Apostila de Bioestatística

Esta es una vista previa del archivo. Inicie sesión para ver el archivo original

1 
 
COMPILADO DE 
INFORMACIONES 
Y ACTIVIDADES 
PARA 
BIOESTADÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2019 
 
 
 
2 
 
 
 
 
3 
 
Indice 
Programa de estudios ........................................................................................................................... 5 
Prólogo .................................................................................................................................................. 7 
Unidad I ............................................................................................................................................... 11 
Capitulo 1 ........................................................................................................................................ 11 
1.3. Elementos. Población. Caracteres ............................................................................................ 14 
Ejercicios del Capítulo 1 ...................................................................................................................... 17 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS .................................................................................................... 20 
DATOS EN BRUTO............................................................................................................................ 20 
ORDENACIONES.............................................................................................................................. 20 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA .................................................................................................. 20 
INTERVALOS DE CLASE Y LÍMITES DE CLASE .................................................................................... 21 
FRONTERAS DE CLASE ..................................................................................................................... 21 
TAMAÑO O AMPLITUD DE UN INTERVALO DE CLASE ...................................................................... 22 
LA MARCA DE CLASE ....................................................................................................................... 22 
REGLAS GENERALES PARA FORMAR UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ................................... 22 
HISTOGRAMAS Y POLÍGONOS DE FRECUENCIAS ............................................................................ 23 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS RELATIVAS ............................................................................... 24 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ACUMULADAS Y OJIVAS .......................................................... 24 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ACUMULADAS RELATIVAS Y OJIVAS PORCENTUALES .............. 25 
CURVAS DE FRECUENCIAS Y OJIVAS SUAVIZADAS ............................................................................ 26 
TIPOS DE CURVAS DE FRECUENCIAS ............................................................................................... 26 
Representaciones Gráficas .................................................................................................................. 28 
Gráficos para variables cualitativas ................................................................................................. 28 
Diagramas de sectores .................................................................................................................... 31 
Pictogramas .................................................................................................................................... 33 
MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL .......................................... 50 
ÍNDICES O SUBÍNDICES ................................................................................................................... 50 
PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ........................................................................ 51 
LA MEDIA ARITMÉTICA ................................................................................................................... 51 
CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS ................................................... 51 
LA MEDIANA ................................................................................................................................... 52 
LA MODA ........................................................................................................................................ 53 
CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES ............................................................................................... 53 
PROBLEMAS y EJERCICOS A RESOLVER ........................................................................................... 54 
 
 
4 
 
CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES ............................................................................................... 62 
Diagrama de cajas y Bigotes – Box –Plot ......................................................................................... 63 
Ejercicios propuestos ...................................................................................................................... 66 
DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN ............................................................. 76 
DISPERSIÓN O VARIACIÓN .............................................................................................................. 76 
RANGO ............................................................................................................................................ 76 
DESVIACIÓN MEDIA ........................................................................................................................ 76 
DESVIACIÓN ESTÁNDAR .................................................................................................................. 77 
VARIANZA ....................................................................................................................................... 77 
Coeficiente de Variación (C.V.) ....................................................................................................... 79 
Problemas ....................................................................................................................................... 79 
Métodos de Muestreo ........................................................................................................................ 88 
Clasificación de los métodos de muestreo ...................................................................................... 89 
Muestreos no probabilísticos ...................................................................................................... 89 
Muestreo intencional u opinativo: .............................................................................................. 89 
Muestreos probabilísticos ............................................................................................................... 89 
Muestreo aleatorio simple .................................................................................................................. 89 
La ventaja de este método de muestreo .................................................................................... 90 
Ejemplo de muestreo aleatorio simple ........................................................................................... 90 
Muestreo aleatorio sistemático .......................................................................................................... 93 
Las ventajas ................................................................................................................................. 93 
Su desventaja .............................................................................................................................. 93 
Muestreo aleatorio estratificado ........................................................................................................ 95 
Ventajas ......................................................................................................................................
95 
Desventajas ................................................................................................................................. 95 
Muestreo aleatorio por conglomerados ............................................................................................. 97 
Ventajas ...................................................................................................................................... 97 
Desventajas ................................................................................................................................. 97 
Miscelánea de muestreo..................................................................................................................... 98 
Formulario ........................................................................................................................................ 100 
Registro de Asistencia Individual ............................................................ ¡Error! Marcador no definido. 
 
 
 
 
5 
 
 
Programa de estudios 
UNIDAD I 
INTRODUCCION A LA BIOESTADISTICA 
Definición de la Bioestadística. Bioestadística como parte del método científico 
razonamiento deductivo e inductivo 
UNIDAD II 
ORGANIZACIÓN Y RESUMEN DE LOS DATOS 
Etapas del método estadístico. Etapas de ejecución para obtención de datos. 
Captación de datos. Proceso de elaboración. Distribución de datos en 
frecuencia. Presentación de datos. Presentación tabular. Presentación grafica 
 
UNIDAD III 
MEDIDAS DE VARIACION 
Medidas de tendencias central. Media aritmética. La mediana, la moda, ventajas 
y desventajas de cada una de las medidas de tendencias centrales. Medidas de 
dispersión. El rango. Disminución la varianza coeficiente de variación 
UNIDAD IV 
DISTRIBUICIONES MUESTRALES IMPORTANTES 
Definición y clasificación de muestra. Razonamiento para la aplicación de 
muestreo aleatorio simple. Razonamiento para la aplicación de la media y la 
desviación standart de la muestra 
UNIDAD V 
TASAS, RAZONES Y PROPORCIONES 
Cifras absolutas, usos y limitaciones. Frecuencia relativa. Razones. 
Proporciones. Tasas. Principales tasas usadas en salud publica 
 
 
 
6 
 
UNIDAD VI 
ESTADISTICA DE POBLACIONES 
Relación de la demografía con el nivel de salud. Crecimiento de la población. 
Utilización de las estadísticas. Población en salud publica 
 
 
 
7 
 
Prólogo 
El desarrollo y el nivel de aplicación que la Bioestadística, como herramienta útil y 
rigurosa en el campo de la investigación en todas las Ciencias Sociales, ha experimentado en 
los últimos años, ha sido espectacular. Es indudable que este progreso en el conocimiento y 
aplicación de la Estadística ha venido estrechamente vinculada al que ha experimentado el 
área de la computación, que nos ha llevado a una sociedad absolutamente informatizada 
donde el ordenador se ha convertido en un utensilio personal de uso habitual. Este auge y 
progreso de la informática, a nivel de software y hardware, ha hecho posible, a su vez, la 
realización de pruebas estadísticas que, de forma habitual, hubiesen sido muy costosas desde 
el punto de vista humano así como manejar volúmenes de información que habrían resultado 
absolutamente impensables. 
 
Un segundo factor asociado a este progreso del conocimiento en el ámbito estadístico, 
ha sido el cambio de actitud experimentado por todos los profesionales de las áreas de 
Ciencias Sociales y especialmente, en el ámbito de las Ciencias de la Salud. De una sociedad 
en la que los roles y el desempeño de la profesión estaban ajustados a la mera aplicación de 
los conocimientos adquiridos, hemos evolucionado a una Sociedad Científica donde la 
investigación ha pasado a formar parte esencial de su labor diaria. El interés por descubrir 
nuevos procedimientos a través de la experiencia acumulada, ha sido determinante en la 
necesidad de que todos estos profesionales se vean inmersos en la formación y aprendizaje 
de técnicas básicas de metodología de la investigación y de algunas más concretas como el 
análisis de datos. 
 
Este cambio en la dimensión del ejercicio profesional, determina que los planes de 
estudio de todas las licenciaturas y diplomaturas incluyan la Bioestadística para el ámbito de 
Salud y Biología, como materia troncal con entidad propia y de auténtica necesidad. Se 
pretende, con ello, que un profesional de la Salud, o de cualquier Ciencia Social, que se apoye 
en la cuantificación y en el estudio empírico de lo que observa a diario, entienda y conozca 
los conceptos básicos de la ciencia que le va a permitir, abandonando conductas pragmáticas, 
profundizar y comprender el fundamento científico de su área de trabajo. 
 
 
8 
 
No se trata de hacer expertos en Estadística. El principal objetivo de los docentes de esta 
materia se centra en generar, en los discentes, una actitud crítica ante cualquier lectura 
científica, adquirir un lenguaje común con estadísticos y otros profesionales del ´área y 
conocer a priori los pasos y los elementos imprescindibles en cualquier investigación empírica 
que se apoye en el manejo de volúmenes grandes de datos y cuyo propósito final sea 
condensar dicha información para que pueda ser transmitida o extrapolar las conclusiones a 
las poblaciones de las que fueron tomadas las medidas. Es importante saber que no existe 
investigación si no existen objetivos previos: no puede descartarse ni confirmarse lo que no 
se ha planteado. 
 
