Atomo_de_Hidrogeno

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Átomo de Hidrógeno
Jennifer Vianey González Mart́ınez
Facultad de Ciencias F́ısico Matemáticas,
Universidad Autónoma de Coahuila.
Email: jennifergonzalez@uadec.edu.mx
F́ısica Cuántica, M.C. Ricardo Pérez Martinez.
Unidad Camporredondo. Saltillo, Coahuila.
27/11/2019
Índice
1. Introducción del Átomo de Hidrógeno.
2. Potencial del átomo de Hidrógeno.
3. Separación de variables: Radial y la solución angular.
4. Desarrollo de la solución radial.
5. Enerǵıa
6. Solución general del Átomo de Hidrógenos
7. Significado de los números cuánticos.
8. Estado fundamental.
9. Espectro del Hidrógeno.
1 Introducción del Átomo de Hidrógeno
El átomo de hidrógeno consiste en un protón pesado, esencialmente inmóvil, de carga e, junto con un electrón mucho
más ligero, carga −e que orbita a su alrededor, unido por la atracción mutua de carga opuesta.
1
Figure 1: Modelo del átomo de Hidrógeno.
En este caso, el problema tiene simetŕıa esférica. Esto significa que la dirección del momento angular puede tomar
cualquier orientación y estar bien definido al mismo tiempo que la enerǵıa. Esto nos permite separar la variable radial r
de las variables angulares en la ecuación de Schrödinger y reducir el problema a un problema unidimensional.
Figure 2: Representación del átomo de Hidrógeno.
El hecho de que el sistema tenga momento angular significa que existe una fuerza centŕıfuga proveniente del giro del
electrón. Es decir, de su momento angular. En la siguiente figura mostramos el potencial efectivo en el problema del
átomo de hidrógeno.
El hidrógeno es el primer elemento de la tabla periódica y el más abundante del universo conocido: constituye más
de las tres cuartas partes de toda la materia observable. Es un elemento liviano, con la forma atómica más simple
conocida, y usualmente se presenta como un gas mono-atómico incoloro, inodoro e inflamable.
2 Potencial del átomo de Hidrógeno
El potencial efectivo U(r) es la suma del potencial V (r) y el término centrifugo h̄
2
2m
l(l+1)
r2 . El movimiento de una
part́ıcula en un potencial V (r) esta restringido a las zonas donde
E ≥ V (r) + h̄
2
2m
l(l + 1)
r2
2
Figure 3: Potencial del átomo de Hidrógeno.
Figure 4: Śımbolo del átomo de Hidrógeno.
Figure 5: Potencial del átomo de Hidrógeno para valores de l.
3
Según la ley de Coulomb, la enerǵıa potencial es
V (r) = − e
2
4π�0r2
Dependiendo de las condiciones iniciales, la part́ıcula puede acercarse o alejarse más o menos al centro del potencial.
3 Separación de variables: Radial y la solución angular
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el átomo de hidrógeno es
− h̄
2
2m
∇2Ψ(x, y, z) + VΨ(x, y, z) = EΨ(x, y, z)
− h̄
2
2m
∇2Ψ(x, y, z)− e
2
4π�0r
Ψ(x, y, z) = EΨ(x, y, z)
Donde Ψ depende de las tres coordenadas esféricas, por lo que es preciso separar las variables de las tres dimensiones,
en tres ecuaciones de una sola variable. Por lo que la ecuación de Schrödinger en términos de las coordenadas esféricas
queda, en forma general
− h̄
2
2m
∇2Ψ(r, θ, φ) + VΨ(r, θ, φ) = EΨ(r, θ, φ)
Haciendo Ψ(r, θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ), y sustituyendo adecuadamente en la ecuación de Schrödinger, las soluciones para
la parte angular quedan como
Para Φ
Φm(φ) =
1√
2π
eimφ
Esta función seŕıa f́ısicamente la de una part́ıcula orbitando en torno a un centro y cuyas condiciones de contorno
Φ(0) = Φ(2π)
Solo se satisfacen con valores propios
Lz,m = mh̄
Para |m| = 0, 1, 2, 3, · · ·, es decir m = 0,±1,±2, · · · Por lo que los estados de esta función de onda angular Φ están
determinados por este llamado número cuántico magnético m Para Θ
Θl,m(θ) =
√
(2l + 1)(l − |m|)!
