UD1 Cinemática de la Partícula Parte I

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Ing. Angel Sorni Moreno
asorni@usat.edu.pe
CINEMÁTICA DE LA 
PARTÍCULA Y 
MOVIMIENTO 
RELATIVO
Parte 1. Movimiento 
rectilíneo
Dinámica y vibraciones
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 El alumno calcula, con rigurosidad, la velocidad, la
aceleración, componentes intrínsecas de la aceleración
de un punto móvil en diversos sistemas de
coordenadas. Determina la velocidad y la aceleración de
una partícula que se mueve con respecto a un sistema
de coordenadas móvil.
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Objetivos
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1. Introducción a la dinámica
2. Movimiento rectilíneo de partículas
1. Posición, velocidad y aceleración
2. Determinación del movimiento de una partícula
3. Movimiento rectilíneo uniforme
4. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
5. Movimiento de varias partículas
6. Solución gráfica de problemas de movimiento rectilíneo
7. Otros métodos gráficos
3. Movimiento curvilíneo de partículas
1. Vector de posición, velocidad y aceleración.
2. Derivadas de funciones vectoriales
3. Componentes rectangulares de la velocidad y la aceleración
4. Movimiento relativo a un sistema de referencia en traslación
5. Componentes tangencial y normal
6. Componentes radial y transversal
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA Y 
MOVIMIENTO RELATIVO
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• La dinámica incluye:
- Cinemática: estudio de la geometría del movimiento. La cinemática
relaciona el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, y el tiempo
sin hacer referencia a la causa que produce el movimiento.
- Cinética: estudio de las relaciones existentes entre las fuerzas que
actúan en un sólido, la masa del sólido, y el movimiento del sólido. La
cinética predice el movimiento causado por las fuerzas dadas o
determina las fuerzas requeridas que producen un determinado
movimiento.
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1. INTRODUCCIÓN
• Movimiento rectilíneo: posición, velocidad, y aceleración de una partícula
cuando esta se desplaza a lo largo de una línea recta.
• Movimiento curvilíneo: posición, velocidad, y aceleración de una partícula
cuando esta se desplaza a lo largo de una línea curva en dos o tres
dimensiones.
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• El movimiento de la partícula a lo largo de una línea
recta se denomina movimiento rectilíneo.
• La coordenada de posición de una partícula se
definen por la distancia positiva o negativa de la
partícula desde un origen fijo en la línea.
• El movimiento de una partícula es conocido si la
coordenada de posición de la partícula es conocida
para cada valor del tiempo t. El movimiento de la
partícula puede ser expresada en forma de una
función, p.e.
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2.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO: POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
𝑥 = 6𝑡2 − 𝑡3
o en forma de una gráfica x vs. t.
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• Considere la partícula que ocupa la posición P en el
instante t y P’ en t + Δt,
• La velocidad instantánea puede ser positiva o
negativa. La magnitud de la velocidad se refiere a la
rapidez de la partícula.
• A partir de la definición diferencial,
p.e.,
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2.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO: POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =
∆𝑥
∆𝑡
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑎 = 𝑣 = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑡→0
∆𝑥
∆𝑡
𝑣 = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑡→0
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑥 = 6𝑡2 − 𝑡3
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 12𝑡 − 3𝑡2
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• Considere la partícula con velocidad v en el instante
t y v’ en el instante t + Δt,
• La aceleración instantánea puede ser:
– Positiva: aumenta la velocidad positiva o disminuye la
velocidad negativa.
– Negativa: decrece la velocidad positiva o incrementa la
velocidad negativa.
• A partir de la definición diferencial,
p.e.,
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2.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO: POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑎 = 𝑎 = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
𝑎 = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 12 − 6𝑡
𝑣 = 12𝑡 − 3𝑡2
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• Considere la partícula con velocidad v en el instante
t y v’ en el instante t + Δt,
• La aceleración instantánea puede ser:
– Positiva: aumenta la velocidad positiva o disminuye la
velocidad negativa.
– Negativa: decrece la velocidad positiva o incrementa la
velocidad negativa.
• A partir de la definición diferencial,
p.e.,
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2.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO: POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑎 = 𝑎 = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
𝑎 = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 12 − 6𝑡
𝑣 = 12𝑡 − 3𝑡2
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• Considere la partícula con velocidad v en el instante
t y v’ en el instante t + Δt,
• La aceleración instantánea puede ser:
– Positiva: aumenta la velocidad positiva o disminuye la
velocidad negativa.
– Negativa: decrece la velocidad positiva o incrementa la
velocidad negativa.
• A partir de la definición diferencial,
p.e.,
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2.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO: POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑎 = 𝑎 = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
𝑎 = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 12 − 6𝑡
𝑣 = 12𝑡 − 3𝑡2
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• Considere la partícula con velocidad v en el instante
t y v’ en el instante t + Δt,
• La aceleración instantánea puede ser:
– Positiva: aumenta la velocidad positiva o disminuye la
velocidad negativa.
– Negativa: decrece la velocidad positiva o incrementa la
velocidad negativa.
• A partir de la definición diferencial,
p.e.,
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2.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO: POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡á𝑛𝑒𝑎 = 𝑎 = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
𝑎 = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 12 − 6𝑡
𝑣 = 12𝑡 − 3𝑡2
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• Considere la partícula con movimiento dado por
• cuando t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2
• cuando t = 2s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0
• cuando t = 4s, x = xmáx = 32 m, v = 0, a = -12 m/s
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• cuando t = 6s, x = 0, v = -36 m/s, a = -24 m/s2
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2.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO: POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= 12 − 6𝑡
𝑥 = 6𝑡2 − 𝑡3
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 12𝑡 − 3𝑡2
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• Recuerde, el movimiento de la partícula es conocido si la posición es conocida
para cualquier instante t.
• Normalmente, las condiciones del movimiento se determinan por el tipo de
aceleración que experimenta la partícula. La determinación de la velocidad y la
posición requiere dos integraciones sucesivas.
• Las tres clases de movimiento pueden definirse por:
– aceleración dada como función del tiempo, a = f(t)
– aceleración dada como función de la posición, a = f(x)
– aceleración dada como función de la velocidad, a = f(v)
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2.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO: POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
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• Aceleración dada como función del tiempo, a = f(t)
• Aceleración dada como función de la posición, a = f(x)
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2.2. DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA
   
