVx£B} = {xeJ:x€BVx€A}=BuA. 
La seeunda imialdad se demupstra de modn analnpn.
fi i. ElomcntiK) tie l.i teorfn de mnjuiKnu
3) En virhid de las propiedades del sfmbolo fftgicti v, se lieru*
A l J {B U D) = fit G J : x G A V x G {B U D)} .|g £ J : m fc A V (a 6 BV x G D ) } -
{.r £ J : (x € 4 V at G If) V x £ D) = 6 J : a; 6 ( 4 U fl) V ar £ D> = (.A U B) U O. 
I a sejjunda igualdad de 3) se dcmuestra de modo ana logo.
4) Tenemos que
A U {B D D) = {x € J : x £ A V X £ (B n D)} = 
{.r £ J : x £ A V (a; 6 B A x £ £>)> = {a; £ J : (as G A V a; G B) A {a £ A V x £ £>)} ~ 
= { « € J : (x € U B) A (a: 6 >1 U D)} = {A U B) fl [A U D). 
I ,a segunda igualdad se dcmuestra de modo analogo.
5) Sea x £ A U A, entonces ai G A A x G A, es decir, x € A y, por tanto, se verifica
la inclusion A U A C A. La inclusion invcrsa A C A U A se deduce inmediatamente de In
definition dc union. De las dos ultimas inclusiones se obticne la igualdad A U A = A. 
La igualdad A n A = A se dcmuestra dc modo analogo.
6) Supongamns Ucita la igualdad A n B = A. Entonces
(A n B = A) m (A C A n fl) s> (A C fl). 
IJtilizando la inclusion obtenida hallamos que
A U B ^ {X e J : x £ AV x € B} C {x € J : x <E B V x £ B} = B, 
y, como A U fl J B, vemos que A U B = B, Dc este modo,
(A n B - A) => (AU B = B). (I) 
Sea ahora A U B = B. Oil este caso son v,ilidas las implicaciones
{A U fl = fl) => (A U B C B) ^ (A C B). 
limpleando la inclusion A c fl obtenemos
A n B = € J : x e A Ax e 3 { « G 3 : X G A A x = A. 
Dado que tambien es v<5Iida la inclusion inversa A D fl C A, entonces A fl B = A y, por
consiguiente,
(A U B — B) (A n B = A). (2)
De (1) y (2) se deduce que (A n B - A) (A U B = B). 
7) Si x £ A IJ 0 , se tiene que a.1 € A V x £ 0 . Dcbido a que el conjunto 0 no
contiene ningun elemento, dc x € A U 0 sc deduce que a; G A, es decir, A U 0 C A, li>
cual conjuntamente con la inclusion A u 0 J A es equivalence a la igualdad A u 0 ~ A. 
De0CAD0C0se deduce directamente la igualdad Afl0 = 0. 
Dado que A C 3, Lencmos A n J =-- {x € J : x £ A A x £ J ) D (at £ J : 
x G A A x C A) = A, lo cual junto con la inclusion A n J C A conduce a la igualdad
AC\ J — A. 
Finalmente, a partir de las inclusiones J C A U J C J se deduce directamente la
igualdad A U J = J .
8) De acuerdo con la propicdad 1)
A 11 C A f .1 M
10 CiipiLulo I. Iti(ruducti6n a I iinalisis
Sea x G J ; entonces, si x G A tendremos que x E A U CA; por otra parte, si x A, 
resulta que x £ CA yf do nuevo, x G A U CA. De este modo, de x & J se deduce que
x G A u CA, es decir,
J C A U CA. (4)
De (3) y (4) se obtiene la igualdad
A U CA = J . (5)
Para demostrarla igualdad A fl CA = 0 probemos que el conjunto A fl CA no
contiene ningiin eleme.nto, En e fee to, de acuerdo con la igualdad (5) cualquier elemento
del conjunto J pertenece bien a A bien a CA, Si x G At entonces x CA yr por tanto,
x g A D CA. Por otro lado, si x G CA, se tiene que x A (pues si fuera x G At resultarfa
que x £ CA), y, de nuevo, x g? A Pi CA. Dado que el conjunto A n CA no contiene ningun
elemento, este conjunto es vacio, o sea, A fl CA = 0. • 
• • • • • • • 
2* Demostrar el principio de dualidad:
Cf lU^B) - CA n CB, (1)
C (A n B) = CA U CB (2)
(veanse las igualdades (1) del p. 1.4),
M Solution. Demostremos la igualdad (1) (la (2) se demuestra analogamente).
Sea x G C (A U B), entonces de acuerdo con la igualdad (5) del problema anterior,
x S? A U B, es decir, x g A Ax $ B, de donde x G CA Ax G CB, y, por tanto, x G CA (1CJ3.
De este modo>
C (A U B) C CA n CB. (3)
Supongamos ahora que x G C4 fl CB. Entonces x £CAAx G CB, es decir, x $ A Ax $ B f
y, consecuentemente, xgAUB yx EC (A 1) B). Por lo tanto,
C ( i U J 3 ) c C A n C J B . (4)
De las inclusiones (3) y (4) se deduce la igualdad (1). • 
• •• • •• • •• •_U
3 . Demostrar las igualdades:
AU(AnB) = An{A\jB) = A. (1) 
^ Solution. Utilizando las propiedades 4) y 5) del problema 1 obtenemos la primera de las
igualdades (1):
A U (A H B) = (A U A) n {A U B) = A n (A U B). 
Queda por demostrar que An (A I) B) — A. Si & G A fl (A U B), resulta x £ A Ax £ 
A U B y, por consiguiente,
An(AUB)C A. (2)
Pero si x G A, tendremos x G A U B, y, por tanto, a ; G i O ( i U B), es decir,
AcAn(AU B). (3)
De las inclusiones (2) y (3) se deduce la segunda de las igualdades (1).
4 . Demostrar las igualdades:
a) C C j I = A; b) CJ = 0; c) C 0 = J .
S I. llomcnlo* ili' Id ti'fllf<i ih< ruiffimliM
Solut ion. a) Si x t' C.'OI, rcMilhi ijiir it) / I'A, pin' lit ciiitl ;r < A y es Bdta la inclusion
(('/) ( A. Vioeversa, si a! ( A, I'titttfuvu J' </ (VI, y, pur l.mlo, x { CCji y <a> v;1lida la
inclu skill A C C C j I . I3e law iiulusio 10* ik-inoHlnntii.H sc deduce la igualdad a).
L>) El conjunto CJ es vado, pneslu qui: la negation <? CJ es licitn V® € J.
c) Si x G J , se ticnc x 0 , y, por ;t; € C 0, por lo cual J C C 0 . Dado que
jhi-mpro ticnc lugar C 0 C 3, de las ultimas dos inclusiones se deduce la igualdad e). • 
5 . Demostrar la validez de la inclusion
(A\B)C(A\D)n(D\B).
Solution. Sea x £ (A \ B), entonces x £ A A x g B. Si, ademas, x £ D, resulta quo
.»• < (,'1 \ D) y, por consiguiente, x € (A \ D) U (D \ B). Si, por lo contrario, x G D, 
iiilunces, Co mo x g B, vemos que x £ (D \ B), y, por eso, x £ (A \ D) U (D \ B). De este
inoili), tanto para x £ D como para X G D de la con die ion x Q (A \ B) se deduce que
.<• i {/I \ D) U (D \ B), lo que es equivalents a la inclusion que se demuestra. • 
Definir los conjuntos A U B, A 0 B, A \ B, B \ A, A A B si;
a) = 
b) A ^ {x : x2 - 3x < 0}, B = {x : x2 - 4x + 3 > 0};
c) A = {x : |x - l j < 2}, B = {x : jx - 1| + [a: - 2| < 3}.
Nohieidn. Haciendo uso de las definiciones de union, interseccion, diferenria y diferencia
uinietrica de conjuntos hailamos
a) A U B = { x : (0 < x < 2) V (1 ^ x < 3}} = { x : 0 < x ^ 3} ; 
J l n 5 = { i : ( 0 < a ; < 2 } A ( H a ; q ) ) = { s : U i < 2 } ;
A \ B = {a; : (0 < X < 2) A x [1,3]} = {x : 0 < a: < 1};
B \ A = {x : (1 < x ^ 3) A x <£ JO, 2[} s= { x : 2 < x < 3>;
A A B = {x : (A \ B) U (B \ 4 ) } = {a; : (0 < x < 1) V (2 < x < 3)}.
b) Dado que x2 -- 3x < 0 para 0 < x < 3, lendremos A — ( i ; 0 < a; < 3}. f,a
desiguddad x2 — 4x + 3 p 0 se verifica para —00 < a; S 1 y 3 < i < +oo, Designemos
I) ~ {a; : - o o < x < 1}, E = fx : 3 < x < -foe}, entonces B = D U fl. Empleando las
j)iopiedades de las operaciones con conjuntos obtenemos
AUB = AU(DUE)=AUDUE — {x: (Q<x< 3) V 
V ( - 0 0 < a ? < l ) V ( 3 < » < +oo)} = {x : - o o < x < -too};
A n & = A n ( d u iE) - (A n jD) u {A n - { » : (0 < x 4X) v'w e 0} =>
= {x:0<x^ 1}; 
A = A\(P U^ = {x ! jE ^ A A (» % D Vx £&)} = 
= {x : {a; € A A X € D) V (x G A A X £ ft1)) = ( 4 \ D ) U U \ = 
= {x:l<x<3}; 
B\A = (DuE)\A = {x:(x£ DVx£E)Ax<?' A} = 
= {x : (x G D A x g A) V [x € E A x £ J ) } = {D \ A) U (E \ A) = 
= {x : ( - o o < x < 0 ) v ( 3 ^ x < foo)};
AAB = AA{DUE)~(A\(D tj E)) U ((D UE)\A) = 
= [x : (1 < x < 3) V ( - c o < x < 0 ) V ( 3 ^ x < +oo)} = 
= (x : (—oo < x sZ. 0W(1 < x < +ooH.
\2 C'apitulo I. InlmduiTtrtii a I anrilisis
Fig. 7. Fig. 8. Fig. 9. 
c) De forma mas explfcita, A = {% : - 2 < x — 1 < 2} = {x : - 1 < x < 3}, Resol-
viendo la desigualdad \x — 1| -f \x — 2| < 3 hallamos la expresion explfcita tambien para e
conjunto B = {x : 0 < x < 3}. De este modo,
A U B = {x : ( - 1 < x < 3) V (0 < x < 3)} - {x : - 1 < x < 3};
A fl B = {x : ( - 1 < X < 3) A (0 < x < 3)} = {x : 0 < x < 3};
A \ B = {x ; ( - 1 < x < 3) A x g ] 0,3 [} = {x : - 1 < x ^ 0};
B\A = {x\(Q<x <3)Axg ]—1,3 [} = 0; 
AAB = (A\B)U{B\A)^A\B = {x:-l<x^O}. • 
••••• •!—"r- n—•—i n 
7 . Dados los conjuntos A = {(a;, y): |ar| -f < 6}
(fig. 7), B = {(z,y) : y^Tf < 5} (fig. 8), D = 
{(a?,y) : max{|x|, |y|} < 6} (fig. 9). Demostrar que
AC BCD. 