Ajena a esta transformación social se encuentran la gran mayoría de nuestros alumnos 
que cursan los primeros cursos de alguna de estas licenciaturas o diplomaturas de Ciencias 
Sociales o Ciencias de la Salud. Sus únicos objetivos se centran en llegar a ser médicos, 
biólogos, psicólogos. . . y no alcanzan a entender que utilidad les puede reportar una materia 
como la Bioestadística en su currículo. Es por ello que al margen de la dificultad intrínseca que 
genera el entendimiento de la materia, la enseñanza de la Bioestadística en estos cursos se 
ve agravada por la imposibilidad de usar cualquier tipo de motivación. 
 
 En muy distinta situación se encuentran los alumnos de postgrado que ya han 
comenzado su vida profesional y han tenido, por tanto, ocasión de darse cuenta de que 
manera la Bioestadística les puede resultar útil y necesaria. 
Aunque no sea su deseo adentrarse en el mundo de la investigación, una parte importante 
en la transmisión de los nuevos hallazgos y conocimientos de otros colegas de su ´ámbito 
profesional, es el lenguaje estadístico. 
 
Es por ello que han de estar absolutamente familiarizados con dicha terminóloga si se 
pretende tener una actitud crítica y objetiva ante la lectura de cualquier literatura científica. 
Fruto del trabajo realizado con estos sectores de estudiantes e investigadores es nuestra 
experiencia, que nos ha animado a escribir el presente libro que podría definirse como un 
Manual de Estadística básica aplicada al ámbito de la Salud. Su contenido abarca desde los 
aspectos más básicos de la Estadística descriptiva, en su función de resumir, presentar y 
 
 
9 
 
comunicar los resultados de cualquier estudio a las diferentes técnicas de extrapolación de 
las conclusiones a una población, a partir de lo verificado en una muestra representativa de 
esta. Obviamente, para ello, se hace necesario revisar las nociones más básicas de aspectos 
como probabilidad, Variable aleatoria, Distribuciones de probabilidad, así como los elementos 
imprescindibles de toda la Inferencia Estadística: técnicas de muestreo, conceptos 
fundamentales, estimación confidencial y contrastes de hipótesis más importantes de la 
Estadística Invariante, abordando los test usados bajo supuesto de distribución gaussiana así 
como los de distribución libre. La variabilidad que han generado los nuevos planes de estudio 
no facilita la selección de unos contenidos que abarque la totalidad de los programas de todas
las Universidades, sin embargo hay una parte troncal que constituye un porcentaje amplio del 
conjunto de todos ellos. Esta es la parte que hemos seleccionado, para nuestro contenido, de 
manera que podamos acercarnos lo máximo posible a lo que pudiera ser un libro de texto 
para las asignaturas de Bioestadística que se imparten en la mayoría de las Facultades de 
Medicina y Escuelas de Ciencias de la Salud. 
 
En lo que concierne al modo y la forma, la experiencia acumulada a través de los años 
de docencia y el apoyo en el ´área de la investigación de los profesionales de la salud de 
nuestro entorno, nos condiciona a que teoría y práctica avancen de manera simultánea, en 
este manual, complementándose la una a la otra y apoyándose mutuamente, con numerosos 
ejemplos que puedan acercar al lector a situaciones más cotidianas de su entorno. 
Pretendemos con ello ayudarles a entender las nociones más abstractas y a relacionarlas con 
un futuro no lejano como profesional del mundo de la salud. No obstante, no hemos querido 
evitar tratar algunos temas con algo más de rigor, para que el lector que esté interesado en 
profundizar algo más, pueda hacerlo; siempre teniendo en cuenta que la lectura de dichas 
partes es algo optativo y que dependerá de las necesidades individuales. 
 
A todos esos alumnos y compañeros queremos dedicarle nuestro más sincero 
agradecimiento, por su inestimable colaboración al orientarnos, a través de sus opiniones 
sinceras, sobre nuestra metodología docente y haber podido observar cual ha sido su 
evolución a lo largo de los años y de las diferentes etapas que se han ido sucediendo. 
 
 
10 
 
Esperamos que la ilusión puesta en la realización de este texto nos haya permitido suavizar, 
en la medida de lo posible, la aridez del tema que tratamos, y solo comprobar que realmente 
pueda ser un elemento eficaz de ayuda, apoyo y consulta entre nuestros discípulos y 
compañeros, justificar a todas las horas que hay detrás de estas líneas. 
 
 
11 
 
Unidad I 
Capitulo 1 
Conceptos previos 
1.1. Introducción 
El conocimiento de la estadística se torna cada día mas indispensable para el médico, 
y aún para el estudiante. 
A poco que se deseen extraer conclusiones generales de hechos observados, sean 
éstos datos clínicos, diagnósticos, tratamientos o lo que fuere para verificar el grado de 
probabilidad de que la conclusión sacada es aplicable a la generalidad de los casos, es 
imprescindible someter dichos hechos al examen estadístico. Es sabido que la probabilidad 
de curación o de muerte de enfermos afectados de una misma enfermedad y sometidos a 
una misma medicación, es siempre variable y distinta para cada enfermo como dice MORICE 
GARAVET en Methodes Statistiques, Ed, Masson, Paris 1947, X; afirmación ésta que está de 
acuerdo con la experiencia personal de todos los médicos. Es pues, aventurado extraer 
conclusiones generales de los casos observados, si esas conclusiones no son sometidas a la 
prueba de fuego de las estadísticas. 
Bien dice HULDA BANCROFT, en la Introducción a la Bioestadística (Ed. Eudeba, Bs. As., 
1960, 14), que, para juzgar correctamente los resultados de actuaciones o investigaciones 
médicas, propias o ajenas, “debemos recurrir a la Estadística”, Esa nos Pondrá a cubierto de 
las conclusiones incorrectas a que nos conduce el deseo inconsciente de que un hecho sea de 
una forma determinada. Aun cuando hayamos puerto la mayor objetividad y la máxima 
escrupulosidad en la extracción de las conclusiones, los hechos mismos pueden resultar 
engañosos si no sabemos apreciar cuánto se debe a la casualidad y cuánto a la causalidad, es 
decir, si no sometemos el resultado al examen de la estadística. 
Pero, en general, los médicos no necesitan ser estadísticos completos, como no 
necesitan, para manejar algunos aparatos médicos o algunos productos químicos, ser físicos 
ni químicos consumados. En la gran mayoría de los casos bastara con que tengan algunos 
conceptos, con tal de que sean claros, suficientes y bien entendidos. 
 
 
 
 
12 
 
1.2. ¿Qué es la estadística? 
La estadística es el arte y la ciencia de manejar los números cuando éstos represan los valoro 
cuantitativos de hechos similares. También podría decirse que la estadística es el arte y la 
ciencia de valorar observaciones o experiencias similares cuando éstas se expresan 
cuantitativamente, es decir, mediante números. Por ejemplo, si se administra un hipnótico a 
varios pacientes y se registre el número de horas dormidas por cada uno, éstas podrán ser 8, 
6, 8, 6, 10. 
Decimos que estas observaciones podrían ser analizadas estadísticamente porque se 
expresan mediante números, En otra forma no podrán serlo, por ejemplo, si se dijese 
solamente a unos les produjo un poco de sueño y a otros no mucho. A su vez estos números 
8 — 6 — 8 — 6 — 10 pueden ser objeto de un tratamiento estadístico porque se refieren a 
hechos similares: horas de sueño provocadas por un hipnótico. Pero no podrían serlo si solo 
fuesen números sueltos, o se refiriesen a observaciones diferentes, por ejemplo, unos a horas 
de suelto, otros a dosis del hipnótico, otros la edad de los pacientes, etcétera. 
La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, 
hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea 
una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la 
finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones. 
Podríamos por tanto clasificar la Estadística en descriptiva, cuando los resultados del análisis 
no pretenden ir más allá del conjunto de datos, e inferencial cuando el objetivo del estudio 
es derivar las conclusiones obtenidas a un conjunto de datos más amplio. 
Estadística descriptiva: Describe, analiza y representa un grupo de datos utilizando métodos 
numéricos y gráficos que resumen y presentan la información contenida en ellos. 
Estadística inferencial: Apoyándose en el cálculo de probabilidades y a partir de datos 
muéstrales, efectúa estimaciones, decisiones, predicciones u otras generalizaciones sobre 
un conjunto mayor de datos. 
 
La estadística, es la ciencia que recolecta, organiza, resume, analiza y toma decisiones ante 
situaciones de incertidumbre. La complejidad de los sistemas biológicos y de salud asociada 
a la variabilidad experimental requiere la aplicación de matemáticas y estadísticas para 
 
 
13 
 
entender las diversas problemáticas y situaciones, con el objeto de analizar datos 
experimentales de una manera cuantitativa. 
 
El conocimiento de las matemáticas es necesario para entender los conceptos asociados con 
la construcción de modelos matemáticos y las bases de las pruebas estadísticas. 
 
Por otra parte, el software computacional facilita e incrementa la aplicación de las 
matemáticas en estudios biológicos y de salud, lo que hace evidente el perjuicio de aceptar 
resultados sin entender completamente su significado. 
 
