Algebra - Tema III - Ejercicios

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Universidad Autónoma de Yucatán 
Facultad de Ingeniería 
Álgebra 
 
 
1 
Ejercicios del Tema III 
 
1. Da un ejemplo de la vida real en el que se puedan aplicar las matrices. Sé lo más explícito posible 
en cuanto a qué hacer con las matrices y, si es posible, qué propiedades u operaciones se pueden 
aplicar y para qué. Este es para entregar. 
 
2. Sean: 
 𝐴𝐴 = �
2 −2 2
3 −1 1
1 0 2
� 
 
 y la ecuación 2A2 + A – 3X = 0 
 encuentra la matriz X. 
 
3. Sean las siguientes matrices: 
 
 𝐴𝐴 = �
1 2 1 2
−1 1 0 2
2 2 1 2
�, 𝐵𝐵 = �
1 2
4 2
2 1
1 −1
�, 𝐶𝐶 = �
−1 3 4
−2 3 5
1 −2 −1
1 1 5
� 
 
 𝐷𝐷 = �
1 −1 2
2 −1 2
1 5 8
�, 𝐸𝐸 = �1 −1 3 −52 0 3 4 �, 𝐹𝐹 = �
7 10
−2 5 � 
 
4. Tomando las matices de dos en dos, realiza todas las multiplicaciones posibles y determina cuáles 
no pueden ser realizadas. Este es para entregar, pero sólo 3 multiplicaciones. 
 
5. Dadas las siguientes matrices, determina si se cumple que (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 
 
 𝐴𝐴 = �
−1 4 3
5 −1 2
2 4 3
�, 𝐵𝐵 = �
1 1 1
2 −1 1
2 −2 1
� 
 
6. Sean las matrices dadas, encuentra sus potencias cuartas. 
 
 𝐴𝐴 = �
3 −2 1
2 −1 1
−2 2 0
�, 𝐵𝐵 = �
−1 2 −2
4 −3 4
4 −4 5
� 
 
7. Juan y Manuel quieren comprar manzanas, toronjas y naranjas, las cantidades que desean 
comprar están dadas en la tabla 1. Pueden comprar con don Beto o con dos Miguel y los costos 
en ambos están dados en la tabla 2. Determina cuánto les costará si compran con cada tendero. 
 
Tabla 1 Tabla 2 
Juan 6 3 10 Manzana $.010 $0.15 
Manuel 4 8 5 Toronja $0.40 $0.30 
 Naranja $0.10 $0.20 
 
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8. Para las matrices dadas, encuentra, si es posible, lo que se te pide. 
 
 𝐴𝐴 = � 3 0−1 5�, 𝐵𝐵 = �
4 −2 1
0 2 3�, 𝐶𝐶 = �
1 2
3 4
5 6
�, 𝐷𝐷 = � 0 −3−2 1 �, 𝐸𝐸 =
[4 2], 𝐹𝐹 = �−12 � 
 
a. 𝐴𝐴 + 2𝐷𝐷 
b. 3𝐷𝐷 − 2𝐴𝐴 
c. 𝐵𝐵 − 𝐶𝐶 
d. 𝐵𝐵 − 𝐶𝐶𝑇𝑇 
e. 𝐴𝐴𝐵𝐵 
f. 𝐵𝐵𝐷𝐷 
g. 𝐷𝐷 + 𝐵𝐵𝐶𝐶 
h. 𝐵𝐵𝑇𝑇𝐵𝐵 
i. 𝐸𝐸(𝐴𝐴𝐹𝐹) 
j. 𝐹𝐹(𝐷𝐷𝐹𝐹) 
k. 𝐹𝐹𝐸𝐸 
l. 𝐸𝐸𝐹𝐹 
m. 𝐵𝐵𝑇𝑇𝐶𝐶𝑇𝑇 − (𝐶𝐶𝐵𝐵)𝑇𝑇 
n. 𝐷𝐷𝐴𝐴 − 𝐴𝐴𝐷𝐷 
o. 𝐴𝐴3 
p. (𝐼𝐼2 − 𝐷𝐷)2 
q. 𝐴𝐴 − 2𝐵𝐵 
 
9. Encuentra los determinantes para todas las matrices cuadradas de los ejercicios de este grupo y, 
además de los siguientes: 
 
 𝐴𝐴 = �
1 0 3 2
4 −1 5 3
1 0 3 0
2 −1 4 3
�, 𝐵𝐵 = �
1 0 3 2
4 −1 5 3
5 0 1 15
10 −1 4 3
� 
 
 Este es para entregar, pero sólo tres determinantes. 
 
 
10. Para las siguientes matrices, encuentra 𝐴𝐴𝐵𝐵 y 𝐵𝐵𝐴𝐴. 
 
 𝐴𝐴 = �
1 0 1 −1
2 −1 0 −2
−3 1 −2 4
1 −1 0 −1
�, 𝐵𝐵 = �
2 1 1 0
0 1 0 −2
1 −1 0 1
2 0 1 1
� 
 
11. Encuentra los siguientes determinantes: 
 
 �
1 3 5 7
2 4 6 7
5 7 9 11
𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑑𝑑
�, �
𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐
3𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 3𝑏𝑏 + 2𝑐𝑐 3𝑐𝑐 + 2𝑎𝑎
𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎
�, �
2𝑎𝑎 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐
𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 2𝑏𝑏 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐
𝑐𝑐 + 𝑎𝑎 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏 2𝑐𝑐
�, 
 
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3 
 �
0 𝑐𝑐 𝑏𝑏
𝑏𝑏 𝑎𝑎 0
𝑐𝑐 0 𝑎𝑎
�, �
1 1 1
𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐
𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑏𝑏
� 
 
12. Con las matrices de ejercicio 4, comprueba que (𝐴𝐴𝐵𝐵)𝑇𝑇 = 𝐵𝐵𝑇𝑇𝐴𝐴𝑇𝑇 . 
 
13. Encuentra tres matrices de orden adecuado para verificar que (𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶)𝑇𝑇 = 𝐶𝐶𝑇𝑇𝐵𝐵𝑇𝑇𝐴𝐴𝑇𝑇 . 
 
14. Dadas las matrices cuadradas de este grupo de ejercicios, encuentra sus cuadrados y sus cubos. 
 
14. Encuentra los determinantes de las siguientes matrices: 
 
𝐴𝐴 = �
1 2 3
2 1 3
1 2 1
�, 𝐵𝐵 = �
−1 2 3
2 −1 3
−4 2 −4
�, 𝐶𝐶 = �
2 2 −1
1 2 4
−4 −5 −4
� 
 
𝐷𝐷 = �
2 2 −1 2
0 2 3 1
−2 −4 3 4
1 −1 −2 2
�, 𝐸𝐸 = �
1 0 4 3
−1 2 1 1
−2 −4 3 3
2 1 −2 −2
�, 𝐹𝐹 = �
1 2 4 3
−1 2 1 1
0 −4 3 3
2 1 −2 −2
� 
 
𝐺𝐺 =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
1 2 5 1 −4
1 −1 3 2 −1
0 1 2 1 −2
−1 1 −1 1 −1
2 3 −2 −6 2 ⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
 
 
15. En este grupo de ejercicios hay varias matrices cuadras, averigua cuáles tienen inversa y 
encuentra estas inversas. Este es para entregar; pero sólo cinco inversas.