2(l + |m|)!
Pml (cosθ)
Para l = 0, 1, 2, · · · y además 0 ≤ |m| ≤ l La función angular del átomo de hidrógeno está dada también, entonces, por
una serie de potencias denominadas polinomios de Legendre. Donde
P 0l (cosθ) =
1
2ll!
dl
dcosθl
(cos2θ − 1)l
4
P
|m|
l (cosθ) = (1− cos
2θ)
|m|
2
d|m|
dx|m|
P 0l (cosθ)
Consecuentemente, los armónicos esféricos constituyen la función angular total
Yl,m(θ, φ) =
√
(2l + 1)(l − |m|)!
4π(l + |m|)!
eimφPml (cosθ)
4 Desarrollo de la solución radial
Para la ecuación radial
d
dr
(r2
dR
dr
)− 2m
h̄2
r2[V (r)− E]R = l(l + 1)R
Haciendo un cambio de variable
u(r) = rR(r)
R =
u
r
dR
dr
=
[r dudr − u]
r2
d
dr
[r2
dR
dr
] = r
d2u
dr2
Reescribiendo
− h̄
2m
d2u
dr2
+ [V +
h̄
2m
l(l + 1)
r2
]u = Eu
− h̄
2m
d2u
dr2
+ [− e
2
4π�0r
+
h̄
2m
l(l + 1)
r2
]u = Eu
Por cierto, el potencial de coulomb admite estados continuos (con E > 0), que describe la dispersión de electrones y
protones, aśı como estados unidos discretos, que representan el átomo de hidrógeno, pero limitaremos nuestra atención
a este último. Nuestra primera tarea es ordenar la notación
k ≡
√
−2mE
h̄
Para valores de enerǵıa negativos, k es real. Dividiendo la ecuación por E, tenemos
1
k2
d2u
dr2
= [1− me
2
2π�0h̄
2k
1
kr
+
l(l + 1)
(kr)2
]u
Definimos
ρ ≡ kr
ρ0 ≡
me2
2π�0h̄
2k
Entonces
d2u
dρ2
= [1− ρ0
ρ
+
l(l + 1)
ρ2
]u
5
A continuación examinamos la forma asintótica de las soluciones. Como ρ→∞, el término constante entre paréntesis
domina, entonces
d2u
dρ2
= u
La solucion general es
u(ρ) = Ae−ρ +Beρ
Pero ρ→∞, entonces
u(ρ) ∼ Ae−ρ
Ahora, si ρ→ 0
d2u
dρ2
=
l(l + 1)
ρ2
u
Entonces la solucion general es
u(ρ) = Cρl+1 +Dρ−l
Pero ρ→ 0, entonces
u(ρ) ∼ Cρl+1
El siguiente paso es despegar el comportamiento asintótico e introducir una nueva función.
u(ρ) = ρl+1e−ρv(ρ)
Con la esperanza de que v(ρ) resulte más simple que u(ρ). Las primeras indicaciones no son auspiciosas.