Muchas investigaciones requieren solamente datos cualitativos, los cuales pueden ser 
suficientes, por ejemplo para conocer que determinado organismo está presente en un 
ambiente, o que un proceso está operando. Sin embargo, otros estudios requieren la 
obtención de datos cuantitativos. La cuantificación requiere algunas aplicaciones 
matemáticas. 
Utilidad 
 
Existen dos diferentes aplicaciones: Modelos matemáticos y Análisis estadístico. La primera 
involucra las funciones y técnicas involucradas en la construcción de tales modelos. La 
segunda describe las pruebas estadísticas utilizadas para analizar datos experimentales. 
 
El análisis estadístico tiene dos funciones: 
 
1. Organizar y describir datos experimentales que han sido recolectados 
 
2. Proporcionar conclusiones inferenciales acerca de una población, a partir de datos 
experimentales de la(s) muestra(s) consideradas.
Es esencial que antes de llevar a cabo el estudio experimental y el análisis estadístico se 
clarifiquen e identifiquen los propósitos del estudio. De hecho, algunos experimentos no 
requieren estadística, por lo que el análisis se requiere generalmente para aquellos que 
 
 
14 
 
generan datos cuantitativos. Cuando este es el caso, el tipo de análisis estadístico a utilizar 
debe ser identificado antes de comenzar el experimento. 
Cabe mencionar que la Bioestadística, es una rama de la estadística aplicada a la biología y la 
salud, la cual ha sido clave en el desarrollo de nuevos fármacos, en el entendimiento de 
enfermedades crónicas; la estrecha relación de la Estadística con el método científico hace de 
la Bioestadística una disciplina imprescindible en la mayoría de los proyectos en el área 
tecnológica; el pensamiento estadístico no sólo resuelve y entiende compleja metodología 
para dar respuesta a hipótesis, sino que es capaz de organizar el “sistema” que involucra la 
investigación desde el diseño general, diseño de muestreo, control de calidad de la 
información, análisis y presentación de resultados. 
 
1.3. Elementos. Población. Caracteres 
Establecemos a continuació n algunas definiciones de conceptos bá sicos y 
fundamentales bá sicas como son: elemento, població n, muestra, caracteres, variables, 
etc., a las cuales haremos referencia continuamente a lo largo del texto 
Individuos o elementos: personas u objetos que contienen cierta informació n que se 
desea estudiar. 
Població n: conjunto de individuos o elementos que cumplen ciertas propiedades 
comunes. 
Muestra: subconjunto representativo de una població n. 
Pará metro: funció n definida sobre los valores numé ricos de caracterí sticas 
medibles de una població n. 
Estadí stico: funció n definida sobre los valores numé ricos de una muestra. 
En relació n al tamañ o de la població n, esta puede ser: 
Finita, como es el caso del número de personas que llegan al servicio de urgencia de un 
hospital en un día; 
Infinita, si por ejemplo estudiamos el mecanismo aleatorio que describe la secuencia de caras 
y cruces obtenida en el lanzamiento repetido de una moneda al aire. 
Variables o Caracteres: propiedades, rasgos o cualidades de los elementos de la población. 
Estos caracteres pueden dividirse en cualitativos y cuantitativos. 
 
 
15 
 
Modalidades: diferentes situaciones posibles de un carácter. Las modalidades deben ser a la 
vez exhaustivas y mutuamente excluyentes cada elemento posee una y sólo una de las 
modalidades posibles. 
Clases: conjunto de una o más modalidades en el que se verifica que cada modalidad 
pertenece a una y sólo una de las clases. 
 
1.4. Organización de los datos 
1.4.1. Variables estadísticas 
Cuando hablemos de variable haremos referencia a un símbolo (X,Y,A,B,. . . ) que puede tomar 
cualquier modalidad (valor) de un conjunto determinado, que llamaremos dominio de la 
variable o rango. En función del tipo de dominio, las variables las clasificamos del siguiente 
modo: 
Variables cualitativas, cuando las modalidades posibles son de tipo nominal. 
Por ejemplo, el grupo sanguíneo tiene por modalidades: 
Grupos Sanguíneos posibles: A, B, AB, O 
Variables cualitativas ordinales son las que, aunque sus modalidades son de tipo nominal, es 
posible establecer un orden entre ellas. Por ejemplo, si estudiamos el grado de recuperación 
de un paciente al aplicarle un tratamiento, podemos tener como modalidades: 
Grado de recuperación: Nada, Poco, Moderado, Bueno, Muy Bueno. 
A veces se representan este tipo de variables en escalas numéricas, por ejemplo, puntuar el 
dolor en una escala de 1 a 5. Debemos evitar sin embargo realizar operaciones algebraicas 
con estas cantidades. ¡Un dolor de intensidad 4 no duele el doble que otro de intensidad 2! 
Variables cuantitativas o numéricas son las que tienen por modalidades cantidades 
numéricas con las que podemos hacer operaciones aritméticas. Dentro de este tipo de 
variables podemos distinguir dos grupos: 
Discretas, cuando no admiten siempre una modalidad intermedia entre dos cualesquiera de 
sus modalidades. Un ejemplo es el número de hijos en una población de familias: 
Número de hijos posibles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . 
Continuas, cuando admiten una modalidad intermedia entre dos cualesquiera de sus 
modalidades, v.g. el peso X de un niño al nacer. 
 
 
16 
 
Ocurre a veces que una variable cuantitativa continua por naturaleza, aparece como discreta. 
Este es el caso en que hay limitaciones en lo que concierne a la precisión del aparato de 
medida de esa variable, v.g. si medimos la altura en metros de personas con una regla que 
ofrece dos decimales de precisión, podemos obtener 
Alturas medidas en cm: 1.50, 1.51, 1.52, 1.53,. . . 
En realidad lo que ocurre es que con cada una de esas mediciones expresamos que el 
verdadero valor de la misma se encuentra en un intervalo de radio 0,005. Por tanto cada una 
de las observaciones de X representa más bien un intervalo que un valor concreto. 
Tal como hemos citado anteriormente, las modalidades son las diferentes situaciones 
posibles que puede presentar la variable. A veces estas son muy numerosas (v.g. cuando una 
variable es continua) y conviene reducir su número, agrupándolas en una cantidad inferior de 
clases. Estas clases deben ser construidas, tal como hemos citado anteriormente, de modo 
que sean exhaustivas y excluyentes, es decir, cada modalidad debe pertenecer a una y sólo 
una de las clases. 
Variable cualitativa nominal: Aquella cuyas modalidades son de tipo nominal. 
Variable cualitativa ordinal: Modalidades de tipo nominal, en las que existe un orden. 
Variable cuantitativa discreta: Sus modalidades son valores enteros. 
Variable cuantitativa continua: Sus modalidades son valores reales. 
 
 
 
 
17 
 
 
 Ejercicios del Capítulo 1 
Ejercicio 1.1. 
Clasifica las siguientes variables según un su tipo: cualitativas nominales, 
cualitativas ordinales, cuantitativas continuas o cuantitativas discretas. 
 Estado civil de una persona 
 _______________________________________________________ 
 Numero de teléfono 
 _______________________________________________________ 
 Temperatura corporal de un paciente 
 _______________________________________________________ 
 E-mail de una persona 
 _______________________________________________________ 
 Número de hijos 
 _______________________________________________________ 
 Ciudad en la que reside 
 _______________________________________________________ 
 Grado de aceptación de una decisión (de acuerdo, neutral, en desacuerdo) 
 _______________________________________________________ 
 Ingreso económico mensual 
 _______________________________________________________ 
 Línea del autobús que tomo más frecuentemente 
 _______________________________________________________ 
 Número de asignaturas aprobadas el último curso. 
 _______________________________________________________ 
 
Ejercicio 1.2. 
En una farmacia se está recogiendo información sobre el grado de satisfacción de los 
clientes respecto a su servicio nocturno, concretamente se está preguntando cual es 
la opinión de los clientes en cuanto la relación calidad-precio de este servicio 
nocturno. Las respuestas dadas por los clientes encuestados han sido codificadas 
según los códigos: 
0: Muy desfavorable 
1: Desfavorable 
2: Favorable 
3: Muy favorable 
 
 
 
 
 
18 
 
Se ha preguntado a un total de 50 clientes, y sus respuestas codificadas numéricamente 
han sido las siguientes: 
0 1 3 0 1 1 2 3 0 0 3 3 3 2 1 2 0 3 0 2 1 0 0 2 3 
2 2 2 1 1 2 2 0 3 0 2 2 0 3 3 0 3 0 1 2 2 2 0 2 1 
1. Indica la variable en estudio 
_____________________________________________________________________ 
2. El tipo de variable 
_____________________________________________________________________ 
3. La población 
_____________________________________________________________________
4. La muestra 
_____________________________________________________________________ 
5. Individuo 
_____________________________________________________________________ 
 