 
     
   
 
     



tttx
x
tttv
v
dttvxtxdttvdxdttvdxtv
dt
dx
dttfvtvdttfdvdttfdvtfa
dt
dv
0
0
0
0
0
0
0
0
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• Aceleración dada como función de la velocidad, a = f(v)
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2.2. DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA
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• En un movimiento rectilíneo uniforme, la aceleración es cero y la velocidad es
constante.
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2.3. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
vtxx
vtxx
dtvdx
v
dt
dx
tx
x





0
0
00
constant
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• Para una partícula con movimiento uniformemente acelerado, la aceleración de
la partícula es constante.
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2.4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
atvv
atvvdtadva
dt
dv tv
v

 
0
0
00
constant
 
2
2
1
00
2
2
1
00
0
00
0
attvxx
attvxxdtatvdxatv
dt
dx tx
x

 
   
 0
2
0
2
0
2
0
2
2
1
2
constant
00
xxavv
xxavvdxadvva
dx
dv
v
x
x
v
v

 
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• Para partículas que se desplazan a lo largo de una misma línea, se debe registrar
el tiempo a partir del mismo instante inicial y los desplazamientos se deben
medira partir del mismo origen y en la misma dirección
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2.5. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTÍCULAS
 ABAB xxx posición relativa de B 
respecto a A
ABAB xxx 
 ABAB vvv velocidad relativa de B 
respecto a A
ABAB vvv 
 ABAB aaa aceleración relativa de 
B respecto a A
ABAB aaa 
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• La posición de una partícula puede depender de la posición de
otra u otras partículas.
• La posición del bloque B depende de la posición del bloque A.
Teniendo en cuenta que la cuerda tiene una longitud constante,
la suma de los segmentos de la misma debe ser constante.
• La posición de los tres bloques es dependiente
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2.5. MOVIMIENTO DE VARIAS PARTÍCULAS: MOVIMIENTO DEPENDIENTE
 CBA xxx 22 constante (dos grados de libertad)
• Para posiciones linealmente dependientes, se 
mantienen relaciones similares entre velocidades y 
aceleraciones.
022or022
022or022


CBA
CBA
CBA
CBA
aaa
dt
dv
dt
dv
dt
dv
vvv
dt
dx
dt
dx
dt
dx
 BA xx 2 constante (un grado de libertad)
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2.6. SOLUCIÓN GRÁFICA DE PROBLEMAS DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO
• Las relaciones fundamentales (v = dx/dt y a = dv/dt)
tienen un significado geométrico:
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2.7. OTROS MÉTODOS GRÁFICOS
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2.7. OTROS MÉTODOS GRÁFICOS
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BIBLIOGRAFÍA
• Mécánica vectorial para ingenieros, Dinámica; Ferdinan P. Beer y E. Russell 
Johnston Jr; Ed. Mc-GrawHill
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Mgtr. Àngel Arcadi Sorní Moreno
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