Análisis en Rn - CLASE 14

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Análisis en - CM3C1
PROFESOR: ALEJANDRO EDUARDO HIDALGO GORDILLO
CLASE 14: Funciones reales de n variables
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Funciones reales de n variables
Cuando se estudia funciones del tipo , , y se quiere dar el concepto de derivada, el mas inmediato son las derivadas parciales. Luego veremos que este concepto tiene sus limitaciones. Por ejemplo, la existencia de estas derivadas no garantiza la continuidad de la función.
Derivadas parciales
Sea una función definida en el abierto Para la ésima derivada parcial de en el punto es el número
 cuando tal limite existe.
Derivadas parciales
Notación: 
El valor es el comportamiento geométrico (la inclinación) de la función en el punto , en la dirección . En realidad es una información incompleta (parcial) del comportamiento geométrico de en el punto .
Derivadas parciales
Siendo abierto y su punto interior, existe una bola abierta , con centro en el punto tal que . De esto, se puede hallar un tal que para todo Podemos definir un camino rectilíneo Donde 
Derivadas parciales
Con este camino tenemos el siguiente resultado
pues .
Derivadas parciales
Es decir que es una función real de variable real. Podemos decir que se restringe al segmento abierto se comporta como una función real, , de variable real y es la derivada de esa función en .
Derivadas parciales
Con estas ideas; diremos que una función no depende de la -variable cuando dados
 y 
 en se tiene . De otra manera, si con entonces .
Un conjunto se dice -convexo para todo se tiene .
Propiedad
Sean un abierto -convexo y una función tal que para todo . Entonces es independiente de la -ésima variable.
Demostración 
Sean , con , tenemos la función . Entonces 
, para todo , luego es constante así .
Ejemplo 
Sea la función , , 
Existe y . En efecto; . análogamente . sin embargo no es continua en , pues 
 y 
Ejemplo 
Luego la existencia de las derivadas parciales en no implica que es continua en tal punto.
En el plano, se dice horizontalmente o verticalmente convexo en vez de 1-convexo y 2-convexo respectivamente.
Ejemplo 
Sea el semieje no negativo de las abcisas. El abierto es horizontalmente convexo, pero no verticalmente. 
Sea la función 
Ejemplo 
Se verifica .
Pero no es independiente de ; si con ,
Pero tomando con .