Guia 4 Funciones Exponenciales y Logaritmicas

Vista previa del material en texto

Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
1 
 
 
 
Bienvenido a la serie de guías resueltas de Exapuni! Esta serie de guías resueltas fue 
hecha por estudiantes de la comunidad Exapuni para facilitar el estudio y con la mejor 
intención de ayudar. Esperamos que te sean útiles. Podés buscar todo el material, 
responder tus dudas y mucho más durante toda tu carrera en www.exapuni.com, 
sumate! 
Funciones exponenciales y logarítmicas 
 
1) 
a) 
Antes que nada grafiquemos la función: 
 ( ) 
 
Vemos que tiene una forma bastante particular, esto se debe a que se encuentra en 
el exponente, lo que produce ese crecimiento que se ve en el gráfico a medida que el 
 
Guía 4 
Matemática 
2014 
Ejercicio 1. Graficar, hallar… 
 
http://www.exapuni.com/
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 2 
valor de aumenta. Mirando el grafico podemos determinar que la imagen de la 
función es: 
 ( ( )) ( ) ( ) 
Para determinar si tiene asíntota horizontal hacemos el límite tendiendo a infinito. 
 
 
 
 
 ⏞
 
 
 
 
 
 
 ⏞
 
 
Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en . 
b) 
 ( ) 
 
 ( ( )) ( ) ( ) 
Para determinar si tiene asíntota horizontal hacemos el límite tendiendo a infinito. 
 
 
 
 
 ⏞
 
 
 
 
 
 
 ⏞
 
 
Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en . 
c) 
 ( ) 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 3 
 
 ( ( )) ( ) ( ) 
Para determinar si tiene asíntota horizontal hacemos el límite tendiendo a infinito. 
 
 
 
 
 ⏞
 
 
 
 
 
 
 ⏞
 
 
Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en . 
d) 
 ( ) 
 
 ( ( )) ( ) ( ) 
Para determinar si tiene asíntota horizontal hacemos el límite tendiendo a infinito. 
 
 
 
 
 ⏞ 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 4 
 
 
 
 
 ⏞ 
 
 
Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en . 
 
a) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⏞
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⏞
 
 
Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en . 
b) 
 ( ) 
 
 
 
 
 ⏞
 
 
 
 
 
 
 ⏞
 
 
Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en . 
c) 
 ( ) 
 
 
 
 
 ⏞ 
 
 
 
 
 
 
 ⏞ 
 
 
Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en . 
d) 
 ( ) 
 
Ejercicio 2. Calcular… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 5 
 
 
 
 
 
 
 ⏞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⏞ 
 
 
Por lo tanto tiene una asíntota horizontal en . 
 
a) 
Para resolver este ejercicio tenemos que aplicar logaritmo natural. Recordá que 
 . 
 
Aplicamos en ambos miembros: 
 
El exponente de pasa multiplicando al . (El logaritmo de una potencia es igual al 
producto del exponente por el logaritmo de la base) 
( ) ⏞
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ⏞
 
 
 
 
 
Ejercicio 3. Resolver… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 ( ) 
 
 
 
d) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
 ( ) (
 
 
) 
Sabemos que el argumento del logaritmo debe ser mayor a . 
 
 
 
Para que 
 
 
 sea mayor a es necesario que tanto denominador como numerador 
tenga el mismo signo. Por lo tanto lo resolvemos de la siguiente manera: 
 ⋀ ⋁ ⋀ 
 ⋀ ⋁ ⋀ 
 
 
 
 ⋀ ⋁ 
 
 
 ⋀ 
Ejercicio 4. Hallar el… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 7 
En la primera parte la solución es el intervalo (
 
 
 ). 
En la segunda parte la solución es el intervalo ( ). 
 ( ( )) { ⋁ 
 
 
} 
b) 
 ( ) (
 
 
) 
 
 
 
Para que se cumpla la relación debe ser mayor a . 
 
 
 
 ( ( )) 
Ahora vamos a determinar los ceros de la función: 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
 ( ) 
Para obtener la función inversa invertimos la posición de las variables e . 
Ejercicio 5. Hallar la… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 8 
 
 
 ( ) ⏞
 
 
 
 
 
 
 
 
Ahora vamos a determinar el dominio de la función, sabemos que el argumento de un 
logaritmo debe ser mayor a . 
 
Por lo tanto: 
 ( ( )) 
La imagen de la función son todos los reales. Esto lo determinamos por medio de un 
grafico y sabiendo que la función no tiene asíntota horizontal. 
 
b) 
 ( ) ( ) 
Obtenemos la función inversa: 
 ( ) 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 9 
No hay ninguna restricción en la función, por lo tanto el dominio son todos los reales. 
La imagen hay que determinarla analizando la función, vamos a ver si tiene asíntota 
horizontal: 
 
 
 
 
 ⏞
 
 
 
 
 
 
 ⏞
 
 
Analizamos ahora que sucede. Vemos que si el valor de es mayor la imagen decrece. Y 
cuando el valor de es menor la imagen se acerca al valor . En base a esto 
deducimos: 
 ( ( )) ( ) 
c) 
 ( ) 
Obtengamos la función inversa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ⏞
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El argumento del logaritmo debe ser mayor a cero. 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 10 
 
 
 ( ( )) 
La imagen de la función son todos los reales. Esto lo determinamos por medio de un 
grafico y sabiendo que la función no tiene asíntota horizontal. 
 
d) 
 ( ) ( ) 
Vamos a obtener la función inversa: 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
No hay ninguna restricción en la función, por lo tanto el dominio son todos los reales. 
La imagen hay que determinarla analizando la función, vamos a ver si tiene asíntota 
horizontal: 
 
 
 
 
 
 
 ⏞
 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 11 
 
 
 
 
 
 
 ⏞
 
 
 
 
 
 
 
Analizamos ahora que sucede. Vemos que si el valor de es mayor la imagen crece. Y 
cuando el valor de es menor la imagen se acerca al valor 
 
 
. En base a esto 
deducimos: 
 ( ( )) ( ) 
 
 
 
 
a) 
 ( ) ( ) 
Sabemos que el argumento del logaritmo debe ser mayor a cero. 
 
