4-LA MÁQUINA SÍNCRONA

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LA MÁQUINA 
SÍNCRONA
Montaje de conductores en 
el estator (la mitad) de una 
máquina sincrónica
Rotor de polos salientes 
de una máquina sincrónica 
de 13,8 [kV], 152,5 [MVA]
Rotor de una máquina 
sincrónica grande
De rotor cilíndrico
Polo saliente de una máquina 
síncrona con barras de la jaula
Generador- Barras de amortiguamiento
Motor- Barras de amortiguamiento o 
arranque
FEM inducida en una fase (Polos Salientes) ( )
1
1
 max
 
max 1max F 
 
 B B ff
μdgpr
ο
fff k
kk
k
g
μ

 
 
F max
p
N ff
f
i

 
 
1max
 
 
 
 
 B f
ff
μdgpr
ο
f k
i
kk p
N
g
μ

prc
prc
prc
c
g
pr
gb
gb
gt
t
gggg
k
 
) (
 γ
 γ- 
 
)(31 
5
2
 
 max 




Flujo medio del armónico fundamental del campo de excitación:
 
 
 
1 max 1
 
 
 
 
 
 
π
2
 B
π
2
 B
τ
ττ 11 f
ff
μdgpr
ο
fmfmffm k
i
kk p
N
g
lμ
ll  
Inductor
g
g
mx
tcbc
Flujo concatenado máximo con una fase de la armadura ( cuando el eje de la
fase coincide con el eje polar o eje directo “d” ), omitiendo
fmdevfasefa k N   
Si el rotor gira a una velocidad angular eléctrica de
surge el flujo concatenado, variable en el tiempo, con la fase A de la armadura:
tt fafa ω cos )(  
 i ωωω r
mec
p/2
Por lo tanto, se tendrá una inductancia mutua, cuando coinciden el eje “a” y “d”
tMtM ffafaffafa ii ω cos )(  
Según dtd - e , la fem inducida en la armadura (inducido) es:
f
s
ef
s
if
faf
ffaffaf Nf
X
X M iii 44,4 
2
 
2
E
 E ; ω E
max
fmax 
)
2
cos()(
)( 
 

 tiMtseniM
dt
td
e ffaffa
fa
)
2
cos(

  wtiMe ffaa
fafa MX ω 
Es la reactancia de inducción mutua entre el devanado
de excitación y el devanado de armadura.
La fem instantánea será:
)π/2 ω( cosE maxe  tfa
)ω( senE maxe tfa 
(*)
La fem de autoinducción del devanado
de excitación es:
0 - e  ffff i
dt
d
L
En estado estacionario, cuando es constante. fi



f

E=E
f
Donde: fcabfpfgffgf LLLLLL  
Inductancia propia del devanado de excitación
fgL
fpL
fcabL
Inductancia debido al flujo que atraviesa el entrehierro g.
Inductancia debido al flujo de dispersión en el polo (Φfp). 
Inductancia debido al flujo de dispersión en las 
cabezas de bobina (Φfcab).
g

fp

fcab
fg
Representación Fasorial de Funciones Sinusoidales (, V, I, E, 
etc.)
Transformando (*) considerando:  jsencose j  Identidad de Euler.
2
maxmax
2



j
maz
tjtj
j
maz eEEeEeeEe


2

j
EeE


)
2
()
2
(
)
2
( 







tjsentcose
tj
)]
2
()
2
([max
)
2
(
max








tjsentcosEeE
tj
tjtj
j
maz eEeeE


max
2 

Si se tiene una función compleja: jbaA 
22 baA 
   AAeA
a
b
arctg j)( , fasor.
jejej
A
a
A
a
cos
jj


22 ;;1;)arccos(


Diagrama Fasorial en Vacío
 E V f

q
d
EqV

Generador Síncrono bajo carga Simétrica:
La corriente de armadura 0 I , por lo tanto genera su propio campo y se
le denomina campo de reacción de armadura (R.A.)
El efecto de R.A. sobre el campo de excitación no se puede despreciar:
1. Porque la mayor parte de la R.A. esta dirigida por el eje directo (“d”), que
puede aumentar (magnetizar) o disminuir (desmagnetizar) el flujo de
excitación.
2. Además porque la R.A. por el eje transversal “q” (en cuadratura), induce
una considerable fem en el devanado de armadura.
Para una máquina de polos salientes, debido a su configuración asimétrica del
inductor, el efecto de R.A., es necesario estudiarlo en dos componentes.
Limitándonos al armónico fundamental de la onda del campo de R.A., se
tendrá, según la lógica y secuencia de los principios de electromagnetismo:
Una por el eje directo “d” 
Una por el eje transversal “q” 
adadadadad E B FId  
aqaqaqaqaq E B FIq  
El estudio se fundamenta en la teoría de las 2 reacciones, método
propuesto por el francés A. Blondel (1895).
Este método esta basado en el principio de superposición para lo cual se
considera que el flujo magnético de R.A. dirigido por el eje “d” no afecta al
flujo magnético de R.A. dirigido por el eje “q” y viceversa, asimismo se
desprecia la saturación del circuito magnético( ).feμ
En el régimen de carga, la ecuación general de la tensión en bornes del
generador es:
ar aaf eeeev 
ar aq adaq adf eeeeeev 
REACCIÓN DE ARMADURA EN UN GENERADOR SÍNCRONO 
BAJO CARGA SIMÉTRICA.
Se analiza un generador síncrono de polos salientes (p=2), cuya velocidad
angular mecánica es r
mw (rad/seg) o velocidad angular eléctrica de
r
mwpfw 22  
El ángulo

entre la corriente de armadura I y la Fem. Ef inducido por el
campo de excitación, esta en función del tipo de carga eléctrica que se
conecta a los bornes del generador.
El rango de variación es: 22




• , bajo carga pura resistiva R.0

f

f

a 
a
R
d
q


m
r
E
FI
a
f
F
f


g
d
q

m
r
g
B
y
A
x
z
C
Te
N
N
S
S
..... ARdemmfFF aqa  Transversal o dirigida por el eje q. Su efecto es
Deformante. Por lo tanto surge Te<0 – cuyo efecto sobre el rotor es frenante 
 a frecuencia f disminuye  V
2

