Términos, predicados y cuantificadores_beamer

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Matemática II
Términos, predicados y cuantificadores universales
Prof. Eduardo A. Fernández.
FP-UNA
Correo: efernandez@pol.una.py
Prof. Eduardo A. Fernández. FP-UNA Correo: efernandez@pol.una.py Matemática II 1 / 21
Contenido
1 Términos, predicados y cuantificadores universales
Términos y predicados
Fórmulas atómicas y variables
Cuantificadores universales
Dos formas típicas
Para leer.
Prof. Eduardo A. Fernández. FP-UNA Correo: efernandez@pol.una.py Matemática II 2 / 21
Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
En lógica de predicados un término es una expresión con la que se nombra o se designa
un único objeto.
Ejemplo 1
1 María está ausente.
2 Juan va despacio.
3 Este libro es azul.
4 Dos es menor que tres.
Un término no necesariamente es un nombre, puede ser una frase, por ejemplo «el
presidente de Paraguay».
Algunos términos son nombres y algunos son descripciones que se refieren a un individuo
u objeto.
Ejemplo 2
1 Brasil es el mayor productor de café del mundo.
2 Este libro es demasiado pesado.
3 1 + 1 = 2.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
En lógica de predicados un término es una expresión con la que se nombra o se designa
un único objeto.
Ejemplo 1
1 María está ausente.
2 Juan va despacio.
3 Este libro es azul.
4 Dos es menor que tres.
Un término no necesariamente es un nombre, puede ser una frase, por ejemplo «el
presidente de Paraguay».
Algunos términos son nombres y algunos son descripciones que se refieren a un individuo
u objeto.
Ejemplo 2
1 Brasil es el mayor productor de café del mundo.
2 Este libro es demasiado pesado.
3 1 + 1 = 2.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
En lógica de predicados un término es una expresión con la que se nombra o se designa
un único objeto.
Ejemplo 1
1 María está ausente.
2 Juan va despacio.
3 Este libro es azul.
4 Dos es menor que tres.
Un término no necesariamente es un nombre, puede ser una frase, por ejemplo «el
presidente de Paraguay».
Algunos términos son nombres y algunos son descripciones que se refieren a un individuo
u objeto.
Ejemplo 2
1 Brasil es el mayor productor de café del mundo.
2 Este libro es demasiado pesado.
3 1 + 1 = 2.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
En lógica de predicados un término es una expresión con la que se nombra o se designa
un único objeto.
Ejemplo 1
1 María está ausente.
2 Juan va despacio.
3 Este libro es azul.
4 Dos es menor que tres.
Un término no necesariamente es un nombre, puede ser una frase, por ejemplo «el
presidente de Paraguay».
Algunos términos son nombres y algunos son descripciones que se refieren a un individuo
u objeto.
Ejemplo 2
1 Brasil es el mayor productor de café del mundo.
2 Este libro es demasiado pesado.
3 1 + 1 = 2.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
En lógica de predicados un término es una expresión con la que se nombra o se designa
un único objeto.
Ejemplo 1
1 María está ausente.
2 Juan va despacio.
3 Este libro es azul.
4 Dos es menor que tres.
Un término no necesariamente es un nombre, puede ser una frase, por ejemplo «el
presidente de Paraguay».
Algunos términos son nombres y algunos son descripciones que se refieren a un individuo
u objeto.
Ejemplo 2
1 Brasil es el mayor productor de café del mundo.
2 Este libro es demasiado pesado.
3 1 + 1 = 2.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
En lógica de predicados un término es una expresión con la que se nombra o se designa
un único objeto.
Ejemplo 1
1 María está ausente.
2 Juan va despacio.
3 Este libro es azul.
4 Dos es menor que tres.
Un término no necesariamente es un nombre, puede ser una frase, por ejemplo «el
presidente de Paraguay».
Algunos términos son nombres y algunos son descripciones que se refieren a un individuo
u objeto.
Ejemplo 2
1 Brasil es el mayor productor de café del mundo.
2 Este libro es demasiado pesado.
3 1 + 1 = 2.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
En lógica de predicados un término es una expresión con la que se nombra o se designa
un único objeto.
Ejemplo 1
1 María está ausente.
2 Juan va despacio.
3 Este libro es azul.
4 Dos es menor que tres.
Un término no necesariamente es un nombre, puede ser una frase, por ejemplo «el
presidente de Paraguay».
Algunos términos son nombres y algunos son descripciones que se refieren a un individuo
u objeto.
Ejemplo 2
1 Brasil es el mayor productor de café del mundo.
2 Este libro es demasiado pesado.
3 1 + 1 = 2.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
En lógica de predicados un término es una expresión con la que se nombra o se designa
un único objeto.
Ejemplo 1
1 María está ausente.
2 Juan va despacio.
3 Este libro es azul.
4 Dos es menor que tres.
Un término no necesariamente es un nombre, puede ser una frase, por ejemplo «el
presidente de Paraguay».
Algunos términos son nombres y algunos son descripciones que se refieren a un individuo
u objeto.
Ejemplo 2
1 Brasil es el mayor productor de café del mundo.
2 Este libro es demasiado pesado.
3 1 + 1 = 2.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
En las proposiciones anteriores, los nombres son: Brasil, 1, y 2.
Las descripciones son las frases: «el mayor productor de café del mundo», «este libro»,
y «1 + 1».
En la proposición «Sócrates es un sabio» sabemos que «Sócrates» es un término.
La frase «es un sabio» es un predicado.
En las proposiciones atómicas generalmente el sujeto de la proposición es un término y
el predicado es el resto de la proposición que dice algo sobre ese sujeto.
Ejemplo 3
1 Juan es nadador.
2 Susana está triste.
3 José corre deprisa.
En la lógica de predicados también es posible simbolizar las proposiciones.
Veamos un ejemplo. Sea F el predicado «canta» y m = María.
Entonces se puede simbolizar la proposición «María canta» como Fm.
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En las proposiciones anteriores, los nombres son: Brasil, 1, y 2.
Las descripciones son las frases: «el mayor productor de café del mundo», «este libro»,
y «1 + 1».
En la proposición «Sócrates es un sabio» sabemos que «Sócrates» es un término.
La frase «es un sabio» es un predicado.
En las proposiciones atómicas generalmente el sujeto de la proposición es un término y
el predicado es el resto de la proposición que dice algo sobre ese sujeto.
Ejemplo 3
1 Juan es nadador.
2 Susana está triste.
3 José corre deprisa.
En la lógica de predicados también es posible simbolizar las proposiciones.
Veamos un ejemplo. Sea F el predicado «canta» y m = María.
Entonces se puede simbolizar la proposición «María canta» como Fm.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
En las proposiciones anteriores, los nombres son: Brasil, 1, y 2.
Las descripciones son las frases: «el mayor productor de café del mundo», «este libro»,
y «1 + 1».
En la proposición «Sócrates es un sabio» sabemos que «Sócrates» es un término.La frase «es un sabio» es un predicado.
En las proposiciones atómicas generalmente el sujeto de la proposición es un término y
el predicado es el resto de la proposición que dice algo sobre ese sujeto.
Ejemplo 3
1 Juan es nadador.
2 Susana está triste.
3 José corre deprisa.
En la lógica de predicados también es posible simbolizar las proposiciones.
Veamos un ejemplo. Sea F el predicado «canta» y m = María.
Entonces se puede simbolizar la proposición «María canta» como Fm.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
En las proposiciones anteriores, los nombres son: Brasil, 1, y 2.
Las descripciones son las frases: «el mayor productor de café del mundo», «este libro»,
y «1 + 1».
En la proposición «Sócrates es un sabio» sabemos que «Sócrates» es un término.
La frase «es un sabio» es un predicado.
En las proposiciones atómicas generalmente el sujeto de la proposición es un término y
el predicado es el resto de la proposición que dice algo sobre ese sujeto.
Ejemplo 3
1 Juan es nadador.
2 Susana está triste.
3 José corre deprisa.
En la lógica de predicados también es posible simbolizar las proposiciones.
Veamos un ejemplo. Sea F el predicado «canta» y m = María.
Entonces se puede simbolizar la proposición «María canta» como Fm.
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En las proposiciones anteriores, los nombres son: Brasil, 1, y 2.
Las descripciones son las frases: «el mayor productor de café del mundo», «este libro»,
y «1 + 1».
En la proposición «Sócrates es un sabio» sabemos que «Sócrates» es un término.
La frase «es un sabio» es un predicado.
En las proposiciones atómicas generalmente el sujeto de la proposición es un término y
el predicado es el resto de la proposición que dice algo sobre ese sujeto.