 
 ( ( )) 
Ahora vamos a ver si existen asíntotas verticales: 
 
 
 ( ) 
 
 ( )⏞ 
 
 
Por lo tanto existe una asíntota vertical en . 
Ahora obtenemos los ceros de la función: 
 ( ) 
 
 
 
Vamos a determinar ahora los conjuntos de positividad y negatividad: 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
 
Ejercicio 6. Hallar el dominio… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 12 
 ( ) 
 ( ) 
b) 
 ( ) ( ) 
Sabemos que el argumento del logaritmo debe ser mayor a cero. 
 
( )( ) 
El producto debe dar positivo, para que esto suceda existen dos posibilidades. 
 ⋀ ⋁⋀ 
 ⋀ ⋁ ⋀ 
Por lo tanto el dominio es: 
 ( ( )) ⋁ 
La función solo puede tomar valores dentro del conjunto solución. 
Ahora vamos a ver si existen asíntotas verticales: 
 
 
 ( ) 
 
 ( )⏞ 
 ( )
 
Por lo tanto existe una asíntota vertical en . 
 
 
 ( ) 
 
 ( )⏞ 
 ( )
 
Por lo tanto existe una asíntota vertical en . 
Ahora obtenemos los ceros de la función: 
 ( ) 
 
 
 √ ⋀ √ 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 13 
Vamos a determinar ahora los conjuntos de positividad y negatividad: 
 ( √ ) ( √ ) ( √ ) (√ ) 
 ( ) 
 
 ( √ )⋃(√ ) 
 ( √ )⋃( √ ) 
c) 
 ( ) ( ) 
Sabemos que el argumento del logaritmo debe ser mayor a cero. 
 
 
 
 
 
 ( ( )) { 
 
 
} 
Ahora vamos a ver si existen asíntotas verticales: 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( )⏞ 
 
 
Por lo tanto existe una asíntota vertical en 
 
 
. 
Ahora obtenemos los ceros de la función: 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
Vamos a determinar ahora los conjuntos de positividad y negatividad: 
 ( 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 ) 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 14 
 ( ) 
 
 (
 
 
 
 
 
) 
 (
 
 
 ) 
d) 
 ( ) (
 
 
 ) 
Sabemos que el argumento del logaritmo debe ser mayor a cero. 
 
 
 
Obtenemos el vértice de la función: 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
( ) ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Por lo tanto el vértice de la función es ( 
 
 
) y debido a que la función es cóncava 
hacia arriba sabemos que sin importar el valor de que la función tome la imagen 
siempre será positiva. Por lo tanto el dominio son todos los reales. 
 ( ( )) 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 15 
Resolvimos de esta manera debido a que la función cuadrática no tiene ceros en los 
números reales. Debido a que el dominio son todos los reales la función no tiene 
asíntota vertical. 
A su vez a partir de este análisis también sabemos que la función únicamente tiene 
conjunto de positividad. 
 ( ) 
 
a) 
 ( ) 
 
 
 
Invertimos las variables e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ( )) 
 no puede tomar el valor debido a que se encuentra en el denominador la expresión 
 . 
b) 
 ( ) 
 
 
 
Invertimos las variables e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 7. Hallar la función… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 16 
 
 
 
 
 (
 
 
 ) 
 ⏞
 
 (
 
 
 ) 
 (
 
 
 ) 
El argumento del logaritmo debe ser mayor a cero. 
 
 
 
 
 
 
Para que 
 
 
 sea mayor a es necesario que tanto denominador como numerador tenga 
el mismo signo. Por lo tanto lo resolvemos de la siguiente manera: 
 ⋀ ⋁ ⋀ 
 ⋀ ⋁ ⋀ 
En la primera parte la intersección es el conjunto ( ), en la segunda parte la 
intersección es el conjunto vacio ( ). 
 ( ( )) ⋀ 
 
Para que la imagen sea mayor a 9 debe existir una asíntota horizontal en . 
Por lo tanto: 
 
 
 
 
 
 ⏞ 
 
 
 
Conociendo ahora el valor de podemos obtener la inversa de la función ( ). 
Ejercicio 8. Sea… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 17 
 ( ) 
 
 
 ( ) ( ) ⏞
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( )
 
 
Por lo tanto la función inversa es: 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
Resolvemos: 
a) 
 ( ) ( ) 
b) 
 ( ) ( ) 
c) 
 ( ) ( ) 
d) 
En este caso se invierte la situación. La población del año es de , el 
doble es . 
 ( ) ( ) 
Ejercicio 9. La población… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 18 
 ( ) 
 
Tenemos que aplicar logaritmo para despejar la , lo hacemos en base . 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
Por lo tanto la población será el doble de lo que es en el año a fines del año . 
 
El ejercicio es similar al anterior, resolvemos: 
a) 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
La temperatura es de luego de los primeros minutos luego de retirar el jarro 
del fuego. 
b) 
 
 
 
 
 
 ( ) ⏞
 
 
Ejercicio 10. La población… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 19 
 
El resultado por lo tanto es minutos para que la temperatura se reduzca a . 
 
Tenemos la función ( ) 
a) 
Tenemos dos valores y los utilizamos para obtener la función: 
 ( ) 
 ( ) 
 ⏞
 
 
 
Ya tenemos el valor de , aún tenemos que obtener el valor de . 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
Entonces ya tenemos la función exponencial: 
 ( ) 
b) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
Ejercicio 11. Hallar la función… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 20 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 √ 
 
 
Ya teniendo el valor de podemos obtener el valor de . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto la función exponencial es: 
 ( ) 
 
 
 
 
 
Comenzamos con un nuevo tipo de funciones, las funciones trigonométricas. Vamos a ir 
viendo las propiedades a medida que resolvemos los ejercicios. Esté primer ejercicio 
trata de completar tablas, lo podemos hacer con la calculadora en mano. 
a) 
Tener en cuenta que si trabajamos con la calculadora en grados tenemos que tener en 
cuenta que . En caso de trabajar con radianes usamos directamente el símbolo 
 . 
 
Ejercicio 12. Completar la tabla… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 21 
 ( ) √ √ 
 ( ) √ √ 
 
 
Tener en cuenta que: 
√ 
 
 
√ 
 
 
Reemplazamos en los cuadros para simplificar la lectura. 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) √ √ √ √ √ √ 
 ( ) √ √ √ √ √ 
 
 
a) 
 ( ) 
 
 
 
 (
 
 
) 
Tenemos que encontrar todos los valores de . Si reemplazamos en la 
calculadora solo obtendremos el valor . Sin embargo no es el único valor de 
que hace que ( ) sea 
 
 
. Para determinar el otro valor vamos a graficar: 
El radio de la circunferencia es 1, tenemos que determinar los ángulos en los que 
 . Los marcamos en la circunferencia con color rojo. 
 
