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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE CIENCIAS 
 
ALEJANDRO EDUARDO HIDALGO GORDILLO 1 
 
Análisis en Rn (CM3C1) 
CLASE 1: Normas, Bolas, Conjuntos Acotados, Sucesiones 
Producto Interno y Norma 
Un producto interno en un espacio vectorial real (𝐸, 𝐾), 𝐾 = ℝ es una función 𝑓:𝐸 × 𝐸 → ℝ, notación 
𝑓(𝑥, 𝑦) =< 𝑥, 𝑦 >, tal que para cualquiera 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜖 𝐸 y 𝛼 𝜖 ℝ se tiene: 
1. < 𝑥, 𝑦 > = < 𝑦, 𝑥 > 
2. < 𝑥 + 𝑧, 𝑦 > = < 𝑥, 𝑦 > + < 𝑧, 𝑦 > 
3. < 𝛼 ∙ 𝑥, 𝑦 > = 𝛼 < 𝑥, 𝑦 > 
4. < 𝑥, 𝑦 > ≥ 0, si 𝑥 ≠ 0⃗ ⟹ < 𝑥, 𝑥 > > 0 
Equivalente, 𝑓 es una función (forma) bilineal, simétrica, y positiva definida. 
Ejemplo: 
𝐸 = ℝ𝑛 y el P.I. canónico: 
𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛), 𝑦 = (𝑦1,… , 𝑦𝑛) 
< 𝑥, 𝑦 > = 𝑥1𝑦1 + ⋯+ 𝑥𝑛𝑦𝑛 
Salvo mención explícita, el P.I. canónico es el único que se considera en el espacio vectorial (ℝ𝑛, ℝ) y 
llamaremos a esto espacio euclidiano. 
Observación: Una forma más general de definir un P.I. en ℝ𝑛 es la siguiente: 
Sea 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] una matriz real 𝑛 × 𝑛 simétrica y definida positiva (𝑥𝐴𝑥
𝑡 > 0, ∀𝑥 ≠ 0⃗ ) y se define <
𝑥, 𝑦 > = ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑦𝑗
𝑛
𝑖,𝑗=1 , 𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛), 𝑥 = (𝑦1,… , 𝑦𝑛). 
Al P.I. canónico le corresponde la matriz identidad 𝐴 = 𝐼 
Norma Euclidiana o longitud del vector 𝑥 𝜖 ℝ𝑛 es el número ‖𝑥‖ = √< 𝑥, 𝑥 >= √𝑥1
2 + ⋯+ 𝑥𝑛
2 
Dos vectores 𝑥, 𝑦 𝜖 ℝ𝑛 se dicen ortogonales si cumplen < 𝑥, 𝑦 > = 0. 
Un caso de vector ortogonal es la siguiente: 
Sean 𝑥, 𝑦 𝜖 ℝ𝑛 , 𝑦 ≠ 0 y se define el escalar 𝛼 =
1
‖𝑦‖2
< 𝑥, 𝑦 > y el vector 𝑧 = 𝑥 − 𝛼𝑦. 
Se tiene 
< 𝑧, 𝑦 > = < 𝑥 − 𝛼𝑦, 𝑦 > 
= < 𝑥, 𝑦 > − 𝛼 < 𝑦, 𝑦 > = 0 
En conclusión 𝑦 ⊥ 𝑧 
 
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Daremos un teorema fundamental de la Geometría Analítica 
Teorema L (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) 
Para cualquiera 𝑥, 𝑦 𝜖 ℝ𝑛 se tiene |< 𝑥, 𝑦 >| ≤ ‖𝑥‖‖𝑦‖. Se cumple la igualdad si, y solo si {𝑥, 𝑦} son l.d. 
Demostración 
Es directo ver que se cumple si 𝑦 = 0. Ahora si 𝑦 ≠ 0, tenemos 𝛼 =
<𝑥,𝑦>
‖𝑦‖2
. Ya vimos que 𝑧 = 𝑥 − 𝛼𝑦 es 
ortogonal a 𝑦. Así que ‖𝑥‖2 = < 𝑧 + 𝛼𝑦, 𝑧 + 𝛼𝑦 > = ‖𝑧‖2 + 𝛼2‖𝑦‖2 ≥ 𝛼2‖𝑦‖2 = 
<𝑥,𝑦>2
‖𝑦‖2
 