Ejemplo 3
1 Juan es nadador.
2 Susana está triste.
3 José corre deprisa.
En la lógica de predicados también es posible simbolizar las proposiciones.
Veamos un ejemplo. Sea F el predicado «canta» y m = María.
Entonces se puede simbolizar la proposición «María canta» como Fm.
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En las proposiciones anteriores, los nombres son: Brasil, 1, y 2.
Las descripciones son las frases: «el mayor productor de café del mundo», «este libro»,
y «1 + 1».
En la proposición «Sócrates es un sabio» sabemos que «Sócrates» es un término.
La frase «es un sabio» es un predicado.
En las proposiciones atómicas generalmente el sujeto de la proposición es un término y
el predicado es el resto de la proposición que dice algo sobre ese sujeto.
Ejemplo 3
1 Juan es nadador.
2 Susana está triste.
3 José corre deprisa.
En la lógica de predicados también es posible simbolizar las proposiciones.
Veamos un ejemplo. Sea F el predicado «canta» y m = María.
Entonces se puede simbolizar la proposición «María canta» como Fm.
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En las proposiciones anteriores, los nombres son: Brasil, 1, y 2.
Las descripciones son las frases: «el mayor productor de café del mundo», «este libro»,
y «1 + 1».
En la proposición «Sócrates es un sabio» sabemos que «Sócrates» es un término.
La frase «es un sabio» es un predicado.
En las proposiciones atómicas generalmente el sujeto de la proposición es un término y
el predicado es el resto de la proposición que dice algo sobre ese sujeto.
Ejemplo 3
1 Juan es nadador.
2 Susana está triste.
3 José corre deprisa.
En la lógica de predicados también es posible simbolizar las proposiciones.
Veamos un ejemplo. Sea F el predicado «canta» y m = María.
Entonces se puede simbolizar la proposición «María canta» como Fm.
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En las proposiciones anteriores, los nombres son: Brasil, 1, y 2.
Las descripciones son las frases: «el mayor productor de café del mundo», «este libro»,
y «1 + 1».
En la proposición «Sócrates es un sabio» sabemos que «Sócrates» es un término.
La frase «es un sabio» es un predicado.
En las proposiciones atómicas generalmente el sujeto de la proposición es un término y
el predicado es el resto de la proposición que dice algo sobre ese sujeto.
Ejemplo 3
1 Juan es nadador.
2 Susana está triste.
3 José corre deprisa.
En la lógica de predicados también es posible simbolizar las proposiciones.
Veamos un ejemplo. Sea F el predicado «canta» y m = María.
Entonces se puede simbolizar la proposición «María canta» como Fm.
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En las proposiciones anteriores, los nombres son: Brasil, 1, y 2.
Las descripciones son las frases: «el mayor productor de café del mundo», «este libro»,
y «1 + 1».
En la proposición «Sócrates es un sabio» sabemos que «Sócrates» es un término.
La frase «es un sabio» es un predicado.
En las proposiciones atómicas generalmente el sujeto de la proposición es un término y
el predicado es el resto de la proposición que dice algo sobre ese sujeto.
Ejemplo 3
1 Juan es nadador.
2 Susana está triste.
3 José corre deprisa.
En la lógica de predicados también es posible simbolizar las proposiciones.
Veamos un ejemplo. Sea F el predicado «canta» y m = María.
Entonces se puede simbolizar la proposición «María canta» como Fm.
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En las proposiciones anteriores, los nombres son: Brasil, 1, y 2.
Las descripciones son las frases: «el mayor productor de café del mundo», «este libro»,
y «1 + 1».
En la proposición «Sócrates es un sabio» sabemos que «Sócrates» es un término.
La frase «es un sabio» es un predicado.
En las proposiciones atómicas generalmente el sujeto de la proposición es un término y
el predicado es el resto de la proposición que dice algo sobre ese sujeto.
Ejemplo 3
1 Juan es nadador.
2 Susana está triste.
3 José corre deprisa.
En la lógica de predicados también es posible simbolizar las proposiciones.
Veamos un ejemplo.
Sea F el predicado «canta» y m = María.
Entonces se puede simbolizar la proposición «María canta» como Fm.
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En las proposiciones anteriores, los nombres son: Brasil, 1, y 2.
Las descripciones son las frases: «el mayor productor de café del mundo», «este libro»,
y «1 + 1».
En la proposición «Sócrates es un sabio» sabemos que «Sócrates» es un término.
La frase «es un sabio» es un predicado.
En las proposiciones atómicas generalmente el sujeto de la proposición es un término y
el predicado es el resto de la proposición que dice algo sobre ese sujeto.
Ejemplo 3
1 Juan es nadador.
2 Susana está triste.
3 José corre deprisa.
En la lógica de predicados también es posible simbolizar las proposiciones.
Veamos un ejemplo. Sea F el predicado «canta» y m = María.
Entonces se puede simbolizar la proposición «María canta» como Fm.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
En las proposiciones anteriores, los nombres son: Brasil, 1, y 2.
Las descripciones son las frases: «el mayor productor de café del mundo», «este libro»,
y «1 + 1».
En la proposición «Sócrates es un sabio» sabemos que «Sócrates» es un término.
La frase «es un sabio» es un predicado.En las proposiciones atómicas generalmente el sujeto de la proposición es un término y
el predicado es el resto de la proposición que dice algo sobre ese sujeto.
Ejemplo 3
1 Juan es nadador.
2 Susana está triste.
3 José corre deprisa.
En la lógica de predicados también es posible simbolizar las proposiciones.
Veamos un ejemplo. Sea F el predicado «canta» y m = María.
Entonces se puede simbolizar la proposición «María canta» como Fm.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
Otro ejemplo. En la proposición «José corre deprisa», sea R el predicado «corre
deprisa» y b = José.
Entonces la proposición se puede simbolizar como Rb.
Algunas veces debemos tener cuidado en distinguir los términos de los predicados.
Considere por ejemplo, la proposición «Sócrates es un hombre».
Es obvio que «Sócrates» es un término, se puede pensar que «hombre» también lo es.
Pero al ser un nombre común no identifica una persona o cosa particular, por lo tanto
no es un término.
El siguiente ejemplo, presenta proposiciones que usan nombres comunes dentro de sus
predicados:
Ejemplo 4
1 Chicago es una ciudad.
2 Einstein fue un científico brillante.
3 Marte es un planeta.
Prof. Eduardo A. Fernández. FP-UNA Correo: efernandez@pol.una.py Matemática II 5 / 21
Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
Otro ejemplo. En la proposición «José corre deprisa», sea R el predicado «corre
deprisa» y b = José.
Entonces la proposición se puede simbolizar como Rb.
Algunas veces debemos tener cuidado en distinguir los términos de los predicados.
Considere por ejemplo, la proposición «Sócrates es un hombre».
Es obvio que «Sócrates» es un término, se puede pensar que «hombre» también lo es.
Pero al ser un nombre común no identifica una persona o cosa particular, por lo tanto
no es un término.
El siguiente ejemplo, presenta proposiciones que usan nombres comunes dentro de sus
predicados:
Ejemplo 4
1 Chicago es una ciudad.
2 Einstein fue un científico brillante.
3 Marte es un planeta.
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Otro ejemplo. En la proposición «José corre deprisa», sea R el predicado «corre
deprisa» y b = José.
Entonces la proposición se puede simbolizar como Rb.
Algunas veces debemos tener cuidado en distinguir los términos de los predicados.
Considere por ejemplo, la proposición «Sócrates es un hombre».
Es obvio que «Sócrates» es un término, se puede pensar que «hombre» también lo es.
Pero al ser un nombre común no identifica una persona o cosa particular, por lo tanto
no es un término.
El siguiente ejemplo, presenta proposiciones que usan nombres comunes dentro de sus
predicados:
Ejemplo 4
1 Chicago es una ciudad.
2 Einstein fue un científico brillante.
3 Marte es un planeta.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
Otro ejemplo. En la proposición «José corre deprisa», sea R el predicado «corre
deprisa» y b = José.
Entonces la proposición se puede simbolizar como Rb.
Algunas veces debemos tener cuidado en distinguir los términos de los predicados.
Considere por ejemplo, la proposición «Sócrates es un hombre».
Es obvio que «Sócrates» es un término, se puede pensar que «hombre» también lo es.
Pero al ser un nombre común no identifica una persona o cosa particular, por lo tanto
no es un término.
El siguiente ejemplo, presenta proposiciones que usan nombres comunes dentro de sus
predicados:
Ejemplo 4
1 Chicago es una ciudad.
2 Einstein fue un científico brillante.
3 Marte es un planeta.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
Otro ejemplo. En la proposición «José corre deprisa», sea R el predicado «corre
deprisa» y b = José.