 
Ejercicio 13. Encontrar todos los… 
 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 22 
 
 
El primer ángulo lo obtuvimos con la calculadora , el segundo podemos obtenerlo 
mirando el gráfico. Los ángulos y son opuestos por el vértice. Por lo tanto ambos 
tienen el mismo valor ( ). En base a este dato podemos obtener el ángulo que nos 
falta. Sabemos que la media circunferencia mide grados o . Si restamos 
obtenemos el ángulo que buscamos. 
 
Chequeamos con la calculadora: 
 ( ) 
 
 
 
Finalmente graficamosla función seno y los valores en los que 
 
 
. 
 
Por lo tanto 
 
 
 y 
 
 
 . 
Para el resto de los ejercicios vamos a escribir el resultado directamente sin el 
análisis previo. Para resolverlos se usa la misma lógica planteada. 
b) 
1 -1 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 23 
 ( ) 
√ 
 
 
 ( 
√ 
 
) 
 
Ese es el valor que obtenemos con la calculadora. Grafiquemos: 
 
Notar que en el ( ) √
 
 
. 
Por lo tanto 
 
 
 y 
 
 
 . 
c) 
 ( ) 
√ 
 
 
 ( 
√ 
 
) 
 
Ese es el valor que obtenemos con la calculadora. Grafiquemos: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 24 
 
Notar que en el ( ) √
 
 
. 
Por lo tanto 
 
 
 y 
 
 
 . 
d) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
Grafiquemos: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 25 
 
En éste caso hay un solo valor que cumple en el dominio . 
e) 
En este caso tenemos que resolver un , en vez de mirar la componente como 
veníamos haciendo para el , vamos a mirar la componente . 
 ( ) 
√ 
 
 
Tenemos que obtener los ángulos de la circunferencia en los que √
 
 
. Vamos a 
graficar: 
 
 
 
 
 
 
El punto verde es 
√ 
 
, tenemos dos valores que cumplen la condición del enunciado 
 ( ) 
√ 
 
. El primero lo podemos obtener con la calculadora: 
 
√ 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 26 
 ( ) 
√ 
 
 
 (
√ 
 
) 
 
El segundo lo obtenemos analizando el gráfico. Se puede apreciar que si restamos 
 obtenemos el segundo ángulo. 
 
Chequeamos con la calculadora: 
 ( ) 
√ 
 
 
Sin embargo nos piden que el valor de . Este segundo valor no cumple el 
enunciado. Lo que hay que tener en cuenta es que también tenemos que analizar los 
ángulos negativos. Para hacerlo tenemos que analizar la circunferencia en sentido 
horario. De esa manera obtenemos que existe otro ángulo que cumple la condición del 
enunciado, el ángulo es . Es muy importante tener en cuenta esto para los 
ejercicios. 
Chequeamos con la calculadora: 
 ( ) 
√ 
 
 
Finalmente graficamos la función ( ) √
 
 
: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 27 
 
Por lo tanto 
 
 
 y 
 
 
. 
Para el resto de los ejercicios vamos a escribir el resultado directamente sin el 
análisis previo. Para resolverlos se usa la misma lógica planteada. 
f) 
 ( ) 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
Ese es el valor que obtenemos con la calculadora. Grafiquemos: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 28 
 
Notar que en el ( ) 
 
 
. 
Por lo tanto 
 
 
 y 
 
 
 . 
g) 
 ( ) 
√ 
 
 
 (
√ 
 
) 
 
Ese es el valor que obtenemos con la calculadora. Grafiquemos: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 29 
 
Notar que en el ( ) √
 
 
. 
Por lo tanto 
 
 
 y 
 
 
. 
h) 
 ( ) 
 ( ) 
 
Grafiquemos: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 30 
 
En éste caso hay un solo valor que cumple en el dominio . 
 
El ejercicio es muy similar al anterior, lo que cambia es el dominio de restricción 
 . 
a) 
 ( ) 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
Ese es el valor que obtenemos con la calculadora, sin embargo no pertenece al dominio. 
Vamos a graficar: 
Ejercicio 14. Encontrar todos los… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 31 
 
Notar que en y en el ( ) 
 
 
 
Por lo tanto 
 
 
 y 
 
 
 . 
No cometer el error de colocar 
 
 
 como solución. 
b) 
 ( ) 
√ 
 
 
 (
√ 
 
) 
 
Ese es el valor que obtenemos con la calculadora. Grafiquemos: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 32 
 
Notar que en el ( ) √
 
 
. 
Por lo tanto 
 
 
 y 
 
 
 . 
c) 
 ( ) 
√ 
 
 
 ( 
√ 
 
) 
 
Ese es el valor que obtenemos con la calculadora. Grafiquemos: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 33 
 
Notar que en el ( ) √
 
 
. 
Por lo tanto 
 
 
 y 
 
 
 . 
d) 
 ( ) 
 ( ) 
 
Grafiquemos: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 34 
 
En éste caso hay un solo valor que cumple en el dominio . 
 
Este ejercicio es similar al anterior con la diferencia que no tenemos el dominio 
restringido. Por lo tanto vamos a tener que expresar las soluciones de forma genérica. 
a) 
 ( ) 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
Hasta ahora tenemos solo un valor, tenemos que expresar este valor de forma 
genérica para obtener todas las soluciones posibles. Vamos a graficar la 
circunferencia (recordar que estamos trabajando con el seno, por lo tanto buscamos 
que el valor de sea igual a 
 
 
). 
 
 
 
Ejercicio 15. Encontrar todos los… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 35 
 
 
Uno de los valores que cumple lo obtuvimos por medio de la calculadora . Lo 
expresamos de manera genérica 
 
 
 
 , donde 
Notar que al dar una vuelta completa ( ) al ángulo 
 
 
 volvemos al mismo punto. 
El otro ángulo lo obtenemos mirando el gráfico. Vemos que los ángulos son opuestos 
por el vértice, por lo tanto el ángulo es 
 
 
 . Y también lo expresamos 
genéricamente. 
 
