Arit - Problemas_de_Aritmética_y_cómo_resolverlos - Hernan Flores Velazco

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Problemas de
Aritmética
y cómo resolverlos
D irig ido po r:
Fl ijx A uc allanci u V elásquez
Primera edición en español 
Copyright © 1999 por RACSO Editores
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier método de publicación y/o almacenamiento 
de información, tanto del texto como de logotipos y/o ilustraciones sin autorización escrita del autor y los editores 
Caso omiso se procederá a denunciar al infractor a 1j INDECOPI de acuerdo a la Ley V 13714 y al aiiiculo INT 221 
del Código Penal vigente.
Pnnted in Peni - Impreso en Perú
Imprenta M AQ l'ET l E I.R.L. - Jr Caitos Amela I3IÓ - Luna 1
SFR1F DF LIBROS Y 
COMPENDIOS 
CIENTIFICOS
COLECCION RACSO
/
P C O C L O U S D C 4 R I T H C I I C 4
y C O , M C B E S C * V E t t i X S
v _____________________________________________________________________________________________________________________________
is a E D IC IO N
COLABORADORES:
Ing. Jaime Rojas L. UNÍ
Ing. Guillermo López Zamora UNI
Ing. Mario Seguil Mirones UNCP
Lic. Javier Rey naga Alarcón UNI
Ing. Carlos Paucarpura Castañeda UNCP
Ing. Jorge Chumbenza Manzo UNI
Ing. Lucio Toledo Sarzoza UNI
RACSO EDITORES LIMA
Título de la obra:
Problemas de Aritmética y cómo resolverlos 
© 1999, por Hernán Flores Velasco
Primera edición
Publicada por RACSO EDITORES - OCTUBRE 1999
Supervisión general:
Lic. Mario Seguil Mirones (UNCP)
Profesor de la Escuela Matemática Záratc - Hyo.
Revisión de estilo:
Dr. Carlos Chávez Vega
Revisión Técnica :
Mr. Aurelio Games Cabanillas
Profesor de la Universidad Nacional Enrique Guzman y Valle (La Cantuta)
Ing. Guillermo López Zamora
Profesor del Centro de Bachillerato Pitágoras
Composición, Diagramación e Ilustraciones:
Compañía Editorial: RACSO ED ITO RES
Supervisión de la edición:
Miguel Angel D ía: Lorenzo
Compañía Editorial: RACSO ED ITO RES 
Dirigida por: Félix Aucallanchi V.
Primera edición en español
Copyright © 1999 por RACSO EDITORES
Los derechos autnralcs de ésta obra son de propiedad de Racso Editores. Hecho el deposito legal en la Dilección 
de Derechos de Autor de INDECOPI. y amparado a la Ley N ° 13714 y al Código Penal (Articulo 221)
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier método de publicación y/o almacenamiento de 
información, tanto del texto como de logotipos y/o ilustraciones sin autorización escrita del autor y los editores 
Caso omiso se procederá a denunciar al infractor a la INDECOPI de acuerdo a la Ley Nu 13714 y el articulo N' 221 
del código penal vigente.
Prmted tn Perú - Impreso en Perú
r r c L C « « i t i A i n r
Siempre ha sido una necesidad permanente por parte de quienes desarrollamos la 
profesión de docentes en el área matemática, el de contar con un material bibliográfico 
adecuado para poner en práctica los principios de esta ciencia, bien llamada : La reina 
de las matemáticas.
Por experiencia podemos ir acumulando una serie de ejercicios adecuados para 
cultivar el dominio en las distintas situaciones problemáticas en que puede encontrarse 
un estudiante de secundaria, de nivel intermedio y porqué no decirlo, los de nivel supe­
rior. Por tales razones acepté elaborar un texto práctico de aritmética para la prestigio­
sa Colección Racso, denominado Problemas de Aritmética y cóm o resolverlos, en el 
que he intentado plasmar a través de ejercicios, la mayor parte de mis experiencias 
como docente. ^
Debo señalar que en concordancia con las demás publicaciones de la colección de 
esta misma línea, se inicia cada capítulo con una breve referencia a los fundamentos 
teóricos, los que a su vez están enriquecidos con ejemplos dirigidos especialmente para 
observar las aplicaciones o algunas propiedades particulares. A continuación presento 
los problemas resueltos que he seleccionado üe modo que el nivel de dificultad sea 
creciente y de criterio amplio, con la finalidad de abarcar el máximo de los modelos o 
tipos de problemas de cada tema.
Muchas veces por atender determinados programas educativos, especialmente 
los referidos a centros pre-universitarios. el curso de Aritmética suele iniciar su desa­
rrollo con los capítulos de Aritmética C om ercial: Razones y Proporciones, Proporcio­
nalidad, Reparto Proporcional. ...etc. Sin embargo, una exposición serie de este impor­
tante curso, supone un desarrollo matemático formal que no dé lugar a la utilización de 
términos que aún no han sido definidos, lo cual constituye un verdadero impase lógico 
entre lo que se propone y lo que se quiere proponer; por tal razón hemos iniciado el 
curso a partir de un tema que consideramos básico en la ciencias matemáticas denomi­
nado Lógica Matemática, para seguir luego con Teoría de Conjuntos. Sistemas de Nu­
meración, Conteo de Números hasta llegar a los temas de la Aritmética Comercial.
No cabe duda que la aritmética ha evolucionado y mejorado su contenido, meiodo- 
logia y su campo de aplicación, de modo pues que hay marcadas diferencias entre lo 
que se hacia el siglo pasado con lo que se hace ahora en el umbral del tercer milenio. 
No podemos entonces estar al margen de toda esta vorágine de cambios que se vienen 
dando en todos los campos del que hacer humano tecnológico y científico. Por esta 
razón, resulta poco práctico y muy tedioso resolver los cases de la aritmética conven­
cional a través del razonamiento puro, tal com o se hacia en décadas pasadas; ha sido 
entonces una lucha intestina por conservar viejos y anquilosados métodos con los nue­
vos enfoques que la aritmética actual exige.
No es extraño observar resoluciones de problemas de aritmética clásica por me­
dio de algunos procedimientos algebraicos, puesto que el campo de aplicación de la 
aritmética se introdujo en regiones más áridas del pensamiento humano. Lo que antes 
no fué lícito, es hoy una necesidad que apuesta por el avance.
Deseo expresar mis mayores sentimientos de gratitud a la editorial Racso que 
depositó en mi persona la confianza de poder realizar el presente trabajo, el que espero 
esté en el nivel de la exigencia del buen público lector.
Conciente que toda obra que llega al público lector especializado, se expone a la 
crítica respectiva, por ello agradeceré a todo aquel que lo estime conveniente alcanzar­
nos su opinión y sus críticas relativas al presente texto.
Hernán Flores Velasco
rp uxc n i cciicc
Como todo lo que se ha logrado producir a través de esta casa editorial, nos 
complace ver concluido lo que antes fuera un proyecto del libro titulado: Problemas de 
A ritm ética y cóm o reso lverlos. Han sid o prolongados m eses de m archas y 
contramarchas, de dilectos conversatorios y de enriquecidas discusiones respecto de 
un sinnúmero de puntos de vista, de lo que podía ser y de lo que debía ser, un libro de 
amplio alcance y contemporáneo enfoque.
El texto que ponemos en vuestras manos, intenta satisfacer todas las exigencias 
de la aritmética actual, la misma que se encuentra sumergida y conectada, com o en sus 
inicios, con muchas otras disciplinas de la matemática; sin embargo, continúa siendo la 
■'reina”. Esto ha sido el preámbulo de un trabajo serio y permanente en busca de darle lo 
mejor a nuestro público lector. Creemos haber hecho bastante, sin embargo somos 
conciernes de que la realidad es cambiante y lo que hoy nos parece aceptable o bueno, 
dentro de no mucho tiempo nos parecerá poco y con menos bondades; sin embargo 
estamos predispuestos a todo lo nuevo que se nos exija, porque aceptamos la renovación 
por las cosas mejores.
Colección Racso se satisface de contar con un prestigioso profesional de las 
matemáticas, como es el Lic. Hernán Flores Velasco. profesor de dilatada trayectoria y 
autor de varias obras que han ido enriqueciendo la bibliografía matemática nacional. No 
dudamos que la presente obra corresponda a uno de los trabajos más serios en el 
campo de la Aritmética Práctica, que se ha publicado en estos últimos tiempos, por la 
enorme cantidad de información que ella posee, por el orden enque ésta se presenta y 
por la selecta concurrencia de problemas resueltos y propuestos.
En esta obra se pueden distinguir temas que la aritmética convencional pocas 
veces atendió, sin embargo debemos reconocer que en íá actualidad estos son temas 
básicos para todo educando que aspira a los niveles superiores como son los institutos y 
las universidades. Entre estos tenemos : Lógica Matemática, Conteo de Números, 
Relaciones y Funciones, Estadística,.... etc.
Se puede apreciar a lo largo de la obra una profusa y generosa entrega de notas 
que enriquecen la información y la aplicación de los principios teóricos. Asi tenemos los 
resúmenes teóricos, los ejercicios de aplicación, los problemas resueltos y los problemas 
propuestos. Todo este material hace posible que el lector tenga un panorama completo 
de todos los temas, sus aplicaciones principales, asi com o también una serie de casos 
resueltos de un modo directo, general y simple.
i
Espero que el presente texto constituya la fuente del orden en temas y problemas 
que todo profesor busca al inicio de su carrera, aliviándole de este modo su labor, pues 
todos por experiencia sabemos que un ejercicio o problema con características apropiadas, 
originales y de resolución a veces inesperada y directa (pero meditada) y con cálculos 
que casi siempre conducen a números de fácil operatividad, nos permite ser aceptados 
con agrado por nuestros alumnos, provocando en ellos una especial atención por el 
curso.
Como en todas nuestras publicaciones anteriores, estoy totalmente seguro que así 
como he quedado satisfecho de la lectura de los manuscritos, por su aceptable sencillez 
y eficaz precisión matemática, los lectores experimentarán una agradable sensación de 
seguridad, puesto que todo lo que aqui se expone fue aplicado por el autor durante 
muchos años de docencia.
Atentamente:
Fé lix A ucallanch i Velásquez
INDICE GENERAL
Página
CAP 1 Lógica matemática...................................................................... I I
CAP2.- Teoría de Conjuntas.................................................................. 41
CAP3.- Sistemade Numeración............................................................. 75
CAP4.- Conteo de Números................................................................... 105
CAP5.- CuatroOperaciones................................................................... 131
C A P6.- Teoría de la Divisibilidad.......................................................... 191
CAP7.- Teoría de los Números Primos................................................... 229
C A P8.- M.C.D-M C.M ........................................................................ 261
CAP 9.- Números Fraccionarios............................................................. 295
CAP 10.- Potenciación............................................................................ 327
C A P I 1.-Radicación.............................................................................. 349
CAP 12.- Longitud y Tiempo................................................................... 373
CAP 13.- RelacionesyFunciones................ 389
CAP 14.-Estadística................................................................................ 415
CAP 15.- Razones y Proporciones............................................................ 455
CAP 16.- Proporcionalidad...................................................................... 487
CAP 17.- Reparto Proporcional............................. 515
CAPIS.- Regla de Tres............................................................................ 541
CAP 19.- RegladePorcentaje.................................................................. 565
CAP20.- Reglade Interés........................................................................ 589
CAP 21.- Regla de Descuento.................................................................. 607
CAP. 22 - Promedios............................................................................... 631
CAR 23.-Mezcla...................................................................................... 647
Claves de Respuestas.................................................................................. 673
Bibliografía............................................................................................... 675
S IM BO LO S
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V
(r.y)
(A . B) 
—♦ o
conj con elementos 1. 2 y 3
conj de los números naturales. O. 1:2. 3: ...
cotí) de los números naturales: 1 ,2 .3 :
conj. de los números enteros....: -2; -I: 0. I.
conj de los números enteros positivos
conj de los números enteros negalivns
conj. de los números racionales
conj de los números irracionales
conj de los números reales
conj. de los números reales positivos
conj. de los números reales negativos
conj. de los números complejos
símbolo que representa a -J- l
conjunto nulo o vacío
pertenece a ...
no pertenece a ...