Vi
3
M Solution, Sea (x,y) € A, entonces
pues,
x + \y\ < 6. Asf
1
B
\fx2 + y2 ^ ^x2 + 2\x\ \y\ +y2 = \x\ + \y\ < 6, 
es decir, y) € Bf lo que a su vez implica el que se
verifique la desigualdad
0
Fig. 10.
max{|ar|, |y|} < \Jx2 + y2 < tf, 
y, por consiguiente, la inclusion (a?, y) G D. Por lo tanto, A C B G D. • 
• • ii• ••i• — P W ^ n " _ 
{y - 1 ^ y ^ 3}- Representar en el piano xOy el
A x B 
= 4,
8 , Sea A = {x : 2 ^ x < 4}, B = 
conjunto de puntos A x B. 
Solucion. Dado que A x B — {(a;, y) : (2 ^ # ^ 4) A (1 ^ 2 / ^ 3 ) } , entonces A 
constituye el conjunto de los puntos del rectangulo limitado por las rectas x — 2, x 
y ~\ f y —Z (fig. 10). • 
9 , Demostrar que una familia R en donde la union y la diferencia estan definidas
como operaciones internas, es un anillo.
Solucion. Sean Ay B conjuntos arbitrarios de la familia R. Dado que AfiJ3^J 4\( J 4\ J B)
y A C It,, A \ B C R/ entonces A n B C R> Por consiguiente, las operaciones de union,
iiUeiHeci-inn y diferencia son operaciones internas en R, o sea, la familia R es un anillo. • 
•• • — j j -
ti I. tileninitiM ile Id tMirln iU» riittJmiliiH
10 . Demostrnr que una ImiiDia It — {ir, t*otitj>iJt*Mfn por nil wuijurito no vacfo « y el
conjunto vacfo 0 , forma un iinllln. j.lto I'nte (inilli) un illgebra?
Solution, La union a U 0 a y las difi'ivutiim <x\0 — a, 0 \a =3 0 son tambien
cle men los de la familia R. l-s decir, la union y la diferencia son operaciones interims en fl, 
o sen, segun el ejemplo anterior, es un anillo. Dado que el elemento a £ R contiene a todos
Ins demas conjuntos de la familia It, a es la unidad de la familia, y R, un algebra.
1 1 . Sea un conjunto J = {« . fl, 7 } que se compone de tres elementos, y sea P(J) 
la familia de todos Jos subconjuntos del conjunto J . A partir de los elementos del
conjunto P{3) describir
a) todas las algebras que puedan construirse, indicar sus unidades;
b) todos los anillos que puedan construirse,
c) todos los semianillos que puedan construirse y que no sean anillos.
Solucion. a) Las algebras mas simples son: la familia {0}, compuesta s6lo por el conjunto
viH'fo; tres Algebras
{ { « } ( 0 } t 0 } , {{7h0}, 
eompuestas de dos elementos uno de los cuales ei conjunto vacfo y el otro, la imidad: { « } ,
(/fh {7 } , respeclivamente (v. ej. anterior); seis algebras
{ { « , fih { a } , i f lh £5 } , { { « , 7} , { « } , {7} , 0 } ,
{ W j J . W . W ^ l {{<*,()},0}, { { a , 7 } ( 0 } , {{/?, 7 1 , 0 } ,
euyas unidades son, respectivamente, los conjuntos {of, fl], {a, 7 } , {(}, 7} , {a , fl}, {a , 7 } ,
7} . Es fadl ver que en cualquiera de estas famllias la union y 5a diferencia son
operaciones internas; cuatro Algebras
{ J , {«>P), {7} , 0 }, { j , {«• 7 > » i p } > 0 }- { j , 7 } , { « } , 0 } , { J , 0 }, 
la unidad de las cuales es el conjunto J . Finalmente, la union de todas las Algebras
enumeradas
{ J , {«,/?>, {a , 7 } , { £ , 7 } , { a } , {/J}, {7} ,0 } 
tambien es un algebra cuya unidad es 3 • 
b) Fvidentemente, todas las algebras consideradas en el apartado a) son anillos.
Otros anillos 110 existen.
c) Todo anillo es un semianillo. Kfectivamente, la condition de que A y Ai C A 
pertenezcan a un anillo R implica que
A=A\UA2, donde = ii \ -4i C -R
A demas, en esle caso, podenios construir ejemplos de semianillos que no son anillos. Por
ejemplo, las familias
{{«}, {Ph 0}. {{«>, fr>> 0 } , {{/n> {7)1 0 }, 
{ { « , / ? } , { { « , 7 i A P } , 0}i { { A 7 > , { « } , 0 } .
Efectivamentc, en cada ima de las seis familias la interseccion de dos elementos
cualesquiera de la familia pertenece a dicha familia. Cada elemento no vacfo de la familia
tiene como sub conjunto solo el propio conjunto, dc donde, por ejemplo, para la familia
{(Pi 7} . 0 } sc tiene
{P, 7 } = iP, 7 } u 0 - { 0 , 7 } , {a} = { « } U 0 = {a } ,
14 QipiLuk) J. Introduction a I an a lis is
es dt'rir, so vorrHra el segundo requisilo do Jo definition de semianillo. Tod a familia que
contenga {/*}, {()}, {7} , 0 y que no coincida con P{J) constituye un semianillo
{ { « , £ } , { « } , { W , ( 7 ) , 0 }i { f a l h W A P h i l } , ® } , etc.
Por ejemplo, mostremos que la familia S — {{a, j3}, {a}^ {/?}, {7} , 0 } es un semianillo.
En efecto, la interseccion de dos elementos cualesquiera de la familia S vuelve a ser un
elemento de S. Para todo elemento de S es valida la descomposicion en conjuntos disjuntos
{a, (3} - { a } U {/?}, {a} = { a } , {/?} = {/?}, { 7 } — { 7 } . Asf pues, la familia S es un
semianillo. • 
1 2 .
Supongamos que tres numeros a, b y c satisfacen las desigualdades a < c < b, 
Demostrar que la familia
S = {[a, 6], [a, cj, [c, 6], [a, c[, [c, cI ]c, ft], 0 } ,
compuesta de los segmentos y semisegmentos formados por los puntos a, b y c es un
semianillo, mas no un anillo.
^ Solution. La intersection de dos elementos cualesquiera de S es tambien un elemento de
familia, es decir, la interseccion es una operation interna en S, Todo elemento de S admite
una descomposicion en partes disjuntas pertenecientes a 5 . Por ejemplo,
[a, b] = [a, c] U ]c, 6] = [a, c[ U [c, c] U ]c, 6] = [a, LI [c, [a, c] — [a, c[ U [c> c], etc.
La familia £ no constituye un anillo, pues la union no es una operation interna en S, Por
ejemplo, [a, c[ U ]c, fe] no pertenece a • 
• ^ • ••• I • •• 1 • 
1 3 . Demostrar que
(Ar\B)x(Dr\E) = (AxD)n(Bx E). (1) 
< Solution, Sea (a?, y) e (A D B) x (D C\ E), entonces xeAOB eyeDnE, lo que es
equivalente a que x £ A A x £ B eytDAyEE. Dado que x£AAy£D,se tiene
y) G A x D. Analogamente, d e x G ^ A y G J ^ s e deduce (xf y) G B x E* De este modo,
{.x, ?/) E ( 4 x D) n x £ ) y 
( i n B ) x ( D n ^ ) c ( i x f l ) n ( 5 x (2)
Supongamos ahora que (x7 y) G ((A x D) n (B x £?)). En este caso, (x, j/) G 
( A X D ) A (a?, y) 6 (ff x 2?) y, por consiguiente, x E A Ay E D y x E B Ay E E. Por tanto,
xEAr\Bey£DnE,es decir, (ar, y) G ((4 fl B) x (Z) fl £?)) y se verifica la inclusion
(A x I ? ) n t B X E) C n B) X (D n E). (3 )
De las inclusiones (2) y (3) se obtiene (1).
Ejercicios
1. Demostrar las igualdades:
a) = b ) = 
(veanse las igualdades (2) del p. 1.4), donde /i pertenece a un conjunto arbitrario.
2, Sean A C B y D conjuntos arbitrarios. Demostrar la valhlez de las inclusiones:
a) A n D C B n D; b) A U D C B U D. 
J} I. liliHBeiitoa dl" la li'iirtu dr luhjintluu If)
I Jomoslr.ir que si <1 f It A A (. I), entoiKVM A < II11 If. 
4. ! Jcmtwtrar i[m? si A i I) a // L I), uiiIoihvh /li J It.< It 
IXnTsoslnir h validez dc las Iguaidsdcs:
a) A AS ~{AuB)\(A n B); b) A u H (A A H)A(4nW); i1) A\B=*AA{A n «). 
it. I >cmostrar que para b diferencia simdrica se vrriiVa Ja inclusion
A&BC ({AAD)U(BAD)). 
7. Demostrar la validez de las indusiones;
.1) Mi U Aj)\ (», U Bi) C {A, \ Bi) U {Ai \ B2);
l>) (CA, U C4t) A (CBt UCB;) C C((CA, ACfl,)n(CA2 ACB2)),
donde Ai, Aj, Bt, B: son subconjuntos del conjunto J .
II. I temestrar: 
:>) (A, U An) A(JJ] UBi) C (A- AB,)U(yli AB2);
1.) (A, n A.) A (i/j ntf.) C (>1[ A « i ) n ( 4 ; A B?);
0 (/li \ A7) A (B.r \ B2) C (Aj A B,) \ (A, A B2),
donde A], A2, B\, Bt son subconjuntos del conjunto J ,
•I. I kterminar los conjuntos A U B, A ft B, A\B, S \ A , A A if si:
,i) A = {x:-4&&.M 1J( B 0 <k < 4);
I.) A = (x : ar1 -x-2> 0}, B = {x : bx - x2 ^0}; 
e) A == {x : sen wx - 0), B = : cos " = 0}>
lit. I )e terminal los conjuntos A U B, A n B, A \ B, B \ A, A A B sir
.1) A = {(*, y) B = {(x, y): \zs| +|y|<l } ;
It) A = {(x, y) - mSx(|at|, M) < l } , f l = {(at, y): js| + M ^ I>J
e) A = {(s, y): W + |y| < 2} , B = { (at, y): y ^ - 2)' + (y-2f<2}, 
d) A~ \(x,y)-. y/&Tt?£2}r B= {(a,y):inax(ljt + l|>|ff + l|) ^ 2} .
I I. Determinar el conjunto A x B si:
a) A = { * : - 2 < ; c < l > , S = { y : - 3 ^ if < 1};
b) A = {as: 0 ^ w ^ 1}, B = D x B, donde D « ft : 0 ^ y £ 2 } , K = [z : 0 < z ^ 3};
c) A — {a: : -fX> < x < +oq}, B ~ (y; sen Try = 0};
d) >1 = {t : sen ^^ = 0}, B = {y : -oo < y < -t-oo),
12. Sea J un conjunto compuesto de cuatro elementos n, fl, 7, 6, y la fanriiia de todos los
subconjunlos del conjunto J , incluido tambien el conjunto vacio.
a) Constrnir ejemplos de algebras cuyas unidades scan, iiespectivaiTieiite, los conjuntos {ctj,
b) Cotisitruir un ejtmplo de anillo que contenga como elementos a los conjuntos /3,7, (5),
{n}, {,3}, {7}, {&). iEs este anillo uli algebra?
c) Coastruir un ejemplo de scmianiJlo (que no sea anitlo) que contenga al conjunto (a, /?, 7,6} .
13. Dcmoslrar que el conjunto de todos los segmentos, sentisegmentos e intervales eti una recta
numerica cons tit uyf un semiartillo, pero no es un anillo.
