Solucion Ejercicios Planos Inclinados (1)

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Presentado por: Adrian Argote y Juan Camilo Murcia
PROBLEMAS DE PLANOS INCLINADOS 
PROBLEMA 1 
Colocamos un objeto de 2 kg de masa en un plano inclinado 300 con respecto a la horizontal. Calcula el tiempo que tarda en recorrer 10 metros sí: 
a.- No hay rozamiento entre el objeto y el plano. 
Datos del Ejercicio
X = 10m 
Xo = 0 
Vo = 0
Px = P Sen α 
Py = P Cos α
N
 X = Xo + Vo t + ½ at^2
X = 0 + 0 + ½ at^2
X = ½ at^2
t = √2x/a
t = √2*10/4.88 
t = 2,02s
			 
			Px
Py
			X: P Sen α = m.a 
 m.g Sen α = m.a
 g Sen α = a
 a = 9.76 Sen 30 
 a = 4.88 m/s^2 
P
P
			
b.- El coeficiente de rozamiento es de 0,4.
X = Xo + Vo t + ½ at^2
X = 0 + 0 + ½ at^2
X = ½ at^2
t = √2x/a
t = √2*10/1.499 
t = 3.65s
X: P Sen α = m.a 
 m.g Sen α – μ.m.g Cos α = m.a
 g Sen α – μ.g Cos α = a 
 a = g Sen α – μ.g Cos α 
 a = 9.76 Sen 30 – 0.4.9.76 Cos 30
 a = 1.499 m/s^2
Fr
N
Px
Py
P
 
PROBLEMA 2 
Calcula la fuerza que tendremos que realizar para subir un paquete de 10 kg por un plano inclinado 300 con velocidad constante de 4m/s. El coeficiente de rozamiento es de 0,1. Si a los 20 segundos de subir soltamos el paquete.
N
F
x : F – Px – FR = m.a
y : N – Py = 0
Px = P.sen α
Py = P.cos α
x : F – P.sen α – μ N = m.a
y: N – P.cos α = 0
α
P
x
F
R
F – mg sen α – μ mg cos α = 0 
α
P
y
F = mg sen α + μ mg cos α 
F = 10 . 9,76 sen 30° + 0,1 . 10 . 9,76 cos 30° = 57.25 N
P
¿cuánto tiempo tardará en pasar por la posición que tenía al principio?Px = P.sen α
Py = P.cos α
x = Px – FR = m a
y = N – Py = 0
F
R
N
α
x = P.sen α – μ N = m.a
y = N – P.cos α 
P
x
α
mg sen α – μ mg cos α = m a 
a = g sen α - μ g cos α 
P
y
P
a = 9,76 . sen 30° - 0,1 . 9,76 cos 30° = 4.03 m/s2
 2 x
 a
a = 4,03 m/s2
V0 = 0 s
X = 80m
a
X = X0 + V0 t + ½ a t2
X = ½ a t2 t = 
t = = 6,30 s
X = v.t
X = 4 . 20 = 80m
V = 4 m/s
t = 20 s
X 
2.80
4,03 
PROBLEMA 3 
Sobre un plano inclinado 200 tenemos dos bloques de masas m1 = 10 kg y m2 = 15 kg, unidos por una cuerda de masa despreciable. Tiramos de m2 hacia arriba con una fuerza F = 300 N. El coeficiente de rozamiento es 0,2. Calcula:
 
M2
N
P2y
P2
P2x
Fr2
F
M1
N
P1y
P1
P1x
Fr1
T1
F
M1
M2
T
a.- La aceleración del sistema.
X1: T – P1x – Fr1 = m1.a
Y1: N1 – P1y = 0 
X2: F - T – P2x – Fr2 = m2.a
Y2: N2 – P2y = 0 
T – P1x – Fr1 = m1.a
			 +
F - T – P2x – Fr2 = m2.a
_________________________________________
F – P1x – P2x – Fr1 – Fr2 = m1.a + m2.
F – m1.g Sen α – m2.g Sen α - μ.m1.g Cos α - μ.m2.g Cos α = (m1 + m2) a
a = F – m1.g Sen α – m2.g Sen α - μ.m1.g Cos α - μ.m2.g Cos α / m1 + m2
a = 300 – 10 * 9.76 Sen 20 – 15 * 9.76 Sen 20 – 0.2 * 10 * 9.76 Cos 20 – 0.2 * 15 * 9.76 Cos 20 / 10 + 15 
a = 266.61 – 50.07 – 18.34 – 27.51 / 25
a = 6.82 m/s^2
b.- La fuerza de rozamiento de cada bloque.Fr1 = μ N1 = μ m1 . g Cos α 
Fr2 = μ N2 = μ m2 . g Cos α
Fr1 = 0.2 * 10 * 9.76 Cos 20 
Fr2 = 0.2 * 15 * 9.76 Cos 20 
Fr1 = 18.34N
Fr2 = 27.51N
c.- La tensión de la cuerda.T = m1. a + P1x + Fr1 
T = m1 . a + m1 . g Sen α + μ m1 . g Cos α
T = 10 * 6.82 + 10 * 8.76 Sen 20 + 0.2 * 10 * 9.8 Cos 20 
T = 116.57N
X1: T – P1x – Fr1 = m1.a
Y1: N1 – P1y = 0 
X2: F - T – P2x – Fr2 = m2.a
Y2: N2 – P2y = 0 
PROBLEMA 4 
Colocamos una moneda de 55 gramos sobre una regla horizontal que vamos inclinando gradualmente. Cuando el ángulo de inclinación de la regla es de 200, la moneda comienza a deslizar. Calcula el valor de la fuerza de rozamiento cuando la inclinación es de 50, 100, 150 y 200. Calcula también el coeficiente de rozamiento estático. F
R
 <= μe . N P
x
F
R
α
P
Y
P
N
x : Px – FR = 0
y : N – Py = 0
 