A es subconjunio de B 
A intersección B 
A unión B
complemento del conj A
existe
no existe
existe un único
no existe un único
para todo
no para todo
suma, o, sumaloria
un par ordenado de números
distancia entre los puntos A y B
implica, luego, por lo tanto
es equivalente a. implica en ambos sentidos
e n to n c e s
<=>
/
2 n
2/i + I 
2/i - 1 
OC
W
a > b 
a < b 
a > b 
a < b 
a » b 
a « b 
a < r < l
v 
/ (* ) 
/• ' U) 
ni 
sen x 
eos X 
\% X
ctg X 
sec jr 
esc x 
Km
si y solo si 
tal que 
igual
desigual, distinto 
idéntico
aproximadamente
número par (n * 0)
número impar (n € Z )
número impar (n e N )
proporcional a
valor absoluto de a
a es mayor que b
a es menor que b
a es mayor o igual que b
a es menor o igual que b
a es mucho mayor que b
a es mucho menor que b
c es ma>or que a y menor que b
semejante
congruente
y
o
función de x 
función inverva de x
factorial de n = n {n * l).(n - 2). ... () 2 I
ieno del número x
to\enu del número x
tangente del número x
cotangente del número x
secante del número x
cosecante del numero x
lím ite
mcA 
w m m c k
Entenderemos por lógica matemática a una disciplina intermedia entre las ciencias for­
males : Lógica y matemática, que trata de resolver los problemas de la lógica mediante un 
simbolismo de tipo algebraico.
PROPOSIC IÓN DE LA LÓGICA
Es aquella oración o enunciado que puede calificarse o bien como verdadero (V ) o bien 
como falso (F) pero no ambas posibilidades al mismo tiempo.
Las proposiciones lógicas pueden ser SIMPLES, si expresan una sola idea, o COMPUES­
TAS, si se fonnan a partir de proposiciones simples ligadas entre si por lo que, más adelante 
llamaremos conectii bs lógicos.
La verdad o falsedad de una proposición lógica recibe el nombre de VALOR DE VERDAD 
o también VALOR VERITATIVO.
Las proposiciones lógicas se suelen denotar con letras minuscuLis tales com o: p, q, r, s, 
i , ..., etc Por ejemplo :
p representa la proposición : " 2 es un número entero " (V )
q representa la proposición : " 1/2 es un número natural" (F )
r representa la proposición :" Teófilo Cubillas es peruano " (V )
s representa la proposición : " Todo hombre es mortal" (V )
t representa la proposición :" 4 . 2 = 9 " (F )
No se consideran como proposiciones lógicas: -
¿Dónde vas?
Muchas gracias 
a + b = x
En todas ellas, no se pueden identificar sus valores de verdad o de falsedad. 
NEGACION DE UNA PRO PO SIC IÓ N
La negación de una proposición, consiste en cambiar el valor de verdad que tiene una 
proposición original. Asimismo, dada una proposición "p", su negación se denota as i: ~p
Por ejemplo :
p : 19 es un numero impar (V )
—p : 19 no es un número impai (F )
q : Caracas es la capital de Bolivia (F )
~q . Caracas no es la capital de Bolivia (V )
12 Problemas di Aritmética v como resolverlos Hernán Flores Velozco
Si realizarlos una tabulación:
p ~p *~p” se lee : " es falso que p
i — —
V F "no p*
F I V
EQl IVALENCIA \ ~p: .No es cierto que p
1.1 CONECTIVOS LÓGICOS
1. D1SYLNCION.- Dos proposiciones lógicas simples se pueden enla/at por medio del conectivo 
"o" (en el sentido inclusivo v o) pata formar un.i proposición compuesta 
llamada DISYUNCION de ambas proposiciones
La disyunción de las proposiciones p y q se denota as i: p v q
Por ejemplo : p . Jorge es peruano
r/ : Mich.iel es nurteanietiLano
p v q : Jorge es peruano o Michael es norteamericano
Su tabla de valores veritativos será :
Nótese que:
p v q es falsa (F), únicamente, 
cuando p y q son ambas falsas.
2 CONJUNCION: Un par de proposiciones simples pueden enlazarse mediante el conectivo 
"y" para formar una pioposición compuesta llamada CONJUNCION de 
ambas proposiciones La conjunción de las proposicionesp y q se deno­
ta : p a </.
Por ejemplo : p : Raúl es ingeniero
q : Samuel es médico 
p a q : Raúl os ingeniero^jSamuel es medico
Su tabla de valores de verdad sera
Observe.se que :
p <1 p v q
V V V
V F V
F V V
F F
P <1 P A C /
V V ©
V F F
F v F
F F F
p a * q solamente es verdadera (V), 
cuando p v q son ambas verdaderas
EQUIV ALENCIAS : Pero, sin embargo. además, no obstante, aunque, a la vez.
¡.tilica Mutcmaiita n
3. CONDICIONAL.- Muchas proposiciones compuestos, especialmente en matemática, son de 
la forma «si p entonces r/*, tales proposiciones se llaman CONDICIONALES 
o IMPLICACIONES v se les denota poi : p —> t¡ , que significa «p implica 
</»•
Por ejemplo: p : José es limeño
q : José es peruano 
p —i q : Si José es limeño, entonces Juan es peruano
FQI 1VAI.ENCIAS: Porque, puesto que, ya que, cada vez que siempre que
La tabla de valores y colativos sera
P
V
V 
F 
F
<?
V 
F
V 
F
p ->n 
v
©
v
V
De donde se observa que •
La proposición p -* q es falsa (F), 
cuando el antecedente (p) es verdade­
ro y el consecuente (q ) es falso.
p -> q s - p v q
4 BICONDICIONAI..- Otr.» proposición compuesta bastante común es la de la forma *p si y
solo si q »; tal proposición se llama BICONDICIONAL o DOBLE IMPLICA­
CION y se le denota por: p «-> q , que se lee : «p es condición necesaria 
y suficiente para q ».
Por ejemplo : p : 3 es impar
q : 4 es par
p q : 3 es impar si y solo si 4 es par
En una tabla de valores de verdad se tendrá :
Notemos que.
p <-» q es vcidadera (V). cuando 
p y q tienen valores idénticos de 
verdad.
p <-> (/ ■ (p > </) a (</ ► p)
* (~p v q) a (~<7 v p) 
a (p a ? ) v {~ g a ~q)
5. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.- Dadas las proposiciones p y q. la DISYUNCIÓN EXCLUSIVA de
dichas proposiciones se denota p Aq que se lee :«p o q pero no
ambas » o también : « o bien p o bien q ».
Por ejemplo : p : Jorge va al cine con Edith
q : Jorge va al cine con Gabriela 
p A q : Jorge va al cine, o bien con Edith o bien con Gabriela
p Q P
V V ®
V F F
F V F
F F ®
14 Prubianas de Aritnu tica v cuino rcsoln ilo.s Hernán Flores velozco
Tabulando los valores veritativos :
p Q p A q Observemos que :
V V F
V F vY) p A q es verdadera (V), solamente
F V (v ; cuando p y q tienen valores de
F F F verdad opuestos.
p Aí7 - - (p <-> q)
■ (p v q) a ~ (p Aí/) 
= (P a ~q) v (c/^-p)
1SL TAUTOLOGIA, CONTRADICCION T CONTINGENi
1 -TAUTOLOGIA - Es toda proposición compuesta cuyo valor de verdad es siempre v erdadero 
(V) para cualquier combinación de valores veritativos de sus componen­
tes.
Por ejemplo, construyamos, paso por paso, la tabla de verdad de •
l(p v a ) a ~ q ] ->p
P <1 p v q ~<l _ Q > vq )X ~ q |(p v q) a -p] — > p
V V V F F F
•v¡
V
V F V V V V V
F _ V . V F F F V F
F F F
*
V F F V. F
Luego, la pro|>osición [(p v q) a ~q\ —»p es un.» TAUTOLOGÍA
2 - CONTRADICCION.- Llamamos así a toda proposición compuesta cuyo valor veritativo es
siempre falso para cualquier combinación de valores de verdad de sus 
componentes.
Por ejemplo, construyamos la tabla de valores veritativos de '
l(p a cf) v ~q\ a ~p
P </ p A (7 1 > w < •c i ~q |(p A í / ) v r/| a ~p
V V V V F V F
V F F F V F F V
F V F V F V F F
F F F F 1 V F F V
De donde notamos que la proposición [(p a q) v q\ a —p es una CONTRADICCIÓN
Lógica Mate matica 1 5
3 - CONTINGENCIA - Es aquella proposición lógica simple o compuesta, cuya tabla rlc verdad
liene al menos un verdadero (V) y un falso (F).
Construyamos por ejemplo la tabla de verdad de .
(~p a ~q) v ~q
p <7 ~P ~q ~ P A ~ q Í ~ P A ~ q ) v ~ q
V V F F F F
f -s
F F
V F F V 1 F F V V
F V V F F F F F
F F V V V V V V
Luego, podemos afirmar que la proposición . (—p a —p) v —q es una CON NNGE.NC1A
1.3 PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES
L)os proposiciones lógica p y q se dice que son lógicamente equivalentes cuando sus 
tablas de verdad son idénticas; en esb* caso se denota :
p s q
Como por ejemplo, construyamos las tablas de verdad de :
~P —>~~q y P v ~q
P q ~P ~q ~P -> ~q p v -
V V F F 1 i Í V |
V F F V V J V
K V V F F
1 r 
i v
F F V V Vs_._J l y ji i
idénticos
I.uego, las proposiciones compuestas : —p —» — q y p v ~q son LOGIC AMENTE EQt 'IVA- 
1 ENTES. > lo denotamos asi:
~p ->-(/ s p v ~q
16 Problemas de A ritme tica v como resolverlos Hernán Flores Velozco
1.4 VETES DEL ALGEBRA D E PROPOSICIONES
Ira Ley : IDEMPOTENCIA
P A p s p
p vp = p 
2da Le> : CONMUTATIVA
PAÍ/mq/^p
p v q = q v p
3ra Ley : ASOCIATIVA
( p a < 7 ) A t = p a ( í / a e )
( p v g ) v / ■ p v ( g v r )
4ta Ley : DISTRIBUTIVA
p a (17 v r) = (p a í/) v (p a r)
P v ( ( / A r ) = ( p V p ) A ( p V r )
5ta Ley . MORGAN
~ ( p A i / ) » - p v - f /
~ (p v í/ )s ~ p a —q
6la Ley : COMPLEMENTO
T = Tautología
C = Contradicción
p v —p s T (Tercio excluido) 
p a —p = C ( Contradicción)
 p » p (Doble Negación)
~ T = C 
- C =T
7ma Ley : IDENTIDAD
p v T s T p a T = p
p v C - p / ja C h C
8va Ley : IMPLICANCIA MATERIAL 
p - » r/ - ~ p v q
üna Ley . CO.NTRARECIPROCA 
p —* q = ~ q —f ~ p
lüma Ley : DOBLE IMPLICACION 
P H p s (p -> q ) a { q ->p )
s ( - p v <7)a ( ~ o v p ) 
= (p Ai / ) V ( - p A ~ g )
1 lia Ley : ABSORCION 
p a ( p v ( }) * p 
p v ( / J A ( / ) í p 
p A ( ~ p V í / ) » p A<7 
p V ( ~ p A p ) s p V q
\
L ó g i c a M a t e m á t i c a 1 7
PR0 GL6MAS R€SU€LTOS
1 Dadas las proposiciones : p : Marco es com erciante
q : Marco es próspero industrial 
r : Marco es ingeniero
Sim bolizar el enunciado:
" S i no es el caso que, Marco sea un com erciante y un próspero industrial, entonces, 
es ingeniero o no es com erciante " —
A) ~ (p a q) > (r v p) B ) (~p a q) -* (r a q) C) - (p v q) -» frv p)
^ 0 — (p a q) -> (rv ~p) E ) (~ p a -q) -> (~ rv p)
Resolución -
Si no es el caso que. Marco sea un es ingeniero o no es
comerciante y un próspero industrial comerciante
„ „ -p - - « v - i ¡
, > (entonces) , »\P a <7 ) — —<=- ( r v - p )
solución ~{p/\q) (r v ~p) RPTA. D
2.- S/: p : Luis compra pan
q : Luis Toma desayuno 
r : Luis se levanta temprano 
Sim bolizar: c y\ r* ) V ” ^ A
« S/ Lu/s se levanta tem pranqjino compra pantfim plica que podrá tomar desayuno¿J 
pero, que baya comprado~eípan es condición necesaria y suficiente para que se baila 
levantado temprano »
A )[(r a ~p)v - q ]A [ (p * + r ) D) [(r a -p) <-> q ] a (r -> p)
B ) [ ( r * P )- > - q ] * (q x O E ) [(p a q) -> r] a p
C) [(r a -p) -> -<7 ] a (p <-> r)
Resolució n - ’
Si Luis se levanta temprano que hnvn comprado el pan es condición,
y no compra pan y necesaria y suficiente! para <jue se haya
_ no podra tomar
J j . desayuno
levantado temprano
i ^ r a
' (implica que) " - ■) pero
[ ( r Q ¡ ~ „ ) • ~¡¡ | .. ' a ( i x & ' r )
s o l u c i ó n : | (/ ' a —p ) —> ~ q | a ( p <-> / ) R P T A C
F
3.- S i la proposición compuesta (~p a r) -> (r a -q) es falsa, determ inar el valor de verdad 
de las proposiciones r, p y q respectivam ente.