‖𝑥‖2‖𝑦‖2 ≥ < 𝑥, 𝑦 >2 
La igualdad se da si y solo si 𝑧 = 𝑥 − 𝛼𝑦 = 0 ↔ 𝑥 = 𝛼𝑦. 
Observación: La prueba anterior es válida para cualquier P.I. con √< 𝑥, 𝑥 >= ‖𝑥‖. 
La norma euclidiana ‖𝑥‖ = √< 𝑥, 𝑥 > tiene las siguientes propiedades: 
Si 𝑥, 𝑦 𝜖 ℝ𝑛, 𝛼 𝜖 ℝ, entonces se cumple: 
𝑁1: ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖ 
𝑁2: ‖𝛼𝑥‖ ≤ |𝛼|‖𝑥‖ 
𝑁3: Si 𝑥 ≠ 0, entonces ‖𝑥‖ > 0. 
Las dos últimos son evidentes y la primera propiedad resulta de la desigualdad de Cauchy-Schwarz: 
‖𝑥 + 𝑦‖2 = < 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦 > = ‖𝑥‖2 + ‖𝑦‖2 + 2 < 𝑥, 𝑦 > 
 ≤ ‖𝑥‖2 + ‖𝑦‖2 + 2‖𝑥‖‖𝑦‖ = (‖𝑥‖ + ‖𝑦‖)2 
De un modo general, una norma en un espacio vectorial 𝐸 es una función real ‖ ‖: 𝐸 → ℝ que cumpla 
con las condiciones 𝑁1, 𝑁2 y 𝑁3. Existe una infinidad de normas que se pueden considerar en el espacio 
euclidiano ℝ𝑛. 
La norma euclidiana es motivada por la fórmula de la longitud de un vector en un plano en coordinadas 
cartesianas, que se prueba con el teorema de Pitágoras. Para nociones geométricas ella es la más 
natural, si no se dice explícitamente, la norma que se trata será la euclidiana. 
Existen dos normas, en ℝ𝑛, que son de manipulación formal más simple, las cuales se utilizarán. Ellas 
son: 
𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) 𝜖 ℝ
𝑛 
‖𝑥‖𝑀 = 𝑀𝑎𝑥{|𝑥1|, |𝑥2|,… , |𝑥𝑛|}, norma del máximo 
‖𝑥‖𝑆 = |𝑥1| + |𝑥2| + |𝑥𝑛|, norma de la suma 
Estas normas satisfacen las condiciones 𝑁1, 𝑁2 y 𝑁3. 
Además, estas normas y la norma euclidiana están relacionadas de la siguiente manera. 
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‖𝑥‖𝑀 ≤ ‖𝑥‖ ≤ ‖𝑥‖𝑆 ≤ 𝑛‖𝑥‖𝑀 , ‖𝑥‖ es la norma euclidiana. 
Una norma en un espacio vectorial 𝐸 da origen a la noción de distancia en 𝐸. 
Definición: Dados 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐸 la distancia de 𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛) a 𝑦 = (𝑦1, 𝑦2,… , 𝑦𝑛) está definido por 
𝑑(𝑥, 𝑦) = ‖𝑥 − 𝑦‖ 
Las condiciones 𝑁1, 𝑁2 y 𝑁3 que satisfacen la norma, implican inmediatamente que la distancia goza de 
las siguientes propiedades; para 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐸. 
𝑑1: 𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧), (desigualdad triangular) 
𝑑2: 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥), simetría. 
𝑑3: 𝑥 ≠ 𝑦, entonces 𝑑(𝑥, 𝑦) > 0 
Una norma arbitraria ‖ ‖ en un espacio vectorial 𝐸 puede no provenir de un producto interno, es 
decir, no siempre existe en P.I. <,> en 𝐸 tal que ‖𝑥‖2 =< 𝑥, 𝑥 >, ∀ 𝑥 𝜖 𝐸. 
Propiedad 
Si una norma ‖∙‖ proviene de un P.I. (‖𝑥‖ =
√< 𝑥, 𝑥 > ↔ ‖𝑥‖2 = < 𝑥, 𝑥 >), entonces se 
cumple la identidad del paralelogramo: 
‖𝑥 + 𝑦‖2 + ‖𝑥 − 𝑦‖2
= 2(‖𝑥‖2 + ‖𝑦‖2), ∀𝑥, 𝑦 𝜖 𝐸. 
 