 • , bajo carga pura inductiva L.
d
N S

a

f


m
r
E
F
I
a
f
F
f
Fg
..... ARdemmfFF ada  Directa o dirigida por el eje d. Su efecto es
desmagnetizante. Por lo tanto el flujo resultante en el entrehierro
 )( afg   la tensión en bornes del generador disminuye . V
• , bajo carga pura capacitiva C.
2

 
d
NS

a

f

F
I
a

E
f
F
f


m
r
Fg
..... ARdemmfFF ada  Directa o dirigida por el eje d. Su efecto es
es magnetizante. Por lo tanto el flujo resultante en el entrehierro  )( afg 
 la tensión en bornes del generador aumenta . V
Análisis de la fuerza magnetomotriz de reacción de 
armadura (Fa)
La onda resultante fundamental originado por un devanado trifásico de la
armadura, cuando aparece el sistema trifásico de corrientes:
tIai ω cos 2  ) 32π ω ( cos 2  tIbi
) 34π ω ( cos 2  tIci
) 34π ω ( cos 2  tIci
Resulta, para cualquier armónico como:
)ωt /2 ν ( cosF
2
m
 ),(F maxsν
s
ν ss pt 
Donde :
 
ν
max
s
ν 2
 ν
1
 
 
 
π
4
 F I
p
Nef

Es la FMM sinusoidal por fase para cualquier armónico. 
Por lo tanto la FMMmax o el campo giratorios será:
0,1,2,... k ; 16k ν
)ωt /2 ν ( cosF
2
m
 
 
),(F max
s
ν 
s
ν

  ss pt
0,1,2,... k ; 16k ν
)ωt /2 ν ( cosB
2
m
 
 
),(B max
s
ν 
s
ν

  ss pt
y 
Analizando para m = 3 y 1 ν  (armónico fundamental)
I
p
Nef
a 2 
π
4
 
2
3
 F F 1   Ip
Nef
a
π
26
 F 
Sus componentes serán:
 sen 
π
26
 sen F I
p
N
F
ef
aad
 sen 
π
26
 III
p
N
F dd
ef
ad
adF : FMM dirigido por el eje “d”
 cos 
π
26
 cos F I
p
N
F
ef
aaq
 cos 
π
26
 III
p
N
F qq
ef
aq
aqF : FMM dirigido por el eje “q”
Curvas de distribución o forma del campo de R.A. en 
una máquina síncrona de polos salientes.
0

bp
 
d
Fad BadmaxBadmax1
0

q
Fad Baqmax
 
Baqmax1
g gmax
Si g fuera constante, se tendrían las distribuciones Bad y Baq.
Como g es variable, las curvas reales serán .
'Bad y 
'Baq
Los factores de forma del campo de reacción de armadura serán (por el eje 
“d” y “q”):
max
1max
B
B
 k
ad
ad
ad 
max
1max
B
B
 k
aq
aq
aq y 
Donde: 1maxBad y 1maxBaq son los armónicos fundamentales máximos. 
 si g = gmin = constante  adF y aqF originan ondas espaciales
sinusoidales de campo magnético.
ad
g
ad
g
F
k k
μ
 B
μd 
ο
max  aq
g
aq
g
F
k k
μ
 B
μq 
ο
max 
y y 
y
De las curvas se apreciaque debido a g = var, el máximo del campo
fundamental de R.A. y1maxBad 1maxBaq se ven disminuidos y debido
a esto se cumple que los factores de forma del campo de R.A. son:
1 k k  adaq
Y están en función de las dimensiones geométricas.






 τ , , α k ,k
max
 g
g
g
faqad
Para la máquina de rotor cilíndrico (g = constante) se cumple:
1 k k  aqad
El flujo medio fundamental de R.A. por ambos ejes:
ll adadadad k B 
π
2
 B 
π
2
 ττ max1max 
ll aqaqaqaq k B 
π
2
 B 
π
2
 ττ max1max 
Conociendo maxBad maxBaq,
adF
adF, aqFy se tiene:
aqq
ef
g
aq I
p
N
l
g
k 
π
212
 
k k
μ
 τ
μq 
ο

Estos flujos se concatenan con cada fase del devanado de armadura por 
ambos ejes:
adefad N   aqefaq N   y son variables en el tiempo:
Considerando que estos flujos giran sincronizados con el rotor, entonces, 
surgen FEM de autoinducción en la armadura.
Aplicando la ley de inducción electromagnética dtd - e , obtenemos:
adefad Nf  4.44 E aqefaq Nf  4.44 Ey
Y se denominan FEM de R.A. directa y transversal respectivamente.
add
ef
g
ad I
p
N
l
g
k 
π
212
 
k k
μ
 
2
μd 
ο
 τ
aqq
ef
g
aq I
p
N
l
g
k 
π
212
 
k k
μ
 
2
μq 
ο
 τ
Diagrama Fasorial Despreciando el Flujo de Dispersión de R.A. y 
la resistencia Ohmica del Devanado de Armadura ( ).0,0  aa r
2
0

 
araaqadf EEEEEV  
Para una carga R-L, resistiva inductiva 
El flujo resultante en el entrehierro:
aqadfg  
Por lo tanto la Fem. inducida por estos flujos será:
aqadfg EEEVE 
Iq
d
E
ad
E
a
E
aq
E
ad
E
a
aq
g
ad

a

ad
E
aq
f
E
f
E
g
I
aq
Id

araaqadf EEEEEV  
aqadfg  
aqadfg EEEVE 
Reactancias e Inductancias de R.A.
qaqaqdadad IXEIXE  ;
q
aq
aq
d
ad
ad
I
E
X
I
E
X  ;
ad
ef
dg
ad K
p
N
gKK
l
fX
2
024




Conociendo las ecuaciones que relacionan la Fem. con las reactancias por ambos 
ejes:
Obtenemos las reactancias:
Reemplazando el valor de Ead y Eaq (**) y su flujo medio correspondiente ad y 
aq (*), se obtiene la expresión de las reactancias por ambos ejes en funcion de 
las dimensiones fundamentales de la maquina.
aq
ef
qg
aq K
p
N
gKK
l
fX
2
024



 (***)
De las ecuaciones:

aq
aq
ad
ad
X
L
X
L 
f 2Y tomando ; obtenemos las inductancias propias de R.A. por los ejes
“d” y “q”.
adefad
ef
dg
ad NK
p
N
gKK
l
fL 