A ) FVV B ) FV F C) VFV D) VVF E ) VVV
18 Emblemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velozco
Resolución.- V -*• - f ÍE1
La proposición compuesta : (—p a t ) -» (r a — q) es una CONDICIONAL, la cual sera falsa (F) 
solocuando el antecedente (-~p a r) se.» verdadero (V) y el consecuente (r a ~q) sea falso 
(F).
V V v^/ ' - 'v *
La conjunción (—p a t ) será verdadera (V) solo en caso que ~p sea V y r sea V , luego :
f p F l y i r j x i
En la conjunción (r a — q'), para que sea verdadera (V), como r es V. entonces r-q esJypor lo 
tanto: V
r : V q : V p : F RPTA. D
P*
4.- De la falsedad de la proposición : (p -» ~q) v (~r -> s), deducir el valor de la verdad de 
las siguientes proposiciones com puestas :
a) (-p a ~q) v -q
b ) [ (- r v q )A p ]< -> [(-q vr)A s ]
c ) (p - * q )- > [(p v q ) a -q]
A) VFV B J F F F C) VVV D) VVF E) FFV
Resolución.-
(p -* -q ) v (- r -» s) » F
Nótese que la expresión dada es una DISYUNCION, la que solo es falsa (F ) cuando sus dos 
componentes son falsos (F), luego :
p —» ~(¡ = F y — r -> s s F
Ambas expresiones resultantes son CONDICIONALES que únicamente son falsas (F) cuando el 
antecedente es verdadero (V) y el consecuente es falso (F).
De donde : p = V ~q = F y ~r e V s a F
Entonces: p : V q : V r : F s :F
Reemplazando estos valores de verdad en cada uno de las expresiones dadas se tendrá
a) (~p a —q) v ~q = ( —V a —V) v —V 
* ( F a F ) v F
= F v F
s F
li) |(—r v q) Api <-» |(—í7 v r )A s l = |(—F v V) a VJ | (~ V v F )a F ]
Lógica Matemática 1 9
s | (V V V O a V I <-> | ( F v F ) a F J 
a [ V a V | | F a F ]
= V <-> F 
= F
c) (p -> q ) ->|(p ve/) a — q \s (V -» V) -» I ( V v V ) a —V|
9 V —> ( V A F ]
■ V -> F
■ F
Luego: F F F RPTA. B
5.- S i la proposición : (~p -> ~q)v (r A q ), es falsa; entonces los valores de verdad d e :
a) ( p q ) ( r A ~q) b) -q -♦ [ ( p <-> q ) a r]
son respectivam ente:
A) VVj B ) VF C) FV D) F F E ) Indefinidos
Resolución -
Notamos que nos dan como dato una DISYUNCION : (—p —* q) v (r A q), esta solo será falsa 
(F) cuando sus dos componentes sean falsas ; es decir
—p -* ~q * F y rA í/ s F
La primera de ellas, por ser una CONDICIONAL, únicamente sera falsa cuando ~p sea verdade­
ra (V) y — q sea falsa (F), luego : p = F q s V
En la segunda que es una DISYUNCION EXCLUSIVA , se cumple que es falsa (F ) cuando las 
proposiciones componentes tienen valores de verdad iguales, entonces como q es falsa: i s F
Reemplazando los valores de verdad en las expresiones pedidas se tiene
a) (p q) -» (r A ~q) = (F -» V) -> (F A —V)
s V -» (FA F )
= V -> F
= F
b) ~q -» |(p q) a t| ■ ~V -* | (F <-» V) a F|
- F -* I F a FI 
= V 
Luego:’ F V RPTA.C
•
6.- S i la proposición : ~[(p a ~t) -> (r A ~q)] es verdadera. Hallar el valor de la verdad de;
a ) ( r * p )A [ (p A q )~ * (rv q ) ] b) (p q) A (r «-» q) c) (r a p a q )v (r a q) v q
A) VFV B) FFV C) VVF D) VVV E) FFF
20 Problemas de Aritmctiia y como resolverlos Hernán Flores Velozco
Resolución.-
Fácilmente se deduce que: (p a -p) —> (r A — q) debe ser falsa (F), luego por ser una CONDICIO­
NAL, solo sera falsa (F) cuando (p a —r) sea verdadera (V) y (r A ~q) sea falsa (F).
Ahora bien, para que (p a — r) sea verdadera: p = V y ~r * V, es decir p s V y r = F
La otra proposición (r A — q) solamente será falsa (F ) cuando / —q tengan indénticos valores 
veritalivos, entóneos como /' es falsa (F) , — q también es falsa (F), >e deduce que : q = V
Reemplazando en las expresiones pedidas
a) (r a p) A [ (p A q) —> (r v q) \ = (F a V) A [ (V A V) —> (F v V ) |
s F A I F -» V ]
* F A V
= V
b) (p «-» q) A (r <-» t/) £ (V *-> V) A (F V)
= V A F 
£ V
c) (r a p a (7) v (r a </) v q = (F a V a V) v (F a V) v V
a ( F A V )v F v V 
£ F V F V V
v V
Luego: V V V RPTA. D
G Se sabe que : t = (r-* s )Á - f f /
1 u — (r —> -sj —> -r
Además, "f"es falso y "u " es verdadero: determinar el valor de verdad respectivo d e :
a) [(r —* u) a (t A S ) A ~t]
b) [ (r —> u)-> t]-> s
c) [ rA (u A t ) ]- * s
A) VFF . B) VVV C) VFV D) FVV E) FFF
Lógica .Matemática 2 1
Resolución -
Veamos, ahora otro procedimiento para determinar los valores de verdad de r y s , construyendo 
la tabla de verdad de / y //:
r s r -» s -s
— ;
r ~ s ~r
/. " -s
(r -» s) A —r
,---- '---- >
(r —» —s) —♦ r
V V V F
~ ~ ~ 
F F V V '© © F V V F © ®
F V V F V V F F
F F V V V V F F
Motamos que t es falso (F) y u es verdadero (V) solamente cuando r es verdadero (V) y s es falso 
(F), es decir:
r • V s : F 7". F u : V
Reemplazando en las expresiones pedidas:
a )l ( r —» u )A (/^ s )A ~ r ) = { (V -*V ) ] a (F A F ) ]A ~ F
- I V a F 1A V 
% = F A V
= V
b) [ (r -»u) -> / 1 -»s
c) ( r A (u A /) | -* s
Luego: VVV
= I(V - * V )- » F 1 - » F 
= | V -» FJ -» F
- F -» F
s V
« l V A (V A F )J -> F
« I v a v l -> f
* F -> F
- V 
RPTA B
8.- Sabiendo que el valor de verdad de la proposición com puesta:
{ -[ (p a r)-* q ] * [ ( p v q ) ó s ] } - * { ( s A p ) - * t } 
siempre es falso, determ inar el valor de verdad de la siguiente proposición : 
{ [ (- p Á q )A r ] -* ~ [q - * ( t - * p ) ] } ó (p ó q )
B ) F C )V ó F D) Tautología E ) Contradicción
/
A) V
22 Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velozco
Resolución-
La expresión dada como dato es una CONDICIONAL; ahora bien, esta solo puede ser falsa (F) 
cuando el antecedente sea verdadero (V) y consecuente sea talso (F), es decir
~[(p A t ) -*p] a (p v p ] As] = V (s A p) -» / = F
Reemplazando
Reemplazando
~!(p a t ) —> <7] 3 V y (p a p) A s = V
O r
( p a r) - » q h F ^ _ _ ^ 
p a te V v q * F
p = V r = V X /
(V V F) A s = V 
V As s V
O
s - F
(F A V) -* / = F 
V -*/ = F
O
/« F
Reemplazando en la proposición pedida :
{](—p Api A r] —> ~|p —»(/ -*p)]} A(p Ap) = (l(~ V A F ) AV] -> ~[F-> (F-> V )I) A (VAF)
e {]( F AF)AV|-> ~[F-> V]|AV 
= {| F A V] —» —|V ]} A V 
■ { F -* F } A V
s V A V
Luego: R P T A .^
9.- Es posible determ inar s i la proposición "p " es verdadera o falsa sabiendo que: 
~(p a r) es verdadera ; p -» q es verdadera y ~r-> ~q es verdadera ?
A) Si, es verdadera B ) Si, es falsa C) No se puede
D) Depende de r E ) Depende de -r
Lógica Matematim 23
Nuevamente utilizaremos las tablas de verdad para determinar el valor de verdad de "p'\ 
Como hav tres proposiciones :p ,q y r s c formarán 8 (= 23) combinaciones de valores :
Resolución.-
_ P Q r__ ~q I__P A r ~ (P a t ) p -* q _ —r —» —q
V V V F IV V ' V V
V V F V F F v i V F
V F V F V V F F V
V F F V V F V F V
® V V F F F (Y) © ©
F V F V F F V V F
® F V F V F © © ®
® F F V V F © (y; ©
Puede observarse que las proposiciones compuestas ~(p a r), p-*q y r —» —q son verdaderas 
en tres casos (marcados en la tabla) y en cualquiera de esos casos "p" es falsa.
Luego: p ■ F RPTA B
10.- S i definimos : p • q s ~(p —> q) entonces s i : ~p • (~p —* q) verdadera ; determ inar el 
valor de verdad d e :
a ) -(Q * P ) -q * -p
y / )V F B )V V C )F V D )F F E) N.A
Resolucion.-
(I) La equivalenciap * q = —(p —> q) indica que la tabla de verdad de ambos miembros son 
idénticos:
P q p - *q ~{p -» q) P q p * q
V V V F r \ V V F
V F F V I ; V F Y
F V V F l t/ F V F
F F V F F F F
l)e donde observamos quep *q sólo es verdadera (V ) cuandop (antecedente) es verdadera 
(V) v q (consecuente) es falsa (F) ; luego, en el dato :
24 Problemas de A ritmé tica y como resolverlos Hernán Flores Velozco
~P * C~p -> <7) * v
~P £ V y
'O Reemplazando
P - F
~ F -> <7 = F 
V —»p s F
i " 1
<7 = F
Reemplazando en las expresiones pedidas *
a) ~(q *p ) = ~ (F + F)
F
= V
b) —q *~p * ~F * —F
II) De la equivalenciap * q = ~ (p q) podemos darnos cuenta que el nuevo conecti\o= es 
equivalente a una CONDICIONAL NEGADA, luego en el dalo :
-p * ( ~p -* q ) = - l~ p -> (~p —> <7)] = V
V * V 
F
Luego: V F RPTA. A
Luego : ~p -> ( —p —»r/) - F
—p = V y —p —»<7 = F
V -» q ^ F
<7 . F
Luego, en las expresiones pedidas : 
a) ~{q * p )s - K p —>p)I
E£/-»P
s V
Lógica Matemática 25
b) ~<7 * ~P * ~[~Q -* ~p\
= —| —F -» —F]
- - I V-» V]
= ~ V
- F
Luego . V F HPTA A
11.- Utilizando las leyes del álgebra de proposiciones, determ inare l equivalente más 
simple de la expresión.
(p * q )v [ ( - p * ~ q ) v p ]
A) (p v q ) B ) ~p a. q C ) p ^ q D) q -* p E ) p a ~q
Resolución.-
l'tili/ando las leyes del álgebra de proposiciones :
( p a <7) v |(~p a ~q ) v p) s (p a, q) v [p v C~p a —<7)] por ley CONMUTATIVA
« (p a <7) v |p v ~p ] por ABSORCION r-.. V inji
* ( (p a q) v p ] v —q por ley 1A l IV’A
* I P v (p a q) 1 v —q ...por ABSORCION
= p v ~ q ............... por ley CONMUTATIVA
9 -q v p por IMPLICANCIA MATERIAL
* Q -* P .......................
Solución. q -» p RPTA I)
12.- Cuál es el equivalente más sim ple d e : ~(p -> q) v - (p v q).