 
 
 , donde 
Con ambas expresiones genéricas tenemos todos los resultados posibles de como 
solicita el enunciado. 
b) 
 ( ) 
√ 
 
 
 (
√ 
 
) 
 
Hasta ahora tenemos solo un valor, tenemos que expresar este valor de forma 
genérica para obtener todas las soluciones posibles. Vamos a graficar la 
circunferencia (recordar que estamos trabajando con el seno, por lo tanto buscamos 
que el valor de sea igual a √
 
 
). 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 36 
Uno de los valores que cumple lo obtuvimos por medio de la calculadora . Lo 
expresamos de manera genérica 
 
 
 
 , donde 
Notar que al dar una vuelta completa ( ) al ángulo 
 
 
 volvemos al mismo punto. 
El otro ángulo lo obtenemos mirando el gráfico. Vemos que los ángulos son opuestos 
por el vértice, por lo tanto el ángulo es 
 
 
 . Y también lo expresamos 
genéricamente. 
 
 
 
 , donde 
Con ambas expresiones genéricas tenemos todos los resultados posibles de como 
solicita el enunciado. 
c) 
 ( ) 
√ 
 
 
 ( 
√ 
 
) 
 
Hasta ahora tenemos solo un valor, tenemos que expresar este valor de forma 
genérica para obtener todas las soluciones posibles. Vamos a graficar la 
circunferencia (recordar que estamos trabajando con el coseno, por lo tanto buscamos 
que el valor de sea igual a √
 
 
). 
 
 
 
 
 
Uno de los valores que cumple lo obtuvimos por medio de la calculadora . Lo 
expresamos de manera genérica 
 
√ 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 37 
 
 
 
 , donde 
Notar que al dar una vuelta completa ( ) al ángulo 
 
 
 volvemos al mismo punto. 
El otro ángulo lo obtenemos mirando el gráfico. El mismo es 
 
 
 . Lo 
expresamos genéricamente. 
 
 
 
 , donde 
Con ambas expresiones genéricas tenemos todos los resultados posibles de como 
solicita el enunciado. 
f) 
 ( )( ) 
 
Hasta ahora tenemos solo un valor, tenemos que expresar este valor de forma 
genérica para obtener todas las soluciones posibles. Vamos a graficar la 
circunferencia (recordar que estamos trabajando con el coseno, por lo tanto buscamos 
que el valor de sea igual a ). 
 
 
 
 
 
Uno de los valores que cumple lo obtuvimos por medio de la calculadora . Lo 
expresamos de manera genérica 
 , donde 
Notar que al dar una vuelta completa ( ) al ángulo volvemos al mismo punto. 
Con la expresión genérica tenemos todos los resultados posibles de como solicita el 
enunciado. 
 
 
Ejercicio 16. Resolver 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 38 
 
a) 
 ( ) 
√ 
 
 
 (
√ 
 
) 
 
 
 
 
Este valor no es parte del dominio solicitado. Graficamos: 
 
Los resultados validos son 
 
 
 y 
 
 
 . 
Para obtener estos valores lo hacemos como en los ejercicios previos. Graficamos la 
circunferencia y hacemos en análisis. (Por ejemplo, recién obtuvimos que una solución 
es , sin embargo la descartamos porque no es parte del dominio que solicita el 
enunciado, al sumarle una vuelta completa obtenemos el valor , una de las 
posibles soluciones) 
b) 
 ( ) 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 39 
 ( ) 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
Este valor no es parte del dominio solicitado. Graficamos: 
 
Los resultados validos son 
 
 
 y 
 
 
 . 
c) 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
Ya tenemos uno de los valores (pertenece al dominio indicado por enunciado). 
Graficamos para obtener el resto: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 40 
 
Los resultados son 
 
 
, 
 
 
 y 
 
 
 . 
d) 
 ( ) 
√ 
 
 
 (
√ 
 
) 
 
 
 
 
Este valor no es parte del dominio solicitado. Graficamos: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 41 
 
Los resultados validos son 
 
 
 y 
 
 
 . 
 
a) 
 ( ) ( 
 
 
) 
Nos piden que hallemos los ceros de la función en el rango 
 ( 
 
 
)
⏟ 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
Notar que hicimos una sustitución 
 
 
. Ahora graficando buscamos todos los 
valores de : 
 
 
 
Ejercicio 17. Hallar… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 42 
 
 
Obtuvimos dos valores 
 
 
 y 
 
 
 
Los expresamos en forma genérica: 
 
 
 
 y 
 
 
 
Ahora recordamos que 
 
 
. 
Para : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Le damos valores a para obtener las soluciones, marcamos con verde los valores que 
pertenecen al intervalo dado por enunciado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto los ceros son: 
 
 
 , 
 
 
, 
 
 
 , 
 
 
 , 
 
 
 y 
 
 
 
Ahora graficamos para obtener los conjuntos de positividad y negatividad: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 43 
 
 ( 
 
 
 
 
 
)⋃(
 
 
 
 
 
 )⋃(
 
 
 
 
 
 ) 
 (
 
 
 
 
 
 )⋃(
 
 
 
 
 
 ) 
b) 
 ( ) ( ) 
Nos piden que hallemos los ceros de la función en el rango 
 ( )⏟
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
Ahora graficando buscamos todos los valores de : 
 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 44 
 
Obtenemos un solo valor 
 
 
. 
Los expresamos en forma genérica: 
 
 
 
 
Ahora recordamos que . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Le damos valores a para obtener las soluciones, marcamos con verde los valores que 
pertenecen al intervalo dado por enunciado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto los ceros son: 
 
 
, 
 
 
 , 
 
 
 , 
 
 
 , 
 
 
 y 
 
 
 
Ahora graficamos para obtener los conjuntos de positividad y negatividad: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 45 
 
 ( 
 
 
)⋃( 
 
 
 
 
 
 )⋃(
 
 
 
 
 
 )⋃(
 
 
 
 
 
 )⋃(
 
 
 
 
 
 ) 
⋃(
 
 
 
 
 
 ) 
c) 
 ( ) ( 
 
 
) 
Nos piden que hallemos los ceros de la función en el rango 
 ( 
 
 
)
⏟ 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
Ahora graficando buscamos todos los valores de : 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 46 
 
 
 
