Análisis en Rn - CLASE 13 - parte 2

Vista previa del material en texto

Title Lorem Ipsum
Sit Dolor Amet
Análisis en - CM3C1
PROFESOR: ALEJANDRO EDUARDO HIDALGO GORDILLO
CLASE 13
1
Teorema
Sea el camino . Si entonces , es decir el camino es rectificable y 
Demostración
Si es claro . Supongamos lo contrario:. Entonces existe una partición tal que . Sea . Por la definición de limite, para tal se puede obtener un tal que 
Demostración
Tomemos una partición tal que . La partición cumple , luego y, por otro lado, refina , luego . Esto contradice , luego .
El reciproco: si es rectificable entonces , es cierto.
Propiedad
Todo camino de clase tiene longitud si y solo si, 
Propiedad
Si un camino es Lipcchitziana; , para , entonces, para cada partición del Intervalo se tiene es rectificable, su longitud no es mayor que .
	Para demostrar que un camino de clase es rectificable necesitamos el siguiente lema.
Propiedad
Un camino se dice uniformemente diferenciable cuando para todo existe con la siguiente propiedad:
	Dado cualquier se puede obtener tal que y implican , para todo .
Lema (Diferenciabilidad Uniforme)
Todo camino de clase , es uniformemente diferenciable.
Demostración
El camino derivado es continua en el compacte luego es uniformemente continua, así dado existe tal que y implican 
Para un fijo tenemos , el teorema fundamental del Calculo nos dice que y implican para cualquier . Luego es uniformemente diferenciable.
Vale el reciproco: todo camino uniformemente diferenciable es de clase .
Teorema
Todo camino de clase es rectificable y .
Demostración
Demuestraremos: 
Dado . Por la definición de la integral (que ya existe, pues es continua en , consideramos una partición puntillada existe tal que implica
 .
Demostración
Además por la diferenciabilidad uniforme de ; 
	Sea 
 con .
	Luego 
	Si . Entonces si , entonces sumando y , y aplicando la desigualdad triangular
La longitud de un camino como parámetro
Sea un camino. Una reparametrización de es un camino , donde es una función monótona sobreyectiva.(por análisis en ), esto implica que es continua. Cuando es no decreciente se tiene si es no creciente, entonces y . puede ser creciente (decreciente). asumiendo que es no creciente, puede suceder que con entonces es constante en el intervalo .
Teorema
La reparametrización es rectificable si, y solo si el camino es rectificable.
En este caso se tiene .
Demostración 
 supongamos rectificable. Tomamos una partición de , si existiera y con entonces descartamos , obtenemos una partición que cumple Por tanto, al calcular la longitud de , basta considerar las particiones de tal que sea inyectiva. Entonces es una partición de tal que 
 para toda partición de , luego es rectificable y . 
Demostración 
Recíprocamente , sea rectificable. Para toda partición de como es sobreyectiva, existe tal que . Si es no decreciente, y es partición de , entonces . Si es no creciente, consideramos los de modo que la conclusión es la misma. Si es partición de tenemos para todo partición de entonces es rectificable y .
Definicion
Un camino rectificable se dice parametrizado por la longitud de arco cuando, para todo , se tiene es decir, para ir de a , a lo largo del camino , se recorre una distancia igual a . En el caso, si entonces .
Propiedad
Un camino , de clase , es parametrizado por la longitud de arco si, y solo si , para todo .
Demostración
 parametrizado por la longitud de arco, 
.
 Entonces .
Recíprocamente, si .
Ejemplo
El camino , es parametrizado por la longitud de arco. En efecto; .
Propiedad (Reparametrización por la longitud de un arco)
Sea un camino regular, es decir de y , para todo . Este camino se puede reparametrizar por la longitud de arco.
Demostración
El camino es de clase , . Ahora definimos la función .
La función es de para todo es biyectiva creciente de sobre su inversa de y si 
 tenemos monótono.
Consideremos la reparametrización del camino . Para todo tenemos por lo tanto es una reparametrización de por la longitud de arco.