 
2
2
0
2
12
 aqefaq
ef
qg
aq NK
p
N
gKK
l
fL 

 
2
2
0
2
12

Donde:
p
K
gKK
l ad
dg
ad



 0
2
12

p
K
gKK
l aq
qg
aq



 0
2
12

Son las conductancias magnéticas o permeancias de R.A. por los ejes “d” y “q”.
Conclusiones:
Las expresiones aqad XyX (***) determinan las magnitudes en ohms de las 
Reactancias, cuyos valores son determinantes en la operación estable de la
Máquina síncrona en un determinado sistema eléctrico de potencia.
De la ecuación, se puede observar que:
• Cuanto mas intenso es la R.A. mayor será Xad y Xaq (Kad y Kaq ) y menor
será la estabilidad permanente de la máquina.
• Cuanto mayor es la saturación menor será Xad y Xaq.
• La disminución de la reactancia Xad y Xaq aumentando el entrehierro g
conduce a la elevación del costo de la máquina.
Campo de dispersión de R.A. y Fem. inducidas.
  cossen aaqaad  ;
dtde 




aqq
add
oconcatenadflujoelgeneraI
oconcatenadflujoelgeneraI
Este flujo de dispersión también se descompone por los ejes “d” y ”q”; siendo
Los flujos concatenados:
Que también son variables en el tiempo y están girando sincronizadamente
con el rotor. Por lo tanto según la ley de inducción electromagnética
también inducen FEMs.
Por lo tanto:










aqefaq
adefad
aqaq
adad
NfE
NfE
tcosEe
tcosEe
2
2
44,4
44,4
)
2
(2
)
2
(2




Del diagrama se tiene:
qaaaaq
daaaad
IXIcosXcosEE
IXIsenXsenEE






.
.
aqaq
adad
EconfaseenEstáE
EconfaseenEstáE


qaqaqaqaqq
dadadadadd
IXIXEEE
IXIXEEE




Comparado con el D.F. de FEMs 
inducidas por el campo de R.A. 
magnetizante, se establece que:
 aaqqaadd XXXXXX  ;
FEMs síncronas o de inducción propia:
Reactancias síncronas por los ejes “d” y “q”.
Eaq
E
ad E
a
a
ad

aq
I
d
Iq
I
d
q
TURBOGENERADO
R
MOTORES Y 
GENERADORES
Xad=1,1÷2,5 Xad=0,5÷1,5
Xaq=0,3÷0,9
aqadaqad
adaq
XX
KK
 

,
1
Xaσ<<Xaq< Xad
Para la máquina síncrona de rotor cilíndrico se cumple g=constante, por lo tanto:
TURBOGENERADOR
GENERADOR DE 
POLOS SALIENTES
Xd=1,2÷2,75 Xd=0,6÷0,8
Xaσ=0,08÷0,25 Xq=0,4÷1,2
Ra=0,002÷0,008 Xaσ=0,1÷0,3
Ra=0,002÷0,008
DIAGRAMA DE TENSIONES DEL GENERADOR SINCRONO CON 
CARGA SIMÉTRICA
 El equilibrio de las fuerzas electromotrices presentes en la operación del 
generador síncrono no es otra cosa que el reflejo del equilibrio magnético 
que se produce en el núcleo o circuito magnético.
 Luego, la tensión en bornes de la máquina será el resultado de la 
superposición de las siguientes tensiones.
 La fuerza electromotriz inducida por el campo producido por los polos del 
rotor: Ef.
 La caída de tensión producida en los circuitos eléctricos del estator, por la 
corriente de armadura
 para facilitar el análisis de los procesos electromagnéticos del generador 
síncrono con carga simétrica. 
 Se utilizarán los siguientes supuestos:
 Permeabilidad del hierro: muy grande 
 Despreciar los armónicos superiores 
 Cada fuerza magnetromotriz se analiza como si existiera separadamente y 
creará su propio flujo magnético, el que a su vez produce su propia fuerza 
electromotriz.
 El método a aplicar: SUPERPOSICIÓN
Diagrama fasoriales de fem del generador de polos 
salientes.
raaqadf EEEEEV   (3) 
aqadfg  
aqadfg EEEE 
adF aqF : Componentes de la f.m.m. de la reacción de armadura a lo
largo de los ejes directo y cuadratura.
ad aq : Componentes de flujo magnetizante de armadura a lo
largo de los ejes d y q.
adE aqE : fem magnetizante de armadura en ejes directo y cuadratura. 
Donde:
,
,
,
Diagrama Fasoriales de fem del Generador de Polos Salientes
raaqadf EEEEEV  
aqadfg  
aqadfg EEEE 
(3) 
adF aqF : Componentes de la f.m.m. de la reacción de armadura a lo largo
de los ejes directo y cuadratura.
,
ad aq, : Componentes de flujo magnetizante de armadura a lo largo de
los ejes d y q.
adE aqE : fem magnetizante de armadura en ejes directo y cuadratura. ,
Carga inductiva )2/0( 



rE
aE
V


g
gE
adE
aqE
fE
0
q
d
I
adF ad
gF
g
aqF
aq
fF f
Figura 8.
Carga capacitiva )2/0( 
gE
adE
aqE
fE
aE
rE
V


g


I

gF
g
aqF
aq
fF fadF ad
0
d
q
Figura 9.
En este caso los diagramas vectoriales se construyen tomando como referencia la 
tensión en bornes y utilizando la ecuación de Pothier. V
ECUACIÓN FASORIAL Y DIAGRAMA DE TENSIONES O DE POTHIER
(4) 
considerando despreciable la resistencia ohmica del devanado de armadura 
)0( ar , y descomponiendo la corriente de armadura . )( qd III 
Se obtiene la ecuación fasorial de Pothier para el generador síncrono de
polos salientes:
qqddf IjxIjxVE  (5)
Donde: aadd xxx  aaqq xxx y 
son las reactancias síncronas por los ejes d y q respectivamente.
Reemplazando la Ec. 3 por sus caídas de tensión:
IrEIjxEIjxEIjxE araaqaqaqdadad  ;;; 
-- EF de Pothier completodadqaqaaf IjxIjxIjxIrEV  
Se obtiene:
-- EF de Pothier simplificado
DF bajo carga inductiva (corriente en atrazo) )2/0( 
fE