14. Demostrar que la famifia de todos los rectangulos de la forma
II- {(2,y):«<*<&, C<y^d], 
donde u, b, c y d son numeros rsales a < b, c < d, constituye un semianillo, pero no es un
anillo.
15. ^Clinics son los conjuntos que se deben aftadir a l.i familia considerada en el problema 14 para
que feta se convierta en un anillo?
ifi. Demostrar:
a) ( , 1 U 1 ? ) X D = ( / I X J ) 1 U ( U X D); b) A x (B U D) - (A x B) U (A X D). 
L7. Demostrnr:
a) (A\B)x D-{Ax D)\(Bx D); b) i x ( B \ f l ) = ( J x B ] ^ J ( x D). 
18. Demostrar: (AuB)x (D U E) = (A x D) U (B X D) U (A x E) U (B x E). 
L'NiVcRStEM©
AUl'OHCMA. DE
B;:<!.iC'- ca
OfNr.-tAS
16 Lnpflulo I, lulioihittiriu al an^JLsis
§2. Funciones. Aplicaciones
2.1. Funciones
Definicion. Se denomina aplicacion de un conjunto E en un conjunto F (o funcion 
definida en E y de valores en J1) a una regla o ley / que a todo elemento x G E le pone
en correspondencia un determinado elemento f[x) G F* 
El elemento x G E se llama variable independiente o argumento de la funcion /, el
elemento f(x) G F se llama valor de la funcion f o imagen; el elemento x G E tambien se
denomina preimagen del elemento f{x) G F. 
Una aplicacion (funcion) suele designarse con la letra / o con el simbolo f : E -+ F, 
que muestra que / aplica el conjunto E en F. Tambien se emplea la notacion x f(x) que
indica que al elemento x le corresponde el elemento f(x). En la mayoria de los casos las
funciones se definen mediante igualdades, las cuales describen la ley de correspondencia.
Por ejemplo, se puede decir que "la funcion / esta definida mediante la igualdad
f(x) = s/x1 + x G [«) b]'r. Si "y" es la notacion general de los elementos del conjunto F r
o sea, F = { y } , la aplicacion f : E F se escribe en forma de la igualdad y = f(x), y 
suele decirse que la aplicacion esta dada explicitamente.
2.2« Imagen y preimagen de un conjunto para una aplicacion dada
Sean una aplicacion f : E F y un conjunto DC E. 
Definicion 1. Sea un conjunto de elementos de F cada uno de los cuales es la
imagen mediante la aplicacion / de por lo menos un elemento de D. Este conjunto se
denomina imagen del conjunto D y se designa mediante f(D). 
Evidentemente,
f(D)^{f(x)eF.xED}.
Sea dado, ahora, un conjunto Y C JP.
Definicion 2. Un conjunto de elementos x G Ef tales que f(x) G Y, se llama
preimagen del conjunto Y para la aplicacion / y se designa mediante f ^(Y), 
Es obvio que
f"}(Y)~ {x £ E : f(x) G Y"}.
Si y G F, entonces f~l(y) = {x G E : f(x) = y}. Si para cada y G F el conjunto f^l(y)
se compone como maximo de un solo elemento x G E, entonces / se denomina aplicacion 
biumvoca de E en F. Se puede definir tambien una aplicacion biunivoca / del conjunto E 
sobre F. 
Definicion 3, Una aplicacion f : E F se denomina:
aplicacion inyectiva (inyeccion, o aplicacion biumvoca del conjunto E en F)f si
{x ^ a?') (/(x) ^ /(#')), o bien si Vy G F la ecuacion f(x) — y tiene no mas de una
solution;
aplicacion sobreyectiva (sobreyeccion, o aplicacion del conjunto E sobre F), si
f(E) — F, o bien si V?/ G F la ecuacion f(x) — y tiene al menos una solution;
biyectiva (biyeccidnf o apIi acion biunivoca del conjurio E sobre F)f si la aplicacion
es inyectiva y sobreyectiva, o bien si Vy G F la ecuacion f(x) = y tiene solution linica,
2.3. Superposici6n de aplicaciones.
Aplicaciones inversa, param6trica e implicita
Definici6n 1. Sean / ; E —> F y <j : —> G. Dado que f(E) C F, a todo element
f(x) G f(E) C F La aplicuci6n g asigna un elemento determinado g(f(x)) G G,
De este mo do, por medio de la regla go f cada x G E se pone en correspondencia
con un elemento (*/ o /)(:*;) y(f(x)) G G. Asi pues, queda definida una nueva aplicacion
fj L I'll lie ill lltfl, Apllritfliiiii'h 17
(n una nueva funcion) qui; hc denomina annjttmicWftt, o him tiu^frpoMat'm de tipliaiiiomw, 
^Iitoii aplicacuiti a>nii>iii'xtn, 
Definicion 2. Sea / J E -+ F una aplicaeirtn biyccfrva y F = {y}. fur ser / 
IriytTtiva, a todo y € F le corresponde una sola imagen x, que designarcmos / '(;;),
lal que f(x) — y. fie define de este modo la aplicacion / _ l : F —* E que so denomina
iijiliaicum inversa de la aplicacion f , o funcion inversa de la funcidn /.
livid en temente, la aplicacion / es inversa a la aplicacion J ~ l . Por eso, las apliea-
i ioues / y / 1 se denominan aplicaciones reciprocamentc inversus. Para dichas aplicaciones
»ie verifican las relaciones:
nr\y)) ^ V s e f ; r\j(x)) = % Vz e E. 
Definicion 3. Sean >p : Q X, $: Si -* Y, y supongamos que al menos una de
cNlas .ip lien clones, por ejemplo, es biyectiva. En este caso existe la aplicacion inversa
V 1 : X —* Q, y, por tanto, ipoip 1 : X —* Y. 
Se dice que una aplicacion definida de este modo esta dada parametricamenlo
mediante Ins aplicaciones ip; fl —»X, i>: SI —• Y; ademds, la variable correspond iente a U 
iie llama yanunetro. 
Definicion 4. Supongamos que en un conjunto G = X X Y esta definida una
iiplicacion T : G — A , donde cl conjunto A contiene al elemento neutro. Adcmrts,
mipongamos que existen conjuntos E C X, D C Y tales que \fx 6 E fijo, la ecuacion
(/) = 0 tiene una solucion linica y & B. En este caso, en el conjunto E se puede definir
(iii.i aplicacion /;£?—» B que a todo x G E le ponga en correspondencia aquel valor
II < B que, para el x dado, sea la solucion de la ecuacion Fix, y) = 0,
En lo que respecta a la aplicacion y ~ fix), x € E, y £ B, que acabamos de definir,
M- dice que la mismo vicne dada impUcilamente. por medio de la ecuaci6n F(z, y) = 0.
Definici6n 5. Una aplicacifin F se denomina prolongation de la apli-
cacion (j : D —* F, y g se llama restriction de la aplicacion / si E D D y f(x) — g(x)\fx £ D. 
La rcstriccion de la aplicacion / : E —+ F al conjunto D C E sc designa a veces con
el simbolo f\o.
Definicion 6. Se denomina grdfica de la aplicacion / : E —» F al conjunto
G={{x, f(x)):x£E, f(x)£F}. 
Eviden temente, G C E X F. 
14. Determinemos la aplicacion / : R - * [ - 1 , 1 ] mediante la expresion f(x) = sen x. 
Hallar: a) /(£)}; b) / ( f ) ; 0 / ( § ) ; d) / ( f ) ; e > / ( [ - f , § ] ) ;
0 / { ] - | | [ ) ; s ) / ( [ o , f ] ) ; h) /CO0,2.]); i) f%0); j) r x ( | ) | k ) r ' ( f ) ;
I) r'd-hU); n) / - 1 ( M , 1 [ ) ; ft) / - ' ( [ o , ! ] ) .
Sol ucion. Haciendo uso de las tab las de funciones trigonometricas o bien de la calculadora
hallamos
a) /(0) = sen 0 = 0; b) / ( f ) = sen f = 
c) / ( £ ) = s e n i - f ; d ) / ( f ) = « e n | - f .
e) Tenemos / ( - - j ) = " t r / ( ' ) — U n6tese que cuando el argumento del seno
adopta valores en el irtfervalo [~"f ) f ] * I118 valorem del seno varian en [—!,+'!]. Por
consiguiente, f ( [ - | j |]) = {sen x : —^ <i |} — [—1,1]. Anaiogamente hallamos
1H ('anfliilo I. Introducdrtn al au<ili»is
f) / ( j - §, § [) ••= {sen ® : « 6 j - f , f [ } = J—I, 1[;
8) / ( [ 0 , | ] ) = { K n ® : « € [ 0 , f ] } = [ 0 , | ] ;
h) /(fl), 2jtJ) = { sen x : x 6 [0,2x]} = [ -1 ,1] .
i) Dado que sen x — 0, para x = kir, k 6 Z, tenemos
f'\Q) -{x.senx- 0}.
r 1 (I)
j) Si sen x = \, resulta que x = (-l)narcsen \ + nic = ( - I f f + nn, n g Z. Por eso
( - I f f + »* , n e Z .
Analogamente a lo anterior obtenemos
f = | } = ( - l ) " J + » ^ r i £ Z ;sen x k) / - ! (
1)
m) Segun la definicion 2 del p. 2.2
sen x ( - I f f + wr, n e Z.
/ " 1 ( [ — l i 1]) = { ® : / ( a : ) = sena?G [ -1 ,1 ] } -
Mostremos que / _ 1 ( [ -1 ,1 ] ) = R. En efecto, sea x G / _ 1 ( [ -1 ,1 ] ) y a = senx, entonces
/(#) = a , a € [-1,1]/ por lo cual x = ((-1)" arcsen a + nn), x G TR, y, consecuentemente,
/ ^ ( [ - l , 1]) C R. Si ar € M, entonces sen a: G [ - 1 , 1 ] y x G /_1([—1,1]), es decir,
® C Z"1 ( [ - l f 1]). De este modo, f"1 ( [ -1 ,1] ) = K.
n) A partir de las igualdades sen a: — ±1 obtenemos facilmente el conjunto
A — {x :x = | -f nic, n G Z } de valores de a? que no pertenecen a / (]—1,1[). Por eso,
en virtud del apartado anterior, / ( ] - 1 , 1 [ ) = E \ j 4 .
n) Tenemos f~l ([0, - ] ) = {x : senx G [0, f ] }• Sea x G f ^ ([0, ) y a = sen x; 
en este caso a G [0, y a? = (*- I f arcsen a: + mtf n G Z.
Sea un rc = 2fe fijo, entonces a; = arcsen a + 2k?r, y a medida que a varia de 0 a \f
la variable x varia desde 2 f o r hasta (2fc + t t , es decir, ar G 2&7T , (2& + t t ] . 
Sea un n = 2fc + 1 fijo; entonces a?
variable a: varia desde (2k + l)sr hasta {2k + 6
De este modo,
arcsen a + (2k + l)?r, y si a varia de 0 a ,̂ la
5 ) 7T, es decir, x G [(2k + |) tt, (2ft + 1)tt] . 
/ -l C ?7Tt fefe + 2fe?r 16 U (2^ + |)7r)(2fc + l)7r
Tambien se verifica la inclusion inversa, puesto que para x G [2&7T, (2k + 7) x] o 
® G [(2fe + |)tt, (2ft + 1)tt] el valor de sen x G [0f • Por eso,
/ -1 0, 12\ iez
2fc?r u 2k + (2k + 1)*- •
1 5 . Demostrar que si f:E^>Fy AC E,BcE, entonces se verifica la igualdad
f(A U B) = f(A) U f{B). ���
£}2. I ' l l l l C H I I H ' H . A|lll« I I I i l l t u ' K J "
4 Kuluctrin. IX1 aeuerdocoii la definicirtn I tie! p. «<• ilcpn-
/(A U fl) {/(* ) ;ie t AH /!}.