Demostración 
Identidad del parelelogramo 
‖𝑥 + 𝑦‖2 = < 𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦 > = < 𝑥, 𝑥 > +< 𝑦, 𝑦 > +2 < 𝑥, 𝑦 > = ‖𝑥‖2 + ‖𝑦‖2 + 2 < 𝑥, 𝑦 > 
‖𝑥 − 𝑦‖2 = < 𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦 > = ⋯ = ‖𝑥‖2 + ‖𝑦‖2 − 2 < 𝑥, 𝑦 > 
Sumando se obtiene el resultado. 
Consecuencia: La identidad del paralelogramo no es válida para toda norma. En efecto para las normas 
‖𝑥‖𝑀 y ‖𝑥‖𝑆 no se verifica la identidad del paralelogramo si 𝑥 = (1,0, … , 0) y 𝑦 = (0,1, … , 0). 
Por ejemplo, las normas ‖𝑥‖𝑀 = 𝑀𝑎𝑥{|𝑥1|,… , |𝑥𝑛|} 
‖𝑥‖𝑆 = ∑|𝑥𝑖|
𝑛
𝑖=1
 
𝑥 = (1, 0, … ,0) = 𝑒1 
𝑦 = (0, 1, 0, … ,0) = 𝑒2 
Por lo tanto estas normas no provienen de un P.I. alguno en ℝ𝑛. 
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Bolas y Conjuntos Acotados 
Una norma en ℝ𝑛 permite definir algunos conceptos básicos geométricos que serán los elementos 
básicos para la topología euclidiana en ℝ𝑛. 
Bola Abierta de centro en 𝑎 𝜖 ℝ𝑛 y radio 𝑟 > 0 es el conjunto 
𝐵(𝑎; 𝑟) = {𝑥 𝜖 ℝ𝑛/ ‖𝑥 − 𝑎‖ < 𝑟} 
Bola Cerrada de centro en 𝑎 𝜖 ℝ𝑛 y radio 𝑟 > 0 es el conjunto 
𝐵[𝑎; 𝑟] = {𝑥 𝜖 ℝ𝑛/ ‖𝑥 − 𝑎‖ ≤ 𝑟} 
Esfera de centro en 𝑎 𝜖 ℝ𝑛 y radio 𝑟 > 0 es el conjunto 
𝑆[𝑎; 𝑟] = {𝑥 𝜖 ℝ𝑛/ ‖𝑥 − 𝑎‖ = 𝑟} 
De lo anterior 
𝐵[𝑎; 𝑟] = 𝐵(𝑎; 𝑟) ∪ 𝑆[𝑎; 𝑟] 
‖∙‖ es la norma euclidiana 
 
 
 
𝑛 = 2 
𝑎 = (𝑎1, 𝑎2 ) 
‖∙‖ = ‖∙‖𝑀 
 
 
 
 
𝑎 = (𝑎1, 𝑎2 ) 
‖∙‖ = ‖∙‖𝑆 
 
 
 