I
dIqI
A
C
dd IXj

B
j
1q
0
d
q
q
I
Xj
V
Figura 10.
(5)qqddf IjxIjxVE 
Propiedad del diagrama
Dado el régimen de operación del generador, caracterizado por la tensión (V), 
la corriente (I) y el ángulo de factorde potencia )(
determinar la excitación del generador .
y los parámetros se pide
)( fE
Solución:
Del triángulo ABC
Ix
IxAB
AC q
qq





coscos
con la magnitud del segmento AC perpendicular a I queda determinado el
vértice C por donde pasa el eje q, por lo tanto queda determinado el ángulo 
 y las componentes de la corriente  senII d  cosII q, , así como la 
excitación )( fE y el ángulo 
Si en la escuación (5) sumamos y restamos dq Ijx
dqdqqqddf IjxIjxIjxIjxVE 
Entonces se tendrá:
Luego de simplificar se obtiene la ecuación fasorial:
dqdqf IxxjIjxVE )(  (6)
- EF de Pothier simplificado
y modificado
donde
IjxVE qQ 
y 
dqdQ IxxjE )( 
Se tiene el DF 
correspondiente bajo carga 
R-L 
figura 11)
)2/0( 
De donde se obtienen 
relaciones fundamentales 
para el estudio del 
generador síncrono.
fE



I
dIqI
A
C
dd IXj

B
j
1
q
0
d
IXj q
D
q
qIXj
V
  dqd IXXj 
dq IXj
E

 
qqd IXXj   IXXj qd 
IXj d
Figura 11.
Práctico en la aplicación de estudios de operación de la máquina síncrona de
polos salientes.
dqdqf IxxjIjxVE )( 
QQf EEE 
Para una máquina síncrona de rotor cilíndrico el entrehierro g = constante. Por lo
Que 
Por lo tanto del diagrama fasorial (fig. 11) se obtiene el diagrama fasorial para el 
generador de rotor cilíndrico. 
qd xx 
0ar aadd xxx 
IjxVE df  (7) 
Representado en la figura 11 
por el triángulo OAC.
Considerando y que 
corresponde a la ecuación fasorial: 
dadqaqaaf IjxIjxIjxIrEV  
Lo que también se puede de la EF (4) para el
Generador síncrono de polos salientes:
Lo que corresponde al DF 
bajo carga R-L 
(figura 12)
)2/0( 
Figura 11.
CARACTERÍSTICA ANGULAR DEL GENERADOR SINCRONO DE 
POLOS SALIENTES.
Utilizando el diagrama fasorial de la figura 10 obtenemos:
cosVIxE ddf  
d
f
d
x
VE
I
cos

VsenIx qq  
q
q
x
Vsen
I


Además :   por lo tanto la potencia activa en los bornes del generador:
cos3VIP    2
11
2
33 2
sen
xx
V
sen
x
VE
P
dqd
f








 (8)
la potencia reactiva en los bornes del generador:
VIsenQ 3  

















dqdqd
f
xx
V
xx
V
x
VE
Q
11
2
3
2cos
11
2
3
cos
3 22
 (9) 
y quedan representados por la figura 12.
º90
º90 crit.
crit.
º180º180 0
sP
P
 0
Q

Figura 12
potencia máxima y el límite de operación estable surgen para el ángulo de 
carga crítico crit determinado por:
02cos
11
3cos
3
2 












 dqd
f
xx
V
x
VEP
(10)crit   maxPP 
Las expresiones 8 y 9 expresadas en valores relativos (p.u.) quedan:
 2
11
2
2
sen
xx
V
sen
x
VE
P
dqd
f








 (11) 


















dqdqd
f
xx
V
xx
V
x
VE
Q
11
2
2cos
11
2
cos
22
 (12)
La potencia sincronizante que determina el área de operación estacionaria 
par un generador o motor síncrono, se deriva de la expresión 8:


2cos
11
3cos
3
2












dqd
f
s
xx
V
x
VEP
P
0sPsi estableoperacióndepunto  0sPsi inestableoperacióndepunto 
(13)
Ejemplo de aplicación
Se tiene un generador de la Central de Mantaro I (120 MVA, 13,8 kV; 114 MW)
064,1dx 71,0qx 8,0NCos (ind); bajo carga nominal 
)1;1(  IV
mediante el uso del diagrama fasorial (figura 10), se obtiene que:
8371,1fE y 718,21N
por lo tanto con (11) y (12) obtenemos:
8,0NP 6,0NQ
y con (10) 12,76crit  7853,1max P
y la capacidad de sobrecarga del generador será:
23,2max 
N
sc
P
P
K
Criterios de especificaciones
Característica de vacío: .;0);( constnnIifEV Nff 
M
=
R
Vdc
+
-
Ms
Excitación
S I
Motor primo.
f
x
VV
V
A
Vacío
V =(1,2-1,4)Vmax nominal
M
=
R
Vdc
+
-
Ms
Excitación
S I
Motor primo.
f
x
A
AAA
Cortocircuito 3
I =(1,0-1,2)Imax nominal
Característica de cortocircuito 3Φ: .;0);( constnnVifI Nf 
fE
fE
ccoI
NI
NV
IV ,
fi
ofi ccfi
vacio
c.c.
a)Determinación de la reactancia síncrona por el eje directo
Reactancia no saturada: 
I
E
x
f
d

 
Reactancia no saturada: 
I
E
X
f
d 
b) Factor de saturación: 
f
f
d
E
E
K


c) Relación de corto circuito: 
N
cco
fcc
fo
I
I
i
i
Rcc 
Como 
d
N
cco
X
V
I  
dX
Rcc
1

La reactancia de R.A. por el eje directo en función de las dimensiones y el
efecto de la R.A.
ad
ef
dg
ad k
P
N
kkg
fx
2
0
 
.
24

 

nos muestra claramente la importancia de
aadd XXX  y 
dx
Rcc
1

en la operación de la máquina síncrona.
Conclusiones 
1. Cuanto más intensa es la R.A. entonces aumentará 
adx dx  sck Rccy
2. La disminución de  scd kx y Rcc esta ligado al aumento del
entrehierro por lo tanto de su masa y su costo. Sin embargo, mejora su
funcionamiento en paralelo (especialmente en líneas de transmisión largas).
3. Las máquinas con pequeña Rcc permiten mayor variación de tensión,
cuando funcionan en paralelo; y son menos costosos.