IliM /(:i:) C: /(A U if), entonces x £ (A U fl), es decir, a: <: /( V a: | fl. Pcro si a: ( AV
U! ( M, vcmos quo f (x) 6 /(A) V f(x) £ f(B) y J(x) C: (f(A) U f(B)). Dc? este modo,
i|iu'iia demostrada la indusi6i\
/(A U B ) C (/(A) U /(B)). (2)
Sea /{:r.) G (/(A) U /{fl)), entonces f(x) G f(A) V f(x) £ f(B), de donde
-r i A V x £ B, es decir, a: G (A U B), por lo cual f(x) £ f(A U B) y 
(J(A) U /(fl)) C /{A U B). (3)
I It' ('/) y (3) se deduce directamente (1). • 
I <). Demostrar que si / : B -+ F y A C F, B C F, entonces se verifican las igualdadcs
a) f 1 (AH B) = f~'(A) nrl(B); b) / '(A \B)= fA(A) \ f~l(B);
c) r\AuB)*-f \A)Uf l(B).
4 Solucion. a) Dado x 6 /_1(A D B), entonces f(x) G (A n fl), es decir, f(x) G A A 
/(;«)< [}. Pero en este caso x G /_1(A) A ^ 6 /~'(fl), y, por consiguiente, x G (/ ](A) n 
f '(If)) . De este modo qucda demostrada la inclusion
J-\AnB)c {f \A)nr\B)).
Para demostrar la inclusion inversa supongamos que x G (/ '(A) n f~l(B)). Asf
pnes, a,' G / *(A) Aa £ /_ 1(fl) de donde }(x) G A A f(x) £ B, por lo cual f(x) G (A n B) 
y x t f~ (A fl B). Por consiguiente,
( r 1 ( A ) n / " , ( U ) ) c / - 1 ( A n f l ) .
I h- las inclusiones demostradas se deducc la igualdad a).
b) Sea x £ f~\A\ B), entonces f(x) £ (A \ B), cs decir, /(«) G A A f(x) g B. Pero
en eso caso x e f ' l{A) A x & /~l(fl), y, por consiguiente, x G (/"'(A) \ / ' ' (£ ) ) . De este
modo,
rliA\B)c(rl(A)\r\Bj).
Si x G (/_1{A) \ f~\B)), se tiene x £ f'\A) Ax g f l(fl), de donde f(x) £ A A 
f(x) (/ B, es decir,f(x) G (A \ B). Pero entonces x £ f l(A \ B), io que dcmuestra la
validez de la inclusion
{r\A)\fl(B))cr\A\B),
i|iia es la inversa a la demostrada anterlormenle, De estas inclusiones se deduce la
ij>naldad b).
c) Si x £ f~[(A u B), entonces f(x) £ (A IJ fl). Por tanto, f(x) G A V f(x) £ fl, y 
11logo x G /-1(A) V x £ f '(fl), es decir, x £ (/-1(A) U /~1(B)). Deeste modo,
r\A\jB)c(r\A)ur\B)).
Si se supone que x G (/_1(A) u /~](fl)), entonces x £ /_1(A) V x G f~\B) y 
f(j:) £ A V f(x) G fl, o bien /(x) £ (A U fl), dc donde at £ f~l(A U fl). Par consiguiente,
(f lU) u f~\B)) C f~\A U B), 
lo que junto con la inchisidn inversa, equivale a b). • 
20 t'apiluln L Introduction al andlisis
1 7 . Sim / : /V ••> /'', y sea P una familia de subconjuntos del conjunto PJ, y Q una
amiliu de subconjuntos del conjunto F, Designemos:
f(P) - {f(A) £ Q : A€ P } , J~\Q) = {S~\B) G P : 5 € Q}. 
2
Demostrar que: a) si Q es un anillo, lo serd tambien / (Q); b) si P es un anillo,
f(P) no es necesariamente tambien un anillo,
-4 Solucion. a) Si Q es un anillo, a partir de B\ G Q, B2 G Q se deduce que (I?i U B2) G Q,
(B\ \ B2) G Q. Por tanto, de acuerdo con el ejemplo anterior,
r\B,) u r\B2)=r\By u B1)E r l m r t o n r 1 ^ ) = r ^ A f t ) G r l m
o sea, f (Q) es un anillo,
b) Dado E = {a, ft, c, d], F = {a', ft', d1}, f(a) = a', /(ft) = /(c) = ft', f(d) = d\ 
La familia
P = { { a , 6 l c , d } 1 { f l J 6 } J { c , d } , 0 }
es un anillo, pero / ({a, ft}) \ /({c, d}) = {a\ ft'} \ {&', d'} - {a1} <2 f(P) - { {a ' , ft', d'},
{a', ft'}, {&', c'}, 0 } , 0 sea, f(P) no es un anillo. • 
• I 
1 8 . ^Cual de las funciones / : [0,1] —* [0,3] siguientes:
a) a; 3 sen b) a?i->tg™; c)
d) ; e) a? »-> 3 - f (x - |) 2 ; f) x ^ 2 | z + 2 | - 3
son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas? Construir las graficas de estas funciones.
< Solucion- a) Dado que para y G [0, 3] arbitrario la ecuacion y = 3 sen y- tiene una solucion
unica x = |arcsen | en el segmento [0,1], la funcion x ^ 3 sen -f es biyectiva (fig. 11).
b) Sea y G [0,1], Entonces, la ecuacion
KX
2/ = t g T ���
tiene una solucion unica x — ™ arctg yf en el segmento [0,1], siempre que y G [0,1], Pero
si y G ]1> 3], la ecuacion (1) no tiene soluciones en [0,1]. Por consiguiente, Vy G [0,3] la
ecuacion (1) tiene no mas de una solucion x G [0,1], por lo cual la funcion x 1-+ tg ^ es
inyectiva (fig, 12).
c) Si y G [0,3], la ecuacion y ~ 3>x tiene no mas de una solucion x G [0, 1], A saber,
para y G [1,3] la solucion es x ~ log3y; para y G [0,1[ no hay soluciones. Por consiguiente,
x 1 > 3;r es una inyeccion (fig. 13),
d) De la ecuacion y = 12 {x— , y G [0,3], se obtlene que x\ — \ ~ \ 
u'2 \ I Ademas, si 0 < y < 3, las dos raices se encuentran en ]0,1]; si y = 0, las
a fees coincidun X\ — x2 — \ y se hallan en [0,1], Por consiguiente, Vj/ G [0, 3J la ecuacion
y 12 (;r ) liene al. menos una solucion en [0.1]. Por eso, la funcion en consideration
sobtvvectiva (fig, 14).
ti2. 1''unci on en. Aplltntli 2!
e) Sen y £ [0,3], La ecuacion y = 3 - ~ (at - j ) " liene las soluciones siguientes:
\ - l-v^Sy, g < $ 0 , e n [0, y xz - { + 0 < y < 3, en [ j , l ] . De
i"ill* modo, \/y G [(J, 3] existen una o dos preimagenes, por lo cual la funcion es sobreyectiva
(»iiv ir>).
f) Sea y £ [0,3], Para y f. [1,3] la ecuacion y — 2\x -f 2| — 3 liene una solucion
Ulrica i • 
2]x + 2j — 3 es una inyecdon (fig. 36). • 
X - 'y - ; si y € [0,1[, esta ecuacion no tiene soluciones en el segmento [0, 1]. Por
iitnsiguiente, x 
I 1 ) , Sea la funcion /(x) — tgx, ~ < x < y . Hallar la funcion inversa,
Solucion. Mostremos que la funcion dada es una biyeccifin / : ] y , [ -> K. Con este fin
designemos x ~2ir + t , < r < j, Por lanto, Vy £ E la ecuaci6n y = tg x adopta la
11Minn y — t g r , t £ \ § [ / de donde t — arctg y. Teniendo en cuenta que x — 2x + t 
h.illamos x - lis \ arctgy; ademds, si y £ K, resulta que x £ ] y > y [ j es decir, la
biyeccion de la funcion queda establecida. Dado que a todo y £ IS le corresponde un
itfritro valor x £ ] y , y [ , la funcion inversa f~l : S —• ] y , y [ esta determinada por la
eorivspondencia y 2n I arctg x, x £ ] y , y [.
2 0 . Escribir las expresiones explfcitas dc las funriones dadas en forma parametrica:
a ) x = ccosrf, j/ = ascn£, 0 ^ t ^ tt;
b) x = a cos t, y — a sen t, ^ t < 2ir (a > 0).
Solucion. a) Dado que la funcion t a cos it, t. £ [0, v], es una biyeccidn [0, ff] —* [—a, a|,
entonces Var £ [—fl, de la igualdad x ~ a cos t se determina el valor unico del pant metro
I - arccos | en el segmento [0, tt] . Al sustituir este valor en la segimda igualdad obtenemos
y ~ a sen ^arccos ^ = a\j 1 - cos3 (arccos j — a\j 1 ~ -y, 
es decir, y — Va2 ~ x2, x £ [ - a , a],
b) Deslgncmos x + # = t. Si r € [0, ;rj, entonces t £ [it, 2k], y, en este caso, la
prim era igualdad se reduce a la forma x — -a cos r .
La lunci6n t h - b cos r es una biyeccion [0, tt] —> [—a, a], por lo cual Vx £ [—a, kJ
hallamos r = arccos ( — — x — arccos' v ( = 2rr — arccos - . Al sustituir el valor
{'.ijii'luJu J. Introduction a I jiiillittis
delri miMiulo de L en la segunda igualdad obtendremos
V y a2 — x x E [—a, a]. • 
r i m rnn i hi—•••• •—n !• i •in—m
2 1 . I fill tar la expresion explicita para la funcion / : 
implfcitamente mediante la igualdad
3?r 5tt
. y l_l_l 
L 2 ' 2 J 
[4?r, 5tt] definida
sen x — cos y — 0, x E 3-tt 5TT-Y' Y. y E [4ff, 5tt]. ���
Solucion. Como V# E [ y , y ] fijo se tiene sen a; = 
equivalente a la ecuacion cos y ~ q, que en el segmento
este modo, queda demostrada la existencia de la funcion
q, q E [—1,1], entonces (1) es
[47T, 5tt] tiene solucion unica. De
3?r 57T
• • — • • • • 
L 2 ' 2 J [47T, 5?T]
Para escribir otra expresion para la funcion / transformemos la igualdad (1)
reduciendola a la forma
sen x — sen y o
de donde
JT
z - j + y « + f
2 sen r cos — y
2 — 2 
Igualando a cero cada factor hallamos dos valores para y: 
0.
y = X 7T
2
+ 2717T, n E Z,
y
7T
x + — +2wr} n E Z.
���
(3)
En el caso (2), de la condici6n x 6 [y> y ] s e deduce que y € [(2n + 1)tt, (2n + 2)7r]
y no pertenece a [4?rT 5?r] v n E Z, es decir, y — x — + 27i7r no es un valor de la
funcion / para ningun n E Z. En el caso (3), de la condition x £ [ f , f ] se deduce que
V € [(2n 2)tt, (2n — 1)ttJ C [47r, 5tt] para w — 3. Para este valor de n a partir de (3) se
obtiene la expresion explicita de la funcion / : 
y
, 13?r x E 
! ! • •• I I III • MB
3 7T 5TT
Ejercicios
19, La aplicacion / : R —* [—1,1] viene dada por la igualdad /(#) = cos a;.