 
Obtenemos dos valores 
 
 
 y 
 
 
 . 
Los expresamos en forma genérica: 
 
 
 
 y 
 
 
 
Ahora recordamos que 
 
 
. 
Para : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Le damos valores a para obtener las soluciones, marcamos con verde los valores que 
pertenecen al intervalo dado por enunciado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto los ceros son: 
 
 
 , 
 
 
 , 
 
 
 , 
 
 
 , 
 
 
 , 
 
 
 , 
 
 
 
 y 
 
 
 . 
Ahora graficamos para obtener los conjuntos de positividad y negatividad: 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 )⋃(
 
 
 
 
 
 )⋃(
 
 
 
 
 
 )⋃(
 
 
 
 
 
 ) 
 ( 
 
 
 
 
 
)⋃(
 
 
 
 
 
 )⋃(
 
 
 
 
 
 )⋃(
 
 
 ) 
d) 
 ( ) ( 
 
 
) 
Nos piden que hallemos los ceros de la función en el rango 
 ( 
 
 
)
⏟ 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 48 
 ( ) 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
Ahora graficando buscamos todos los valores de : 
 
 
 
 
 
Obtenemos dos valores 
 
 
 y 
 
 
 . 
Los expresamos en forma genérica: 
 
 
 
 y 
 
 
 
Ahora recordamos que 
 
 
. 
Para : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Le damos valores a para obtener las soluciones, marcamos con verde los valores que 
pertenecen al intervalo dado por enunciado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto los ceros son: 
 
 
, 
 
 
 
 
 
 
Ahora graficamos para obtener los conjuntos de positividad y negatividad: 
 
 (
 
 
 
 
 
 )⋃(
 
 
 ) 
 ( 
 
 
)⋃(
 
 
 
 
 
 ) 
e) 
 ( ) ( ) ( ) 
Nos piden que hallemos los ceros de la función en el rango 
Hacemos una sustitución: 
 ( ) 
 ( ) 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 50 
Ahora buscamos los ceros: 
 
( ) 
Tenemos dos resultados posibles: 
 ⋀ 
 ⋀ 
 
 
 
Recordemos que ( ). 
 ( ) ⋀ ( ) 
 
 
 
 ⋀ 
 
 
 
Ahora graficando buscamos todos los valores de : 
 
 
 
 
 
Obtenemos cuatro valores , 
 
 
, y 
 
 
 . 
Los expresamos en forma genérica: 
 , 
 
 
 , y 
 
 
 
Le damos valores a para obtener lassoluciones, marcamos con verde los valores que 
pertenecen al intervalo dado por enunciado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto los ceros son: , , 
 
 
, 
 
 
 , y . 
Ahora graficamos para obtener los conjuntos de positividad y negatividad: 
 
 ( )⋃(
 
 
 
 
 
 ) 
 ( 
 
 
)⋃(
 
 
 ) 
f) 
 ( ) (
 
 
 ( )) ( ) 
Nos piden que hallemos los ceros de la función en el rango 
(
 
 
 ( )) ( ) 
Hay dos posibilidades: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 52 
 ( ) ⋀ 
 
 
 ( ) 
 ( ) ⋀ ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ⋀ ( ) 
 
 
 
Ahora graficando buscamos todos los valores de : 
 
 
 
 
 
Obtenemos cuatro valores 
 
 
, 
 
 
 , 
 
 
 y 
 
 
 . 
Los expresamos en forma genérica: 
 
 
 
 , 
 
 
 , 
 
 
 y 
 
 
 
Le damos valores a para obtener las soluciones, marcamos con verde los valores que 
pertenecen al intervalo dado por enunciado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto los ceros son: 
 
 
 , 
 
 
, 
 
 
 , y 
 
 
. 
Ahora graficamos para obtener los conjuntos de positividad y negatividad: 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 53 
 
 ( 
 
 
 
 
 
)⋃( 
 
 
 
 
 
 ) 
 ( 
 
 
 )⋃( 
 
 
 
 
 
 )⋃(
 
 
 ) 
 
 
a) 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
Nos piden el valor máximo y mínimo de la función. Para determinarlos podemos tener 
en cuenta la amplitud de la función. En ésta caso la amplitud es 
 
 
. Por lo tanto la 
imagen es: 
 ( ( )) { ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
} 
Vamos a graficar la función: 
Ejercicio 18. Hallar… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 54 
 
Tenemos que determinar en qué puntos la función alcanza el valor máximo y el mínimo. 
Sabemos que la función ( ) está acotada entre los valores y . Teniendo en 
cuenta éste datos y viendo nuestra función: ( ) 
 
 
 ( ). Tenemos que encontrar 
los valores en los que el ( ) toma los valores y . 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
Lo expresamos en forma genérica: 
 
 
 
 , (Para estos valores la función alcanza su valor máximo 
 
 
) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 , (Para estos valores la función alcanza su valor mínimo 
 
 
) 
b) 
 ( ) ( ) 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 55 
Nos piden el valor máximo y mínimo de la función. Para determinarlos podemos tener 
en cuenta la amplitud de la función. En ésta caso la amplitud es . Por lo tanto la 
imagen es: 
 ( ( )) { ( ) ( ) } 
Vamos a graficar la función: 
 
Tenemos que determinar en qué puntos la función alcanza el valor máximo y el mínimo. 
Sabemos que la función ( ) está acotada entre los valores y . Teniendo en 
cuenta éste datos y viendo nuestra función: ( ) ( ). Tenemos que 
encontrar los valores en los que el ( ) toma los valores y . 
 ( ⏟ 
 
) 
 ( ) 
 
 
 
 
Lo expresamos en forma genérica: 
 
 
 
 , 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 56 
Notar que aplicamos la sustitución , por lo tanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Para estos valores la función alcanza su valor mínimo ) 
 ( ⏟ 
 
) 
 ( ) 
 
 
 
 
Lo expresamos en forma genérica: 
 
 
 
 , 
Notar que aplicamos la sustitución , por lo tanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lo expresamos en forma genérica: 
 
 
 
 , (Para estos valores la función alcanza su valor máximo ) 
c) 
 ( ) ( ) 
Nos piden el valor máximo y mínimo de la función. Para determinarlos podemos tener 
en cuenta la amplitud de la función. En ésta caso la amplitud es . Pero también hay 
que tener en cuenta que la función está desplazada en unidades hacia arriba ( ). 
Por lo tanto la imagen es: 
 ( ( )) { ( ) ( ) } 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 57 
Vamos a graficar la función: 
 