Resumir estos datos de una manera que se considere más conveniente 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 1.3. 
Se han tomado muestras a 40 niños de entre 1 y 5 años del nivel de cobre en orina, 
obteniéndoselos siguientes valores: 
0.1 0.5 0.65 0.75 0.88 
0.3 0.52 0.66 0.76 0.9 
0.34 0.55 0.69 0.77 0.94 
0.36 0.58 0.7 0.78 0.98 
0.42 0.62 0.72 0.81 1.04 
0.42 0.63 0.73 0.83 1.12 
0.45 0.64 0.74 0.85 1.16 
0.48 0.65 0.74 0.86 1.24 
 
 
1. Indica la variable en estudio 
_____________________________________________________________________ 
2. El tipo de variable 
_____________________________________________________________________ 
3. La población 
_____________________________________________________________________ 
4. La muestra 
_____________________________________________________________________ 
5. Individuo 
_____________________________________________________________________ 
 
 
19 
 
Resumir estos datos de una manera que se considere más conveniente 
 
 
 
 
Ejercicio 1.4. 
Se dispone del peso (en gramos) de 16 niños de un mes de edad. Los datos se muestran a 
continuación: 
4123 4336 4160 4165 4422 3853 3281 3990 
4096 4166 3596 4127 4017 3769 4240 4194 
 
1. Indica la variable en estudio 
_____________________________________________________________________ 
2. El tipo de variable 
_____________________________________________________________________ 
3. La población 
_____________________________________________________________________ 
4. La muestra 
_____________________________________________________________________ 
5. Individuo 
_____________________________________________________________________ 
Ejercicio 1.5 
En una farmacia se realiza seguimiento de la Hipertensión Arterial de algunos pacientes. 
Se dispone de 30 mediciones de la tensión arterial sistólica (TAS) realizadas en el día de 
hoy, las cuales se muestran a continuación 
 
173.03 150.29 147.47 162.04 143.35 
165.54 154.53 152.83 176.77 154.06 
141.59 162.5 166.99 159.97 160.82 
158.66 158.49 135.62 152.99 180.08 
158.81 151.11 138.77 161.92 172.93 
156.66 166.13 168.11 167.7 158.72 
 
1. Indica la variable en estudio 
_____________________________________________________________________ 
2. El tipo de variable 
_____________________________________________________________________ 
3. La población 
_____________________________________________________________________ 
4. La muestra 
_____________________________________________________________________ 
5. Individuo 
_____________________________________________________________________ 
 
 
20 
 
2 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS 
DATOS EN BRUTO 
 
Los datos en bruto son los datos recolectados que aún no se han organizado. Por ejemplo, 
las estaturas de 100 estudiantes tomados de la lista alfabética de una universidad. 
 
ORDENACIONES 
Ordenación se llama a los datos numéricos en bruto dispuestos en orden creciente o 
decreciente de magnitud. A la diferencia entre el número mayor y el número menor se le 
conoce como el rango de los datos. Por ejemplo, si la estatura mayor en los 100 estudiantes 
es 74 pulgadas (in) y la menor es 60 in, el rango es 74−60 =14 pulgadas (in). 
 
 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA 
Al organizar una gran cantidad de datos en bruto, suele resultar útil distribuirlos en clases o 
categorías y determinar la cantidad de datos que pertenece a cada clase, esta cantidad se 
conoce como la frecuencia de clase. A la disposición tabular de los datos en clases con sus 
respectivas frecuencias de clase se le conoce como distribución de frecuencias o tabla de 
frecuencias. La tabla 2.1 es una distribución de frecuencias de las estaturas (registradas a la 
pulgada más cercana) de 100 estudiantes de la universidad XYZ. 
Tabla 2.1 Estaturas de 100 estudiantes de la universidad 
XYZ 
 
Estatura
(in) 
Cantidad de 
estudiantes 
60-62 
63-65 
66-68 
69-71 
72-74 
5 
18 
42 
27 
8 
 Total 100 
 
 
La primera clase (o categoría), por ejemplo, consta de las estaturas que van desde 60 
hasta 62 pulgadas y queda identificada por el símbolo 60-62. Como hay cinco estudiantes 
cuyas estaturas pertenecen a esta clase, la frecuencia de clase correspondiente es 5. 
 
 
21 
 
 
A los datos organizados y resumidos como en la distribución de frecuencias anterior se 
les llama datos agrupados. Aunque al agrupar los datos se pierden muchos de los detalles 
originales de los datos, esto tiene la ventaja de que se obtiene una visión general clara y se 
hacen evidentes las relaciones. 
 
 
INTERVALOS DE CLASE Y LÍMITES DE CLASE 
 
Al símbolo que representa una clase, como 60-62 en la tabla2.1, se le conoce como intervalo 
de clase. A los números de los extremos, 60y62, se les conoce como límites de clase, el 
número menor (60) es el límite inferior de clase, y el número mayor (62) es el límite superior 
de clase. Los términos clase e intervalo de clase se suelen usar indistintamente, aunque el 
intervalo de clase en realidad es un símbolo para la clase. 
Un intervalo de clase que, por lo menos teóricamente, no tenga indicado el límite de 
clase superior o el límite de clase inferior, se conoce como intervalo de clase abierto. Por 
ejemplo, al considerar grupos de edades de personas, un intervalo que sea “65 años o 
mayores” es un intervalo de clase abierto. 
 
 
FRONTERAS DE CLASE 
 
Si las estaturas se registran a la pulgada más cercana, el intervalo de clase 60-62 comprende 
teóricamente todas las mediciones desde 59.5000 hasta 62.5000 in. Estos números que se 
indican brevemente mediante los números exactos 
59.5 y 62.5 son las fronteras de clase o los límites de clase reales, el menor de los números 
(59.5) es la frontera inferior de clase y el número mayor (62.5) es la frontera superior de 
clase. 
En la práctica, las fronteras de clase se obtienen sumando el límite superior de un 
intervalo de clase al límite inferior del intervalo de clase inmediato superior y dividiendo 
entre 2. 
Algunas veces, las fronteras de clase se usan para representar a las clases. Por ejemplo, 
las clases de la tabla 2.1 pueden indicarse como 59.5-62.5, 62.5-65.5, etc. Para evitar 
ambigüedades cuando se usa esta notación, las fronteras de clase no deben coincidir con 
las observaciones. Por lo tanto, si una observación es 62.5, no es posible decidir si pertenece 
al intervalo 59.5-62.5 o al intervalo 62.5-65.5 
 
 
 
 
22 
 
TAMAÑO O AMPLITUD DE UN INTERVALO DE CLASE 
 
El tamaño, o la amplitud, de un intervalo de clase es la diferencia entre sus fronteras 
superior e inferior y se le conoce también como amplitud de clase, tamaño de clase o 
longitud de clase. Si en una distribución de frecuencia todos los intervalos de clase tienen 
la misma amplitud, esta amplitud común se denota c. En este caso, c es igual a la diferencia 
entre dos límites inferiores de clases sucesivas o entre dos límites superiores de clases 
sucesivas. Por ejemplo, en los datos de la tabla 2.1, el intervalo de clase es c =62.5 −59.5 
=65.5 −62.5 =3. 
 
 
LA MARCA DE CLASE 
 
La marca de clase es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene sumando los límites 
de clase inferior y superior y dividiendo entre2. Así, la marca de clase del intervalo 60-62 es 
(60+62)/2=61. A la marca de clase también se le conoce como punto medio de clase. 
Para los análisis matemáticos posteriores, se supone que todas las observaciones que 
pertenecen a un intervalo de clase dado coinciden con la marca de clase. Así, se considera 
que todas las estaturas en el intervalo de clase 60-62 in son de 61 in. 
 
 
REGLAS GENERALES PARA FORMAR UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS 
 
1. En el conjunto de los datos en bruto, se determina el número mayor y el número menor 
y se halla, así, el rango
(la diferencia entre los números mayor y menor). 
 
2. Se divide el rango en una cantidad adecuada de intervalos de clase de una misma 
amplitud. Si esto no es posible, se usan intervalos de clase de diferentes amplitudes o 
intervalos de clase abiertos. La cantidad de intervalos suele ser de 5 a 20, dependiendo 
de los datos. Los intervalos de clase también suelen elegirse de manera que las marcas 
de clase (o puntos medios de clase) coincidan con datos observados. Esto tiende a 
disminuir el llamado error de agrupamiento en los análisis matemáticos subsiguientes. 
En cambio, las fronteras de clase no deben coincidir con datos observados. 
Para evitar errores en el momento de calcular los tamaños de las clases, resulta 
conveniente sumarle el valor 1 al rango antes de dividir, así se evita errores en los 
momentos en que el residuo de la división sea nula, en los ejercicios se verán los casos 
posibles. 
 