Hallar: a) /<0); b) / ( | ) ; c) / ( f ) ; d) / ( f ) ; e) / ( [ - § , § ] ) ; f) / ( ] - f , f [ ) ;
g) / ([0, f ] ) ; h)/([0,2?r]); i) /_1{0); j) k ) / _ 1 ( f ) ; D / _ 1 ( t ) ; m) Z"1 (1-1,01);
n) / " ' ( [ O , ! ] ) ; n) ( [ £ ^ 2 ' 2 
20. Sea / : [O, |] —• R una aplicacion definida mediante las igualdades:
a) f(x) = tg x; b) /(a;) = ctg x. 
Hallar:
0,
7r
6 J 
/
7T
4
7T 7T
6' 3 Z"
1 (]0,1]) s
i
f -i
fiX Ni'itncroM it'iili'H 2 J
) i 1 Vmtwtmr que si / : U — > F, A C M, If c. I'l, enlojiivn:
•'} f(A n //) c {[(A)n /(fl)); b) {/<4)\/<«)} t /M WO-
)). Sim / : H - F , A C fl C F . Demostrar que Hi .4 £ I f , cn tunas / '{/I) C / 1 (fl).
11. I Vimwlrar que si / : E -* F y A C E, If C F, cnfoncew:
c) 4 C / - ' ( M ) ; b) / < / " ' ( » ) ) - f l ; 4 / ( A ) n 5 a / ( i n r ' ( B ) ) ;
.!) (/(A) r ' ( f l ) = « ) ; e) (/M) c fl) { a c r ' ( f l ) ) -
J'l. ,'( it,iles de las funriones / : [ -1,1] -»[0,1]:
a) m f f l s y ; b) a; h» — x1 -|-1; c) a: t-* |as|;
j j a M i±l. e) f) X ~ 
•.on inyectivas, sobreyectivas o biyectivas? Conslruir las graficas.
J'i I liiltar la restriction biyectiva de las fundones:
a) f(x) = J ! , s e R b) f(x) = sen x, x £ K; e) f(x) = cos
tl) /(ar) = sen j , a: > 0; e) f(x) = 101, x fc" Ej 0 /(*) = + * + 1, * £ BU
Hi ) i.ill.ir l;is fund ones inversas corrcspondientes a las funriones:
a) /(z) = sen :r, S C f - ^ - f ] ; b) f ( x ) = x n m * e [ f , y ] ;
C) f(x)~cosx, T £ [2a", 3jt]; d) / W ^ c o s i , x £ |-7nr, -6ir];
e) = a t e ] + | , f [ ; 0 / t « ) - c tg*,are]"7r,0I.
.'7 I la liar la expresion exph'cita de las fundones definidas parametricamenle:
"> * t & , y - ?T&< 0 ^ t < b) x - y = -oo < t $ 0 (« > 0).
.'H I la liar la expresion explidta de la fundtin / : [sr, 2jt] —» [y , y ] definida implfdtamente
COB(t+senjf = 0, i f [jr,2jrJ, y e [ f , y ] , 
I tnliar la expresiyn de la funcion / : [?r, 2ir] —> definida implicitaraenle
cosx I sen3/ = 0, a; £ [it, 2tt], y 6 [§, y ] . 
§ 3. Numeros reales
3.1. ltelaciones binarias y operaciones binarias
Definicion 1. Se denomina retncidn binaria en im conjunto E a todo subconjnnto fl 
del producto E x E. 
Definicion 2. Una relaei6n binaria 1Z se denomina relation de equivalenaa en el
• onjunto E si el subconjunto R es:
a) reflexive: (a, a) € K V« £ E; 
b) simetrico: ({«, t) e K) => ((6, a) € H);
C) transitivo: ((«, 6) € R A {b, c) t Tl) -> {(a, c) £ 7t).
Rn lugar de («, b) £ TZ a menudo se escribe a ~ b, o bien a = b. 
Definkidn 3. Una relacion binaria fl se denomina relation de orden en el conjunto E, 
m la relacion es:
a) reflexiva: {a, a) € fl Va £ E; 
b) transitiva: ((a, b) £ ft A (6, c) £ £2) ((a,c) £ fl); 
int-iLflmilT-;̂ -.!. (<n M C (1 A Ih /tl C. Ô -S. (n — K\
24 CJupilulo I. Introduction al ainlljsis
\ln este caso se dice que ft introduce un orden en E . En lugar de (a, ft) E ft se
escribe frecuen temente a ^ b 6 a C b. 
Si Va, b E E se tiene que bien (a, 6) E ft bien (ft, a) E ft, se suele decir que el
conjunto E esta totalmente ordenado.
Definicion 4. Se denomina operation binaria interna en el conjunto E a toda
aplicacion / :E x E —» E. 
Sean los conjuntos E y F. 
Definicion 5. Se denomina operation binaria externa en el conjunto E a toda
aplicacion / : E x F E. 
Definicion 6* Un conjunto E que posee una operation binaria interna T se dice
que es un grupo, si:
1) la operacion es asociativa: (a T b) T c ~ a T (ft T c) Va, ft, c E E; 
2) existe un elemento neutro: 3 e E E tal que Va E E se verifica la igualdad
a T e = e T a = a;
3) todo elemento tiene elemento simetrico: Va E E 3 a E E tal que a T a = a T 
a — e. 
Si, ademas,
4) la operacion T es conmutativa, el grupo se denomina conmutativo o abeliano. 
Si la operacion T es la adicion, el grupo se denomina aditivo, si T es la multiplication,
el grupo se denomina muUiplicativo. 
3.2. Axiom as del campo de los numeros reales
Definicion 1, Un conjunto M — {a, ft, c , . . . } se denomina campo de los numeros 
reales, si entre sus elementos se establecen relaciones binarias que satisfacen los axiomas
siguientes.
Axiomas de la adicion
A.O. En el conjunto M esta definida una operacion binaria interna, la adici6n
M x 3R -+ K : (a, 6) ^ a + ft, 
la cual pone todo par de elementos a, ft E M en correspondencia univoca con un cierto
elemento del conjunto IR, su suma, que se designa mediante el simbolo a + 6. En este caso
se cumplen los axiomas siguientes:
A.l. (a + ft) + c = a + (ft + c) (ley asociativa).
A.2. En 11 existe un elemento denominado cero, y que se designa con el simbolo 0 
tal que Va E R 
a + 0 = a.
A,3. Va E R existe un numero (—a) E M que satisface la igualdad
a -f (—a) — 0.
A.4. Va, b E R 
a -f ft — ft + a.
Asi pues, el conjunto R es un grupo abeliano aditivo. 
Axiomas de la multiplicacion
M,0. En el conjunto E esta definida una operacion binaria interna, la multiplicacion
IxR^R a b, 
tj'L NiimrntH wiilwt
Li <ual pone eadn par do elementos a j i ( IK en rorrrrtpondeiiii.i unfvoca con un cieito
cli'mento del conjunto M, su producto, quo #»• denigiiii con el tfmbolo a • b. Jin este caso se
fuilisfaccn los axiomas siguientes:
Ml . (« • b) • c - a • (b • c) Va, 0, c € IK (ley asociativa).
M.2. En ER existe elemento unidad, que se designa con el simbolo 1, el cual Vtt C lit
verifica la igualdad
a • 1 = a, 
M,3. V<t £ R \ {0} existe un elemento u - 1 £ K, el elemento inverse del numero « 
lal que
a • a-1 = 1. 
M.4. a $ = b a Va,6 € IS.
Por consiguiente, cl conjunto de elementos no nulos del conjunto R es un grupa 
idu'liimo muHiplicativo. 
D.3. La operaci6n de multiplicaci6n es distributiva respecto a la adicidn, es decir,
a - (b + c) - a • b + a • c V<t, c £ 1R.
Un conjunto {a, b, c,... } que satisface los axiomas A, M y D se denomina catnpo 
iiintierico. Si este conjunto no satisface el axioma M.4 se denomina cuerpo. 
Axiomas de or den
O.D. En R se define una relaci6n ^ que ordena totalmente R:
0,1. a ^ a VaGK (reflexividad),
O.2. (a ^ b A b ^ a) => (a — 6) (antisimetria).
O.3. (a < b A b < c) =S- {a < c) (transitividad).
OA. Va, b G R bien o ^ b, bien b ^ a, bien am bos simultaneamente.
Los dos axiomas siguientes ligan la relacion de orden y las operaciones binarias:
OO.l. Si a, b, c G 3R y ft ^ b, entonces a + c < b + c. 
(X).2. U e 0 ^ a y 0 < 6 s e deduce que 0 ^ ab Vn, 6 £ R .
Axioma de la cota superior
Definicidn 2. Un conjunto i C R se dice que esta superionnente acofado, si existe
un elemento M C IE tal que a ^ M Va G A. El numero M se denomina cota superior del
conjunto A. 
Dcfinicion 3. Una cota superior M~ del conjunto A se denomina supremo del
conjunto A, si cualquier otra cota superior M del conjunto /I no es menor que el
uiiinero M*. 
El supremo del conjunto A se designa con el simbolo sup 4 .
S.O. Todo conjunto supeiiormente acotado A C R tiene supremo.
3.3. Ampliacidn del conjunto de los numeros reales
Definici6n. El conjunto IK = R U {-oo, -t oo}, compuesto de los elementos del
conjunto R y de los simbolos —oo y +oo, se denomina ampliation del conjunto de los 
numeros reales; ademas, se verifican las condiciones siguientes:
a) — oo < u < +oo,
a — oo — -oo, a + oo = +oo, — = — = 0 Vu G R;
-OO + 0 0
b) si a > 0, se tierie a • (-oo) = -oo, a • ( |-oo) — -i-oo;
c) si ft < 0, se tiene a • ( -oo) = |-oo, a (+co) - -oo,
Rt cfnnholn —rvif4.no) sp denomina menos (mas) infinite).
i'api'Uilo L Introduction ill mWilisis
3.4. Caracteristicas principals de un numero real
En aras de la simplicidad, mediante M designaremos, segun el contexto, bien el 
conjunto de todos los numeros reales, bien el espacio ordenado de los numeros reales o bien el 
campo ordenado de los numeros reales, Por ejemplo, si se escribe x E R, se hace referenda
al conjunto de los numeros reales. Si se dice que a: ^ y en R, por M se entiende el espacio
ordenado de los numeros reales. Por ultimo, si escribimos x -f y < z en M, en ese caso R 
designa el campo ordenado de los numeros reales. Si el contexto no esta completamente
claro, utilizaremos una notacion mas sofisticada.
Introduzcamos las siguientes caracteristicas de un numero real x : \x\ es el modulo
de x, sgn# es el signo de x, x+ es la parte positiva de x y x~, su parte negativa. Dichas
caracteristicas se definen mediante las reglas siguientes:
x si x ^ 0,x — s . —x si
1 si x > 0, 
sgn x = ^ 0 si x -••• 0,
si x < 0;
, ' sgn x = < u 
x < 0; 6 \ - 1
-i- f x si x > 0, - f 0 si x 0,
X = i „ . ^ r! X — 90 si x < 0; I -x si x < 0.
