Análisis en Rn - CLASE 2

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Análisis en (CM3C1)
CLASE 2: Sucesiones convergentes, Sucesiones de Cauchy y Punto de acumulación
PROFESOR: ALEJANDRO EDUARDO HIDALGO GORDILLO
1
Límite de una sucesión
Definición:
Una sucesión de puntos en converge al punto si para todo es posible obtener un tal que si , entonces .
 Notación: 
Cuando existe un , se dice que la sucesión converge. En caso contrario la sucesión diverge.
Límite de una sucesión
En términos de bolas si y solo si para cualquiera existe un tal que si , entonces .
Es decir cualquier bola abierto de centro contiene todos los términos salvo posiblemente para un número finito de términos .
Límite de una sucesión
De lo anterior se tiene: Toda sucesión convergente es acotada.
En efecto si para existe si entonces 
Ahora sea entonces .
El reciproco es falso () / es una sucesión divergente y acotada.
Límite de una sucesión
 si y solo si En efecto si entonces . Por lo que . 
Otro hecho básico: De lo anterior si , entonces toda subsucesion de tiene todavía como limite a Es decir, toda subsucesión de una sucesión converge, es convergente y tiene el mismo limite.
	Demostración: Usar la definición con bolas
Límite de una sucesión
El límite de una sucesión convergente es único. Ósea si y , entonces . 
En efecto, tenemos:
Como entonces 
Límite de una sucesión
Se definió tres normas en que cumplen las siguientes desigualdades:
Entonces se tiene:
 
Por lo tanto la afirmación es independiente de las tres normas.
En la demostración del siguiente teorema utilizamos la norma del máximo por conveniencia.
Teorema 1
Una sucesión en converge al punto si, y solamente si, para cada se tiene es decir, cada coordenada de converge para coordenada correspondiente de .
Teorema 1
Demostración: 
Tenemos , vemos que .
Recíprocamente ntonces dado existen números naturales tal que . Sea . 
Entonces si .
Por lo tanto .
Corolario
Sean las sucesiones en y en tal que y . Entonces:
Corolario
Demostración
Por las conocidas propiedades de las sucesiones convergentes en se tiene para cada , y . De acuerdo al teorema 1 se tiene 1. y 2. y 
Ahora la parte 3:
Ahora la parte 4:
Como , entonces si se tiene 
Teorema 2 (Bolzano-Weierstass) 
Toda sucesión acotada en tiene una subsucesión convergente.
Demostración
Sabemos el teorema de Bolzano-Weierstass en la recta:
“Toda sucesión acotada de números reales tiene una subsucesión convergente”
La sucesión en es acotada si y solo si cada es acotada.
Teorema 2 (Bolzano-Weierstass) 
En particular la sucesión de la primera coordenada es acotada, entonces existe un subconjunto infinito y un numero real .
Ahora la subsucesión es acotada, entonces existe un subconjunto infinito y un número real se puede continuar de manera similar hasta obtener subconjuntos infinitos y números reales tal que .
Por lo tanto si vemos por el teorema 1 .
Valor de Adherencia 
Un punto es el valor de adherencia de una sucesión de puntos si existe alguna subsucesión de que converge a El teorema 2 nos asegura que el conjunto de valores de adherencia de una sucesión acotada en nunca es vacío.
El teorema 2 nos asegura que el conjunto de valores de adherencia de una sucesión acotada en nunca es vacío.
Valor de Adherencia 
Si una sucesión en no tiene valores de adherencia entonces se denota : en este caso no es acotado. 
Es decir si entonces la sucesión no tiene algún subsucesión acotada, o sea para todo número real , dado arbitrariamente, existe si entonces .
EJEMPLO:
tiene valor de adherencia aun siendo no acotada.
Valor de Adherencia 
Análogamente a las sucesiones en ; un punto es valor de adherencia de la sucesión si y solo si, toda bola de centro contiene términos con arbitrariamente grandes. Es decir dados y existe tal que .
Una sucesión convergente tiene un único valor de adherencia. El reciproco no es cierto.
Valor de Adherencia 
EJEMPLO:
Sea la sucesión en .
 tiene un único valor de adherencia pero no es convergente.
Teorema 3:
Una sucesión acotada en es convergente si, solo si tiene un único valor de adherencia.
Demostración
 Si es convergente, toda subsucesión es convergente a un mismo punto. Por lo tanto, tiene un único valor de adherencia.
Teorema 3:
 Sea el valor de adherencia de la sucesión acotada . Suponiendo que no se da entonces el conjunto es infinita.
La subsucesión es acotada y sus términos cumplen . Por el teorema 2 esta tiene una subsucesión que converge a un punto .
Como y entonces asi tendría dos valores de adherencia, lo cual es contradictorio. Por lo t.
Extenderemos al espacio Euclidiano el criterio de Cauchy para la convergencia de sucesiones en .
Sucesiones de Cauchy
Definición: Una sucesión en es una sucesión de Cauchy si cumple:
 tal que si entonces 
Usando en la norma del máximo tenemos:
 . 
Luego es una sucesión de Cauchy en si, y solo si para cada la sucesión de sus -coordenadas es una sucesión de Cauchy de números reales.
Teorema 4
Una sucesión en es de Cauchy si, y solo si es convergente.
Demostración
Sea sucesión de Cauchy para cada sus -esimos coordenadas forman una sucesión de Cauchy de números reales sabemos que es convergente . Ahora sea . Del teorema 1 .
Por lo tanto, toda sucesión de Cauchy en es convergente.
Teorema 4
El reciproco:
Sea sucesión convergente en osea es decir tal que si entonces . 
Ahora si entonces .
Por lo tanto es sucesión de Cauchy.
Teorema 4
Generalizaremos la relación de normas que tenemos: 
Definición: En , dos normas y son equivalentes si existen constantes tal que 
		 y 
La equivalencia de normas es una relación reflexiva, simétrica y transitiva.
Teorema 4
Sean y normas equivalentes y el punto y el valor real . Consideremos las bolas respectivamente a tales normas. Entonces tenemos: 
Sea 
Por lo tanto .
Análogamente 
Teorema 4
Las tres normas que estamos usando son equivalentes
Es claro que si y son equivalentes entonces . Es decir las normas equivalentes dan a la misma noción de limite en 
Si y son equivalentes, en conjunto es acotada en relación a si, y solo si es acotada en relación a 
Demostraremos un resultado fundamental de las normas equivalentes a .
Teorema 5
Dos normas cualesquiera en el espacio son equivalentes 
Demostración 
Sea la norma de la suma . Por la transitividad basta demostrar que una norma arbitraria en es equivalente a .
Sea . Entonces para cualquier tenemos .
Teorema 5
Falta demostrar que existe 
Supongamos lo contrario que no es así. Entonces para cada podemos hallar un
 .
 Sea . De esto y entonces es una sucesión acotada respecto a la norma suma. Por el teorema de tiene una subsucesión convergente a un punto entonces . Por otro lado tenemos:
 .
Los dos vectores sumando tienden a entonces . Por lo tanto, queda demostrado.
Puntos de Acumulación (p.a.)
Definición: Sea . Un punto es un punto de acumulación del conjunto cuando toda bola abierta de centro contiene algún punto de diferente de . Es decir para todo debe existir tal que .
El conjunto derivado de es el conjunto de los puntos de acumulación de .
 p.a. de .
Un punto de acumulación de puede o no pertenecer a .
Teorema 6
Dadas y las siguientes afirmaciones son equivalentes:
 es p.a. de .
Existe una sucesión de puntos de , con y para todo .
Toda bola abierta de centro contiene una infinidad de puntos de .
Demostración
 