 
23 
 
Fr
ec
u
e
n
ci
as
 
Resulta importante destacar que cuando no tenemos decidido o previsto el tamaño del 
intervalo de clase podemos recurrir a la Formula que Sturges ha propuesto para esta 
situación, en donde K= 1 + 3.322(Log10 n), K= 1 + Log2 n. 
3. Se determina la cantidad de observaciones que caen dentro de cada intervalo de clase, 
es decir, se encuentran las frecuencias de clase. La mejor manera de hacer esto es 
utilizando una hoja de conteo. 
HISTOGRAMAS Y POLÍGONOS DE FRECUENCIAS 
Los histogramas y los polígonos de frecuencias son dos representaciones gráficas de las 
distribuciones de frecuencias. 
1. Un histograma o histograma de frecuencias consiste en un conjunto de rectángulos que 
tienen: a) sus bases sobre un eje horizontal (el eje X), con sus centros coincidiendo con 
las marcas de clase de longitudes iguales a la amplitud del intervalo de clase, y b) áreas 
proporcionales a las frecuencias de clase. 
2. Un polígono de frecuencias es una gráfica de línea que presenta las frecuencias de clase 
graficadas contra las marcas de clase. Se puede obtener conectando los puntos medios 
de las partes superiores de los rectángulos de un histograma. 
En las figuras 2.1 y 2.2 se muestran el histograma y el polígono de frecuencias 
correspondientes a la distribución de frecuencias de las estaturas presentada en la tabla 
2.1. 
 
40 
 
30 
 
20 
 
 
10 
 
 
 
 61 64 67 70 73 
Figura 2-1 Histograma que muestra los puntos medios y las frecuencias de clase. 
Obsérvese en la figura 2.2 cómo el polígono de frecuencias se ha anclado por sus extremos, es 
decir, en 58 y 76. 
 
 
 
24 
 
Fr
ec
u
e
n
ci
as
 
 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS RELATIVAS 
La frecuencia relativa de una clase es la frecuencia de la clase dividida entre la suma de las 
frecuencias de todas las clases y generalmente se expresa como porcentaje. Por ejemplo, 
en la tabla2.1, la frecuencia relativa de la clase 66-68 es 42/100 =42%. Por supuesto, la 
suma de las frecuencias relativas de todas las clases es 1, o 100%. 
Si en la tabla 2.1 las frecuencias se sustituyen por frecuencias relativas, la tabla que se 
obtiene es una distribución de frecuencias relativas, distribución porcentual o tabla de 
frecuencias relativas. 
Las representaciones gráficas de las distribuciones de frecuencias relativas se obtienen a 
partir de los histogramas o polígonos de frecuencias, cambiando únicamente, en la escala 
vertical, las frecuencias por las frecuencias relativas y conservando la gráfica exactamente 
igual. A las gráficas que se obtienen se les llama histogramas de frecuencias relativas (o 
histogramas porcentuales) y polígonos de frecuencias relativas (o polígonos porcentuales), 
respectivamente. 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ACUMULADAS Y OJIVAS 
A la suma de todas las frecuencias menores que la frontera superior de un intervalo de clase 
dado se le llama frecuencia acumulada hasta ese intervalo de clase inclusive. Por ejemplo, 
en la tabla 2.1, la frecuencia acumulada hasta el intervalo de clase 66-68 inclusive es 
5+18+42=65, lo que significa que 65 estudiantes tienen una estatura menor a 68.5 in. 
 
40 
 
 
30 
 
 
20 
 
 
10 
 
 
 
 58 61 64 67 70 73 76 Estatura 
 Figura 2-2 polígono de frecuencias de las estaturas de los estudiantes. 
 
 
 
25 
 
A una tabla en la que se presentan las frecuencias acumuladas se le llama distribución de 
frecuencias acumuladas, tabla de frecuencias acumuladas o simplemente distribución 
acumulada, y se presenta en la tabla 2.2 para la distribución de las estaturas de los 
estudiantes de la tabla 2.1. 
 
Tabla 2.2 
 
Estatura (in) Cantidad de estudiantes 
Menos de 59.5 
Menos de 62.5 
Menos de 65.5 
Menos de 68.5 
Menos de 71.5 
Menos de 74.5 
0 
5 
23 
65 
92 
100 
 
 
Una gráfica que muestra las frecuencias acumuladas menores de cada frontera superior 
de clase respecto a cada frontera superior de clase se le conoce como gráfica de frecuencias 
acumuladas u ojiva. En algunas ocasiones se desea considerar distribuciones de frecuencias 
mayores o iguales que la frontera inferior de cada intervalo de clase. Como en ese caso se 
consideran las estaturas de 59.5 in o más, de 62.5 in o más, etc., a estas distribuciones se 
les suele llamar distribuciones acumuladas “o más que”, en tanto que las distribuciones 
consideradas antes son distribuciones acumuladas “o menos que”. Una puede obtenerse 
fácilmente de la otra. A las ojivas correspondientes se les llama ojivas “más que” y ojivas 
“menos que”. Aquí, siempre que se hable de distribuciones acumuladas o de ojivas, sin más, 
se tratará del tipo “menos que”. 
 
 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ACUMULADAS RELATIVAS Y OJIVAS 
PORCENTUALES 
 
La frecuencia acumulada relativa o frecuencia acumulada porcentual es la frecuencia 
acumulada dividida entre la suma de todas las frecuencias (frecuencia total). Por ejemplo, 
la frecuencia acumulada relativa de las estaturas menores que 68.5 in es 65/100=0.65 o 
65%, lo que significa que 65% de los estudiantes tienen estaturas menores a 68.5 in. Si en 
la tabla 2.2 se emplean las frecuencias acumuladas relativas en lugar de las frecuencias 
acumuladas, se obtiene una distribución de frecuencias acumuladas relativas (o distribución 
 
 
26 
 
acumulada porcentual) y una gráfica de frecuencias acumuladas relativas (u ojiva 
porcentual), respectivamente. 
CURVAS DE FRECUENCIAS Y OJIVAS SUAVIZADAS 
 
Suele considerarse que los datos recolectados pertenecen a una muestra obtenida de una 
población grande. Como de esta población se pueden obtener muchas observaciones, 
teóricamente es posible (si son datos continuos) elegir intervalos de clase muy pequeños y, 
a pesar de eso, tener un número adecuado de observaciones que caigan en cada clase. De 
esta manera, cuando se tienen poblaciones grandes puede esperarse que los polígonos de 
frecuencias, o los polígonos de frecuencias relativas, correspondientes a estas poblaciones 
estén formados por una gran cantidad de pequeños segmentos de recta de manera que sus 
formas se aproximen a las de unas curvas, a las cuales se les llama curvas de frecuencias o 
curvas de frecuencias relativas, respectivamente. 
Es razonable esperar que estas curvas teóricas puedan ser aproximadas suavizando los 
polígonos de frecuencias o los polígonos de frecuencias relativas de la muestra, esta 
aproximación mejorará a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Ésta es la razón 
por la que a las curvas de frecuencias se les suele llamar polígonos de frecuencias 
suavizados. 
De igual manera, suavizando las gráficas de frecuencias acumuladas u ojivas, se obtienen 
ojivas suavizadas. Por lo general, es más fácil suavizar una ojiva que un polígono de 
frecuencias. 
 
TIPOS DE CURVAS DE FRECUENCIAS 
 
Las curvas de frecuencias que surgen en la práctica toman ciertas formas
características, 
como las que se muestran en la figura 2-3. 
 
 
 
 
 
 
Simétrica o en forma de campana Sesgada a la derecha 
 
 
Sesgada a la izquierda Uniforme 
Figura 2-3 Cuatro distribuciones con los que se encuentran por lo 
común. 
 
 
 
27 
 
1. Las curvas simétricas o en forma de campana se caracterizan porque las observaciones 
equidistantes del máximo central tienen la misma frecuencia. Las estaturas tanto de 
hombres como de mujeres adultos tienen distribuciones en forma de campana. 
2. Las curvas que tienen colas hacia la izquierda se dice que son sesgadas a la izquierda. Las 
curvas de la cantidad de años que viven hombres y mujeres son sesgadas a la izquierda. 
Pocos mueren jóvenes y la mayoría muere entre los 60 y los 80 años. En general, las 
mujeres viven en promedio diez años más que los hombres. 
3. Las curvas que tienen colas hacia la derecha se dice que son sesgadas a la derecha. Las 
curvas de las edades a las que se casan tanto hombres como mujeres son sesgadas a la 
derecha. La mayoría se casa entre los veinte y treinta años y pocos se casan alrededor de 
cuarenta, cincuenta, sesenta o setenta años. 
4. Las curvas que tienen aproximadamente las mismas frecuencias para todos sus valores 
se dice que son curvas distribuidas uniformemente. Por ejemplo, las máquinas 
dispensadoras de refresco lo hacen de manera uniforme entre 15.9 y 16.1 onzas. 
5. Las curvas de frecuencias en forma de J o en forma de J inversa son curvas en las que el 
máximo se presenta en uno de sus extremos. 
6. Las curvas de frecuencias en forma de U son curvas que tienen un máximo en cada 
extremo y un mínimo en medio. 
7. Las curvas bimodales son curvas que tienen dos máximos. 
8. Las curvas multimodales tienen más de dos máximos. 
 