Parámetros en p.u.
adX
aqX
aX
ar
dX
qX
ccR
PARÁMETRO
TURBO 
GENERADOR
MOTOR Y GENERADOR DE POLOS 
SALIENTES
CON DEVANADO 
AMORTIG
SIN DEVANADO 
AMORTIGUADOR
1,1 2,5 0,5 1,5 0,5  1,5
1,1 2,5 0,3  0,9 0,3  0,9
0,08 0,25 0,1  0,3 0,1  0,3
0,002 0,08 0,002  0,02 0,002  0,02
1,2 2,75 0,6  1,8 0,6  1,8
1,2 2,75 0,4  1,2 0,4  1,2
0,4 1,0 0,8  1,8 0,8  1,8
Aplicación
En la unidad de Generación Nº 3 de Moyopampa 30 MVA; 10,0 kV; 
F.P.= 0,7; 60 Hz; conexión estrella.
se ha obtenido la característica de vacío y corto circuito.
Determinar:
a)La reactancia sincronía saturada y no saturada por el eje directo y el factor
de saturación.
b)La relación de cortocircuito.
 787,4
51,1
3/52,12
dX
 8235,3
51,1
3/10
dX
252,1
0,10
52,12
dk
8592,0
355
305

fcc
fo
cc
i
i
R
8726,0
73,1
51,1

N
cco
cc
I
I
R
8728,0
1

d
cc
X
R
 3373,3
73,1
3/0,10
B
B
B
I
V
Z  ..1457,1 upZ
X
X
B
d
d 
EL GENERADOR SÌNCRONO 
CONECTADO A UN SISTEMA ELÉCTRICO DE POTENCIA INFINITA 
3) Principio de funcionamiento en paralelo con un SEPI
Proceso de sincronización
Es el proceso, durante el cual se consiguen las condiciones necesarias que
deben cumplir los alternadores para su conexión en paralelo:
-Igualdad de tensiones
TRTGSRSGRRRG VVVVVV  ; ;
Lo cual se consigue regulando la corriente de excitación del generador 
-Igualdad de frecuencias
RRGGRG wfwfff  2 ;2 ; 
RG ww  
r
mnn
r
m
r
mR
r
mG wpwpwpwwpw 2/.......2/2/ ; 2/ 2211 
-Igualdad de secuencias de fases
RG RSTRST )()( 
Lo cual es controlado por un secuencímetro o por el tipo de sincronoscopio
utilizado.
-Desfasaje de tensiones a 180° eléctricos
0 TRTGSRSGRRRG VVVVVV
Lo cual se controla midiendo las tensiones entre los bornes del generador y
la red con el interruptor abierto; o con el tipo de sincronoscopio utilizado.
MÉTODOS DE SINCRONIZACIÓN
A. Sincronización Exacta.
Sincronización manual.
Sincronización automática.
B. Sincronización Brusca.
TIPO DE SINCRONOSCOPIOS UTILIZADOS:
- SINCRONOSCOPIO DE FLECHA GIRATORIA
- SINCRONOSCOPIO DE LÁMPARAS AL APAGADO
- SINCRONOSCOPIO DE LÁMPARAS A LUCES GIRATORIAS
SINCRONOSCOPIO DE FLECHA GIRATORIA
Para sincronizar dos sistemas, indica
si el generador a ser acoplado esta o
no en sincronismo con la red.
Frecuencia:
Monofásico: 60Hz ± 1%
Trifásico: 60Hz ± 3%
Consumo:
Generador aprox. 20mA.
Red aprox. 20mA.
SINCRONOSCOPIO DE LÁMPARAS AL APAGADO
SINCRONOSCOPIO DE LÁMPARAS A LUCES GIRATORIAS
Bajo estas condiciones, las tensiones de ambos sistemas son representadas 
mediante diagramas fasoriales giratorios.
RGV
SGVTGV
º120
G
RRV
SRVTRV
º120
G
En el momento preciso para la conexión a la red, el diagrama fasorial de los 
sistemas será:
RGV
SGVTGV
TRV
RRV
SRV
Por lo tanto,la corriente ( I ) del generador será igual a cero (el generador
se encuentra en vacío).
Simplificando al generador de rotor cilíndrico, se tiene:
0 


d
f
df
jx
VE
IIjxVE
El período de variación de la tensión entre los bornes del generador y la red será:
seg
ff
T
GR
 53
1


  Hzff GR 2,03,0 
Existirá un deslizamiento entre los fasores giratorios
R
GR
w
ww
s


LABORATORIO: MÁQUINAS ELÉCTRICAS II. PAB.”S”
MS 3,5kVA Y
380V/5,3A
If=1,2 A max.
SINCRONIZADOR PARA CENTRALES
ELÉCTRICAS.
OPERACIÓN EN RÉGIMEN SOBREEXITADO Y SUBEXCITADO
El generador síncrono ha sido puesto en paralelo con un SEPI y esta 
operando en vacío:
0 ;  IVVE Rf
~
fE
SEPI
V BV
1T 2T
2TX1TX
L
LX
LX
dq XX ,
0 ,0 0  QP
RV
VfE
f
d
q

Ecuación mecánica de movimiento del rotor
dt
dw
jTT
r
m
mec  0
Análisis de operación para una máquina de
rotor cilíndrico.
Régimen de compensador (Q = Variable; P = 0; =0) 
Si VEi ff  IjxVE df y
RV
V
fE
f
d
q

I
º90
~
RV
C.S.
CI LI
Q
RV
QC
0cos3  VIP
03  VIsenQ  compensador sobreexcitado: 
)( VE f 
régimen normal en horas de máxima demanda. 
Si VEi ff  
RV
V
fE
f
d
q

I
º90
IXj d
~
RV
C.S.
CILI
Q
RV
QL
0P
0Q  compensador subexcitado 
)( VE f 
régimen normal en horas de mínima demanda. 
Régimen de generador (P = Variable) 
Si 0 

VET fmec  el rotor sufre una aceleración 
dt
dw
jTTT
r
m
eomec 
El vector I se desplaza en la región angular  9090 
RV
V
fE
f
d
q