du
dρ
= ρle−ρ[(l + 1− ρ)v + ρdv
dρ
]
d2u
dρ2
= ρle−ρ[−2l − 2 + ρ+ l(l + 1)
ρ
]v + 2(l + 1− ρ)dv
dρ
+ ρ
d2v
dρ2
Sustituyendo
ρ
d2v
dρ2
+ 2(l + 1− ρ)dv
dρ
+ [ρ0 − 2(l + 1)]v = 0
Finalmente, asumimos la solución para v(ρ) puede ser expresada como potencias en serie de ρ
v(ρ) =
∞∑
j=0
cjρ
j
Ahora, para determinar los coeficientes
dv
dρ
=
∞∑
j=0
(j + 1)cj+1ρ
j
d2v
dρ2
=
∞∑
j=0
j(j + 1)cj+lρ
j−1
6
Sustituyendo adecuadamente en
ρ
d2v
dρ2
+ 2(l + 1− ρ)dv
dρ
+ [ρ0 − 2(l + 1)]v = 0
∞∑
j=0
j(j + 1)cj+lρ
j + 2(l + 1)
∞∑
j=0
(j + 1)cj+1ρ
j − 2
∞∑
j=0
jcjρ
j + [ρ0 − 2(l + 1)]
∞∑
j=0
cjρ
j = 0
Entonces
j(j + 1)cj+1 + 2(l + 1)(j + 1)cj+1 − 2jcj + [ρ0 − 2(l + 1)]cj = 0
Es decir
cj+1 =
2(j + l + 1)− ρ0
(j + 1)(j + 2l + 2)
cj
Esta formula de recursión determina los coeficientes. Comenzando con c0, obtenemos c1, y aśı sucesivamente. Para ρ
y j grandes
cj+1 ∼=
2j
j(j + 1)
cj =
2
(j + 1)
cj
Supongamos por un momento que esto fuera exacto. Entonces
cj =
2j
j!
c0
Entonces
v(ρ) = c0
∞∑
j=0
2j
j!
ρj = c0e
2ρ
Por lo que
u(ρ) = c0ρ
l+1eρ
El exponencial positivo es precisamente el comportamiento asintótico que no queŕıamos. No es accidental que vuelva
a aparecer aqúı; después de todo, representa la forma asintótica de alguna solución a la ecuación radial, simplemente
no son las que nos interesan, porque no son normalizables. Solo hay una forma de salir de este dilema: la serie debe
terminar. Debe producirse un número entero máximo, jmax, tal que
c(jmax + 1) = 0
Evidentemente
2(jmax + l + 1)− ρ0 = 0
Definiendo
n ≡ jmax + l + 1
Que es llamado número cuántico principal.
7
5 Enerǵıa
Tenemos
ρ0 = 2n
Pero ρ0 determina E
E = − h̄
2k2
2m
= − me
4
8π2�20h̄
2ρ20
Entonces las enerǵıas son
En = −[
m
2h̄2
(
e2
4π�0
)2]
1
n2
=
E1
n2
Para n = 1, 2, 3, · · · Esta es la fórmula de Bohr, el resultado más importante de la mecánica cuántica. Bohr lo obtuvo
en 1913 mediante una mezcla fortuita de f́ısica clásica inaplicable y teoŕıa cuántica prematura. Para el valor de k
k = (
me2
4π�0h̄
2 )
1
n
=
1
an
Donde
a ≡ 4π�0h̄
2
me2
= 0.529× 10−10m
Es llamado Radio de Bohr. Ahora, también
ρ =
r
an
6 Solución general del Átomo de Hidrógeno
ψnlm(r, θ, φ) = Rnl(r)Y
m
l (θ, φ)
Rnl(r) =
1r
ρl+1e−ρv(ρ)
n = 1, 2, 3, · · · Numero cuántico principal
Θl,m(θ) =
√
(2l + 1)(l − |m|)!
2(l + |m|)!
Pml (cosθ)
l = 0, 1, 2, · · · Numero cuántico orbital
Φm(φ) =
1√
2π
eimφ
m = −l, · · · ,+l Numero cuántico magnético.
También puede expresarse en términos de los polinomios asociados de Laguerre
ψnlm =
√
(
2
na
)3
(n− l − 1)!
2n[(n+ l)!]3
e
r
na (
2r
na
)l[L2l+1n−l−1(
2r
na
)Y ml (θ, φ)]
8
Figure 6: Polinomios de Laguerre.
Figure 7: Polinomios asociados de Laguerre.
Figure 8: Diagrama para el átomo de Hidrogeno (nlm).
9
Figure 9: Superficies de constantes |ψ|2.
7 Significado de los números cuánticos
7.1 Numero cuántico magnético
Se llama número cuántico magnético, porque la aplicación de un campo magnético externo, provoca un desdoblamiento
de las ĺıneas espectrales llamado efecto Zeeman. Las diferentes orientaciones de momento angular orbital representado
por el número cuántico magnético
m = 0,±1,±2, · · ·
7.1.1 Efecto Zeeman
Es la interacción entre el campo magnético y el momento de dipolo magnético asociado con el momento angular orbital.