La propiedad siguiente nos dice que las bolas relativas a distintas normas, en ℝ𝑛, tienen en común el 
hecho de ser convexas. 
Definiciones: 
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I. Sean 𝑥, 𝑦 𝜖 ℝ𝑛, el segmento de recta de extremos 𝑥, 𝑦 es el conjunto 
[𝑥, 𝑦] = {(1 − 𝑡)𝑥 + 𝑡𝑦 / 0 ≤ 𝑡 ≤ 1} 
< 𝑥, 𝑦 >= {(1 − 𝑡)𝑥 + 𝑡𝑦 / 0 < 𝑡 < 1} 
II. Un subconjunto 𝑀 ⊂ ℝ𝑛 es convexa cuando contiene cualquier segmento de recta cuyos 
extremos pertenecen a 𝑀. 
Ósea: Si 𝑥, 𝑦 𝜖 𝑀, entonces [𝑥, 𝑦] ⊂ 𝑀 
Ejemplos: 
 Todo subespacio vectorial 𝑉 ⊂ ℝ𝑛 es convexa. 
 Todo subespacio afín 𝑎 + 𝑉 = {𝑎 + 𝑣 / 𝑣 𝜖 𝑉} es convexa. 
 Si 𝑋 ⊂ ℝ𝑚 y 𝑌 ⊂ ℝ𝑛 son convexas, entonces el producto cartesiano 𝑋 × 𝑌 ⊂ ℝ𝑚+𝑛 es convexa. 
Propiedad: Toda bola 𝐵 ⊂ ℝ𝑛 es convexa. 
Demostración 
Sea 𝐵 = 𝐵(𝑎; 𝑟) una bola abierta de centro 𝑎 y radio 𝑟 > 0. 
Sea 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐵, ‖𝑥 − 𝑎‖ < 𝑟, ‖𝑦 − 𝑎‖ < 𝑟, si 𝑡 𝜖 [0; 1] tenemos 
‖(1 − 𝑡)𝑥 + 𝑡𝑦 − 𝑎‖ = ‖(1 − 𝑡)(𝑥 − 𝑎) + 𝑡(𝑦 − 𝑎)‖ ≤ 
≤ (1 − 𝑡)‖𝑥 − 𝑎‖ + 𝑡‖𝑦 − 𝑎‖ < 𝑟 
‖∙‖ es cualquier norma 
En conclusión, (1 − 𝑡)𝑥 + 𝑡𝑦 𝜖 𝐵 
Una demostración análogo para 𝐵[𝑎; 𝑟] 
Definición: Un subconjunto 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 es acotado si existe un número real 𝑐 > 0 tal que ‖𝑥‖ ≤ 𝑐, ∀𝑥 𝜖 𝐴. 
Esto equivale a decir que 𝐴 está contenido en una bola cerrada de centro en el origen y radio 𝑐. 
Si existe alguna bola 𝐵[𝑎; 𝑟], de centro arbitrario conteniendo 𝐴, entonces para todo 𝑥 𝜖 𝐴 se tienen, 
‖𝑥 − 𝑎‖ ≤ 𝑟. Sea 𝑐 = 𝑟 + ‖𝑎‖, 𝑥 𝜖 𝐴 → ‖𝑥‖ = ‖𝑥 − 𝑎 + 𝑎‖ ≤ ‖𝑥 − 𝑎‖+ ‖𝑎‖ ≤ 𝑟 + ‖𝑎‖ = 𝑐. 
En conclusión 𝐴 está acotado. Así un conjunto 𝐴 está acotada si y solo si está contenido en alguna bola 
(cerrada) (cuyo centro no necesariamente es el origen) 
Observación: 
1) En relación a las definiciones anteriores las normas que se utilizan puede ser la norma euclidiana 
o la norma suma o la norma del máximo. 
2) Si el conjunto 𝐴 ⊂ ℝ𝑛 es acotado con respecto a una de las normas, es acotado con respecto a 
las otras normas gracias a la relación 
‖𝑥‖𝑀 ≤ ‖𝑥‖ ≤ ‖𝑥‖𝑆 ≤ 𝑛‖𝑥‖𝑀 
3) Si 𝑎 = (𝑎1, … , 𝑎𝑛) entonces la bola 𝐵[𝑎; 𝑟] ⊂ ℝ
𝑛 definido por la norma máxima ‖∙‖𝑀 cumple 
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𝐵[𝑎; 𝑟] = [𝑎1 − 𝑟, 𝑎1 + 𝑟] × …× [𝑎𝑛 − 𝑟, 𝑎𝑛 + 𝑟] = ∏[𝑎𝑖 − 𝑟, 𝑎𝑖 + 𝑟]
𝑛
𝑖=1
 
En efecto 
‖𝑥 − 𝑎‖𝑀 ≤ 𝑟 si y solo si |𝑥1 − 𝑎1| ≤ 𝑟,… , |𝑥𝑛 − 𝑎𝑛| ≤ 𝑟 
 
Análogamente 𝐵(𝑎; 𝑟) = < 𝑎1 − 𝑟, 𝑎1 + 𝑟 >× …×< 𝑎𝑛 − 𝑟, 𝑎𝑛 + 𝑟 >= ∏ < 𝑎𝑖 − 𝑟, 𝑎𝑖 + 𝑟 >
𝑛
𝑖=1 
Para cada 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 la función 𝜋𝑖: ℝ
𝑛 → ℝ, 𝜋𝑖(𝑥) = 𝑥𝑖 es la 𝑖-esima proyección de 𝑥 =
(𝑥1, 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑛). 
Propiedad 
Un conjunto 𝑋 ⊂ ℝ𝑛 es acotado si y solo si sus proyecciones 𝜋1(𝑋) = 𝑋1, … , 𝜋𝑛(𝑋) = 𝑋𝑛 son conjunto 
acotados en ℝ. 
Demostración: Ejercicio (Elon Lima) 
 