I


0
IXj d
 090 
03  VIsenQ
0cos3  VIP
C R
Q P
~
P
QG.S.
 900 
0 ,0  PQ
L
RV
R
Q P
~
P
QG.S.
Régimen de motor
RV
V
fE
f
d
q

I

0
IXj d
Si el rotor sufre una desaceleración 0 

VET fmec 
El vector 
dt
dw
jTTT
r
m
mecoe 
I se desplaza en la región angular 
 27090 
 18090 
0sen3  VIQ
0cos3  VIP
RV
C R
Q P
 270180 
0sen3  VIQ
0cos3  VIP
RV
L R
Q P
CARACTERÍSTICAS DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO EN EL
ENTREHIERRO ENTRE EL ESTATOR Y ROTOR
0g
n
0eT
0g
n
eT
0g
n
eT
Vacio Generador Motor
Según la figura mostrada ,las líneas de campo según el régimen de operación 
estará distribuido como sigue:
eT
0eT
0eT
0eT
Distribución
Vacío Simétricamente
Generador
Con tendencia y mayor concentración 
hacia la derecha
- frenante
Motor
Con tendencia y mayor concentración 
hacia la izquierda
- acelerante
OPERACIÓN DE UNA CENTRAL
La operación de las centrales eléctricas se basa en el equilibrio dinámico que
se mantiene cuando la potencia suministrada es igual a la que demanda la
carga de tal manera que la velocidad de rotación y la frecuencia de la red se
mantengan constante, operando a la velocidad de sincronismo.
Cuando se pierde la igualdad entre la potencia activa generada y de carga,
generalmente debido a la variación de la carga, se tiene al aumentar la
carga una DISMINUCIÓN y en caso contrario un AUMENTO de la
frecuencia, para restablecer el equilibrio es necesario actuar sobre el
Regulador de Velocidad, ocasionándose en el grupo una tendencia de
"acelerar" o "frenar".
Además, debemos mantener el equilibrio de la potencia reactiva
generada y de carga, que significa mantener los voltajes constantes e
iguales a los valores nominales para cualquier condición dé carga, en la
práctica puede aceptarse un ± 5% de variación respecto a la nominal, y
en el caso de barras de generación la tensión puede reducirse
ligeramente con respecto a su valor nomínal en horas de mínima carga.
La regulación de la tensión esta relacionada con el control de la potencia
reactiva y en el caso de las Centrales Eléctricas se controla con el
Regulador de Tensión, también se puede actuar sobre los centros de
transformación o distribuidoras.
ESQUEMA GENERAL PARA LAS PRUEBAS DEL
DEL GENERADOR SÍNCRONO
CURVAS DE OPERACIÓN
Para la operación de un grupo de una central Eléctrica es necesario 
conocer tres curvas de trabajo de los generadores. 
CARACTERÍSTICAS DE VACÍO Y C.C. 3ϕ ESTACIONARIO
Diagramas obtenidos luego de efectuar las pruebas de vacío y cortocircuito 
en los bornes del generador.
CURVAS "V"
Son los límites de corriente de excitación de un generador para que no
pierda estabilidad o sincronismo y para evitar posibles sobretensiones en el
generador
CARTA DE OPERACIÓN PQ
Representa el área donde debe trabajar el generador, se observa los límites 
de potencia reactiva, activa, factor de potencia y corrientes. 
OBTENCIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DEL GENERADOR SÍONCRONO
.;0);( constffIifEV Nff 
fE
fE
ccoI
NI
NV
IV ,
fi
ofi ccfi
vacio
c.c.
Característica de vacío: 
M
=
R
Vdc
+
-
Ms
Excitación
S I
Motor primo.
f
x
VV
V
A
Vacío
V =(1,2-1,4)Vmax nominal
M
=
R
Vdc
+
-
Ms
Excitación
S I
Motor primo.
f
x
A
AAA
Cortocircuito 3
I =(1,0-1,2)Imax nominal
GENERADOR SÍNCRONO EN VACÍO: 
Característica externa: .;cos;);( constffconstconstiIfV Nf  
.;cos;);( constffconstconstVIfi Nf  Característica de regulación:
GENERADOR SÍNCRONO BAJO CARGA AUTÓNOMA: 
Característica de cortocircuito 3Φ: .;0);( constffVifI Nf 
Cortocircuito 3Φ (simétrico) en bornes del generador (ZN =0, V=0)
Regulación o variación nominal de 
la tensión ante un rechazo de carga: 
N
N
V
VV
V

 0
Característica bajo carga (R,C,L):
.;cos;);( constffconstconstIifV Nf  Bajo carga inductiva a cosφ = 0 :
Característica en “V” o en “U”: .;);( constffconstPifI Nf 
PRUEBAS ESPECIALES DE OPERACIÓN
En las centrales de generación es común efectuarse dos tipos de prueba
para ver las condiciones de trabajo de un alternador, transformador o línea
de transmisión, los cuales son:
a.- PRUEBA DE TENSIÓN GRADUAL
Similar a una prueba de vacío (sin carga), normalmente usado para probar
una línea de transmisión o equipos nuevos. Es conveniente predisponer los
relés de protección a las condiciones nominales y a un tiempo mínimo para
proteger la máquina en caso de presentarse una posible descarga o falla a
tierra o cortocircuito.
b.- PRUEBA DE CORTOCIRCUITO INTEMPESTIVO
Normalmente para probar un transformador o alternador luego de una
reparación, es conveniente bloquear los relés de mínima impedancia para
que no abran a los interruptores (lo ven como una falla al efectuarse la
prueba).
EL DIAGRAMA DE OPERACIÓN (CAPABILIDAD) O DIAGRAMA P-Q 
DE LA MAQUINA SINCRONA EN REGIMEN PERMANENTE
CONSIDERACIONES PREVIAS
El análisis está restringido a régimen permanente con condiciones definidas por
los siguientes supuestos:
a. Toda variación en la carga tiene un intervalo de tiempo corto, por lo que
cualquier perturbación es considerada despreciable.
b. En todos los casos la máquina síncrona está operando en paralelo con un
sistema eléctrico de potencia infinita; es decir, conectado a una barra infinita
con una tensión y frecuencia constantes independientes a los cambios de
carga de la máquina en operación.
c. Se puede obviar la saturación magnética, esto se justifica en que uno de los
problemas más importantes de la máquina síncrona, tal como la estabilidad,
usualmente se relaciona a la baja excitación (sin saturación).
APLICACIÓN DEL DIAGRAMA FASORIAL DE LA MÁQUINA SÍNCRONA
El trazado del diagrama P-Q para la máquina síncrona de polos salientes, tiene
como fundamento la aplicación del diagrama fasorial de tensiones de Pothier.
Diagrama fasorial de tensiones de la máquina síncrona de polos salientes
1.- El diagrama fasorial convencional de un alternador de polos salientes
alimentando a una carga con un factor de potencia en atraso es mostrado en
la figura 1(estudiado en la operación de la máquina síncrona), y que
responde a las siguientes ecuaciones:
qaqdadaaf IjxIjxIjxIrVE  
Despreciando ra0 qd III 
qqddf IjxIjxVE 
Donde:
aadd xxx  aaqq xxx y 
Son las reactanciassíncronas por los ejes d y q respectivamente.
Sumando y restando dq Ijx se obtiene otra ecuación:
dqdqf IxxjIjxVE )( 
Donde:
IjxVE qQ 
dqdQ IxxjE )( 
y f
E


I
dI
qI
A
C
dd IXj

B
j
1
q
0
d
IXj q
D
q
qI
Xj
V
  dqd IXXj 
dq IXj
E

 
dqd IXXj 
 IXXj qd 
IXj d
Figura. 1 Diagrama fasorial de tensiones girado en 90º.
2.- Para simplificar el procedimiento pasamos del plano complejo, a un plano
cartesiano x-y trazados por el punto A, figura 2.