Tenemos que determinar en qué puntos la función alcanza el valor máximo y el mínimo. 
Sabemos que la función ( ) está acotada entre los valores y . Teniendo en 
cuenta éste datos y viendo nuestra función: ( ) ( ) . Tenemos que 
encontrar los valores en los que el ( ) toma los valores y . 
 ( ) 
 ( ) 
 
Lo expresamos en forma genérica: 
 , (Para estos valores la función alcanza su valor máximo ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
Lo expresamos en forma genérica: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 58 
 , (Para estos valores la función alcanza su valor mínimo ) 
d) 
 ( ) ( ) 
Nos piden el valor máximo y mínimo de la función. Para determinarlos podemos tener 
en cuenta la amplitud de la función. En ésta caso la amplitud es . Pero también hay 
que tener en cuenta que la función está desplazada en unidades hacia abajo ( ). Por 
lo tanto la imagen es: 
 ( ( )) { ( ) ( ) } 
Vamos a graficar la función: 
 
Tenemos que determinar en qué puntos la función alcanza el valor máximo y el mínimo. 
Sabemos que la función ( ) está acotada entre los valores y . Teniendo en 
cuenta éste datos y viendo nuestra función: ( ) ( ) . Tenemos que 
encontrar los valores en los que el ( ) toma los valores y . 
 ( ⏟
 
) 
 ( ) 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 59 
 
Lo expresamos en forma genérica: 
 , 
Notar que aplicamos la sustitución , por lo tanto: 
 
 
 
 
 
Lo expresamos en forma genérica: 
 
 
 
 , (Para estos valores la función alcanza su valor máximo ) 
 ( ⏟
 
) 
 ( ) 
 
Lo expresamos en forma genérica: 
 , 
Notar que aplicamos la sustitución , por lo tanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lo expresamos en forma genérica: 
 
 
 
 
 
 
 , (Para estos valores la función alcanza su valor mínimo ) 
 
a) 
 ( ) ( ) 
La función tiene la forma ( ) ( ) donde es la amplitud, es el 
período y es la fase. 
Ejercicio 19. Hallar… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 60 
Por lo tanto la amplitud de la función es . El período es: 
 
 
 
 
 
 
b) 
 ( ) ( ) 
La función tiene la forma ( ) ( ) donde es la amplitud, es el 
período y es la fase. 
Por lo tanto la amplitud de la función es . El período es: 
 
 
 
 
 
 
c) 
 ( ) ( ) 
La función tiene la forma ( ) ( ) donde es la amplitud, es el 
período y es la fase. 
Por lo tanto la amplitud de la función es . El período es: 
 
 
 
 
 
 
d) 
 ( ) (
 
 
 ) 
La función tiene la forma ( ) ( ) donde es la amplitud, es el 
período y es la fase. 
Por lo tanto la amplitud de la función es . El período es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
Ejercicio 20. Sea ( )… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 61 
Nos dan la imagen de la función y sabemos que la amplitud es . Para que la imagen sea 
 el valorde debe ser . Por lo tanto nos queda la función: 
 ( ) ( ) 
Buscamos tal que ( ) : 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Buscamos tal que ( ) : 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
 ( ) ( 
 
 
) 
Antes que nada tenemos que obtener los ceros de la función: 
 ( 
 
 ⏟ 
 
) 
Ejercicio 21. Hallar… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 62 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
Ahora graficando buscamos todos los valores de : 
 
 
 
 
 
Obtenemos dos valores , y . 
Los expresamos en forma genérica: 
 
 
Recordar que hicimos la sustitución 
 
 
 
Para : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 63 
Graficamos para hallar los conjuntos de positividad y negatividad: 
 
 ( 
 
 
 )⋃(
 
 
 
 
 
 )⋃(
 
 
 ) 
 (
 
 
 
 
 
 )⋃(
 
 
 
 
 
 ) 
Ahora tenemos que determinar en qué puntos la función alcanza el valor máximo y el 
mínimo. 
Sabemos que la función ( ) está acotada entre los valores y . Teniendo en 
cuenta éste datos y viendo nuestra función: ( ) ( 
 
 
). Tenemos que 
encontrar los valores en los que el ( 
 
 
) toma los valores y . 
 ( 
 
 ⏟ 
 
) 
 ( ) 
 
 
 
 
Lo expresamos en forma genérica: 
 
 
 
 , 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 64 
Notar que aplicamos la sustitución 
 
 
, reemplazamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Para estos valores la función alcanza su valor máximo ) 
 ( 
 
 ⏟ 
 
) 
 ( ) 
 
 
 
 
Lo expresamos en forma genérica: 
 
 
 
 , 
Notar que aplicamos la sustitución 
 
 
, reemplazamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Para estos valores la función alcanza su valor mínimo ) 
b) 
 ( ) ( ) 
Antes que nada tenemos que obtener los ceros de la función: 
 ( ⏟ 
 
) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 65 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
Ahora graficando buscamos todos los valores de : 
 
 
 
 
 
Obtenemos dos valores 
 
 
, y 
 
 
 . 
Los expresamos en forma genérica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recordar que hicimos la sustitución 
Para 
 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para 
 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 66 
 
 
 
 
 
 
 
Graficamos para hallar los conjuntos de positividad y negatividad: 
 
 (
 
 
 
 
 
 ) 
 ( 
 
 
 )⋃(
 
 
 ) 
Ahora tenemos que determinar en qué puntos la función alcanza el valor máximo y el 
mínimo. 
Sabemos que la función ( ) está acotada entre los valores y . Teniendo en 
cuenta éste datos y viendo nuestra función: ( ) ( ) . Tenemos que 
encontrar los valores en los que el ( ) toma los valores y . 
 ( ⏟ 
 
) 
 ( ) 
 
Lo expresamos en forma genérica: 
 , 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 67 
Notar que aplicamos la sustitución , reemplazamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Para estos valores la función alcanza su valor máximo ) 
 ( ⏟ 
 
) 
 ( ) 
 
Lo expresamos en forma genérica: 
 , 
Notar que aplicamos la sustitución , reemplazamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Para estos valores la función alcanza su valor mínimo ) 
c) 
 ( ) ( 
 