Entonces la proposición se puede simbolizar como Rb.
Algunas veces debemos tener cuidado en distinguir los términos de los predicados.
Considere por ejemplo, la proposición «Sócrates es un hombre».
Es obvio que «Sócrates» es un término, se puede pensar que «hombre» también lo es.
Pero al ser un nombre común no identifica una persona o cosa particular, por lo tanto
no es un término.
El siguiente ejemplo, presenta proposiciones que usan nombres comunes dentro de sus
predicados:
Ejemplo 4
1 Chicago es una ciudad.
2 Einstein fue un científico brillante.
3 Marte es un planeta.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
Otro ejemplo. En la proposición «José corre deprisa», sea R el predicado «corre
deprisa» y b = José.
Entonces la proposición se puede simbolizar como Rb.
Algunas veces debemos tener cuidado en distinguir los términos de los predicados.
Considere por ejemplo, la proposición «Sócrates es un hombre».
Es obvio que «Sócrates» es un término, se puede pensar que «hombre» también lo es.
Pero al ser un nombre común no identifica una persona o cosa particular, por lo tanto
no es un término.
El siguiente ejemplo, presenta proposiciones que usan nombres comunes dentro de sus
predicados:
Ejemplo 4
1 Chicago es una ciudad.
2 Einstein fue un científico brillante.
3 Marte es un planeta.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
Otro ejemplo. En la proposición «José corre deprisa», sea R el predicado «corre
deprisa» y b = José.
Entonces la proposición se puede simbolizar como Rb.
Algunas veces debemos tener cuidado en distinguir los términos de los predicados.
Considere por ejemplo, la proposición «Sócrates es un hombre».
Es obvio que «Sócrates» es un término, se puede pensar que «hombre» también lo es.
Pero al ser un nombre común no identifica una persona o cosa particular, por lo tanto
no es un término.
El siguiente ejemplo, presenta proposiciones que usan nombres comunes dentro de sus
predicados:
Ejemplo 4
1 Chicago es una ciudad.
2 Einstein fue un científico brillante.
3 Marte es un planeta.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
Otro ejemplo. En la proposición «José corre deprisa», sea R el predicado «corre
deprisa» y b = José.
Entonces la proposición se puede simbolizar como Rb.
Algunas veces debemos tener cuidado en distinguir los términos de los predicados.
Considere por ejemplo, la proposición «Sócrates es un hombre».
Es obvio que «Sócrates» es un término, se puede pensar que «hombre» también lo es.
Pero al ser un nombre común no identifica una persona o cosa particular, por lo tanto
no es un término.
El siguiente ejemplo, presenta proposiciones que usan nombres comunes dentro de sus
predicados:
Ejemplo 4
1 Chicago es una ciudad.
2 Einstein fue un científico brillante.
3 Marte es un planeta.
Prof. Eduardo A. Fernández. FP-UNA Correo: efernandez@pol.una.py Matemática II 5 / 21
Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
Otro ejemplo. En la proposición «José corre deprisa», sea R el predicado «corre
deprisa» y b = José.
Entonces la proposición se puede simbolizar como Rb.
Algunas veces debemos tener cuidado en distinguir los términos de los predicados.
Considere por ejemplo, la proposición «Sócrates es un hombre».
Es obvio que «Sócrates» es un término, se puede pensar que «hombre» también lo es.
Pero al ser un nombre común no identifica una persona o cosa particular, por lo tanto
no es un término.
El siguiente ejemplo, presenta proposiciones que usan nombres comunes dentro de sus
predicados:
Ejemplo 4
1 Chicago es una ciudad.
2 Einstein fue un científico brillante.3 Marte es un planeta.
Prof. Eduardo A. Fernández. FP-UNA Correo: efernandez@pol.una.py Matemática II 5 / 21
Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
Otro ejemplo. En la proposición «José corre deprisa», sea R el predicado «corre
deprisa» y b = José.
Entonces la proposición se puede simbolizar como Rb.
Algunas veces debemos tener cuidado en distinguir los términos de los predicados.
Considere por ejemplo, la proposición «Sócrates es un hombre».
Es obvio que «Sócrates» es un término, se puede pensar que «hombre» también lo es.
Pero al ser un nombre común no identifica una persona o cosa particular, por lo tanto
no es un término.
El siguiente ejemplo, presenta proposiciones que usan nombres comunes dentro de sus
predicados:
Ejemplo 4
1 Chicago es una ciudad.
2 Einstein fue un científico brillante.
3 Marte es un planeta.
Prof. Eduardo A. Fernández. FP-UNA Correo: efernandez@pol.una.py Matemática II 5 / 21
Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
Los nombres comunes también pueden usarse para construir términos.
Ejemplo 5
el edificio en la esquina de la Avenida Mariscal López y República Argentina.
en aquel taller.
el hombre que robó el banco.
Prof. Eduardo A. Fernández. FP-UNA Correo: efernandez@pol.una.py Matemática II 6 / 21
Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
Los nombres comunes también pueden usarse para construir términos.
Ejemplo 5
el edificio en la esquina de la Avenida Mariscal López y República Argentina.
en aquel taller.
el hombre que robó el banco.
Prof. Eduardo A. Fernández. FP-UNA Correo: efernandez@pol.una.py Matemática II 6 / 21
Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
Los nombres comunes también pueden usarse para construir términos.
Ejemplo 5
el edificio en la esquina de la Avenida Mariscal López y República Argentina.
en aquel taller.
el hombre que robó el banco.
Prof. Eduardo A. Fernández. FP-UNA Correo: efernandez@pol.una.py Matemática II 6 / 21
Términos, predicados y cuantificadores universales Términos y predicados
Los nombres comunes también pueden usarse para construir términos.
Ejemplo 5
el edificio en la esquina de la Avenida Mariscal López y República Argentina.
en aquel taller.
el hombre que robó el banco.
Prof. Eduardo A. Fernández. FP-UNA Correo: efernandez@pol.una.py Matemática II 6 / 21
Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
En lógica de predicados la expresión más corta que tiene sentido por sí sola es una letra
predicativa a la que está unida un término.
Por ejemplo, Lj que representa la proposición atómica «Jaime estudia lógica».
El término «Jaime» y el predicado «estudia lógica» por sí solos no dicen nada.
Tampoco j y L.
Consideremos la expresión «x es un número par» que se puede simbolizar como Px.
Ni una ni otra dicen nada sobre algo particular y no pueden evaluarse porque x no es
ningún objeto particular.
Sin embargo, pueden ser consideradas independientemente o formando parte de
expresiones más largas.
Y se les conoce como fórmulas atómicas.
Prof. Eduardo A. Fernández. FP-UNA Correo: efernandez@pol.una.py Matemática II 7 / 21
Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
En lógica de predicados la expresión más corta que tiene sentido por sí sola es una letra
predicativa a la que está unida un término.
Por ejemplo, Lj que representa la proposición atómica «Jaime estudia lógica».
El término «Jaime» y el predicado «estudia lógica» por sí solos no dicen nada.
Tampoco j y L.
Consideremos la expresión «x es un número par» que se puede simbolizar como Px.
Ni una ni otra dicen nada sobre algo particular y no pueden evaluarse porque x no es
ningún objeto particular.
Sin embargo, pueden ser consideradas independientemente o formando parte de
expresiones más largas.
Y se les conoce como fórmulas atómicas.
Prof. Eduardo A. Fernández. FP-UNA Correo: efernandez@pol.una.py Matemática II 7 / 21
Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
En lógica de predicados la expresión más corta que tiene sentido por sí sola es una letra
predicativa a la que está unida un término.
Por ejemplo, Lj que representa la proposición atómica «Jaime estudia lógica».
El término «Jaime» y el predicado «estudia lógica» por sí solos no dicen nada.
Tampoco j y L.
Consideremos la expresión «x es un número par» que se puede simbolizar como Px.
Ni una ni otra dicen nada sobre algo particular y no pueden evaluarse porque x no es
ningún objeto particular.
Sin embargo, pueden ser consideradas independientemente o formando parte de
expresiones más largas.
Y se les conoce como fórmulas atómicas.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
En lógica de predicados la expresión más corta que tiene sentido por sí sola es una letra
predicativa a la que está unida un término.
Por ejemplo, Lj que representa la proposición atómica «Jaime estudia lógica».
El término «Jaime» y el predicado «estudia lógica» por sí solos no dicen nada.
Tampoco j y L.
Consideremos la expresión «x es un número par» que se puede simbolizar como Px.