A) q B ) -q C) p E )- p E ) p v q
Re?>olución.-
—(p -»<7) v ~(p v q )^ — ( —p v q )v ~ (p v q) por ley IMPLICANCIA MATERIAL
m ~ l (~ P v q) a (p v q") ] por MORGAN
s —| ( —p Ap) v <7) 1 por ley DISTRIBUTIVA
= - ( C v q 1 por CONTRADICCION
= ~ | p ] por IDENTIDAD
= ~q
Solución: —q RPI'A. B
26 Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velazco
13.- Sim plificar la siguiente expresión : [ (~p v q) -» (~q v p) a ~(p a q) ]
A )p B )q C) -p D )-q E ) p * q
Resolución-
[(—p V Í7) -> (í/ v p )] A — (p A g ) a |~ (~ p v q) v (—í/ v p )j a — (p aq ) .... por IMPLICANCIA
MATERIAL
se |(-- ^ a ~q ) v ( — q v p )J a —(p a r/) por MORGAN
= | (p a ~q) v (-</ v p) J a ~(p a r/)....... por DOBLE NEGAC
■ l((p a ~r/) v —q) vp | a — (p a q ) por ley ASOCIATIVA
= 1 ~</vp | a - (/ ;a í/) porABSORCION
s ( —f/ vp ) a (~p v —q) ................. por MORGAN
■ —q v (yj a p ) ..................... .......... por ley DISTRIBUTIVA
= ~ q v C ............................................ por CONTRADICCION
S ~q .................................................... por IDENTIDAD
Solución : — q RITA. D
14.- Sim plificar: ~ [ (p A q) -q ]
A )p * q B ) p v q C) p a ~ q D )p v -q E ) -p a q
Resolución-
Comparando las tablas se verdad de la BiCONDICIONAL y de la DISYUNCION EXCLUSIVA so 
observa que:
P A q ~ (p q) ....(a )
~ l(p A q )- > ~ q l = ~ l~ (p A q )v ~ q \ ........................... por IMPLICANCIA
= ~l~(~(p«-><7)) v — q\ ................... por lev (a)
= ~ I (p q) v I .......................... por DOBLE NEGACION
= ~(p q) a c7 ........................... por MORGAN
s ~ (p <-> q) a q ................................. por DOBLE NEGACION
s - 1 (p a q) v (~p a ~q ) 1 a q ......... por DOBLE IMPLICANCIA
= |~ (p A (l) A ~P A —«/) 1 A </ ........ por MORGAN
- [ (~p v — <7 ) a ( - — p v </) J a q ... por MORGAN
- [ (~p V -Í/) A (p V <7) ] A <7 ......... por DOBLE NEGACION
= C —p v —q) a [ (p v q) a q ] ............ por ley ASOCIATIVA
= (~p v ~q) a r/ ............................... por ABSORCION
s ~ p a < 7 ......................................... por ABSORCION
Solución: —p a </ RPTA E
lógica Mutinuil ira 27
15.- La siguiente proposición: «Si Patty no va al cine o Patty va aI cine, pero no va con falda, 
implica que no va al cine pero tiene puesta su falda » ; es equivalente a :
A) Patty va al cine D) Patty no lleva puesta su falda
B ) Patty no va al cine E ) Es una Tautología
C) Patty tiene puesta su laida 
Resolución.-
Consideremos las siguientes proposiciones . 
p : Patty va al cine 
q : Patty tiene puesta su falda 
Entonces la proposición compuesta resultante del enunciado dado será *
{ l (~p v p ) a —q | - » ~p } a p - {|T a ~q\ -» —p ) * q . . . por TERCIO EXCLUIDO
= { - < / - > ~p 1 a p por IDENTIDAD
* { — q v —p ) a p por IMPL1G\NC1A MATERIAL
m (p v —p| a p .............. por DOBLE NEGACION
* <1
Luego, la proposición dada sera equivalente a .
Patty tiene puesta su falda RPTA. C
16.-Dada la proposición: « S i hoy hace calor entonces me pondré un pantalón blanco; y 
que no me ponga pantalón blanco es condición necesaria y suficiente para que hoy 
haga calor*». Está proposición es equivalente a:
A ) Hoy me pondré un pantalón blanco
B ) Hoy no hace calor
C) Hoy no hace calor y usaré un pantalón blanco
D) Hoy no me pondré un pantalón blanco
E ) Hoy hace calor
Resolución -
Sean : p : Hoy Mace calor
p : Hoy me pondré un pantalón blanco
Luego, la proposición que resulta del enunciado será :
[p -> q) a (— p p) b (p —► p) a | (~p —»p) a (p -* —p) ] ..... por DOBLE IMPLICANCIA
= (-P v p) a [ (— q v p) a (~p v -p ) ] .. por IMPLICANCIA MATERIAL
s { —p v p) a | (p vp ) a (~p v ~p ) | ..... por DOBLE NEGACION
= [ (~p v p) a (p vp ) | a (~p v —p ) por ley ASOCIATIVA
28 Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velozco
= l (~ P a p) v <7 ) a (~p v —í/) por ley DISTRIBUTIVA
- [ C v q | a ( ~p v ~q) por CONTRADICCION
s q a (~p v ~q ) por IDENTIDAD
= q * ~ p .... por ABSORCION
= —p/\q por ley ASOCIATIVA
Por lo tanto, la proposición dada resultó equivalente a :
Hoy no hace calor y usaré pantalón blanco RPTA. C
17.-¿ Cuál o cuales de las siguientes proposiciones es equivalente a : «Si hoy sale e l so l, 
entonces mañana no vamos a la playa» ?
I) No es el caso que, hoy salga el so l y mañana vamos a la playa
II) Hoy sale el so l y mañana no vamos a la playa
III) Hoy no sale el so l o mañana no vamos a la playa
A) I B ) I y II C )ll D) III E ) I y III
Resolución
Sean: p : Hoy sale el sol
q : Mañana nos vamos a la playa
Entonces, la expresión dada se simboliza as í. p —> —q m —p v —q 
Ahora, foniialicemos l.is expresiones y luego simplifiquemos •
I) (p a (/) = -p v ~p
II) P a q
III) —p v ~q
Luego la proposición dada es equivalente a :
I y III RPTA. E
18.- La negación de : "N i Pepe estudia matemática ni atiende la clase " es :
A) No es cierto que, Pepe estudie matemática y atienda la clase
B ) Pepe atiende la clase y estudia matemática
C) Pepe no atiende la clase o no estudia matemática
E) Pepe atiende la clase o estudia matemática
Resolucion.-
Asumiendo las proposiciones. p : Pepe estudia matemática
q : Pepe atiende a la clase
Luego, la proposición compuesta : " Ni Pepe estudia matemática ni atiende la clase ", se
Lógica Matemática 29
simbolizará asi : ~p a — q. Esta proposición, por la de Morgan se convierte en : -~{j) v q). 
Entonces, la negación de ésta será :
 {p v<7) mp wq
19.- De las siguientes prem isas:
- S i estudio en la mañana entonces no me levantaré temprano
- Estudio en la mañana o no voy al cine en la tarde
- Iré al cine en la tarde
Se puede conclu ir: , H
I) Estudio en la mañana
II) No me levanto temprano
A) Solo I B ) l y l l C) Solo II D) Falta inform ación E ) Ninguna
Resolución.-
Este problema corresponde al llamado METODO DE DERIVACION FORMAL mediante el cual 
hallamos una conclusión formal en base a premisas supuestamente verdaderas. En este caso 
las premisas se formulan en función a tres proposiciones.
p : Estudio en la mañana 
q : Me levantaré temprano 
r : Vov al cine en la tarde
Premisa N,J I : p -» — q Las tres premisas se supone
l*remisa N° 2 : p v —r * que tienen a verdadero (V)
Premisa 3. r como valor veritativo
* En la premisa N° 3 : r * V
* En la premisa Nu 2 : p v —r = V , luego • p v ~V = V
■ c *
Pope atiende a la clase o estudia matemática RPTA E
p s V : Estudio en la mañana
q ̂F No me levantaré temprano
r * V : Iré al cine en la tarde RPTA B
20.- Para una proposición cualquiera "p" se define:
tdero
30 Ptoblamu (le \t itnivtica \ canto tesolvi ilos Hernán Flores Velozco
S i: \|/ (x) = 1 ; x s (p a -r) <-* (s -> w)
y (y) = 0 ; y= w v -s 
Hallar respectivam ente : y (s «-» -w) y y (~p v r) .
A) 1 ; 1 B ) 1 ; 0 C) 0 ; 1 D) 0 ; 0 E ) No se puede
Resolución -
De acuerdo a la definición vj/ (y) = 0 cuando "y", es decir la DISYUNCION tu v ~s , es falsa y 
esto solo ocurre si u' es falso (F) y s* es verdadero (V). entonces con estos valores de verdad se 
deduce que s -> w es falso (F) Esto serviia en el siguiente análisis
A partir de la misi i ia definición: y (a ) = I ei itonces as(/m —i ) (s —* tv) es verdadero (V ), de
donde, como s —*tv es falso (F) , (p a — r) es falso (F)
Analizando las expresiones pedidas
* ) so ~tv = Y *-» —F = V o V s Y , luego vp (,s <-* —tv) = I
*) — p v r * ~ (p a —r) m — F a V , luego * \p (~p v r) = I
á0
por ley de Morgan 1 ; 1 RITA A
21.- A l evaluar la tabla de verdad de la siguiente proposición compuesta :
«Si el triángulo tiene dos lados iguales , entonces el triángulo se llama isósceles y el 
triángulo no se llama isósceles. Luego el triángulo no tiene dos lados iguales»
Se obtiene: ¿ Tautología, contingencia o contradicción?
A) Tautología B ) Contradicción C) Contingencia
D) No se puede E ) Im posible
Resolucion.-
En el enunciado se puede distinguir 2 proposiciones: 
p : El triangulo tiene 2 lados iguales 
q : El triángulo se llama isósceles
\ » 
Luego, la proposición formalizada en forma simbólica sera :
| p —> (<7 a ■—</) ] ■—p * (—p v (p a —p )] —> —p por IMPLICANCIA MATERIAL
S I- P V C ]- > ~ p ....... por TERCIO EXCLUIDO
■ —p —>—p por IDENTIDAD
 p v ~p por IMPLICANCIA MATERIAL
= p v —p .... ... por DOBLE NEGACION
• T por TERCIO EXCLUIDO
Tautología RPTA. A
Lógica Mal tamílica 31
22.- Determinar cuántas de las siguientes proposiciones son tautológicas : 
i ) - q - + [ ( p - * q ) * ~ p ]
I I ) [ ( P - K 1) a ~ q]-+ -P
III) (p a q) a (p > -<p¿
JV )[~ (p A q )-> p )A ~p
A) O B ) 1 C) 2 D) 3 E ) 4
Resolución.-
0) -> I (p -»f/) I a ~p = ~q -> | (~p v q) a ~ p | .............. por IMPLICANCIA MATERIAL
m ~ q —> —p ................ por ABSORCION
■ p - r r/ ................ por CONTRARECIPROCO
(II) | (p —> <7) a ~~Q ] —> —p = [ ( —p v <7) a ~q | —> —p por IMPLICANCIA MATERIAL
s (~p a —p) —» —p ...................... por ABSORCION
£ ~ (—p a ~~q) v ~~p ................... por IMPLICANCIA MATERIAL
■ (~ —p v —— q) v ~ p ................... por MORGAN
= ( p v <7 ) v ~ p .................. por DOBLE NEGACION
£ ( q v p ) v —p .................. por ley CONMUTATIVA
- q v (p v ~ p ).................... por ley ASOCIATIVA
£ q v T ............................ por TERCIO EXCLUIDO
£..............T ................................... por IDENTIDAD (Tautología)
✓
(III) (p a q) a ( p -> ~q) £ (p a <7) a (~p v -</) por IMPLICANCIA MATERIAL
* (p a í/) a —(p a <7) ..................... por MORGAN
£ C .................................. por CONTRADICCION
(IV) [ (p a ¿7) —> p | v ~~p * [ — (p a <7) v p] v ~p por IMPLICANCIA MATERIAL
£ ( (p a q) v p | v —p .................... por DOBLE NEGACION
s p v —p .............................. por ABSORCION
* T ................................... por TERCIO EXCLUIDO
(Tautología)
2 RPTA. C
12 Problemas de Aritmética \ como te solverlos Hernán Flores Veiazco
23.- S i definimos un nuevo conectivo "A" como : p A g e (p v q) a (-p v ~q) entonces la 
formula (p A -q) A p equivale a:
B ) -p a -q C)-p*->q D) -q E) -pA) p —> q
Resolución -
Utilizando la defin ic ión d a d a :
(p A ~ q ) Ap =? | ( p v ~ q ) a ( ~p v q ) \ A p
s {[(/ ; v ~q) a (~p ví/)| v p ) a {--[(/> v —q) a (~ p vr/)| v ~p) 
Aplicando la ley DISI RIBUTI\ A y de MORGAN :
= { f ( p v —q) v p | a \ { ~ p v q ) v p | } a { ~ ( j j v -q) v ~ ( ~ p v q) v ~ p ) 
Aplicando la lev CON MU IATIYA \ de MORGAN :
= { ( / ) V - q ) A ( ~ p V / J V ( / ) [ A { { ~ p A Í / ) v ( / M ~ < / ) V ~ p |
Aplicando la ley del TERCIO EXCLUIDO y ASOCIATIVA
= { ( p V — r / ) A ( T v p ) } A { ( ~ p A q ) v - p v ( p a ~ c / ) >
Aplicando la lev de IDENTIDAD Y ABSORCION .