 
) 
Antes que nada tenemos que obtener los ceros de la función: 
 ( 
 
 ⏟ 
 
) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 68 
Ahora graficando buscamos todos los valores de : 
 
 
 
 
 
Obtenemos dos valores 
 
 
, y 
 
 
 . 
Los expresamos en forma genérica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recordar que hicimos la sustitución 
 
 
 
Para 
 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para 
 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Graficamos para hallar los conjuntos de positividad y negatividad: 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 69 
 
 ( 
 
 
)⋃( 
 
 
) 
 ( 
 
 
 )⋃(
 
 
 ) 
Ahora tenemos que determinar en qué puntos la función alcanza el valor máximo y el 
mínimo. 
Sabemos que la función ( ) está acotada entre los valores y . Teniendo en 
cuenta éste datos y viendo nuestra función: ( ) ( 
 
 
). Tenemos que 
encontrar los valores en los que el ( 
 
 
) toma los valores y . 
 ( 
 
 ⏟ 
 
) 
 ( ) 
 
Lo expresamos en forma genérica: 
 , 
Notar que aplicamos la sustitución 
 
 
, reemplazamos: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Para estos valores la función alcanza su valor máximo ) 
 ( 
 
 ⏟ 
 
) 
 ( ) 
 
Lo expresamos en forma genérica: 
 , 
Notar que aplicamos la sustitución 
 
 
, reemplazamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Para estos valores la función alcanza su valor mínimo ) 
d) 
 ( ) ( 
 
 
) 
Antes que nada tenemos que obtener los ceros de la función: 
 ( 
 
 ⏟ 
 
) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 (
 
 
) 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 71 
 
 
 
 
Ahora graficando buscamos todos los valores de : 
 
 
 
 
 
Obtenemos dos valores 
 
 
, y 
 
 
 . 
Los expresamos en forma genérica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recordar que hicimos la sustitución 
 
 
 
Para 
 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para 
 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Graficamos para hallar los conjuntos de positividad y negatividad: 
 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 72 
 
 ( 
 
 
 )⋃( 
 
 
 
 
 
 )⋃(
 
 
 
 
 
 )⋃(
 
 
 ) 
 ( 
 
 
 
 
 
 )⋃( 
 
 
 
 
 
 )⋃(
 
 
 
 
 
 ) 
Ahora tenemos que determinar en qué puntos la función alcanza el valor máximo y el 
mínimo. 
Sabemos que la función ( ) está acotada entre los valores y . Teniendo en 
cuenta éste datos y viendo nuestra función: ( ) ( 
 
 
) . Tenemos que 
encontrar los valores en los que el ( 
 
 
) toma los valores y . 
 ( 
 
 ⏟ 
 
) 
 ( ) 
 
 
 
 
Lo expresamos en forma genérica: 
 
 
 
 , 
Notar que aplicamos la sustitución 
 
 
, reemplazamos: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 73 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Para estos valores la función alcanza su valor máximo ) 
 ( 
 
 ⏟ 
 
) 
 ( ) 
 
 
 
 
Lo expresamos en forma genérica: 
 
 
 
 , 
Notar que aplicamos la sustitución 
 
 
, reemplazamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (Para estos valores la función alcanza su valor mínimo ) 
Ejercicios Surtidos 
 
Tenemos las funciones ( ) y ( ) , necesitamos la función 
 . Resolvamos:( ) ( )( ) ( ) ( ) 
Para obtener el dominio tenemos que tener en cuenta que el argumento del logaritmo 
debe ser mayor a . 
 
Ejercicio 1. Sean… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 74 
Es importante notar que para cualquier valor de la función da como resultado un 
número mayor a . Eso se debe a que el termino crece más rápido que el termino 
al darle valores a . Por lo tanto: 
 ( ( )) 
Ahora nos pide que obtengamos los ceros de la función: 
 
No existe ningún valor de que haga que la función tenga valor en los números 
reales. Eso lo podes justificar haciendo la formula resolvente (queda una raíz de un 
número negativo). Otra manera de justificarlo sería obteniendo el vértice de la 
función y teniendo en cuenta la concavidad de la misma. La función no pasa por el eje 
 . Por lo tanto no tiene ceros. El conjunto de positividad, por lo que venimos diciendo, 
es ( ). 
 
 ( ) 
 ( ) 
Resolvamos: 
 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 
Ya tenemos la función ( ), ahora obtenemos la inversa: 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
No hay ninguna restricción en la función, por lo tanto ( ( )) . 
Ejercicio 2. Sean… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 75 
Nos queda obtener la imagen. Vamos a ver si tiene asíntota horizontal (ya sabemos que 
no tiene vertical porque no hay restricciones en el dominio). 
 
 
 
 
 
 
 ⏞
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⏞
 
 
 
 
Por lo tanto hay una asíntota horizontal en 
 
 
. 
Sabemos por el exponente de la que la función es creciente. Por lo tanto: 
 ( ( )) { ( ) ( ) 
 
 
} 
 
Tenemos que obtener la función inversa: 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) ( ) ⏞
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
Ahora vamos a obtener el dominio, sabemos que el argumento del logaritmo debe ser 
mayor a . 
Ejercicio 3. Sean… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 76 
 
 
 
 ( ( )) 
 
Tenemos la función ( ) y nos dan dos puntos. 
{
 ( ) 
 
 
{
 
 
 
Despejamos en la primera ecuación: 
 
 
 
 
 
 
Reemplazamos en la segunda: 
 
 ( ) 
 
 
 
Ya con el valor de podemos obtener : 
 
 ( ) 
 
 
 
 
Ya tenemos la función ( ): 
Ejercicio 4. Sea ( )… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 77 
 ( ) 
 
 
 
Calculamos ( ): 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
La imagen la podes determinar directamente teniendo en cuenta la amplitud de la 
función ( ) y el desplazamiento ( ). 
 ( ( )) { ( ) ( ) } 
Tenemos que obtener los puntos donde la función alcanza sus valores máximos en el 
intervalo . 
Sabemos que la función ( ) alcanza su valor máximo en . En base a eso 
podemos obtener en que valores de la función alcanza los máximos. 
 ( ⏟
 
) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
Notar que hicimos la sustitición . Por lo tanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nos piden que sea en el intervalo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 5. Sea ( )… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 78 
 