Ni una ni otra dicen nada sobre algo particular y no pueden evaluarse porque x no es
ningún objeto particular.
Sin embargo, pueden ser consideradas independientemente o formando parte de
expresiones más largas.
Y se les conoce como fórmulas atómicas.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
En lógica de predicados la expresión más corta que tiene sentido por sí sola es una letra
predicativa a la que está unida un término.
Por ejemplo, Lj que representa la proposición atómica «Jaime estudia lógica».
El término «Jaime» y el predicado «estudia lógica» por sí solos no dicen nada.
Tampoco j y L.
Consideremos la expresión «x es un número par» que se puede simbolizar como Px.
Ni una ni otra dicen nada sobre algo particular y no pueden evaluarse porque x no es
ningún objeto particular.
Sin embargo, pueden ser consideradas independientemente o formando parte de
expresiones más largas.
Y se les conoce como fórmulas atómicas.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
En lógica de predicados la expresión más corta que tiene sentido por sí sola es una letra
predicativa a la que está unida un término.
Por ejemplo, Lj que representa la proposición atómica «Jaime estudia lógica».
El término «Jaime» y el predicado «estudia lógica» por sí solos no dicen nada.
Tampoco j y L.
Consideremos la expresión «x es un número par» que se puede simbolizar como Px.
Ni una ni otra dicen nada sobre algo particular y no pueden evaluarse porque x no es
ningún objeto particular.
Sin embargo, pueden ser consideradas independientemente o formando parte de
expresiones más largas.
Y se les conoce como fórmulas atómicas.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
En lógica de predicados la expresión más corta que tiene sentido por sí sola es una letra
predicativa a la que está unida un término.
Por ejemplo, Lj que representa la proposición atómica «Jaime estudia lógica».
El término «Jaime» y el predicado «estudia lógica» por sí solos no dicen nada.
Tampoco j y L.
Consideremos la expresión «x es un número par» que se puede simbolizar como Px.
Ni una ni otra dicen nada sobre algo particular y no pueden evaluarse porque x no es
ningún objeto particular.
Sin embargo, pueden ser consideradas independientemente o formando parte de
expresiones más largas.
Y se les conoce como fórmulas atómicas.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
En lógica de predicados la expresión más corta que tiene sentido por sí sola es una letra
predicativa a la que está unida un término.
Por ejemplo, Lj que representa la proposición atómica «Jaime estudia lógica».
El término «Jaime» y el predicado «estudia lógica» por sí solos no dicen nada.
Tampoco j y L.
Consideremos la expresión «x es un número par» que se puede simbolizar como Px.
Ni una ni otra dicen nada sobre algo particular y no pueden evaluarse porque x no es
ningún objeto particular.
Sin embargo, pueden ser consideradas independientemente o formando parte de
expresiones más largas.
Y se les conoce como fórmulas atómicas.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
En lógica de predicados la expresión más corta que tiene sentido por sí sola es una letra
predicativa a la que está unida un término.
Por ejemplo, Lj que representa la proposición atómica «Jaime estudia lógica».
El término «Jaime» y el predicado «estudia lógica» por sí solos no dicen nada.
Tampoco j y L.
Consideremos la expresión «x es un número par» que se puede simbolizar como Px.
Ni una ni otra dicen nada sobre algo particular y no pueden evaluarse porque x no es
ningún objeto particular.
Sin embargo, pueden ser consideradas independientemente o formando parte de
expresiones más largas.
Y se les conoce como fórmulas atómicas.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
Si en la expresión «x es un número par» se sustituye x por 4 se tendrá la proposición
atómica cierta «4 es un número par» que se simboliza como P4.
Si se sustituye x por 5 se obtiene una proposición falsa.
Cuando las letras (como x ) se usan como términos, sin que representen objetos
particulares, se denominan variables.
Las variables se consideran también términos a pesar de no nombrar ni referirse a ningún
objeto único.
Por lo tanto una definición más completa de término es la siguiente:
Definición de término
Un término es una expresión con la que o se designa un único objeto, o es una variable que
puede ser sustituida por una expresión que nombre un objeto único.
Prof. Eduardo A. Fernández. FP-UNA Correo: efernandez@pol.una.py Matemática II 8 / 21
Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
Si en la expresión «x es un número par» se sustituye x por 4 se tendrá la proposición
atómica cierta «4 es un número par» que se simboliza como P4.
Si se sustituye x por 5 se obtiene una proposición falsa.
Cuando las letras (como x ) se usan como términos, sin que representen objetos
particulares, se denominan variables.
Las variables se consideran también términos a pesar de no nombrar ni referirse a ningún
objeto único.
Por lo tanto una definición más completa de término es la siguiente:
Definición de término
Un término es una expresión con la que o se designa un único objeto, o es una variable que
puede ser sustituida por una expresión que nombre un objeto único.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
Si en la expresión «x es un número par» se sustituye x por 4 se tendrá la proposición
atómica cierta «4 es un número par» que se simboliza como P4.
Si se sustituye x por 5 se obtiene una proposición falsa.
Cuando las letras (como x ) se usan como términos, sin que representen objetos
particulares, se denominan variables.
Las variables se consideran también términos a pesar de no nombrar ni referirse a ningún
objeto único.
Por lo tanto una definición más completa de término es la siguiente:
Definición de término
Un término es una expresión con la que o se designa un único objeto, o es una variable que
puede ser sustituida por una expresión que nombre un objeto único.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
Si en la expresión «x es un número par» se sustituye x por 4 se tendrá la proposición
atómica cierta «4 es un número par» que se simboliza como P4.
Si se sustituye x por 5 se obtiene una proposición falsa.
Cuando las letras (como x ) se usan como términos, sin que representen objetos
particulares, se denominan variables.
Las variables se consideran también términos a pesar de no nombrar ni referirse a ningún
objeto único.
Por lo tanto una definición más completa de término es la siguiente:
Definición de término
Un término es una expresión con la que o se designa un único objeto, o es una variable que
puede ser sustituida por una expresión que nombre un objeto único.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
Si en la expresión «x es un número par» se sustituye x por 4 se tendrá la proposición
atómica cierta «4 es un número par» que se simboliza como P4.
Si se sustituye x por 5 se obtiene una proposición falsa.
Cuando las letras (como x ) se usan como términos, sin que representen objetos
particulares, se denominan variables.
Las variables se consideran también términos a pesar de no nombrar ni referirse a ningún
objeto único.
Por lo tanto una definición más completa de término es la siguiente:
Definición de término
Un término es una expresión con la que o se designa un único objeto, o es una variable que
puede ser sustituida por una expresión que nombre un objeto único.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
Si en la expresión «x es un número par» se sustituye x por 4 se tendrá la proposición
atómica cierta «4 es un número par» que se simboliza como P4.
Si se sustituye x por 5 se obtiene una proposición falsa.
Cuando las letras (como x ) se usan como términos, sin que representen objetos
particulares, se denominan variables.
Las variables se consideran también términos a pesar de no nombrar ni referirse a ningún
objeto único.
Por lo tanto una definición más completa de término es la siguiente:
Definición de término
Un término es una expresión con la que o se designa un único objeto, o es una variable que
puede ser sustituida por una expresión que nombre un objeto único.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
Si en la expresión «x es un número par» se sustituye x por 4 se tendrá la proposición
atómica cierta «4 es un número par» que se simboliza como P4.
Si se sustituye x por 5 se obtiene una proposición falsa.
Cuando las letras (como x ) se usan como términos, sin que representen objetos
particulares, se denominan variables.
Las variables se consideran también términos a pesar de no nombrar ni referirse a ningún
objeto único.
Por lo tanto una definición más completa de término es la siguiente:
Definición de término
Un término es una expresión con la que o se designa un único objeto, o es una variable que
puede ser sustituida por una expresión que nombre un objeto único.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
El conocimiento de las variables y fórmulas atómicas permite dar una forma clara de
traducción del lenguaje corriente al simbolismo de la lógica de predicados.
Ejemplo 6
Consideremos la proposición «Mario Abdo Benítez nombró ministro del interior a Euclides
Acevedo».
Axy ↔ x nombró a y.
j =Mario Abdo Benítez.
r =Euclides Acevedo.
En símbolos Ajr.Llamamos proposiciones atómicas a las fórmulas atómicas cuyos términos no utilizan
variables.
Las proposiciones atómicas con términos de enlace forman proposiciones moleculares.
En lógica de predicados las expresiones que contienen términos de enlace se denominan
fórmulas moleculares, tanto si contienen variables como si no.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
El conocimiento de las variables y fórmulas atómicas permite dar una forma clara de
traducción del lenguaje corriente al simbolismo de la lógica de predicados.
Ejemplo 6
Consideremos la proposición «Mario Abdo Benítez nombró ministro del interior a Euclides
Acevedo».
Axy ↔ x nombró a y.
j =Mario Abdo Benítez.
r =Euclides Acevedo.
En símbolos Ajr.
Llamamos proposiciones atómicas a las fórmulas atómicas cuyos términos no utilizan
variables.
Las proposiciones atómicas con términos de enlace forman proposiciones moleculares.
En lógica de predicados las expresiones que contienen términos de enlace se denominan
fórmulas moleculares, tanto si contienen variables como si no.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
El conocimiento de las variables y fórmulas atómicas permite dar una forma clara de
traducción del lenguaje corriente al simbolismo de la lógica de predicados.
Ejemplo 6
Consideremos la proposición «Mario Abdo Benítez nombró ministro del interior a Euclides
Acevedo».
Axy ↔ x nombró a y.
j =Mario Abdo Benítez.
r =Euclides Acevedo.
En símbolos Ajr.
Llamamos proposiciones atómicas a las fórmulas atómicas cuyos términos no utilizan
variables.
Las proposiciones atómicas con términos de enlace forman proposiciones moleculares.
En lógica de predicados las expresiones que contienen términos de enlace se denominan
fórmulas moleculares, tanto si contienen variables como si no.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
El conocimiento de las variables y fórmulas atómicas permite dar una forma clara de
traducción del lenguaje corriente al simbolismo de la lógica de predicados.
Ejemplo 6
Consideremos la proposición «Mario Abdo Benítez nombró ministro del interior a Euclides
Acevedo».
Axy ↔ x nombró a y.
j =Mario Abdo Benítez.
r =Euclides Acevedo.
En símbolos Ajr.
Llamamos proposiciones atómicas a las fórmulas atómicas cuyos términos no utilizan
variables.
Las proposiciones atómicas con términos de enlace forman proposiciones moleculares.
En lógica de predicados las expresiones que contienen términos de enlace se denominan
fórmulas moleculares, tanto si contienen variables como si no.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
El conocimiento de las variables y fórmulas atómicas permite dar una forma clara de
traducción del lenguaje corriente al simbolismo de la lógica de predicados.
Ejemplo 6
Consideremos la proposición «Mario Abdo Benítez nombró ministro del interior a Euclides
Acevedo».
Axy ↔ x nombró a y.
j =Mario Abdo Benítez.
r =Euclides Acevedo.
En símbolos Ajr.
Llamamos proposiciones atómicas a las fórmulas atómicas cuyos términos no utilizan
variables.
Las proposiciones atómicas con términos de enlace forman proposiciones moleculares.
En lógica de predicados las expresiones que contienen términos de enlace se denominan
fórmulas moleculares, tanto si contienen variables como si no.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
El conocimiento de las variables y fórmulas atómicas permite dar una forma clara de
traducción del lenguaje corriente al simbolismo de la lógica de predicados.
Ejemplo 6
Consideremos la proposición «Mario Abdo Benítez nombró ministro del interior a Euclides
Acevedo».
Axy ↔ x nombró a y.
j =Mario Abdo Benítez.
r =Euclides Acevedo.
En símbolos Ajr.
Llamamos proposiciones atómicas a las fórmulas atómicas cuyos términos no utilizan
variables.
Las proposiciones atómicas con términos de enlace forman proposiciones moleculares.
En lógica de predicados las expresiones que contienen términos de enlace se denominan
fórmulas moleculares, tanto si contienen variables como si no.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
El conocimiento de las variables y fórmulas atómicas permite dar una forma clara de
traducción del lenguaje corriente al simbolismo de la lógica de predicados.
Ejemplo 6
Consideremos la proposición «Mario Abdo Benítez nombró ministro del interior a Euclides
Acevedo».
Axy ↔ x nombró a y.
j =Mario Abdo Benítez.
r =Euclides Acevedo.
En símbolos Ajr.
Llamamos proposiciones atómicas a las fórmulas atómicas cuyos términos no utilizan
variables.
Las proposiciones atómicas con términos de enlace forman proposiciones moleculares.
En lógica de predicados las expresiones que contienen términos de enlace se denominan
fórmulas moleculares, tanto si contienen variables como si no.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
El conocimiento de las variables y fórmulas atómicas permite dar una forma clara de
traducción del lenguaje corriente al simbolismo de la lógica de predicados.
Ejemplo 6
Consideremos la proposición «Mario Abdo Benítez nombró ministro del interior a Euclides
Acevedo».
Axy ↔ x nombró a y.
j =Mario Abdo Benítez.
r =Euclides Acevedo.
En símbolos Ajr.
Llamamos proposiciones atómicas a las fórmulas atómicas cuyos términos no utilizan
variables.
Las proposiciones atómicas con términos de enlace forman proposiciones moleculares.
En lógica de predicados las expresiones que contienen términos de enlace se denominan
fórmulas moleculares, tanto si contienen variables como si no.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
Ejemplo 7
Si Miguel Ángel fue un artista del Renacimiento, entonces Leonardo da Vinci fue un artista
del Renacimiento.
Rx ↔ x fue un artista del Renacimiento.
m = Miguel Ángel.
l = Leonardo da Vinci.
En símbolos: Rm → Rl.
Ejemplo 8
Beto ayuda a Juan y es ayudado por Pedro.
Hxy ↔ x ayuda a y.
b = Beto.
j = Juan.
p = Pedro.
En símbolos: Hbj ∧Hpb
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Ejemplo 7
Si Miguel Ángel fue un artista del Renacimiento, entonces Leonardo da Vinci fue un artista
del Renacimiento.
Rx ↔ x fue un artista del Renacimiento.
m = Miguel Ángel.
l = Leonardo da Vinci.
En símbolos: Rm → Rl.
Ejemplo 8
Beto ayuda a Juan y es ayudado por Pedro.
Hxy ↔ x ayuda a y.
b = Beto.
j = Juan.
p = Pedro.
En símbolos: Hbj ∧Hpb
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Ejemplo 7
Si Miguel Ángel fue un artista del Renacimiento, entonces Leonardo da Vinci fue un artista
del Renacimiento.
Rx ↔ x fue un artista del Renacimiento.
m = Miguel Ángel.
l = Leonardo da Vinci.
En símbolos: Rm → Rl.
Ejemplo 8
Beto ayuda a Juan y es ayudado por Pedro.
Hxy ↔ x ayuda a y.
b = Beto.
j = Juan.
p = Pedro.
En símbolos: Hbj ∧Hpb
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variablesEjemplo 7
Si Miguel Ángel fue un artista del Renacimiento, entonces Leonardo da Vinci fue un artista
del Renacimiento.
Rx ↔ x fue un artista del Renacimiento.
m = Miguel Ángel.
l = Leonardo da Vinci.
En símbolos: Rm → Rl.
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Hxy ↔ x ayuda a y.
b = Beto.
j = Juan.
p = Pedro.
En símbolos: Hbj ∧Hpb
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Ejemplo 7
Si Miguel Ángel fue un artista del Renacimiento, entonces Leonardo da Vinci fue un artista
del Renacimiento.
Rx ↔ x fue un artista del Renacimiento.
m = Miguel Ángel.
l = Leonardo da Vinci.
En símbolos: Rm → Rl.
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Hxy ↔ x ayuda a y.
b = Beto.
j = Juan.
p = Pedro.
En símbolos: Hbj ∧Hpb
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Ejemplo 7
Si Miguel Ángel fue un artista del Renacimiento, entonces Leonardo da Vinci fue un artista
del Renacimiento.
Rx ↔ x fue un artista del Renacimiento.
m = Miguel Ángel.
l = Leonardo da Vinci.
En símbolos: Rm → Rl.
Ejemplo 8
Beto ayuda a Juan y es ayudado por Pedro.
Hxy ↔ x ayuda a y.
b = Beto.
j = Juan.
p = Pedro.
En símbolos: Hbj ∧Hpb
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
Ejemplo 7
Si Miguel Ángel fue un artista del Renacimiento, entonces Leonardo da Vinci fue un artista
del Renacimiento.
Rx ↔ x fue un artista del Renacimiento.
m = Miguel Ángel.
l = Leonardo da Vinci.
En símbolos: Rm → Rl.
Ejemplo 8
Beto ayuda a Juan y es ayudado por Pedro.
Hxy ↔ x ayuda a y.
b = Beto.
j = Juan.
p = Pedro.
En símbolos: Hbj ∧Hpb
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Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
Ejemplo 9
Si x es mayor que dos y dos es mayor que z, entonces x es mayor que z.
Esto se puede simbolizar usando símbolos matemáticos y lógicos, por lo que podemos
escribir la siguiente fórmula molecular:
x > 2 ∧ 2 > z → x > z.
Prof. Eduardo A. Fernández. FP-UNA Correo: efernandez@pol.una.py Matemática II 11 / 21
Términos, predicados y cuantificadores universales Fórmulas atómicas y variables
Ejemplo 9
Si x es mayor que dos y dos es mayor que z, entonces x es mayor que z.
Esto se puede simbolizar usando símbolos matemáticos y lógicos, por lo que podemos
escribir la siguiente fórmula molecular:
x > 2 ∧ 2 > z → x > z.
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Ejemplo 9
Si x es mayor que dos y dos es mayor que z, entonces x es mayor que z.
Esto se puede simbolizar usando símbolos matemáticos y lógicos, por lo que podemos
escribir la siguiente fórmula molecular:
x > 2 ∧ 2 > z → x > z.
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Ejemplo 9
Si x es mayor que dos y dos es mayor que z, entonces x es mayor que z.
Esto se puede simbolizar usando símbolos matemáticos y lógicos, por lo que podemos
escribir la siguiente fórmula molecular:
x > 2 ∧ 2 > z → x > z.
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Ejemplo 9
Si x es mayor que dos y dos es mayor que z, entonces x es mayor que z.
Esto se puede simbolizar usando símbolos matemáticos y lógicos, por lo que podemos
escribir la siguiente fórmula molecular:
x > 2 ∧ 2 > z → x > z.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Cuantificadores universales
Ya hemos visto que al sustituir las variables por términos en las fórmulas atómicas, se
obtienen proposiciones atómicas que pueden evaluarse (V o F).
Ejemplo 10
Consideremos la fórmula atómica «x es alto».
Si se sustituye x por «Michael Jordan», entonces obtenemos la proposición verdadera siguiente:
«Michael Jordan es alto».
Otro camino para transformar fórmulas atómicas en proposiciones verdaderas o falsas es
usando un cuantificador universal para cada variable.
Ejemplo 11
La fórmula atómica «x > 0» puede transformarse en una proposición que podamos evaluar al
expresarla de la siguiente forma: «Para cada x, x > 0» («Para todo x, x > 0»).
El cuantificador se denomina universal porque utiliza la variable x para afirmar que cada
cosa en el universo tiene una cierta propiedad (es mayor que cero).
La última proposición se simboliza por: (∀x)(x > 0).
Prof. Eduardo A. Fernández. FP-UNA Correo: efernandez@pol.una.py Matemática II 12 / 21
Términos, predicados y cuantificadores universales Cuantificadores universales
Ya hemos visto que al sustituir las variables por términos en las fórmulas atómicas, se
obtienen proposiciones atómicas que pueden evaluarse (V o F).
Ejemplo 10
Consideremos la fórmula atómica «x es alto».
Si se sustituye x por «Michael Jordan», entonces obtenemos la proposición verdadera siguiente:
«Michael Jordan es alto».
Otro camino para transformar fórmulas atómicas en proposiciones verdaderas o falsas es
usando un cuantificador universal para cada variable.
Ejemplo 11
La fórmula atómica «x > 0» puede transformarse en una proposición que podamos evaluar al
expresarla de la siguiente forma: «Para cada x, x > 0» («Para todo x, x > 0»).
El cuantificador se denomina universal porque utiliza la variable x para afirmar que cada
cosa en el universo tiene una cierta propiedad (es mayor que cero).
La última proposición se simboliza por: (∀x)(x > 0).
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Ya hemos visto que al sustituir las variables por términos en las fórmulas atómicas, se
obtienen proposiciones atómicas que pueden evaluarse (V o F).
Ejemplo 10
Consideremos la fórmula atómica «x es alto».
Si se sustituye x por «Michael Jordan», entonces obtenemos la proposición verdadera siguiente:
«Michael Jordan es alto».
Otro camino para transformar fórmulas atómicas en proposiciones verdaderas o falsas es
usando un cuantificador universal para cada variable.
Ejemplo 11
La fórmula atómica «x > 0» puede transformarse en una proposición que podamos evaluar al
expresarla de la siguiente forma: «Para cada x, x > 0» («Para todo x, x > 0»).
El cuantificador se denomina universal porque utiliza la variable x para afirmar que cada
cosa en el universo tiene una cierta propiedad (es mayor que cero).
La última proposición se simboliza por: (∀x)(x > 0).
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Términos, predicados y cuantificadores universales Cuantificadores universales
Ya hemos visto que al sustituir las variables por términos en las fórmulas atómicas, se
obtienen proposiciones atómicas que pueden evaluarse (V o F).
Ejemplo 10
Consideremos la fórmula atómica «x es alto».
Si se sustituye x por «Michael Jordan», entonces obtenemos la proposición verdadera siguiente:
«Michael Jordan es alto».
Otro camino para transformar fórmulas atómicas en proposiciones verdaderas o falsas es
usando un cuantificador universal para cada variable.
Ejemplo 11
La fórmula atómica «x > 0» puede transformarse en una proposición que podamos evaluar al
expresarla de la siguiente forma: «Para cada x, x > 0» («Para todo x, x > 0»).
El cuantificador se denomina universal porque utiliza la variable x para afirmar que cada
cosa en el universo tiene una cierta propiedad (es mayor que cero).
La última proposición sesimboliza por: (∀x)(x > 0).
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Términos, predicados y cuantificadores universales Cuantificadores universales
Ya hemos visto que al sustituir las variables por términos en las fórmulas atómicas, se
obtienen proposiciones atómicas que pueden evaluarse (V o F).
Ejemplo 10
Consideremos la fórmula atómica «x es alto».
Si se sustituye x por «Michael Jordan», entonces obtenemos la proposición verdadera siguiente:
«Michael Jordan es alto».
Otro camino para transformar fórmulas atómicas en proposiciones verdaderas o falsas es
usando un cuantificador universal para cada variable.
Ejemplo 11
La fórmula atómica «x > 0» puede transformarse en una proposición que podamos evaluar al
expresarla de la siguiente forma: «Para cada x, x > 0» («Para todo x, x > 0»).
El cuantificador se denomina universal porque utiliza la variable x para afirmar que cada
cosa en el universo tiene una cierta propiedad (es mayor que cero).
La última proposición se simboliza por: (∀x)(x > 0).
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Términos, predicados y cuantificadores universales Cuantificadores universales
Ya hemos visto que al sustituir las variables por términos en las fórmulas atómicas, se
obtienen proposiciones atómicas que pueden evaluarse (V o F).
Ejemplo 10
Consideremos la fórmula atómica «x es alto».
Si se sustituye x por «Michael Jordan», entonces obtenemos la proposición verdadera siguiente:
«Michael Jordan es alto».
Otro camino para transformar fórmulas atómicas en proposiciones verdaderas o falsas es
usando un cuantificador universal para cada variable.
Ejemplo 11
La fórmula atómica «x > 0» puede transformarse en una proposición que podamos evaluar al
expresarla de la siguiente forma: «Para cada x, x > 0» («Para todo x, x > 0»).
El cuantificador se denomina universal porque utiliza la variable x para afirmar que cada
cosa en el universo tiene una cierta propiedad (es mayor que cero).
La última proposición se simboliza por: (∀x)(x > 0).
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Ya hemos visto que al sustituir las variables por términos en las fórmulas atómicas, se
obtienen proposiciones atómicas que pueden evaluarse (V o F).
Ejemplo 10
Consideremos la fórmula atómica «x es alto».
Si se sustituye x por «Michael Jordan», entonces obtenemos la proposición verdadera siguiente:
«Michael Jordan es alto».
Otro camino para transformar fórmulas atómicas en proposiciones verdaderas o falsas es
usando un cuantificador universal para cada variable.
Ejemplo 11
La fórmula atómica «x > 0» puede transformarse en una proposición que podamos evaluar al
expresarla de la siguiente forma: «Para cada x, x > 0» («Para todo x, x > 0»).
El cuantificador se denomina universal porque utiliza la variable x para afirmar que cada
cosa en el universo tiene una cierta propiedad (es mayor que cero).
La última proposición se simboliza por: (∀x)(x > 0).
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Ya hemos visto que al sustituir las variables por términos en las fórmulas atómicas, se
obtienen proposiciones atómicas que pueden evaluarse (V o F).
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Consideremos la fórmula atómica «x es alto».
Si se sustituye x por «Michael Jordan», entonces obtenemos la proposición verdadera siguiente:
«Michael Jordan es alto».
Otro camino para transformar fórmulas atómicas en proposiciones verdaderas o falsas es
usando un cuantificador universal para cada variable.
Ejemplo 11
La fórmula atómica «x > 0» puede transformarse en una proposición que podamos evaluar al
expresarla de la siguiente forma:
«Para cada x, x > 0» («Para todo x, x > 0»).
El cuantificador se denomina universal porque utiliza la variable x para afirmar que cada
cosa en el universo tiene una cierta propiedad (es mayor que cero).
La última proposición se simboliza por: (∀x)(x > 0).
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Ya hemos visto que al sustituir las variables por términos en las fórmulas atómicas, se
obtienen proposiciones atómicas que pueden evaluarse (V o F).
Ejemplo 10
Consideremos la fórmula atómica «x es alto».
Si se sustituye x por «Michael Jordan», entonces obtenemos la proposición verdadera siguiente:
«Michael Jordan es alto».
Otro camino para transformar fórmulas atómicas en proposiciones verdaderas o falsas es
usando un cuantificador universal para cada variable.
Ejemplo 11
La fórmula atómica «x > 0» puede transformarse en una proposición que podamos evaluar al
expresarla de la siguiente forma: «Para cada x, x > 0» («Para todo x, x > 0»).
El cuantificador se denomina universal porque utiliza la variable x para afirmar que cada
cosa en el universo tiene una cierta propiedad (es mayor que cero).
La última proposición se simboliza por: (∀x)(x > 0).
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Ya hemos visto que al sustituir las variables por términos en las fórmulas atómicas, se
obtienen proposiciones atómicas que pueden evaluarse (V o F).
Ejemplo 10
Consideremos la fórmula atómica «x es alto».
Si se sustituye x por «Michael Jordan», entonces obtenemos la proposición verdadera siguiente:
«Michael Jordan es alto».
Otro camino para transformar fórmulas atómicas en proposiciones verdaderas o falsas es
usando un cuantificador universal para cada variable.
Ejemplo 11
La fórmula atómica «x > 0» puede transformarse en una proposición que podamos evaluar al
expresarla de la siguiente forma: «Para cada x, x > 0» («Para todo x, x > 0»).
El cuantificador se denomina universal porque utiliza la variable x para afirmar que cada
cosa en el universo tiene una cierta propiedad (es mayor que cero).
La última proposición se simboliza por: (∀x)(x > 0).
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Ya hemos visto que al sustituir las variables por términos en las fórmulas atómicas, se
obtienen proposiciones atómicas que pueden evaluarse (V o F).
Ejemplo 10
Consideremos la fórmula atómica «x es alto».
Si se sustituye x por «Michael Jordan», entonces obtenemos la proposición verdadera siguiente:
«Michael Jordan es alto».
Otro camino para transformar fórmulas atómicas en proposiciones verdaderas o falsas es
usando un cuantificador universal para cada variable.
Ejemplo 11
La fórmula atómica «x > 0» puede transformarse en una proposición que podamos evaluar al
expresarla de la siguiente forma: «Para cada x, x > 0» («Para todo x, x > 0»).
El cuantificador se denomina universal porque utiliza la variable x para afirmar que cada
cosa en el universo tiene una cierta propiedad (es mayor que cero).
La última proposición se simboliza por: (∀x)(x > 0).
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Términos, predicados y cuantificadores universales Cuantificadores universales
Las maneras en que se puede expresar el cuantificador universal son las siguientes:
Para cada x . . .
Cada . . .
Para todo x . . .
Todo . . .
Cualquiera . . .
Con frecuencia nos interesan no todas las cosas en el universo, sino un conjunto definido
de cosas (por ejemplo, el conjunto de números).
El conjunto de cosas que se consideran en una discusión se denomina dominio de
referencia.
Así en algunos ejemplos se restringe el dominio a un conjunto particular y entonces el
cuantificador universal se refiere a cada elemento de ese conjunto.
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Las maneras en que se puede expresar el cuantificador universal son las siguientes:
Para cada x . . .
Cada . . .
Para todo x . . .
Todo . . .
Cualquiera . . .
Con frecuencia nos interesan no todas las cosas en el universo, sino un conjunto definido
de cosas (por ejemplo, el conjunto de números).
El conjunto de cosas que se consideran en una discusión se denomina dominio de
referencia.
Así en algunos ejemplos se restringe el dominio a un conjunto particular y entonces el
cuantificador universal se refiere a cada elemento de ese conjunto.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Cuantificadores universales
Las maneras en que se puede expresar el cuantificador universal son las siguientes:
Para cada x . . .
Cada . . .
Para todo x . . .
Todo . . .
Cualquiera . . .
Con frecuencia nos interesan no todas las cosas en el universo, sino un conjunto definido
de cosas (por ejemplo, el conjunto de números).
El conjunto de cosas que se consideran en una discusión se denomina dominio de
referencia.
Así en algunos ejemplos se restringe el dominio a un conjunto particular y entonces el
cuantificador universal se refiere a cada elemento de ese conjunto.
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Las maneras en que se puede expresar el cuantificador universal son las siguientes:
Para cada x . . .
Cada . . .
Para todo x . . .
Todo . . .
Cualquiera . . .
Con frecuencia nos interesan no todas las cosas en el universo, sino un conjunto definido
de cosas (por ejemplo, el conjunto de números).
El conjunto de cosas que se consideran en una discusión se denomina dominio de
referencia.
Así en algunos ejemplos se restringe el dominio a un conjunto particular y entonces el
cuantificador universal se refiere a cada elemento de ese conjunto.
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Las maneras en que se puede expresar el cuantificador universal son las siguientes:
Para cada x . . .
Cada . . .
Para todo x . . .
Todo . . .
Cualquiera . . .
Con frecuencia nos interesan no todas las cosas en el universo, sino un conjunto definido
de cosas (por ejemplo, el conjunto de números).
El conjunto de cosas que se consideran en una discusión se denomina dominio de
referencia.
Así en algunos ejemplos se restringe el dominio a un conjunto particular y entonces el
cuantificador universal se refiere a cada elemento de ese conjunto.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Cuantificadores universales
Las maneras en que se puede expresar el cuantificador universal son las siguientes:
Para cada x . . .
Cada . . .
Para todo x . . .
Todo . . .
Cualquiera . . .
Con frecuencia nos interesan no todas las cosas en el universo, sino un conjunto definido
de cosas (por ejemplo, el conjunto de números).
El conjunto de cosas que se consideran en una discusión se denomina dominio de
referencia.
Así en algunos ejemplos se restringe el dominio a un conjunto particular y entonces el
cuantificador universal se refiere a cada elemento de ese conjunto.
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Términos, predicados y cuantificadores universales Cuantificadores universales
Ciertas expresiones de cuantificación universal se utilizan para expresar simultáneamente
una negación.
Considere el siguiente:
Ejemplo 12
«Ninguno quiere setas venenosas», simbolizado por (∀x)(x no quiere setas venenosas).
Observe que «Ninguno» expresa una cuantificación universal en la proposición original y se
representa con la frase «Todo x».
El sentido negativo de «Ninguno» se expresa ahora con la palabra «no».
Para simbolizar completamente se define:
Lx ↔ x quiere setas venenosas, y obtenemos
(∀x)(¬Lx).
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Ciertas expresiones de cuantificación universal se utilizan para expresar simultáneamente
una negación.
Considere el siguiente:
Ejemplo 12
«Ninguno quiere setas venenosas», simbolizado por (∀x)(x no quiere setas venenosas).
Observe que «Ninguno» expresa una cuantificación universal en la proposición original y se
representa con la frase «Todo x».
El sentido negativo de «Ninguno» se expresa ahora con la palabra «no».
Para simbolizar completamente se define:
Lx ↔ x quiere setas venenosas, y obtenemos
(∀x)(¬Lx).
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Términos, predicados y cuantificadores universales Cuantificadores universales
Ciertas expresiones de cuantificación universal se utilizan para expresar simultáneamente
una negación.
Considere el siguiente:
Ejemplo 12
«Ninguno quiere setas venenosas», simbolizado por (∀x)(x no quiere setas venenosas).
Observe que «Ninguno» expresa una cuantificación universal en la proposición original y se
representa con la frase «Todo x».
El sentido negativo de «Ninguno» se expresa ahora con la palabra «no».
Para simbolizar completamente se define:
Lx ↔ x quiere setas venenosas, y obtenemos
(∀x)(¬Lx).
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Términos, predicados y cuantificadores universales Cuantificadores universales
Ciertas expresiones de cuantificación universal se utilizan para expresar simultáneamente
una negación.
Considere el siguiente:
Ejemplo 12
«Ninguno quiere setas venenosas», simbolizado por (∀x)(x no quiere setas venenosas).
Observe que «Ninguno» expresa una cuantificación universal en la proposición original y se
representa con la frase «Todo x».
El sentido negativo de «Ninguno» se expresa ahora con la palabra «no».
Para simbolizar completamente se define:
Lx ↔ x quiere setas venenosas, y obtenemos
(∀x)(¬Lx).
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Ciertas expresiones de cuantificación universal se utilizan para expresar simultáneamente
una negación.
Considere el siguiente:
Ejemplo 12
«Ninguno quiere setas venenosas», simbolizado por (∀x)(x no quiere setas venenosas).
Observe que «Ninguno» expresa una cuantificación universal en la proposición original y se
representa con la frase «Todo x».
El sentido negativo de «Ninguno» se expresa ahora con la palabra «no».
Para simbolizar completamente se define:
Lx ↔ x quiere setas venenosas, y obtenemos
(∀x)(¬Lx).
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Ciertas expresiones de cuantificación universal se utilizan para expresar simultáneamente
una negación.
Considere el siguiente:
Ejemplo 12
«Ninguno quiere setas venenosas», simbolizado por (∀x)(x no quiere setas venenosas).
Observe que «Ninguno» expresa una cuantificación universal en la proposición original y se
representa con la frase «Todo x».
El sentido negativo de «Ninguno» se expresa ahora con la palabra «no».
Para simbolizar completamente se define:
Lx ↔ x quiere setas venenosas, y obtenemos
(∀x)(¬Lx).
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Ciertas expresiones de cuantificación universal se utilizan para expresar simultáneamente
una negación.
Considere el siguiente:
Ejemplo 12
«Ninguno quiere setas venenosas», simbolizado por (∀x)(x no quiere setas venenosas).
Observeque «Ninguno» expresa una cuantificación universal en la proposición original y se
representa con la frase «Todo x».
El sentido negativo de «Ninguno» se expresa ahora con la palabra «no».
Para simbolizar completamente se define:
Lx ↔ x quiere setas venenosas, y obtenemos
(∀x)(¬Lx).
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Ciertas expresiones de cuantificación universal se utilizan para expresar simultáneamente
una negación.
Considere el siguiente:
Ejemplo 12
«Ninguno quiere setas venenosas», simbolizado por (∀x)(x no quiere setas venenosas).
Observe que «Ninguno» expresa una cuantificación universal en la proposición original y se
representa con la frase «Todo x».
El sentido negativo de «Ninguno» se expresa ahora con la palabra «no».
Para simbolizar completamente se define:
Lx ↔ x quiere setas venenosas, y obtenemos
(∀x)(¬Lx).
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Ciertas expresiones de cuantificación universal se utilizan para expresar simultáneamente
una negación.
Considere el siguiente:
Ejemplo 12
«Ninguno quiere setas venenosas», simbolizado por (∀x)(x no quiere setas venenosas).
Observe que «Ninguno» expresa una cuantificación universal en la proposición original y se
representa con la frase «Todo x».
El sentido negativo de «Ninguno» se expresa ahora con la palabra «no».
Para simbolizar completamente se define:
Lx ↔ x quiere setas venenosas, y obtenemos
(∀x)(¬Lx).
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Términos, predicados y cuantificadores universales Cuantificadores universales
Ciertas expresiones de cuantificación universal se utilizan para expresar simultáneamente
una negación.
Considere el siguiente:
Ejemplo 12
«Ninguno quiere setas venenosas», simbolizado por (∀x)(x no quiere setas venenosas).
Observe que «Ninguno» expresa una cuantificación universal en la proposición original y se
representa con la frase «Todo x».
El sentido negativo de «Ninguno» se expresa ahora con la palabra «no».
Para simbolizar completamente se define:
Lx ↔ x quiere setas venenosas, y obtenemos
(∀x)(¬Lx).
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Términos, predicados y cuantificadores universales Cuantificadores universales
El cuantificador universal negado también es expresado comúnmente en lenguaje
corriente con las siguientes expresiones:
Para ningún x . . .
Ninguno . . .
Nadie . . .
Nada . . .
No . . .
Es necesario diferenciar los casos en que una negación sigue al cuantificador, de los
casos en que la negación precede al Cuantificador.
Consideremos la siguiente proposición:«No todas las cosas son bonitas».
Ésta es simplemente la negación de: «Todas las cosas son bonitas».
Definiendo Bx ↔ x son bonitas, la segunda proposición se simboliza: (∀x)(Bx).
Y la primera es la negación de ésta: ¬(∀x)(Bx).
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El cuantificador universal negado también es expresado comúnmente en lenguaje
corriente con las siguientes expresiones:
Para ningún x . . .
Ninguno . . .
Nadie . . .
Nada . . .
No . . .
Es necesario diferenciar los casos en que una negación sigue al cuantificador, de los
casos en que la negación precede al Cuantificador.
Consideremos la siguiente proposición:«No todas las cosas son bonitas».
Ésta es simplemente la negación de: «Todas las cosas son bonitas».
Definiendo Bx ↔ x son bonitas, la segunda proposición se simboliza: (∀x)(Bx).
Y la primera es la negación de ésta: ¬(∀x)(Bx).
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El cuantificador universal negado también es expresado comúnmente en lenguaje
corriente con las siguientes expresiones:
Para ningún x . . .
Ninguno . . .
Nadie . . .
Nada . . .
No . . .
Es necesario diferenciar los casos en que una negación sigue al cuantificador, de los
casos en que la negación precede al Cuantificador.
Consideremos la siguiente proposición:«No todas las cosas son bonitas».
Ésta es simplemente la negación de: «Todas las cosas son bonitas».
Definiendo Bx ↔ x son bonitas, la segunda proposición se simboliza: (∀x)(Bx).
Y la primera es la negación de ésta: ¬(∀x)(Bx).
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El cuantificador universal negado también es expresado comúnmente en lenguaje
corriente con las siguientes expresiones:
Para ningún x . . .
Ninguno . . .
Nadie . . .
Nada . . .
No . . .
Es necesario diferenciar los casos en que una negación sigue al cuantificador, de los
casos en que la negación precede al Cuantificador.
Consideremos la siguiente proposición:«No todas las cosas son bonitas».
Ésta es simplemente la negación de: «Todas las cosas son bonitas».
Definiendo Bx ↔ x son bonitas, la segunda proposición se simboliza: (∀x)(Bx).
Y la primera es la negación de ésta: ¬(∀x)(Bx).
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El cuantificador universal negado también es expresado comúnmente en lenguaje
corriente con las siguientes expresiones:
Para ningún x . . .
Ninguno . . .
Nadie . . .
Nada . . .
No . . .
Es necesario diferenciar los casos en que una negación sigue al cuantificador, de los
casos en que la negación precede al Cuantificador.
Consideremos la siguiente proposición:
«No todas las cosas son bonitas».
Ésta es simplemente la negación de: «Todas las cosas son bonitas».
Definiendo Bx ↔ x son bonitas, la segunda proposición se simboliza: (∀x)(Bx).
Y la primera es la negación de ésta: ¬(∀x)(Bx).
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El cuantificador universal negado también es expresado comúnmente en lenguaje
corriente con las siguientes expresiones:
Para ningún x . . .
Ninguno . . .
Nadie . . .
Nada . . .
No . . .
Es necesario diferenciar los casos en que una negación sigue al cuantificador, de los
casos en que la negación precede al Cuantificador.
Consideremos la siguiente proposición:«No todas las cosas son bonitas».
Ésta es simplemente la negación de: «Todas las cosas son bonitas».
Definiendo Bx ↔ x son bonitas, la segunda proposición se simboliza: (∀x)(Bx).
Y la primera es la negación de ésta: ¬(∀x)(Bx).
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El cuantificador universal negado también es expresado comúnmente en lenguaje
corriente con las siguientes expresiones:
Para ningún x . . .
Ninguno . . .
Nadie . . .
Nada . . .
No . . .
Es necesario diferenciar los casos en que una negación sigue al cuantificador, de los
casos en que la negación precede al Cuantificador.
Consideremos la siguiente proposición:«No todas las cosas son bonitas».
Ésta es simplemente la negación de: «Todas las cosas son bonitas».
Definiendo Bx ↔ x son bonitas, la segunda proposición se simboliza: (∀x)(Bx).
Y la primera es la negación de ésta: ¬(∀x)(Bx).
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El cuantificador universal negado también es expresado comúnmente en lenguaje
corriente con las siguientes expresiones:
Para ningún x . . .
Ninguno . . .
Nadie . . .
Nada . . .
No . . .
Es necesario