Entre estas caracteristicas, Va? E M se verifican de forma evidente las expresiones
siguientes:
x = jx| sgn \x\ — x sgn x1 . x — x^ - x , 
+ _ + \x\ — x COjS/J — £E £C -j 3? — ^ 2 7 2 
En la practica se emplean frecuentemente las desigualdades
^x > 0, x > 0, (2)
Ademas de las caracteristicas mencionadas tambien es util examinar las funciones
R —* R : x ^ \x\, x ^ sgn a;, x x*, x >-»• x~t cuyas graficas se dan en las figs, 17-20
Las dos primeras funciones son aplicaciones multiplicativas, pues de la definicion de estas
funciones se deducen las igualdades:
\xy\ = M I f f s g n (xy) = (sgn ar)(sgn y) V(a? E R, y E R).
Cada una de dichas funciones, a exception de "sgn", posee la propiedad siguiente:
el conjunto de puntos colocados por encima de su grafica es convexo, es decir, si dos puntos
en el piano estan situados por encima de la grafica de la funcion, entonces todos los puntos
del segmento que los une tambien lo estan. Tales funciones se denominan concavas. Si una
funcion / esta definida en la recta numerica K y es concava, entonces V(#i E R, x2 E R)
se verifica que
f ^ /(^i) + f f a )
2 (3)
Esta desigualdad es obvia: suprimer miembro es la ordenada del punto de la grafica
de abscisa el segundo, la ordenada del punto del segmento situado por encima
de la grafica (fig, 21) correspondiente a la abscisa mencionada. Las funciones concavas se
estudiaran detalladamente en el § 5 del cap- 7.
Al aplicar la desigualdad (3) a las funciones concavas x ^ x x^, x ^ x" f
obtenemos una serie de estimaciones muy utiles:
® + ^ N-HIs/I, + <®+ + J/fi {v + y)~ +y~t (4)
1 K — T T T i . . ^ T T T ) ^
fj;i, Niiiih'KIH ri'iiif! 27
%
0 X
Fig. 17. Fig. 18.
Vi
X
0 'x
M„
M
Fig. 19. Fig. 20.
X, T.+ X-, X, 
Fig. 21.
i)e todas las caiacterfstkas del numero real mencionadas la mas importante es su
modulo, Las principles propiedades del modulo de un numero son:
I) Vz £ IK <)a:| = 0) => (x = 0);
?.) V(A € IK, x £ K) |Arc| — jA| |»|;
3) V(at € R, y € R) \x + y\ sf \x\ + \y\. 
I-a ultima desigualdad se denomina desigualdad triangular, puesto que tiene una
iiiliTprebcion geometrica si a: € C, y <E C (v, § 4).
3.5. Me to do de induccion matcinatica
Sea A(k) uiiii notacion para indicarque la afirmaci6n A es verdadera para el k £ N 
iI.ilIo. La esencia del metodo de induction mntem.ilica consiste en lo siguiente:
(4(1) A (A{k) Vfc e N)) ( i l (» ) Vrc G N),
22. Demostrar que en el conjunto R hay solo un cero y solo una unidad.
Solucion. Supongamos que en el conjunto K hay a dus cents Oj y Qj. Entonces, de acuerdo
t on los axiomas A.2 y A.4 tenemos
0t - Oj + 0 2 = 02 + 0]
Analogamente, si 11 y U son unidades de 1?, segiin M.2 y M.4 tenemos
h = 1i = 1 2 - l i = h , > 
2 3 . Demosti'ar que: a) la ecuacion a-r x — b tiene la solucion unica x — —a + f>; b) la
ecuacion ax — b tiene la solucion unica x — —a ]b.
Solution. a) El numero -a -\-b satisface la ecuaddn a + x = b. En efecto, a + + b) -
{a i ( a)) + b - 0 + 6 — b. No hay otras soluciones. Efectivamente, si a; 8 IK es otra solucion,
entonces:
-a + b — -a + b, 
~a + (a + .r) - -a + b, 
(-a + a) -I- x = — a + b, 
04-ar = x = —a-t b.
2H Ciipiluk) I. Iiitroducci6n al antilisit*
b) Andlognmente, cl numcro a b satis face la ecuacion ax = b: 
a(a~xb) = (a • a_1)6 = 6 = 
Si x G R es otra solucion de la ecuacion ax ~ b, entonces:
a b ~ a 6, a~1(ax) = a_ I6, (cTla)x = a 6 ,
1 • x = a~6, a; — a b. p> 
••••• 1 1 • • III 1
2 4 . Un elemento a £ E se denomina regular respecto de una operacion binaria interna
T si Vx,yEE 
(aT x = aT y) A (x T a — yT a) 
•
Demostrar que todo elemento c G R es regular respecto a la a did on, y que todo
elemento no nulo c e R e s regular respecto a la multiplication.
M Solucion. Demostremos que un elemento arbitrario c G i e s regular respecto a la adicion.
Por ser la adicion conmutativa tenemos (c + a = c + 6 ) o ( a + c = 6 + c). Por ello, basta
demostrar que (c + a = c + b) (a = b). 
Del ejemplo anterior y de la asociatividad de la adicion, podemos escribir
a =: -C + (c + b) � � � � + c) + b = 0 + b = b. 
Analogamente se demuestra que Vc G M \ {0} es regular respecto a la multipli-
cation. • 
2 5 . Sea E = {/} un conjunto de funriones / : A —> A, A C R, en el que esta definida
la operacion binaria interna
ExE-*E;(f,g)^ fog. 
a) Demostrar que esta operacion es asociativa.
b) Determinar los elementos regulares de esta operaci6n,
<4 Solucion. a) Para demostrar la igualdad
(/ og)oh = f o oft)
es suficiente demostrar que las imagenes de cualquier elemento x G A coinciden. Sea
x G At u = h(x), v = g(u). Tenemos
((/ («) = (/ og)(h(xj) = (/ Og)(u) = f (g(u)) = f(v), 
(g o k)(x) - g(h(x)) = g(u) - v, 
por consiguiente, (f G(g o ft)) (a;) = f((go h)(x)) — /(v), es decir, las imagenes de todo
elemento x coinciden y la asociatividad queda demostrada.
b) Una aplicacion / se llama regular por la izquierda, si (/ o g = / o ft) [g = ft), 
y regular por la derecha, si (g o / = ft o /) (g = ft), Y, evidentemente, una aplicacion se
dice regular, si es regular por la izquierda y por la derecha.
Ante todo demostremos que la aplicacion / es regular por la izquierda si y solo si / 
es inyectiva.
En efecto, si / es inyectiva y f ° g = f o h, entonces Vo; G A se tiene 
f / t o ) = /fWaO)) =» (six) - h(x)) => fa - ft). 
f ix Numeros ro.iIcm
Si / no es inyecliv.i, en el conjunto A ex is ten Humerus distintos x v y euyjW
11 mi genes coineidon: f(w) f(y). Scan g y h aplicacioneH talcs que //(«) x, h(a) y 
para un cierto a £ A. Dado que x y, de fog— f oh no se deduce la igualdad g A,
es decir, / no es regular por la izquierda.
Demostremos ahora que / es regular por la derecha si y s61o si la funci6n / e.s
tiuhrcyecliva.
Si / es sobreyectiva, entonces Vs £ A existe un u G A tal que f(u) = x. De este
modo,
( J ? o / = h o / ) 4 (g(x) = h(x)) Va; 6 A. 
Si / no es sobreyectiva, entonces g ° f — h o f para aquellas aplicaciones g y A 
i nyas restricciones roinciden en el conjunto }{A). Sin embargo, las aplicaciones g y A 
pin-den ser distintas, puesto que pueden tomar va lores diferentes en el conjunto A \f(A). 
De este modo, para que la aplicacion f sea regular es necesario y suficiente que la
mis ma sea biyectiva.
2 6 . Un conjunto A C IK se dice que esta inferiormente acotado, si 3 m £ H tal que
V« £ A se verifica ia desigualdad m ^ a; en tal caso, el numero m se llama COta inferior. 
(Jnn cota inferior in* del conjunto ,4 se denomina infimo del conjunto A, si cualquier utra
cola inferior rn del conjunto A no es mayor que m'. El frifimo del conjunto A sc designa
eon el simbolo inf A. 
Demostrar que cualquier conjunto A que este inferiormente acotado tiene infimo, y 
que, adem&s, inf A ~ - sup{--vi}, donde - A = { - a : } , x £ A. 
4 Solucion. Segrin el enunciado 3 m 6 IB. tal que x ^ m Va G A, de donde -x K- ~m, 
es decir, el conjunto —A esta superioimente acotado. De acuerdo con el axioma S.t),
Isup{-v4} = M*. En este caso, —x < Mr Va; £ A, por lo que -M* < x Va; £ A, y,
consecuentemente, ~M* es la cota inferior del conjunto A. Si N es cualquier otra cota
inferior del conjunEo \-A, entonces —JV es la cota superior del conjunto —A, y, por eso,
/V ^ M* = sup{j4}, de donde N < ~M. Asi pues, —M* = - sup{- j4} es el supremo
del conjunto A. • 
2 7 . Demostrar el teorema de Arquimedes: si a > 0 y b es tin numero real arbitrario, 
entonces 3 n £ Z tal que (n — l )a ^ b pero na > b, 
4 Solucion. En primer lugar, demostremos que 3 n £ Z tal que w<t > b. Para e I lo supongamos
lit contrario, es decir, ka ? 6 Vk 6 En tal caso el conjunto {Act} estani superior men te
acotado y conforme al axioma S.O tendni supremo sup{fca} = M' ^ b. Dado que el
numero M* — a no es la cota superior del conjunto {ka}, entonces 3 pa <= {ka} tal quo
W — a < pa ^ M 1 . Por lo tanto, (p + l)a > M*, (p + l) € lo cual se contradice con
la definici6n de M4. EI origen de la contradiction reside en la suposicion de que ka <. I> 
Vfc G Por consiguiente, existe un numero k € Z tal que ka > b. 
Analogamente sc demuestra que 3 m G 7/J tal que ma < b. Un segmento [mil,
que contiene af punto b se divide cn k~ m segmentos mediante los puntos (in + 'L)u,
(m + 2 ) a , . . . , (k — l)(t; a uno de estos segmentos pertenece el punto b. Por consiguiente,
existe un n £ 'L tal que (n - l)a < b < na. • 
2 8 . Demostrar que para todo numero real positive £ 3 n £ N tal que;
- <e. 
n
'H) ( <i|Ululn I. Jnlmdumrtn al analisin
< Soluci6n. I hiciendo on cl teorema dc Arquimedes 6 -- a — I, obtenemos la desigualdad
i .. . ^ ry/ . j... I 
£ t 1 la desigualdad n > «o > o bien - < e. • 
n0 * 1 > no C: K. Dado que - > 0, entonces no £ N. Por tanto, Vn > n$r n £ N, es valida
n
2 9 . Sean a y /? numeros reales arbitrarios dados, a < f3r Demostrar que existe un
numero racional r comprendido entre los numeros a y /?,
Solucion* Designemos ft = (3 - a . Segun el ejemplo anterior, 3 n G N tal que
- < ft. 
n ���
De acuerdo con el teorema de Arquimedes, 3 m G % tal que
m , 7?i -hi < (X < n n 
A partir de esta expresi6n y de la desigualdad (1) obtenemos
^ m • | - 1 m l . , ^ aa < = 1— <a + h~a + p- a=j3, n n n 
De este modo, a = ^ < • 
M M l || . ! • • M I 
3 0 . Demostrar que en el conjunto de las fraccionesracionales propias -r (m5 n G N y 
0 < m < n) no existe ni un elemento que sea el mihimo ni uno que sea el maximo. Hallar
el supremo y el infimo de este conjunto.