 
 
 
 
 
 
 debe ser un entero, por lo tanto los posibles valores son: 
 . Dando como resultado que los valores de en los que la función alcanza 
su valor máximo ( ) son: 
 
 
 
 y 
 
 
 
Dejamos el grafico de la función: 
 
 
 ( ) ( ) 
Nos dan un cero de la función 
 
 
. Podemos reemplazar: 
 ( 
 
 
) 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
 
Tenemos el valor de que es la amplitud de la función, además tenemos el 
desplazamiento ( ). Por lo tanto: 
 ( ( )) { ( ) ( ) } 
Ejercicio 6. Se sabe… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 79 
 
 ( ) ( ) ( ) 
Simplificamos haciendo factor común ( ): 
 ( ) ( ) ( ( ) ) 
Tenemos que obtener los ceros, por lo tanto: 
 ( ) ( ( ) ) 
Hay dos posibilidades: 
 ( ) y ( ) . Tenemos que resolver ambas para obtener todos los 
ceros de la función en el intervalo que nos piden. 
Primero obtenemos los valores de que satisfacen ( ) : 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 , siendo . 
Tenemos que hallar los valores que pertenecen al intervalo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existe un único valor que cumple para los enteros: 
 . Reemplazando en 
 
 
 : 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 es uno de los ceros de la función, ahora veamos que pasa con ( ) : 
Ejercicio 7. Indicar los… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 80 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 , siendo . 
Tenemos que hallar los valores que pertenecen al intervalo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
También existe un único valor que cumple para los enteros: 
 . Reemplazando en 
 
 
 : 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 es un cero de la función. Ahora vamos a graficar para obtener los conjuntos de 
positividad y negatividad. 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 81 
 
 ( 
 
 
)⋃(
 
 
 ) 
 (
 
 
 
 
 
 ) 
 
 ( ) ( 
 
 
) 
Tenemos que hallar los ceros, por lo tanto: 
 ( 
 
 ⏟ 
 
) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 , siendo . 
Sustituimos 
 
 
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 8. Sea ( )… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 82 
 
 
 
 
No nos dan un intervalo. Los ceros son todos los que responden a la forma 
 
 
, 
siendo . 
Vamos a obtener los valores máximos y mínimos. Sabemos que la función alcanza su 
valor máximo en y su mínimo en . Analicemos, primero buscamos los 
máximos: 
 ( 
 
 ⏟ 
 
) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 , siendo . 
Sustituimos 
 
 
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los máximos responden a la forma 
 
 
 , siendo . 
Ahora vamos a buscar los mínimos: 
 ( 
 
 ⏟ 
 
) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 , siendo . 
Sustituimos 
 
 
: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 83 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los mínimos responden a la forma 
 
 
 , siendo . 
 
 ( ) ( 
 
 
) 
Tenemos que buscar todos los valores de en los que . 
 ( 
 
 
) 
 ( 
 
 ⏟ 
 
) 
 ( ) 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
Obtenemos dos resultados, uno sale directamente de la calculadora: 
 
 
 
 , siendo . 
Sustituimos 
 
 
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , siendo . 
Y el otro hay que obtenerlo graficando la circunferencia: 
 
 
 
Ejercicio 9. Sea … 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 84 
 
 
 
Chequeamos: 
 ( ) 
 
 
 
 (
 
 
 ) 
 
 
 
Por lo tanto otro posible resultado es: 
 
 
 
 , siendo . 
Notar que la función ( ) tiene dominio , por lo tanto tenemos que obtener los 
puntos que cortan a la función ( ) en ese intervalo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existe un único : 
 
Por lo tanto uno de los puntos en el quela recta corta a la función ( ) en el 
intervalo es: 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
Ahora veamos que pasa con el otro valor: 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 85 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existe un único : 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
Obtuvimos como resultado dos puntos 
 
 
 y 
 
 
. 
 
Es muy similar al ejercicio anterior, vamos a resolver: 
 ( ) ( ) 
Tenemos que buscar todos los valores de en los que ( ) 
 
 
. 
 ( ) 
 
 
 
 ( ⏟ 
 
) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
Ejercicio 10. Sea ( )… 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 86 
Obtenemos dos resultados, uno sale directamente de la calculadora: 
 
 
 
 , siendo . 
Sustituimos : 
 
 
 
 
 
 
 
 , siendo . 
Y el otro hay que obtenerlo graficando la circunferencia: 
 
 
 
 
Chequeamos: 
 ( ) 
 
 
 
 (
 
 
 ) 
 
 
 
Por lo tanto otro posible resultado es: 
 
 
 
 
 
 
 
 , siendo . 
Vamos a ver que pasa en el intervalo , primero con 
 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 -1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 87 
Existen dos valores que satisfacen, y . 
Reemplazamos en 
 
 
 
Si : 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Si : 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Ahora vamos a ver que pasa en el intervalo , primero con 
 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existen dos valores que satisfacen, y . 
Reemplazamos en 
 
 
 
Si : 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Si : 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Por lo tanto los resultados son: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bajate los resueltos y respondé tus dudas en www.exapuni.com 
 
 
 88 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta guía fue hecha con la mejor intención, con la mayor profesionalidad posible y 
como un aporte útil para la comunidad. Si encontrás algún detalle, podés dejarnos tus 
comentarios en www.exapuni.com para que mejoremos el material al máximo! 
 
http://www.exapuni.com/
	Funciones exponenciales y logarítmicas
	Ejercicios Surtidos
	Tenemos las funciones 𝑓,𝑥.=,𝑥-2.+3𝑥+3 y 𝑔,𝑥.=,ln-𝑥., necesitamos la función ℎ=𝑔∘𝑓. Resolvamos:
	ℎ,𝑥.=,𝑔∘𝑓.,𝑥.=𝑔,𝑓,𝑥..=,ln-(,𝑥-2.+3𝑥+3) .
	Para obtener el dominio tenemos que tener en cuenta que el argumento del logaritmo debe ser mayor a 0.
	,𝑥-2.+3𝑥+3>0
	Es importante notar que para cualquier valor de 𝑥 la función da como resultado un número mayor a 0. Eso se debe a que el termino ,𝑥-2. crece más rápido que el termino 3𝑥 al darle valores a 𝑥. Por lo tanto: