Análisis en Rn - CLASE 17

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Análisis en - CM3C1
PROFESOR: ALEJANDRO EDUARDO HIDALGO GORDILLO
CLASE 17: La diferencial de una función
1
LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
La derivada de un camino en un punto , es un vector llamado vector velocidad en el punto 
Equivalentemente
Sin embargo se puede interpretar, que la derivada de , en , es una transformación lineal , definido con el vector . Pero esencialmente la derivada de en es un vector .
LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
Ahora en una función , la derivada de en , vimos, que es una funcional lineal
					 lineal.
La de en el punto es la funcional lineal cuyo valor en se da por
LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
La funcional lineal matricialmente es de orden . Respecto a la base canónica es 
									 
Cuando es diferenciable en todo punto de , se obtiene una aplicación que relaciona a cada punto la funcional lineal que matricialmente es
						 
LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
La aplicación es continua sí, y solo si cada uno de sus funciones coordenadas es continua y esto se da sí, y solo si es de clase .
En análisis, la base canónica de se indica por . Luego 
Donde 
LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
De esto tenemos 
Esta igualdad vale para todo , entonces
Como se esperaba la funcional lineal es una combinación lineal de las funcionales . 
LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
Finalmente esta igualdad se da para todo punto , podemos escribir
Si consideramos que cada es función de un parámetro real , tenemos la composición de funciones siguientes: y (*) es la expresión formal de la regla de la cadena, entonces derivando respecto a en (*) se tiene
Ejemplo 
Sea la funcional lineal , tenemos , entonces , para todo . De esto 
Teorema 
Sean las funciones diferenciables en el punto . Entonces:
 es diferenciable en . Además .
 es diferenciable y . 
Si para todo , entonces es diferenciable y 
Demostración (ejercicio)
Propiedad (Teorema del valor medio) 
El Teorema del Valor Medio, ya demostrado, exigía como hipótesis la existencia de una derivada direccional en un segmento. La siguiente propiedad es el mismo teorema del valor medio con hipótesis más fuertes.
Propiedad (Teorema del valor medio) 
Sea diferenciable en todos los puntos del segmento de recta abierto y sea continua en su restricción al segmento cerrado .
Existe tal que
donde .
Corolario 1
Sea abierto y conexo. Si es diferenciable y , es decir, , para todo entonces es constante.
Corolario 2
Sean un abierto convexo y una función diferenciable. Si para todo entonces, para cualquier , tenemos .
Comentario
En un abierto que además es convexo, toda función que tiene diferencial acotado es Lipschitziana.
En el corolario 2. se tiene una funcional lineal cuya norma es
	donde la norma puede ser la euclideana, del máximo y de la suma.
Del corolario 2, si es diferenciable y sus derivadas parciales son acotadas en el abierto convexo , entonces es uniformemente continua en , y se puede extender a una función uniformemente continua: .
EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DIFERENCIAL
Algebra Lineal lineal
Sea un espacio vectorial de dimensión finita el correspondiente espacio dual es
 
 . Si es una base de , la base dual correspondiente (de ) es donde 
Teorema: Sea un espacio vectorial real de dimensión finita, con producto interno. La función tal que para todo , es un isomorfismo.
EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DIFERENCIAL
En el curso el producto interno es el euclideano y el isomorfismo es , a cada vector le corresponde la funcional lineal con para todo , así si entonces , entonces la matriz de , según la base canónica de es .
EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DIFERENCIAL
Definición 
Dada la función diferenciable abierto. La gradiente de en el punto es el vector que corresponde a la funcional lineal según el isomorfismo descrito de esto 
En particular , luego .