= { ( p v ~ q ) a T } a { - p v ( p A ~ í / ) )
Aplicando la ley de IDEN TIDAD Y ABSORCION :
= { p v ~ q ) a { - p v ~ í / }
Aplicando la lev DISTRIBUTIVA:
{ p A ~ t / } V ~ t /
Aplicando la lev de CONTRADICCION :
= C v
Aplicando la ley de IDENTIDAD :✓
= ~q
~ q RPTA D
24.- Se tiene que : pss q =
Representarproposicionalm ente el si­
guiente círcu lo lógico es ind icar su 
proposición equivalente más sim ple:
A ) p
B )r
C) -q
D) p * q
E ) ~ p s s r
p s r q i
—r-
P
q
l oyií íi Mati nuitica 33
Resolución.-
La representación preposicional del circuito será :
\p a (r v q) a q\ v [r a í~ r v q ) Ap|
|p a [r ve/) Api v [r a (~ r v q ) Ap] 2 (p A r/ ]v |rA q A p ] por ABSORCION
s (p a r/1 v [r a ( p a r/)| por ASOCIATIVA
a p a <7 ...... por ABSORCION
p a q RPTA D
25.- Sabiendo que se diseña un circuito lógico de la siguiente m anera: 
p * q * p q
- P
q —
p v qm . —
Diseñar un circuito para : p A q
A)
— P --- 9 — — p --- ~q —i - P --- ~9—
~ B ) — C) —
—~9--- P ~ - ~ P --- <7—1 —~P---~9-
D )—P —
— P <7 —
L_~p q —
E) N.A
Resolución -
Comparando las tablas de verdad de la BICONCIONALy la DISYUNCION EXCLUSIVA se puede 
llegar a la siguiente equivalencia :
p \ q = ~ { p
E ~ ((p Ap) v ( — p a — <7) .......... por DOBLE IMPLICANCIA
s ~(p a q) a ~ (~ p a ~p) ......... por MORCAN
2 — (p v — p ) a ( p v </) ... por MORGAN
e (~p v ~ q ) a ( p v p) ......... por DOBLE NEGACION
s (p v 9 ) a (~p v — q ) ......... por ASOCIATIVA
34 Problemas de Aritmética \ como resolverlos Hernán Flores Velozco
* |p a (~p v ~p)| v | ( / a (~p v ~p)| ... por DISTRIBUTIVA
- (p a —q) v (p a ~ p )....................... por ABSORCION
*■ (p a —p) v (~p a p) ¿ ..................... por CONMUTATIVA
Construyendo el circuito .
— P -P-,
 p p —
RPTA B
26.- Hallar la proposición equivalente más sim ple de :
r m : > n
\-~p--q-j
A )- P -
Resolución.
B )- r- t-
Dividiendo el circuito
C)
—r — t —
D) - r - E )- p - ~ q
L ~ n —
p — I I— p —
p — q
p _ ~ p
\— „ /
B
*•
Resolviendo cada parte:
A * ( p v p ) a ( ~ p v —q) 
* ( p v p ) a — ( p a p ) . .
= p A p .......................
B = (p A p )v (~ p A -p )
-r— /-j
Entonces el circuito será 
- (A u B) a C
por MORGAN
por DISYUNCION EXCLUSIVA
= (p A (j) v — ( p v c/)............... por MORGAN
E ~ l~ (p a q) a (p v c / )J............ por MORGAN
= ~ I (p v </)1 a ~(p a < / )1 ......... por CONMUTATIVA
= ~ (p \q ) por DISYUNCION EXCLUSIVA
C = r v (r a /)
« r ............................................ por ABSORCION
Reuniendo las partes
1 (p Ac/) v ~ (p Ap) |a r ...............
T A r ..............................por TERCIO EXCLUIDO
/ por IDENTIDAD
l.ogu u Mciicnunic a
36 Ptobianas de Antmctiea \ como resolverlos Hernán Flores Velozco
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- De las expresiones:
(I) \- + 4
(U )! Hola i
(III) <4-0 = 4?
(IV ) 2 + 2 = 4
(V ) Cu/cu es la capital cid Perú 
Son proposiciones .
A ) Indas O) 1,11.111. IV y V
B) I , IV y V li)So lo V
^ í v > v
2.- Sean las proposiciones:
p : Carlos estudia en la U N I 
q : Carlos es comerciante 
r : Carlos gasta poco dinero 
Snnholt/ar.
«I:s sullcicni^quc Carlos sea coincidíante 
v o gaste mucho dmcio, para que no estudie 
en la U.N.I. Peí o si estudiaren la U.N.I. en­
tonces no es comeiciante» ‘
A ) [((/vr)-»-/> | a (p->q)
tflf[(íy v ~ r)- > -/>) a (/>-> ~ í/ )
C) [ ( r / v r )—»/>! a (/>-»//)
D) [(p a /•)->/>! a (~/>-»r/).
I£) [ ( p v r ) v - p j a (/m i /)
3.- Sean las proposiciones :
p ' Roberto se casa con Janet 
q : Sus padres se enojaran con é l . 
r : Sus suegros se cniqaran con él 
Simboliza! :
*«Koheito se casa con Janet entonces sus 
*5 ^padres se enojarán conjil. y si no se casa 
con Janet entonces sus suegros se enoja- 
tan con éí. Pero Roberto se casa con Janet 
o no se easa.Vor lo tanto, sus padres o sus 
suegros se enojarán con él».
A) {[(/>-»</) a (~p->i ) )v (pv~p)¡ (í/vr)
H) [(/#-></) A (-/>-»/)v (pv~/;)J -* (q v r )
C ){((l’-*‘l) b (-/>->') Jv [(/>v-/>)| -M í/vr)]}
i
D) (p->í/) A (-/>-»/ )v(pv~p ) A Ufvr) 
^ {[(p-> t/) A (-/í-»r)| A (pv-p )} - » (í/ v ;»
4.- Si se sabe que : p v ~ q es lalso. q —> v es 
verdadero y rv .v es verdadero , al hallar el 
valor de verdad de las f ormulas :
( I) q a — / ) H ( / V - / )
( II) (p <-> -.v) v ~ [i a ~.\);
se obtiene .
A ) V l: B lbV C )VV
D) H- I:)Contiadicei(>n. contingencia
5.- Si se sabe que p a q es verdadeta. # v / 
es V y p «-> r es lalsa. entonces los 
valores de verdad de p. q. r y t sonrespet 
livamente:
A) VbFV B )W V I; Q VVI-V
D )V iw p: )W it
6.- Si se sabe que ■ (p aí/) es lalso y (q —> t) es 
lalso. ¿Cuáles de las siguientes proposicio­
nes son verdaderas?
( I) (~p v t) v v
( II) -\p a ( - í/v ~p )|
( III) | p v (q a - /)] —» \{r —» q) a - Kq a M|
Lógica Matemática 37
A ) Solo I D) II > III solamente
B ) Solo III E l Todas
C) I y III solamente
7.- Si la proposición : ~ [ ( q —» v) —» (/>—»/)] 
es verdadera ; hallar el valor de verdad de:
(I) (~.v-»-</) A (r- » / j)
( II) - ( í/a -í ) a (p A - r )
( III) (/? a í / a r A s ) v ( / ;< -> /)
A)VTV B )F W C)FVF D>VW E)1FF
8.-Si la proposición: (/ v 5)-»[(/)a~.í)->(/ja'</)| 
es lalsa. determinar el valor de verdad de 
cada una de las siguienics expresiones 
proposieionales.
(I) (p A - í/ )H r
(II) <7A(~/7V~.V)
(III)(- / 7 - » r )v ~ í
A )W V B )V FV C )W F D lFVV E )FV F
9.- Sabiendoc|ue : - ( p —> q ) v - res lalsa.
- ( s p ) A r e s verdadera
¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es 
(son) corree la(s)?
il) -{p v s ) es verdadera
(II) a' a l es lalsa.
(III) p -* s es verdadera.
^ I > II B) I y l l l C ) II y 111
D) Todas E ) Solo una de ellas.
III.- La proposición - \(p v q) <-» ( r a \)| es 
lalsa teniendo r y s valores de verdad 
opuestos ¿Cuál es el valor \crilati\ode cada 
una de las proposiciones siguientes?
(I) [(-p A~<y) v (rA.v)| a p
(II) [(~ p vq ) a ( r v i ) | v (~ / 7a<7)
( III) | (- rA ~ s )—»(pv~</)] A ~ ( r A .\ )
A )W V B)KVF C)VFV
D )FFV / )X 'X F
11.- Si la proposición compuesta :
-{p v -q) a (qi->r)
es verdadera y las proposiciones .v y / lic­
iten valor de verdad desconocido. ¿Cuá­
les de las siguientes proposiciones son 
verdaderas ?
( I ) ( / I V A ) a q
( II) ( t a q ) — > /
( I I I ) (.v Ar/) —> q
A ) Solo I B ) I y II C ) I y III
D) II y III E)N .A .
12.- Si se s;abc que la negación de la fórmula ‘
( p —* q) v ti/ v ~r)
es verdadera, entonces los respectivos valo­
res verilalivos de p. q y r son :
A ) V II* B )YFV Q F V F
D)VVF EIRA/
13.- Dadas las pioposieiones : p , q y r ;
donde :
i/: 4 es un numero impar; tal que :
~ [( r v q ) -> (r —»/7 )]
es verdadera; hallar el valor de verdad de 
las Siguientes expresiones proposicio- 
nales:
( I) r -> (~p v ~í/)
( II) [/ <->(/>aí/ )] {q/\~p)
A )V V D )IT
B )V F E ) Ninguna anterior *
C )FV
14.- Hallar el valor venial ivo de cada una de las 
siguientes expresiones proposieionales :
3S
1S.- Ln la siguiente lahla
Problemas dt Aritmética \ conm resalía los Hernán Flores Vclozcu
( I ) [{/> a í / ) < —» / | p < - > ( r / a - / ) |
(II) [ t/í v ~i¡ ) > r ] a [ —p <—> (q r /)] 
Sabiendo que • /-—#[/*«->(</ —> r )| es lalso
A)V\ B )Y F C )FY
D )FF i:) Ninguna
15.- Sean las proposiciones • p . q \ i lales 
que las siguiente* proposiciones com­
puestas
p <-» ~ U / a r ) y - / k \ í /
son siempre verdaderas .determinar el va­
lor de verdad de •
( I ) [ - / • a ( /»v . \ ) ] - > ( í / V v )
(II) [ rv(-// a \)j —> ~p
A)VV B) VF C ) IV
D ) IT E ) Ninguna
I6j- Si la proposieión :
(/ JA “ < / H (r^ - .í)
es lalsa. Determinar cuántas de las pro­
posiciones Niguiemes son verdaderas.
(I) -(/»vr/)v~r/
(II) [(r-»í/)Ar/lc->|(--í/Ar) a s]
(III )~ (p —>r/)—>/
(IV ) ~\(p v<y) A-í/J -» -/>
A lt) B) I C )2 D)3 E)4
17.- Luego de consumí la tabla de verdad de 
la siguiente proposición;
(/>*-»</) -> ii A -p)
j.Cuántas "V " y cuantas "F " aparecen res­
pectivamente?
A )6 ;2 B )5 ;3 C )4 ,4
D.- ' . l E )3 ;5
p <i ip~*q )
V V í ©
Y F ©
F V ©
F F ©
~P)
I os valoics de verdad que deben reem­
plazar a los ciiculos en el oidcn indicado 
son .
A lVVVV B )V M \ C jVVFF
DiFV F\ Fjl-FH-
19.- Al hacer la lahla de verdad de la siguiente 
proposición compuesta :
«Te levantas temprano o estudias en la 
noche si y solo si. no es cierto que, no te 
levantes lempiano y que no estudies en 
la noche»
Se obtiene una .
A ) Tautología D) Fallan datos
B) Contradicción E ) Ninguna anterior
C) Contingencia
21).- Indicar las proposiciones verdaderas 
ti) (~/> a -(/)«-»(p v í/)c* una contradicción
(II) [ ( /»—> i¡) a (q —» r)| - » (p —> r) es una 
A tautología
(III) \p a (p —> r/)l —» ( r / A r)cs unaeontin- 
geneia.