En ausencia del campo magnético, las enerǵıas del hidrógeno dependen sólo del número cuántico principal n, y las
emisiones se producen en una sola longitud de onda.
Figure 10: Efecto Zeeman.
10
7.2 Numero cuántico orbital
El número cuántico orbital, se utiliza como parte en la designación de los estados de los electrones atómicos en la
notación espectroscópica.
l = 0, 1, 2, · · · , n− l
7.2.1 Notación espectroscópica
La notación espectroscópica se diseña para crear śımbolos calificativos, para los estados electrónicos de los átomos
multielectrónicos. Al hacer esto, el esquema utilizado para el momento angular orbital del simple electrón de arriba,
se aplica al momento angular orbital total L, asociado con el estado electrónico.
Figure 11: Notación espectroscópica.
7.3 Numero cuántico principal
En la notación de la tabla periódica, las principales capas de electrones son denominadas K(l = 1), L(l = 2), M(l = 3).
basadas en el número cuántico principal.
n = 1, 2, 3, ...
8 Estado fundamental
La enerǵıa esta dada como
En = −[
m
2h̄2
(
e2
4π�0
)2]
1
n2
=
E1
n2
El estado fundamental es el caso n = 1, la enerǵıa sera
E1 = −[
m
2h̄2
(
e2
4π�0
)2] = −13.6eV
Evidentemente, la enerǵıa de enlace del hidrógeno es 13.6eV . Ahora para l = 0, m = 0 tenemos
ψ100 = (r, θ, φ) = R10(r)Y
0
0 (θ, φ)
La fórmula de recursión truncada con j = 0
R10(r) =
c0
a
e−
r
a
11
Y normalizándola ∫ ∞
0
|R10|r2dr =
∫ ∞
0
|c0|2
a2
e−
2r
a r2dr = |c0|2
a
4
= 1
Entonces c0 =
2√
a
, y para Y 00 =
1√
4π
, y por lo tanto el estado fundamental del hidrógeno es
ψ100(r, θ, φ) =
1√
πa3
e−
r
a
Figure 12: Primeras funciones de onda radial para Rnl(r).
Figure 13: Gráfica de las primeras funciones de onda radial para Rnl(r).
12
9 Espectro del Hidrógeno
El electrón puede experimentar una transición a algún otro estado estacionario, ya sea absorbiendo enerǵıa y subiendo
a un estado de mayor enerǵıa, o emitiendo enerǵıa y bajando. y el resultado es que un contenedor de hidrógeno emite
luz, cuya enerǵıa corresponde a la diferencia de enerǵıa entre los estados inicial y final
Eγ = Ei − Ef = −13.6eV (
1
n2i
− 1
n2f
)
Ahora, de acuerdo a la formula de Planck, la enerǵıa de un fotón es proporcional a su frecuencia
Eγ = hν
Mientras tanto, se da la longitud de onda como
1
λ
= R(
1
n2i
− 1
n2f
)
donde
R ≡ m
4πh̄
e2
(4π�0)2
= 1.097× 107m−1
Se conoce como la constante de Rydberg. Esta es la fórmula de Rydberg para el espectro de hidrógeno; se descubrió
emṕıricamente en el siglo XIX, y el mayor triunfo de la teoŕıa de Bohr fue su capacidad para explicar este resultado
y calcular R en términos de las constantes fundamentales de la naturaleza.
Figure 14: Transiciones.
Figure 15: Enerǵıa del electrón.
13
Figure 16: Espectro del Hidrogeno.
Las transiciones al estado fundamental (nf = 1) se encuentran en el ultravioleta; Son conocidos por los espec-
troscopistas como la serie Lyman. Las transiciones al primer estado excitado (nf = 2) caen en la región visible;
constituyen la serie Balmer. Las transiciones a nf = 3 están en el infrarrojo es la serie Paschen
Figure 17: Series.
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