Sucesiones en Espacios euclidianos 
Definición: Una sucesión en ℝ𝑛 es una función 𝑥: ℕ → ℝ𝑛 definida en el conjunto ℕ de los números 
naturales. El valor 𝑥 en 𝑘 𝜖 ℕ se denota 𝑥(𝑘) = 𝑥𝑘 y es llamado el 𝑘-ésimo término de la sucesión. 
Existe otras notaciones para la sucesión. 
(𝑥𝑘) = (𝑥𝑘)𝑘𝜖ℕ = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 , … ), 𝑥𝑘 𝜖 ℝ
𝑛 , 
cuyo 𝑘-ésimo término es 𝑥𝑘 = (𝑥𝑘1 , 𝑥𝑘2, … , 𝑥𝑘𝑛) 𝜖 ℝ
𝑛. 
Una subsucesión de (𝑥𝑘) es una restricción de la sucesión 𝑥 al conjunto infinito 
𝑁′ = {𝑘𝑖𝜖 ℕ/ 𝑘𝑖 < 𝑘𝑖+1, 𝑖 𝜖 ℕ} ⊂ ℕ 
 = {𝑘1 < 𝑘2 < ⋯ < 𝑘𝑖 < ⋯} ⊂ ℕ⏟ 
Para cada 𝑘 𝜖 ℕ, ∃𝑘𝑖 𝜖 𝑁
′ / 𝑘𝑖 > 𝑘. 
Notación de una subsucesión 
(𝑥𝑘)𝑘𝜖𝑁′ = (𝑥𝑘𝑖)𝑖𝜖ℕ = (𝑥𝑘1 , 𝑥𝑘2 , … , 𝑥𝑘𝑖 , … ) 
Una sucesión (𝑥𝑘) está acotado si el conjunto de los términos está acotado en ℝ
𝑛 ósea si {𝑥𝑘 / 𝑘 𝜖 ℕ} 
esta acotado. Es decir, ∃ un número real 𝑐 > 0 / ‖𝑥𝑘‖ ≤ 𝑐, ∀ 𝑘 𝜖 ℕ. 
La existencia de una sucesión (𝑥𝑘) en ℝ
𝑛 equivale a la existencia de 𝑛 sucesiones de números reales. En 
efecto, para cada 𝑘 𝜖 ℕ tenemos 𝑥𝑘 = (𝑥𝑘1, 𝑥𝑘2 , … , 𝑥𝑘𝑛), donde 𝑥𝑘𝑖 = 𝜋𝑖(𝑥𝑘) es la 𝑖-ésima coordenada 
de 𝑥𝑘 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛. 
𝑥1 = (𝑥11, 𝑥12 , … , 𝑥1𝑛) 
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𝑥2 = (𝑥21, 𝑥22 , … , 𝑥2𝑛) 
⋮ 
𝑥𝑘 = (𝑥𝑘1 , 𝑥𝑘2, … , 𝑥𝑘𝑛) 
⋮ 
∃ (𝑥𝑘)𝑘𝜖ℕ ⇔ ∃ (𝑥𝑘1)𝑘𝜖ℕ, (𝑥𝑘2)𝑘𝜖ℕ, … , (𝑥𝑘𝑛)𝑘𝜖ℕ 
Las 𝑛 sucesiones (𝑥𝑘𝑖)𝑘𝜖ℕ, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 son llamadas las sucesiones coordenadas de (𝑥𝑘). 
Así en el espacio ℝ3 una sucesión de puntos 𝑡𝑘 = (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , 𝑧𝑘) es en realidad una terna de sucesiones 
reales (𝑥𝑘), (𝑦𝑘), (𝑧𝑘). 
Se sigue de una propiedad anterior, una sucesión (𝑥𝑘) en ℝ
𝑛 es acotada si, y solamente si, cada una de 
sus sucesiones coordenadas (𝑥𝑘𝑖)𝑘𝜖ℕ (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛) es acotada en ℝ.