A f l . II v 111 B 7 Solo I y II C) Solo I
l» S o lo Iy III HjSolo IIy III
21.- f Cuál de las siguientes proposiciones es 
una tautología?
( 1) \~(p a </)—>/>! v -/)
t il) — (/> —>z/> —M/> V ~(f)
t III) - (f) —> q) —» ( - p -* ~q)
l ógica Matemática 39
A ) Solo I B ) Solo II C) Solo III
D ) l y l l I:) Todas
22.- De las siguientes proposiciones. ¿Cuál es 
(son) contradice ion(es) ?
(I) ~[~{p v q) —> ~ r/] a (p —> i¡)
( I I ) ~i~ p-^q) —> (p —* q)
A) Ninguna B )So lo I C) Solo II
O) I y II F ) Fallan dalos
23.- Dadas las proposiciones 
a = - ¡> a (p v ~ t¡)
b = [~ p —* q) a \q r\{~ (j p)\ 
c = q v (p a q a r)
Indicar si es tautología, contradicción o 
contingencia la proposición:
(a «-> h) a c
A)Tautología D) Fallan dalos
B) Conti adicción E ) Ninguna
C) Contingencia
24 .- Sirnplilicar: ~ ( ~ / ) a -q)
t\)¡> B )q C ) p a q D ) p v < / E ) / > —»*/
2 5 .- S i m p l i f i c a r : (p a q) v ( ~ p a - q) v p 
A)p\/q B )~/?v r/ C ) /) a ~
D)/> v- í/ E ) ~ p * q
2 í>.- Simplificar el esquema :
( ~p a q) (q-*p )
A) p A í/ B) ~ (/) v q) C) p -> q
D )/> v < y >áft/ -» p
27.- Simplilicar:
- \(P -* ~ <7) v “ (l) f '/ ' <->("/» -> */)!
A ) - /> a í/ B ) - p a - r/ C )~ {pvq )
D ) ~ í /j a í /) i : ) / ; —> r/
2.S.- S i : /) r/ ~ r/
P <1 =~P a - f /
Simplificar: l ( /> q )—*(p q)\ v q
A ) ~ / > a í / t f )p —*q C )q - * - p
D) ~ (p v í/) I:) ~ (/) v - í/)
29.- Si se define • p ® q s - p —>~q
p * q = p * ~q
Decir cuales son ptoposiciones equiva­
lentes :
(I) (/* * - q) © p 
t il) ~/>© -(/ *•-r/)
U II) - |(/r*(r© ~í/)|
A ) Solo 1 y II D) I . II y III
B ) Solo II y III E ) Ninguno
C) Solo II
30.- La proposición :
-(/>-></) a ( í/-> - r),
es equivalente a cual o cuáles de las si­
guientes pioposiciones .
( I ) p a (/> v - /•) a - q
( I I) />a-í/ a ~(q a r)
( II I ) (/> A ~í/) V l(/) A - / ) A -Í/I
A ) I B) II C ) Todas
D) IV , I y II F ) V . II y III
31.- Sea : A = { i/» es una proposición} 
ademas se define
I , s i a e s v e r d a d e r o 
0 . s i i e s l a l s o
40 Prohit utas d i \ritnulit a \ ionio ir solverlos Hernán Flores Velazco
Indicar verdadero o laKo, según los si­
guiente'. enunciados
( I ) <pi// v íf) - 0 ( / > ) + ó U¡)
(I I) $ (-/» = I - O(/i)
( III)0 {p -*(/*= I - 0 (~ q)
A ) W V B )\FV ( ) IM -
I»\ I I- I i I W
¡- Dada*la pieiiusa .
«■No es brillante pero se ve m i esluei/o- 
es equivalente a ■
A) No es cierto que -.ea bnllanie y no se vea
s i l C s l U c l / o
B) No es eierti que. se vea su esíucr/u v no 
sea hriliante
Q) No es cierto que sea bi illanic o no se vea 
su esfuei/o.
D) No es cicilo que. se vea su estuerzo o no 
sea brillante.
h ) Ninguna anterior
33.- De las siguientes picmisas
- Si estudio en la mañana entonces me le­
vantaré temprano
- Estudio en la mañana o no voy al eme en 
la tai de.
• Irc al cine en la larde
k
Se puede concluir:
(I) Estudio en la mañana 
(II j No me levanto temprano 
^X)Solol B ) Solo II C ) I y II
D) Ninguno I•) I-alia información
34.- ¿A que formula eouesponde el siguiente 
cuclillo lomeo :
A ) ( / ’ A (/) a i * | ( - / > / < / > -• r j
l)M/> r- q) A I A </> V I/)
i f )\p q\ I * |t~/> </j /]
D)(/r a q) a / / t - /> •. - í/j
í : ' B v C
35.- Se tiene /> a t¡ = ■
q =
P q 
V
Si el costo de eada llave en la instalación 
del circuito
r-
</-
9-£
es de S7 MI , En cuanto se reduciría el cos­
to de la instalación si se reemplaza este 
circuito por su equivalente más simple ’
A) 200
D) 100
B)4(X) 
I )S(X>
C’)3fX)
P
</
p q
* -I
9 TEORIA DE 
CONJUNTOS
Conjunto, es una palabia sin definición, c u n o s sinónimos son ■ leunión. colección, 
agrupación, agregado, clase, conglomerado o familia de objetos homogéneos reales o abs­
tractosllamados elementos. *
Los conjuntos se denotan con letras mavusculas (A ; B ; C ,...) v sus elementos, separados 
j)or comas (o punto y coma en el caso de números), encerrados entre llaves.
Se dice que un conjunto está correctamente determinad»» cuando se puede estable­
cer, sin ambigüedad, si un elemento dado es integrante o no de dicho conjunto Todo con­
junto puede* determinarse de dos maneras :
2 2 A POR EXTENSION O FORMA TABULAR
Cuando se mencionan uno a uno a sus elementos, o se da una idea de la sucesión de ellos.
2 2 B POR COMPRENSION O FORMA CONSTRUCTIVA
Cuando se enuncia a sus elementos por medio de una propiedad o cualidad común a 
ellos y queMes es valida únicamente a estos.
Ejemplos .
(A) Determinar el conjunto de las cinc ti vocales.
(B ) Determinar el conjunto de los números impares ( + ) menoies qu»_» 1G
(C) Determinar el conjunto de los números enteros ( + ) que terminan en 5
* Por Extensión . A = {a ; e ; i ; o ; n}
B= (1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; II ; 13; 15} 
C = {5 ; 15 ; 25 ; 35 ; 45 ; ...)
* Por Comprensión : A = {x /x es una letra vocal}
t B = {y / v es un # impar (+ ) a v < 16)
C = {10n + 5 « es un # entero no negativo}
42 Pntblcmas di Aritmética v como rt udveilos
A
Hernán Flores Vclozco
2.3 RELACION DE PERTENENCIA
t ’n elemento pertenece (e ) <i un conjunto si torm.i parte o es agregado de dicho conjun­
to. Un elemento no pertenece (e ) a un conjunto si no cumple con la condición anterior. Esta
relación vincula un elemento con un conjunto, m a s no vincula elementos o t onjunlos entre sí.
Ejemplo : Dado el conjunto ’ A = {4 ; (> ; 7 ; 9}
Entonces: 4 e A (4 pertenece a A)
9 e A (9 pertenece a A)
5 v A (5 no pertenecí» a A)
2 A CARDINAL DE UN CONJUNTO
Es el numero entero, no negativo, que indica la cantidad de elementos diferentes de un 
conjunto. El cardinal de un conjunto A se denota : n (A).
Ejemplos A = {7 , 4 ; G , 3}
B = <2;4;G;8; 10} 
C= {6 ;4 ;4 ;6 ,4>
n (A) = 4 
n (B) = 5 
n (C) = 2
2.5 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
2.5.A INCLUSION
Se dice que un conjunto A está incluido en otro conjunto B, cuando todos los elemen­
tos de A pertenecen a B. Se denota por A c B v simbólicamente se define la inclusión asi :
A c B <=> V a g A - i a e B
A c B
B=>A
* A esta incluido en B
* A esta contenido en B
* A es parte de B
* A es subconjunto de B
*B incluye a A 
*B contiene a A
* B es supcrconjui no de A
Nota : Si algún elemento del conjunto A, no pertenece a B entonces decimos que A no esta 
incluido en B y se denota : A cz B.
Ejemplos : Dada el conjunto : A = {6 ; 4 ; 2 ; 7 ; 5}
Entonces: {4 ,2 } c A { 2 ; 4 ; 5 } c A
{G ; 7 ; 3} <z A { 7 } c A
A
Teoría de Conjuntos 43
Se dice que dos conjuntos A y B son iguales cuando ambos poseen los mismos ele­
mentos, se denota A = B y simbólicamente se define la igualdad as í :
A = B <=> A c B a B c A
Ejemplo : Dados: A = {1 ; 5 ; -1 ; 3}
B = (2x - 3 / x es entero (+ ) a t S4 }
En el conjunto B, x loma los valores : I ; 2 ; 3 y 4 , luego (2v - 3) loma valores :
^ --- - 2 (1) - 3 =-1
2a - 3 = ------- 2 (2) -3=1
7 ------ 2 (3)-3 = 3
'----- 2 (4) - 3 = 5
Luego, el conjunto B, determinado por extensión será:
B = {-1 ; 1 ; 3 ; 5}
Com o: A c B a B c A —> A = B
2 5.C COMPARACION
Se dice que dos conjuntos son comparables cuando por lo menos uno de ellos está 
incluido en el otro.
Ejemplos : * Sean ; A = {7 ; 4 ; 6}
B = {2 ; 3 ; 4 .5 ; 6 ; 7 , 8 }
como A c B , entonces A y B son comparables
• Dados : M = {6 ; 2 ; 3 ; 9}
V N = (3 ; 6 }
como N c M , luego M y N son comparables
♦Si: P = {5; 8 ,3}
Q = {3 ; 6}
se observa que P c Q y Q c P , luego P y Q no son comparables.
2 5 D DISJUNCION
Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no poseen elementos comunes.
Ejemplo : Sean los conjuntos : A — {x / \ es un número par}
B = {x / \ es un numero impar}
-como no hay elementos comunes a A y B, entonces son disjuntos.
2.5 B IGUALDAD
44 Pntblcmas de Aiitmctú n \ coma resolverlos Hemon Flores Velozco
2 5.E EQUIVALENCIA
Dos conjuntos A y B son equivalentes, si poseen la misma cantidad de elementos, lo 
cual se denota as í : A o B. Simbólicamente se define la equivalencia asi *
A o B <=> n(A) = n (B )
2.6 CLASES DE CONJUNTOS
2.6 A CONJUNTO NULO O VACIO
Ls aquel conjunto que no posee elementos y se le denota comunmente como . 0 o { } 
Coinencioiialrnenle al conjunto nulo se le considera incluido en cualquier otro conjunto A
0 c A
Ejemplo • A = {a / i es número entero y : 3 < v <5}
2.6 B CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON
Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplos : A = {5}
B = {0 }
C = {x/ x es número entero y 7 < x < 8 }
D - {9 ; 9 ; 9 ; 9}
2.6.C CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENC1AL
Es un conjunto refereiicial dado que se elige de manera arbitraria de acuerdo a la situa­
ción particular que se está tratando. Contiene a lodos los conjuntos considerados y se le 
denota generalmente con lj.
Ejemplos : Dados los conjuntos : A = {3 ; 5 ; 7 ; 9}
V B= {5 ; 13; 19; 23}
Un conjunto universal para A y B puede ser c ualquiera de los siguientes conjuntos :
1 = {x/x es imjiar a x < 25}
I = {x/x es número entero positivo}
I = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; .„}
2.6.D CONJUNTO DE CONJUNTOS
Es aquel que por lo rnenos tiene a un conjunto como elemento.
Ejemplos : A = {{3} ; 2}
B = {{1} ; { I ; 2}}
2 6 E CONJUNTO POTENCIA
Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia de A al que esta formado por 
l o d o s l o s subconjuntos de A Se le denota P(A).
Teoría ilc Conjuntos 45
Ejemplo : Dado : A = {7 ; 5 ; 3} , los subconjuntos de A son:
0 , { 7 } , ( 5 } , { 3 } , { 7 ; 5 } , { 7 ; 3 } . { 5 ; 3 } , { 7 ; 5 ; 3 }
Entonces el conjunto potencia de A es .