< Solucion. Sean m y n (0 < rn < n) numeros naturales arbitrarios. La primera parte del
problema se deduce inmediatamente a partir de las evidentes desigualdades
m 2m 2m - 1 n m _ 2rn 2m +1 1— - — > —_ > u, — — —— < < i.
n 2n In ' n 2n 2 n 
Demostraremos que inf { ™ } — 0 y sup { — } = 1.Segun el teorema de Arquimedes para e > 0 y m G N arbitrariamente dados
3 n G N, n > mf tal que n > Por tanto, — < e, De esta desigualdad y de — > 0 
se deduce que inf { — } = 0. Analogamente, para e > 0 y p G N arbitrariamente dados,
3 m G N tal que m > ~ * Asi pues, > I - e, es decir, para n = p + m se tiene
> 1 - e, lo que conjuntamente con la desigualdad ~ < 1 implica que sup { ^ } — 1. • mn
^ ^ m 1 1 • "•
3 1 . Sea {x + y} el conjunto de todas las sumas x + yf donde x £ {x} e y £{?/}-
Demostrar las igualdades:
a) inf{# + y} = inf{a?} + inf{y}; b) sup {x + y} = sup{#} -f sup{i/}.
< Solucion. a) Dado que de x > m, x G {x}, y de y ^ mi, y G {y}, se deduce
que x + y ^ m + m^ (x + y) G {x + y}, entonces la existencia de inf {a?} = m* y de
inf{j/} = m* implica la existencia de inf{sc + y}. Evidentemente x + y ^ m* +m*. Para un
5 > 0 arbitrario existe un elemento (xf + y') G {ar + j/} tal que
m* + m* ^ -f y < m* + mj 4- e:,
puesto que existen a;' G e y* G {i/} tales que m* ^ a;' < m3* + | y mj ^ yf < m* + 
Por consiguiente,
inf{x + = x + y = inf{a;} + 
Dejamos a cargo del lector la demostracion de la igualdad b). • 
fM, iN 11 111 01 < IN iVrilfH
3 2 . Sea \xyJ cl conjunto do todos los pnnlueUw xy, domic x < y (-{y}, y x > 0,
1/ 0, I JemoHtrar las igualdades:
a) inf{x;y} = inf{a;} i n f f v } ; b) H u p ( j : ; / | H U p | t f | s u p { t / | .
4 Solution. Demostremos la igualdad L>) {propone mo,4 al lector demostrar la igualdad a)).
Hidu que x ^ M, x € { £ } , x J 0, o j < M\, y (i {?/}, y ^ 0 implica que xy ^ MMX,
nnlonees cie la existencia de sup{ i } = M* y de sup{j/j - M* se deduce la existencia de
impl xy}. Oe las desigualdades M* - ei < w M*, M* — < V ^ M* se oblicnt1 quo
M'M* -{£XM*+€2M* si£2) < xy < M*M*. El valor de la exprestfn CiM," +e2M* - e , f z
I nit-do sex arbitrariamente pequerio y, por eilo, supl^t/} ~ M*Mf = sup {a:} sup{j/}. • 
33. Sea X = ± 2 tH~i} ' " £ D t : r n o s t r a r <iUQ = 0 y sup X =•• 1.
4 Solucion. Sea £ > 0 un mimero arbitrario dado. Dc las desigualdadcs
valid as Vn > ^ r , s e deduce que inf X = 0 y sup X = 1. • 
Demostrar las desigualdades:
a) \x-y\> ||s|
b) \x + xl + x2 + --- + Zn\> - (l^ll + + -'!<5»l).
4 Solucion. a) Apllcando a la suma (x — y) + y la desigualdad triangular obtenemos la
11 i*!figualdad
l » l = | ( s e -y) | a r - y\ + 
de donde hallamos
0 )
Jnlereambiando de lugar x e y obtenemos
de donde
last - \y\- (2)I )e las igualdades (1) y (2) se deduce a).
b) Haciendo uso de la desigualdad triangular obtenemos
1#j - + xt + x2 + - • • + - {li + xi + • • • + x„)| ^ 
< + X] 4- x2+ • • • + x„\ + ja!! + x2 + • - • + a;nj ^ 
^ |re + xi + x2 + • • • + x„\ + |j;ii +• \x2\ -r • • • + 
de donde se deduce inmediatamente la desigualdad b). *>
3 5 . Kesolver la ecuacion
Jffil l - i » - l ) + | r - 2 | - 2 , 5 = 0 .
32 Cap ilult) I. In trod uccitfn a I analisig
M Solucion. Tenemos
\x\ + \x-l\ + \x-2\ -2,5 
3a? + 0.5 = 0 si x E ]~oo, 0[,
-x + 0,5 - 0 si x E [0,1[,
x - 1 , 5 = 0 si x E [1,2[,
3a; — 5,5 = 0 si x E [2, +oo[.
Por consiguiente, en los intervalos ] — oo, 0[, [2, +oo[ no hay soluciones; en el intervalo
[0,1[ se tiene la raiz x = 0,5, y en el intervalo [1,2[, la raiz x = 1,5. • 
1 % • • • • •
3 6 . Hallar la suma
1 1 1 1 Sn = arctg - + arctg - + arctg — H b arctg18 In2
Solucion. Apliquemos el me to do de induccidn matematica. Dado que
S- 1 1 1arctg |, >S2 = arctg ^ I arctg arctg
i + i 
2 8 
1 _ I . I 
2 8 
. 2 
arctg - ,
&
2 1 ? + ~ arctg - + arctg — = arctg _ 2
3 ' 18
arctg 3
4 }
podemos sup oner que
Sn = arctg -
n
n + V n e N. ���
Como
Sn+i = arctg nn +1 + arctg
1
n +
2 (n + 1)2
arctg 1 2 (n+l)
J
• • • • • • _ •
1 ii
arctg
n+I 2 (ra+l):
n +1 
n + 2 
y la expresion (1) se verifica para 1, entonces, por induccion, esta se verifica Vra. • 
• i • • • • i • 
— •
3 7 . Mediante el metodo de induccion matematica, demostrar que para cualquier numero
natural n se verifican las igualdades siguientes:
2 _ n(n + 1)(2n + 1)aa) l 2 + 22 + i i ^ -f n 6
b) 1 + 2 H h n — (1 + 2 + {- ?i)\
Solucion. a) Evidentemente, para rt = 1 la igualdad es valida. Suponiendo la validez de
la igualdad para un n arbitrario demostremos su validez para n + 1, En efecto,
l 2 + 22 + 4- 4 + n 2 + (n + I)2 = n<w + 1 ) ( 2 " + *> + ( » + I)2 = + 2 ) < 2 n + 6 	 >
que es lo que habia que demostrar.
b) Si n — 1, la validez de la igualdad es evidente, A partir de la suposicion de su
validez para un n arbitrario se deduce
I 3 + 23 + ^ . + n 3 + (n + l ) 3 = (1 + 2 + i * • + nf + {n + l)3 = 
(1 + 2 + * • - + nf + 2 — (» + ! ) + ( » + I)2-
Teniendo en cuenta la igualdad 1 + 2 + — • + n = 2hl*, obtenemos
I3 + 23 + - - + n3 + (n + l)3 = ( 1 + 2 + - - • + n + (n +1))2,
es decir, la formula tambien se verifica para n + 1. • 
J}>1, NiiitiortM reales .'U
IJemostrar la formula del hint)into de Newton 
1 . I W \ ^ frlH II Will){a + 6) = 2 _ j 11 b ' 
m=U
• finiilc C'" -- ————— (numero decombinationes de n elementos tornados do m en vi), 
m!(n - my. 
I • 2 • • • k, y se supone 0! = 1.
4 Solution. Si n — 1 tenemos
(« + ft) = £ C?a}-mbm = ^ a + = a + 
nt-0
i Hioti.i por demostrar que de la validez de la formula para n se deduce que
n+i
(0 +6) = C n - i a 6 • 
m=l
Kill livainente,
n
[a I ft)"11 = (a + 6)(a + 6)" = {a + b) £ C^V'-V/" -
m-0
it » n 71+1
V + J ] Cn<i"~mbm+l = C ^ 1 " " ! ' " + X] C 
r!)=U m-U nt=l
= -I- + C™-1 )a'!+1"m6"i + ft"11.
rn-1
I l.ieiendo uso de las relaciones
-m-i _ n\ w! (ft + 1)' _ wii
" ~ m! {Ti - m)! (m - 1)1 (n + 1 - m)! ~ ml ( n + l - n x ) ! ~ n+1<
CO _ wi (-1 * n-t-l ~ — A>
ii'iirinos definitivamente que
n n+i 
/_ . k\"+l „"+! i V ^ rint n+l-™i m .in 1 \ ^ ,̂71-fl - Bi.tn(B + 0) — a + 0 + 0 — 'i 1-1̂ 0 > 
111=1 TJI=0
Demostrar la desigualdad de Bernoulli 
(1 + aj)( l + ®a) - - • (1 + aO ^ 1 + + + •- - + «n,
ill>nde , . . , son numeros de igual signo y superiores a - I -
4 Solucion. Para n = 1,2 la desigualdad es obvia. Supongamos que la desigualdad so
veriiica para n. Demostremos su validez para n + 1 . Tenemos (para Xi > - 1 )
II I *i)(l + S2);,»-(l + + « * « ) (1 + % + ^• + «»)tt + = 
= 1 + a;, + x 2 + \x„ I- a ; , 1 + t + (xi + x2 H f- *») *n+i > 
^ 1 -I X\ + X2 + 1 xn + «„.|4-
Aqirf se utilizo la desigualdad
v iipiuiio I, i m r o u m c i o n .11 a n a n u t s
\ I -l-®„)a;fl,_i 3s U,
iicila para cualesquiera Xj dc igual signo,
4 0 . Demostrar quo si x > — 1, se verifica la desigualdad
(1+x) n> 1, 
donde la igualdad tiene lugar solo para x = 0.
M Solucion. La desigualdad requerida se deduce directamente del ejemplo anterior, si se
pone xi = X2 = -'• = xn = x. Si x = G, Vn > 1 se tiene el signo de igualdad. Demostremos
que para n > 1 y x > —1 se obtiene la desigualdad (1 + x)n > 1 + nx. Para n = 2 esto es
evidente: (1 + xf = 1 + 2x + x2 > 1 + 2®, Si (1 + xf > 1 + nx, tenemos
(1 + = (1 + x)n(l + x) > (1 + nx)( 1 + as) = 1 + nx + x + nx* > 1 + (n + l)x. • 
4 1 . Demostrar que si X( > 0 Vs = 1, n y X1X2 ... xn = entonces
xi+x2-\ K xn > n, (1) 
siendo
2
(â j + a:2 -I h = n) ^ (a?* = 1 Vi = 1, ra). 
Solucion. Para demostrarlo apliquemos el metodo de induction matematica. Para n — 1 
la desigualdad (1) es valida y solo tiene lugar el signo de igualdad. Si n — 2 y x\x2 = 1,
uno de los factores, por ejemplo, el primero es x1 J* 1, y el otro x2 < I. De este modo, de
la evidente identidad
xi + x2 = x\x2 -\-l + (xi~ 1)(1 - x2) ���
y de la condicion X[X2 = 1 se deducen la desigualdad x\ + x2 ^ 2 y la condition
(x\ + #2 — 2) <=> (a?i — x2 — 1). 