a. Calcular La fuerza de rozamiento en los siguientes Ángulos:
Px = FR = P. sen α = m.g. sen α
α =5° -> FR = 0’055 . 9.76 . sen 5° = 0’04 N
α =10° -> FR = 0’055 . 9.76 . sen 10° = 0’09 N
α =15° -> FR = 0’055 . 9.76 . sen 15° = 0’13 N
α =20° -> FR = 0’055 . 9.76 . sen 20° = 0’18 N
RTA:
α =5° -> FR = 0.04 N
α =10° -> FR = 0.09 N
α =15° -> FR = 0.13 N
α =20° -> FR = 0.18 N
b. Calcular coeficiente de rozamiento estático:
FR = Px			FR = Px = μ e N
 Px = μ e N 
m . g. sen α MAX = μ e .m.g. cos α MAX
 
P
x
F
R
α MAX
P
Y
P
N
= μ e 
= μ e 
sen α MAX
cos α MAX
m.g.sen α MAX
m.g.cos α MAX
μ e = tg α MAX
 
sen α MAX
cos α MAX
μ e = 
x : Px – FR = 0
y : N – Py = 0
 Px = P . sen α
 Py = P . cos α
μ e = 0’36
μ e = tg 20° = 0’36
PROBLEMA 4* 
Colocamos una moneda sobre una regla que vamos inclinando gradualmente. Cuando el ángulo de inclinación es de 280 la moneda comienza a deslizar, observando que recorre 30 cm en 0,8 segundos. Calcula los coeficientes estático y dinámico de rozamiento entre la moneda y la regla. 
P
x
F
R
α MAX
P
Y
P
N
Los coeficientes de rozamiento estático
x : Px – FR = 0
y : N – Py = 0
FR = Px
FR = Px = μ e N
 Px = μ e N 
m . g. sen α MAX = μe .m.g. cos α MAX
μ e = tg α MAX
μe = 0,53
μe = tg 28°
Los coeficientes de rozamiento dinámico
Ecuación de Newton:
x : Px – FR = ma
y : N – Py = 0
Ecuación eje x 
m . g. sen α - μd .m.g. cos α = ma
Despejamos el coeficiente de rozamiento dinámico
g. sen α - μd .g. cos α = a
g. sen α - a = μd .g. cos α
9.76 . sen 28 – 0’94
9.76 .cos 28
= 0,79 
g.sen α - a
g.cos α
= μ d 
μe = 0,79
¿Aceleración? 
 X= X0 + V0 t + ½ a t 
X = ½ a t 
a = 2 x_
 t
2
2
2
a = 2 .0’3 
 0,8
2
2
a = 0.94 m/s
PROBLEMA 4** 
Un coche se encuentra sobre una plataforma horizontal que puede inclinarse. Si el coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos del coche y la plataforma es de 0,7, ¿cuál será el ángulo máximo de inclinación de la plataforma para que el coche no deslice hacia abajo? P
x
F
R
α MAX
P
Y
P
N
Los coeficientes de rozamiento estático
x : Px – FR = 0
y : N – Py = 0
FR = Px
FR = Px = μ e N
 Px = μ e N 
m . g. sen α MAX = μe .m.g. cos α MAX
μe = tg α MAX
α MAX =arc tg (μe)
α MAX = 34’99°
α MAX =arc tg (0,7) = 34’99°
α MAX
PROBLEMA 5 
Bajamos dos cajas, una encima de la otra, por una rampa (300). La masa inferior es de 40 kg y su coeficiente de rozamiento con el suelo es de 0,3, y la masa superior es de 15 kg y su coeficiente de rozamiento con la caja inferior es de 0,8. Calcula: 
a.- La fuerza que tendremos que ejercer para que ambas masas bajen con velocidad constante de 0,5 m/s. 
F
m1 
m2 
N21
Fr21
Px2
P2
Py2
Fr1
N1
F
N12
Py1
P1
Px1
Fr12
M2: x: Px2 – Fr21 = 0
 y: N21 – Py2 = 0
 Fr21= Px2
 N21 = Py2
 
M1: x: Px1 + Fr12 – Fr1 – F = 0
 y: N1 – N12 – Py1 = 0
 F = Px1 + Fr12 – Fr1 
 N1 = N12 + Py1
 
Px2 = P2 Sen α
Py2 = P2 Cos α
Px1 = P1 Sen α
Py1 = P1 Cos α
F = Px1 + Fr12 – Fr1 
Fr1 = μ1 . N1 
Fr1 = μ1(N12 + Py1) 
Fr1 = μ1 (Py2+Py1)
Fr12 = Px2
 
F = Px1 + Px2 – μ(Py2+Py1)
F = P1 Sen α + P2 Sen α - μ(P2 Cos α + P1 Cos α)
F = 40 * 9.76 Sen 30 + 15 * 9.76 Sen 30 – 0.3 (15 * 9.76 Cos 30 + 40 * 9.76 Cos 30)
F = 128.93 N
 
b.- La fuerza de rozamiento de la masa superior.
Fr21= Px2
Fr21 = P2 Sen α
Fr21 = m2 . g Sen α 
Fr12 = 15 * 9.76 Sen 30
Fr12 = 73.2 N 
M2: x: Px2 – Fr21 = 0
 y: N21 – Py2 = 0
 Fr21= Px2
 N21 = Py2