PÍA ) = {O , {7 } , {5 } , {3 } , {7 ; 5 } , <7 ; 3 } , {5 ; 3} , {7 ; 5 ; 3}}
Nota • Si r/(A) es el cardinal del conjunto A , se verifica que :
# de subconjuntos de A 
ó # de elementos P(A ) = 2'̂ AÍ
n |P(A )I = 2"lA)
2 6 F SUBCONJUNTO PROPIO (5 )
Es aquel que siendo subconjunto de un conjunto dado, no es igual a éste.
Ejemplo : Dado el conjunto : A = {2 ; 6 ; 8 } , sus subconjimlos son.
Ó. {2} , {6 } , {8 } , {2 ; 6 } , {2 ; 8 } , {6 ; 8 } , {2 ; G ; 8 }
Luego, sus subconjuntos propios son:
0 , { 2 } , {6 } , {8 } , {2 ; 6 } , {2 ; 8 } , {6 ; 8}
' Nota : Si n(A) representa el cardinal del conjunto A:
# de subconjuntos propios de A = 2',ÍA) - 1
2.6.G SUBCONJUNTO IM PROPIO (c )
Es aquel que siendo subconjunto de un conjunto dado es igual a este.
2.7 DIAGRAMAS DE VENN - EULER
Son regiones planas limitadas por figuras geométricas ceiradas que se utilizan para 
representar gráficamente a los conjuntosrSe estila representar al conjunto universal mediante 
un rectángulo
Ejemplo : Dados los conjuntos A. B > C incluidos en el conjunto universal U, podríamos
tener el siguiente diagrama:
Nota : Otros diagramas usados para representar gráficamente a los conjuntos son:
y
27 A DIAGRAMA DE CARRO ll
Llamado así en homenaje a Lewis Oarroll, seudónimo de ( liarles Lutvvidge Uodgson, 
escritor y matemático inglés ( I 832 - 1 8!)8) que fue el puntero que lo ulili/o en su obra "AIk la 
en el Ruis de las Maravillas" Se usajjencralmeiite para t Oiganlos difuntos
Ejemplo
Hombres Mujeres
Donde:
i- '1 -> Hombres que bailan 
i -► Mujeres que bailan 
r-ti -» Hombres que no bailan 
Mujeres que no bailan
L
. i ' i
46 Problemas de A iitim tiea v como it solveilos Hernán Flores VelOZCO
Se usa |iara conjuntos comparables : significa B c AB
Ejemplo : Sean las conjuntos numéricos:
I Conjunto de los numero lomplejos 
Im : Conjunto de los números imaginarios 
I Conjunto de los números reales
I. : Conjunto de los números racionales 
I : Conjunto de los números irracionales 
/ : Conjunto de los números entejos
S Conjunto de los números naturalos
Teniendo en cuenta la precedencia de la inclusión, se establece:
«
F Im
i
I
*
C I
Teoría de Conjuntos 47
Z.S OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
2.8 A UNION
Dados dos conjuntos A y B, la unión de ellos es el conjunto formado por aquellos 
elementos que pertenecen por lo menos a unode esos conjuntos A o B. Se denota A v j B y 
se define:
A u B = {x/ jre A v a e B }
Ejemplo : Dados: A = (6 ; 8 ; 2}
B = (3 ; 7}
-> A u H = { 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 8 }
Diagramas :
2 8 B INTERSECCION
Para dos conjuntos A y B , la intersección de ellos es el conjunto formado por los ele­
mentos comunes de A y B. Se denota A B y se define:
A n B = { a / x e A a r e B>
Ejemplo : Dados: A = (1 ; 3 ; 5}
B = { 2 ;3 ;4 ;5 ;G > 
-* A n B - {3 ; 5}
Diagramas :
A r tB = 0 A n B = A
2.8 C DIFERENCIA
La diferencia de dos conjuntos A y B (en ese orden), es el conjunto formado por los 
elementos que pertenecen a A, pero no a B. Se denota por A - B y se define :
A - B = {x l x e A a a e B)
Ejemplo : Dados: A = (6 ; 8 ; 4 ; 7 ; 2}
B = (3 ; 4 , 5 ;G ; 7}
-» A -B = (8 ; 7 ; 2}
Diagramas :
48 Problemas de Aritmética v como resolver los Hernán Flores Velazco
, ? )
B
A -B
2.8.D DIFERENCIA SIMETRICA
Dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica de ellos es el conjunto formado por los 
elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos. Se denota por A A B y se define :
A A B = { j f / ,v e (A - B ) v x e (B - A ))
Ejemplo : Dados: A = (6 ; 4 ; 2 ; 8}
B = (3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7} 
-> A A B = {2 ; 8 ; 3 ; 5 ; 7}
Diagramas :
A A B
2 8 E COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto A, es el conjunto formudi¿por los elementos del con­
junto universal I que no pertenecen a A Se denota jior: A ', A\ A o C (A) y se define :
A' = {x / x e l a x t. A} = I - A
\
Ejemplo : Sea : V = {x / x e /* a x < 8 }
y : A = {2 ; 3 ; 5}
-> A* = {1 ; 4 ; G ; 7}
%
Diagrama : “
l'coiia tle Conjuntos 49
2 8 F PRODUCTO
Llamado también producto cartesiano de dos conjuntos A y B, es aquel conjunto cuyos 
elementos son pares ordenados donde las primeras componentes pertenecen a A y las segun­
das componentes pertenecen a B. Se denota A x B y se define :
A X B = {(íí ; ¿>)/ o e A a b e B )
Ejemplo : S i : A = {1 ; 2 ; 3}
B = {m ; n\
-> A x B = { ( I ; m ) , (1 ; n) , (2 ; n i) , (2 ; n ) , (3 ; m ), (3 ; n)\
-> B x A = U m ; 1) , (m ; 2) , (m ; 3) , (» ; 1) , (//; 2 ), (n ; 3 )}
Nótese que si A * B : A x B í B x A
2.9 ) LEYES T PROPIEDADES DELALGEBRA DE CONJUNTO
2.9 1 REFLEXIVAS
I A. A u A = A 
IB A n A = A 
1C. A A A = A
2.9 3 ASOCIATIVAS
3A. A u ( B u C ) = ( A u B ) u C 
3B. A rs (B n C) = (A n B) n C 
3C. A A (B A C) = (A A B) A C
2.9 2 CONMUTATIVAS 
2A. A vj B = Bx j A 
2B. A n B = B n A 
2C. A A B = B A A
2.9.4 DISTRIBUTIVAS
4A. A u ( B n C ) = ( A u B ) n ( A u C )
4B. A n ( B u C ) = ( A n B ) u ( A n C )
4C. ( A u B ) n C = ( A n C ) u ( B n C ) 
4D. (A n B) u C = ( A u C ) n ( B u C )
1
5U Pn)blema\ de Aritmética v tamo resolxerlos Hernán Flores Velozco
2 9 5 DE LA INCLUSION 2.9.6 DE LA EXCLUSION
Si: A c B
A cj B = B 
A n B = A 
A - B - $ 
A A B = B - A
Si: A y B son disjuntos =>
2.9.7 ELEMENTO NEUTRO 
7A. A vj<> = A 
7B A n 0 = 0 
7C A ú l = 1 
7D. A n 1 = A
2 9 9 DE LA DIFERENCIA 
9A. A - B = A n B’
9B. A - B = B ' - A'
2 9.1 1 DEL CONJUNTO PRODUCTO 
IIA. n(A x B ) = //(A) . r/(B)
1 IB. A x ( B u C ) = ( A x B ) u ( A x C) 
1 lC. A x (B n C) = (A x B) n (A x C)
A n B = 0 
A - B = A 
A A B = A o B
2 9 8 DEL COMPLEMENTO
8A. (A ) ’ = A
8B. A u A = I
8C. A n A = ó
8D. 0' = I
8 E. I 1 = 4»
2 9.10 LEYES DE MORGAN 
10A. (A o H ) ' = A 'n B '
10B. (A n B )’ = A 'u B '
2.9 12 DE ABSORCION 
I2A. A u ( A n B ) = A 
I2B. A n ( A ú B ) = A 
12C. A u ( A ' n B ) = A u B 
12D. A n ( A ' u B ) = A n B
2.10 RELACIONES CON CARDINALES
(I) Si A y B son disjuntos :
r?(A u B ) = n( A) + n (B )
(II) Para 2 conjuntos cualesquiera A y B :
r»(A u B ) = ri(A) + /í(B) - ri(A n B)
(III) Para 3 conjuntos cualesquiera A , B y C :
rt(A u B u C ) - «(A ) + n (B ) + /i(C) - ri[ A n B) - r?(A n C) - n (B n C) + n(A n B n C)
Teoría de Conjuntos 5 1
P R O B ie M A S R € S U € lT O S
1 S i el conjunto A tiene 3 elem entos ¿ Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto 
ponencia de P^A) ?
A) 2a - 1 B J2 8 - 1 C) 216 - 1 D ) ? 56 -1 E ) Z64 - 1
Resolución.-
* Si el conjunto A tiene 3 elementos, el conjunto P(A ) tiene 23 = 8 elementos.
* Si el conjunto P(A) tiene 8 elementos, el conjunto potencia de P(A ) tiene 28 = 25b elementos. 
Por lo tanto, el número de subconjuntos propios del conjunto potencia de P(A ) será:
2256- I RPTA.n
2.- Sabiendo que e! conjunto : A = {a + b ; a + 2 b -2 ; 10} es un conjunto unitario. ¿C u ál es 
el valor de = a2 + b2?
A ) 16 B ) 60 C) 68 D) 58 E ) 52
Resolución.-
Para que sea un conjunto unitario, los elementos deben ser iguales, luego :
* o + b = 1 0 ... (ex)
* a + 2¿> - 2 = 10 -» a + 2b = 12 ... (p)
De (a ) y (P) • a = 8 a b = 2
o2 + b2 = 68 KPTA. C
3.-S i : A = {x / x e / a 10<x<20}
B = jy + 5 / y e / a ( J y + 15)e A}
¿ Cuál es la suma de los elem entos de B ?
A ) 45 B ) 50 C) 55 D) 60 E)65
Resolución.-
El conjunto A, determinado por extensión es :
A= { l l ; 12; 13; 14; 15 ; 16 ; 17 ; 18; 10}
En el conjunto B, como ( Jy +15) e A :
77 € {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 1}
-»>’€ {0 ; I ; 4 ; 9 ; 16}
Luego : B = (5 ; G ; 9 ; 14 ;21}
Suma de elementos de B = 55 RPTA C
52 Problemas de Aritmética v como resolverlos Hernán Flores Veiozco
4.-Dados los siguientes conjuntos iguales:
A = {a 2 ; a 1}
B = { 7 -a ; 8 -a]
C = {b + 1; c + 1}
D = {b + 2 ; 4}
Determinar el valor d e : a + b + c
A ) 2 B ) 5 C) 7 D) 10 E ) 12
Ré5glucipn.-
Para que sean iguales deben tener lo.-» mismos elementos, luego*
Si: A = B. los elementos de A y los de B deben ser los mismos, entonces, igualando los mayores:
a + 2 = 8 - a -» o = 3 *
De donde los elementos de A son 5 y 4, por lo que, si A = D
£> + 2 = 5 —» £> = 3
Finalmente, en ei conjunto "C £ > + 1 = 4 —> c' + I = 5 r = 1
Por lo tanto :
o + b + c = 10 RPTA. I)
«
5.- S e a : I = {1 ; 2 ; 3 ;
Entonces, dados los conjuntos: A = {2x/x e l a x < 5}
* B={1.5x- 1/xe A)
¿C ual es el numero de elem entos de A n B ?
A) 1 ^ 2 C) 3 D) 4 E ) 5
Resolución.-
Determii unido el conjunto A por extensión :
Como: x < 5 -> x e { l ; 2 , 3 ; 4} -* A = {2 ; 4 ; 0 ; 8 }
Determinando el conjunto B por extensión :
Como : v e A = {2 ; 4 ; 6 ; 8} -» B = {2 ; 5 ; 8 ; 11}
Luego : A n B = {2 ; 8 }
o (A n B ) = 2 RPTA B
6.- E l conjunto A tiene 2 elementos menos que el conjunto B. que por cierto posee 3 072 
subconjuntos mas que A. S i tales conjuntos son disjuntos. ¿ Cuál es el cardinal de A\j B ?
A) 19 B ) 20 C) 21 D) 22 E) 24
Re solución -
Si asumimos que el número de elementos de A es "x", se tiene. 
ri(A) = a # de subconjuntos de A = 2'
/j(B) = x + 2 -» # de subconjuntos de B = 2' +2
Luegq, por dato 2t+2 -2* = 3 072
Operando algebraicamente 2' (2¿ - 1) = 3 072
leona de ( unjnntus 53
Luego : 
Entonces:
x = 10
n{A) = 10 a n (B ) = 12
Por lo tanto, como A y B son disjuntos :
zi(A u B ) = 10 + 12 = 22 RPTA. D
7.- ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto "B", donde:
B = [ A kj C) -{Ars C), 
s i : A = {x/x3 - 6x* + 12x -8 = 0}, 
y : C = {x/x? + x - 20 = 0)?