Supongamos ahora que para k numeros positivos arbitrarios X\, x2,... t x^ cuyok
producto es igual ala unidad, se verifica la desigualdad Y l x i ^ siendo
i=1
mK
[ J ] x, = k\ <•> (Xi = 1 Vi = 1, fe). 
1=1
Consideremos el producto de k + 1 numeros positivos x2}..., acĵ .i, para los cuales
- • * xk+1 = 1- Si no todos los a?,- son iguales a uno, se encontraran numeros tanto
superiores como inferiores a la unidad. Sin perdida de generalidad supondremos que
x\ > 1, x2 < 1. Entonces, para los k numeros positivos (X\X2)̂ , . . , asjt+i, cuyo producto
es igual a la unidad, sera valida, segun las condiciones de partida, la desigualdad
(xxx2) + x3 + -- + xM 
 ��
 ���
verificandose tambien
(X1X2 h £jfc+i = fc) ^ {X\X2 ~ x3 = * • • = xk + i - 1). (4
Sumando la identidad (2) y la desigualdad (3) obtenemos la desigualdad
xi + x2 + • + xk+i + 1 + (a?i - 1)(1 - x2) A; + 1 
y la condicion
(xi + x2 + • • * + xM = k +1 4- (Xi - 1)(1 - x2}) & {{X1X2) = as3 = * - = xM - l ) ,
de la cual se deduce que
n r m i - M T r ^ B r w T T r m T
+ x2 + - •' + xk+i = k + 1) o (Xi = 1 Vi = 1, fe + 1). • 
••••••• • • I •• I • I I I ••!••! • • • • • •••• I •• • I 
fc};l. NilIIH"ItW t'l'dll'B
4 2 . Sim Xi > 0, Xi ( K, V-i 1,n, y 
7„ -- —r 1 — - — (media iirmrtnitr.ijj
T + Z + 1 * ' I , 
</„ — v^i] Jh VTZx,, (media geomfHricft),
& = + ' " + (media aritm^tka),
I MiuKtfnir quo % < r;„ < & y, ademas, (T« =Vn=> 6>)<=> (x1-xz = -- - = 
4 ^nlneidn. Ill producto de ft numeros posilivos
. . , . § » = 1J?.. % % 1
(un fjrit, lie acuerdo con el ejemplo anterior, su suma
a + s ^ . + a . * * ,
Vn Vn V" 
ite di un le ifii ^ La igualdad tiene lugar si y solo si = = * • • = ^ = 
»ii i, -.)•; ==-•• = Segun lo que acabamos de demostrar
i . „ r i i r . 1 1 -I- . u 1T — T " * * - - — | 
« 7»'
lie diinde 7„ ^ 17,, y 7„ = jjn si | = ^ = • • • = J - = 1, es decir, t , = x2 = 
' l l I lemostrar !a desigualdad de Cauda/—Buniakovski
t=1 i - l i=l
diimle a1/, iji £ M (i = 1, n). ^Cuando tiene lugar !a igualdad?
4 Solution. De la evidente desigualdad + y,)2 > 0 obtcncmos el trinomio de segtuido
" n " A« / J' ir
j'.i.ido t1 £ x) + 2t E xiVi 0/ que es no negativo para cualquier valor de • t 
i- i i=i
i* I Eu, (i>»)5-(£»0(:c»0<tt
i=1 i=l i=l
i igualdad tiene lugar si y solo si x,t + yj - 0, i ~ 1, n, es decir, cuandoexiste un " ™ 
\ / 0 tat que y< = As,-, > = X^n, o bien cuando todos los I f , i = 1, n, Q todos los y,, 
i t, vi, son nu los. • 
H( I lemostrar las desigualdades:
4 4 . a) »! < ii > 1; b) ( n f < ( < - + « > 1;
, 1 3 27i - 1 1 
c> ^ ' 3 < 2 4 2/t V 5 T + T
:u t \i[>il111<> I. liUr<»cluci'ion al analisis
< Solucion. Las desigualdades a) y b) se dcduceti dt recta me nte a paL'lir de la desigualdad
7jn < del problem a 42 sin mas que hacer xk -- k y •- k (k ^ T? n), rcspecLivamente.
Demostraremos la desigualdad c) utilizando el metodo de la induction matematica.
Para n — 1, la desigualdad es obvia. Suponiendo que la misma es valida para n,
demostremos su validez para n + 1. En efeeto,
1 ^ 
2 " 4 
In - 1 In + 1 
* + 
In < -
1 271 + 1 
2n + 2 V2n + 1 2n + 2 
1 V2n + 3 2n + l 1
y/2n + 3 V5n + 1 2ft+ 2 V2n + 3 V 4n2 + 8ft + 4 V2n + 3 * 
4n2 -f 8ft + 3 < 1
45 l l 1 1 1 L 
+ V2 V5
+ t-
1
i- > xfn, n 2 
V̂ ft
-4 Solucion. Para ft ^ 2 tenemos
1 1 
+ V2 +
1 1 + — > ft 
y/n \/n
4 6 . ntt-f-1> (ft + l)n, ft ^ 3 
Solucion. Para ft = 3 la desigualdad es evidente. Suponiendo que la desigualdad se verifica.
para n demostremos su validez para ft -f 1; es decir, demostremos que si nn+1 > (n +1)",
entonces (ft + 1)I?+2 > (ft + 2)n+1.
Al multiplicar ambos miembros de la ultima desigualdad por tenemos
(ft + i y m > n+2 ̂ ��� � ��
2(n-f-l)
ft
fi+1
Dado que V n ) 
Jt+l
> (ft + 2)n+1, la desigualdad que buscabamos.
queda demostrada.
71
4 7 . sen
r—\
jt=i
< sen Xk, 0 ^ Xk ^ 7r, fc = 1, n 
^ Solucion. Para ft = 1 la desigualdad es valida. Demostremos que
suponiendo que sea licita la desigualdad de partida.
En efecto, vemos que para 0 ^ xk ^ it se verifica
ra+l
sen Y, xk
k=1
ft n
sen xk
fe=i
sen ^ x y cos xn+i + cos I j xk j sen xB+1
k=i k-i 
<
<
n
sen } ^ xk | -
fe=1
71
COS ®„+i + cos XJ3*
fc=l
sena?n^i < 
n n
< sen Xf. + sen xn.Y\ ^ V j sen -f sen xn±i
n+1
tt+1
sen a;*. • 
k=l
Niiitu'mh ri'iilt'K '>7
'18. {Inf, < («!)", w i t .
Mnlinioii. I'iira 71. ss 2 la desigualdad OM evidenle. I'nrtiendn do In suposicidu de qui"
t>i di"ii|-iialdad se verifier para u de most return que fa desigualdad es valida tambien
jjhii'ii » | I. Tenemos
Un l .')! (2n)< (2n + 1)(2n + 2)< 22n(n!)2(2n 4 l)(2n. -f 2) < 
< 27,l(n\)2(2n + 2)1 = 2Zn l2{(« + I}!)2. > 
l'|i'nicios
III. Sim { e] conjunto de los numeros opuestos a las numeros x £ {a;}. Demostrar:
,i) in!'{ — as) == —sup{i}; b) sup{ a;} — -inffa:).
il Aplicando el me todo de irtiuociAn matemSttea demostrnr las design a Id ad es:
,i) »! > n'i, n > 2; b) (2n - I)! < li2""1, n > 1; c) < p € K 
it ,i) Demostrar que para cualquier n-Sgono convexo se verifica la igualdad Dn --
donde D„ es el niimero dc diagonal es,
l>) Demostrar que para eualquier poliedro convexo se verifica la expresi6n n 4 - P„ 2,
ilonde es el numero de vertices, P„ es e! numero de aristas y n es el n u mem de caras.
11, 1 Icmostiar las design aldades:
b> <a>L + • • + + ^ + " "f* > n2> > 0, i = T7«;
fcl » alcular las sumas;
a) I • 1I + 2-2I + - • +n-n\; b) I1 + 24 + • • • + c) l5-f-2" +• • • • + rts.
t'i I himostrar (jne
£ k (k + 1) • • • (fc + m- 1) = ^n [» i 1) - • • (n + m),
k-1
donde m es un niimero natural, Utiiizando esta formula calcular las sumas:
a) i - 2 + 2-3 + --- + n(n + l)j b) 1 • 2 • 3 + 2 • 3 • 4 + • • - + n(n + l)<n + 2);
c) 1 •2-3-4+2-3-i-5 I I-n(n + 1)(ji + 2)(n + 3).
Hi. Demostrar que
V .'•••. = 1 (X L 1 ^ H)...(!'+m) "I (BH)|B+2)...(S-| IB-tW ' 
i-v.J
donde m es un numero natural. Uttlizando esta formula calcular las sumas;
"} "pj + jg -I I- b) ^ + ^ + * • • + n(„+i)(n+2i>
4 TTiTJ "f" 2-J4-:, I nlnllXsMKn-J) ' 
(7. Kesolvrr las ecuadones:
;i) +1| + |a?| + |jf — 1| = 6;. b) x\xi2]-\x-\ i| - (s + l)lx! + 1 - 0.
•>S C'.ipilulo 1. hitkkIiiiiicVn ;il antfI\his
§4, Numeros complejos
4.1. Numeros complejos y operaciones con ellos
Definicion. Se denomina numero complejo z al par ordenado (a:, y) de numeros
reales x e La igualdad, la suma y el producto de pares ordenados, asi como le
identification de ciertos pares ordenados con numeros reales, se define de la manerc
siguiente:
1) dos mimeros complejos Z\ — y\) y z2~ {x2y jfcLse dicen que son iguales 
= e jfi = i t ;
2) se llama suma de numeros complejos z\ y z2 al numero complejo
* = (®i + x2y + jfe); 
3) se llama producto de numeros complejos Z\ y z2 al numero complejo
2 = {xxx2 - yty2, x^y2 + x2yi)}
-k
4) el conjunto de numeros complejos 0), x G M, se identifica con el conjunto de
los numeros reales R.
Se denomina diferencia de dos numeros complejos z\ y z2 a un numero complejo z
tal que z2 + z = z\, de donde se obtiene z — Z\ — z2 = — x2, ^ — 3/2)-
Se denomina cociente de dos numeros complejos zi y z2 a un numero complejo £
tal que z2 - z — Z\. Asi pues,
f + gijfa x2y\ -sijfe^ 'i 
V « Z + VL ' + » 2 / * 
El numero complejo (071) se denota con el simbolo i — (0,1). Observese que se
tiene (031) • (071) = (—1, 0), es decir, i — —1. Un numero complejo arbitrario z puede sex
escrito en la forma
z = (x, y) = (xt 0) + (0, y) - (x, 0) + (0, l)(y, 0) = x + iy, 
que recibe el nombre de forma algebraica del numero complejo. El numero complejc
z = (ar, — y) = x — iy se llama conjugado del numero complejo z = (x1 y) = x + iy. 
4.2* Interpretacion geometrica de los numeros complejos
Todo numero complejo z = (x}y) puede representarse como punto de un piano coi
coordenadas x e y. El piano en el que se representan los numeros complejos se denomin<
piano complejo. El eje Ox se llama eje real, y el Oyf eje imaginario. 
La distancia r entre los puntos £ y cero, es decir, el numero r = y/x2 + y1 == \/zi 
se denomina modulo del numero complejo z y se denota con el simbolo \z\. 
El numero
0
1
X
V
arctg £ si x > 0,
arctg J + 7r si x < 0, y > 0,
arctg £ - 7T si x < 0, y > 0,
fsgn y si a;—0
se denomina argiimento del