Análisis en Rn - CLASE 15

Vista previa del material en texto

Title Lorem Ipsum
Sit Dolor Amet
Análisis en - CM3C1
PROFESOR: ALEJANDRO EDUARDO HIDALGO GORDILLO
CLASE 15: Derivadas Direccionales
1
Derivadas Direccionales
Tenemos la aplicación abierto. Vimos que las derivadas parciales nos da información sobre la monotonía de en las direccionales . Ahora generalizaremos y consideraremos una dirección cualquiera dado por un vector no nulo .
Derivadas Direccionales
Sean definido en el abierto y . La derivada direccional de en el punto , según el vector , es, por definición el limite 
.
Derivadas Direccionales
Analogamente a las derivadas parciales. La derivada direccional es la derivada en el punto de la función compuesta , con el camino rectilíneo , con tan pequeño para que la imagen de . Y se tiene .
Derivadas Direccionales
Si tiene un comportamiento monótono decreciente (estricto) a lo largo del segmento , osea en la dirección . El vector dirección no necesariamente es unitario.
El siguiente ejemplo muestra que una función puede tener para todo , pero no se garantiza que la función sea continua en .
Derivadas Direccionales
Si tiene un comportamiento monótono decreciente (escrito) a lo largo del segmento , osea en la dirección . El vector dirección no necesariamente es unitario.
El siguiente ejemplo muestra que una función puede tener para todo , pero no se garantiza que la función sea continua en .
Ejemplo
Sea la función 
Existe 
Ejemplo
En efecto; , entonces si en el otro caso 
Por otro lado, toma valor a lo largo de la parábola , excepto en . Por lo tanto no es continua en .
Ejemplo
Sea la función 
Las derivadas parciales: , análogamente .
Si , cuando y , , no existe limite si .
La linealidad del vector v
Sea abierto, y . Consideremos la aplicación , aceptamos que existe esta derivada direccional (de en el punto , en cualquier dirección ), convenimos 
ρ es homogéneo 
Tomando , entonces .
Por otro lado lado en el ejemplo siguiente se muestra que la derivada dirección puede existir en todos los puntos del dominio de y para cualquien pero no cumplirse .
Ejemplo
Sea . 
Se verifica que existe , para todo y en cualquier dirección . El caso particular 
Ejemplo
Si y no se cumple, es continua en . En el origen también .
Luego veremos que si es “diferenciable”, será lineal.
Ejemplo
Sea definido por si y .
En la función es, evidentemente, continua. Pero en no pues .
Hallando las derivadas direccionales, si existe para todo 
. Por lo tanto las derivadas direccionales , y dependen linealmente de .
 :Consideremos . Entonces . Existe , es lineal en .
Teorema del Valor Medio
Sea abierto. Supongamos que el segmento es continuo en y que existe la derivada direccional , según , en todo punto . Entonces existe tal que .
Demostración
Definiendo la función , por hipótesis sobre es continua en y derivable en . Por el teorema del valor medio para funciones reales de variable real, existe tal que . Tenemos
 y 
Observacion
La existencia de en cada punto de solo asegura la continuidad sobre , no necesariamente sobre .
Corolario 
Sea abierto y conexo. Si tiene derivadas direccionales en todo punto y para cualquier vector , entonces es constante.
En efecto; notemos que siendo abierto y conexo, es conexo por caminos (poligonales).
Fijando . Como existe en , entonces es continua sobre cualquier segmento . Aplicando el Teorema del valor medio 
Ahora tomando cualquier , se puede ligar con mediante una poligonal en con vértices . Tenemos sucesivamente , para todo luego es constante.
Corolario 
Sea abierto y conexo. Si tiene derivadas direccionales en todo punto y para cualquier vector , entonces es constante.
Corolario 
En efecto; notemos que siendo abierto y conexo, es conexo por caminos (poligonales).
Fijando . Como existe en , entonces es continua sobre cualquier segmento . Aplicando el Teorema del valor medio 
Corolario 
Ahora tomando cualquier , se puede ligar con mediante una poligonal en con vértices . Tenemos sucesivamente , para todo luego es constante.
Funciones Diferenciables 
La definición de función diferencial que daremos es una extensión del concepto de función derivable de una variable.
Definicion 
Dada la función abierto, y sea . 
Diremos que la función es diferenciable en el punto cuando existe una transformación lineal tal que , donde 
Funciones Diferenciables 
Notacion: 
Si se tiene 
Si , el segundo miembro tiene limite, entonces 
Es decir si es diferenciable en entonces existen las derivadas parciales . Mas aun se tiene una equivalencia a la definición .