Para todo obtenemos un punto tal que de esto y .
 
Para cualquier el conjunto es infinito, porque si fuese finito habría un que se repitiera infinitas veces y tendría una subsucesión (constante).
Esta subsucesión .
 directo.
Teorema 6
Ejemplo:
En en 
Ósea si entonces 
Por lo tanto , por lo tanto tiene infinitos elementos de .
Por consiguiente es p.a. de .
Teorema 6
Ejemplo:
Por lo tanto 
, por lo tanto tiene infinitos elementos de 
Por consiguientees p.a. de .
Axioma de Elección 
El producto cartesiano de una familia no vacío de conjuntos no vacíos, es no vacío.
Hay una función de elección para toda familia no vacío de conjunto no vacío.
Corolario 
Si entonces es infinito 
Demostración: del teorema 6 (parte 3.)
Teorema 6 (Bolzano-Weierstrass)
Si es infinito y acotado, entonces .
Demostración
Siendo infinito contiene un subconjunto numerable e infinito así es una sucesión acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass existe una subsucesión convergente a un punto Como son a distintos, a lo más un es igual a . Eliminando este término si es necesario, obtenemos una sucesión de puntos de todos diferentes de con limite . Por el teorema 6, es un p.a. de 
Punto aislado 
Si no es p.a. de se dice que es un punto aislado de .
 es un punto aislado de si y solo si con cuando todo punto de es punto aislado diremos que es un conjunto discreto.
Función de Elección 
Sea una familia de subconjuntos de La función es de elección si , ósea la imagen de cada conjunto es un elemento del conjunto.
Proposición
Todo conjunto infinito tiene un subconjunto infinito numerable.
Demostración
Sea , . Como es infinito y así inductivamente.
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