I
A
C
ddIX

B
x
q
0
IX q
D
q
q I
X
V
  dqd IXX 
dq IX
E

  dqd IXX 
 IXX qd 
IX d
y
G
F
10








q
d
X
X
V








1
q
d
X
X
V
d
fE
Figura. 2 Diagrama de tensiones.
3. Desde el punto D se traza una paralela al vector hasta corta a la
prolongación del vector , punto F. El valor del segmento
siendo xq la reactancia sincronía transversal y el ángulo que forman los
segmentos y es igual al ángulo de par o de carga del generador
síncrono. Además, de relaciones trigonométricas, se tiene:
OEE f 
OAV  qd xxVAF 
DF AF















1
)(
)(
q
d
qq
qqd
qq
qq
qqd
x
x
VOF
Ix
VIxx
OF
V
Ix
senIxVsen
IxxGO
sen
GO
OF
OF
GO
sen



-Representa el efecto de los polos 
salientes como una contribución a la 
tensión interna (Ef).
-Representa el diámetro de la
circunferencia con centro en
O1.
En la figura 2 el triángulo OAD corresponde al diagrama fasorial de un
generador síncrono de rotor cilíndrico.
IjxVE df 
Considerando que las proyecciones del vector corriente I sobre los ejes vertical
y horizontal son proporcionales a las potencias activa y reactiva, entonces se
puede hacer figurar en él las potencias activa y reactiva que cede o absorbe la
máquina en función del torque o par aplicado y la corriente de excitación.
Para transformar el polígono de tensiones OADG de la figura 2, en un polígono
de corrientes fig.3, es necesario dividir los cuatro lados por la reactancia
sincrona Xd.


A
C
dI
B
x
q
0
D
dX
V
E
d
d
q
I
X
X






1
I
y
G
F
10








qX
V
1









dq XX
V
11
d
d
f
X
E
q
d
q
I
X
X
Figura 3. Diagrama de 
corrientes del generador 
síncrono de polos 
salientes.
Al unir el punto G con el punto A se
obtiene el triángulo ADG, donde:
IAD  - Pasa a ser la corriente de armadura, 
desfasado a un ángulo la perpendicular 
a la tensión V. 

Esta corriente puede ser considerado como la resultante de dos corrientes:
'I
X
V
GA
d
 - Representa a la corriente de cortocircuito de un alternador con excitación nula.
f
d
f
i
X
E
OEGD ' - Representa a la corriente de excitación reducida al inducido.
Por lo tanto: fiIGDAGAD ''
OBTENCIÓN DEL DIAGRAMA DE CARGA P – Q DEL GENERADOR 
SÍNCRONO DE POLOS SALIENTES 
(MÉTODO GRÁFICO)
I
D''
D'
D
F
n
n
n
n
1
2
3
4
G
g
g
g
g
1
2
3
4
ANOO'
I
H
x
L
J
G
G''
G'''
SUBEXCITADO
R-C
SOBREEXCITADO
R-L
P
Q
G'
y
m
m
m
m
1
2
3
4
Límite práctico de 
estabilidad estacionaria.
Límite de 
estabilidad 
estacionaria 
teórica.
M
1
K

N
DATOS INICIALES:
cos
dx
qx
NV
NI
NS
Factor de potencia nominal.
Reactancia síncrona por el eje directo. 
Reactancia síncrona por el eje transversal.
Tensión nominal por fase. 
Corriente nominal por fase.
Potencia aparente nominal. 
Procedimiento:
1. Se trazan los ejes de las ordenadas y abscisas, que conforman el primer y
segundo cuadrante. En la ordenada se asigna la potencia activa P y por la
abscisa la potencia reactiva Q, ambos como fracción de la potencia
aparente nominal.
SUBEXCITADO
R-C
SOBREEXCITADO
R-L
P
Q
2. El diagrama obtenido en la figura 3, se superpone con el sistema de
coordenadas de tal forma que el punto A coincida con la intersección de las
mismas (diagrama fasorial girado en 90º sentido horario).
3. Del inicio de coordenadas - Punto A – se traza el arco x-y, cuyo radio es igual
a la potencia aparente nominal, Sn=1.0 pu (este arco corresponde a la
corriente de armadura nominal In).
I
x
SUBEXCITADO
R-C
SOBREEXCITADO
R-L
P
Q
y
A
4. Del punto D se proyecta una recta perpendicular al eje de la ordenada en el 
punto H, el segmento representa a la potencia aparente nominal en pu, 
es la potencia activa nominal en pu y es la potencia reactiva
nominal en pu. En el diagrama P-Q, se tiene el triángulo de potencias
ubicado en el primer cuadrante para una carga con factor de potencia
que usualmente se da en la práctica (carga tipo R-L o corriente en atraso).
DA
AH DH
0N
I
D
A
I
H
x
SUBEXCITADO
R-C
SOBREEXCITADO
R-L
P
Q
y

N
5. Del diagrama de corrientes de la figura 4 se sabe que:
dx
AO
1

qx
AF
1

Sobre el segmento 
dq xx
AOAFOF
11

tomado como diámetro se obtiene el semicírculo FGO con centro en el punto O’.
Los puntos F y D se unen a través de una recta que intersecta el semicírculo
en el punto G, de donde:
DG
AO
DFA
Representa a la corriente de excitación bajo carga nominal. 
Es la corriente de excitación en vacío y a tensión nominal.
Ángulo interno de carga VE f ^
6. Desde el punto F, arbitrariamente, se trazan rayos por debajo de . GD
Estos rayos intersectan el semicírculo en los puntos G’, G’’, G’’’, etc.
Desde estos puntos y sobre los rayos correspondientes, se asignan
los segmentos G’D’=G’’D’’=G’’’D’’’=GD, y sobre la abscisa el
segmento IO=GD igual a la corriente de excitación.
I
D'''
D''
D'
D
F AOO'
I
H
x
G
G''
G'''
SUBEXCITADO
R-C
SOBREEXCITADO
R-L
P
Q
G'
y

N
7. Al unir los puntos I, D, D’, D’’, D’’’, etc. Se obtiene la curva DI – Línea de la
corriente de excitación nominal, que determina la región de operación
permisible para y . El segmento corresponde a la
potencia reactiva máxima permisible de un alternador hidráulico en régimen
de compensador síncrono ( ) sobreexcitado.
N coscos  0 AI
0cos 
I
D'''
D''
D'
D
F AOO'
I
H
x
G
G''
G'''
SUBEXCITADO
R-C
SOBREEXCITADO
R-L
P
Q
G'
y

N
8. Nuevamente desde el punto F se trazan arbitrariamente una serie de
rayos que intersectan el semicírculo FGO en el arco FG. Desde estos
puntos de intersección y sobre cada uno de los rayos. Se asignan
elementos de iguales longitudes (k1g1, k1g2, k1g3, etc.). Luego los
puntos g1, g2, g3 de cada rayo se unen para obtener las curvas m1n1,
m2n2, m3n3, etc.
I
D'''
D''
D'
D
F
n
n
n
n
1
2
3
4
k
g
g
g
g
1
2
3
4
ANOO'
I
H
x
G''
G'''
SUBEXCITADO
R-C
SOBREEXCITADO
R-L
P
Q
y
m
m
m
m
1
3
4
1

N
I
D'''
D''
D'
D
F
n
n
n
n
1
2
3
4
k
ANOO'
I
x
J
G''
G'''
SOBREEXCITADO
R-L
P
Q
y
m
m
m
m
1
2
3
4
1
K

N
9. Se ubican los puntos máximos de estas curvas, respecto a la abscisa o eje
de la potencia reactiva, corresponden a las potencias activas máximas
tomadas para valores arbitrarios de corrientes de excitación al unir estos
puntos máximos se obtiene la curva KJ, denominada “límite de estabilidad
estacionaria teórica”.
10.Considerando las posibles variaciones de los parámetros, respecto de los
valores teóricos o calculados, normalmente se recomienda tomar una
reserva en el límite de estabilidad estacionaria, que corresponde al 10% de
la potencia nominal. Con este objetivo en las curvas m1n1, m2n2, m3n3, se
ubican los puntos menores en 0,1 con respecto a los puntos
correspondientes a la potencia activa máxima (puntos que unen la curva de
estabilidad teórica). Uniendo estos puntos se obtiene la línea LM que
corresponde al “límite de estabilidad estacionaria práctica”.
DA
I
D'''
D''
D'
D
F
n
n
n
n
1
2
3
4
k
g
g
g
g
1
2
3
4
ANOO'
I
H
x
L
J
G''
G'''
SUBEXCITADO
R-C
SOBREEXCITADO
R-L
P
Q
y
m
m
m
m
1
3
4
Límite práctico de 
estabilidad estacionaria.
Límite de 
estabilidad 
estacionaria 
teórica.
M
1
K

N
11.Con la finalidad de eludirla remagnetización de la máquina al considerar
las variaciones posibles de los parámetros de excitación respecto a las
teóricas en régimen subexcitado del generador, se requiere plantear una
limitación adicional con respecto a la “corriente de excitación mínima
admisible”.
Esta limitación adicional, es tomada generalmente como el 20% de la
corriente de excitación en vacío o el 15% de la corriente de armadura
nominal. En consecuencia sobre los segmentos GD, G’D’, G’’D’’, etc., en
los puntos G, G’, G’’, G’’’ se designa el segmento igual a 0.2 ó
0.15 Luego uniendo los puntos fijados en cada segmento se obtiene
la curva NM, denominada “Línea de corriente de excitación mínima”.
AO
DG
Carta de Operación P-Q de un generador Síncrono de polos salientes conectado a 
una red de potencia infinita.
I
D
F ANOO'
I
H
L

SUBEXCITADO
R-C
SOBREEXCITADO
R-L
P
Q
Límite práctico de 
estabilidad estacionaria.
Límite de 
estabilidad 
estacionaria 
teórica.
M
0,8
0,6
0,9
0,98

N
Límite de la 
máquina prima
I a
 ple
na
 ca
rga
.
f
(fdp nominal)
 % margen
de excitación.
0,2 0,4 0,6 0,8-0,2-0,4-0,6-0,8
(Factor de potencia en atraso.)(Factor de potencia en adelanto.)
Límite térmico
del bobinado
de campo.
Límite térmico
del bobinado
de armadura.
CONCLUSIONES
1. Como resultado del método gráfico planteado, se obtiene la figura
IDYLMNI cuya área corresponde a la región limite de operación del
generador, conectada a una red de potencia infinita a factor de potencia
variable.
Esta región esta limitada por las siguientes condiciones:
2. Límite de corriente de excitación Máxima (Línea ID): La corriente de
excitación admisible no debe superar su valor nominal con la
finalidad de evitar el sobrecalentamiento de su devanado.
fNf ii 
3. Límite de corriente de armadura (Línea DYM): La corriente de armadura no
debe superar su valor nominal (I<IN). Con la finalidad de evitar el
sobrecalentamiento de su devanado.
N
N
N
V
S
I
3

4. Límite de estabilidad estacionaria (Línea MN), Teóricamente este limite
viene fijado por el ángulo de carga del generador conectado a una red de
potencia infinita radianes eléctricos, sin embargo, la línea de
estabilidad practica obedece a tener un cierto margen de seguridad.
2
max

 
5. Límite de corriente de excitación mínima (Línea NM): La corriente de
excitación admisible no debe estar por debajo de una corriente mínima
( ) donde y con lo cual el generador
estaría perdiendo sincronismo.
minff ii  NPP max crit  max
6. Límite de la potencia máxima que el motor primo puede suministrar. Por lo
general no admiten excesivas sobrecargas, por lo que su potencia se toma
como:
La línea que limita esta condición será la recta horizontal que pasa por el
punto D.

N
MPmec
P
PP 