 
 
28 
 
 Representaciones Gráficas 
Hemos visto que la tabla estadí stica resume los datos que disponemos de una població n, de 
forma que ´esta se puede analizar de una manera má s sistemá tica y resumida. Para darnos 
cuenta de un só lo vistazo de las caracterí sticas de la població n resulta aú n má s 
esclarecedor el uso de grá ficos y diagramas, cuya construcció n abordamos en esta secció n. 
 Gráficos para variables cualitativas 
Los grá ficos má s usuales para representar variables de tipo nominal son los siguientes: 
Diagramas de barras: Siguiendo la figura 1.1, representamos en el eje de ordenadas las 
modalidades y en abscisas las frecuencias absolutas o bien, las frecuencias relativas. Si, 
mediante el grafico, se intenta comparar varias poblaciones entre sí , existen otras 
modalidades, como las mostradas en la figura 1.2. Cuando los tamañ os de las dos 
poblaciones son diferentes, es conveniente utilizar las frecuencias relativas, ya que en otro 
caso podrí an resultar engañ osas. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 1.1 
 
 
 
29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2: Diagramas de barras para comparar una variable cualitativa en diferentes 
poblaciones. Se ha de tener en cuenta que la altura de cada barra es proporcional al nú mero 
de observaciones (frecuencias relativas). 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
Diagramas de sectores (tambié n llamados tartas). 
Se divide un cí rculo en tantas porciones como clases existan, de modo que a cada clase le 
corresponde un arco de cí rculo proporcional a su frecuencia absoluta o relativa (figura 1.3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Pictogramas 
Expresan con dibujos alusivos al tema de estudio las frecuencias de las modalidades de la 
variable. Estos grá ficos se hacen representado a diferentes escalas un mismo dibujo, como 
vemos en la figura 1.5. 
El escalamiento de los dibujos debe ser tal que el ´area1 de cada uno de ellos sea 
proporcional a la frecuencia de la modalidad que representa. 
Este tipo de grá ficos suele usarse en los medios de comunicació n, para que sean 
comprendidos por el pú blico no especializado, sin que sea necesaria una explicació n 
compleja. 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 
36 
 
PROBLEMAS 
ORDENACIONES 
 
2.1 a) Disponer los números en una ordenación ascendente y descendente 
73 67 52 84 89 54 63 64 86 98 
 
b) Determinar el rango de estos números. 
_________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________ 
2.2 En la tabla siguiente se presentan las calificaciones finales que obtuvieron en 
estadísticas 80 alumnos de una universidad. 
74 98 71 83 72 91 98 57 75 98 
57 87 60 54 98 81 85 96 77 76 
54 63 50 72 74 65 68 70 59 61 
97 59 85 55 50 55 81 61 99 65 
92 85 74 89 79 76 80 56 81 78 
77 61 70 91 83 56 50 63 62 57 
61 98 67 70 68 99 58 61 82 63 
98 74 53 61 84 76 96 78 71 51 
 
De acuerdo con esta tabla, encontrar: 
 
a) Elaborar un Diagrama de Tallos y hojas 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
 
b) La calificación más alta. 
____________________________________ 
c) La calificación más baja. 
____________________________________ 
d) El rango. 
____________________________________ 
e) Las calificaciones de los cinco mejores estudiantes. 
____________________________________ 
 
f) Las calificaciones de los cinco peores estudiantes. 
____________________________________ 
g) La calificación del alumno que tiene el décimo lugar entre las 
mejores calificaciones. 
____________________________________ 
h) El número de estudiantes que obtuvieron 75 o más. 
____________________________________ 
i) El número de estudiantes que obtuvieron 85 o menos. 
____________________________________ 
 
j) El porcentaje de los estudiantes que obtuvieron calificaciones mayores a 65 
pero no mayores a 85. 
____________________________________ 
k) Las calificaciones que no aparecen en esta tabla. 
____________________________________ 
____________________________________ 
____________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS, HISTOGRAMAS YPOLÍGONOS DE FRECUENCIAS 
 
2.3 La tabla 2.5 muestra una distribución de frecuencias de los salarios semanales de 
65 empleados del hospital P&R. 
 
 Tabla 2.5 
 
Salarios Número de 
empleados 
Frecuencia 
relativa 
Frecuencia 
Porcentual 
Frecuencias 
Acumuladas 
 
$250 - $259 
$260 - $269 
$270 - $279 
$280 - $289 
$290 - $299 
$300 - $309 
$310 - $319 
 
8 
10 
16 
14 
10 
5 
2 
 
 Total 65 
 
Con los datos de esta tabla, determinar: 
 
a) El límite inferior de la sexta clase. 
____________________________________ 
b) El límite superior de la cuarta clase. 
____________________________________ 
a) La marca de clase (o punto medio de clase) de la tercera clase. 
____________________________________ 
d) Las fronteras de clase de la quinta clase. 
____________________________________ 
e) La amplitud del intervalo de la quinta clase. 
____________________________________ 
f ) La frecuencia de la tercera clase. 
____________________________________ 
 
 
 
39 
 
g) La frecuencia relativa de la tercera clase. 
____________________________________ 
h) El intervalo de clase de mayor frecuencia. A este intervalo se le suele llamar 
intervalo de clase modal y a su frecuencia se le conoce como frecuencia
de la 
clase modal. 
____________________________________ 
i) El porcentaje de empleados que gana menos de $280.00 por semana. 
____________________________________ 
j) El porcentaje de empleados que gana menos de $300.00 por semana, pero por 
lo menos $260.00 por semana. 
____________________________________ 
 
2.4 Si las marcas de clase en una distribución de frecuencias de pesos de estudiantes 
son 128, 137, 146, 155, 164, 173 y 182 libras, encuentre: 
a) la amplitud del intervalo de clase, 
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________ 
b) las fronteras de clase 
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________ 
c) los límites de clase, suponiendo que los pesos se hayan redondeado a la libra más 
cercana. 
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
40 
 
2.5 Se toma una muestra de la cantidad de tiempo, en horas por semana, que los 
estudiantes universitarios usan su celular. Usando SPSS, la secuencia 
“Analyze⇒DescripiveStatistics⇒Frequencies” da el resultado mostrado en la figura 
2-4. 
Tiempo 
 
Horas por 
semana 
Frecuencias Porcentajes Porcentajes 
acumulados 
 3.00 
4.00 
5.00 
6.00 
7.00 
8.00 
9.00 
10.00 
11.00 
12.00 
13.00 
14.00 
15.00 
16.00 
17.00 
18.00 
19.00 
20.00 
Total 
3 
3 
5 
3 
4 
4 
3 
4 
2 
2 
3 
1 
2 
5 
2 
1 
2 
1 
50 
6.0 
6.0 
10.0 
6.0 
8.0 
8.0 
6.0 
8.0 
4.0 
4.0 
6.0 
2.0 
4.0 
10.0 
4.0 
2.0 
4.0 
2.0 
100.0 
6.0 
12.0 
22.0 
28.0 
36.0 
44.0 
50.0 
58.0 
62.0 
66.0 
72.0 
74.0 
78.0 
88.0 
92.0 
94.0 
98.0 
100.0 
 
Figura 2-4 SPSS, resultados para el problema 2.5. 
a) ¿Qué porcentaje usa su celular 15 o menos horas por semana? 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
b) ¿Qué porcentaje usa su celular 10 o más horas por semana? 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
41 
 
2.6 De 150 mediciones, la menor es 5.18 in y la mayor es 7.44 in. Determinar un conjunto 
adecuado: 
a) de intervalos de clase, 
b) de fronteras de clase, 
c) de marcas de clase que se pueda usar para elaborar una distribución de frecuencias con 
estas mediciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7 Al resolver el problema 2.6 
a) un estudiante elige como intervalos de clase 5.10-5.40,5.40-5.70,...,6.90-7.20 y 7.20-7.50. ¿Hay 
algún problema con esta elección? 
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________ 
2.8 En la tabla siguiente se presentan los pesos, redondeados al kilogramo más cercano, de 50 
estudiantes de una universidad. 
Elaborar una distribución de frecuencias. 
80 78 67 64 72 73 84 85 85 81 
93 94 82 73 62 65 89 102 79 87 
79 88 70 84 72 68 73 62 82 91 
63 81 81 72 82 90 71 82 81 81 
68 69 68 87 82 65 89 79 67 88 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_________________________________________________________________________ 
 
 
42 
 
2.9 Se toman las estaturas de 45 estudiantes del sexo femenino de una universidad, a continuación, 
se presentan estas estaturas registradas a la pulgada más cercana. Elaborar un histograma o 
grafico de barras considerando K=5. 
67 67 64 64 74 61 68 71 69 61 65 64 62 63 59 
70 66 66 63 59 64 67 70 65 66 66 56 65 67 69 
64 67 68 67 67 65 74 64 62 68 65 65 65 66 67 
 
 
tabla de frecuencias 
LI LS f 
 
 
 
 
 
 Totales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
5
10
15
20
25
30
59 63 67 71 75
56 60 64 68 72
C
an
ti
d
ad
 d
e 
es
tu
d
ia
n
te
s
Estaturas de los estudiantes 
Gráfico de las estudiantes en cantidades por 
estaturas 
 
 
43 
 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ACUMULADAS Y OJIVAS 
 
2.14 A partir de la distribución de frecuencias dada en la tabla 2.5, construir: 
a) una distribución de frecuencias acumuladas, 
b) una distribución acumulada porcentual, 
c) una ojiva y 
d) una ojiva porcentual. 
 Tabla 2.5 
 
Salarios Número de 
empleados 
 
$250 - $259 
$260 - $269 
$270 - $279 
$280 - $289 
$290 - $299 
$300 - $309 
$310 - $319 
 
8 
10 
16 
14 
10 
5 
2 
 Total 65 
 
Tabla 2.10 
 
 
Limite Superior o 
menos 
 
Salarios 
Frecuencias 
acumuladas 
Distribución 
acumulada 
porcentual 
 
 
 
 
 
44 
 
 
2.15 A partir de las ojivas de las figuras 2-9 y 2-10 (problemas 2.14 y 2.15, respectivamente), 
estimar la cantidad de empleados que ganan: 
a) menos de$ 288.00 por semana, 
b) $296.00 o más por semana, 
c) por lo menos $263.00 por semana, pero menos de $275.00 por semana. 
 
 
 
Límite Inferior o más 
Frecuencias 
acumuladas 
Distribución 
acumulada 
porcentual 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
Fr
ec
u
e
n
ci
as
 a
cu
m
u
la
d
as
 “
o
 m
ás
” 
 
70 
60 
50 
40 
30 
20 
10 
0 
 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 
Salarios 
Figura 2-10, gráfica de frecuencias acumuladas “o más” 
 
 
2.16 A partir de las ojivas de las figuras 2-9 y 2-10 (problemas 2.14 y 2.15, respectivamente), 
estimar la cantidad de empleados que ganan: 
a) menos de$ 288.00 por semana, 
b) $296.00 o más por semana, 
c) por lo menos $263.00 por semana, pero menos de $275.00 por semana. 
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________ 
 
 
46 
 
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 
 
2.19 a) Disponga los números 12, 56, 42, 21, 5, 18, 10, 3, 61, 34, 65 y 24 en una ordenación, y b) determine el rango. 
 
2.20 En la tabla 2.14 se presenta una distribución de frecuencias de la cantidad de minutos por semana que ven 
televisión 400 estudiantes. De acuerdo con esta tabla, determinar: 
 
a) El límite superior de la quinta clase. 
b) El límite inferior de la octava clase. 
c) La marca de clase de la séptima clase. 
d) Las fronteras de clase de la última clase. 
e) El tamaño del intervalo de clase. 
f ) La frecuencia de la cuarta clase. 
g) La frecuencia
relativa de la sexta clase. 
h) El porcentaje de estudiantes que no ven televisión más de 600 minutos por semana. 
i) El porcentaje de estudiantes que ven televisión 900 o más minutos por semana. 
j) El porcentaje de estudiantes que ven televisión por lo menos 500 minutos por semana, pero menos de 
1000 minutos por semana. 
 
Tabla 2.14 
 
Tiempo 
(minutos) 
Número de 
estudiantes 
300-399 
400-499 
500-599 
600-699 
700-799 
800-899 
900-999 
1 000-1 099 
1 100-1 199 
14 
46 
58 
76 
68 
62 
48 
22 
6 
 
 
2.21 Elaborar: 
 
 
47 
 
a) un histograma y 
b) un polígono de frecuencias para la distribución de frecuencias de la tabla 2.14. 
 
2.23 Con los datos de la tabla 2.14, construir: 
a) una distribución de frecuencias acumuladas, 
b) una distribución acumulada porcentual, 
c) una ojiva y 
d) una ojiva porcentual. 
 
2.24 Repetir el problema 2.23, pero para el caso en que las frecuencias acumuladas sean del tipo “o mayor”. 
 
2.25 Con los datos de la tabla 2.14, estimar el porcentaje de estudiantes que ven la televisión: 
a) menos de 560 minutos por semana, 
b) 970 o más minutos por semana 
c) entre 620 y 890 minutos por semana. 
 
2.26 Si una medición se mide con una exactitud de milésimas de pulgada. Si las marcas de clase de la distribución de 
estos datos en pulgadas son 0.321, 0.324, 0.327, 0.330, 0.333 y 0.336, encontrar: 
 a) la amplitud del intervalo de clase, 
b) las fronteras de clase y 
c) los límites de clase. 
 
2.27 En la tabla siguiente se dan cantidad de nacidos en los diferentes centros de atención de un departamento. 
Elaborar una distribución de frecuencias empleando los intervalos de clase adecuados. 
20 18 43 44 50 50 45 34 36 43 32 40 48 11 39 29 
18 42 21 49 43 13 44 19 26 18 38 25 33 43 26 2 
23 50 14 18 4 37 50 21 13 22 38 30 35 7 18 6 
50 1 22 4 1 5 41 18 19 11 29 20 38 48 32 24 
38 7 29 34 29 40 19 16 4 47 20 27 42 36 9 24 
 
 
2.28 Con los datos del problema 2.27, construir: 
a) un histograma, 
b) un polígono de frecuencias, 
c) una distribución de frecuencias relativas, 
d) una distribución de frecuencias acumuladas, 
e) una distribución acumulada porcentual, 
 
 
48 
 
f) una ojiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
2.31 De acuerdo con la Oficina de los Censos de Estados Unidos, en 1996 la población de este país era de 265284000. 
La tabla 2.15 da la distribución porcentual en los diversos grupos de edad. 
 
a. ¿Cuál es la amplitud o el tamaño del segundo intervalo de clase? ¿Y la del cuarto intervalo de clase? 
______________________________________________________________________________________________ 
b. ¿Cuántos tamaños distintos de intervalos de clase hay? 
______________________________________________________________________________________________ 
c. ¿Cuántos intervalos de clase abiertos hay? 
______________________________________________________________________________________________ 
 
 
d. Cómo se deberá escribir el último intervalo de clase de manera que su amplitud sea igual a la del penúltimo 
intervalo de clase 
e. ¿Cuál es la marca de clase del segundo intervalo de clase? ¿Y la del cuarto intervalo de clase? 
______________________________________________________________________________________________ 
 f. ¿Cuáles son las fronteras de clase del cuarto intervalo de clase? 
______________________________________________________________________________________________ 
 g. ¿Qué porcentaje de la población tiene 35 años o más? ¿Qué porcentaje de la población tiene 64 años o menos? 
______________________________________________________________________________________________ 
 h. ¿Qué porcentaje de la población tiene entre 20 y 49 inclusive?, Y la cantidad? 
______________________________________________________________________________________________ 
 
 i. ¿Qué porcentaje de la población tiene más de 70 años?, Cuantas personas serian? 
______________________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
Grupo de edad en años % de Estados Unidos 
Menos de 5 
5-9 
10-14 
15-19 
20-24 
25-29 
30-34 
35-39 
40-44 
45-49 
50-54 
55-59 
60-64 
65-74 
75-84 
85 o más 
7.3 
7.3 
7.2 
7.0 
6.6 
7.2 
8.1 
8.5 
7.8 
6.9 
5.3 
4.3 
3.8 
7.0 
4.3 
1.4 
Tabla 2.15 
 
 
 
50 
 
3 
MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS 
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 
 
 
 
 
ÍNDICES O SUBÍNDICES 
 
El símbolo, Xj (que se lee “X subíndice j”) representa cualquiera de los N valores 
X1,X2,X3,...,XN que puede tomar la variable X. A la letra j que aparece en Xj representando 
a cualquiera de los números1,2,3,..., N se le llama subíndice o índice. En lugar de j se puede 
usar, por supuesto, cualquier otra letra, i, k, p, q o s. 
SUMATORIA El símbolo ∑ 𝑋𝑗
𝑁
𝑗=1 se emplea para denotar la suma de todas las Xj desde j = 1 
hasta j = N, por definición, 
∑ 𝑋𝑗
𝑁
𝑗=1
= 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 … … . +𝑋𝑁 
Cuando no puede haber confusión, esta suma se denota simplemente como ∑X, ∑Xj o ∑jXj. 
El símbolo ∑ es la letra griega mayúscula sigma y denota suma. 
EJEMPLO 1 
∑ 𝑋𝑗
𝑁
𝑗=1
𝑌𝑗 = 𝑋1𝑌1 + 𝑋2𝑌2 + 𝑋3𝑌3 + 𝑋4𝑌4 … … . +𝑋𝑁𝑌𝑁 
 
EJEMPLO 2 
∑ 𝑎
𝑁
𝑗=1
𝑌𝑗 = 𝑎𝑌1 + 𝑎𝑌2 + 𝑎𝑌3 + 𝑎𝑌4 … … . +𝑎𝑌𝑁 = 𝑎(𝑌1 + 𝑌2 + 𝑌3 + 𝑌4 … + 𝑌𝑁) = 𝑎 ∑ 𝑌𝑗
𝑁
𝑗=1
 
 
donde a es una constante. O bien simplemente ∑aY = a∑Y. 
 
 
 
 
51 
 
PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 
 
Un promedio es un valor típico o representativo de un conjunto de datos. Como estos 
valores típicos tienden a encontrarse en el centro de los conjuntos de datos, ordenados de 
acuerdo con su magnitud, a los promedios se les conoce también como medidas de 
tendencia central. 
Se pueden definir varios tipos de promedios, los más usados son la media aritmética, la 
mediana, la moda, la media geométrica y la media armónica. Cada una de ellas tiene 
ventajas y desventajas de acuerdo con el tipo de datos y el propósito de su uso. 
 
 
LA MEDIA ARITMÉTICA 
 
La media aritmética, o brevemente la media, de un conjunto de N números X1,X2,X3,...,XN 
se denota así: Ẋ(que se lee “X barra”) y está definida como 
�̅� =
∑ 𝑋
𝑛
 
EJEMPLO 4 La media aritmética de los números 8, 3, 5, 12 y 10 es 
�̅� =
(8 + 3 + 5 + 12 + 10)
5
=
38
5
= 7.6 
 
PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA 
En un conjunto de números, la suma algebraica de las desviaciones de estos números 
respecto a su media aritmética es cero. 
EJEMPLO 7 Las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12 y 10 de su media aritmética, 7.6, 
son 8 − 7.6, 3 − 7.6, 5 − 7.6, 12 − 7.6 y 10 −7.6 o bien 0.4, −4.6, −2.6, 4.4 y 2.4, cuya suma 
algebraica es 0.4 − 4.6 − 2.6 + 4.4 + 2.4 = 0 
 
CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS 
Cuando se presentan los datos en una distribución de frecuencias, se considera que todos 
los datos que caen en un intervalo de clase dado coinciden con la marca o punto medio del 
intervalo. Para datos agrupados, interpretando a las Xj como las marcas de clase, a las fj 
como las correspondientes frecuencias de clase, a A como cualquier marca de clase 
supuesta y dj = Xj − A como la desviación de Xj respecto de A, las fórmulas (2) y (6) son 
válidas. A los cálculos empleando las fórmulas (2) y (6) se les suele conocer como método 
largo y método abreviado, respectivamente (ver los problemas 3.15 y 3.20). Si todos los 
 
 
52 
 
En donde: 
X= marca de clase ƒ=frecuencia de clase 
µ= código de trasformación C= tamaño de 
clase 
n= tamaño de muestra estudiada (∑ƒ) 
 
intervalos de clase son de una misma amplitud c, las desviaciones d j = Xj − A se pueden 
expresar como cu j, donde uj puede tener valores enteros positivos o negativos o cero (es 
decir, 0, ±1, ±2, ±3, . . .) con lo que la fórmula (6) se convierte en 
 
�̅� = 𝑋 +
∑ 𝑓.𝜇
𝑛
. 𝐶 (Método codificado) 
 
�̅� =
∑ 𝑓.𝑋
𝑛
(Método largo) 
 
lo que es equivalente a la ecuación Ẋ = A + c.u . A esta ecuación se le conoce como método 
codificado para calcular la media. Es un método muy breve recomendado para datos 
agrupados cuando los intervalos de clase tienen todos la misma amplitud. Obsérvese que en 
el método codificado los valores de la variable X se transforman en valores de la variable u 
de acuerdo con X = A + cu. 
LA MEDIANA 
La mediana de un conjunto de números acomodados en orden de magnitud (es decir, en 
una ordenación) es el valor central o la media de los dos valores centrales. 
EJEMPLO 8 La mediana del conjunto de números 3, 4, 5, 6, 8, 8 y 10 es 6. 
EJEMPLO 9 La mediana del conjunto de números 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15 y 18 es (9 + 11)/2 = 10. 
En datos agrupados, la mediana se obtiene por interpolación, como se expresa por la 
fórmula 
𝑀𝑒 = 𝐹𝐼 +
𝑛
2
− 𝑓𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎.𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑓𝑚𝑒𝑑
. 𝐶 
 
Donde: 
FI = frontera inferior de la clase mediana (es decir, de la clase que contiene la mediana) 
n = número de datos (es decir, la frecuencia total) 
𝑓𝑎𝑐𝑢𝑚.𝑎𝑛𝑡= suma de las frecuencias de todas las clases anteriores a la clase mediana 
𝑓𝑚𝑒𝑑 = frecuencia de la clase mediana 
C = amplitud del intervalo de la clase mediana 
 
 
 
53 
 
LA MODA 
 
La moda de un conjunto de números es el valor que se presenta con más frecuencia, es 
decir, es el valor más frecuente. Puede no haber moda y cuando la hay, puede no ser única. 
 
EJEMPLO10 La moda del conjunto 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12 y 18 es 9. 
 
EJEMPLO11 El conjunto 3, 5, 8, 10, 12, 15 y 16 no tiene moda. 
 
EJEMPLO12 El conjunto 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7 y 9 tiene dos modas, 4 y 7, por lo que se 
le llama bimodal. 
 
A una distribución que sólo tiene una moda se le llama unimodal. 
En el caso de datos agrupados, para los que se ha construido una curva de frecuencia 
que se ajuste a los datos, la moda es el valor (o los valores) de X que corresponden al punto 
(o puntos) máximos de la curva. A este valor de X se le suele denotar X^. 
En una distribución de frecuencia o en un histograma la moda se puede obtener 
mediante la fórmula siguiente: 
𝑀𝑜 = 𝐹𝐼 +
∆1
∆1 + ∆2
. 𝐶 
 
Donde FI=frontera inferior de la clase modal (es decir, de la clase que contiene la moda) 
∆1=exceso de frecuencia modal sobre la frecuencia en la clase inferior inmediata 
∆2=exceso de frecuencia modal sobre la frecuencia en la clase superior inmediata 
C=amplitud del intervalo de la clase modal 
 
CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES 
 
En un conjunto de datos en el que éstos se hallan ordenados de acuerdo con su magnitud, el valor 
de en medio (o la media aritmética de los dos valores de en medio), que divide al conjunto en dos 
partes iguales, es la mediana. Continuando con esta idea se puede pensar en aquellos valores que 
dividen al conjunto de datos en cuatro partes iguales. Estos valores, denotados Q1,Q2yQ3 son el 
primero ,segundo y tercer cuartiles ,respectivamente, el valor Q2 coincide con la mediana. 
De igual manera, los valores que dividen al conjunto en diez partes iguales son los deciles y se 
denotan D1, D2,...,D9, y los valores que dividen al conjunto en 100 partes iguales son los percentiles 
y se les denota P1,P2,..., P99. El quinto decil y el percentil 50 coinciden con la mediana. Los percentiles 
25 y 75 coinciden con el primero y tercer cuartiles, respectivamente. 
 
 
54 
 
A los cuartiles, deciles, percentiles y otros valores obtenidos dividiendo al conjunto de datos en 
partes iguales se les llama en conjunto cuantiles. Para el cálculo de estos valores cuando se tienen 
datos agrupados ver los problemas 3.44 a 3.46. 
 
𝑄𝑘 = 𝐹𝐼 +
𝑘.𝑛
4
− ∑ 𝑓𝑎𝑛𝑡
𝑓𝑘
. 𝐶 
 
𝐷𝑘 = 𝐹𝐼 +
𝑘.𝑛
10
− ∑ 𝑓𝑎𝑛𝑡
𝑓𝑘
. 𝐶 
 
𝑃𝑘 = 𝐹𝐼 +
𝑘.𝑛
100
− ∑ 𝑓𝑎𝑛𝑡
𝑓𝑘
. 𝐶 
 
 
PROBLEMAS y EJERCICOS A RESOLVER 
 
 
3.6 Las calificaciones de un estudiante en seis exámenes fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78. 
Hallar la media, mediana y moda de estas calificaciones. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
3.7 Un científico mide diez veces el diámetro de un cilindro y obtiene los valores 3.88, 
4.09, 3.92, 3.97, 4.02, 3.95, 4.03, 3.92, 3.98 y 4.06 centímetros (cm). Hallar las medidas de 
tendencia central de estas mediciones. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
55 
 
 
3.10 De 100 números, 20 fueron 4 , 40 fueron 5, 30 fueron 6 y los restantes fueron 7. 
Encuéntrese la media aritmética, mediana y moda de estos números. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
3.15 Usando la distribución de frecuencias de las estaturas que se presenta en la tabla, 
hallar la estatura media de los 100 estudiantes de la universidad XYZ. 
 
 
 
 
Estatura (in) Frecuencias ( f ) Marcas de clase (X) 
60-62 
63-65 
66-68 
69-71 
72-74 
5 
18 
42 
27 
8 
 
 
 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
56 
 
 
 
3.22 Emplee la tabla del ejercicio anterior para hallar la estatura media de los 100 
estudiantes de la universidad XYZ utilizando la fórmula para datos agrupados por el método 
de compilación (codificado). 
 
Estatura (in) F X fac µ F µ 
 
 
 
 
 
 
 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________