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16C) 8 D) 16 E) 32
Resolución -
Determinando ambos conjuntos por extensión luego de observar algebraicamente que:
A = {x/ {x - 2)J = 0} = {.x / x - 2 = 0} -* A = (2)
C = {x (x - 4) C* + 5) = 0} = {x/x - 1 = 0 v a + 5 = 0} -* C = {1 ; -5}
Entonces A u C = {2;4;-5>
A n C = 9
Luego : B = (A w C) - (A C) = {2 ; 4 ; -5>
Como : r/(B) = 3 -» # de subconjuntos de B = 2* = 8 RPTA C
8.- Para 2 conjuntos A y B s e cumple que:
* A tiene 16 subconjuntos
* B tiene 8 subconjuntos
* A u B tiene 32 subconjuntos 
¿Cuántos subconjuntos tiene A r\ B ?
A) 2 B ) 4 C) 8 D) 16 E)32
Recuerde que el numero de subconjuntos de a es 2"(*) donde n(\) es el numero de elemen­
tos del conjunto x, entonces:
* # de subconjuntos de A = 16 = 24 —» r/(A) = 4
* # de subconjuntos de B = 8 = 2* -* n {B) = 3
* # de subconjuntos de A ^ B = 32 = 2* —» n {A B) = !>
Como ;/(A •_ B) = n{A) + n (B ) - ;í(A n B )
x3 - 6x* + I2v - 8 = (.x - 2)3 
x2 + x - 20 = C* - 4) (v + 5) O . O
Setiene:
54 Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velazco
Reemplazando: 5 = 4 + 3- n (A rs B ) -> n(A n B ) = 2
Pbr lo tanto # subconjuntos de A o B = 2¿ = 4 RPTA. B
9
9.- S i : B c A , d e m o s t r a r q u e : B v j (A - B ) = A .
Resolución.-
Aplicando la propiedad 9A : B u (A - B ) = B u (A n B )
Por propiedad 12C : = B u A
Como B c A : = A
Si B c A : B u (A - B ) = A
10.- D e m o s t ra r q u e : (A - B ) o C = {A n C) - ( B n C ).
Resolución.-
Comenzando por el lado más complicado y aplicando la propiedad 9A : 
( A n C ) - ( B n C ) = (A r \ C ) n ( B n C )
Por propiedad 10B 
Por propiedad 4B 
Por propiedad 3B 
Por propiedad 8B 
Por propiedad 7B 
Por propiedad 7A 
Por propiedad 9A
= (A n C )n (B 'u C )
= [ ( A n C ) n B |u | ( A n C ) n f | 
= ((A o B) n Cj u ((A n ( C n C ) | 
= | (A n B ) o C ] kj | (A o 0 ]
= I(A o B ) o C| u ^
= ( ( A o B ' ) n C l 
= ( A - B O n C
( A n C ) - ( B n C ) = (A - B ) o C
11.- D e m o s tra r q u e : A A B = ( A u B ) - ( 4 n B ).
Resolución.-
Se sabe que : A A B = (A - B ) u (B - A)
POr propiedad 9A : = ( A n B ' ) u ( B n A )
Por propiedad 4D : = [A u (B r\ A )| r> |B‘ u (B n A’)l
Por propiedad 12C : = ( A u B ) n ( B ' u A ' )
Por propiedad 2A : = ( A u B ) n (A‘ cj B')
Por propiedad l OB : = ( A u B ) c ( A n B )’
Por propiedad 9A : = (A u B ) • (A n B)
A A H = ( A u B ) - ( A n B )
Teoría (le Conjuntos 55
12.- Demostrar que : (A A B ) n C = [A n C) A (B n C).
Resolución -
Comenzando por el miembro m.is complicado y aplicando lo demostrado en el problema 
«interior:
( A n ( ' ) A ( B n C ) = [ ( A n f ) u ( B n C ) ] - | ( A n C ) n ( B n C ) ]
Por propiedad 4C 
Por propiedad 3B 
Por propiedad IB
= [ ( A u B ) n f ] - | ( A n C ) n ( B n C ) |
= [ ( A u B ) n C | - | ( A n B ) n ( f n C ) ]
= ( (A cj B ) r i C| - |(A n B) n C |
Por problema 2 : = f (A vj B ) - (A r\ B )J n C
Por problema 3 : = (A A B ) o C
(A n C) A (B A C) = (A A B ) n C
13.- Demostrar que : [A* - (B ‘ - C )]’n ( B ' n C ) ’ = A n ( f l u C ) .
Rcsolución.-
Comenz.indo por el miembro mas complicado y aplic.indo l.i propied.id Í)A: 
IA* - (B* - C)P n (B* n C’)* = |A’ r\ (B 1 - C)'|' o (B 1 o C)*
Por propiedades 1OB y 8A 
Por propiedad 9A 
Por propiedad 10A
= |A u ( B ' - f ) | n ( B u C)
= | A u ( B n C ) | n ( B u C ) 
= |A u (B o C)-| n (B u C)
Por propiedad 12D = A n ( B u C )
IA1 - (B - C)|' n (B ‘ n C)* = A n (B u C)
14." Sim p lificar: [ A - ( S u P ) ] n ( 6 - A) sabiendo que A c. P.
A) B B ) A C) A \j P D) A r\ P E ) <*>
Resolución - 
Por dato : A c P
Se sabe que : P c ( B u P )
Luego por propiedad de inclusión : A - (B vj P) = 0
Entonces : |A - (B u P)| r> (B - A) = Q n (B - A)
Por propiedad 7B : = «Jt
( A - ( B u P ) I n ( B - A ) = <J> RPTA E
A c ( B u P )
56 Problemas de Aritmética \ como icsoivci los Hernán Flores Velozco
15.- Siendo A, B y C tres conjuntos contenidos en un mismo universo I y además 
satisfacen : A 's j B = C ; sim plificar la expresión:
( 4 u 5 u C)' n ( 4 n E ' n C )
A) A B j A r s B C) A - B D) C E ) 0
Resolución -
Por dato : A’o B = C
Aplicando complemento . (A’ u B ) ‘ = C
Por propiedades RA y 10A : A r. B = C
Por propiedad ‘JA : A - B = C‘ ... (<*)
Luego, por propiedad asociativa .
(A B u C )1 n( A r . B n C ) - | ( A u B ) u C ) n |(A B ' ) o C |
Por propiedad 10A : = ((A j B}' r. ( ” 1 n |(A B ) C'l
Pbr propiedad 9A y reemplazando C de (a ) . = |(A 1 B J n (A - B)1 n I(A - B) n (A - B)|
Por propiedades ‘T\ y 1A = [(A - B) - (A ■_< B )J rs (A B)
Como A - B c A u B = 0 n (A - B)
Por propiedad 7B : = 0
( A u B u C ) ' n (A n B' n C ) = Ó RPTA. E
Definimos la operación "* " tai que : A * B = {A - B )' según esto sim p lificar:
[(A * B ) * ( B - A ) ] *A 
A) As j B B j A r s B C) A - B D ) B * A E ) A * B
Resoluaón.-
Aplicaudo la definición de **":
|(A * B ) * (B - A)| * A = <((A - B) - (B - A)|* - AK
Por propiedad 9A : = \ I(A - B )' n ( B - A )'l' - A}
F*Or propiedad I0B : = {( (A - B) i / (B * A)1 - A } ’
Por propiedad 9A : = { ((A - B) u (B - A)1 r\ A’}'
FY>r propiedad 1C : = { | (A - B ) n A ' l u | ( B - A ) n A'))}'
Por propiedad 9A : = I |(A - B ) - A) cj l(B - A) - A ] } ’
Como A-Bcr A = {O ^ |(B - A) - A |}‘
T\)r propiedad 7A : = |(B - A) ■ A|'
Como (B - A) v A son disjuntos = (B - AJ
Por dennicion de "^e"; = B aje A
I(A * B) * (B - A)] * A = B * A RPTA. D
leona tlt Ctmjuntos 57
17.-De 150 alumnos. 104 no postulan a la U.N.I., 109 no postulan a la P.U.C. y 70 no postu­
lan a estas universidades. ¿ Cuántos postulan a am bas?
A) 6 B ) 7 C) 8 D) 9 E ) 10
Resolución -
Sean A v B los conjuntos de alumnos que postulan a la LI.N.I y a la Rl T.(’. respectivamente se 
tendía , por datos del problema:
r?(A) =104 -> rí(A) = ISO - 104 = 40
/i(B’) =109 rr(B) =150-109 = 41
n|(Av_>B)'| = 70 -> h ( A u B) =150- 70 = 80
Como : ri(A u B ) = »(A ) + n (B) -r/(Ar>B)
Reemplazando : 80 = 46 + 41 -/í (A n B)
Luego, postulan a ambas universidades : n(A n B ) = 7 RPTA B
18.-De cierto número de figuras geométricas se sabe que 60 son cuadriláteros, 20 son rombos, 
30 son rectángulos y 12 no son rombos ni rectángulos. ¿ Cuántos son cuadrados ?
A ) 1 B ) 2 C) 3 D )4 E ) 5
Resolución -
S i : A : conjunto de rombos
B : conjunto de rectángulos
Nótese que, en el diagrama de Y'enn - Euler, la intersección de ambos conjuntos, A y B, está 
dada por los cuadrados.
Luego : 20 - jt + x + 30 - x + 12 = 60 x = 2 RPTA B
19.- En una encuesta realizada entre los estudiantes de una universidad, se obtuvo los 
siguientes resultados:
* E l 60% usan el producto A
* E l 50% usan el producto B
* E l 80% usan los productos A o B pero no ambos
* 200 alumnos no usan estos productos 
¿Cuántosalum nos fueron encuestados?
A) 2 400 B) 3 200 C)4 000 D) 6 400 E) 5 600
58 Piobhmns de Arinm'tica v como resolverlos Hernán Flores Velazco
Resolución.-
Consideremos a P ' como el número de estudiantes encuestados, entonces el diagrama de 
Venn - Euler correspondiente sera •
De donde : o + b = 60% P 
b + c = 50% P 
a + c = «0% P 
Sumando miembro a miembro 
2 (o + b + r ) = 100% P 
—> a + b + c = 95% P
Entonces, como el total es representado por el 100%, las 200 personas representan el 5% del 
total do encuestados:
5% de P = 200 -> P = 4 000 RPTA. C
20.- En una ciudad se determinó que:
* A la cuarta parte de la población no le gusta la natación n i el fútbol 
‘ A la m itad les gusta la natación
* A los 5/12 les gusta e l fútbol
¿A qué parte de la población les gusta solamente uno de los deportes m encionados? 
A) 3/4 B ) 1/4 C) 1/3 D) 7/12 E ) 1/2
Rooluciflu--
Sean : T " el conjunto de habitantes que gustan del fútbol y "N" el conjunto de habitantes que 
gustan de la natación. Entonces suponiendo una población de 12 habitantes se tendrá:
* A ̂ (12) =3 habitantes no les gusta la natación ni el fútbol
* A ̂ ( 12) = 6 habitantes les gusta la natación
5
* A J 2 02 ) =5 habitantes les gusta el fútbol 
En un diagrama de Venn - Euler :
200
Teoría di Con junios 59
UC12)
2 + } = G - » x =3
El numero de personas que gustan solamente de uno de estos deportes sera : 
x + v= 1+3 = 7
Que representa lo s : 7/12 de la población RPTA I)
21,- Se dan tres conjuntos X, Y ,Z incluidos en un mismo conjunto universal I tal que: 
^ Z n X = Z 
n[Z ) = 150 
n (X 'n Y") =90 
n[(X u Y) - Z] = 6. n(Z)
H allar: n{ I ')
A) 140 B ) 170 C) 150 D) 180 E ) 160
Rcsoludon.-
Phr propiedad de la inclusión se sabe que: Z n X = Z « Z c X 
Luego, el diagrama de Venn - Euler correspondiente a este problema será
X Y t
Z
a b c d e f
V ____________
Analizando los datos :
* n(Z ') = ISO -» a + b + r + í = 15 0 ... (o )
* Aplicando la propiedad I0A:
n(X ’ rs Y ) = n |(X u Y)'| = 90 -> a = í)0
* n [(X sj Y) - Z| = 6 . n(Z) -» b + e + f = 6 (c + d)
Reemplazando en (a ) • 90 + 6 (c + d) = 150 -♦ c + d = 10
r/(1 ■)=a+b + c + d + e+ f
60